Карти

Силов момент около оста. Момент на сила Какво е момент на сила спрямо точка

Определение

Векторният продукт на радиуса - вектор (), който се изтегля от точка O (фиг. 1) до точката, към която се прилага силата към самия вектор, се нарича момент на сила () по отношение на точка O:

На фиг. 1 точка O и векторът на силата () и радиус векторът са в равнината на фигурата. В този случай векторът на момента на сила () е перпендикулярен на равнината на чертежа и има посока далеч от нас. Векторът на момента на силата е аксиален. Посоката на вектора на момента на силата е избрана по такъв начин, че въртенето около точка O по посока на силата и векторът създават дясна система. Посоката на момента на силите и ъгловото ускорение съвпадат.

Големината на вектора е:

където е ъгълът между посоките на радиуса и вектора на силата, е рамото на силата спрямо точка O.

Силов момент около оста

Силовият момент спрямо оста е физическо количество, равен на проекцията на вектора на момента на силата спрямо точката на избраната ос върху тази ос. В този случай изборът на точка няма значение.

Основният момент на сила

Основният момент на набор от сили спрямо точка O се нарича вектор (момент на сила), който е равен на сумата от моментите на всички сили, действащи в системата по отношение на една и съща точка:

В този случай точка O се нарича център на редукция на системата от сили.

Ако има два основни момента ( и ) за една система от сили за различни два центъра на привеждащи сили (O и O’), тогава те са свързани с израза:

където е радиус-векторът, който е начертан от точка O до точка O’, е главният вектор на силовата система.

Като цяло резултатът от действие върху твърдона произволна система от сили е същото като действието върху тялото на главния момент на системата от сили и основния вектор на системата от сили, който се прилага в центъра на редукция (точка O).

Основен закон на динамиката на въртеливото движение

където е ъгловият импулс на въртеливото тяло.

За твърдо тяло този закон може да се представи като:

където I е инерционният момент на тялото, а е ъгловото ускорение.

Единици за въртящ момент

Основната единица за измерване на момент на сила в системата SI е: [M]=N m

В GHS: [M]=din cm

Примери за решаване на проблеми

Пример

Упражнение.Фигура 1 показва тяло, което има ос на въртене OO". Моментът на сила, приложен към тялото спрямо дадена ос, ще бъде равен на нула? Оста и векторът на силата са разположени в равнината на фигурата.

Решение.Като основа за решаване на проблема ще вземем формулата, която определя момента на сила:

Във векторния продукт (може да се види от фигурата). Ъгълът между вектора на силата и радиус вектора също ще бъде различен от нула (или, следователно, векторният продукт (1.1) не е равен на нула. Това означава, че моментът на сила е различен от нула.

Отговор.

Пример

Упражнение. Ъглова скоростна въртящо се твърдо тяло се променя в съответствие с графиката, показана на фиг. 2. В коя от точките, посочени на графиката, моментът на силите, приложени към тялото, е равен на нула?

Изучаването на свойствата на двойка сили, което е един от основните елементи на статиката, изисква въвеждането на важното понятие за момент на сила спрямо точка.

Нека към тялото в точка А е приложена сила (фиг. 89). Нека изберем която и да е точка в пространството O (обикновено началото на координатите се избира като тази точка) и да начертаем от нея радиус-вектор, отиващ към точката на прилагане на тази сила.

Векторният момент на сила спрямо точка O е свободният вектор, определен от векторното произведение на

Означавайки го с имаме

Абсолютната стойност на вектора е равна на удвоената площ на триъгълника, конструиран върху векторите и Векторът е насочен перпендикулярно на равнината, определена от векторите, така че ако погледнете тази равнина от нейния край, силата ще се стреми за да завъртите тялото около точка O обратно на часовниковата стрелка. Обикновено се счита, че вектор се прилага в точка. Ако силата е различна от нула, тогава векторният момент е равен на нула само когато точка O лежи на линията на действие на силата. В системата от единици SI размерът на момента на сила спрямо точка е равен на

От дефиницията на векторния въртящ момент следва, че той не се променя, ако силата се премести по линията на нейното действие. Наистина, в този случай равнината, определена от векторите, не променя своята

местоположение в пространството и площта на триъгълника, изграден върху тези вектори, не се променя (фиг. 89).

От това свойство следва, че концепцията за момент на вектор спрямо точка е тясно свързана с концепцията за плъзгащ се вектор.

Алгебричен момент на сила

Ако се разглежда плоска система от сили или сили, разположени в една равнина, тогава е препоръчително да се въведе понятието алгебричен момент на сила.

Модулът на векторния момент, както е посочено, е равен на удвоената площ на триъгълника, изграден върху векторите, ако ъгълът между векторите е равен на a

Но работата

представлява дължината на перпендикуляра, спуснат от точка О до линията на действие на силата. Количеството се нарича рамо на сила спрямо точка O. Нека го поставим в равнината, определена от векторите и координатните оси, докато оста z ще бъде разположена перпендикулярно на тази равнина (фиг. 90). Алгебричният момент на сила е произведението на рамото на силата и модула на силата

Знакът на алгебричния момент ще бъде положителен, ако за наблюдател, разположен по положителната посока на оста z, силата се стреми да се върти около точка O обратно на часовниковата стрелка. В противен случай знакът на алгебричния момент ще бъде отрицателен.

Силов момент около оста

Концепцията за момент на сила спрямо точка е тясно свързана с концепцията за момент на сила спрямо ос.

Моментът на сила спрямо ос е проекцията на момента на сила спрямо произволна точка от оста върху оста.

За да има смисъл това определение, е необходимо да се докаже, че проекциите върху оста на моментите на сила спрямо две произволни точки на оста са равни.

За да докажем това, нека начертаем равнина, перпендикулярна на оста (фиг. 91) и проектираме вектор върху тази равнина.

Нека означим с a ъгъла, образуван от вектора с оста. Тогава моментът на вектора спрямо оста се определя по формулата:

Следователно, тъй като стойността не зависи от позицията на точка O на оста (фиг. 92), тогава

Формулата, която определя аксиалния момент, ви позволява да установите геометрично правило за изчисляването му. Това правило е следното: начертайте равнина, перпендикулярна на оста, проектирайте вектор върху нея

Двойната площ на триъгълника, образувана от тази проекция, и точката на пресичане на оста с равнината определя големината на аксиалния момент.

Знакът на момента ще бъде положителен, ако за наблюдател, разположен по положителната посока на оста, проекцията на вектора има тенденция да се върти около точката на пресичане на оста с равнината обратно на часовниковата стрелка; ако проекцията има тенденция да се върти по посока на часовниковата стрелка, тогава знакът на момента ще бъде отрицателен.

Формули за определяне на моменти чрез проекции

Началото на координатите обикновено се избира като точка O, спрямо която се изчислява моментът на плъзгащия вектор. Тогава моментът на сила ще бъде приложен в началото на координатите и неговите проекции върху оста ще бъдат съответните аксиални моменти. От определението и геометричното правило за изчисляване на аксиалния момент следва, че той ще бъде равен на нула, ако векторът е успореден на оста или неговата линия на действие пресича оста. Ако силата е дадена чрез нейните проекции и са известни проекциите на радиус вектора, определящ точката на прилагане на силата (или просто координатите на тази точка), тогава моментът на вектора спрямо точка O и моментите

спрямо координатните оси, както следва от предишния, се определят по формулата:

Силов момент около остае моментът на проекция на сила върху равнина, перпендикулярна на ос, спрямо точката на пресичане на оста с тази равнина

Момент около ос е положителен, ако силата се стреми да завърти равнината, перпендикулярна на оста, обратно на часовниковата стрелка, когато гледате към оста.

Силовият момент спрямо оста е 0 в два случая:

Ако силата е успоредна на оста

Ако силата пресече оста

Ако линията на действие и оста лежат в една и съща равнина, тогава моментът на силата около оста е равен на 0.

27. Връзка между момента на силата спрямо ос и вектора на момента на силата спрямо точка.

Mz(F)=Mo(F)*cosαМоментът на силата спрямо оста е равен на проекцията на вектора на момента на силата спрямо точката на оста върху тази ос.

28. Основната теорема на статиката за привеждане на система от сили към даден център (теорема на Поансо). Главният вектор и главният момент на системата от сили.

В общия случай всяка пространствена система от сили може да бъде заменена с еквивалентна система, състояща се от една сила, приложена в дадена точка на тялото (център на редукция) и равна на главния вектор на тази система от сили, и една двойка сили , чийто момент е равен на главния момент на всички сили спрямо избрания аддукционен център.

Главният вектор на силовата системанаречен вектор Р, равна на векторната сума на тези сили:

Р = Е 1 + Е 2 + ... + Е n= Еаз

За плоска система от сили нейният главен вектор лежи в равнината на действие на тези сили.

Основната точка на системата от силиспрямо центъра O се нарича вектор Л O, равна на сумата от векторните моменти на тези сили спрямо точка O:

ЛО= М O( Е 1) + М O( Е 2) + ... + М O( Е n) = М O( Е i).

вектор Рне зависи от избора на център O и вектора ЛКогато позицията на центъра се промени, O обикновено може да се промени.

Теорема на Поансо: Произволна пространствена система от сили може да бъде заменена с една сила с главен вектор на силовата система и двойка сили с главен момент, без да се нарушава състоянието на твърдото тяло. Главният вектор представлява геометрична сумавсички сили, действащи върху твърдо тяло и се намира в равнината на действие на силите. Главният вектор се разглежда чрез неговите проекции върху координатните оси.

За да приведете сили към даден център, приложени в някаква точка на твърдо тяло, е необходимо: 1) да прехвърлите силата, успоредна на себе си, към даден център, без да променяте модула на силата; 2) в даден център приложете двойка сили, чийто векторен момент е равен на векторния момент на прехвърлената сила спрямо новия център; тази двойка се нарича прикрепена двойка.

Зависимост на основния момент от избора на центъра на редукция. Главният момент около новия център на редукция е равен на геометричната сума от главния момент около стария център на редукция и векторното произведение на радиус вектора, свързващ новия център на редукция със стария чрез главния вектор.

29 Частни случаи на редукция на пространствена система от сили

	Стойности на главен вектор и главен момент	Резултат от кастинга
		Системата от сили се свежда до двойка сили, чийто момент е равен на основния момент (основният момент на системата от сили не зависи от избора на центъра на редукция О).
		Системата от сили се свежда до резултатна, равна на преминаване през центъра O.
		Системата от сили се свежда до резултатна, равна на главния вектор и успоредна на него и разположена на разстояние от него. Позицията на линията на действие на резултанта трябва да бъде такава, че посоката на нейния момент спрямо центъра на редукция O да съвпада с посоката спрямо центъра O.
	, а векторите не са перпендикулярни	Системата от сили се свежда до дина (силов винт) - комбинация от сила и двойка сили, лежащи в равнина, перпендикулярна на тази сила.
		Системата от сили, приложени към твърдо тяло, е уравновесена.

30. Намаляване до динамика.В механиката динамиката се нарича такъв набор от сили и двойки сили (), действащи върху твърдо тяло, при което силата е перпендикулярна на равнината на действие на двойката сили. Използвайки векторния момент на двойка сили, можем също да дефинираме динамиката като комбинация от сила и двойка, чиято сила е успоредна на векторния момент на двойката сили.

Уравнение на централната спирална осДа приемем, че в центъра на редукция, взет за начало на координатите, се получават основният вектор с проекции върху координатните оси и главният момент с проекции, когато системата от сили се приведе в центъра на редукция O 1 (фиг 30), се получава дина с главния вектор и главния момент, вектори и образуващи линама. са успоредни и следователно могат да се различават само в скаларния фактор k 0. Имаме, тъй като основните моменти и удовлетворяват отношението

Момент на няколко сили

Моментът на сила спрямо всяка точка (център) е вектор, който е числено равен на произведението на модула на силата и рамото, т.е. до най-късото разстояние от определената точка до линията на действие на силата и насочена перпендикулярно на равнината, минаваща през избраната точка и линията на действие на силата в посоката, от която започва „въртенето“, извършвано от силата около точката изглежда се случва обратно на часовниковата стрелка. Моментът на сила характеризира нейното въртеливо действие.

Ако ОТНОСНО– точката, спрямо която се намира моментът на силата Е, тогава моментът на силата се обозначава със символа М о (Ж). Нека покажем, че ако точката на приложение на силата Еопределя се от радиус вектора r, тогава връзката е валидна

M o (F)=r×F. (3.6)

Според това съотношение моментът на силата е равен на векторното произведение на вектора r от вектор F.

Наистина, модулът на векторното произведение е равен на

М о ( Е)=rFгрях= Fh, (3.7)

Където ч- рамо на силата. Обърнете внимание също, че векторът М о (Ж)насочен перпендикулярно на равнината, минаваща през векторите rИ Е, в посоката, от която е най-късият завой на вектора rспрямо посоката на вектора Еизглежда, че се случва обратно на часовниковата стрелка. По този начин формулата (3.6) напълно определя модула и посоката на момента на силата Е.

Понякога е полезно да напишете формула (3.7) във формата

М о ( Е)=2С, (3.8)

Където С- площ на триъгълник OAV.

Позволявам х, г, zса координатите на точката на прилагане на силата, и Fx, Fy, Fz– проекции на сила върху координатните оси. Тогава, ако точката ОТНОСНОсе намира в началото, моментът на силата се изразява, както следва:

От това следва, че проекциите на момента на силата върху координатните оси се определят по формулите:

М Окс(Е)=yF z -zF y,

М Ой(Е)=zF x -xF z ,

М Ой(Е)=xF y -yF x. (3.10)

Нека сега въведем концепцията за проекция на сила върху равнина.

Нека се даде сила Еи някакъв самолет. Нека пуснем перпендикуляри от началото и края на вектора на силата върху тази равнина.

Проекция на сила върху равнинаНаречен вектор , чието начало и край съвпадат с проекцията на началото и проекцията на края на силата върху тази равнина.

Ако вземем самолета като разглеждания самолет xOy, след това проекцията на силата Еще има вектор на тази равнина Еxy.

Момент на сила Еxyспрямо точката ОТНОСНО(пресечните точки на осите zсъс самолет xOy) може да се изчисли по формула (3.9), ако я вземем z=0, Fz=0. Получаваме

МО(Еxy)=(xF y -yF x)к.

По този начин моментът е насочен по оста z, и неговата проекция върху оста zточно съвпада с проекцията върху същата ос на момента на силата Еспрямо точката ОТНОСНО. С други думи,

М Оз(Е)=М Оз(Еxy)= xF y -yF x. (3.11)

Очевидно същият резултат може да се получи, ако проектираме силата Ена всяка друга успоредна равнина xOy. В този случай пресечната точка на оста zс равнината ще бъде различен (ние обозначаваме новата пресечна точка с ОТНОСНО 1). Въпреки това, всички количества, включени от дясната страна на равенството (3.11) х, при, F x, F yще остане непроменен и следователно може да бъде написан

М Оз(Е)=M O 1 z ( Еxy).

С други думи, проекцията на момента на сила спрямо точка върху ос, минаваща през тази точка, не зависи от избора на точка на оста . Следователно в това, което следва, вместо симв М Оз(Е) ще използваме символа Mz(Е). Тази моментна проекция се нарича момент на сила около оста z. Често е по-удобно да се изчисли моментът на сила около ос чрез проектиране на силата Евърху равнина, перпендикулярна на оста, и изчисляване на стойността Mz(Еxy).

В съответствие с формула (3.7) и като вземем предвид знака на проекцията, получаваме:

Mz(Е)=Mz(Еxy)=± F xy h*. (3.12)

Тук з*– рамо на силата Еxyспрямо точката ОТНОСНО. Ако наблюдател види от положителната посока на оста z, че силата Еxyима тенденция да върти тялото около ос zобратно на часовниковата стрелка, тогава се взема знакът „+“, а в противен случай знакът „–“.

Формулата (3.12) дава възможност да се формулира следното правило за изчисляване на момента на силата около оста. За да направите това ви трябва:

· избиране на произволна точка от оста и построяване на равнина, перпендикулярна на оста;

· проектираме сила върху тази равнина;

· определяне на рамото на проекцията на силата h*.

Моментът на сила спрямо оста е равен на произведението на модула на проекцията на силата върху нейното рамо, взето със съответния знак (виж правилото, посочено по-горе).

От формула (3.12) следва, че моментът на силата около оста е нула в два случая:

· когато проекцията на сила върху равнина, перпендикулярна на оста, е нула, т.е. когато силата и оста са успоредни ;

когато раменна проекция з*е равно на нула, т.е. когато линията на действие пресича оста .

И двата случая могат да бъдат комбинирани в един: моментът на сила около ос е нула тогава и само ако линията на действие на силата и оста са в една и съща равнина .

Задача 3.1.Изчислете спрямо точка ОТНОСНОмомент на сила Е, приложен към точката Аи диагонално насочено лице на куб със страна А.

При решаването на такива задачи е препоръчително първо да се изчислят моментите на силата Еспрямо координатните оси х, г, z. Координати на точки Априлагане на сила Еще

Проекции на сила Епо координатни оси:

Замествайки тези стойности в равенства (3.10), намираме

, , .

Същите изрази за моментите на сила Еспрямо координатните оси може да се получи по формула (3.12). За да направим това, ние проектираме силата Евърху равнина, перпендикулярна на оста хИ при. Това е очевидно . Прилагайки посоченото по-горе правило, получаваме, както може да се очаква, същите изрази:

, , .

Модулът на момента се определя от равенството

Нека сега въведем концепцията за момента на двойка. Нека първо намерим на какво е равна сумата от моментите на силите, съставляващи двойката спрямо произволна точка. Позволявам ОТНОСНОе произволна точка в пространството и ЕИ F" –сили, които съставляват двойка.

Тогава M o (F)= ОА × Е, M o (F")= ОВ × F",

M o (F)+ M o (F")= ОА × Е+ ОВ × F",

но тъй като F= -F", Че

M o (F)+ M o (F")= ОА × Е- ОВ × Е=(ОА-ОВ)× Е.

Като се има предвид равенството OA-OB=BA , най-накрая намираме:

M o (F)+ M o (F")= Вирджиния × Е.

следователно сумата от моментите на силите, които съставляват двойката, не зависи от позицията на точката, спрямо която се вземат моментите .

Векторни произведения на изкуството Вирджиния × Еи се нарича двойка момент . Моментът на двойката се обозначава със символа M(F, F"), и

M(F, F")=Вирджиния × F= AB × F",

или накратко,

М=Вирджиния × F= AB × F". (3.13)

Разглеждайки дясната страна на това равенство, забелязваме това моментът на двойката е вектор, перпендикулярна на равнинатана двойка, равен по модул на произведението на модула на една сила на двойка от рамото на двойката (т.е. най-късото разстояние между линиите на действие на силите, съставляващи двойката) и насочен в посоката, от която вижда се, че "въртенето" на двойката се случва обратно на часовниковата стрелка . Ако ч– тогава рамото на двойката M(F, F")=h×F.

От самото определение става ясно, че моментът на двойка сили е свободен вектор, чиято линия на действие не е дефинирана (допълнителна обосновка за тази забележка следва от теореми 2 и 3 на тази глава).

За да може една двойка сили да съставлява уравновесена система (система от сили, еквивалентна на нула), е необходимо и достатъчно моментът на двойката да бъде равен на нула. Наистина, ако моментът на двойка е нула, М=h×F, тогава или Е=0, т.е. няма сила, или рамото на двойка че равно на нула. Но в този случай силите на двойката ще действат в една права линия; тъй като те са еднакви по големина и насочени в противоположни посоки, тогава, въз основа на аксиома 1, те ще образуват балансирана система. Обратно, ако две сили F 1И Е 2, съставляващи двойка, са балансирани, тогава въз основа на същата аксиома 1 те действат в една права линия. Но в този случай ливъриджът на двойката че равно на нула и следователно М=h×F=0.

Теореми за двойки

Нека докажем три теореми, с помощта на които стават възможни еквивалентни трансформации на двойки. Във всички съображения трябва да се помни, че те се отнасят до двойки, действащи върху всяко едно твърдо тяло.

Теорема 1. Две двойки, лежащи в една и съща равнина, могат да бъдат заменени с една двойка, лежаща в същата равнина, с момент, равен на сумата от моментите на тези две двойки.

За да докажете тази теорема, разгледайте две двойки ( F 1,F" 1) И ( Е 2,Е" 2) и преместете точките на приложение на всички сили по линиите на тяхното действие в точки АИ INсъответно. Събирайки силите съгласно аксиома 3, получаваме

R=F 1+Е 2И R"=F" 1+Е" 2,

Но F 1=-F" 1И Е 2=-Е" 2.

следователно R=- R", т.е. сила РИ R"образуват двойка. Нека намерим момента на тази двойка, използвайки формула (3.13):

М=М(Р, R")=VA × R= VA × (F 1+Е 2)=VA × F 1+VA ×Е 2. (3.14)

Когато силите, съставляващи двойката, се прехвърлят по линиите на тяхното действие, нито рамото, нито посоката на въртене на двойката се променят, следователно моментът на двойката също не се променя. означава,

BA×F 1 =M(F 1,F" 1)=М 1, VA × F 2 = М(Е 2,Е" 2)=М 2

и формула (3.14) ще приеме формата

M=M 1 +M 2, (3.15)

което доказва валидността на формулираната по-горе теорема.

Нека направим две забележки към тази теорема.

1. Линиите на действие на силите, които съставляват двойките, могат да се окажат успоредни. Теоремата остава валидна в този случай, но за да се докаже, трябва да се използва правилото за добавяне на успоредни сили.

2. След добавяне може да се окаже, че М(Р, R")=0; Въз основа на забележката, направена по-рано, следва, че колекцията от две двойки ( F 1,F" 1, Е 2,Е" 2)=0.

Теорема 2. Две двойки, които имат геометрично равни моменти, са еквивалентни.

Нека върху тялото в самолета аздвойка ( F 1,F" 1) с момент М 1. Нека покажем, че тази двойка може да бъде заменена с друга с двойката ( Е 2,Е" 2), разположен в равнината II, ако само нейният момент М 2равно на М 1(според дефиницията (вижте 1.1) това ще означава, че двойки ( F 1,F" 1) И ( Е 2,Е" 2) са еквивалентни). На първо място, ние отбелязваме, че самолетите азИ IIтрябва да са успоредни, по-специално те могат да съвпадат. Наистина от паралелността на моментите М 1И М 2(в нашия случай М 1=М 2) следва, че равнините на действие на двойките, перпендикулярни на моментите, също са успоредни.

Нека представим нова двойка ( Е 3,Е" 3) и го прикрепете заедно с чифт ( Е 2,Е" 2) към тялото, поставяйки двете двойки в равнината II. За да направите това, съгласно аксиома 2, трябва да изберете двойка ( Е 3,Е" 3) с момент М 3така че приложената система от сили ( Е 2,Е" 2, Е 3,Е" 3) беше балансиран. Това може да стане например по следния начин: постави Е 3=-F" 1И F" 3 =-F 1и комбинирайте точките на приложение на тези сили с проекциите А 1 и IN 1 точки АИ INдо самолета II. В съответствие с конструкцията ще имаме: М 3 = -М 1или предвид това М 1 = М 2,

M 2 + M 3 = 0.

Като вземем предвид втората забележка към предходната теорема, получаваме ( Е 2,Е" 2, Е 3,Е" 3)=0. Така двойки ( Е 2,Е" 2) И ( Е 3,Е" 3) са взаимно балансирани и тяхното прикрепване към тялото не нарушава неговото състояние (аксиома 2), така че

(F 1,F" 1)= (F 1,F" 1, Е 2,Е" 2, Е 3,Е" 3). (3.16)

От друга страна, сили F 1И Е 3, и F" 1И Е" 3могат да се добавят съгласно правилото за добавяне на успоредни сили, насочени в една посока. По модул всички тези сили са равни една на друга, следователно техните резултанти РИ R"трябва да се приложи в пресечната точка на диагоналите на правоъгълника ABB 1 А 1 ; освен това те са еднакви по големина и насочени в противоположни посоки. Това означава, че те представляват система, еквивалентна на нула. Така,

(F 1,F" 1, Е 3,Е" 3)=(Р, R")=0.

Сега можем да пишем

(F 1,F" 1, Е 2,Е" 2, Е 3,Е" 3)=(Е 3,Е" 3). (3.17)

Сравнявайки отношения (3.16) и (3.17), получаваме ( F 1,F" 1)=(Е 2,Е" 2), което трябваше да се докаже.

От тази теорема следва, че двойка сили може да бъде преместена в равнината на нейното действие, прехвърлена в успоредна равнина; накрая, в двойка можете едновременно да променяте силите и лоста, като поддържате само посоката на въртене на двойката и модула на нейния момент ( Е 1 ч 1 =Е 2 ч 2).

В това, което следва, ние ще използваме широко такива еквивалентни трансформации на двойки.

Теорема 3. Две двойки, лежащи в пресичащи се равнини, са еквивалентни на една двойка, чийто момент е равен на сумата от моментите на двете дадени двойки.

Нека двойки ( F 1,F" 1) И ( Е 2,Е" 2) са разположени в пресичащи се равнини азИ IIсъответно. Използвайки следствието от теорема 2, свеждаме двете двойки до рамото AB, разположен на линията на пресичане на равнините азИ II. Нека означим трансформираните двойки с ( Въпрос 1,Q" 1) И ( Въпрос 2,Q" 2). В този случай трябва да са изпълнени равенствата

М 1 = М(Въпрос 1,Q" 1)=М(F 1,F" 1) И М 2 = М(Въпрос 2,Q" 2)=М(Е 2,Е" 2).

Нека добавим, според аксиомата, 3 сили, приложени в точки АИ INсъответно. Тогава получаваме R=Q 1 +Q 2И R"=Q" 1 +Q" 2. Като се има предвид това Q" 1 = -Q 1И Q" 2 = -Q 2, получаваме R=-R". Така доказахме, че система от две двойки е еквивалентна на една двойка ( Р,R").

Да намерим момент Мтази двойка. Въз основа на формула (3.13) имаме

М(Р,R")=VA × (Q 1 + Q 2)=VA × Q 1 + VA ×Въпрос 2=

=М(Въпрос 1,Q" 1)+М(Въпрос 2,Q" 2)=М(F 1,F" 1)+М(Е 2,Е" 2)

M=M 1 +M 2,

тези. теоремата е доказана.

Имайте предвид, че полученият резултат е валиден и за двойки, лежащи в успоредни равнини. По теорема 2 такива двойки могат да бъдат сведени до една равнина, а по теорема 1 те могат да бъдат заменени с една двойка, чийто момент е равен на сумата от моментите на съставните двойки.

Доказаните по-горе двойки теореми ни позволяват да направим важно заключение: моментът на двойката е свободен вектор и напълно определя действието на двойката върху абсолютно твърдо тяло . Всъщност вече доказахме, че ако две двойки имат еднакви моменти (следователно лежат в една и съща равнина или в успоредни равнини), тогава те са еквивалентни една на друга (теорема 2). От друга страна, две двойки, лежащи в пресичащи се равнини, не могат да бъдат еквивалентни, защото това би означавало, че едната от тях и двойката срещу другата са еквивалентни на нула, което е невъзможно, тъй като сумата от моментите на такива двойки е различна от нула.

По този начин въведената концепция за момента на двойка е изключително полезна, тъй като напълно отразява механичното действие на двойката върху тялото. В този смисъл можем да кажем, че моментът изчерпателно представя действието на двойка върху твърдо тяло.

За деформируемите тела описаната по-горе теория на двойките не е приложима. Две противоположни двойки, действащи например в краищата на прът, са еквивалентни на нула от гледна точка на статиката на твърдото тяло. Междувременно тяхното действие върху деформируемия прът причинява неговото усукване и колкото по-голямо, толкова по-големи са моментните модули.

Нека да преминем към решаването на първата и втората задача на статиката, когато върху тялото действат само двойки сили.

Силовият момент спрямо оста е 0 в два случая:

Ако силата е успоредна на оста

Ако силата пресече оста

Ако линията на действие и оста лежат в една и съща равнина, тогава моментът на силата около оста е равен на 0.

27. Връзка между момента на силата спрямо ос и вектора на момента на силата спрямо точка.

28. Основната теорема на статиката за привеждане на система от сили към даден център (теорема на Поансо). Главният вектор и главният момент на системата от сили.

Главният вектор на силовата системанаречен вектор Р, равна на векторната сума на тези сили:

Р = Е 1 + Е 2 + ... + Е n= Еаз

За плоска система от сили нейният главен вектор лежи в равнината на действие на тези сили.

ЛО= М O( Е 1) + М O( Е 2) + ... + М O( Е n) = М O( Е i).

Теорема на Поансо: Произволна пространствена система от сили може да бъде заменена с една сила с главен вектор на силовата система и двойка сили с главен момент, без да се нарушава състоянието на твърдото тяло. Главният вектор е геометричната сума на всички сили, действащи върху твърдо тяло и се намира в равнината на действие на силите. Главният вектор се разглежда чрез неговите проекции върху координатните оси.

29 Частни случаи на редукция на пространствена система от сили

	Стойности на главен вектор и главен момент	Резултат от кастинга
		Системата от сили се свежда до двойка сили, чийто момент е равен на основния момент (основният момент на системата от сили не зависи от избора на центъра на редукция О).
		Системата от сили се свежда до резултатна, равна на преминаване през центъра O.
		Системата от сили се свежда до резултатна, равна на главния вектор и успоредна на него и разположена на разстояние от него. Позицията на линията на действие на резултанта трябва да бъде такава, че посоката на нейния момент спрямо центъра на редукция O да съвпада с посоката спрямо центъра O.
	, а векторите не са перпендикулярни	Системата от сили се свежда до дина (силов винт) - комбинация от сила и двойка сили, лежащи в равнина, перпендикулярна на тази сила.
		Системата от сили, приложени към твърдо тяло, е уравновесена.

Замествайки , получаваме

Нека обозначим координатите на точка O 1, в която се получава динамиката, като x, y, z. Тогава проекциите на вектора върху координатните оси са равни на координатите x, y, z. Като се има предвид това, (*) може да бъде изразено във формата

където аз. j ,k са единични вектори на координатните оси, а векторното произведение * е представено от детерминантата. Векторно уравнение(**) е еквивалентен на три скалара, които след изхвърляне могат да бъдат представени като

Получените линейни уравнения за координатите x, y, z са уравнения на права линия - централна спирална ос. Следователно има права линия, в точките на която системата от сили се свежда до динамика.