Въртене на твърдо тяло около неподвижна ос. Въртеливо движение на твърдо тяло около неподвижна ос. Ъглова скорост и ъглово ускорение Ускорено въртеливо движение около фиксирана ос

И Савелиева.

При движението на тялото напред (§ 60 от учебника на Е. М. Никитин) всичките му точки се движат по еднакви траектории и във всеки даден момент имат еднакви скорости и еднакви ускорения.

Следователно постъпателното движение на тялото се определя от движението на всяка точка, обикновено движението на центъра на тежестта.

Когато разглеждаме движението на автомобил (задача 147) или дизелов локомотив (задача 141) във всяка задача, ние всъщност разглеждаме движението на техните центрове на тежест.

Ротационното движение на тялото (E.M. Nikitin, § 61) не може да се идентифицира с движението на нито една от неговите точки. Оста на всяко въртящо се тяло (дизелов маховик, ротор на електродвигател, машинен шпиндел, лопатки на вентилатора и др.) По време на движение заема едно и също място в пространството спрямо околните неподвижни тела.

Движение на материална точка или движение напредтела се характеризират в зависимост от времето линейни величини s (път, разстояние), v (скорост) и a (ускорение) със своите компоненти a t и a n.

Ротационно движениетела в зависимост от времето t характеризират ъглови стойности: φ (ъгъл на въртене в радиани), ω (ъглова скорост в rad/sec) и ε (ъглово ускорение в rad/sec 2).

Законът за въртеливото движение на тялото се изразява с уравнението
φ = f(t).

Ъглова скорост- величина, характеризираща скоростта на въртене на тялото, в общия случай се определя като производна на ъгъла на въртене по отношение на времето
ω = dφ/dt = f" (t).

Ъглово ускорение- количество, характеризиращо скоростта на промяна на ъгловата скорост, се определя като производна на ъгловата скорост
ε = dω/dt = f"" (t).

При започване на решаването на задачи за въртеливото движение на тялото е необходимо да се има предвид, че при технически изчисления и задачи, като правило, ъгловото изместване се изразява не в радиани φ, а в обороти φ около.

Следователно е необходимо да можете да преминете от броя на оборотите към радианното измерване на ъгловото изместване и обратно.

Тъй като един пълен оборот съответства на 2π rad, тогава
φ = 2πφ около и φ около = φ/(2π).

Ъгловата скорост в техническите изчисления много често се измерва в обороти, произведени в минута (rpm), така че е необходимо ясно да се разбере, че ω rad/sec и n rpm изразяват една и съща концепция - скоростта на въртене на тялото (ъглова скорост) , но в различни единици - в rad/sec или в rpm.

Преходът от една единица ъглова скорост към друга се извършва съгласно формулите
ω = πn/30 и n = 30ω/π.

При въртеливото движение на тялото всички негови точки се движат в кръгове, чиито центрове са разположени на една фиксирана права линия (оста на въртящото се тяло). При решаването на задачите, дадени в тази глава, е много важно ясно да се разбере връзката между ъгловите величини φ, ω и ε, които характеризират въртеливото движение на тялото, и линейните величини s, v, a t и an, характеризиращи движението на различни точки от това тяло (фиг. 205).

Ако R е разстоянието от геометричната ос на въртящо се тяло до всяка точка A (на фиг. 205 R = OA), тогава връзката между φ - ъгълът на въртене на тялото и s - разстоянието, изминато от точка на тялото през същото време се изразява, както следва:
s = φR.

Връзката между ъгловата скорост на тялото и скоростта на точка във всеки даден момент се изразява с равенството
v = ωR.

Тангенциалното ускорение на точка зависи от ъгловото ускорение и се определя по формулата
a t = εR.

Нормалното ускорение на една точка зависи от ъгловата скорост на тялото и се определя от връзката
a n = ω 2 R.

При решаването на задачата, дадена в тази глава, е необходимо ясно да се разбере, че въртенето е движението твърдо, а не точки. Отделна материална точка не се върти, а се движи в кръг - извършва криволинейно движение.

§ 33. Равномерно въртеливо движение

Ако ъгловата скорост е ω=const, тогава въртеливото движение се нарича равномерно.

Уравнението за равномерно въртене има формата
φ = φ 0 + ωt.

В конкретния случай, когато началният ъгъл на въртене φ 0 =0,
φ = ωt.

Ъглова скорост на равномерно въртящо се тяло
ω = φ/t
може да се изрази така:
ω = 2π/T,
където Т е периодът на въртене на тялото; φ=2π - ъгъл на завъртане за един период.

§ 34. Равномерно въртеливо движение

Ротационното движение с променлива ъглова скорост се нарича неравномерно (виж по-долу § 35). Ако ъгловото ускорение ε=const, тогава се нарича въртеливо движение еднакво променлива. По този начин се получава равномерно въртене на тялото специален случайнеравномерно въртеливо движение.

Уравнение на равномерно въртене
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
и уравнението, изразяващо ъгловата скорост на тялото по всяко време,
(2) ω = ω 0 + εt
представляват набор от основни формули за въртеливото равномерно движение на тялото.

Тези формули включват само шест величини: три константи за дадена задача φ 0, ω 0 и ε и три променливи φ, ω и t. Следователно условието на всяка задача за равномерно въртене трябва да съдържа поне четири зададени величини.

За удобство при решаването на някои задачи могат да се получат още две помощни формули от уравнения (1) и (2).

Нека изключим ъгловото ускорение ε от (1) и (2):
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.

Нека изключим времето t от (1) и (2):
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

В частния случай на равномерно ускорено въртене, започващо от състояние на покой, φ 0 =0 и ω 0 =0. Следователно горните основни и спомагателни формули приемат следната форма:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. Неравномерно въртеливо движение

Нека разгледаме пример за решаване на задача, в която е посочено неравномерно въртеливо движение на тяло.

Абсолютно твърдо тяло -тяло взаимно споразумениечасти от които не се променят по време на движение.

Постъпателно движение на твърдо тяло - това е неговото движение, при което всяка права линия, твърдо свързана с тялото, се движи, като същевременно остава успоредна на първоначалната си посока.

По време на транслационното движение на твърдо тяло всички негови точки се движат еднакво за кратко време dt, радиус-векторът на тези точки се променя с еднаква стойност. Съответно във всеки момент от време скоростите на всички негови точки са еднакви и равни. Следователно кинематиката на разглеждания движение напредна твърдо тяло се свежда до изучаване на движението на която и да е негова точка. Обикновено разглеждаме движението на инерционния център на твърдо тяло, което се движи свободно в пространството.

Ротационно движение на твърдо тяло - това е движение, при което всички негови точки се движат в кръгове, чиито центрове са разположени извън тялото . Правата се нарича ос на въртене на тялото.

Ъглова скорост– векторна величина, характеризираща скоростта на въртене на тялото; съотношението на ъгъла на завъртане към времето, през което е настъпило това завъртане; вектор, определен от първата производна на ъгъла на въртене на тялото спрямо времето. Векторът на ъгловата скорост е насочен по оста на въртене според правилото на десния винт. ω=φ/t=2π/T=2πn, където T е периодът на въртене, n е честотата на въртене. ω=lim Δt → 0 Δφ/Δt=dφ/dt.

Ъглово ускорение– вектор, определен от първата производна на ъгловата скорост по време. Когато тялото се върти около фиксирана ос, векторът на ъгловото ускорение е насочен по оста на въртене към вектора на елементарното увеличение на ъгловата скорост. Втора производна на ъгъла на завъртане спрямо времето. Когато тялото се върти около фиксирана ос, векторът на ъгловото ускорение е насочен по оста на въртене към вектора на елементарното увеличение на ъгловата скорост. При ускорено движение векторът ε е съпосочен на вектора φ, а при бавно – противоположен на него. ε=dω/dt.

Ако dω/dt> 0, тогава εω

Ако dω/dt< 0, то ε ↓ω

4. Принципът на инерцията (първи закон на Нютон). Инерциални референтни системи. Принципът на относителността.

Първи закон на Нютон (закон за инерцията): всяка материална точка (тяло) поддържа състояние на покой или равномерно линейно движение, докато влиянието на други тела не я принуди да промени това състояние

Желанието на тялото да поддържа състояние на покой или равномерно праволинейно движение се нарича инерция. Следователно първият закон на Нютон се нарича закон на инерцията.

Първият закон на Нютон гласи съществуването на инерциални референтни системи.

Инерционна отправна система– това е отправна система, спрямо която свободна материална точка, незасегната от други тела, се движи равномерно праволинейно; това е система, която или е в покой, или се движи равномерно и праволинейно спрямо друга инерциална система.

Принципът на относителността- фундаментални физически закон, според който всеки процес протича еднакво в изолирана материална система в покой и в същата система в състояние на равномерно праволинейно движение. Състоянията на движение или покой се определят по отношение на произволно избрана инерционна отправна система. Принципът на относителността е в основата на специалната теория на относителността на Айнщайн.

5. Галилееви трансформации.

Принцип на относителността (Галилея): никакви експерименти (механични, електрически, оптични), проведени в дадена инерциална референтна система, не позволяват да се открие дали тази система е в покой или се движи равномерно и праволинейно; всички закони на природата са инвариантни по отношение на прехода от една инерционна референтна система към друга.

Нека разгледаме две референтни системи: инерционната рамка K (с координати x,y,z), която условно ще считаме за неподвижна и системата K’ (с координати x’,y’,z’), движеща се спрямо K равномерно и праволинейно със скорост U (U = const). Нека намерим връзката между координатите на произволна точка А в двете системи. r = r’+r0=r’+Ut. (1.)

Уравнение (1.) може да бъде написано в проекции върху координатните оси:

y=y’+Uyt; (2.)

z=z’+Uzt; Уравнения (1.) и (2.) се наричат ​​Галилееви координатни трансформации.

Връзка между потенциална енергия и сила

Всяка точка от потенциалното поле съответства, от една страна, на определена стойност на вектора на силата, действаща върху тялото, и, от друга страна, на определена стойност на потенциалната енергия. Следователно трябва да има определена връзка между сила и потенциална енергия.

За да установим тази връзка, нека изчислим елементарната работа, извършена от силите на полето при малко преместване на тялото, възникващо по произволно избрана посока в пространството, която обозначаваме с буквата . Тази работа е равна на

където е проекцията на силата върху посоката.

Тъй като в този случай работата се извършва поради резерва на потенциална енергия, тя е равна на загубата на потенциална енергия на сегмента на оста:

От последните два израза получаваме

Тази формула определя проекцията на вектора на силата върху координатните оси. Ако тези прогнози са известни, самият вектор на силата се оказва определен:

по математика вектор ,

където a е скаларна функция на x, y, z, наречена градиент на тази скала и означена със символа . Следователно силата е равна на градиента на потенциалната енергия, взет с обратен знак

Ротационенте наричат ​​такова движение, при което две точки, свързани с тялото, следователно, правата линия, минаваща през тези точки, остават неподвижни по време на движение (фиг. 2.16). Фиксирана права линия А БНаречен ос на въртене.

Ориз. 2.1V. Към определението за въртеливо движение на тяло

Положението на тялото по време на въртеливо движение определя ъгъла на въртене φ, rad (виж фиг. 2.16). При движение ъгълът на въртене се променя с времето, т.е. законът за въртеливото движение на тялото се определя като закон за промяна във времето на стойността на двустенния ъгъл Ф = Ф(/) между фиксирана полуравнина ДА СЕ () ,преминаващи през оста на въртене и подвижни n 1полуравнина, свързана с тялото и също минаваща през оста на въртене.

Траекториите на всички точки на тялото по време на въртеливо движение са концентрични окръжности, разположени в успоредни равнини с центрове върху оста на въртене.

Кинематични характеристики на въртеливото движение на тялото. По същия начин, по който бяха въведени кинематичните характеристики за точка, се въвежда кинематична концепция, която характеризира скоростта на изменение на функцията φ(c), която определя положението на тялото по време на въртеливо движение, т.е. ъглова скорост co = f = s/f/s//, измерение на ъгловата скорост [co] = rad /С.

В техническите изчисления често се използва изразът на ъгловата скорост с различно измерение - по отношение на броя обороти в минута: [i] = rpm, и връзката между Пи co може да бъде представено като: co = 27w/60 = 7w/30.

Като цяло ъгловата скорост варира с времето. Мярката за скоростта на промяна на ъгловата скорост е ъглово ускорение e = c/co/c//= co = f, измерението на ъгловото ускорение [e] = rad/s 2 .

Въведените ъглови кинематични характеристики се определят напълно чрез задаване на една функция - ъгълът на завъртане спрямо времето.

Кинематични характеристики на точките на тялото при въртеливо движение. Помислете за точката Мтяло, разположено на разстояние p от оста на въртене. Тази точка се движи по окръжност с радиус p (фиг. 2.17).

Ориз. 2.17.

точки на тялото по време на въртенето му

Дължината на дъгата М В Мкръг с радиус p се определя като с= ptp, където f е ъгълът на въртене, rad. Ако законът за движение на тяло е даден като φ = φ(g), тогава законът за движение на точка Мпо траекторията се определя по формулата С= рф(7).

Използвайки изразите на кинематичните характеристики с естествения метод за определяне на движението на точка, получаваме кинематични характеристики за точки на въртящо се тяло: скорост по формула (2.6)

V= 5 = rf = rso; (2.22)

тангенциално ускорение съгласно израз (2.12)

i t = K = sor = er; (2,23)

нормално ускорение по формула (2.13)

a„ =И 2 /р = с 2 р 2 /р = ogr; (2,24)

общо ускорение с помощта на израз (2.15)

А = -]А + а] = px/e 2 + co 4. (2,25)

За характеристика на посоката на пълното ускорение се приема p - ъгълът на отклонение на вектора на пълното ускорение от радиуса на окръжността, описана от точката (фиг. 2.18).

От фиг. 2.18 получаваме

tgjLi = aja n=re/pco 2 =g/(o 2. (2.26)

Ориз. 2.18.

Имайте предвид, че всички кинематични характеристики на точките на въртящо се тяло са пропорционални на разстоянията до оста на въртене. Ve-

Техните идентичности се определят чрез производните на една и съща функция - ъгълът на завъртане.

Векторни изрази за ъглови и линейни кинематични характеристики. За аналитично описание на ъгловите кинематични характеристики на въртящо се тяло, заедно с оста на въртене, концепцията вектор на ъгъла на завъртане(фиг. 2.19): φ = φ(/)A:, където Да се- Яжте

вектор на ос на въртене

1; Да се=sop51 .

Векторът f е насочен по тази ос, така че да може да се види от „края“

въртене обратно на часовниковата стрелка.

Ориз. 2.19.

характеристики във векторна форма

Ако векторът φ(/) е известен, тогава всички други ъглови характеристики на въртеливото движение могат да бъдат представени във векторна форма:

• вектор на ъгловата скорост co = f = f Да се.Посоката на вектора на ъгловата скорост определя знака на производната на ъгъла на завъртане;
• вектор на ъглово ускорение є = сo = Ф Да се.Посоката на този вектор определя знака на производната на ъгловата скорост.

Въведените вектори с и є ни позволяват да получим векторни изрази за кинематичните характеристики на точките (виж фиг. 2.19).

Обърнете внимание, че модулът на вектора на скоростта на точката съвпада с модула на векторното произведение на вектора на ъгловата скорост и радиус вектора: |cox Ж= sogvіpa = боклук. Отчитайки посоките на векторите с и r и правилото за посоката на векторното произведение, можем да напишем израз за вектора на скоростта:

V= co xg.

По същия начин е лесно да се покаже това

• ? х
• - egBіpa= єр = a tИ

Sosor = co p = i.

(В допълнение, векторите на тези кинематични характеристики съвпадат по посока със съответните векторни продукти.

Следователно векторите на тангенциалното и нормалното ускорение могат да бъдат представени като векторни продукти:

• (2.28)
• (2.29)

a x = gх Ж

А= co x V.

Ъгъл на въртене, ъглова скорост и ъглово ускорение

Въртене на твърдо тяло около неподвижна осНарича се такова движение, при което две точки от тялото остават неподвижни през цялото време на движение. В този случай всички точки на тялото, разположени на права линия, минаваща през неговите фиксирани точки, също остават неподвижни. Тази линия се нарича ос на въртене на тялото.

Ако АИ IN- фиксирани точки на тялото (фиг. 15 ), тогава оста на въртене е оста Оз,който може да има произволна посока в пространството, не непременно вертикална. Посока на една ос Озсе приема за положителен.

Начертаваме неподвижна равнина през оста на въртене оти мобилни П,прикрепен към въртящо се тяло. Нека в началния момент двете равнини съвпадат. Тогава в един момент Tположението на движещата се равнина и самото въртящо се тяло може да се определи от двустенния ъгъл между равнините и съответния линеен ъгъл φ между прави линии, разположени в тези равнини и перпендикулярни на оста на въртене. Ъгъл φ Наречен ъгъл на завъртане на тялото.

Позицията на тялото спрямо избраната референтна система е напълно определена във всяка

момент във времето, ако е дадено уравнението φ =f(t) (5)

Където f(t)- всяка два пъти диференцируема функция на времето. Това уравнение се нарича уравнение за въртене на твърдо тяло около неподвижна ос.

Тяло, въртящо се около фиксирана ос, има една степен на свобода, тъй като позицията му се определя чрез посочване само на един параметър - ъгълът φ .

Ъгъл φ се счита за положителен, ако се начертае обратно на часовниковата стрелка, и отрицателен в обратната посока, когато се гледа от положителната посока на оста Оз.Траекториите на точките на тялото по време на въртенето му около фиксирана ос са окръжности, разположени в равнини, перпендикулярни на оста на въртене.

За да характеризираме въртеливото движение на твърдо тяло около фиксирана ос, въвеждаме понятията ъглова скорост и ъглово ускорение. Алгебрична ъглова скорост на тялотовъв всеки момент от времето се нарича първа производна по време на ъгъла на завъртане в този момент, т.е. dφ/dt = φ.Това е положително количество, когато тялото се върти обратно на часовниковата стрелка, тъй като ъгълът на въртене се увеличава с времето, и отрицателно, когато тялото се върти по посока на часовниковата стрелка, тъй като ъгълът на въртене намалява.

Модулът на ъгловата скорост се означава с ω. Тогава ω= ׀dφ/dt׀= ׀φ ׀ (6)

Размерът на ъгловата скорост се задава в съответствие с (6)

[ω] = ъгъл/време = rad/s = s -1.

В инженерството ъгловата скорост е скоростта на въртене, изразена в обороти в минута. За 1 минута тялото ще се завърти под ъгъл 2πп,Ако П- брой обороти в минута. Разделяйки този ъгъл на броя секунди в минута, получаваме: (7)

Алгебрично ъглово ускорение на тялотосе нарича първа производна по време на алгебричната скорост, т.е. втора производна на ъгъла на завъртане d 2 φ/dt 2 = ω. Нека обозначим модула на ъгловото ускорение ε , Тогава ε=|φ| (8)

Размерът на ъгловото ускорение се получава от (8):

[ε ] = ъглова скорост/време = rad/s 2 = s -2

Ако φ’’>0 при φ’>0 , тогава алгебричната ъглова скорост нараства с времето и следователно тялото се върти ускорено в даден момент в положителна посока (обратно на часовниковата стрелка). При φ’’<0 И φ’<0 тялото се върти бързо в отрицателна посока. Ако φ’’<0 при φ’>0 , тогава имаме бавно въртене в положителна посока. При φ’’>0 И φ’<0 , т.е. бавното въртене става в отрицателна посока. Ъгловата скорост и ъгловото ускорение на фигурите са изобразени с дъгообразни стрелки около оста на въртене. Дъговата стрелка за ъглова скорост показва посоката на въртене на телата;

При ускорено въртене дъговите стрелки за ъглова скорост и ъглово ускорение имат еднакви посоки; при бавно въртене посоките им са противоположни.

Специални случаи на въртене на твърдо тяло

Твърди се, че въртенето е равномерно, ако ω=const, φ= φ’t

Въртенето ще бъде равномерно, ако ε=конст. φ’= φ’ 0 + φ’’t и

Като цяло, ако φ’’ не винаги,

Скорости и ускорения на точките на тялото

Известно е уравнението за въртене на твърдо тяло около неподвижна ос φ= f(t)(фиг. 16). Разстояние сточки Мв движеща се равнина Ппо кръгова дъга (точкова траектория), измерена от точката М о,разположени във фиксирана равнина, изразена чрез ъгъла φ пристрастяване s=hφ, Където ч-радиус на окръжността, по която се движи точката. Това е най-късото разстояние от дадена точка Мкъм оста на въртене. Това понякога се нарича радиус на въртене на точка. Във всяка точка на тялото радиусът на въртене остава непроменен, когато тялото се върти около фиксирана ос.

Алгебрична скорост на точка Мопределена по формулата v τ =s’=hφМодул за скорост на точка: v=hω(9)

Скоростите на точките на тялото при въртене около фиксирана ос са пропорционални на техните най-къси разстояния до тази ос.Коефициентът на пропорционалност е ъгловата скорост. Скоростите на точките са насочени по допирателни към траекториите и следователно са перпендикулярни на радиусите на въртене. Скорости на точките на тялото, разположени на отсечка от права линия ОМ,в съответствие с (9) се разпределят по линеен закон. Те са взаимно успоредни, а краищата им са разположени на една и съща права линия, минаваща през оста на въртене. Разлагаме ускорението на точка на тангенциални и нормални компоненти, т.е. a=a τ +a nτТангенциалните и нормалните ускорения се изчисляват по формули (10)

тъй като за окръжност радиусът на кривината е p=h(фиг. 17 ). По този начин,

Тангентните, нормалните и общите ускорения на точките, както и скоростите, също се разпределят по линеен закон. Те зависят линейно от разстоянията на точките до оста на въртене. Нормалното ускорение е насочено по радиуса на окръжността към оста на въртене. Посоката на тангенциалното ускорение зависи от знака на алгебричното ъглово ускорение. При φ’>0 И φ’’>0 или φ’<0 И φ’<0 имаме ускорено въртене на тялото и посоки на вектори a τИ vсъвпада. Ако φ’ И φ’" имат различни знаци (бавно въртене), тогава a τИ vнасочени един срещу друг.

Като определи α ъгълът между общото ускорение на точка и нейния радиус на въртене, имаме

tgα = | a τ |/a n = ε/ω 2 (11)

от нормалното ускорение a pвинаги позитивен. Ъгъл Аеднакво за всички точки на тялото. Трябва да се отложи от ускорението до радиуса на въртене по посока на стрелката на дъгата на ъглово ускорение, независимо от посоката на въртене на твърдото тяло.

Вектори на ъглова скорост и ъглово ускорение

Нека въведем понятията вектори на ъглова скорост и ъглово ускорение на тяло. Ако ДА СЕе единичният вектор на оста на въртене, насочен в нейната положителна посока, тогава векторите на ъгловата скорост ώ и ъглово ускорение ε определя се от изрази (12)

защото ке векторна константа по големина и посока, то от (12) следва, че

ε=dώ/dt(13)

При φ’>0 И φ’’>0 векторни посоки ώ И ε съвпада. И двете са насочени към положителната страна на оста на въртене Оз(Фиг. 18.a) Ако φ’>0 И φ’’<0 , тогава те са насочени в противоположни посоки (фиг. 18.b ). Векторът на ъгловото ускорение съвпада по посока с вектора на ъгловата скорост при ускорено въртене и е противоположен на него при бавно въртене. Вектори ώ И ε могат да бъдат изобразени във всяка точка на оста на въртене. Те са движещи се вектори. Това свойство следва от векторните формули за скоростите и ускоренията на точките на тялото.

Сложно точково движение

Основни понятия

За изучаване на някои по-сложни видове движение на твърдо тяло е препоръчително да се разгледа най-простото сложно движение на точка. В много задачи движението на точка трябва да се разглежда спрямо две (или повече) референтни системи, движещи се една спрямо друга. По този начин движението на космически кораб, движещ се към Луната, трябва да се разглежда едновременно както спрямо Земята, така и спрямо Луната, която се движи спрямо Земята. Всяко движение на точка може да се счита за сложно, състоящо се от няколко движения. Например движението на кораб по река спрямо Земята може да се счита за сложно, състоящо се от движение през водата и заедно с течащата вода.

В най-простия случай сложното движение на точка се състои от относителни и транслационни движения. Нека дефинираме тези движения. Нека имаме две отправни системи, движещи се една спрямо друга. Ако една от тези системи O l x 1 y 1 z 1(фиг. 19 ) взета за основна или неподвижна (движението й спрямо други референтни системи не се взема предвид), тогава втората референтна система Oxyzще се движи спрямо първия. Движение на точка спрямо движеща се отправна система OxyzНаречен роднина.Характеристиките на това движение, като траектория, скорост и ускорение, се наричат роднина.Те се обозначават с индекс r; за скорост и ускорение v r, a r.Движение на точка спрямо основната или фиксирана референтна рамка на системата O 1 x 1 y 1 z 1Наречен абсолютен(или комплекс ). Също така понякога се нарича композитендвижение. Траекторията, скоростта и ускорението на това движение се наричат ​​абсолютни. Скоростта и ускорението на абсолютното движение се обозначават с буквите v, aняма индекси.

Преносимото движение на точка е движението, което тя извършва заедно с подвижна референтна система, като точка, твърдо свързана с тази система в разглеждания момент. Поради относително движение една движеща се точка в различно време съвпада с различни точки на тялото С,към който е прикрепена подвижната отправна система. Преносимата скорост и преносимото ускорение са скоростта и ускорението на тази точка от тялото С,с която в момента съвпада движещата се точка. Преносима скорост и ускорение означават v e, a e.

Ако траекториите на всички точки на тялото С,прикрепени към подвижната референтна система, изобразена на фигурата (фиг. 20), тогава получаваме семейство от линии - семейство от траектории на преносимото движение на точка М.Поради относителното движение на точката Мвъв всеки момент от време се намира на една от траекториите на преносимо движение. Точка Мможе да съвпадне само с една точка на всяка от траекториите на това семейство от трансферни траектории. В тази връзка понякога се смята, че няма траектории на преносимо движение, тъй като е необходимо линиите да се разглеждат като траектории на преносимо движение, за които само една точка всъщност е точка на траекторията.

В кинематиката на точка се изучава движението на точка спрямо всяка референтна система, независимо дали тази референтна система се движи спрямо други системи или не. Нека допълним това изследване, като разгледаме сложното движение, в най-простия случай състоящо се от относително и фигуративно движение. Едно и също абсолютно движение, избиращо различни движещи се референтни системи, може да се счита, че се състои от различни преносими и съответно относителни движения.

Добавяне на скорост

Нека определим скоростта на абсолютното движение на точка, ако са известни скоростите на относителното и преносимото движение на тази точка. Нека точката извършва само едно относително движение спрямо подвижната отправна система Oxyz и в момента t заема позиция M по траекторията на относителното движение (фиг. 20). В момент t+ t, поради относителното движение, точката ще бъде в позиция M 1, премествайки MM 1 по траекторията на относителното движение. Да приемем, че точката е замесена Oxyzи с относителна траектория ще се движи по някаква крива на ММ 2.Ако една точка участва едновременно и в относително, и в преносимо движение, то във времето А; тя ще се премести в ММ"по траекторията на абсолютното движение и в момента на времето t+Atще заеме позицията М".Ако времето Прималко и след това отидете до границата при в,клонящи към нула, тогава малките премествания по кривите могат да бъдат заменени със сегменти от хорди и взети като вектори на изместване. Като добавим векторните премествания, получаваме

В това отношение се отхвърлят малки количества от по-висок порядък, клонящи към нула при в,клоняща към нула. Преминавайки към границата, имаме (14)

Следователно (14) ще приеме формата (15)

Получава се така наречената теорема за добавяне на скоростта: скоростта на абсолютното движение на точка е равна на векторната сума от скоростите на преносимите и относителните движения на тази точка.Тъй като в общия случай скоростите на преносимото и относително движение не са перпендикулярни, то (15’)

Свързана информация.

Ориз. 6.4

Такова движение на тяло, при което произволни две негови точки (АИ INна фиг. 6.4) остават неподвижни, наречено въртене около фиксирана ос.

Може да се покаже, че в този случай всяка точка от тялото, разположена на правата, свързваща точките, остава неподвижна Ау В.

Оста, минаваща през тези точки, се нарича ос на въртенетела; положителната му посока се избира произволно (фиг. 6.4).

Всяка точка Мтяло, което не лежи на оста на въртене, описва окръжност, чийто център е разположен на оста на въртене (фиг. 6.4).

Позиция на тялото с фиксирана ос на въртене z(фиг. 6.5) може да се опише само с един скаларен параметър - ъгъл на завъртане (r. Това е ъгълът между две равнини, прекарани през оста на въртене: неподвижна равнина ни подвижни - R,твърдо свързан с тялото (фиг. 6.5). Приемаме референтната посока на ъгъла за положителна противоположно на движението по посока на часовниковата стрелка, когато се гледа от края на оста z.(обозначено с дъгообразна стрелка на фиг. 6.5). Мерната единица SI за ъгъл е 1 радиан « 57,3°. Функционална зависимост на ъгъла на завъртане от времето

напълно определя въртеливото движение на тялото около фиксирана ос. Следователно равенството (6.3) се нарича уравнение на въртене на твърдо тяло около фиксирана ос.

Скоростта на въртене на тялото се характеризира с ъглова скорост стяло, което се определя като производна на ъгъла на завъртане спрямо времето

и има размерността rad/s (или s"").

Втората кинематична характеристика на въртеливото движение е ъгловото ускорение - производната на ъгловата скорост на тялото:

Размерът на ъгловото ускорение е rad/s 2 (или с~ 2).

Коментирайте.Символи с и? Vна тази лекция са обозначени алгебриченстойности на ъглова скорост и ъглово ускорение. Техните знаци показват посоката на въртене и неговия характер (ускорено или забавено). Например ако с = f> 0, след това ъгълът (Рсе увеличава с времето и следователно тялото се върти в референтната посока (Р.

Скоростта и ускорението на всяка точка от въртящо се тяло могат лесно да бъдат свързани с неговата ъглова скорост и ъглово ускорение. Да разгледаме движението на произволна точка Мтела (фиг. 6.6).

Тъй като траекторията му е окръжност, то дъговата координата.9 на точката Мслед завъртане на тялото под ъгъл ще

Където ч- разстояние от точката Мкъм оста на въртене (фиг. 6.6).

Диференцирайки двете страни на това равенство по отношение на времето, получаваме, като вземем предвид (5.14) и (6.4):

където g g е проекцията на скоростта на точката върху допирателната g, насочена към референтната точка на дъгата v и ъгъла

Големината на нормалното ускорение на точка Мспоред (5.20) и (6.6) ще бъде

и проекцията на неговото тангенциално ускорение върху тангентата r съгласно (5.19) и (6.5)

Модул за пълноточково ускорение М

Посоки на векторите v, а, а„, а,за случая, когато f> 0 и f > 0 са показани на фиг. 6.7.

Пример 1. Предавателният механизъм се състои от колела / и 2, които са свързани в точка ДА СЕтака че когато се въртят, няма взаимно приплъзване. Уравнение на въртене на колелото 1:

референтна посока на положителен ъгъл (Робозначено с дъгообразна стрелка на фиг. 6.8.

Размерите на механизма са известни: Ж= 4 см, R2= 6 см, g 2 = 2 см.

Намерете скоростта и ускорението на точка Мколела 2 за момента във времето /| = 2 s.

Решение.Когато механизмът на колелото се движи 1 и 2 се въртят около фиксирани оси, минаващи през точки 0 И 0 2 перпендикулярно на равнината на фиг. 6.8. Намиране на ъгловата скорост и ъгловото ускорение на колелото азв момент / = 2 s, като се използват горните определения (6.4) и (6.5) на тези количества:

Техните отрицателни знаци показват, че в момента на времето T- 2 s колело / се върти по посока на часовниковата стрелка (противоположно на посоката на отчитане на ъгъла (Р) и това въртене се ускорява. Поради липсата на взаимно приплъзване на колелата ази 2 вектора на скоростта на техните точки в точката на контакт ДА СЕтрябва да са равни. Нека изразим големината на тази скорост по отношение на ъгловите скорости на колелата, използвайки (6.6):

От последното равенство изразяваме модула на ъгловата скорост на колело 2 и намираме неговата стойност за посочения момент от време 6 = 2 s:

Посока на скоростта Да се(Фиг. 6.9) показва, че колело 2 се върти обратно на часовниковата стрелка и следователно, ох> 0. От (6.10) и последното неравенство е ясно, че ъгловите скорости на колелата се различават с постоянен отрицателен фактор (- g1g 2): с 2 = g (/g 2). Но тогава производните на тези скорости - ъгловите ускорения на колелата - трябва да се различават със същия фактор: e 2 =? ] (-g ] /g 1)=-2-(-4/2) = 4s~ 2 .

Намиране на скоростта и ускорението на точка Мстъпаловидно колело 2 с помощта на формули (6.6) - (6.9):

Посоките на векторите v и, a и d/ са показани на фиг. 6.9.