Реклама в портала

Страхотна работа04/02/12. Да прегледаме * Кое уравнение се нарича квадратно? * Кои уравнения се наричат ​​непълни квадратни уравнения? * Който. Понятие за линейно уравнение. Определяне на права с помощта на уравнението Фиг.6. Уравнение на векторна линия

Равенството на формата F (x, y) = 0наречено уравнение с две променливи х, y,ако не е вярно за всички двойки числа x, y.Казват две числа х = х 0 , y=y 0, удовлетворяват някакво уравнение от вида F(x, y)=0,ако при заместване на тези числа вместо променливи хИ прив уравнението лявата му страна изчезва.

Уравнението на дадена права (в определена координатна система) е уравнение с две променливи, което е изпълнено от координатите на всяка точка, лежаща на тази права, и не е изпълнено от координатите на всяка точка, която не лежи върху нея.

По-нататък вместо израза „е дадено уравнението на правата F(x, y) = 0" често ще казваме накратко: дадена линия F (x, y) = 0.

Ако са дадени уравненията на две прави F(x, y) = 0И Ф(x, y) = Q,след това съвместното решение на системата

дава всички техни пресечни точки. По-точно, всяка двойка числа, която е съвместно решение на тази система, определя една от пресечните точки.

*) В случаите, когато координатната система не е назована, се приема, че е декартова правоъгълна.

157. Дават се точки *) М 1 (2; - 2), М 2 (2; 2), М 3 (2; - 1), М 4 (3; -3), М 5 (5; -5), М 6 (3; -2). Определете кои публикувани точки лежат на линията, определена от уравнението х+ y = 0,и кои не лежат върху него. Коя права се определя от това уравнение? (Начертайте го на чертежа.)

158. На правата, определена от уравнението х 2 +y 2 =25, намерете точките, чиито абциси са равни на следните числа: а) 0, б) - 3, в) 5, г) 7; на същата права намерете точки, чиито ординати са равни на следните числа: д) 3, е) - 5, ж) - 8. Коя права се определя от това уравнение? (Начертайте го на чертежа.)

159. Определете кои прави се определят от следните уравнения (конструирайте ги на чертежа):

1) x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) х- 2 = 0; 4) х+ 3 = 0;

5) у - 5 = 0; 6) г+ 2 = 0; 7) х = 0; 8) г = 0;

9) х 2 - ху = 0; 10) xy+ y 2 = 0; единадесет) х 2 - г 2 = 0; 12) xy= 0;

13) y 2 - 9 = 0; 14) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y 2 +5y+4 = 0;

16) х 2 y - 7xy + 10г = 0; 17) y =|х|; 18) x =|при|; 19)г + |х|=0;

20) x +|при|= 0; 21)y =|Х- 1|; 22) г = |х+ 2|; 23) х 2 + при 2 = 16;

24) (х-2) 2 +(г-1) 2 =16; 25) (х+ 5) 2 +(г- 1) 2 = 9;

26) (Х - 1) 2 + г 2 = 4; 27) х 2 +(г + 3) 2 = 1; 28) (х -3) 2 + г 2 = 0;

29) х 2 + 2г 2 = 0; 30) 2х 2 + 3г 2 + 5 = 0

31) (х- 2) 2 + (г + 3) 2 + 1=0.

160. Дадени редове:

1)х+ y = 0; 2)x - y = 0; 3) х 2 + г 2 - 36 = 0;

4) х 2 +г 2 -2х==0; 5) х 2 +г 2 + 4х-6г-1 =0.

Определете кои от тях преминават през началото.

161. Дадени редове:

1) х 2 + г 2 = 49; 2) (х- 3) 2 + (г+ 4) 2 = 25;

3) (х+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) ( х + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;

5) х 2 +г 2 - 12x + 16y = 0; 6) х 2 +г 2 - 2x + 8при+ 7 = 0;

7) х 2 +г 2 - 6x + 4y + 12 = 0.

Намерете пресечните им точки: а) с оста о;б) с ос OU.

162. Намерете пресечните точки на две прави;

1)х 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) х 2 +y 2 -16х+4при+18 = 0, x + y= 0;

3) х 2 +y 2 -2х+4при -3 = 0, х 2 + y 2 = 25;

4) х 2 +y 2 -8х+10у+40 = 0, х 2 + y 2 = 4.

163. Точките са дадени в полярната координатна система

М 1 (1; ), М 2 (2; 0), М 3 (2; )

М 4 (
;) И М 5 (1; )

Определете кои от тези точки лежат на правата, определена от уравнението в полярни координати  = 2 cos , и кои не лежат на нея. Коя права се определя от това уравнение? (Начертайте го на чертежа :)

164. На правата, определена от уравнението  = , намерете точки, чиито полярни ъгли са равни на следните числа: а) ,б) - , в) 0, г) . Коя права се определя от това уравнение?

(Изградете го върху чертежа.)

165.На правата, определена от уравнението  = , намерете точки, чиито полярни радиуси са равни на следните числа: а) 1, б) 2, в)
. Коя права се определя от това уравнение? (Изградете го върху чертежа.)

166. Установете кои линии се определят в полярни координати от следните уравнения (построете ги на чертежа):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) sin  = 9) sin  =

167. Построете следните спирали на Архимед по чертежа:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4)р = -1.

168. Построете върху чертежа следните хиперболични спирали:

1)  = ; 2) = ; 3) = ; 4) = - .

169. Построете следните логаритмични спирали по чертежа:

,
.

170. Определете дължините на отсечките, на които се разрязва спиралата на Архимед

лъч, излизащ от полюса и наклонен към полярната ос под ъгъл
. Направете рисунка.

171. На спиралата на Архимед
взета точка С,чийто полярен радиус е 47. Определете на колко части тази спирала пресича полярния радиус на точката С,Направете рисунка.

172. На хиперболична спирала
намери точка R,чийто полярен радиус е 12. Начертайте.

173. На логаритмична спирала
намерете точка Q, чийто полярен радиус е 81. Начертайте.

Да прегледаме * Кое уравнение се нарича квадратно? * Кои уравнения се наричат ​​непълни квадратни уравнения? * Кое квадратно уравнение се нарича намалено? * Какво се нарича корен на квадратно уравнение? * Какво означава да решиш квадратно уравнение? Кое уравнение се нарича квадратно? Кои уравнения се наричат ​​непълни квадратни уравнения? Кое квадратно уравнение се нарича редуцирано? Какъв е коренът на квадратно уравнение? Какво означава да се реши квадратно уравнение? Кое уравнение се нарича квадратно? Кои уравнения се наричат ​​непълни квадратни уравнения? Кое квадратно уравнение се нарича редуцирано? Какъв е коренът на квадратно уравнение? Какво означава да се реши квадратно уравнение?
















Алгоритъм за решаване на квадратно уравнение: 1. Определете най-рационалния начин за решаване на квадратно уравнение 2. Изберете най-рационалния начин за решаване 3. Определяне на броя на корените на квадратно уравнение 4. Намиране на корените на квадратно уравнение За по-добро запаметяване попълнете таблицата... За по-добро запаметяване попълнете таблицата... За по-добро запаметяване попълнете таблицата...






Допълнително условие Корени на уравнение Примери 1. c = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, b 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c = 0, a 0, c 0 ax 2 + c = 0 a) x 1,2 = ±(c/a), където c/a 0. b) ако c/a 0, тогава няма решения 4. a 0 ax 2 + bx + c = 0 x 1.2 =(-b±D)/2 a, където D = b 2 – 4 ac, D0 5. c – четно число (b = 2k), a 0, in 0, c 0 х 2 + 2kx + c = 0 x 1.2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, където k = 6. Обратната теорема на теоремата на Виета x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q


II. Специални методи 7. Метод за изолиране на квадрата на бином. Цел: Редуцирайте общо уравнение до непълно квадратно уравнение. Забележка: методът е приложим за всякакви квадратни уравнения, но не винаги е удобен за използване. Използва се за доказване на формулата за корените на квадратно уравнение. Пример: решаване на уравнението x 2 -6 x+8=0 8. Метод за „пренасяне“ на най-високия коефициент. Корените на квадратните уравнения ax 2 + bx + c = 0 и y 2 +by+ac=0 са свързани с отношенията: и Забележка: методът е добър за квадратни уравнения с „удобни“ коефициенти. В някои случаи ви позволява да решите устно квадратно уравнение. Пример: решаване на уравнението 2 x 2 -9 x-5=0 Въз основа на теореми: Пример: решаване на уравнението 157 x x-177=0 9. Ако в квадратно уравнение a+b+c=0, тогава един от корени е 1, а вторият, според теоремата на Vieta, е равен на c / a 10. Ако в квадратно уравнение a + c = b, тогава един от корените е равен на -1, а вторият, според Vieta на теорема, е равно на -c / a Пример: решете уравнението 203 x x + 17 = 0 x 1 =y 1 /a, x 2 =y 2 /a


III. Общи методи за решаване на уравнения 11. Метод на факторизиране. Цел: Редуцирайте общо квадратно уравнение до формата A(x)·B(x)=0, където A(x) и B(x) са полиноми по отношение на x. Методи: Изваждане на общия множител извън скоби; Използване на формули за съкратено умножение; Метод на групиране. Пример: решаване на уравнението 3 x 2 +2 x-1=0 12. Метод за въвеждане на нова променлива. Добрият избор на нова променлива прави структурата на уравнението по-прозрачна Пример: решете уравнението (x 2 +3 x-25) 2 -6(x 2 +3 x-25) = - 8









Права на равнина и в пространството.

Изучаването на свойствата на геометричните фигури с помощта на алгебра се нарича аналитична геометрия , като ще използваме т.нар координатен метод .

Линия в равнина обикновено се определя като набор от точки, които имат свойства, уникални за тях. Фактът, че координатите x и y (числа) на точка, разположена на тази линия, са записани аналитично под формата на някакво уравнение.

Деф.1 Уравнение на линия (уравнение на крива) в равнината Oxy се нарича уравнение (*), което е удовлетворено от координатите x и y на всяка точка от дадена права и не е удовлетворено от координатите на друга точка, която не лежи на тази права.

От дефиниция 1 следва, че всяка права на равнината съответства на някакво уравнение между текущите координати ( x,y ) точки от тази права и обратно, всяко уравнение най-общо казано съответства на определена права.

Това поражда два основни проблема на аналитичната геометрия в равнината.

1. Една права е дадена под формата на набор от точки. Трябва да създадем уравнение за тази права.

2. Дадено е уравнението на правата. Необходимо е да се изследват неговите геометрични свойства (форма и местоположение).

Пример. Лъжат ли точките А(-2;1) И IN (1;1) на ред 2 х +при +3=0?

Проблемът за намиране на пресечните точки на две прави, дадени от уравненията и се свежда до намиране на координати, които удовлетворяват уравнението на двете прави, т.е. за решаване на система от две уравнения с две неизвестни.

Ако тази система няма реални решения, тогава линиите не се пресичат.

Концепцията за линия е въведена в UCS по подобен начин.

Права в равнина може да се определи с две уравнения

Където х И при – произволни координати на точки M(x;y), лежащ на тази линия, и T - наречена променлива параметър , параметърът определя позицията на точката в равнината.

Например, ако , тогава стойността на параметъра t=2 съответства на точката (3;4) на равнината.

Ако параметърът се промени, точката на равнината се премества, описвайки тази линия. Този метод за дефиниране на линия се нарича параметричен, а уравнение (5.1) е параметрично уравнение на правата.

За да преминете от параметрични уравнения към общо уравнение (*), трябва по някакъв начин да елиминирате параметъра от двете уравнения. Отбелязваме обаче, че такъв преход не винаги е препоръчителен и не винаги възможен.

Може да се посочи права на равнина векторно уравнение , където t е параметър на скаларна променлива. Всяка стойност на параметъра съответства на определен вектор в равнина. При промяна на параметъра краят на вектора ще описва определена линия.

Векторно уравнение в DSC съответства на две скаларни уравнения

(5.1), т.е. уравнението на проекциите върху координатните оси на векторното уравнение на линия е негово



параметрично уравнение.

Векторното уравнение и уравненията на параметричните линии имат механичен смисъл. Ако една точка се движи по равнина, тогава се извикват посочените уравнения уравнения на движението , а правата е траекторията на точката, параметърът t е времето.

Заключение: всяка права на равнината съответства на уравнение от формата.

В общия случай ВСЯКО УРАВНЕНИЕ НА ИЗГЛЕД съответства на определена линия, чиито свойства се определят от даденото уравнение (с изключение на това, че никой геометричен образ не съответства на уравнение на равнина).

Нека е избрана координатна система на равнината.

Деф. 5.1. Уравнение на линията този тип уравнение се наричаF(x;y) =0, което е изпълнено от координатите на всяка точка, лежаща на тази права, и не е изпълнено от координатите на никоя точка, която не лежи на нея.

Уравнение на форматаF(x;y )=0 – нарича се общо уравнение на линия или уравнение в неявна форма.

Така права Г е геометричното място на точките, удовлетворяващи това уравнение Г=((x, y): F(x;y)=0).

Линията също се нарича крив.

Решаване на уравнението

Илюстрация на графичен метод за намиране на корените на уравнение

Решаването на уравнение е задачата да се намерят такива стойности на аргументите, при които се постига това равенство. Допълнителни условия (цяло число, реални и т.н.) могат да бъдат наложени на възможните стойности на аргументите.

Заместването на друг корен води до неправилно твърдение:

.

Следователно вторият корен трябва да бъде изхвърлен като чужд.

Видове уравнения

Има алгебрични, параметрични, трансцендентални, функционални, диференциални и други видове уравнения.

Някои класове уравнения имат аналитични решения, които са удобни, защото не само дават точната стойност на корена, но също така ви позволяват да напишете решението под формата на формула, която може да включва параметри. Аналитичните изрази позволяват не само да се изчислят корените, но и да се анализира тяхното съществуване и тяхното количество в зависимост от стойностите на параметрите, което често е дори по-важно за практическа употреба от специфичните стойности на корените.

Уравненията, за които са известни аналитични решения, включват алгебрични уравнения от не по-висока от четвърта степен: линейно уравнение, квадратно уравнение, кубично уравнение и уравнение от четвърта степен. Алгебричните уравнения от по-високи степени в общия случай нямат аналитично решение, въпреки че някои от тях могат да бъдат сведени до уравнения от по-ниски степени.

Уравнение, което включва трансцендентни функции, се нарича трансцендентално. Сред тях са известни аналитични решения за някои тригонометрични уравнения, тъй като нулите на тригонометричните функции са добре известни.

В общия случай, когато не може да се намери аналитично решение, се използват числени методи. Числените методи не дават точно решение, а само позволяват да се стесни интервалът, в който се намира коренът, до определена предварително определена стойност.

Примери за уравнения

Вижте също

Литература

  • Бекаревич, А. Б. Уравнения в училищен курс по математика / А. Б. Бекаревич. - М., 1968.
  • Маркушевич, Л. А. Уравнения и неравенства при окончателното повторение на гимназиалния курс по алгебра / Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов. / Математика в училище. - 2004. - № 1.
  • Каплан Ю. В. Ривняня. - Киев: Радянска школа, 1968.
  • Уравнението- статия от Голямата съветска енциклопедия
  • Уравнения// Енциклопедия на Collier. - Отворено общество. 2000 г.
  • Уравнението// Енциклопедия по света
  • Уравнението// Математическа енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985 г.

Връзки

  • EqWorld - Светът на математическите уравнения - съдържа обширна информация за математически уравнения и системи от уравнения.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Синоними:

Антоними:

  • Хаджимба, Раул Джумкович
  • ES КОМПЮТЪР

Вижте какво е „уравнение“ в други речници:

    УРАВНЕНИЕТО- (1) математическо представяне на проблема за намиране на такива стойности на аргументите (виж (2)), за които стойностите на две данни (виж) са равни. Аргументите, от които зависят тези функции, се наричат ​​неизвестни, а стойностите на неизвестните, при които стойностите ... ... Голяма политехническа енциклопедия

    УРАВНЕНИЕТО- УРАВНЕНИЕ, уравнения, вж. 1. Действие по гл. изравнявам изравнявам и условие по гл. изравнявам изравнявам. Равни права. Уравнение на времето (превод на истинското слънчево време в средно слънчево време, прието в обществото и в науката;... ... Обяснителен речник на Ушаков

    УРАВНЕНИЕТО- (уравнение) Изискването даден математически израз да приеме определена стойност. Например, квадратно уравнение се записва като: ax2+bx+c=0. Решението е стойността на x, при която даденото уравнение става идентичност. В…… Икономически речник

    УРАВНЕНИЕТО- математическо представяне на проблема за намиране на стойностите на аргументите, за които стойностите на две дадени функции са равни. Аргументите, от които зависят тези функции, се наричат ​​неизвестни, а стойностите на неизвестните, при които стойностите на функцията са равни... ... Голям енциклопедичен речник

    УРАВНЕНИЕТО- УРАВНЕНИЕ, два израза, свързани със знак за равенство; тези изрази включват една или повече променливи, наречени неизвестни. Да се ​​реши уравнение означава да се намерят всички стойности на неизвестните, при които то се превръща в идентичност, или да се установи... Съвременна енциклопедия

Права в равнина е набор от точки в тази равнина, които имат определени свойства, докато точките, които не лежат на дадена права, нямат тези свойства. Уравнението на права дефинира аналитично изразена връзка между координатите на точките, лежащи на тази права. Нека тази връзка е дадена от уравнението

F( x,y)=0. (2.1)

Двойка числа, удовлетворяващи (2.1), не е произволна: ако хдадено, тогава прине може да бъде нищо, смисъл присвързани с х. Когато се промени хпромени при, и точка с координати ( x,y) описва този ред. Ако координатите на точка M 0 ( х 0 ,при 0) удовлетворяват уравнение (2.1), т.е. F( х 0 ,при 0)=0 е вярно равенство, тогава точка M 0 лежи на тази права. Обратното също е вярно.

Определение. Уравнение на права в равнина е уравнение, което е удовлетворено от координатите на всяка точка, лежаща на тази права, и не е удовлетворено от координатите на точки, които не лежат на тази права.

Ако уравнението на определена линия е известно, тогава изучаването на геометричните свойства на тази линия може да се сведе до изследване на нейното уравнение - това е една от основните идеи на аналитичната геометрия. За изучаване на уравнения има добре разработени методи за математически анализ, които опростяват изучаването на свойствата на линиите.

Когато се разглеждат линиите, се използва терминът текуща точкалиния – променлива точка M( x,y), движейки се по тази линия. Координати хИ присе наричат ​​текуща точка текущи координатилинейни точки.

Ако от уравнение (2.1) можем да изразим изрично при
през х, т.е. напишете уравнение (2.1) във формата , тогава кривата, дефинирана от такова уравнение, се нарича графикфункции f(x).

1. Дадено е уравнението: , или . Ако хтогава приема произволни стойности приприема стойности, равни на х. Следователно линията, определена от това уравнение, се състои от точки, еднакво отдалечени от координатните оси Ox и Oy - това е ъглополовящата на координатните ъгли I–III (права линия на фиг. 2.1).

Уравнението или определя ъглополовящата на координатните ъгли II–IV (права линия на фиг. 2.1).

0 x 0 x C 0 x

ориз. 2.1 фиг. 2.2 фиг. 2.3

2. Дадено е уравнението: , където C е някаква константа. Това уравнение може да бъде написано по различен начин: . Това уравнение се удовлетворява от тези и само тези точки, ординати прикоито са равни на C за всяка стойност на абсцисата х. Тези точки лежат на права линия, успоредна на оста Ox (фиг. 2.2). По същия начин уравнението определя права линия, успоредна на оста Oy (фиг. 2.3).

Не всяко уравнение от формата F( x,y)=0 определя права в равнината: уравнението е изпълнено от една точка – O(0,0), а уравнението не е изпълнено от нито една точка от равнината.

В дадените примери използвахме дадено уравнение, за да построим линия, определена от това уравнение. Нека разгледаме обратната задача: съставете нейното уравнение, като използвате дадена линия.


3. Създайте уравнение за окръжност с център в точка P( а,б) И
радиус R .

○ Окръжност с център в точка P и радиус R е набор от точки, разположени на разстояние R от точка P. Това означава, че за всяка точка M, лежаща на окръжността, MP = R, но ако точката M не лежи на кръга, тогава MP ≠ R.. ●