Portalda reklama

Natural logarifm yordamida tenglamalarni yechish. Logarifmik tenglama: asosiy formulalar va texnikalar. Tenglamaning ikkala tomonini logarifm qiling

Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar matematikadan imtihon versiyalarida bag'ishlangan vazifa C3 ... Har bir talaba matematikadan imtihondan C3 topshiriqlarini yechishni o'rganishi kerak, agar u yaqinlashib kelayotgan imtihonni "yaxshi" yoki "a'lo" deb topshirishni xohlasa. Ushbu maqolada umumiy logarifmik tenglamalar va tengsizliklar, shuningdek, ularni yechishning asosiy usullari haqida qisqacha ma’lumot berilgan.

Shunday qilib, keling, bugun bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik. logarifmik tenglamalar va tengsizliklar, o'tgan yillardagi matematika bo'yicha imtihon versiyalarida talabalarga taklif qilingan. Lekin u bilan boshlanadi xulosa ularni hal qilishimiz kerak bo'lgan asosiy nazariy fikrlar.

Logarifmik funktsiya

Ta'rif

Ko'rish funktsiyasi

0, \, a \ ne 1 \] "title =" (! LANG: QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan">!}

deyiladi logarifmik funktsiya.

Asosiy xususiyatlar

Logarifmik funksiyaning asosiy xossalari y= jurnal a x:

Logarifmik funktsiyaning grafigi logarifmik egri chiziq:


Logarifmlarning xossalari

Mahsulotning logarifmi Ikki musbat son bu sonlarning logarifmlari yig‘indisiga teng:

Sarlavha = "(! LANG: QuickLaTeX.com tomonidan berilgan">!}

Bo'limning logarifmi Ikki musbat son bu sonlarning logarifmlari ayirmasiga teng:

Sarlavha = "(! LANG: QuickLaTeX.com tomonidan berilgan">!}

Agar a va b a≠ 1, keyin istalgan raqam uchun r adolatli tenglik:

Sarlavha = "(! LANG: QuickLaTeX.com tomonidan berilgan">!}

Tenglik jurnal a t= jurnal a s, qayerda a > 0, a ≠ 1, t > 0, s> 0, to'g'ri, agar va faqat bo'lsa t = s.

Agar a, b, c Musbat raqamlar va a va c birlikdan farq qiladi, keyin tenglik ( logarifmning yangi bazasiga o'tish formulasi):

Sarlavha = "(! LANG: QuickLaTeX.com tomonidan berilgan">!}

Teorema 1. Agar f(x)> 0 va g(x)> 0, keyin logarifmik tenglama jurnali a f(x) = jurnal a g(x) (qaerda a > 0, a≠ 1) tenglamaga ekvivalent f(x) = g(x).

Logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechish

1-misol. Tenglamani yeching:

Yechim. Yaroqli qiymatlar diapazoni faqat shularni o'z ichiga oladi x buning uchun logarifm belgisi ostidagi ifoda noldan katta. Ushbu qiymatlar quyidagi tengsizliklar tizimi bilan aniqlanadi:

Sarlavha = "(! LANG: QuickLaTeX.com tomonidan berilgan">!}

Shuni hisobga olib

Sarlavha = "(! LANG: QuickLaTeX.com tomonidan berilgan">!}

biz ushbu logarifmik tenglamaning ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ini aniqlaydigan intervalni olamiz:

Bu yerda barcha shartlari bajarilgan 1-teoremaga asoslanib, quyidagi ekvivalent kvadrat tenglamaga o‘tamiz:

Faqat birinchi ildiz haqiqiy qiymatlar oralig'ida.

Javob: x = 7.

2-misol. Tenglamani yeching:

Yechim. Tenglamaning ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni tengsizliklar tizimi bilan belgilanadi:

ql-right-eqno ">

Yechim. Bu erda tenglamaning ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni osongina aniqlanadi: x > 0.

Biz almashtirishdan foydalanamiz:

Tenglama quyidagi shaklni oladi:

Teskari almashtirish:

Ikkalasi ham javob tenglamaning ruxsat etilgan qiymatlari oralig'iga kiritilgan, chunki ular ijobiy raqamlardir.

4-misol. Tenglamani yeching:

Yechim. Keling, tenglamaning ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ini aniqlash orqali yechimni qaytadan boshlaylik. U quyidagi tengsizliklar tizimi bilan aniqlanadi:

ql-right-eqno ">

Logarifmlarning asoslari bir xil, shuning uchun ruxsat etilgan qiymatlar oralig'ida siz quyidagi kvadrat tenglamaga o'tishingiz mumkin:

Birinchi ildiz tenglamaning ruxsat etilgan qiymatlari oralig'iga kiritilmagan, ikkinchisi kiritilgan.

Javob: x = -1.

5-misol. Tenglamani yeching:

Yechim. Biz oraliqda yechimlarni qidiramiz x > 0, x≠ 1. Tenglamani ekvivalentga aylantiramiz:

Ikkalasi ham javob tenglamaning ruxsat etilgan qiymatlari oralig'iga kiritilgan.

6-misol. Tenglamani yeching:

Yechim. Tenglamaning ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ini aniqlaydigan tengsizliklar tizimi bu safar quyidagi shaklga ega:

Sarlavha = "(! LANG: QuickLaTeX.com tomonidan berilgan">!}

Logarifmning xususiyatlaridan foydalanib, biz tenglamani ruxsat etilgan qiymatlar oralig'idagi ekvivalentga aylantiramiz:

Logarifmning yangi bazasiga o'tish formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Yaroqli qiymatlar diapazoni faqat bittasini o'z ichiga oladi javob: x = 4.

Keling, endi o'tamiz logarifmik tengsizliklar ... Matematika bo'yicha imtihonda aynan shu narsa bilan shug'ullanishingiz kerak bo'ladi. Qo'shimcha misollarni yechish uchun bizga quyidagi teorema kerak bo'ladi:

Teorema 2. Agar f(x)> 0 va g(x)> 0, keyin:
da a> 1 logarifmik tengsizlik log a f(x)> log a g(x) bir xil ma'noli tengsizlikka teng: f(x) > g(x);
0 da< a < 1 логарифмическое неравенство log a f(x)> log a g(x) qarama-qarshi ma'noli tengsizlikka teng: f(x) < g(x).

7-misol. Tengsizlikni yeching:

Yechim. Keling, tengsizlik uchun haqiqiy qiymatlar oralig'ini aniqlashdan boshlaylik. Logarifmik funktsiya belgisi ostidagi ifoda faqat ijobiy qiymatlarni qabul qilishi kerak. Bu shuni anglatadiki, ruxsat etilgan qiymatlarning qidirilayotgan diapazoni quyidagi tengsizliklar tizimi bilan belgilanadi:

Sarlavha = "(! LANG: QuickLaTeX.com tomonidan berilgan">!}

Logarifmning asosi birdan kichik son bo'lganligi sababli, tegishli logarifmik funktsiya kamayib boradi va shuning uchun quyidagi kvadrat tengsizlikka o'tish 2-teorema bo'yicha ekvivalent bo'ladi:

Nihoyat, ruxsat etilgan qiymatlar oralig'ini hisobga olgan holda, biz olamiz javob:

8-misol. Tengsizlikni yeching:

Yechim. To'g'ri qiymatlar oralig'ini aniqlash bilan yana boshlaylik:

Sarlavha = "(! LANG: QuickLaTeX.com tomonidan berilgan">!}

Tengsizlikning ruxsat etilgan qiymatlari to'plamida biz ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

2-teorema bo'yicha tengsizlikni bekor qilib, ekvivalentga o'tgandan so'ng, biz quyidagilarni olamiz:

Ruxsat etilgan qiymatlar oralig'ini hisobga olgan holda biz yakuniyni olamiz javob:

9-misol. Logarifmik tengsizlikni yeching:

Yechim. Tengsizlikning haqiqiy qiymatlari diapazoni quyidagi tizim bilan aniqlanadi:

Sarlavha = "(! LANG: QuickLaTeX.com tomonidan berilgan">!}

Ko'rinib turibdiki, ruxsat etilgan qiymatlar oralig'ida logarifm asosidagi ifoda har doim birdan katta bo'ladi va shuning uchun quyidagi tengsizlikka o'tish 2-teorema bo'yicha ekvivalent bo'ladi:

Ruxsat etilgan qiymatlar oralig'ini hisobga olgan holda biz yakuniy javobni olamiz:

10-misol. Tengsizlikni yeching:

Yechim.

Tengsizlikning ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni tengsizliklar tizimi bilan belgilanadi:

Sarlavha = "(! LANG: QuickLaTeX.com tomonidan berilgan">!}

I usul. Keling, logarifmning yangi bazasiga o'tish uchun formuladan foydalanamiz va ruxsat etilgan qiymatlar oralig'ida tengsizlik ekvivalentiga o'tamiz.

Ushbu video bilan men logarifmik tenglamalar bo'yicha uzoq darsliklarni boshlayman. Endi sizda birdaniga uchta misol bor, ular asosida biz eng oddiy muammolarni hal qilishni o'rganamiz, ular shunday deb ataladi - protozoa.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Sizga shuni eslatib o'tamanki, eng oddiy logarifmik tenglama quyidagicha:

log a f (x) = b

Bunday holda, x o'zgaruvchisi faqat argument ichida, ya'ni faqat f (x) funktsiyasida bo'lishi muhim ahamiyatga ega. Va a va b raqamlari shunchaki raqamlar va hech qanday holatda x o'zgaruvchisini o'z ichiga olgan funktsiyalar emas.

Asosiy yechim usullari

Bunday inshootlarni hal qilishning ko'plab usullari mavjud. Masalan, maktabdagi ko'pchilik o'qituvchilar buni taklif qilishadi: f (x) funktsiyasini darhol formula bilan ifodalang. f ( x) = a b. Ya'ni, eng oddiy qurilishni uchratganingizda, qo'shimcha harakatlar va konstruktsiyalarsiz to'g'ridan-to'g'ri yechimga o'tishingiz mumkin.

Ha, albatta, qaror to'g'ri bo'ladi. Biroq, bu formula bilan bog'liq muammo shundaki, ko'pchilik talabalar tushunmaslik, qaerdan keladi va nima uchun a harfini b harfiga ko'taramiz.

Natijada, masalan, bu harflar teskari bo'lsa, men ko'pincha juda haqoratli xatolarni ko'raman. Ushbu formulani tushunish yoki to'ldirish kerak, ikkinchi usul esa eng nomaqbul va eng muhim daqiqalarda xatolarga olib keladi: imtihonlarda, testlarda va hokazo.

Shuning uchun men barcha o'quvchilarimga standart maktab formulasidan voz kechishni va logarifmik tenglamalarni echishning ikkinchi usulini qo'llashni taklif qilaman, bu siz allaqachon taxmin qilganingizdek, nomidan shunday nomlanadi. kanonik shakl.

Kanonik shaklning g'oyasi oddiy. Muammoimizni yana bir bor ko'rib chiqamiz: chap tomonda log a bor, a harfi esa aynan sonni bildiradi va hech qanday holatda x o'zgaruvchisi bo'lgan funksiyani bildirmaydi. Shuning uchun, bu xat logarifm asosiga qo'yilgan barcha cheklovlarga bo'ysunadi. aynan:

1 ≠ a> 0

Boshqa tomondan, xuddi shu tenglamadan biz logarifm b raqamiga teng bo'lishi kerakligini ko'ramiz va bu harfga hech qanday cheklovlar qo'yilmaydi, chunki u har qanday qiymatlarni - ham ijobiy, ham salbiyni qabul qilishi mumkin. Hammasi f (x) funktsiyasi qanday qiymatlarni olishiga bog'liq.

Va bu erda biz ajoyib qoidamizni eslaymiz, har qanday b soni a asosiga a dan b ning kuchiga logarifm sifatida ifodalanishi mumkin:

b = log a a b

Ushbu formulani qanday eslaysiz? Bu juda oddiy. Keling, quyidagi konstruktsiyani yozamiz:

b = b 1 = b log a a

Albatta, biz boshida yozgan barcha cheklovlar paydo bo'ladi. Endi logarifmning asosiy xossasidan foydalanamiz va b omilni a kuchi sifatida kiritamiz. Biz olamiz:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Natijada, dastlabki tenglama quyidagicha qayta yoziladi:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Ana xolos. Yangi funksiya endi logarifmni o'z ichiga olmaydi va standart algebraik usullar yordamida hal qilinadi.

Albatta, endi kimdir e'tiroz bildiradi: nega kanonik formulani o'ylab topishni ovora qilasiz, agar siz darhol dastlabki qurilishdan yakuniy formulaga o'tishingiz mumkin bo'lsa, nega qo'shimcha ikkita keraksiz qadamni bajarishingiz kerak? Ha, shunga qaramay, ko'pchilik o'quvchilar ushbu formula qaerdan kelganini tushunmaydilar va natijada uni qo'llashda muntazam ravishda xato qiladilar.

Ammo uch bosqichdan iborat bu harakatlar ketma-ketligi yakuniy formula qayerdan kelganini tushunmasangiz ham, dastlabki logarifmik tenglamani echishga imkon beradi. Aytgancha, bu yozuv kanonik formula deb ataladi:

log a f (x) = log a a b

Kanonik shaklning qulayligi, shuningdek, bugungi kunda biz ko'rib chiqayotgan eng oddiylarini emas, balki juda keng logarifmik tenglamalar sinfini echish uchun ishlatilishi mumkinligidadir.

Yechim misollari

Endi hayotiy misollarni ko'rib chiqaylik. Shunday qilib, biz qaror qilamiz:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Keling, buni shunday qayta yozamiz:

log 0,5 (3x - 1) = log 0,5 0,5 -3

Ko'pgina o'quvchilar shoshilib, 0,5 raqamini dastlabki muammodan bizga kelgan kuchga darhol ko'tarishga harakat qilishadi. Haqiqatan ham, siz bunday muammolarni hal qilishda yaxshi o'qitilgan bo'lsangiz, darhol ushbu bosqichga o'tishingiz mumkin.

Ammo, agar siz endi ushbu mavzuni o'rganishni boshlayotgan bo'lsangiz, tajovuzkor xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun hech qanday joyga shoshilmaslik yaxshiroqdir. Shunday qilib, bizning oldimizda kanonik shakl mavjud. Bizda ... bor:

3x - 1 = 0,5 -3

Bu endi logarifmik tenglama emas, balki x o'zgaruvchisiga nisbatan chiziqli tenglamadir. Buni hal qilish uchun, keling, birinchi navbatda, 0,5 sonidan −3 darajasiga ishlaymiz. E'tibor bering, 0,5 1/2 ni tashkil qiladi.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Logarifmik tenglamani yechishda barcha o‘nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantiring.

Biz qayta yozamiz va olamiz:

3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

Mana, javob oldik. Birinchi vazifa hal qilindi.

Ikkinchi vazifa

Keling, ikkinchi vazifaga o'tamiz:

Ko'rib turganingizdek, bu tenglama endi eng oddiy emas. Agar farq chap tomonda bo'lsa va bitta bazada bitta logarifm bo'lmasa.

Shuning uchun, siz qandaydir tarzda bu farqdan xalos bo'lishingiz kerak. Bunday holda, hamma narsa juda oddiy. Keling, asoslarni diqqat bilan ko'rib chiqaylik: chapda ildiz ostidagi raqam:

Umumiy tavsiya: barcha logarifmik tenglamalarda radikallardan, ya'ni ildizli yozuvlardan xalos bo'lishga harakat qiling va kuch funktsiyalariga o'ting, chunki bu kuchlarning ko'rsatkichlari logarifm belgisidan osongina chiqariladi va oxirida , bunday belgi hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtiradi va tezlashtiradi. Keling, buni shunday yozamiz:

Endi biz logarifmning ajoyib xususiyatini eslaymiz: argumentdan ham, asosdan ham siz darajalarni olishingiz mumkin. Asoslar bo'lsa, quyidagilar yuzaga keladi:

log a k b = 1 / k loga b

Boshqacha qilib aytganda, asos darajasida turgan son oldinga siljiydi va bir vaqtning o'zida aylantiriladi, ya'ni teskari songa aylanadi. Bizning holatlarimizda 1/2 ko'rsatkichli poydevor darajasi mavjud edi. Shuning uchun biz uni 2/1 sifatida ko'rsatishimiz mumkin. Biz olamiz:

5 2 log 5 x - log 5 x = 18
10 log 5 x - log 5 x = 18

E'tibor bering: bu bosqichda hech qanday holatda logarifmlardan xalos bo'lmaslik kerak. 4-5-sinflar matematikasini va tartibni eslang: birinchi navbatda, ko'paytirish amalga oshiriladi, shundan keyingina qo'shish va ayirish. Bunday holda, biz 10 ta elementdan bittasini ayiramiz:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Endi bizning tenglamamiz shunday ko'rinadi. Bu eng oddiy konstruksiya va biz uni kanonik shakl bilan hal qilamiz:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Ana xolos. Ikkinchi vazifa hal qilindi.

Uchinchi misol

Uchinchi vazifaga o'tamiz:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Sizga quyidagi formulani eslatib o'taman:

lg b = log 10 b

Agar biron sababga ko'ra siz b jurnalida chalkashib ketgan bo'lsangiz, unda barcha hisob-kitoblarni amalga oshirayotganda siz oddiygina 10 b jurnalini yozishingiz mumkin. O'nlik logarifmlar bilan boshqalar bilan bir xil tarzda ishlashingiz mumkin: darajalarni chiqarib oling, lg 10 ko'rinishidagi istalgan raqamlarni qo'shing va ifodalang.

Aynan shu xususiyatlar biz muammoni hal qilishda foydalanamiz, chunki bu bizning darsimizning boshida yozgan eng oddiy narsa emas.

Boshlash uchun e'tibor bering, lg 5 dan oldingi 2 faktor kiritilishi mumkin va 5 ta asosning kuchiga aylanadi. Bundan tashqari, 3 erkin atamasi ham logarifm sifatida ifodalanishi mumkin - buni bizning yozuvimizdan kuzatish juda oson.

O'zingiz uchun hukm qiling: har qanday raqam log bazasi 10 sifatida ifodalanishi mumkin:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Qabul qilingan o'zgarishlarni hisobga olgan holda asl muammoni qayta yozamiz:

lg (x - 3) = lg 1000 + lg 25
log (x - 3) = log 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Bizning oldimizda yana kanonik shakl turibdi va biz uni o'zgartirish bosqichini chetlab o'tib oldik, ya'ni eng oddiy logarifmik tenglama mamlakatimizda hech qachon paydo bo'lmagan.

Aynan shu narsa haqida men darsning boshida gapirgan edim. Kanonik shakl ko'pchilik maktab o'qituvchilari tomonidan berilgan standart maktab formulasidan ko'ra kengroq muammolarni hal qilishga imkon beradi.

Hammasi shu, biz o'nlik logarifm belgisidan xalos bo'lamiz va oddiy chiziqli qurilishni olamiz:

x + 3 = 25 000
x = 24,997

Hammasi! Muammo hal qilindi.

Qo'llash doirasi haqida eslatma

Bu erda men ta'rif doirasi haqida muhim bir fikrni aytmoqchiman. “Biz logarifmlar yordamida iboralarni yechayotganimizda, f (x) argumenti noldan katta bo‘lishi kerakligini yodda tutishimiz shart!” deb aytadigan talabalar va o‘qituvchilar borligi aniq. Shu munosabat bilan mantiqiy savol tug'iladi: nega ko'rib chiqilgan muammolarning hech birida biz bu tengsizlikning bajarilishini talab qilmadik?

Xavotir olmang. Bunday hollarda qo'shimcha ildizlar paydo bo'lmaydi. Va bu yechimni tezlashtirishga imkon beruvchi yana bir ajoyib hiyla. Bilingki, agar muammoda x o'zgaruvchisi faqat bitta joyda (to'g'rirog'i, bitta logarifmning bitta argumentida) paydo bo'lsa va bizning holatimizda x o'zgaruvchisi boshqa joyda bo'lmasa, u holda domenni yozing. kerak emas chunki u avtomatik ravishda ishlaydi.

O'zingiz baho bering: birinchi tenglamada biz 3x - 1 ni oldik, ya'ni argument 8 ga teng bo'lishi kerak. Bu avtomatik ravishda 3x - 1 noldan katta bo'lishini anglatadi.

Xuddi shu muvaffaqiyat bilan biz ikkinchi holatda x 5 2 ga teng bo'lishi kerakligini yozishimiz mumkin, ya'ni u albatta noldan katta. Uchinchi holatda, bu erda x + 3 = 25 000, ya'ni yana noldan kattaroqdir. Boshqacha qilib aytganda, domen avtomatik ravishda qondiriladi, lekin x faqat bitta logarifm argumentida bo'lsa.

Bu asosiy vazifalar uchun bilish kerak bo'lgan hamma narsa. Faqatgina ushbu qoida transformatsiya qoidalari bilan birgalikda juda keng muammolarni hal qilishga imkon beradi.

Ammo rostini aytaylik: ushbu texnikani nihoyat tushunish uchun, logarifmik tenglamaning kanonik shaklini qanday qo'llashni o'rganish uchun faqat bitta video darslikni tomosha qilishning o'zi etarli emas. Shuning uchun, hozirda ushbu video darsiga biriktirilgan mustaqil yechim variantlarini yuklab oling va ushbu ikkita mustaqil ishning kamida bittasini hal qilishni boshlang.

Bu sizga bir necha daqiqa vaqt oladi. Ammo, agar siz ushbu video darslikni tomosha qilgan bo'lsangiz, bunday treningning samarasi ancha yuqori bo'ladi.

Umid qilamanki, ushbu qo'llanma sizga logarifmik tenglamalarni tushunishga yordam beradi. Kanonik shakldan foydalaning, logarifmlar bilan ishlash qoidalaridan foydalangan holda iboralarni soddalashtiring - va hech qanday muammo siz uchun qo'rqinchli bo'lmaydi. Va bugun menda hamma narsa bor.

Qo'llanish doirasini hisobga olish

Endi logarifmik funksiyaning aniqlanish sohasi, shuningdek, logarifmik tenglamalar yechimiga qanday ta’sir etishi haqida gapiraylik. Shaklning qurilishini ko'rib chiqing

log a f (x) = b

Bunday ifoda eng oddiy deb ataladi - unda faqat bitta funktsiya mavjud va a va b raqamlari aniq raqamlardir va hech qanday holatda bu x o'zgaruvchisiga bog'liq bo'lgan funktsiya emas. Buni juda oddiy hal qilish mumkin. Siz faqat formuladan foydalanishingiz kerak:

b = log a a b

Ushbu formula logarifmning asosiy xususiyatlaridan biri bo'lib, uni asl ifodamizga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Bu maktab darsliklaridan tanish formula. Ko'pgina talabalarda savol tug'ilishi mumkin: asl iborada f (x) funktsiyasi log belgisi ostida bo'lganligi sababli, unga quyidagi cheklovlar qo'yilgan:

f (x)> 0

Bu cheklov amalda, chunki manfiy sonlarning logarifmi mavjud emas. Xo'sh, ehtimol bu cheklov tufayli siz javoblarni tekshirishni kiritishingiz kerakmi? Ehtimol, ular manbada almashtirilishi kerakmi?

Yo'q, eng oddiy logarifmik tenglamalarda qo'shimcha tekshirish kerak emas. Va shuning uchun ham. Yakuniy formulamizni ko'rib chiqing:

f (x) = a b

Gap shundaki, a soni har qanday holatda 0 dan katta - bu talab ham logarifm tomonidan qo'yiladi. a soni asos hisoblanadi. Bunday holda, b raqamiga hech qanday cheklovlar qo'yilmaydi. Ammo bu muhim emas, chunki biz ijobiy raqamni qanday darajada ko'tarmasak ham, chiqishda biz ijobiy raqamni olamiz. Shunday qilib, f (x)> 0 talabi avtomatik ravishda bajariladi.

Haqiqatan ham tekshirishga arziydigan narsa bu log belgisi ostidagi funktsiya doirasi. Juda murakkab tuzilmalar bo'lishi mumkin va ularni hal qilish jarayonida siz ularga albatta amal qilishingiz kerak. Keling, ko'rib chiqaylik.

Birinchi vazifa:

Birinchi qadam: o'ngdagi kasrni o'zgartiring. Biz olamiz:

Biz logarifm belgisidan xalos bo'lamiz va odatdagi irratsional tenglamani olamiz:

Olingan ildizlardan faqat birinchisi bizga mos keladi, chunki ikkinchi ildiz noldan kichikdir. Yagona javob 9 raqami bo'ladi. Bo'ldi, muammo hal qilindi. Logarifm belgisi ostidagi ifoda 0 dan katta ekanligini qo'shimcha tekshirishlar talab qilinmaydi, chunki u faqat 0 dan katta emas, lekin tenglama sharti bo'yicha u 2 ga teng. Shuning uchun, talab "noldan katta. " avtomatik ravishda qondiriladi.

Keling, ikkinchi vazifaga o'tamiz:

Bu erda hamma narsa bir xil. Biz uchtasini almashtirib, qurilishni qayta yozamiz:

Biz logarifm belgilaridan xalos bo'lamiz va irratsional tenglamani olamiz:

Biz cheklovlarni hisobga olgan holda ikkala tomonni kvadratga aylantiramiz va biz quyidagilarni olamiz:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |: 2

x 2 + 7x + 6 = 0

Olingan tenglamani diskriminant orqali yechamiz:

D = 49 - 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = -6

Ammo x = -6 bizga mos kelmaydi, chunki bu raqamni tengsizligimizga almashtirsak, biz quyidagilarga erishamiz:

−6 + 4 = −2 < 0

Bizning holatda, u 0 dan katta yoki o'ta og'ir hollarda teng bo'lishi talab qilinadi. Ammo x = -1 bizga mos keladi:

−1 + 4 = 3 > 0

Bizning holatimizda yagona javob x = -1. Bu butun yechim. Keling, hisob-kitoblarimizning eng boshiga qaytaylik.

Ushbu darsning asosiy xulosasi shundaki, siz eng oddiy logarifmik tenglamalardagi funksiya uchun cheklovlarni tekshirishingiz shart emas. Chunki yechish jarayonida barcha cheklovlar avtomatik tarzda bajariladi.

Biroq, bu hech qanday tarzda siz tekshirishni butunlay unutishingiz mumkin degani emas. Logarifmik tenglama ustida ishlash jarayonida u irratsional tenglamaga aylanishi mumkin, bu o'ng tomon uchun o'ziga xos cheklovlar va talablarga ega bo'ladi, biz bugun ikki xil misolda ko'rdik.

Bunday muammolarni hal qilishda erkin bo'ling va argumentda ildiz bo'lsa, ayniqsa ehtiyot bo'ling.

Turli asosli logarifmik tenglamalar

Biz logarifmik tenglamalarni o'rganishni davom ettiramiz va yana ikkita qiziqarli nayrangni tahlil qilamiz, ular yordamida yanada murakkab tuzilmalarni echish moda bo'ladi. Ammo birinchi navbatda, eng oddiy vazifalar qanday hal qilinishini eslaylik:

log a f (x) = b

Bu belgida a va b aynan sonlar bo'lib, f (x) funksiyada x o'zgaruvchisi mavjud bo'lishi va faqat u erda, ya'ni x faqat argumentda bo'lishi kerak. Bunday logarifmik tenglamalarni kanonik shakl yordamida o'zgartiramiz. Buni amalga oshirish uchun e'tibor bering

b = log a a b

Bundan tashqari, a b aynan argumentdir. Keling, ushbu ifodani quyidagicha qayta yozamiz:

log a f (x) = log a a b

Aynan shu narsaga erishmoqchimiz, shuning uchun ham chap, ham o'ng a asosining logarifmi bo'ladi. Bunday holda, biz, majoziy ma'noda, log belgilarini ajratib olishimiz mumkin va matematika nuqtai nazaridan, biz shunchaki dalillarni tenglashtiramiz, deb aytishimiz mumkin:

f (x) = a b

Natijada, biz yechish ancha oson bo'lgan yangi ifodaga ega bo'lamiz. Keling, ushbu qoidani bugungi vazifalarimizga qo'llaymiz.

Shunday qilib, birinchi qurilish:

Avvalo, shuni ta'kidlaymanki, o'ng tomonda maxrajda log bilan kasr bor. Bunday iborani ko'rganingizda, logarifmlarning ajoyib xususiyatini eslash ortiqcha bo'lmaydi:

Rus tiliga tarjima qilinganda, bu har qanday logarifmni har qanday s asosli ikkita logarifmning bo'linmasi sifatida ko'rsatish mumkinligini anglatadi. Albatta, 0< с ≠ 1.

Shunday qilib: c o'zgaruvchisi o'zgaruvchiga teng bo'lganda, bu formulada bitta ajoyib maxsus holat mavjud b. Bunday holda, biz shaklning qurilishini olamiz:

Aynan shu konstruktsiyani biz tenglamamizdagi belgidan o'ngga qarab kuzatamiz. Keling, ushbu konstruktsiyani log a b bilan almashtiramiz, biz quyidagilarni olamiz:

Boshqacha qilib aytganda, dastlabki masala bilan solishtirganda, biz argumentni va logarifm asosini almashtirdik. Buning o'rniga biz kasrni aylantirishimiz kerak edi.

Esda tutamizki, har qanday darajani quyidagi qoidaga muvofiq bazadan olish mumkin:

Boshqacha qilib aytganda, asosning darajasi bo'lgan k koeffitsienti teskari kasr sifatida chiqariladi. Keling, uni teskari kasr sifatida ko'rsatamiz:

Kasr omilini oldinda qoldirib bo'lmaydi, chunki bu holda biz bu yozuvni kanonik shakl sifatida taqdim eta olmaymiz (axir, kanonik shaklda ikkinchi logarifm oldida qo'shimcha omil yo'q). Shuning uchun, keling, argumentdagi 1/4 kasrni daraja sifatida qo'yaylik:

Endi biz argumentlarni tenglashtiramiz, ularning asoslari bir xil (va bizning asoslarimiz haqiqatan ham bir xil) va yozamiz:

x + 5 = 1

x = −4

Ana xolos. Biz birinchi logarifmik tenglamaga javob oldik. E'tibor bering: asl muammoda x o'zgaruvchisi faqat bitta jurnalda uchraydi va u o'z argumentida. Shuning uchun, domenni tekshirishning hojati yo'q va bizning raqamimiz x = -4 javobdir.

Endi ikkinchi ifodaga o'tamiz:

lg 56 = lg 2 log 2 7 - 3lg (x + 4)

Bu erda odatiy logarifmlarga qo'shimcha ravishda lg f (x) bilan ishlashimiz kerak bo'ladi. Bunday tenglamani qanday yechish mumkin? O'qimagan talabaga bu qandaydir qattiqqo'llikdek tuyulishi mumkin, lekin aslida hamma narsa elementar tarzda hal qilinadi.

lg 2 log 2 atamasini diqqat bilan ko'rib chiqing 7. Bu haqda nima deyishimiz mumkin? Log va lg uchun sabablar va argumentlar bir xil va bu taklif qiluvchi bo'lishi kerak. Keling, logarifm belgisi ostidan darajalar qanday chiqarilishini yana bir bor eslaylik:

log a b n = nlog a b

Boshqacha qilib aytganda, argumentdagi b sonining kuchi qanday bo'lganligi logning o'zi oldida omilga aylanadi. lg 2 log 2 7 ni ifodalash uchun ushbu formuladan foydalanamiz. Lg 2 dan qo'rqmang - bu eng keng tarqalgan ifoda. Siz uni quyidagicha qayta yozishingiz mumkin:

Boshqa har qanday logarifm uchun amal qiladigan barcha qoidalar unga to'g'ri keladi. Xususan, argumentning kuchiga oldingi omilni qo'shish mumkin. Keling, yozamiz:

Ko'pincha talabalar bu harakat nuqtasini bo'sh ko'rmaydilar, chunki bir jurnalni boshqasining belgisi ostida kiritish yaxshi emas. Aslida, bunda jinoiy narsa yo'q. Bundan tashqari, agar siz muhim qoidani eslab qolsangiz, osongina hisoblab chiqiladigan formulani olamiz:

Ushbu formulani ham ta'rif sifatida, ham uning xususiyatlaridan biri sifatida ko'rib chiqish mumkin. Har qanday holatda, agar siz logarifmik tenglamani o'zgartirayotgan bo'lsangiz, ushbu formulani har qanday raqamning log tasviri kabi bilishingiz kerak.

Biz vazifamizga qaytamiz. Biz uni teng belgisining o'ng tomonidagi birinchi had lg 7 ga teng bo'lishini hisobga olgan holda qayta yozamiz. Bizda:

lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)

Keling, lg 7 ni chapga siljitamiz, biz quyidagilarni olamiz:

lg 56 - lg 7 = −3lg (x + 4)

Chapdagi iboralarni ayirib tashlang, chunki ular bir xil asosga ega:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Endi biz olingan tenglamani yaqindan ko'rib chiqamiz. Bu amalda kanonik shakl, lekin o'ng tomonda -3 koeffitsienti mavjud. Keling, buni to'g'ri lg argumentiga qo'yamiz:

log 8 = log (x + 4) -3

Bizning oldimizda logarifmik tenglamaning kanonik shakli mavjud, shuning uchun biz lg belgilarini kesib tashlaymiz va argumentlarni tenglashtiramiz:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

Ana xolos! Biz ikkinchi logarifmik tenglamani yechdik. Bunday holda, qo'shimcha tekshiruvlar talab qilinmaydi, chunki dastlabki masalada x faqat bitta argumentda mavjud edi.

Ushbu o'quv qo'llanmaning asosiy fikrlarini yana bir bor takrorlayman.

Logarifmik tenglamalarni echishga bag'ishlangan ushbu sahifadagi barcha darslarda o'rganiladigan asosiy formula kanonik shakldir. Aksariyat maktab darsliklarida bunday muammolarni boshqa yo‘l bilan yechishga o‘rgatilganidan qo‘rqmang. Ushbu vosita juda samarali ishlaydi va darsimizning boshida biz o'rgangan eng oddiylariga qaraganda ancha kengroq muammolarni hal qilishga imkon beradi.

Bundan tashqari, logarifmik tenglamalarni echishning asosiy xususiyatlarini bilish foydali bo'ladi. Aynan:

  1. Bitta bazaga o'tish formulasi va jurnalni aylantirganda maxsus holat (bu birinchi muammoda biz uchun juda foydali edi);
  2. Logarifm belgisidan darajalarni qo'shish va olib tashlash formulasi. Bu erda ko'p talabalar qotib qoladilar va yaqin masofada eksponensial va kiritilgan daraja log f (x) ni o'z ichiga olishi mumkinligini ko'rmaydilar. Buning hech qanday yomon joyi yo‘q. Biz bir jurnalni ikkinchisining belgisi bilan kiritishimiz va shu bilan birga ikkinchi holatda kuzatadigan muammoni hal qilishni sezilarli darajada soddalashtirishimiz mumkin.

Xulosa qilib shuni qo'shimcha qilmoqchimanki, bu holatlarning har birida qamrovni tekshirish shart emas, chunki hamma joyda x o'zgaruvchisi logning faqat bitta belgisida mavjud va shu bilan birga u o'z argumentida. Natijada, qamrovning barcha talablari avtomatik ravishda qondiriladi.

O'zgaruvchan radix muammolari

Bugun biz logarifmik tenglamalarni ko'rib chiqamiz, ular ko'pchilik talabalar uchun nostandart bo'lib tuyuladi, agar to'liq yechilmasa. Biz raqamlarga emas, balki o'zgaruvchilarga va hatto funktsiyalarga asoslangan ifodalar haqida gapiramiz. Biz bunday konstruksiyalarni standart texnikamiz yordamida, ya'ni kanonik shakl orqali hal qilamiz.

Boshlash uchun, oddiy raqamlarga asoslangan eng oddiy masalalar qanday hal qilinishini eslaylik. Shunday qilib, eng oddiy - bu shaklning qurilishi

log a f (x) = b

Bunday muammolarni hal qilish uchun biz quyidagi formuladan foydalanishimiz mumkin:

b = log a a b

Biz asl ifodamizni qayta yozamiz va olamiz:

log a f (x) = log a a b

Keyin argumentlarni tenglashtiramiz, ya'ni yozamiz:

f (x) = a b

Shunday qilib, biz log belgisidan qutulamiz va allaqachon keng tarqalgan muammoni hal qilamiz. Bunday holda, yechim davomida olingan ildizlar dastlabki logarifmik tenglamaning ildizlari bo'ladi. Bundan tashqari, chap va o'ng bir xil asosga ega bo'lgan bir xil logarifmada turgan yozuv kanonik shakl deb ataladi. Aynan shunday rekord darajaga qadar biz bugungi qurilishlarni qisqartirishga harakat qilamiz. Shunday ekan, ketaylik.

Birinchi vazifa:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

1 ni log x - 2 (x - 2) 1 bilan almashtiring. Argumentda biz kuzatadigan daraja, aslida, teng belgisining o'ng tomonida turgan b sonidir. Shunday qilib, biz ifodamizni qayta yozamiz. Biz olamiz:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Biz nimani ko'ramiz? Bizning oldimizda logarifmik tenglamaning kanonik shakli mavjud, shuning uchun biz argumentlarni xavfsiz ravishda tenglashtirishimiz mumkin. Biz olamiz:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

Ammo yechim shu bilan tugamaydi, chunki bu tenglama asl tenglamaga teng emas. Axir, hosil bo'lgan konstruktsiya butun son chizig'ida aniqlangan funktsiyalardan iborat bo'lib, bizning dastlabki logarifmlarimiz hamma joyda va har doim ham aniqlanmaydi.

Shuning uchun biz qamrovni alohida yozishimiz kerak. Keling, aqlli bo'lmaylik va birinchi navbatda barcha talablarni yozamiz:

Birinchidan, logarifmlarning har birining argumenti 0 dan katta bo'lishi kerak:

2x 2 - 13x + 18> 0

x - 2> 0

Ikkinchidan, baza nafaqat 0 dan katta, balki 1 dan farqli bo'lishi kerak:

x - 2 ≠ 1

Natijada biz tizimni olamiz:

Lekin tashvishlanmang: logarifmik tenglamalarni qayta ishlashda bunday tizimni sezilarli darajada soddalashtirish mumkin.

O'zingiz baho bering: bir tomondan, kvadrat funktsiya noldan katta bo'lishi talab qilinadi, ikkinchi tomondan, bu kvadrat funktsiya ma'lum bir chiziqli ifodaga tenglashtiriladi, bu ham noldan katta bo'lishi kerak.

Bunda x - 2> 0 ni talab qilsak, u holda 2x 2 - 13x + 18> 0 talabi avtomatik ravishda qanoatlantiriladi.Shuning uchun kvadrat funktsiyani o'z ichiga olgan tengsizlikni xavfsiz kesib tashlashimiz mumkin. Shunday qilib, bizning tizimimizdagi iboralar soni uchtaga kamayadi.

Albatta, xuddi shunday muvaffaqiyat bilan biz chiziqli tengsizlikni, ya'ni x - 2> 0 ni kesib tashlashimiz va 2x 2 - 13x + 18> 0 bo'lishini talab qilishimiz mumkin. Lekin siz eng oddiy chiziqli tengsizlikni echish ancha tezroq ekanligiga rozi bo'lishingiz kerak. va kvadratikdan osonroq, hatto bu butun tizimni yechish natijasida biz bir xil ildizlarni olamiz.

Umuman olganda, iloji boricha hisob-kitoblaringizni optimallashtirishga harakat qiling. Logarifmik tenglamalar bo'lsa, eng qiyin tengsizliklarni kesib tashlang.

Keling, tizimimizni qayta yozamiz:

Mana, uchta iboradan iborat tizim, ulardan ikkitasini biz allaqachon bilib oldik. Kvadrat tenglamani alohida yozamiz va uni yechamiz:

2x 2 - 14x + 20 = 0

x 2 - 7x + 10 = 0

Bizning oldimizda berilgan kvadrat trinomial mavjud va shuning uchun biz Vietaning formulalaridan foydalanishimiz mumkin. Biz olamiz:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Va endi biz tizimimizga qaytamiz va x = 2 bizga mos kelmasligini topamiz, chunki bizdan x 2 dan katta bo'lishi talab qilinadi.

Lekin x = 5 bizga juda mos keladi: 5 soni 2 dan katta va ayni paytda 5 3 ga teng emas. Shuning uchun bu tizimning yagona yechimi x = 5 bo'ladi.

Hammasi shu, muammo hal qilindi, shu jumladan ODZni hisobga olgan holda. Keling, ikkinchi tenglamaga o'tamiz. Bu erda biz yanada qiziqarli va ma'lumotli hisob-kitoblarni topamiz:

Birinchi qadam: xuddi oxirgi marta bo'lgani kabi, biz hamma narsani kanonik shaklga keltiramiz. Buning uchun 9 raqamini quyidagicha yozishimiz mumkin:

Ildiz bilan ildizga tegmaslik kerak, lekin argumentni o'zgartirgan ma'qul. Keling, ildizdan ratsional ko'rsatkichga o'tamiz. Keling, yozamiz:

Menga butun katta logarifmik tenglamani qayta yozmayin, balki argumentlarni darhol tenglashtiraylik:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Oldimizda yangi berilgan kvadrat trinomial Vietaning formulalaridan foydalanamiz va yozamiz:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = −1

Shunday qilib, biz ildizlarni oldik, lekin hech kim bizga ular asl logarifmik tenglamaga mos kelishiga kafolat bermadi. Axir, jurnal belgilari qo'shimcha cheklovlar qo'yadi (bu erda biz tizimni yozishimiz kerak edi, lekin butun tuzilishning noqulayligi tufayli men domenni alohida hisoblashga qaror qildim).

Avvalo, argumentlar 0 dan katta bo'lishi kerakligini unutmang, xususan:

Bular ta'rif sohasi tomonidan qo'yiladigan talablardir.

Darhol shuni ta'kidlaymizki, biz tizimning dastlabki ikkita ifodasini bir-biriga tenglashtirganimiz sababli, ulardan istalganini o'chirib tashlashimiz mumkin. Birinchisini o'chirib tashlaymiz, chunki u ikkinchisidan ko'ra xavfliroq ko'rinadi.

Bundan tashqari, shuni ta'kidlaymizki, ikkinchi va uchinchi tengsizliklarning yechimi bir xil to'plamlar bo'ladi (ayrim sonning kubi noldan katta, agar bu raqamning o'zi noldan katta bo'lsa; xuddi shunday uchinchi darajali ildiz bilan - bu tengsizliklar butunlay o'xshashdir, shuning uchun ulardan birini kesib tashlashimiz mumkin).

Ammo bu uchinchi tengsizlik bilan ishlamaydi. Keling, chapdagi radikal belgidan xalos bo'laylik, buning uchun ikkala qismni ham kub shaklida quramiz. Biz olamiz:

Shunday qilib, biz quyidagi talablarni olamiz:

- 2 ≠ x> −3

Bizning ildizlarimizdan qaysi biri: x 1 = -3 yoki x 2 = -1 bu talablarga javob beradi? Shubhasiz, faqat x = -1, chunki x = -3 birinchi tengsizlikni qanoatlantirmaydi (chunki bizning tengsizligimiz qat'iy). Shunday qilib, muammomizga qaytsak, biz bitta ildizga ega bo'lamiz: x = -1. Hammasi shu, muammo hal qilindi.

Yana bir bor, ushbu vazifaning asosiy nuqtalari:

  1. Kanonik shakldan foydalanib, logarifmik tenglamalarni qo'llash va yechishda bemalol. Bunday yozuvni tuzgan va dastlabki masaladan to‘g‘ridan-to‘g‘ri log a f (x) = b kabi konstruksiyaga o‘tmaydigan o‘quvchilar, hisob-kitoblarning oraliq bosqichlarini o‘tkazib yuborib, qayergadir shoshayotganlarga qaraganda ancha kam xato qiladilar;
  2. Logarifmada o'zgaruvchan baza paydo bo'lishi bilanoq, muammo eng oddiy bo'lishni to'xtatadi. Shuning uchun uni hal qilishda ta'rif sohasini hisobga olish kerak: argumentlar noldan katta bo'lishi kerak va asoslar nafaqat 0 dan katta bo'lishi kerak, balki ular ham 1 ga teng bo'lmasligi kerak.

Yakuniy javoblarga yakuniy talablarni qo'yishning turli usullari mavjud. Masalan, siz domen uchun barcha talablarni o'z ichiga olgan butun tizimni hal qilishingiz mumkin. Boshqa tomondan, siz avval muammoni o'zi hal qilishingiz mumkin, so'ngra ta'rif sohasi haqida eslab, uni tizim shaklida alohida ishlab chiqishingiz va natijada paydo bo'lgan ildizlarga qo'shishingiz mumkin.

Muayyan logarifmik tenglamani echishda qaysi usulni tanlash sizga bog'liq. Har holda, javob bir xil bo'ladi.

Ma'lumki, ifodalarni darajalar bilan ko'paytirishda ularning ko'rsatkichlari har doim qo'shiladi (a b * a c = a b + c). Bu matematik qonun Arximed tomonidan olingan bo'lib, keyinchalik 8-asrda matematik Virasen butun ko'rsatkichlar jadvalini yaratdi. Aynan ular logarifmlarning keyingi kashfiyoti uchun xizmat qilganlar. Ushbu funktsiyadan foydalanish misollarini oddiy qo'shish orqali noqulay ko'paytirishni soddalashtirish kerak bo'lgan deyarli hamma joyda topish mumkin. Agar siz ushbu maqolani o'qishga 10 daqiqa vaqt ajratsangiz, biz sizga logarifm nima ekanligini va ular bilan qanday ishlashni tushuntiramiz. Oddiy va tushunarli til.

Matematikada ta'rif

Logarifm quyidagi ko'rinishdagi ifodadir: log ab = c, ya'ni "a" asosiga asoslangan har qanday manfiy bo'lmagan (ya'ni har qanday musbat) "b" logarifmi kuch deb hisoblanadi " c", unga "a" asosi ko'tarilishi kerak, natijada "b" qiymatini olish uchun. Logarifmni misollar yordamida tahlil qilamiz, masalan, log 2 ifodasi mavjud 8. Javobni qanday topish mumkin? Bu juda oddiy, siz shunday darajani topishingiz kerakki, 2 dan kerakli darajaga qadar siz 8 ga ega bo'lasiz. O'zingizning fikringizcha hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz 3 raqamini olamiz! Va to'g'ri, chunki 3 ning kuchiga 2 javobda 8 raqamini beradi.

Logarifmlarning turlari

Ko'pgina o'quvchilar va talabalar uchun bu mavzu murakkab va tushunarsiz bo'lib tuyuladi, lekin aslida logarifmlar unchalik qo'rqinchli emas, asosiysi ularning umumiy ma'nosini tushunish va ularning xususiyatlarini va ba'zi qoidalarini eslab qolishdir. Logarifmik ifodalarning uch xil turi mavjud:

  1. Natural logarifm ln a, bu yerda asos Eyler soni (e = 2,7).
  2. O'nlik a, asos 10.
  3. Har qanday b sonining a>1 asosiga logarifmi.

Ularning har biri logarifmik teoremalardan foydalangan holda soddalashtirish, qisqartirish va keyinchalik bitta logarifmaga qisqartirishni o'z ichiga olgan standart usulda hal qilinadi. Logarifmlarning to'g'ri qiymatlarini olish uchun siz ularni hal qilishda ularning xususiyatlarini va harakatlar ketma-ketligini eslab qolishingiz kerak.

Qoidalar va ba'zi cheklovlar

Matematikada aksioma sifatida qabul qilingan bir qancha qoida-cheklovlar mavjud, ya'ni ular kelishib bo'lmaydi va haqiqatdir. Misol uchun, siz raqamlarni nolga bo'lolmaysiz va siz hali ham manfiy sonlarning juft ildizini chiqara olmaysiz. Logarifmlarning o'z qoidalari ham bor, ularga rioya qilgan holda siz hatto uzoq va sig'imli logarifmik ifodalar bilan ham ishlashni osongina o'rganishingiz mumkin:

  • "a" asosi har doim noldan katta bo'lishi kerak va shu bilan birga 1 ga teng bo'lmasligi kerak, aks holda ifoda o'z ma'nosini yo'qotadi, chunki "1" va "0" har qanday darajada har doim ularning qiymatlariga teng;
  • a> 0 bo'lsa, a b> 0 bo'lsa, "c" ham noldan katta bo'lishi kerak.

Logarifmlarni qanday hal qilasiz?

Misol uchun, 10 x = 100 tenglamasiga javob topish vazifasi berilgan. Bu juda oson, siz bunday quvvatni tanlashingiz kerak, biz 100 ni oladigan o'n sonini ko'tarib, bu, albatta, 10 2 = 100. .

Endi bu ifodani logarifmik ko‘rinishda ifodalaylik. Biz log 10 100 = 2 ni olamiz. Logarifmlarni echishda barcha amallar berilgan sonni olish uchun logarifm asosini kiritish zarur bo'lgan quvvatni topish uchun amalda yaqinlashadi.

Noma'lum darajaning qiymatini aniq aniqlash uchun darajalar jadvali bilan ishlashni o'rganish kerak. Bu shunday ko'rinadi:

Ko'rib turganingizdek, ba'zi eksponentlarni intuitiv ravishda taxmin qilish mumkin, agar sizda texnik fikrlash va ko'paytirish jadvalini bilishingiz mumkin. Biroq, kattaroq qiymatlar quvvat jadvalini talab qiladi. Bundan hatto murakkab matematik mavzular haqida hech narsa bilmaydiganlar ham foydalanishlari mumkin. Chap ustunda raqamlar mavjud (a asosi), raqamlarning yuqori qatori a soni ko'tarilgan c kuchidir. Hujayralarning kesishmasida javob bo'lgan raqamlarning qiymatlari aniqlanadi (a c = b). Masalan, 10 raqami bo'lgan birinchi katakchani oling va uni kvadratga aylantiring, biz ikkita katakchaning kesishmasida ko'rsatilgan 100 qiymatini olamiz. Hammasi shunchalik sodda va osonki, hatto eng haqiqiy gumanist ham tushunadi!

Tenglamalar va tengsizliklar

Ma'lum bo'lishicha, ma'lum sharoitlarda ko'rsatkich logarifmdir. Shuning uchun har qanday matematik sonli ifodani logarifmik tenglik sifatida yozish mumkin. Masalan, 3 4 = 81 ni 81 ning 3 ta asosga logarifmi sifatida yozish mumkin, bu to'rtga teng (log 3 81 = 4). Salbiy kuchlar uchun qoidalar bir xil: 2 -5 = 1/32, biz uni logarifm sifatida yozamiz, log 2 (1/32) = -5 ni olamiz. Matematikaning eng qiziqarli sohalaridan biri "logarifmlar" mavzusidir. Tenglamalarning misollari va yechimlarini ularning xossalarini o'rganganimizdan so'ng darhol ko'rib chiqamiz. Endi tengsizliklar qanday ko‘rinishini va ularni tenglamalardan qanday ajratish mumkinligini ko‘rib chiqamiz.

Quyidagi ko'rinishdagi ifoda berilgan: log 2 (x-1)> 3 - bu logarifmik tengsizlikdir, chunki noma'lum qiymat "x" logarifma belgisi ostidadir. Shuningdek, ifodada ikkita qiymat solishtiriladi: ikkita asosga kerakli sonning logarifmi uchta raqamdan kattaroqdir.

Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar o'rtasidagi eng muhim farq shundaki, logarifmli tenglamalar (masalan, logarifm 2 x = √9) javobda bir yoki bir nechta o'ziga xos sonli qiymatlarni nazarda tutadi, tengsizlikni hal qilish esa ruxsat etilgan qiymatlar oralig'ini ham aniqlaydi. va bu funktsiyani buzadigan nuqtalar. Natijada, javob tenglamaning javobidagi kabi alohida raqamlarning oddiy to'plami emas, balki uzluksiz qator yoki raqamlar to'plamidir.

Logarifmlarga oid asosiy teoremalar

Logarifmning qiymatlarini topish bo'yicha ibtidoiy vazifalarni hal qilishda uning xususiyatlari noma'lum bo'lishi mumkin. Biroq, logarifmik tenglamalar yoki tengsizliklar haqida gap ketganda, birinchi navbatda, logarifmlarning barcha asosiy xususiyatlarini aniq tushunish va amalda qo'llash kerak. Tenglamalar misollari bilan keyinroq tanishamiz, avvalo har bir xususiyatni batafsil tahlil qilamiz.

  1. Asosiy identifikatsiya quyidagicha ko'rinadi: a logaB = B. Bu faqat a 0 dan katta, birga teng emas va B noldan katta bo'lsa amal qiladi.
  2. Hosilning logarifmini quyidagi formulada ifodalash mumkin: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu holda zaruriy shart: d, s 1 va s 2> 0; a ≠ 1. Siz logarifmlarning ushbu formulasini misollar va yechim bilan isbotlashingiz mumkin. 1 = f 1 va log 2 = f 2, keyin a f1 = s 1, a f2 = s 2 bo'lsin. Biz s 1 * s 2 = a f1 * a f2 = a f1 + f2 ekanligini olamiz (xususiyatlari kuchlar ) va keyinchalik ta'rifi bo'yicha: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + logni 2 deb belgilang, buni isbotlash kerak edi.
  3. Bo'limning logarifmi quyidagicha ko'rinadi: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
  4. Formula ko'rinishidagi teorema quyidagi shaklni oladi: log a q b n = n / q log a b.

Bu formula "logarifm darajasining xossasi" deb ataladi. Bu oddiy darajalarning xususiyatlariga o'xshaydi va bu ajablanarli emas, chunki barcha matematika tabiiy postulatlarga tayanadi. Keling, dalilni ko'rib chiqaylik.

Log a b = t bo'lsin, a t = b chiqadi. Ikkala qismni m ning kuchiga ko'tarsak: a tn = b n;

lekin a tn = (a q) nt / q = b n bo'lgani uchun, shuning uchun log a q b n = (n * t) / t, keyin log a q b n = n / q log a b. Teorema isbotlangan.

Muammolar va tengsizliklarga misollar

Logarifm masalalarining eng keng tarqalgan turlari tenglamalar va tengsizliklarga misollardir. Ular deyarli barcha muammoli kitoblarda uchraydi, shuningdek, matematikadan imtihonlarning majburiy qismiga kiritilgan. Universitetga kirish yoki yetkazib berish uchun kirish imtihonlari matematikada bunday vazifalarni qanday qilib to'g'ri hal qilishni bilishingiz kerak.

Afsuski, logarifmning noma'lum qiymatini echish va aniqlashning yagona rejasi yoki sxemasi mavjud emas, ammo har bir matematik tengsizlik yoki logarifmik tenglamaga ma'lum qoidalar qo'llanilishi mumkin. Avvalo, ifodani soddalashtirish yoki umumiy shaklga keltirish mumkinligini aniqlash kerak. Uzoqni soddalashtiring logarifmik ifodalar mumkin, agar siz ularning xususiyatlaridan to'g'ri foydalansangiz. Tez orada ular bilan tanishamiz.

Logarifmik tenglamalarni yechishda oldimizda qanday logarifm borligini aniqlash kerak: ifoda misolida natural logarifm yoki o‘nlik bo‘lishi mumkin.

Mana ln100, ln1026 misollar. Ularning yechimi shundan iboratki, siz 10-bazasi mos ravishda 100 va 1026 ga teng bo'lish darajasini aniqlashingiz kerak. Tabiiy logarifmlarning yechimlari uchun siz logarifmik identifikatsiyalarni yoki ularning xususiyatlarini qo'llashingiz kerak. Keling, har xil turdagi logarifmik masalalarni yechish misollarini ko'rib chiqaylik.

Logarifm formulalarini qanday ishlatish kerak: misollar va echimlar bilan

Shunday qilib, keling, logarifmlar bo'yicha asosiy teoremalardan foydalanish misollarini ko'rib chiqaylik.

  1. Mahsulotning logarifmining xususiyati kengaytirish zarur bo'lgan vazifalarda qo'llanilishi mumkin katta ahamiyatga ega b oddiy omillarga. Masalan, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4 * 128) = log 2 512. Javob 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - ko'rib turganingizdek, logarifm kuchining to'rtinchi xususiyatini qo'llagan holda, ko'rinadigan darajada murakkab va yechilmaydigan ifodani echish mumkin edi. Siz shunchaki bazani faktorga kiritishingiz va keyin kuch qiymatlarini logarifm belgisidan chiqarib olishingiz kerak.

Imtihondan topshiriqlar

Logarifmlar ko'pincha kirish imtihonlarida uchraydi, ayniqsa imtihonda juda ko'p logarifmik muammolar (barcha maktab bitiruvchilari uchun davlat imtihoni). Odatda, bu vazifalar nafaqat A qismida (imtihonning eng oson test qismi), balki C qismida ham (eng qiyin va hajmli vazifalar) mavjud. Imtihon “Tabiiy logarifmlar” mavzusini aniq va mukammal bilishni nazarda tutadi.

Muammolarga misollar va yechimlar mansabdor shaxsdan olinadi imtihon uchun variantlar... Keling, bunday vazifalar qanday hal qilinishini ko'rib chiqaylik.

Berilgan log 2 (2x-1) = 4. Yechish:
ifodani qayta yozing, uni biroz soddalashtiring log 2 (2x-1) = 2 2, logarifmning ta'rifi bo'yicha biz 2x-1 = 2 4 ni olamiz, shuning uchun 2x = 17; x = 8,5.

  • Yechim og'ir va chalkash bo'lmasligi uchun barcha logarifmlarni bitta asosga aylantirish yaxshidir.
  • Logarifm belgisi ostidagi barcha iboralar musbat deb ko'rsatilgan, shuning uchun ko'rsatkichning ko'rsatkichi logarifm belgisi ostida va uning asosi bo'lgan omil tomonidan chiqarilganda, logarifm ostida qolgan ifoda musbat bo'lishi kerak. .

Matematikadan yakuniy testga tayyorgarlik muhim bo'lim - "Logarifmlar" ni o'z ichiga oladi. Ushbu mavzu bo'yicha topshiriqlar imtihonda bo'lishi kerak. O'tgan yillar tajribasi shuni ko'rsatadiki, logarifmik tenglamalar ko'plab maktab o'quvchilari uchun qiyinchilik tug'dirdi. Shuning uchun, turli darajadagi tayyorgarlikka ega bo'lgan talabalar to'g'ri javobni qanday topishni tushunishlari va ularni tezda engishlari kerak.

"Shkolkovo" ta'lim portalidan foydalangan holda sertifikat sinovidan muvaffaqiyatli o'ting!

Singlga tayyorgarlik davlat ekspertizasi o'rta maktab bitiruvchilari test masalalarini muvaffaqiyatli hal qilish uchun eng to'liq va aniq ma'lumotlarni taqdim etadigan ishonchli manbaga muhtoj. Biroq, darslik har doim ham qo'lida emas va Internetda kerakli qoidalar va formulalarni topish ko'pincha vaqt talab etadi.

"Shkolkovo" ta'lim portali istalgan vaqtda istalgan joyda Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rish imkonini beradi. Bizning saytimiz logarifmlar bo'yicha, shuningdek, bir va bir nechta noma'lumlar bo'yicha katta hajmdagi ma'lumotlarni takrorlash va o'zlashtirish uchun eng qulay yondashuvni taklif qiladi. Oson tenglamalardan boshlang. Agar siz ularni osonlikcha hal qilsangiz, murakkabroq narsalarga o'ting. Agar ma'lum bir tengsizlikni echishda muammoga duch kelsangiz, uni Sevimlilar ro'yxatiga qo'shishingiz mumkin, shunda keyinroq unga qaytishingiz mumkin.

"Nazariy ma'lumotnoma" bo'limiga qarab, topshiriqni bajarish, standart logarifmik tenglamaning ildizini hisoblashning maxsus holatlari va usullarini takrorlash uchun kerakli formulalarni topishingiz mumkin. Shkolkovo o'qituvchilari eng oddiy va tushunarli shaklda muvaffaqiyatli topshirish uchun zarur bo'lgan barcha materiallarni to'plashdi, tizimlashtirishdi va taqdim etishdi.

Har qanday murakkablikdagi vazifalarni osongina engish uchun bizning portalimizda siz ba'zi tipik logarifmik tenglamalarning echimi bilan tanishishingiz mumkin. Buning uchun "Kataloglar" bo'limiga o'ting. Biz juda ko'p misollarni, shu jumladan matematikadan imtihonning profil darajasining tenglamalarini taqdim etdik.

Rossiya bo'ylab maktab o'quvchilari bizning portalimizdan foydalanishlari mumkin. Boshlash uchun tizimda ro'yxatdan o'ting va tenglamalarni echishni boshlang. Natijalarni birlashtirish uchun sizga har kuni Shkolkovo veb-saytiga qaytishingizni maslahat beramiz.

Logarifmik tenglamalarni yechishdan oldin logarifmning ta’rifini va asosiy formulalarini yana bir bor takrorlaymiz.

Logarifm ijobiy raqam b sabab bilan a qay darajada qurish zarurligining ko‘rsatkichidir a, Olish uchun b.

Bundan tashqari, class = "tex" alt = "(! LANG: b> 0, \; a> 0, \; a \ neq 1">.!}

Keling, logarifmning maqbul qiymatlari oralig'iga e'tibor qarataylik:

class = "tex" alt = "(! LANG: b> 0, \; a> 0, \; a \ neq 1">. !}

Asosiy logarifmik identifikatsiya:

Logarifmlar uchun asosiy formulalar:

(Mahsulotning logarifmi logarifmalar yig'indisiga teng)

(Qismning logarifmi logarifmalar orasidagi farqga teng)
(Quvvat logarifmi formulasi)

Yangi bazaga o'tish formulasi:

Biz logarifmik funktsiyaning grafigi qanday ko'rinishini bilamiz. Bu funksiya monotonikdir. Agar logarifmning asosi birdan katta bo'lsa, logarifmik funktsiya monoton ravishda ortadi. Agar asos noldan katta va birdan kichik bo'lsa, logarifmik funktsiya monoton ravishda kamayadi. Va har qanday holatda, u har bir qiymatni faqat bir marta oladi. Bu shuni anglatadiki, agar biron bir bazadagi ikkita sonning logarifmlari teng bo'lsa, unda sonlarning o'zi tengdir.

Bularning barchasi logarifmik tenglamalarni echishda bizga foydali bo'ladi.

Eng oddiy logarifmik tenglamalar

1. Tenglamani yeching:

Logarifmlarning asoslari teng, logarifmlarning o'zi ham teng, ya'ni ular olingan raqamlar ham tengdir.
Odatda, talabalar ushbu qoidani qisqa jargon formulasida yodlashadi: "Logarifmlarni tashlang!" Albatta, biz ularni shunchaki shunday emas, balki logarifmik funktsiyaning monotonlik xususiyatidan foydalangan holda "tashlaymiz".

Biz olamiz:

Logarifmik tenglamalarni yechishda buni unutmang haqiqiy qiymatlar diapazoni logarifm. Esda tutingki, ifoda class = "tex" alt = "(! LANG: b> 0, \; a> 0, \; a \ neq 1 bilan belgilanadi.">.!}

Agar siz tenglamaning ildizini topib, uni tenglamaga qo'shsangiz juda yaxshi. Agar bunday almashtirishdan keyin tenglamaning chap yoki o'ng tomoni mantiqiy bo'lmasa, u holda topilgan son tenglamaning ildizi emas va masalaga javob bo'la olmaydi. Bu imtihon uchun test qilishning yaxshi usuli.

2. Tenglamani yeching:

Tenglamaning chap tomonida - logarifm, o'ngda - 7 raqami. Asosiy logarifmik identifikatsiyani qo'llash orqali biz 7 raqamini ifodalaymiz. Keyin hamma narsa oddiy.

Javob: -124

3. Tenglamani yeching:

Tenglamaning o'ng tomonidagi logarifm oldidagi 2 raqamiga qarang? Endi u "logarifmlarni o'tkazish" ga to'sqinlik qiladi. Chap va o'ng tomonlar faqat 5 ta logarifm bo'lishi uchun u bilan nima qilish kerak? Albatta, daraja logarifmi uchun formula yordam beradi.

4. Tenglamani yeching:

Yaroqli diapazon: class = "tex" alt = "(! LANG: 4-x> 0."> Значит, class="tex" alt="x> -4.">!}

Tenglamaning o‘ng tomonidagi 2 ni - ko‘rinishida ifodalaymiz, shunda tenglamadagi chap va o‘ng 5 asosga logarifm bo‘lsin.

Funktsiya monoton ravishda ortadi va o'z qiymatini aynan bir marta oladi. Logarifmlar teng, asoslari teng. Keling, logarifmlarni "tashlaymiz"! Albatta, class = "tex" alt = "(! LANG: x> -4">.!}

5. Tenglamani yeching:

Yechimni ekvivalent o'tish zanjiri sifatida yozamiz. Biz ODZ ni yozamiz va logarifmlarni "olib tashlaymiz":

Class = "tex" alt = "(! LANG: \ log _ (8) \ chap (x ^ (2) + x \ o'ng) = \ log _ (8) \ chap (x ^ (2) -4 \ o'ng) ) \ Chap o'ng yo'nalish \ chap \ (\ boshlanishi (matritsa) x ^ (2) + x> 0 \\ x ^ (2) -4> 0 \\ x ^ (2) + x = x ^ (2) -4 \ end (matritsa) \ o'ng. \ Chap o'ng yo'nalish \ chap \ (\ start (matritsa) x ^ (2) + x> 0 \\ x ^ (2) -4> 0 \\ x = -4 \ end (matritsa) \ o'ngga \ Chap o'ngga yo'l x = -4">!}
Javob: -4.

E'tibor bering, logarifmik tenglamalar yechimlari eng yaxshi ekvivalent o'tish zanjiri sifatida yoziladi. Bu bizga haqiqiy qiymatlar oralig'ini unutmaslikka yordam beradi.

6. Tenglamani yeching:.

4-logarifm asosidan (ko‘rsatkichda) 2-logarifm asosiga o‘tamiz. Buni boshqa asosga o‘tish formulasi yordamida bajaramiz:

Yechimni ekvivalent o'tish zanjiri sifatida yozamiz.

Class = "tex" alt = "(! LANG: 2 ^ (\ log _ (4) \ chap (4x + 5 \ o'ng)) = 9 \ Chapga o'q \ chap \ (\ start (matritsa) 2 ^ \ frac (( \ log _ (2) \ chap (4x + 5 \ o'ng))) (2) = 9 \\ 4x + 5> 0 \ oxiri (matritsa) \ o'ng. \ Chap o'q \ chap \ (\ bosh (matritsa) \ chap (2 ^ (\ log _ (2) \ chap (4x + 5 \ o'ng)) \ o'ng) ^ (\ frac (1) (2)) = 9 \\ x> -1 \ frak (1) (4) \ end (matritsa) \ o'ng. \ Chap o'ng yo'nalish \ chap \ (\ start (matritsa) \ chap (4x + 5 \ o'ng) ^ (\ frac (1) (2)) = 9 \\ x> -1 \ frak ( 1) (4) \ end (matritsa) \ o'ng. \ Chap o'ng \ chap \ (\ start (matritsa) \ sqrt (4x + 5) = 9 \\ x> -1 \ frac (1) (4) \ end ( matritsa) \ o'ng. \ Chap o'ng \ chap \ (\ bosh (matritsa) 4x + 5 = 81 \\ x> -1 \ frak (1) (4) \ oxiri (matritsa) \ o'ng. \ Chap o'ng \ chap \ (\ boshlanishi (matritsa) x = 19 \\ x> -1 \ frac (1) (4) \ end (matritsa) \ o'ng.">!}

7. Tenglamani yeching:.

Iltimos, diqqat qiling: o'zgaruvchi X va logarifm ostida, va logarifm asosida. Biz logarifmning asosi musbat va 1 ga teng bo'lmasligi kerakligini eslaymiz.

ODZ:
sinf = "tex" alt = "(! LANG: \ chap \ (\ start (matritsa) 12-x> 0 \\ x> 0 \\ x \ neq 1 \ end (matritsa) \ o'ng.">!}

Endi siz logarifmlarni "olib tashlashingiz" mumkin.

Extraous root, chunki class = "tex" alt = "(! LANG: x> 0">.!}

8. Tenglamani yeching.

ODZ tenglamalari: class = "tex" alt = "(! LANG: x> 0">!}

Keling, almashtiramiz. Algebraik tenglamalarda bo'lgani kabi, biz imkon qadar o'zgaruvchan o'zgarishlar qilamiz.

Keling, o'zgaruvchiga qaytaylik X:

9. Tenglamani yeching:

Logarifm ostidagi ifoda har doim ijobiy bo'ladi - chunki biz manfiy bo'lmagan qiymatga 25 qo'shamiz.O'ngdagi ildiz ostidagi ifoda ham ijobiydir. Ma'nosi, X har qanday haqiqiy son bo'lishi mumkin.

Chap tarafdagi logarifmlar yig‘indisini mahsulotning logarifmi sifatida ifodalaymiz. O'ng tomonda - keling, logarifm bazasiga o'tamiz 3. Va daraja logarifmi uchun formuladan foydalaning.

Biz logarifmlarni "tashlaymiz".

Bunday tenglama bikvadrat deb ataladi. U iboralarni o'z ichiga oladi va. Keling, almashtiramiz

Keling, o'zgaruvchiga qaytaylik X... Biz olamiz:

Biz asl tenglamaning barcha ildizlarini topdik.

Siz logarifmik tenglamalar bilan matematikadan foydalanish Profilining №5 topshirig'ida va №13 topshiriqda uchrashishingiz mumkin. Va agar 5-topshiriqda siz eng oddiy tenglamani echishingiz kerak bo'lsa, 13-topshiriqda yechim ikki nuqtadan iborat. Ikkinchi nuqta - ma'lum bir segment yoki intervalda ildizlarni tanlash.