Fermatning buyuk teoremasi. Keling, fosh qilaylik! Fermaning oxirgi teoremasi isbotlanganmi? Ferma teoremasi qanday eshitiladi
Iskandariyalik Diofantning “Arifmetika”sini o‘qib, uning vazifalari haqida fikr yuritar ekan Per Ferma kitob hoshiyasiga o‘z mulohazalarining natijalarini qisqa mulohazalar tarzida yozib qo‘yish odati bor edi. Kitobning chetidagi Diofantning sakkizinchi muammosiga qarshi Fermat shunday yozgan: " Aksincha, kubni ikki kubga yoki bikvadratni ikkita bikvadratga ajratish va umuman olganda, bir xil ko'rsatkichga ega bo'lgan kvadratdan ikki gradus kattaroq darajani ajratib bo'lmaydi. Men buning haqiqatan ham ajoyib isbotini topdim, lekin bu sohalar uning uchun juda tor.» / E.T.Bell "Matematikaning yaratuvchilari". M., 1979 yil, 69-bet/. Men sizning e'tiboringizga ferma teoremasining elementar isbotini keltiraman, uni matematikani yaxshi ko'radigan har qanday o'rta maktab o'quvchisi tushunishi mumkin.
Fermaning Diofant masalasiga bergan izohini tenglama ko'rinishiga ega bo'lgan Fermaning buyuk teoremasining zamonaviy formulasi bilan taqqoslaylik.
« Tenglama
x n + y n = z n(bu erda n - ikkidan katta butun son)
musbat butun sonlarda yechimga ega emas»
Izoh vazifa bilan mantiqiy bog`lanishda, predmetning predmet bilan mantiqiy bog`lanishiga o`xshash. Diofant muammosi bilan tasdiqlangan narsa, aksincha, Fermatning sharhi bilan tasdiqlanadi.
Fermaning izohini quyidagicha izohlash mumkin: agar uchta noma’lumli kvadrat tenglama Pifagor sonlarining barcha uchliklari to‘plami bo‘yicha cheksiz yechimlar to‘plamiga ega bo‘lsa, aksincha, kvadratdan bir daraja kattaroq uchta noma’lumli tenglama.
Tenglamada uning Diofant muammosi bilan aloqasi haqida hatto ishora ham yo'q. Uning bayonoti isbot talab qiladi, lekin uning ostida musbat butun sonlarda yechimlari yo'q degan shart yo'q.
Menga ma’lum bo‘lgan tenglamani isbotlash variantlari quyidagi algoritmga keltiriladi.
- Uning xulosasi sifatida Ferma teoremasining tenglamasi olinadi, uning asosliligi isbot yordamida tekshiriladi.
- Xuddi shu tenglama deyiladi original uning isboti davom etishi kerak bo'lgan tenglama.
Natijada tavtologiya shakllandi: " Agar tenglama musbat butun sonlarda yechimga ega bo‘lmasa, u holda musbat butun sonlarda yechimlari yo‘q.". Tavtologiyaning isboti ataylab noto'g'ri va hech qanday ma'noga ega emas. Ammo bu qarama-qarshi usul bilan isbotlangan.
- Siz isbotlamoqchi bo'lgan tenglamaga teskari taxmin qilingan. Bu asl tenglamaga zid kelmasligi kerak, lekin unga zid keladi. Qabul qilingan narsani dalilsiz isbotlash, isbotlanishi talab qilinadigan narsani isbotsiz qabul qilish mantiqqa to'g'ri kelmaydi.
- Qabul qilingan taxminga asoslanib, uning dastlabki tenglamaga zid ekanligini va noto'g'ri ekanligini isbotlash uchun mutlaqo to'g'ri matematik amallar va harakatlar bajariladi.
Shu sababli, 370 yil davomida Fermaning oxirgi teoremasi tenglamasini isbotlash matematika mutaxassislari va havaskorlarining amalga oshirib bo'lmaydigan orzusi bo'lib qolmoqda.
Teoremaning xulosasi sifatida tenglamani, teorema sharti sifatida Diofantning sakkizinchi masalasini va uning tenglamasini oldim.
“Agar tenglama x 2 + y 2 = z 2
(1) Pifagor sonlarining barcha uchliklari toʻplamida cheksiz yechimlar toʻplamiga ega, keyin esa, aksincha, tenglama x n + y n = z n
, qayerda n> 2
(2) musbat butun sonlar to‘plamida yechimlari yo‘q.
Isbot.
A) Hamma biladiki, tenglama (1) Pifagor raqamlarining barcha uchliklari to'plamida cheksiz yechimlar to'plamiga ega. Keling, (1) tenglamaning yechimi bo'lgan Pifagor sonlarining bitta uchligi ham (2) tenglamaning yechimi emasligini isbotlaylik.
Tenglikning teskarilik qonuniga asoslanib, (1) tenglamaning tomonlari almashtiriladi. Pifagor raqamlari (z, x, y) to'g'ri burchakli uchburchak tomonlarining uzunliklari va kvadratlari sifatida talqin qilinishi mumkin (x 2, y 2, z 2) uning gipotenuzasi va oyoqlarida qurilgan kvadratlar maydoni sifatida talqin qilinishi mumkin.
(1) tenglama kvadratlarining kvadratlari ixtiyoriy balandlikka ko'paytiriladi h :
z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)
(3) tenglamani parallelepiped hajmining ikkita parallelepiped hajmlari yig'indisiga tengligi sifatida talqin qilish mumkin.
Uchta parallelepipedning balandligi bo'lsin h = z :
z 3 = x 2 z + y 2 z (4)
Kubning hajmi ikkita parallelepipedning ikkita hajmiga ajraladi. Kub hajmini o'zgarishsiz qoldiring va birinchi parallelepipedning balandligini kamaytiring x va ikkinchi parallelepipedning balandligini kamaytiring y ... Kubning hajmi ikki kub hajmlarining yig'indisidan kattaroqdir:
z 3> x 3 + y 3 (5)
Pifagor raqamlarining uchlik to'plamida ( x, y, z ) da n = 3 (2) tenglamaning yechimi bo'lishi mumkin emas. Shuning uchun Pifagor raqamlarining barcha uchliklari to'plamida kubni ikkita kubga ajratish mumkin emas.
(3) tenglamada uchta parallelepipedning balandligi bo'lsin h = z 2 :
z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)
Parallelepipedning hajmi ikkita parallelepipedning hajmlari yig'indisiga ajraladi.
(6) tenglamaning chap tomonini o'zgarishsiz qoldiring. Uning o'ng tomonida balandlik joylashgan z 2
gacha kamaytirish X
birinchi muddatda va gacha 2 da
ikkinchi muddatda.
(6) tenglama tengsizlikka aylandi:
Parallelepipedning hajmi ikkita parallelepipedning ikki jildiga ajraladi.
(8) tenglamaning chap tomonini o'zgarishsiz qoldiring.
O'ng tomonda balandlik z n-2
gacha kamaytirish x n-2
birinchi muddatda va gacha kamayadi y n-2
ikkinchi muddatda. (8) tenglama tengsizlikka aylanadi:
| z n> x n + y n | (9) |
Pifagor raqamlarining uchlik to'plamida (2) tenglamaning yagona yechimi bo'lishi mumkin emas.
Shuning uchun, hamma uchun Pifagor raqamlarining barcha uchliklari to'plamida n> 2 (2) tenglama yechimga ega emas.
"Postinno mo''jizaviy dalil" oldi, lekin faqat uch egizaklar uchun Pifagor raqamlari... Bu dalil yo'qligi va P. Fermatning undan voz kechishining sababi.
B)(2) tenglamaning Pifagor bo'lmagan sonlarning uchliklari to'plami bo'yicha yechimlari yo'qligini isbotlaylik, bu Pifagor raqamlarining o'zboshimchalik bilan olingan uchligi oilasining muvaffaqiyatsizligidir. z = 13, x = 12, y = 5 va musbat butun sonlarning ixtiyoriy uchligi oilasi z = 21, x = 19, y = 16
Raqamlarning ikkala uchligi ham ularning oila a'zolaridir:
| (13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) | (10) | |
| (21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) | (11) |
Oila a'zolarining soni (10) va (11) 13 ning 12 ga va 21 ning 20 ga ko'paytmasining yarmiga, ya'ni 78 va 210 ga teng.
Oilaning har bir a'zosi (10) o'z ichiga oladi z = 13 va o'zgaruvchilar X va da 13> x> 0 , 13> y> 0 1
Oilaning har bir a'zosi (11) o'z ichiga oladi z = 21 va o'zgaruvchilar X va da butun sonlarning qiymatlarini qabul qiladi 21> x> 0 , 21> y> 0 ... O'zgaruvchilar asta-sekin kamayadi 1 .
(10) va (11) ketma-ketlikdagi sonlarning uchliklari uchinchi darajali tengsizliklar qatori sifatida ifodalanishi mumkin:
| 13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3 | ||
| 21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3 |
va to'rtinchi darajali tengsizliklar shaklida:
| 13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4 | ||
| 21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4 |
Har bir tengsizlikning to'g'riligi raqamlarning uchinchi va to'rtinchi darajalarga ko'tarilishi bilan tasdiqlanadi.
Kattaroq sonli kubni kichikroq sonli ikkita kubga ajratib bo'lmaydi. Bu ikkita kichik sonning kublari yig'indisidan kam yoki ko'p.
Kattaroq sonning bikvadratini kichikroq sonlarning ikkita bikvadratiga ajratib bo'lmaydi. U kichikroq sonlarning bikvadratlari yig'indisidan kam yoki ko'p.
Eksponentning ortishi bilan barcha tengsizliklar, chap ekstremal tengsizlikdan tashqari, bir xil ma'noga ega:
Tengsizliklar, ularning barchasi bir xil ma'noga ega: kattaroq sonning darajasi bir xil eksponentga ega bo'lgan ikkitadan kam sonning vakolatlari yig'indisidan kattaroqdir:
| 13 n> 12 n + 12 n; 13 n> 12 n + 11 n;...; 13 n> 7 n + 4 n;...; 13 n> 1 n + 1 n | (12) | |
| 21 n> 20 n + 20 n; 21 n> 20 n + 19 n;...; ;…; 21 n> 1 n + 1 n | (13) |
Ketma-ketlikning eng chap hadi (12) (13) eng zaif tengsizlikdir. Uning to'g'riligi ketma-ketlikning (12) barcha keyingi tengsizliklarining to'g'riligini aniqlaydi. n> 8 va ketma-ketlik (13) uchun n> 14 .
Ular orasida yagona tenglik bo'lishi mumkin emas. Musbat butun sonlarning ixtiyoriy uchligi (21,19,16) Ferma katta teoremasining (2) tenglamasining yechimi emas. Agar ixtiyoriy ravishda olingan uchlik musbat sonlar tenglamaning yechimi bo'lmasa, unda musbat butun sonlar to'plamida tenglamaning yechimlari yo'q, biz buni isbotlashimiz kerak edi.
BILAN) Fermaning Diofant muammosiga sharhida aytilishicha, uni parchalash mumkin emas " umuman olganda, kvadratdan kattaroq daraja, bir xil eksponent bilan ikki daraja».
O'pish kvadratdan kattaroq darajani bir xil ko'rsatkich bilan ikki darajaga bo'lish haqiqatan ham mumkin emas. Nomaqbul kvadratdan kattaroq darajani bir xil eksponent bilan ikki darajaga ajratish mumkin.
Musbat butun sonlarning har qanday ixtiyoriy uchligi (z, x, y) har bir a'zosi doimiy sondan iborat bo'lgan oilaga tegishli bo'lishi mumkin z dan ikki raqam kichik z ... Oilaning har bir a'zosi tengsizlik shaklida ifodalanishi mumkin va barcha olingan tengsizliklar tengsizliklar ketma-ketligi sifatida ifodalanishi mumkin:
| z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n | (14) |
Tengsizliklar ketma-ketligi (14) chap tomoni o'ng tomondan kichik bo'lgan tengsizliklar bilan boshlanadi va o'ng tomoni chap tomondan kichik bo'lgan tengsizliklar bilan tugaydi. Ko'rsatkichni oshirish bilan n> 2 ketma-ketlikning o'ng tomonidagi tengsizliklar soni (14) ortadi. Ko'rsatkich bilan n = k ketma-ketlikning chap tomonidagi barcha tengsizliklar o'z ma'nosini o'zgartiradi va ketma-ketlikdagi tengsizliklarning o'ng tomonidagi tengsizliklar ma'nosini oladi (14). Barcha tengsizliklar uchun eksponentning ortishi natijasida chap tomon o'ng tomondan kattaroq bo'lib chiqadi:
| z k> (z-1) k + (z-1) k; z k> (z-1) k + (z-2) k;...; z k> 2 k + 1 k; z k> 1 k + 1 k | (15) |
Eksponentning yanada ortishi bilan n> k tengsizliklarning hech biri o'z ma'nosini o'zgartirmaydi va tenglikka aylanmaydi. Shu asosda shuni aytish mumkinki, har qanday o'zboshimchalik bilan olingan uch karrali musbat sonlar (z, x, y) da n> 2 , z> x , z> y
Musbat butun sonlarning ixtiyoriy uchligida z ixtiyoriy katta natural son bo'lishi mumkin. dan katta bo'lmagan barcha natural sonlar uchun z , Fermaning oxirgi teoremasi isbotlangan.
D) Raqam qanchalik katta bo'lmasin z , natural sonlar qatorida undan oldin katta, lekin chekli butun sonlar toʻplami, undan keyin esa cheksiz butun sonlar toʻplami mavjud.
Butun cheksiz natural sonlar to'plami dan katta ekanligini isbotlaylik z , Buyuk Ferma teoremasi tenglamasining yechimi bo‘lmagan sonlarning uch karrasini hosil qiladi, masalan, ixtiyoriy ravishda olingan musbat sonlarning uch karrali. (z + 1, x, y) , unda z + 1> x va z + 1> y eksponentning barcha qiymatlari uchun n> 2 Buyuk Ferma teoremasi tenglamasining yechimi emas.
Musbat butun sonlarning ixtiyoriy uchligi (z + 1, x, y) har bir a'zosi doimiy sondan iborat bo'lgan uchlik sonlar oilasiga mansub bo'lishi mumkin z + 1 va ikkita raqam X va da dan kamroq turli qiymatlarni olish z + 1 ... Oila a'zolari tengsizliklar shaklida ifodalanishi mumkin, unda doimiy chap tomon o'ng tomondan kamroq yoki ko'p. Tengsizliklarni tengsizliklar ketma-ketligi sifatida tartibli joylashtirish mumkin:
Eksponentning yanada ortishi bilan n> k cheksizlikka, (17) ketma-ketlikdagi tengsizliklarning hech biri o'z ma'nosini o'zgartirmaydi va tenglikka aylanmaydi. Ketma-ket (16) musbat butun sonlarning ixtiyoriy uchligidan hosil bo'lgan tengsizlik (z + 1, x, y) , shaklida uning o'ng tomonida bo'lishi mumkin (z + 1) n> x n + y n yoki shaklda uning chap qismida bo'ling (z + 1) n< x n + y n .
Har holda, musbat butun sonlarning uchligi (z + 1, x, y) da n> 2 , z + 1> x , z + 1> y ketma-ketlikda (16) tengsizlikdir va tenglikni ifodalay olmaydi, ya'ni Buyuk Ferma teoremasi tenglamasining yechimini ifodalay olmaydi.
Chap tarafdagi oxirgi tengsizlik va o'ng tomondagi birinchi tengsizlik qarama-qarshi ma'noli tengsizliklar bo'lgan kuch tengsizliklari (16) ketma-ketligining kelib chiqishini tushunish oson va sodda. Aksincha, barcha tengsizliklar bir xil ma'noga ega bo'lgan tengsizliklar (16) ketma-ketligidan tengsizliklar ketma-ketligi (17) qanday hosil bo'lishini maktab o'quvchilari, o'rta maktab o'quvchilari va o'rta maktab o'quvchilari uchun tushunish oson va oson emas. .
Ketma-ketlikda (16) tengsizliklar butun sonining 1 birlikka ortishi chap tomondagi oxirgi tengsizlikni o'ng tomondagi qarama-qarshi ma'noli birinchi tengsizlikka aylantiradi. Shunday qilib, ketma-ketlikning to'qqizinchi tomonidagi tengsizliklar soni kamayadi, o'ng tomondagi tengsizliklar soni esa ortadi. Qarama-qarshi ma'nodagi oxirgi va birinchi kuch tengsizliklari o'rtasida, albatta, kuchlar tengligi mavjud. Uning darajasi butun son bo'lishi mumkin emas, chunki ikkita ketma-ket natural sonlar orasida faqat butun bo'lmagan sonlar mavjud. Teorema gipotezasiga ko‘ra, butun son bo‘lmagan darajadagi quvvat tengligini (1) tenglamaning yechimi deb bo‘lmaydi.
Agar (16) ketma-ketlikda biz darajani 1 birlikka oshirishni davom ettirsak, u holda uning chap tomonining oxirgi tengsizligi o'ng tomonning qarama-qarshi ma'nosining birinchi tengsizligiga aylanadi. Natijada, bitta chap tomondagi tengsizlik qolmaydi va faqat kuchlar tengsizliklari ketma-ketligini ifodalovchi o'ng tomondagi tengsizliklar qoladi (17). Ularning butun darajasining yana 1 birlikka ko'tarilishi faqat kuch tengsizliklarini kuchaytiradi va butun darajada tenglikning paydo bo'lish imkoniyatini mutlaqo istisno qiladi.
Shuning uchun, umuman olganda, daraja tengsizliklari (17) ketma-ketligining natural sonining (z + 1) hech qanday butun soni bir xil darajali ikkita butun darajaga ajralmaydi. Shuning uchun (1) tenglamaning cheksiz natural sonlar to'plami bo'yicha yechimlari yo'q, buni isbotlash kerak edi.
Demak, Fermaning oxirgi teoremasi butun universalligi bilan isbotlangan:
- A bo'limida) barcha uchlik uchun (z, x, y) Pifagor raqamlari (Fermatning kashfiyoti haqiqatan ham ajoyib dalil),
- B bo'limida har qanday uchlik oilasining barcha a'zolari uchun (z, x, y) Pifagor raqamlari,
- C bo'limida) barcha uchlik sonlar uchun (z, x, y) , katta raqamlar emas z
- bo'limda D) barcha uchlik sonlar uchun (z, x, y) tabiiy sonlar qatori.
|
O'zgartirishlar 09.05.2010 da kiritilgan. |
Qaysi teoremalarni qarama-qarshilik bilan isbotlash mumkin va mumkin emas
Matematik atamalarning izohli lug'atida qarama-qarshi teorema, teskari teoremaning isbotiga ta'rif berilgan.
“Qarama-qarshilik bilan isbotlash – teoremani (taklifni) isbotlash usuli boʻlib, u teoremaning oʻzini emas, balki uning ekvivalentini (ekvivalentini), teskari (teskarisiga teskari) teoremani isbotlashdan iborat. Qarama-qarshilik bilan isbot to'g'ridan-to'g'ri teoremani isbotlash qiyin bo'lsa va aksincha isbotlash osonroq bo'lsa ishlatiladi. Qarama-qarshilik bilan isbotlashda teoremaning xulosasi uning inkori bilan almashtiriladi va mulohaza yuritish orqali shartning inkoriga keladi, ya'ni. qarama-qarshilikka, teskarisiga (berilgan narsaning teskarisi; bu absurdlikka qisqarish teoremani isbotlaydi."
Qarama-qarshilik bilan isbotlash matematikada juda keng tarqalgan. Qarama-qarshilik bilan isbotlash istisno qilingan uchinchi qonunga asoslanadi, ya'ni ikkita A va A (inkor A) bayonotlarining biri to'g'ri, ikkinchisi noto'g'ri./ Matematik atamalarning izohli lug'ati: O'qituvchilar uchun qo'llanma / O. V. Manturov [va boshqalar]; ed. V. A. Ditkina.- M .: Ta'lim, 1965.- 539 p.: ill.-C.112 /.
Qarama-qarshilik bilan isbotlash usuli matematikada qo‘llanilsa-da, matematik usul emasligini, uning mantiqiy usul ekanligini va mantiqqa tegishli ekanligini ochiq e’lon qilish yaxshi bo‘lmaydi. Qarama-qarshilik bilan isbot "to'g'ridan-to'g'ri teoremani isbotlash qiyin bo'lgan hollarda qo'llaniladi" deb aytish mumkinmi, lekin aslida u faqat uning o'rnini bosadigan narsa bo'lmasa ishlatiladi?
To'g'ridan-to'g'ri va teskari teoremalarning bir-biriga munosabatini tavsiflash alohida e'tiborga loyiqdir. “Ma’lum bir teorema (yoki berilgan teorema uchun) uchun teskari teorema bu teorema bo‘lib, uning sharti xulosa, xulosa esa berilgan teoremaning shartidir. Qarama-qarshi teoremaga nisbatan bu teorema to'g'ridan-to'g'ri teorema (original) deb ataladi. Shu bilan birga, teskari teoremaga teskari teorema berilgan teorema bo'ladi; shuning uchun to'g'ridan-to'g'ri va qarama-qarshi teoremalar o'zaro teskari deyiladi. Agar to'g'ridan-to'g'ri (berilgan) teorema to'g'ri bo'lsa, teskari teorema har doim ham to'g'ri emas. Misol uchun, agar to'rtburchak romb bo'lsa, uning diagonallari o'zaro perpendikulyar (to'g'ridan-to'g'ri teorema). Agar to'rtburchakdagi diagonallar o'zaro perpendikulyar bo'lsa, u holda to'rtburchak rombdir - bu to'g'ri emas, ya'ni teskari teorema to'g'ri emas "./ Matematik atamalarning izohli lug'ati: O'qituvchilar uchun qo'llanma / O. V. Manturov [va boshqalar]; ed. V. A. Ditkina.- M .: Ta'lim, 1965.- 539 p.: ill.-C.261 /.
To'g'ridan-to'g'ri va teskari teorema o'rtasidagi munosabatlarning bu xarakteristikasi to'g'ridan-to'g'ri teorema sharti berilgan holda, isbotsiz qabul qilinishini hisobga olmaydi, shuning uchun uning to'g'riligi kafolatlanmaydi. Qarama-qarshi teoremaning sharti berilganidek qabul qilinmaydi, chunki u isbotlangan to'g'ridan-to'g'ri teoremaning xulosasi hisoblanadi. Uning to'g'riligi to'g'ridan-to'g'ri teoremaning isboti bilan tasdiqlanadi. To'g'ridan-to'g'ri va teskari teoremalarning shartlari o'rtasidagi bu muhim mantiqiy farq qaysi teoremalarni mantiqiy usul bilan qarama-qarshilik bilan isbotlash mumkin va qaysi biri mumkin emas degan savolda hal qiluvchi bo'lib chiqadi.
Keling, odatiy matematik usul bilan isbotlanishi mumkin bo'lgan to'g'ridan-to'g'ri teorema bor deb faraz qilaylik, ammo bu qiyin. Keling, uni umumiy shaklda qisqacha shaklda quyidagicha shakllantiramiz: dan A kerak E ... Belgi A isbotsiz qabul qilingan teoremaning berilgan sharti ahamiyatga ega. Belgi E isbotlanishi talab qilinadigan teorema xulosasining ma’nosi.
To'g'ridan-to'g'ri teoremani qarama-qarshilik bilan isbotlaymiz, mantiqiy usuli. Mavjud teoremani isbotlash uchun mantiqiy usul qo'llaniladi matematik emas holati, va mantiqiy holat. Agar teoremaning matematik sharti bo'lsa, uni olish mumkin dan A kerak E , qarama-qarshi shart bilan to'ldiring dan A ergashmaydi E .
Natijada biz ikkita qismdan iborat yangi teoremaning mantiqiy qarama-qarshi shartiga ega bo'ldik: dan A kerak E va dan A ergashmaydi E ... Yangi teoremaning natijaviy sharti chiqarib tashlangan o'rtaning mantiqiy qonuniga mos keladi va teoremani qarama-qarshi usul bilan isbotlashga mos keladi.
Qonunga ko'ra, qarama-qarshi shartning bir qismi noto'g'ri, boshqa qismi to'g'ri, uchinchisi chiqarib tashlanadi. Qarama-qarshilik bilan isbotlash o'z vazifasiga ega va teorema shartining ikki qismining qaysi qismi noto'g'ri ekanligini aniq aniqlashga qaratilgan. Shartning noto'g'ri qismi aniqlangandan so'ng, boshqa qismi haqiqiy qism ekanligi aniqlanadi va uchinchisi chiqarib tashlanadi.
Matematik atamalarning izohli lug'atiga ko'ra, "Isbot - bu fikrlash bo'lib, uning davomida har qanday bayonotning (hukm, bayonot, teorema) haqiqat yoki noto'g'riligi aniqlanadi"... Isbot qarama-qarshilik bilan mulohazalar mavjud bo'lib, uning davomida o'rnatiladi yolg'on dan kelib chiqadigan xulosaning (absurdligi). yolg'on isbotlanayotgan teorema shartlari.
Berilgan: dan A kerak E va dan A ergashmaydi E .
Isbot qiling: dan A kerak E .
Isbot: Teoremaning mantiqiy sharti hal qilinishi kerak bo'lgan qarama-qarshilikni o'z ichiga oladi. Shartning qarama-qarshiligi isbotda va uning natijasida o'z yechimini topishi kerak. Natija noto'g'ri va xatosiz fikrlash bilan noto'g'ri bo'lib chiqadi. Mantiqan to'g'ri fikrlash bilan, noto'g'ri xulosaning sababi faqat qarama-qarshi shart bo'lishi mumkin: dan A kerak E va dan A ergashmaydi E .
Shartning bir qismi noto'g'ri, ikkinchisi esa to'g'ri ekanligiga hech qanday shubha yo'q. Shartning ikkala qismi ham bir xil kelib chiqishga ega, ma’lumot sifatida qabul qilinadi, faraz qilinadi, bir xilda mumkin, bir xilda ruxsat etiladi va hokazo.Mantiqiy fikr yuritish jarayonida shartning bir qismini boshqasidan ajratib turadigan birorta ham mantiqiy xususiyat topilmadi. . Shuning uchun, xuddi shu darajada bo'lishi mumkin dan A kerak E va ehtimol dan A ergashmaydi E ... Bayonot dan A kerak E balkim yolg'on, keyin bayonot dan A ergashmaydi E haqiqat bo'ladi. Bayonot dan A ergashmaydi E noto'g'ri bo'lishi mumkin, keyin bayonot dan A kerak E haqiqat bo'ladi.
Binobarin, to'g'ridan-to'g'ri teoremani qarama-qarshilik bilan isbotlab bo'lmaydi.
Endi biz xuddi shu to'g'ridan-to'g'ri teoremani odatiy matematik usul bilan isbotlaymiz.
Berilgan: A .
Isbot qiling: dan A kerak E .
Isbot.
1. Kimdan A kerak B
2. Kimdan B kerak V (oldin isbotlangan teorema bo'yicha)).
3. Kimdan V kerak G (oldindan isbotlangan teorema bo'yicha).
4. Kimdan G kerak D (oldindan isbotlangan teorema bo'yicha).
5. Kimdan D kerak E (oldindan isbotlangan teorema bo'yicha).
Tranzitivlik qonuniga asoslanib, dan A kerak E ... To'g'ridan-to'g'ri teorema odatiy usul bilan isbotlanadi.
Isbotlangan to'g'ridan-to'g'ri teorema to'g'ri teskari teoremaga ega bo'lsin: dan E kerak A .
Keling, buni odatdagidek isbotlaylik matematik usuli. Qarama-qarshi teoremaning isbotini matematik amallar algoritmi shaklida ramziy ravishda ifodalash mumkin.
Berilgan: E
Isbot qiling: dan E kerak A .
Isbot.
1. Kimdan E kerak D
2. Kimdan D kerak G (oldin isbotlangan qarama-qarshi teorema bo'yicha).
3. Kimdan G kerak V (oldin isbotlangan qarama-qarshi teorema bo'yicha).
4. Kimdan V ergashmaydi B (teskari teorema to'g'ri emas). Shunung uchun dan B ergashmaydi A .
Bunday vaziyatda qarama-qarshi teoremaning matematik isbotini davom ettirishning ma'nosi yo'q. Vaziyatning sababi mantiqiy. Noto'g'ri qarama-qarshi teoremani hech narsa bilan almashtirib bo'lmaydi. Binobarin, bu qarama-qarshi teoremani odatiy matematik usul bilan isbotlab bo'lmaydi. Barcha umid bu qarama-qarshi teoremani qarama-qarshilik usuli bilan isbotlashga qaratilgan.
Uni qarama-qarshi usul bilan isbotlash uchun uning matematik shartini mantiqiy qarama-qarshi shart bilan almashtirish talab qilinadi, bu o'z ma'nosida ikki qismdan iborat - yolg'on va haqiqat.
Qarama-qarshi teorema bildiradi: dan E ergashmaydi A ... Uning ahvoli E , shundan xulosa kelib chiqadi A , to'g'ridan-to'g'ri teoremani odatiy matematik usul bilan isbotlash natijasidir. Ushbu shart saqlanishi va bayonot bilan to'ldirilishi kerak dan E kerak A ... Qo'shish natijasida yangi qarama-qarshi teoremaning qarama-qarshi sharti olinadi: dan E kerak A va dan E ergashmaydi A ... Shu asosda mantiqiy qarama-qarshi shart bo'lsa, teskari teorema to'g'ri yordamida isbotlanishi mumkin mantiqiy faqat mulohaza yuritish va faqat, mantiqiy qarama-qarshilik usuli bilan. Qarama-qarshilik bilan isbotlashda har qanday matematik harakatlar va operatsiyalar mantiqiy harakatlarga bo'ysunadi va shuning uchun hisobga olinmaydi.
Qarama-qarshi bayonotning birinchi qismida dan E kerak A holat E to'g'ridan-to'g'ri teoremaning isboti bilan isbotlangan. Ikkinchi qismda dan E ergashmaydi A holat E dalilsiz taxmin qilingan va qabul qilingan. Ulardan ba'zilari biri yolg'on, ikkinchisi esa haqiqatdir. Ulardan qaysi biri yolg'on ekanligini isbotlash talab qilinadi.
To'g'ri orqali isbotlaymiz mantiqiy mulohaza yuriting va uning natijasi noto'g'ri, bema'ni xulosa ekanligini toping. Noto'g'ri mantiqiy xulosaning sababi teoremaning ikki qism - yolg'on va haqiqatni o'z ichiga olgan qarama-qarshi mantiqiy shartidir. Faqat bayonot yolg'on qism bo'lishi mumkin dan E ergashmaydi A , unda E dalilsiz qabul qilindi. Bu shunday farq qiladi E tasdiqlash dan E kerak A , bu to'g'ridan-to'g'ri teoremaning isboti bilan isbotlangan.
Shunday qilib, quyidagi bayonot haqiqatdir: dan E kerak A , isbotlash uchun talab qilinganidek.
Xulosa: faqat qarama-qarshi teorema mantiqiy usul bilan qarama-qarshilik bilan isbotlanadi, u matematik usul bilan isbotlangan to'g'ridan-to'g'ri teoremaga ega va matematik usul bilan isbotlanmaydi.
Natijadagi xulosa Buyuk Ferma teoremasiga zid ravishda isbotlash usuliga nisbatan alohida ahamiyatga ega. Uni isbotlashga urinishlarning aksariyati odatiy matematik usulga emas, balki qarama-qarshilik bilan isbotlashning mantiqiy usuliga asoslanadi. Wilesning Buyuk Ferma teoremasining isboti bundan mustasno emas.
Dmitriy Abrarov o'zining "Fermat teoremasi: Wiles isbotlari hodisasi" maqolasida Buyuk Ferma teoremasining Uilz tomonidan isbotlanishiga sharhni e'lon qildi. Abrarovning fikricha, Uilz Ferma tenglamasining potentsial yechimini bog‘lagan nemis matematigi Gerxard Freyning (1944 y. t.) ajoyib topilmasi yordamida Buyuk Ferma teoremasini isbotlaydi. x n + y n = z n
, qayerda n> 2
, boshqa, undan butunlay farqli, tenglama bilan. Bu yangi tenglama maxsus egri chiziq (Frey elliptik egri deb ataladi) bilan berilgan. Frey egri chizig'i juda oddiy ko'rinishdagi tenglama bilan berilgan:
.
"Ya'ni, Frey har qanday yechimga mos keldi (a, b, c) Ferma tenglamasi, ya'ni munosabatni qanoatlantiruvchi sonlar a n + b n = c n yuqoridagi egri. Bu holda buyuk Ferma teoremasi shu yerdan kelib chiqadi.(Iqtibos: Abrarov D. “Fermat teoremasi: Uilz isbotlari hodisasi”)
Boshqacha aytganda, Gerxard Frey buyuk Ferma teoremasining tenglamasini taklif qildi x n + y n = z n
, qayerda n> 2
, musbat butun sonlarda yechimlari bor. Bu yechimlar Freyning taxminiga ko'ra, uning tenglamasining yechimlaridir
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0
, bu uning elliptik egri chizig'i bilan berilgan.
Endryu Uayls Frey tomonidan va uning yordami bilan ushbu ajoyib topilmani qabul qildi matematik usul bu topilma, ya'ni Frey elliptik egri chizig'i mavjud emasligini isbotladi. Shuning uchun, mavjud bo'lmagan elliptik egri chiziq bilan berilgan tenglama va uning echimlari mavjud emas, shuning uchun Uilz Buyuk Ferma teoremasining tenglamasi va Ferma teoremasining o'zi mavjud emas degan xulosani qabul qilishi kerak edi. Biroq, u Buyuk Ferma teoremasining tenglamasi musbat butun sonlarda yechimga ega emas, degan oddiyroq xulosaga keldi.
Uayls Fermatning oxirgi teoremasida aytilgan ma'noga mutlaqo zid bo'lgan farazni qabul qilganligi inkor etib bo'lmaydigan haqiqat bo'lishi mumkin. U Uilzni Fermaning oxirgi teoremasini qarama-qarshilik bilan isbotlashga majbur qiladi. Biz undan o'rnak olamiz va bu misoldan nima chiqishini ko'ramiz.
Fermaning oxirgi teoremasi tenglama ekanligini bildiradi x n + y n = z n , qayerda n> 2 , musbat butun sonlarda yechimga ega emas.
Qarama-qarshilik bilan isbotlashning mantiqiy usuliga ko'ra, bu gap saqlanib qoladi, isbotsiz berilgandek olinadi va keyin ma'no jihatdan qarama-qarshi gap bilan to'ldiriladi: tenglama. x n + y n = z n , qayerda n> 2 , musbat butun sonlarda yechimlari bor.
Da'vo qilingan bayonot ham dalilsiz, berilgan deb qabul qilinadi. Mantiqning asosiy qonunlari nuqtai nazaridan ko'rib chiqilgan ikkala bayonot ham bir xil darajada to'g'ri, teng va bir xil darajada mumkin. To'g'ri mulohaza yuritish orqali ularning qaysi biri noto'g'ri ekanligini aniqlash kerak, keyin boshqa gapning to'g'ri ekanligini aniqlash kerak.
To'g'ri fikrlash noto'g'ri, bema'ni xulosa bilan tugaydi, uning mantiqiy sababi faqat qarama-qarshi ma'noning ikki qismini o'z ichiga olgan isbotlanayotgan teoremaning ziddiyatli sharti bo'lishi mumkin. Ular absurd xulosaning mantiqiy sababi, ziddiyat bilan isbotlash natijasi edi.
Biroq, mantiqiy to'g'ri fikr yuritish jarayonida qaysi bir bayonot noto'g'ri ekanligini aniqlash mumkin bo'lgan biron bir belgi topilmadi. Bu bayonot bo'lishi mumkin: tenglama x n + y n = z n , qayerda n> 2 , musbat butun sonlarda yechimlari bor. Xuddi shu asosda, bu bayonot bo'lishi mumkin: tenglama x n + y n = z n , qayerda n> 2 , musbat butun sonlarda yechimga ega emas.
Fikrlash natijasida faqat bitta xulosa bo'lishi mumkin: Fermaning oxirgi teoremasini qarama-qarshilik bilan isbotlab bo'lmaydi.
Agar Fermaning oxirgi teoremasi odatdagi matematik usul bilan isbotlangan to'g'ridan-to'g'ri teoremaga ega bo'lgan qarama-qarshi teorema bo'lsa, bu butunlay boshqacha masala bo'lar edi. Bunday holda, buni qarama-qarshilik bilan isbotlash mumkin edi. Va bu to'g'ridan-to'g'ri teorema bo'lgani uchun, uning isboti qarama-qarshilik bilan isbotlashning mantiqiy usuliga emas, balki odatiy matematik usulga asoslanishi kerak.
D. Abrarovning fikricha, zamonaviy rus matematiklarining eng mashhuri, akademik V. I. Arnold Uaylsning isbotiga "faol shubha bilan" munosabat bildirgan. Akademik shunday dedi: "Bu haqiqiy matematika emas - haqiqiy matematika geometrik va fizika bilan bog'liq kuchli." (Iqtibos: Abrarov D. "Fermat teoremasi: Wiles isbotlari fenomeni." Akademikning bayonoti Uilzning asosiy mohiyatini ifodalaydi. Buyuk Ferma teoremasining matematik bo'lmagan isboti.
Qarama-qarshilik bilan Buyuk Ferma teoremasining tenglamasining yechimlari yo'qligini ham, uning yechimlari borligini ham isbotlab bo'lmaydi. Uilsning xatosi matematik emas, balki mantiqiydir - qarama-qarshilik bilan isbotdan foydalanish mantiqiy emas va Buyuk Ferma teoremasini isbotlamaydi.
Fermaning oxirgi teoremasi odatdagi matematik usul yordamida isbotlanmaydi, agar u berilgan bo'lsa: tenglama x n + y n = z n , qayerda n> 2 , musbat butun sonlarda yechimlari yo'q va unda isbotlash talab etilsa: tenglama x n + y n = z n , qayerda n> 2 , musbat butun sonlarda yechimga ega emas. Bu shaklda teorema emas, balki ma'nodan mahrum tavtologiya mavjud.
Eslatma. Mening BTF haqidagi isbotim forumlardan birida muhokama qilindi. Trotilning ishtirokchilaridan biri, raqamlar nazariyasi bo'yicha mutaxassis quyidagi nufuzli bayonot bilan chiqdi: "Mirgorodskiy nima qilganligi haqida qisqacha ma'lumot". Men so'zma-so'z keltiraman:
« A. U buni isbotladi, agar z 2 = x 2 + y , keyin z n> x n + y n ... Bu hammaga ma'lum va juda aniq fakt.
V. U ikkita uchlikni oldi - Pifagor va Pifagor bo'lmagan va oddiy qidiruv orqali ma'lum, o'ziga xos uchlik oilasi (78 va 210 dona) uchun BTF bajarilganligini ko'rsatdi (va faqat uning uchun).
BILAN. Va keyin muallif bu faktni o'tkazib yuboradi < keyingi darajada bo'lishi mumkin = , nafaqat > ... Oddiy qarshi misol - o'tish n = 1 v n = 2 Pifagor uchligida.
D. Bu nuqta BTF isbotiga muhim hech narsa qo'shmaydi. Xulosa: BTF isbotlanmagan.
Men uning xulosasini nuqtama ko'rib chiqaman.
A. Bu Pifagor raqamlarining cheksiz uchliklari to'plami uchun BTFni isbotladi. Men ishonganimdek, men tomonidan kashf qilinmagan, balki qayta kashf etilgan geometrik usul bilan isbotlangan. Va buni, menimcha, P. Fermatning o'zi kashf etgan. Fermat yozganida aynan shu narsani nazarda tutgan bo'lishi mumkin:
"Men buning haqiqatan ham ajoyib isbotini topdim, ammo bu maydonlar uning uchun juda tor." Bu mening taxminim, Diofant muammosida, kitobning chetida, deb yozgan Fermat, biz Pifagor raqamlarining uch barobari bo'lgan Diofant tenglamasining echimlari haqida gapirganiga asoslanadi.
Pifagor sonlarining cheksiz uchlik toʻplami Diofatik tenglamaning yechimlari boʻlib, Ferma teoremasida, aksincha, yechimlarning hech biri Ferma teoremasi tenglamasining yechimi boʻla olmaydi. Fermatning chinakam mo''jizaviy isboti esa bu haqiqat bilan bevosita bog'liq. Keyinchalik Ferma o'z teoremasini barcha natural sonlar to'plamiga kengaytira oldi. Barcha natural sonlar to'plamida BTF "o'ta chiroyli teoremalar to'plami" ga tegishli emas. Bu mening taxminim, uni isbotlash yoki rad etish mumkin emas. Buni ham qabul qilish, ham rad etish mumkin.
V. Shu o‘rinda men o‘zboshimchalik bilan olingan Pifagor raqamlari uchligining oilasi ham, Pifagor bo‘lmagan BTF raqamlari uchligining oilasi ham qanoatlantirilganligini isbotlayman. Bu mening BTF isbotimdagi zarur, ammo yetarli emas va oraliq bo‘g‘indir. . Men Pifagor raqamlarining uch karrali oilasi va Pifagor bo'lmagan raqamlarning uchlik oilasi haqida olgan misollar, shunga o'xshash boshqa misollarning mavjudligini taxmin qiladigan va istisno qilmaydigan aniq misollar ma'nosiga ega.
Trotilning "oddiy qidiruv orqali ma'lum, aniq uchlik oilasi (78 va 210 dona) uchun BTF amalga oshirilganligini (va faqat buning uchun) ko'rsatdim" degan da'vosi asossizdir. U bir va boshqa uchliklarning o'ziga xos oilasini olish uchun Pifagor va Pifagor bo'lmagan uchliklarning boshqa misollarini ham olishim mumkinligini inkor eta olmaydi.
Qaysi uchlik juftligini olsam, ularning muammoni hal qilish uchun yaroqliligini, mening fikrimcha, faqat "oddiy sanab o'tish" usuli bilan tekshirish mumkin. Boshqa usul menga ma'lum emas va talab qilinmaydi. Agar Trotil buni yoqtirmasa, u boshqa usulni taklif qilishi kerak edi, u yoqmaydi. Buning evaziga hech narsa taklif qilmasdan, bu holda almashtirib bo'lmaydigan "oddiy qo'pol kuch" ni qoralash noto'g'ri.
BILAN. Men = orasida qoldirdim< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), qaysi daraja n> 2 — butun ijobiy raqam. Tengsizliklar orasidagi tenglikdan kelib chiqadi majburiy(1) tenglamani hisobga olish butun son bo'lmagan daraja bilan n> 2 ... Trotilni hisoblash majburiy tengsizliklar o'rtasidagi tenglikni hisobga olish aslida ko'rib chiqadi zarur BTF isbotida, (1) tenglamani ko'rib chiqish to'liqsiz darajaning ma'nosi n> 2 ... Men buni o'zim uchun qildim va (1) tenglamani topdim to'liqsiz darajaning ma'nosi n> 2 uchta raqamning yechimiga ega: z, (z-1), (z-1) butun son bo'lmagan ko'rsatkich bilan.
Grigoriy Perelman. Refusenik
Vasiliy Maksimov
2006 yil avgust oyida eng nufuzli Fields medalini olgan sayyoramizning eng yaxshi matematiklarining nomlari e'lon qilindi - Nobel mukofotining o'ziga xos analogi, matematiklar Alfred Nobelning xohishiga ko'ra undan mahrum bo'lishdi. Filds medali - faxriy nishondan tashqari, laureatlarga o'n besh ming Kanada dollari miqdorida chek beriladi - har to'rt yilda bir marta Xalqaro matematiklar kongressi tomonidan beriladi. U kanadalik olim Jon Charlz Filds tomonidan asos solingan va birinchi marta 1936 yilda mukofotlangan. 1950 yildan beri Fields medali matematika fanini rivojlantirishga qo'shgan hissasi uchun Ispaniya qiroli tomonidan muntazam ravishda taqdirlanadi. Mukofot laureatlari qirq yoshgacha bo‘lgan bir nafardan to‘rt nafargacha olimlar bo‘lishi mumkin. Mukofotni allaqachon 44 nafar matematik olgan, ulardan sakkiz nafari rossiyalik.
Grigoriy Perelman. Anri Puankare.
2006-yilda fransuz Vendelin Verner, avstraliyalik Terens Tao va ikki nafar rossiyalik – AQShda ishlayotgan Andrey Okunkov va Peterburglik olim Grigoriy Perelman laureatlar bo‘ldi. Biroq, so'nggi daqiqada Perelman ushbu nufuzli mukofotdan voz kechgani ma'lum bo'ldi - tashkilotchilar e'lon qilganidek, "prinsipial sabablarga ko'ra".
Rus matematikining bunday g'ayrioddiy harakati uni tanigan odamlarni ajablantirmadi. U matematik mukofotlardan bosh tortayotgani birinchi marta emas, bu qarorini tantanali tadbirlar va uning nomi atrofidagi haddan tashqari shov-shuvni yoqtirmasligi bilan izohladi. Bundan 10 yil oldin, 1996 yilda Perelman Yevropa matematika kongressida mukofotga nomzod bo‘lgan ilmiy muammo ustida ishlashni tugatmaganligini va bu oxirgi marta emasligini aytib, mukofotni rad etgan edi. Rus matematigi jamoatchilik fikri va ilmiy jamoatchilik fikriga zid bo'lib, odamlarni hayratda qoldirishni o'zining hayotiy maqsadiga aylantirganga o'xshaydi.
Grigoriy Yakovlevich Perelman 1966 yil 13 iyunda Leningradda tug'ilgan. U yoshligidan aniq fanlarga mehr qo'ygan, matematikani chuqur o'rganishga ixtisoslashgan mashhur 239-o'rta maktabni a'lo darajada tamomlagan, ko'plab matematika olimpiadalarida g'olib chiqqan: masalan, 1982 yilda u Sovet maktab o'quvchilari jamoasi tarkibida qatnashgan. Budapeshtda boʻlib oʻtgan Xalqaro matematika olimpiadasida. Perelman imtihonsiz Leningrad universitetining mexanika-matematika fakultetiga o'qishga kirdi va u erda a'lo darajada o'qidi va barcha darajadagi matematika musobaqalarida g'olib chiqishni davom ettirdi. Universitetni imtiyozli diplom bilan tamomlab, Steklov nomidagi matematika institutining Sankt-Peterburg filiali qoshidagi aspiranturaga o‘qishga kirdi. Uning ilmiy maslahatchisi taniqli matematik akademik Aleksandrov edi. Grigoriy Perelman nomzodlik dissertatsiyasini himoya qilib, institutda, geometriya va topologiya laboratoriyasida qoldi. Uning Aleksandrov fazolari nazariyasi bo'yicha ishi ma'lum, u bir qator muhim farazlarga dalil topa oldi. G'arbning etakchi universitetlaridan ko'plab takliflarga qaramay, Perelman Rossiyada ishlashni afzal ko'radi.
Uning eng katta muvaffaqiyati 2002 yilda 1904 yilda nashr etilgan mashhur Puankare gipotezasining yechimi bo'ldi va shundan beri isbotlanmagan. Perelman buning ustida sakkiz yil ishladi. Puankare gipotezasi eng katta matematik sirlardan biri hisoblangan va uning yechimi matematika fanidagi eng muhim yutuqdir: u koinotning fizikaviy va matematik asoslari muammolari boʻyicha tadqiqotlarni bir zumda ilgari suradi. Sayyoradagi eng ko'zga ko'ringan odamlar uning yechimini bir necha o'n yillar o'tgach bashorat qilishdi va Massachusets shtatining Kembrij shahridagi Kley matematika instituti Puankare muammosini ming yillikning eng qiziqarli yettita yechilmagan matematik muammolari qatoriga kiritdi, ularning har biriga million dollar mukofot va'da qilindi. (Mingyillik mukofoti muammolari) ...
Fransuz matematigi Anri Puankare (1854-1912) tomonidan tuzilgan faraz (ba'zan muammo deb ataladi) quyidagicha tuzilgan: har qanday yopiq, oddiy bog'langan uch o'lchovli fazo uch o'lchovli sferaga gomeomorfdir. Tushuntirish uchun tasviriy misoldan foydalaning: agar siz olmani kauchuk lenta bilan o'rab qo'ysangiz, unda, qoida tariqasida, lentani tortib, olmani bir nuqtaga siqib qo'yishingiz mumkin. Agar siz simitni xuddi shu lenta bilan o'rab qo'ysangiz, uni donutni ham, kauchukni ham yirtmasdan siqib chiqolmaysiz. Shu nuqtai nazardan, olma "yakka bog'langan" raqam deb ataladi, donut esa oddiygina bog'lanmagan. Deyarli bir asr oldin Puankare ikki o'lchovli sfera oddiygina bog'langanligini aniqladi va uch o'lchovli sfera ham oddiygina bog'langan, deb taklif qildi. Dunyoning eng yaxshi matematiklari bu farazni isbotlay olmadilar.
Kley instituti sovriniga ega bo'lish uchun Perelman o'z yechimini ilmiy jurnallardan birida nashr etishi kerak edi va agar ikki yil ichida uning hisob-kitoblarida hech kim xato topmasa, yechim to'g'ri deb hisoblanadi. Biroq, Perelman boshidanoq qoidalardan chetga chiqdi va o'z qarorini Los Alamos Ilmiy Laboratoriyasining preprint saytida e'lon qildi. Ehtimol, u hisob-kitoblarida xatolik yuz berganidan qo'rqqandir - shunga o'xshash voqea matematikada allaqachon sodir bo'lgan. 1994 yilda ingliz matematigi Endryu Uayls mashhur Ferma teoremasining yechimini taklif qildi va bir necha oy o'tgach, uning hisob-kitoblarida xatolik paydo bo'lganligi ma'lum bo'ldi (garchi keyinchalik bu tuzatilgan va sensatsiya hali ham davom etgan). Haligacha Puankare gipotezasini tasdiqlovchi rasmiy nashr yo'q - lekin Perelmanning hisob-kitoblarining to'g'riligini tasdiqlovchi sayyoramizning eng yaxshi matematiklarining nufuzli fikri mavjud.
Filds medali Grigoriy Perelmanga aynan Puankare muammosini hal qilgani uchun berilgan. Ammo rossiyalik olim o'zi shak-shubhasiz munosib bo'lgan mukofotni rad etdi. “Gregori menga oʻzini xalqaro matematiklar hamjamiyatidan, bu hamjamiyatdan tashqarida qolgandek his qilishini va shuning uchun mukofot olishni istamasligini aytdi”, — dedi Madriddagi matbuot anjumanida Butunjahon matematiklar ittifoqi (WCM) prezidenti. Ingliz Jon Ball.
Mish-mishlarga ko'ra, Grigoriy Perelman fanni butunlay tark etmoqchi: olti oy oldin u o'zining Steklov nomidagi matematika institutini tark etgan va u endi matematika bilan shug'ullanmaydi, deyishadi. Ehtimol, rus olimi mashhur farazni isbotlab, ilm-fan uchun qo'lidan kelganini qildi, deb hisoblaydi. Biroq, bunday zo'r olim va g'ayrioddiy shaxsning tafakkur poyezdi haqida gapirishni kim o'z zimmasiga oladi? .. Perelman har qanday izohni rad etadi va The Daily Telegraph nashriga u shunday dedi: "Men hech narsa aytishim mumkin emas, zarracha jamoat manfaati." Biroq yetakchi ilmiy nashrlar “Grigoriy Perelman Puankare teoremasini yechgan holda, o‘tmish va hozirgi zamonning eng buyuk daholari bilan bir qatorda turgan”, degan xabarlarda bir ovozdan baho berishgan.
Oylik adabiy jurnalistik jurnal va nashriyot.
Endryu Uayls 2016 yilda Taniyama-Shimura gipotezasini yarim turg'un elliptik egri chiziqlar va bu farazdan kelib chiqadigan Ferma teoremasining isboti uchun Abel mukofotini oladi. Hozirda mukofot 6 million NOK yoki taxminan 50 million rublni tashkil qiladi. Uaylsning so‘zlariga ko‘ra, bu mukofot uning uchun “to‘liq syurpriz” bo‘lgan.
20 yildan ortiq vaqt oldin isbotlangan Ferma teoremasi hali ham matematiklarning e'tiborini tortmoqda. Qisman, bu hatto maktab o'quvchisi uchun ham tushunarli bo'lgan uning formulasi bilan bog'liq: tabiiy n> 2 uchun a n + b n = c n bo'ladigan nolga teng bo'lmagan butun sonlarning uchliklari yo'qligini isbotlang. Per Ferma bu iborani Diofantning “Arifmetika” kitobining chetiga “Men buning [bu bayonotning] haqiqatdan ham ajoyib isbotini topdim, lekin kitobning chetlari uning uchun juda tor” degan ajoyib imzo bilan yozgan. Ko'pgina matematik hikoyalardan farqli o'laroq, bu haqiqatdir.
Mukofotning taqdimoti Ferma teoremasi bilan bog'liq o'nta qiziqarli hikoyani eslash uchun ajoyib imkoniyatdir.
1.
Endryu Uayls Ferma teoremasini isbotlashdan oldin uni gipoteza, ya'ni Ferma gipotezasi deb atash to'g'riroq edi. Gap shundaki, teorema, ta'rifiga ko'ra, allaqachon tasdiqlangan bayonotdir. Biroq, negadir bunday nom ushbu bayonotga yopishib qoldi.
2.
Agar Ferma teoremasiga n = 2 ni qo‘ysak, bunday tenglama cheksiz ko‘p yechimga ega. Bu yechimlar "Pifagor uchliklari" deb ataladi. Ular bu nomni oldilar, chunki ular to'g'ri burchakli uchburchaklarga mos keladi, ularning tomonlari xuddi shunday raqamlar to'plami bilan ifodalanadi. Ushbu uchta formuladan foydalanib, siz Pifagor uchliklarini yaratishingiz mumkin (m 2 - n 2, 2mn, m 2 + n 2). Ushbu formulalarga m va n ning turli qiymatlari almashtirilishi kerak va natijada bizga kerak bo'lgan uchlik bo'ladi. Biroq, bu erda asosiy narsa, olingan raqamlar noldan katta bo'lishiga ishonch hosil qilishdir - uzunliklarni manfiy raqamlar bilan ifodalash mumkin emas.
Aytgancha, Pifagor uchligidagi barcha raqamlar nolga teng bo'lmagan ko'paytirilsa, siz yangi Pifagor uchligini olishingizni tushunish oson. Shuning uchun yig'indidagi uchta sonning umumiy bo'luvchisi bo'lmagan uchliklarni o'rganish maqsadga muvofiqdir. Biz ta'riflagan sxema bizga bunday uchliklarning barchasini olish imkonini beradi - bu endi oddiy natija emas.
3.
1847 yil 1 martda Parij Fanlar akademiyasining yig'ilishida bir vaqtning o'zida ikkita matematik - Gabriel Lame va Avgustin Koshi ajoyib teoremani isbotlash arafasida ekanliklarini e'lon qilishdi. Ular dalillarni joylashtirish orqali musobaqaga kirishdilar. Ko‘pchilik akademiklar Cho‘loq tarafdori edilar, chunki Koshi o‘zini o‘ylantirmaydigan, murosasiz diniy aqidaparast (va, albatta, mutlaq ajoyib matematik) edi. Biroq, o'yin tugashi kerak emas edi - uning do'sti Jozef Liouvil orqali nemis matematigi Ernst Kummer akademiklarga Koshi va Lamening dalillarida bir xil xatolik borligini aytdi.
Maktabda sonni tub omillarga ajratish noyob ekanligi isbotlangan. Ikkala matematik ham, agar siz murakkab holatda allaqachon butun sonlarning parchalanishiga qarasangiz, bu xususiyat - o'ziga xoslik saqlanib qoladi, deb ishonishgan. Biroq, unday emas.
Shunisi e'tiborga loyiqki, agar biz faqat m + i n ni hisobga olsak, u holda parchalanish noyobdir. Bunday raqamlar Gauss deb ataladi. Ammo Lame va Koshining ishi uchun siklotomik maydonlarda faktorizatsiya zarur edi. Bular, masalan, m va n ratsional bo'lgan va i i ^ k = 1 xossasini qanoatlantiradigan sonlardir.
4.
n = 3 uchun Ferma teoremasi aniq geometrik ma'noga ega. Tasavvur qilaylik, bizda juda ko'p kichik kublar bor. Aytaylik, biz ulardan ikkita katta kubni yig'dik. Bu holda, albatta, tomonlar butun sonlar bo'ladi. Ikkita shunday katta kubni topish mumkinmiki, ularni kichik kublarga bo'lib, ulardan bitta katta kubni yig'ishimiz mumkinmi? Ferma teoremasi shuni aytadiki, siz buni hech qachon qila olmaysiz. Qiziq, agar siz uchta kub uchun bir xil savolni bersangiz, javob ha bo'ladi. Masalan, ajoyib matematik Srinivas Ramanujan tomonidan kashf etilgan shunday to'rtta raqam mavjud:
3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3
5.
Ferma teoremasining hikoyasida Leonard Eyler ta'kidladi. U haqiqatda bayonotni isbotlay olmadi (hatto dalilga yaqinlashdi), lekin u gipotezani shakllantirdi, degan tenglama
x 4 + y 4 + z 4 = u 4
butun sonli yechimga ega emas. Bunday tenglamaning yechimini topishga qaratilgan barcha urinishlar muvaffaqiyatsiz tugadi. 1988-yilgacha Garvardning Naum Elkies bunga qarshi misol topdi. Bu shunday ko'rinadi:
2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4 .
Odatda bu formula raqamli tajriba kontekstida esga olinadi. Qoida tariqasida, matematikada bu shunday ko'rinadi: qandaydir formula mavjud. Matematik bu formulani oddiy hollarda tekshiradi, haqiqatni tasdiqlaydi va ba'zi bir farazni shakllantiradi. Keyin u (ko'pincha uning ba'zi aspirantlari yoki talabasi) qo'llari bilan sanab bo'lmaydigan etarlicha katta sonlar uchun formula to'g'ri ekanligini tekshirish uchun dastur yozadi (biz tub sonlar bilan shunday tajriba haqida gapiramiz). Bu, albatta, dalil emas, balki gipotezani aytish uchun ajoyib sababdir. Ushbu konstruktsiyalarning barchasi, agar biron bir oqilona formulaga qarama-qarshi misol bo'lsa, biz uni tezda topamiz degan oqilona taxminga asoslanadi.
Eyler gipotezasi hayot bizning fantaziyalarimizga qaraganda ancha xilma-xil ekanligini eslatadi: birinchi qarshi misol o'zboshimchalik bilan katta bo'lishi mumkin.
6.
Aslida, albatta, Endryu Uayls Ferma teoremasini isbotlashga urinmagan - u Taniyama-Shimura gipotezasi deb ataladigan murakkabroq masalani hal qilardi. Matematikada ob'ektlarning ikkita ajoyib sinfi mavjud. Birinchisi modulli shakllar deb ataladi va asosan Lobachevskiy fazosida funktsiyadir. Bu funktsiyalar aynan shu tekislikning harakatlari bilan o'zgarmaydi. Ikkinchisi "elliptik egri chiziqlar" deb ataladi va murakkab tekislikdagi uchinchi darajali tenglama bilan aniqlangan egri chiziqlardir. Ikkala ob'ekt ham raqamlar nazariyasida juda mashhur.
O'tgan asrning 50-yillarida Tokio universiteti kutubxonasida ikki iste'dodli matematik Yutaka Taniyama va Goro Shimura uchrashdi. O'sha paytda universitetda maxsus matematika yo'q edi: u urushdan keyin tiklanish uchun vaqt topolmadi. Natijada, olimlar eski darsliklardan foydalangan holda o'rganishdi va Evropa va Qo'shma Shtatlarda hal qilingan va ayniqsa dolzarb bo'lmagan muammolarni seminarlarda tahlil qilishdi. Aynan Taniyama va Shimura modulli shakllar va elliptik funktsiyalar o'rtasida qandaydir muvofiqlik mavjudligini aniqladilar.
Ular o'zlarining gipotezalarini oddiy egri chiziqlar bo'yicha sinab ko'rdilar. Ishlayotgani ma'lum bo'ldi. Shunday qilib, ular bu aloqa har doim mavjud deb taxmin qilishdi. Taniyama-Shimura gipotezasi shunday paydo bo'ldi va uch yildan so'ng Taniyama o'z joniga qasd qildi. 1984 yilda nemis matematigi Gerxard Frey agar Ferma teoremasi noto'g'ri bo'lsa, Taniyama-Shimura gipotezasi noto'g'ri ekanligini ko'rsatdi. Bundan kelib chiqadiki, bu taxminni isbotlagan kishi teoremani ham isbotlaydi. Uayls aynan shunday qildi - lekin juda umumiy tarzda emas.
7.
Uils gipotezani isbotlash uchun sakkiz yil vaqt sarfladi. Va tekshirish paytida sharhlovchilar unda xato topdilar, bu ko'pchilik dalillarni "o'ldirdi" va barcha yillar ishini bekor qildi. Richard Teylor ismli sharhlovchilardan biri bu teshikni Wiles bilan ta'mirlashni o'z zimmasiga oldi. Ular ishlayotganda, Eyler taxminiga qarshi misol topgan Elkies Ferma teoremasiga qarshi misol topgani haqida xabar paydo bo'ldi (keyinchalik bu aprel hazilining hazili ekanligi ma'lum bo'ldi). Uayls tushkunlikka tushdi va davom etishni xohlamadi - dalillardagi teshik hech qanday tarzda yopilmadi. Teylor Uilzni yana bir oy jang qilishga ko‘ndirdi.
Mo''jiza ro'y berdi va yozning oxiriga kelib, matematiklar yutuq yaratishga muvaffaq bo'lishdi - Endryu Uaylsning "Modulli elliptik egri chiziqlar va buyuk Ferma teoremasi" (pdf) va "Ba'zi Gekke algebralarining halqa-nazariy xususiyatlari" asarlari shunday. " Richard Teylor va Endryu Uayls tomonidan tug'ilgan. Bu allaqachon to'g'ri dalil edi. U 1995 yilda nashr etilgan.
8.
Matematik Pol Volfskel 1908 yilda Darmshtadtda vafot etdi. O'zidan keyin u vasiyatnoma qoldirdi, unda u matematik jamiyatga Fermatning buyuk teoremasining isbotini topish uchun 99 yil berdi. Dalil muallifi 100 ming marka olishi kerak edi (qarama-misol muallifi, aytmoqchi, hech narsa olmagan bo'lardi). Mashhur afsonaga ko'ra, sevgi Volfskhelni matematiklarga bunday sovg'a qilishga undagan. Saymon Singx Fermatning oxirgi teoremasi kitobida afsonani shunday tasvirlaydi:
Hikoya Volfskelning shaxsi hech qachon aniqlanmagan go‘zal ayolga ishqibozligi bilan boshlanadi. Wolfskel juda afsusda, sirli ayol uni rad etdi. U shunday chuqur tushkunlikka tushdiki, u o'z joniga qasd qilishga qaror qildi. Wolfskel ehtirosli odam edi, lekin impulsiv emas edi va shuning uchun o'z o'limini har bir detalda ishlab chiqa boshladi. U o'z joniga qasd qilish sanasini belgilab qo'ydi va yarim tunda soatning birinchi zarbasi bilan o'zini boshiga otishga qaror qildi. Qolgan kunlarda Volfskel o'z ishlarini tartibga solishga qaror qildi, ular juda yaxshi ketmoqda va oxirgi kuni u vasiyat qildi va yaqin do'stlari va qarindoshlariga xat yozdi.
Volfskel shunchalik ko'p ishladiki, u yarim tungacha barcha ishlarini tugatdi va qolgan soatlarni qandaydir tarzda to'ldirish uchun kutubxonaga bordi va u erda matematik jurnallarni ko'ra boshladi. Ko'p o'tmay u Kummerning klassik maqolasiga duch keldi, unda u nima uchun Koshi va Lame muvaffaqiyatsizlikka uchraganini tushuntirdi. Kummerning ishi o'z davrining eng muhim matematik nashrlaridan biri bo'lib, o'z joniga qasd qilishni rejalashtirgan matematik uchun mukammal o'qish edi. Volfskel ehtiyotkorlik bilan Kummerning hisob-kitoblarini qatorma-bosqich kuzatib bordi. To'satdan Volfskelga u bo'shliqni aniqlagandek tuyuldi: muallif ma'lum bir taxmin qildi va o'z mulohazalarida bu qadamni tasdiqlamadi. Volfskel haqiqatan ham jiddiy bo'shliqni topdimi yoki Kummerning taxmini to'g'rimi, deb hayron bo'ldi. Agar bo'shliq topilsa, Fermaning oxirgi teoremasini ko'pchilik o'ylagandan ko'ra osonroq isbotlash imkoniyati bor edi.
Wolfskel stolga o'tirdi, Kummer fikrining "noto'g'ri" qismini sinchkovlik bilan tahlil qildi va Kummer ishini qo'llab-quvvatlashi yoki uning taxminining noto'g'riligini ko'rsatishi va natijada uning barcha dalillarini rad etishi kerak bo'lgan mini-dalilni chizishni boshladi. . Tong otguncha Volfskel hisob-kitoblarni tugatdi. Yomon xabar (matematik jihatdan) Kummerning isboti tuzatilganligi va Fermatning oxirgi teoremasi hali ham mavjud emasligi edi. Ammo yaxshi yangilik bor edi: o'z joniga qasd qilish uchun belgilangan vaqt tugadi va Volfskel shu qadar mag'rur ediki, u buyuk Ernest Kummerning ishidagi bo'shliqni topib, to'ldirishga muvaffaq bo'ldiki, uning umidsizlik va qayg'usi o'z-o'zidan tarqaldi. Matematika uning hayotga chanqoqligini jonlantirdi.
Biroq, muqobil versiya ham mavjud. Uning so'zlariga ko'ra, Volfskel matematikani (va, aslida, Ferma teoremasini) progressiv skleroz tufayli oldi, bu esa unga o'zi yoqtirgan narsa - shifokor bo'lishdan to'sqinlik qildi. Va u umrining oxirigacha oddiygina yomon ko'rgan xotinini tashlab ketmaslik uchun pulni matematiklarga qoldirdi.
9.
Ferma teoremasini elementar usullar bilan isbotlashga urinishlar “fermatistlar” deb atalgan gʻalati odamlarning butun bir tabaqasining paydo boʻlishiga olib keldi. Ular juda ko'p dalillarni ishlab chiqarish bilan shug'ullanishgan va bu dalilda xato topilganda, umuman umidsizlikka tushishmagan.
Moskva davlat universitetining mexanika-matematika fakultetida Dobretsov ismli afsonaviy qahramon bor edi. U turli bo'limlardan sertifikatlar yig'ib, ulardan foydalanib, mexanika va matematika bo'limiga kirib bordi. Bu faqat qurbonni topish uchun qilingan. Negadir u yosh aspirantga (bo‘lajak akademik Novikov) duch keldi. U o'zining soddaligi bilan Dobretsov unga so'zlarni yozib qo'ygan qog'ozlar to'plamini sinchkovlik bilan o'rgana boshladi, deyishadi, buning isboti. Yana “xato...” Dobretsov qoziqni olib, portfeliga soldi. Ikkinchi portfeldan (ha, u ikkita portfel bilan mexanika-matematika bo'limidan o'tdi) ikkinchi qoziqni chiqarib, xo'rsindi va dedi: "Xo'sh, 7 B variantini ko'rib chiqaylik".
Darvoqe, bu dalillarning aksariyati “Tenglikning o‘ng tomoniga atamalardan birini o‘tkazamiz va faktorlarga ajratamiz” iborasi bilan boshlanadi.
10.
Teorema haqidagi hikoya ajoyib "Matematik va iblis" filmisiz to'liq bo'lmaydi.
Tuzatish
Ushbu maqolaning 7-bo'limida dastlab Naum Elkies Ferma teoremasiga qarshi misol topib, keyinchalik noto'g'ri bo'lib chiqdi. Bu to'g'ri emas: qarshi misol hisoboti bir aprel hazili edi. Noaniqlik uchun uzr so'raymiz.
Andrey Konyaev
