614 diagonaler av en rektangulär trapets. Trapesens diagonaler. Egenskaper hos en linje parallellt med basen på en trapets
Återigen den pytagoriska triangeln :))) Om en bit av den stora diagonalen från den stora basen till skärningspunkten betecknas x, så följer det från den uppenbara likheten mellan rätvinkliga trianglar med samma vinklar att x / 64 = 36 / x, därav x = 48; 48/64 = 3/4, därför är ALLA rätvinkliga trianglar bildade av baser, diagonaler och en sida vinkelrätt mot basen liknande en triangel med sidorna 3,4,5. Det enda undantaget är en triangel som bildas av bitar av diagonaler och en sned sida, men vi är inte intresserade av det :). (För att göra det tydligt är likheten i fråga bara EN ANNAN trigonometriska vinkelfunktioner :) vi känner redan till tangenten för vinkeln mellan den stora diagonalen och den stora basen, det är 3/4, vilket betyder att sinus är 3/5 , och cosinus är 4 /5 :)) Du kan genast skriva
Svar. Den nedre basen 80 kommer att vara 60, och den övre kommer att vara 45. (36 * 5/4 = 45, 64 * 5/4 = 80, 100 * 3/5 = 60)
Liknande uppgifter:
1. Prismans bas är en triangel, vars ena sida är 2 cm, och de andra två är 3 cm. Sidokanten är 4 cm och gör en vinkel på 45 med basplanet. Hitta kanten på en lika -storlek kub.
2. Basen för det lutande prisma är en liksidig triangel med sidan a; en av sidoytorna är vinkelrät mot basens plan och är en romb med den mindre diagonalen lika med c. Hitta prisma.
3. I ett lutande prisma är basen en rätvinklig triangel, vars hypotenusa är c, en spetsig vinkel är 30, sidokanten är lika med k och gör en vinkel på 60 med basplanet. Hitta volymen av prisma.
1. Hitta kvadratens sida om dess diagonal är 10 cm
2. I en likbent trapes är den trubbiga vinkeln 135 grader mindre än basen är 4 cm, och höjden är 2 cm, hittar du området för trapetsformen?
3. Trapesens höjd är 3 gånger höjden på en av baserna, men halva storleken på den andra. Hitta basen på trapetsformen och höjden om arean på trapetsformen är 168 cm i kvadrat?
4. I triangel ABC, vinkel A = B vinkel = 75 grader. Hitta BC om triangelns area är 36 cm i kvadrat.
1. I trapets ABCD med sidorna AB och CD skär diagonalerna vid punkt O
a) Jämför områdena för trianglarna ABD och ACD
b) Jämför områdena för trianglarna ABO och CDO
c) Bevisa att OA * OB = OC * OD
2. Basen i en likbent triangel hänvisar till sidosidan som 4: 3, och höjden som dras till basen är 30 cm. Hitta segmenten som denna höjd delas in i genom halvan av vinkeln vid basen.
3. Linje AM -tangent till en cirkel, AB -ackord för denna cirkel. Bevisa att vinkeln MAB mäts med hälften av bågen AB, belägen inuti vinkeln MAB.
- Segmentet som förbinder mittpunkterna på trapetsformade diagonaler är lika med hälften av basskillnaden
- Trianglar som bildas av trapezoidens baser och diagonalsegmenten till skärningspunkten är liknande
- Trianglar bildade av segment av en trapetsoidens diagonaler, vars sidor ligger på trapesens laterala sidor - lika (har samma yta)
- Om du förlänger trapesens laterala sidor mot den mindre basen, skär de sig vid ett tillfälle med den raka linjen som förbinder basernas mittpunkter
- Segmentet som förbinder trapezoidens baser och passerar genom skärningspunkten för trapezoidens diagonaler delas med denna punkt i en proportion som är lika med förhållandet mellan längderna på trapetsbaserna
- Ett segment som är parallellt med trapetsbaserna och dras genom skärningspunkten för diagonalerna delas med denna punkt i hälften och dess längd är lika med 2ab / (a+ b), där a och b är baserna av trapetsformen
Egenskaper för linjesegmentet som förbinder mittpunkterna för trapetsformade diagonaler
Vi ansluter mittpunkterna för diagonalerna på trapetsformen ABCD, vilket resulterar i att vi har ett segment LM.
Segmentet som förbinder mitten av trapetsformade diagonaler, ligger på trapezoidens mittlinje.
Detta segment parallellt med trapetsformens bas.
Längden på segmentet som förbinder mittpunkterna på trapezoidens diagonaler är lika med halvdifferensen på dess baser.
LM = (AD - BC) / 2
eller
LM = (a-b) / 2
Egenskaper hos trianglar som bildas av diagonalerna i en trapets
Trianglar som bildas av trapezoidens baser och skärningspunkten mellan trapezoidens diagonaler - är lika.
Trianglarna BOC och AOD liknar varandra. Eftersom vinklarna BOC och AOD är vertikala är de lika.
Vinklarna OCB och OAD är interna tvärgående med parallella linjer AD och BC (baserna på trapetsformen är parallella med varandra) och den sekundära linjen AC, därför är de lika.
Vinklarna OBC och ODA är lika av samma skäl (intern korsning).
Eftersom alla tre vinklarna i en triangel är lika med motsvarande vinklar för den andra triangeln är dessa trianglar lika.
Vad följer av detta?
För att lösa problem inom geometri används likheten mellan trianglar enligt följande. Om vi känner till värdena för längderna på de två motsvarande elementen i liknande trianglar, så hittar vi likhetskoefficienten (vi delar den ena med den andra). Varifrån längden på alla andra element relaterar till varandra med exakt samma värde.
Egenskaper hos trianglar som ligger på sidan och diagonaler av en trapets
Tänk på två trianglar som ligger på sidorna av trapetsformen AB och CD. Dessa är trianglar AOB och COD. Trots att storleken på enskilda sidor av dessa trianglar kan vara helt olika, men områdena i trianglarna som bildas av sidorna och skärningspunkten mellan trapezoidens diagonaler är, det vill säga trianglarna är lika stora.
Om du förlänger trapesens sidor mot den mindre basen, kommer skärningspunkten mellan sidorna att vara matcha med en rak linje som går genom basernas mittpunkter.
Således kan vilken trapets som helst förlängas till en triangel. Vart i:
- Trianglar som bildas av basen på en trapezoid med en gemensam toppunkt vid skärningspunkten mellan de utsträckta laterala sidorna är liknande
- Den raka linjen som förbinder mittpunkterna för trapezoidens baser är samtidigt medianen för den konstruerade triangeln
Egenskaper hos linjen som förbinder trapetsformade baser
Om du ritar ett segment, vars ändar ligger på trapetsformens baser, som ligger vid skärningspunkten mellan trapezoidens diagonaler (KN), då förhållandet mellan dess ingående segment från basens sida till basen skärningspunkten för diagonalerna (KO / ON) kommer att vara lika med förhållandet mellan trapetsformens baser(BC / AD).
KO / ON = BC / AD
Denna egenskap följer av likheten hos motsvarande trianglar (se ovan).
Egenskaper hos en linje parallellt med basen på en trapets
Om du ritar ett segment parallellt med trapetsbaserna och passerar genom skärningspunkten för trapezoidens diagonaler, kommer det att ha följande egenskaper:
- Förinställd distans (KM) delar skärningspunkten för trapetsformade diagonaler i hälften
- Segmentlängd passerar genom skärningspunkten mellan trapezoidens diagonaler och parallellt med baserna är lika med KM = 2ab / (a+ b)
Formler för att hitta diagonalerna i en trapets
a, b- trapezoidens bas
CD- sidorna av trapetsformen
d1 d2- trapetsformade diagonaler
α β - vinklar med en större bas av trapets
Formler för att hitta en trapezoidas diagonaler genom baserna, sidorna och vinklarna vid basen
Den första gruppen med formler (1-3) återspeglar en av huvudegenskaperna hos trapetsformade diagonaler:
1. Summan av kvadraterna i diagonalerna i en trapets är lika med summan av sidornas kvadrater plus två gånger produkten av dess baser. Denna egenskap hos en trapezoidens diagonaler kan bevisas som en separat sats
2 ... Denna formel erhålls genom att konvertera den tidigare formeln. Kvadraten i den andra diagonalen kastas genom likhetstecknet, varefter kvadratroten extraheras från vänster och höger sida av uttrycket.
3 ... Denna formel för att hitta längden på en trapezoidas diagonal liknar den föregående, med skillnaden att en annan diagonal är kvar på vänster sida av uttrycket
Nästa grupp med formler (4-5) har en likartad betydelse och uttrycker ett liknande förhållande.
Gruppen med formler (6-7) låter dig hitta trapezoidens diagonal om trapetsformens större bas, ena sidan och vinkeln vid basen är känd.
Formler för att hitta en trapezoidas diagonaler när det gäller höjd
Uppgift.
Trapezoidens ABCD (AD | | BC) diagonaler skärs vid punkt O. Hitta längden på trapetsformens bas BC om basen är AD = 24 cm, längd AO = 9cm, längd OC = 6 cm.
Lösning.
Lösningen på detta problem när det gäller ideologi är absolut identisk med de tidigare problemen.
Trianglarna AOD och BOC är lika i tre vinklar - AOD och BOC är vertikala, och de andra vinklarna är lika parvis, eftersom de bildas genom skärningspunkten mellan en rak linje och två parallella linjer.
Eftersom trianglarna är lika är alla deras geometriska dimensioner relaterade till varandra, eftersom geometriska dimensioner av segmenten AO och OC är kända för oss från problemformuleringen. Det är
AO / OC = AD / BC
9/6 = 24 / BC
BC = 24 * 6/9 = 16
Svar: 16 cm
Uppgift.
I trapezoid ABCD är det känt att AD = 24, BC = 8, AC = 13, BD = 5√17. Hitta området för trapetsformen. 
Lösning.
För att hitta trapetsformens höjd från hörnen på den mindre basen B och C sänker vi två höjder till den större basen. Eftersom trapets är ojämlik, betecknar vi längden AM = a, längden KD = b ( inte att förväxla med notationen i formeln att hitta området för trapetsformen). Eftersom trapetsformens baser är parallella och vi utelämnade två höjder vinkelrätt mot den större basen, så är MBCK en rektangel.
Innebär att
AD = AM + BC + KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Trianglar DBM och ACK är rektangulära, så deras rätta vinklar bildas av trapetsformens höjder. Låt oss beteckna höjden på trapetsformen med h. Sedan med Pythagoras sats
H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
och
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2
Vi tar hänsyn till att a = 16 - b, sedan i den första ekvationen
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2
Låt oss ersätta värdet för kvadratet av höjden i den andra ekvationen som erhålls av Pythagoras sats. Vi får:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
- (64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Så KD = 12
Var
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Hitta trapezoidens yta genom dess höjd och halva summan av baserna
, där a b är trapetsformens bas, h är trapetsens höjd
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 cm 2
Svar: trapezoidens yta är 80 cm 2.
Om diagonalerna i en likbent trapes är vinkelräta kommer följande teoretiska material att vara användbart för att lösa problemet.
1. Om diagonalerna i en likbent trapez är vinkelräta är trapetsens höjd lika med halva summan av baserna.
Rita linje CF, parallellt med BD, genom punkt C, och förläng linje AD till korsningen med CF.
Quadrangle BCFD - parallellogram (BC∥ DF som basen på trapetsformen, BD∥ CF genom konstruktion). Därför är CF = BD, DF = BC och AF = AD + BC.
Triangel ACF är rektangulär (om en linje är vinkelrät mot en av två parallella linjer är den också vinkelrät mot den andra linjen). Eftersom diagonalerna i en likbent trapes är lika, och CF = BD, då CF = AC, det vill säga triangeln ACF är jämlik med bas AF. Därför är dess CN -höjd också medianen. Och eftersom medianen för en rätvinklig triangel som dras till hypotenusan är lika med dess halva, då
som i allmänhet kan skrivas som
där h är trapetshöjden, a och b är dess bas.
2. Om diagonalerna i en likbent trapets är vinkelräta, är dess höjd lika med mittlinjen.
Eftersom trapetsformens m mittlinje är lika med halvsummen av baserna, då
3. Om diagonalerna i en likbent trapes är vinkelräta, är trapezoidens yta lika med kvadraten på trapetshöjden (eller kvadraten för basernas halvsumma eller mittlinjens kvadrat ).
Eftersom trapezoidens yta hittas med formeln
och höjden, halvsummen av baserna och mittlinjen för en likbent trapezoid med vinkelräta diagonaler är lika med varandra:
4. Om diagonalerna i en likbent trapets är vinkelräta, är kvadraten på dess diagonal lika med halva kvadraten av summan av baserna, liksom två gånger kvadratet av höjden och två gånger kvadraten på mittlinjen.
Eftersom området för en konvex fyrkant kan hittas genom dess diagonaler och vinkeln mellan dem med formeln
