Alla aritmetiska progressionsformler. Aritmetisk progression. En annan typ av nummersekvens är geometrisk
Matematik har sin egen skönhet, precis som måleri och poesi.
Rysk vetenskapsman, mekaniker N.E. Zhukovsky
Problem relaterade till begreppet aritmetisk progression är mycket vanliga problem vid inträdesprov i matematik. För att framgångsrikt lösa sådana problem är det nödvändigt att känna till egenskaperna hos den aritmetiska progressionen och ha vissa färdigheter i deras tillämpning.
Vi minns först de viktigaste egenskaperna hos den aritmetiska utvecklingen och presenterar de viktigaste formlerna, relaterat till detta koncept.
Definition. Numerisk sekvens, där varje efterföljande term skiljer sig från den föregående med samma nummer, kallas aritmetisk progression. Dessutom antaletkallade skillnaden i progression.
För en aritmetisk progression är följande formler giltiga
, (1)
var . Formel (1) kallas formeln för den allmänna termen för en aritmetisk progression, och formel (2) är huvudegenskapen för en aritmetisk progression: varje term i progressionen sammanfaller med det aritmetiska medelvärdet för dess närliggande termer och.
Observera att det är just på grund av denna egenskap som den övervägda progressionen kallas "aritmetik".
Ovanstående formler (1) och (2) generaliseras enligt följande:
(3)
För att beräkna beloppet den första medlemmar av den aritmetiska utvecklingenvanligtvis tillämpas formeln
(5) var och.
Med hänsyn till formeln (1), då innebär formel (5)
Om vi betecknar, då
var . Sedan är formlerna (7) och (8) en generalisering av motsvarande formler (5) och (6).
Särskilt , formel (5) innebär, Vad
Egenskapen för den aritmetiska progressionen, formulerad med hjälp av följande sats, är bland de lite kända för de flesta studenter.
Sats. Om då
Bevis. Om då
Satsen är bevisad.
Till exempel , med hjälp av satsen, det kan visas att
Låt oss gå vidare till att överväga typiska exempel på att lösa problem i ämnet "Aritmetisk progression".
Exempel 1. Låt och. Hitta.
Lösning. Genom att tillämpa formel (6) får vi. Sedan och, då eller.
Exempel 2. Låt det vara tre gånger mer, och när vi dividerar med i kvot får vi 2 och resten 8. Bestäm och.
Lösning. Tillståndet i exemplet innebär ekvationssystemet
Eftersom ,, och sedan från ekvationssystemet (10) får vi
Lösningen på detta ekvationssystem är och.
Exempel 3. Hitta om och.
Lösning. Enligt formel (5) har vi eller. Men med hjälp av egendom (9) får vi.
Sedan och sedan från jämlikheten ekvationen följer eller.
Exempel 4. Hitta om.
Lösning.Med formel (5) har vi
Men med satsen kan man skriva
Från detta och formel (11) får vi.
Exempel 5. Given:. Hitta.
Lösning. Sedan dess. Men därför.
Exempel 6. Låt, och. Hitta.
Lösning. Med hjälp av formel (9) får vi. Därför, om, då eller.
Sedan och, då har vi här ekvationssystemet
Lösa vilket, vi får och.
Ekvationens naturliga rotär en .
Exempel 7. Hitta om och.
Lösning. Eftersom vi har det genom formel (3), så följer det av ekvationssystemet tillståndet från problemet
Om du ersätter uttrycketin i systemets andra ekvation, då får vi eller.
Rötterna till den kvadratiska ekvationen är och.
Låt oss överväga två fall.
1. Låt, då. Sedan och sedan.
I det här fallet, enligt formel (6), har vi
2. Om, då och
Svar: och.
Exempel 8. Det är känt att och. Hitta.
Lösning. Med hänsyn till formel (5) och villkoret i exemplet skriver vi ner och.
Följaktligen följer ekvationssystemet
Om vi multiplicerar systemets första ekvation med 2 och sedan lägger till den i den andra ekvationen får vi
Enligt formel (9) har vi... I detta sammanhang följer av (12) eller.
Sedan och sedan.
Svar:.
Exempel 9. Hitta om och.
Lösning. Sedan, och efter villkor, då eller.
Från formel (5) är det känt, Vad . Sedan dess.
Därav , här har vi ett system med linjära ekvationer
Därför får vi och. Med hänsyn till formel (8) skriver vi.
Exempel 10. Lös ekvationen.
Lösning. Av den givna ekvationen följer det. Antag att ,, och. I detta fall .
Enligt formel (1) kan du skriva eller.
Sedan har ekvation (13) en enda lämplig rot.
Exempel 11. Hitta det maximala värdet förutsatt att och.
Lösning. Sedan minskar den övervägda aritmetiska utvecklingen. I detta avseende tar uttrycket det maximala värdet när det är antalet på den minsta positiva termen för progressionen.
Vi använder formel (1) och faktum, som. Då får vi det eller.
Sedan, då heller ... Men i denna ojämlikhetstörsta naturliga tal, därför.
Om värdena, och är substituerade i formeln (6), får vi.
Svar:.
Exempel 12. Bestäm summan av alla tvåsiffriga naturliga tal som, dividerat med 6, ger återstoden av 5.
Lösning. Låt oss beteckna med uppsättningen alla tvåsiffriga naturliga tal, dvs. ... Därefter konstruerar vi en delmängd bestående av de element (siffror) i uppsättningen som, dividerat med 6, ger resten 5.
Det är inte svårt att fastställa, Vad . Självklart , att elementen i uppsättningenbilda en aritmetisk progression, där och.
För att fastställa kardinaliteten (antal element) i en uppsättning antar vi det. Eftersom och, sedan från formel (1) följer det eller. Med hänsyn till formel (5) får vi.
Ovanstående exempel på att lösa problem kan inte påstå att de är uttömmande. Denna artikel är skriven på grundval av en analys av moderna metoder för att lösa typiska problem inom ett visst ämne. För en djupare studie av metoder för att lösa problem i samband med aritmetisk progression, är det lämpligt att hänvisa till listan över rekommenderad litteratur.
1. Samling av problem i matematik för sökande till tekniska högskolor / Ed. MI. Skanavi. - M.: Fred och utbildning, 2013.- 608 sid.
2. Suprun V.P. Matematik för gymnasieelever: ytterligare avsnitt i skolplanen. - M.: Lenand / URSS, 2014.- 216 s.
3. Medynsky M.M. Komplett kurs i elementär matematik i problem och övningar. Bok 2: Nummerföljder och förlopp. - M.: Edithus, 2015.- 208 s.
Har du fortfarande frågor?
För att få hjälp av en handledare - registrera dig.
webbplats, med fullständig eller delvis kopiering av materialet, krävs en länk till källan.
Lektionstyp: lära sig nytt material.
Lektionens mål:
- utvidgning och fördjupning av elevernas idéer om de problem som löses med hjälp av aritmetisk progression; organisering av sökaktiviteten för studenter i härledningen av formeln för summan av de första n medlemmarna i en aritmetisk progression;
- utveckling av färdigheter för att självständigt förvärva ny kunskap, att använda redan förvärvad kunskap för att uppnå den uppsatta uppgiften;
- utvecklingen av önskan och behovet av att generalisera de erhållna fakta, utvecklingen av självständighet.
Uppgifter:
- att generalisera och systematisera den befintliga kunskapen om ämnet "Aritmetisk progression";
- härleda formler för att beräkna summan av de första n termerna för en aritmetisk progression;
- att lära sig att tillämpa de erhållna formlerna för att lösa olika problem;
- att uppmärksamma eleverna på ordningsföljden när man hittar värdet på ett numeriskt uttryck.
Utrustning:
- kort med uppdrag för arbete i grupper och par;
- utvärderingsdokument;
- presentation"Aritmetisk progression".
I. Uppdatera grundläggande kunskaper.
1. Självständigt arbete i par.
1: a alternativet:
Ge en definition av en aritmetisk progression. Skriv ner den återkommande formeln som definierar den aritmetiska utvecklingen. Hej exempel på aritmetisk progression och ange dess skillnad.
2: a alternativet:
Skriv ner formeln för den n: e termen i den aritmetiska progressionen. Hitta den 100: e termen för den aritmetiska utvecklingen ( ett}: 2, 5, 8 …
Vid denna tidpunkt förbereder två studenter på baksidan av tavlan svar på samma frågor.
Studenter utvärderar partnerns arbete mot styrelsen. (Svarsbladen överlämnas).
2. Spelmoment.
Övning 1.
Lärare. Jag har kommit på en viss aritmetisk utveckling. Ställ mig bara två frågor så att du efter svaren snabbt kan namnge den sjunde termen i denna progression. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)
Studentfrågor.
- Vad är den sjätte termen i utvecklingen och vad är skillnaden?
- Vad är den åttonde termen i utvecklingen och vad är skillnaden?
Om det inte finns fler frågor kan läraren stimulera dem - "förbjud" på d (skillnad), det vill säga det är inte tillåtet att fråga vad skillnaden är. Du kan ställa frågor: vad är den sjätte termen i utvecklingen och vad är den åttonde termen i utvecklingen?
Uppgift 2.
Det finns 20 nummer skrivna på tavlan: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.
Läraren står med ryggen mot svarta tavlan. Eleverna ringer numrets nummer och läraren ringer direkt till själva numret. Förklara hur jag gör det?
Läraren minns formeln för n: e termen a n = 3n - 2 och, genom att ersätta de givna värdena för n, hittar de motsvarande värdena ett.
II. Uttalande av utbildningsproblemet.
Jag föreslår att man löser ett uråldrigt problem med anor från det andra årtusendet före Kristus, som hittades på egyptiska papyri.
Uppgift:”Låt det sägas till dig: dela 10 mått korn mellan 10 personer, skillnaden mellan varje person och hans granne är 1/8 av måttet”.
- Hur är denna uppgift relaterad till ämnet aritmetisk progression? (Varje nästa får 1/8 av ett mått mer, vilket betyder skillnaden d = 1/8, 10 personer, vilket betyder n = 10.)
- Vad tror du att siffran 10 betyder? (Summan av alla medlemmar i utvecklingen.)
- Vad mer behöver du veta för att göra det enkelt och enkelt att dela kornen efter uppgiftens skick? (Den första termen i utvecklingen.)
Lektionens mål- att få beroende av summan av medlemmarna i progressionen på deras antal, den första termen och skillnaden, och kontrollera om problemet var löst korrekt i antiken.
Innan vi drar slutsatsen av formeln, låt oss se hur de gamla egyptierna löste problemet.
Och de löste det på följande sätt:
1) 10 mått: 10 = 1 mått - genomsnittlig andel;
2) 1 mått ∙ = 2 mått - fördubblat genomsnitt dela med sig.
Dubblat genomsnitt andelen är summan av andelarna i 5: e och 6: e person.
3) 2 mått - 1/8 mått = 1 7/8 mått - två gånger andelen av den femte personen.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - andelen av den femte; och så vidare kan du hitta andelen för varje tidigare och efterföljande person.
Vi får sekvensen:
III. Lösningen på problemet.
1. Arbeta i grupper
Grupp I: Hitta summan av 20 på varandra följande naturliga tal: S 20 = (20 + 1) ∙ 10 = 210.
I allmänhet 
II -grupp: Hitta summan av naturliga tal från 1 till 100 (The Legend of the Little Gauss).
S 100 = (1 + 100) ∙ 50 = 5050
Produktion:
III -grupp: Hitta summan av naturliga tal från 1 till 21.
Lösning: 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18 ...
Produktion:
IV -grupp: Hitta summan av naturliga tal från 1 till 101.
Produktion:
Denna metod för att lösa de övervägda problemen kallas "Gauss -metoden".
2. Varje grupp presenterar en lösning på problemet på tavlan.
3. Generalisering av de föreslagna lösningarna för en godtycklig aritmetisk progression:
a 1, a 2, a 3, ..., a n-2, a n-1, a n.
S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.
Låt oss hitta denna summa genom att resonera på ett liknande sätt:
4. Har vi löst uppgiften?(Ja.)
IV. Primär förståelse och tillämpning av de erhållna formlerna för att lösa problem.
1. Kontrollera lösningen på ett gammalt problem med hjälp av formeln.
2. Tillämpning av formeln för att lösa olika problem.
3. Övningar för att bilda förmågan att tillämpa formeln när du löser problem.
A) nr 613
Med tanke på: ( ett) - aritmetisk progression;
(a n): 1, 2, 3, ..., 1500
Hitta: S 1500
Lösning: , a 1 = 1, a 1500 = 1500,
B) Med tanke på: ( ett) - aritmetisk progression;
(a n): 1, 2, 3, ...
S n = 210
Hitta: n
Lösning:
V. Oberoende arbete med ömsesidig verifiering.
Denis gick till jobbet som kurir. Under den första månaden var hans lön 200 rubel, varje efterföljande månad ökade den med 30 rubel. Hur mycket tjänade han på ett år?
Med tanke på: ( ett) - aritmetisk progression;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Hitta: S 12
Lösning:
Svar: Denis fick 4380 rubel på ett år.
Vi. Läxor briefing.
- s. 4.3 - lär dig härledningen av formeln.
- №№ 585, 623 .
- Skapa ett problem som skulle lösas med hjälp av formeln för summan av de första n -termerna i en aritmetisk progression.
Vii. Sammanfattar lektionen.
1. Utvärderingsblad
2. Fortsätt meningar
- Idag på lektionen jag lärde mig ...
- Lärda formler ...
- Jag tror det …
3. Kan du hitta summan av siffror från 1 till 500? Vilken metod kommer du att använda för att lösa detta problem?
Bibliografi.
1. Algebra, 9: e klass. Lärobok för utbildningsinstitutioner. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: "Utbildning", 2009.
Ja, ja: den aritmetiska utvecklingen är ingen leksak för dig :) Tja, vänner, om du läser den här texten, så säger det interna locket-beviset att du ännu inte vet vad en aritmetisk progression är, men du verkligen (nej, så här: SOOOOO!) Vill du veta. Därför kommer jag inte att plåga dig med långa introduktioner och kommer omedelbart att börja.
Låt oss börja med ett par exempel. Tänk på flera uppsättningar nummer:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $
Vad har alla dessa uppsättningar gemensamt? Vid första anblicken ingenting. Men faktiskt finns det något. Nämligen: varje nästa element skiljer sig från det föregående med samma nummer.
Döm själv. Den första uppsättningen är helt enkelt nummer i rad, var och en nästa mer än den föregående. I det andra fallet är skillnaden mellan de intilliggande talen redan lika med fem, men denna skillnad är fortfarande konstant. I det tredje fallet, rötter i allmänhet. $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $ och $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, dvs. och i det här fallet ökar varje nästa element helt enkelt med $ \ sqrt (2) $ (och var inte rädd för att det här numret är irrationellt).
Alltså: alla sådana sekvenser kallas aritmetiska framsteg. Låt oss ge en strikt definition:
Definition. En talföljd där varje nästa skiljer sig från den föregående med exakt samma mängd kallas en aritmetisk progression. Själva mängden som siffrorna skiljer sig åt kallas progressionsskillnaden och betecknas oftast med bokstaven $ d $.
Beteckning: $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $ - själva progressionen, $ d $ - dess skillnad.
Och bara ett par viktiga kommentarer. Först, bara ordnad siffror: de får läsas strikt i den ordning de skrivs - och inget annat. Du kan inte ordna eller byta nummer.
För det andra kan själva sekvensen vara antingen ändlig eller oändlig. Till exempel är uppsättningen (1; 2; 3) uppenbarligen en begränsad aritmetisk progression. Men om du skriver något i anden (1; 2; 3; 4; ...) - är detta redan en oändlig utveckling. Ellipsen efter de fyra, liksom, antyder att det fortfarande är ganska många siffror på gång. Oändligt många, till exempel. :)
Jag vill också notera att framstegen ökar och minskar. Vi har redan sett de ökande - samma uppsättning (1; 2; 3; 4; ...). Och här är exempel på minskande framsteg:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $
Okej, okej: det här sista exemplet kan verka alltför komplicerat. Men resten tror jag du förstår. Därför kommer vi att införa nya definitioner:
Definition. En aritmetisk progression kallas:
- ökar om varje nästa element är större än det föregående;
- minskar om tvärtom varje efterföljande element är mindre än det föregående.
Dessutom finns det så kallade "stationära" sekvenser - de består av samma upprepade tal. Till exempel (3; 3; 3; ...).
Det återstår bara en fråga: hur skiljer man en ökande utveckling från en minskande? Lyckligtvis beror allt på tecknet på talet $ d $, d.v.s. skillnadsprogression:
- Om $ d \ gt 0 $, ökar utvecklingen;
- Om $ d \ lt 0 $, minskar utvecklingen uppenbarligen;
- Slutligen finns fallet $ d = 0 $ - i detta fall reduceras hela progressionen till en stationär sekvens med identiska tal: (1; 1; 1; 1; ...), etc.
Låt oss försöka beräkna skillnaden $ d $ för de tre minskande progressionerna ovan. För att göra detta är det tillräckligt att ta två intilliggande element (till exempel det första och det andra) och subtrahera talet till vänster från talet till höger. Det kommer att se ut så här:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.
Som du kan se, i alla tre fallen, visade sig skillnaden verkligen vara negativ. Och nu när vi mer eller mindre har räknat ut definitionerna, är det dags att ta reda på hur framsteg beskrivs och vad deras egenskaper är.
Progressionsmedlemmar och återkommande formel
Eftersom elementen i våra sekvenser inte kan bytas kan de numreras:
\ [\ vänster (((a) _ (n)) \ höger) = \ vänster \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \ höger \) \]
De enskilda elementen i denna uppsättning kallas medlemmar i progressionen. De indikeras med ett tal: den första termen, den andra termen, etc.
Dessutom, som vi redan vet, är de intilliggande medlemmarna i progressionen relaterade till formeln:
\ [((a) _ (n))-((a) _ (n-1)) = d \ Högerpil ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]
Kort sagt, för att hitta termen $ n $ i progressionen måste du veta $ n-1 $: e termen och $ d $ skillnaden. En sådan formel kallas återkommande, eftersom du med hjälp av den kan hitta vilket nummer som helst, bara att veta det föregående (och faktiskt - alla de tidigare). Detta är mycket obekvämt, så det finns en mer knepig formel som reducerar alla beräkningar till den första termen och skillnaden:
\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ vänster (n-1 \ höger) d \]
Du har säkert redan träffat denna formel. De älskar att ge det i alla möjliga referensböcker och reshebniks. Och i någon vettig lärobok om matematik går hon en av de första.
Jag föreslår dock att vi övar lite.
Problem nummer 1. Skriv ut de tre första termerna i den aritmetiska utvecklingen $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $, om $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $.
Lösning. Så vi känner till den första termen $ ((a) _ (1)) = 8 $ och skillnaden i utvecklingen $ d = -5 $. Låt oss använda den angivna formeln och ersätta $ n = 1 $, $ n = 2 $ och $ n = 3 $:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ vänster (1-1 \ höger) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ vänster (2-1 \ höger) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ vänster (3-1 \ höger) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ end (align) \]
Svar: (8; 3; −2)
Det är allt! Observera: vår utveckling minskar.
Naturligtvis kunde $ n = 1 $ inte ha ersatts - den första termen är redan känd för oss. Men genom att ersätta en såg vi till att vår formel fungerar även under den första termen. I andra fall kokade det hela ner till trivial aritmetik.
Problem nummer 2. Skriv ut de tre första termerna i den aritmetiska progressionen om dess sjunde term är −40 och den sjuttonde termen är −50.
Lösning. Låt oss skriva ner problemets tillstånd i vanliga termer:
\ [((a) _ (7)) = - 40; \ quad ((a) _ (17)) = - 50. \]
\ [\ left \ (\ begin (align) & ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ end (align) \ right. \]
\ [\ left \ (\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ end (align) \ höger. \]
Jag sätter systemets tecken eftersom dessa krav måste uppfyllas samtidigt. Och notera nu att om vi subtraherar den första från den andra ekvationen (vi har rätt att göra detta, eftersom vi har ett system), får vi detta:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 16d- \ left (((a) _ (1)) + 6d \ right) =- 50- \ left (-40 \ right); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ end (align) \]
Så enkelt fann vi skillnaden i utvecklingen! Det återstår att ersätta det hittade talet i någon av systemets ekvationer. Till exempel i den första:
\ [\ begin (matris) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) -6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ end (matris) \]
Nu när vi känner till den första termen och skillnaden återstår det att hitta den andra och tredje termen:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ end (align) \]
Redo! Problemet är löst.
Svar: (-34; -35; -36)
Var uppmärksam på en intressant egenskap hos utvecklingen som vi upptäckte: om vi tar termerna $ n $ th och $ m $ th och subtraherar dem från varandra, får vi skillnaden i progressionen multiplicerad med talet $ n-m $:
\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ vänster (n -m \ höger) \]
En enkel, men mycket användbar egenskap som du definitivt borde känna till - med dess hjälp kan du påskynda lösningen av många problem i framsteg avsevärt. Här är ett utmärkt exempel:
Problem nummer 3. Den femte termen i den aritmetiska progressionen är 8,4, och den tionde termen är 14,4. Hitta den femtonde termen i denna progression.
Lösning. Eftersom $ ((a) _ (5)) = 8.4 $, $ ((a) _ (10)) = 14.4 $, och du måste hitta $ ((a) _ (15)) $, noterar vi följande :
\ [\ begin (align) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ end (align) \]
Men efter villkor $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14,4-8,4 = $ 6, därför $ 5d = $ 6, varifrån vi har:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (15)) - 14,4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14,4 = 20,4. \\ \ end (align) \]
Svar: 20.4
Det är allt! Vi behövde inte komponera några ekvationssystem och beräkna den första termen och skillnaden - allt löstes på bara ett par rader.
Låt oss nu överväga en annan typ av uppgifter - att hitta negativa och positiva medlemmar i utvecklingen. Det är ingen hemlighet att om progressionen ökar, medan den första termen är negativ, kommer förr eller senare positiva termer att visas i den. Och tvärtom: medlemmarna i den minskande progressionen kommer förr eller senare att bli negativa.
Samtidigt är det långt ifrån alltid möjligt att famla detta ögonblick "direkt", i följd genom elementen. Ofta är problemen utformade på ett sådant sätt att utan att känna till formlerna skulle beräkningarna ta flera ark - vi skulle bara somna medan vi hittade svaret. Därför kommer vi att försöka lösa dessa problem på ett snabbare sätt.
Problem nummer 4. Hur många negativa termer finns i den aritmetiska progressionen -38,5; −35,8; ...?
Lösning. Så, $ ((a) _ (1)) = - 38,5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35,8 $, varifrån vi omedelbart hittar skillnaden:
Observera att skillnaden är positiv, så progressionen ökar. Den första termen är negativ, så någon gång kommer vi verkligen att stöta på positiva siffror. Frågan är bara när det kommer att hända.
Låt oss försöka ta reda på: hur länge (dvs. upp till vilket naturligt tal $ n $) negativiteten hos termerna bevaras:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) \ lt 0 \ Rightarrow ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d \ lt 0; \\ & -38.5+ \ vänster (n -1 \ höger) \ cdot 2.7 \ lt 0; \ quad \ vänster | \ cdot 10 \ höger. \\ & -385 + 27 \ cdot \ vänster (n -1 \ höger) \ lt 0; \\ & -385 + 27n -27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Rightarrow ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ end (align) \]
Den sista raden kräver förtydligande. Så vi vet att $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $. Å andra sidan kommer vi att vara nöjda med endast heltalsvärden för talet (dessutom: $ n \ in \ mathbb (N) $), så det största tillåtna talet är exakt $ n = 15 $, och i inget fall är 16.
Problem nummer 5. I aritmetisk progression $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Hitta numret på den första positiva termen i denna progression.
Det skulle vara exakt samma problem som det föregående, men vi vet inte $ ((a) _ (1)) $. Men de närliggande termerna är kända: $ ((a) _ (5)) $ och $ ((a) _ (6)) $, så vi kan enkelt hitta skillnaden i utvecklingen:
Dessutom kommer vi att försöka uttrycka den femte termen i termer av den första och skillnaden enligt standardformeln:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = -150-12 = -162. \\ \ end (align) \]
Nu fortsätter vi analogt med den tidigare uppgiften. Vi får reda på vid vilken tidpunkt i vår sekvens det kommer att finnas positiva tal:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ left (n -1 \ right) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n -3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ Högerpil ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ end (align) \]
Det minsta heltalet för denna ojämlikhet är 56.
Observera: i den sista uppgiften reducerades allt till en strikt ojämlikhet, så alternativet $ n = 55 $ passar inte oss.
Nu när vi har lärt oss hur man löser enkla problem, låt oss gå vidare till mer komplexa. Men först, låt oss studera en annan mycket användbar egenskap av aritmetiska progressioner, vilket kommer att spara mycket tid och ojämlika celler i framtiden. :)
Aritmetiskt medelvärde och lika stora streck
Tänk på flera på varandra följande medlemmar av den ökande aritmetiska utvecklingen $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $. Låt oss försöka markera dem på sifferraden:
Medlemmar av en aritmetisk progression på en talradJag noterade specifikt godtyckliga medlemmar $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, inte några $ ((a) _ (1)), \ ( (a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $, etc. Eftersom regeln, som jag nu kommer att prata om, fungerar likadant för alla "segment".
Och regeln är väldigt enkel. Låt oss komma ihåg rekursionsformeln och skriva ner den för alla markerade medlemmar:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ end (align) \]
Dessa likheter kan dock skrivas om på olika sätt:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n -1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n -2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n -3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ end (align) \]
Tja, så vad? Och det faktum att termerna $ ((a) _ (n-1)) $ och $ ((a) _ (n + 1)) $ ligger på samma avstånd från $ ((a) _ (n)) $ . Och detta avstånd är lika med $ d $. Detsamma kan sägas om medlemmarna $ ((a) _ (n -2)) $ och $ ((a) _ (n + 2)) $ - de tas också bort från $ ((a) _ (n) ) $ samma avstånd lika med $ 2d $. Du kan fortsätta på obestämd tid, men meningen illustreras väl av bilden.
Medlemmarna i progressionen ligger på samma avstånd från mitten Vad betyder detta för oss? Det betyder att du kan hitta $ ((a) _ (n)) $ om grannnumren är kända:
\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]
Vi kom med ett utmärkt uttalande: varje medlem i den aritmetiska utvecklingen är lika med det aritmetiska medelvärdet för de närliggande termerna! Dessutom: vi kan avvika från våra $ ((a) _ (n)) $ vänster och höger inte ett steg, utan $ k $ steg - och ändå kommer formeln att vara korrekt:
\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]
De där. vi kan enkelt hitta några $ ((a) _ (150)) $ om vi vet $ ((a) _ (100)) $ och $ ((a) _ (200)) $, eftersom $ ((a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Vid första anblicken kan det tyckas att detta faktum inte ger oss något användbart. Men i praktiken är många problem speciellt "vässade" för användning av det aritmetiska medelvärdet. Ta en titt:
Problem nummer 6. Hitta alla värden på $ x $ för vilka talen $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ och $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ är medlemmar i följd av den aritmetiska utvecklingen (i ordning).
Lösning. Eftersom de angivna siffrorna är medlemmar i progressionen, är det aritmetiska medelvärdet uppfyllt för dem: det centrala elementet $ x + 1 $ kan uttryckas i termer av angränsande element:
\ [\ begin (align) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ end (align) \]
Resultatet är en klassisk kvadratisk ekvation. Dess rötter: $ x = 2 $ och $ x = -3 $ - det här är svaren.
Svar: −3; 2.
Problem nummer 7. Hitta $$ -värdena för vilka siffrorna $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ gör en aritmetisk progression (i den ordningen).
Lösning. Återigen uttrycker vi mellantiden i termer av det aritmetiska medelvärdet för de närliggande termerna:
\ [\ begin (align) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ left | \ cdot 2 \ höger.; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ end (align) \]
Återigen den kvadratiska ekvationen. Och återigen finns det två rötter: $ x = 6 $ och $ x = 1 $.
Svar: 1; 6.
Om du får ut några brutala siffror när du löser ett problem, eller om du inte är helt säker på att de svar som hittades är korrekta, finns det en underbar teknik som låter dig kontrollera: löste vi problemet korrekt?
Till exempel fick vi i problem nr 6 svar -3 och 2. Hur kontrollerar vi att dessa svar är korrekta? Låt oss bara ansluta dem till det ursprungliga tillståndet och se vad som händer. Låt mig påminna dig om att vi har tre tal ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ och $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), som måste bilda en aritmetisk progression. Ersättare $ x = -3 $:
\ [\ begin (align) & x = -3 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = -54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ end (align) \]
Mottagna nummer -54; −2; 50, som skiljer sig med 52, är utan tvekan en aritmetisk progression. Samma sak händer för $ x = 2 $:
\ [\ begin (align) & x = 2 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ end (align) \]
Återigen en progression, men med en skillnad på 27. Således är problemet löst korrekt. Intresserade kan kontrollera det andra problemet på egen hand, men jag säger direkt: allt stämmer också där.
I allmänhet, när vi löste de sista problemen, stötte vi på ett annat intressant faktum, som också måste komma ihåg:
Om tre tal är sådana att det andra är det aritmetiska medelvärdet för det första och det sista, så bildar dessa siffror en aritmetisk progression.
I framtiden kommer förståelsen av detta uttalande att tillåta oss att bokstavligen "konstruera" de nödvändiga framstegen, baserat på problemets tillstånd. Men innan vi går in på en sådan "konstruktion", bör vi uppmärksamma ytterligare ett faktum, som direkt följer av vad som redan har övervägts.
Gruppering och summa av element
Låt oss gå tillbaka till nummeraxeln igen. Låt oss notera det flera medlemmar av utvecklingen, mellan vilka, kanske. det finns många andra medlemmar:
Talraden har 6 element markeradeLåt oss försöka uttrycka "vänster svans" i termer av $ ((a) _ (n)) $ och $ d $, och "höger svans" i termer av $ ((a) _ (k)) $ och $ d $ . Det är väldigt enkelt:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k -1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k -2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ end (align) \]
Observera nu att följande summor är lika:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k -1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k -2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S. \ end (align) \]
Enkelt uttryckt, om vi till en början betraktar två delar av utvecklingen, som totalt är lika med ett antal $ S $, och sedan börjar vi gå från dessa element i motsatta riktningar (mot varandra eller vice versa för att flytta bort) , då summan av elementen som vi kommer att stöta på kommer också att vara lika$ S $. Detta kan tydligast representeras grafiskt:
Lika indrag ger lika mycket Att förstå detta faktum kommer att tillåta oss att lösa problem med en grundläggande högre komplexitet än de som vi övervägde ovan. Till exempel:
Problem nummer 8. Bestäm skillnaden i den aritmetiska progressionen där den första termen är 66, och produkten av den andra och tolfte termen är den minsta möjliga.
Lösning. Låt oss skriva ner allt vi vet:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ end (align) \]
Så vi vet inte skillnaden i utvecklingen $ d $. Egentligen kommer hela lösningen att byggas kring skillnaden, eftersom produkten $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ kan skrivas om enligt följande:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ vänster (66 + d \ höger) \ cdot \ vänster (66 + 11d \ höger) = \\ & = 11 \ cdot \ vänster (d + 66 \ höger) \ cdot \ vänster (d + 6 \ höger). \ end (align) \]
För dem i tanken: Jag tog ut den gemensamma faktorn 11 från den andra parentesen. Således är den eftersökta produkten en kvadratisk funktion med avseende på variabeln $ d $. Tänk därför på funktionen $ f \ vänster (d \ höger) = 11 \ vänster (d + 66 \ höger) \ vänster (d + 6 \ höger) $ - dess graf kommer att vara en parabel med grenar uppåt, eftersom om vi utökar parenteserna får vi:
\ [\ begin (align) & f \ left (d \ right) = 11 \ left (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ right) = \\ & = 11 (( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ end (align) \]
Som du kan se är koefficienten vid den ledande termen 11 - det här är ett positivt tal, så vi har verkligen att göra med en parabel med grenar uppåt:
kvadratisk funktionsdiagram - parabel
Observera: denna parabel tar sitt minimivärde vid dess toppunkt med abscissen $ ((d) _ (0)) $. Naturligtvis kan vi beräkna denna abscissa enligt standardschemat (det finns också formeln $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $), men det skulle vara mycket mer rimligt för att märka att den önskade hörnpunkten ligger på parabolens axelsymmetri, så punkten ((d) _ (0)) $ är lika långt från ekvationerna $ f \ vänster (d \ höger) = 0 $:
\ [\ begin (align) & f \ left (d \ right) = 0; \\ & 11 \ cdot \ vänster (d + 66 \ höger) \ cdot \ vänster (d + 6 \ höger) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ end (align) \]
Det var därför jag inte hade bråttom att öppna parenteserna: i den ursprungliga formen var rötterna väldigt, väldigt lätta att hitta. Därför är abscissen lika med det aritmetiska medelvärdet för siffrorna −66 och −6:
\ [((d) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) =-36 \]
Vad ger oss det upptäckta numret? Med den tar den nödvändiga produkten det minsta värdet (vi har förresten inte räknat $ ((y) _ (\ min)) $ - detta krävs inte av oss). Samtidigt är detta tal skillnaden mellan den initiala progressionen, d.v.s. vi hittade svaret. :)
Svar: −36
Problem nummer 9. Infoga tre nummer mellan siffrorna $ - \ frac (1) (2) $ och $ - \ frac (1) (6) $ så att de tillsammans med de angivna talen bildar en aritmetisk progression.
Lösning. I grund och botten måste vi göra en sekvens med fem nummer, med det första och sista numret redan känt. Låt oss beteckna de saknade siffrorna med variablerna $ x $, $ y $ och $ z $:
\ [\ vänster (((a) _ (n)) \ höger) = \ vänster \ ( - \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ höger \ ) \]
Observera att talet $ y $ är "mitten" av vår sekvens - det är lika långt från både siffrorna $ x $ och $ z $, och från talen $ - \ frac (1) (2) $ och $ - \ frac (1) (6) $. Och om vi för närvarande inte kan få $ y $ från siffrorna $ x $ och $ z $, så är situationen annorlunda med slutet av utvecklingen. Kom ihåg det aritmetiska medelvärdet:
Nu när vi känner till $ y $ kommer vi att hitta de återstående siffrorna. Observera att $ x $ ligger mellan siffrorna $ - \ frac (1) (2) $ och $ y = - \ frac (1) (3) $ som just hittats. Det är därför
Med resonemang på samma sätt hittar vi det återstående antalet:
Redo! Vi hittade alla tre siffrorna. Låt oss skriva ner dem i svaret i den ordning de ska infogas mellan originalnumren.
Svar: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $
Problem nummer 10. Sätt in flera tal mellan siffrorna 2 och 42, som tillsammans med dessa siffror bildar en aritmetisk progression, om du vet att summan av det första, andra och sista av de infogade talen är 56.
Lösning. En ännu svårare uppgift, som dock löses enligt samma schema som de tidigare - genom det aritmetiska medelvärdet. Problemet är att vi inte vet exakt hur många siffror vi ska infoga. Därför, för bestämdhet, låt oss anta att efter att du har lagt in allt kommer det att finnas exakt $ n $ -tal, och det första av dem är 2, och det sista är 42. I det här fallet kan den önskade aritmetiska utvecklingen representeras som:
\ [\ vänster (((a) _ (n)) \ höger) = \ vänster \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \ höger \) \]
\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]
Observera dock att siffrorna $ ((a) _ (2)) $ och $ ((a) _ (n-1)) $ erhålls från siffrorna 2 och 42 vid kanterna med ett steg mot varandra, dvs ... till mitten av sekvensen. Detta innebär att
\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]
Men sedan kan uttrycket som skrivits ovan skrivas om enligt följande:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ vänster (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ höger) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ end (align) \]
Genom att veta $ ((a) _ (3)) $ och $ ((a) _ (1)) $ kan vi enkelt hitta skillnaden i utvecklingen:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ vänster (3-1 \ höger) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ Högerpil d = 5. \\ \ end (align) \]
Det återstår bara att hitta resten av medlemmarna:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ end (align) \]
Således kommer vi redan vid det nionde steget till den vänstra änden av sekvensen - siffran 42. Totalt var det nödvändigt att bara infoga 7 nummer: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Svar: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Ordproblem med progressioner
Avslutningsvis skulle jag vilja överväga ett par relativt enkla uppgifter. Tja, hur enkelt: för de flesta elever som studerar matematik i skolan och inte har läst vad som står ovan kan dessa uppgifter verka som en plåt. Ändå är det just sådana problem som dyker upp i OGE och ANVÄNDNING i matematik, så jag rekommenderar att du gör dig bekant med dem.
Problem nummer 11. Brigaden producerade 62 delar i januari, och varje nästa månad producerade den 14 fler delar än i den föregående. Hur många delar gjorde laget i november?
Lösning. Uppenbarligen kommer antalet delar, schemalagda per månad, att representera en ökande aritmetisk utveckling. Dessutom:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 62; \ quad d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ vänster (n-1 \ höger) \ cdot 14. \\ \ slut (justera) \]
November är årets elfte månad, så vi måste hitta $ ((a) _ (11)) $:
\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]
Följaktligen kommer 202 delar att tillverkas i november.
Problem nummer 12. Bokbindningsverkstaden band 216 böcker i januari, och varje nästa månad band det 4 fler böcker än den föregående. Hur många böcker band verkstaden i december?
Lösning. Alla likadana:
$ \ begin (align) & ((a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ vänster (n-1 \ höger) \ cdot 4. \\ \ slut (justera) $
December är årets sista, 12: e månad, så vi letar efter $ ((a) _ (12)) $:
\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]
Detta är svaret - 260 böcker kommer att bindas in i december.
Tja, om du har läst så här långt skyndar jag mig att gratulera dig: du har framgångsrikt genomfört "Young Fighter Course" i aritmetiska framsteg. Du kan säkert gå vidare till nästa lektion, där vi kommer att studera formeln för summan av en progression, liksom viktiga och mycket användbara konsekvenser av den.
Till exempel sekvensen \ (2 \); \ (5 \); \(åtta\); \(elva\); \ (14 \) ... är en aritmetisk progression, eftersom varje nästa element skiljer sig från det föregående med tre (kan erhållas från det föregående genom att lägga till en trilling):
I denna progression är skillnaden \ (d \) positiv (lika med \ (3 \)), och därför är varje nästa term större än den föregående. Sådana framsteg kallas ökande.
Emellertid kan \ (d \) också vara negativ. Till exempel, i aritmetisk progression \ (16 \); \(tio\); \ (4 \); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... skillnaden i förloppet \ (d \) är lika med minus sex.
Och i det här fallet kommer varje nästa element att vara mindre än det föregående. Dessa framsteg kallas minskar.
Aritmetisk progression notation
Progression indikeras med en liten latinsk bokstav.
Siffrorna som bildar progressionen kallar det medlemmar av(eller element).
De betecknas med samma bokstav som den aritmetiska progressionen, men med ett numeriskt index lika med elementets nummer i ordning.
Till exempel består den aritmetiska utvecklingen \ (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \) av elementen \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) och så vidare.
Med andra ord, för progressionen \ (a_n = \ vänster \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ höger \) \)
Problemlösning för aritmetisk progression
I princip är ovanstående information redan tillräcklig för att lösa nästan alla problem för en aritmetisk progression (inklusive de som erbjuds på OGE).
Exempel (OGE).
Den aritmetiska utvecklingen specificeras av villkoren \ (b_1 = 7; d = 4 \). Hitta \ (b_5 \).
Lösning:
Svar: \ (b_5 = 23 \)
Exempel (OGE).
De tre första termerna i den aritmetiska progressionen ges: \ (62; 49; 36 ... \) Hitta värdet på den första negativa termen i denna progression ..
Lösning:
|
Vi får de första elementen i sekvensen och vi vet att det är en aritmetisk progression. Det vill säga att varje element skiljer sig från det angränsande med samma nummer. Ta reda på vilken, subtrahera den föregående från nästa element: \ (d = 49-62 = -13 \). |
|
|
Nu kan vi återställa vår utveckling till det (första negativa) elementet vi behöver. |
|
|
Redo. Du kan skriva ett svar. |
Svar: \(-3\)
Exempel (OGE).
Flera på varandra följande element i den aritmetiska progressionen ges: \ (... 5; x; 10; 12,5 ... \) Hitta värdet på elementet som anges med bokstaven \ (x \).
Lösning:
|
|
För att hitta \ (x \) måste vi veta hur mycket nästa element skiljer sig från det föregående, med andra ord skillnaden i progressionen. Låt oss hitta det från två kända grannelement: \ (d = 12,5-10 = 2,5 \). |
|
|
Och nu hittar vi den önskade utan problem: \ (x = 5 + 2,5 = 7,5 \). |
|
|
Redo. Du kan skriva ett svar. |
Svar: \(7,5\).
Exempel (OGE).
Den aritmetiska utvecklingen specificeras av följande villkor: \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) Hitta summan av de första sex termerna i denna progression.
Lösning:
|
Vi måste hitta summan av de första sex termerna i utvecklingen. Men vi vet inte deras betydelse, vi får bara det första elementet. Därför beräknar vi först värdena i tur och ordning med hjälp av det som ges till oss: \ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) |
|
|
\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) |
Beloppet du letar efter har hittats. |
Svar: \ (S_6 = 9 \).
Exempel (OGE).
I aritmetisk progression \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). Hitta skillnaden mellan denna utveckling.
Lösning:
Svar: \ (d = 7 \).
Viktiga aritmetiska utvecklingsformler
Som du kan se kan många aritmetiska progressionsproblem lösas helt enkelt genom att förstå det viktigaste - att en aritmetisk progression är en kedja av siffror, och varje nästa element i denna kedja erhålls genom att lägga till samma tal till det föregående (skillnaden av progressionen).
Men ibland finns det situationer när det är mycket obekvämt att bestämma "direkt". Tänk dig till exempel att vi i det allra första exemplet inte behöver hitta det femte elementet \ (b_5 \), utan de tre hundra åttiosjätte \ (b_ (386) \). Vad är det, vi \ (385 \) gånger lägger till fyra? Eller tänk dig att i det näst sista exemplet måste du hitta summan av de första sjuttiotre elementen. Du kommer att torteras för att räkna ...
Därför löser de i sådana fall inte "direkt mot varandra" utan använder speciella formler som härleds för den aritmetiska utvecklingen. Och de viktigaste är formeln för den nionde termen i progressionen och formeln för summan \ (n \) av de första termerna.
Formeln för \ (n \) - th medlem: \ (a_n = a_1 + (n -1) d \), där \ (a_1 \) är den första termen i progressionen;
\ (n \) - numret på elementet som du söker efter;
\ (a_n \) är medlem i progressionen med numret \ (n \).
Denna formel gör att vi snabbt kan hitta åtminstone det trehundrade, till och med det miljonte elementet, och bara veta det första och skillnaden i utvecklingen.
Exempel.
Den aritmetiska utvecklingen specificeras av villkoren: \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8,2 \). Hitta \ (b_ (246) \).
Lösning:
Svar: \ (b_ (246) = 1850 \).
Formeln för summan av de första n -termerna: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), där
\ (a_n \) - den sista summerade termen;
Exempel (OGE).
Den aritmetiska utvecklingen specificeras av villkoren \ (a_n = 3,4n-0,6 \). Hitta summan av de första \ (25 \) medlemmarna i denna progression.
Lösning:
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) |
För att beräkna summan av de första tjugofem elementen måste vi veta värdet på de första och tjugofemte termerna. |
|
|
\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3,4 1-0,6 = 2,8 \) |
Nu hittar vi den tjugofemte termen och ersätter tjugofem istället för \ (n \). |
|
|
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3,4 25-0,6 = 84,4 \) |
Tja, nu kan vi beräkna det erforderliga beloppet utan problem. |
|
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) |
Svaret är klart. |
Svar: \ (S_ (25) = 1090 \).
För summan \ (n \) av de första termerna kan du få en annan formel: du behöver bara \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) istället för \ (a_n \) ersätt formeln för det \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). Vi får:
Formeln för summan av de första n-termerna: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), där
\ (S_n \) - erforderlig summa \ (n \) av de första elementen;
\ (a_1 \) - den första summerade termen;
\ (d \) - progressionsskillnad;
\ (n \) - antalet objekt i summan.
Exempel.
Hitta summan av de första \ (33 \) - ex -medlemmarna i den aritmetiska progressionen: \ (17 \); \ (15,5 \); \(fjorton\)…
Lösning:
Svar: \ (S_ (33) = - 231 \).
Mer komplexa aritmetiska utvecklingsproblem
Nu har du all information du behöver för att lösa nästan alla aritmetiska utvecklingsproblem. Vi avslutar ämnet med att överväga problem där du inte bara behöver tillämpa formler utan också att tänka lite (i matematik kan detta vara användbart ☺)
Exempel (OGE).
Hitta summan av alla negativa termer i progressionen: \ (- 19,3 \); \ (-19 \); \ (- 18.7 \) ...
Lösning:
|
\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \) |
Uppgiften är mycket lik den föregående. Vi börjar också lösa: först hittar vi \ (d \). |
|
|
\ (d = a_2 -a_1 = -19 - ( - 19,3) = 0,3 \) |
Nu skulle jag ersätta \ (d \) i formeln med summan ... och här kommer en liten nyans fram - vi vet inte \ (n \). Med andra ord vet vi inte hur många termer som behöver läggas till. Hur får man reda på det? Låt oss tänka. Vi slutar lägga till element när vi kommer till det första positiva elementet. Det vill säga, du måste ta reda på numret på detta element. Hur? Låt oss skriva ner formeln för att beräkna alla element i den aritmetiska utvecklingen: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) för vårt fall. |
|
|
\ (a_n = a_1 + (n-1) d \) |
||
|
\ (a_n = -19,3 + (n -1) 0,3 \) |
Vi behöver \ (a_n \) för att vara större än noll. Låt oss ta reda på vad \ (n \) detta kommer att hända. |
|
|
\ (- 19.3+ (n-1) 0.3> 0 \) |
||
|
\ ((n-1) 0,3> 19,3 \) \ (|: 0,3 \) |
Vi delar båda sidorna av ojämlikheten med \ (0,3 \). |
|
|
\ (n-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) |
Flytta minus ett, kom ihåg att ändra tecken |
|
|
\ (n> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \) |
Vi räknar ... |
|
|
\ (n> 65 333 ... \) |
... och det visar sig att det första positiva elementet kommer att ha talet \ (66 \). Följaktligen har det sista negativet \ (n = 65 \). Låt oss kolla upp det för säkerhets skull. |
|
|
\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = -19,3+ (65-1) 0,3 = -0,1 \) |
Således måste vi lägga till de första \ (65 \) elementen. |
|
|
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19,3) + (65-1) 0,3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) |
Svaret är klart. |
Svar: \ (S_ (65) = - 630,5 \).
Exempel (OGE).
Den aritmetiska utvecklingen specificeras av villkoren: \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). Hitta summan från \ (26 \) th till \ (42 \) element inklusive.
Lösning:
|
\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \) |
I detta problem måste du också hitta summan av elementen, men inte från det första, utan från \ (26 \) - th. För ett sådant fall har vi ingen formel. Hur bestämmer man? |
|
|
För vår progression \ (a_1 = -33 \) och skillnaden \ (d = 4 \) (det är trots allt de fyra som vi lägger till i det föregående elementet för att hitta nästa). Genom att veta detta hittar vi summan av de första \ (42 \) - yh -elementen. |
|
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) |
Nu summan av de första \ (25 \) - ty -elementen. |
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) |
Slutligen beräknar vi svaret. |
|
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \) |
Svar: \ (S = 1683 \).
För den aritmetiska utvecklingen finns det flera fler formler som vi inte beaktade i den här artikeln på grund av deras låga praktiska användbarhet. Men du kan enkelt hitta dem.
Någon är försiktig med ordet "progression", som en mycket komplex term från grenarna av högre matematik. Samtidigt är den enklaste aritmetiska utvecklingen taximätarens arbete (där de fortfarande finns kvar). Och att förstå essensen (och i matematik finns det inget viktigare än att "förstå essensen") i den aritmetiska sekvensen är inte så svårt, efter att ha analyserat flera elementära begrepp.
Matematisk nummersekvens
Det är vanligt att namnge en rad nummer med en numerisk sekvens, som var och en har sitt eget nummer.
a 1 - den första delen av sekvensen;
och 2 är den andra delen av sekvensen;
och 7 är den sjunde delen av sekvensen;
och n är den n: e delen av sekvensen;
Vi är dock inte intresserade av någon godtycklig uppsättning siffror och siffror. Vi kommer att fokusera vår uppmärksamhet på den numeriska sekvensen, där värdet av den n: e termen associeras med dess ordinalnummer genom ett beroende som kan formuleras tydligt matematiskt. Med andra ord: det numeriska värdet för n-talet är en funktion av n.
a - värdet av en medlem i en numerisk sekvens;
n är dess serienummer;
f (n) är en funktion där ordinalen i den numeriska sekvensen n är ett argument.
Definition
Det är vanligt att kalla en aritmetisk progression en numerisk sekvens där varje efterföljande term är större (mindre) än den föregående med samma nummer. Formeln för den n: e delen av en aritmetisk sekvens är följande:
a n - värdet av den aktuella medlemmen i den aritmetiska progressionen;
a n + 1 - formeln för nästa nummer;
d - skillnad (ett visst antal).
Det är lätt att avgöra att om skillnaden är positiv (d> 0) kommer varje efterföljande term i den aktuella serien att vara större än den föregående, och en sådan aritmetisk progression kommer att öka.
I grafen nedan är det lätt att se varför nummersekvensen kallas "stigande".
I de fall där skillnaden är negativ (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Värdet på den angivna medlemmen
Ibland är det nödvändigt att bestämma värdet på en godtycklig medlem a n för en aritmetisk progression. Du kan göra detta genom att i följd beräkna värdena för alla medlemmar i den aritmetiska progressionen, från den första till den önskade. Denna väg är emellertid inte alltid acceptabel om det till exempel är nödvändigt att hitta innebörden av den femtusendels- eller åtta-miljonte medlemmen. Den traditionella beräkningen kommer att ta lång tid. En specifik aritmetisk progression kan dock undersökas med hjälp av specifika formler. Det finns också en formel för den n: e termen: värdet av varje medlem i en aritmetisk progression kan definieras som summan av den första termen av progressionen med skillnaden i progressionen, multiplicerat med antalet sökta term, minskat med ett.
Formeln är universell för både ökande och minskande progression.
Ett exempel på att beräkna värdet på en given medlem
Låt oss lösa följande problem med att hitta värdet av den n: e termen för en aritmetisk progression.
Skick: det finns en aritmetisk progression med parametrar:
Den första termen i sekvensen är 3;
Skillnaden i nummerserien är 1,2.
Uppgift: du måste hitta värdet på 214 medlemmar
Lösning: för att bestämma värdet av en given term använder vi formeln:
a (n) = a1 + d (n-1)
Genom att ersätta data från problemmeddelandet med uttrycket har vi:
a (214) = a1 + d (n-1)
a (214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Svar: Den 214: e termen i sekvensen är 258,6.
Fördelarna med denna beräkningsmetod är uppenbara - hela lösningen tar inte mer än 2 rader.
Summan av ett visst antal medlemmar
Mycket ofta, i en given aritmetisk serie, är det nödvändigt att bestämma summan av värdena för ett visst segment av den. Detta kräver inte heller beräkning av värdena för varje term och sedan summering. Denna metod är tillämplig om antalet termer som finns är litet. I andra fall är det mer bekvämt att använda följande formel.
Summan av medlemmarna i den aritmetiska progressionen från 1 till n är lika med summan av de första och n: e delarna, multiplicerat med antalet n och dividerat med två. Om värdet för n: e termen i formeln ersätts med uttrycket från föregående stycke i artikeln får vi:
Beräkningsexempel
Låt oss till exempel lösa ett problem med följande villkor:
Den första termen i sekvensen är noll;
Skillnaden är 0,5.
I problemet måste du bestämma summan av medlemmarna i serien från 56: e till 101.
Lösning. Låt oss använda formeln för att bestämma summan av progressionen:
s (n) = (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2
Först bestämmer vi summan av värdena för 101 medlemmar i progressionen, genom att ersätta uppgifterna om deras tillstånd för vårt problem i formeln:
s 101 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 = 2525
Uppenbarligen är det nödvändigt att subtrahera S 55 från S 101 för att ta reda på summan av medlemmarna i progressionen från 56: e till 101: e.
s 55 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 = 742,5
Således är summan av den aritmetiska utvecklingen för detta exempel:
s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5
Ett exempel på praktisk tillämpning av aritmetisk progression
I slutet av artikeln, låt oss gå tillbaka till exemplet på den aritmetiska sekvensen som ges i första stycket - en taxameter (taxibilsmätare). Låt oss överväga ett exempel.
Ombordstigning på en taxi (som inkluderar 3 km körning) kostar 50 rubel. Varje efterföljande kilometer betalas med 22 rubel / km. Reseavstånd 30 km. Beräkna kostnaden för resan.
1. Låt oss kasta de första 3 km, vars pris ingår i landningspriset.
30 - 3 = 27 km.
2. Ytterligare beräkning är inget annat än en analys av en aritmetisk nummerserie.
Medlemsnummer - antalet färdade kilometer (minus de tre första).
Medlemsvärdet är summan.
Den första termen i detta problem kommer att vara lika med a 1 = 50 p.
Skillnad i progression d = 22 p.
talet vi är intresserade av är värdet av den (27 + 1) -te termen i den aritmetiska progressionen - räkneverket i slutet av den 27: e kilometern är 27,999… = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Beräkningar av kalenderdata för en godtyckligt lång period baseras på formler som beskriver vissa numeriska sekvenser. Inom astronomi är banans längd geometriskt beroende av avståndet mellan himmelkroppen och armaturen. Dessutom används olika numeriska serier framgångsrikt i statistik och andra tillämpade grenar av matematik.
En annan typ av nummersekvens är geometrisk
Geometrisk progression kännetecknas av stora förändringar i jämförelse med aritmetik. Det är ingen slump att de inom politik, sociologi, medicin ofta säger att processen utvecklas exponentiellt för att visa den höga spridningen av ett fenomen, till exempel en sjukdom under en epidemi.
Den n: e termen i den geometriska numeriska serien skiljer sig från den föregående genom att den multipliceras med något konstant tal - nämnaren, till exempel är den första termen 1, nämnaren 2 respektive:
n = 1: 1 ∙ 2 = 2
n = 2: 2 ∙ 2 = 4
n = 3: 4 ∙ 2 = 8
n = 4: 8 ∙ 2 = 16
n = 5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - värdet av den aktuella medlemmen i den geometriska progressionen;
b n + 1 - formeln för nästa term för den geometriska progressionen;
q är nämnaren för en geometrisk progression (konstant tal).
Om grafen för den aritmetiska progressionen är en rak linje, målar den geometriska en något annorlunda bild:
Som i fallet med aritmetik har en geometrisk progression en formel för värdet av en godtycklig term. Varje n-tionde term i den geometriska progressionen är lika med produkten av den första termen av nämnaren för progressionen till effekten n, reducerad med en:
Exempel. Vi har en geometrisk progression med den första termen lika med 3 och nämnaren för progressionen lika med 1,5. Hitta den femte termen i utvecklingen
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Summan av ett visst antal medlemmar beräknas på samma sätt med en speciell formel. Summan av de första n -termerna i en geometrisk progression är lika med skillnaden mellan produkten av progressionens n: e term och dess nämnare och den första termen i progressionen, dividerat med nämnaren reducerad med en:
Om b n ersätts med formeln ovan, kommer värdet av summan av de första n -termerna i den betraktade numeriska serien att ta formen:
Exempel. Den geometriska progressionen börjar med den första termen lika med 1. Nämnaren är lika med 3. Hitta summan av de första åtta termerna.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
