Kartat

Momenti i forcës rreth boshtit. Momenti i forcës Çfarë është një moment force rreth një pike

Përkufizimi

Produkti vektorial i rrezes - vektori (), i cili është tërhequr nga pika O (Fig. 1) deri në pikën në të cilën forca zbatohet në vetë vektorin quhet momenti i forcës () në lidhje me pikën O:

Në figurën 1, pika O dhe vektori i forcës () dhe vektori i rrezes janë në rrafshin e figurës. Në këtë rast, vektori i momentit të forcës () është pingul me rrafshin e vizatimit dhe ka një drejtim larg nesh. Vektori i momentit të forcës është boshtor. Drejtimi i vektorit të momentit të forcës zgjidhet në atë mënyrë që rrotullimi rreth pikës O në drejtim të forcës dhe vektorit të krijojë një sistem të djathtë. Drejtimi i momentit të forcave dhe nxitimi këndor përputhen.

Madhësia e vektorit është:

ku është këndi ndërmjet drejtimeve të rrezes dhe vektorit të forcës, është krahu i forcës në lidhje me pikën O.

Momenti i forcës rreth boshtit

Momenti i forcës në lidhje me boshtin është sasi fizike, e barabartë me projeksionin e vektorit të momentit të forcës në lidhje me pikën e boshtit të zgjedhur në këtë bosht. Në këtë rast, zgjedhja e pikës nuk ka rëndësi.

Momenti kryesor i forcës

Momenti kryesor i një grupi forcash në lidhje me pikën O quhet vektor (momenti i forcës), i cili është i barabartë me shumën e momenteve të të gjitha forcave që veprojnë në sistem në lidhje me të njëjtën pikë:

Në këtë rast, pika O quhet qendra e reduktimit të sistemit të forcave.

Nëse ka dy momente kryesore ( dhe ) për një sistem forcash për dy qendra të ndryshme të sjelljes së forcave (O dhe O'), atëherë ato lidhen me shprehjen:

ku është vektori i rrezes, i cili është tërhequr nga pika O në pikën O’, është vektori kryesor i sistemit të forcës.

Në përgjithësi, rezultati i një veprimi në të ngurta i një sistemi arbitrar forcash është i njëjtë me veprimin në trupin e momentit kryesor të sistemit të forcave dhe vektorit kryesor të sistemit të forcave, i cili zbatohet në qendër të reduktimit (pika O).

Ligji themelor i dinamikës së lëvizjes rrotulluese

ku është momenti këndor i një trupi në rrotullim.

Për një trup të fortë, ky ligj mund të përfaqësohet si:

ku I është momenti i inercisë së trupit, dhe është nxitimi këndor.

Njësitë e çift rrotullues

Njësia bazë e matjes së momentit të forcës në sistemin SI është: [M]=N m

Në GHS: [M]=din cm

Shembuj të zgjidhjes së problemeve

Shembull

Ushtrimi. Figura 1 tregon një trup që ka një bosht rrotullimi OO". Momenti i forcës që ushtrohet ndaj trupit në lidhje me një bosht të caktuar do të jetë i barabartë me zero? Boshti dhe vektori i forcës ndodhen në rrafshin e figurës.

Zgjidhje. Si bazë për zgjidhjen e problemit, do të marrim formulën që përcakton momentin e forcës:

Në produktin e vektorit (mund të shihet nga figura). Këndi midis vektorit të forcës dhe vektorit të rrezes gjithashtu do të jetë i ndryshëm nga zero (ose), prandaj, produkti i vektorit (1.1) nuk është i barabartë me zero. Kjo do të thotë se momenti i forcës është i ndryshëm nga zero.

Përgjigju.

Shembull

Ushtrimi. Shpejtësia këndore i një trupi të ngurtë rrotullues ndryshon në përputhje me grafikun e paraqitur në Fig. 2. Në cilën nga pikat e treguara në grafik është i barabartë me zero momenti i forcave të aplikuara ndaj trupit?

Studimi i vetive të një çifti forcash, i cili është një nga elementët kryesorë të statikës, kërkon prezantimin e konceptit të rëndësishëm të momentit të forcës në lidhje me një pikë.

Le të zbatohet një forcë në trupin në pikën A (Fig. 89). Le të zgjedhim çdo pikë në hapësirën O (zakonisht origjina e koordinatave zgjidhet si kjo pikë) dhe të nxjerrim prej saj një vektor rreze që shkon në pikën e zbatimit të kësaj force.

Momenti vektor i forcës në lidhje me pikën O është vektori i lirë i përcaktuar nga produkti vektorial i

Duke e treguar me kemi

Vlera absolute e vektorit është e barabartë me dyfishin e sipërfaqes së trekëndëshit të ndërtuar mbi vektorët dhe vektori është i drejtuar pingul me rrafshin e përcaktuar nga vektorët, kështu që nëse e shikoni këtë plan nga fundi i tij, forca do të priret. për të rrotulluar trupin rreth pikës O në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Zakonisht një vektor konsiderohet të zbatohet në një pikë. Nëse forca është e ndryshme nga zero, atëherë momenti vektorial është i barabartë me zero vetëm kur pika O shtrihet në vijën e veprimit të forcës. Në sistemin e njësive SI, dimensioni i momentit të forcës në lidhje me një pikë është i barabartë me

Nga përkufizimi i çift rrotullues vektorial rezulton se ai nuk ndryshon nëse forca lëviz përgjatë vijës së veprimit të saj. Në të vërtetë, në këtë rast rrafshi i përcaktuar nga vektorët nuk e ndryshon atë

vendndodhja në hapësirë, dhe zona e trekëndëshit të ndërtuar mbi këta vektorë nuk ndryshon (Fig. 89).

Nga kjo veti del se koncepti i momentit të një vektori në lidhje me një pikë është i lidhur ngushtë me konceptin e një vektori rrëshqitës.

Momenti algjebrik i forcës

Nëse merret parasysh një sistem i sheshtë forcash ose forcash të vendosura në një rrafsh, atëherë këshillohet të prezantohet koncepti i një momenti algjebrik të forcës.

Moduli i momentit të vektorit, siç tregohet, është i barabartë me dyfishin e sipërfaqes së trekëndëshit të ndërtuar mbi vektorët nëse këndi midis vektorëve është i barabartë me a

Por puna

paraqet gjatësinë e pingules të ulur nga pika O në vijën e veprimit të forcës. Madhësia quhet krahu i forcës në lidhje me pikën O. Le ta vendosim në rrafshin e përcaktuar nga vektorët dhe boshtet koordinative, ndërsa boshti z do të vendoset pingul me këtë rrafsh (Fig. 90). Momenti algjebrik i forcës është prodhimi i krahut të forcës dhe modulit të forcës

Shenja e momentit algjebrik do të jetë pozitive nëse, për një vëzhgues të vendosur përgjatë drejtimit pozitiv të boshtit z, forca tenton të rrotullohet rreth pikës O në të kundërt të akrepave të orës. Përndryshe, shenja e momentit algjebrik do të jetë negative.

Momenti i forcës rreth boshtit

Koncepti i një momenti force rreth një pike është i lidhur ngushtë me konceptin e një momenti force rreth një boshti.

Momenti i forcës rreth një boshti është projeksioni i momentit të forcës rreth një pike arbitrare në bosht mbi bosht.

Që ky përkufizim të ketë kuptim, është e nevojshme të vërtetohet se projeksionet në boshtin e momenteve të forcës në lidhje me dy pika arbitrare të boshtit janë të barabarta.

Për ta vërtetuar këtë, le të vizatojmë një plan pingul me boshtin (Fig. 91) dhe të projektojmë një vektor në këtë plan.

Le të shënojmë me a këndin e formuar nga vektori me boshtin Pastaj momenti i vektorit në lidhje me boshtin përcaktohet me formulën:

Prandaj, meqenëse vlera nuk varet nga pozicioni i pikës O në bosht (Fig. 92), atëherë

Formula që përcakton momentin boshtor ju lejon të vendosni një rregull gjeometrik për llogaritjen e tij. Ky rregull është si më poshtë: vizatoni një plan pingul me boshtin, projektoni një vektor mbi të

Zona e dyfishtë e trekëndëshit të formuar nga ky projeksion dhe pika e kryqëzimit të boshtit me rrafshin përcakton madhësinë e momentit boshtor.

Shenja e momentit do të jetë pozitive nëse, për një vëzhgues të vendosur përgjatë drejtimit pozitiv të boshtit, projeksioni i vektorit tenton të rrotullohet rreth pikës së kryqëzimit të boshtit me rrafshin në të kundërt të akrepave të orës; nëse projeksioni tenton të rrotullohet në drejtim të akrepave të orës, atëherë shenja e momentit do të jetë negative.

Formulat për përcaktimin e momenteve përmes projeksioneve

Origjina e koordinatave zakonisht zgjidhet si pika O, në lidhje me të cilën llogaritet momenti i vektorit rrëshqitës. Pastaj momenti i forcës do të zbatohet në origjinën e koordinatave dhe projeksionet e tij në bosht do të jenë momentet përkatëse boshtore. Nga përkufizimi dhe rregulli gjeometrik për llogaritjen e momentit boshtor rezulton se ai do të jetë i barabartë me zero nëse vektori është paralel me boshtin, ose vija e tij e veprimit e pret boshtin. Nëse forca jepet nga projeksionet e saj dhe dihen projeksionet e vektorit të rrezes që përcakton pikën e zbatimit të forcës (ose thjesht koordinatat e kësaj pike), atëherë momenti i vektorit në lidhje me pikën O dhe momentet

në lidhje me boshtet e koordinatave, si më poshtë nga ajo e mëparshme, përcaktohen nga formula:

Momenti i forcës rreth boshtitështë momenti i projeksionit të një force mbi një plan pingul me një bosht, në lidhje me pikën e kryqëzimit të boshtit me këtë plan

Një moment rreth një boshti është pozitiv nëse forca tenton të rrotullojë rrafshin pingul me boshtin në drejtim të kundërt të akrepave të orës kur shikon drejt boshtit.

Momenti i forcës rreth boshtit është 0 në dy raste:

Nëse forca është paralele me boshtin

Nëse forca kalon boshtin

Nëse vija e veprimit dhe boshti shtrihen në të njëjtin rrafsh, atëherë momenti i forcës rreth boshtit është i barabartë me 0.

27. Lidhja ndërmjet momentit të forcës rreth një boshti dhe momentit vektorial të forcës rreth një pike.

Mz(F)=Mo(F)*cosαMomenti i forcës në lidhje me boshtin është i barabartë me projeksionin e vektorit të momentit të forcës në lidhje me pikën e boshtit në këtë bosht.

28. Teorema kryesore e statikës për sjelljen e një sistemi forcash në një qendër të caktuar (teorema e Poinsot-it). Vektori kryesor dhe momenti kryesor i sistemit të forcave.

Në rastin e përgjithshëm, çdo sistem hapësinor i forcave mund të zëvendësohet nga një sistem ekuivalent i përbërë nga një forcë e aplikuar në një pikë të trupit (qendra e reduktimit) dhe e barabartë me vektorin kryesor të këtij sistemi forcash, dhe një palë forcash. , momenti i të cilit është i barabartë me momentin kryesor të të gjitha forcave në lidhje me qendrën e zgjedhur të aduksionit.

Vektori kryesor i sistemit të forcës quhet vektor R, e barabartë me shumën vektoriale të këtyre forcave:

R = F 1 + F 2 + ... + F n= F i.

Për një sistem të rrafshët të forcave, vektori i tij kryesor qëndron në rrafshin e veprimit të këtyre forcave.

Pika kryesore e sistemit të forcave në raport me qendrën O quhet vektor L O, e barabartë me shumën e momenteve vektoriale të këtyre forcave në lidhje me pikën O:

L O= M O( F 1) + M O( F 2) + ... + M O( F n) = M O( F i).

Vektor R nuk varet nga zgjedhja e qendrës O, dhe vektorit L Kur pozicioni i qendrës ndryshon, O në përgjithësi mund të ndryshojë.

Teorema e Poinsot-it: Një sistem hapësinor arbitrar i forcave mund të zëvendësohet nga një forcë me vektorin kryesor të sistemit të forcës dhe një çift forcash me një moment kryesor pa e shqetësuar gjendjen e trupit të ngurtë. Vektori kryesor paraqet shuma gjeometrike të gjitha forcat që veprojnë në një trup të fortë dhe ndodhet në rrafshin e veprimit të forcave. Vektori kryesor konsiderohet përmes projeksioneve të tij në boshtet koordinative.

Për të sjellë forcat në një qendër të caktuar të aplikuara në një pikë të një trupi të ngurtë, është e nevojshme: 1) transferimi i forcës paralele me vetveten në një qendër të caktuar pa ndryshuar modulin e forcës; 2) në një qendër të caktuar, aplikoni një palë forcash, momenti vektorial i të cilit është i barabartë me momentin vektorial të forcës së transferuar në lidhje me qendrën e re, ky çift quhet çift i bashkangjitur;

Varësia e momentit kryesor nga zgjedhja e qendrës së reduktimit. Momenti kryesor rreth qendrës së re të reduktimit është i barabartë me shumën gjeometrike të momentit kryesor rreth qendrës së vjetër të reduktimit dhe produktit vektor të vektorit të rrezes që lidh qendrën e re të reduktimit me atë të vjetër nga vektori kryesor.

29 Raste të veçanta të reduktimit të një sistemi hapësinor të forcave

	Vlerat e vektorit kryesor dhe të momentit kryesor	Rezultati i hedhjes
		Sistemi i forcave reduktohet në një palë forcash, momenti i të cilave është i barabartë me momentin kryesor (momenti kryesor i sistemit të forcave nuk varet nga zgjedhja e qendrës së reduktimit O).
		Sistemi i forcave reduktohet në një rezultat të barabartë me kalimin nëpër qendrën O.
		Sistemi i forcave reduktohet në një rezultante të barabartë me vektorin kryesor dhe paralel me të dhe ndodhet në një distancë prej tij. Pozicioni i vijës së veprimit të rezultantit duhet të jetë i tillë që drejtimi i momentit të tij në lidhje me qendrën e reduktimit O të përputhet me drejtimin në lidhje me qendrën O.
	, dhe vektorët nuk janë pingul	Sistemi i forcave reduktohet në një dyna (vidhos fuqie) - një kombinim i forcës dhe një palë forcash që shtrihen në një plan pingul me këtë forcë.
		Sistemi i forcave të aplikuara në një trup të ngurtë është i balancuar.

30. Reduktimi në dinamizëm. Në mekanikë, dinamikë quhet një grup i tillë forcash dhe çiftesh forcash () që veprojnë në një trup të ngurtë, në të cilin forca është pingul me rrafshin e veprimit të çiftit të forcave. Duke përdorur momentin vektorial të një çifti forcash, ne gjithashtu mund të përkufizojmë dinamizmin si kombinim i një force dhe një çifti forca e të cilit është paralele me momentin vektorial të çiftit të forcave.

Ekuacioni i boshtit spirale qendror Le të supozojmë se në qendër të reduktimit, marrë si origjinë e koordinatave, fitohet vektori kryesor me projeksione në boshtet e koordinatave dhe momenti kryesor me projeksionet kur sjellim sistemin e forcave në qendrën e reduktimit O 1 (Fig 30), fitohet një dyna me vektorin kryesor dhe momentin kryesor, Vektorët dhe si formim i një liname. janë paralele dhe për këtë arsye mund të ndryshojnë vetëm në faktorin skalar k 0. Kemi, që nga momentet kryesore dhe plotësojmë relacionin

Momenti i disa forcave

Momenti i forcës në lidhje me çdo pikë (qendër) është një vektor që numerikisht është i barabartë me produktin e modulit të forcës dhe krahut, d.m.th. në distancën më të shkurtër nga pika e specifikuar në vijën e veprimit të forcës, dhe e drejtuar pingul me rrafshin që kalon nëpër pikën e zgjedhur dhe vijën e veprimit të forcës në drejtimin nga i cili "rrotullimi" kryhet nga forca rreth pika duket se ndodh në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Momenti i forcës karakterizon veprimin e tij rrotullues.

Nëse RRETH– pika në lidhje me të cilën ndodhet momenti i forcës F, atëherë momenti i forcës shënohet me simbolin M o (F). Le të tregojmë se nëse pika e aplikimit të forcës F përcaktuar nga vektori i rrezes r, atëherë relacioni është i vlefshëm

M o (F)=r×F. (3.6)

Sipas këtij raporti momenti i forcës është i barabartë me produktin vektorial të vektorit r nga vektori F.

Në të vërtetë, moduli i produktit vektor është i barabartë me

M o ( F)=rF mëkat= Fh, (3.7)

Ku h- shpatulla e forcës. Vini re gjithashtu se vektori M o (F) drejtuar pingul me rrafshin që kalon nëpër vektorë r Dhe F, në drejtimin nga i cili kthesa më e shkurtër e vektorit r në drejtim të vektorit F duket se ndodh në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Kështu, formula (3.6) përcakton plotësisht modulin dhe drejtimin e momentit të forcës F.

Ndonjëherë është e dobishme të shkruani formulën (3.7) në formë

M o ( F)=2S, (3.8)

Ku S- zona e një trekëndëshi OAV.

Le x, y, z janë koordinatat e pikës së aplikimit të forcës, dhe F x, Fy, Fz– projeksionet e forcës në akset koordinative. Atëherë nëse pika RRETH ndodhet në origjinë, momenti i forcës shprehet si më poshtë:

Nga kjo rrjedh se parashikimet e momentit të forcës në boshtet koordinative përcaktohen nga formula:

M Ox(F)=yF z -zF y,

M Oy(F)=zF x -xF z ,

M Oy(F)=xF y -yF x. (3.10)

Le të prezantojmë tani konceptin e projeksionit të forcës në një plan.

Le të jepet forca F dhe pak aeroplan. Le të hedhim pingulet nga fillimi dhe fundi i vektorit të forcës në këtë rrafsh.

Projeksioni i forcës në një aeroplan thirrur vektoriale , fillimi dhe fundi i të cilit përkojnë me projeksionin e fillimit dhe me projeksionin e fundit të forcës në këtë rrafsh.

Nëse avionin e marrim si avionin në shqyrtim xOy, pastaj projeksioni i forcës F do të ketë një vektor në këtë plan Fxy.

Momenti i fuqisë Fxy në lidhje me pikën RRETH(pikat e kryqëzimit të boshteve z me avion xOy) mund të llogaritet duke përdorur formulën (3.9), nëse e marrim atë z=0, Fz=0. marrim

MO(Fxy)=(xF y -yF x)k.

Kështu, momenti drejtohet përgjatë boshtit z, dhe projeksioni i tij mbi bosht z saktësisht përkon me projeksionin në të njëjtin bosht të momentit të forcës F në lidhje me pikën RRETH. Me fjale te tjera,

M Oz(F)=M Oz(Fxy)= xF y -yF x. (3.11)

Natyrisht, i njëjti rezultat mund të merret nëse projektojmë forcën F me çdo rrafsh tjetër paralel xOy. Në këtë rast, pika e kryqëzimit të boshtit z me rrafshin do të jetë i ndryshëm (pikën e re të kryqëzimit e shënojmë me RRETH 1). Megjithatë, të gjithë të përfshirë në anën e djathtë barazia (3.11) e sasisë X, në, F x, F y do të mbetet e pandryshuar, dhe për këtë arsye mund të shkruhet

M Oz(F)=M O 1 z ( Fxy).

Me fjale te tjera, projeksioni i momentit të forcës në lidhje me një pikë në një bosht që kalon nga kjo pikë nuk varet nga zgjedhja e pikës në bosht . Prandaj, në atë që vijon, në vend të simbolit M Oz(F) do të përdorim simbolin Mz(F). Projeksioni i këtij momenti quhet momenti i forcës rreth boshtit z. Shpesh është më i përshtatshëm për të llogaritur momentin e një force rreth një boshti duke projektuar forcën F në një rrafsh pingul me boshtin dhe duke llogaritur vlerën Mz(Fxy).

Në përputhje me formulën (3.7) dhe duke marrë parasysh shenjën e projeksionit, marrim:

Mz(F)=Mz(Fxy)=± F xy h*. (3.12)

Këtu h*– shpatulla e forcës Fxy në lidhje me pikën RRETH. Nëse një vëzhgues sheh nga drejtimi pozitiv i boshtit z se forca Fxy tenton të rrotullojë trupin rreth një boshti z në të kundërt të akrepave të orës, atëherë merret shenja “+” dhe në të kundërt shenja “–”.

Formula (3.12) bën të mundur formulimin e rregullit të mëposhtëm për llogaritjen e momentit të forcës rreth boshtit. Për ta bërë këtë ju duhet:

· zgjedh një pikë arbitrare në bosht dhe ndërton një rrafsh pingul me boshtin;

· projektoni një forcë në këtë plan;

· të përcaktojë krahun e projeksionit të forcës h*.

Momenti i forcës në lidhje me boshtin është i barabartë me produktin e modulit të projeksionit të forcës mbi shpatullën e tij, marrë me shenjën e duhur (shih rregullin e mësipërm).

Nga formula (3.12) rezulton se momenti i forcës rreth boshtit është zero në dy raste:

· kur projeksioni i forcës në një rrafsh pingul me boshtin është zero, d.m.th. kur forca dhe boshti janë paralele ;

kur projeksioni i shpatullave h* barazohet me zero, d.m.th. kur vija e veprimit e pret boshtin .

Të dyja këto raste mund të kombinohen në një: momenti i një force rreth një boshti është zero nëse dhe vetëm nëse vija e veprimit e forcës dhe boshtit janë në të njëjtin rrafsh .

Detyra 3.1. Llogaritni në lidhje me një pikë RRETH momenti i fuqisë F, aplikuar në pikën A dhe një fytyrë kubi të drejtuar diagonalisht me anë A.

Kur zgjidhni probleme të tilla, këshillohet që fillimisht të llogaritni momentet e forcës F në lidhje me boshtet koordinative x, y, z. Koordinatat e pikave A aplikimi i forcës F do

Projeksionet e forcës F në akset koordinative:

Duke i zëvendësuar këto vlera në barazi (3.10), gjejmë

, , .

Të njëjtat shprehje për momentet e forcës F në lidhje me boshtet koordinative mund të merret duke përdorur formulën (3.12). Për ta bërë këtë, ne projektojmë forcën F në një rrafsh pingul me boshtin X Dhe në. Është e qartë se . Duke zbatuar rregullin e lartpërmendur, ne marrim, siç pritej, të njëjtat shprehje:

, , .

Moduli i momentit përcaktohet nga barazia

Le të prezantojmë tani konceptin e një momenti çift. Së pari, le të gjejmë se sa është e barabartë shuma e momenteve të forcave që përbëjnë çiftin në lidhje me një pikë arbitrare. Le RRETHështë një pikë arbitrare në hapësirë, dhe F Dhe F" - forcat që përbëjnë një çift.

Pastaj M o (F)= OA × F, M o (F")= OB × F",

M o (F)+ M o (F")= OA × F+ OB × F",

por që kur F= -F", Kjo

M o (F)+ M o (F")= OA × F- OB × F=(OA-OB)× F.

Duke marrë parasysh barazinë OA-OB=BA , më në fund gjejmë:

M o (F)+ M o (F")= VA × F.

Prandaj, shuma e momenteve të forcave që përbëjnë çiftin nuk varet nga pozicioni i pikës në lidhje me të cilën janë marrë momentet .

Vepra arti vektoriale VA × F dhe quhet moment çift . Momenti i çiftit tregohet me simbolin M(F, F"), dhe

M(F, F")=VA × F= AB × F",

ose shkurtimisht,

M=VA × F= AB × F". (3.13)

Duke marrë parasysh anën e djathtë të kësaj barazie, vërejmë se momenti i një çifti është një vektor, pingul me rrafshin i një çifti, i barabartë në modul me produktin e modulit të një force të një çifti nga krahu i çiftit (d.m.th., distanca më e shkurtër midis linjave të veprimit të forcave që përbëjnë çiftin) dhe e drejtuar në drejtimin nga i cili "Rrotullimi" i çiftit shihet se ndodh në drejtim të kundërt të akrepave të orës . Nëse h– shpatulla e çiftit, pra M(F, F")=h×F.

Nga vetë përkufizimi është e qartë se momenti i një çifti forcash është një vektor i lirë, linja e veprimit e të cilit nuk është e përcaktuar (arsyetimi shtesë për këtë vërejtje vjen nga teorema 2 dhe 3 e këtij kapitulli).

Në mënyrë që një çift forcash të përbëjë një sistem të balancuar (një sistem forcash ekuivalent me zero), është e nevojshme dhe e mjaftueshme që momenti i çiftit të jetë i barabartë me zero. Në të vërtetë, nëse momenti i një çifti është zero, M=h×F, pastaj ose F=0, d.m.th. asnjë forcë, apo shpatulla çifti h barazohet me zero. Por në këtë rast, forcat e çiftit do të veprojnë në një vijë të drejtë; duke qenë se janë të barabartë në modul dhe të drejtuar në drejtime të kundërta, atëherë, bazuar në aksiomën 1, ata do të formojnë një sistem të ekuilibruar. Në të kundërt, nëse dy forca F 1 Dhe F 2, që përbëjnë një çift, balancohen, pastaj, bazuar në të njëjtën aksiomë 1, ato veprojnë në një vijë të drejtë. Por në këtë rast leva e çiftit h barazohet me zero dhe prandaj M=h×F=0.

Teoremat e çifteve

Le të vërtetojmë tre teorema me ndihmën e të cilave bëhen të mundshme shndërrimet ekuivalente të çifteve. Në të gjitha konsideratat, duhet të mbahet mend se ato i referohen çifteve që veprojnë në çdo trup të vetëm.

Teorema 1. Dy çifte të shtrira në të njëjtin rrafsh mund të zëvendësohen me një çift të shtrirë në të njëjtin rrafsh, me një moment të barabartë me shumën e momenteve të këtyre dy çifteve.

Për të vërtetuar këtë teoremë, merrni parasysh dy çifte ( F 1,F" 1) Dhe ( F 2,F" 2) dhe zhvendosni pikat e zbatimit të të gjitha forcave përgjatë vijave të veprimit të tyre në pika A Dhe NË përkatësisht. Duke mbledhur forcat sipas aksiomës 3, marrim

R=F 1+F 2 Dhe R"=F" 1+F" 2,

Por F 1=-F" 1 Dhe F 2=-F" 2.

Prandaj, R=- R", d.m.th. forcë R Dhe R" formojnë një çift. Le të gjejmë momentin e këtij çifti duke përdorur formulën (3.13):

M=M(R, R")=VA× R= VA× (F 1+F 2)=VA× F 1+VA× F 2. (3.14)

Kur forcat që përbëjnë çiftin transferohen përgjatë vijave të veprimit të tyre, nuk ndryshon as shpatulla dhe as drejtimi i rrotullimit të çiftit, prandaj nuk ndryshon as momenti i çiftit. Do të thotë,

BA×F 1 =M(F 1,F" 1)=M 1, VA× F 2 = M(F 2,F" 2)=M 2

dhe formula (3.14) do të marrë formën

M=M 1 +M 2, (3.15)

që vërteton vlefshmërinë e teoremës së formuluar më sipër.

Le të bëjmë dy vërejtje për këtë teoremë.

1. Vijat e veprimit të forcave që përbëjnë çiftet mund të rezultojnë të jenë paralele. Teorema mbetet e vlefshme në këtë rast, por për ta vërtetuar atë duhet të përdorni rregullin e mbledhjes forcat paralele.

2. Pas shtimit mund të rezultojë se M(R, R")=0; Bazuar në vërejtjen e bërë më parë, rezulton se mbledhja e dy palëve ( F 1,F" 1, F 2,F" 2)=0.

Teorema 2. Dy çifte që kanë momente gjeometrikisht të barabarta janë ekuivalente.

Lëreni trupin në aeroplan Içift ( F 1,F" 1) me moment M 1. Le të tregojmë se ky çift mund të zëvendësohet nga një tjetër me çiftin ( F 2,F" 2), e vendosur në aeroplan II, qoftë vetëm momenti i saj M 2 barazohet M 1(sipas përkufizimit (shih 1.1) kjo do të thotë që çiftet ( F 1,F" 1) Dhe ( F 2,F" 2) janë ekuivalente). Para së gjithash, vërejmë se aeroplanët I Dhe II duhet të jenë paralele, në veçanti ato mund të përkojnë. Në të vërtetë, nga paralelizmi i momenteve M 1 Dhe M 2(në rastin tonë M 1=M 2) rrjedh se paralele janë edhe rrafshet e veprimit të çifteve pingul me momentet.

Le të prezantojmë një palë të re ( F 3,F" 3) dhe bashkëngjitni së bashku me një palë ( F 2,F" 2) në trup, duke i vendosur të dyja palët në rrafsh II. Për ta bërë këtë, sipas aksiomës 2, duhet të zgjidhni një palë ( F 3,F" 3) me moment M 3 në mënyrë që sistemi i aplikuar i forcave ( F 2,F" 2, F 3,F" 3) ishte i balancuar. Kjo mund të bëhet, për shembull, si më poshtë: vendos F 3=-F" 1 Dhe F" 3 =-F 1 dhe kombinoni pikat e zbatimit të këtyre forcave me projeksionet A 1 dhe NË 1 pikë A Dhe NË në aeroplan II. Në përputhje me ndërtimin do të kemi: M 3 = -M 1 ose, duke pasur parasysh se M 1 = M 2,

M 2 + M 3 = 0.

Duke marrë parasysh vërejtjen e dytë për teoremën e mëparshme, marrim ( F 2,F" 2, F 3,F" 3)=0. Kështu, çiftet ( F 2,F" 2) Dhe ( F 3,F" 3) janë të balancuara reciproke dhe lidhja e tyre me trupin nuk cenon gjendjen e tij (aksioma 2), kështu që

(F 1,F" 1)= (F 1,F" 1, F 2,F" 2, F 3,F" 3). (3.16)

Nga ana tjetër, forcat F 1 Dhe F 3, dhe F" 1 Dhe F" 3 mund të shtohet sipas rregullit të shtimit të forcave paralele të drejtuara në një drejtim. Në modul, të gjitha këto forca janë të barabarta me njëra-tjetrën, pra rezultantët e tyre R Dhe R" duhet të zbatohet në pikën e kryqëzimit të diagonaleve të drejtkëndëshit ABB 1 A 1 ; përveç kësaj, ato janë të barabarta në madhësi dhe të drejtuara në drejtime të kundërta. Kjo do të thotë se ato përbëjnë një sistem të barabartë me zero. Kështu që,

(F 1,F" 1, F 3,F" 3)=(R, R")=0.

Tani mund të shkruajmë

(F 1,F" 1, F 2,F" 2, F 3,F" 3)=(F 3,F" 3). (3.17)

Duke krahasuar marrëdhëniet (3.16) dhe (3.17), marrim ( F 1,F" 1)=(F 2,F" 2), që ishte ajo që duhej vërtetuar.

Nga kjo teoremë del se një çift forcash mund të zhvendosen në rrafshin e veprimit të tij, të transferuara në një plan paralel; më në fund, në një çift mund të ndryshoni njëkohësisht forcat dhe levën, duke ruajtur vetëm drejtimin e rrotullimit të çiftit dhe modulin e momentit të tij ( F 1 h 1 =F 2 h 2).

Në atë që vijon, ne do të përdorim gjerësisht transformime të tilla ekuivalente të çifteve.

Teorema 3. Dy çifte të shtrira në rrafshe të kryqëzuara janë ekuivalente me një çift, momenti i të cilit është i barabartë me shumën e momenteve të dy çifteve të dhëna.

Leri çiftet ( F 1,F" 1) Dhe ( F 2,F" 2) ndodhen në rrafshe të kryqëzuara I Dhe II përkatësisht. Duke përdorur përfundimin e Teoremës 2, ne i zvogëlojmë të dy çiftet në shpatull AB, i vendosur në vijën e kryqëzimit të avionëve I Dhe II. Le të shënojmë çiftet e transformuara me ( P 1,P" 1) Dhe ( P 2,P" 2). Në këtë rast, barazitë duhet të plotësohen

M 1 = M(P 1,P" 1)=M(F 1,F" 1) Dhe M 2 = M(P 2,P" 2)=M(F 2,F" 2).

Le të shtojmë, sipas aksiomës, 3 forca të aplikuara në pika A Dhe NË përkatësisht. Pastaj marrim R=Q 1 + Q 2 Dhe R"=Q" 1 +Q" 2. Duke pasur parasysh atë Q" 1 = -Q 1 Dhe Q" 2 = -Q 2, marrim R=-R". Kështu, ne kemi vërtetuar se një sistem prej dy çiftesh është i barabartë me një çift ( R,R").

Le të gjejmë një moment M ky çift. Bazuar në formulën (3.13) kemi

M(R,R")=VA× (Q 1 + Q 2)=VA× Q 1 + VA× P 2=

=M(P 1,P" 1)+M(P 2,P" 2)=M(F 1,F" 1)+M(F 2,F" 2)

M=M 1 +M 2,

ato. vërtetohet teorema.

Vini re se rezultati i marrë vlen edhe për çiftet që shtrihen në plane paralele. Me teoremën 2, çifte të tilla mund të reduktohen në një rrafsh dhe me teoremën 1 mund të zëvendësohen me një çift, momenti i të cilit është i barabartë me shumën e momenteve të çifteve përbërëse.

Teoremat e çifteve të vërtetuara më sipër na lejojnë të nxjerrim një përfundim të rëndësishëm: momenti i çiftit është një vektor i lirë dhe përcakton plotësisht veprimin e çiftit në një trup absolutisht të ngurtë . Në fakt, ne kemi vërtetuar tashmë se nëse dy çifte kanë momente të njëjta (pra, shtrihen në të njëjtin plan ose në plane paralele), atëherë ato janë ekuivalente me njëra-tjetrën (Teorema 2). Nga ana tjetër, dy çifte që shtrihen në rrafshe të kryqëzuara nuk mund të jenë ekuivalente, sepse kjo do të thotë që njëri prej tyre dhe çifti përballë tjetrit janë të barasvlershëm me zero, gjë që është e pamundur, pasi shuma e momenteve të çifteve të tilla është jozero.

Kështu, koncepti i prezantuar i momentit të një çifti është jashtëzakonisht i dobishëm, pasi pasqyron plotësisht veprimin mekanik të një çifti në trup. Në këtë kuptim, mund të themi se momenti paraqet në mënyrë shteruese veprimin e një çifti mbi një trup të ngurtë.

Për trupat e deformueshëm, teoria e çifteve e përshkruar më sipër nuk është e zbatueshme. Dy çifte të kundërta, që veprojnë, për shembull, në skajet e një shufre, janë ekuivalente me zero nga pikëpamja e statikës së trupit të ngurtë. Ndërkaq, veprimi i tyre në shufrën e deformueshme shkakton përdredhjen e saj dhe sa më i madh të jetë moduli i momentit.

Le të kalojmë në zgjidhjen e problemit të parë dhe të dytë të statikës, kur në trup veprojnë vetëm çifte forcash.

Momenti i forcës rreth boshtitështë momenti i projeksionit të një force mbi një plan pingul me një bosht, në lidhje me pikën e kryqëzimit të boshtit me këtë plan

Një moment rreth një boshti është pozitiv nëse forca tenton të rrotullojë rrafshin pingul me boshtin në drejtim të kundërt të akrepave të orës kur shikon drejt boshtit.

Momenti i forcës rreth boshtit është 0 në dy raste:

Nëse forca është paralele me boshtin

Nëse forca kalon boshtin

Nëse vija e veprimit dhe boshti shtrihen në të njëjtin rrafsh, atëherë momenti i forcës rreth boshtit është i barabartë me 0.

27. Lidhja ndërmjet momentit të forcës rreth një boshti dhe momentit vektorial të forcës rreth një pike.

Mz(F)=Mo(F)*cosαMomenti i forcës në lidhje me boshtin është i barabartë me projeksionin e vektorit të momentit të forcës në lidhje me pikën e boshtit në këtë bosht.

28. Teorema kryesore e statikës për sjelljen e një sistemi forcash në një qendër të caktuar (teorema e Poinsot-it). Vektori kryesor dhe momenti kryesor i sistemit të forcave.

Vektori kryesor i sistemit të forcës quhet vektor R, e barabartë me shumën vektoriale të këtyre forcave:

R = F 1 + F 2 + ... + F n= F i.

Për një sistem të rrafshët të forcave, vektori i tij kryesor qëndron në rrafshin e veprimit të këtyre forcave.

Pika kryesore e sistemit të forcave në raport me qendrën O quhet vektor L O, e barabartë me shumën e momenteve vektoriale të këtyre forcave në lidhje me pikën O:

L O= M O( F 1) + M O( F 2) + ... + M O( F n) = M O( F i).

Vektor R nuk varet nga zgjedhja e qendrës O, dhe vektorit L Kur pozicioni i qendrës ndryshon, O në përgjithësi mund të ndryshojë.

Teorema e Poinsot-it: Një sistem hapësinor arbitrar i forcave mund të zëvendësohet nga një forcë me vektorin kryesor të sistemit të forcës dhe një çift forcash me një moment kryesor pa e shqetësuar gjendjen e trupit të ngurtë. Vektori kryesor është shuma gjeometrike e të gjitha forcave që veprojnë në një trup të ngurtë dhe ndodhet në rrafshin e veprimit të forcave. Vektori kryesor konsiderohet përmes projeksioneve të tij në boshtet koordinative.

29 Raste të veçanta të reduktimit të një sistemi hapësinor të forcave

	Vlerat e vektorit kryesor dhe të momentit kryesor	Rezultati i hedhjes
		Sistemi i forcave reduktohet në një palë forcash, momenti i të cilave është i barabartë me momentin kryesor (momenti kryesor i sistemit të forcave nuk varet nga zgjedhja e qendrës së reduktimit O).
		Sistemi i forcave reduktohet në një rezultat të barabartë me kalimin nëpër qendrën O.
		Sistemi i forcave reduktohet në një rezultante të barabartë me vektorin kryesor dhe paralel me të dhe ndodhet në një distancë prej tij. Pozicioni i vijës së veprimit të rezultantit duhet të jetë i tillë që drejtimi i momentit të tij në lidhje me qendrën e reduktimit O të përputhet me drejtimin në lidhje me qendrën O.
	, dhe vektorët nuk janë pingul	Sistemi i forcave reduktohet në një dyna (vidhos fuqie) - një kombinim i forcës dhe një palë forcash që shtrihen në një plan pingul me këtë forcë.
		Sistemi i forcave të aplikuara në një trup të ngurtë është i balancuar.

Duke zëvendësuar, marrim

Le të shënojmë koordinatat e pikës O 1 në të cilën dinamika fitohet si x, y, z. Atëherë projeksionet e vektorit në boshtet e koordinatave janë të barabarta me koordinatat x, y, z. Duke pasur parasysh këtë, (*) mund të shprehet në formë

ku unë. j ,k janë vektorë njësi të boshteve të koordinatave, dhe prodhimi vektorial * përfaqësohet nga përcaktorja. Ekuacioni vektorial(**) është ekuivalente me tre skalarë, të cilët, pas hedhjes, mund të përfaqësohen si

Ekuacionet lineare që rezultojnë për koordinatat x, y, z janë ekuacionet e një vije të drejtë - boshti spirale qendror. Rrjedhimisht, ekziston një vijë e drejtë në pikat e së cilës sistemi i forcave reduktohet në dinamizëm.