Rrathë gome

Teorema e Vietës. Shembuj të përdorimit. Si të zgjidhim ekuacionet duke përdorur teoremën e Vietës në matematikë Formula e Vietës për një ekuacion

Në matematikë ka truke të veçanta me të cilat shumë ekuacione kuadratike zgjidhen shumë shpejt dhe pa asnjë dallim. Për më tepër, me trajnimin e duhur, shumë fillojnë të zgjidhin ekuacionet kuadratike verbalisht, fjalë për fjalë "me një shikim".

Fatkeqësisht, në kursin modern të matematikës shkollore, teknologji të tilla pothuajse nuk studiohen. Dhe ju duhet të dini! Dhe sot do të shqyrtojmë një nga këto teknika - teoremën e Vieta. Së pari, le të prezantojmë një përkufizim të ri.

Një ekuacion kuadratik i formës x 2 + bx + c = 0 quhet i reduktuar. Ju lutemi vini re se koeficienti në x 2 është i barabartë me 1. Nuk ka kufizime të tjera për koeficientët.

x 2 + 7x + 12 = 0 është ekuacioni kuadratik i reduktuar;
x 2 − 5x + 6 = 0 gjithashtu zvogëlohet;
2x 2 − 6x + 8 = 0 - por kjo nuk është dhënë fare, pasi koeficienti në x 2 është 2.

Sigurisht, çdo ekuacion kuadratik i formës ax 2 + bx + c = 0 mund të zvogëlohet - mjafton të ndani të gjithë koeficientët me numrin a . Këtë mund ta bëjmë gjithmonë, pasi nga përkufizimi i një ekuacioni kuadratik rezulton se një ≠ 0.

Vërtetë, këto transformime nuk do të jenë gjithmonë të dobishme për gjetjen e rrënjëve. Pak më poshtë, do të sigurohemi që kjo të bëhet vetëm kur në ekuacionin përfundimtar në katror të gjithë koeficientët janë numër i plotë. Tani për tani, le të shohim disa shembuj të thjeshtë:

Një detyrë. Shndërroni ekuacionin kuadratik në të reduktuar:

3x2 − 12x + 18 = 0;

−4x2 + 32x + 16 = 0;

1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;

2x2 + 7x − 11 = 0.

Le të pjesëtojmë çdo ekuacion me koeficientin e ndryshores x 2 . Ne marrim:

3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - ndani gjithçka me 3;
−4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - pjesëtuar me −4;
1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - pjesëtuar me 1.5, të gjithë koeficientët u bënë numër i plotë;
2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3.5x - 5.5 \u003d 0 - pjesëtuar me 2. Në këtë rast, u shfaqën koeficientët e pjesshëm.

Siç mund ta shihni, ekuacionet e dhëna kuadratike mund të kenë koeficientë të plotë edhe nëse ekuacioni origjinal përmban fraksione.

Tani ne formulojmë teoremën kryesore, për të cilën, në fakt, u prezantua koncepti i një ekuacioni kuadratik të reduktuar:

Teorema e Vietës. Merrni parasysh ekuacionin kuadratik të reduktuar të formës x 2 + bx + c \u003d 0. Supozoni se ky ekuacion ka rrënjë reale x 1 dhe x 2. Në këtë rast, pohimet e mëposhtme janë të vërteta:

x1 + x2 = −b. Me fjalë të tjera, shuma e rrënjëve të ekuacionit të dhënë kuadratik është e barabartë me koeficientin e ndryshores x, marrë me shenjën e kundërt;

x 1 x 2 = c. Prodhimi i rrënjëve të një ekuacioni kuadratik është i barabartë me koeficientin e lirë.

Shembuj. Për thjeshtësi, ne do të shqyrtojmë vetëm ekuacionet e dhëna kuadratike që nuk kërkojnë transformime shtesë:

x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; rrënjët: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; rrënjët: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; rrënjët: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Teorema e Vietës na jep informacion shtesë për rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Në pamje të parë, kjo mund të duket e ndërlikuar, por edhe me trajnim minimal, do të mësoni të "shihni" rrënjët dhe fjalë për fjalë t'i merrni me mend brenda pak sekondash.

Një detyrë. Zgjidheni ekuacionin kuadratik:

x2 − 9x + 14 = 0;

x 2 - 12x + 27 = 0;

3x2 + 33x + 30 = 0;

−7x2 + 77x − 210 = 0.

Le të përpiqemi të shkruajmë koeficientët sipas teoremës Vieta dhe të "mendojmë" rrënjët:

x 2 − 9x + 14 = 0 është një ekuacion kuadratik i reduktuar.
Nga teorema e Vieta-s, kemi: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Është e lehtë të shihet se rrënjët janë numrat 2 dhe 7;
x 2 − 12x + 27 = 0 gjithashtu zvogëlohet.
Nga teorema Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Prandaj rrënjët: 3 dhe 9;
3x 2 + 33x + 30 = 0 - Ky ekuacion nuk zvogëlohet. Por ne do ta rregullojmë këtë tani duke i ndarë të dy anët e ekuacionit me koeficientin a \u003d 3. Marrim: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
Zgjidhim sipas teoremës Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ rrënjët: −10 dhe −1;
−7x 2 + 77x − 210 \u003d 0 - përsëri koeficienti në x 2 nuk është i barabartë me 1, d.m.th. ekuacioni nuk është dhënë. Ne pjesëtojmë gjithçka me numrin a = −7. Ne marrim: x 2 - 11x + 30 = 0.
Nga teorema Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Nga këto ekuacione është e lehtë të merren me mend rrënjët: 5 dhe 6.

Nga arsyetimi i mësipërm, mund të shihet se si teorema e Vietës thjeshton zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. Pa llogaritje të komplikuara, pa rrënjë dhe thyesa aritmetike. Dhe madje edhe diskriminuesi (shiko mësimin " Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike") Nuk na duhej.

Natyrisht, në të gjitha reflektimet tona, ne dolëm nga dy supozime të rëndësishme, të cilat, në përgjithësi, nuk përmbushen gjithmonë në problemet reale:

Ekuacioni kuadratik zvogëlohet, d.m.th. koeficienti në x 2 është 1;
Ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme. Nga pikëpamja e algjebrës, në këtë rast diskriminuesi D > 0 - në fakt, fillimisht supozojmë se kjo pabarazi është e vërtetë.

Megjithatë, në problemet tipike matematikore këto kushte plotësohen. Nëse rezultati i llogaritjeve është një ekuacion kuadratik "i keq" (koeficienti në x 2 është i ndryshëm nga 1), kjo është e lehtë për t'u rregulluar - hidhini një sy shembujve në fillim të mësimit. Unë në përgjithësi hesht për rrënjët: çfarë lloj detyre është kjo në të cilën nuk ka përgjigje? Sigurisht që do të ketë rrënjë.

Kështu, skema e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike sipas teoremës Vieta është si më poshtë:

Zvogëlojeni ekuacionin kuadratik në atë të dhënë, nëse kjo nuk është bërë tashmë në kushtin e problemit;
Nëse koeficientët në ekuacionin kuadratik të mësipërm rezultuan të pjesshëm, ne i zgjidhim përmes diskriminuesit. Ju madje mund të ktheheni në ekuacionin origjinal për të punuar me numra më "të përshtatshëm";
Në rastin e koeficientëve të plotë, e zgjidhim ekuacionin duke përdorur teoremën Vieta;
Nëse brenda pak sekondave nuk ishte e mundur të hamendësoheshin rrënjët, ne shënojmë teoremën Vieta dhe zgjidhim përmes diskriminuesit.

Një detyrë. Zgjidheni ekuacionin: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Pra, kemi një ekuacion që nuk zvogëlohet, sepse koeficienti a \u003d 5. Ndani gjithçka me 5, marrim: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Të gjithë koeficientët e ekuacionit kuadratik janë numër i plotë - le të përpiqemi ta zgjidhim duke përdorur teoremën e Vietës. Kemi: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. Në këtë rast, rrënjët janë të lehta për t'u hamendësuar - këto janë 2 dhe 5. Ju nuk keni nevojë të numëroni përmes diskriminuesit.

Një detyrë. Zgjidheni ekuacionin: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0.

Shikojmë: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - ky ekuacion nuk zvogëlohet, të dyja anët i ndajmë me koeficientin a = −5. Ne marrim: x 2 - 1.6x + 0.48 \u003d 0 - një ekuacion me koeficientë thyesorë.

Është më mirë të kthehemi në ekuacionin origjinal dhe të numërojmë përmes diskriminuesit: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 \u003d 0,4.

Një detyrë. Zgjidheni ekuacionin: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Për të filluar, ne ndajmë gjithçka me koeficientin a \u003d 2. Marrim ekuacionin x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Ky është ekuacioni i reduktuar, sipas teoremës Vieta kemi: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. Është e vështirë të hamendësosh rrënjët e ekuacionit kuadratik në këtë rast - personalisht, "ngriva" seriozisht kur zgjidha këtë problem.

Do të duhet të kërkojmë rrënjë përmes diskriminuesit: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Nëse nuk e mbani mend rrënjën e diskriminuesit, do të vërej vetëm se 1225: 25 = 49. Prandaj, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Tani që dihet rrënja e diskriminuesit, zgjidhja e ekuacionit nuk është e vështirë. Ne marrim: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Kur studioni mënyra për të zgjidhur ekuacionet e rendit të dytë në një kurs algjebër shkollore, merrni parasysh vetitë e rrënjëve të marra. Tani ato njihen si teoremat e Vieta-s. Shembuj të përdorimit të tij janë dhënë në këtë artikull.

Ekuacioni kuadratik

Ekuacioni i rendit të dytë është një barazi, e cila tregohet në foton më poshtë.

Këtu simbolet a, b, c janë disa numra që quhen koeficientë të ekuacionit në shqyrtim. Për të zgjidhur një barazi, duhet të gjeni vlerat x që e bëjnë atë të vërtetë.

Vini re se meqenëse vlera maksimale e fuqisë në të cilën rritet x është dy, atëherë numri i rrënjëve në rastin e përgjithshëm është gjithashtu dy.

Ka disa mënyra për të zgjidhur këtë lloj barazie. Në këtë artikull, ne do të shqyrtojmë një prej tyre, i cili përfshin përdorimin e të ashtuquajturës teorema Vieta.

Deklarata e teoremës së Vietës

Në fund të shekullit të 16-të, matematikani i famshëm Francois Viet (francez) vuri re, duke analizuar vetitë e rrënjëve të ekuacioneve të ndryshme kuadratike, se disa kombinime të tyre plotësojnë marrëdhënie specifike. Në veçanti, këto kombinime janë produkti dhe shuma e tyre.

Teorema e Vieta-s përcakton si më poshtë: rrënjët e një ekuacioni kuadratik, kur përmblidhen, japin raportin e koeficientëve linearë me kuadratikë të marrë me shenjën e kundërt, dhe kur ato shumëzohen, ato çojnë në raportin e termit të lirë me koeficientin kuadratik. .

Nëse forma e përgjithshme e ekuacionit shkruhet siç tregohet në foto në pjesën e mëparshme të artikullit, atëherë matematikisht kjo teoremë mund të shkruhet si dy barazi:

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c / a.

Ku r 1 , r 2 është vlera e rrënjëve të ekuacionit të konsideruar.

Këto dy barazime mund të përdoren për të zgjidhur një numër problemesh matematikore shumë të ndryshme. Përdorimi i teoremës Vieta në shembuj me zgjidhje është dhënë në seksionet vijuese të artikullit.

Ndërmjet rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacionit kuadratik, përveç formulave të rrënjës, ekzistojnë edhe marrëdhënie të tjera të dobishme që jepen nga Teorema e Vietës. Në këtë artikull, ne do të japim një formulim dhe vërtetim të teoremës së Vietës për një ekuacion kuadratik. Më pas, ne konsiderojmë një teoremë të kundërt me teoremën e Vieta-s. Pas kësaj do të analizojmë zgjidhjet e shembujve më karakteristikë. Së fundi, ne shkruajmë formulat Vieta që përcaktojnë lidhjen midis rrënjëve reale ekuacioni algjebrik shkalla n dhe koeficientët e saj.

Navigimi i faqes.

Teorema e Vietës, formulimi, prova

Nga formulat e rrënjëve të ekuacionit kuadratik a x 2 +b x+c=0 të formës , ku D=b 2 −4 a c , marrëdhëniet x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Këto rezultate janë konfirmuar Teorema e Vietës:

Teorema.

Nese nje x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik a x 2 +b x+c=0, atëherë shuma e rrënjëve është e barabartë me raportin e koeficientëve b dhe a, të marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjët janë të barabarta me raportin e koeficientëve c dhe a, pra .

Dëshmi.

Teoremën e Vieta-s do ta vërtetojmë sipas skemës së mëposhtme: do të përpilojmë shumën dhe produktin e rrënjëve të ekuacionit kuadratik duke përdorur formulat e njohura të rrënjës, pastaj do të transformojmë shprehjet që rezultojnë dhe do të sigurohemi që ato të jenë të barabarta me -b /a dhe c/a, respektivisht.

Le të fillojmë me shumën e rrënjëve, ta kompozojmë atë. Tani i sjellim thyesat në një emërues të përbashkët, kemi. Në numëruesin e thyesës që rezulton , pas së cilës : . Më në fund, pas 2, marrim . Kjo vërteton lidhjen e parë të teoremës së Vietës për shumën e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik. Le të kalojmë tek e dyta.

Përbëjmë prodhimin e rrënjëve të ekuacionit kuadratik:. Sipas rregullit të shumëzimit të thyesave, prodhimi i fundit mund të shkruhet si. Tani ne e shumëzojmë kllapin me kllapin në numërues, por është më e shpejtë të shembet ky produkt me formula e dallimit të katrorëve, Kështu që . Pastaj, duke kujtuar , ne kryejmë tranzicionin tjetër. Dhe meqenëse formula D=b 2 −4 a·c korrespondon me diskriminuesin e ekuacionit kuadratik, atëherë b 2 −4·a·c mund të zëvendësohet në thyesën e fundit në vend të D, marrim . Pas hapjes së kllapave dhe reduktimit të termave të ngjashëm, arrijmë në thyesën , dhe reduktimi i saj me 4·a jep . Kjo dëshmon lidhjen e dytë të teoremës së Vietës për prodhimin e rrënjëve.

Nëse i lëmë shpjegimet, atëherë vërtetimi i teoremës Vieta do të marrë një formë koncize:
,
.

Mbetet vetëm të theksohet se kur diskriminuesi është i barabartë me zero, ekuacioni kuadratik ka një rrënjë. Megjithatë, nëse supozojmë se ekuacioni në këtë rast ka dy rrënjë identike, atëherë barazimet nga teorema e Vietas gjithashtu vlejnë. Në të vërtetë, për D=0 rrënja e ekuacionit kuadratik është , atëherë dhe , dhe meqë D=0 , pra, b 2 −4·a·c=0 , prej nga b 2 =4·a·c , atëherë .

Në praktikë, teorema e Vietës përdoret më shpesh në lidhje me ekuacionin kuadratik të reduktuar (me koeficientin më të lartë a të barabartë me 1 ) të formës x 2 +p·x+q=0 . Ndonjëherë formulohet vetëm për ekuacione kuadratike të këtij lloji, gjë që nuk e kufizon përgjithësinë, pasi çdo ekuacion kuadratik mund të zëvendësohet nga një ekuacion ekuivalent duke pjesëtuar të dy pjesët e tij me një numër jo zero a. Këtu është formulimi përkatës i teoremës së Vieta:

Teorema.

Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 + p x + q \u003d 0 është e barabartë me koeficientin në x, të marrë me shenjën e kundërt, dhe produkti i rrënjëve është një term i lirë, domethënë x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Teorema e kundërt me teoremën e Vietës

Formulimi i dytë i teoremës Vieta, i dhënë në paragrafin e mëparshëm, tregon se nëse x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 +p x+q=0, atëherë marrëdhëniet x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2=q. Nga ana tjetër, nga relacionet e shkruara x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, del se x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik x 2 +p x+q=0. Me fjalë të tjera, pohimi i kundërt me teoremën e Vietës është i vërtetë. Ne e formulojmë atë në formën e një teoreme dhe e vërtetojmë atë.

Teorema.

Nëse numrat x 1 dhe x 2 janë të tillë që x 1 +x 2 =−p dhe x 1 x 2 =q, atëherë x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 +p x+q=0 .

Dëshmi.

Pas zëvendësimit të koeficientëve p dhe q në ekuacionin x 2 +p x+q=0 të shprehjes së tyre përmes x 1 dhe x 2, ai shndërrohet në një ekuacion ekuivalent.

Ne e zëvendësojmë numrin x 1 në vend të x në ekuacionin që rezulton, kemi barazinë x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, që për çdo x 1 dhe x 2 është barazia numerike e saktë 0=0, pasi x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Prandaj, x 1 është rrënja e ekuacionit x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, që do të thotë se x 1 është rrënja e ekuacionit ekuivalent x 2 +p x+q=0 .

Nëse në ekuacion x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 zëvendësojmë numrin x 2 në vend të x, atëherë marrim barazinë x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Ky është ekuacioni i saktë sepse x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Prandaj, x 2 është gjithashtu rrënja e ekuacionit x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, dhe si rrjedhim ekuacionet x 2 +p x+q=0 .

Kjo plotëson vërtetimin e teoremës, teorema e bashkëbisedimit Vieta.

Shembuj të përdorimit të teoremës së Vietës

Është koha të flasim për zbatimin praktik të teoremës së Vietës dhe teoremës së saj të kundërt. Në këtë nënseksion, ne do të analizojmë zgjidhjet e disa prej shembujve më tipikë.

Fillojmë duke aplikuar një teoremë të kundërt me teoremën e Vietës. Është e përshtatshme për ta përdorur atë për të kontrolluar nëse dy numrat e dhënë janë rrënjët e një ekuacioni të caktuar kuadratik. Në këtë rast, llogaritet shuma dhe diferenca e tyre, pas së cilës kontrollohet vlefshmëria e marrëdhënieve. Nëse të dyja këto marrëdhënie janë të kënaqura, atëherë, në bazë të teoremës së kundërt me teoremën e Vietës, arrihet në përfundimin se këta numra janë rrënjët e ekuacionit. Nëse të paktën një nga relacionet nuk është e kënaqur, atëherë këta numra nuk janë rrënjët e ekuacionit kuadratik. Kjo qasje mund të përdoret kur zgjidhen ekuacionet kuadratike për të kontrolluar rrënjët e gjetura.

Shembull.

Cili nga çiftet e numrave 1) x 1 =−5, x 2 =3, ose 2), ose 3) është një çift rrënjësh i ekuacionit kuadratik 4 x 2 −16 x+9=0?

Zgjidhje.

Koeficientët e ekuacionit kuadratik të dhënë 4 x 2 −16 x+9=0 janë a=4 , b=−16 , c=9 . Sipas teoremës së Vietës, shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik duhet të jetë e barabartë me −b/a, pra 16/4=4, dhe prodhimi i rrënjëve duhet të jetë i barabartë me c/a, pra 9. /4.

Tani le të llogarisim shumën dhe produktin e numrave në secilën nga tre çiftet e dhëna dhe t'i krahasojmë ato me vlerat e marra sapo.

Në rastin e parë kemi x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Vlera që rezulton është e ndryshme nga 4, kështu që verifikimi i mëtejshëm nuk mund të kryhet, por nga teorema, anasjellta e teoremës së Vieta, mund të konkludojmë menjëherë se çifti i parë i numrave nuk është një palë rrënjë të një ekuacioni kuadratik të caktuar.

Le të kalojmë në rastin e dytë. Këtu, pra, plotësohet kushti i parë. Ne kontrollojmë kushtin e dytë: , vlera që rezulton është e ndryshme nga 9/4. Prandaj, çifti i dytë i numrave nuk është një çift i rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.

Rasti i fundit ka mbetur. Këtu dhe. Të dy kushtet janë plotësuar, kështu që këta numra x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit të dhënë kuadratik.

Përgjigje:

Teorema, e kundërta e teoremës së Vietës, mund të përdoret në praktikë për të zgjedhur rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Zakonisht, zgjidhen rrënjët e plota të ekuacioneve kuadratike të dhëna me koeficientë të plotë, pasi në raste të tjera kjo është mjaft e vështirë për t'u bërë. Në të njëjtën kohë, ata përdorin faktin se nëse shuma e dy numrave është e barabartë me koeficientin e dytë të ekuacionit kuadratik, marrë me shenjën minus, dhe produkti i këtyre numrave është i barabartë me termin e lirë, atëherë këta numra janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik. Le ta trajtojmë këtë me një shembull.

Marrim ekuacionin kuadratik x 2 −5 x+6=0 . Që numrat x 1 dhe x 2 të jenë rrënjët e këtij ekuacioni, duhet të plotësohen dy barazi x 1 +x 2 \u003d 5 dhe x 1 x 2 \u003d 6. Mbetet për të zgjedhur numra të tillë. Në këtë rast, kjo është mjaft e thjeshtë për t'u bërë: numra të tillë janë 2 dhe 3, pasi 2+3=5 dhe 2 3=6 . Kështu, 2 dhe 3 janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik.

Teorema, e kundërta e teoremës së Vietës, është veçanërisht e përshtatshme për t'u zbatuar për gjetjen e rrënjës së dytë të ekuacionit kuadratik të reduktuar, kur njëra prej rrënjëve është tashmë e njohur ose e dukshme. Në këtë rast, rrënja e dytë gjendet nga ndonjë prej marrëdhënieve.

Për shembull, le të marrim ekuacionin kuadratik 512 x 2 −509 x−3=0 . Këtu është e lehtë të shihet se njësia është rrënja e ekuacionit, pasi shuma e koeficientëve të këtij ekuacioni kuadratik është zero. Pra x 1 = 1 . Rrënja e dytë x 2 mund të gjendet, për shembull, nga relacioni x 1 x 2 =c/a. Kemi 1 x 2 =−3/512, prej nga x 2 =−3/512. Pra, ne kemi përcaktuar të dy rrënjët e ekuacionit kuadratik: 1 dhe −3/512.

Është e qartë se zgjedhja e rrënjëve është e përshtatshme vetëm në rastet më të thjeshta. Në raste të tjera, për të gjetur rrënjët, mund të aplikoni formulat e rrënjëve të ekuacionit kuadratik përmes diskriminuesit.

Një tjetër përdorim praktik teorema, e kundërta e teoremës së Vietës, konsiston në hartimin e ekuacioneve kuadratike për rrënjët e dhëna x 1 dhe x 2. Për ta bërë këtë, mjafton të llogaritet shuma e rrënjëve, e cila jep koeficientin e x me shenjën e kundërt të ekuacionit të dhënë kuadratik, dhe produktin e rrënjëve, që jep termin e lirë.

Shembull.

Shkruani një ekuacion kuadratik, rrënjët e të cilit janë numrat −11 dhe 23.

Zgjidhje.

Shënoni x 1 =−11 dhe x 2 =23 . Ne llogarisim shumën dhe produktin e këtyre numrave: x 1 + x 2 \u003d 12 dhe x 1 x 2 \u003d −253. Prandaj, këta numra janë rrënjët e ekuacionit të dhënë kuadratik me koeficientin e dytë -12 dhe termin e lirë -253. Domethënë, x 2 −12·x−253=0 është ekuacioni i dëshiruar.

Përgjigje:

x 2 −12 x−253=0 .

Teorema e Vietës përdoret shumë shpesh në zgjidhjen e detyrave që lidhen me shenjat e rrënjëve të ekuacioneve kuadratike. Si lidhet teorema e Vietës me shenjat e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 +p x+q=0 ? Këtu janë dy deklarata përkatëse:

Nëse prerja q është një numër pozitiv dhe nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë reale, atëherë ose janë të dyja pozitive ose të dyja negative.
Nëse termi i lirë q është numër negativ dhe nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë reale, atëherë shenjat e tyre janë të ndryshme, me fjalë të tjera, njëra rrënjë është pozitive dhe tjetra negative.

Këto pohime rrjedhin nga formula x 1 x 2 =q, si dhe nga rregullat për shumëzimin e numrave pozitivë, negativë dhe numrave me shenja të ndryshme. Konsideroni shembuj të aplikimit të tyre.

Shembull.

R është pozitiv. Sipas formulës diskriminuese gjejmë D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , vlerën e shprehjes r 2 +8 është pozitive për çdo r real, pra D>0 për çdo r real. Prandaj, ekuacioni kuadratik origjinal ka dy rrënjë për çdo vlerë reale të parametrit r.

Tani le të zbulojmë se kur kanë rrënjët shenja të ndryshme. Nëse shenjat e rrënjëve janë të ndryshme, atëherë produkti i tyre është negativ, dhe nga teorema e Vietas, prodhimi i rrënjëve të ekuacionit të dhënë kuadratik është i barabartë me termin e lirë. Prandaj, ne jemi të interesuar për ato vlera të r për të cilat termi i lirë r−1 është negativ. Kështu, për të gjetur vlerat e r-së që janë me interes për ne, duhet zgjidhni një pabarazi lineare r−1<0 , откуда находим r<1 .

Përgjigje:

në r<1 .

Formulat Vieta

Më sipër, folëm për teoremën e Vietës për një ekuacion kuadratik dhe analizuam marrëdhëniet që ajo pohon. Por ka formula që lidhin rrënjët reale dhe koeficientët jo vetëm të ekuacioneve kuadratike, por edhe të ekuacioneve kubike, ekuacioneve të katërfishta dhe në përgjithësi, ekuacionet algjebrike shkallë n. Ata quhen Formulat Vieta.

Ne shkruajmë formulat Vieta për një ekuacion algjebrik të shkallës n të formës, ndërsa supozojmë se ka n rrënjë reale x 1, x 2, ..., x n (midis tyre mund të ketë të njëjtat):

Merrni formulat Vieta lejon teorema e faktorizimit polinom, si dhe përcaktimi i polinomeve të barabarta nëpërmjet barazimit të të gjithë koeficientëve të tyre përkatës. Pra, polinomi dhe zgjerimi i tij në faktorë linearë të formës janë të barabartë. Duke hapur kllapat në produktin e fundit dhe duke barazuar koeficientët përkatës, marrim formulat Vieta.

Në veçanti, për n=2 kemi tashmë formula të njohura Vieta për ekuacionin kuadratik.

Për një ekuacion kub, formulat Vieta kanë formën

Mbetet vetëm të theksohet se në anën e majtë të formulave Vieta ka të ashtuquajturat elementare polinomet simetrike.

Bibliografi.

Algjebra: teksti shkollor për 8 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M. : Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algjebër. klasa e 8-të. Në orën 14:00 Pjesa 1. Një libër shkollor për studentët e institucioneve arsimore / A. G. Mordkovich. - Botimi i 11-të, i fshirë. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 f.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algjebër dhe fillimi i analizës matematikore. Klasa 10: tekst shkollor. për arsimin e përgjithshëm institucionet: bazë dhe profili. nivelet / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - botimi i 3-të. - M.: Iluminizmi, 2010.- 368 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Formulimi dhe vërtetimi i teoremës së Vietës për ekuacionet kuadratike. Teorema e anasjelltë Vieta. Teorema e Vietës për ekuacionet kubike dhe ekuacionet e rendit arbitrar.

përmbajtja

Shiko gjithashtu: Rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Ekuacionet kuadratike

Teorema e Vietës

Le të shënojmë dhe shënojmë rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar
(1) .
Atëherë shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin në të marrë me shenjën e kundërt. Produkti i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë:
;
.

Një shënim për rrënjët e shumta

Nëse diskriminuesi i ekuacionit (1) është zero, atëherë ky ekuacion ka një rrënjë. Por, për të shmangur formulimet e rënda, përgjithësisht pranohet se në këtë rast, ekuacioni (1) ka dy rrënjë të shumëfishta ose të barabarta:
.

Prova një

Le të gjejmë rrënjët e ekuacionit (1). Për ta bërë këtë, aplikoni formulën për rrënjët e ekuacionit kuadratik:
;
;
.

Gjetja e shumës së rrënjëve:
.

Për të gjetur produktin, ne aplikojmë formulën:
.
Pastaj

.

Teorema është vërtetuar.

Prova dy

Nëse numrat dhe janë rrënjët e ekuacionit kuadratik (1), atëherë
.
Hapim kllapat.

.
Kështu, ekuacioni (1) do të marrë formën:
.
Duke krahasuar me (1) gjejmë:
;
.

Teorema është vërtetuar.

Teorema e anasjelltë Vieta

Le të ketë numra arbitrar. Pastaj dhe janë rrënjët e ekuacionit kuadratik
,
ku
(2) ;
(3) .

Vërtetimi i teoremës së kundërt të Vietës

Merrni parasysh ekuacionin kuadratik
(1) .
Ne duhet të vërtetojmë se nëse dhe , atëherë dhe janë rrënjët e ekuacionit (1).

Zëvendësoni (2) dhe (3) në (1):
.
Ne grupojmë termat e anës së majtë të ekuacionit:
;
;
(4) .

Zëvendësimi në (4):
;
.

Zëvendësimi në (4):
;
.
Ekuacioni është përmbushur. Kjo do të thotë, numri është rrënja e ekuacionit (1).

Teorema është vërtetuar.

Teorema e Vietës për ekuacionin e plotë kuadratik

Tani merrni parasysh ekuacionin e plotë kuadratik
(5) ,
ku , dhe janë disa numra. Dhe .

Ne e ndajmë ekuacionin (5) me:
.
Kjo do të thotë, ne kemi marrë ekuacionin e mësipërm
,
ku ; .

Atëherë teorema Vieta për ekuacionin e plotë kuadratik ka formën e mëposhtme.

Le të shënojmë dhe shënojmë rrënjët e ekuacionit të plotë kuadratik
.
Pastaj shuma dhe produkti i rrënjëve përcaktohen nga formula:
;
.

Teorema e Vietës për një ekuacion kub

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të vendosim lidhje midis rrënjëve të një ekuacioni kub. Merrni parasysh ekuacionin kub
(6) ,
ku , , , janë disa numra. Dhe .
Le ta ndajmë këtë ekuacion me:
(7) ,
ku , , .
Le të jenë , , rrënjët e ekuacionit (7) (dhe ekuacionit (6)). Pastaj

.

Duke krahasuar me ekuacionin (7) gjejmë:
;
;
.

Teorema e Vietës për një ekuacion të shkallës së n-të

Në të njëjtën mënyrë, ju mund të gjeni lidhje midis rrënjëve , , ... , , për ekuacionin e shkallës së n-të
.

Teorema e Vieta-s për një ekuacion të shkallës së n-të ka formën e mëposhtme:
;
;
;

.

Për të marrë këto formula, ne shkruajmë ekuacionin në formën e mëposhtme:
.
Pastaj barazojmë koeficientët në , , , ... dhe krahasojmë termin e lirë.

Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i Matematikës për Inxhinierë dhe Studentë të Institucioneve të Arsimit të Lartë, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algjebra: një libër shkollor për klasën e 8-të të institucioneve arsimore, Moskë, Arsimi, 2006.

Shiko gjithashtu:

Një nga metodat për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik është aplikimi Formulat VIETA, i cili u emërua pas FRANCOIS VIETE.

Ai ishte një avokat i famshëm dhe shërbeu në shekullin e 16-të me mbretin francez. Në kohën e lirë studionte astronomi dhe matematikë. Ai vendosi një lidhje midis rrënjëve dhe koeficientëve të një ekuacioni kuadratik.

Përparësitë e formulës:

1 . Duke aplikuar formulën, mund ta gjeni shpejt zgjidhjen. Sepse nuk keni nevojë të futni koeficientin e dytë në katror, pastaj zbritni 4ac prej tij, gjeni diskriminuesin, zëvendësoni vlerën e tij në formulën për gjetjen e rrënjëve.

2 . Pa një zgjidhje, ju mund të përcaktoni shenjat e rrënjëve, të zgjidhni vlerat e rrënjëve.

3 . Pasi të keni zgjidhur sistemin e dy regjistrimeve, nuk është e vështirë të gjesh vetë rrënjët. Në ekuacionin kuadratik të mësipërm, shuma e rrënjëve është e barabartë me vlerën e koeficientit të dytë me shenjën minus. Prodhimi i rrënjëve në ekuacionin kuadratik të mësipërm është i barabartë me vlerën e koeficientit të tretë.

4 . Sipas rrënjëve të dhëna, shkruani një ekuacion kuadratik, pra zgjidhni problemin e anasjelltë. Për shembull, kjo metodë përdoret në zgjidhjen e problemeve në mekanikën teorike.

5 . Është i përshtatshëm për të aplikuar formulën kur koeficienti kryesor është i barabartë me një.

Të metat:

1 . Formula nuk është universale.