Linearni vektorski prostor in njegove aksiomske lastnosti. Linearni vektorski prostor: definicija, lastnosti. Kaj je linearna kombinacija vektorjev?

Gradivo iz Wikipedije - proste enciklopedije

Vektor(oz linearni) prostora- matematična struktura, ki je niz elementov, imenovanih vektorji, za katere sta definirani operaciji medsebojnega seštevanja in množenja s številom - skalar. Za te operacije velja osem aksiomov. Skalarji so lahko elementi realnega, kompleksnega ali katerega koli drugega številskega polja. Poseben primer takšnega prostora je običajni tridimenzionalni evklidski prostor, katerega vektorji se uporabljajo na primer za prikaz fizičnih sil. Opozoriti je treba, da ni nujno, da je vektor kot element vektorskega prostora določen v obliki usmerjenega segmenta. Posploševanje koncepta "vektorja" na element vektorskega prostora katere koli narave ne samo, da ne povzroča zmede izrazov, ampak tudi omogoča razumevanje ali celo napovedovanje številnih rezultatov, ki veljajo za prostore poljubne narave.

Vektorski prostori so predmet linearne algebre. Ena od glavnih značilnosti vektorskega prostora je njegova dimenzija. Dimenzija predstavlja največje število linearno neodvisnih elementov prostora, to je, če se zatečemo k grobemu geometrijskemu opisu, število smeri, ki jih ni mogoče izraziti druga skozi drugo le z operacijami seštevanja in množenja s skalarjem. Vektorski prostor je lahko opremljen z dodatnimi strukturami, kot sta norma ali notranji produkt. Takšni prostori se naravno pojavljajo v matematični analizi, predvsem v obliki neskončnodimenzionalnih funkcijskih prostorov ( angleščina), kjer so funkcije . Številni problemi analize zahtevajo ugotovitev, ali zaporedje vektorjev konvergira danemu vektorju. Obravnava tovrstnih vprašanj je možna v vektorskih prostorih z dodatno strukturo, v večini primerov primerno topologijo, ki nam omogoča definiranje konceptov bližine in kontinuitete. Takšni topološki vektorski prostori, zlasti Banachov in Hilbertov prostor, omogočajo globlje študije.

Linearna algebra poleg vektorjev proučuje tudi tenzorje višjega ranga (skalar štejemo za tenzor ranga 0, vektor pa za tenzor ranga 1).

Prva dela, ki so predvidevala uvedbo koncepta vektorskega prostora, segajo v 17. stoletje. Takrat se je začela razvijati analitična geometrija, nauk o matrikah, sistemih linearnih enačb in evklidskih vektorjih.

Opredelitev

Linearno, oz vektorski prostor $V\backslash levo(F\backslash desno)$ nad poljem $F$- to je naročena štirica $(V,F,+,\backslash cdot)$, Kje

• $V$- neprazna množica elementov poljubne narave, ki se imenujejo vektorji;
• $F$- (algebraično) polje, katerega elementi se imenujejo skalarji;
• Operacija definirana dodatek vektorji $V\backslash krat\; V\backslash na\; V$, ki povezuje vsak par elementov $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$ kompleti $V$ $V$ jih poklical znesek in določeno $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Operacija definirana množenje vektorjev s skalarji $F\backslash krat\; V\backslash do\; V$, ki ustreza vsakemu elementu $\backslash lambda$ polja $F$ in vsak element $\backslash mathbf(x)$ kompleti $V$ edini element kompleta $V$, označeno $\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf(x)$ oz $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Vektorski prostori, definirani na isti množici elementov, vendar nad različnimi polji, bodo različni vektorski prostori (na primer množica parov realnih števil $\backslash mathbb(R)^2$ lahko dvodimenzionalen vektorski prostor nad poljem realnih števil ali enodimenzionalen - nad poljem kompleksnih števil).

Najenostavnejše lastnosti

1. Vektorski prostor je Abelova skupina pri dodajanju.
2. Nevtralni element $\backslash mathbf(0)\; \backslash in\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$ za kogarkoli $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
4. Za kogarkoli $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$ nasprotni element $-\backslash mathbf(x)\backslash v\; V$ je edino, kar izhaja iz lastnosti skupine.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$ za kogarkoli $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$ za katero koli $\backslash alpha\; \backslash in\; F$ in $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$ za kogarkoli $\backslash alpha\; \backslash in\; F$.

Sorodne definicije in lastnosti

Podprostor

Algebrska definicija: Linearni podprostor oz vektorski podprostor- neprazna podmnožica $K$ linearni prostor $V$ tako da $K$ je sam linearen prostor glede na tiste, ki so definirani v $V$ operacije seštevanja in množenja s skalarjem. Množica vseh podprostorov je običajno označena kot $\backslash mathrm(Lat)(V)$. Da je podmnožica podprostor, je potrebno in zadostuje, da

1. za katerikoli vektor $\backslash mathbf(x)\backslash in\; K$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$ pripadal tudi $K$, za katero koli $\backslash alfa\backslash in\; F$;
2. za vse vektorje $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, vektor $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ pripadal tudi $K$.

Zadnji dve izjavi sta enakovredni naslednjim:

Za vse vektorje $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ pripadal tudi $K$ za katero koli $\backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash in\; F$.

Zlasti je vektorski prostor, sestavljen samo iz enega ničelnega vektorja, podprostor katerega koli prostora; vsak prostor je podprostor samega sebe. Podprostora, ki ne sovpadata s tema dvema, imenujemo lasten oz netrivialno.

Lastnosti podprostorov

• Presek katerekoli družine podprostorov je spet podprostor;
• Vsota podprostorov $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash lpike\; N\backslash )$ je definirana kot množica, ki vsebuje vse možne vsote elementov $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash lpike\; N)\backslash )$.
  • Vsota končne družine podprostorov je spet podprostor.

Linearne kombinacije

Končni seštevek obrazca

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Linearna kombinacija se imenuje:

Osnova. Dimenzija

Vektorji $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$ se imenujejo linearno odvisen, če obstaja netrivialna linearna kombinacija le-teh enaka nič:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash lpike\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

Drugače se ti vektorji imenujejo linearno neodvisen.

Ta definicija omogoča naslednjo posplošitev: neskončna množica vektorjev iz $V$ klical linearno odvisen, če je nekaj linearno odvisno dokončno njegova podmnožica in linearno neodvisen, če kaj od tega dokončno podmnožica je linearno neodvisna.

Lastnosti osnove:

• Kaj $n$ linearno neodvisni elementi $n$-razsežna oblika prostora osnova ta prostor.
• Kateri koli vektor $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$ lahko predstavimo (edinstveno) kot končno linearno kombinacijo osnovnih elementov:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Linearna lupina

Linearna lupina $\backslash mathcal\; V(X)$ podmnožice $X$ linearni prostor $V$- presečišče vseh podprostorov $V$ ki vsebuje $X$.

Linearni razpon je podprostor $V$.

Imenuje se tudi linearna lupina ustvarjen podprostor $X$. Rečeno je tudi, da linearna lupina $\backslash mathcal\; V(X)$- prostor, raztegnjena kup $X$.

Linearna lupina $\backslash mathcal\; V(X)$ sestavljajo vse možne linearne kombinacije različnih končnih podsistemov elementov iz $X$. Še posebej, če $X$ je torej končna množica $\backslash mathcal\; V(X)$ sestoji iz vseh linearnih kombinacij elementov $X$. Tako ničelni vektor vedno pripada linearni lupini.

če $X$ je linearno neodvisna množica, potem je baza $\backslash mathcal\; V(X)$ in s tem določa njegovo razsežnost.

Primeri

• Ničelni prostor, katerega edini element je nič.
• Prostor vseh funkcij $X\backslash do\; F$ s končno oporo tvori vektorski prostor dimenzije enake kardinalnosti $X$.
• Polje realnih števil lahko obravnavamo kot kontinuumski dimenzionalni vektorski prostor nad poljem racionalnih števil.
• Vsako polje je enodimenzionalni prostor nad samim seboj.

Dodatne strukture

Poglej tudi

Napišite oceno o članku "Vektorski prostor"

Opombe

Literatura

• Gelfand I. M. Predavanja iz linearne algebre. - 5. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 str. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfand I. M. Predavanja iz linearne algebre. 5. izd. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 320 str. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Linearna algebra in geometrija. 2. izd. - M.: Nauka, 1986. - 304 str.
• Kostrikin A.I. Uvod v algebro. 2. del: Linearna algebra. - 3. - M.: Nauka., 2004. - 368 str. - (Univerzitetni učbenik).
• Malcev A. I. Osnove linearne algebre. - 3. - M.: Nauka, 1970. - 400 str.

• Postnikov M. M. Linearna algebra (Predavanja geometrije. II. semester). - 2. - M.: Nauka, 1986. - 400 str.
• Strang G. Linearna algebra in njene aplikacije. - M.: Mir, 1980. - 454 str.
• Iljin V.A., Poznjak E.G. Linearna algebra. 6. izd. - M.: Fizmatlit, 2010. - 280 str. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Halmoš P. Končnodimenzionalni vektorski prostori. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 263 str.
• Faddeev D.K. Predavanja iz algebre. - 5. - St. Petersburg. : Lan, 2007. - 416 str.
• Šafarevič I. R., Remizov A. O. Linearna algebra in geometrija. - 1. - M.: Fizmatlit, 2009. - 511 str.
• Schreyer O., Sperner G. Uvod v linearno algebro v geometrijski predstavitvi = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (prevod iz nemščine). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 str.

Vektorji in matrike Vektorji Osnovni pojmi Vrste vektorjev Operacije na vektorjih Vrste prostorov Matrike Osnovni pojmi drugo

Odlomek, ki označuje vektorski prostor

Kutuzov je hodil skozi vrste, se občasno ustavil in spregovoril nekaj prijaznih besed častnikom, ki jih je poznal iz turške vojne, včasih pa tudi vojakom. Ob pogledu na čevlje je večkrat žalostno zmajal z glavo in jih pokazal avstrijskemu generalu s takšnim izrazom, da ni bilo videti, da bi koga krivil za to, vendar si ni mogel pomagati, da ne bi videl, kako hudo je. Vsakič je poveljnik polka tekel naprej, saj se je bal, da bi zamudil besedo vrhovnega poveljnika o polku. Za Kutuzovom, na takšni razdalji, da je bilo slišati vsako slabo izgovorjeno besedo, je hodilo približno 20 ljudi v njegovem spremstvu. Gospodje iz spremstva so se med seboj pogovarjali in se včasih smejali. Čedni adjutant je hodil najbližje vrhovnemu poveljniku. Bil je princ Bolkonski. Poleg njega je hodil njegov tovariš Nesvitsky, visok štabni častnik, izjemno debel, prijaznega in nasmejanega lepega obraza in vlažnih oči; Nesvitsky se je komaj zadrževal, da bi se zasmejal, navdušen nad temnopoltim huzarskim častnikom, ki je hodil poleg njega. Huzarski častnik je brez nasmeha, ne da bi spremenil izraz svojih stalnih oči, z resnim obrazom pogledal v hrbet poveljnika polka in posnemal vsak njegov gib. Vsakič, ko se je poveljnik polka zdrznil in upognil naprej, na povsem enak način, na popolnoma enak način, se je huzarski častnik zdrznil in upognil naprej. Nesvitsky se je smejal in potiskal druge, naj pogledajo smešnega moža.
Kutuzov je počasi in leno hodil mimo tisočerih oči, ki so se vrtele iz jamic in opazovale svojega šefa. Ko je dohitel 3. četo, se je nenadoma ustavil. Spremstvo, ki ni pričakovalo tega postanka, se je nehote pomaknilo proti njemu.
- Ah, Timokhin! - je rekel vrhovni poveljnik in prepoznal kapitana z rdečim nosom, ki je trpel zaradi svojega modrega plašča.
Zdelo se je, da je nemogoče iztegniti več, kot se je iztegnil Timokhin, medtem ko ga je poveljnik polka ozmerjal. Toda v tistem hipu ga je ogovoril vrhovni poveljnik, stotnik se je vzravnal tako, da se je zdelo, če bi ga vrhovni poveljnik še malo dlje gledal, stotnik ne bi mogel zdržati; in zato se je Kutuzov, ki je očitno razumel svoj položaj in želel, nasprotno, vse najboljše za kapitana, naglo obrnil stran. Komaj opazen nasmeh je tekel po debelem, od ran iznakaženem obrazu Kutuzova.
"Še en izmailovski tovariš," je rekel. - Pogumni častnik! Ste zadovoljni z njim? « je Kutuzov vprašal poveljnika polka.
In poveljnik polka, ki se je odseval kot v ogledalu, sam sebi neviden, v huzarskem častniku, se je zdrznil, stopil naprej in odgovoril:
– Zelo sem zadovoljen, vaša ekscelenca.
"Vsi nismo brez slabosti," je rekel Kutuzov, se nasmehnil in se oddaljil od njega. »Bil je predan Bacchusu.
Poveljnik polka se je bal, da je on kriv za to, in ni nič odgovoril. Častnik je v tistem trenutku opazil kapitanov obraz z rdečim nosom in navihanim trebuhom ter posnemal njegov obraz in pozo tako natančno, da se Nesvitsky ni mogel nehati smejati.
Kutuzov se je obrnil. Jasno je bilo, da lahko častnik nadzoruje svoj obraz, kakor hoče: v trenutku, ko se je Kutuzov obrnil, je častniku uspelo narediti grimaso, nato pa prevzeti najbolj resen, spoštljiv in nedolžen izraz.
Tretja četa je bila zadnja in Kutuzov je razmišljal o tem, očitno se je nečesa spomnil. Princ Andrej je stopil iz svojega spremstva in tiho rekel v francoščini:
– V tem polku ste ukazali opomin o Dolokhovu, ki je bil degradiran.
-Kje je Dolokhov? « je vprašal Kutuzov.
Dolokhov, že oblečen v siv vojaški plašč, ni čakal na poziv. Od spredaj je stopila vitka postava svetlolasega vojaka z jasnimi modrimi očmi. Približal se je vrhovnemu poveljniku in ga postavil na stražo.
- Zahtevek? « je vprašal Kutuzov in se rahlo namrščil.
"To je Dolokhov," je rekel princ Andrej.
- A! - je rekel Kutuzov. "Upam, da vas bo ta lekcija popravila, dobro služila." Gospod je usmiljen. In ne bom te pozabil, če si to zaslužiš.
Modre, jasne oči so gledale na vrhovnega poveljnika tako predrzno kakor na poveljnika polka, kakor da bi s svojim izrazom trgale tančico konvencije, ki je doslej ločevala vrhovnega poveljnika od vojaka.
»Eno sprašujem, vaša ekscelenca,« je rekel s svojim zvenečim, trdnim in počasnim glasom. "Prosim, dajte mi priložnost, da popravim svojo krivdo in dokažem svojo predanost cesarju in Rusiji."
Kutuzov se je obrnil stran. Isti nasmeh v njegovih očeh je zablestel na njegovem obrazu kot takrat, ko se je obrnil proč od kapitana Timohina. Obrnil se je stran in se zdrznil, kot bi hotel povedati, da vse, kar mu je Dolohov povedal in vse, kar bi mu lahko povedal, ve že dolgo, dolgo, da ga je vse to že dolgočasilo in da vse to ni sploh kar je potreboval. Obrnil se je stran in se napotil proti vozičku.
Polk se je razpustil po četah in se napotil v dodeljene prostore nedaleč od Braunaua, kjer so upali obuti, preobleči in odpočiti po težkih pohodih.
– Ne zahtevate name, Prohor Ignatič? - je rekel poveljnik polka in se vozil okoli 3. čete, ki se je premikala proti kraju in se približevala stotniku Timokhinu, ki je hodil pred njim. Obraz poveljnika polka je izražal neobvladljivo veselje po srečno opravljenem pregledu. - Kraljeva služba ... to je nemogoče ... drugič jo boš končal na fronti ... Najprej se bom opravičil, saj me poznaš ... Zelo sem se ti zahvalil! - In je iztegnil roko poveljniku čete.
- Za božjo voljo, general, ali si upam! - je odgovoril kapitan, ki je postal rdeč z nosom, se nasmehnil in z nasmehom razkril pomanjkanje dveh sprednjih zob, ki ju je izbil zadnjico pod Izmaelom.
- Da, povejte gospodu Dolokhovu, da ga ne bom pozabil, da bo lahko miren. Ja, prosim, povej mi, kar naprej sem hotela vprašati, kako je, kako se obnaša? In to je vse...
"V službi je zelo ustrežljiv, vaša ekscelenca ... toda najemnik ..." je dejal Timokhin.
- Kaj, kakšen lik? – je vprašal poveljnik polka.
"Vaša ekscelenca več dni ugotavlja," je rekel kapitan, "da je pameten, učen in prijazen." To je zver. Ubil je Juda na Poljskem, če dovolite ...
"No, ja, no," je rekel poveljnik polka, "še vedno se moramo smiliti mladeniču v nesreči." Konec koncev, odlične povezave ... Torej vi ...
"Poslušam, vaša ekscelenca," je rekel Timokhin in se nasmejal, da je bilo videti, kot da razume šefove želje.
- Da Da.
Poveljnik polka je našel Dolokhova v vrstah in mu zajezil konja.
"Pred prvo nalogo, epolete," mu je rekel.
Dolokhov se je ozrl naokoli, rekel nič in ni spremenil izraza svojih posmehljivo nasmejanih ust.
"No, to je dobro," je nadaljeval poveljnik polka. "Vsak od mene ima kozarec vodke," je dodal, da so vojaki slišali. - Hvala vsem! Bog požegnaj! - In on, ki je prehitel podjetje, se je zapeljal do drugega.
»No, res je dober človek; »Lahko služiš z njim,« je rekel podnarednik Timokhin častniku, ki je hodil poleg njega.
»Ena beseda, srčni kralj! ... (poveljnik polka je dobil vzdevek srčni kralj),« je v smehu dejal podčastnik.
Veselo razpoloženje oblasti po pregledu se je razširilo tudi na vojake. Družba je hodila veselo. Glasovi vojakov so govorili z vseh strani.
- Kaj so rekli, ukrivljeni Kutuzov, o enem očesu?
- Sicer pa ne! Popolnoma pokvarjeno.
- Ne... brat, on ima večje oči od tebe. Škornji in čevlji - pogledal sem vse ...
- Kako mi lahko, brat moj, gleda v noge ... no! pomisli ...
- In drugi Avstrijec, z njim, je bil kot s kredo namazan. Kot moka, bela. Čaj, kako čistijo strelivo!
- Kaj, Fedeshow!... je rekel, da ste, ko so se začeli boji, stali bližje? Vsi so rekli, da sam Bunaparte stoji v Brunovem.
- Bunaparte je vreden tega! laže, bedak! Kaj ne ve! Zdaj se Prus upira. Avstrijec ga torej pomiri. Takoj ko sklene mir, se bo začela vojna z Bunapartejem. Sicer pa pravi, Bunaparte stoji v Brunovem! To dokazuje, da je norec. Poslušaj več.
- Glej, prekleti stanovalci! Peta četa, glej, že zavija v vas, skuhali bodo kašo, mi pa še vedno ne pridemo do kraja.
- Daj mi kreker, prekleto.
- Si mi včeraj dal tobak? To je to, brat. Pa gremo, Bog s teboj.
"Vsaj ustavili so se, sicer ne bomo jedli še pet milj."
– Lepo je bilo, kako so nam Nemci podarili vozičke. Ko greš, vedi: pomembno je!
"In tukaj, brat, ljudje so popolnoma pobesneli." Tam se je vse zdelo kot Poljak, vse je bilo od ruske krone; zdaj pa je, brat, popolnoma ponemčil.
– Kantavtorji naprej! – se je zaslišal kapitanov krik.
In dvajset ljudi je zbežalo iz različnih vrst pred podjetje. Bobnar je začel peti in se z obrazom obrnil proti tekstopiscem ter z zamahom roke začel razvlečeno vojaško pesem, ki se je začela: »Ali ni zora, sonce je zašlo ...« in končala z besedami : »Tako, bratje, bo slava za nas in za očeta Kamenskega ...« Ta pesem je nastala v Turčiji, zdaj pa so jo peli v Avstriji, le s spremembo, da so bile namesto »oče Kamenskega« vstavljene besede: » Kutuzov oče."
Ko je kot vojak odtrgal te zadnje besede in zamahnil z rokami, kot da bi nekaj vrgel na tla, je bobnar, suh in čeden vojak okoli štirideset let, strogo pogledal vojake tekstopisce in zaprl oči. Potem, ko se je prepričal, da so bile vse oči uprte vanj, se je zdelo, da previdno dvigne z obema rokama neko nevidno, dragocenost nad svojo glavo, jo tako drži nekaj sekund in nenadoma obupano vrže:
O, ti, moja krošnja, moja krošnja!
»Moj novi baldahin ...« je odmevalo dvajset glasov, žličar pa je kljub teži streliva hitro skočil naprej in korakal nazaj pred družbo, premikal ramena in nekomu grozil z žlicami. Vojaki, ki so mahali z rokami v ritmu pesmi, so hodili z dolgimi koraki in se nehote udarjali po nogah. Izza druščine se je slišalo ropotanje koles, škrtanje vzmeti in topot konj.
Kutuzov in njegovo spremstvo so se vračali v mesto. Vrhovni poveljnik je dal znak ljudem, naj prosto hodijo dalje, in na njegovem obrazu in na vseh obrazih njegovega spremstva je bilo izraženo zadovoljstvo ob zvokih pesmi, ob pogledu na plešočega vojaka in vojake družba, ki je hodila veselo in živahno. V drugi vrsti, z desnega boka, s katerega je kočija prehitevala čete, je nehote padel v oči modrooki vojak Dolokhov, ki je še posebej živahno in graciozno korakal v taktu pesmi in gledal v obraze mimoidoči s takim izrazom , kot da bi mu bilo žal za vse , ki niso šli v tem času z družbo . Huzarski kornet iz spremstva Kutuzova, ki je posnemal poveljnika polka, je padel za kočijo in se odpeljal do Dolokhova.
Huzarski kornet Zherkov je nekoč v Sankt Peterburgu pripadal tisti nasilni družbi, ki jo je vodil Dolokhov. V tujini je Zherkov srečal Dolokhova kot vojaka, vendar se mu ni zdelo potrebno priznati. Zdaj, po pogovoru Kutuzova z degradiranim, se je obrnil k njemu z veseljem starega prijatelja:
- Dragi prijatelj, kako si? - je rekel ob zvoku pesmi in uskladil korak svojega konja s korakom čete.
- Sem kot? - hladno je odgovoril Dolokhov, - kot vidite.
Živahna pesem je dala poseben pomen tonu predrzne veselosti, s katero je govoril Žerkov, in namerni hladnosti Dolokhovih odgovorov.
- No, kako se razumeš s svojim šefom? « je vprašal Zherkov.
- Nič, dobri ljudje. Kako ste prišli v štab?
- Napoten, na dolžnosti.
Molčali so.
"Spustila je sokola iz desnega rokava," je rekla pesem in nehote vzbudila veselo, veselo čustvo. Njun pogovor bi bil verjetno drugačen, če ne bi govorila ob zvokih pesmi.
– Je res, da so bili Avstrijci premagani? « je vprašal Dolokhov.
"Hudič jih pozna," pravijo.
"Vesel sem," je kratko in jasno odgovoril Dolokhov, kot je zahtevala pesem.
"No, pridi zvečer k nam, zastavil boš faraona," je rekel Žerkov.
– Ali pa imate veliko denarja?
- Pridi.
- To je prepovedano. Zaobljubil sem se. Ne pijem in ne igram na srečo, dokler ne uspejo.
- No, k prvi stvari ...
- Bomo videli tam.
Spet so molčali.
"Vstopite, če kaj potrebujete, vsi na štabu vam bodo pomagali ..." je rekel Zherkov.
Dolokhov se je nasmehnil.
- Raje ne skrbi. Ne bom zahteval ničesar, kar potrebujem, vzel bom sam.
- No, jaz sem tako ...
- No, tudi jaz sem.
- Zbogom.
- Biti zdrav…
... visoko in daleč,
Na domači strani ...
Žerkov se je s svojimi ostrogami dotaknil konja, ki je, razburjen, trikrat brcnil, ne da bi vedel, s kom naj začne, zmogel in oddirjal, prehitel družbo in dohitel kočijo, tudi v taktu pesmi.

Ko se je vrnil z pregleda, je Kutuzov v spremstvu avstrijskega generala odšel v svojo pisarno in poklical adjutanta ter ukazal, naj mu izročijo nekaj papirjev, povezanih s stanjem prihajajočih čet, in pisma, ki jih je prejel od nadvojvode Ferdinanda, ki je poveljeval napredni vojski. . Princ Andrej Bolkonski je vstopil v pisarno vrhovnega poveljnika z zahtevanimi papirji. Kutuzov in avstrijski član Gofkriegsrata sta sedela pred načrtom, položenim na mizo.
"Ah ..." je rekel Kutuzov in se ozrl nazaj na Bolkonskega, kot da bi s to besedo vabil adjutanta, naj počaka, in nadaljeval pogovor, ki ga je začel v francoščini.
"Samo eno stvar povem, general," je rekel Kutuzov s prijetno milostjo izraza in intonacije, zaradi katere ste morali pozorno prisluhniti vsaki ležerno izgovorjeni besedi. Jasno je bilo, da je sam Kutuzov rad poslušal samega sebe. "Samo eno stvar pravim, general, da če bi stvar bila odvisna od moje osebne želje, bi bila volja njegovega veličanstva cesarja Franca že zdavnaj izpolnjena." Že zdavnaj bi se bil pridružil nadvojvodi. In verjemite mi v čast, meni osebno bi bilo v veselje predati najvišje poveljstvo vojske bolj razgledanemu in izkušenemu generalu, kot sem jaz, česar je Avstrija tako bogata, in se odreči vsej tej težki odgovornosti. Toda okoliščine so močnejše od nas, general.
In Kutuzov se je nasmehnil z izrazom, kot da bi rekel: »Imate vso pravico, da mi ne verjamete, in tudi mene sploh ne zanima, ali mi verjamete ali ne, vendar nimate razloga, da bi mi to povedali. In to je bistvo.”
Avstrijski general je bil videti nezadovoljen, vendar si ni mogel pomagati, da ne bi odgovoril Kutuzovu v istem tonu.
»Nasprotno,« je rekel s čemernim in jeznim tonom, tako v nasprotju z laskavim pomenom besed, ki jih je izrekel, »nasprotno, sodelovanje vaše ekscelence pri skupni stvari visoko ceni njegovo veličanstvo; vendar menimo, da trenutna upočasnitev slavnim ruskim četam in njihovim vrhovnim poveljnikom odvzema lovorike, ki so jih navajeni pobirati v bitkah,« je končal svoj očitno pripravljen stavek.
Kutuzov se je priklonil, ne da bi spremenil nasmeh.
»In tako sem prepričan in na podlagi zadnjega pisma, s katerim me je njegova visokost nadvojvoda Ferdinand počastil, predvidevam, da so avstrijske čete pod poveljstvom tako spretnega pomočnika, kot je general Mack, dosegle odločilno zmago in ne več potrebujejo našo pomoč,« je rekel Kutuzov.
General se namršči. Čeprav ni bilo pozitivnih novic o porazu Avstrijcev, je bilo preveč okoliščin, ki so potrdile splošne neugodne govorice; in zato je bila domneva Kutuzova o zmagi Avstrijcev zelo podobna posmehu. Toda Kutuzov se je ponižno nasmehnil, še vedno z istim izrazom, kar je govorilo, da ima to pravico domnevati. Zadnje pismo, ki ga je prejel od Macove vojske, ga je obvestilo o zmagi in najugodnejšem strateškem položaju vojske.
"Daj mi to pismo sem," je rekel Kutuzov in se obrnil k princu Andreju. - Če prosim vidite. - In Kutuzov je s posmehljivim nasmehom na koncih ustnic v nemščini avstrijskemu generalu prebral naslednji odlomek iz pisma nadvojvode Ferdinanda: »Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70.000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit ganzer Macht wenden wollte, seine Absicht alabald vereitelien . Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdient.« [Imamo precej koncentrirane sile, približno 70.000 ljudi, tako da lahko napademo in premagamo sovražnika, če prečka Lech. Ker že imamo Ulm, lahko obdržimo prednost poveljstva na obeh bregovih Donave, zato vsako minuto, če sovražnik ne prečka Lecha, prečkamo Donavo, hitimo do njegove komunikacijske črte in spodaj prečkamo Donavo nazaj sovražniku, če se odloči obrniti vso svojo moč na naše zveste zaveznike, prepreči izpolnitev njegove namere. Tako bomo veselo dočakali čas, ko bo cesarska ruska vojska popolnoma pripravljena, in takrat bomo skupaj lehko našli priložnost, da pripravimo sovražniku usodo, ki jo zasluži.”]

VEKTORSKI PROSTOR, linearni prostor nad poljem K, je aditivno zapisana Abelova skupina E, v kateri je definirano množenje elementov s skalarji, tj.

K × E → E: (λ, x) → λx,

ki izpolnjuje naslednje aksiome (x, y ∈ E, λ, μ, 1 ∈ K):

1) λ(x + y) = λx + λy,

2) (λ + μ)x = λx + μx,

3) (λμ)x = λ(μx),

4) 1 ⋅ x = x.

Naslednje pomembne lastnosti vektorskega prostora (0 ∈ E) sledijo iz aksiomov 1)-4):

5) λ ⋅ 0 = 0,

6) 0 ⋅ x = 0,

Elementi V. p. imenovani. VP točke oziroma vektorji in elementi polja K so skalarji.

Največja uporaba v matematiki in aplikacijah je narejena na področju ℂ kompleksnih števil ali na področju ℝ realnih števil; se imenujejo oziroma kompleksni v. p. ali pravi v. p.

Aksiomi v. p. razkrivajo nekatere algebraične. lastnosti mnogih razredov funkcij, ki jih pogosto srečamo pri analizi. Od primerov navpičnih prostorov so najbolj temeljni in najzgodnejši n-dimenzionalni evklidski prostori. Skoraj enako pomembni primeri so številni funkcijski prostori: prostor zveznih funkcij, prostor merljivih funkcij, prostor seštevnih funkcij, prostor analitičnih funkcij. funkcije, prostor funkcij omejene variacije.

Koncept v. prostora je poseben primer koncepta modula nad obročem, namreč v. prostor je unitarni modul nad poljem. Imenuje se tudi enotni modul nad nekomutativnim skew poljem. vektorski prostor nad telesom; teorija takih valovnih oblik je v mnogih pogledih bolj zapletena kot teorija valovnih oblik nad poljem.

Eden od pomembnih problemov, povezanih z vektorskimi prostori, je preučevanje geometrije vektorskih prostorov, to je preučevanje črt v vektorskih prostorih, ravnih in konveksnih množic v vektorskih prostorih, podprostorov vektorskih prostorov in baz v vektorskih prostorih. str.

Vektorski podprostor ali preprosto podprostor V. p. E nad poljem K se imenuje. podmnožica F ⊂ E zaprta glede dejanj seštevanja in množenja s skalarjem. Podprostor, obravnavan ločeno od prostora, ki ga vsebuje, je prostor nad istim poljem.

Premica, ki poteka skozi dve točki x in y B. p. E, se imenuje. množica elementov z ∈ E oblike z = λx + (1 - λ)y, λ ∈ K. Množica G ∈ E se imenuje. ravna množica, če skupaj s poljubnima točkama vsebuje premico, ki poteka skozi ti točki. Vsaka ploščata množica je pridobljena iz določenega podprostora s premikom (vzporedna translacija): G = x + F; to pomeni, da je vsak element z ∈ G mogoče enolično predstaviti v obliki z = x + y, y ∈ F, in ta enakost zagotavlja korespondenco ena proti ena med F in G.

Množica vseh premikov F x = x + F danega podprostora F tvori V. prostor nad K, imenovan. faktorski prostor E/F, če definiramo operacije takole:

F x F y = F x+y ; λF x = F λx , λ ∈ K.

Naj bo M = (x α) α∈A poljubna množica vektorjev iz E; imenujemo linearna kombinacija vektorjev x α ∈ E. vektor x, definiran s formulo

x = ∑ α λ α x α , λ α ∈ K,

v kateri je samo končno število koeficientov različnih od nič. Množica vseh linearnih kombinacij vektorjev dane množice M je najmanjši podprostor, ki vsebuje M, in se imenuje. linearni razpon množice M. Linearna kombinacija se imenuje. trivialno, če so vsi koeficienti λ α enaki nič. Množica M se imenuje. linearno neodvisna množica, če so vse netrivialne linearne kombinacije vektorjev iz M različne od nič.

Vsaka linearno neodvisna množica je vsebovana v določeni največji linearno neodvisni množici M0, torej v množici, ki preneha biti linearno neodvisna, ko ji dodamo katerikoli element iz E.

Vsak element x ∈ E je mogoče enolično predstaviti kot linearno kombinacijo elementov maksimalne linearno neodvisne množice:

x = ∑ α λ α x α , x α ∈ M 0 .

V zvezi s tem se imenuje največja linearno neodvisna množica. osnova V. p. (algebrska osnova). Vse baze danega VP imajo enako kardinalnost, t.i. dimenzija V. p Če je ta moč končna, se prostor imenuje. končnodimenzionalni V. p.; drugače se imenuje neskončnodimenzionalni V. p.

Polje K lahko obravnavamo kot enodimenzionalni navpični prostor nad poljem K; osnovo te V. postavke sestavlja en element; lahko je katerikoli element razen nič. Imenuje se končnodimenzionalni vektor z bazo iz n elementov. n-dimenzionalni prostor.

V teoriji realnih in kompleksnih konveksnih množic igra pomembno vlogo teorija konveksnih množic. Množica M v realnem V.p. je konveksna množica, če skupaj s katerima koli dvema svojima točkama x, y tudi odsek tx + (1 - t)y, t ∈ , pripada M.

Veliko mesto v teoriji vertikalnih prostorov zavzema teorija linearnih funkcionalov na vertikalnih prostorih in z njo povezana teorija dualnosti. Naj bo E CV nad poljem K. Linearni funkcional na E se imenuje. aditivno in homogeno preslikavo f: E → K:

f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = λf(x).

Množica E* vseh linearnih funkcionalov na E tvori prazno mesto nad poljem K glede na operacije

(f 1 + f 2)(x) = f 1 (x) + f 2 (x), (λf)(x) = λf(x), x ∈ E, X ∈ K, f 1, f 2, f ∈ E*.

To se imenuje V.p. konjugiran (ali dvojni) prostor (na E). Številne geometrijske teorije so povezane s konceptom konjugiranega prostora. pogoji. Naj bo D ⊂ E (oziroma Г ⊂ E*); anihilator množice D ali ortogonalni komplement množice D (oziroma množice Г). kup

D ⊥ = (f ∈ E*: f(x) = 0 za vse x ∈ D)

(oziroma Г ⊥ = (x ∈ E: f(x) = 0 za vse f ∈ Г)); tukaj sta D ⊥ in Г ⊥ podprostora prostorov E* oziroma E. Če je f neničelni element E*, potem je (f) največji pravi linearni podprostor E, imenovan. včasih hiperpodprostor; premik takega podprostora imenujemo. hiperravnina v E; vsaka hiperravnina ima obliko

(x: f(x) = λ), kjer je f ≠ 0, f ∈ E*, λ ∈ K.

Če je F podprostor B. p. E, potem obstajajo naravni izomorfizmi med F* in

E*/F ⊥ in med (E/F)* in F ⊥ .

Podmnožica Г ⊂ E* se imenuje totalna podmnožica nad E, če njen anihilator vsebuje samo ničelni element: Г ⊥ = (0).

Vsaki linearno neodvisni množici (x α ) α∈A ⊂ E je mogoče pridružiti konjugirano množico (f α ) α∈A ⊂ E*, tj. taka množica, da je f α (x β) = δ αβ (Kroneckerjev simbol) za vse α, β ∈ A. Množica parov (x α, f α) se imenuje. z biortogonalnim sistemom. Če je množica (x α) baza v E, potem je (f α) totalno nad E.

Pomembno mesto v teoriji linearnih transformacij zavzema teorija linearnih transformacij linearnih transformacij. Naj sta E 1 in E 2 dve linearni transformaciji nad istim poljem K. Linearna preslikava ali linearni operator T preslikava linearno transformacija E 1 v V. p. E 2 (ali linearni operator iz E 1 v E 2), imenovan. aditivno in homogeno preslikavo prostora E 1 v E 2:

T(x + y) = Tx + Ty; Т(λх) = λТ(х); x, y ∈ E 1.

Poseben primer tega koncepta je linearni funkcional ali linearni operator od E 1 do K. Linearna preslikava je na primer naravna preslikava B. p. E na kvocientni prostor E/F, ki se pridružuje vsak element x ∈ E ravna množica F x ∈ E/ F. Množica ℒ(E 1, E 2) vseh linearnih operatorjev T: E 1 → E 2 tvori V. p. glede na operacije

(T 1 + T 2)x = T 1 x + T 2 x; (λТ)х = λТх; x ∈ E 1 ; λ ∈ K; T 1, T 2, T ∈ ℒ(E 1, E 2).

Dve V. postavki E 1 in E 2 klic. so izomorfne v. postavkam, če obstaja linearni operator (»izomorfizem«), ki izvaja korespondenco ena proti ena med njihovimi elementi. E 1 in E 2 sta izomorfna, če in samo če imata njuni bazi enako kardinalnost.

Naj bo T linearni operator, ki preslika E 1 v E 2 . Imenuje se konjugirani linearni operator ali dualni linearni operator glede na T. linearni operator T* od E* 2 do E* 1, definiran z enakostjo

(T*φ)x = φ(Tx) za vse x ∈ E 1, φ ∈ E* 2.

Veljajo razmerja T* -1 (0) = ⊥, T*(E* 2) = [T -1 (0)] ⊥, kar implicira, da je T* izomorfizem, če in samo če je T izomorfizem.

Teorija bilinearnih preslikav in multilinearnih preslikav navpičnih prostorov je tesno povezana s teorijo linearnih preslikav navpičnih prostorov.

Pomembno skupino problemov v teoriji linearnih preslikav tvorijo problemi nadaljevanja linearnih preslikav. Naj bo F podprostor V. p E 1, E 2 linearni prostor nad istim poljem kot E 1 in naj bo T 0 linearna preslikava F v E 2; poiskati je treba razširitev T preslikave T 0, ki je definirana na celotnem E 1 in je linearna preslikava E 1 v E 2. Takšno nadaljevanje vedno obstaja, vendar lahko dodatne omejitve funkcij (povezane z dodatnimi strukturami v VP, na primer topologija ali relacije reda) naredijo problem nerešljiv. Primeri reševanja problema nadaljevanja so Han-Banachov izrek in izreki o nadaljevanju pozitivnih funkcionalov v prostorih s stožcem.

Pomemben del teorije virtualnih operacij je teorija operacij na vektorjih, to je metode za konstruiranje novih vektorjev z uporabo znanih. Primeri takšnih operacij so dobro znani operaciji jemanja podprostora in tvorjenja kvocientnega prostora iz podprostora. Druge pomembne operacije so konstrukcija neposredne vsote, neposrednega produkta in tenzorskega produkta VP.

Naj bo (E α ) α∈I družina spremenljivih prostorov nad poljem K. Množico E - produkt množic E α - lahko pretvorimo v družino navpičnih prostorov nad poljem K z uvedbo operacij

(x α) + (y α) = (x α + y α); λ(x α) = (λx α); λ ∈ K; x α , y α ∈ E α , α ∈ I;

prejel V. p. E poklican. neposredni produkt V. p. E α in je označen s P α∈I E α. Imenuje se podprostor V. p. E, ki ga sestavljajo vse tiste množice (x α), za vsako izmed katerih je množica (α: x α ≠ 0) končna. direktna vsota V. p. E α in je označena z Σ α E α ali Σ α + E α ; Za končno število izrazov te definicije sovpadajo; v tem primeru se uporablja naslednji zapis:

Naj sta E 1, E 2 dva V. položaja nad poljem K; E" 1, E" 2 so skupni podprostori V. p. E* 1, E* 2 in E 1 □ E 2 -B. n., ki ima za osnovo celoto vseh elementov prostora E 1 × E 2. Vsak element x □ y ∈ E 1 □ E 2 je pridružen bilinearni funkciji b = T(x, y) na E" 1 × E 2 po formuli b(f, g) = f(x)g(y ), f ∈ E " 1 , g ∈ E" 2. To preslikavo baznih vektorjev x □ y ∈ E 1 □ E 2 lahko razširimo na linearno preslikavo T B. p. E 1 □ E 2 v B. p. vseh bilinearnih funkcionalov na E" 1 × E" 2. Naj bo E 0 = T -1 (0). Tenzorski produkt V. prostora E 1 in E 2 imenujemo faktorski prostor E 1 ○ E 2 = (E 1 □ E 2)/E 0; slika elementa x □ y je označena z x ○ y. Vektorski prostor E 1 ○ E 2 je izomorfen vektorskemu prostoru bilinearnih funkcionalov na E 1 × E 2 (glej Tenzorski produkt vektorskih prostorov).

Lit.: Bourbaki N., Algebra. Algebraične strukture. Linearna in multilinearna algebra, trans. iz francoščine, M., 1962; Raikov D. A., Vektorski prostori, M., 1962; Day M. M., Normalizirani linearni prostori, trans. iz angleščine, M., 1961; , Edward R., Funkcionalna analiza, prev. iz angleščine, M., 1969; Halmoš P., Končnodimenzionalni vektorski prostori, prev. iz angleščine, M., 1963; Glazman I.M., Lyubich Yu.I., Končnodimenzionalna linearna analiza v problemih, M., 1969.

M. I. Kadets.

Viri:

1. Matematična enciklopedija. T. 1 (A - D). Ed. odbor: I. M. Vinogradov (glavni urednik) [in drugi] - M., “Sovjetska enciklopedija”, 1977, 1152 stb. od bolnega.

Naj bo P polje. Elementi a, b, ... О R bomo poklicali skalarji.

Definicija 1. Razred V imenujemo predmete (elemente) , , , ... poljubne narave vektorski prostor nad poljem P, elementi razreda V pa se imenujejo vektorji, če je V zaprt pod operacijo “+” in operacijo množenja s skalarji iz P (tj. za kateri koli , ОV +О V;"aО Р aОV), in so izpolnjeni naslednji pogoji:

A 1: algebra - Abelova skupina;

A 2: za vsak a, bОР, za kateri koli ОV je a(b)=(ab) posplošen asociativni zakon;

A 3: za katerikoli a, bОР, za kateri koli ОV, (a+b)= a+ b;

A 4: za vsak a iz P, za kateri koli , iz V, a(+)=a+a (posplošeni distribucijski zakoni);

A 5: za katerega koli od V je izpolnjeno 1 =, kjer je 1 enota polja P – lastnost unitarnosti.

Elemente polja P bomo imenovali skalari, elemente množice V pa vektorji.

Komentiraj. Množenje vektorja s skalarjem ni binarna operacija na množici V, saj je preslikava P´V®V.

Oglejmo si primere vektorskih prostorov.

Primer 1. Ničelni (ničdimenzionalni) vektorski prostor - prostor V 0 =() - sestavljen iz enega ničelnega vektorja.

In za vsak aOR a=. Preverimo izpolnitev aksiomov vektorskega prostora.

Upoštevajte, da je ničelni vektorski prostor v bistvu odvisen od polja P. Tako se ničelni prostori nad poljem racionalnih števil in nad poljem realnih števil štejejo za različne, čeprav so sestavljeni iz enega samega ničelnega vektorja.

Primer 2. Polje P je samo vektorski prostor nad poljem P. Naj bo V=P. Preverimo izpolnitev aksiomov vektorskega prostora. Ker je P polje, potem je P aditivna Abelova skupina in A 1 velja. Zaradi izpolnitve množenja v P je A2 izpolnjen. Aksioma A 3 in A 4 sta izpolnjena zaradi izvedljivosti v P distribucije množenja glede na seštevanje. Ker je v polju P enotni element 1, je lastnost enotnosti A 5 izpolnjena. Tako je polje P vektorski prostor nad poljem P.

Primer 3. Aritmetični n-dimenzionalni vektorski prostor.

Naj bo P polje. Razmislite o množici V= P n =((a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i О P, i=1,…, n). Uvedimo na množico V operaciji seštevanja vektorjev in množenja vektorja s skalarjem po naslednjih pravilih:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n +bn) (1)

a=(aa 1, aa 2, …, aa n) (2)

Elemente množice V bomo imenovali n-razsežni vektorji. Za dva n-dimenzionalna vektorja pravimo, da sta enaka, če sta njuni pripadajoči komponenti (koordinati) enaki. Pokažimo, da je V vektorski prostor nad poljem P. Iz definicije operacij seštevanja vektorjev in množenja vektorja s skalarjem sledi, da je V zaprt glede na te operacije. Ker se dodajanje elementov V zmanjša na dodajanje elementov polja P in je P aditivna Abelova skupina, potem je V aditivna Abelova skupina. Poleg tega =, kjer je 0 ničla polja P, -= (-a 1, -a 2, …, -a n). Tako je A 1 zadovoljen. Ker se množenje elementa iz V z elementom iz P zmanjša na množenje elementov polja P, potem:

A 2 je izpolnjen zaradi asociativnosti množenja s P;

A 3 in A 4 sta izpolnjena zaradi distributivnosti množenja glede na seštevanje s P;

A 5 je izpolnjen, ker je 1 Î P nevtralen element glede na množenje s P.

Definicija 2. Množica V= P n z operacijami, definiranimi s formulama (1) in (2), se imenuje aritmetični n-razsežni vektorski prostor nad poljem P.

Predavanje 6. Vektorski prostor.

Glavna vprašanja.

1. Vektorski linearni prostor.

2. Osnova in dimenzija prostora.

3. Orientacija v prostoru.

4. Razgradnja vektorja po bazi.

5. Vektorske koordinate.

1. Vektorski linearni prostor.

Množica, sestavljena iz elementov katere koli narave, v katerih so definirane linearne operacije: seštevanje dveh elementov in množenje elementa s številom, se imenuje prostori, njihovi elementi pa so vektorji ta prostor in jih označujemo na enak način kot vektorske količine v geometriji: . Vektorji Takšni abstraktni prostori praviloma nimajo nič skupnega z navadnimi geometrijskimi vektorji. Elementi abstraktnih prostorov so lahko funkcije, številski sistem, matrike itd., v posameznem primeru pa navadni vektorji. Zato se takšni prostori običajno imenujejo vektorski prostori .

Vektorski prostori so, Na primer, niz kolinearnih vektorjev, označenih V1 , niz koplanarnih vektorjev V2 , niz vektorjev navadnega (realnega prostora) V3 .

Za ta poseben primer lahko podamo naslednjo definicijo vektorskega prostora.

Definicija 1. Množica vektorjev se imenuje vektorski prostor, če je linearna kombinacija poljubnih vektorjev množice tudi vektor te množice. Sami vektorji se imenujejo elementi vektorski prostor.

Pomembnejši, tako teoretično kot aplikativno, je splošen (abstrakten) koncept vektorskega prostora.

Definicija 2. Kup R elementov, v katerih je vsota določena za poljubna dva elementa in za katerikoli element https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> imenovan vektor(ali linearno) prostora, njegovi elementi pa so vektorji, če operacije seštevanja vektorjev in množenja vektorja s številom izpolnjujejo naslednje pogoje ( aksiomi) :

1) seštevanje je komutativno, tj..gif" width="184" height="25">;

3) obstaja tak element (ničelni vektor), ki za kateri koli https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" višina="27">;

5) za poljubne vektorje in in poljubno število λ velja enakost;

6) za poljubne vektorje in poljubna števila λ in µ enakost velja: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> in poljubna števila λ in µ pošteno ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Najenostavnejši aksiomi, ki definirajo vektorski prostor, so naslednji: posledice :

1. V vektorskem prostoru je samo ena ničla - element - ničelni vektor.

2. V vektorskem prostoru ima vsak vektor en sam nasprotni vektor.

3. Za vsak element je izpolnjena enakost.

4. Za poljubno realno število λ in ničelni vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> je vektor, ki izpolnjuje enakost https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Torej je res množica vseh geometrijskih vektorjev linearen (vektorski) prostor, saj so za elemente tega niza definirana dejanja seštevanja in množenja s številom, ki zadoščajo formuliranim aksiomom.

2. Osnova in dimenzija prostora.

Bistvena koncepta vektorskega prostora sta koncepta baze in dimenzije.

Opredelitev. Niz linearno neodvisnih vektorjev, vzetih v določenem vrstnem redu, skozi katerega je mogoče linearno izraziti poljuben vektor prostora, se imenuje osnova ta prostor. Vektorji. Sestavni deli osnove prostora se imenujejo osnovni .

Osnovo niza vektorjev, ki se nahajajo na poljubni premici, lahko štejemo za en kolinearen vektor tej premici.

Osnova na letalu imenujemo dva nekolinearna vektorja na tej ravnini, vzeta v določenem vrstnem redu https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Če sta bazna vektorja po parih pravokotna (ortogonalna), se imenuje baza pravokoten, in če imajo ti vektorji dolžino enako ena, se imenuje osnova ortonormalno .

Največje število linearno neodvisnih vektorjev v prostoru imenujemo razsežnost tega prostora, tj. dimenzija prostora sovpada s številom bazičnih vektorjev tega prostora.

Torej, glede na te definicije:

1. Enodimenzionalni prostor V1 je ravna črta, osnova pa je sestavljena iz ena kolinearna vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Navaden prostor je tridimenzionalen prostor V3 , katerega osnovo sestavljajo tri nekoplanarne vektorji

Od tu vidimo, da število baznih vektorjev na premici, na ravnini, v realnem prostoru sovpada s tem, kar v geometriji običajno imenujemo število dimenzij (dimenzija) premice, ravnine, prostora. Zato je naravno uvesti bolj splošno definicijo.

Opredelitev. Vektorski prostor R klical n– dimenzijsko, če jih ni več kot n linearno neodvisni vektorji in je označena R n. številka n klical razsežnost prostora.

Glede na dimenzijo prostora so razdeljeni na končnodimenzionalen in neskončnodimenzionalen. Dimenzija ničelnega prostora je po definiciji enaka nič.

Opomba 1. V vsakem prostoru lahko določite poljubno število baz, vendar so vse baze danega prostora sestavljene iz enakega števila vektorjev.

Opomba 2. IN n– v dimenzionalnem vektorskem prostoru je osnova vsaka urejena zbirka n linearno neodvisni vektorji.

3. Orientacija v prostoru.

Pustimo bazne vektorje v prostoru V3 imajo splošni začetek in naročeno, tj. označeno je, kateri vektor velja za prvega, kateri za drugega in kateri za tretjega. Na primer, v bazi so vektorji urejeni glede na indeksacijo.

Za to za orientacijo prostora je treba postaviti neko osnovo in jo razglasiti za pozitivno .

Lahko se pokaže, da množica vseh baz prostora pade v dva razreda, to je v dve disjunktni podmnožici.

a) imajo vse baze, ki pripadajo eni podmnožici (razredu). enako orientacija (istoimenske baze);

b) katerikoli dve osnovi, ki pripadata različno podmnožice (razredi), imajo nasprotno orientacija, ( različna imena baze).

Če enega od dveh razredov baz prostora razglasimo za pozitivnega, drugega pa za negativnega, potem rečemo, da je ta prostor usmerjeno .

Pogosto se pri orientaciji prostora imenujejo nekatere baze prav, in drugi - levo .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> se imenujejo prav, če je pri opazovanju s konca tretjega vektorja najkrajša rotacija prvega vektorja https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > se izvaja v nasprotni smeri urnega kazalca(Sl. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

riž. 1.8. Desna osnova (a) in leva osnova (b)

Običajno se desna podlaga prostora razglasi za pozitivno podlago

Desno (levo) osnovo prostora lahko določimo tudi s pravilom »desnega« (»levega«) vijaka ali gleta.

Po analogiji s tem je uveden koncept desnice in levice trojke nekoplanarni vektorji, ki jih je treba naročiti (slika 1.8).

Tako imata v splošnem primeru dva urejena trojčka nekoplanarnih vektorjev enako orientacijo (isto ime) v prostoru V3 če sta oba desna ali oba leva, in - nasprotna orientacija (nasproti), če je eden od njiju desni, drugi pa levi.

Enako se naredi v primeru prostora V2 (letalo).

4. Razgradnja vektorja po bazi.

Za poenostavitev sklepanja razmislimo o tem vprašanju na primeru tridimenzionalnega vektorskega prostora R3 .

Naj bo https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> poljuben vektor tega prostora.

V članku o n-dimenzionalnih vektorjih smo prišli do koncepta linearnega prostora, ki ga generira niz n-dimenzionalnih vektorjev. Zdaj moramo razmisliti o enako pomembnih konceptih, kot sta dimenzija in osnova vektorskega prostora. Neposredno so povezani s konceptom linearno neodvisnega sistema vektorjev, zato je dodatno priporočljivo, da se spomnite na osnove te teme.

Predstavimo nekaj definicij.

Definicija 1

Razsežnost vektorskega prostora– število, ki ustreza največjemu številu linearno neodvisnih vektorjev v tem prostoru.

Definicija 2

Osnova vektorskega prostora– niz linearno neodvisnih vektorjev, urejenih in po številu enakih dimenziji prostora.

Oglejmo si določen prostor n -vektorjev. Njegova dimenzija je ustrezno enaka n. Vzemimo sistem n-enotnih vektorjev:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . . , 0) e (n) = (0, 0, . . . , 1)

Te vektorje uporabimo kot komponente matrike A: to bo enotska matrika z dimenzijo n x n. Rang te matrike je n. Zato je vektorski sistem e (1) , e (2) , . . . , e(n) je linearno neodvisen. V tem primeru je sistemu nemogoče dodati en sam vektor, ne da bi pri tem kršili njegovo linearno neodvisnost.

Ker je število vektorjev v sistemu n, je dimenzija prostora n-dimenzionalnih vektorjev n, enotski vektorji pa e (1), e (2), . . . , e (n) sta osnova podanega prostora.

Iz dobljene definicije lahko sklepamo: noben sistem n-dimenzionalnih vektorjev, v katerem je število vektorjev manjše od n, ni baza prostora.

Če prvi in ​​drugi vektor zamenjamo, dobimo sistem vektorjev e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Prav tako bo osnova n-dimenzionalnega vektorskega prostora. Ustvarimo matriko tako, da za njene vrstice vzamemo vektorje nastalega sistema. Matriko lahko dobimo iz identitetne matrike tako, da zamenjamo prvi dve vrstici, njen rang bo n. Sistem e (2) , e (1) , . . . , e(n) je linearno neodvisen in je osnova n-dimenzionalnega vektorskega prostora.

S preureditvijo drugih vektorjev v izvornem sistemu dobimo drugo osnovo.

Lahko vzamemo linearno neodvisen sistem neenotskih vektorjev in bo predstavljal tudi osnovo n-dimenzionalnega vektorskega prostora.

Definicija 3

Vektorski prostor z dimenzijo n ima toliko baz, kolikor je linearno neodvisnih sistemov n-dimenzionalnih vektorjev števila n.

Ravnina je dvodimenzionalni prostor - njena osnova bosta katera koli dva nekolinearna vektorja. Osnova tridimenzionalnega prostora bodo poljubni trije nekoplanarni vektorji.

Oglejmo si uporabo te teorije na konkretnih primerih.

Primer 1

Začetni podatki: vektorji

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Ugotoviti je treba, ali so navedeni vektorji osnova tridimenzionalnega vektorskega prostora.

rešitev

Za rešitev problema proučimo dani sistem vektorjev za linearno odvisnost. Ustvarimo matriko, kjer so vrstice koordinate vektorjev. Določimo rang matrike.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Posledično so vektorji, določeni s pogojem problema, linearno neodvisni, njihovo število pa je enako dimenziji vektorskega prostora - so osnova vektorskega prostora.

odgovor: navedeni vektorji so osnova vektorskega prostora.

Primer 2

Začetni podatki: vektorji

a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2) d = (0, 1, 2)

Ugotoviti je treba, ali je navedeni sistem vektorjev lahko osnova tridimenzionalnega prostora.

rešitev

Sistem vektorjev, določen v izjavi problema, je linearno odvisen, ker največje število linearno neodvisnih vektorjev je 3. Navedeni sistem vektorjev torej ne more služiti kot osnova za tridimenzionalni vektorski prostor. Vendar je treba omeniti, da je podsistem prvotnega sistema a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) osnova.

odgovor: naveden sistem vektorjev ni osnova.

Primer 3

Začetni podatki: vektorji

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Ali so lahko osnova štiridimenzionalnega prostora?

rešitev

Ustvarimo matriko z uporabo koordinat danih vektorjev kot vrstic

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Z Gaussovo metodo določimo rang matrike:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Posledično je sistem danih vektorjev linearno neodvisen in je njihovo število enako dimenziji vektorskega prostora - ti so osnova štiridimenzionalnega vektorskega prostora.

odgovor: dani vektorji so osnova štiridimenzionalnega prostora.

Primer 4

Začetni podatki: vektorji

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Ali tvorijo osnovo prostora dimenzije 4?

rešitev

Izvirni sistem vektorjev je linearno neodvisen, vendar število vektorjev v njem ni zadostno, da bi postal osnova štiridimenzionalnega prostora.

odgovor: ne, ne.

Razgradnja vektorja na bazo

Predpostavimo, da so poljubni vektorji e (1) , e (2) , . . . , e (n) sta osnova n-dimenzionalnega vektorskega prostora. Dodajmo jim določen n-dimenzionalni vektor x →: nastali sistem vektorjev bo postal linearno odvisen. Lastnosti linearne odvisnosti navajajo, da je vsaj enega od vektorjev takega sistema mogoče linearno izraziti skozi druge. Če preoblikujemo to trditev, lahko rečemo, da je vsaj enega od vektorjev linearno odvisnega sistema mogoče razširiti na preostale vektorje.

Tako smo prišli do formulacije najpomembnejšega izreka:

Definicija 4

Vsak vektor n-dimenzionalnega vektorskega prostora je mogoče enolično razstaviti na bazo.

Dokazi 1

Dokažimo ta izrek:

postavimo osnovo n-dimenzionalnega vektorskega prostora - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Naredimo sistem linearno odvisen tako, da mu dodamo n-dimenzionalni vektor x →. Ta vektor je mogoče linearno izraziti z izvirnimi vektorji e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , kjer je x 1 , x 2 , . . . , x n - nekaj števil.

Sedaj dokazujemo, da je taka razgradnja edinstvena. Predpostavimo, da temu ni tako in obstaja še ena podobna razčlenitev:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , kjer je x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - nekaj števil.

Od leve oziroma desne strani te enačbe odštejmo levo oziroma desno stran enačbe x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Dobimo:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Sistem baznih vektorjev e (1) , e (2) , . . . , e(n) je linearno neodvisen; po definiciji linearne neodvisnosti sistema vektorjev je zgornja enakost možna le, če so vsi koeficienti (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) bo enako nič. Iz česar bo pošteno: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . In to dokazuje edino možnost za razgradnjo vektorja v bazo.

V tem primeru so koeficienti x 1, x 2, . . . , x n imenujemo koordinate vektorja x → v bazi e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Preizkušena teorija pojasnjuje izraz "dan n-dimenzionalni vektor x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)": upošteva se vektor x → n-dimenzionalni vektorski prostor, njegove koordinate pa so določene v določeno osnovo. Jasno je tudi, da bo imel isti vektor v drugi bazi n-dimenzionalnega prostora različne koordinate.

Razmislite o naslednjem primeru: predpostavimo, da je v neki bazi n-dimenzionalnega vektorskega prostora podan sistem n linearno neodvisnih vektorjev

in tudi vektor x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) je podan.

Vektorji e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) so v tem primeru tudi osnova tega vektorskega prostora.

Recimo, da je treba določiti koordinate vektorja x → v bazi e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , označeno kot x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Vektor x → bo predstavljen na naslednji način:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Zapišimo ta izraz v koordinatni obliki:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . . , e (2) n) + . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + ... + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + .. + x ~ n e 2 (n) , . . , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + ... + x ~ n e n (n))

Nastala enakost je enakovredna sistemu n linearnih algebrskih izrazov z n neznanimi linearnimi spremenljivkami x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Matrika tega sistema bo imela naslednjo obliko:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Naj bo to matrika A, njeni stolpci pa vektorji linearno neodvisnega sistema vektorjev e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . Rang matrike je n, njena determinanta pa ni nič. To pomeni, da ima sistem enačb edinstveno rešitev, določeno s katero koli priročno metodo: na primer Cramerjeva metoda ali matrična metoda. Tako lahko določimo koordinate x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n vektor x → v bazi e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Uporabimo obravnavano teorijo na konkretnem primeru.

Primer 6

Začetni podatki: vektorji so določeni v osnovi tridimenzionalnega prostora

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Treba je potrditi dejstvo, da sistem vektorjev e (1), e (2), e (3) služi tudi kot osnova danega prostora, in tudi določiti koordinate vektorja x v dani bazi.

rešitev

Sistem vektorjev e (1), e (2), e (3) bo osnova tridimenzionalnega prostora, če je linearno neodvisen. Ugotovimo to možnost z določitvijo ranga matrike A, katere vrstice so dani vektorji e (1), e (2), e (3).

Uporabljamo Gaussovo metodo:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Tako je sistem vektorjev e (1), e (2), e (3) linearno neodvisen in je baza.

Naj ima vektor x → v bazi koordinate x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3. Razmerje med temi koordinatami je določeno z enačbo:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Uporabimo vrednosti glede na pogoje problema:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Rešimo sistem enačb po Cramerjevi metodi:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Tako ima vektor x → v bazi e (1), e (2), e (3) koordinate x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

odgovor: x = (1, 1, 1)

Odnos med bazami

Predpostavimo, da sta v neki bazi n-dimenzionalnega vektorskega prostora podana dva linearno neodvisna sistema vektorjev:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Ti sistemi so hkrati tudi osnova določenega prostora.

Naj bo c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - koordinate vektorja c (1) v bazi e (1) , e (2) , . . . , e (3) , potem bo koordinatno razmerje podano s sistemom linearnih enačb:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Sistem lahko predstavimo kot matriko na naslednji način:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Naredimo enak vnos za vektor c (2) po analogiji:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Združimo matrične enačbe v en izraz:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Določila bo povezavo med vektorjema dveh različnih baz.

Z uporabo istega principa je mogoče izraziti vse bazične vektorje e(1), e(2), . . . , e (3) skozi osnovo c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Naj podamo naslednje definicije:

Definicija 5

Matrika c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) je prehodna matrika iz baze e (1) , e (2) , . . . , e (3)

na osnovo c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Opredelitev 6

Matrika e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) je prehodna matrika iz baze c (1) , c (2) , . . . , c(n)

na osnovo e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Iz teh enakosti je očitno, da

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

tiste. prehodne matrike so recipročne.

Oglejmo si teorijo na konkretnem primeru.

Primer 7

Začetni podatki: potrebno je najti prehodno matriko iz baze

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Navesti morate tudi razmerje med koordinatami poljubnega vektorja x → v danih bazah.

rešitev

1. Naj bo T prehodna matrika, potem bo veljala enakost:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Obe strani enakosti pomnožimo s

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

in dobimo:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Definirajte prehodno matriko:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Določimo razmerje med koordinatama vektorja x → :

Predpostavimo, da je v bazi c (1) , c (2) , . . . , c (n) vektor x → ima koordinate x 1 , x 2 , x 3 , potem:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

in v osnovi e (1) , e (2) , . . . , e (3) ima koordinate x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, potem:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Ker Če sta levi strani teh enačb enaki, lahko enačimo tudi desne strani:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Pomnožite obe strani na desni s

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

in dobimo:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Na drugi strani

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Zadnje enakosti prikazujejo razmerje med koordinatama vektorja x → v obeh bazah.

odgovor: prehodna matrika

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Koordinate vektorja x → v podanih bazah so povezane z razmerjem:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter