Pravljice

Če se dve tetivi kroga sekata, je zmnožek odsekov ene tetive enak zmnožku odsekov druge tetive. Kaj je tetiva kroga v geometriji, njena definicija in lastnosti Vsi izreki o krogih

Akord v grščini pomeni "struna". Ta koncept se pogosto uporablja na različnih področjih znanosti - v matematiki, biologiji in drugih.

V geometriji bo definicija izraza naslednja: to je odsek ravne črte, ki povezuje dve poljubni točki na istem krogu. Če tak segment seka središče krivulja, se imenuje premer opisanega kroga.

V stiku z

Kako sestaviti geometrijsko tetivo

Če želite sestaviti ta segment, morate najprej narisati krog. Določite dve poljubni točki, skozi kateri je narisana sekansa. Odsek ravne črte, ki se nahaja med točkama presečišča s krogom, se imenuje tetiva.

Če takšno os razdelite na pol in iz te točke narišete pravokotno črto, bo šla skozi središče kroga. Lahko izvedete nasprotno dejanje - iz središča kroga narišite polmer, pravokoten na tetivo. V tem primeru ga bo polmer razdelil na dve enaki polovici.

Če upoštevamo dele krivulje, ki so omejeni z dvema vzporednima enakima segmentoma, potem bodo tudi te krivulje med seboj enake.

Lastnosti

Obstaja več vzorcev, ki povezuje tetive in središče kroga:

Razmerje s polmerom in premerom

Zgornji matematični koncepti so med seboj povezani z naslednjimi zakoni:

Tetiva in radij

Med temi koncepti obstajajo naslednje povezave:

Odnosi s pričrtanimi koti

Koti, vpisani v krog, upoštevajo naslednja pravila:

Arc interakcije

Če dva segmenta pokrivata odseke krivulje, ki sta enaki po velikosti, potem sta ti osi enaki druga drugi. Iz tega pravila sledijo naslednji vzorci:

Tetiva, ki zajema točno polovico kroga, je njegov premer. Če sta dve premici na istem krogu vzporedni druga z drugo, bodo enaki tudi loki, ki so zaprti med tema segmentoma. Vendar ne smemo zamenjevati zaprtih lokov s tistimi, ki jih povezujejo iste črte.

Del 3. Krogi

jaz. Referenčni materiali.

jaz. Lastnosti tangent, tetiv in sekant. Včrtani in središčni koti.

Krog in krog

1. Če iz ene točke, ki leži zunaj kroga, nanj potegnemo dve tangenti, tedaj

a) dolžine odsekov od dane točke do stičnih točk so enake;

b) kota med vsako tangento in sekanto, ki potekata skozi središče krožnice, sta enaka.

2. Če iz ene točke, ki leži zunaj kroga, nanjo potegnemo tangento in sekanto, potem je kvadrat tangente enak zmnožku sekante in njenega zunanjega dela

3. Če se dve tetivi sekata v eni točki, je zmnožek odsekov ene tetive enak zmnožku odsekov druge.

4. Obod C=2πR;

5. Dolžina loka L =πRn/180˚

6. Območje kroga S=πR 2

7. Sektorsko območje S c=πR 2 n/360

Stopinska mera včrtanega kota je enaka polovici stopinjske mere loka, na katerem leži.

1. izrek. Mera kota med tangento in tetivo, ki ima skupno točko na krožnici, je enaka polovici stopinjske mere loka, sklenjenega med njunima stranicama

2. izrek(o tangenti in sekanti). Če tangento in sekanto narišemo iz točke M na krog, potem je kvadrat tangentnega odseka od točke M do tangentne točke enak zmnožku dolžin sekante od točke M do točk njenega presečišče s krogom.

Izrek 3. Če se dve tetivi kroga sekata, potem je zmnožek dolžin odsekov ene tetive enak zmnožku dolžin odsekov druge tetive, to je, če se tetivi AB in CD sekata v točki M, potem je AB MV = CM MD.

Lastnosti krožnih akordov:

Premer, pravokoten na tetivo, jo deli na pol. Nasprotno: premer, ki poteka skozi sredino tetive, je pravokoten nanjo.

Enaki tetivi kroga sta enako oddaljeni od središča kroga. Nasprotno: enake tetive se nahajajo na enakih razdaljah od središča kroga.

Krožni loki med vzporednima tetivama so enaki.

Krožnice, ki imajo na tej točki skupno točko in skupno tangento, se imenujejo tangente.Če se krožnice nahajajo na eni strani skupne tangente, se imenujejo notranje tangente, če pa na nasprotnih straneh tangente, se imenujejo zunanja tangenta.

II. Dodatni materiali

Lastnosti nekaterih kotov.

Izrek.

1) Kot (ABC), katerega oglišče leži znotraj kroga, je polvsota dveh lokov (AC in DE), od katerih je eden med njegovima stranicama, drugi pa med podaljškoma stranic.

2) kot (ABC), katerega vrh leži zunaj kroga, stranice pa se sekajo s krogom, je polovična razlika dveh lokov (AC in ED), zaprtih med njegovima stranicama.

Dokaz .

Če narišemo tetivo AD (na obeh risbah), dobimo ∆АВD,

glede na katerega obravnavani kot ABC služi kot zunanja, ko je njena točka znotraj kroga, in notranja, kadar je njena točka zunaj kroga. Zato v prvem primeru: ; v drugem primeru:

Toda kota ADC in DAE se, tako kot vpisani, merita s polloki

AC in DE; torej kot ABC merimo: v prvem primeru z vsoto: ½ ﬞ AC+1/2 ﬞ DE, ki je enaka 1 / 2 (ﮟ AC+ﮞ DE), v drugem primeru pa je razlika 1/2 ﬞ AC- 1/2 ﬞ DE, kar je enako 1/2 (ﬞ AC- ﬞ DE).

Izrek. Kot (ACD), ki ga tvorita tangenta in tetiva, se meri s polovico loka, ki ga vsebuje.

Najprej predpostavimo, da gre tetiva CD skozi središče O, tj. da je tetiva premer. Potem kot ACD- ravna in torej enaka 90°. Toda tudi polovica loka CmD je enaka 90°, saj celoten lok CmD, ki sestavlja polkrog, vsebuje 180°. To pomeni, da je izrek resničen v tem konkretnem primeru.

Zdaj pa vzemimo splošni primer, ko tetiva CD ne poteka skozi središče. Če nato narišemo premer CE, bomo imeli:

U cilj ACE, kot ga sestavljata tangenta in premer, se meri, kot je dokazano, s polovico loka CDE; Kot DCE se kot včrtan meri s polovico loka CnED: edina razlika v dokazu je, da tega kota ne smemo obravnavati kot razliko, temveč kot vsoto pravega kota ALL in ostrega kota ECD.

Proporcionalne črte v krogu

Izrek.Če skozi točko (M), vzeto znotraj kroga, narišemo tetivo (AB) in premer (CD), potem je produkt segmentov tetive (AM MB) enak produktu segmentov premera (MB MC).

Dokaz.

p
Če narišemo dve pomožni tetivi AC in BD, dobimo dva trikotnika AMC in MBD (na sliki prekrita s pomišljaji), ki sta si podobna, saj sta njuna kota A in D enaka, kot včrtana, opirata na isti lok BC, kota C in B sta enaka, kot sta včrtana, glede na isti lok AD. Iz podobnosti trikotnikov sklepamo:

AM: MD=MS: MV, od koder je AM MV=MD MS.

Posledica.Če poljubno število tetiv (AB, EF, KL,...) narišemo skozi točko (M), vzeto znotraj kroga, potem je zmnožek segmentov vsake tetive konstantno število za vse tetive, saj je za vsako vrvico to produkt je enak produktu odsekov s premerom CD, ki potekajo skozi vzeto točko M.

Izrek.Če iz točke (M), vzete izven kroga, nanjo potegnemo nekaj sekante (MA) in tangente (MS), potem je produkt sekanse in njenega zunanjega dela enak kvadratu tangente (predpostavlja se, da sekans je omejen z drugo presečišče, tangenta pa s stično točko).

Dokaz.

Narišimo pomožni tetivi AC in BC; potem dobimo dva trikotnika MAC in MVS (na sliki prekrita s pomišljaji), ki sta si podobna, ker imata skupni kot M, kota MCW in CAB pa sta enaka, saj vsak od njiju meri polovico loka BC. Vzemimo strani MA in MC v ∆MAS; podobni stranki v ∆MVS bosta MC in MV; torej MA: MS = MS: MV, od koder MA MV = MS 2.

Posledica.Če iz točke (M), vzete izven kroga, potegnemo poljubno število sekant (MA, MD, ME,...), potem je produkt vsake sekante in njenega zunanjega dela konstantno število za vse sekante, ker je za vsak sekans ta produkt enak kvadratu tangente (MC 2), ki poteka iz točke M.

III. Uvodne naloge.

Naloga 1.

IN enakokrakega trapeza z ostrim kotom 60° je stranska stranica enaka , manjša osnovca pa . Poiščite polmer kroga, ki ga oklepa ta trapez.

rešitev

1) Polmer krožnice, ki je opisana okoli trapeza, je enak polmeru kroga, opisanega okoli trikotnika, katerega oglišča so poljubna tri oglišča trapeza. Poiščite polmer R kroga, ki je opisan okoli trikotnika ABD.

2) ABCD je torej enakokraki trapez A.K. = M.D., K.M. =.

V ∆ ABK A.K. = AB cos A = · cos 60° = . pomeni,
AD = .

B.K. = AB greh A = · = .

3) Po kosinusnem izreku v ∆ ABD BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AB · AD cos A.

BD 2 = () 2 + (3) 2 – 2 · · 3 · = 21 + 9 · 21 – 3 · 21 = 7 · 21;
BD = .

4) S(∆ ABD) = AD · B.K.; S(∆ ABD) = · · 3 = .

Naloga 2.

V enakostraničnem trikotniku ABC krog je včrtan in odsek narisan N.M.,

M A.C., n B.C., ki se je dotika in je vzporedna s stranico AB.

Določite obseg trapeza AMNB, če je dolžina segmenta MN enako 6.

rešitev.

1) ∆ABC– enakostranična, točka O– presečišče median (simetral, višin), kar pomeni CO : O.D. = 2 : 1.

2) MN– tangenta na krožnico, p– kontaktna točka, kar pomeni O.D. =
= OP, Potem CD= 3 · C.P..

3) ∆CMN ∾ ∆ KABINA, kar pomeni ∆ CMN– enakostranični C.M. = CN = MN = = 6; p.

3) BN = C.B. – CN = 18 – 6 = 12.

4) P ( AMNB) = A.M. + MN + BN + AB = 18 + 6 + 12 + 12 = 48.

Enakokraki trapez je opisan okoli kroga, katerega srednjica je enaka 5, sinus ostrega kota na dnu pa je enak 0,8. Poiščite območje trapeza.

rešitev.Ker je krog vpisan v štirikotnik, potem B.C. + AD = AB + CD. Ta štirikotnik je enakokraki trapez, kar pomeni B.C. + AD = 2AB.

FP– srednja črta trapeza, ki pomeni B.C. + AD = 2FP.

Potem AB = CD = FP = 5.

∆ABK- pravokotne, B.K. = AB greh A; B.K.= 5 · 0,8 = 4.

S ( ABCD) = FP · B.K.= 5 · 4 = 20.

Odgovori: 20.

Vpisani krog trikotnika ABC se dotika stranice BC v točki K, zunanja krožnica pa se dotika stranice BC v točki L. Dokaži, da je CK=BL=(a+b+c)/2

Dokaz: naj bosta M in N tangenti včrtane krožnice s stranicama AB in BC. Potem je BK+AN=BM+AM=AB, torej CK+CN= a+b-c.

Naj bosta P in Q dotični točki venkrožnice s podaljškoma stranic AB in BC. Potem je AP=AB+BP=AB+BL in AQ=AC+CQ=AC+CL. Zato je AP+AQ=a+b+c. Zato je BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2.

a) Nadaljevanje simetrale kota B trikotnika ABC seka opisano krožnico v točki M. O je središče včrtane krožnice. O B je središče krožnice, ki se dotika stranice AC. Dokaži, da točke A, C, O in O B ležijo na krožnici s središčem M.

D
dokaz: Ker

b) Točka O, ki leži znotraj trikotnika ABC, ima to lastnost, da premice AO, BO, CO potekajo skozi središča opisanih krogov trikotnikov BCO, ACO, ABO. Dokaži, da je O središče včrtane krožnice trikotnika ABC

Dokaz: Naj bo P središče kroga trikotnika ACO. Potem

IV. Dodatne naloge

št. 1. Krožnica, ki se dotika hipotenuze pravokotnega trikotnika in podaljškov njegovih katet, ima polmer R. Poiščite obseg trikotnika

R rešitev: HOGB - kvadrat s stranico R

1) ∆OAH =∆OAF vzdolž kraka in hipotenuze =>HA=FA

2) ∆OCF=∆OCG =>CF=CG

3) P ABC =AB+AF+FC+BC=AB+AM+GC+BC+BH+BG=2R

št. 2. Točki C in D ležita na krožnici s premerom AB. AC ∩ BD = P in AD ∩ BC = Q. Dokaži, da sta premici AB in PQ pravokotni

Dokaz: A D – premer => včrtan kot ADB=90 o (glede na premer)=> QD/QP=QN/QA; ∆QDP je podoben ∆QNA na 2 straneh in kot med njima => QN je pravokoten na AB.

št. 3. V paralelogramu ABCD je diagonala AC večja od diagonale BD; M je točka na diagonali AC, BDCM je cikličen štirikotnik Dokaži, da je premica BD skupna tangenta na opisani krožnici trikotnikov ABM in ADM

p
ustje O je točka presečišča diagonal AC in ВD. Potem MO · OC=BO · OD. Ker je OS = OA in VO = ВD, potem MO · OA=VO 2 in MO · OA=DO 2. Te enakosti pomenijo, da je OB tangenta na opisano krožnico trikotnika ADM

št. 4. n Na osnovici AB enakokrakega trikotnika ABC je vzeta točka E in trikotnikoma ACE in ABE so včrtane krožnice, ki se dotikajo odseka CE v točkah M in N. Poiščite dolžino odseka MN, če sta znani dolžini AE in BE.

Glede na uvodno nalogo 4 CM=(AC+CE-AE)/2 in CN=(BC+CE-BE)/2. Če upoštevamo, da je AC=BC, dobimo MN=|CM-CN|=|AE-BE|/2

št. 5. Dolžine stranic trikotnika ABC tvorijo aritmetično progresijo, a

Naj bo M razpolovišče stranice AC, N pa točka dotika včrtane krožnice s stranico BC. Potem je BN=р–b (uvodna naloga 4), torej BN=AM, ker p=3b/2 po pogoju. Poleg tega

V .Naloge za samostojno reševanje

št. 1. Štirikotnik ABCD ima to lastnost, da obstaja krožnica, ki je včrtana kotu BAD in se dotika podaljškov stranic BC in CD. Dokaži, da je AB+BC=AD+DC.

št. 2. Skupna notranja tangenta na krožnice s polmeroma R in r seka njune skupne zunanje tangente v točkah A in B ter se dotika ene od krožnic v točki C. Dokažite, da je AC∙CB=Rr

št. 3. V trikotniku ABC je kot C pravi kot. Dokažite, da je r =(a+b-c)/2 in r c =(a+b+c)/2

št. 4. Dve krožnici se sekata v točkah A in B; MN je njihova skupna tangenta. Dokaži, da premica AB deli odsek MN na pol.

št. 5. Nadaljevanja simetral kotov trikotnika ABC sekajo opisani krog v točkah A 1, B 1, C 1. M – presečišče simetral. Dokaži, da:

a) MA·MC/MB 1 =2r;

b) MA 1 ·MC 1 /MB=R

št. 6. Kot, ki ga sestavljata dve tangenti, ki potekata iz ene točke na krožnici, je enak 23°15`. Izračunajte loke med tangentnimi točkami

št. 7. Izračunaj kot, ki ga tvorita tangenta in tetiva, če tetiva deli krožnico na dva dela v razmerju 3:7.

VI. Kontrolne naloge.

Možnost 1.

Točka M se nahaja zunaj kroga s središčem O. Iz točke M so narisane tri sekante: prva seka krožnico v točkah B in A (M-B-A), druga v točkah D in C (M-D-C), tretja pa seka krožnico v točkah F in E (M-F-E) in poteka skozi središče kroga, AB = 4, BM =5, FM = 3.

Dokaži, da če je AB = CD, sta kota AME in CME enaka.

Poiščite polmer kroga.

Poiščite dolžino tangente, ki poteka iz točke M na krožnico.

Poiščite kot AEB.

Možnost 2.

AB je premer kroga s središčem O. Tetiva EF seka premer v točki K (A-K-O), EK = 4, KF = 6, OK = 5.

Poiščite polmer kroga.

Poiščite razdaljo od središča kroga do tetive BF.

Poiščite ostri kot med premerom AB in tetivo EF.

Čemu je enaka tetiva FM, če je EM vzporedna z AB?

Možnost 3. V pravokotnem trikotniku ABC (

Možnost 4.

AB je premer kroga s središčem O. Polmer tega kroga je 4, O 1 je sredina OA. Narisan je krog s središčem v točki O 1, ki se dotika večjega kroga v točki A. Tetiva CD večjega kroga je pravokotna na AB in seka AB v točki K. E in F sta presečni točki CD z manjši krog (C-E-K-F-D), AK=3.

Poišči akorda AE in AC.

Poiščite stopinjsko mero loka AF in njegovo dolžino.

Poiščite ploščino dela manjšega kroga, ki ga odseka tetiva EF.

Poiščite polmer kroga, ki je obkrožen okoli trikotnika ACE.

Najprej razumejmo razliko med krogom in krogom. Da bi videli to razliko, je dovolj razmisliti, kaj sta obe številki. To je neskončno število točk na ravnini, ki se nahajajo na enaki razdalji od ene same središčne točke. Če pa je krog sestavljen tudi iz notranjega prostora, potem ne pripada krogu. Izkaže se, da je krog tako krog, ki ga omejuje (krog(r)), kot nešteto število točk, ki so znotraj kroga.

Za vsako točko L, ki leži na krožnici, velja enakost OL=R. (Dolžina odseka OL je enaka polmeru kroga).

Odsek, ki povezuje dve točki na krožnici, je njen akord.

Tetiva, ki poteka neposredno skozi središče kroga, je premer ta krog (D). Premer lahko izračunate po formuli: D=2R

Obseg izračunano po formuli: C=2\pi R

Območje kroga: S=\pi R^(2)

Krožni lok se imenuje tisti njen del, ki se nahaja med njenima dvema točkama. Ti dve točki določata dva loka kroga. Tetiva CD zajema dva loka: CMD in CLD. Enake tetive segajo v enake loke.

Osrednji kot Imenuje se kot, ki leži med dvema polmeroma.

Dolžina loka lahko najdete s formulo:

Uporaba stopinjske mere: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
Uporaba radianske mere: CD = \alpha R

Premer, ki je pravokoten na tetivo, deli tetivo in z njo skrčene loke na pol.

Če se tetivi AB in CD krožnice sekata v točki N, so produkti odsekov tetiv, ki jih ločuje točka N, med seboj enaki.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Tangenta na krožnico

Tangenta na krožnico Običajno imenujemo ravno črto, ki ima eno skupno točko s krogom.

Če ima premica dve skupni točki, se imenuje sekant.

Če polmer narišete na tangento, bo ta pravokoten na tangento kroga.

Iz te točke na našo krožnico potegnemo dve tangenti. Izkazalo se je, da bodo tangentni segmenti enaki drug drugemu, središče kroga pa bo na simetrali kota z vrhom na tej točki.

AC = CB

Zdaj pa iz naše točke narišimo tangento in sekanto na krožnico. Dobimo, da bo kvadrat dolžine tangentnega segmenta enak zmnožku celotnega segmenta sekante in njegovega zunanjega dela.

AC^(2) = CD \cdot BC

Lahko sklepamo: zmnožek celotnega odseka prvega sekanta in njegovega zunanjega dela je enak zmnožku celotnega odseka drugega sekanta in njegovega zunanjega dela.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Koti v krogu

Stopinjski meri središčnega kota in loka, na katerem leži, sta enaki.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Včrtani kot je kot, katerega vrh je na krožnici in njegove stranice vsebujejo tetive.

Izračunate ga lahko, če poznate velikost loka, saj je enaka polovici tega loka.

\kot AOB = 2 \kot ADB

Na podlagi premera, včrtanega kota, pravega kota.

\kot CBD = \kot CED = \kot CAD = 90^ (\circ)

Včrtani koti, ki segajo v isti lok, so enaki.

Včrtana kota, ki ležita na eni tetivi, sta enaka ali pa je njuna vsota enaka 180^ (\circ) .

\kot ADB + \kot AKB = 180^ (\circ)

\kot ADB = \kot AEB = \kot AFB

Na istem krogu so oglišča trikotnikov z enakimi koti in dano osnovo.

Kot z ogliščem znotraj kroga, ki se nahaja med dvema tetivama, je enak polovici vsote kotnih vrednosti lokov kroga, ki so v danem in navpičnem kotu.

\kot DMC = \kot ADM + \kot DAM = \frac(1)(2) \levo (\skodelica DmC + \skodelica AlB \desno)

Kot z vrhom zunaj kroga in se nahaja med dvema sekantima je enak polovici razlike v kotnih vrednostih lokov kroga, ki so v kotu.

\kot M = \kot CBD - \kot ACB = \frac(1)(2) \levo (\skodelica DmC - \skodelica AlB \desno)

Včrtana krožnica

Včrtana krožnica je krog, ki se dotika stranic mnogokotnika.

V točki, kjer se sekata simetrala vogalov mnogokotnika, je njegovo središče.

Krog ne sme biti včrtan v vsak mnogokotnik.

Območje mnogokotnika z včrtanim krogom najdemo po formuli:

S = pr,

p je polobod mnogokotnika,

r je polmer včrtane krožnice.

Iz tega sledi, da je polmer včrtanega kroga enak:

r = \frac(S)(p)

Vsoti dolžin nasprotnih stranic bosta enaki, če je krog vpisan v konveksni štirikotnik. In obratno: krog se prilega konveksnemu štirikotniku, če sta vsoti dolžin nasprotnih stranic enaki.

AB + DC = AD + BC

V kateri koli trikotnik je možno vpisati krog. Samo enega samega. V točki, kjer se sekata simetrali notranjih kotov lika, bo središče tega včrtanega kroga.

Polmer včrtanega kroga izračunamo po formuli:

r = \frac(S)(p),

kjer je p = \frac(a + b + c)(2)

Circumcircle

Če krog poteka skozi vsako oglišče mnogokotnika, potem se tak krog običajno imenuje opisano o mnogokotniku.

Na presečišču pravokotnih simetral stranic tega lika bo središče opisanega kroga.

Polmer lahko najdete tako, da ga izračunate kot polmer kroga, ki je opisan okoli trikotnika, ki ga določajo katera koli 3 oglišča mnogokotnika.

Obstaja naslednji pogoj: okoli štirikotnika lahko opišemo krog le, če je vsota njegovih nasprotnih kotov enaka 180^( \circ) .

\kot A + \kot C = \kot B + \kot D = 180^ (\circ)

Okrog katerega koli trikotnika lahko opišete krog in samo enega. Središče takšnega kroga bo na točki, kjer se sekajo pravokotne simetrale stranic trikotnika.

Polmer opisanega kroga lahko izračunamo po formulah:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c so dolžine stranic trikotnika,

S je območje trikotnika.

Ptolomejev izrek

Nazadnje razmislite o Ptolemejevem izreku.

Ptolemejev izrek pravi, da je zmnožek diagonal enak vsoti zmnožkov nasprotnih strani cikličnega štirikotnika.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Teoretični referenčni materiali o geometriji za izpolnjevanje nalog inštruktorja matematike. Za pomoč študentom pri reševanju problemov.

1) Tema o včrtanem kotu v krogu.

Izrek: kot, vpisan v krog, je enak polovici stopinjske mere loka, na katerem leži (ali polovici osrednjega kota, ki ustreza temu loku), tj. .

2) Posledice izreka o včrtanem kotu v krog.

2.1) Lastnost kotov, ki jih nosi en lok.

Izrek: če sta včrtana kota podprta z enim lokom, sta enaka (če sta podprta z dodatnimi loki, je njuna vsota enaka

2.2) Lastnost kota, sklenjenega s premerom.

Izrek: Krogu včrtan kot se razteza s premerom, če in samo če je pravi.

AC premer

3) Lastnost tangentnih odsekov. Krožnica, včrtana v kot.

Izrek 1:če sta iz ene točke, ki ne leži na krogu, nanj potegnjeni dve tangenti, sta njuna segmenta enaka, tj. PB=PC.

Izrek 2:Če je krog vpisan v kot, potem njegovo središče leži na simetrali tega kota, tj. PO simetrala.

4) Lastnost odsekov tetiv v notranjem presečišču sekant.
Izrek 1: zmnožek odsekov ene tetive je enak zmnožku odsekov druge tetive, tj

Izrek 2: kot med tetivama je enak polovici vsote lokov, ki jih te tetive tvorijo na krožnici, tj.

Predogled:

Lekcija na temo:

“Izrek o produktu odsekov sekajočih se tetiv»

Predmet: geometrija

Razred: 8

učiteljica b: Herat Ljudmila Vasiljevna

Šola : MOBU "Srednja šola Družbinskaya" okrožje Sol-Iletsk, regija Orenburg

Vrsta lekcije: Lekcija "odkrivanja" novega znanja.

Oblike dela: individualno, frontalno, skupinsko.

Učne metode:verbalno, vizualno, praktično, problematično.

Oprema: računalniški razred, multimedijski projektor,

Izročki (kartice), predstavitev.

Cilji lekcije:

izobraževalni- prouči izrek o produktu sekajočih se tetiv in pokaže njegovo uporabo pri reševanju nalog.

Izboljšati veščine reševanja problemov z uporabo izreka o včrtanem kotu in njegovih posledic.

razvoju – razvijati ustvarjalno in miselno dejavnost učencev v razredu; razviti intelektualne lastnosti osebnosti šolarjev, kot so neodvisnost, prožnost, sposobnost ocenjevalnih dejanj in posploševanja; spodbujati oblikovanje veščin timskega dela in samostojnega dela; razviti sposobnost jasnega in jasnega izražanja svojih misli.
izobraževalni – z uporabo informacijske tehnologije (uporaba računalnika) pri učencih vzbuditi zanimanje za predmet; razvijejo sposobnost natančnega in kompetentnega izvajanja matematičnih zapisov in risanja slike za problem.

Izobraževalne dejavnosti so namenjene povečanju učinkovitosti in produktivnosti pedagoškega dela s prenosom študentov s položaja predmet dejavnosti učitelja na položaju predmet poučevanja , spodbuja razvoj potenciala vsakega otroka, razkrivanje možnosti, ki so v njem lastne.

Vzgoja (razvoj) subjektivnosti je možna le v dejavnostihv katerega je vpleten subjekt, v katerega je sam: a) postavlja cilje; b) osredotoča voljni napor na doseganje cilja; c) razmišlja o napredku in rezultatih svojega dela. Refleksija je močno orodje za osebni samorazvoj(osebna samogradnja).

Problem razvijanja študentove subjektivnostiTega problema ni mogoče v nobeni meri rešiti z enkratnimi ukrepi. Ta kakovost se razvijadosledno zaradi vključevanja učenca v izobraževalno in spoznavno dejavnost (idealno - v vsaki lekciji), ki jih izvaja sam, z uporabo svojega lastnega truda, nastopanje njihov sami, z minimalno zunanjo pomočjo, vsa dejanja v svojem logičnem zaporedju. Učna ura omogoča razmišljanje študenta o vseh 4 fazah dela in rezultatih, ki v celoti izpolnjujejo zahtevedejavnostni pristop v izobraževanju.

S predlagano zasnovo pouka in uporabo računalniške tehnologije zasledujemo naslednje razvojne cilje:

Intelektualna kultura;
Informacijska kultura;
Kulture samoorganizacije;
Raziskovalna kultura;

Dejavnosti učencev naj bodo organizirane tako, da bodo učencem zagotavljali notranje cilje in motive; Potreba po iskanju je najpomembnejša naloga usposabljanja in izobraževanja; za to je potrebno ustvariti situacije uspeha, situacije iskanja, ki vzbujajo pozitivna čustva.

Učni načrt

1. Dokaz izreka o včrtanem kotu (3 primeri); delo s kartami

Reševanje problemov z uporabo že pripravljenih risb.

2. Delo v parih.

3. Preučevanje izreka o produktu odsekov sekajočih se tetiv.

4. Reševanje nalog za utrjevanje izreka.

Med poukom.

Posodabljanje znanja študentov o obravnavani temi.

Trije učenci so povabljeni k tabli, da dokazujejo izreke, dva učenca prejmeta naloge, preostali učenci rešujejo naloge na že pripravljenih risbah. Dokaz izrekov posluša cel razred, potem ko učenci rešijo naloge na končanih risbah.

Kartica št. 1..

1. Vstavi manjkajoče besede »Kot imenujemo včrtan kot, če njegovo oglišče leži na …………….., stranice kota pa………………………………..«.

2. Poišči in zapiši pričrtane kote, prikazane na sliki:

3. Poiščite stopinjsko mero kota ABC, prikazanega na sliki, če je stopinjska mera loka ABC = 270.

Kartica št. 2.

1. Dopolni manjkajoče besede: »Včrtani kot se meri z ………….«.