Ako zistiť dĺžku segmentu, ak sú známe súradnice. Hľadanie súradníc stredu segmentu, príklady, riešenia. Metóda súradníc v priestore

V tomto článku budeme hovoriť o hľadaní súradníc stredu segmentu zo súradníc jeho koncov. Najprv uvedieme potrebné koncepty, potom získame vzorce na nájdenie súradníc stredu segmentu a na záver zvážime riešenia typických príkladov a problémov.

Navigácia na stránke.

Koncept stredu segmentu.

Aby sme mohli zaviesť koncept stredu segmentu, potrebujeme definície segmentu a jeho dĺžky.

Pojem úsečka sa na hodinách matematiky v piatom ročníku strednej školy uvádza takto: ak vezmeme dva ľubovoľné nezhodné body A a B, priložíme k nim pravítko a nakreslíme priamku z bodu A do bodu B (alebo z bodu B do A), potom dostaneme segment AB(alebo segment B A). Body A a B sa nazývajú konce segmentu. Mali by sme mať na pamäti, že segment AB a segment BA sú rovnaký segment.

Ak je segment AB nekonečne predĺžený v oboch smeroch od koncov, potom dostaneme priamka AB(alebo priamo VA). Úsek AB je časť priamky AB uzavretá medzi bodmi A a B. Úsečka AB je teda spojením bodov A, B a množiny všetkých bodov priamky ABumiestnenej medzi bodmi A a B. Ak vezmeme ľubovoľný bod M priamky AB, ktorý sa nachádza medzi bodmi A a B, potom hovoria, že bod M lži na segmente AB.

Dĺžka segmentu AB je vzdialenosť medzi bodmi A a B v danej mierke (segment jednotkovej dĺžky). Dĺžka segmentu AB bude označená ako .

Definícia.

Bodka C sa nazýva stred segmentu AB, ak leží na segmente AB a je v rovnakej vzdialenosti od jeho koncov.

To znamená, že ak je bod C stredom segmentu AB, potom leží na ňom a.

Ďalej bude našou úlohou nájsť súradnice stredu úsečky AB, ak sú súradnice bodov A a B uvedené na súradnicovej čiare alebo v pravouhlom súradnicovom systéme.

Súradnica stredu segmentu na súradnicovej čiare.

Dostaneme súradnicovú priamku Ox a na nej dva nezhodné body A a B, ktoré zodpovedajú reálnym číslam a . Nech bod C je stredom segmentu AB. Nájdite súradnicu bodu C.

Keďže bod C je stredom segmentu AB, potom platí rovnosť. V časti o vzdialenosti od bodu k bodu na súradnicovej priamke sme ukázali, že vzdialenosť medzi bodmi sa rovná modulu rozdielu ich súradníc, teda . Potom alebo . Z rovnosti nájdite súradnicu stredu segmentu AB na súradnicovej čiare: - rovná sa polovici súčtu súradníc koncov segmentu. Od druhej rovnosti dostaneme , čo je nemožné, pretože sme vzali nezhodné body A a B.

takze vzorec na nájdenie súradnice stredu úsečky AB s koncami a má tvar .

Súradnice stredu úsečky.

Predstavme si pravouhlý karteziánsky súradnicový systém Оxyz v rovine. Dajme nám dva body a vieme, že bod C je stredom úsečky AB. Nájdite súradnice a body C.

Konštrukčne rovný paralelné aj paralelné čiary , teda tým Tálesova veta z rovnosti segmentov AC a CB vyplýva rovnosť segmentov a , ako aj segmentov a . Preto je bod stredom segmentu a stredom segmentu. Potom na základe predchádzajúceho odseku tohto článku A .

Pomocou týchto vzorcov je možné vypočítať aj súradnice stredu segmentu AB v prípadoch, keď body A a B ležia na jednej zo súradnicových osí alebo na priamke kolmej na jednu zo súradnicových osí. Nechajme tieto prípady bez komentára a uveďme grafické ilustrácie.

Touto cestou, stred segmentu AB v rovine s koncami v bodoch a má súradnice .

Súradnice stredu segmentu v priestore.

Nech zavedieme pravouhlý súradnicový systém Oxyz v trojrozmernom priestore a zadáme dva body A . Získame vzorce na zistenie súradníc bodu C, ktorý je stredom úsečky AB.

Zoberme si všeobecný prípad.

Nech a sú projekcie bodov A, B a C na súradnicové osi Ox, Oy a Oz.

Podľa Thalesovej vety sú teda body stredmi segmentov resp. Potom (pozri prvý odsek tohto článku). Tak sme dostali vzorce na výpočet súradníc stredu segmentu zo súradníc jeho koncov v priestore.

Tieto vzorce možno použiť aj v prípadoch, keď body A a B ležia na jednej zo súradnicových osí alebo na priamke kolmej na jednu zo súradnicových osí, a tiež ak body A a B ležia v jednej zo súradnicových rovín alebo v a rovina rovnobežná s jednou zo súradnicových osí.roviny.

Súradnice stredu segmentu cez súradnice polomerových vektorov jeho koncov.

Vzorce na nájdenie súradníc stredu segmentu sa dajú ľahko získať pomocou algebry vektorov.

Nech je v rovine daný pravouhlý karteziánsky súradnicový systém Oxy a bod C je stredom úsečky AB s a .

Podľa geometrickej definície operácií s vektormi je rovnosť (bod C je priesečníkom uhlopriečok rovnobežníka postaveného na vektoroch, to znamená, že bod C je stredom uhlopriečky rovnobežníka). V súradniciach článku vektora v pravouhlom súradnicovom systéme sme zistili, že súradnice polomerového vektora bodu sa rovnajú súradniciam tohto bodu, preto . Potom, po vykonaní zodpovedajúcich operácií s vektormi v súradniciach, máme . Ako môžeme dospieť k záveru, že bod C má súradnice .

Úplne podobne súradnice stredu segmentu AB možno nájsť prostredníctvom súradníc jeho koncov v priestore. V tomto prípade, ak C je stredom segmentu AB a , potom máme .

Hľadanie súradníc stredu segmentu, príklady, riešenia.

V mnohých problémoch je potrebné použiť vzorce na nájdenie súradníc stredu segmentu. Uvažujme o riešeniach najcharakteristickejších príkladov.

Začnime príkladom, na ktorý stačí použiť vzorec.

Príklad.

Na rovine sú uvedené súradnice dvoch bodov . Nájdite súradnice stredu segmentu AB.

Riešenie.

Nech bod C je stredom segmentu AB. Jeho súradnice sa rovnajú polovičným súčtom zodpovedajúcich súradníc bodov A a B:

Stred segmentu AB má teda súradnice.

Ak sa dotknete listu poznámkového bloku dobre naostrenou ceruzkou, zostane stopa, ktorá dáva predstavu o pointe. (obr. 3).

Na hárku papiera si označíme dva body A a B. Tieto body môžu byť spojené rôznymi čiarami ( obr. 4). A ako spojiť body A a B najkratšou čiarou? Môžete to urobiť pomocou pravítka ( obr. 5). Výsledný riadok sa nazýva segment.

Bod a čiara - príklady geometrické tvary.

Body A a B sa nazývajú konce segmentu.

Existuje jeden segment, ktorého konce sú body A a B. Preto sa segment označuje zapísaním bodov, ktoré sú jeho koncami. Napríklad segment na obrázku 5 je označený jedným z dvoch spôsobov: AB alebo BA. Čítajte: „segment AB“ alebo „segment BA“.

Obrázok 6 zobrazuje tri segmenty. Dĺžka segmentu AB je 1 cm, v segmente MN je umiestnený presne trikrát a v segmente EF presne 4-krát. To si povieme dĺžka segmentu MN je 3 cm a dĺžka segmentu EF je 4 cm.

Je tiež zvykom hovoriť: "segment MN je 3 cm", "segment EF je 4 cm". Píšu: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Zmerali sme dĺžky segmentov MN a EF jeden segment, ktorého dĺžka je 1 cm.Na meranie segmentov si môžete vybrať iné jednotky dĺžky, napríklad: 1 mm, 1 dm, 1 km. Na obrázku 7 je dĺžka segmentu 17 mm. Meria sa pomocou jedného segmentu, ktorého dĺžka je 1 mm, pomocou pravítka s dielikmi. Pomocou pravítka môžete tiež postaviť (nakresliť) segment danej dĺžky (pozri obr. 7).

Vôbec, merať segment znamená spočítať, koľko jednotkových segmentov sa doň zmestí.

Dĺžka segmentu má nasledujúcu vlastnosť.

Ak je bod C vyznačený na segmente AB, dĺžka segmentu AB sa rovná súčtu dĺžok segmentov AC a CB.(obr. 8).

Píšu: AB = AC + CB.

Obrázok 9 zobrazuje dva segmenty AB a CD. Tieto segmenty sa pri prekrývaní zhodujú.

Dva segmenty sa nazývajú rovnaké, ak sa pri superponovaní zhodujú.

Segmenty AB a CD sú teda rovnaké. Píšu: AB = CD.

Rovnaké segmenty majú rovnakú dĺžku.

Z dvoch nerovnakých segmentov budeme považovať ten s dlhšou dĺžkou za väčší. Napríklad na obrázku 6 je segment EF väčší ako segment MN.

Dĺžka segmentu AB sa nazýva vzdialenosť medzi bodmi A a B.

Ak je niekoľko segmentov usporiadaných tak, ako je znázornené na obrázku 10, získa sa geometrický obrazec, ktorý sa nazýva prerušovaná čiara. Všimnite si, že všetky segmenty na obrázku 11 netvoria prerušovanú čiaru. Predpokladá sa, že segmenty tvoria prerušovanú čiaru, ak sa koniec prvého segmentu zhoduje s koncom druhého a druhý koniec druhého segmentu sa zhoduje s koncom tretieho atď.

Body A, B, C, D, E − vrcholy lomenej čiary ABCDE, body A a E − prerušovaná čiara končí, a segmenty AB, BC, CD, DE sú jej odkazy(pozri obr. 10).

Dĺžka prerušovanej čiary je súčet dĺžok všetkých jeho článkov.

Obrázok 12 zobrazuje dve prerušované čiary, ktorých konce sa zhodujú. Takéto prerušované čiary sú tzv zatvorené.

Príklad 1 . Segment BC je o 3 cm menší ako segment AB, ktorého dĺžka je 8 cm (obr. 13). Nájdite dĺžku segmentu AC.

Riešenie. Máme: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (cm).

Pomocou vlastnosti dĺžky úsečky môžeme písať AC = AB + BC. Preto AC = 8 + 5 = 13 (cm).

Odpoveď: 13 cm.

Príklad 2 . Je známe, že MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (obr. 14). Nájdite dĺžku segmentu NK.

Riešenie. Máme: MN = MP − NP.

Preto MN = 50 − 32 = 18 (cm).

Máme: NK = MK − MN.

Preto NK = 24 − 18 = 6 (cm).

Odpoveď: 6 cm.

Dĺžka, ako už bolo uvedené, je označená znamienkom modulu.

Ak sú zadané dva body roviny a, dĺžka segmentu sa môže vypočítať podľa vzorca

Ak sú zadané dva body v priestore a, dĺžka segmentu sa môže vypočítať podľa vzorca

Poznámka:Vzorce zostanú správne, ak sa vymenia zodpovedajúce súradnice: a , ale prvá možnosť je štandardnejšia

Príklad 3

Riešenie: podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

Pre prehľadnosť urobím nákres

Sekcia - nie je to vektor, a nemôžete ho nikam posunúť, samozrejme. Okrem toho, ak dokončíte výkres v mierke: 1 jednotka. \u003d 1 cm (dve tetradové bunky), potom je možné odpoveď skontrolovať pomocou bežného pravítka priamym meraním dĺžky segmentu.

Áno, riešenie je krátke, ale je v ňom niekoľko dôležitých bodov, ktoré by som rád objasnil:

Najprv v odpovedi nastavíme rozmer: „jednotky“. Podmienka nehovorí, ČO to je, milimetre, centimetre, metre alebo kilometre. Preto bude všeobecná formulácia matematicky kompetentným riešením: „jednotky“ - skrátene „jednotky“.

Po druhé, zopakujme si školský materiál, ktorý je užitočný nielen pre uvažovaný problém:

dávaj pozor na dôležitý technický trik – vyberanie multiplikátora spod koreňa. Ako výsledok výpočtov sme dostali výsledok a dobrý matematický štýl zahŕňa vybratie násobiteľa spod koreňa (ak je to možné). Proces vyzerá podrobnejšie takto: Samozrejme, že ponechanie odpovede vo formulári nebude chybou - ale určite je to chyba a vážny argument na hnidopišstvo zo strany učiteľa.

Tu sú ďalšie bežné prípady:

Často sa pod koreňom získa dostatočne veľký počet napr. Ako byť v takýchto prípadoch? Na kalkulačke skontrolujeme, či je číslo deliteľné 4:. Áno, bolo to úplne rozdelené, teda: . Alebo možno číslo možno opäť vydeliť 4? . Touto cestou: . Posledná číslica čísla je nepárna, takže delenie 4 tretíkrát zjavne nie je možné. Skús deliť deviatimi: . Ako výsledok:
Pripravený.

Výkon: ak pod odmocninou dostaneme úplne neextrahovateľné číslo, tak sa pokúsime vybrať faktor spod odmocniny - na kalkulačke skontrolujeme, či je číslo deliteľné: 4, 9, 16, 25, 36, 49, atď.

Pri riešení rôznych problémov sa často nachádzajú korene, vždy sa snažte vytiahnuť faktory spod koreňa, aby ste sa vyhli nižšiemu skóre a zbytočným problémom s finalizáciou riešení podľa poznámky učiteľa.

Zopakujme súčasne kvadratúru odmocnín a ostatných mocnín:

Pravidlá pre akcie so stupňami vo všeobecnej forme nájdete v školskej učebnici algebry, ale myslím si, že všetko alebo takmer všetko je jasné už z uvedených príkladov.

Úloha pre nezávislé riešenie so segmentom v priestore:

Príklad 4

Dané body a . Nájdite dĺžku segmentu.

Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Dĺžku segmentu možno určiť rôznymi spôsobmi. Aby ste zistili, ako zistiť dĺžku segmentu, stačí mať k dispozícii pravítko alebo poznať špeciálne vzorce na výpočet.

Dĺžka čiary s pravítkom

Aby sme to dosiahli, na segment postavený na rovine aplikujeme pravítko s milimetrovými dielikmi a začiatočný bod musí byť zarovnaný s nulou mierky pravítka. Potom by ste mali na tejto stupnici označiť polohu koncového bodu tohto segmentu. Výsledný počet celých dielikov stupnice bude dĺžka úsečky vyjadrená v cm a mm.

Rovinná súradnicová metóda

Ak sú známe súradnice segmentu (x1; y1) a (x2; y2), jeho dĺžka by sa mala vypočítať nasledovne. Od súradníc v rovine druhého bodu by sa mali odpočítať súradnice prvého bodu. Výsledkom by mali byť dve čísla. Každé z týchto čísel musí byť odmocnené a potom nájsť súčet týchto štvorcov. Z výsledného čísla by sa mala extrahovať druhá odmocnina, čo bude vzdialenosť medzi bodmi. Keďže tieto body sú koncami segmentu, táto hodnota bude jeho dĺžkou.

Zvážte príklad, ako nájsť dĺžku segmentu podľa súradníc. Existujú súradnice dvoch bodov (-1;2) a (4;7). Pri zistení rozdielu v súradniciach bodov získame tieto hodnoty: x = 5, y = 5. Výsledné čísla budú súradnicami segmentu. Potom každé číslo odmocníme a nájdeme súčet výsledkov, je to 50. Z tohto čísla vyberieme druhú odmocninu. Výsledok je: 5 koreňov z 2. Toto je dĺžka segmentu.

Metóda súradníc v priestore

Ak to chcete urobiť, zvážte, ako nájsť dĺžku vektora. Je to on, kto bude segmentom v euklidovskom priestore. Nachádza sa takmer rovnakým spôsobom ako dĺžka segmentu v rovine. Konštrukcia vektora prebieha v rôznych rovinách. Ako zistiť dĺžku vektora?

1. Nájdite súradnice vektora, preto od súradníc jeho koncového bodu musíte odpočítať súradnice jeho počiatočného bodu.
2. Potom musíte odmocniť každú súradnicu vektora.
3. Potom pridajte druhé mocniny súradníc.
4. Ak chcete zistiť dĺžku vektora, musíte vziať druhú odmocninu súčtu druhých mocnín súradníc.

Zoberme si algoritmus výpočtu pomocou príkladu. Je potrebné nájsť súradnice vektora AB. Body A a B majú tieto súradnice: A (1;6;3) a B (3;-1;7). Začiatok vektora leží v bode A, koniec sa nachádza v bode B. Na zistenie jeho súradníc je teda potrebné odpočítať súradnice bodu A od súradníc bodu B: (3 - 1; -1 - 6; 7 - 3) = (2; - 3) 7;4).

Teraz odmocníme každú súradnicu a pridáme ich: 4+49+16=69. Nakoniec extrahuje druhú odmocninu daného čísla. Je ťažké ho extrahovať, takže výsledok zapíšeme takto: dĺžka vektora sa rovná odmocnine z 69.

Ak pre vás nie je dôležité počítať dĺžku segmentov a vektorov sami, ale potrebujete len výsledok, môžete použiť online kalkulačku, napríklad túto.

Teraz, po preštudovaní týchto metód a zvážení prezentovaných príkladov, môžete ľahko nájsť dĺžku segmentu v akomkoľvek probléme.

segment nazývame časť priamky pozostávajúcej zo všetkých bodov tejto čiary, ktoré sa nachádzajú medzi týmito dvoma bodmi - nazývajú sa konce segmentu.

Zoberme si prvý príklad. Nech je určitý segment daný v súradnicovej rovine dvoma bodmi. V tomto prípade môžeme jeho dĺžku zistiť aplikáciou Pytagorovej vety.

Takže v súradnicovom systéme nakreslite segment s danými súradnicami jeho koncov(x1; y1) A (x2; y2) . na náprave X A Y vypustite kolmice z koncov segmentu. Označte červenou farbou segmenty, ktoré sú projekciami pôvodného segmentu na súradnicovej osi. Potom prenesieme projekčné segmenty rovnobežne s koncami segmentov. Dostaneme trojuholník (obdĺžnikový). Prepona tohto trojuholníka bude samotný segment AB a jeho nohy sú prenesené projekcie.

Vypočítajme dĺžku týchto projekcií. Takže na osoh Y dĺžka projekcie je y2-y1 a na osi X dĺžka projekcie je x2-x1 . Aplikujme Pytagorovu vetu: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . V tomto prípade |AB| je dĺžka segmentu.

Ak použijete túto schému na výpočet dĺžky segmentu, potom nemôžete segment ani vytvoriť. Teraz vypočítame, aká je dĺžka segmentu so súradnicami (1;3) A (2;5) . Aplikovaním Pytagorovej vety dostaneme: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . A to znamená, že dĺžka nášho segmentu sa rovná 5:1/2 .

Zvážte nasledujúcu metódu na zistenie dĺžky segmentu. Na to potrebujeme poznať súradnice dvoch bodov v nejakom systéme. Zvážte túto možnosť pomocou dvojrozmerného karteziánskeho súradnicového systému.

Takže v dvojrozmernom súradnicovom systéme sú uvedené súradnice extrémnych bodov segmentu. Ak cez tieto body nakreslíme priame čiary, musia byť kolmé na súradnicovú os, potom dostaneme pravouhlý trojuholník. Pôvodný segment bude prepona výsledného trojuholníka. Nohy trojuholníka tvoria segmenty, ich dĺžka sa rovná priemetu prepony na súradnicové osi. Na základe Pytagorovej vety sme dospeli k záveru: aby ste našli dĺžku daného segmentu, musíte nájsť dĺžky projekcií na dvoch súradnicových osiach.

Nájdite dĺžky projekcie (X a Y) pôvodný segment k súradnicovým osám. Vypočítame ich nájdením rozdielu v súradniciach bodov pozdĺž samostatnej osi: X=X2-X1, Y=Y2-Y1 .

Vypočítajte dĺžku segmentu ALE , na to nájdeme druhú odmocninu:

A = √(X²+Y²) = √((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Ak sa náš segment nachádza medzi bodmi, ktorých súradnice 2;4 A 4;1 , potom sa jeho dĺžka rovná √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .