Ako nájsť súradnice stredu vektora. Vektory pre figuríny. Akcie s vektormi. Vektorové súradnice. Najjednoduchšie problémy s vektormi. Určenie súradníc stredu segmentu prostredníctvom súradníc polomerových vektorov jeho koncov

Konečne sa mi dostala do rúk rozsiahla a dlho očakávaná téma analytická geometria. Najprv niečo o tejto časti vyššej matematiky... Určite ste si teraz spomenuli na kurz školskej geometrie s množstvom teorém, ich dôkazov, nákresov atď. Čo skrývať, pre značnú časť študentov nemilovaný a často nejasný predmet. Analytická geometria sa napodiv môže zdať zaujímavejšia a prístupnejšia. Čo znamená prídavné meno „analytický“? Okamžite sa mi vynoria dva vyrazené matematické obraty: „grafická metóda riešenia“ a „analytická metóda riešenia“. Grafická metóda, je samozrejme spojená s konštrukciou grafov, nákresov. Analytický rovnaký metóda zahŕňa riešenie problémov prevažne prostredníctvom algebraických operácií. V tomto ohľade je algoritmus na riešenie takmer všetkých problémov analytickej geometrie jednoduchý a transparentný, často stačí presne použiť potrebné vzorce - a odpoveď je pripravená! Nie, samozrejme, bez nákresov sa to vôbec nezaobíde, okrem toho sa ich pre lepšie pochopenie materiálu pokúsim priniesť nad rámec potreby.

Otvorený kurz hodín geometrie si nenárokuje na teoretickú úplnosť, je zameraný na riešenie praktických problémov. Do svojich prednášok zaradím len to, čo je z môjho pohľadu dôležité z praktického hľadiska. Ak potrebujete úplnejšiu referenciu o ktorejkoľvek podsekcii, odporúčam nasledujúcu celkom dostupnú literatúru:

1) Vec, ktorú, bez vtipu, pozná niekoľko generácií: Školská učebnica geometrie, autori - L.S. Atanasyan and Company. Tento vešiak do školskej šatne vydržal už 20 (!) reedícií, čo, samozrejme, nie je limit.

2) Geometria v 2 zväzkoch. Autori L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Toto je literatúra pre vyššie vzdelanie, ktorú budete potrebovať prvý zväzok. Zriedkavo sa vyskytujúce úlohy môžu vypadnúť z môjho zorného poľa a tutoriál bude neoceniteľnou pomocou.

Obe knihy sú na stiahnutie zadarmo online. Okrem toho môžete využiť môj archív s hotovými riešeniami, ktoré nájdete na stránke Stiahnite si príklady z vyššej matematiky.

Z nástrojov opäť ponúkam vlastný vývoj - softvérový balík na analytickú geometriu, čo výrazne zjednoduší život a ušetrí veľa času.

Predpokladá sa, že čitateľ pozná základné geometrické pojmy a útvary: bod, čiara, rovina, trojuholník, rovnobežník, kváder, kocka atď. Je vhodné zapamätať si niektoré vety, aspoň Pytagorovu vetu, ahoj opakovače)

A teraz postupne zvážime: koncept vektora, akcie s vektormi, vektorové súradnice. Ďalej odporúčam prečítať najdôležitejší článok Bodový súčin vektorov, ako aj Vektorový a zmiešaný súčin vektorov. Miestna úloha nebude zbytočná - Rozdelenie segmentu v tomto ohľade. Na základe vyššie uvedených informácií môžete rovnica priamky v rovine od najjednoduchšie príklady riešení, čo umožní naučiť sa riešiť problémy v geometrii. Nasledujúce články sú tiež užitočné: Rovnica roviny v priestore, Rovnice priamky v priestore, Základné úlohy na priamke a rovine, ostatné úseky analytickej geometrie. Prirodzene, štandardné úlohy sa budú brať do úvahy.

Koncept vektora. voľný vektor

Najprv si zopakujme školskú definíciu vektora. Vektor volal riadený segment, pre ktorý je uvedený jeho začiatok a koniec:

V tomto prípade je začiatok segmentu bod , koniec segmentu bod . Samotný vektor je označený . Smer je nevyhnutné, ak preusporiadate šípku na druhý koniec segmentu, získate vektor, a to už je úplne iný vektor. Je vhodné stotožniť pojem vektor s pohybom fyzického tela: musíte priznať, že vstup do dverí ústavu alebo odchod z dverí ústavu sú úplne odlišné veci.

Je vhodné uvažovať jednotlivé body roviny, priestoru ako tzv nulový vektor. Takýto vektor má rovnaký koniec a začiatok.

!!! Poznámka: Tu a nižšie môžete predpokladať, že vektory ležia v rovnakej rovine alebo môžete predpokladať, že sú umiestnené v priestore - podstata prezentovaného materiálu platí pre rovinu aj priestor.

Označenia: Mnohí hneď upozorňovali na palicu bez šípu v označení a povedali, že šíp dali aj hore! Presne tak, šípkou môžete napísať: , ale prípustné a záznam, ktorý použijem neskôr. prečo? Zrejme sa takýto zvyk vyvinul z praktických úvah, moje strieľačky na škole a univerzite sa ukázali byť príliš rôznorodé a strapaté. Vo vzdelávacej literatúre sa niekedy vôbec neobťažujú klinovým písmom, ale zvýraznia písmená tučným písmom: , čím naznačujú, že ide o vektor.

To bol štýl a teraz o spôsoboch písania vektorov:

1) Vektory je možné písať dvoma veľkými latinskými písmenami:
atď. Kým prvé písmeno nevyhnutne označuje začiatočný bod vektora a druhé písmeno označuje koncový bod vektora.

2) Vektory sa tiež píšu malými latinskými písmenami:
Najmä náš vektor môže byť pre stručnosť preznačený malým latinským písmenom .

Dĺžka alebo modul nenulový vektor sa nazýva dĺžka segmentu. Dĺžka nulového vektora je nula. Logicky.

Dĺžka vektora je označená znamienkom modulo: ,

Ako zistiť dĺžku vektora, sa naučíme (alebo zopakujeme, pre koho ako) o niečo neskôr.

To bola základná informácia o vektore, známa všetkým školákom. V analytickej geometrii tzv voľný vektor.

Ak je to celkom jednoduché - vektor je možné nakresliť z ľubovoľného bodu:

Takéto vektory sme zvykli nazývať rovné (definícia rovnakých vektorov bude uvedená nižšie), ale z čisto matematického hľadiska ide o ROVNAKÝ VEKTOR resp. voľný vektor. Prečo zadarmo? Pretože v priebehu riešenia problémov môžete „pripojiť“ jeden alebo druhý „školský“ vektor k AKÝKOĽVEK bodu roviny alebo priestoru, ktorý potrebujete. Toto je veľmi cool nehnuteľnosť! Predstavte si nasmerovaný segment ľubovoľnej dĺžky a smeru – možno ho „klonovať“ nekonečne veľakrát a v akomkoľvek bode priestoru v skutočnosti existuje VŠADE. Existuje také študentské príslovie: Každý lektor v f ** u vo vektore. Koniec koncov, nie je to len vtipný rým, všetko je takmer správne - môže sa tam pripojiť aj riadený segment. Ale neponáhľajte sa radovať, študenti sami trpia častejšie =)

takze voľný vektor- toto veľa identické smerové segmenty. Školská definícia vektora uvedená na začiatku odseku: „Smerovaný segment sa nazýva vektor ...“, znamená špecifické smerovaný segment prevzatý z danej množiny, ktorý je pripevnený k určitému bodu v rovine alebo priestore.

Treba poznamenať, že z hľadiska fyziky je koncept voľného vektora vo všeobecnosti nesprávny a záleží na bode aplikácie. Skutočne, priamy úder rovnakej sily do nosa alebo do čela stačí na to, aby som rozvinul môj hlúpy príklad, má rôzne následky. však nie zadarmo vektory sa nachadzaju aj v priebehu vyshmatu (tam nechoďte :)).

Akcie s vektormi. Kolinearita vektorov

V kurze školskej geometrie sa zvažuje množstvo akcií a pravidiel s vektormi: sčítanie podľa pravidla trojuholníka, sčítanie podľa pravidla rovnobežníka, pravidlo o rozdiele vektorov, násobenie vektora číslom, skalárny súčin vektorov atď. Ako základ zopakujeme dve pravidlá, ktoré sú obzvlášť dôležité pre riešenie problémov analytickej geometrie.

Pravidlo sčítania vektorov podľa pravidla trojuholníkov

Zvážte dva ľubovoľné nenulové vektory a:

Je potrebné nájsť súčet týchto vektorov. Vzhľadom k tomu, že všetky vektory sú považované za voľné, odkladáme vektor z koniec vektor:

Súčet vektorov je vektor . Pre lepšie pochopenie pravidla je vhodné dať mu fyzikálny význam: nech nejaké telo urobí cestu pozdĺž vektora a potom pozdĺž vektora . Potom súčet vektorov je vektorom výslednej dráhy, ktorá začína v mieste štartu a končí v mieste príchodu. Podobné pravidlo je formulované pre súčet ľubovoľného počtu vektorov. Ako sa hovorí, telo môže ísť svojou cestou silne cik-cak, alebo možno na autopilota - pozdĺž výsledného súčtového vektora.

Mimochodom, ak je vektor odložený z začať vector , potom dostaneme ekvivalent paralelogramové pravidlo pridávanie vektorov.

Najprv o kolinearite vektorov. Tieto dva vektory sa nazývajú kolineárne ak ležia na rovnakej čiare alebo na rovnobežných čiarach. Zhruba povedané, hovoríme o paralelných vektoroch. Ale vo vzťahu k nim sa vždy používa prívlastok „kolineárny“.

Predstavte si dva kolineárne vektory. Ak sú šípky týchto vektorov nasmerované rovnakým smerom, potom sa takéto vektory nazývajú spolusmerný. Ak šípky vyzerajú v rôznych smeroch, vektory budú opačne smerované.

Označenia: kolinearita vektorov sa zapisuje obvyklou ikonou rovnobežnosti: , pričom je možné detailovať: (vektory sú smerované spolu) alebo (vektory smerujú opačne).

práca nenulového vektora číslom je vektor, ktorého dĺžka sa rovná , a vektory a sú spolu zamerané na a opačne nasmerované na .

Pravidlo pre násobenie vektora číslom je ľahšie pochopiteľné s obrázkom:

Rozumieme podrobnejšie:

1) Smer. Ak je multiplikátor záporný, potom vektor mení smer k opaku.

2) Dĺžka. Ak je faktor obsiahnutý v alebo , potom dĺžka vektora klesá. Dĺžka vektora je teda dvakrát menšia ako dĺžka vektora . Ak je modulo multiplikátor väčší ako jedna, potom dĺžka vektora zvyšuje na čas.

3) Vezmite prosím na vedomie všetky vektory sú kolineárne, zatiaľ čo jeden vektor je vyjadrený prostredníctvom iného, ​​napríklad . Platí to aj naopak: ak jeden vektor môže byť vyjadrený v termínoch iného, ​​potom sú takéto vektory nevyhnutne kolineárne. Touto cestou: ak vynásobíme vektor číslom, dostaneme kolineárny(v porovnaní s originálom) vektor.

4) Vektory sú kosmerné. Vektory a sú tiež kosmerné. Ktorýkoľvek vektor z prvej skupiny je opačný ako ktorýkoľvek vektor z druhej skupiny.

Aké vektory sú rovnaké?

Dva vektory sú rovnaké, ak sú kosmerné a majú rovnakú dĺžku. Všimnite si, že spoločný smer znamená, že vektory sú kolineárne. Definícia bude nepresná (nadbytočná), ak poviete: "Dva vektory sú si rovné, ak sú kolineárne, spolu nasmerované a majú rovnakú dĺžku."

Z hľadiska konceptu voľného vektora sú rovnaké vektory tým istým vektorom, o ktorom sme už hovorili v predchádzajúcom odseku.

Vektorové súradnice v rovine a vo vesmíre

Prvým bodom je zvážiť vektory v rovine. Nakreslite kartézsky pravouhlý súradnicový systém a odložte ho od začiatku slobodný vektory a:

Vektory a ortogonálne. Ortogonálny = kolmý. Odporúčam pomaly si zvykať na pojmy: namiesto rovnobežnosti a kolmosti používame slová resp kolinearita A ortogonality.

Označenie: ortogonalita vektorov sa zapisuje obvyklým kolmým znamienkom, napríklad: .

Uvažované vektory sú tzv súradnicové vektory alebo orts. Tieto vektory sa tvoria základ na povrchu. Čo je základ, je myslím mnohým intuitívne jasné, podrobnejšie informácie nájdete v článku Lineárna (ne)závislosť vektorov. Vektorový základ.Jednoducho povedané, základ a pôvod súradníc definujú celý systém - to je akýsi základ, na ktorom vrie plnohodnotný a bohatý geometrický život.

Niekedy sa vybudovaný základ tzv ortonormálny základ roviny: "orto" - pretože súradnicové vektory sú ortogonálne, prídavné meno "normalizovaný" znamená jednotku, t.j. dĺžky základných vektorov sú rovné jednej.

Označenie: základ sa zvyčajne píše v zátvorke, vnútri ktorej v prísnom poradí základné vektory sú uvedené, napríklad: . Súradnicové vektory je zakázané vymeniť miesta.

akýkoľvek rovinný vektor jediná cesta vyjadrené ako:
, kde - čísla, ktoré sú tzv vektorové súradnice v tomto základe. Ale samotný výraz volal vektorový rozkladzáklad .

Podávaná večera:

Začnime prvým písmenom abecedy: . Výkres jasne ukazuje, že pri rozklade vektora z hľadiska základu sa používajú práve uvažované:
1) pravidlo násobenia vektora číslom: a ;
2) sčítanie vektorov podľa pravidla trojuholníka: .

Teraz mentálne odložte vektor z akéhokoľvek iného bodu v rovine. Je celkom zrejmé, že jeho korupcia ho „neúnavne prenasleduje“. Tu je, sloboda vektora - vektor "nesie všetko so sebou." Táto vlastnosť samozrejme platí pre akýkoľvek vektor. Sranda je, že samotné základné (voľné) vektory nemusia byť vyčlenené z počiatku, jeden môže byť nakreslený napríklad vľavo dole a druhý vpravo hore a na tomto sa nič nezmení! Je pravda, že to nemusíte robiť, pretože učiteľ tiež ukáže originalitu a na neočakávanom mieste vám nakreslí „prihrávku“.

Vektory , presne ilustrujú pravidlo pre násobenie vektora číslom, vektor je smerovaný spolu so základným vektorom , vektor smeruje opačne k základnému vektoru . Pre tieto vektory sa jedna zo súradníc rovná nule, možno ju presne zapísať takto:


A základné vektory, mimochodom, sú takéto: (v skutočnosti sú vyjadrené cez seba).

A nakoniec: , . Mimochodom, čo je to vektorové odčítanie a prečo som vám nepovedal o pravidle odčítania? Niekde v lineárnej algebre, už si nepamätám kde, som poznamenal, že odčítanie je špeciálny prípad sčítania. Takže expanzie vektorov "de" a "e" sú pokojne napísané ako súčet: . Podľa nákresu uvidíte, ako dobre v týchto situáciách funguje staré dobré sčítanie vektorov podľa pravidla trojuholníka.

Uvažovaný rozklad formy niekedy nazývaný rozklad vektorov v systéme ort(t. j. v sústave jednotkových vektorov). Toto však nie je jediný spôsob, ako napísať vektor, bežná je nasledujúca možnosť:

Alebo so znamienkom rovná sa:

Samotné vektory bázy sú zapísané takto: a

To znamená, že súradnice vektora sú uvedené v zátvorkách. V praktických úlohách sa využívajú všetky tri možnosti záznamu.

Pochyboval som, či mám hovoriť, ale aj tak poviem: vektorové súradnice nie je možné preusporiadať. Prísne na prvom mieste zapíšte si súradnicu, ktorá zodpovedá jednotkovému vektoru, striktne na druhom mieste zapíšte si súradnicu, ktorá zodpovedá jednotkovému vektoru. Vskutku, a sú dva rôzne vektory.

Zistili sme súradnice v lietadle. Teraz zvážte vektory v trojrozmernom priestore, všetko je tu takmer rovnaké! Pridá sa už len jedna súradnica. Je ťažké vykonávať trojrozmerné kresby, takže sa obmedzím na jeden vektor, ktorý pre jednoduchosť odložím od pôvodu:

akýkoľvek 3D priestorový vektor jediná cesta expandovať na ortonormálnom základe:
, kde sú súradnice vektora (čísla) v danom základe.

Príklad z obrázku: . Pozrime sa, ako fungujú pravidlá vektorovej akcie. Najprv vynásobte vektor číslom: (červená šípka), (zelená šípka) a (purpurová šípka). Po druhé, tu je príklad sčítania niekoľkých, v tomto prípade troch, vektorov: . Vektor súčtu začína v počiatočnom bode odchodu (začiatok vektora ) a končí v konečnom bode príchodu (koniec vektora ).

Všetky vektory trojrozmerného priestoru sú, samozrejme, tiež voľné, skúste mentálne odložiť vektor z akéhokoľvek iného bodu a pochopíte, že jeho expanzia „zostáva s ním“.

Podobne ako v prípade lietadla, okrem písania verzie so zátvorkami sú široko používané: buď .

Ak v expanzii chýba jeden (alebo dva) súradnicové vektory, namiesto toho sa umiestnia nuly. Príklady:
vektor (starostlivo ) – zapíšte si ;
vektor (starostlivo ) – zapíšte si ;
vektor (starostlivo ) – zapíšte si .

Bázové vektory sú zapísané takto:

Tu sú snáď všetky minimálne teoretické znalosti potrebné na riešenie problémov analytickej geometrie. Možno je tam príliš veľa pojmov a definícií, preto odporúčam figurínom, aby si tieto informácie znova prečítali a porozumeli im. A pre každého čitateľa bude užitočné z času na čas odkázať na základnú lekciu, aby si materiál lepšie osvojil. Kolinearita, ortogonalita, ortonormálna báza, vektorová dekompozícia – tieto a ďalšie pojmy budú často používané v nasledujúcom texte. Podotýkam, že materiály stránky nestačia na absolvovanie teoretického testu, kolokvia o geometrii, pretože všetky vety (okrem bez dôkazov) starostlivo šifrujem - na úkor vedeckého štýlu prezentácie, ale plus pre vaše pochopenie predmetu. Pre podrobné teoretické informácie vás žiadam, aby ste sa poklonili profesorovi Atanasyanovi.

Teraz prejdime k praktickej časti:

Najjednoduchšie problémy analytickej geometrie.
Akcie s vektormi v súradniciach

Úlohy, ktoré sa budú posudzovať, je veľmi žiaduce naučiť sa ich riešiť úplne automaticky a vzorce zapamätať si, naschvál si to ani nepamätajte, zapamätajú si to sami =) Je to veľmi dôležité, keďže ostatné úlohy analytickej geometrie sú založené na najjednoduchších elementárnych príkladoch a bude otravné tráviť čas navyše jedením pešiakov. Na košeli si nemusíte zapínať vrchné gombíky, veľa vecí poznáte zo školy.

Prezentácia materiálu bude mať paralelný priebeh – pre rovinu aj pre vesmír. Z toho dôvodu, že všetky vzorce ... uvidíte sami.

Ako nájsť vektor daný dvoma bodmi?

Ak sú zadané dva body roviny a, potom má vektor tieto súradnice:

Ak sú dané dva body v priestore a, potom má vektor tieto súradnice:

t.j. zo súradníc konca vektora musíte odčítať príslušné súradnice vektorový štart.

Úloha: Pre rovnaké body si zapíšte vzorce na nájdenie súradníc vektora. Vzorce na konci lekcie.

Príklad 1

Vzhľadom na dva body v rovine a . Nájdite vektorové súradnice

Riešenie: podľa zodpovedajúceho vzorca:

Alternatívne je možné použiť nasledujúci zápis:

Estéti sa rozhodnú takto:

Osobne som zvyknutý na prvú verziu platne.

odpoveď:

Podľa podmienky nebolo potrebné zostaviť výkres (čo je typické pre problémy analytickej geometrie), ale aby som vysvetlil niektoré body figurínom, nebudem príliš lenivý:

Treba pochopiť rozdiel medzi bodovými súradnicami a vektorovými súradnicami:

Súradnice bodu sú obvyklé súradnice v pravouhlom súradnicovom systéme. Myslím, že každý vie, ako zakresliť body na súradnicovej rovine, od 5. do 6. ročníka. Každý bod má v rovine presne určené miesto a nedá sa nikam posunúť.

Súradnice rovnakého vektora je jeho rozšírenie vzhľadom na základ , v tomto prípade . Akýkoľvek vektor je voľný, preto ho v prípade potreby alebo potreby môžeme ľahko odložiť z iného bodu roviny (premenovať ho napríklad cez , aby nedošlo k zámene). Zaujímavé je, že pre vektory nemôžete vôbec postaviť osi, pravouhlý súradnicový systém, potrebujete iba základňu, v tomto prípade ortonormálnu základňu roviny.

Záznamy súradníc bodov a vektorových súradníc sa zdajú byť podobné: , a zmysel súradníc absolútne rôzne a mali by ste si byť dobre vedomí tohto rozdielu. Tento rozdiel samozrejme platí aj pre priestor.

Dámy a páni, plníme si ruky:

Príklad 2

a) Dané body a . Nájdite vektory a .
b) Prideľujú sa body A . Nájdite vektory a .
c) Dané body a . Nájdite vektory a .
d) Prideľujú sa body. Nájdite vektory .

Možno dosť. Toto sú príklady na samostatné rozhodnutie, snažte sa ich nezanedbávať, oplatí sa to ;-). Výkresy sa nevyžadujú. Riešenia a odpovede na konci hodiny.

Čo je dôležité pri riešení úloh analytickej geometrie? Je dôležité byť VEĽMI OPATRNÝ, aby ste sa vyhli majstrovskej chybe „dva plus dva sa rovná nule“. Vopred sa ospravedlňujem ak som sa pomýlil =)

Ako zistiť dĺžku segmentu?

Dĺžka, ako už bolo uvedené, je označená znamienkom modulu.

Ak sú zadané dva body roviny a, dĺžka segmentu sa môže vypočítať podľa vzorca

Ak sú zadané dva body v priestore a, dĺžka segmentu sa môže vypočítať podľa vzorca

Poznámka: Vzorce zostanú správne, ak sa vymenia zodpovedajúce súradnice: a , ale prvá možnosť je štandardnejšia

Príklad 3

Riešenie: podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

Pre prehľadnosť urobím nákres

Sekcia - nie je to vektor, a nemôžete ho nikam posunúť, samozrejme. Okrem toho, ak dokončíte výkres v mierke: 1 jednotka. \u003d 1 cm (dve tetradové bunky), potom je možné odpoveď skontrolovať pomocou bežného pravítka priamym meraním dĺžky segmentu.

Áno, riešenie je krátke, ale je v ňom niekoľko dôležitých bodov, ktoré by som rád objasnil:

Najprv v odpovedi nastavíme rozmer: „jednotky“. Podmienka nehovorí, ČO to je, milimetre, centimetre, metre alebo kilometre. Preto bude všeobecná formulácia matematicky kompetentným riešením: „jednotky“ - skrátene „jednotky“.

Po druhé, zopakujme si školský materiál, ktorý je užitočný nielen pre uvažovaný problém:

dávaj pozor na dôležitý technický trik – vyberanie multiplikátora spod koreňa. Ako výsledok výpočtov sme dostali výsledok a dobrý matematický štýl zahŕňa vybratie násobiteľa spod koreňa (ak je to možné). Proces vyzerá podrobnejšie takto: . Samozrejme, že ponechanie odpovede vo formulári nebude chybou - ale určite je to chyba a vážny argument na hnidopišstvo zo strany učiteľa.

Tu sú ďalšie bežné prípady:

Často sa pod koreňom získa dostatočne veľký počet napr. Ako byť v takýchto prípadoch? Na kalkulačke skontrolujeme, či je číslo deliteľné 4:. Áno, úplne rozdeliť, takto: . Alebo možno číslo možno opäť vydeliť 4? . Touto cestou: . Posledná číslica čísla je nepárna, takže delenie 4 tretíkrát zjavne nie je možné. Skús deliť deviatimi: . Ako výsledok:
Pripravený.

Výkon: ak pod odmocninou dostaneme úplne neextrahovateľné číslo, tak sa pokúsime vytiahnuť faktor spod odmocniny - na kalkulačke skontrolujeme, či je číslo deliteľné: 4, 9, 16, 25, 36, 49, atď.

Pri riešení rôznych problémov sa často nachádzajú korene, vždy sa snažte vytiahnuť faktory spod koreňa, aby ste sa vyhli nižšiemu skóre a zbytočným problémom s finalizáciou riešení podľa poznámky učiteľa.

Zopakujme súčasne kvadratúru odmocnín a ostatných mocnín:

Pravidlá pre akcie so stupňami vo všeobecnej forme nájdete v školskej učebnici algebry, ale myslím si, že všetko alebo takmer všetko je jasné už z uvedených príkladov.

Úloha pre nezávislé riešenie so segmentom v priestore:

Príklad 4

Dané body a . Nájdite dĺžku segmentu.

Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Ako zistiť dĺžku vektora?

Ak je daný rovinný vektor, jeho dĺžka sa vypočíta podľa vzorca.

Ak je daný priestorový vektor, potom sa jeho dĺžka vypočíta podľa vzorca .

Tieto vzorce (rovnako ako vzorce pre dĺžku segmentu) sa dajú ľahko odvodiť pomocou notoricky známej Pytagorovej vety.

Vektor je veličina charakterizovaná svojou číselnou hodnotou a smerom. Inými slovami, vektor je riadený segment. pozícia vektor AB v priestore je daný súradnicami počiatočného bodu vektor A a koncové body vektor B. Zvážte, ako určiť súradnice stredu vektor.

Poučenie

Najprv si definujme zápis začiatku a konca vektor. Ak je vektor napísaný ako AB, potom bod A je začiatok vektor, a bod B je koniec. Naopak, pre vektor BA bod B je začiatok vektor, a bod A je koniec. Dostaneme vektor AB so súradnicami počiatku vektor A = (a1, a2, a3) a koniec vektor B = (bl, b2, b3). Potom súradnice vektor AB bude nasledovné: AB = (b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3), t.j. od koncovej súradnice vektor musíte odčítať príslušnú počiatočnú súradnicu vektor. Dĺžka vektor AB (alebo jeho modul) sa vypočíta ako druhá odmocnina súčtu druhých mocnín jeho súradníc: |AB| = ?((b1 – a1)^2 + (b2 – a2)^2 + (b3 – a3)^2).

Nájdite súradnice bodu, ktorý je stredom vektor. Označte ho písmenom O = (o1, o2, o3). Nájdite súradnice stredu vektor rovnako ako súradnice stredu pravidelného segmentu podľa nasledujúcich vzorcov: o1 = (a1 + b1)/2, o2 = (a2 + b2)/2 , o3 = (a3 + b3)/2. Poďme nájsť súradnice vektor AO: AO = (o1 - a1, o2 - a2, o3 - a3) = ((b1 - a1)/2, (b2 - a2)/2, (b3 - a3)/2).

Zvážte príklad. Nech je daný vektor AB so súradnicami počiatku vektor A = (1, 3, 5) a koniec vektor B = (3, 5, 7). Potom súradnice vektor AB možno zapísať ako AB = (3 - 1, 5 - 3, 7 - 5) = (2, 2, 2). Poďme nájsť modul vektor AB: |AB| = a(4 + 4 + 4) = 2 * ?3. Hodnota zadanej dĺžky vektor nám pomôže ďalej kontrolovať správnosť súradníc stredu vektor. Ďalej nájdeme súradnice bodu O: O = ((1 + 3)/2, (3 + 5)/2, (5 + 7)/2) = (2, 4, 6). Potom súradnice vektor AO sa vypočíta ako AO = (2 - 1, 4 - 3, 6 - 5) = (1, 1, 1).

Urobme kontrolu. Dĺžka vektor AO = a(1 + 1 + 1) = a3. Pripomeňme, že dĺžka originálu vektor sa rovná 2 * ?3, t.j. polovicu vektor je skutočne rovná polovici dĺžky originálu vektor. Teraz vypočítajme súradnice vektor OB: OB = (3 - 2, 5 - 4, 7 - 6) = (1, 1, 1). Nájdite súčet vektorov AO a OB: AO + OB = (1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (2, 2, 2) = AB. Preto súradnice stred vektor boli nájdené správne.

Užitočné rady

Po výpočte súradníc stredu vektora určite vykonajte aspoň tú najjednoduchšiu kontrolu – vypočítajte dĺžku vektora a porovnajte ju s dĺžkou tohto vektora.

V tomto článku začneme vy a ja diskusiu o jednej „kúzelnej palici“, ktorá vám umožní zredukovať mnohé problémy v geometrii na jednoduchú aritmetiku. Tento „prútik“ vám môže výrazne uľahčiť život, najmä keď sa cítite neisto pri stavaní priestorových figúrok, rezov atď. To všetko si vyžaduje určitú predstavivosť a praktické zručnosti. Metóda, ktorú tu začneme uvažovať, vám umožní takmer úplne abstrahovať od všetkých druhov geometrických konštrukcií a úvah. Metóda sa volá "súradnicová metóda". V tomto článku sa budeme zaoberať nasledujúcimi otázkami:

1. Súradnicová rovina
2. Body a vektory v rovine
3. Vytvorenie vektora z dvoch bodov
4. Dĺžka vektora (vzdialenosť medzi dvoma bodmi).
5. Stredové súradnice
6. Bodový súčin vektorov
7. Uhol medzi dvoma vektormi

Myslím, že ste už uhádli, prečo sa tak nazýva súradnicová metóda? Je pravda, že dostal taký názov, pretože nepracuje s geometrickými objektmi, ale s ich číselnými charakteristikami (súradnicami). A samotná transformácia, ktorá umožňuje prejsť od geometrie k algebre, spočíva v zavedení súradnicového systému. Ak bol pôvodný obrazec plochý, súradnice sú dvojrozmerné a ak je obrazec trojrozmerný, súradnice sú trojrozmerné. V tomto článku sa budeme zaoberať iba dvojrozmerným prípadom. A hlavným účelom článku je naučiť vás používať niektoré základné techniky súradnicovej metódy (niekedy sa ukážu ako užitočné pri riešení úloh z planimetrie v časti B Jednotnej štátnej skúšky). Nasledujúce dve časti na túto tému sú venované diskusii o metódach riešenia úloh C2 (problém stereometrie).

Kde by bolo logické začať diskutovať o metóde súradníc? Pravdepodobne s konceptom súradnicového systému. Spomeňte si, keď ste ju prvýkrát stretli. Zdá sa mi, že v 7. ročníku, keď ste sa učili o existencii lineárnej funkcie napr. Dovoľte mi pripomenúť, že ste to postavili bod po bode. Pamätáš si? Vybrali ste si ľubovoľné číslo, dosadili ste ho do vzorca a vypočítali ste týmto spôsobom. Napríklad, ak, potom, ak, potom atď. Čo ste dosiahli ako výsledok? A dostali ste body so súradnicami: a. Potom ste si nakreslili „kríž“ (súradnicový systém), zvolili ste na ňom mierku (koľko buniek budete mať ako jeden segment) a označili ste na ňom body, ktoré ste dostali, ktoré ste potom spojili rovnou čiarou, výsledná čiara je graf funkcie.

Je tu pár vecí, ktoré vám treba vysvetliť trochu podrobnejšie:

1. Vyberiete si jeden segment z dôvodu pohodlia, aby všetko pekne a kompaktne sedelo na obrázku

2. Predpokladá sa, že os ide zľava doprava a os ide zdola nahor

3. Pretínajú sa v pravom uhle a ich priesečník sa nazýva počiatok. Označuje sa písmenom.

4. V zázname súradnice bodu je napríklad vľavo v zátvorke súradnica bodu pozdĺž osi a vpravo pozdĺž osi. Najmä to jednoducho znamená, že bod

5. Ak chcete nastaviť ľubovoľný bod na súradnicovej osi, musíte zadať jeho súradnice (2 čísla)

6. Pre akýkoľvek bod ležiaci na osi,

7. Pre akýkoľvek bod ležiaci na osi,

8. Os sa nazýva os x

9. Os sa nazýva os y

Teraz urobme s vami ďalší krok: označte dva body. Spojte tieto dva body čiarou. A položme šípku, ako keby sme kreslili segment z bodu do bodu: to znamená, že náš segment nasmerujeme!

Pamätáte si, aký je iný názov pre riadený segment? Presne tak, volá sa to vektor!

Ak teda spojíme bodku s bodkou, a začiatok bude bod A a koniec bude bod B, potom dostaneme vektor. Túto stavbu ste robili aj v 8. ročníku, pamätáte?

Ukazuje sa, že vektory, podobne ako body, môžu byť označené dvoma číslami: tieto čísla sa nazývajú súradnice vektora. Otázka: myslíte si, že na zistenie jeho súradníc nám stačí poznať súradnice začiatku a konca vektora? Ukazuje sa, že áno! A je to veľmi jednoduché:

Keďže vo vektore je bod začiatkom a koncom, vektor má nasledujúce súradnice:

Napríklad ak, potom súradnice vektora

Teraz urobme opak, nájdime súradnice vektora. Čo k tomu musíme zmeniť? Áno, musíte vymeniť začiatok a koniec: teraz bude začiatok vektora v bode a koniec v bode. potom:

Pozrite sa pozorne, aký je rozdiel medzi vektormi a? Ich jediným rozdielom sú znaky v súradniciach. Sú opačné. Táto skutočnosť je napísaná takto:

Niekedy, ak nie je konkrétne uvedené, ktorý bod je začiatok vektora a ktorý koniec, potom sa vektory neoznačujú dvoma veľkými písmenami, ale jedným malým písmenom, napríklad: atď.

Teraz trochu prax a nájdite súradnice nasledujúcich vektorov:

Vyšetrenie:

Teraz vyriešte problém trochu zložitejšie:

Vektorový torus so šrotom on-cha v bode má co-or-di-on-you. Nájdite-di-te abs-cis-su body.

To isté je celkom prozaické: Nech sú súradnice bodu. Potom

Systém som zostavil tak, že som určil, aké sú súradnice vektora. Potom má bod súradnice. Nás zaujíma abscisa. Potom

odpoveď:

Čo ešte môžete robiť s vektormi? Áno, takmer všetko je rovnaké ako pri bežných číslach (okrem toho, že nemôžete deliť, ale môžete násobiť dvoma spôsobmi, o jednom z nich tu budeme diskutovať o niečo neskôr)

1. Vektory môžu byť navzájom stohované
2. Vektory je možné od seba odčítať
3. Vektory je možné násobiť (alebo deliť) ľubovoľným nenulovým číslom
4. Vektory sa môžu navzájom násobiť

Všetky tieto operácie majú celkom vizuálne geometrické znázornenie. Napríklad pravidlo trojuholníka (alebo rovnobežníka) na sčítanie a odčítanie:

Vektor sa pri vynásobení alebo delení číslom natiahne, zmenší alebo zmení smer:

Tu nás však bude zaujímať otázka, čo sa stane so súradnicami.

1. Pri sčítaní (odčítaní) dvoch vektorov pripočítavame (odčítame) ich súradnice prvok po prvku. T.j.:

2. Pri násobení (delení) vektora číslom sa všetky jeho súradnice vynásobia (delia) týmto číslom:

Napríklad:

· Nájsť-di-súčet ko-alebo-di-nat storočia-k-ra.

Najprv nájdime súradnice každého z vektorov. Obe majú rovnaký pôvod - východiskový bod. Ich konce sú rôzne. Potom, . Teraz vypočítame súradnice vektora Potom sa súčet súradníc výsledného vektora rovná.

odpoveď:

Teraz vyriešte nasledujúci problém sami:

· Nájdite súčet súradníc vektora

Kontrolujeme:

Uvažujme teraz o nasledujúcom probléme: v rovine súradníc máme dva body. Ako zistiť vzdialenosť medzi nimi? Nech je prvý bod a druhý. Označme vzdialenosť medzi nimi ako . Pre prehľadnosť urobme nasledujúci nákres:

Čo som urobil? Najprv som spojil body a tiež som nakreslil z bodu čiaru rovnobežnú s osou a z bodu som nakreslil čiaru rovnobežnú s osou. Pretínali sa v určitom bode a vytvorili nádhernú postavu? Prečo je úžasná? Áno, vy a ja vieme o pravouhlom trojuholníku takmer všetko. No určite Pytagorova veta. Požadovaný segment je prepona tohto trojuholníka a segmenty sú nohy. Aké sú súradnice bodu? Áno, dajú sa ľahko nájsť z obrázku: Keďže segmenty sú rovnobežné s osami a ich dĺžky sa dajú ľahko nájsť: ak označíme dĺžky segmentov, resp.

Teraz použijeme Pytagorovu vetu. Poznáme dĺžky nôh, nájdeme preponu:

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi je teda súčtom druhej mocniny rozdielov od súradníc. Alebo - vzdialenosť medzi dvoma bodmi je dĺžka segmentu, ktorý ich spája. Je ľahké vidieť, že vzdialenosť medzi bodmi nezávisí od smeru. potom:

Z toho vyvodíme tri závery:

Poďme si trochu precvičiť výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi:

Napríklad, ak, potom vzdialenosť medzi a je

Alebo poďme inak: nájdite súradnice vektora

A nájdite dĺžku vektora:

Ako vidíte, je to to isté!

Teraz si trochu zacvičte sami:

Úloha: nájdite vzdialenosť medzi danými bodmi:

Kontrolujeme:

Tu je niekoľko ďalších problémov pre rovnaký vzorec, aj keď znejú trochu inak:

1. Nájdite-di-te druhú mocninu dĺžky očného viečka k-ra.

2. Nai-di-te štvorec dĺžky očného viečka-to-ra

Hádam ich ľahko zvládnete? Kontrolujeme:

1. A to je pre pozornosť) Súradnice vektorov sme už našli predtým: . Potom má vektor súradnice. Štvorec jeho dĺžky bude:

2. Nájdite súradnice vektora

Potom je štvorec jeho dĺžky

Nič zložité, však? Jednoduchá aritmetika, nič viac.

Nasledujúce hádanky sa nedajú jednoznačne zaradiť, sú skôr pre všeobecnú erudíciu a schopnosť kresliť jednoduché obrázky.

1. Nájdite-di-ty sínus uhla na-klo-na-od-rezu, spojte-jeden-n-tý bod s osou x.

A

Ako to tu urobíme? Musíte nájsť sínus uhla medzi a osou. A kde môžeme hľadať sínus? Presne tak, v pravouhlom trojuholníku. Čo teda musíme urobiť? Postavte tento trojuholník!

Vzhľadom k tomu, súradnice bodu a, potom segment je rovnaký, a segment. Musíme nájsť sínus uhla. Dovoľte mi pripomenúť, že sínus je pomer opačnej nohy k prepone

Čo nám ostáva robiť? Nájdite preponu. Môžete to urobiť dvoma spôsobmi: pomocou Pytagorovej vety (nohy sú známe!) alebo pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi (v skutočnosti rovnako ako prvá metóda!). Pôjdem druhou cestou:

odpoveď:

Ďalšia úloha sa vám bude zdať ešte jednoduchšia. Ona - na súradniciach bodu.

Úloha 2. Z bodu sa pero-pero-di-ku-lar spustí na abs-ciss os. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Urobme si kresbu:

Základňa kolmice je bod, v ktorom pretína os x (os) pre mňa je to bod. Obrázok ukazuje, že má súradnice: . Nás zaujíma abscisa – teda zložka „X“. Je rovnocenná.

odpoveď: .

Úloha 3. Za podmienok predchádzajúcej úlohy nájdite súčet vzdialeností od bodu k súradnicovým osám.

Úloha je vo všeobecnosti elementárna, ak viete, aká je vzdialenosť od bodu k osám. Vieš? Dúfam, ale stále vám pripomínam:

Takže na svojom nákrese umiestnenom o niečo vyššie som už jednu takúto kolmicu znázornil? Aká je to os? do osi. A aká je potom jeho dĺžka? Je rovnocenná. Teraz sami nakreslite kolmicu na os a nájdite jej dĺžku. Bude to rovnaké, však? Potom sa ich súčet rovná.

odpoveď: .

Úloha 4. V podmienkach úlohy 2 nájdite súradnicu bodu symetrickú k bodu okolo osi x.

Myslím, že intuitívne chápete, čo je symetria? Má ho veľmi veľa predmetov: veľa budov, stolov, rovín, veľa geometrických tvarov: guľa, valec, štvorec, kosoštvorec atď. Zhruba povedané, symetriu možno chápať takto: postava sa skladá z dvoch (alebo viacerých) rovnaké polovice. Táto symetria sa nazýva axiálna. Čo je potom os? Toto je presne čiara, pozdĺž ktorej sa dá postava relatívne vzaté „rozrezať“ na rovnaké polovice (na tomto obrázku je os symetrie rovná):

Teraz sa vráťme k našej úlohe. Vieme, že hľadáme bod, ktorý je symetrický okolo osi. Potom je táto os osou symetrie. Musíme teda označiť bod tak, aby os rozrezala segment na dve rovnaké časti. Skúste si takýto bod sami označiť. Teraz porovnajte s mojím riešením:

Urobili ste to isté? Dobre! V nájdenom bode nás zaujíma ordináta. Je rovnocenná

odpoveď:

Teraz mi povedzte, po chvíli premýšľania, aká bude úsečka bodu súmerného k bodu A podľa osi y? aká je vaša odpoveď? Správna odpoveď: .

Vo všeobecnosti môže byť pravidlo napísané takto:

Bod symetrický k bodu okolo osi x má súradnice:

Bod symetrický k bodu okolo osi y má súradnice:

No teraz je to naozaj strašné. úloha: Nájdite súradnice bodu, ktorý je symetrický k bodu vzhľadom na počiatok. Najprv premýšľajte o sebe a potom sa pozrite na moju kresbu!

odpoveď:

Teraz Problém s rovnobežníkom:

Úloha 5: Body sú ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Nájdite-dee-te alebo-dee-on-tu body.

Tento problém môžete vyriešiť dvoma spôsobmi: logikou a súradnicovou metódou. Najprv použijem súradnicovú metódu a potom vám poviem, ako sa môžete rozhodnúť inak.

Je celkom jasné, že úsečka bodu sa rovná. (leží na kolmici vedenej z bodu na os x). Musíme nájsť súradnicu. Využime skutočnosť, že náš obrazec je rovnobežník, čo znamená, že. Nájdite dĺžku segmentu pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi:

Znížime kolmicu spájajúcu bod s osou. Priesečník je označený písmenom.

Dĺžka segmentu je rovnaká. (nájdite si problém sami, kde sme diskutovali o tomto momente), potom zistíme dĺžku segmentu pomocou Pytagorovej vety:

Dĺžka segmentu je presne rovnaká ako jeho ordináta.

odpoveď: .

Iné riešenie (poskytnem iba obrázok, ktorý to ilustruje)

Priebeh riešenia:

1. Stráviť

2. Nájdite súradnice a dĺžku bodu

3. Dokážte to.

Ešte jeden problém s dĺžkou rezu:

Body sú-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Nájdite dĺžku jeho stredovej čiary, par-ral-lel-noy.

Pamätáte si, čo je stredná čiara trojuholníka? Potom je pre vás táto úloha základná. Ak si nepamätáte, pripomeniem vám: stredná čiara trojuholníka je čiara, ktorá spája stredy opačných strán. Je rovnobežná so základňou a rovná sa jej polovici.

Základom je segment. Jeho dĺžku sme museli hľadať skôr, je rovnaká. Potom je dĺžka stredovej čiary polovičná a rovnaká.

odpoveď: .

Komentár: Tento problém sa dá vyriešiť aj iným spôsobom, ktorému sa budeme venovať o niečo neskôr.

Zatiaľ je tu pre vás niekoľko úloh, precvičte si ich, sú celkom jednoduché, ale pomôžu vám „dostať sa“ pomocou súradnicovej metódy!

1. Body sa objavia-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Nájdite dĺžku jeho stredovej čiary.

2. Body a yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Nájdite-dee-te alebo-dee-on-tu body.

3. Nájdite dĺžku z rezu, pripojte druhý bod a

4. Nájdite-di-te oblasť pre-the-red-shen-noy fi-gu-ry na rovine ko-or-di-nat-noy.

5. Kruh so stredom na-cha-le ko-or-di-nat prechádza bodom. Nájdite-de-te jej ra-di-fúzy.

6. Nai-di-te ra-di-us kruh-no-sti, popíš-san-noy blízko pravého-uhla-no-ka, vrcholy-shi-ny niečoho-ro-go majú ko-alebo - di-na-si spolu-od-odpovede-ale

Riešenia:

1. Je známe, že stredová čiara lichobežníka sa rovná polovici súčtu jeho základov. Základ je rovnaký, ale základ. Potom

odpoveď:

2. Najjednoduchší spôsob, ako vyriešiť tento problém, je všimnúť si to (pravidlo rovnobežnosti). Vypočítajte súradnice vektorov a nie je ťažké: . Pri pridávaní vektorov sa súradnice pridávajú. Potom má súradnice. Bod má rovnaké súradnice, keďže začiatok vektora je bod so súradnicami. Zaujíma nás ordinát. Je rovnocenná.

odpoveď:

3. Okamžite konáme podľa vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi:

odpoveď:

4. Pozrite sa na obrázok a povedzte, medzi ktoré dve čísla je „vtlačená“ vytieňovaná oblasť? Je vložený medzi dva štvorce. Potom sa plocha požadovaného čísla rovná ploche veľkého štvorca mínus plocha malého. Strana malého štvorca je segment spájajúci body a jeho dĺžka je

Potom je plocha malého námestia

To isté robíme s veľkým štvorcom: jeho strana je segment spájajúci body a jeho dĺžka sa rovná

Potom je plocha veľkého námestia

Oblasť požadovaného čísla sa zistí podľa vzorca:

odpoveď:

5. Ak má kruh počiatok ako stred a prechádza bodom, potom sa jeho polomer bude presne rovnať dĺžke segmentu (nakreslite a pochopíte, prečo je to zrejmé). Nájdite dĺžku tohto segmentu:

odpoveď:

6. Je známe, že polomer kružnice opísanej obdĺžniku sa rovná polovici jeho uhlopriečky. Nájdite dĺžku ktorejkoľvek z dvoch uhlopriečok (napokon, v obdĺžniku sú rovnaké!)

odpoveď:

No zvládli ste všetko? Nebolo také ťažké na to prísť, však? Platí tu len jedno pravidlo – vedieť si urobiť vizuálny obraz a jednoducho z neho „prečítať“ všetky údaje.

Zostáva nám veľmi málo. Sú tu doslova dva ďalšie body, o ktorých by som chcel diskutovať.

Pokúsme sa vyriešiť tento jednoduchý problém. Nechajte dva body a budú dané. Nájdite súradnice stredu segmentu. Riešenie tohto problému je nasledovné: nech je bod požadovaný stred, potom má súradnice:

T.j.: súradnice stredu segmentu = aritmetický priemer zodpovedajúcich súradníc koncov segmentu.

Toto pravidlo je veľmi jednoduché a študentom zvyčajne nespôsobuje ťažkosti. Pozrime sa, v akých problémoch a ako sa používa:

1. Nájdite-di-te alebo-di-na-tu se-re-di-us z-cut, connect-nya-yu-th-teho bodu a

2. Body sú yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Nájdite-di-te alebo-di-na-tu body re-re-se-che-niya jeho dia-go-on-lei.

3. Nájdite-di-te abs-cis-su stredu kruhu, popíšte-san-noy blízko obdĺžnika-no-ka, vrcholy-shi-máme niečo-ro-go co-alebo-di- na-ty spolu-od-vet-stvenno-ale.

Riešenia:

1. Prvá úloha je len klasická. Okamžite konáme určením stredu segmentu. Má súradnice. Súradnica je rovnaká.

odpoveď:

2. Ľahko je vidieť, že daný štvoruholník je rovnobežník (aj kosoštvorec!). Môžete to dokázať sami vypočítaním dĺžok strán a ich vzájomným porovnaním. Čo viem o rovnobežníku? Jeho uhlopriečky sú rozpolené priesečníkom! Aha! Aký je teda priesečník uhlopriečok? Toto je stred ktorejkoľvek z uhlopriečok! Vyberiem si najmä uhlopriečku. Potom má bod súradnice a ordináta bodu je rovná.

odpoveď:

3. Aký je stred kružnice opísanej obdĺžniku? Zhoduje sa s priesečníkom jej uhlopriečok. Čo viete o uhlopriečkach obdĺžnika? Sú rovnaké a priesečník je rozdelený na polovicu. Úloha bola zredukovaná na predchádzajúcu. Vezmite si napríklad uhlopriečku. Potom, ak je stred opísanej kružnice, potom je stred. Hľadám súradnice: Úsečka sa rovná.

odpoveď:

Teraz si trochu zacvičte sami, na každý problém uvediem len odpovede, aby ste sa mohli sami skontrolovať.

1. Nai-di-te ra-di-us kruh-no-sti, opis-san-noy blízko trojuholníka-no-ka, vrcholy niekoho-ro-go majú ko-or-di -no misters

2. Nájdite-di-te alebo-di-na-tu stred kruhu, opíšte san-noy blízko trojuholníka-no-ka, vrcholy-shi-máme niečo-ro-go súradnice

3. Aký druh ra-di-y-sa by mal byť kruh so stredom v bode, aby sa dotýkal osi abs-ciss?

4. Nájdite-di-te alebo-di-na-tom bode re-re-se-che-ing osi a od-rezaného, ​​spojte-nya-yu-tého bodu a

odpovede:

Vyšlo všetko? Naozaj v to dúfam! Teraz - posledné stlačenie. Teraz buďte obzvlášť opatrní. Materiál, ktorý teraz vysvetlím, nie je relevantný len pre jednoduché problémy súradnicovej metódy v časti B, ale je tiež všadeprítomný v úlohe C2.

Ktorý z mojich sľubov som ešte nedodržal? Pamätáte si, aké operácie s vektormi som sľúbil zaviesť a ktoré som nakoniec zaviedol? Som si istý, že som na nič nezabudol? Zabudol! Zabudol som vysvetliť, čo znamená násobenie vektorov.

Existujú dva spôsoby, ako vynásobiť vektor vektorom. V závislosti od zvolenej metódy získame objekty rôzneho charakteru:

Vektorový produkt je dosť zložitý. Ako na to a prečo je to potrebné, si s vami rozoberieme v ďalšom článku. A v tomto sa zameriame na skalárny súčin.

Už existujú dva spôsoby, ktoré nám umožňujú vypočítať to:

Ako ste uhádli, výsledok by mal byť rovnaký! Pozrime sa teda najprv na prvý spôsob:

Bodka produktu cez súradnice

Nájdite: - bežný zápis pre bodový súčin

Vzorec na výpočet je nasledujúci:

To znamená, že bodový súčin = súčet súčinov súradníc vektorov!

Príklad:

Nájsť-dee-te

Riešenie:

Nájdite súradnice každého z vektorov:

Skalárny súčin vypočítame podľa vzorca:

odpoveď:

Vidíte, absolútne nič zložité!

No a teraz to skúste sami:

Nájsť-di-te skalárne-noe pro-od-ve-de-nie storočia-do priekopy a

Zvládli ste to? Možno si všimol malý trik? Skontrolujme to:

Vektorové súradnice, ako v predchádzajúcej úlohe! Odpoveď: .

Okrem súradnice existuje ďalší spôsob, ako vypočítať skalárny súčin, a to prostredníctvom dĺžok vektorov a kosínusu uhla medzi nimi:

Označuje uhol medzi vektormi a.

To znamená, že skalárny súčin sa rovná súčinu dĺžok vektorov a kosínusu uhla medzi nimi.

Prečo potrebujeme tento druhý vzorec, ak máme prvý, ktorý je oveľa jednoduchší, aspoň v ňom nie sú žiadne kosínusy. A potrebujeme to, aby sme z prvého a druhého vzorca odvodili, ako nájsť uhol medzi vektormi!

Potom si zapamätajte vzorec pre dĺžku vektora!

Potom, ak tieto údaje zapojím do vzorca bodového produktu, dostanem:

Ale inak:

Takže čo máme? Teraz máme vzorec na výpočet uhla medzi dvoma vektormi! Niekedy sa pre stručnosť píše aj takto:

To znamená, že algoritmus na výpočet uhla medzi vektormi je nasledujúci:

1. Skalárny súčin vypočítame cez súradnice
2. Nájdite dĺžky vektorov a vynásobte ich
3. Výsledok z bodu 1 vydeľte výsledkom z bodu 2

Precvičme si na príkladoch:

1. Nájdite uhol medzi viečkami-k-ra-mi a. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.

2. Za podmienok predchádzajúcej úlohy nájdite kosínus medzi vektormi

Poďme na to: Pomôžem vám vyriešiť prvý problém a druhý skúste vyriešiť sami! súhlasíte? Potom začnime!

1. Tieto vektory sú naši starí priatelia. Už sme zvažovali ich skalárny súčin a bol rovný. Ich súradnice sú: , . Potom zistíme ich dĺžky:

Potom hľadáme kosínus medzi vektormi:

Aký je kosínus uhla? Toto je roh.

odpoveď:

Teraz si vyriešte druhý problém sami a potom porovnajte! Dám len veľmi krátke riešenie:

2. má súradnice, má súradnice.

Dovoliť je uhol medzi vektormi a, potom

odpoveď:

Je potrebné poznamenať, že úlohy priamo na vektoroch a metóda súradníc v časti B skúšobnej práce sú pomerne zriedkavé. Avšak veľká väčšina problémov C2 sa dá jednoducho vyriešiť zavedením súradnicového systému. Tento článok teda môžete považovať za základ, na základe ktorého urobíme dosť ošemetné konštrukcie, ktoré budeme potrebovať pri riešení zložitých problémov.

SÚRADNICE A VEKTORY. STREDNÁ ÚROVEŇ

Vy a ja pokračujeme v štúdiu metódy súradníc. V poslednej časti sme odvodili niekoľko dôležitých vzorcov, ktoré umožňujú:

1. Nájdite vektorové súradnice
2. Nájdite dĺžku vektora (alternatívne: vzdialenosť medzi dvoma bodmi)
3. Sčítajte, odčítajte vektory. Vynásobte ich skutočným číslom
4. Nájdite stred segmentu
5. Vypočítajte bodový súčin vektorov
6. Nájdite uhol medzi vektormi

Samozrejme, celá súradnicová metóda sa do týchto 6 bodov nezmestí. Je základom takej vedy, ako je analytická geometria, s ktorou sa zoznámite na univerzite. Chcem len vybudovať základ, ktorý vám umožní riešiť problémy v jedinom štáte. skúška. Prišli sme na úlohy časti B v Teraz je čas posunúť sa na kvalitatívne novú úroveň! Tento článok bude venovaný metóde riešenia tých problémov C2, pri ktorých by bolo rozumné prejsť na súradnicovú metódu. Táto primeranosť je určená tým, čo je potrebné v probléme nájsť a aký údaj je daný. Použil by som teda metódu súradníc, ak sú otázky:

1. Nájdite uhol medzi dvoma rovinami
2. Nájdite uhol medzi čiarou a rovinou
3. Nájdite uhol medzi dvoma čiarami
4. Nájdite vzdialenosť od bodu k rovine
5. Nájdite vzdialenosť od bodu k čiare
6. Nájdite vzdialenosť od priamky k rovine
7. Nájdite vzdialenosť medzi dvoma čiarami

Ak je údaj uvedený v stave problému rotačným telesom (guľa, valec, kužeľ ...)

Vhodné obrázky pre súradnicovú metódu sú:

1. kváder
2. Pyramída (trojuholníková, štvoruholníková, šesťuholníková)

Tiež podľa mojich skúseností je nevhodné použiť súradnicovú metódu na:

1. Nájdenie oblastí sekcií
2. Výpočty objemov telies

Malo by sa však okamžite poznamenať, že tri „nepriaznivé“ situácie pre metódu súradníc sú v praxi pomerne zriedkavé. Vo väčšine úloh sa môže stať vaším záchrancom, najmä ak nie ste veľmi silní v trojrozmerných konštrukciách (ktoré sú niekedy dosť zložité).

Aké sú všetky čísla, ktoré som uviedol vyššie? Už nie sú ploché, ako štvorec, trojuholník, kruh, ale objemné! Preto musíme brať do úvahy nie dvojrozmerný, ale trojrozmerný súradnicový systém. Zostavuje sa celkom jednoducho: len okrem úsečky a ordinát zavedieme ďalšiu os, aplikačnú os. Obrázok schematicky znázorňuje ich relatívnu polohu:

Všetky sú navzájom kolmé, pretínajú sa v jednom bode, ktorý nazveme počiatok. Os x, ako predtým, bude označená, zvislá os - a zavedená aplikačná os - .

Ak bol predtým každý bod v rovine charakterizovaný dvoma číslami - úsečkou a ordinátou, potom je každý bod v priestore už opísaný tromi číslami - úsečka, ordináta, aplikácia. Napríklad:

V súlade s tým je úsečka bodu rovná, ordináta je , a aplikácia je .

Niekedy sa úsečka bodu nazýva aj priemet bodu na os úsečky, ordináta je priemet bodu na os y a aplikácia je priemet bodu na os aplikácie. Ak je teda daný bod, potom bod so súradnicami:

sa nazýva projekcia bodu do roviny

sa nazýva projekcia bodu do roviny

Vynára sa prirodzená otázka: sú všetky vzorce odvodené pre dvojrozmerný prípad platné v priestore? Odpoveď je áno, sú len a majú rovnaký vzhľad. Pre malý detail. Myslím, že ste už uhádli, ktorý. Vo všetkých vzorcoch budeme musieť pridať ešte jeden výraz zodpovedný za os aplikácie. Totiž.

1. Ak sú dané dva body: , potom:

• Vektorové súradnice:
• Vzdialenosť medzi dvoma bodmi (alebo dĺžka vektora)
• Stred segmentu má súradnice

2. Ak sú dané dva vektory: a, potom:

• Ich bodový produkt je:
• Kosínus uhla medzi vektormi je:

Priestor však nie je taký jednoduchý. Ako viete, pridanie ďalšej súradnice predstavuje významnú rozmanitosť v spektre postáv „žijúcich“ v tomto priestore. A pre ďalšie rozprávanie musím uviesť nejaké, zhruba povedané, „zovšeobecnenie“ priamky. Toto „zovšeobecnenie“ bude rovina. Čo vieš o lietadle? Skúste si odpovedať na otázku, čo je lietadlo? Je to veľmi ťažké povedať. Všetci si však intuitívne predstavujeme, ako to vyzerá:

Zhruba povedané, ide o druh nekonečného „listu“ vysunutého do vesmíru. "Nekonečno" by sa malo chápať tak, že rovina sa rozprestiera vo všetkých smeroch, to znamená, že jej plocha sa rovná nekonečnu. Toto vysvetlenie „na prstoch“ však nedáva ani najmenšiu predstavu o štruktúre lietadla. A bude nás to zaujímať.

Pripomeňme si jednu zo základných axióm geometrie:

• Priamka prechádza dvoma rôznymi bodmi v rovine, navyše iba jedným:

Alebo jeho analóg vo vesmíre:

Samozrejme, pamätáte si, ako odvodiť rovnicu priamky z dvoch daných bodov, nie je to vôbec ťažké: ak má prvý bod súradnice: a druhý, potom rovnica priamky bude nasledovná:

Prešiel si tým v siedmej triede. V priestore vyzerá rovnica priamky takto: majme dva body so súradnicami: , potom rovnica priamky prechádzajúcej cez ne má tvar:

Napríklad čiara prechádza bodmi:

Ako tomu treba rozumieť? Malo by sa to chápať takto: bod leží na priamke, ak jeho súradnice spĺňajú nasledujúci systém:

Rovnica priamky nás nebude veľmi zaujímať, ale treba si dať pozor na veľmi dôležitý pojem smerového vektora priamky. - ľubovoľný nenulový vektor ležiaci na danej priamke alebo rovnobežne s ňou.

Napríklad oba vektory sú smerové vektory priamky. Nech je bod ležiaci na priamke a je jeho smerovým vektorom. Potom môže byť rovnica priamky napísaná v nasledujúcom tvare:

Ešte raz, nebudem sa veľmi zaujímať o rovnicu priamky, ale naozaj potrebujem, aby ste si zapamätali, čo je smerový vektor! znova: je to AKÝKOĽVEK nenulový vektor ležiaci na priamke alebo rovnobežne s ňou.

Odstúpiť trojbodová rovnica roviny už nie je taká triviálna a zvyčajne nie je pokrytá stredoškolským kurzom. Ale márne! Táto technika je životne dôležitá, keď sa pri riešení zložitých problémov uchýlime k metóde súradníc. Predpokladám však, že ste plný chuti naučiť sa niečo nové? Navyše budete môcť zapôsobiť na svojho učiteľa na univerzite, keď sa ukáže, že už viete, ako používať techniku, ktorá sa zvyčajne študuje v kurze analytickej geometrie. Tak poďme na to.

Rovnica roviny sa príliš nelíši od rovnice priamky v rovine, konkrétne má tvar:

niektoré čísla (nie všetky sa rovnajú nule), ale premenné, napríklad: atď. Ako vidíte, rovnica roviny sa veľmi nelíši od rovnice priamky (lineárna funkcia). Pamätáte si však, čo sme sa s vami hádali? Povedali sme, že ak máme tri body, ktoré neležia na jednej priamke, potom sa z nich jednoznačne obnoví rovnica roviny. Ale ako? Pokúsim sa ti to vysvetliť.

Pretože rovinná rovnica je:

A body patria do tejto roviny, potom pri dosadení súradníc každého bodu do rovnice roviny by sme mali dostať správnu identitu:

Preto je potrebné vyriešiť tri rovnice už s neznámymi! Dilema! Vždy však môžeme predpokladať, že (na to musíme deliť). Dostaneme teda tri rovnice s tromi neznámymi:

Takýto systém však nevyriešime, ale napíšeme si z toho vyplývajúci kryptický výraz:

Rovnica roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi

\[\left| (\begin(pole)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(pole)) \vpravo| = 0\]

Stop! čo je ešte toto? Veľmi nezvyčajný modul! Objekt, ktorý vidíte pred sebou, však nemá s modulom nič spoločné. Tento objekt sa nazýva determinant tretieho rádu. Odteraz, keď sa v rovine zaoberáte metódou súradníc, často narazíte práve na tieto determinanty. Čo je determinant tretieho rádu? Napodiv je to len číslo. Zostáva pochopiť, aké konkrétne číslo budeme porovnávať s determinantom.

Najprv napíšme determinant tretieho rádu vo všeobecnejšej forme:

Kde sú nejaké čísla. Okrem toho prvým indexom rozumieme číslo riadku a indexom číslo stĺpca. Napríklad to znamená, že dané číslo je na priesečníku druhého riadku a tretieho stĺpca. Položme si nasledujúcu otázku: ako presne vypočítame takýto determinant? Teda s akým konkrétnym číslom to porovnáme? Pre determinant presne tretieho rádu existuje heuristické (vizuálne) trojuholníkové pravidlo, ktoré vyzerá takto:

1. Súčin prvkov hlavnej uhlopriečky (z ľavého horného rohu do pravého dolného rohu) súčin prvkov, ktoré tvoria prvý trojuholník „kolmý“ na hlavnú uhlopriečku súčin prvkov, ktoré tvoria druhý trojuholník „kolmý“ k hlavnej uhlopriečke uhlopriečka
2. Súčin prvkov vedľajšej uhlopriečky (z pravej hornej doľava dole) súčin prvkov tvoriacich prvý trojuholník „kolmý“ na vedľajšiu uhlopriečku súčin prvkov tvoriacich druhý trojuholník „kolmý“ k sekundárna uhlopriečka
3. Potom sa determinant rovná rozdielu medzi hodnotami získanými v kroku a

Ak to všetko napíšeme číslami, dostaneme nasledujúci výraz:

V tejto forme si však nemusíte zapamätať metódu výpočtu, stačí si ponechať trojuholníky v hlave a samotnú myšlienku toho, čo sa k čomu pridáva a čo sa potom od čoho odpočítava).

Ukážme si trojuholníkovú metódu na príklade:

1. Vypočítajte determinant:

Poďme zistiť, čo pridáme a čo uberieme:

Výrazy, ktoré sa dodávajú so znamienkom „plus“:

Toto je hlavná uhlopriečka: súčin prvkov je

Prvý trojuholník, „kolmý na hlavnú uhlopriečku: súčin prvkov je

Druhý trojuholník, „kolmý na hlavnú uhlopriečku: súčin prvkov je

Pridáme tri čísla:

Výrazy, ktoré sú označené „mínusom“

Toto je bočná uhlopriečka: súčin prvkov je

Prvý trojuholník, „kolmý na sekundárnu uhlopriečku: súčin prvkov je

Druhý trojuholník, „kolmý na sekundárnu uhlopriečku: súčin prvkov je

Pridáme tri čísla:

Zostáva len odpočítať od súčtu plusových výrazov súčet mínusových výrazov:

Touto cestou,

Ako vidíte, vo výpočte determinantov tretieho rádu nie je nič zložité a nadprirodzené. Jednoducho je dôležité pamätať na trojuholníky a nerobiť aritmetické chyby. Teraz si skúste spočítať:

Kontrolujeme:

1. Prvý trojuholník kolmý na hlavnú uhlopriečku:
2. Druhý trojuholník kolmý na hlavnú uhlopriečku:
3. Súčet plusových výrazov:
4. Prvý trojuholník kolmý na bočnú uhlopriečku:
5. Druhý trojuholník, kolmý na bočnú uhlopriečku:
6. Súčet výrazov s mínusom:
7. Súčet plusových výrazov mínus súčet mínusových výrazov:

Tu je pre vás niekoľko ďalších determinantov, vypočítajte ich hodnoty sami a porovnajte ich s odpoveďami:

odpovede:

Zhodovalo sa všetko? Skvelé, potom môžete pokračovať! Ak sa vyskytnú ťažkosti, moja rada je takáto: na internete existuje veľa programov na výpočet determinantu online. Všetko, čo potrebujete, je prísť s vlastným determinantom, vypočítať si ho a potom porovnať s tým, čo vypočíta program. A tak ďalej, kým sa výsledky nezačnú zhodovať. Som si istý, že táto chvíľa na seba nenechá dlho čakať!

Teraz sa vráťme k determinantu, ktorý som napísal, keď som hovoril o rovnici roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi:

Stačí si priamo vypočítať jeho hodnotu (metóda trojuholníka) a výsledok nastaviť na nulu. Prirodzene, keďže ide o premenné, dostanete nejaký výraz, ktorý od nich závisí. Práve tento výraz bude rovnicou roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi, ktoré neležia na jednej priamke!

Ilustrujme si to na jednoduchom príklade:

1. Zostrojte rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi

Pre tieto tri body vytvoríme determinant:

Zjednodušenie:

Teraz to vypočítame priamo podľa pravidla trojuholníkov:

\[(\left| (\začiatok(pole)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\koniec(pole)) \ vpravo| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Takže rovnica roviny prechádzajúcej bodmi je:

Teraz sa pokúste vyriešiť jeden problém sami a potom o ňom budeme diskutovať:

2. Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi

Poďme teraz diskutovať o riešení:

Urobíme determinant:

A vypočítajte jeho hodnotu:

Potom má rovnica roviny tvar:

Alebo znížením o dostaneme:

Teraz dve úlohy na sebaovládanie:

1. Zostrojte rovnicu roviny prechádzajúcej tromi bodmi:

odpovede:

Zhodovalo sa všetko? Opäť, ak existujú určité ťažkosti, moja rada je takáto: vezmete si z hlavy tri body (s vysokou pravdepodobnosťou nebudú ležať na jednej priamke), postavte na ne rovinu. A potom sa skontrolujte online. Napríklad na stránke:

Pomocou determinantov však zostrojíme nielen rovnicu roviny. Pamätajte si, že som vám povedal, že pre vektory nie je definovaný iba bodový súčin. Existuje aj vektor, ako aj zmiešaný produkt. A ak skalárny súčin dvoch vektorov bude číslo, potom vektorový súčin dvoch vektorov bude vektor a tento vektor bude kolmý na dané vektory:

Okrem toho sa jeho modul bude rovnať ploche rovnobežníka postaveného na vektoroch a. Tento vektor budeme potrebovať na výpočet vzdialenosti od bodu k priamke. Ako môžeme vypočítať krížový súčin vektorov a ak sú uvedené ich súradnice? Na pomoc nám opäť prichádza determinant tretieho rádu. Avšak predtým, ako prejdem k algoritmu na výpočet krížového súčinu, musím urobiť malú lyrickú odbočku.

Táto odchýlka sa týka základných vektorov.

Schematicky sú znázornené na obrázku:

Prečo si myslíte, že sa nazývajú základné? Faktom je, že:

Alebo na obrázku:

Platnosť tohto vzorca je zrejmá, pretože:

vektorový produkt

Teraz môžem začať predstavovať krížový produkt:

Vektorový súčin dvoch vektorov je vektor, ktorý sa vypočíta podľa nasledujúceho pravidla:

Teraz uveďme niekoľko príkladov výpočtu krížového produktu:

Príklad 1: Nájdite krížový súčin vektorov:

Riešenie: Urobím determinant:

A počítam to:

Teraz, od písania cez základné vektory, sa vrátim k obvyklému vektorovému zápisu:

Touto cestou:

Teraz skúste.

pripravený? Kontrolujeme:

A tradične dve úlohy, ktoré treba ovládať:

1. Nájdite krížový súčin nasledujúcich vektorov:
2. Nájdite krížový súčin nasledujúcich vektorov:

odpovede:

Zmiešaný súčin troch vektorov

Posledná konštrukcia, ktorú potrebujem, je zmiešaný súčin troch vektorov. Je to ako skalár číslo. Existujú dva spôsoby, ako to vypočítať. - cez determinant, - cez zmiešaný produkt.

Povedzme, že máme tri vektory:

Potom sa zmiešaný súčin troch vektorov, označený ako, môže vypočítať ako:

1. - to znamená, že zmiešaný súčin je skalárny súčin vektora a vektorový súčin dvoch ďalších vektorov

Napríklad zmiešaný produkt troch vektorov je:

Skúste si to vypočítať sami pomocou vektorového súčinu a uistite sa, že sa výsledky zhodujú!

A opäť - dva príklady pre nezávislé rozhodnutie:

odpovede:

Výber súradnicového systému

Teraz máme všetky potrebné základy vedomostí na riešenie zložitých stereometrických problémov v geometrii. Predtým, ako pristúpim priamo k príkladom a algoritmom na ich riešenie, verím, že bude užitočné pozastaviť sa nad nasledujúcou otázkou: ako presne vyberte súradnicový systém pre konkrétnu postavu. Veď práve voľba relatívnej polohy súradnicového systému a obrazca v priestore v konečnom dôsledku určí, aké ťažkopádne budú výpočty.

Pripomínam, že v tejto časti uvažujeme o nasledujúcich číslach:

1. kváder
2. Priamy hranol (trojuholníkový, šesťhranný...)
3. Pyramída (trojuholníková, štvoruholníková)
4. Tetrahedron (rovnaký ako trojuholníková pyramída)

Pre kváder alebo kocku odporúčam nasledujúcu konštrukciu:

To znamená, že postavím postavu „do rohu“. Kocka a krabica sú veľmi dobré figúrky. U nich vždy ľahko nájdete súradnice jeho vrcholov. Napríklad, ak (ako je znázornené na obrázku)

potom súradnice vrcholov sú:

Samozrejme, nemusíte si to pamätať, ale je žiaduce zapamätať si, ako najlepšie umiestniť kocku alebo obdĺžnikový box.

rovný hranol

Hranol je škodlivejšia postava. V priestore ho môžete usporiadať rôznymi spôsobmi. Myslím si však, že najlepšou možnosťou je nasledovné:

Trojuholníkový hranol:

To znamená, že jednu zo strán trojuholníka položíme úplne na os a jeden z vrcholov sa zhoduje s počiatkom.

Šesťhranný hranol:

To znamená, že jeden z vrcholov sa zhoduje s počiatkom a jedna zo strán leží na osi.

Štvorhranná a šesťhranná pyramída:

Situácia podobná kocke: spojíme dve strany základne so súradnicovými osami, jeden z vrcholov spojíme s počiatkom. Jediným malým problémom bude výpočet súradníc bodu.

Pre šesťhrannú pyramídu - to isté ako pre šesťhranný hranol. Hlavná úloha bude opäť v hľadaní súradníc vrcholu.

Tetrahedron (trojuholníková pyramída)

Situácia je veľmi podobná tej, ktorú som uviedol pre trojuholníkový hranol: jeden vrchol sa zhoduje s počiatkom, jedna strana leží na súradnicovej osi.

Teraz sme konečne blízko k tomu, aby sme začali riešiť problémy. Z toho, čo som povedal na samom začiatku článku, môžete vyvodiť nasledujúci záver: väčšina problémov C2 spadá do 2 kategórií: problémy s uhlom a problémy so vzdialenosťou. Najprv zvážime problémy pri hľadaní uhla. Na druhej strane sú rozdelené do nasledujúcich kategórií (ako sa zložitosť zvyšuje):

Problémy s hľadaním rohov

1. Nájdenie uhla medzi dvoma čiarami
2. Nájdenie uhla medzi dvoma rovinami

Uvažujme tieto problémy postupne: začnime nájdením uhla medzi dvoma priamkami. No tak, pamätajte, riešili sme už podobné príklady? Pamätáte si, pretože niečo podobné sme už mali... Hľadali sme uhol medzi dvoma vektormi. Pripomínam vám, že ak sú dané dva vektory: a, potom sa uhol medzi nimi zistí zo vzťahu:

Teraz máme cieľ - nájsť uhol medzi dvoma priamkami. Obráťme sa na „plochý obrázok“:

Koľko uhlov získame, keď sa pretnú dve priamky? Už veci. Je pravda, že iba dve z nich nie sú rovnaké, zatiaľ čo iné sú k nim vertikálne (a preto sa s nimi zhodujú). Aký uhol by sme teda mali považovať za uhol medzi dvoma priamkami: alebo? Tu je pravidlo: uhol medzi dvoma priamkami nie je vždy väčší ako stupne. To znamená, že z dvoch uhlov vždy zvolíme uhol s najmenšou mierou stupňov. To znamená, že na tomto obrázku je uhol medzi týmito dvoma čiarami rovnaký. Aby ste sa nemuseli obťažovať zakaždým hľadaním najmenšieho z dvoch uhlov, prefíkaní matematici navrhli použiť modul. Uhol medzi dvoma priamkami je teda určený vzorcom:

Vy, ako pozorný čitateľ, ste si mali položiť otázku: odkiaľ vlastne berieme práve tieto čísla, ktoré potrebujeme na výpočet kosínusu uhla? Odpoveď: vezmeme ich zo smerových vektorov čiar! Algoritmus na nájdenie uhla medzi dvoma čiarami je teda nasledujúci:

1. Aplikujeme vzorec 1.

Alebo podrobnejšie:

1. Hľadáme súradnice smerového vektora prvej priamky
2. Hľadáme súradnice smerového vektora druhého riadku
3. Vypočítajte modul ich skalárneho súčinu
4. Hľadáme dĺžku prvého vektora
5. Hľadáme dĺžku druhého vektora
6. Vynásobte výsledky z bodu 4 výsledkami z bodu 5
7. Výsledok bodu 3 vydelíme výsledkom bodu 6. Dostaneme kosínus uhla medzi priamkami
8. Ak nám tento výsledok umožňuje presne vypočítať uhol, hľadáme ho
9. V opačnom prípade píšeme cez arkozínus

No a teraz je čas prejsť k úlohám: riešenie prvých dvoch predvediem podrobne, riešenie ďalšej predstavím v skratke a odpovede dám len na posledné dve úlohy, musíte urobte pre nich všetky výpočty sami.

Úlohy:

1. V pravom tet-ra-ed-re nájdi-di-te uhol medzi tebou-tak-že tet-ra-ed-ra a stranou me-di-a-noy bo-ko-how.

2. V pravom-doprednom six-coal-pi-ra-mi-de, sto-ro-na-os-no-va-niya sú si nejako rovné a bočné rebrá sú rovnaké, nájdite uhol medzi priamym linky a.

3. Dĺžky všetkých hrán pravotočivých štyroch-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy sa navzájom rovnajú. Nájdite uhol medzi priamymi čiarami a ak z-re-zok - vy-tak-že dané pi-ra-mi-dy, bod je se-re-di-na jej bo-ko-th rebro

4. Na hrane kocky od-me-che-do bodu tak, že Nájdite-di-te uhol medzi priamkami a

5. Bod - se-re-di-na okrajoch kocky Nai-di-te uhol medzi priamkami a.

Nie je náhoda, že som úlohy zaradil v tomto poradí. Zatiaľ čo ste ešte nemali čas začať navigovať súradnicovou metódou, ja sám analyzujem „najproblémovejšie“ čísla a nechám vás, aby ste sa zaoberali najjednoduchšou kockou! Postupne sa musíte naučiť pracovať so všetkými figúrkami, náročnosť úloh budem zvyšovať z témy na tému.

Začnime riešiť problémy:

1. Nakreslite štvorsten, umiestnite ho do súradnicového systému, ako som navrhol predtým. Keďže štvorsten je pravidelný, všetky jeho steny (vrátane základne) sú pravidelné trojuholníky. Keďže nám nie je daná dĺžka strany, môžem to brať rovnako. Myslím, že chápete, že uhol skutočne nebude závisieť od toho, do akej miery bude náš štvorsten "natiahnutý"?. V štvorstene nakreslím aj výšku a medián. Po ceste nakreslím jej základ (príde nám tiež vhod).

Potrebujem nájsť uhol medzi a. čo my vieme Poznáme len súradnicu bodu. Musíme teda nájsť viac súradníc bodov. Teraz si myslíme: bod je priesečník výšok (alebo osi alebo stredov) trojuholníka. Bodka je vyvýšený bod. Bod je stredom segmentu. Potom konečne musíme nájsť: súradnice bodov: .

Začnime tým najjednoduchším: súradnicami bodu. Pozrite sa na obrázok: Je jasné, že aplikácia bodu sa rovná nule (bod leží v rovine). Jeho ordináta je rovnaká (pretože je to medián). Je ťažšie nájsť jeho úsečku. To sa však dá ľahko urobiť na základe Pytagorovej vety: Uvažujme trojuholník. Jeho prepona je rovnaká a jedna z nôh je rovnaká Potom:

Nakoniec tu máme:

Teraz nájdime súradnice bodu. Je jasné, že jeho aplikácia sa opäť rovná nule a jeho ordináta je rovnaká ako ordináta bodu, tj. Nájdime jej úsečku. Toto sa robí dosť triviálne, ak si to človek pamätá výšky rovnostranného trojuholníka sú delené priesečníkom v pomere počítanie zhora. Pretože:, potom sa požadovaná úsečka bodu rovná dĺžke úsečky rovná:. Súradnice bodu sú teda:

Nájdeme súradnice bodu. Je jasné, že jeho úsečka a ordináta sa zhodujú s úsečkou a osou bodu. A nášivka sa rovná dĺžke segmentu. - toto je jedna z nôh trojuholníka. Prepona trojuholníka je segment - noha. Hľadá sa podľa dôvodov, ktoré som zvýraznil tučným písmom:

Bod je stredom segmentu. Potom si musíme zapamätať vzorec pre súradnice stredu segmentu:

To je všetko, teraz môžeme hľadať súradnice smerových vektorov:

Všetko je pripravené: dosadíme všetky údaje do vzorca:

Touto cestou,

odpoveď:

Nemali by ste sa báť takýchto „hrozných“ odpovedí: pri problémoch C2 je to bežná prax. Skôr by som sa nechal prekvapiť "krásnou" odpoveďou v tejto časti. Taktiež, ako si poznamenal, prakticky som sa neuchýlil k ničomu inému ako k Pytagorovej vete a vlastnosti výšok rovnostranného trojuholníka. To znamená, že na vyriešenie stereometrického problému som použil úplné minimum stereometrie. Zisk v tomto je čiastočne "uhasený" dosť ťažkopádnymi výpočtami. Ale sú dosť algoritmické!

2. Nakreslite pravidelný šesťuholníkový ihlan spolu so súradnicovým systémom, ako aj jeho základňou:

Musíme nájsť uhol medzi čiarami a. Naša úloha sa teda redukuje na hľadanie súradníc bodov: . Z malého nákresu zistíme súradnice posledných troch a cez súradnicu bodu nájdeme súradnicu vrcholu. Veľa práce, ale treba začať!

a) Súradnica: je jasné, že jej aplikácia a súradnica sú nulové. Nájdeme úsečku. Ak to chcete urobiť, zvážte pravouhlý trojuholník. Bohužiaľ, v ňom poznáme iba preponu, ktorá sa rovná. Pokúsime sa nájsť nohu (pretože je jasné, že dvojnásobok dĺžky nohy nám dá úsečku bodu). Ako to môžeme hľadať? Spomeňme si, akú postavu máme na základni pyramídy? Toto je pravidelný šesťuholník. Čo to znamená? To znamená, že všetky strany a všetky uhly sú rovnaké. Musíme nájsť jeden taký kútik. Nejaké nápady? Existuje veľa nápadov, ale existuje vzorec:

Súčet uhlov pravidelného n-uholníka je .

Súčet uhlov pravidelného šesťuholníka je teda stupňov. Potom sa každý z uhlov rovná:

Pozrime sa ešte raz na obrázok. Je jasné, že segment je osou uhla. Potom je uhol stupňov. potom:

Potom kde.

Má teda súradnice

b) Teraz už ľahko nájdeme súradnicu bodu: .

c) Nájdite súradnice bodu. Keďže jej úsečka sa zhoduje s dĺžkou úsečky, je rovnaká. Nájdenie súradnice tiež nie je veľmi ťažké: ak spojíme body a a označíme priesečník priamky, povedzme pre. (urob si sám jednoduchú konštrukciu). Potom sa teda súradnica bodu B rovná súčtu dĺžok úsečiek. Pozrime sa znova na trojuholník. Potom

Potom od Potom má bod súradnice

d) Teraz nájdite súradnice bodu. Zvážte obdĺžnik a dokážte, že súradnice bodu sú teda:

e) Zostáva nájsť súradnice vrcholu. Je jasné, že jeho úsečka a ordináta sa zhodujú s úsečkou a osou bodu. Poďme nájsť aplikáciu. Odvtedy. Predstavte si pravouhlý trojuholník. Podľa stavu problému, bočný okraj. Toto je prepona môjho trojuholníka. Potom je výška pyramídy noha.

Potom má bod súradnice:

To je všetko, mám súradnice všetkých bodov záujmu. Hľadám súradnice smerových vektorov priamych čiar:

Hľadáme uhol medzi týmito vektormi:

odpoveď:

Opäť som pri riešení tohto problému nepoužil žiadne sofistikované triky, okrem vzorca pre súčet uhlov pravidelného n-uholníka, ako aj definíciu kosínusu a sínusu pravouhlého trojuholníka.

3. Keďže nám opäť nie sú dané dĺžky hrán v pyramíde, budem ich považovať za rovné jednej. Keďže teda VŠETKY hrany, nielen bočné, sú si navzájom rovné, potom na základni pyramídy a ja leží štvorec a bočné strany sú pravidelné trojuholníky. Znázornime takú pyramídu, ako aj jej základňu na rovine, pričom označíme všetky údaje uvedené v texte problému:

Hľadáme uhol medzi a. Keď budem hľadať súradnice bodov, urobím veľmi stručné výpočty. Budete ich musieť „dešifrovať“:

b) - stred segmentu. Jej súradnice:

c) Dĺžku úsečky zistím pomocou Pytagorovej vety v trojuholníku. Nájdem podľa Pytagorovej vety v trojuholníku.

súradnice:

d) - stred segmentu. Jeho súradnice sú

e) Súradnice vektora

f) Súradnice vektora

g) Hľadanie uhla:

Kocka je najjednoduchšia figúrka. Som si istý, že na to prídeš sám. Odpovede na problémy 4 a 5 sú nasledovné:

Nájdenie uhla medzi priamkou a rovinou

Čas jednoduchých hádaniek sa skončil! Teraz budú príklady ešte ťažšie. Aby sme našli uhol medzi priamkou a rovinou, budeme postupovať takto:

1. Pomocou troch bodov zostavíme rovnicu roviny
   ,
   pomocou determinantu tretieho rádu.
2. V dvoch bodoch hľadáme súradnice smerového vektora priamky:
3. Na výpočet uhla medzi priamkou a rovinou použijeme vzorec:

Ako vidíte, tento vzorec je veľmi podobný tomu, ktorý sme použili na nájdenie uhlov medzi dvoma čiarami. Štruktúra pravej strany je rovnaká a na ľavej teraz hľadáme sínus a nie kosínus, ako predtým. No a pribudla jedna škaredá akcia – hľadanie rovnice lietadla.

Neodkladajme riešenie príkladov:

1. Os-no-va-ni-em straight-moja cena-sme-la-et-xia rovnakí-ale-chudobní-ren-ny trojuholník-prezliecť ťa-s-tou cenou-sme si rovní. Nájdite uhol medzi priamkou a rovinou

2. V pravouhlom par-ral-le-le-pi-pe-de zo západu Nai-di-te uhol medzi priamkou a rovinou

3. V pravotočivom šesťuhoľnom hranole sú všetky hrany rovnaké. Nájdite uhol medzi priamkou a rovinou.

4. V pravej trojhrannej pi-ra-mi-de s os-but-va-ni-em od zpadu rebra Nai-di-te uhol, ob-ra-zo-van -ny rovina os. -no-va-niya a straight-my, prechádzajúce cez se-re-di-na rebier a

5. Dĺžky všetkých hrán pravého štvoruholníka pi-ra-mi-dy s vrcholom sú navzájom rovnaké. Nájdite uhol medzi priamkou a rovinou, ak je bod se-re-di-na bo-ko-in-tej hrane pi-ra-mi-dy.

Opäť prvé dva problémy vyriešim podrobne, tretí - stručne a posledné dva nechávam na vás, aby ste si ich vyriešili sami. Okrem toho ste si už museli poradiť s trojuholníkovými a štvorhrannými pyramídami, no s hranolmi ešte nie.

Riešenia:

1. Nakreslite hranol, ako aj jeho základňu. Skombinujme to so súradnicovým systémom a označme všetky údaje, ktoré sú uvedené v probléme:

Ospravedlňujem sa za určité nedodržanie proporcií, ale na vyriešenie problému to v skutočnosti nie je také dôležité. Lietadlo je len „zadná stena“ môjho hranola. Stačí jednoducho uhádnuť, že rovnica takejto roviny má tvar:

Dá sa to však zobraziť aj priamo:

Vyberieme ľubovoľné tri body v tejto rovine: napríklad .

Urobme rovnicu roviny:

Cvičenie pre vás: vypočítajte si tento determinant sami. Podarilo sa ti to? Potom má rovnica roviny tvar:

Alebo jednoducho

Touto cestou,

Na vyriešenie príkladu potrebujem nájsť súradnice smerového vektora priamky. Keďže bod sa zhodoval s počiatkom, súradnice vektora sa jednoducho zhodujú so súradnicami bodu. Aby sme to dosiahli, najprv nájdeme súradnice bodu.

Ak to chcete urobiť, zvážte trojuholník. Nakreslíme výšku (je to aj stred a os) zhora. Pretože potom je ordináta bodu rovnaká. Aby sme našli úsečku tohto bodu, musíme vypočítať dĺžku segmentu. Podľa Pytagorovej vety máme:

Potom má bod súradnice:

Bodka je „vyvýšená“ bodka:

Potom súradnice vektora:

odpoveď:

Ako vidíte, pri riešení takýchto problémov nie je nič zásadne ťažké. V skutočnosti „priamočiarosť“ figúry, ako je hranol, proces ešte o niečo zjednodušuje. Teraz prejdime k ďalšiemu príkladu:

2. Nakreslíme rovnobežnosten, nakreslíme do neho rovinu a priamku a tiež samostatne nakreslíme jeho spodnú základňu:

Najprv nájdeme rovnicu roviny: Súradnice troch bodov v nej ležiacich:

(prvé dve súradnice sa získajú zrejmým spôsobom a poslednú súradnicu ľahko zistíte z obrázku z bodu). Potom zostavíme rovnicu roviny:

Vypočítame:

Hľadáme súradnice smerového vektora: Je jasné, že jeho súradnice sa zhodujú so súradnicami bodu, však? Ako nájsť súradnice? Toto sú súradnice bodu, zvýšené pozdĺž osi aplikácie o jednu! . Potom hľadáme požadovaný uhol:

odpoveď:

3. Nakreslite pravidelnú šesťhrannú pyramídu a potom do nej nakreslite rovinu a priamku.

Tu je dokonca problematické nakresliť rovinu, nehovoriac o riešení tohto problému, ale súradnicová metóda sa nestará! Práve v jeho všestrannosti je jeho hlavná výhoda!

Rovina prechádza tromi bodmi: . Hľadáme ich súradnice:

jeden) . Zobrazte súradnice pre posledné dva body sami. Na to budete musieť vyriešiť problém pomocou šesťhrannej pyramídy!

2) Zostavíme rovnicu roviny:

Hľadáme súradnice vektora: . (Znova si pozrite problém s trojuholníkovou pyramídou!)

3) Hľadáme uhol:

odpoveď:

Ako vidíte, v týchto úlohách nie je nič nadprirodzene ťažké. Len musíte byť veľmi opatrní s koreňmi. Na posledné dva problémy dám len odpovede:

Ako vidíte, technika riešenia problémov je všade rovnaká: hlavnou úlohou je nájsť súradnice vrcholov a dosadiť ich do nejakých vzorcov. Zostáva nám zvážiť ešte jednu triedu problémov na výpočet uhlov, a to:

Výpočet uhlov medzi dvoma rovinami

Algoritmus riešenia bude nasledovný:

1. Pre tri body hľadáme rovnicu prvej roviny:
2. Pre ostatné tri body hľadáme rovnicu druhej roviny:
3. Aplikujeme vzorec:

Ako vidíte, vzorec je veľmi podobný predchádzajúcim dvom, pomocou ktorých sme hľadali uhly medzi priamkami a medzi priamkou a rovinou. Zapamätať si tento teda pre vás nebude ťažké. Poďme rovno k problému:

1. Sto-ro-na základe pravého trojuholníkového hranola je rovnaké a uhlopriečka bočnej steny je rovnaká. Nájdite uhol medzi rovinou a rovinou základne ceny.

2. V pravej-dopredu štyri-you-re-uhlie-noy pi-ra-mi-de sú všetky hrany niekoho rovnaké, nájdite sínus uhla medzi rovinou a rovinou Ko-Stu, prechádzajúc cez bod per-pen-di-ku-lyar-ale rovno-my.

3. V pravidelnom štvoruhoľnom hranole sú strany os-no-va-nia rovnaké a bočné okraje sú rovnaké. Na hrane od-me-che-do bodu tak, že. Nájdite uhol medzi rovinami a

4. V pravom štvorhrannom hranole sú strany podstavcov rovnaké a bočné okraje sú rovnaké. Na hrane od-me-che-do bodu tak, že Nájdite uhol medzi rovinami a.

5. V kocke nájdite ko-sinus uhla medzi rovinami a

Riešenia problémov:

1. Nakreslím pravidelný (na základni - rovnostranný trojuholník) trojuholníkový hranol a vyznačím na ňom roviny, ktoré sa objavujú v stave úlohy:

Potrebujeme nájsť rovnice dvoch rovín: Základná rovnica sa získa triviálne: môžete vytvoriť zodpovedajúci determinant pre tri body, ale rovno urobím rovnicu:

Teraz nájdime rovnicu Bod má súradnice Bod - Keďže - medián a výška trojuholníka, je ľahké ho nájsť pomocou Pytagorovej vety v trojuholníku. Potom má bod súradnice: Nájdite aplikáciu bodu Za týmto účelom uvažujme pravouhlý trojuholník

Potom dostaneme tieto súradnice: Zostavíme rovnicu roviny.

Vypočítame uhol medzi rovinami:

odpoveď:

2. Vytvorenie výkresu:

Najťažšie je pochopiť, o akú záhadnú rovinu ide, prechádzajúcu bodom kolmo. No, hlavné je, čo to je? Hlavná vec je pozornosť! V skutočnosti je čiara kolmá. Čiara je tiež kolmá. Potom bude rovina prechádzajúca týmito dvoma čiarami kolmá na čiaru a mimochodom bude prechádzať bodom. Táto rovina prechádza aj vrcholom pyramídy. Potom požadovaná rovina - A rovina je nám už daná. Hľadáme súradnice bodov.

Cez bod nájdeme súradnicu bodu. Z malého nákresu sa dá ľahko vydedukovať, že súradnice bodu budú nasledovné: Čo teraz treba nájsť, aby sme našli súradnice vrcholu pyramídy? Ešte treba vypočítať jeho výšku. To sa robí pomocou rovnakej Pytagorovej vety: najprv to dokážte (triviálne z malých trojuholníkov tvoriacich štvorec na základni). Keďže podľa podmienok máme:

Teraz je všetko pripravené: súradnice vrcholov:

Zostavíme rovnicu roviny:

Už ste odborníkom na výpočet determinantov. Jednoducho dostanete:

Alebo inak (ak obe časti vynásobíme odmocninou z dvoch)

Teraz nájdime rovnicu roviny:

(Nezabudli ste, ako dostaneme rovnicu roviny, však? Ak nerozumiete, odkiaľ sa vzalo toto mínus, vráťte sa k definícii rovnice roviny! Vždy sa ukázalo, že môj lietadlo patrilo k pôvodu!)

Vypočítame determinant:

(Môžete si všimnúť, že rovnica roviny sa zhodovala s rovnicou priamky prechádzajúcej bodmi a! Zamyslite sa prečo!)

Teraz vypočítame uhol:

Musíme nájsť sínus:

odpoveď:

3. Záludná otázka: čo je to pravouhlý hranol, čo myslíš? Pre vás je to len dobre známy rovnobežnosten! Kreslenie ihneď! Základňu dokonca nemôžete vykresliť samostatne, tu je málo užitočné:

Rovina, ako sme už uviedli, je napísaná ako rovnica:

Teraz urobíme lietadlo

Okamžite zostavíme rovnicu roviny:

Hľadáte uhol pohľadu

Teraz odpovede na posledné dva problémy:

Teraz je čas na prestávku, pretože ty a ja sme skvelí a urobili sme skvelú prácu!

Súradnice a vektory. Pokročilá úroveň

V tomto článku s vami rozoberieme ďalšiu triedu problémov, ktoré možno vyriešiť pomocou súradnicovej metódy: problémy so vzdialenosťou. Konkrétne budeme uvažovať o nasledujúcich prípadoch:

1. Výpočet vzdialenosti medzi šikmými čiarami.

Dané úlohy som si objednal tak, ako sa zvyšuje ich náročnosť. Najjednoduchšie je nájsť vzdialenosť bodu od roviny a najťažšie je nájsť vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami. Aj keď, samozrejme, nič nie je nemožné! Neváhajme a okamžite pristúpme k úvahe o prvej triede problémov:

Výpočet vzdialenosti od bodu k rovine

Čo potrebujeme na vyriešenie tohto problému?

1. Súradnice bodu

Takže hneď ako získame všetky potrebné údaje, použijeme vzorec:

Už by ste mali vedieť, ako zostavujeme rovnicu roviny z predchádzajúcich úloh, ktoré som rozoberal v minulej časti. Poďme hneď na vec. Schéma je nasledovná: 1, 2 - pomôžem vám rozhodnúť sa a podrobne 3, 4 - iba odpoveď, sami sa rozhodnite a porovnajte. Začalo!

Úlohy:

1. Daná kocka. Dĺžka hrany kocky je Nájdite-di-te vzdialenosť od se-re-di-ny od rezu po rovinu

2. Vzhľadom na pravú-vil-naya štyri-you-rekh-uhlie-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe hrana sto-ro-on sa os-no-va-nia rovná. Nájdite-di-tie vzdialenosti od bodu k rovine, kde - se-re-di-na hranách.

3. V pravom trojuholníkovom pi-ra-mi-de s os-but-va-ni-em je druhý okraj rovný a sto-ro-on os-no-vaniya sa rovná. Nájdite-di-tie vzdialenosti od vrcholu k rovine.

4. V pravotočivom šesťuhoľnom hranole sú všetky hrany rovnaké. Nájdite-di-tie vzdialenosti od bodu k rovine.

Riešenia:

1. Nakreslite kocku s jednoduchými hranami, vytvorte úsečku a rovinu, stred úsečky označte písmenom

.

Najprv začnime jednoduchým: nájdite súradnice bodu. Odvtedy (zapamätajte si súradnice stredu segmentu!)

Teraz zostavíme rovnicu roviny na troch bodoch

\[\left| (\začiatok(pole)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\koniec(pole)) \vpravo| = 0\]

Teraz môžem začať hľadať vzdialenosť:

2. Opäť začíname výkresom, na ktorý si označíme všetky údaje!

Pre pyramídu by bolo užitočné nakresliť jej základňu samostatne.

Ani to, že kreslím ako kuracia labka, nám nezabráni v jednoduchom riešení tohto problému!

Teraz je ľahké nájsť súradnice bodu

Od súradníc bodu

2. Keďže súradnice bodu a sú stredom segmentu, potom

Súradnice ďalších dvoch bodov v rovine ľahko nájdeme. Rovnicu roviny poskladáme a zjednodušíme:

\[\left| (\left| (\begin(pole)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(pole)) \right|) \right| = 0\]

Keďže bod má súradnice: , vypočítame vzdialenosť:

Odpoveď (veľmi zriedkavé!):

Dobre, pochopili ste? Zdá sa mi, že všetko je tu rovnako technické ako v príkladoch, ktoré sme s vami zvažovali v predchádzajúcej časti. Som si teda istý, že ak ste tento materiál zvládli, nebude pre vás ťažké vyriešiť zvyšné dva problémy. Dám vám len odpovede:

Výpočet vzdialenosti od priamky k rovine

V skutočnosti tu nie je nič nové. Ako môžu byť navzájom umiestnené čiary a roviny? Majú všetky možnosti: pretínať sa, alebo je priamka rovnobežná s rovinou. Aká je podľa vás vzdialenosť od priamky k rovine, s ktorou sa daná priamka pretína? Zdá sa mi, že je jasné, že takáto vzdialenosť sa rovná nule. Nezaujímavý prípad.

Druhý prípad je zložitejší: tu je vzdialenosť už nenulová. Keďže je však priamka rovnobežná s rovinou, potom je každý bod priamky od tejto roviny rovnako vzdialený:

Touto cestou:

A to znamená, že moja úloha sa zredukovala na predchádzajúcu: hľadáme súradnice ľubovoľného bodu na priamke, hľadáme rovnicu roviny, vypočítame vzdialenosť od bodu k rovine. V skutočnosti sú takéto úlohy na skúške mimoriadne zriedkavé. Podarilo sa mi nájsť len jeden problém a údaje v ňom boli také, že súradnicová metóda sa naň veľmi nehodila!

Teraz prejdime k inej, oveľa dôležitejšej triede problémov:

Výpočet vzdialenosti bodu od priamky

Čo budeme potrebovať?

1. Súradnice bodu, od ktorého hľadáme vzdialenosť:

2. Súradnice ľubovoľného bodu ležiaceho na priamke

3. Súradnice smerového vektora priamky

Aký vzorec používame?

Čo pre vás znamená menovateľ tohto zlomku, a preto by malo byť jasné: toto je dĺžka smerového vektora priamky. Tu je veľmi zložitý čitateľ! Výraz znamená modul (dĺžku) vektorového súčinu vektorov a Ako vypočítať vektorový súčin sme študovali v predchádzajúcej časti práce. Osviežte si svoje vedomosti, teraz nám to bude veľmi užitočné!

Algoritmus na riešenie problémov bude teda nasledujúci:

1. Hľadáme súradnice bodu, od ktorého hľadáme vzdialenosť:

2. Hľadáme súradnice ľubovoľného bodu na priamke, ku ktorému hľadáme vzdialenosť:

3. Zostavenie vektora

4. Zostrojíme smerový vektor priamky

5. Vypočítajte krížový súčin

6. Hľadáme dĺžku výsledného vektora:

7. Vypočítajte vzdialenosť:

Máme veľa práce a príklady budú dosť zložité! Takže teraz sústreďte všetku svoju pozornosť!

1. Dana je pravotočivá trojuholníková pi-ra-mi-da s vrcholom. Sto-ro-na os-no-va-niya pi-ra-mi-dy sa rovná, vy-so-ta sa rovná. Nájdite-di-tie vzdialenosti od se-re-di-ny bo-ko-tej hrany k priamke, kde body a sú se-re-di-ny rebier a co-od- vet. -stven-ale.

2. Dĺžky rebier a pravý-uhol-no-para-ral-le-le-pi-pe-da sú rovnaké a vzdialenosť Find-di-te od top-shi-ny k priamemu-my

3. V pravom šesťuhoľnom hranole sú všetky okraje roja rovnaké, nájdite vzdialenosť od bodu k priamke

Riešenia:

1. Urobíme úhľadný výkres, na ktorom zaznačíme všetky údaje:

Máme pre vás veľa práce! Najprv by som chcel slovami opísať, čo budeme hľadať a v akom poradí:

1. Súradnice bodov a

2. Súradnice bodu

3. Súradnice bodov a

4. Súradnice vektorov a

5. Ich krížový produkt

6. Dĺžka vektora

7. Dĺžka vektorového súčinu

8. Vzdialenosť od do

No, máme veľa práce! Vyhrňme si rukávy!

1. Aby sme našli súradnice výšky pyramídy, potrebujeme poznať súradnice bodu, ktorého aplikácia je nula a ordináta sa rovná jeho osi x. Nakoniec sme dostali súradnice:

Súradnice bodu

2. - stred segmentu

3. - stred segmentu

stredný bod

4.Súradnice

Vektorové súradnice

5. Vypočítajte vektorový súčin:

6. Dĺžka vektora: najjednoduchší spôsob je nahradiť, že segment je stredná čiara trojuholníka, čo znamená, že sa rovná polovici základne. Takže

7. Uvažujeme dĺžku vektorového súčinu:

8. Nakoniec nájdite vzdialenosť:

Fíha, to je všetko! Úprimne vám poviem: vyriešiť tento problém tradičnými metódami (cez konštrukcie) by bolo oveľa rýchlejšie. Ale tu som všetko zredukoval na hotový algoritmus! Myslím, že algoritmus riešenia je vám jasný? Preto vás požiadam, aby ste zvyšné dva problémy vyriešili svojpomocne. Porovnať odpovede?

Opäť opakujem: je jednoduchšie (rýchlejšie) vyriešiť tieto problémy pomocou konštrukcií, ako sa uchýliť k súradnicovej metóde. Tento spôsob riešenia som predviedol len preto, aby som vám ukázal univerzálnu metódu, ktorá vám umožní „nič nedokončiť“.

Nakoniec zvážte poslednú triedu problémov:

Výpočet vzdialenosti medzi šikmými čiarami

Tu bude algoritmus na riešenie problémov podobný predchádzajúcemu. Čo máme:

3. Akýkoľvek vektor spájajúci body prvého a druhého riadku:

Ako zistíme vzdialenosť medzi čiarami?

Vzorec je:

Čitateľ je modul zmiešaného súčinu (uviedli sme ho v predchádzajúcej časti) a menovateľ - ako v predchádzajúcom vzorci (modul vektorového súčinu smerovacích vektorov čiar, vzdialenosť medzi ktorými sa pozeráme pre).

Pripomeniem ti to

potom vzorec vzdialenosti možno prepísať ako:

Vydeľte tento determinant determinantom! Aj keď pravdu povediac, nemám tu náladu na vtipy! Tento vzorec je v skutočnosti veľmi ťažkopádny a vedie k pomerne komplikovaným výpočtom. Na tvojom mieste by som to použil len ako poslednú možnosť!

Pokúsme sa vyriešiť niekoľko problémov pomocou vyššie uvedenej metódy:

1. V pravom trojuholníkovom hranole sú všetky hrany akosi rovnaké, nájdite vzdialenosť medzi priamkami a.

2. Daný pravouhlý trojuholníkový hranol, všetky okraje os-no-va-niya niekoho sú rovné Se-che-tion, prechádzajú cez druhé rebro a se-re-di-nu rebrá sú yav-la-et-sya square-ra-tom. Nájsť-di-te dis-sto-I-nie medzi rovno-we-mi a

Ja rozhodujem o prvom a na základe toho sa ty rozhoduješ o druhom!

1. Nakreslím hranol a označím čiary a

Súradnice bodu C: potom

Súradnice bodu

Vektorové súradnice

Súradnice bodu

Vektorové súradnice

Vektorové súradnice

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\začiatok(pole)(*(20)(l))(\začiatok(pole)(*(20)(c))0&1&0\koniec(pole))\\(\začiatok(pole)(*(20) (c))0&0&1\end(pole))\\(\začiatok(pole)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\koniec(pole))\koniec(pole)) \vpravo| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Uvažujeme krížový súčin medzi vektormi a

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(pole)(l)\begin(pole)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(pole)\\\begin(pole )(*(20)(c))0&0&1\end(pole)\\\začiatok(pole)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(pole)\end(pole) \vpravo| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\šípka vpravo k + \frac(1)(2)\šípka vpravo i \]

Teraz zvážime jeho dĺžku:

odpoveď:

Teraz sa pokúste pozorne dokončiť druhú úlohu. Odpoveď na to bude:.

Súradnice a vektory. Stručný popis a základné vzorce

Vektor je riadený segment. - začiatok vektora, - koniec vektora.
Vektor je označený alebo.

Absolútna hodnota vektor - dĺžka segmentu reprezentujúceho vektor. Označený ako.

Vektorové súradnice:

,
kde sú konce vektora \displaystyle a .

Súčet vektorov: .

Súčin vektorov:

Bodový súčin vektorov:

Skalárny súčin vektorov sa rovná súčinu ich absolútnych hodnôt a kosínusu uhla medzi nimi:

OSTATNÉ 2/3 ČLÁNKOV SÚ K DISPOZÍCII LEN PRE MLADŠÍCH ŠTUDENTOV!

Staňte sa študentom YouClever,

Pripravte sa na OGE alebo USE v matematike za cenu „šálky kávy za mesiac“,

A tiež získate neobmedzený prístup k učebnici „YouClever“, školiacemu programu „100gia“ (kniha riešení), neobmedzené skúšobné USE a OGE, 6000 úloh s analýzou riešení a ďalšie služby YouClever a 100gia.

Nižšie uvedený článok sa bude zaoberať otázkami hľadania súradníc stredu segmentu za prítomnosti súradníc jeho extrémnych bodov ako počiatočných údajov. Ale predtým, ako pristúpime k štúdiu problému, uvedieme niekoľko definícií.

Definícia 1

oddiel- priamka spájajúca dva ľubovoľné body, nazývaná konce úsečky. Ako príklad nech sú to body A a B a segment A B .

Ak úsek A B pokračuje v oboch smeroch z bodov A a B, dostaneme priamku A B. Potom je úsečka A B časťou získanej priamky ohraničenej bodmi A a B . Segment A B spája body A a B , ktoré sú jeho koncami, ako aj množinu bodov ležiacich medzi nimi. Ak napríklad vezmeme ľubovoľný bod K ležiaci medzi bodmi A a B , môžeme povedať, že bod K leží na úsečke A B .

Definícia 2

Dĺžka rezu je vzdialenosť medzi koncami segmentu v danej mierke (segment jednotky dĺžky). Dĺžku úsečky A B označíme takto: A B .

Definícia 3

stredný bod Bod na úsečke, ktorý je rovnako vzdialený od jej koncov. Ak je stred segmentu A B označený bodom C, potom bude platiť rovnosť: A C \u003d C B

Počiatočné údaje: súradnicová čiara O x a nezhodné body na nej: A a B . Tieto body zodpovedajú skutočným číslam x A a x B. Bod C je stredom segmentu A B: musíte určiť súradnicu x C.

Keďže bod C je stredom úsečky A B, rovnosť bude platiť: | A C | = | C B | . Vzdialenosť medzi bodmi je určená modulom rozdielu ich súradníc, t.j.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Potom sú možné dve rovnosti: x C - x A = x B - x C a x C - x A = - (x B - x C)

Z prvej rovnosti odvodíme vzorec pre súradnicu bodu C: x C \u003d x A + x B 2 (polovica súčtu súradníc koncov segmentu).

Z druhej rovnosti dostaneme: x A = x B , čo je nemožné, pretože v pôvodných údajoch - nezhodné body. Touto cestou, vzorec na určenie súradníc stredu úsečky A B s koncami A (x A) a B(xB):

Výsledný vzorec bude základom pre určenie súradníc stredu segmentu v rovine alebo v priestore.

Počiatočné údaje: pravouhlý súradnicový systém v rovine O x y , dva ľubovoľné nezhodné body s danými súradnicami A x A , y A a B x B , y B . Bod C je stredom segmentu A B. Pre bod C je potrebné určiť súradnice x C a y C .

Zoberme si na analýzu prípad, keď sa body A a B nezhodujú a neležia na tej istej súradnicovej priamke alebo priamke kolmej na jednu z osí. Ax, Ay; B x , B y a C x , C y - priemety bodov A , B a C na súradnicové osi (priamky O x a O y).

Podľa konštrukcie sú priamky A A x, B B x, C C x rovnobežné; čiary sú tiež navzájom rovnobežné. Spolu s tým podľa Thalesovej vety z rovnosti AC \u003d CB vyplývajú rovnosti: A x C x \u003d C x B x a A y C y \u003d C y B y a oni zase, naznačujú, že bod C x - stred úsečky A x B x a C y je stred úsečky A y B y. A potom, na základe vzorca získaného skôr, dostaneme:

x C = x A + x B2 a yC = yA + yB2

Rovnaké vzorce možno použiť v prípade, keď body A a B ležia na rovnakej súradnicovej priamke alebo priamke kolmej na jednu z osí. Nebudeme vykonávať podrobnú analýzu tohto prípadu, zvážime ho iba graficky:

Ak zhrnieme všetko vyššie uvedené, súradnice stredu segmentu A B na rovine so súradnicami koncov A (x A, y A) A B(x B, y B) definovaný ako:

(x A + x B 2, y A + y B 2)

Východiskové údaje: súradnicový systém О x y z a dva ľubovoľné body s danými súradnicami A (x A , y A , z A) a B (x B , y B , z B) . Je potrebné určiť súradnice bodu C , ktorý je stredom úsečky A B .

Ax, Ay, Az; B x , B y , B z a C x , C y , C z - priemety všetkých daných bodov na osi súradnicového systému.

Podľa Thalesovej vety platia rovnosti: A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z

Preto body Cx, Cy, Cz sú stredovými bodmi segmentov AxBx, AyBy, AzBz. potom na určenie súradníc stredu segmentu v priestore platia nasledujúce vzorce:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Výsledné vzorce sú použiteľné aj v prípadoch, keď body A a B ležia na jednej zo súradnicových čiar; na priamke kolmej na jednu z osí; v jednej súradnicovej rovine alebo v rovine kolmej na jednu zo súradnicových rovín.

Určenie súradníc stredu segmentu prostredníctvom súradníc polomerových vektorov jeho koncov

Vzorec na nájdenie súradníc stredu segmentu možno odvodiť aj podľa algebraickej interpretácie vektorov.

Počiatočné údaje: pravouhlý karteziánsky súradnicový systém O x y , body s danými súradnicami A (x A , y A) a B (x B , x B) . Bod C je stredom segmentu A B.

Podľa geometrickej definície pôsobenia na vektory bude platiť nasledujúca rovnosť: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Bod C je v tomto prípade priesečníkom uhlopriečok rovnobežníka zostrojeného na základe vektorov O A → a O B → , t.j. bod stredu uhlopriečok.Súradnice polomerového vektora bodu sa rovnajú súradniciam bodu, potom platia rovnosti: OA → = (x A , y A) , OB → = (x B , y B). Urobme niekoľko operácií s vektormi v súradniciach a získame:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2, y A + y B 2

Preto má bod C súradnice:

x A + x B2, yA + yB2

Analogicky je definovaný vzorec na nájdenie súradníc stredu segmentu v priestore:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Príklady riešenia úloh na nájdenie súradníc stredu segmentu

Medzi úlohy zahŕňajúce použitie vyššie uvedených vzorcov sú tie, v ktorých je otázkou priamo vypočítať súradnice stredu segmentu, ako aj tie, ktoré zahŕňajú uvedenie daných podmienok na túto otázku: pojem „medián“ sa často používa, cieľom je nájsť súradnice jedného z koncov segmentu, ako aj problémy so symetriou, ktorých riešenie by vo všeobecnosti tiež nemalo spôsobovať ťažkosti po preštudovaní tejto témy. Uvažujme o typických príkladoch.

Príklad 1

Počiatočné údaje: na rovine - body s danými súradnicami A (- 7, 3) a B (2, 4) . Je potrebné nájsť súradnice stredu segmentu A B.

Riešenie

Označme stred úsečky A B bodom C . Jeho súradnice budú určené ako polovica súčtu súradníc koncov segmentu, t.j. body A a B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Odpoveď: súradnice stredu segmentu A B - 5 2 , 7 2 .

Príklad 2

Počiatočné údaje: súradnice trojuholníka A B C sú známe: A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) . Je potrebné nájsť dĺžku mediánu A M.

Riešenie

1. Podľa podmienok problému je A M medián, čo znamená, že M je stred segmentu B C . V prvom rade nájdeme súradnice stredu segmentu B C , t.j. M bodov:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Keďže už poznáme súradnice oboch koncov mediánu (body A a M), môžeme použiť vzorec na určenie vzdialenosti medzi bodmi a výpočet dĺžky mediánu A M:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

odpoveď: 58

Príklad 3

Počiatočné údaje: rovnobežnosten A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 je daný v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru. Sú uvedené súradnice bodu C 1 (1 , 1 , 0) a definovaný je aj bod M, ktorý je stredom uhlopriečky B D 1 a má súradnice M (4 , 2 , - 4) . Je potrebné vypočítať súradnice bodu A.

Riešenie

Diagonály rovnobežnostena sa pretínajú v jednom bode, ktorý je stredom všetkých uhlopriečok. Na základe tohto tvrdenia môžeme mať na pamäti, že bod M známy podmienkami úlohy je stredom úsečky А С 1 . Na základe vzorca na zistenie súradníc stredu úsečky v priestore nájdeme súradnice bodu A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

odpoveď: súradnice bodu A (7, 3, - 8) .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter