Metódy vývoja

Súčin čísel s rôznou mocnosťou. Stupeň a jeho vlastnosti. Vyčerpávajúci sprievodca (2020). Základné vlastnosti stupňov s iracionálnymi exponentmi

V predchádzajúcom článku sme hovorili o tom, čo sú monomiály. V tomto materiáli rozoberieme, ako riešiť príklady a problémy, v ktorých sa používajú. Tu budeme brať do úvahy také akcie, ako je odčítanie, sčítanie, násobenie, delenie monomílov a ich zvýšenie na mocninu s prirodzeným exponentom. Ukážeme si, ako sa takéto operácie definujú, uvedieme základné pravidlá ich vykonávania a aký by mal byť výsledok. Všetky teoretické ustanovenia budú ako obvykle ilustrované príkladmi problémov s popismi riešení.

Najpohodlnejšie je pracovať so štandardným zápisom monomílov, preto všetky výrazy, ktoré budú v článku použité, uvádzame v štandardnej forme. Ak sú pôvodne nastavené inak, odporúča sa najskôr uviesť ich do všeobecne akceptovanej formy.

Pravidlá sčítania a odčítania jednočlenov

Najjednoduchšie operácie, ktoré možno vykonať s monomiáliami, sú odčítanie a sčítanie. Vo všeobecnom prípade bude výsledkom týchto akcií polynóm (v niektorých špeciálnych prípadoch je možný aj monom).

Keď sčítame alebo odčítame jednočleny, najprv zapíšeme zodpovedajúci súčet a rozdiel vo všeobecne akceptovanom tvare, potom výsledný výraz zjednodušíme. Ak existujú podobné výrazy, musia byť uvedené, zátvorky musia byť otvorené. Vysvetlíme si to na príklade.

Príklad 1

podmienka: pridajte monočleny − 3 · x a 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .

Riešenie

Zapíšme si súčet pôvodných výrazov. Pridajte zátvorky a vložte medzi ne znamienko plus. Získame nasledovné:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Keď roztiahneme zátvorky, dostaneme - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Toto je polynóm napísaný v štandardnom tvare, ktorý bude výsledkom sčítania týchto monomov.

odpoveď:(− 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z.

Ak máme zadaných tri, štyri alebo viac výrazov, vykonáme tento úkon rovnakým spôsobom.

Príklad 2

podmienka: vykonajte dané operácie s polynómami v správnom poradí

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Riešenie

Začnime otvorením zátvoriek.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Vidíme, že výsledný výraz možno zjednodušiť redukciou podobných výrazov:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 ac + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 ac + 4 9

Máme polynóm, ktorý bude výsledkom tejto akcie.

odpoveď: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

V zásade môžeme s určitými obmedzeniami vykonávať sčítanie a odčítanie dvoch jednočlenov tak, že skončíme s jednočlenom. K tomu je potrebné dodržať niektoré podmienky týkajúce sa termínov a odpočítaných monomilov. Ako sa to robí, popíšeme v samostatnom článku.

Pravidlá pre násobenie monomilov

Akcia násobenia neukladá žiadne obmedzenia pre násobiteľov. Monomály, ktoré sa majú násobiť, nesmú spĺňať žiadne dodatočné podmienky, aby bol výsledok jednočlenný.

Ak chcete vykonať násobenie monomiálov, musíte vykonať nasledujúce kroky:

Zaznamenajte kus správne.
Rozbaľte zátvorky vo výslednom výraze.
Ak je to možné, zoskupte faktory s rovnakými premennými a číselnými faktormi oddelene.
Vykonajte potrebné akcie s číslami a aplikujte vlastnosť násobenia právomocí s rovnakými základmi na zostávajúce faktory.

Pozrime sa, ako sa to robí v praxi.

Príklad 3

podmienka: vynásobte jednočleny 2 · x 4 · y · z a - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

Riešenie

Začnime skladbou práce.

Otvorením zátvoriek v ňom dostaneme nasledovné:

2 x 4 r z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 r z 3 z 11

Jediné, čo musíme urobiť, je vynásobiť čísla v prvej zátvorke a použiť vlastnosť mocniny na druhú. V dôsledku toho dostaneme nasledovné:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 r z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 r z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 r z 14

odpoveď: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Ak máme v podmienke tri alebo viac polynómov, vynásobíme ich presne tým istým algoritmom. Problematiku násobenia monomilov podrobnejšie zvážime v samostatnom materiáli.

Pravidlá pre povýšenie monomiálu na mocninu

Vieme, že súčin určitého počtu rovnakých faktorov sa nazýva stupeň s prirodzeným exponentom. Ich počet je označený číslom v indikátore. Podľa tejto definície je umocnenie jednočlenu na mocninu ekvivalentné vynásobeniu uvedeného počtu identických jednočlenov. Pozrime sa, ako sa to robí.

Príklad 4

podmienka: umocni jednočlen − 2 · a · b 4 na mocninu 3 .

Riešenie

Umocňovanie môžeme nahradiť násobením 3 jednočlenov − 2 · a · b 4 . Zapíšme si a získame požadovanú odpoveď:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (aaa) (b 4 b 4 b 4) = − 8 a 3 b 12

odpoveď:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

Ale čo keď má titul veľký exponent? Nahrávanie veľkého počtu multiplikátorov je nepohodlné. Potom na vyriešenie takéhoto problému potrebujeme aplikovať vlastnosti stupňa, a to vlastnosť stupňa súčinu a vlastnosť stupňa v stupni.

Vyriešme problém, ktorý sme citovali vyššie, naznačeným spôsobom.

Príklad 5

podmienka: zvýšiť − 2 · a · b 4 na tretiu mocninu.

Riešenie

Keď poznáme vlastnosť stupňa v stupni, môžeme pristúpiť k vyjadreniu v nasledujúcom tvare:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

Potom zvýšime na mocninu - 2 a použijeme vlastnosť exponent:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

odpoveď:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

Samostatný článok sme venovali aj povýšeniu monomiálu na mocninu.

Pravidlá delenia monomilov

Poslednou akciou s jednočlenmi, ktorú v tomto materiáli rozoberieme, je delenie jednočlena jednočlenom. V dôsledku toho by sme mali dostať racionálny (algebraický) zlomok (v niektorých prípadoch je možné získať monomial). Hneď si ujasnime, že delenie nulovým monomilom nie je definované, pretože delenie 0 nie je definované.

Aby sme vykonali delenie, musíme zapísať označené monoméry vo forme zlomku a podľa možnosti ho zmenšiť.

Príklad 6

podmienka: delíme jednočlen − 9 x 4 y 3 z 7 o − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .

Riešenie

Začnime písaním monočlenov vo forme zlomku.

9 x 4 r. 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 r. 2

Táto frakcia sa môže znížiť. Po vykonaní tohto dostaneme:

3 x 2 r z 7 2 p 3 t 5

odpoveď:- 9 x 4 r 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 r 2 = 3 x 2 r z 7 2 p 3 t 5 .

Podmienky, za ktorých v dôsledku delenia jednočlenov dostaneme jednočlenný člen, uvádzame v samostatnom článku.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Silové vzorce používa sa v procese znižovania a zjednodušovania zložitých výrazov, pri riešení rovníc a nerovníc.

číslo c je n-tá mocnina čísla a kedy:

Operácie so stupňami.

1. Vynásobením stupňov s rovnakým základom sa ich ukazovatele spočítajú:

a ma n = a m + n.

2. Pri delení stupňov s rovnakým základom sa ich ukazovatele odpočítajú:

3. Stupeň súčinu 2 alebo viacerých faktorov sa rovná súčinu stupňov týchto faktorov:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stupeň zlomku sa rovná pomeru stupňov dividendy a deliteľa:

(a/b) n = a n/bn.

5. Zvýšením mocniny na mocninu sa exponenty vynásobia:

(am) n = a m n .

Každý vzorec vyššie je správny v smere zľava doprava a naopak.

Napríklad. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operácie s koreňmi.

1. Koreň súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu koreňov týchto faktorov:

2. Odmocnina pomeru sa rovná pomeru dividendy a deliteľa koreňov:

3. Pri zvyšovaní odmocniny na mocninu stačí zvýšiť odmocninu na túto mocninu:

4. Ak zvýšime stupeň koreňa v n raz a zároveň zvýšiť na n mocnina je číslo odmocniny, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

5. Ak znížime stupeň koreňa v n root súčasne n stupňa od radikálneho čísla, potom sa hodnota koreňa nezmení:

Stupeň so záporným exponentom. Stupeň určitého čísla s kladným (celočíselným) exponentom je definovaný ako podiel vydelený stupňom toho istého čísla s exponentom rovným absolútnej hodnote kladného exponentu:

Vzorec a m:a n = a m - n možno použiť nielen na m> n, ale aj pri m< n.

Napríklad. a4:a7 = a4-7 = a-3.

Formulovať a m:a n = a m - n sa stal spravodlivým m=n, potrebujete prítomnosť nultého stupňa.

Stupeň s nulovým exponentom. Mocnina akéhokoľvek nenulového čísla s nulovým exponentom sa rovná jednej.

Napríklad. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupeň so zlomkovým exponentom. Zvýšiť skutočné číslo ale do istej miery m/n, musíte extrahovať koreň n tý stupeň m mocnina tohto čísla ale.

Pojem diplom z matematiky sa zavádza už v 7. ročníku na hodine algebry. A v budúcnosti, počas štúdia matematiky, sa tento koncept aktívne používa vo svojich rôznych formách. Stupne sú pomerne zložitou témou, ktorá si vyžaduje zapamätanie si hodnôt a schopnosť správne a rýchlo počítať. Pre rýchlejšiu a lepšiu prácu s titulmi z matematiky prišli s vlastnosťami titulu. Pomáhajú obmedziť veľké výpočty, do určitej miery previesť obrovský príklad na jediné číslo. Vlastností nie je až tak veľa a všetky sa dajú ľahko zapamätať a aplikovať v praxi. Preto článok pojednáva o hlavných vlastnostiach stupňa, ako aj o tom, kde sa uplatňujú.

stupňa vlastnosti

Budeme uvažovať o 12 vlastnostiach stupňa vrátane vlastností mocnín s rovnakým základom a ku každej vlastnosti uvedieme príklad. Každá z týchto vlastností vám pomôže rýchlejšie vyriešiť problémy so stupňami a tiež vás ušetrí od mnohých výpočtových chýb.

1. nehnuteľnosť.

Mnoho ľudí veľmi často zabúda na túto vlastnosť, robí chyby a predstavuje číslo na nulový stupeň ako nulu.

2. nehnuteľnosť.

3. nehnuteľnosť.

Treba si uvedomiť, že túto vlastnosť je možné použiť len pri násobení čísel, nepracuje so súčtom! A nesmieme zabúdať, že táto a nasledujúce vlastnosti platia len pre mocniny s rovnakým základom.

4. nehnuteľnosť.

Ak je číslo v menovateli umocnené na zápornú mocninu, potom pri odčítaní sa stupeň menovateľa berie do zátvoriek, aby sa správne nahradilo znamienko v ďalších výpočtoch.

Vlastnosť funguje len pri delení, nie pri odčítaní!

5. nehnuteľnosť.

6. nehnuteľnosť.

Túto vlastnosť možno použiť aj opačne. Jednotka delená číslom do určitej miery je toto číslo na zápornú mocninu.

7. nehnuteľnosť.

Túto vlastnosť nemožno použiť na súčet a rozdiel! Pri zvyšovaní súčtu alebo rozdielu na mocninu sa používajú skrátené vzorce násobenia, nie vlastnosti mocniny.

8. nehnuteľnosť.

9. nehnuteľnosť.

Táto vlastnosť funguje pre ľubovoľný zlomkový stupeň s čitateľom rovným jednej, vzorec bude rovnaký, iba stupeň odmocniny sa bude meniť v závislosti od menovateľa stupňa.

Táto vlastnosť sa tiež často používa v opačnom poradí. Odmocninu ktorejkoľvek mocniny čísla možno znázorniť ako číslo k mocnine jednotky vydelené mocninou odmocniny. Táto vlastnosť je veľmi užitočná v prípadoch, keď nie je extrahovaný koreň čísla.

10. nehnuteľnosť.

Táto vlastnosť funguje nielen s druhou odmocninou a druhým stupňom. Ak je stupeň koreňa a stupeň, do ktorého je tento koreň vyvýšený, rovnaký, potom bude odpoveďou radikálny výraz.

11. nehnuteľnosť.

Túto vlastnosť musíte pri riešení včas vidieť, aby ste sa ušetrili od obrovských výpočtov.

12. nehnuteľnosť.

Každá z týchto vlastností sa vám v úlohách stretne viackrát, môže byť uvedená v čistej forme, alebo si môže vyžadovať nejaké transformácie a použitie iných vzorcov. Pre správne riešenie preto nestačí poznať len vlastnosti, treba si precvičiť a prepojiť ostatné matematické poznatky.

Aplikácia stupňov a ich vlastnosti

Aktívne sa používajú v algebre a geometrii. Samostatné, dôležité miesto majú tituly z matematiky. S ich pomocou sa riešia exponenciálne rovnice a nerovnice, ako aj mocniny často komplikujú rovnice a príklady súvisiace s inými úsekmi matematiky. Exponenty pomáhajú vyhnúť sa veľkým a dlhým výpočtom, je jednoduchšie zmenšiť a vypočítať exponenty. Ale na prácu s veľkými mocninami alebo s mocninami veľkých čísel potrebujete poznať nielen vlastnosti stupňa, ale aj kompetentne pracovať s bázami, vedieť ich rozložiť, aby ste si uľahčili úlohu. Pre pohodlie by ste tiež mali poznať význam čísel umocnených na mocninu. Tým sa skráti čas pri riešení, pretože odpadá potreba dlhých výpočtov.

Osobitnú úlohu v logaritmoch zohráva pojem stupňa. Pretože logaritmus je v podstate sila čísla.

Skrátené vzorce na násobenie sú ďalším príkladom použitia mocniny. Nemôžu využívať vlastnosti stupňov, rozkladajú sa podľa osobitných pravidiel, ale v každom skrátenom násobiteľskom vzorci sú vždy stupne.

Tituly sa aktívne využívajú aj vo fyzike a informatike. Všetky preklady do sústavy SI sa robia pomocou stupňov a v budúcnosti sa pri riešení úloh uplatňujú vlastnosti stupňa. V informatike sa aktívne používajú mocniny dvoch pre pohodlie počítania a zjednodušenie vnímania čísel. Ďalšie výpočty na prevody merných jednotiek alebo výpočty problémov, rovnako ako vo fyzike, sa vyskytujú pomocou vlastností stupňa.

Stupne sú veľmi užitočné aj v astronómii, kde málokedy nájdete využitie vlastností stupňa, no samotné stupne sa aktívne využívajú na skrátenie záznamu rôznych veličín a vzdialeností.

Stupne sa používajú aj v každodennom živote, pri výpočte plôch, objemov, vzdialeností.

Pomocou stupňov sú v akejkoľvek oblasti vedy napísané veľmi veľké a veľmi malé hodnoty.

exponenciálne rovnice a nerovnice

Vlastnosti stupňov zaujímajú špeciálne miesto práve v exponenciálnych rovniciach a nerovniciach. Tieto úlohy sú veľmi bežné v školskom kurze aj na skúškach. Všetky sú riešené aplikáciou vlastností stupňa. Neznáma je vždy v samotnom stupni, preto, keď poznáme všetky vlastnosti, nebude ťažké vyriešiť takúto rovnicu alebo nerovnosť.

Ak nevenujeme pozornosť ôsmemu stupňu, čo tu vidíme? Poďme sa pozrieť na program pre 7. ročník. Takže, pamätáš? Toto je skrátený vzorec násobenia, teda rozdiel štvorcov! Dostaneme:

Pozorne sa pozrieme na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z faktorov čitateľa, ale čo je zlé? Nesprávne poradie výrazov. Ak by sa vymenili, mohlo by platiť pravidlo.

Ale ako na to? Ukazuje sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Termíny magicky zmenili miesta. Tento „fenomén“ platí pre akýkoľvek výraz v párnej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľubovoľne meniť.

Ale je dôležité mať na pamäti: všetky znaky sa menia súčasne!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

celý pomenúvame prirodzené čísla, ich protiklady (teda brané so znamienkom "") a číslo.

kladné celé číslo, a nelíši sa od prirodzeného, potom všetko vyzerá presne ako v predchádzajúcej časti.

Teraz sa pozrime na nové prípady. Začnime s ukazovateľom rovným.

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej:

Ako vždy si kladieme otázku: prečo je to tak?

Zvážte nejakú silu so základňou. Vezmite si napríklad a vynásobte:

Takže sme číslo vynásobili a dostali sme rovnaké ako -. Aké číslo treba vynásobiť, aby sa nič nezmenilo? Presne tak, tak. Prostriedky.

To isté môžeme urobiť s ľubovoľným číslom:

Zopakujme si pravidlo:

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej.

Existujú však výnimky z mnohých pravidiel. A tu je to tiež tam - toto je číslo (ako základ).

Na jednej strane sa musí rovnať ľubovoľnému stupňu – nech už nulu vynásobíte akokoľvek, stále dostanete nulu, to je jasné. Ale na druhej strane, ako každé číslo na nulový stupeň, musí sa rovnať. Aká je teda pravda? Matematici sa rozhodli nezasahovať a odmietli zvýšiť nulu na nulovú mocninu. To znamená, že teraz môžeme nielen deliť nulou, ale aj zvýšiť na nulovú mocninu.

Poďme ďalej. Okrem prirodzených čísel a čísel zahŕňajú celé čísla aj záporné čísla. Aby sme pochopili, čo je záporný stupeň, urobme to isté ako naposledy: vynásobíme nejaké normálne číslo rovnakým v zápornom stupni:

Odtiaľ je už ľahké vyjadriť želané:

Teraz rozšírime výsledné pravidlo na ľubovoľnú mieru:

Sformulujme teda pravidlo:

Číslo k zápornej mocnine je prevrátená hodnota rovnakého čísla ku kladnej mocnine. Ale v rovnakom čase základ nemôže byť null:(pretože sa to nedá rozdeliť).

Poďme si to zhrnúť:

I. Výraz nie je definovaný v prípade písmen. Ak potom.

II. Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej: .

III. Číslo, ktoré sa nerovná nule k zápornej mocnine, je prevrátená hodnota rovnakého čísla ku kladnej mocnine: .

Úlohy na samostatné riešenie:

Ako obvykle, príklady pre nezávislé riešenie:

Analýza úloh pre samostatné riešenie:

Viem, viem, čísla sú strašidelné, ale na skúške musíte byť pripravení na všetko! Vyriešte tieto príklady alebo rozoberte ich riešenie, ak ste to nevedeli vyriešiť a na skúške sa naučíte, ako si s nimi jednoducho poradiť!

Pokračujme v rozširovaní rozsahu čísel „vhodných“ ako exponent.

Teraz zvážte racionálne čísla. Aké čísla sa nazývajú racionálne?

Odpoveď: všetko, čo môže byť reprezentované ako zlomok, kde a sú celé čísla, navyše.

Aby ste pochopili, čo je "zlomkový stupeň" Zoberme si zlomok:

Uveďme obe strany rovnice na mocninu:

Teraz si zapamätajte pravidlo "od stupňa k stupňu":

Aké číslo je potrebné zvýšiť na mocninu, aby ste získali?

Táto formulácia je definíciou koreňa t. stupňa.

Dovoľte mi pripomenúť: odmocnina tej mocniny čísla () je číslo, ktoré sa po umocnení rovná.

To znamená, že koreň tého stupňa je inverzná operácia umocňovania: .

Ukazuje sa, že. Je zrejmé, že tento špeciálny prípad môže byť rozšírený: .

Teraz pridajte čitateľa: čo to je? Odpoveď je ľahké získať pomocou pravidla power-to-power:

Ale môže byť základom akékoľvek číslo? Koniec koncov, koreň nemožno extrahovať zo všetkých čísel.

Žiadne!

Pamätajte na pravidlo: každé číslo umocnené na párnu mocninu je kladné číslo. To znamená, že nie je možné extrahovať korene párneho stupňa zo záporných čísel!

A to znamená, že takéto čísla nemožno zvýšiť na zlomkovú mocninu s párnym menovateľom, to znamená, že výraz nedáva zmysel.

A čo vyjadrovanie?

Tu však nastáva problém.

Číslo môže byť reprezentované ako iné, zmenšené zlomky, napr.

A ukázalo sa, že existuje, ale neexistuje, a to sú len dva rôzne záznamy rovnakého čísla.

Alebo iný príklad: raz, potom si to môžete zapísať. Ale akonáhle napíšeme indikátor iným spôsobom, opäť dostaneme problém: (to znamená, že sme dostali úplne iný výsledok!).

Aby ste sa vyhli takýmto paradoxom, zvážte iba kladný základný exponent so zlomkovým exponentom.

Takže ak:

- prirodzené číslo;
je celé číslo;

Príklady:

Mocniny s racionálnym exponentom sú veľmi užitočné pri transformácii výrazov s koreňmi, napríklad:

5 príkladov z praxe

Rozbor 5 príkladov na školenie

1. Nezabudnite na obvyklé vlastnosti stupňov:

2. Tu si pripomíname, že sme sa zabudli naučiť tabuľku stupňov:

predsa - toto resp. Riešenie sa nájde automaticky: .

No, teraz - najťažšie. Teraz budeme analyzovať stupňa s iracionálnym exponentom.

Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupne s racionálnym exponentom, s výnimkou

Podľa definície sú iracionálne čísla čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (to znamená, že iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzeným, celočíselným a racionálnym ukazovateľom sme si zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch.

Napríklad prirodzený exponent je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí;

...nulový výkon- je to akoby číslo raz vynásobené samo sebou, teda ešte sa nezačalo násobiť, čiže samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda len určitá „príprava číslo“, menovite číslo;

...záporný exponent celého čísla- je to, ako keby nastal určitý „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené samo o sebe, ale rozdelené.

Mimochodom, vo vede sa často používa stupeň s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo.

Ale v škole o takýchto ťažkostiach nepremýšľame, v inštitúte budete mať príležitosť pochopiť tieto nové pojmy.

KAM SOM SI ISTÝ, ŽE PÔJDETE! (ak sa naucis riesit taketo priklady :))

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

Analýza riešení:

1. Začnime s už zaužívaným pravidlom pre zvyšovanie titulu na stupeň:

Teraz sa pozrite na skóre. Pripomína ti niečo? Pripomíname si vzorec pre skrátené násobenie rozdielu štvorcov:

V tomto prípade,

Ukazuje sa, že:

odpoveď: .

2. Zlomky v exponentoch privedieme do rovnakého tvaru: buď oba desatinné, alebo oba obyčajné. Dostaneme napríklad:

odpoveď: 16

3. Nič zvláštne, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňov:

POKROČILÁ ÚROVEŇ

Definícia stupňa

Stupeň je vyjadrením tvaru: , kde:

— základ titulu;
- exponent.

Stupeň s prirodzeným exponentom (n = 1, 2, 3,...)

Zvýšenie čísla na prirodzenú mocninu n znamená vynásobenie čísla samo o sebe krát:

Mocnina s celočíselným exponentom (0, ±1, ±2,...)

Ak je exponent kladné celé čísločíslo:

erekcia na nulový výkon:

Výraz je neurčitý, pretože na jednej strane je do akéhokoľvek stupňa toto a na druhej strane akékoľvek číslo do tého stupňa je toto.

Ak je exponent celé číslo zápornéčíslo:

(pretože sa to nedá rozdeliť).

Ešte raz o nulách: výraz nie je definovaný v prípade. Ak potom.

Príklady:

Stupeň s racionálnym exponentom

- prirodzené číslo;
je celé číslo;

Príklady:

Vlastnosti stupňa

Aby sme uľahčili riešenie problémov, pokúsme sa pochopiť: odkiaľ tieto vlastnosti pochádzajú? Dokážme ich.

Pozrime sa: čo je a?

Podľa definície:

Takže na pravej strane tohto výrazu sa získa nasledujúci produkt:

Ale podľa definície ide o mocninu čísla s exponentom, teda:

Q.E.D.

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : .

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle nevyhnutne musí mať rovnaký základ. Preto kombinujeme stupne so základňou, ale zostávame samostatným faktorom:

Ďalšia dôležitá poznámka: toto pravidlo - len pre produkty mocností!

V žiadnom prípade by som to nemal písať.

Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, prejdime k definícii stupňa:

Preusporiadame to takto:

Ukazuje sa, že výraz sa sám násobí raz, to znamená, že podľa definície je to -tá mocnina čísla:

V skutočnosti sa to dá nazvať „zátvorkou indikátora“. Ale nikdy to nemôžete urobiť úplne:!

Pripomeňme si vzorce na skrátené násobenie: koľkokrát sme chceli písať? Ale to nie je pravda, naozaj.

Moc s negatívnou bázou.

Až do tohto bodu sme diskutovali len o tom, čo by malo byť indikátor stupňa. Čo by však malo byť základom? V stupňoch od prirodzené indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo .

V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek číslo, či už je kladné, záporné alebo párne. Zamyslime sa nad tým, aké znamienka ("" alebo "") budú mať stupne kladných a záporných čísel?

Napríklad, bude číslo kladné alebo záporné? ALE? ?

Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Ale tie negatívne sú o niečo zaujímavejšie. Veď si pamätáme jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus krát mínus dáva plus“. Teda resp. Ale ak vynásobíme (), dostaneme -.

A tak ďalej ad infinitum: s každým ďalším násobením sa znamienko zmení. Môžete formulovať tieto jednoduché pravidlá:

dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
Kladné číslo na akúkoľvek mocninu je kladné číslo.
Nula k akejkoľvek mocnine sa rovná nule.

Určite si sami, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Zvládli ste to? Tu sú odpovede:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Jednoducho sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je párny, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny. Teda okrem prípadov, keď je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).

Príklad 6) už nie je taký jednoduchý. Tu musíte zistiť, čo je menej: alebo? Ak si to pamätáte, je jasné, že to znamená, že základňa je menšia ako nula. To znamená, že použijeme pravidlo 2: výsledok bude negatívny.

A opäť použijeme definíciu stupňa:

Všetko je ako obvykle - zapíšeme definíciu stupňov a rozdelíme ich na seba, rozdelíme do dvojíc a dostaneme:

Pred analýzou posledného pravidla vyriešme niekoľko príkladov.

Vypočítajte hodnoty výrazov:

Riešenia :

Ak nevenujeme pozornosť ôsmemu stupňu, čo tu vidíme? Poďme sa pozrieť na program pre 7. ročník. Takže, pamätáš? Toto je skrátený vzorec násobenia, teda rozdiel štvorcov!

Dostaneme:

Pozorne sa pozrieme na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z faktorov čitateľa, ale čo je zlé? Nesprávne poradie výrazov. Ak by boli obrátené, mohlo by sa použiť pravidlo 3. Ale ako to urobiť? Ukazuje sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Ak to vynásobíte, nič sa nezmení, však? Ale teraz to vyzerá takto:

Termíny magicky zmenili miesta. Tento „fenomén“ platí pre akýkoľvek výraz v párnej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľubovoľne meniť. Ale je dôležité mať na pamäti: všetky znaky sa menia súčasne! Nedá sa to nahradiť zmenou jediného pre nás nevýhodného mínusu!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

Takže teraz posledné pravidlo:

Ako to chceme dokázať? Samozrejme, ako obvykle: rozšírme pojem titul a zjednodušíme:

No, teraz otvoríme zátvorky. Koľko písmen bude? krát podľa násobiteľov - ako to vyzerá? Toto nie je nič iné ako definícia operácie násobenie: celkom sa ukázalo, že existujú multiplikátory. To znamená, že je to podľa definície mocnina čísla s exponentom:

Príklad:

Stupeň s iracionálnym exponentom

Okrem informácií o stupňoch pre priemernú úroveň budeme analyzovať stupeň s iracionálnym ukazovateľom. Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupeň s racionálnym exponentom, s výnimkou - napokon iracionálne čísla sú podľa definície čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (tj. , iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzeným, celočíselným a racionálnym ukazovateľom sme si zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch. Napríklad prirodzený exponent je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí; číslo do nultého stupňa je akoby číslom, ktoré sa už raz násobí samo sebou, to znamená, že sa ešte nezačalo násobiť, čo znamená, že samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda iba určitá „príprava čísla“, konkrétne číslo; stupeň so záporným celým číslom - je to, ako keby nastal určitý „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené, ale rozdelené.

Je mimoriadne ťažké predstaviť si stupeň s iracionálnym exponentom (rovnako ako je ťažké predstaviť si 4-rozmerný priestor). Ide skôr o čisto matematický objekt, ktorý matematici vytvorili, aby rozšírili pojem stupňa na celý priestor čísel.

Mimochodom, vo vede sa často používa stupeň s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo. Ale v škole o takýchto ťažkostiach nepremýšľame, v inštitúte budete mať príležitosť pochopiť tieto nové pojmy.

Čo teda urobíme, ak uvidíme iracionálny exponent? Snažíme sa, aby sme sa toho zbavili! :)

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

odpovede:

Pamätajte na rozdiel vo vzorci štvorcov. Odpoveď: .
Zlomky prinášame do rovnakého tvaru: buď obe desatinné miesta, alebo obe obyčajné. Dostaneme napríklad: .
Nič zvláštne, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňov:

SÚHRN SEKCIE A ZÁKLADNÝ VZOREC

stupňa sa nazýva výraz v tvare: , kde:

Stupeň s celočíselným exponentom

stupňa, ktorého exponentom je prirodzené číslo (t. j. celé číslo a kladné číslo).

Stupeň s racionálnym exponentom

stupňa, ktorého ukazovateľom sú záporné a zlomkové čísla.

Stupeň s iracionálnym exponentom

exponent, ktorého exponent je nekonečný desatinný zlomok alebo odmocnina.

Vlastnosti stupňa

Vlastnosti stupňov.

Záporné číslo zvýšené na dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
Kladné číslo na akúkoľvek mocninu je kladné číslo.
Nula sa rovná akejkoľvek moci.
Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná.

TERAZ MÁTE SLOVO...

Ako sa vám páči článok? Dajte mi vedieť v komentároch nižšie, či sa vám to páčilo alebo nie.

Povedzte nám o svojich skúsenostiach s energetickými vlastnosťami.

Možno máte otázky. Alebo návrhy.

Napíšte do komentárov.

A veľa šťastia pri skúškach!

Obsah lekcie

čo je titul?

stupňa nazývaný produkt niekoľkých rovnakých faktorov. Napríklad:

2×2×2

Hodnota tohto výrazu je 8

2 x 2 x 2 = 8

Ľavá strana tejto rovnice môže byť skrátená - najprv si zapíšte opakujúci sa faktor a uveďte nad ním, koľkokrát sa opakuje. Opakujúci sa násobiteľ je v tomto prípade 2. Opakuje sa trikrát. Preto nad dvojkou píšeme trojku:

2 3 = 8

Tento výraz znie takto: dve až tretia mocnina sa rovná ôsmim alebo " tretia mocnina 2 je 8.

Častejšie sa používa krátka forma zápisu násobenie tých istých faktorov. Preto si musíme uvedomiť, že ak je nad nejaké číslo vpísané iné číslo, potom ide o násobenie niekoľkých rovnakých faktorov.

Napríklad, ak je uvedený výraz 5 3, potom treba mať na pamäti, že tento výraz je ekvivalentný zápisu 5 × 5 × 5.

Zavolá sa číslo, ktoré sa opakuje základ stupňa. Vo výraze 5 3 je základom stupňa číslo 5 .

A volá sa číslo, ktoré je napísané nad číslom 5 exponent. Vo výraze 5 3 je exponentom číslo 3. Exponent ukazuje, koľkokrát sa základ stupňa opakuje. V našom prípade sa základ 5 opakuje trikrát.

Operácia násobenia identických faktorov je tzv umocňovanie.

Napríklad, ak potrebujete nájsť súčin štyroch rovnakých faktorov, z ktorých každý sa rovná 2, potom hovoria, že číslo 2 zvýšil na štvrtú mocninu:

Vidíme, že číslo 2 až štvrtá mocnina je číslo 16.

Všimnite si, že v tejto lekcii sa pozeráme na stupňa s prirodzeným ukazovateľom. Ide o druh stupňa, ktorého exponentom je prirodzené číslo. Pripomeňme, že prirodzené čísla sú celé čísla väčšie ako nula. Napríklad 1, 2, 3 atď.

Vo všeobecnosti je definícia stupňa s prirodzeným ukazovateľom nasledovná:

Stupeň a s prirodzeným indikátorom n je vyjadrením formy a n, ktorá sa rovná produktu n multiplikátory, z ktorých každý sa rovná a

Príklady:

Buďte opatrní pri zvyšovaní čísla na mocninu. Často človek nepozornosťou znásobí základ stupňa exponentom.

Napríklad číslo 5 k druhej mocnine je súčinom dvoch faktorov, z ktorých každý sa rovná 5. Tento súčin sa rovná 25

Teraz si predstavte, že sme neúmyselne vynásobili základ 5 exponentom 2

Vyskytla sa chyba, pretože číslo 5 na druhú mocninu sa nerovná 10.

Okrem toho je potrebné spomenúť, že mocninou čísla s exponentom 1 je samotné číslo:

Napríklad číslo 5 k prvej mocnine je samotné číslo 5.

Ak teda číslo nemá indikátor, musíme predpokladať, že indikátor je rovný jednej.

Napríklad čísla 1, 2, 3 sú uvedené bez exponentu, takže ich exponenty sa budú rovnať jednej. Každé z týchto čísel možno zapísať s exponentom 1

A ak zvýšite 0 na nejakú mocninu, dostanete 0. V skutočnosti, bez ohľadu na to, koľkokrát sa nič nevynásobí samo od seba, nič nevyjde. Príklady:

A výraz 0 0 nedáva zmysel. Ale v niektorých odvetviach matematiky, najmä v analýze a teórii množín, výraz 0 0 môže dávať zmysel.

Na trénovanie vyriešime niekoľko príkladov zvyšovania čísel na mocninu.

Príklad 1 Zvýšte číslo 3 na druhú mocninu.

Číslo 3 k druhej mocnine je súčinom dvoch faktorov, z ktorých každý sa rovná 3

3 2 = 3 × 3 = 9

Príklad 2 Zvýšte číslo 2 na štvrtú mocninu.

Číslo 2 až štvrtá mocnina je súčinom štyroch faktorov, z ktorých každý sa rovná 2

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Príklad 3 Zvýšte číslo 2 na tretiu mocninu.

Číslo 2 až tretia mocnina je súčinom troch faktorov, z ktorých každý sa rovná 2

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

Umocnenie čísla 10

Na zvýšenie čísla 10 na mocninu stačí pridať za jednotku počet núl, ktorý sa rovná exponentu.

Uveďme napríklad číslo 10 na druhú mocninu. Najprv napíšeme samotné číslo 10 a označíme číslo 2 ako indikátor

10 2

Teraz dáme znamienko rovnosti, zapíšeme jednotku a po tejto zapíšeme dve nuly, pretože počet núl by sa mal rovnať exponentu

10 2 = 100

Takže číslo 10 k druhej mocnine je číslo 100. Je to spôsobené tým, že číslo 10 k druhej mocnine je súčinom dvoch faktorov, z ktorých každý sa rovná 10

102 = 10 × 10 = 100

Príklad 2. Zvýšme číslo 10 na tretiu mocninu.

V tomto prípade budú za jednotkou tri nuly:

10 3 = 1000

Príklad 3. Zvýšme číslo 10 na štvrtú mocninu.

V tomto prípade budú za jednotkou štyri nuly:

10 4 = 10000

Príklad 4. Zvýšme číslo 10 na prvú mocninu.

V tomto prípade bude za jednotkou jedna nula:

10 1 = 10

Znázorňujúce čísla 10, 100, 1000 ako mocninu so základom 10

Ak chcete reprezentovať čísla 10, 100, 1000 a 10000 ako mocninu so základom 10, musíte napísať základ 10 a zadať číslo rovnajúce sa počtu núl v pôvodnom čísle ako exponent.

Predstavme si číslo 10 ako mocninu so základom 10. Vidíme, že má jednu nulu. Takže číslo 10 ako mocnina so základom 10 bude reprezentované ako 10 1

10 = 10 1

Príklad 2. Predstavme si číslo 100 ako mocninu so základom 10. Vidíme, že číslo 100 obsahuje dve nuly. Takže číslo 100 ako mocnina so základom 10 bude reprezentované ako 102

100 = 10 2

Príklad 3. Predstavme si číslo 1000 ako mocninu so základom 10.

1 000 = 10 3

Príklad 4. Predstavme si číslo 10 000 ako mocninu so základom 10.

10 000 = 10 4

Umocnenie záporného čísla

Keď umocníte záporné číslo, musí byť uvedené v zátvorkách.

Napríklad umocnime záporné číslo −2 na druhú mocninu. Číslo -2 na druhú mocninu je súčinom dvoch faktorov, z ktorých každý sa rovná (-2)

(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4

Ak by sme číslo -2 neuviedli do zátvoriek, tak by to vyšlo tak, že vypočítame výraz -2 2, ktorý nerovná sa 4. Výraz -2² sa bude rovnať -4 . Aby sme pochopili prečo, dotknime sa niektorých bodov.

Keď dáme mínus pred kladné číslo, robíme to operácia prevzatia opačnej hodnoty.

Povedzme, že je dané číslo 2 a vy musíte nájsť jeho opačné číslo. Vieme, že opak 2 je -2. Inými slovami, na nájdenie opačného čísla pre 2 stačí dať pred toto číslo mínus. Vložiť mínus pred číslo sa už v matematike považuje za plnohodnotnú operáciu. Táto operácia, ako je uvedené vyššie, sa nazýva operácia prijatia opačnej hodnoty.

V prípade výrazu -2 2 nastávajú dve operácie: operácia prevzatia opačnej hodnoty a umocnenie. Zvýšenie na výkon je operácia s vyššou prioritou ako prebratie opačnej hodnoty.

Preto sa výraz −2 2 vypočíta v dvoch krokoch. Najprv sa vykoná operácia umocnenia. V tomto prípade sa kladné číslo 2 zvýšilo na druhú mocninu.

Potom sa vzala opačná hodnota. Táto opačná hodnota bola zistená pre hodnotu 4. A opačná hodnota pre 4 je -4

−2 2 = −4

Zátvorky majú najvyššiu prioritu vykonania. Preto v prípade výpočtu výrazu (−2) 2 sa najprv použije opačná hodnota a potom sa záporné číslo −2 zvýši na druhú mocninu. Výsledkom je kladná odpoveď 4, pretože súčin záporných čísel je kladné číslo.

Príklad 2. Zvýšte číslo -2 na tretiu mocninu.

Číslo -2 až tretia mocnina je súčinom troch faktorov, z ktorých každý sa rovná (-2)

(-2) 3 = (-2) × (-2) × (-2) = -8

Príklad 3. Zvýšte číslo -2 na štvrtú mocninu.

Číslo -2 až štvrtá mocnina je súčinom štyroch faktorov, z ktorých každý sa rovná (-2)

(-2) 4 = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 16

Je ľahké vidieť, že keď umocníte záporné číslo, môžete získať kladnú alebo zápornú odpoveď. Znamienko odpovede závisí od exponentu počiatočného stupňa.

Ak je exponent párny, odpoveď je áno. Ak je exponent nepárny, odpoveď je záporná. Ukážme si to na príklade čísla −3

V prvom a treťom prípade bol ukazovateľ zvláštnyčíslo, takže odpoveď sa stala negatívne.

V druhom a štvrtom prípade bol ukazovateľ dokoncačíslo, takže odpoveď sa stala pozitívne.

Príklad 7 Zvýšte číslo -5 na tretiu mocninu.

Číslo -5 až tretia mocnina je súčinom troch faktorov, z ktorých každý sa rovná -5. Exponent 3 je nepárne číslo, takže môžeme vopred povedať, že odpoveď bude záporná:

(-5) 3 = (-5) × (-5) × (-5) = -125

Príklad 8 Zvýšte číslo -4 na štvrtú mocninu.

Číslo -4 až štvrtá mocnina je súčinom štyroch faktorov, z ktorých každý sa rovná -4. V tomto prípade je ukazovateľ 4 párny, takže môžeme vopred povedať, že odpoveď bude kladná:

(-4) 4 = (-4) × (-4) × (-4) × (-4) = 256

Hľadanie hodnôt výrazov

Pri hľadaní hodnôt výrazov, ktoré neobsahujú zátvorky, sa najskôr vykoná umocnenie, potom násobenie a delenie v ich poradí a potom sčítanie a odčítanie v poradí.

Príklad 1. Nájdite hodnotu výrazu 2 + 5 2

Najprv sa vykoná umocnenie. V tomto prípade sa číslo 5 zvýši na druhú mocninu - ukáže sa 25. Potom sa tento výsledok pripočíta k číslu 2

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

Príklad 10. Nájdite hodnotu výrazu −6 2 × (−12)

Najprv sa vykoná umocnenie. Všimnite si, že číslo −6 nie je v zátvorkách, takže číslo 6 sa zvýši na druhú mocninu, potom sa pred výsledok umiestni mínus:

−6 2 × (–12) = −36 × (–12)

Príklad dokončíme vynásobením −36 číslom (−12)

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

Príklad 11. Nájdite hodnotu výrazu −3 × 2 2

Najprv sa vykoná umocnenie. Potom sa výsledok vynásobí číslom -3

−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12

Ak výraz obsahuje zátvorky, musíte najskôr vykonať operácie v týchto zátvorkách, potom umocnenie, potom násobenie a delenie a potom sčítanie a odčítanie.

Príklad 12. Nájdite hodnotu výrazu (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5

Najprv urobme zátvorky. Vo vnútri zátvoriek aplikujeme predtým naučené pravidlá, a to najprv zvýšiť číslo 3 na druhú mocninu, potom vykonať násobenie 1 × 3, potom pridať výsledky zvýšenia čísla 3 na mocninu a vynásobiť 1 × 3. Potom sa vykoná odčítanie a sčítanie v poradí, v akom sa objavujú. Usporiadajme nasledujúce poradie vykonávania akcie na pôvodnom výraze:

(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2

Príklad 13. Nájdite hodnotu výrazu 2 × 5 3 + 5 × 2 3

Najprv zvýšime čísla na mocninu, potom vykonáme násobenie a sčítame výsledky:

2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290

Identitné premeny síl

Na mocninách možno vykonávať rôzne identické transformácie, čím ich zjednodušujú.

Predpokladajme, že bolo potrebné vypočítať výraz (2 3) 2 . V tomto príklade sa dve až tretia mocnina zvýši na druhú mocninu. Inými slovami, stupeň sa zvýši na iný stupeň.

(2 3) 2 je súčin dvoch mocnín, z ktorých každá sa rovná 2 3

Okrem toho je každá z týchto mocnín súčinom troch faktorov, z ktorých každý sa rovná 2

Dostali sme súčin 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 , čo sa rovná 64. Takže hodnota výrazu (2 3) 2 alebo rovná 64

Tento príklad možno značne zjednodušiť. Na tento účel je možné ukazovatele výrazu (2 3) 2 vynásobiť a tento súčin prepísať cez základ 2

Mám 26. Dve až šiesta mocnina je súčinom šiestich faktorov, z ktorých každý sa rovná 2. Tento súčin sa rovná 64

Táto vlastnosť funguje, pretože 2 3 je súčin 2 × 2 × 2, ktorý sa zase dvakrát opakuje. Potom sa ukáže, že základ 2 sa opakuje šesťkrát. Odtiaľto môžeme napísať, že 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 je 2 6

Vo všeobecnosti z akéhokoľvek dôvodu a s indikátormi m A n platí nasledujúca rovnosť:

(a n)m = a n x m

Táto identická premena sa nazýva umocňovanie. Dá sa to čítať takto: „Pri zvýšení mocniny na mocninu sa základ nechá nezmenený a exponenty sa vynásobia“ .

Po vynásobení ukazovateľov získate ďalší stupeň, ktorého hodnotu je možné nájsť.

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu (3 2) 2

V tomto príklade je základ 3 a čísla 2 a 2 sú exponenty. Využime pravidlo umocňovania. Základ necháme nezmenený a vynásobíme ukazovatele:

Mám 34. A číslo 3 až štvrtá mocnina je 81

Pozrime sa na zvyšok premien.

Násobenie moci

Ak chcete vynásobiť stupne, musíte samostatne vypočítať každý stupeň a vynásobiť výsledky.

Napríklad vynásobme 2 2 3 3 .

2 2 je číslo 4 a 3 3 je číslo 27 . Vynásobíme čísla 4 a 27, dostaneme 108

2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108

V tomto príklade boli základy mocností odlišné. Ak sú základy rovnaké, potom je možné zapísať jednu základňu a ako indikátor napíšte súčet ukazovateľov počiatočných stupňov.

Napríklad vynásobte 2 2 číslom 2 3

V tomto príklade majú exponenty rovnaký základ. V tomto prípade môžete napísať jeden základ 2 a napísať súčet exponentov 2 2 a 2 3 ako ukazovateľ. Inými slovami, ponechajte základ nezmenený a pridajte exponenty pôvodných stupňov. Bude to vyzerať takto:

Mám 25. Číslo 2 až piata mocnina je 32

Táto vlastnosť funguje, pretože 2 2 je súčin 2 × 2 a 2 3 je súčin 2 × 2 × 2 . Potom sa získa súčin piatich rovnakých faktorov, z ktorých každý sa rovná 2. Tento produkt môže byť reprezentovaný ako 2 5

Vo všeobecnosti pre akékoľvek a a ukazovatele m A n platí nasledujúca rovnosť:

Táto identická premena sa nazýva hlavná vlastnosť stupňa. Dá sa to čítať takto: PPri násobení mocnín s rovnakým základom sa základ ponechá nezmenený a exponenty sa spočítajú. .

Všimnite si, že túto transformáciu možno aplikovať na ľubovoľný počet stupňov. Hlavná vec je, že základ je rovnaký.

Napríklad nájdime hodnotu výrazu 2 1 × 2 2 × 2 3 . Nadácia 2

V niektorých problémoch môže stačiť vykonať zodpovedajúcu transformáciu bez výpočtu konečného stupňa. To je samozrejme veľmi výhodné, pretože nie je také ľahké vypočítať veľké mocniny.

Príklad 1. Vyjadrite ako mocninu výraz 5 8 × 25

V tomto probléme to musíte urobiť tak, že namiesto výrazu 5 8 × 25 získate jeden stupeň.

Číslo 25 môže byť reprezentované ako 5 2 . Potom dostaneme nasledujúci výraz:

V tomto výraze môžete použiť hlavnú vlastnosť stupňa - ponechajte základ 5 nezmenený a pridajte ukazovatele 8 a 2:

Napíšme riešenie v skratke:

Príklad 2. Vyjadrite ako mocninu výraz 2 9 × 32

Číslo 32 môže byť reprezentované ako 2 5 . Potom dostaneme výraz 2 9 × 2 5 . Ďalej môžete použiť základnú vlastnosť stupňa - ponechajte základňu 2 nezmenenú a pridajte ukazovatele 9 a 5. Výsledkom bude nasledovné riešenie:

Príklad 3. Vypočítajte súčin 3 × 3 pomocou základnej vlastnosti mocniny.

Každý dobre vie, že tri krát tri sa rovná deviatim, ale úloha si vyžaduje použitie hlavnej vlastnosti stupňa pri riešení. Ako to spraviť?

Pripomíname, že ak je zadané číslo bez indikátora, indikátor sa musí považovať za rovný jednej. Takže faktory 3 a 3 možno zapísať ako 3 1 a 3 1

3 1 × 3 1

Teraz používame hlavnú vlastnosť stupňa. Základ 3 necháme nezmenený a pridáme ukazovatele 1 a 1:

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

Príklad 4. Vypočítajte súčin 2 × 2 × 3 2 × 3 3 pomocou základnej vlastnosti mocniny.

Súčin 2 × 2 nahradíme 2 1 × 2 1, potom 2 1 + 1 a potom 2 2. Súčin 3 2 × 3 3 sa nahradí 3 2 + 3 a potom 3 5

Príklad 5. Vykonajte násobenie x × x

Ide o dva rovnaké abecedné faktory s ukazovateľmi 1. Pre prehľadnosť si tieto ukazovatele zapisujeme. Ďalšia základňa X ponechajte to nezmenené a pridajte ukazovatele:

Pri tabuli by sa nemalo tak podrobne zapisovať násobenie mocnín s rovnakými základmi, ako sa to robí tu. Takéto výpočty sa musia robiť v mysli. Podrobný zápis s najväčšou pravdepodobnosťou učiteľa naštve a zníži za to známku. Tu je uvedený podrobný záznam, aby bol materiál čo najprístupnejší na pochopenie.

Riešenie tohto príkladu by malo byť napísané takto:

Príklad 6. Vykonajte násobenie X 2 × x

Index druhého faktora sa rovná jednej. Pre prehľadnosť si to napíšme. Ďalej necháme základ nezmenený a pridáme ukazovatele:

Príklad 7. Vykonajte násobenie r 3 r 2 r

Index tretieho faktora sa rovná jednej. Pre prehľadnosť si to napíšme. Ďalej necháme základ nezmenený a pridáme ukazovatele:

Príklad 8. Vykonajte násobenie aa 3 a 2 a 5

Index prvého faktora sa rovná jednej. Pre prehľadnosť si to napíšme. Ďalej necháme základ nezmenený a pridáme ukazovatele:

Príklad 9. Vyjadrite mocninu 3 8 ako súčin mocnín s rovnakým základom.

V tomto probléme musíte vytvoriť súčin mocnín, ktorých základy sa budú rovnať 3 a súčet exponentov sa bude rovnať 8. Môžete použiť akékoľvek indikátory. Stupeň 3 8 predstavujeme ako súčin mocnín 3 5 a 3 3

V tomto príklade sme sa opäť spoliehali na hlavnú vlastnosť stupňa. Veď výraz 3 5 × 3 3 možno zapísať ako 3 5 + 3, odkiaľ je 3 8 .

Samozrejme, že bolo možné reprezentovať mocninu 3 8 ako súčin iných mocností. Napríklad v tvare 3 7 × 3 1 , keďže tento produkt je tiež 3 8

Reprezentovať titul ako produkt síl s rovnakým základom je väčšinou tvorivá práca. Nebojte sa preto experimentovať.

Príklad 10. Odoslať titul X 12 ako rôzne produkty mocností so základmi X .

Využime hlavnú vlastnosť stupňa. Predstavte si X 12 ako výrobky s bázami X a súčet exponentov ktorého sa rovná 12

Pre prehľadnosť boli zaznamenané konštrukcie so súčtom ukazovateľov. Väčšinou sa dajú preskočiť. Potom dostaneme kompaktné riešenie:

Umocnenie produktu

Ak chcete zvýšiť výkon produktu, musíte zvýšiť každý faktor tohto produktu na špecifikovaný výkon a znásobiť výsledky.

Zvýšme napríklad súčin 2 × 3 na druhú mocninu. Tento produkt berieme v zátvorkách a označujeme 2 ako indikátor

Teraz zvýšime každý faktor súčinu 2 × 3 na druhú mocninu a vynásobíme výsledky:

Princíp fungovania tohto pravidla je založený na definícii stupňa, ktorá bola uvedená na samom začiatku.

Zvýšenie súčinu 2 × 3 na druhú mocninu znamená zopakovanie tohto súčinu dvakrát. A ak to zopakujete dvakrát, môžete získať nasledovné:

2×3×2×3

Z permutácie miest faktorov sa súčin nemení. To vám umožňuje zoskupiť rovnaké multiplikátory:

2×2×3×3

Opakujúce sa násobiče možno nahradiť krátkymi zápismi - základmi s exponentmi. Súčin 2 × 2 možno nahradiť 2 2 a súčin 3 × 3 možno nahradiť 3 2. Potom sa výraz 2 × 2 × 3 × 3 zmení na výraz 2 2 × 3 2 .

Nechať byť ab pôvodné dielo. Na zvýšenie výkonu tohto produktu n, musíte zvlášť zvýšiť faktory a A b do určeného stupňa n

Táto vlastnosť je platná pre ľubovoľný počet faktorov. Platné sú aj nasledujúce výrazy:

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu (2 × 3 × 4) 2

V tomto príklade musíte produkt zvýšiť 2 × 3 × 4 na druhý výkon. Aby ste to dosiahli, musíte zvýšiť každý faktor tohto produktu na druhú mocninu a znásobiť výsledky:

Príklad 3. Zdvihnite produkt na tretiu mocninu a×b×c

Tento produkt uzatvárame do zátvoriek a označujeme číslo 3 ako indikátor

Príklad 4. Zdvihnite produkt na tretiu mocninu 3 xyz

Tento produkt uzatvárame do zátvoriek a označujeme 3 ako indikátor

(3xyz) 3

Zvýšme každý faktor tohto produktu na tretiu mocninu:

(3xyz) 3 = 3 3 X 3 r 3 z 3

Číslo 3 až tretia mocnina sa rovná číslu 27. Zvyšok necháme nezmenený:

(3xyz) 3 = 3 3 X 3 r 3 z 3 = 27X 3 r 3 z 3

V niektorých príkladoch možno násobenie mocnín s rovnakými exponentmi nahradiť súčinom základov s rovnakým exponentom.

Vypočítajme napríklad hodnotu výrazu 5 2 × 3 2 . Zvýšte každé číslo na druhú mocninu a vynásobte výsledky:

5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225

Ale nemôžete vypočítať každý stupeň samostatne. Namiesto toho možno tento súčin mocnín nahradiť súčinom s jedným exponentom (5 × 3) 2 . Ďalej vypočítajte hodnotu v zátvorkách a zvýšte výsledok na druhú mocninu:

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

V tomto prípade sa opäť použilo pravidlo umocnenia súčinu. Veď keby (a x b)n = a n × b n , potom a n × b n = (a × b) n. To znamená, že ľavá a pravá strana rovnice sú obrátené.

Umocňovanie

Túto transformáciu sme považovali za príklad, keď sme sa snažili pochopiť podstatu identických transformácií stupňov.

Pri zvýšení mocniny na mocninu sa základ nechá nezmenený a exponenty sa vynásobia:

(a n)m = a n x m

Napríklad výraz (2 3) 2 umocňuje mocninu - dvojka na tretiu mocninu je umocnená na druhú. Ak chcete nájsť hodnotu tohto výrazu, základ môžete ponechať nezmenený a exponenty možno vynásobiť:

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

Toto pravidlo vychádza z predchádzajúcich pravidiel: umocnenie súčinu a základná vlastnosť stupňa.

Vráťme sa k výrazu (2 3) 2 . Výraz v zátvorkách 2 3 je súčinom troch rovnakých faktorov, z ktorých každý je rovný 2. Potom vo výraze (2 3) 2 možno mocninu v zátvorkách nahradiť súčinom 2 × 2 × 2.

(2×2×2) 2

A toto je umocnenie produktu, ktorý sme študovali skôr. Pripomeňme, že ak chcete zvýšiť výkon produktu, musíte zvýšiť každý faktor tohto produktu na špecifikovaný výkon a znásobiť výsledky:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2

Teraz sa zaoberáme hlavnou vlastnosťou stupňa. Základ necháme nezmenený a pridáme ukazovatele:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

Ako predtým, máme 26. Hodnota tohto stupňa je 64

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

Produkt, ktorého faktory sú zároveň mocnosťami, možno tiež povýšiť na moc.

Napríklad nájdime hodnotu výrazu (2 2 × 3 2) 3 . Tu sa ukazovatele každého multiplikátora musia vynásobiť celkovým ukazovateľom 3. Ďalej nájdite hodnotu každého stupňa a vypočítajte súčin:

(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656

Približne to isté sa stane pri zvýšení výkonu produktu. Povedali sme, že pri zvýšení výkonu produktu sa každý faktor tohto produktu zvýši na uvedený výkon.

Napríklad, ak chcete zvýšiť súčin 2 × 4 na tretiu mocninu, musíte napísať nasledujúci výraz:

Ale skôr sa hovorilo, že ak je číslo uvedené bez indikátora, potom by sa mal indikátor považovať za rovný jednej. Ukazuje sa, že faktory súčinu 2 × 4 majú na začiatku exponenty rovné 1. To znamená, že výraz 2 1 × 4 1 bol umocnený na tretiu mocninu. A toto je povýšenie stupňa na moc.

Prepíšme riešenie pomocou pravidla umocňovania. Mali by sme dostať rovnaký výsledok:

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu (3 3) 2

Základ necháme nezmenený a vynásobíme ukazovatele:

Mám 36. Číslo 3 až šiesta mocnina je číslo 729

Príklad 3xy)³

Príklad 4. Vykonajte umocnenie vo výraze ( abc)⁵

Zvýšme každý faktor súčinu na piatu mocninu:

Príklad 5sekera) 3

Zvýšme každý faktor produktu na tretiu mocninu:

Keďže záporné číslo −2 bolo umocnené na tretiu mocninu, bolo uvedené v zátvorkách.

Príklad 6. Vykonajte umocňovanie vo výraze (10 xy) 2

Príklad 7. Vykonajte umocnenie vo výraze (-5 X) 3

Príklad 8. Vykonajte umocnenie vo výraze (-3 r) 4

Príklad 9. Vykonajte umocnenie vo výraze (-2 abx)⁴

Príklad 10. Zjednodušte výraz X 5×( X 2) 3

stupňa X 5 zostane zatiaľ nezmenený a vo výraze ( X 2) 3 vykonajte umocnenie na mocninu:

X 5 × (X 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6

Teraz urobme násobenie X 5 × x 6. Na to používame hlavnú vlastnosť stupňa - základňu X ponechajte to nezmenené a pridajte ukazovatele:

X 5 × (X 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = X 5 + 6 = X 11

Príklad 9. Nájdite hodnotu výrazu 4 3 × 2 2 pomocou základnej vlastnosti stupňa.

Hlavná vlastnosť stupňa sa môže použiť, ak sú základy počiatočných stupňov rovnaké. V tomto príklade sú základy rozdielne, preto je najprv potrebné pôvodný výraz mierne upraviť, a to tak, aby boli základy stupňov rovnaké.

Pozrime sa bližšie na silu 4 3 . Základom tohto stupňa je číslo 4, ktoré možno znázorniť ako 2 2 . Potom bude mať pôvodný výraz tvar (2 2) 3 × 2 2 . Umocnením na mocninu vo výraze (2 2) 3 dostaneme 2 6 . Potom bude mať pôvodný výraz tvar 2 6 × 2 2 , ktorý možno vypočítať pomocou hlavnej vlastnosti stupňa.

Napíšme riešenie tohto príkladu:

Delenie stupňov

Ak chcete vykonať rozdelenie výkonu, musíte nájsť hodnotu každého výkonu a potom vykonať rozdelenie bežných čísel.

Napríklad vydeľme 4 3 číslom 2 2 .

Vypočítajte 4 3 , dostaneme 64 . Vypočítame 2 2, dostaneme 4. Teraz vydelíme 64 4, dostaneme 16

Ak sa pri delení stupňov základne ukáže, že sú rovnaké, základňu možno ponechať nezmenenú a exponent deliteľa možno odpočítať od exponentu dividendy.

Napríklad nájdime hodnotu výrazu 2 3: 2 2

Základ 2 necháme nezmenený a od exponentu deliteľa odpočítame exponent deliteľa:

Takže hodnota výrazu 2 3: 2 2 je 2 .

Táto vlastnosť je založená na násobení mocnín s rovnakými základmi, alebo, ako sme zvykli hovoriť, na hlavnej vlastnosti stupňa.

Vráťme sa k predchádzajúcemu príkladu 2 3: 2 2 . Tu je dividenda 2 3 a deliteľ je 2 2 .

Vydeliť jedno číslo druhým znamená nájsť číslo, ktoré po vynásobení deliteľom poskytne dividendu.

V našom prípade delenie 2 3 číslom 2 2 znamená nájsť mocninu, ktorá po vynásobení deliteľom 2 2 bude mať za následok 2 3 . Akú mocninu možno vynásobiť 2 2, aby sme dostali 2 3? Je zrejmé, že iba stupeň 2 1 . Z hlavnej vlastnosti stupňa máme:

Môžete si overiť, že hodnota výrazu 2 3: 2 2 je 2 1 priamym vyhodnotením výrazu 2 3: 2 2 . Aby sme to urobili, najprv nájdeme hodnotu stupňa 2 3 , dostaneme 8 . Potom nájdeme hodnotu stupňa 2 2 , dostaneme 4 . Vydelíme 8 4, dostaneme 2 alebo 2 1 , keďže 2 = 2 1 .

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

Pri delení mocnín s rovnakým základom teda platí rovnosť:

Môže sa tiež stať, že nielen základy, ale aj ukazovatele môžu byť rovnaké. V tomto prípade bude odpoveď jedna.

Napríklad nájdime hodnotu výrazu 2 2: 2 2 . Vypočítajme hodnotu každého stupňa a vykonajte rozdelenie výsledných čísel:

Pri riešení príkladu 2 2: 2 2 môžete použiť aj pravidlo na delenie stupňov s rovnakými základmi. Výsledkom je číslo s nulovou mocninou, pretože rozdiel medzi exponentmi 2 2 a 2 2 je nula:

Prečo sa číslo 2 k nulovému stupňu rovná jednej, sme zistili vyššie. Ak vypočítate 2 2: 2 2 obvyklým spôsobom, bez použitia pravidla na delenie stupňov, dostanete jeden.

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu 4 12: 4 10

Necháme 4 nezmenené a odpočítame exponent deliteľa od exponentu dividendy:

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

Príklad 3. Odoslať súkromné X 3: X ako titul so základom X

Využime pravidlo rozdelenia právomocí. Základňa X ponechajte nezmenené a odpočítajte exponent deliteľa od exponentu dividendy. Exponent deliteľa sa rovná jednej. Pre prehľadnosť si to napíšme:

Príklad 4. Odoslať súkromné X 3: X 2 ako mocnina so základňou X

Využime pravidlo rozdelenia právomocí. Základňa X

Delenie stupňov možno zapísať ako zlomok. Takže predchádzajúci príklad možno napísať takto:

Čitateľ a menovateľ zlomku možno písať v rozšírenej forme, a to vo forme súčinov rovnakých faktorov. stupňa X 3 možno zapísať ako x × x × x a stupeň X 2 ako x × x. Potom konštrukcia X 3 − 2 je možné preskočiť a použiť redukciu frakcií. V čitateli aj v menovateli bude možné znížiť každý dva faktory X. Výsledkom bude jeden multiplikátor X

Alebo ešte kratšie:

Je tiež užitočné rýchlo zmenšiť zlomky obsahujúce mocniny. Napríklad zlomok môže byť znížený na X 2. Znížiť zlomok o X 2 musíte vydeliť čitateľa a menovateľa zlomku o X 2

Rozdelenie stupňov sa nedá podrobne opísať. Vyššie uvedená skratka môže byť skrátená: