Priamka. Základné pojmy. Paralelné čiary. Vizuálny sprievodca (2020) Čo sú rovnobežné čiary

Tento článok je o rovnobežkách a rovnobežkách. Najprv je uvedená definícia rovnobežiek v rovine a v priestore, sú zavedené notácie, príklady a grafické znázornenie rovnobežiek. Ďalej sú diskutované znaky a podmienky pre rovnobežnosť čiar. V závere sú uvedené riešenia typických problémov dokazovania rovnobežnosti priamok, ktoré sú dané určitými rovnicami priamky v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine a v trojrozmernom priestore.

Navigácia na stránke.

Paralelné čiary - základné informácie.

Definícia.

V rovine sa nazývajú dve čiary paralelný, ak nemajú spoločné body.

Definícia.

V trojrozmernom priestore sa nazývajú dve čiary paralelný, ak ležia v rovnakej rovine a nemajú spoločné body.

Upozorňujeme, že klauzula „ak ležia v rovnakej rovine“ v definícii rovnobežných čiar v priestore je veľmi dôležitá. Ujasnime si tento bod: dve priamky v trojrozmernom priestore, ktoré nemajú spoločné body a neležia v rovnakej rovine, nie sú rovnobežné, ale pretínajú sa.

Tu je niekoľko príkladov paralelných čiar. Protiľahlé okraje listu poznámkového bloku ležia na rovnobežných čiarach. Priame čiary, pozdĺž ktorých rovina steny domu pretína roviny stropu a podlahy, sú rovnobežné. Za paralelné trate možno považovať aj železničné koľajnice na rovine.

Na označenie rovnobežných čiar použite symbol „“. To znamená, že ak sú priamky a a b rovnobežné, potom môžeme stručne napísať a b.

Poznámka: ak sú priamky a a b rovnobežné, potom môžeme povedať, že priamka a je rovnobežná s priamkou b a tiež, že priamka b je rovnobežná s priamkou a.

Vyslovme tvrdenie, ktoré hrá dôležitú úlohu pri skúmaní rovnobežiek v rovine: bodom, ktorý neleží na danej priamke, prechádza jediná priamka rovnobežná s danou. Toto tvrdenie sa prijíma ako fakt (nedá sa dokázať na základe známych axióm planimetrie) a nazýva sa axióma rovnobežiek.

Pre prípad v priestore platí veta: cez ktorýkoľvek bod v priestore, ktorý neleží na danej priamke, prechádza jedna priamka rovnobežná s danou. Táto veta sa dá ľahko dokázať pomocou vyššie uvedenej axiómy rovnobežiek (jeho dôkaz nájdete v učebnici geometrie pre ročníky 10-11, ktorá je uvedená na konci článku v zozname literatúry).

Pre prípad v priestore platí veta: cez ktorýkoľvek bod v priestore, ktorý neleží na danej priamke, prechádza jedna priamka rovnobežná s danou. Túto vetu možno ľahko dokázať pomocou vyššie uvedenej axiómy rovnobežnej čiary.

Rovnobežnosť priamok - znaky a podmienky rovnobežnosti.

Znak rovnobežnosti čiar je dostatočná podmienka, aby boli čiary rovnobežné, teda podmienka, ktorej splnenie zaručuje rovnobežnosť čiar. Inými slovami, splnenie tejto podmienky postačuje na preukázanie skutočnosti, že čiary sú rovnobežné.

Sú tu aj nevyhnutné a postačujúce podmienky pre rovnobežnosť priamok v rovine a v trojrozmernom priestore.

Vysvetlime si význam slovného spojenia „nevyhnutná a postačujúca podmienka pre rovnobežky“.

Už sme sa zaoberali dostatočnou podmienkou pre paralelné vedenia. A čo je " nevyhnutná podmienka rovnobežnosť čiar“? Už z názvu „nevyhnutné“ je zrejmé, že splnenie tejto podmienky je nevyhnutné pre paralelné vedenia. Inými slovami, ak nie je splnená podmienka, aby boli čiary rovnobežné, potom čiary nie sú rovnobežné. teda nevyhnutná a postačujúca podmienka pre paralelné vedenia je podmienkou, ktorej splnenie je pre rovnobežné vedenia nevyhnutné aj postačujúce. To znamená, že na jednej strane je to znak rovnobežnosti čiar a na druhej strane je to vlastnosť, ktorú majú rovnobežné čiary.

Pred formulovaním nevyhnutnej a postačujúcej podmienky rovnobežnosti priamok je vhodné pripomenúť si niekoľko pomocných definícií.

Sekantová čiara je čiara, ktorá pretína každú z dvoch daných nezhodných čiar.

Keď sa dve priamky pretnú s priečnou, vytvorí sa osem nerozvinutých. Pri formulácii nevyhnutnej a postačujúcej podmienky pre rovnobežnosť línií, tzv ležiace priečne, zodpovedajúce A jednostranné uhly. Ukážme si ich na výkrese.

Veta.

Ak dve priamky v rovine pretína priečka, potom na to, aby boli rovnobežné, je potrebné a postačujúce, aby uhly pretínania boli rovnaké alebo zodpovedajúce uhly boli rovnaké alebo súčet jednostranných uhlov bol rovný 180 stupňa.

Ukážme si grafické znázornenie tejto nevyhnutnej a postačujúcej podmienky rovnobežnosti priamok v rovine.

Dôkazy o týchto podmienkach rovnobežnosti priamok nájdete v učebniciach geometrie pre 7.-9.

Všimnite si, že tieto podmienky je možné použiť aj v trojrozmernom priestore - hlavná vec je, že dve čiary a sečna ležia v rovnakej rovine.

Tu je niekoľko ďalších teorémov, ktoré sa často používajú na dokázanie rovnobežnosti čiar.

Veta.

Ak sú dve čiary v rovine rovnobežné s treťou čiarou, potom sú rovnobežné. Dôkaz tohto kritéria vyplýva z axiómy rovnobežiek.

Podobná podmienka platí pre rovnobežné čiary v trojrozmernom priestore.

Veta.

Ak sú dve čiary v priestore rovnobežné s treťou čiarou, potom sú rovnobežné. Dôkaz tohto kritéria sa rozoberá na hodinách geometrie v 10. ročníku.

Ilustrujme uvedené vety.

Uveďme ďalšiu vetu, ktorá nám umožňuje dokázať rovnobežnosť priamok v rovine.

Veta.

Ak sú dve čiary v rovine kolmé na tretiu čiaru, potom sú rovnobežné.

Podobná veta platí pre čiary v priestore.

Veta.

Ak sú dve čiary v trojrozmernom priestore kolmé na rovnakú rovinu, potom sú rovnobežné.

Nakreslime obrázky zodpovedajúce týmto teorémam.

Všetky vyššie formulované vety, kritériá a nevyhnutné a postačujúce podmienky sú vynikajúce na dôkaz rovnobežnosti priamok pomocou geometrických metód. To znamená, že na preukázanie rovnobežnosti dvoch daných čiar musíte ukázať, že sú rovnobežné s treťou čiarou, alebo ukázať rovnosť priečne ležiacich uhlov atď. Veľa podobných problémov sa rieši na hodinách geometrie v stredná škola. Treba však poznamenať, že v mnohých prípadoch je vhodné použiť súradnicovú metódu na dôkaz rovnobežnosti priamok v rovine alebo v trojrozmernom priestore. Formulujme potrebné a postačujúce podmienky pre rovnobežnosť priamok, ktoré sú špecifikované v pravouhlom súradnicovom systéme.

Rovnobežnosť čiar v pravouhlom súradnicovom systéme.

V tomto odseku článku budeme formulovať nevyhnutné a dostatočné podmienky pre paralelné vedenia v pravouhlom súradnicovom systéme v závislosti od typu rovníc definujúcich tieto priamky a poskytneme aj podrobné riešenia charakteristických problémov.

Začnime podmienkou rovnobežnosti dvoch priamok na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy. Jeho dôkaz je založený na definícii smerového vektora priamky a definícii normálového vektora priamky v rovine.

Veta.

Aby dve nezhodné priamky boli rovnobežné v rovine, je potrebné a postačujúce, aby smerové vektory týchto priamok boli kolineárne, alebo normálové vektory týchto priamok boli kolineárne, alebo smerový vektor jednej priamky bol kolmý na normálu. vektor druhého riadku.

Je zrejmé, že podmienka rovnobežnosti dvoch priamok v rovine je redukovaná na (smerové vektory priamok alebo normálové vektory priamok) alebo na (smerový vektor jednej priamky a normálový vektor druhej priamky). Teda ak a sú smerové vektory priamok a a b, a A sú normálové vektory priamok a a b, potom nevyhnutnú a postačujúcu podmienku rovnobežnosti priamok a a b zapíšeme ako , alebo , alebo , kde t je nejaké reálne číslo. Súradnice vodiacich línií a (alebo) normálových vektorov priamok a a b sa zase nachádzajú pomocou známych rovníc priamok.

Najmä, ak priamka a v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy v rovine definuje všeobecnú priamkovú rovnicu tvaru a priamka b - , potom normálové vektory týchto priamok majú súradnice, respektíve, a podmienka rovnobežnosti priamok a a b sa zapíše ako .

Ak priamka a zodpovedá rovnici priamky s uhlovým koeficientom tvaru a priamka b- , potom normálové vektory týchto priamok majú súradnice a a podmienka rovnobežnosti týchto priamok má tvar . V dôsledku toho, ak sú čiary v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme rovnobežné a môžu byť špecifikované rovnicami čiar s uhlovými koeficientmi, potom budú uhlové koeficienty čiar rovnaké. A naopak: ak sa nezhodné čiary v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme dajú špecifikovať rovnicami priamky s rovnakými uhlovými koeficientmi, potom sú také čiary rovnobežné.

Ak sú priamka a a priamka b v pravouhlom súradnicovom systéme určené kanonickými rovnicami priamky na rovine tvaru A , alebo parametrické rovnice priamky na rovine tvaru A podľa toho majú smerové vektory týchto priamok súradnice a a podmienka rovnobežnosti priamok a a b je zapísaná ako .

Pozrime sa na riešenia niekoľkých príkladov.

Príklad.

Sú čiary rovnobežné? a ?

Riešenie.

Prepíšme rovnicu priamky v segmentoch do tvaru všeobecná rovnica rovno: . Teraz vidíme, že ide o normálny vektor čiary , a je normálový vektor priamky. Tieto vektory nie sú kolineárne, pretože neexistujú Reálne číslo t, pre ktoré platí rovnosť ( ). V dôsledku toho nie je splnená nevyhnutná a postačujúca podmienka pre rovnobežnosť priamok v rovine, preto dané priamky nie sú rovnobežné.

odpoveď:

Nie, čiary nie sú rovnobežné.

Príklad.

Sú rovné a rovnobežné?

Riešenie.

Zredukujme kanonickú rovnicu priamky na rovnicu priamky s uhlovým koeficientom: . Je zrejmé, že rovnice čiar a nie sú rovnaké (v tomto prípade by dané čiary boli rovnaké) a uhlové koeficienty čiar sú rovnaké, preto sú pôvodné čiary rovnobežné.

V rovine sa čiary nazývajú rovnobežné, ak nemajú spoločné body, to znamená, že sa nepretínajú. Na označenie rovnobežnosti použite špeciálnu ikonu || (rovnobežky a || b).

Pre priamky ležiace v priestore nestačí požiadavka, že neexistujú spoločné body – aby boli v priestore rovnobežné, musia patriť do rovnakej roviny (inak sa budú pretínať).

Pre príklady rovnobežných línií nemusíte ísť ďaleko; sprevádzajú nás všade, v miestnosti - to sú čiary priesečníka steny so stropom a podlahou, na liste notebooku - protiľahlé okraje atď.

Je celkom zrejmé, že ak budú mať dve priamky rovnobežné a tretiu priamku rovnobežnú s jednou z prvých dvoch, bude tiež rovnobežná s druhou.

Rovnobežky v rovine sú spojené tvrdením, ktoré nemožno dokázať pomocou axióm planimetrie. Prijíma sa to ako fakt, ako axióma: pre každý bod v rovine, ktorý neleží na priamke, existuje jedinečná priamka, ktorá ním prechádza rovnobežne s danou. Túto axiómu pozná každý šiestak.

Jeho priestorové zovšeobecnenie, teda tvrdenie, že pre každý bod v priestore, ktorý neleží na priamke, existuje jedinečná priamka, ktorá ním prechádza rovnobežne s danou, je ľahko dokázateľné pomocou už známej axiómy rovnobežnosti na priamke. lietadlo.

Vlastnosti rovnobežných čiar

• Ak je ktorákoľvek z dvoch rovnobežných čiar rovnobežná s treťou, potom sú navzájom rovnobežné.

Túto vlastnosť majú rovnobežné čiary v rovine aj v priestore.
Ako príklad zvážte jeho opodstatnenie v stereometrii.

Predpokladajme, že priamky b a a sú rovnobežné.

Prípad, keď všetky priamky ležia v rovnakej rovine, ponecháme planimetrii.

Predpokladajme, že a a b patria do roviny beta a gama je rovina, do ktorej patria a a c (podľa definície rovnobežnosti v priestore musia priame čiary patriť do rovnakej roviny).

Ak predpokladáme, že roviny beta a gama sú odlišné a na priamke b od roviny beta vyznačíme určitý bod B, potom rovina vedená bodom B a priamka c musí rovinu beta pretínať v priamke (označme ju b1) .

Ak by výsledná priamka b1 pretínala rovinu gama, potom by priesečník musel na jednej strane ležať na a, keďže b1 patrí do roviny beta a na druhej strane by mal patriť aj do c, keďže b1 patrí do tretej roviny.
Ale rovnobežné čiary a a c by sa nemali pretínať.

Čiara b1 teda musí patriť do roviny beta a zároveň nesmie mať spoločné body s a, preto sa podľa axiómy rovnobežnosti zhoduje s b.
Získali sme priamku b1 zhodujúcu sa s priamkou b, ktorá patrí do tej istej roviny s priamkou c a nepretína ju, to znamená, že b a c sú rovnobežné

• Cez bod, ktorý neleží na danej priamke, môže rovnobežne s danou priamkou prechádzať len jedna jediná priamka.

• Dve priamky ležiace v rovine kolmej na tretiu sú rovnobežné.

• Ak rovina pretína jednu z dvoch rovnobežných priamok, druhá priamka tiež pretína rovnakú rovinu.

• Zodpovedajúce a priečne ležiace vnútorné uhly vytvorené priesečníkom dvoch rovnobežných priamok tretej sú rovnaké, súčet vytvorených vnútorných jednostranných uhlov je 180°.

Pravdivé sú aj opačné tvrdenia, ktoré možno považovať za znaky rovnobežnosti dvoch priamok.

Podmienka pre paralelné čiary

Vyššie formulované vlastnosti a charakteristiky predstavujú podmienky pre rovnobežnosť úsečiek a možno ich dokázať pomocou metód geometrie. Inými slovami, na preukázanie rovnobežnosti dvoch existujúcich priamok stačí dokázať ich rovnobežnosť s treťou priamkou alebo rovnosť uhlov, či už zodpovedajúcich alebo priečnych atď.

Na dôkaz používajú najmä metódu „protirečením“, teda s predpokladom, že čiary nie sú rovnobežné. Na základe tohto predpokladu možno ľahko ukázať, že v tomto prípade sú porušené stanovené podmienky, napríklad vnútorné uhly ležiace naprieč sa ukážu ako nerovnaké, čo dokazuje nesprávnosť predpokladu.

1. Ak sú dve čiary rovnobežné s treťou čiarou, potom sú rovnobežné:

Ak a||c A b||c, To a||b.

2. Ak sú dve čiary kolmé na tretiu čiaru, potom sú rovnobežné:

Ak a⊥c A b⊥c, To a||b.

Zostávajúce znaky rovnobežnosti čiar sú založené na uhloch vytvorených pri pretínaní dvoch priamych čiar s treťou.

3. Ak je súčet vnútorných jednostranných uhlov 180°, potom sú čiary rovnobežné:

Ak ∠1 + ∠2 = 180°, potom a||b.

4. Ak sú príslušné uhly rovnaké, potom sú čiary rovnobežné:

Ak ∠2 = ∠4, potom a||b.

5. Ak sú vnútorné priečne uhly rovnaké, potom sú čiary rovnobežné:

Ak ∠1 = ∠3, potom a||b.

Vlastnosti rovnobežných čiar

Príkazy inverzné k vlastnostiam rovnobežných čiar sú ich vlastnosťami. Sú založené na vlastnostiach uhlov vytvorených priesečníkom dvoch rovnobežných priamok s treťou priamkou.

1. Keď dve rovnobežné priamky pretínajú tretiu priamku, súčet vnútorných jednostranných uhlov, ktoré zvierajú, sa rovná 180°:

Ak a||b potom ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Keď dve rovnobežné priamky pretínajú tretiu priamku, zodpovedajúce uhly, ktoré zvierajú, sú rovnaké:

Ak a||b, potom ∠2 = ∠4.

3. Keď sa dve rovnobežné priamky pretínajú s treťou priamkou, priečne uhly, ktoré zvierajú, sú rovnaké:

Ak a||b, potom ∠1 = ∠3.

Nasledujúca vlastnosť je špeciálny prípad pre každú predchádzajúcu vlastnosť:

4. Ak je čiara v rovine kolmá na jednu z dvoch rovnobežných čiar, potom je tiež kolmá na druhú:

Ak a||b A c⊥a, To c⊥b.

Piata vlastnosť je axióma rovnobežných čiar:

5. Cez bod, ktorý neleží na danej priamke, možno nakresliť len jednu priamku rovnobežnú s danou priamkou.

Inštrukcie

Pred spustením dôkazu sa uistite, že čiary ležia v rovnakej rovine a dajú sa na ňu kresliť. Najjednoduchším spôsobom, ako to dokázať, je meranie pomocou pravítka. Na to použite pravítko na meranie vzdialenosti medzi rovnými čiarami na niekoľkých miestach čo najďalej od seba. Ak vzdialenosť zostane nezmenená, dané čiary sú rovnobežné. Ale táto metóda nie je dostatočne presná, preto je lepšie použiť iné metódy.

Nakreslite tretiu čiaru tak, aby pretínala obe rovnobežné čiary. Tvorí s nimi štyri vonkajšie a štyri vnútorné rohy. Zvážte vnútorné rohy. Tie, ktoré ležia cez sečnú čiaru, sa nazývajú krížovo ležiace. Tie, ktoré ležia na jednej strane, sa nazývajú jednostranné. Pomocou uhlomeru zmerajte dva vnútorné pretínajúce sa uhly. Ak sú si navzájom rovné, potom budú čiary rovnobežné. Ak máte pochybnosti, zmerajte jednostranné vnútorné uhly a pridajte výsledné hodnoty. Čiary budú rovnobežné, ak sa súčet jednostranných vnútorných uhlov rovná 180°.

Ak nemáte uhlomer, použite 90º štvorec. Použite ho na vytvorenie kolmice na jednu z čiar. Potom pokračujte v tejto kolmici tak, aby pretínala ďalšiu čiaru. Pomocou toho istého štvorca skontrolujte, pod akým uhlom ho táto kolmica pretína. Ak je tento uhol tiež 90º, potom sú čiary navzájom rovnobežné.

Ak sú čiary zadané v karteziánskom súradnicovom systéme, nájdite ich smer alebo normálové vektory. Ak sú tieto vektory navzájom kolineárne, potom sú čiary rovnobežné. Znížte rovnicu čiar na všeobecný tvar a nájdite súradnice normálového vektora každej čiary. Jeho súradnice sa rovnajú koeficientom A a B. Ak je pomer zodpovedajúcich súradníc normálových vektorov rovnaký, sú kolineárne a priamky sú rovnobežné.

Napríklad priame čiary sú dané rovnicami 4x-2y+1=0 a x/1=(y-4)/2. Prvá rovnica je všeobecný pohľad, druhý – kanonický. Uveďte druhú rovnicu do jej všeobecného tvaru. Použite na to pravidlo pomerného prevodu, výsledok bude 2x=y-4. Po zmenšení do všeobecného tvaru dostanete 2x-y+4=0. Keďže všeobecná rovnica pre ľubovoľný riadok je napísaná Ax+By+C=0, potom pre prvý riadok: A=4, B=2 a pre druhý riadok A=2, B=1. Pre prvú priamu súradnicu normálového vektora (4;2) a pre druhú – (2;1). Nájdite pomer zodpovedajúcich súradníc normálových vektorov 4/2=2 a 2/1=2. Tieto čísla sú rovnaké, čo znamená, že vektory sú kolineárne. Keďže vektory sú kolineárne, čiary sú rovnobežné.

Nepretínajú sa, bez ohľadu na to, ako dlho pokračujú. Rovnobežnosť priamych čiar v písaní sa označuje takto: AB|| SE

Možnosť existencie takýchto čiar dokazuje veta.

Veta.

Prostredníctvom akéhokoľvek bodu mimo danej priamky možno nakresliť bod rovnobežný s touto priamkou.

Nechaj AB túto priamku a S nejaký bod mimo neho. Je potrebné to dokázať prostredníctvom S môžete nakresliť rovnú čiaru paralelnýAB. Znížime to na AB z bodu S kolmýSD a potom budeme viesť SE^ SD, čo je možné. Rovno C.E. paralelný AB.

Aby sme to dokázali, predpokladajme opak, t.j C.E. pretína AB v určitom okamihu M. Potom z pointy M na priamku SD mali by sme dve rôzne kolmice MD A PANI, čo je nemožné. znamená, C.E. nemôže krížiť s AB, t.j. SE paralelný AB.

Dôsledok.

Dve kolmice (CEAD.B.) na jednu priamku (CD) sú paralelné.

Axióma rovnobežných čiar.

Cez ten istý bod nie je možné nakresliť dve rôzne čiary rovnobežné s tou istou čiarou.

Teda ak rovno SD, ťahaný cez bod S rovnobežne s čiarou AB, potom každý druhý riadok SE, ťahané cez ten istý bod S, nemôže byť paralelný AB, t.j. je na pokračovaní sa budú pretínať s AB.

Dokázať túto nie celkom zjavnú pravdu sa ukazuje ako nemožné. Prijíma sa bez dôkazu, ako nevyhnutný predpoklad (postulatum).

Dôsledky.

1. Ak rovno(SE) sa pretína s jedným z paralelný(NE), potom sa pretína s iným ( AB), pretože inak cez ten istý bod S existovali by dve rôzne čiary prechádzajúce rovnobežne AB, čo je nemožné.

2. Ak každý z dvoch priamy (AAB) sú rovnobežné s rovnakou treťou čiarou ( S) , potom oni paralelný medzi sebou.

Pravdaže, ak to predpokladáme A A B pretínajú v určitom bode M, potom by prešli dve rôzne priamky rovnobežné s týmto bodom S, čo je nemožné.

Veta.

Ak čiara je kolmá k jednej z rovnobežných čiar, potom je kolmá na druhú paralelný.

Nechaj AB || SD A E.F. ^ AB.Treba to dokázať E.F. ^ SD.

KolmýEF, pretínajúci sa s AB, určite prejde a SD. Nech je priesečník H.

Predpokladajme to teraz SD nie je kolmá na E.H.. Potom nejaká iná priamka napr H.K., bude kolmá na E.H. a teda cez ten istý bod H budú dvaja priama rovnobežka AB: jeden SD, podľa podmienky a iné H.K. ako bolo predtým preukázané. Keďže to nie je možné, nemožno to predpokladať NE nebola kolmá na E.H..