Plocha figúry ohraničená čiarami je online parametricky. Výpočet plochy obrazca ohraničeného parametricky definovanou krivkou. Ako vypočítať objem rotačného telesa

Zvážte príklady použitia získaného vzorca, ktorý vám umožňuje vypočítať plochy obrázkov ohraničené parametricky špecifikovanými čiarami.

Príklad.

Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarou, ktorej parametrické rovnice vyzerajú ako .

Riešenie.

V našom príklade je parametricky definovaná čiara elipsa s poloosami 2 a 3 jednotky. Poďme si to postaviť.

Nájdite oblasť štvrtiny elipsy umiestnenej v prvom kvadrante. Táto oblasť leží v intervale . Plochu celého obrázku vypočítame vynásobením výslednej hodnoty štyrmi.

Čo máme:

Pre k = 0 dostaneme interval . Na tomto intervale je funkcia monotónne klesá (pozri časť ). Použijeme vzorec na výpočet plochy a nájdeme určitý integrál pomocou Newton-Leibnizovho vzorca:

Takže plocha pôvodnej postavy je .

Komentujte.

Vzniká logická otázka: prečo sme vzali štvrtinu elipsy a nie polovicu? Bolo možné uvažovať o hornej (alebo dolnej) polovici postavy. Je v dosahu . Pre tento prípad by sme mali

To znamená, že pre k = 0 dostaneme interval . Na tomto intervale je funkcia monotónne klesá.

Potom je plocha polovice elipsy daná

Ale pravá alebo ľavá polovica elipsy sa nedá vziať.

Parametrická reprezentácia elipsy so stredom v počiatku a poloosi aab má tvar . Ak budeme konať rovnakým spôsobom ako v analyzovanom príklade, dostaneme vzorec na výpočet plochy elipsy .

Kružnica so stredom v počiatku súradníc polomeru R cez parameter t je daná sústavou rovníc. Ak použijeme získaný vzorec pre oblasť elipsy, môžeme okamžite písať vzorec na nájdenie oblasti kruhu polomer R:.

Vyriešme ešte jeden príklad.

Príklad.

Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú parametricky zadanou krivkou.

Riešenie.

Pri pohľade trochu dopredu je krivka „predĺžený“ astroid. (Astroid má nasledujúce parametrické znázornenie).

Zastavme sa podrobne pri konštrukcii krivky ohraničujúcej postavu. Postavíme ho bod po bode. Zvyčajne takáto konštrukcia postačuje na vyriešenie väčšiny problémov. V zložitejších prípadoch bude nepochybne potrebné podrobné štúdium parametricky danej funkcie pomocou diferenciálneho počtu.

V našom príklade.

Tieto funkcie sú definované pre všetky reálne hodnoty parametra t a z vlastností sínusu a kosínusu vieme, že sú periodické s periódou dvoch pí. Teda výpočet hodnôt funkcií pre niektorých (Napríklad ), získame množinu bodov .

Pre pohodlie zadáme hodnoty do tabuľky:

Označíme body na rovine a POSTUPNE ich spojíme čiarou.

Vypočítajme plochu oblasti umiestnenú v prvom súradnicovom štvrťroku. Pre túto oblasť .

o k=0 dostaneme interval , na ktorom je funkcia klesá monotónne. Na nájdenie oblasti používame vzorec:

Získané určité integrály vypočítame pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca a nájdeme primitívne derivácie pre Newtonov-Leibnizov vzorec pomocou rekurzívneho vzorca v tvare , kde .

Preto je plocha štvrtiny obrázku , potom sa plocha celej postavy rovná .

Podobne sa to dá ukázať astroidná oblasť nachádza sa ako a plocha obrázku ohraničená čiarou sa vypočíta podľa vzorca .

Keď sme prišli na geometrický význam určitého integrálu, dostali sme vzorec, pomocou ktorého môžete nájsť oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničeného osou x, priame čiary x=a, x=b, ako aj spojitá (nezáporná alebo nekladná) funkcia y = f(x) . Niekedy je vhodnejšie nastaviť funkciu, ktorá ohraničuje obrazec v parametrickom tvare, t.j. vyjadrite funkčnú závislosť pomocou parametra t . V rámci tohto materiálu ukážeme, ako môžete nájsť oblasť obrázku, ak je obmedzená parametricky danou krivkou.

Po vysvetlení teórie a odvodení vzorca analyzujeme niekoľko typických príkladov na nájdenie oblasti takýchto čísel.

Základný vzorec pre výpočet

Predpokladajme, že máme krivočiary lichobežník, ktorého hranicami sú priamky x = a, x = b, os O x a parametricky definovaná krivka x = φ (t) y = ψ (t) a funkcie x = φ (t) a y = ψ (t) sú spojité na intervale α ; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Definícia 1

Na výpočet plochy lichobežníka za takýchto podmienok musíte použiť vzorec S (G) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t.

Odvodili sme to zo vzorca pre oblasť krivočiareho lichobežníka S (G) = ∫ a b f (x) d x pomocou substitučnej metódy x = φ (t) y = ψ (t):

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t

Definícia 2

Ak vezmeme do úvahy monotónny pokles funkcie x = φ (t) na intervale β; a, p< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Ak funkcia x = φ (t) nepatrí medzi základné elementárne, tak si musíme zapamätať základné pravidlá zvyšovania a klesania funkcie na intervale, aby sme mohli určiť, či bude rastúca alebo klesajúca.

V tomto odseku budeme analyzovať niekoľko problémov na použitie vyššie odvodeného vzorca.

Príklad 1

Podmienka: nájdite plochu obrazca tvorenú priamkou danou rovnicami v tvare x = 2 cos t y = 3 sin t .

Riešenie

Máme parametricky definovanú čiaru. Graficky sa dá zobraziť ako elipsa s dvoma poloosami 2 a 3 . Pozri ilustráciu:

Skúsme nájsť plochu 1 4 výsledného obrazca, ktorý zaberá prvý kvadrant. Oblasť je v intervale x ∈ a ; b = 0 2. Potom vynásobte výslednú hodnotu 4 a nájsť oblasť celá postava.

Tu je priebeh našich výpočtov:

x = φ (t) = 2 náklady = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk, k ∈ Z

Keď sa k rovná 0, dostaneme interval β; a = 0; π 2. Funkcia x = φ (t) = 2 cos t na nej bude monotónne klesať (bližšie v článku o základných elementárnych funkciách a ich vlastnostiach). Takže môžete použiť plošný vzorec a nájsť určitý integrál pomocou Newton-Leibnizovho vzorca:

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π 2 \u003d 3 π 2 - hriech 2 π 2 2 - 0 - hriech 2 0 2 \u003d 3 π 2

To znamená, že plocha čísla daná pôvodnou krivkou sa bude rovnať S (G) \u003d 4 3 π 2 \u003d 6 π.

Odpoveď: S (G) = 6 π

Ujasnime si, že pri riešení vyššie uvedeného problému bolo možné vziať nielen štvrtinu elipsy, ale aj jej polovicu - hornú alebo dolnú. Jedna polovica sa bude nachádzať na intervale x ∈ a ; b = -2; 2. V tomto prípade by sme mali:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k , k ∈ Z

Takže, keď sa k rovná 0 , dostaneme β ; a = 0; π . Funkcia x = φ (t) = 2 cos t bude na tomto intervale monotónne klesať.

Potom vypočítame plochu polovice elipsy:

- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

Je dôležité poznamenať, že môžete vziať iba hornú alebo spodnú časť, nie pravú alebo ľavú.

Pre túto elipsu môžete napísať parametrickú rovnicu, ktorej stred bude umiestnený v počiatku. Bude to vyzerať ako x = a cos t y = b sin t . Konajúc rovnakým spôsobom ako vo vyššie uvedenom príklade získame vzorec na výpočet plochy elipsy S e l a p s \u003d πab.

Kružnicu, ktorej stred sa nachádza v počiatku, môžete definovať pomocou rovnice x = R cos t y = R sin t , kde t je parameter a R je polomer danej kružnice. Ak okamžite použijeme vzorec pre oblasť elipsy, dostaneme vzorec, pomocou ktorého môžeme vypočítať plochu kruhu s polomerom R: S round a = πR 2.

Uvažujme ešte o jednom probléme.

Príklad 2

podmienka: nájdite, aká bude plocha obrazca, ktorý je ohraničený parametricky danou krivkou x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t .

Riešenie

Hneď si ujasnime, že táto krivka má tvar pretiahnutého astroidea. Zvyčajne sa astroid vyjadruje pomocou rovnice v tvare x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t .

Teraz podrobne rozoberieme, ako takúto krivku zostrojiť. Stavajme na jednotlivých bodoch. Toto je najbežnejšia metóda a je použiteľná pre väčšinu úloh. Zložitejšie príklady vyžadujú diferenciálny počet na odhalenie parametricky definovanej funkcie.

Máme x \u003d φ (t) \u003d 3 cos 3 t, y \u003d ψ (t) \u003d 2 sin 3 t.

Tieto funkcie sú definované pre všetky reálne hodnoty t . Pre hriech a cos je známe, že sú periodické a ich perióda je 2 pi. Výpočet hodnôt funkcií x = φ (t) = 3 cos 3 t , y = ψ (t) = 2 sin 3 t pre niektoré t = t 0 ∈ 0 ; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8 , dostaneme body x 0 ; yo = (φ (to); ψ (to))).

Urobme si tabuľku celkových hodnôt:

t0	0	π 8	π 4	3 π 8	π 2	5 π 8	3 π 4	7 π 8	π
x 0 \u003d φ (t 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
y 0 = ψ (t 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

t0	9 π 8	5 π 4	11 pi 8	3 π 2	13 π 8	7 π 4	15 π 8	2 π
x 0 \u003d φ (t 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
y 0 = ψ (t 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

Potom označte požadované body v rovine a spojte ich jednou čiarou.

Teraz musíme nájsť oblasť tej časti obrázku, ktorá je v prvej súradnicovej štvrtine. Pre ňu x ∈ a ; b = 0 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Ak k je 0, potom dostaneme interval β; a = 0; π 2 a funkcia x = φ (t) = 3 cos 3 t bude na ňom monotónne klesať. Teraz vezmeme vzorec oblasti a vypočítame:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "dt = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 tdt = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 18 dt = π 2 sin 4 tdt - ∫ 0 π 2 sin 6 tdt

Získali sme určité integrály, ktoré možno vypočítať pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca. Primitíva pre tento vzorec možno nájsť pomocou rekurzívneho vzorca J n (x) = - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x), kde J n (x) = ∫ sin nxdx .

∫ sin 4 tdt = - náklady t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 tdt = = - náklady t sin 3 t 4 + 3 4 - náklady t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 tdt = = - cos . 3 t 4 - 3 náklady t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 tdt = - náklady t sin 3 t 4 - 3 náklady t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 16 3 ∫ sin 6 tdt = - náklady t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 tdt ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 tdt = - náklady t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 06 ∀ 2 + 5 06 ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 tdt = - náklady t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 06 ∀ s 6 3 π 16 = 15 π 96

Vypočítali sme plochu štvrtiny obrázku. Rovná sa 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.

Ak túto hodnotu vynásobíme 4, dostaneme plochu celého obrázku - 9 π 4.

Presne rovnakým spôsobom môžeme dokázať, že oblasť astroidu, dané rovnicami x \u003d a cos 3 ty \u003d a sin 3 t, možno nájsť podľa vzorca sin 3 t, sa vypočíta podľa vzorca S = 3 πab 8.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Nájdite objem telesa vytvorený rotáciou cykloidného oblúka okolo jeho základne. Roberval ho našiel tak, že výsledné vajcovité teleso (obr. 5.1) rozbil na nekonečne tenké vrstvy, do týchto vrstiev vpísal valce a sčítal ich objemy. Dôkaz je dlhý, únavný a nie úplne prísny. Na jej výpočet sa preto obrátime na vyššiu matematiku. Stanovme cykloidnú rovnicu parametricky.

V integrálnom počte pri štúdiu zväzkov používa nasledujúcu poznámku:

Ak krivka ohraničujúca krivočiary lichobežník je daná parametrickými rovnicami a funkcie v týchto rovniciach spĺňajú podmienky vety o zmene premennej v určitom integráli, potom objem rotujúceho telesa lichobežníka okolo osi Ox bude vypočíta sa podľa vzorca:

Pomocou tohto vzorca nájdeme objem, ktorý potrebujeme.

Rovnakým spôsobom vypočítame povrch tohto telesa.

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - cena), 0 ? t ? 2R)

V integrálnom počte existuje nasledujúci vzorec na nájdenie plochy povrchu rotačného telesa okolo osi x krivky špecifikovanej na segmente parametricky (t 0 ? t ? t 1):

Aplikovaním tohto vzorca na našu cykloidnú rovnicu dostaneme:

Zvážte aj iný povrch vytvorený rotáciou cykloidného oblúka. K tomu postavíme zrkadlový odraz cykloidného oblúka vzhľadom na jeho základňu a oválny obrazec tvorený cykloidou a jej odrazom otočíme okolo osi KT (obr. 5.2)

Najprv nájdime objem telesa, ktorý vznikol rotáciou cykloidného oblúka okolo osi KT. Jeho objem sa vypočíta podľa vzorca (*):

Takto sme vypočítali objem polovice tohto tela repy. Potom bude celkový objem

Sekcie: Matematika

Typ lekcie: kombinovaná.

Účel lekcie: naučiť sa počítať objemy rotačných telies pomocou integrálov.

Úlohy:

• upevniť schopnosť vybrať krivočiare lichobežníky z množstva geometrických tvarov a rozvíjať zručnosť výpočtu plôch krivočiarych lichobežníkov;
• zoznámiť sa s pojmom trojrozmerná postava;
• naučiť sa počítať objemy rotačných telies;
• podporovať rozvoj logického myslenia, kompetentnú matematickú reč, presnosť pri konštrukcii výkresov;
• pestovať záujem o predmet, pracovať s matematickými pojmami a obrazmi, pestovať vôľu, samostatnosť, vytrvalosť pri dosahovaní konečného výsledku.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment.

Skupinový pozdrav. Komunikácia študentov o cieľoch vyučovacej hodiny.

Reflexia. Pokojná melódia.

Dnešnú lekciu by som chcel začať podobenstvom. „Bol jeden múdry muž, ktorý vedel všetko. Jedna osoba chcela dokázať, že mudrc nevie všetko. Chytil motýľa v rukách a spýtal sa: "Povedz mi, mudrc, ktorý motýľ je v mojich rukách: mŕtvy alebo živý?" A on sám si myslí: Ak povie živá, zabijem ju, ak povie mŕtva, pustím ju von. Mudrc zamyslený odpovedal: „Všetko vo vašich rukách“. (Prezentácia.Šmykľavka)

- Pracujme preto dnes plodne, získajme novú zásobáreň vedomostí a nadobudnuté zručnosti a schopnosti uplatníme v neskoršom veku a v praktickej činnosti. „Všetko vo vašich rukách“.

II. Opakovanie predtým naučeného učiva.

Pozrime sa na hlavné body predtým študovaného materiálu. Aby sme to dosiahli, urobme úlohu "Odstráň nadbytočné slovo."(Šmykľavka.)

(Študent prejde do I.D. pomocou gumy odstráni nadbytočné slovo.)

- Správny "Diferenciálny". Pokúste sa pomenovať zostávajúce slová jedným bežným slovom. (Integrovaný počet.)

- Pripomeňme si hlavné fázy a koncepty súvisiace s integrálnym počtom ..

"Matematická partia".

Cvičenie. Obnoviť preukazy. (Študent vyjde a perom napíše potrebné slová.)

- Neskôr si vypočujeme správu o aplikácii integrálov.

Práca v zošitoch.

– Newtonov-Leibnizov vzorec vyvinuli anglický fyzik Isaac Newton (1643–1727) a nemecký filozof Gottfried Leibniz (1646–1716). A to nie je prekvapujúce, pretože matematika je jazyk, ktorým hovorí samotná príroda.

– Zvážte, ako sa tento vzorec používa pri riešení praktických úloh.

Príklad 1: Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami

Riešenie: Zostavme grafy funkcií na súradnicovej rovine . Vyberte oblasť obrázku, ktorú chcete nájsť.

III. Učenie sa nového materiálu.

- Venujte pozornosť obrazovke. Čo je zobrazené na prvom obrázku? (Šmykľavka) (Obrázok znázorňuje plochý obrázok.)

Čo je zobrazené na druhom obrázku? Je toto číslo ploché? (Šmykľavka) (Obrázok zobrazuje trojrozmerný obrázok.)

vo vesmíre, na zemi a vo vnútri Každodenný život stretávame sa nielen s plochými postavami, ale aj s trojrozmernými, ale ako vypočítať objem takýchto telies? Napríklad objem planéty, kométy, meteoritu atď.

– Zamyslite sa nad objemom a stavbou domov a prelievaním vody z jednej nádoby do druhej. Pravidlá a metódy na výpočet objemov mali vzniknúť, iná vec je, nakoľko boli presné a opodstatnené.

Študentská správa. (Tyurina Vera.)

Rok 1612 bol pre obyvateľov rakúskeho mesta Linz, kde žil vtedy známy astronóm Johannes Kepler, veľmi plodný najmä na hrozno. Ľudia pripravovali sudy na víno a chceli vedieť prakticky určiť ich objemy. (Snímka 2)

- Uvažované Keplerove diela tak znamenali začiatok celého prúdu bádania, ktorý vyvrcholil v poslednej štvrtine 17. storočia. dizajn v dielach I. Newtona a G.V. Leibnizov diferenciálny a integrálny počet. Od tej doby zaujala matematika magnitúdových premenných popredné miesto v systéme matematických vedomostí.

- Takže dnes sa budeme venovať takýmto praktickým činnostiam, preto,

Téma našej lekcie: "Výpočet objemov rotačných telies pomocou určitého integrálu." (Šmykľavka)

- Definíciu revolučného telesa sa naučíte splnením nasledujúcej úlohy.

"Labyrint".

Labyrint (grécke slovo) znamená prechod do žalára. Labyrint je zložitá sieť ciest, priechodov, miestností, ktoré spolu komunikujú.

Ale definícia „havarovala“, existovali rady vo forme šípok.

Cvičenie. Nájdite východisko z neprehľadnej situácie a zapíšte si definíciu.

Šmykľavka. „Karta s pokynmi“ Výpočet objemov.

Pomocou určitého integrálu môžete vypočítať objem telesa, najmä rotačného telesa.

Rotačné teleso je teleso získané rotáciou krivočiareho lichobežníka okolo jeho základne (obr. 1, 2)

Objem rotačného telesa sa vypočíta podľa jedného zo vzorcov:

1. okolo osi x.

2. , ak rotácia krivočiareho lichobežníka okolo osi y.

Každý študent dostane kartičku s pokynmi. Učiteľ zdôrazňuje hlavné body.

Učiteľ vysvetlí riešenie príkladov na tabuli.

Zoberme si úryvok zo slávnej rozprávky A. S. Puškina „Príbeh o cárovi Saltanovi, jeho slávnom a mocnom synovi princovi Gvidonovi Saltanovičovi a krásnej princeznej Lebed“ (Snímka 4):

…..
A priniesol opitého posla
V ten istý deň je objednávka:
„Cár prikazuje svojim bojarom,
Nestrácajte čas,
A kráľovná a potomstvo
Tajne hodený do priepasti vôd."
Nie je čo robiť: bojari,
Smútiac za panovníkom
A mladá kráľovná
Do jej spálne prišiel dav.
Vyhlásená kráľovská vôľa -
Ona a jej syn majú zlý osud,
Prečítajte si vyhlášku nahlas
A zároveň kráľovná
Dali ma do suda s mojím synom,
Vymodlené, vyvalené
A pustili ma do Okianu -
Tak nariadil de Tsar Saltan.

Aký by mal byť objem suda, aby sa doň vošla kráľovná aj jej syn?

– Zvážte nasledujúce úlohy

1. Nájdite objem telesa získaný rotáciou okolo osi y krivočiareho lichobežníka ohraničeného priamkami: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Odpoveď: 1163 cm 3 .

Nájdite objem telesa získaný rotáciou parabolického lichobežníka okolo úsečky y = , x = 4, y = 0.

IV. Fixácia nového materiálu

Príklad 2. Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okvetného lístka okolo osi x y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Nakreslíme grafy funkcie. y=x2, y2=x. Rozvrh y2 = x transformovať do formy r= .

Máme V \u003d V 1 – V 2 Vypočítajme objem každej funkcie

- Teraz sa pozrime na vežu pre rozhlasovú stanicu v Moskve na Šabolovke, postavenú podľa projektu úžasného ruského inžiniera, čestného akademika V. G. Shukhova. Skladá sa z častí - hyperboloidov revolúcie. Navyše, každý z nich je vyrobený z priamočiarych kovových tyčí spájajúcich susedné kruhy (obr. 8, 9).

- Zvážte problém.

Nájdite objem telesa získaný otáčaním oblúkov hyperboly okolo svojej pomyselnej osi, ako je znázornené na obr. 8, kde

kocka Jednotky

Skupinové úlohy. Žiaci losujú úlohy, kreslia sa na papier Whatman, prácu obhajuje jeden zo zástupcov skupiny.

1. skupina.

Hit! Hit! Ďalší zásah!
Lopta letí do brány - LOPTA!
A toto je melónová guľa
Zelené, okrúhle, chutné.
Vyzerajte lepšie - aká lopta!
Skladá sa z kruhov.
Vodový melón nakrájame na kolieska
A ochutnajte ich.

Nájdite objem telesa získaný rotáciou okolo osi OX funkcie ohraničenej o

Chyba! Záložka nie je definovaná.

- Povedz mi, prosím, kde sa stretávame s touto postavou?

Dom. úloha pre skupinu 1. VALEC (šmykľavka) .

"Valec - čo to je?" spýtal som sa otca.
Otec sa zasmial: Cylindr je klobúk.
Aby ste mali správnu predstavu,
Valec, povedzme, je plechovka.
Rúrka parníka je valec,
Potrubie na našej streche tiež,

Všetky potrubia sú podobné valcom.
A dal som takýto príklad -
Môj milovaný kaleidoskop
Nemôžeš z neho spustiť oči.
Vyzerá tiež ako valec.

- Cvičenie. Domáca úloha vykresliť funkciu a vypočítať objem.

2. skupina. KUŽEL (šmykľavka).

Mama povedala: A teraz
O kornútku bude môj príbeh.
Stargazer vo vysokej čiapke
Počíta hviezdy po celý rok.
KUŽEL - hviezdny klobúk.
Taký je. pochopené? To je všetko.
Mama bola pri stole
Naliala olej do fliaš.
- Kde je lievik? Žiadny lievik.
Pozri. Nestojte na okraji.
- Mami, nepohnem sa z miesta,
Povedz mi viac o kuželi.
- Lievik má tvar kužeľa napájačky.
Poď, rýchlo ma nájdi.
Nevedel som nájsť lievik
Ale mama urobila tašku,
Omotajte si lepenku okolo prsta
A šikovne upevnené sponkou.
Olej sa leje, mama sa teší
Kužeľ vyšiel tak akurát.

Cvičenie. Vypočítajte objem telesa získaný rotáciou okolo osi x

Dom. úloha pre 2. skupinu. PYRAMÍDA(šmykľavka).

Videl som obrázok. Na tomto obrázku
V piesočnatej púšti je PYRAMÍDA.
Všetko v pyramíde je výnimočné,
Je v tom akési tajomno a tajomno.
Spasská veža na Červenom námestí
Známe sú deti aj dospelí.
Pozrite sa na vežu - obyčajný vzhľad,
Čo je na nej? Pyramída!

Cvičenie. Domáca úloha nakreslite funkciu a vypočítajte objem pyramídy

- Objemy rôznych telies sme vypočítali na základe základného vzorca pre objemy telies pomocou integrálu.

Toto je ďalšie potvrdenie, že určitý integrál je určitým základom pre štúdium matematiky.

"Teraz si poďme odpočinúť."

Nájdite pár.

Hraje matematická domino melódia.

"Cesta, ktorú on sám hľadal, nikdy nebude zabudnutá ..."

Výskum. Aplikácia integrálu v ekonomike a technike.

Testy pre silných študentov a matematický futbal.

Simulátor matematiky.

2. Volá sa množina všetkých primitívnych prvkov danej funkcie

A) neurčitý integrál

B) funkcia,

B) diferenciácia.

7. Nájdite objem telesa získaný rotáciou okolo osi x krivočiareho lichobežníka ohraničeného priamkami:

D/Z. Vypočítajte objemy rotačných telies.

Reflexia.

Prijatie odrazu vo forme cinquain(päť riadkov).

1. riadok - názov témy (jedno podstatné meno).

2. riadok - popis témy v skratke, dve prídavné mená.

3. riadok - popis akcie v rámci tejto témy v troch slovách.

4. riadok - fráza zo štyroch slov, ukazuje postoj k téme (celá veta).

5. riadok je synonymum, ktoré opakuje podstatu témy.

1. Objem.
2. Určitý integrál, integrovateľná funkcia.
3. Staviame, otáčame, počítame.
4. Teleso získané otáčaním krivočiareho lichobežníka (okolo jeho základne).
5. Rotačné teleso (3D geometrické teleso).

Záver (šmykľavka).

• Určitý integrál je akýmsi základom pre štúdium matematiky, ktorý je nevyhnutným príspevkom k riešeniu problémov praktického obsahu.
• Téma „Integrál“ názorne demonštruje prepojenie matematiky a fyziky, biológie, ekonómie a techniky.
• Rozvoj modernej vedy je nemysliteľný bez použitia integrálu. V tomto smere je potrebné začať ho študovať v rámci stredného odborného vzdelávania!

Klasifikácia. (S komentárom.)

Veľký Omar Khayyam je matematik, básnik a filozof. Volá byť pánmi svojho osudu. Vypočujte si úryvok z jeho tvorby:

Hovoríš, že tento život je len okamih.
Vážte si to, čerpajte z toho inšpiráciu.
Ako to minieš, tak to prejde.
Nezabudnite: ona je vaším výtvorom.