Distribuția Poisson. Legea evenimentelor rare. Distribuția Poisson a unei variabile aleatoare discrete Probabilitatea unei distribuții Poisson

Cel mai frecvent caz de diferite tipuri de distribuții de probabilitate este distribuția binomială. Să folosim versatilitatea sa pentru a determina cele mai comune tipuri particulare de distribuții întâlnite în practică.

Distribuție binomială

Să fie un eveniment A. Probabilitatea de apariție a evenimentului A este egală cu p, probabilitatea de neapariție a evenimentului A este 1 p, uneori este desemnat ca q. Lăsa n numărul de teste, m frecvența de apariție a evenimentului A în acestea n teste.

Se știe că probabilitatea totală a tuturor combinațiilor posibile de rezultate este egală cu unul, adică:

1 = p n + n · p n 1 (1 p) + C n n 2 · p n 2 (1 p) 2 + + C n m · p m· (1 p) n – m+ + (1 p) n .

p n probabilitatea ca in nn o singura data; n · p n 1 (1 p) probabilitatea ca in nn 1) o dată și nu se va întâmpla o dată; C n n 2 · p n 2 (1 p) 2 probabilitatea ca in n teste, va avea loc evenimentul A ( n 2) ori și nu se va întâmpla de 2 ori; P m = C n m · p m· (1 p) n – m probabilitatea ca in n teste, va avea loc evenimentul A m nu se va întâmpla niciodată ( n – m) o singura data; (1 p) n probabilitatea ca in nîn încercări, evenimentul A nu va avea loc nici măcar o dată; numărul de combinații de n De m .

Valorea estimata M distribuția binomială este egală cu:

M = n · p ,

Unde n numărul de teste, p probabilitatea apariției evenimentului A.

Deviație standard σ :

σ = sqrt( n · p· (1 p)) .

Exemplul 1. Calculați probabilitatea ca un eveniment care are o probabilitate p= 0,5, in n= 10 încercări vor avea loc m= 1 dată. Avem: C 10 1 = 10 și mai departe: P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,0098. După cum putem vedea, probabilitatea ca acest eveniment să se producă este destul de scăzută. Acest lucru se explică, în primul rând, prin faptul că nu este absolut clar dacă evenimentul se va întâmpla sau nu, deoarece probabilitatea este de 0,5 și șansele aici sunt „50 la 50”; iar în al doilea rând, este necesar să se calculeze că evenimentul va avea loc exact o dată (nici mai mult, nici mai puțin) din zece.

Exemplul 2. Calculați probabilitatea ca un eveniment care are o probabilitate p= 0,5, in n= 10 încercări vor avea loc m= de 2 ori. Avem: C 10 2 = 45 și mai departe: P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,044. Probabilitatea ca acest eveniment să se producă a crescut!

Exemplul 3. Să creștem probabilitatea ca evenimentul în sine să se producă. Să facem mai probabil. Calculați probabilitatea ca un eveniment care are o probabilitate p= 0,8, in n= 10 încercări vor avea loc m= 1 dată. Avem: C 10 1 = 10 și mai departe: P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004. Probabilitatea a devenit mai mică decât în ​​primul exemplu! Răspunsul, la prima vedere, pare ciudat, dar din moment ce evenimentul are o probabilitate destul de mare, este puțin probabil să se întâmple o singură dată. Este mai probabil să se întâmple de mai multe ori. Într-adevăr, numărând P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (probabilitatea ca un eveniment în n= 10 încercări vor avea loc de 0, 1, 2, 3, , de 10 ori), vom vedea:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,8 0 (1 0,8) 10 0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000;
P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000;
P 2 = 45 0,8 2 (1 0,8) 10 2 = 45 0,8 2 0,2 ​​8 = 0,0000;
P 3 = 120 0,8 3 (1 0,8) 10 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008;
P 4 = 210 0,8 4 (1 0,8) 10 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055;
P 5 = 252 0,8 5 (1 0,8) 10 5 = 252 0,8 5 0,2 5 = 0,0264;
P 6 = 210 0,8 6 (1 0,8) 10 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881;
P 7 = 120 0,8 7 (1 0,8) 10 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013;
P 8 = 45 0,8 8 (1 0,8) 10 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020(probabilitatea cea mai mare!);
P 9 = 10 0,8 9 (1 0,8) 10 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684;
P 10 = 1 0,8 10 (1 0,8) 10 10 = 1 0,8 10 0,2 0 = 0,1074

Desigur P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Distributie normala

Dacă înfățișăm cantitățile P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10, pe care l-am calculat în exemplul 3, pe grafic, rezultă că distribuția lor are o formă apropiată de legea distribuției normale (vezi Fig. 27.1) (vezi prelegerea 25. Modelarea variabilelor aleatoare normal distribuite).

Orez. 27.1. Tip de distribuție binomială
probabilități pentru m diferit la p = 0,8, n = 10

Legea binomială devine normală dacă probabilitățile de apariție și de neapariție a evenimentului A sunt aproximativ aceleași, adică putem scrie condiționat: p≈ (1 p) . De exemplu, să luăm n= 10 și p= 0,5 (adică p= 1 p = 0.5 ).

Vom ajunge cu sens la o astfel de problemă dacă, de exemplu, vrem să calculăm teoretic câți băieți și câte fete vor fi din 10 copii născuți într-o maternitate în aceeași zi. Mai exact, vom număra nu băieți și fete, ci probabilitatea ca să se nască numai băieți, să se nască 1 băiat și 9 fete, să se nască 2 băieți și 8 fete etc. Să presupunem, pentru simplitate, că probabilitatea de a avea un băiat și o fată este aceeași și egală cu 0,5 (dar de fapt, ca să fiu sincer, nu este cazul, vezi cursul „Modelarea sistemelor de inteligență artificială”).

Este clar că distribuția va fi simetrică, deoarece probabilitatea de a avea 3 băieți și 7 fete este egală cu probabilitatea de a avea 7 băieți și 3 fete. Probabilitatea cea mai mare de naștere va fi de 5 băieți și 5 fete. Această probabilitate este egală cu 0,25, apropo, nu este atât de mare în valoare absolută. În plus, probabilitatea ca 10 sau 9 băieți să se nască deodată este mult mai mică decât probabilitatea ca 5 ± 1 băiat să se nască din 10 copii. Distribuția binomială ne va ajuta să facem acest calcul. Asa de.

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,5 0 (1 0,5) 10 0 = 1 1 0,5 10 = 0,000977;
P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,009766;
P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,043945;
P 3 = 120 0,5 3 (1 0,5) 10 3 = 120 0,5 10 = 0,117188;
P 4 = 210 0,5 4 (1 0,5) 10 4 = 210 0,5 10 = 0,205078;
P 5 = 252 0,5 5 (1 0,5) 10 5 = 252 0,5 10 = 0,246094;
P 6 = 210 0,5 6 (1 0,5) 10 6 = 210 0,5 10 = 0,205078;
P 7 = 120 0,5 7 (1 0,5) 10 7 = 120 0,5 10 = 0,117188;
P 8 = 45 0,5 8 (1 0,5) 10 8 = 45 0,5 10 = 0,043945;
P 9 = 10 0,5 9 (1 0,5) 10 9 = 10 0,5 10 = 0,009766;
P 10 = 1 0,5 10 (1 0,5) 10 10 = 1 0,5 10 = 0,000977

Desigur P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Să arătăm cantitățile pe grafic P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (vezi Fig. 27.2).

Orez. 27.2. Graficul distribuției binomiale cu parametri
p = 0,5 și n = 10, apropiindu-l de legea normală

Deci, în condiții m ≈ n/2 și p≈ 1 p sau p≈ 0,5 în loc de distribuția binomială, o puteți folosi pe cea normală. Pentru valori mari n graficul se deplasează la dreapta și devine din ce în ce mai plat, pe măsură ce așteptările matematice și varianța cresc odată cu creșterea n : M = n · p , D = n · p· (1 p) .

Apropo, legea binomului tinde spre normal și cu creștere n, ceea ce este destul de firesc, conform teoremei limitei centrale (vezi cursul 34. Înregistrarea și prelucrarea rezultatelor statistice).

Acum luați în considerare cum se schimbă legea binomială în cazul în care p ≠ q, acesta este p> 0 . În acest caz, ipoteza distribuției normale nu poate fi aplicată, iar distribuția binomială devine o distribuție Poisson.

Distribuția Poisson

Distribuția Poisson este un caz special al distribuției binomiale (cu n>> 0 și la p>0 (evenimente rare)).

Din matematică se cunoaște o formulă care vă permite să calculați aproximativ valoarea oricărui membru al distribuției binomiale:

Unde A = n · p Parametrul Poisson (așteptările matematice), iar varianța este egală cu așteptarea matematică. Să prezentăm calcule matematice care explică această tranziție. Legea distribuției binomiale

P m = C n m · p m· (1 p) n – m

se poate scrie daca pui p = A/n , la fel de

Deoarece p este foarte mic, atunci trebuie luate în considerare doar numerele m, mic comparativ cu n. Muncă

foarte aproape de unitate. Același lucru este valabil și pentru dimensiune

Magnitudinea

foarte aproape de e – A. De aici obținem formula:

Exemplu. Cutia contine n= 100 piese, atât de înaltă calitate, cât și defecte. Probabilitatea de a primi un produs defect este p= 0,01. Să presupunem că scoatem un produs, stabilim dacă este defect sau nu și îl punem înapoi. Făcând acest lucru, s-a dovedit că din 100 de produse prin care am trecut, două s-au dovedit a fi defecte. Care este probabilitatea asta?

Din distribuția binomială obținem:

Din distribuția Poisson obținem:

După cum puteți vedea, valorile s-au dovedit a fi apropiate, așa că în cazul unor evenimente rare este destul de acceptabil să se aplice legea lui Poisson, mai ales că necesită mai puțin efort de calcul.

Să arătăm grafic forma legii lui Poisson. Să luăm parametrii ca exemplu p = 0.05 , n= 10 . Apoi:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,05 0 (1 0,05) 10 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987;
P 1 = 10 0,05 1 (1 0,05) 10 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151;
P 2 = 45 0,05 2 (1 0,05) 10 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746;
P 3 = 120 0,05 3 (1 0,05) 10 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105;
P 4 = 210 0,05 4 (1 0,05) 10 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096;
P 5 = 252 0,05 5 (1 0,05) 10 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006;
P 6 = 210 0,05 6 (1 0,05) 10 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000;
P 7 = 120 0,05 7 (1 0,05) 10 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000;
P 8 = 45 0,05 8 (1 0,05) 10 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000;
P 9 = 10 0,05 9 (1 0,05) 10 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000;
P 10 = 1 0,05 10 (1 0,05) 10 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000

Desigur P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Orez. 27.3. Graficul de distribuție Poisson la p = 0,05 și n = 10

La n> ∞ distribuția Poisson se transformă într-o lege normală, conform teoremei limitei centrale (vezi.

Introducere

Teoria probabilității este o știință matematică care studiază tiparele în fenomene aleatorii. Astăzi este o știință cu drepturi depline, de mare importanță practică.

Istoria teoriei probabilităților datează din secolul al XVII-lea, când s-au făcut primele încercări de a studia sistematic problemele legate de fenomenele aleatorii de masă și a apărut aparatul matematic corespunzător. De atunci, multe fundamente au fost dezvoltate și aprofundate la conceptele actuale și au fost descoperite alte legi și modele importante. Mulți oameni de știință au lucrat și lucrează la probleme din teoria probabilităților.

Printre acestea, nu se poate să nu acorde atenție lucrărilor lui Simeon Denis Poisson ((1781–1840) - matematician francez), care a dovedit o formă mai generală a legii numerelor mari decât Jacob Bernoulli și, de asemenea, a aplicat-o pentru prima dată. teoria probabilității la rezolvarea problemelor. Numele de Poisson este asociat cu una dintre legile distribuției, care joacă un rol important în teoria probabilității și în aplicațiile acesteia.

Numărul de apariții ale unui anumit eveniment aleatoriu pe unitatea de timp, atunci când faptul că apariția acestui eveniment într-un anumit experiment nu depinde de câte ori și în ce momente a avut loc în trecut și nu afectează viitorul. Și testele sunt efectuate în condiții staționare, atunci legea lui Poisson este de obicei folosită pentru a descrie distribuția unei astfel de variabile aleatoare (această distribuție a fost propusă și publicată pentru prima dată de acest om de știință în 1837).

Această lege poate fi descrisă și ca cazul limitativ al distribuției binomiale, când probabilitatea p apariției evenimentului care ne interesează într-un singur experiment este foarte mică, dar numărul de experimente m efectuate pe unitatea de timp este destul de mare , și anume astfel încât în ​​procesul p

0 și m, produsul mp tinde către o valoare constantă pozitivă (adică mp).

Prin urmare, legea lui Poisson este adesea numită și legea evenimentelor rare.

Distribuția Poisson în teoria probabilității

Funcții și serii de distribuție

Distribuția Poisson este un caz special al distribuției binomiale (cu n>> 0 și la p–> 0 (evenimente rare)).

Din matematică se cunoaște o formulă care vă permite să calculați aproximativ valoarea oricărui membru al distribuției binomiale:

Unde A = n · p este parametrul Poisson (așteptările matematice), iar varianța este egală cu așteptarea matematică. Să prezentăm calcule matematice care explică această tranziție. Legea distribuției binomiale

P.m = C n m · p m· (1 - p)n – m

se poate scrie daca pui p = A/n, la fel de

Deoarece p este foarte mic, atunci trebuie luate în considerare doar numerele m, mic comparativ cu n. Muncă

foarte aproape de unitate. Același lucru este valabil și pentru dimensiune

foarte aproape de e –A. De aici obținem formula:

Numărul Euler (2,71...). ,

Pentru funcția generatoare

avem cantitati:

Funcția de distribuție a probabilității cumulate este egală cu

Un exemplu clasic de variabilă aleatorie distribuită în funcție de Poisson este numărul de mașini care trec printr-o anumită secțiune de drum într-o anumită perioadă de timp. De asemenea, puteți observa exemple precum numărul de stele dintr-o secțiune a cerului de o anumită dimensiune, numărul de erori dintr-un text de o anumită lungime, numărul de apeluri telefonice într-un centru de apeluri sau numărul de apeluri către un server web pe o anumită perioadă de timp.

Seria de distribuție a unei variabile aleatoare X, distribuită conform legii lui Poisson, arată astfel:

x m	0	1	2	…	m	…
P.m	e-a			…		…

În fig. 1 prezintă poligoanele distribuției variabile aleatoare X conform legii lui Poisson, corespunzătoare diferitelor valori ale parametrului A.

În primul rând, să ne asigurăm că succesiunea probabilităților poate fi o serie de distribuție, adică. că suma tuturor probabilităților Rm egal cu unu.

Folosim funcția de extindere e xîn seria Maclaurin:

Se știe că această serie converge pentru orice valoare X, prin urmare, luând x=a, primim

prin urmare

Caracteristicile numerice ale poziției distribuției Poisson

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestora.

Prin definiție, atunci când o variabilă aleatorie discretă ia un set numărabil de valori:

Primul termen al sumei (corespunzător m=0 ) este egal cu zero, prin urmare, însumarea poate începe de la m=1 :

Deci parametrul A nu este altceva decât așteptarea matematică a unei variabile aleatorii X.

Pe lângă așteptările matematice, poziția unei variabile aleatoare este caracterizată de modul și mediana acesteia.

Modul unei variabile aleatoare este valoarea sa cea mai probabilă.

Pentru o cantitate continuă, modul se numește punctul de maxim local al funcției de densitate de probabilitate. Dacă un poligon sau o curbă de distribuție are un maxim (Fig. 2 a), atunci distribuția se numește unimodală dacă există mai mult de un maxim, este multimodală (în special, o distribuție cu două moduri se numește bimodală); O distribuție care are un minim se numește antimodală (Fig. 2 b)

x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x

Cea mai probabilă valoare a unei variabile aleatoare este modul care oferă probabilitatea maximă globală pentru o variabilă aleatoare discretă sau densitatea distribuției pentru o variabilă aleatoare continuă.

Mediana este valoarea lui x l care împarte aria de sub graficul densității probabilității în jumătate, adică. Mediana este orice rădăcină a ecuației. Este posibil ca așteptarea matematică să nu existe, dar mediana există întotdeauna și poate fi definită în mod ambiguu.

Mediana unei variabile aleatoare

valoarea sa = x med se numește astfel încât P (< x med) = Р ( >x med) = .

Caracteristicile numerice ale scatterului

Varianta unei variabile aleatoare X este așteptarea matematică a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică.

Unde λ este egal cu numărul mediu de apariții ale evenimentelor în studii independente identice, i.e. λ = n × p, unde p este probabilitatea unui eveniment într-o singură încercare, e = 2,71828.

Seria de distribuție a legii Poisson are forma:

Scopul serviciului. Calculatorul online este folosit pentru a construi distribuția Poisson și pentru a calcula toate caracteristicile seriei: așteptare matematică, varianță și abatere standard. Procesul-verbal cu decizia se intocmeste in format Word.

În cazul în care n este mare și λ = p n > 10, formula Poisson oferă o aproximare foarte grosieră și teoremele locale și integrale ale lui Moivre-Laplace sunt utilizate pentru a calcula P n (m).

Caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare X

Așteptarea distribuției Poisson
M[X] = λ

Varianța distribuției Poisson
D[X] = λ

Exemplul nr. 1. Semințele conțin 0,1% buruieni. Care este probabilitatea de a găsi 5 semințe de buruieni dacă selectați aleatoriu 2000 de semințe?
Soluţie.
Probabilitatea p este mică, dar numărul n este mare. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Valorea estimata: M[X] = λ = 2
Dispersia: D[X] = λ = 2

Exemplul nr. 2. Dintre semințele de secară există 0,4% semințe de buruieni. Întocmește o lege de distribuție a numărului de buruieni cu o selecție aleatorie de 5000 de semințe. Găsiți așteptările matematice și varianța acestei variabile aleatoare.
Soluţie. Așteptări matematice: M[X] = λ = 0,004*5000 = 20. Dispersie: D[X] = λ = 20
Legea distributiei:

X	0	1	2	…	m	…
P	e -20	20e -20	200e -20	…	20 m e -20 /m!	…

Exemplul nr. 3. La o centrală telefonică are loc o conexiune incorectă cu o probabilitate de 1/200. Găsiți probabilitatea ca între 200 de conexiuni să apară următoarele:
a) exact o conexiune incorectă;
b) mai puțin de trei conexiuni incorecte;
c) mai mult de două conexiuni incorecte.
Soluţie. Conform condițiilor problemei, probabilitatea evenimentului este scăzută, așa că folosim formula Poisson (15).
a) Având în vedere: n = 200, p = 1/200, k = 1. Să aflăm P 200 (1).
Primim: . Atunci P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
b) Având în vedere: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Avem: a = 1.

c) Având în vedere: n = 200, p = 1/200, k > 2. Să aflăm P 200 (k > 2).
Această problemă poate fi rezolvată mai simplu: găsiți probabilitatea evenimentului opus, deoarece în acest caz trebuie să calculați mai puțini termeni. Ținând cont de cazul anterior, avem

Luați în considerare cazul în care n este suficient de mare și p suficient de mic; să punem np = a, unde a este un număr. În acest caz, probabilitatea dorită este determinată de formula Poisson:

Probabilitatea de apariție a k evenimente pe o durată de timp t poate fi găsită și folosind formula Poisson:
unde λ este intensitatea fluxului de evenimente, adică numărul mediu de evenimente care apar pe unitatea de timp.

Exemplul nr. 4. Probabilitatea ca piesa să fie defectă este de 0,005. Sunt verificate 400 de piese. Furnizați o formulă pentru calcularea probabilității ca mai mult de 3 părți să fie defecte.

Exemplul nr. 5. Probabilitatea ca piesele defecte să apară în timpul producției de masă este p. determinați probabilitatea ca un lot de N părți să conțină a) exact trei părți; b) nu mai mult de trei piese defecte.
p=0,001; N = 4500
Soluţie.
Probabilitatea p este mică, dar numărul n este mare. np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Variabila aleatoare X are un interval de valori (0,1,2,...,m). Probabilitățile acestor valori pot fi găsite folosind formula:

Să găsim seria de distribuție a lui X.
Aici λ = np = 4500*0,001 = 4,5
P(0) = e - λ = e -4,5 = 0,01111
P(1) = λe -λ = 4,5e -4,5 = 0,04999

Atunci probabilitatea ca un lot de N părți să conțină exact trei părți este egală cu:

Atunci probabilitatea ca un lot de N părți să nu conțină mai mult de trei părți defecte:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Exemplul nr. 6. O centrală telefonică automată primește în medie N apeluri pe oră. Determinați probabilitatea ca într-un minut dat să primească: a) exact două apeluri; b) mai mult de două apeluri.
N=18
Soluţie.
Într-un minut centrala telefonică automată primește în medie λ = 18/60 min. = 0,3
Presupunând că un număr aleatoriu X de apeluri primite la PBX într-un minut,
respectă legea lui Poisson, folosind formula vom găsi probabilitatea dorită

Să găsim seria de distribuție a lui X.
Aici λ = 0,3
P(0) = e - λ = e -0,3 = 0,7408
P(1) = λe -λ = 0,3e -0,3 = 0,2222

Probabilitatea ca ea să primească exact două apeluri într-un minut dat este:
P(2) = 0,03334
Probabilitatea ca ea să primească mai mult de două apeluri într-un minut dat este:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366

Exemplul nr. 7. Sunt luate în considerare două elemente care funcționează independent unul de celălalt. Durata de funcționare fără defecțiuni are o distribuție exponențială cu parametrul λ1 = 0,02 pentru primul element și λ2 = 0,05 pentru al doilea element. Aflați probabilitatea ca în 10 ore: a) ambele elemente să funcționeze fără defecțiuni; b) doar Probabilitatea ca elementul nr. 1 să nu eșueze în 10 ore:
Decizie.
P 1 (0) = e -λ1*t = e -0,02*10 = 0,8187

Probabilitatea ca elementul nr. 2 să nu eșueze în 10 ore:
P 2 (0) = e -λ2*t = e -0,05*10 = 0,6065

a) ambele elemente vor funcționa impecabil;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
b) un singur element va eșua.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321

Exemplul nr. 7. Producția produce 1% defecte. Care este probabilitatea ca din 1100 de produse luate pentru cercetare, nu mai mult de 17 să fie respinse?
Notă: deoarece aici n*p =1100*0.01=11 > 10, este necesar să folosiți

Când se iau în considerare evenimente cu probabilitate scăzută care apar într-o serie mare de încercări independente de un anumit număr (finit) de ori, probabilitățile de apariție a acestor evenimente respectă legea lui Poisson sau legea evenimentelor rare, unde λ este egal cu numărul mediu de apariția evenimentelor în studii independente identice, de ex. λ = n × p, unde p este probabilitatea unui eveniment în timpul unei încercări, e = 2,71828, m este frecvența acestui eveniment, așteptarea matematică M[X] este egală cu λ.

Seria de distribuție a legii Poisson are forma:

Caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare X

Așteptarea distribuției Poisson
M[X] = λ

Varianța distribuției Poisson
D[X] = λ

legea lui Poisson poate fi folosit pentru populații care sunt suficient de mari ca volum (n > 100) și au o proporție suficient de mică de unități care posedă această caracteristică (p< 0,1).
În acest caz, distribuția Poisson poate fi aplicată atunci când nu este cunoscută doar valoarea lui n - numărul total de rezultate posibile -, ci și atunci când nu este cunoscut numărul final pe care n-l poate reprezenta. Acolo unde există un număr mediu de apariții ale unui eveniment, probabilitatea ca evenimentul să se producă este descrisă de termenii expansiunii:
.
Prin urmare, probabilitățile corespunzătoare sunt:

Prin urmare, dacă numărul mediu de cutremure este unul pe lună, atunci m = 1 și probabilitatea de apariție pe lună va fi următoarea, calculată din valoarea aproximativă a e - m = 0,3679:

Exemplu. În urma verificării a 1000 de loturi de produse identice, s-a obținut următoarea distribuție a numărului de produse defecte din lot:

Să determinăm numărul mediu de produse defecte dintr-un lot:
.
Găsim frecvențele teoretice ale legii lui Poisson:


Distribuția Poisson găsită empiric și teoretic:

604	306	77	12	1
606	303	76	13	2

Comparația indică faptul că distribuția empirică corespunde distribuției Poisson.

Exemplul nr. 2. Departamentul de control tehnic a verificat n loturi de produse similare și a constatat că numărul X de produse nestandard dintr-un lot are o distribuție empirică prezentată în tabel, din care un rând indică numărul x i de produse nestandard dintr-un lot, iar cealaltă linie indică numărul de n i loturi care conțin x i produse nestandard. Este necesar să se testeze ipoteza la nivelul de semnificație α=0,05 că variabila aleatoare X (numărul de produse nestandard dintr-un lot) distribuite conform legii lui Poisson.

x i	0	1	2	3	4	5
n i	370	360	190	63	14	3

Să verificăm ipoteza că X este distribuit legea lui Poisson Utilizarea serviciului, testarea ipotezelor statistice.


unde p i este probabilitatea ca o variabilă aleatoare distribuită conform unei legi ipotetice să cadă în intervalul i-lea; λ = x medie.
i = 0: p 0 = 0,3679, np 0 = 367,88
i = 1: p 1 = 0,3679, np 1 = 367,88
i = 2: p 2 = 0,1839, np 2 = 183,94
i = 3: p 3 = 0,0613, np 3 = 61,31
i = 4: p 4 = 0,0153, np 4 = 15,33
i = 5: p 5 = 0,0031, np 5 = 3,07
i = 6: 17=14 + 3
i = 6: 18,39=15,33 + 3,07

i	Frecvența observată n i	p i	Frecvența așteptată np i
0	370	0.37	367.88	0.0122
1	360	0.37	367.88	0.17
2	190	0.18	183.94	0.2
3	63	0.0613	61.31	0.0464
4	17	0.0153	18.39	0.11
	1000			0.53

Să determinăm limita regiunii critice. Deoarece statistica Pearson măsoară diferența dintre distribuțiile empirice și teoretice, cu cât valoarea sa observată K obs este mai mare, cu atât argumentul împotriva ipotezei principale este mai puternic.
Prin urmare, regiunea critică pentru aceste statistici este întotdeauna dreptaci :)