Jocuri

Desen complex al monge. Metoda Monge, multi-desen Proiecție punct, multi-desen

Lectura

Subiectul „Inginerie grafică”

Capitol. 1 Geometrie descriptivă

Alcătuit de: Shagvaleeva.G.N.

Introducere.

Geometria descriptivă mai este numită și teoria imaginilor. Subiectul geometriei descriptive este prezentarea și justificarea metodelor de reprezentare a figurilor spațiale pe un desen plat și a metodelor de rezolvare a problemelor geometrice spațiale pe un desen plat. Obiectele stereometrice (tridimensionale) sunt discutate în el cu ajutorul imaginilor planimetrice (bidimensionale) ale acestor obiecte, proiecții.

Ei spun că desenul este limbajul tehnologiei, iar geometria descriptivă este gramatica acestui limbaj. Geometria descriptivă este baza teoretică pentru construcția desenelor tehnice, care sunt modele grafice complete ale produselor de inginerie specifice.

Pe care se bazează regulile de construire a imaginilor stabilite în geometria descriptivă metoda de proiectie.

Studiul geometriei descriptive contribuie la dezvoltarea reprezentării și imaginației spațiale, a gândirii geometrice constructive, la dezvoltarea abilităților de analiză și sinteză a formelor spațiale și a relațiilor dintre acestea. Stăpânirea metodelor de construire a diferitelor obiecte spațiale geometrice, metode de obținere a desenelor acestora la nivelul modelelor grafice și capacitatea de a rezolva probleme pe aceste desene legate de obiectele spațiale și de caracteristicile geometrice ale acestora.

Bazele geometriei descriptive ca știință au fost puse de omul de știință și inginerul francez Gaspard Monge (1746-1818) în lucrarea sa „Geometrie descriptivă”, Paris, 1795. Gaspard Monge a oferit o metodă generală de rezolvare a problemelor stereometrice prin construcții geometrice pe un plan, adică într-un desen, cu folosirea instrumentelor de desen.

Denumiri acceptate.

A, B, C, D, -punctele sunt indicate prin majuscule ale alfabetului latin;

a, b, c, d - linii - cu litere mici ale alfabetului latin;

p 1 - plan orizontal al proiecțiilor,

p 2 - planul frontal al proiecțiilor,

p 3 - planul de profil al proiecțiilor,

p 4 , p 5 , ... - planuri de proiecție suplimentare.

avioane

Axele de proiecție - cu litere mici ale alfabetului latin: x, y și z. Originea coordonatelor este numărul 0.

Sunt indicate proiecții de puncte, drepte, plane: pe p 1 cu o singură lovitură, pe p 2 cu două, pe p 3 - cu trei linii.

p 1 - A I , B I , C I ,..., a I , b I , ... , a I , b I ,

p 2 - A II, B II, C II,..., a II, b II, ..., a II, b II,

p 3 - A III, B III, C III,..., a III, b III, ..., a III, b III.

Formarea proiecțiilor.

1 Proiecție centrală.

Aparatul central de proiecție este format din centrul de proiecție S, planul de proiecție π, raze proiectante.

π 1 - plan de proiecție

S - centru de proiecție

A, B, C - puncte din spațiu

A", B", C" - proiecții de puncte pe planul π"

Proiecția este punctul de intersecție a fasciculului proeminent cu planul de proiecție.

2. Proiecție paralelă.

Grinzile proeminente sunt conduse paralel cu S și între ele. Proiecțiile paralele sunt împărțite în oblice și dreptunghiulare. În cazul proiecției oblice, razele sunt situate la un unghi față de planul de proiectare.

În cazul proiecției dreptunghiulare, razele proeminente sunt perpendiculare pe planul de proiecție (Fig. 1.3). Proiecția dreptunghiulară este principala metodă de proiecție adoptată în construcția desenelor tehnice.

Proprietățile de bază ale proiecției ortogonale

1. Proiecția unui punct - există un punct;

2. Proiecția unei drepte (în cazul general) - există o dreaptă sau un punct (dreapta este perpendiculară pe planul de proiecție);

3. Dacă punctul se află pe o dreaptă, atunci proiecția acestui punct va aparține proiecției dreptei: А l ® A "l";

4. Dacă două drepte din spațiu sunt paralele, atunci proiecțiile lor cu același nume sunt și ele paralele: a || b ® a` || b`;

5. Dacă două drepte se intersectează la un punct, atunci proiecțiile lor cu același nume se intersectează în proiecția corespunzătoare a acestui punct: m ∩ n = K ® m" ∩ n" = K";

6. Proporționalitatea segmentelor situate pe o linie dreaptă sau pe două linii paralele se păstrează și pe proiecțiile lor (Fig. 1.3): AB: CD \u003d A "B": C "D"

7. Dacă una dintre cele două drepte reciproc perpendiculare este paralelă cu planul de proiecție, atunci unghiul drept este proiectat pe acest plan printr-un unghi drept (Fig. 1.4).

Desen complex al unui punct sau diagrame Monge.

Cea mai comună metodă de geometrie descriptivă în practică a fost propusă de Gaspard Monge. Această metodă se bazează pe design ortogonal.

Proiecția ortogonală (sau dreptunghiulară) a punctului A pe planul π 1 se numește baza perpendicularei căzute din punctul A în planul π 1 (Fig. 1.5)

Desenul obținut în acest caz pe planul π 1 este ireversibil, corespondența dintre originalul A și proiecția A „este unică doar într-o singură direcție: de la original la proiecție. Originalul corespunde unei singure proiecții, desenul original. este definit în mod unic, dar pentru proiecția A" există nenumărate originale care îi corespund, și anume toate punctele liniei de proiectare AA". O traducere exactă din limbajul desenului în limbajul naturii este imposibilă. Prin urmare, Monge introduce un al doilea plan de proiecție.

Orez. 1.6. Fig.1. 7.

Pe fig. 6. prezintă un sistem de coordonate dreptunghiular.

Combinând acum planurile π 1 și π 2 cu proiecțiile construite în ele prin rotirea π 1 în jurul axei X cu 90 0 astfel încât semiplanul frontal π 1 să coincidă cu semiplanul inferior π 2, obținem desenul punctual complex sau Diagrama Monge. (Fig. 1.7).

Construit conform acestor reguli un desen format dintr-o pereche de proiecții situate într-o relație de proiecție este reversibil, adică corespondența dintre original și desen este lipsită de ambiguitate în ambele sensuri. Sau, cu alte cuvinte, desenul oferă informații complete despre original. Descifrarea acestor informații este subiectul geometriei descriptive.

Din desenul complex al punctului, putem trage următoarele concluzii:

1. două proiecții ale unui punct determină complet poziția unui punct în spațiu;

2. proiecțiile punctelor se află întotdeauna pe o linie de legătură perpendiculară pe axa de proiecție.

Liniile care leagă proiecțiile punctelor se numesc linii de comunicare și sunt descrise ca linii subțiri și solide.

Într-o serie de construcții și la rezolvarea problemelor, se dovedește a fi necesar să se introducă în sistem π 1 (plan orizontal) π 2 (plan frontal) și alte planuri de proiecție. Planul perpendicular pe ambele π 1 și π 1 este planul profilului. π 3 . Linia de intersecție a planurilor orizontale și frontale dă axa X, linia de intersecție a planurilor orizontale și de profil dă axa Y, iar linia de intersecție a planurilor frontale și de profil dă axa Z. (Fig. 1). . 8)

Pentru a obține un desen complex al unui punct, este necesar să plasăm trei planuri într-unul, pentru care „tăiem” axa Y și combinăm cele trei plane principale de proiecție într-unul singur (Fig. 1. 9).

A treia proiecție nu adaugă informații noi despre original. Doar face ca informațiile disponibile să fie mai digerabile. (Figura 1.10)

Distanța de la punctul A la planul π 3 (A A "") în spațiu poate fi văzută în desen și este egală cu distanța A "AY \u003d A" A Z \u003d A X 0 \u003d X

Distanța de la punctul A la planul π 2 (A A") în spațiu poate fi văzută în desen și este egală cu distanța A "AX \u003d A" "A Z \u003d A Y 0 \u003d Y

Distanța de la punctul A la planul π 1 (A A") în spațiu poate fi văzută în desen și este egală cu distanța A "AX \u003d A" "A Y \u003d A Z 0 \u003d Z

Exemplu. Construiți proiecțiile punctelor A(10, 10,30), B(30,20,10)

Puncte concurente.

Punctele pentru care o pereche de proiecții cu același nume coincide (și altele nu coincid) se numesc puncte concurente.

Punctele sunt situate pe o linie dreaptă proeminentă, perpendiculară pe planul de proiecție frontală. Direcția vizuală este indicată de o săgeată. În acest caz, proiecția B" este mai aproape de observator decât A", iar pe π 2 proiecția B"" va fi vizibilă și proiecția A"" va fi invizibilă (Fig. 1.12).

Conceptul de " mai sus mai jos»

Punctele sunt situate pe o linie dreaptă proeminentă, perpendiculară pe planul orizontal de proiecție. Direcția vizuală este indicată de o săgeată. În acest caz, proiecția A "" este mai aproape de observator decât B "", iar pe π 1 proiecția A" va fi vizibilă și proiecția B" va fi invizibilă (Fig. 1.13).

O diagramă monge sau un desen complex este un desen compus din două sau mai multe proiecții ortogonale interconectate ale unei figuri geometrice.

Utilizarea unui aspect spațial pentru a afișa proiecții ortogonale ale figurilor geometrice este incomod din cauza volumului său și, de asemenea, datorită faptului că atunci când este transferată pe o coală de hârtie, forma și dimensiunea figurii proiectate sunt distorsionate pe H și W. avioane.
Prin urmare, în locul imaginii din desenul aspectului spațial, este utilizat diagrama Monge.

Diagrama Monge se obține prin transformarea planului spațial prin combinarea planurilor H și W cu planul de proiecție frontală V:
- pentru a alinia planul H cu V, rotiți-l cu 90 de grade în jurul axei x în sensul acelor de ceasornic. În figură, pentru claritate, avionul H rotit la un unghi puțin mai mic de 90 de grade, în timp ce axa y, aparținând planului orizontal de proiecție, după ce rotația coincide cu axa z;
- după alinierea planului orizontal, rotiți în jurul axei z tot la un unghi de 90 de grade față de planul profilului în direcția opusă mișcării în sensul acelor de ceasornic. În același timp, axa y, aparținând planului de profil al proiecției, după ce rotația coincide cu axa X.

După transformare, aspectul spațial va lua forma prezentată în figură. Această figură arată și succesiunea poziției relative a planșeului planelor de proiecție, deci înregistrarea V indică faptul că în această parte a plotului Monge (limitat de direcția pozitivă a axelor Xși z) mai aproape de noi se află etajul din stânga sus al planului de proiecție frontală V, în spatele acestuia se află podeaua din stânga spate a planului orizontal de proiecție H, urmat de etajul superior din spate al planului profilului W.

Deoarece planurile nu au limite, în poziția combinată (pe diagramă) aceste limite nu sunt afișate, nu este nevoie să lăsați inscripții care să indice poziția planșeului planurilor de proiecție. De asemenea, este de prisos să reamintim unde este direcția negativă a axelor de coordonate. Apoi, în forma sa finală, diagrama Monge care înlocuiește desenul spațial va lua forma prezentată în figură.

Complotul Monge poate fi realizat cu:

- instrumente și dispozitive convenționale de desen:
Instrumente de desen;
Accesorii și dispozitive de desen;
- Programe pentru construirea (desenarea) diagramei Monge: Realizarea unui desen într-un editor grafic.

Ca exemplu de proiectare a diagramei Monge, oferim o soluție la problema construirii unui triunghi dreptunghic isoscel ABC:

— cunoscutul după starea problemei este afișat cu negru;
- in culoare verde sunt afisate toate constructiile care duc la rezolvarea problemei;
- sarcinile căutate sunt afișate cu roșu.
În funcție de starea problemei, sunt date proiecțiile triunghiului ABC(A`B`C`, A»B»…”). Pentru a rezolva problema, este necesar să găsiți proiecția lipsă C.

Metoda Monge, desen complex.

Proiecții punctuale, desen complex.

Planuri de proiecție reciproc perpendiculare.

Metode de proiecție dreptunghiulară pe doi și trei

Proprietăți de proiecție ortografică

De bază și de neschimbat proprietăți (invarianții) proiecției ortogonale sunt următoarele:

1) proiecție punct - punct;

2) proiecția unei drepte - în cazul general, o dreaptă; dacă direcția de proiecție coincide cu direcția dreptei, atunci proiecția acesteia din urmă este un punct;

3) dacă un punct aparține unei drepte, atunci proiecția acestui punct aparține proiecției dreptei.

4) proiecțiile dreptelor paralele sunt paralele între ele;

5) raportul segmentelor de linie este egal cu raportul proiecțiilor lor;

6) raportul segmentelor a două drepte paralele este egal cu raportul proiecțiilor lor;

7) proiecția punctului de intersecție a două drepte este punctul de intersecție al proiecțiilor acestor drepte;

8) dacă o figură dreaptă sau plată este paralelă cu planul proiecțiilor, atunci acestea sunt proiectate pe acest plan fără distorsiuni;

9) dacă cel puțin o latură a unghiului drept este paralelă cu planul proiecțiilor, iar a doua nu este perpendiculară pe acesta, atunci unghiul drept este proiectat pe acest plan într-un unghi drept.

Dacă informațiile despre distanța unui punct față de planul de proiecție sunt date nu cu ajutorul unui semn numeric, ci cu ajutorul celei de-a doua proiecții a punctului construit pe al doilea plan de proiecție, atunci desenul se numește două imagini sau cuprinzător. Sunt stabilite principiile de bază pentru realizarea unor astfel de desene Gaspard Monge - un geometru major francez de la sfârșitul secolului al XVIII-lea și începutul secolului al XIX-lea, 1789-1818. unul dintre fondatorii celebrei Școli Politehnice din Paris și participant la lucrările de introducere a sistemului metric de măsuri și greutăți.

Regulile și tehnicile separate acumulate treptat ale unor astfel de imagini au fost aduse în sistem și dezvoltate în lucrarea lui G. Monge „Geometrie descriptivă”.

Metoda lui Monge de proiecție ortogonală pe două planuri de proiecție reciproc perpendiculare a fost și rămâne principala metodă de întocmire a desenelor tehnice.

În conformitate cu metoda propusă de G. Monge, considerăm două plane de proiecție reciproc perpendiculare în spațiu (Fig. 6). Unul dintre planurile de proiecție P 1 plasat orizontal, iar al doilea P 2 - pe verticală. P 1 - plan orizontal de proiectie, P 2 - frontală. Avioanele sunt infinite și opace.

Planurile de proiecție împart spațiul în patru unghiuri diedrice - sferturi. Luând în considerare proiecțiile ortogonale, se presupune că observatorul se află în primul trimestru la o distanță infinit de mare de planurile de proiecție.

Figura 6. Modelul spațial a două planuri de proiecție

Linia de intersecție a planurilor de proiecție se numește, de obicei, axa de coordonate și se notează X 21 . Deoarece aceste planuri sunt opace, doar acele obiecte geometrice care sunt situate în același prim sfert vor fi vizibile pentru observator. Pentru a obține un desen plat format din proiecțiile specificate, planul P 1 combina prin rotire în jurul axei X 12 cu plat P 2 (Fig. 6) Un desen de proiecție, pe care planurile de proiecție cu tot ceea ce este arătat pe ele, combinate într-un anumit fel între ele, este denumit în mod obișnuit Diagrama Monge(Epure franceză - desen.) Sau un desen complex.

Metoda Monge, desen complex. - concept și tipuri. Clasificarea și caracteristicile categoriei „Metoda Monge, desen complex”. 2017, 2018.

Proiecția unui obiect geometric pe un plan, pe care am considerat-o mai devreme, nu oferă o idee completă și fără ambiguitate a formei unui obiect geometric. Prin urmare, luați în considerare proiecția a cel puțin două plane reciproc perpendiculare (Fig. 1.2), dintre care unul este situat orizontal și celălalt vertical.

În ciuda clarității, este incomod să lucrați cu desenul prezentat în Figura 1.2, deoarece planul orizontal de pe acesta este prezentat cu distorsiuni. Este mai convenabil să se realizeze diferite construcții pe desen, unde planurile de proiecție sunt situate în același plan, și anume planul desenului. Pentru a face acest lucru, este necesar să rotiți planul orizontal în jurul axei OX cu 90 ° și să îl combinați cu cel din față, astfel încât podeaua frontală a planului orizontal să coboare și cea din spate să urce. Această metodă a fost propusă de G. Monge.

Orez. 1.2. Construcția diagramei Monge:

a) o imagine spațială a locației proiecțiilor punctului A; b) o imagine plană a locației proiecțiilor punctului A.

Prin urmare, un desen obținut în acest mod (Fig. 1.2, b) se numește diagramă Monge sau desen complex.

De obicei, două proiecții nu sunt suficiente pentru a obține o imagine completă a obiectului geometric în cauză. Prin urmare, se propune introducerea unui al treilea plan de proiecție, ortogonal pe primele două (Fig. 1. 3, a).

Orez. 1.3. Construcția unui desen complex cu trei imagini (diagrama monge):

a) modelul spațial al planurilor de proiecție; b) un desen complex cu trei imagini.

Apoi avionul P 1 numit plan orizontal de proiectie, P 2- planul frontal al proiecțiilor (deoarece este situat în fața noastră de-a lungul față), P 3- planul de profil al proiecțiilor (situat în profil față de observator). Respectiv A 1- proiecția orizontală a unui punct A, A 2- proiecția frontală a unui punct A, A 3- proiecția de profil a unui punct A.

topoare OH, OY, OZ se numesc axe de proiectie. Ele sunt similare cu axele de coordonate ale sistemului de coordonate carteziene, cu singura diferență că axa OH are o direcție pozitivă nu spre dreapta, ci spre stânga. Acum, pentru a obține proiecții într-un singur plan (planul desenului), este necesară și extinderea planului de profil al proiecțiilor pentru a coincide cu cel frontal. Pentru a face acest lucru, trebuie rotit cu 90 ° în jurul axei oz, și întoarceți jumătatea din față a avionului la dreapta și cea din spate la stânga. Ca rezultat, obținem un desen complex cu trei imagini (monge plots), prezentat în fig. 1.3, b. Din moment ce axa OY se desfăşoară împreună cu două planuri P 1și P 3, apoi în desenul complex este reprezentat de două ori.

De aici rezultă o regulă importantă pentru relația proiecțiilor. Și anume, pe baza fig. 1.3, a, în formă matematică, se poate scrie astfel: A 1 A x \u003d OA y \u003d A z A 3. Prin urmare, în formă textuală, sună astfel: distanța de la proiecția orizontală a punctului la axă OH este egală cu distanța de la proiecția profilului punctului specificat la axă OZ. Apoi, din oricare două proiecții ale punctului, puteți construi o a treia. Proiecțiile orizontale și frontale ale unui punct A conectează linia verticală de comunicare, iar proiecțiile frontale și de profil - orizontale.

Datorită faptului că un desen complex este un model de spațiu pliat într-un plan, un punct proiectat nu poate fi reprezentat pe el (cu excepția cazului în care poziția sa coincide cu una dintre proiecții). Pe baza acestui lucru, trebuie avut în vedere că într-un desen complex nu operăm cu obiectele geometrice în sine, ci cu proiecțiile lor.

În ciuda clarității, este incomod să lucrați cu desenul prezentat în Figura 1.2, deoarece planul orizontal de pe acesta este prezentat cu distorsiuni. Este mai convenabil să se realizeze diferite construcții pe desen, unde planurile de proiecție sunt situate în același plan, și anume planul desenului. Pentru a face acest lucru, este necesar să rotiți planul orizontal în jurul axei OX cu 90 și să îl combinați cu cel din față, astfel încât podeaua din față a planului orizontal să coboare și cea din spate să urce. Această metodă a fost propusă de G. Monge.

Orez. 1.2. Construcția diagramei Monge:

a) o imagine spațială a locației proiecțiilor punctului A; b) o imagine plană a locației proiecțiilor punctului A.

Prin urmare, un desen obținut în acest mod (Fig. 1.2, b) se numește diagramă Monge sau desen complex.

Orez. 1.3. Construcția unui desen complex cu trei imagini (diagrama monge):

a) modelul spațial al planurilor de proiecție; b) un desen complex cu trei imagini.

Apoi avionul P 1 numit plan orizontal de proiectie, P 2 - planul frontal al proiecțiilor (deoarece este situat în fața noastră de-a lungul față), P 3 - planul de profil al proiecțiilor (situat în profil față de observator). Respectiv A 1 - proiecția orizontală a unui punct A, A 2 - proiecția frontală a unui punct A, A 3 - proiecția de profil a unui punct A.

topoare oh, ohY, oz se numesc axe de proiectie. Ele sunt similare cu axele de coordonate ale sistemului de coordonate carteziene, cu singura diferență că axa OH are o direcție pozitivă nu spre dreapta, ci spre stânga. Acum, pentru a obține proiecții într-un singur plan (planul desenului), este necesară și extinderea planului de profil al proiecțiilor pentru a coincide cu cel frontal. Pentru a face acest lucru, trebuie rotit cu 90 în jurul axei oz, și întoarceți jumătatea din față a avionului la dreapta și cea din spate la stânga. Ca rezultat, obținem un desen complex cu trei imagini (monge plots), prezentat în fig. 1.3, b. Din moment ce axa OY se desfăşoară împreună cu două planuri P 1 și P 3 , apoi în desenul complex este reprezentat de două ori.

De aici rezultă o regulă importantă pentru relația proiecțiilor. Și anume, pe baza fig. 1.3, a, în formă matematică, se poate scrie astfel: A 1 A X = OA y = A z A 3 . Prin urmare, în formă textuală, sună astfel: distanța de la proiecția orizontală a punctului la axă OH este egală cu distanța de la proiecția profilului punctului specificat la axă OZ. Apoi, din oricare două proiecții ale punctului, puteți construi o a treia. Proiecțiile orizontale și frontale ale unui punct A conectează linia verticală de comunicare, iar proiecțiile frontale și de profil - orizontale.