Spațiul vectorial liniar și proprietățile sale axiome. Spațiu vectorial liniar: definiție, proprietăți. Ce este o combinație liniară de vectori?

Material de pe Wikipedia - enciclopedia liberă

Vector(sau liniar) spaţiu- o structură matematică, care este un set de elemente numite vectori, pentru care se definesc operațiile de adunare între ele și de înmulțire cu un număr - un scalar. Aceste operații sunt supuse opt axiome. Scalarii pot fi elemente ale câmpului real, complex sau al oricărui alt câmp numeric. Un caz special al unui astfel de spațiu este spațiul euclidian tridimensional obișnuit, ai cărui vectori sunt utilizați, de exemplu, pentru a reprezenta forțele fizice. Trebuie remarcat faptul că un vector ca element al spațiului vectorial nu trebuie neapărat specificat sub forma unui segment direcționat. Generalizarea conceptului de „vector” la un element al unui spațiu vectorial de orice natură nu numai că nu provoacă confuzii de termeni, dar face și posibilă înțelegerea sau chiar prezicerea unui număr de rezultate care sunt valabile pentru spații de natură arbitrară.

Spațiile vectoriale sunt subiectul algebrei liniare. Una dintre principalele caracteristici ale unui spațiu vectorial este dimensiunea acestuia. Dimensiunea reprezintă numărul maxim de elemente liniar independente ale spațiului, adică recurgând la o descriere geometrică grosieră, numărul de direcții care nu pot fi exprimate între ele doar prin operațiile de adunare și înmulțire cu un scalar. Spațiul vectorial poate fi dotat cu structuri suplimentare, cum ar fi o normă sau un produs interior. Astfel de spații apar în mod natural în analiza matematică, în primul rând sub formă de spații funcționale cu dimensiuni infinite ( Engleză), unde funcțiile . Multe probleme de analiză necesită a afla dacă o secvență de vectori converge către un vector dat. Luarea în considerare a unor astfel de întrebări este posibilă în spații vectoriale cu structură suplimentară, în majoritatea cazurilor o topologie adecvată, care ne permite să definim conceptele de proximitate și continuitate. Astfel de spații vectoriale topologice, în special spațiile Banach și Hilbert, permit un studiu mai profund.

Pe lângă vectori, algebra liniară studiază și tensorii de rang superior (un scalar este considerat un tensor de rang 0, un vector este considerat un tensor de rang 1).

Primele lucrări care au anticipat introducerea conceptului de spațiu vectorial datează din secolul al XVII-lea. Atunci au început să se dezvolte geometria analitică, doctrina matricelor, sistemele de ecuații liniare și vectorii euclidieni.

Definiție

Liniar, sau spațiu vectorial $V\backslash stânga(F\backslash dreapta)$ peste câmp $F$- acesta este un patru comandat $(V,F,+,\backslash cdot)$, Unde

• $V$- un set nevid de elemente de natură arbitrară, care sunt numite vectori;
• $F$- câmp (algebric) ale cărui elemente se numesc scalari;
• Operațiune definită plus vectori $V\backslash ori\; V\backslash la\; V$, potrivirea fiecărei perechi de elemente $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$ seturi $V$ $V$ i-a numit Cantitateși desemnat $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Operațiune definită înmulțirea vectorilor cu scalari $F\backslash ori\; V\backslash la\; V$, potrivirea fiecărui element $\backslash lambda$ câmpuri $F$și fiecare element $\backslash mathbf(x)$ seturi $V$ singurul element al setului $V$, notat $\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf(x)$ sau $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Spațiile vectoriale definite pe același set de elemente, dar pe câmpuri diferite, vor fi spații vectoriale diferite (de exemplu, setul de perechi de numere reale $\backslash mathbb(R)^2$ poate fi un spațiu vectorial bidimensional peste câmpul numerelor reale sau unidimensional - peste câmpul numerelor complexe).

Cele mai simple proprietăți

1. Un spațiu vectorial este un grup abelian sub adunare.
2. Element neutru $\backslash mathbf(0)\; \backslash în\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$ pentru oricine $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
4. Pentru oricine $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$ element opus $-\backslash mathbf(x)\backslash în\; V$ este singurul lucru care decurge din proprietățile grupului.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$ pentru oricine $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$ pentru orice $\backslash alpha\; \backslash în\; F$Și $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$ pentru oricine $\backslash alpha\; \backslash în\; F$.

Definiții și proprietăți înrudite

Subspațiu

Definiție algebrică: Subspațiu liniar sau subspațiu vectorial- submult nevid $K$ spațiu liniar $V$ astfel încât $K$în sine este un spațiu liniar în raport cu cele definite în $V$ operatii de adunare si inmultire cu un scalar. Setul tuturor subspațiilor este de obicei notat ca $\backslash mathrm(Lat)(V)$. Pentru ca o submulțime să fie un subspațiu este necesar și suficient ca

1. pentru orice vector $\backslash mathbf(x)\backslash în\; K$, vector $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$ a aparținut și $K$, pentru orice $\backslash alpha\backslash în\; F$;
2. pentru toți vectorii $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, vector $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ a aparținut și $K$.

Ultimele două afirmații sunt echivalente cu următoarele:

Pentru toți vectorii $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, vector $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ a aparținut și $K$ pentru orice $\backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash în\; F$.

În special, un spațiu vectorial format dintr-un singur vector zero este un subspațiu al oricărui spațiu; fiecare spațiu este un subspațiu al lui însuși. Subspațiile care nu coincid cu aceste două sunt numite proprii sau nebanală.

Proprietățile subspațiilor

• Intersecția oricărei familii de subspații este din nou un subspațiu;
• Suma subspațiilor $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash în\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$ este definită ca o mulțime care conține toate sumele posibile de elemente $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash în\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash în\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • Suma unei familii finite de subspații este din nou un subspațiu.

Combinații liniare

Suma finală a formularului

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Combinația liniară se numește:

Bază. Dimensiune

Vectori $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$ sunt numite dependent liniar, dacă există o combinație liniară netrivială a acestora egală cu zero:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

În caz contrar, acești vectori sunt numiți liniar independent.

Această definiție permite următoarea generalizare: un set infinit de vectori din $V$ numit dependent liniar, dacă unele sunt dependente liniar final un subset al acestuia și liniar independent, dacă vreunul dintre ei final submulțimea este liniar independentă.

Proprietățile bazei:

• Orice $n$ elemente liniar independente $n$-forma spatiala dimensionala bază acest spatiu.
• Orice vector $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$ poate fi reprezentat (unic) ca o combinație liniară finită de elemente de bază:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Înveliș liniar

Înveliș liniar $\backslash mathcal\; V(X)$ subseturi $X$ spațiu liniar $V$- intersecția tuturor subspațiilor $V$ conținând $X$.

Spațiul liniar este un subspațiu $V$.

Înveliș liniar este, de asemenea, numit subspațiu generat $X$. Se mai spune că învelișul liniar $\backslash mathcal\; V(X)$- spatiu, întins peste o multime de $X$.

Înveliș liniar $\backslash mathcal\; V(X)$ constă din toate combinațiile liniare posibile ale diferitelor subsisteme finite de elemente din $X$. În special, dacă $X$ este o mulțime finită, atunci $\backslash mathcal\; V(X)$ constă din toate combinațiile liniare de elemente $X$. Astfel, vectorul zero aparține întotdeauna carcasei liniare.

Dacă $X$ este o mulțime liniar independentă, atunci este o bază $\backslash mathcal\; V(X)$și determină astfel dimensiunea acestuia.

Exemple

• Un spațiu nul al cărui singur element este zero.
• Spațiul tuturor funcțiilor $X\backslash la\; F$ cu suport finit formează un spațiu vectorial de dimensiune egală cu cardinalitatea $X$.
• Câmpul numerelor reale poate fi considerat ca un spațiu vectorial continuu-dimensional peste câmpul numerelor raționale.
• Orice câmp este un spațiu unidimensional deasupra lui însuși.

Structuri suplimentare

Vezi si

Scrieți o recenzie despre articolul „Spațiul vectorial”

Note

Literatură

• Gelfand I. M. Prelegeri de algebră liniară. - a 5-a. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 p. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfand I. M. Prelegeri de algebră liniară. a 5-a ed. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 320 p. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin A. I., Manin Yu I. Algebră liniară și geometrie. a 2-a ed. - M.: Nauka, 1986. - 304 p.
• Kostrikin A.I. Introducere în algebră. Partea 2: Algebră liniară. - al 3-lea. - M.: Nauka., 2004. - 368 p. - (Manual universitar).
• Maltsev A. I. Bazele algebrei liniare. - al 3-lea. - M.: Nauka, 1970. - 400 p.

• Postnikov M. M. Algebră liniară (Prelegeri de geometrie. Semestrul II). - al 2-lea. - M.: Nauka, 1986. - 400 p.
• Strang G. Algebra liniară și aplicațiile ei. - M.: Mir, 1980. - 454 p.
• Ilyin V. A., Poznyak E. G. Algebră liniară. a 6-a ed. - M.: Fizmatlit, 2010. - 280 p. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Halmos P. Spații vectoriale cu dimensiuni finite. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 263 p.
• Faddeev D.K. Prelegeri de algebră. - a 5-a. - St.Petersburg. : Lan, 2007. - 416 p.
• Şafarevici I.R., Remizov A.O. Algebră liniară și geometrie. - primul. - M.: Fizmatlit, 2009. - 511 p.
• Schreyer O., Sperner G. Introducere în algebra liniară în prezentarea geometrică = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (traducere din germană). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 p.

Vectori și matrice Vectori Noțiuni de bază Tipuri de vectori Operații pe vectori Tipuri de spații Matrici Noțiuni de bază Alte

Un fragment care caracterizează spațiul vectorial

Kutuzov trecea prin rânduri, oprindu-se din când în când și rostind câteva cuvinte amabile ofițerilor pe care îi cunoștea din războiul turcesc și uneori soldaților. Uitându-se la pantofi, a clătinat cu tristețe din cap de mai multe ori și i-a arătat generalului austriac cu o asemenea expresie încât nu părea să învinovățească pe nimeni pentru asta, dar nu a putut să nu vadă cât de rău era. De fiecare dată comandantul regimentului alerga înainte, temându-se să rateze cuvântul comandantului-șef cu privire la regiment. În spatele lui Kutuzov, la o asemenea distanță încât se auzea orice cuvânt vorbit slab, mergeau în suita lui aproximativ 20 de persoane. Domnii alaiului vorbeau între ei și uneori râdeau. Frumosul adjutant a mers cel mai aproape de comandantul șef. Era prințul Bolkonski. Alături de el mergea tovarășul său Nesvitsky, un ofițer de stat major înalt, extrem de gras, cu o față frumoasă și zâmbitoare și cu ochi umezi; Nesvitsky cu greu se putea abține să nu râdă, entuziasmat de ofițerul husar negricios care mergea lângă el. Ofițerul husar, fără să zâmbească, fără să-și schimbe expresia ochilor fixați, se uită cu o față serioasă în spatele comandantului de regiment și îi imita fiecare mișcare. De fiecare dată când comandantul de regiment tresări și se apleca înainte, exact în același mod, exact în același fel, ofițerul de husar tresări și se apleca înainte. Nesvitski a râs și i-a împins pe alții să se uite la omul amuzant.
Kutuzov a trecut încet și lent pe lângă mii de ochi care le-au dat peste orbite, privindu-și șeful. După ce a ajuns din urmă cu a treia companie, s-a oprit brusc. Suita, neanticipand aceasta oprire, s-a deplasat involuntar spre el.
- Ah, Timokhin! – spuse comandantul-șef, recunoscându-l pe căpitanul cu nasul roșu, care suferea pentru pardesiul său albastru.
Părea că este imposibil să te întinzi mai mult decât s-a întins Timokhin, în timp ce comandantul regimentului îl mustra. Dar în clipa aceea i s-a adresat comandantul șef, căpitanul s-a ridicat drept, încât părea că dacă comandantul șef s-ar fi uitat puțin la el, căpitanul n-ar fi putut să suporte; și, prin urmare, Kutuzov, înțelegându-și aparent poziția și dorind, dimpotrivă, toate cele bune pentru căpitan, s-a întors în grabă. Un zâmbet abia vizibil străbătu chipul plinuț și desfigurat de răni a lui Kutuzov.
„Încă un tovarăș Izmailovo”, a spus el. - Ofițer curajos! Ești mulțumit de el? – l-a întrebat Kutuzov pe comandantul regimentului.
Iar comandantul de regiment, reflectat ca într-o oglindă, invizibil pentru el însuși, într-un ofițer de husar, s-a înfiorat, a venit în față și a răspuns:
– Sunt foarte mulțumit, Excelență.
„Nu suntem cu toții lipsiți de slăbiciuni”, a spus Kutuzov, zâmbind și îndepărtându-se de el. „A avut un devotament pentru Bacchus.
Comandantul de regiment s-a temut că el este de vină pentru asta și nu a răspuns nimic. În acel moment, ofițerul a observat fața căpitanului cu nasul roșu și burta ascunsă și i-a imitat chipul și poziția atât de atent încât Nesvitsky nu s-a putut opri din râs.
Kutuzov se întoarse. Era clar că ofițerul își putea controla fața așa cum dorea: în minutul în care Kutuzov s-a întors, ofițerul a reușit să facă o grimasă, iar după aceea să capete expresia cea mai serioasă, respectuoasă și inocentă.
A treia companie a fost ultima, iar Kutuzov s-a gândit la asta, aparent amintindu-și ceva. Prințul Andrei a ieșit din alaiul său și a spus încet în franceză:
– Ai comandat o reamintire despre Dolokhov, care a fost retrogradat, în acest regiment.
-Unde este Dolokhov? – a întrebat Kutuzov.
Dolokhov, îmbrăcat deja într-un pardesiu gri de soldat, nu a așteptat să fie chemat. Silueta zveltă a unui soldat blond cu ochi albaștri limpezi ieși din față. S-a apropiat de comandantul șef și l-a pus în gardă.
- Revendicare? – întrebă Kutuzov, încruntându-se ușor.
„Acesta este Dolokhov”, a spus prințul Andrei.
- A! – a spus Kutuzov. „Sper că această lecție vă va corecta, serviți bine.” Domnul este milostiv. Și nu te voi uita dacă meriți.
Ochi albaștri și limpezi îl priveau pe comandantul șef la fel de sfidător ca și pe comandantul regimentului, de parcă cu expresia lor rupeau vălul convenției care despărțea până acum comandantul șef de soldat.
„Întreb un lucru, Excelență”, a spus el cu vocea lui sonoră, fermă și negrabită. „Te rog, dă-mi o șansă să-mi repar vinovăția și să-mi dovedesc devotamentul față de Împărat și Rusia.”
Kutuzov se întoarse. Același zâmbet din ochii lui i-a fulgerat pe față ca atunci când s-a întors de la căpitanul Timokhin. S-a întors și a tresărit, de parcă ar fi vrut să exprime că tot ce i-a spus Dolokhov și tot ce putea să-i spună, știa de mult, de mult timp, că toate acestea deja îl plictisiseră și că toate acestea nu erau. la tot ce avea nevoie. Se întoarse și se îndreptă spre cărucior.
Regimentul s-a desființat în companii și s-a îndreptat către cartierele alocate nu departe de Brăunau, unde spera să se încalțe, să se îmbrace și să se odihnească după marșuri grele.
-Nu mă pretindeți, Prokhor Ignatyich? – spuse comandantul regimentului, conducând în jurul companiei a 3-a îndreptându-se spre loc și apropiindu-se de căpitanul Timokhin, care mergea în fața acesteia. Chipul comandantului de regiment a exprimat o bucurie incontrolabilă după o revizuire încheiată cu bucurie. - Serviciul regal... e imposibil... altă dată o vei termina pe front... Îmi voi cere mai întâi scuze, mă cunoști... Ți-am mulțumit foarte mult! - Și a întins mâna către comandantul companiei.
- Pentru mila, domnule general, îndrăznesc! – răspunse căpitanul înroșindu-se cu nasul, zâmbind și dezvăluind cu un zâmbet lipsa celor doi dinți din față, doborâți de fund sub Ismael.
- Da, spune-i domnului Dolokhov că nu-l voi uita, ca să fie liniştit. Da, te rog spune-mi, am tot vrut să-l întreb cum este, cum se comportă? Și asta e tot...
„Este foarte util în serviciul său, Excelența Voastră... dar navlositorul...” a spus Timokhin.
- Ce, ce personaj? – întrebă comandantul regimentului.
„Excelența voastră constată zile întregi”, a spus căpitanul, „că este deștept, învățat și amabil”. Este o fiară. A ucis un evreu în Polonia, dacă vă rog...
„Ei bine, da, bine”, a spus comandantul regimentului, „mai trebuie să ne parăm milă de tânărul în nenorocire”. La urma urmei, conexiuni grozave... Deci tu...
„Te ascult, Excelență”, a spus Timokhin zâmbind, făcând să pară că a înțeles dorințele șefului.
- Da Da.
Comandantul regimentului l-a găsit pe Dolokhov în rânduri și și-a frânat calul.
„Înainte de prima sarcină, epoleți”, îi spuse el.
Dolokhov se uită în jur, nu spuse nimic și nu schimbă expresia gurii lui zâmbitoare batjocoritoare.
„Ei bine, asta e bine”, a continuat comandantul regimentului. „Oamenii au fiecare câte un pahar de vodcă de la mine”, a adăugat el, pentru ca soldații să poată auzi. - Vă mulțumesc tuturor! Dumnezeu să ajute! - Iar el, depășind compania, s-a dus la alta.
„Ei bine, el este cu adevărat un om bun; „Poți servi cu el”, i-a spus subalternul Timokhin ofițerului care mergea lângă el.
„Un cuvânt, regele inimilor!... (comandantul regimentului era poreclit regele inimilor)”, a spus ofițerul subaltern râzând.
Dispoziţia fericită a autorităţilor după revizuire s-a răspândit la soldaţi. Compania a mers veselă. Vocile soldaților vorbeau din toate părțile.
- Ce au spus, strâmb Kutuzov, despre un ochi?
- Altfel, nu! Total strâmb.
- Nu... frate, are ochii mai mari decât tine. Cizme și tucks - M-am uitat la tot...
- Cum poate el, fratele meu, să se uite la picioarele mele... ei bine! Gândi…
- Iar celălalt austriac, cu el, era parcă mânjit cu cretă. Ca făina, albă. Eu ceai, cum se curăță muniția!
- Ce, Fedeshow!... a spus că atunci când au început luptele, ai stat mai aproape? Toți au spus că Bunaparte însuși stă în Brunovo.
- Bunaparte merită! el minte, prostule! Ce nu știe el! Acum prusacul se revoltă. Austriecul, așadar, îl liniștește. De îndată ce face pace, atunci războiul se va deschide cu Bunaparte. Altfel, spune el, Bunaparte stă în Brunovo! Asta arată că este un prost. Ascultă mai mult.
- Uite, al naibii de locatari! A cincea companie, uite, deja se transformă în sat, vor găti terci și tot nu vom ajunge la locul.
- Dă-mi niște biscuiți, la naiba.
- Mi-ai dat tutun ieri? Asta e, frate. Ei bine, iată-ne, Dumnezeu să fie cu tine.
„Măcar au făcut o oprire, altfel nu vom mânca pentru încă cinci mile.”
– A fost frumos cum ne-au dat nemții cărucioare. Când pleci, știi: este important!
„Și aici, frate, oamenii au devenit complet turbați.” Totul acolo părea a fi un polonez, totul era din coroana rusă; iar acum, frate, a devenit complet german.
– Compozitorii înainte! – s-a auzit strigătul căpitanului.
Și douăzeci de oameni au fugit din diferite rânduri în fața companiei. Toboșarul a început să cânte și s-a întors cu fața către compozitori și, făcându-și mâna, a început un cântec întins de soldat, care începea: „Nu-i oare zori, soarele a răsărit...” și s-a încheiat cu cuvintele: „Atunci, fraților, va fi glorie pentru noi și pentru tatăl lui Kamensky...” Acest cântec a fost compus în Turcia și acum se cânta în Austria, doar cu schimbarea că în locul „tatălui lui Kamensky” s-au introdus cuvintele: „Cutuzov Tată."
Smulând aceste ultime cuvinte ca un soldat și fluturând cu mâinile, de parcă ar arunca ceva la pământ, toboșarul, un soldat uscat și frumos de vreo patruzeci de ani, s-a uitat cu severitate la compozitorii soldaților și a închis ochii. Apoi, asigurându-se că toate privirile erau ațintite asupra lui, păru că ridică cu atenție cu ambele mâini un lucru invizibil și prețios deasupra capului său, îl ținu așa câteva secunde și îl aruncă brusc cu disperare:
O, tu, baldachinul meu, baldachinul meu!
„Noul meu baldachin...”, au răsunat douăzeci de voci, iar deținătorul lingurii, în ciuda greutății muniției, a sărit repede înainte și a mers înapoi în fața companiei, mișcându-și umerii și amenințând pe cineva cu lingurile. Soldații, fluturând cu brațele în ritmul cântecului, mergeau cu pași lungi, lovindu-și involuntar picioarele. Din spatele companiei s-au auzit zgomote de roți, zgomot de arcuri și zgomot de cai.
Kutuzov și alaiul lui se întorceau în oraș. Comandantul-șef a făcut semn ca poporul să continue să meargă în voie, iar pe chipul lui și pe toate fețele alaiului i s-a exprimat plăcere la sunetele cântecului, la vederea soldatului dansator și a soldaților de compania mergând vesel și vioi. În al doilea rând, din flancul drept, din care trăsura a depășit companiile, unul a atras involuntar privirea unui soldat cu ochi albaștri, Dolokhov, care mai ales vioi și grațios mergea în ritmul cântecului și se uita la chipurile lui. cei care treceau cu o asemenea expresie, de parca i-ar fi rau de toti cei care nu au mers in acest moment cu firma. Un cornet de husar din alaiul lui Kutuzov, imitându-l pe comandantul regimentului, a căzut în spatele trăsurii și s-a dus până la Dolokhov.
Husarul cornet Jherkov, la un moment dat, la Sankt Petersburg a aparținut acelei societăți violente conduse de Dolokhov. În străinătate, Jherkov l-a întâlnit pe Dolokhov ca soldat, dar nu a considerat necesar să-l recunoască. Acum, după conversația lui Kutuzov cu bărbatul retrogradat, s-a întors către el cu bucuria unui vechi prieten:
- Dragă prietene, ce mai faci? – spuse el la auzul cântecului, potrivind pasul calului său cu pasul companiei.
- Sunt ca? - răspunse Dolokhov rece, - după cum vezi.
Cântecul plin de viață a dat o semnificație deosebită tonului de veselie obraznică cu care vorbea Jherkov și răceală deliberată a răspunsurilor lui Dolokhov.
- Ei bine, cum te înțelegi cu șeful tău? – a întrebat Jherkov.
- Nimic, oameni buni. Cum ai intrat în sediu?
- Detaşat, la datorie.
Au tăcut.
„A eliberat un șoim din mâneca dreaptă”, a spus cântecul, stârnind involuntar un sentiment vesel, vesel. Conversația lor ar fi fost probabil diferită dacă nu ar fi vorbit în sunetul unui cântec.
– Este adevărat că austriecii au fost bătuți? – a întrebat Dolokhov.
„Diavolul îi cunoaște”, spun ei.
„Mă bucur”, a răspuns Dolokhov scurt și clar, așa cum cerea cântecul.
„Ei bine, vino la noi seara, îl vei amanet pe faraon”, a spus Jherkov.
– Sau ai o grămadă de bani?
- Vino.
- Este interzis. Am făcut un jurământ. Nu beau și nu pariez până nu reușesc.
- Ei bine, trec la primul lucru...
- Vom vedea acolo.
Din nou au tăcut.
„Intrați dacă aveți nevoie de ceva, toată lumea de la sediu vă va ajuta...”, a spus Jherkov.
Dolokhov rânji.
- Ar fi bine să nu-ți faci griji. Nu voi cere nimic de care am nevoie, o voi lua eu.
- Ei bine, sunt atât de...
- Ei bine, la fel sunt.
- La revedere.
- Fii sănătos…
... și sus și departe,
Pe partea gazdă...
Jherkov și-a atins pintenii de cal, care, emoționat, a dat cu piciorul de trei ori, neștiind cu care să înceapă, s-a descurcat și a plecat în galop, depășind compania și ajungând din urmă trăsura, tot în ritmul cântecului.

Revenind de la recenzie, Kutuzov, însoțit de generalul austriac, a intrat în biroul său și, chemându-l pe adjutant, a poruncit să i se dea niște hârtii legate de starea trupelor sosite și scrisori primite de la arhiducele Ferdinand, care comanda armata înaintată. . Prințul Andrei Bolkonsky a intrat în biroul comandantului șef cu actele necesare. Kutuzov și un membru austriac al Gofkriegsrat s-au așezat în fața planului așezat pe masă.
— Ah... spuse Kutuzov, uitându-se înapoi la Bolkonsky, de parcă cu acest cuvânt l-ar fi invitat pe adjutant să aștepte și a continuat conversația pe care a început-o în franceză.
„Spun doar un lucru, domnule general”, a spus Kutuzov cu o grație plăcută a expresiei și a intonației, care te-a forțat să asculți cu atenție fiecare cuvânt rostit pe îndelete. Era clar că lui Kutuzov însuși îi plăcea să se asculte. „Spun un singur lucru, domnule general, că dacă problema ar depinde de dorința mea personală, atunci voința Majestății Sale împăratului Franz s-ar fi împlinit cu mult timp în urmă.” M-aș fi alăturat Arhiducelui de mult. Și credeți onoarea mea, ar fi o bucurie pentru mine personal să predau comanda cea mai înaltă a armatei unui general mai priceput și mai priceput decât mine, din care Austria este atât de abundentă, și să renunț la toată această grea responsabilitate. Dar circumstanțele sunt mai puternice decât noi, generale.
Și Kutuzov a zâmbit cu o expresie de parcă ar fi spus: „Ai tot dreptul să nu mă crezi și nici măcar mie nu-mi pasă deloc dacă mă crezi sau nu, dar nu ai niciun motiv să-mi spui asta. Și acesta este ideea.”
Generalul austriac părea nemulțumit, dar nu s-a putut abține să nu-i răspundă lui Kutuzov pe același ton.
„Dimpotrivă”, a spus el pe un ton morocănos și supărat, atât de contrar sensului măgulitor al cuvintelor pe care le spunea, „dimpotrivă, participarea Excelenței Voastre la cauza comună este foarte apreciată de Majestatea Sa; dar credem că încetinirea actuală îi lipsește pe glorioasele trupe rusești și pe comandanții lor-șefi de lauri pe care sunt obișnuiți să-i culeagă în lupte”, își încheie el fraza aparent pregătită.
Kutuzov se înclină fără să-și schimbe zâmbetul.
„Și sunt atât de convins și, pe baza ultimei scrisori cu care Alteța Sa Arhiducele Ferdinand m-a onorat, presupun că trupele austriece, sub comanda unui asistent atât de priceput precum generalul Mack, au câștigat acum o victorie decisivă și nu mai au nevoie de ajutorul nostru”, a spus Kutuzov.
Generalul se încruntă. Deși nu au existat vești pozitive despre înfrângerea austriecilor, au fost prea multe împrejurări care au confirmat zvonurile generale nefavorabile; și, prin urmare, presupunerea lui Kutuzov despre victoria austriecilor era foarte asemănătoare cu ridicolul. Dar Kutuzov a zâmbit blând, tot cu aceeași expresie, care spunea că are dreptul să-și asume asta. Într-adevăr, ultima scrisoare pe care a primit-o de la armata lui Mac l-a informat despre victoria și cea mai avantajoasă poziție strategică a armatei.
„Dă-mi această scrisoare aici”, a spus Kutuzov, întorcându-se către prințul Andrei. - Dacă te rog vezi. - Iar Kutuzov, cu un zâmbet batjocoritor la capătul buzelor, i-a citit în germană generalului austriac următorul pasaj dintr-o scrisoare a arhiducelui Ferdinand: „Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70.000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu know. Wir know, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communications Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte worsill ganzer Machtabald sewenden mitin auch jeden Augenblick. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdient.” [Avem forțe destul de concentrate, aproximativ 70.000 de oameni, astfel încât să putem ataca și învinge inamicul dacă trece prin Lech. Deoarece deținem deja Ulm, putem păstra beneficiul de comandă a ambelor maluri ale Dunării, prin urmare, în fiecare minut, dacă inamicul nu trece Lech, trece Dunărea, se grăbește la linia lui de comunicație, iar mai jos trece Dunărea înapoi. duşmanului, dacă se hotărăşte să-şi îndrepte toată puterea asupra aliaţilor noştri credincioşi, împiedică-i să se împlinească intenţia. Astfel, vom aștepta cu bucurie momentul în care armata rusă imperială este complet pregătită, iar apoi împreună vom găsi cu ușurință ocazia de a pregăti pentru inamic soarta pe care o merită.”]

VECTOR SPACE, un spațiu liniar peste câmpul K, este un grup abelian E scris aditiv, în care este definită multiplicarea elementelor cu scalari, adică maparea

K × E → E: (λ, x) → λx,

satisfacerea următoarelor axiome (x, y ∈ E, λ, μ, 1 ∈ K):

1) λ(x + y) = λx + λy,

2) (λ + μ)x = λx + μx,

3) (λμ)x = λ(μx),

4) 1 ⋅ x = x.

Următoarele proprietăți importante ale spațiului vectorial (0 ∈ E) rezultă din axiomele 1)-4):

5) λ ⋅ 0 = 0,

6) 0 ⋅ x = 0,

Elemente de V. p. punctele V.p., sau vectori, iar elementele câmpului K sunt scalari.

Cea mai mare aplicație în matematică și aplicații se face pe câmpul ℂ al numerelor complexe sau peste câmpul ℝ al numerelor reale; ei sunt numiti, cunoscuti respectiv, complex v. p. sau real v. p.

Axiomele v. p. dezvăluie anumite algebrice. proprietățile multor clase de funcții întâlnite adesea în analiză. Dintre exemplele de spații verticale, cele mai fundamentale și cele mai vechi sunt spațiile euclidiene n-dimensionale. Exemple aproape la fel de importante sunt multe spații funcționale: spațiul funcțiilor continue, spațiul funcțiilor măsurabile, spațiul funcțiilor sumabile, spațiul funcțiilor analitice. funcții, spațiu al funcțiilor de variație limitată.

Conceptul de spațiu v. este un caz special al conceptului de modul peste un inel, și anume, un spațiu v. este un modul unitar peste un câmp. Se mai numește un modul unitar peste un câmp necomutativ. spațiu vectorial deasupra corpului; teoria unor astfel de forme de undă este în multe privințe mai complexă decât teoria formelor de undă asupra unui câmp.

Una dintre problemele importante asociate cu spațiile vectoriale este studiul geometriei spațiilor vectoriale, adică studiul liniilor în spații vectoriale, mulțimilor plate și convexe în spații vectoriale, subspații ale spațiilor vectoriale și bazele în spațiile vectoriale p.

Subspațiu vectorial, sau pur și simplu subspațiu, V. p. E peste câmpul K. o submulțime F ⊂ E închisă sub acțiunile de adunare și înmulțire cu un scalar. Un subspațiu, considerat separat de spațiul care îl conține, este un spațiu peste același câmp.

O dreaptă care trece prin două puncte x și y B. p. E, numită. o mulţime de elemente z ∈ E de forma z = λx + (1 - λ)y, λ ∈ K. Se numeşte o mulţime G ∈ E. o mulțime plată dacă, împreună cu oricare două puncte, conține o dreaptă care trece prin aceste puncte. Fiecare multime plată se obține dintr-un anumit subspațiu folosind o deplasare (translație paralelă): G = x + F; aceasta înseamnă că fiecare element z ∈ G poate fi reprezentat în mod unic sub forma z = x + y, y ∈ F, iar această egalitate oferă o corespondență unu-la-unu între F și G.

Mulțimea tuturor deplasărilor F x = x + F unui subspațiu dat F formează un spațiu V. peste K, numit. spațiu factorial E/F, dacă definim operațiile după cum urmează:

F x F y = F x+y ; λF x = F λx , λ ∈ K.

Fie M = (x α) α∈A o mulțime arbitrară de vectori din E; combinația liniară a vectorilor x α ∈ E se numește. vectorul x definit prin formula

x = ∑ α λ α x α , λ α ∈ K,

în care doar un număr finit de coeficienți sunt nenuli. Mulțimea tuturor combinațiilor liniare de vectori ai unei mulțimi date M este cel mai mic subspațiu care conține M și se numește. intervalul liniar al mulțimii M. Se numește combinație liniară. trivial dacă toți coeficienții λ α sunt egali cu zero. Se numește mulțimea M. o mulțime liniar independentă dacă toate combinațiile liniare netriviale de vectori din M sunt nenule.

Orice mulțime liniar independentă este conținută într-o anumită mulțime maximă liniar independentă M0, adică într-o mulțime care încetează să mai fie liniar independentă după adăugarea oricărui element din E la ea.

Fiecare element x ∈ E poate fi reprezentat în mod unic ca o combinație liniară de elemente dintr-o mulțime maximă independentă liniar:

x = ∑ α λ α x α , x α ∈ M 0 .

În acest sens, se numește mulțimea maximă liniar independentă. baza V. p. (bază algebrică). Toate bazele unui VP dat au aceeași cardinalitate, așa-numita. dimensiunea V. p. Dacă această putere este finită, spațiul se numește. V. p. finit-dimensional; altfel se numeste infinit-dimensional V. p.

Câmpul K poate fi considerat ca un spațiu vertical unidimensional peste câmpul K; baza acestui articol V. constă dintr-un element; poate fi orice alt element decât zero. Se numește un vector finit-dimensional cu o bază de n elemente. spațiu n-dimensional.

În teoria mulțimilor convexe reale și complexe, teoria mulțimilor convexe joacă un rol important. Mulțimea M într-un V.p real se numește. este o mulțime convexă dacă, împreună cu oricare două dintre punctele sale x, y, segmentul tx + (1 - t)y, t ∈ , aparține și lui M.

Un loc mare în teoria spațiilor verticale îl ocupă teoria funcționalelor liniare pe spații verticale și teoria aferentă dualității. Fie E un spațiu V. peste câmpul K. O funcțională liniară pe E se numește. cartografiere aditivă și omogenă f: E → K:

f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = λf(x).

Mulțimea E* a tuturor funcționalelor liniare de pe E formează un loc liber peste câmpul K în raport cu operațiile

(f 1 + f 2)(x) = f 1 (x) + f 2 (x), (λf)(x) = λf(x), x ∈ E, X ∈ K, f 1, f 2, f ∈ E*.

Acesta este numit V.p. spatiu conjugat (sau dual) (la E). O serie de teorii geometrice sunt asociate cu conceptul de spațiu conjugat. termeni. Fie D ⊂ E (respectiv Г ⊂ E*); se numeste anihilatorul multimii D, sau complementul ortogonal al multimii D (respectiv multimea Г). o multime de

D ⊥ = (f ∈ E*: f(x) = 0 pentru toate x ∈ D)

(respectiv Г ⊥ = (x ∈ E: f(x) = 0 pentru toate f ∈ Г)); aici D ⊥ și Г ⊥ sunt subspații ale spațiilor E* și, respectiv, E Dacă f este un element diferit de zero al lui E*, atunci (f) este un subspațiu liniar propriu maxim al lui E, numit. uneori hipersubspațiu; se numeste deplasarea unui astfel de subspatiu. hiperplan în E; fiecare hiperplan are forma

(x: f(x) = λ), unde f ≠ 0, f ∈ E*, λ ∈ K.

Dacă F este un subspațiu al unui B. p E, atunci există izomorfisme naturale între F* și

E*/F ⊥ și între (E/F)* și F ⊥ .

Se numește submulțimea Г ⊂ E* o submulțime totală peste E dacă anihilatorul său conține doar elementul zero: Г ⊥ = (0).

Fiecare mulţime liniar independentă (x α ) α∈A ⊂ E poate fi asociată cu o mulţime conjugată (f α ) α∈A ⊂ E*, adică. o astfel de mulțime încât f α (x β) = δ αβ (simbol Kronecker) pentru toate α, β ∈ A. Se numește mulțimea perechilor (x α, f α). cu un sistem biortogonal. Dacă mulțimea (x α) este o bază în E, atunci (f α) este total peste E.

Un loc semnificativ în teoria transformărilor liniare este ocupat de teoria transformărilor liniare ale transformărilor liniare Fie E 1 și E 2 două transformări liniare pe același câmp K. O mapare liniară, sau operator liniar, T, care reprezintă o mapare liniară. transformarea E 1 la V. p. E 2 (sau operator liniar de la E 1 la E 2). maparea aditivă și omogenă a spațiului E 1 la E 2:

T(x + y) = Tx + Ty; Т(λх) = λТ(х); x, y ∈ E 1.

Un caz special al acestui concept este un funcțional liniar, sau un operator liniar de la E 1 la K. O mapare liniară este, de exemplu, o mapare naturală a unui B. p E pe spațiul coeficient E/F, care se asociază cu fiecare element x ∈ E o mulțime plată F x ∈ E/ F. Mulțimea ℒ(E 1, E 2) a tuturor operatorilor liniari T: E 1 → E 2 formează un V. p

(T1 + T2)x = T1 x + T2x; (λТ)х = λТх; x ∈ E 1; λ ∈ K; T 1, T 2, T ∈ ℒ(E 1, E 2).

Două V. articole E 1 și E 2 numite. izomorfe v. itemi dacă există un operator liniar („izomorfism”) care realizează o corespondență unu-la-unu între elementele lor. E 1 și E 2 sunt izomorfe dacă și numai dacă bazele lor au aceeași cardinalitate.

Fie T un operator liniar care prezintă E 1 la E 2 . Operatorul liniar conjugat, sau operatorul liniar dual, în raport cu T, este numit. operator liniar T* de la E* 2 la E* 1, definit prin egalitate

(T*φ)x = φ(Tx) pentru toate x ∈ E 1, φ ∈ E* 2.

Relațiile T* -1 (0) = ⊥, T*(E* 2) = [T -1 (0)] ⊥ sunt valabile, ceea ce implică că T* este un izomorfism dacă și numai dacă T este un izomorfism.

Teoria mapărilor biliniare și a mapărilor multiliniare ale spațiilor verticale este strâns legată de teoria mapărilor liniare ale spațiilor verticale.

Un grup important de probleme din teoria mapărilor liniare este format din problemele de continuare a mapărilor liniare. Fie F un subspațiu al lui V. p E 1, E 2 este un spațiu liniar peste același câmp ca E 1 și fie T 0 o mapare liniară a lui F în E 2; este necesar să se găsească extensia T a hărții T 0, definită pe întregul E 1 și care este o hartă liniară de la E 1 la E 2. O astfel de continuare există întotdeauna, dar restricții suplimentare asupra funcțiilor (asociate cu structuri suplimentare în VP, de exemplu, topologie sau relații de ordine) pot face problema de nerezolvat. Exemple de rezolvare a problemei continuării sunt teorema Han-Banach și teoremele privind continuarea funcționalelor pozitive în spații cu con.

O secțiune importantă a teoriei operațiilor virtuale este teoria operațiilor pe vectori, adică metode pentru construirea de noi vectori folosind cei cunoscuți. Exemple de astfel de operații sunt operațiunile binecunoscute de luare a unui subspațiu și formare a unui spațiu coeficient dintr-un subspațiu. Alte operații importante sunt construirea unei sume directe, a unui produs direct și a unui produs tensor al unui VP.

Fie (E α ) α∈I o familie de spații variabile peste câmpul K. Mulțimea E - produsul mulțimilor E α - poate fi transformată într-o familie de spații verticale peste câmpul K prin introducerea operațiilor

(x α) + (y α) = (x α + y α); λ(x α) = (λx α); λ ∈ K; x α , y α ∈ E α , α ∈ I;

primit V. p. E sunat. produsul direct al lui V. p E α și se notează cu P α∈I E α. Se numește subspațiul unui V. p E, format din toate acele mulțimi (x α), pentru fiecare dintre care mulțimea (α: x α ≠ 0) este finită. suma directă a V. p. E α și se notează cu Σ α E α sau Σ α + E α ; Pentru un număr finit de termeni aceste definiții coincid; în acest caz se folosește următoarea notație:

Fie E 1, E 2 două poziții V. peste câmpul K; E" 1, E" 2 sunt subspațiile totale ale lui V. p. E* 1, E* 2 și E 1 □ E 2 -B. n., care are ca bază totalitatea tuturor elementelor spațiului E 1 × E 2. Fiecare element x □ y ∈ E 1 □ E 2 este asociat cu o funcție biliniară b = T(x, y) pe E" 1 × E 2 după formula b(f, g) = f(x)g(y). ), f ∈ E " 1 , g ∈ E " 2 . Această mapare a vectorilor de bază x □ y ∈ E 1 □ E 2 poate fi extinsă la o mapare liniară T V. p. E 1 □ E 2. dintre toate funcționalele biliniare de pe E " 1 × E" 2. Fie E 0 = T -1 (0 Produsul tensor al spațiului V. E 1 și E 2 se numește spațiu factorial E 1 ○ E 2 = (E). 1 □ E 2)/E 0 imaginea elementului x □ y se notează cu x ○ y Spațiul vectorial E 1 ○ E 2 este izomorf cu spațiul vectorial al funcționalelor biliniare pe E 1 × E 2 (vezi produsul tensor). a spaţiilor vectoriale).

Lit.: Bourbaki N., Algebră. Structuri algebrice. Algebră liniară și multiliniară, trans. din franceză, M., 1962; Raikov D. A., Spații vectoriale, M., 1962; Day M. M., Spații liniare normalizate, trad. din engleză, M., 1961; , Edward R., Analiza funcțională, trad. din engleză, M., 1969; Halmos P., Spații vectoriale cu dimensiuni finite, trad. din engleză, M., 1963; Glazman I.M., Lyubich Yu.I., Analiza liniară cu dimensiuni finite în probleme, M., 1969.

M.I. Kadets.

Surse:

1. Enciclopedie matematică. T. 1 (A - D). Ed. bord: I. M. Vinogradov (editor șef) [și alții] - M., „Enciclopedia Sovietică”, 1977, 1152 stb. de bolnav.

Fie P un câmp. Elementele a, b, ... О R vom suna scalari.

Definiția 1. Clasă V sunt numite obiecte (elemente) , , , ... de natură arbitrară spațiu vectorial peste câmpul P, iar elementele clasei V se numesc vectori, dacă V este închis sub operația „+” și operația de înmulțire cu scalari din P (adică pentru orice , ОV +О V;"aО Р aОV) și sunt îndeplinite următoarele condiții:

A 1: algebră - grupul abelian;

A 2: pentru orice a, bОР, pentru orice ОV, a(b)=(ab) este o lege asociativă generalizată;

A 3: pentru orice a, bОР, pentru orice ОV, (a+b)= a+ b;

A 4: pentru orice a din P, pentru orice , din V, a(+)=a+a (legi distributive generalizate);

A 5: pentru oricare dintre V, 1 = este satisfăcut, unde 1 este unitatea câmpului P - proprietatea unitarității.

Vom numi elementele câmpului P scalari, iar elementele mulţimii V vectori.

Cometariu.Înmulțirea unui vector cu un scalar nu este o operație binară pe mulțimea V, deoarece este o mapare P´V®V.

Să ne uităm la exemple de spații vectoriale.

Exemplul 1. Spațiu vectorial zero (zero-dimensional) - spațiul V 0 =() - format dintr-un vector zero.

Și pentru orice aОР a=. Să verificăm satisfacabilitatea axiomelor spațiului vectorial.

Rețineți că un spațiu vectorial zero depinde în esență de câmpul P. Astfel, spațiile zero-dimensionale peste câmpul numerelor raționale și peste câmpul numerelor reale sunt considerate diferite, deși constau dintr-un singur vector zero.

Exemplul 2. Câmpul P este el însuși un spațiu vectorial peste câmpul P. Fie V=P. Să verificăm satisfacabilitatea axiomelor spațiului vectorial. Deoarece P este un câmp, atunci P este un grup abelian aditiv și A 1 este valabil. Datorită satisfacabilității înmulțirii în P, A2 este satisfăcută. Axiomele A 3 și A 4 sunt satisfăcute datorită fezabilității în P a distributivității înmulțirii în raport cu adunarea. Deoarece există un element unitar 1 în câmpul P, proprietatea de unitaritate A 5 este îndeplinită. Astfel, câmpul P este un spațiu vectorial peste câmpul P.

Exemplul 3. Spațiu vectorial n-dimensional aritmetic.

Fie P un câmp. Se consideră mulțimea V= P n =((a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i О P, i=1,…, n). Să introducem pe mulțimea V operațiile de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un scalar după următoarele reguli:

„= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, „aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + mld) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Se vor numi elementele multimii V vectori n-dimensionali. Se spune că doi vectori n-dimensionali sunt egali dacă componentele lor corespunzătoare (coordonatele) sunt egale. Să arătăm că V este un spațiu vectorial peste câmpul P. Din definirea operațiilor de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un scalar rezultă că V este închis sub aceste operații. Deoarece adăugarea elementelor lui V se reduce la adăugarea elementelor câmpului P și P este un grup abelian aditiv, atunci V este un grup abelian aditiv. Mai mult, =, unde 0 este zero al câmpului P, -= (-a 1, -a 2, …, -a n). Astfel, A 1 este satisfăcut. Deoarece înmulțirea unui element din V cu un element din P se reduce la înmulțirea elementelor câmpului P, atunci:

A 2 este satisfăcut datorită asociativității înmulțirii cu P;

A 3 și A 4 sunt satisfăcute datorită distributivității înmulțirii în raport cu adunarea cu P;

A 5 este satisfăcut, deoarece 1 Î P este un element neutru în raport cu înmulțirea cu P.

Definiția 2. Mulțimea V= P n cu operațiile definite prin formulele (1) și (2) se numește spațiu vectorial aritmetic n-dimensional peste câmpul P.

Cursul 6. Spațiul vectorial.

Întrebări principale.

1. Spațiu liniar vectorial.

2. Baza și dimensiunea spațiului.

3. Orientare în spațiu.

4. Descompunerea unui vector pe bază.

5. Coordonatele vectoriale.

1. Spațiu liniar vectorial.

O mulțime formată din elemente de orice natură în care sunt definite operații liniare: se numesc adunarea a două elemente și înmulțirea unui element cu un număr. spatii, iar elementele lor sunt vectori acest spatiu si se noteaza la fel ca marimile vectoriale in geometrie: . Vectori Astfel de spații abstracte, de regulă, nu au nimic în comun cu vectorii geometrici obișnuiți. Elementele spațiilor abstracte pot fi funcții, un sistem de numere, matrici etc. și, într-un caz particular, vectori obișnuiți. Prin urmare, astfel de spații sunt de obicei numite spații vectoriale .

Spațiile vectoriale sunt, De exemplu, un set de vectori coliniari, notat V1 , set de vectori coplanari V2 , set de vectori ai spațiului obișnuit (real) V3 .

Pentru acest caz particular, putem da următoarea definiție a unui spațiu vectorial.

Definiția 1. Mulțimea vectorilor se numește spațiu vectorial, dacă o combinație liniară a oricăror vectori ai unei mulțimi este, de asemenea, un vector al acestei mulțimi. Vectorii înșiși sunt numiți elemente spațiu vectorial.

Mai important, atât teoretic cât și aplicativ, este conceptul general (abstract) de spațiu vectorial.

Definiția 2. O multime de R elemente, în care suma este determinată pentru oricare două elemente și pentru orice element https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> numit vector(sau liniar) spaţiu, iar elementele sale sunt vectori, dacă operațiile de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un număr îndeplinesc următoarele condiții ( axiome) :

1) adăugarea este comutativă, adică gif" width="184" height="25">;

3) există un astfel de element (vector zero) încât pentru orice https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" înălțime="27">;

5) pentru orice vector și și orice număr λ egalitatea este valabilă;

6) pentru orice vector și orice numere λ Și µ egalitatea este adevărată: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> și orice numere λ Și µ corect ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Urmează cele mai simple axiome care definesc un spațiu vectorial: consecințe :

1. Într-un spațiu vectorial există un singur zero - elementul - vectorul zero.

2. În spațiul vectorial, fiecare vector are un singur vector opus.

3. Pentru fiecare element egalitatea este satisfăcută.

4. Pentru orice număr real λ și zero vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> este un vector care satisface egalitatea https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Deci, într-adevăr, mulțimea tuturor vectorilor geometrici este un spațiu liniar (vector), întrucât pentru elementele acestei mulțimi sunt definite acțiunile de adunare și înmulțire cu un număr care satisfac axiomele formulate.

2. Baza și dimensiunea spațiului.

Conceptele esențiale ale unui spațiu vectorial sunt conceptele de bază și dimensiune.

Definiție. Un set de vectori liniar independenți, luați într-o anumită ordine, prin care orice vector de spațiu poate fi exprimat liniar, se numește bază acest spatiu. Vectori. Componentele bazei spațiului sunt numite de bază .

Baza unui set de vectori localizați pe o linie arbitrară poate fi considerată un vector coliniar la această linie.

Bazat pe avion să numim doi vectori necoliniari pe acest plan, luați într-o anumită ordine https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Dacă vectorii de bază sunt perpendiculari perechi (ortogonali), atunci baza se numește ortogonală, iar dacă acești vectori au lungimea egală cu unu, atunci se numește baza ortonormal .

Se numește cel mai mare număr de vectori liniar independenți din spațiu dimensiune a acestui spațiu, adică dimensiunea spațiului coincide cu numărul de vectori de bază ai acestui spațiu.

Deci, conform acestor definiții:

1. Spațiu unidimensional V1 este o linie dreaptă, iar baza constă din unul coliniar vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Spațiul obișnuit este spațiu tridimensional V3 , a cărui bază constă în trei necoplanare vectori

De aici vedem că numărul de vectori de bază pe o dreaptă, pe un plan, în spațiul real coincide cu ceea ce în geometrie se numește de obicei numărul de dimensiuni (dimensiune) unei linii, plan, spațiu. Prin urmare, este firesc să se introducă o definiție mai generală.

Definiție. Spațiu vectorial R numit n– dimensional dacă nu există mai mult de n vectori liniar independenți și se notează R n. Număr n numit dimensiune spaţiu.

În conformitate cu dimensiunea spațiului sunt împărțite în finite-dimensionaleȘi infinit-dimensională. Dimensiunea spațiului nul este considerată egală cu zero prin definiție.

Nota 1.În fiecare spațiu puteți specifica câte baze doriți, dar toate bazele unui spațiu dat constau din același număr de vectori.

Nota 2.ÎN n– într-un spațiu vectorial dimensional, o bază este orice colecție ordonată n vectori liniar independenți.

3. Orientare în spațiu.

Fie vectorii de bază în spațiu V3 avea început generalȘi ordonat, adică se indică care vector este considerat primul, care este considerat al doilea și care este considerat al treilea. De exemplu, în bază vectorii sunt ordonați în funcție de indexare.

Pentru asta pentru a orienta spațiul, este necesar să se stabilească o bază și să îl declare pozitiv .

Se poate arăta că mulțimea tuturor bazelor spațiului se încadrează în două clase, adică în două submulțimi disjunse.

a) toate bazele aparținând unei submulțimi (clase) au aceeași orientare (baze cu același nume);

b) oricare două baze aparținând variat submulţimi (clase), au opusul orientare, ( nume diferite baze).

Dacă una dintre cele două clase de baze ale unui spațiu este declarată pozitivă și cealaltă negativă, atunci se spune că acest spațiu orientat .

Adesea, la orientarea spațiului, se numesc niște baze dreapta, si altii - stânga .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> sunt numite dreapta, dacă, la observarea de la sfârșitul celui de-al treilea vector, cea mai scurtă rotație a primului vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > se realizează în sens invers acelor de ceasornic(Fig. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Orez. 1.8. Baza dreapta (a) și baza stângă (b)

De obicei, baza corectă a spațiului este declarată a fi o bază pozitivă

Baza spațiului din dreapta (stânga) poate fi determinată, de asemenea, folosind regula unui șurub „dreapta” („stânga”) sau a unui braț.

Prin analogie cu aceasta, este introdus conceptul de dreapta și stânga trei vectori necoplanari care trebuie ordonati (Fig. 1.8).

Astfel, în cazul general, două triplete ordonate de vectori necoplanari au aceeași orientare (același nume) în spațiu V3 dacă ambele sunt la dreapta sau ambele la stânga, și - orientarea opusă (opusă) dacă una dintre ele este dreapta și cealaltă este stânga.

La fel se procedează și în cazul spațiului V2 (avion).

4. Descompunerea unui vector pe bază.

Pentru simplitatea raționamentului, să luăm în considerare această întrebare folosind exemplul unui spațiu vectorial tridimensional R3 .

Fie https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> să fie un vector arbitrar al acestui spațiu.

În articolul despre vectorii n-dimensionali, am ajuns la conceptul de spațiu liniar generat de un set de vectori n-dimensionali. Acum trebuie să luăm în considerare concepte la fel de importante, cum ar fi dimensiunea și baza unui spațiu vectorial. Ele sunt direct legate de conceptul de sistem liniar independent de vectori, deci este recomandat suplimentar să vă amintiți elementele de bază ale acestui subiect.

Să introducem câteva definiții.

Definiția 1

Dimensiunea spațiului vectorial– un număr corespunzător numărului maxim de vectori liniar independenți din acest spațiu.

Definiția 2

Baza spațiului vectorial– o mulțime de vectori liniar independenți, ordonați și egali ca număr cu dimensiunea spațiului.

Să considerăm un anumit spațiu de n -vectori. Dimensiunea sa este în mod corespunzător egală cu n. Să luăm un sistem de vectori de n unități:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

Folosim acești vectori ca componente ale matricei A: va fi o matrice unitară cu dimensiunea n cu n. Rangul acestei matrice este n. Prin urmare, sistemul vectorial e (1) , e (2) , . . . , e(n) este liniar independent. În acest caz, este imposibil să adăugați un singur vector la sistem fără a-i încălca independența liniară.

Deoarece numărul de vectori din sistem este n, atunci dimensiunea spațiului vectorilor n-dimensionali este n, iar vectorii unitari sunt e (1), e (2), . . . , e (n) sunt baza spațiului specificat.

Din definiția rezultată putem concluziona: orice sistem de vectori n-dimensionali în care numărul de vectori este mai mic decât n nu este o bază de spațiu.

Dacă schimbăm primul și al doilea vector, obținem un sistem de vectori e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Va fi, de asemenea, baza unui spațiu vectorial n-dimensional. Să creăm o matrice luând ca rânduri vectorii sistemului rezultat. Matricea poate fi obținută din matricea de identitate schimbând primele două rânduri, rangul său va fi n. Sistemul e (2) , e (1) , . . . , e(n) este liniar independent și este baza unui spațiu vectorial n-dimensional.

Prin rearanjarea altor vectori în sistemul original, obținem o altă bază.

Putem lua un sistem liniar independent de vectori non-unitari și va reprezenta, de asemenea, baza unui spațiu vectorial n-dimensional.

Definiția 3

Un spațiu vectorial cu dimensiunea n are atâtea baze câte sisteme liniar independente de vectori n-dimensionali ai numărului n.

Planul este un spațiu bidimensional - baza sa va fi oricare doi vectori necoliniari. Baza spațiului tridimensional va fi oricare trei vectori necoplanari.

Să luăm în considerare aplicarea acestei teorii folosind exemple specifice.

Exemplul 1

Date inițiale: vectori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Este necesar să se determine dacă vectorii specificați sunt baza unui spațiu vectorial tridimensional.

Soluţie

Pentru a rezolva problema, studiem sistemul dat de vectori pentru dependența liniară. Să creăm o matrice, în care rândurile sunt coordonatele vectorilor. Să determinăm rangul matricei.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

În consecință, vectorii specificați de condiția problemei sunt independenți liniar, iar numărul lor este egal cu dimensiunea spațiului vectorial - ei stau la baza spațiului vectorial.

Răspuns: vectorii indicați stau la baza spațiului vectorial.

Exemplul 2

Date inițiale: vectori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Este necesar să se determine dacă sistemul specificat de vectori poate fi baza spațiului tridimensional.

Soluţie

Sistemul de vectori specificat în formularea problemei este dependent liniar, deoarece numărul maxim de vectori liniar independenți este 3. Astfel, sistemul de vectori indicat nu poate servi ca bază pentru un spațiu vectorial tridimensional. Dar este de remarcat faptul că subsistemul sistemului original a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) este o bază.

Răspuns: sistemul indicat de vectori nu este o bază.

Exemplul 3

Date inițiale: vectori

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Pot fi ele baza spațiului cu patru dimensiuni?

Soluţie

Să creăm o matrice folosind coordonatele vectorilor dați ca șiruri

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Folosind metoda Gauss, determinăm rangul matricei:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

În consecință, sistemul de vectori dați este liniar independent și numărul lor este egal cu dimensiunea spațiului vectorial - ei sunt baza unui spațiu vectorial cu patru dimensiuni.

Răspuns: vectorii dați sunt baza spațiului cu patru dimensiuni.

Exemplul 4

Date inițiale: vectori

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Formează ele baza unui spațiu de dimensiunea 4?

Soluţie

Sistemul original de vectori este liniar independent, dar numărul de vectori din el nu este suficient pentru a deveni baza unui spațiu cu patru dimensiuni.

Răspuns: nu, ei nu.

Descompunerea unui vector într-o bază

Să presupunem că vectorii arbitrari e (1) , e (2) , . . . , e (n) sunt baza unui spațiu vectorial n-dimensional. Să le adăugăm un anumit vector n-dimensional x →: sistemul de vectori rezultat va deveni liniar dependent. Proprietățile dependenței liniare afirmă că cel puțin unul dintre vectorii unui astfel de sistem poate fi exprimat liniar prin ceilalți. Reformulând această afirmație, putem spune că cel puțin unul dintre vectorii unui sistem dependent liniar poate fi extins în vectorii rămași.

Astfel, am ajuns la formularea celei mai importante teoreme:

Definiția 4

Orice vector al unui spațiu vectorial n-dimensional poate fi descompus în mod unic într-o bază.

Dovada 1

Să demonstrăm această teoremă:

să stabilim baza spațiului vectorial n-dimensional - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Să facem sistemul dependent liniar prin adăugarea unui vector n-dimensional x → la el. Acest vector poate fi exprimat liniar în termenii vectorilor originali e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , unde x 1 , x 2 , . . . , x n - unele numere.

Acum demonstrăm că o astfel de descompunere este unică. Să presupunem că nu este cazul și că există o altă descompunere similară:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , unde x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - unele numere.

Să scădem din stânga și din dreapta acestei egalități, respectiv, din stânga și din dreapta egalității x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Primim:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Sistem de vectori de bază e (1) , e (2) , . . . , e(n) este liniar independent; prin definiția independenței liniare a unui sistem de vectori, egalitatea de mai sus este posibilă numai atunci când toți coeficienții sunt (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) va fi egal cu zero. Din care va fi corect: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . Și aceasta dovedește singura opțiune pentru descompunerea unui vector într-o bază.

În acest caz, coeficienții x 1, x 2, . . . , x n se numesc coordonatele vectorului x → în baza e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Teoria dovedită face clară expresia „ dat un vector n-dimensional x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)”: se consideră un vector x → spațiu vectorial n-dimensional, iar coordonatele sale sunt specificate într-un anumită bază. De asemenea, este clar că același vector într-o altă bază a spațiului n-dimensional va avea coordonate diferite.

Luați în considerare următorul exemplu: să presupunem că într-o anumită bază a spațiului vectorial n-dimensional este dat un sistem de n vectori liniar independenți

și, de asemenea, este dat vectorul x = (x 1 , x 2 ,..., x n).

Vectorii e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) în acest caz sunt, de asemenea, baza acestui spațiu vectorial.

Să presupunem că este necesar să se determine coordonatele vectorului x → în baza e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , notat cu x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Vector x → va fi reprezentat astfel:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Să scriem această expresie sub formă de coordonate:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . + x ~ n e 2 (n) , .

Egalitatea rezultată este echivalentă cu un sistem de n expresii algebrice liniare cu n variabile liniare necunoscute x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Matricea acestui sistem va avea următoarea formă:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Fie aceasta o matrice A, iar coloanele sale sunt vectori ai unui sistem liniar independent de vectori e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . Rangul matricei este n, iar determinantul său este diferit de zero. Aceasta indică faptul că sistemul de ecuații are o soluție unică, determinată de orice metodă convenabilă: de exemplu, metoda Cramer sau metoda matricei. Astfel putem determina coordonatele x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n vector x → în baza e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Să aplicăm teoria luată în considerare la un exemplu specific.

Exemplul 6

Date inițiale: vectorii sunt specificați pe baza spațiului tridimensional

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Este necesar să se confirme faptul că sistemul de vectori e (1), e (2), e (3) servește și ca bază a unui spațiu dat și, de asemenea, să se determine coordonatele vectorului x într-o bază dată.

Soluţie

Sistemul de vectori e (1), e (2), e (3) va sta la baza spațiului tridimensional dacă este liniar independent. Să aflăm această posibilitate determinând rangul matricei A, ale cărei rânduri sunt vectorii dați e (1), e (2), e (3).

Folosim metoda Gauss:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Astfel, sistemul de vectori e (1), e (2), e (3) este liniar independent și este o bază.

Fie vectorul x → să aibă coordonatele x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 în bază. Relația dintre aceste coordonate este determinată de ecuația:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Să aplicăm valorile în funcție de condițiile problemei:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Să rezolvăm sistemul de ecuații folosind metoda lui Cramer:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Astfel, vectorul x → în baza e (1), e (2), e (3) are coordonatele x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

Răspuns: x = (1, 1, 1)

Relația dintre baze

Să presupunem că într-o anumită bază a spațiului vectorial n-dimensional sunt date două sisteme de vectori liniar independente:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Aceste sisteme sunt, de asemenea, bazele unui spațiu dat.

Fie c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - coordonatele vectorului c (1) în baza e (1) , e (2) , . . . , e (3) , atunci relația de coordonate va fi dată de un sistem de ecuații liniare:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Sistemul poate fi reprezentat ca o matrice după cum urmează:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Să facem aceeași intrare pentru vectorul c (2) prin analogie:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Să combinăm egalitățile matriceale într-o singură expresie:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Acesta va determina legătura dintre vectorii a două baze diferite.

Folosind același principiu, se pot exprima toți vectorii de bază e(1), e(2), . . . , e (3) prin baza c (1) , c (2) , . . . , c (n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Să dăm următoarele definiții:

Definiția 5

Matricea c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) este matricea de tranziție de la baza e (1) , e (2) , . . . , e (3)

la baza c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Definiția 6

Matrice e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) este matricea de tranziție de la baza c (1) , c (2) , . . . , c(n)

la baza e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Din aceste egalităţi este evident că

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

acestea. matricele de tranziție sunt reciproce.

Să ne uităm la teorie folosind un exemplu specific.

Exemplul 7

Date inițiale: este necesar să se găsească matricea de tranziție de la bază

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

De asemenea, trebuie să indicați relația dintre coordonatele unui vector arbitrar x → în bazele date.

Soluţie

1. Fie T matricea de tranziție, atunci egalitatea va fi adevărată:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Înmulțiți ambele părți ale egalității cu

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

și obținem:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Definiți matricea de tranziție:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Să definim relația dintre coordonatele vectorului x → :

Să presupunem că în baza c (1) , c (2) , . . . , c (n) vector x → are coordonatele x 1 , x 2 , x 3 , atunci:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

iar în baza e (1) , e (2) , . . . , e (3) are coordonatele x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, atunci:

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Deoarece Dacă părțile din stânga acestor egalități sunt egale, putem echivala și părțile din dreapta:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Înmulțiți ambele părți din dreapta cu

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

și obținem:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Pe cealaltă parte

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Ultimele egalități arată relația dintre coordonatele vectorului x → în ambele baze.

Răspuns: matricea de tranziție

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Coordonatele vectorului x → în bazele date sunt legate prin relația:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter