Marea teoremă a lui Fermat. Să expunem! Ultima teoremă a lui Fermat a fost demonstrată? Cum sună teorema fermei
Pierre Fermat, citind „Aritmetica” lui Diophantus din Alexandria și reflectând asupra sarcinilor acesteia, avea obiceiul de a nota rezultatele reflecțiilor sale în marginile cărții sub formă de scurte replici. Împotriva celei de-a opta probleme a lui Diofant din marginile cărții, Fermat a scris: „ Dimpotrivă, este imposibil să descompun fie un cub în două cuburi, fie un biquadrat în două biquadraturi și, în general, nici un grad mai mare decât un pătrat cu două grade cu același exponent. Am descoperit o dovadă cu adevărat minunată în acest sens, dar aceste câmpuri sunt prea înguste pentru el.» / E.T.Bell „Creatorii matematicii”. M., 1979, p. 69/. Vă aduc în atenție o demonstrație elementară a teoremei fermei, care poate fi înțeleasă de orice elev de liceu pasionat de matematică.
Să comparăm comentariul lui Fermat asupra problemei lui Diofant cu formularea modernă a marii teoreme a lui Fermat, care are forma unei ecuații.
« Ecuația
x n + y n = z n(unde n este un număr întreg mai mare decât doi)
nu are soluții în numere întregi pozitive»
Comentariul se află într-o legătură logică cu sarcina, analogă cu legătura logică a predicatului cu subiectul. Ceea ce este afirmat de problema lui Diofant, dimpotrivă, este afirmat de comentariul lui Fermat.
Comentariul lui Fermat poate fi interpretat astfel: dacă o ecuație pătratică cu trei necunoscute are un set infinit de soluții pe mulțimea tuturor triplelor numerelor pitagorice, atunci, dimpotrivă, o ecuație cu trei necunoscute cu un grad mai mare decât pătratul
În ecuație nu există nici măcar un indiciu al conexiunii sale cu problema lui Diophantus. Enunțul său necesită dovezi, dar sub ea nu există nicio condiție din care să rezulte că nu are soluții în numere întregi pozitive.
Variantele demonstrării ecuației cunoscute de mine sunt reduse la următorul algoritm.
- Se ia drept concluzie ecuația teoremei lui Fermat, a cărei validitate se verifică cu ajutorul demonstrației.
- Se numește aceeași ecuație original ecuația din care trebuie să plece demonstrarea acesteia.
Ca urmare, s-a format o tautologie: „ Dacă ecuația nu are soluții în numere întregi pozitive, atunci nu are soluții în numere întregi pozitive„. Dovada tautologiei este în mod deliberat incorectă și lipsită de orice sens. Dar se dovedește printr-o metodă contradictorie.
- Se face ipoteza opusă celei a ecuației pe care doriți să o demonstrați. Nu ar trebui să contrazică ecuația originală, dar o contrazice. Nu are sens să dovedești ceea ce se acceptă fără dovezi și să accepti fără dovezi ceea ce se cere să fie dovedit.
- Pe baza ipotezei acceptate, se efectuează operații și acțiuni matematice absolut corecte pentru a demonstra că aceasta contrazice ecuația originală și este falsă.
Prin urmare, de 370 de ani încoace, demonstrarea ecuației ultimei teoreme a lui Fermat rămâne un vis irealizabil al specialiștilor și amatorilor de matematică.
Am luat ecuația ca concluzie a teoremei și a opta problemă a lui Diofant și ecuația ei ca condiție a teoremei.
„Dacă ecuația x 2 + y 2 = z 2
(1) are o mulțime infinită de soluții pe mulțimea tuturor triplelor numerelor pitagorice, apoi, invers, ecuația x n + y n = z n
, Unde n> 2
(2) nu are soluții pentru mulțimea numerelor întregi pozitive. "
Dovada.
A) Toată lumea știe că ecuația (1) are un set infinit de soluții pe mulțimea tuturor triplelor numerelor pitagorice. Să demonstrăm că nici un triplu de numere pitagorice care este o soluție a ecuației (1) nu este o soluție a ecuației (2).
Pe baza legii reversibilității egalității, laturile ecuației (1) sunt interschimbate. Numerele pitagorice (z, x, y) poate fi interpretat ca lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic și ale pătratelor (x 2, y 2, z 2) poate fi interpretat ca aria pătratelor construite pe ipotenuza și catetele sale.
Pătratele pătratelor ecuației (1) sunt înmulțite cu o înălțime arbitrară h :
z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)
Ecuația (3) poate fi interpretată ca egalitatea volumului unui paralelipiped cu suma volumelor a doi paralelipiped.
Fie înălțimea a trei paralelipipede h = z :
z 3 = x 2 z + y 2 z (4)
Volumul cubului este descompus în două volume de două paralelipipede. Lăsați volumul cubului neschimbat și reduceți înălțimea primului paralelipiped la X și reduceți înălțimea celui de-al doilea paralelipiped la y ... Volumul unui cub este mai mare decât suma volumelor a două cuburi:
z 3> x 3 + y 3 (5)
Pe setul de triple ale numerelor pitagorice ( x, y, z ) la n = 3 nu poate exista o soluție pentru ecuația (2). Prin urmare, pe setul tuturor triplelor numerelor pitagorice, este imposibil să descompuneți un cub în două cuburi.
Fie în ecuația (3) înălțimea a trei paralelipipede h = z 2 :
z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)
Volumul unui paralelipiped se descompune în suma volumelor a doi paralelipiped.
Lăsați partea stângă a ecuației (6) neschimbată. Pe partea dreaptă este înălțimea z 2
A se reduce la X
în primul termen și până la la 2
în al doilea mandat.
Ecuația (6) transformată în inegalitatea:
Volumul unui paralelipiped este descompus în două volume de două paralelipiped.
Lăsați partea stângă a ecuației (8) neschimbată.
În partea dreaptă înălțimea z n-2
A se reduce la x n-2
in primul termen si scade la y n-2
în al doilea mandat. Ecuația (8) se transformă în inegalitatea:
| z n> x n + y n | (9) |
Pe mulțimea triplelor numerelor pitagoreene, nu poate exista o singură soluție pentru ecuația (2).
Prin urmare, pe setul tuturor triplelor numerelor pitagorice pentru toate n> 2 ecuația (2) nu are soluții.
A primit „postinno miraculous proof”, dar numai pentru tripleți Numerele pitagorice... Aceasta este lipsa probelor si motivul refuzului lui P. Fermat de la acesta.
B) Să demonstrăm că ecuația (2) nu are soluții la mulțimea triplelor numerelor non-pitagorice, ceea ce este un eșec al familiei unui triplu de numere pitagoreene luate în mod arbitrar z = 13, x = 12, y = 5 și familia unui triplu arbitrar de numere întregi pozitive z = 21, x = 19, y = 16
Ambele triplete de numere sunt membri ai familiilor lor:
| (13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) | (10) | |
| (21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) | (11) |
Numărul membrilor familiei (10) și (11) este egal cu jumătate din produsul 13 cu 12 și 21 cu 20, adică 78 și 210.
Fiecare membru al familiei (10) conține z = 13 și variabile X și la 13> x> 0 , 13> y> 0 1
Fiecare membru al familiei (11) conține z = 21 și variabile X și la care iau valorile numerelor întregi 21> x> 0 , 21> y> 0 ... Variabilele scad treptat cu 1 .
Tripletele de numere din secvența (10) și (11) pot fi reprezentate ca o secvență de inegalități de gradul trei:
| 13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3 | ||
| 21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3 |
și sub formă de inegalități de gradul al patrulea:
| 13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4 | ||
| 21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4 |
Corectitudinea fiecărei inegalități este confirmată de ridicarea numerelor la a treia și a patra putere.
Un cub de un număr mai mare nu poate fi descompus în două cuburi de numere mai mici. Este fie mai mică, fie mai mare decât suma cuburilor celor două numere mai mici.
Biquadratul unui număr mai mare nu poate fi descompus în două biquadraturi de numere mai mici. Este fie mai mică, fie mai mare decât suma biquadratelor numerelor mai mici.
Cu o creștere a exponentului, toate inegalitățile, cu excepția inegalității extreme din stânga, au același sens:
Inegalitățile, toate au același sens: gradul unui număr mai mare este mai mare decât suma puterilor mai mici de două numere cu același exponent:
| 13 n> 12 n + 12 n; 13 n> 12 n + 11 n;...; 13 n> 7 n + 4 n;...; 13 n> 1 n + 1 n | (12) | |
| 21 n> 20 n + 20 n; 21 n> 20 n + 19 n;...; ;…; 21 n> 1 n + 1 n | (13) |
Termenul cel mai din stânga al secvențelor (12) (13) este cea mai slabă inegalitate. Corectitudinea sa determină corectitudinea tuturor inegalităților ulterioare ale secvenței (12) pentru n> 8 şi secvenţa (13) pentru n> 14 .
Nu poate exista o singură egalitate între ei. Un triplu arbitrar de numere întregi pozitive (21,19,16) nu este o soluție a ecuației (2) a marii teoreme a lui Fermat. Dacă un triplu de numere întregi pozitive luat în mod arbitrar nu este o soluție a ecuației, atunci ecuația nu are soluții pentru mulțimea de numere întregi pozitive, ceea ce a trebuit să dovedim.
CU) Comentariul lui Fermat asupra problemei lui Diophantus afirmă că este imposibil să se descompună „ în general, nici un grad mai mare decât pătratul, cu două grade cu același exponent».
Sărutări un grad mai mare decât un pătrat este cu adevărat imposibil de descompus în două grade cu același exponent. Nepotrivit grad mai mare decât pătratul poate fi descompus în două grade cu același exponent.
Orice triplu arbitrar de numere întregi pozitive (z, x, y) poate aparține unei familii, al cărei membru este format dintr-un număr constant z și cu două numere mai puțin decât z ... Fiecare membru al familiei poate fi reprezentat sub forma unei inegalități, iar toate inegalitățile obținute pot fi reprezentate ca o succesiune de inegalități:
| z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n | (14) |
Secvența inegalităților (14) începe cu inegalități în care partea stângă este mai mică decât partea dreaptă și se termină cu inegalități în care partea dreaptă este mai mică decât partea stângă. Cu exponent crescător n> 2 numărul de inegalități din partea dreaptă a secvenței (14) crește. Cu un exponent n = k toate inegalitățile din partea stângă a secvenței își schimbă sensul și capătă semnificația inegalităților din partea dreaptă a inegalităților din șirul (14). Ca urmare a creșterii exponentului pentru toate inegalitățile, partea stângă se dovedește a fi mai mare decât partea dreaptă:
| z k> (z-1) k + (z-1) k; z k> (z-1) k + (z-2) k;...; z k> 2 k + 1 k; z k> 1 k + 1 k | (15) |
Cu o creștere suplimentară a exponentului n> k niciuna dintre inegalități nu își schimbă sensul și nu se transformă în egalitate. Pe această bază, se poate argumenta că orice triplă de numere întregi pozitive luată în mod arbitrar (z, x, y) la n> 2 , z> x , z> y
Într-un triplu arbitrar de numere întregi pozitive z poate fi un număr natural arbitrar de mare. Pentru toate numerele naturale care nu sunt mai mari decât z , Ultima teoremă a lui Fermat este demonstrată.
D) Oricât de mare ar fi numărul z , în seria naturală de numere dinaintea ei există o mulțime mare, dar finită de numere întregi, iar după aceasta - o mulțime infinită de numere întregi.
Să demonstrăm că întregul set infinit de numere naturale mai mare decât z , formează triple de numere care nu sunt soluții ale ecuației teoremei lui Fermat Mare, de exemplu, un triplu de numere întregi pozitive luate în mod arbitrar (z + 1, x, y) , în care z + 1> x și z + 1> y pentru toate valorile exponentului n> 2 nu este o soluție la ecuația teoremei lui Great Fermat.
Un triplet arbitrar de numere întregi pozitive (z + 1, x, y) poate aparține familiei de triplete de numere, fiecare membru al cărora este format dintr-un număr constant z + 1 si doua numere X și la luând valori diferite mai mici decât z + 1 ... Membrii familiei pot fi reprezentați sub formă de inegalități în care partea stângă constantă este mai mică sau mai mare decât partea dreaptă. Inegalitățile pot fi aranjate într-o manieră ordonată ca o succesiune de inegalități:
Cu o creștere suplimentară a exponentului n> k la infinit, niciuna dintre inegalitățile din secvența (17) nu își schimbă sensul și nu se transformă în egalitate. În secvența (16), inegalitatea s-a format dintr-un triplu arbitrar de numere întregi pozitive (z + 1, x, y) , poate fi pe partea dreaptă în formă (z + 1) n> x n + y n sau să fie în partea stângă în formă (z + 1) n< x n + y n .
În orice caz, triplul numerelor întregi pozitive (z + 1, x, y) la n> 2 , z + 1> x , z + 1> y în secvența (16) este o inegalitate și nu poate reprezenta o egalitate, adică nu poate reprezenta o soluție a ecuației teoremei Marelui Fermat.
Este ușor și simplu de înțeles originea șirului inegalităților de putere (16), în care ultima inegalitate din partea stângă și prima inegalitate din partea dreaptă sunt inegalități de sens opus. Dimpotrivă, nu este ușor și deloc ușor pentru școlari, liceeni și liceeni să înțeleagă cum se formează o succesiune de inegalități (17) dintr-o succesiune de inegalități (16), în care toate inegalitățile au aceeași semnificație. .
În secvența (16), o creștere a gradului întreg al inegalităților cu 1 unitate transformă ultima inegalitate din partea stângă în prima inegalitate cu sensul opus în partea dreaptă. Astfel, numărul de inegalități din partea a noua a secvenței scade, în timp ce numărul de inegalități din partea dreaptă crește. Între ultima și prima inegalități de putere de sens opus, există în mod necesar o egalitate de putere. Gradul său nu poate fi un număr întreg, deoarece există numai neîntregi între două numere naturale consecutive. Egalitatea puterii de un grad neîntreg, prin ipoteza teoremei, nu poate fi considerată o soluție a ecuației (1).
Dacă în secvența (16) continuăm să creștem gradul cu 1 unitate, atunci ultima inegalitate a părții sale stângi se va transforma în prima inegalitate a sensului opus a părții drepte. Ca urmare, nu rămâne o singură inegalitate din partea stângă și rămân doar inegalitățile din partea dreaptă, care reprezintă o succesiune de inegalități de putere în creștere (17). O creștere suplimentară a întregului lor grad cu 1 unitate nu face decât să-și întărească inegalitățile de putere și exclude categoric posibilitatea apariției egalității într-un grad întreg.
Prin urmare, în general, nicio putere întreagă a unui număr natural (z + 1) din șirul inegalităților de putere (17) nu poate fi descompusă în două puteri întregi cu același exponent. Prin urmare, ecuația (1) nu are soluții pentru o mulțime infinită de numere naturale, ceea ce trebuia să fie demonstrat.
În consecință, Ultima Teoremă a lui Fermat este dovedită în toată universalitatea sa:
- în secţiunea A) pentru toate triplele (z, x, y) Numerele pitagoreene (descoperirea lui Fermat este o dovadă cu adevărat minunată),
- în secțiunea B) pentru toți membrii familiei oricărui triplet (z, x, y) numerele pitagorice,
- în secțiunea C) pentru toate triplele de numere (z, x, y) , nu numere mari z
- în secțiunea D) pentru toate triplele de numere (z, x, y) serii naturale de numere.
|
Modificările au fost făcute la 09.05.2010. |
Ce teoreme pot și nu pot fi demonstrate prin contradicție
În dicționarul explicativ al termenilor matematici, o definiție este dată unei dovezi a teoremei opuse, opusul teoremei inverse.
„Demonstrarea prin contradicție este o metodă de demonstrare a unei teoreme (propoziție), care constă în demonstrarea nu a teoremei în sine, ci a echivalentului ei (echivalent), opus teoremei inverse (invers față de opus). O demonstrație prin contradicție este folosită ori de câte ori teorema directă este dificil de demonstrat, iar contrariul este mai ușor de demonstrat. La demonstrarea prin contradicție, concluzia teoremei este înlocuită cu negația ei, iar prin raționament se ajunge la negația condiției, adică. la o contradicție, la opus (opusul a ceea ce este dat; această reducere la absurd dovedește teorema."
Dovada prin contradicție este foarte comună în matematică. Dovada prin contradicție se bazează pe legea terțului exclus, care este aceea a două enunțuri (enunturi) A și A (negație A), una dintre ele este adevărată, iar cealaltă este falsă.”/ Dicționar explicativ de termeni matematici: un ghid pentru profesori / O. V. Manturov [și alții]; ed. V. A. Ditkina.- M .: Educaţie, 1965.- 539 p .: ill.-C.112 /.
Nu ar fi mai bine să declarăm deschis că metoda dovedirii prin contradicție nu este o metodă matematică, deși este folosită în matematică, că este o metodă logică și aparține logicii. Este acceptabil să spunem că o demonstrație prin contradicție „este folosită ori de câte ori teorema directă este greu de demonstrat”, când de fapt este folosită dacă și numai dacă nu există un substitut pentru ea?
Caracterizarea relației dintre teoremele directe și inverse una față de cealaltă merită o atenție specială. „Teorema inversă pentru o teoremă dată (sau pentru o teoremă dată) este o teoremă în care condiția este concluzia, iar concluzia este condiția teoremei date. Această teoremă în raport cu teorema inversă se numește teoremă directă (originală). În același timp, teorema inversă la teorema inversă va fi teorema dată; prin urmare, teoremele directe și inverse se numesc reciproc inverse. Dacă teorema directă (dată) este adevărată, atunci teorema inversă nu este întotdeauna adevărată. De exemplu, dacă un patrulater este un romb, atunci diagonalele sale sunt reciproc perpendiculare (teorema directă). Dacă diagonalele din patrulater sunt reciproc perpendiculare, atunci patrulaterul este un romb - acest lucru nu este adevărat, adică teorema inversă nu este adevărată."/ Dicționar explicativ de termeni matematici: un ghid pentru profesori / O. V. Manturov [și alții]; ed. V. A. Ditkina.- M .: Educaţie, 1965.- 539 p .: ill.-C.261 /.
Această caracteristică a relației dintre teorema directă și cea inversă nu ține cont de faptul că condiția teoremei directe este luată ca dată, fără demonstrație, astfel încât corectitudinea ei nu este garantată. Condiția teoremei inverse nu este luată ca dată, deoarece este concluzia teoremei directe dovedite. Corectitudinea sa este dovedită prin demonstrarea teoremei directe. Această diferență logică esențială între condițiile teoremei directe și inverse se dovedește a fi decisivă în întrebarea care teoreme pot și care nu pot fi demonstrate printr-o metodă logică prin contradicție.
Să presupunem că există o teoremă directă în minte, care poate fi demonstrată prin metoda matematică obișnuită, dar este dificilă. Să o formulăm în formă generală într-o formă scurtă, după cum urmează: din A ar trebui să E ... Simbol A contează condiția dată a teoremei, acceptată fără dovezi. Simbol E sensul concluziei teoremei, care se cere a fi demonstrată.
Vom demonstra teorema directă prin contradicție, logic metodă. O metodă logică este folosită pentru a demonstra o teoremă care are nu matematic stare, și logic condiție. Se poate obține dacă starea matematică a teoremei din A ar trebui să E , supliment cu condiția inversă din A nu urmează E .
Ca rezultat, am obținut o condiție logică contradictorie a noii teoreme, care conține două părți: din A ar trebui să E și din A nu urmează E ... Condiția rezultată a noii teoreme corespunde legii logice a mijlocului exclus și corespunde demonstrației teoremei prin metoda contradictorie.
Potrivit legii, o parte a unei condiții contradictorii este falsă, o altă parte a acesteia este adevărată, iar a treia este exclusă. Demonstrarea prin contradicție are sarcina sa și urmărește să stabilească exact care parte din cele două părți ale condiției teoremei este falsă. De îndată ce partea falsă a condiției este determinată, se va determina că cealaltă parte este partea adevărată, iar a treia este exclusă.
Conform dicționarului explicativ al termenilor matematici, „Dovada este raționamentul, în timpul căruia se stabilește adevărul sau falsitatea oricărei afirmații (judecată, enunț, teoremă)”... Dovada prin contradictie există raționament, în timpul căruia se stabilește falsitate(absurditatea) concluziei ce decurge din fals condiţiile teoremei care se dovedeşte.
Dat: din A ar trebui să E iar din A nu urmează E .
Dovedi: din A ar trebui să E .
Dovada: Condiția logică a teoremei conține o contradicție care trebuie rezolvată. Contradicția condiției trebuie să-și găsească soluția în demonstrație și rezultatul ei. Rezultatul se dovedește a fi fals cu un raționament impecabil și fără erori. Cu un raționament logic corect, motivul concluziei false nu poate fi decât o condiție contradictorie: din A ar trebui să E și din A nu urmează E .
Nu există nicio umbră de îndoială că o parte a condiției este falsă, în timp ce cealaltă în acest caz este adevărată. Ambele părți ale condiției au aceeași origine, sunt acceptate ca date, presupuse, la fel de posibile, la fel de admisibile etc. În cursul raționamentului logic, nu a fost găsită o singură trăsătură logică care să distingă o parte a condiției de cealaltă. . Prin urmare, în aceeași măsură poate fi din A ar trebui să E si poate din A nu urmează E ... Afirmație din A ar trebui să E poate fals, apoi declarația din A nu urmează E va fi adevărat. Afirmație din A nu urmează E poate fi falsă, atunci afirmația din A ar trebui să E va fi adevărat.
În consecință, este imposibil să se demonstreze teorema directă prin contradicție.
Acum vom demonstra aceeași teoremă directă prin metoda matematică obișnuită.
Dat: A .
Dovedi: din A ar trebui să E .
Dovada.
1. Din A ar trebui să B
2. Din B ar trebui să V (prin teorema demonstrată anterior)).
3. Din V ar trebui să G (prin teorema demonstrată anterior).
4. Din G ar trebui să D (prin teorema demonstrată anterior).
5. Din D ar trebui să E (prin teorema demonstrată anterior).
Pe baza legii tranzitivității, din A ar trebui să E ... Teorema directă este demonstrată prin metoda obișnuită.
Fie teorema directă demonstrată să aibă teorema inversă corectă: din E ar trebui să A .
Să demonstrăm cu obișnuitul matematic metodă. Dovada teoremei inverse poate fi exprimată simbolic sub forma unui algoritm de operații matematice.
Dat: E
Dovedi: din E ar trebui să A .
Dovada.
1. Din E ar trebui să D
2. Din D ar trebui să G (prin teorema inversă demonstrată anterior).
3. Din G ar trebui să V (prin teorema inversă demonstrată anterior).
4. Din V nu urmează B (teorema inversă nu este adevărată). De aceea din B nu urmează A .
În această situație, nu are sens să continuăm demonstrația matematică a teoremei inverse. Motivul situației este logic. Este imposibil să înlocuiți teorema inversă incorectă cu ceva. În consecință, această teoremă inversă nu poate fi demonstrată prin metoda matematică obișnuită. Toată speranța este pentru demonstrarea acestei teoreme inverse prin metoda contradicției.
Pentru a o demonstra prin metodă contradictorie, este necesar să se înlocuiască condiția sa matematică cu o condiție logică contradictorie, care în sensul său conține două părți - falsă și adevărată.
Teorema inversă afirmă: din E nu urmează A ... Starea ei E , din care decurge concluzia A , este rezultatul demonstrării teoremei directe prin metoda matematică obișnuită. Această condiție trebuie reținută și completată cu declarația din E ar trebui să A ... Ca urmare a adunării, se obține o condiție contradictorie a noii teoreme inverse: din E ar trebui să A și din E nu urmează A ... Bazat pe acest lucru logic condiție contradictorie, teorema inversă poate fi demonstrată cu ajutorul corectului logic doar raționament și numai, logic prin metoda contradictiei. În dovedirea prin contradicție, orice acțiuni și operații matematice sunt subordonate celor logice și, prin urmare, nu contează.
În prima parte a afirmaţiei contradictorii din E ar trebui să A condiție E a fost demonstrat prin demonstrarea teoremei directe. În partea a doua din E nu urmează A condiție E a fost asumat și acceptat fără dovezi. Unele dintre ele una este falsă, iar cealaltă este adevărată. Este necesar să se demonstreze care dintre ele este falsă.
Demonstrăm prin intermediul corectului logic raționați și găsiți că rezultatul său este o concluzie falsă, absurdă. Motivul concluziei logice false este condiția logică contradictorie a teoremei, care conține două părți - fals și adevărat. Doar o afirmație poate fi o parte falsă din E nu urmează A , in care E a fost acceptat fără dovezi. Acesta este modul în care diferă de E aprobare din E ar trebui să A , care se dovedește prin demonstrarea teoremei directe.
Prin urmare, următoarea afirmație este adevărată: din E ar trebui să A , după cum este necesar pentru a dovedi.
Concluzie: numai teorema inversă se demonstrează printr-o metodă logică prin contradicție, care are o teoremă directă demonstrată printr-o metodă matematică și care nu poate fi demonstrată printr-o metodă matematică.
Concluzia rezultată capătă o importanță excepțională în raport cu metoda demonstrației prin contradicție a teoremei Marelui Fermat. Majoritatea covârșitoare a încercărilor de a-l demonstra nu se bazează pe metoda matematică obișnuită, ci pe metoda logică de a demonstra prin contradicție. Dovada Marii Teoreme Fermat a lui Wiles nu face excepție.
Dmitri Abrarov în articolul său „Teorema lui Fermat: Fenomenul dovezilor lui Wiles” a publicat un comentariu despre demonstrarea Marii Teoreme Fermat de către Wiles. Potrivit lui Abrarov, Wiles demonstrează teorema Marelui Fermat cu ajutorul unei descoperiri remarcabile a matematicianului german Gerhard Frey (n. 1944), care a legat soluția potențială a ecuației lui Fermat x n + y n = z n
, Unde n> 2
, cu o altă, complet diferită de el, ecuație. Această nouă ecuație este dată de o curbă specială (numită curbă eliptică Frey). Curba lui Frey este dată de o ecuație de o formă foarte simplă:
.
„Și anume, Frey s-a potrivit cu fiecare soluție (a, b, c) Ecuația lui Fermat, adică numere care satisfac relația a n + b n = c n deasupra curbei. În acest caz, marea teoremă a lui Fermat ar urma de aici.(Citat din: Abrarov D. „Teorema lui Fermat: Fenomenul dovezilor lui Wiles”)
Cu alte cuvinte, Gerhard Frey a sugerat că ecuația marii teoreme a lui Fermat x n + y n = z n
, Unde n> 2
, are soluții în numere întregi pozitive. Aceste soluții sunt, conform ipotezei lui Frey, soluții ale ecuației sale
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0
, care este dat de curba eiptică.
Andrew Wiles a acceptat această descoperire remarcabilă a lui Frey și, cu ajutorul ei, a acceptat matematic metoda a demonstrat că această constatare, adică curba eliptică Frey, nu există. Prin urmare, nu există o ecuație și soluțiile ei, care sunt date de o curbă eliptică inexistentă.De aceea, Wiles ar fi trebuit să accepte concluzia că ecuația teoremei Marelui Fermat și teorema lui Fermat în sine nu există. Cu toate acestea, a făcut o concluzie mai modestă că ecuația Marelui Teoremă a lui Fermat nu are soluții în numere întregi pozitive.
Poate fi un fapt de nerefuzat faptul că Wiles a acceptat o presupunere care este exact opusă în sensul celor afirmate de Ultima Teoremă a lui Fermat. Îl obligă pe Wiles să demonstreze Ultima Teoremă a lui Fermat prin contradicție. Îi vom urma exemplul și vom vedea ce iese din acest exemplu.
Ultima teoremă a lui Fermat afirmă că ecuația x n + y n = z n , Unde n> 2 , nu are soluții în numere întregi pozitive.
Conform metodei logice a demonstrarii prin contradictie, aceasta afirmatie se pastreaza, luata ca data fara dovezi, si apoi completata cu afirmatia opusa in sens: ecuatia x n + y n = z n , Unde n> 2 , are soluții în numere întregi pozitive.
Pretinsa declarație este și ea acceptată ca dată, fără dovezi. Ambele afirmatii, considerate din punctul de vedere al legilor fundamentale ale logicii, sunt la fel de valabile, egale si la fel de posibile. Prin raționament corect se cere să se stabilească care dintre ele este falsă, pentru a se stabili apoi că cealaltă afirmație este adevărată.
Raționamentul corect se termină cu o concluzie falsă, absurdă, motivul logic pentru care nu se poate dovedi decât condiția contradictorie a teoremei, care conține două părți de sens opus. Ele au fost motivul logic al concluziei absurde, rezultatul probei prin contradicție.
Cu toate acestea, în cursul raționamentului corect din punct de vedere logic, nu a fost găsit niciun semn prin care să fie posibil să se stabilească care afirmație anume este falsă. Ar putea fi afirmația: ecuația x n + y n = z n , Unde n> 2 , are soluții în numere întregi pozitive. Pe aceeași bază, poate fi afirmația: ecuația x n + y n = z n , Unde n> 2 , nu are soluții în numere întregi pozitive.
Ca rezultat al raționamentului, poate exista o singură concluzie: Ultima teoremă a lui Fermat nu poate fi demonstrată prin contradicție.
Ar fi cu totul altceva dacă Ultima Teoremă a lui Fermat ar fi o teoremă inversă care are o teoremă directă dovedită prin metoda matematică obișnuită. În acest caz, s-ar putea dovedi prin contradicție. Și întrucât este o teoremă directă, demonstrarea ei ar trebui să se bazeze nu pe metoda logică de demonstrare prin contradicție, ci pe metoda matematică obișnuită.
Potrivit lui D. Abrarov, cel mai faimos dintre matematicienii ruși moderni, academicianul V. I. Arnold, a reacționat la demonstrația lui Wiles „activ sceptic”. Academicianul a afirmat: „aceasta nu este matematică reală - matematica reală este geometrică și puternică în legătură cu fizica.” (Citat din: Abrarov D. „Teorema lui Fermat: fenomenul demonstrațiilor lui Wiles.” Afirmația academicianului exprimă însăși esența lui Wiles. dovada nematematică a teoremei lui Fermat Mare.
Prin contradicție este imposibil să se demonstreze nici că ecuația teoremei Marelui Fermat nu are soluții, nici că are soluții. Greșeala lui Wiles nu este matematică, ci logică - folosirea dovezii prin contradicție acolo unde utilizarea ei nu are sens și nu demonstrează teorema Marelui Fermat.
Ultima teoremă a lui Fermat nu se dovedește folosind metoda matematică obișnuită, dacă este dată: ecuația x n + y n = z n , Unde n> 2 , nu are soluții în numere întregi pozitive, iar dacă se cere să se demonstreze în ea: ecuația x n + y n = z n , Unde n> 2 , nu are soluții în numere întregi pozitive. În această formă, nu există o teoremă, ci o tautologie lipsită de sens.
Notă. Dovada mea de BTF a fost discutată pe unul dintre forumuri. Unul dintre contribuitorii lui Trotil, un expert în teoria numerelor, a făcut următoarea declarație cu autoritate intitulată: „O scurtă relatare a ceea ce a făcut Mirgorodsky”. O citez textual:
« A. El a dovedit că dacă z 2 = x 2 + y , atunci z n> x n + y n ... Acesta este un fapt binecunoscut și destul de evident.
V. A luat doi tripleți - pitagoreici și non-pitagorici și a arătat prin căutare simplă că pentru o anumită, specifică familie de tripleți (78 și 210 bucăți), BTF-ul este îndeplinit (și numai pentru el).
CU. Și apoi autorul omite faptul că din < într-un grad ulterior poate fi = , nu numai > ... Un contraexemplu simplu - tranziția n = 1 v n = 2 în tripletul pitagoreic.
D. Acest punct nu adaugă nimic semnificativ la dovada BTF. Concluzie: BTF nu a fost dovedit.”
Voi analiza concluzia lui punct cu punct.
A. A dovedit BTF pentru întregul set infinit de triplete de numere pitagoreice. Dovedită prin metoda geometrică, care, după cum cred, nu a fost descoperită de mine, ci redescoperită. Și a fost descoperit, după cum cred, chiar de P. Fermat. Acest lucru ar fi putut avea în minte Fermat când a scris:
„Am descoperit o dovadă cu adevărat minunată în acest sens, dar aceste câmpuri sunt prea înguste pentru el”. Aceasta presupunere a mea se bazează pe faptul că în problema lui Diophantus, față de care, în marginea cărții, a scris Fermat, vorbim despre soluții ale ecuației diofantine, care sunt triple ale numerelor pitagorice.
O mulțime infinită de triple de numere pitagoreice sunt soluții ale ecuației diofatice, iar în teorema lui Fermat, dimpotrivă, niciuna dintre soluții nu poate fi o soluție a ecuației teoremei lui Fermat. Iar dovada cu adevărat miraculoasă a lui Fermat este direct legată de acest fapt. Mai târziu, Fermat și-a putut extinde teorema la mulțimea tuturor numerelor naturale. Pe mulțimea tuturor numerelor naturale, BTF nu aparține „multimii de teoreme excepțional de frumoase”. Aceasta este presupunerea mea, care este imposibil de dovedit sau de infirmat. Poate fi atât acceptat, cât și respins.
V.În acest moment, demonstrez că atât familia unui triplet de numere pitagoreic luat în mod arbitrar, cât și familia unui triplet non-pitagoreean de numere BTF luate în mod arbitrar este satisfăcută. Aceasta este o legătură necesară, dar insuficientă și intermediară în demonstrația mea de BTF. . Exemplele pe care le-am luat despre o familie a unui triplu de numere pitagorice și o familie a unui triplu de numere non-pitagorice au semnificația unor exemple specifice care presupun și nu exclud existența altor exemple similare.
Afirmația lui Trotil că „am arătat printr-o simplă căutare că pentru o familie anume, definită de tripleți (78 și 210 bucăți), BTF-ul este îndeplinit (și numai pentru ea) este nefondată. El nu poate infirma faptul că pot lua la fel de bine și alte exemple de tripleți pitagoreici și non-pitagorici pentru a obține o anumită familie specifică a unuia și a celorlalți tripleți.
Indiferent ce pereche de tripleți iau, potrivirea lor pentru rezolvarea problemei poate fi verificată, în opinia mea, doar prin metoda „simple enumerare”. Orice altă metodă nu îmi este cunoscută și nu este necesară. Dacă lui Trotil nu-i place, atunci ar fi trebuit să sugereze o altă metodă, ceea ce nu-i place. Fără a oferi nimic în schimb, este incorect să condamni „forța brută simplă”, care în acest caz este de neînlocuit.
CU. am omis = între< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), în care gradul n> 2 — întreg număr pozitiv. Din egalitatea dintre inegalităţi rezultă obligatoriu luarea în considerare a ecuației (1) cu grad neîntreg n> 2 ... Trotil numărătoare obligatoriu luarea în considerare a egalității între inegalități consideră de fapt necesarîn proba BTF, luarea în considerare a Ecuaţiei (1) pt incomplet sensul gradului n> 2 ... Am făcut asta pentru mine și am găsit acea ecuație (1) pentru incomplet sensul gradului n> 2 are o soluție de trei numere: z, (z-1), (z-1) cu un exponent non-întreg.
Grigory Perelman. Refusenik
Vasili Maximov
În august 2006, au fost anunțate numele celor mai buni matematicieni ai planetei, care au primit cea mai prestigioasă medalie Fields - un fel de analog al Premiului Nobel, de care matematicienii, la pofta lui Alfred Nobel, au fost lipsiți. Medalia Fields - pe lângă insigna de onoare, laureaților li se acordă un cec de cincisprezece mii de dolari canadieni - este acordată de Congresul Internațional al Matematicienilor la fiecare patru ani. A fost fondată de omul de știință canadian John Charles Fields și a fost premiat pentru prima dată în 1936. Din 1950, medalia Fields a fost acordată în mod regulat personal de regele Spaniei pentru contribuția sa la dezvoltarea științei matematice. Laureații premiului pot fi de la unul la patru oameni de știință cu vârsta sub patruzeci de ani. Patruzeci și patru de matematicieni au primit deja premiul, dintre care opt sunt ruși.
Grigory Perelman. Henri Poincaré.
În 2006, laureații au fost francezul Wendelin Werner, australianul Terence Tao și doi ruși - Andrei Okunkov, care lucrează în SUA, și Grigory Perelman, un om de știință din Sankt Petersburg. Cu toate acestea, în ultimul moment s-a știut că Perelman a refuzat acest prestigios premiu - așa cum au anunțat organizatorii, „din motive de principiu”.
Un astfel de act extravagant al matematicianului rus nu a fost o surpriză pentru oamenii care l-au cunoscut. Nu este prima dată când refuză premiile de matematică, explicându-și decizia prin faptul că nu-i plac evenimentele solemne și hypeul excesiv în jurul numelui său. În urmă cu zece ani, în 1996, Perelman a refuzat premiul de la Congresul European de Matematică, invocând faptul că nu a terminat lucrul la problema științifică nominalizată pentru premiu și nu a fost ultima dată. Matematicianul rus părea să-și fi făcut scopul vieții de a uimi oamenii, mergând împotriva opiniei publice și a comunității științifice.
Grigory Yakovlevich Perelman s-a născut pe 13 iunie 1966 la Leningrad. De mic a fost pasionat de științe exacte, a absolvit cu brio celebra școală secundară a 239-a cu studii aprofundate ale matematicii, a câștigat numeroase olimpiade de matematică: de exemplu, în 1982, ca parte a unei echipe de școlari sovietici, a participat la Olimpiada Internațională de Matematică, desfășurată la Budapesta. Perelman fără examene a fost înscris la Facultatea de Mecanică și Matematică a Universității din Leningrad, unde a studiat excelent, continuând să câștige la concursuri de matematică la toate nivelurile. După ce a absolvit universitatea cu onoruri, a intrat la școala absolventă la filiala din Sankt Petersburg a Institutului de Matematică Steklov. Consilierul său științific a fost celebrul matematician academician Aleksandrov. După ce și-a susținut teza de doctorat, Grigory Perelman a rămas la institut, în laboratorul de geometrie și topologie. Lucrările sale despre teoria spațiilor Aleksandrov sunt cunoscute; el a fost capabil să găsească dovezi pentru o serie de ipoteze importante. În ciuda numeroaselor oferte de la principalele universități occidentale, Perelman preferă să lucreze în Rusia.
Cel mai tare succes al său a fost soluția în 2002 a celebrei ipoteze Poincaré, publicată în 1904 și de atunci a rămas nedovedită. Perelman a lucrat la el timp de opt ani. Ipoteza lui Poincaré a fost considerată unul dintre cele mai mari mistere matematice, iar soluția ei este cea mai importantă realizare în știința matematică: va avansa instantaneu cercetările în problemele fundamentelor fizice și matematice ale universului. Cele mai proeminente minți de pe planetă și-au prezis soluția doar câteva decenii mai târziu, iar Institutul de Matematică Clay din Cambridge, Massachusetts, a inclus problema lui Poincaré printre cele mai interesante șapte probleme matematice nerezolvate ale mileniului, fiecăruia fiind promis un premiu de un milion de dolari. (Probleme cu premiul mileniului)...
O presupunere (uneori numită problemă) a matematicianului francez Henri Poincaré (1854–1912) este formulată după cum urmează: orice spațiu tridimensional închis, pur și simplu, este homeomorf unei sfere tridimensionale. Pentru a clarifica, folosiți un exemplu ilustrativ: dacă înfășurați un măr cu o bandă de cauciuc, atunci, în principiu, trăgând de bandă, puteți strânge mărul până la un punct. Dacă înfășurați un bagel cu aceeași bandă, atunci nu îl puteți strânge până la un punct fără a rupe gogoșia sau cauciucul. În acest context, mărul este numit o figură „unic conectată”, în timp ce gogoașa nu este pur și simplu conectată. În urmă cu aproape un secol, Poincaré a stabilit că sfera bidimensională este pur și simplu conectată și a sugerat că sfera tridimensională este, de asemenea, pur și simplu conectată. Cei mai buni matematicieni ai lumii nu au putut dovedi această ipoteză.
Pentru a se califica pentru premiul Institutului Clay, Perelman a trebuit doar să-și publice soluția într-una dintre revistele științifice, iar dacă în doi ani nimeni nu poate găsi o eroare în calculele sale, atunci soluția va fi considerată corectă. Cu toate acestea, Perelman s-a abătut de la reguli încă de la început, publicând decizia sa pe site-ul de preprint al Laboratorului de Științe Los Alamos. Poate că se temea că o greșeală i s-a strecurat în calculele sale - o poveste similară se întâmplase deja în matematică. În 1994, matematicianul englez Andrew Wiles a propus o soluție la celebra teoremă a lui Fermat, iar câteva luni mai târziu s-a dovedit că în calculele sale s-a strecurat o greșeală (deși mai târziu a fost corectată, iar senzația încă a avut loc). Nu există încă o publicare oficială a dovezii ipotezei lui Poincaré - dar există o opinie autorizată a celor mai buni matematicieni ai planetei, care confirmă corectitudinea calculelor lui Perelman.
Medalia Fields i-a fost acordată lui Grigory Perelman tocmai pentru rezolvarea problemei Poincaré. Dar omul de știință rus a refuzat premiul, pe care, fără îndoială, îl merită. „Gregory mi-a spus că se simte izolat de comunitatea matematică internațională, în afara acestei comunități și, prin urmare, nu vrea să primească un premiu”, - a declarat, la o conferință de presă la Madrid, președintele Uniunii Mondiale a Matematicienilor (WCM), englezul John Ball.
Se zvonește că Grigory Perelman va părăsi știința cu totul: în urmă cu șase luni a părăsit Institutul natal de matematică Steklov și se spune că nu se va mai ocupa de matematică. Poate că omul de știință rus crede că, după ce a dovedit celebra ipoteză, a făcut tot ce a putut pentru știință. Cu toate acestea, cine s-ar angaja să vorbească despre trenul de gândire al unui astfel de om de știință strălucit și al unei persoane extraordinare? .. Perelman refuză orice comentariu, iar lui The Daily Telegraph a spus: „Nimic din ce pot spune nu este de cel mai mic interes public”. Cu toate acestea, publicațiile științifice de top au fost unanime în evaluările lor când au raportat că „Grigory Perelman, după ce a rezolvat teorema lui Poincaré, a stat la egalitate cu cele mai mari genii din trecut și prezent”.
Jurnal jurnalistic literar lunar și editură.
Că Andrew Wiles va primi Premiul Abel în 2016 pentru demonstrarea conjecturii Taniyama-Shimura pentru curbele eliptice semistabile și pentru demonstrarea teoremei lui Fermat care rezultă din această ipoteză. Prima este în prezent de 6 milioane NOK, sau aproximativ 50 de milioane RUB. Potrivit lui Wiles, premiul a fost „o surpriză completă” pentru el.
Teorema lui Fermat, dovedită în urmă cu mai bine de 20 de ani, încă atrage atenția matematicienilor. În parte, acest lucru se datorează formulării sale, care este de înțeles chiar și pentru un școlar: demonstrați că pentru n> 2 natural nu există triple de numere întregi diferite de zero astfel încât a n + b n = c n. Pierre Fermat a scris această expresie în marginile Aritmeticii lui Diophantus, cu minunata semnătură „Am găsit o dovadă cu adevărat minunată a acestui [a acestei afirmații], dar marginile cărții sunt prea înguste pentru el”. Spre deosebire de majoritatea poveștilor de matematică, aceasta este reală.
Prezentarea premiului este o ocazie grozavă de a aminti zece povești distractive legate de teorema lui Fermat.
1.
Înainte ca Andrew Wiles să demonstreze teorema lui Fermat, era mai corect să o numim ipoteză, adică conjectura lui Fermat. Ideea este că o teoremă este, prin definiție, o afirmație deja dovedită. Cu toate acestea, din anumite motive, un astfel de nume a fost lipit de această declarație.
2.
Dacă punem n = 2 în teorema lui Fermat, atunci o astfel de ecuație are infinite de soluții. Aceste soluții se numesc „triplete pitagoreice”. Au primit acest nume deoarece corespund triunghiurilor dreptunghiulare, ale căror laturi sunt exprimate doar prin astfel de seturi de numere. Puteți genera triplete pitagoreice folosind aceste trei formule (m 2 - n 2, 2mn, m 2 + n 2). În aceste formule trebuie înlocuite diferite valori ale lui m și n, iar rezultatul va fi triplele de care avem nevoie. Principalul lucru aici, însă, este să vă asigurați că numerele obținute vor fi mai mari decât zero - lungimile nu pot fi exprimate cu numere negative.
Apropo, este ușor de observat că dacă toate numerele din triplul pitagoreic sunt înmulțite cu ceva diferit de zero, obțineți o nouă triplă pitagoreică. Prin urmare, este rezonabil să studiem triplele în care cele trei numere din agregat nu au un divizor comun. Schema pe care am descris-o ne permite să obținem toate astfel de tripleți - acesta nu mai este un rezultat simplu.
3.
La 1 martie, la întâlnirea din 1847 a Academiei de Științe din Paris, doi matematicieni deodată - Gabriel Lame și Augustin Cauchy - au anunțat că sunt pe punctul de a demonstra o teoremă remarcabilă. Au început o cursă postând dovezi. Majoritatea academicilor îl înrădăcinau pe Lame, deoarece Cauchy era un fanatic religios îngâmfat, intolerant (și, desigur, un matematician absolut genial în combinație). Meciul nu era însă destinat să se încheie - prin prietenul său Joseph Liouville, matematicianul german Ernst Kummer le-a spus academicienilor că dovezile lui Cauchy și Lame au avut aceeași eroare.
La școală, se dovedește că descompunerea unui număr în factori primi este unică. Ambii matematicieni credeau că dacă te uiți la descompunerea numerelor întregi deja în cazul complex, atunci această proprietate - unicitatea - va fi păstrată. Cu toate acestea, nu este.
Este de remarcat faptul că dacă luăm în considerare doar m + i n, atunci descompunerea este unică. Astfel de numere se numesc gaussiene. Dar pentru lucrările lui Lame și Cauchy a fost necesară factorizarea în câmpuri ciclotomice. Acestea sunt, de exemplu, numere în care m și n sunt raționale, iar i satisface proprietatea i ^ k = 1.
4.
Teorema lui Fermat pentru n = 3 are o semnificație geometrică clară. Să ne imaginăm că avem multe cuburi mici. Să presupunem că am adunat două cuburi mari din ele. În acest caz, desigur, laturile vor fi numere întregi. Este posibil să găsim două cuburi atât de mari încât, prin dezasamblarea lor în cuburi mici constitutive, să putem asambla din ele un cub mare? Teorema lui Fermat spune că nu poți face asta niciodată. E amuzant că dacă pui aceeași întrebare pentru trei cuburi, răspunsul este da. De exemplu, există astfel de patru numere, descoperite de minunatul matematician Srinivas Ramanujan:
3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3
5.
În povestea teoremei lui Fermat, a notat Leonard Euler. Nu a reușit cu adevărat să demonstreze afirmația (sau chiar să se apropie de demonstrație), dar a formulat o ipoteză conform căreia ecuația
x 4 + y 4 + z 4 = u 4
nu are o soluție întreagă. Toate încercările de a găsi o soluție la o astfel de ecuație direct au fost eșuate. Abia în 1988, Naum Elkies de la Harvard a găsit un contraexemplu. Arata cam asa:
2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4 .
De obicei, această formulă este amintită în contextul unui experiment numeric. De regulă, în matematică arată astfel: există o formulă. Matematicianul verifică această formulă în cazuri simple, verifică adevărul și formulează unele ipoteze. Apoi el (deși mai des unii dintre studenții sau studenții săi absolvenți) scrie un program pentru a verifica dacă formula este corectă pentru numere suficient de mari care nu pot fi numărate cu mâinile sale (vorbim despre un astfel de experiment cu numere prime). Aceasta nu este o dovadă, desigur, ci un motiv excelent pentru a formula o ipoteză. Toate aceste construcții se bazează pe presupunerea rezonabilă că, dacă există un contraexemplu pentru o formulă rezonabilă, atunci îl vom găsi destul de repede.
Ipoteza lui Euler ne amintește că viața este mult mai variată decât fanteziile noastre: primul contraexemplu poate fi arbitrar de mare.
6.
De fapt, desigur, Andrew Wiles nu încerca să demonstreze teorema lui Fermat - el rezolva o problemă mai dificilă numită conjectura Taniyama-Shimura. Există două clase remarcabile de obiecte în matematică. Prima se numește forme modulare și este în esență o funcție a spațiului Lobachevsky. Aceste funcții nu se schimbă odată cu mișcările acestui plan. A doua se numește „curbe eliptice” și sunt curbe definite de o ecuație de gradul trei pe planul complex. Ambele obiecte sunt foarte populare în teoria numerelor.
În anii 50 ai secolului trecut, doi matematicieni talentați, Yutaka Taniyama și Goro Shimura, s-au întâlnit în biblioteca Universității din Tokyo. La acea vreme, la universitate nu exista matematică specială: pur și simplu nu avea timp să-și revină după război. Drept urmare, oamenii de știință au studiat folosind manuale vechi și au analizat la seminarii probleme care erau considerate rezolvate în Europa și Statele Unite și nu erau deosebit de relevante. Taniyama și Shimura au descoperit că există o anumită corespondență între formele modulare și funcțiile eliptice.
Ei și-au testat ipoteza pe câteva clase simple de curbe. S-a dovedit a fi de lucru. Așa că au presupus că această legătură este întotdeauna acolo. Așa a apărut ipoteza Taniyama-Shimura, iar trei ani mai târziu Taniyama s-a sinucis. În 1984, matematicianul german Gerhard Frey a arătat că, dacă teorema lui Fermat este greșită, atunci conjectura Taniyama-Shimura este, prin urmare, greșită. De aici rezultă că cel care a demonstrat această presupunere va demonstra și teorema. Este exact ceea ce a făcut Wiles - dar nu într-un mod foarte general.
7.
Wiles a petrecut opt ani demonstrând ipoteza. Și în timpul verificării, recenzenții au găsit în ea o greșeală, care a „ucis” majoritatea dovezilor, anulând toți anii de muncă. Unul dintre recenzori, numit Richard Taylor, s-a angajat să repare această gaură cu Wiles. În timp ce lucrau, a apărut un mesaj că Elkies, cel care a găsit un contraexemplu la conjectura lui Euler, a găsit un contraexemplu la teorema lui Fermat (mai târziu s-a dovedit că era o glumă a lui April Fool). Wiles a devenit deprimat și nu a vrut să continue - gaura din dovezi nu se închidea în niciun fel. Taylor l-a convins pe Wiles să lupte încă o lună.
S-a întâmplat un miracol și, până la sfârșitul verii, matematicienii au reușit să facă o descoperire - așa se face lucrările „Curbe eliptice modulare și marea teoremă Fermat” de Andrew Wiles (pdf) și „Proprietăți teoretice ale inelului unor algebre Hecke”. „ de Richard Taylor și Andrew Wiles s-au născut. Aceasta a fost deja dovada corectă. A fost publicată în 1995.
8.
Matematicianul Paul Wolfskel a murit la Darmstadt în 1908. După el însuși, a lăsat un testament, în care a dat comunității matematice 99 de ani pentru a găsi o dovadă a marii teoreme a lui Fermat. Autorul probei ar fi trebuit să primească 100 de mii de mărci (autorul contraexemplului, de altfel, nu ar fi primit nimic). Potrivit legendei populare, dragostea l-a determinat pe Wolfskehl să facă un astfel de cadou matematicienilor. Așa descrie Simon Singh legenda în cartea sa Ultima teoremă a lui Fermat:
Povestea începe cu pasiunea lui Wolfskel de o femeie frumoasă, a cărei identitate nu a fost niciodată stabilită. Spre regretul lui Wolfskel, misterioasa femeie l-a respins. A căzut într-o disperare atât de profundă încât a decis să se sinucidă. Wolfskel era un om pasionat, dar nu impulsiv și, prin urmare, a început să-și pună la punct moartea în fiecare detaliu. El a stabilit o dată pentru sinucidere și a decis să se împuște în cap cu primul sunet al ceasului exact la miezul nopții. Pentru zilele rămase, Wolfskeel a decis să-și pună ordine în treburile, care mergeau foarte bine, iar în ultima zi a făcut testament și a scris scrisori prietenilor apropiați și rudelor.
Wolfskel a muncit atât de mult încât și-a terminat toate treburile înainte de miezul nopții și, pentru a umple cumva orele rămase, a mers la bibliotecă, unde a început să se uite prin jurnale de matematică. Curând a dat peste un articol clasic al lui Kummer, în care explica de ce Cauchy și Lame au eșuat. Lucrarea lui Kummer a fost una dintre cele mai importante publicații matematice ale epocii sale și a fost cea mai bună citire pentru un matematician care plănuia să se sinucidă. Wolfskel a urmat cu atenție, rând cu rând, calculele lui Kummer. Deodată lui Wolfskel i s-a părut că a descoperit un gol: autorul a făcut o anumită presupunere și nu a fundamentat acest pas în raționamentul său. Wolfskel se întrebă dacă găsise într-adevăr un decalaj serios sau dacă presupunerea lui Kummer era validă. Dacă s-a găsit un decalaj, atunci exista șansa ca Ultima Teoremă a lui Fermat să fie demonstrată mult mai ușor decât credeau mulți.
Wolfskel s-a așezat la masă, a analizat cu atenție partea „defectuoasă” a raționamentului lui Kummer și a început să schițeze o mini-dovadă care ar trebui fie să susțină munca lui Kummer, fie să demonstreze eroarea presupunerii sale și, ca urmare, să respingă toate argumentele sale. . Până în zori, Wolfskel își terminase calculele. Vestea proastă (din punct de vedere matematic) era că dovezile lui Kummer fuseseră vindecate, iar Ultima Teoremă a lui Fermat era încă inaccesibilă. Dar erau vești bune: timpul stabilit pentru sinucidere s-a încheiat, iar Wolfskehl era atât de mândru încât reușise să găsească și să umple un gol în opera marelui Ernest Kummer, încât disperarea și tristețea lui s-au risipit de la sine. Matematica i-a reînviat setea de viață.
Cu toate acestea, există și o versiune alternativă. Potrivit acesteia, Wolfskel s-a apucat de matematică (și, de fapt, de teorema lui Fermat) din cauza sclerozei multiplă progresive, care l-a împiedicat să facă ceea ce iubea - să fie medic. Și a lăsat banii matematicienilor pentru a nu-și părăsi soția, pe care pur și simplu a urat-o până la sfârșitul vieții.
9.
Încercările de a demonstra teorema lui Fermat cu metode elementare au dus la apariția unei întregi clase de oameni ciudați numiți „Fermatiști”. Ei au fost angajați în producerea unei cantități uriașe de dovezi și nu au disperat deloc când au găsit o eroare în aceste dovezi.
La Facultatea de Mecanică și Matematică a Universității de Stat din Moscova a existat un personaj legendar pe nume Dobrețov. A strâns certificate de la diverse catedre și, folosindu-le, a pătruns în secția de Mecanică și Matematică. Acest lucru a fost făcut doar pentru a găsi o victimă. Cumva a dat peste un tânăr absolvent (viitorul academician Novikov). El, în naivitatea lui, a început să studieze cu atenție teancul de hârtii pe care Dobrețov i-a strecurat cu cuvintele, spun ei, iată dovada. După un alt „aici e o greșeală...” Dobrețov luă grămada și o îndesă în servietă. Din cea de-a doua servietă (da, a umblat prin secția de mecanică și matematică cu două serviete), a scos un al doilea teanc, a oftat și a spus: „Păi atunci, să vedem varianta 7 B”.
Apropo, majoritatea acestor dovezi încep cu expresia „Să transferăm unul dintre termeni în partea dreaptă a egalității și să-l factorizez”.
10.
Povestea despre teoremă nu va fi completă fără minunatul film „Matematicianul și Diavolul”.
Amendament
Secțiunea 7 a acestui articol a declarat inițial că Naum Elkies a găsit un contraexemplu la teorema lui Fermat, care mai târziu s-a dovedit a fi greșit. Acest lucru nu este adevărat: raportul contraexemplu a fost o glumă a lui Aprilie. Ne cerem scuze pentru inexactitate.
Andrei Konyaev
