Tongue Twisters

Logaritminių išraiškų pavyzdžiai. Pagrindinės logaritmų savybės. Logaritmų formulės. Logaritmų sprendimų pavyzdžiai

Užduotis B7 pateikia išraišką, kurią reikia supaprastinti. Rezultatas turi būti įprastas skaičius, kurį galima įrašyti atsakymų lape. Visos išraiškos sąlyginai suskirstytos į tris tipus:

logaritminis,
Demonstracija,
Kombinuotas.

Eksponentinės ir logaritminės išraiškos gryna forma beveik nerandamos. Tačiau svarbu žinoti, kaip jie apskaičiuojami.

Apskritai, problema B7 išspręsta gana paprastai ir yra gana prieinama vidutiniam absolventui. Aiškių algoritmų trūkumą kompensuoja jo standartas ir vienodumas. Jūs galite išmokti išspręsti tokias problemas tiesiog per daug mokymų.

Logaritminės išraiškos

Didžioji dauguma B7 uždavinių turi viena ar kita forma logaritmus. Ši tema tradiciškai laikoma sudėtinga, nes ji paprastai nagrinėjama 11 klasėje - masinio pasiruošimo baigiamiesiems egzaminams eroje. Todėl daugelis absolventų turi labai miglotą supratimą apie logaritmus.

Tačiau šioje užduotyje niekam nereikia gilių teorinių žinių. Sutiksime tik paprasčiausius posakius, kurie reikalauja tiesmukai samprotavimo ir gali būti įvaldomi savarankiškai. Žemiau pateikiamos pagrindinės formulės, kurias turite žinoti, kad galėtumėte dirbti su logaritmais:

Be to, reikia mokėti šaknis ir trupmenas pakeisti laipsniais su racionaliuoju rodikliu, kitaip kai kuriose išraiškose tiesiog nebus ką ištraukti iš po logaritmo ženklo. Pakeitimo formulės:

Užduotis. Rasti išraiškos reikšmes:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

Pirmosios dvi išraiškos konvertuojamos kaip logaritmų skirtumas:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.

Norėdami apskaičiuoti trečiąją išraišką, turėsite pasirinkti laipsnius - tiek bazėje, tiek argumente. Pirmiausia suraskime vidinį logaritmą:

Tada - išorinis:

Tokios konstrukcijos kaip rąstas b x daugeliui atrodo sudėtingos ir nesuprantamos. Tuo tarpu tai tik logaritmo logaritmas, t.y. log a (log b x ). Pirmiausia apskaičiuojamas vidinis logaritmas (įdėkite log b x = c ), o tada išorinis: log a c .

eksponentinės išraiškos

Eksponentine išraiška vadinsime bet kokią formos a k konstrukciją, kur skaičiai a ir k yra savavališkos konstantos, o a > 0. Darbo su tokiomis išraiškomis metodai yra gana paprasti ir nagrinėjami 8 klasės algebros pamokose.

Žemiau pateikiamos pagrindinės formulės, kurias turite žinoti. Šių formulių taikymas praktikoje, kaip taisyklė, nesukelia problemų.

a n a m = a n + m;
a n / a m = a n − m ;
(a n ) m = a n m ;
(a b) n = a n b n ;
(a : b ) n = a n : b n .

Jei susiduriama su sudėtinga išraiška su galiomis ir neaišku, kaip prie jos priartėti, naudojama universali technika - skaidymas į pirminius veiksnius. Dėl to dideli skaičiai laipsnių bazėse pakeičiami paprastais ir suprantamais elementais. Tada belieka taikyti aukščiau pateiktas formules - ir problema bus išspręsta.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmes: 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .

Sprendimas. Visas galių bazes išskaidome į pirminius veiksnius:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Kombinuotos užduotys

Jei žinote formules, visos eksponentinės ir logaritminės išraiškos išsprendžiamos pažodžiui vienoje eilutėje. Tačiau B7 uždavinyje laipsnius ir logaritmus galima derinti, kad susidarytų gana stiprios kombinacijos.

Skyriai: Matematika

Pamokos tipas:žinių apibendrinimo ir sisteminimo pamoka

Tikslai:

atnaujinti studentų žinias apie logaritmus ir jų savybes, atliekant apibendrinantį kartojimą ir ruošiantis egzaminui;
skatinti mokinių protinės veiklos ugdymą, teorines žinias pritaikyti atliekant pratimus įgūdžius;
skatinti mokinių asmeninių savybių, savikontrolės ir savo veiklos įsivertinimo įgūdžių ugdymą; ugdyti darbštumą, kantrybę, atkaklumą, savarankiškumą.

Įranga: kompiuteris, projektorius, pristatymas (1 priedas), kortelės su namų darbais (galite pridėti failą su užduotimi elektroniniame dienyne).

Per užsiėmimus

I. Organizacinis momentas. Sveiki, pasiruoškite pamokai.

II. Namų darbų aptarimas.

III. Pranešimas apie pamokos temą ir tikslą. Motyvacija.(1 skaidrė) Pristatymas.

Tęsiame apibendrinantį matematikos kurso kartojimą ruošiantis egzaminui. O šiandien pamokoje kalbėsime apie logaritmus ir jų savybes.

Tiek pagrindinio, tiek profilio lygio valdymo ir matavimo medžiagoje būtinai yra logaritmų skaičiavimo ir logaritminių išraiškų transformavimo užduotys. Todėl mūsų pamokos tikslas – atkurti mintis apie sąvokos „logaritmas“ reikšmę ir atnaujinti logaritminių išraiškų konvertavimo įgūdžius. Užsirašykite pamokos temą į sąsiuvinius.

IV. Žinių atnaujinimas.

1. /Žodžiu/ Pirmiausia prisiminkime tai, kas vadinama logaritmu. (2 skaidrė)

(Teigiamo skaičiaus b logaritmas iki pagrindo a (kur a > 0, a? 1) yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti skaičių a, kad gautumėte skaičių b)

Log a b = n<->a n \u003d b, (a> 0, a 1, b> 0)

Taigi, "LOGARIFM" yra "EXPONENT"!

(3 skaidrė) Tada a n = b gali būti perrašytas kaip = b yra pagrindinė logaritminė tapatybė.

Jei bazė a \u003d 10, tada logaritmas vadinamas dešimtainiu ir žymimas lgb.

Jei a \u003d e, tada logaritmas vadinamas natūraliuoju ir žymimas lnb.

2. /Parašyta/ (4 skaidrė) Užpildykite spragas, kad gautumėte teisingas lygybes:

žurnalas? x + Prisijungti a ? = Žurnalas? (?y)

prisijungti a ? - Rąstą? y = žurnalas? (x/?)

Prisijungti x? = pLog ? (?)

Egzaminas:

vienas; vienas; a, y, x; x,a,a,y; p,a,x.

Tai yra logaritmų savybės. Ir dar viena savybių grupė: (5 skaidrė)

Egzaminas:

a,1,n,x; n,x,p,a; x,b,a,y; a, x, b; a, 1, b.

V. Žodinis darbas

(6 skaidrė) Nr. 1. Apskaičiuoti:

a B C D) ; e) .

Atsakymai : a) 4; b) - 2; 2; d) 7; e) 27.

(7 skaidrė) Nr. 2. Rasti X:

bet); b) (Atsakymai: a) 1/4; b) 9).

Nr. 3. Ar prasminga svarstyti tokį logaritmą:

bet); b) ; in) ? (Ne)

VI. Savarankiškas darbas grupėse stiprūs mokiniai – konsultantai. (8 skaidrė)

#1 Apskaičiuokite: .

#2 Supaprastinti:

Nr. 3. Raskite reiškinio if reikšmę

#4 Supaprastinkite posakį:

#5 Apskaičiuokite:

#6 Apskaičiuokite:

#7 Apskaičiuokite:

#8 Apskaičiuokite:

Atlikus – paruošto sprendimo patikrinimas ir aptarimas arba dokumentų kameros pagalba.

VII. Padidinto sudėtingumo užduoties sprendimas(stiprus mokinys yra lentoje, likusieji – sąsiuviniuose) (9 skaidrė)

Raskite išraiškos reikšmę:

VIII. Namų darbai(kortelėse) diferencijuotas.(10 skaidrė)

Nr. 1. Apskaičiuoti:

Nr. 2. Raskite išraiškos reikšmę:

F.F.Lysenko ir kt.Matematika. Teminiai testai 10 - 11 kl. 1 dalis / Rostovas prie Dono: „Legionas“, 2008 m

VV Kochagin Intensyvi treniruotė. NAUDOKITE matematiką. / M: „Eksmo“, 2008 m

INTERNETO IŠTEKLIAI:

L.V. Artamonova, matematikos mokytoja, Moskalenskio licėjus, pristatymas „Logaritmų šalyje“
A.A. Kukševa, SM „Egorievskaya vidurinė mokykla“ Pranešimas „Logaritmai ir jų savybės“

Logaritmus, kaip ir bet kurį skaičių, galima sudėti, atimti ir konvertuoti visais įmanomais būdais. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

Šias taisykles reikia žinoti – be jų negalima išspręsti jokios rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – visko galima išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų sudėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su ta pačia baze: log a x ir žurnalas a y. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

žurnalas a x+logas a y= žurnalas a (x · y);
žurnalas a x−log a y= žurnalas a (x : y).

Taigi, logaritmų suma yra lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas yra koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra tuo pačiu pagrindu. Jei pagrindai skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką " Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatysite:

rąstas 6 4 + rąstas 6 9.

Kadangi logaritmų pagrindai yra vienodi, naudojame sumos formulę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 2 48 − log 2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log 2 48 – log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 3 135 − log 3 5.

Vėlgi, bazės yra tos pačios, todėl turime:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kaip matote, originalios išraiškos sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra nagrinėjami atskirai. Tačiau po transformacijų pasirodo visai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, kontrolė – egzamine siūlomi panašūs išsireiškimai visiškai rimtai (kartais – praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio pašalinimas iš logaritmo

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo bazėje arba argumente yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė atitinka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti – kai kuriais atvejais tai gerokai sumažins skaičiavimų kiekį.

Žinoma, visos šios taisyklės yra prasmingos, jei laikomasi ODZ logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai, t.y. prieš logaritmo ženklą esančius skaičius galite įvesti į patį logaritmą. Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 7 49 6 .

Atsikratykime argumento laipsnio pagal pirmąją formulę:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:
[Paveikslo antraštė]

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklis yra logaritmas, kurio bazė ir argumentas yra tikslieji laipsniai: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Mes turime:

[Paveikslo antraštė]

Manau, kad paskutinį pavyzdį reikia paaiškinti. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Jie pateikė ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą laipsnių pavidalu ir išėmė rodiklius - gavo „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklis ir vardiklis turi tą patį skaičių: log 2 7. Kadangi log 2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas yra atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. Ką daryti, jei pagrindai skiriasi? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo į naują bazę formulės. Suformuluojame juos teoremos forma:

Tegul logaritmas registruojasi a x. Tada už bet kokį skaičių c toks kad c> 0 ir c≠ 1, lygybė yra teisinga:
[Paveikslo antraštė]
Visų pirma, jei įdėtume c = x, mes gauname:
[Paveikslo antraštė]

Iš antrosios formulės išplaukia, kad galima sukeisti logaritmo bazę ir argumentą, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. logaritmas yra vardiklyje.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kaip jie patogūs, galima tik apsisprendus logaritmines lygtis ir nelygybės.

Tačiau yra užduočių, kurių niekaip nepavyks išspręsti, nebent pereinant prie naujo pagrindo. Panagrinėkime keletą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 5 16 log 2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentai yra tikslūs eksponentai. Išimkime rodiklius: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Dabar apverskime antrąjį logaritmą:

[Paveikslo antraštė]

Kadangi sandauga nesikeičia nuo faktorių permutacijos, ramiai padauginome keturis ir du, o tada išsiaiškinome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime ir atsikratykime rodiklių:

[Paveikslo antraštė]

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

[Paveikslo antraštė]

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendžiant skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikrai bazei. Šiuo atveju formulės mums padės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa argumento eksponentu. Skaičius n gali būti visiškai bet kas, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Tai vadinama pagrindine logaritmine tapatybe.

Iš tiesų, kas atsitiks, jei skaičius b pakelti į valdžią, kad bšiuo mastu suteikia skaičių a? Teisingai: tai tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą - daugelis žmonių ant jos „kabo“.

Kaip ir naujosios bazinės konvertavimo formulės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:
[Paveikslo antraštė]

Atkreipkite dėmesį, kad log 25 64 = log 5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš pagrindo ir logaritmo argumento. Atsižvelgiant į galių dauginimo iš tos pačios bazės taisykles, gauname:

[Paveikslo antraštė]

Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš egzamino :)

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias sunku pavadinti savybėmis – tai greičiau logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat susiduria su problemomis ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

žurnalas a a= 1 yra logaritminis vienetas. Prisiminkite kartą ir visiems laikams: logaritmą bet kokiam pagrindui a iš šios bazės pati lygi vienetui.
žurnalas a 1 = 0 yra logaritminis nulis. Bazė a gali būti bet kas, bet jei argumentas yra vienas, logaritmas lygus nuliui! nes a 0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

Priimtinas logaritmo diapazonas (ODZ).

Dabar pakalbėkime apie apribojimus (ODZ - leistinų kintamųjų reikšmių sritis).

Mes prisimename, kad, pavyzdžiui, kvadratinė šaknis negali būti paimta iš neigiamų skaičių; arba jei turime trupmeną, tai vardiklis negali būti lygus nuliui. Yra panašūs logaritmų apribojimai:

Tai yra, tiek argumentas, tiek bazė turi būti didesni už nulį, o bazė negali būti lygi.

Kodėl taip?

Pradėkime nuo paprasto: sakykime taip. Tada, pavyzdžiui, skaičius neegzistuoja, nes nesvarbu, kokį laipsnį keltume, jis visada pasirodo. Be to, jis neegzistuoja niekam. Bet kartu jis gali būti lygus bet kam (dėl tos pačios priežasties – lygus bet kokiam laipsniui). Todėl objektas nedomina, o jis buvo tiesiog išmestas iš matematikos.

Šiuo atveju turime panašią problemą: bet kokiu teigiamu laipsniu - tai, bet jo iš viso negalima pakelti į neigiamą laipsnį, nes padalijimas iš nulio duos (primenu).

Kai susiduriame su pakėlimo iki trupmeninės galios problema (kuri vaizduojama kaip šaknis:. Pavyzdžiui, (tai yra), bet neegzistuoja.

Todėl neigiamas priežastis lengviau išmesti, nei su jomis susipainioti.

Na, o kadangi bazė a mums yra tik teigiama, tai kad ir kokiu laipsniu ją pakeltume, visada gausime griežtai teigiamą skaičių. Taigi argumentas turi būti teigiamas. Pavyzdžiui, jo nėra, nes jis jokiu būdu nebus neigiamas skaičius (ir net nulis, todėl jo taip pat nėra).

Jei kyla problemų su logaritmais, pirmiausia reikia užsirašyti ODZ. Pateiksiu pavyzdį:

Išspręskime lygtį.

Prisiminkite apibrėžimą: logaritmas yra galia, iki kurios reikia pakelti bazę, kad būtų gautas argumentas. Ir pagal sąlygą šis laipsnis yra lygus: .

Gauname įprastą kvadratinę lygtį: . Ją išsprendžiame naudodami Vietos teoremą: šaknų suma lygi, o sandauga. Lengva pasiimti, tai yra skaičiai ir.

Bet jei iškart imsite ir atsakyme užsirašykite abu šiuos skaičius, už užduotį galite gauti 0 balų. Kodėl? Pagalvokime, kas atsitiks, jei šias šaknis pakeisime į pradinę lygtį?

Tai aiškiai klaidinga, nes bazė negali būti neigiama, tai yra, šaknis yra „trečioji šalis“.

Norėdami išvengti tokių nemalonių triukų, turite užsirašyti ODZ dar prieš pradedant spręsti lygtį:

Tada, gavę šaknis ir, iš karto išmetame šaknį ir parašome teisingą atsakymą.

1 pavyzdys(pabandykite tai išspręsti patys) :

Raskite lygties šaknį. Jei yra kelios šaknys, atsakyme nurodykite mažesnę.

Sprendimas:

Pirmiausia parašykime ODZ:

Dabar prisimename, kas yra logaritmas: iki kokios galios reikia pakelti bazę, kad gautum argumentą? Antrajame. T.y:

Atrodytų, kad mažesnė šaknis yra lygi. Bet taip nėra: pagal ODZ šaknis yra trečioji šalis, tai yra, tai visai nėra šios lygties šaknis. Taigi lygtis turi tik vieną šaknį: .

Atsakymas: .

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Prisiminkite logaritmo apibrėžimą bendrais terminais:

Pakeiskite antrąją lygybę vietoj logaritmo:

Ši lygybė vadinama pagrindinė logaritminė tapatybė. Nors iš esmės ši lygybė tiesiog parašyta kitaip logaritmo apibrėžimas:

Tai galia, kurią reikia pakelti, kad gautum.

Pavyzdžiui:

Išspręskite šiuos pavyzdžius:

2 pavyzdys

Raskite išraiškos reikšmę.

Sprendimas:

Prisiminkite taisyklę iš skyriaus:, tai yra, didinant laipsnį iki galios, rodikliai padauginami. Taikome:

3 pavyzdys

Įrodyk tai.

Sprendimas:

Logaritmų savybės

Deja, užduotys ne visada tokios paprastos – dažnai pirmiausia reikia supaprastinti išraišką, suvesti į įprastą formą ir tik tada bus galima skaičiuoti reikšmę. Lengviausia tai padaryti žinant logaritmų savybės. Taigi išmokime pagrindines logaritmų savybes. Įrodysiu kiekvieną iš jų, nes bet kurią taisyklę lengviau įsiminti, jei žinai, iš kur ji kilusi.

Visas šias savybes reikia atsiminti, be jų neįmanoma išspręsti daugumos logaritmų problemų.

O dabar apie visas logaritmų savybes plačiau.

1 nuosavybė:

Įrodymas:

Leisk tada.

Turime: , h.t.d.

2 savybė: logaritmų suma

Logaritmų su ta pačia baze suma yra lygi sandaugos logaritmui: .

Įrodymas:

Leisk tada. Leisk tada.

Pavyzdys: Raskite išraiškos reikšmę: .

Sprendimas:.

Ką tik išmokta formulė padeda supaprastinti logaritmų sumą, o ne skirtumą, todėl šių logaritmų negalima iš karto sujungti. Bet jūs galite padaryti priešingai – „sulaužyti“ pirmąjį logaritmą į dvi dalis: Ir štai žadėtas supaprastinimas:
.
Kam to reikia? Na, pavyzdžiui: ką tai svarbu?

Dabar tai aišku.

Dabar palengvink sau:

Užduotys:

Atsakymai:

3 savybė: logaritmų skirtumas:

Įrodymas:

Viskas lygiai taip pat, kaip 2 dalyje:

Leisk tada.

Leisk tada. Mes turime:

Pavyzdys iš paskutinio punkto dabar dar paprastesnis:

Sudėtingesnis pavyzdys: . Atspėk, kaip nuspręsti?

Čia reikia pažymėti, kad mes neturime vienos formulės apie logaritmus kvadratu. Tai kažkas panašaus į posakį – to negalima iš karto supaprastinti.

Todėl nukrypkime nuo logaritmų formulių ir pagalvokime, kokias formules dažniausiai naudojame matematikoje? Jau nuo 7 klasės!

Tai -. Jūs turite priprasti prie to, kad jie yra visur! Ir eksponentinėse, ir trigonometrinėse, ir neracionaliose problemose jie randami. Todėl juos reikia atsiminti.

Jei atidžiai pažvelgsite į pirmąsias dvi sąlygas, paaiškės, kad tai kvadratų skirtumas:

Atsakymas patikrinti:

Supaprastink save.

Pavyzdžiai

Atsakymai.