Kaip rasti atkarpos ilgį, jei žinomos koordinatės. Atkarpos vidurio koordinačių radimas, pavyzdžiai, sprendiniai. Koordinačių metodas erdvėje

Šiame straipsnyje kalbėsime apie atkarpos vidurio koordinačių radimą iš jo galų koordinačių. Pirmiausia pateiksime reikiamas sąvokas, tada gausime atkarpos vidurio koordinačių nustatymo formules ir pabaigai apsvarstysime tipinių pavyzdžių ir problemų sprendimus.

Puslapio naršymas.

Segmento vidurio samprata.

Norint pristatyti atkarpos vidurio taško sąvoką, reikia atkarpos ir jos ilgio apibrėžimų.

Atkarpos samprata matematikos pamokose penktoje gimnazijos klasėje pateikiama taip: jei paimsime du savavališkus nesutampančius taškus A ir B, pritvirtiname prie jų liniuotę ir nubrėžiame liniją nuo A iki B (arba nuo B). į A), tada gauname AB segmentas(arba segmentas B A). Taškai A ir B vadinami segmento galai. Turėtume nepamiršti, kad segmentas AB ir segmentas BA yra tas pats segmentas.

Jei atkarpa AB be galo pratęsiama į abi puses iš galų, tai gauname tiesė AB(arba tiesioginis VA). Atkarpa AB yra tiesės AB dalis tarp taškų A ir B. Taigi atkarpa AB yra taškų A, B ir visų tiesės AB, esančios tarp taškų A ir B, taškų aibės sąjunga. Jei paimsime savavališką tiesės AB tašką M, esantį tarp taškų A ir B, tada jie sako, kad taškas M melas segmente AB.

Segmento ilgis AB yra atstumas tarp taškų A ir B tam tikroje skalėje (vieneto ilgio atkarpa). Atkarpos AB ilgis bus pažymėtas kaip .

Apibrėžimas.

Taškas C vadinamas segmento vidurys AB, jei ji guli ant atkarpos AB ir yra tokiu pat atstumu nuo jos galų.

Tai yra, jei taškas C yra atkarpos AB vidurio taškas, tada jis yra ant jo ir.

Be to, mūsų užduotis bus rasti atkarpos AB vidurio koordinates, jei taškų A ir B koordinatės pateiktos koordinačių tiesėje arba stačiakampėje koordinačių sistemoje.

Atkarpos vidurio taško koordinačių tiesėje koordinatė.

Pateikiame koordinačių tiesę Ox ir du nesutampančius taškus A ir B, kurie atitinka realius skaičius ir . Tegul taškas C yra atkarpos AB vidurio taškas. Raskime taško C koordinates.

Kadangi taškas C yra atkarpos AB vidurio taškas, tai lygybė yra teisinga. Skyriuje apie atstumą nuo taško iki taško koordinačių tiesėje parodėme, kad atstumas tarp taškų yra lygus jų koordinačių skirtumo moduliui, todėl . Tada arba . Iš lygybės raskite atkarpos AB vidurio taško koordinačių tiesėje: - jis lygus pusei atkarpos galų koordinačių sumos. Iš antrosios lygybės gauname , o tai neįmanoma, nes paėmėme nesutampančius taškus A ir B.

Taigi, atkarpos AB su galais vidurio taško koordinatės radimo formulė ir turi formą .

Atkarpos vidurio taško koordinatės.

Įveskime stačiakampę Dekarto koordinačių sistemą Оxyz plokštumoje. Duokime du taškus ir žinome, kad taškas C yra atkarpos AB vidurio taškas. Raskime koordinates ir taškus C.

Pagal konstrukciją tiesiai lygiagrečios ir lygiagrečios linijos , todėl iki Talio teorema iš segmentų lygybės AC ir CB seka segmentų lygybė ir , taip pat segmentų ir . Todėl taškas yra atkarpos vidurio taškas ir atkarpos vidurio taškas. Tada, remiantis ankstesne šio straipsnio pastraipa Ir .

Naudojant šias formules, galima apskaičiuoti ir atkarpos AB vidurio koordinates tais atvejais, kai taškai A ir B yra vienoje iš koordinačių ašių arba tiesėje, statmenoje vienai iš koordinačių ašių. Palikime šiuos atvejus be komentarų ir pateiksime grafines iliustracijas.

Šiuo būdu, atkarpos AB vidurio taškas plokštumoje su galais taškuose ir turi koordinates .

Atkarpos vidurio koordinatės erdvėje.

Į trimatę erdvę ir du taškus įvesime stačiakampę koordinačių sistemą Oxyz Ir . Gauname formules, kaip rasti taško C, kuris yra atkarpos AB vidurio taškas, koordinates.

Panagrinėkime bendrą atvejį.

Tegul ir yra taškų A, B ir C projekcijos atitinkamai į koordinačių ašis Ox, Oy ir Oz.

Taigi pagal Thaleso teoremą taškai yra atkarpų vidurio taškai atitinkamai. Tada (žr. pirmąją šio straipsnio pastraipą). Taigi gavome atkarpos vidurio koordinačių skaičiavimo formulės iš jos galų koordinačių erdvėje.

Šios formulės taip pat gali būti taikomos tais atvejais, kai taškai A ir B yra vienoje iš koordinačių ašių arba tiesėje, statmenoje vienai iš koordinačių ašių, taip pat jei taškai A ir B yra vienoje iš koordinačių plokštumų arba plokštuma lygiagreti vienai iš koordinačių ašių.plokštumos.

Atkarpos vidurio koordinatės per jo galų spindulio vektorių koordinates.

Atkarpos vidurio koordinačių nustatymo formules nesunku gauti remiantis vektorių algebra.

Tegul stačiakampė Dekarto koordinačių sistema Oxy yra plokštumoje, o taškas C yra atkarpos AB vidurio taškas su ir .

Pagal geometrinį vektorių operacijų apibrėžimą, lygybė (taškas C yra lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, įstrižainių susikirtimo taškas, o t. y. taškas C yra lygiagretainio įstrižainės vidurio taškas). Straipsnyje vektoriaus koordinatės stačiakampėje koordinačių sistemoje išsiaiškinome, kad taško spindulio vektoriaus koordinatės yra lygios šio taško koordinatėms, todėl . Tada, atlikę atitinkamas operacijas su vektoriais koordinatėse , turime . Kaip galime daryti išvadą, kad taškas C turi koordinates .

Visiškai panašiai atkarpos AB vidurio koordinates galima rasti per jos galų koordinates erdvėje. Šiuo atveju, jei C yra segmento AB vidurio taškas ir , tada mes turime .

Atkarpos vidurio koordinačių radimas, pavyzdžiai, sprendiniai.

Daugelyje problemų turite naudoti formules, kad surastumėte atkarpos vidurio taško koordinates. Panagrinėkime būdingiausių pavyzdžių sprendimus.

Pradėkime nuo pavyzdžio, kuriam tereikia taikyti formulę.

Pavyzdys.

Plokštumoje pateiktos dviejų taškų koordinatės . Raskite atkarpos AB vidurio taško koordinates.

Sprendimas.

Tegul taškas C yra atkarpos AB vidurio taškas. Jo koordinatės lygios pusei atitinkamų taškų A ir B koordinačių sumų:

Taigi atkarpos AB vidurio taškas turi koordinates.

Jei gerai pagaląstu pieštuku paliesite sąsiuvinio lapą, liks pėdsakas, leidžiantis suprasti esmę. (3 pav.).

Popieriaus lape pažymime du taškus A ir B. Šiuos taškus galima sujungti įvairiomis linijomis ( 4 pav.). O kaip sujungti taškus A ir B su trumpiausia linija? Tai galima padaryti naudojant liniuotę (5 pav.). Gauta eilutė vadinama segmentas.

Taškas ir linija – pavyzdžiai geometrines figūras.

Taškai A ir B vadinami segmento galai.

Yra viena atkarpa, kurios galai yra taškai A ir B. Todėl atkarpa žymima užrašant taškus, kurie yra jos galai. Pavyzdžiui, segmentas 5 paveiksle žymimas vienu iš dviejų būdų: AB arba BA. Skaitykite: „AB segmentas“ arba „BA segmentas“.

6 paveiksle pavaizduoti trys segmentai. Atkarpos AB ilgis lygus 1 cm.Jis lygiai tris kartus dedamas į atkarpą MN ir lygiai 4 kartus į atkarpą EF. Mes tai pasakysime segmento ilgis MN yra 3 cm, o atkarpos EF ilgis yra 4 cm.

Taip pat įprasta sakyti: „segmentas MN yra 3 cm“, „segmentas EF yra 4 cm“. Jie rašo: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Išmatavome atkarpų MN ir EF ilgius vienas segmentas, kurio ilgis 1 cm Norėdami išmatuoti segmentus, galite pasirinkti kitus ilgio vienetų, pavyzdžiui: 1 mm, 1 dm, 1 km. 7 paveiksle segmento ilgis yra 17 mm. Jis matuojamas vienu segmentu, kurio ilgis yra 1 mm, naudojant liniuotę su padalomis. Taip pat naudojant liniuotę galima pastatyti (nupiešti) nurodyto ilgio atkarpą (žr. 7 pav.).

Iš viso, matuoti segmentą reiškia suskaičiuoti, kiek vienetinių segmentų telpa į jį.

Segmento ilgis turi tokią savybę.

Jeigu atkarpoje AB pažymėtas taškas C, tai atkarpos AB ilgis lygus atkarpų AC ir CB ilgių sumai.(8 pav.).

Jie rašo: AB = AC + CB.

9 paveiksle pavaizduoti du segmentai AB ir CD. Šie segmentai sutaps, kai bus uždėti.

Du segmentai vadinami lygiais, jei jie sutampa, kai yra vienas ant kito.

Vadinasi, segmentai AB ir CD yra lygūs. Jie rašo: AB = CD.

Vienodos atkarpos yra vienodo ilgio.

Iš dviejų nevienodų segmentų ilgesnio laikysime didesniu. Pavyzdžiui, 6 paveiksle segmentas EF yra didesnis nei segmentas MN.

Atkarpos AB ilgis vadinamas atstumas tarp taškų A ir B.

Jei keli segmentai yra išdėstyti taip, kaip parodyta 10 paveiksle, tada bus gauta geometrinė figūra, kuri vadinama nutrūkusi linija. Atkreipkite dėmesį, kad visi segmentai 11 paveiksle nesudaro laužtinės linijos. Manoma, kad segmentai sudaro laužtą liniją, jei pirmojo atkarpos galas sutampa su antrojo atkarpos pabaiga, o kitas antrojo atkarpos galas sutampa su trečiojo ir pan.

Taškai A, B, C, D, E − polilinijos viršūnės ABCDE, taškai A ir E − nutrūkusių linijų galai, o segmentai AB, BC, CD, DE yra jo nuorodos(žr. 10 pav.).

Nutrūkusios linijos ilgis yra visų jo grandžių ilgių suma.

12 paveiksle pavaizduotos dvi trūkinės linijos, kurių galai sutampa. Tokios nutrūkusios linijos vadinamos uždaryta.

Pavyzdys 1 . Atkarpa BC yra 3 cm mažesnė už atkarpą AB, kurios ilgis yra 8 cm (13 pav.). Raskite atkarpos AC ilgį.

Sprendimas. Turime: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (cm).

Naudodamiesi atkarpos ilgio savybe, galime parašyti AC = AB + BC. Taigi AC = 8 + 5 = 13 (cm).

Atsakymas: 13 cm.

Pavyzdys 2 . Yra žinoma, kad MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (14 pav.). Raskite atkarpos NK ilgį.

Sprendimas. Turime: MN = MP − NP.

Vadinasi, MN = 50 − 32 = 18 (cm).

Turime: NK = MK − MN.

Vadinasi, NK = 24 − 18 = 6 (cm).

Atsakymas: 6 cm.

Ilgis, kaip jau minėta, nurodomas modulio ženklu.

Jei pateikti du plokštumos taškai ir, tada atkarpos ilgį galima apskaičiuoti pagal formulę

Jei du taškai erdvėje yra pateikti, atkarpos ilgį galima apskaičiuoti pagal formulę

Pastaba:Formulės išliks teisingos, jei atitinkamos koordinatės bus pakeistos: ir , tačiau pirmoji parinktis yra labiau standartinė

3 pavyzdys

Sprendimas: pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Aiškumo dėlei padarysiu piešinį

Skyrius - tai ne vektorius, ir jūs, žinoma, jo niekur negalite perkelti. Be to, jei užpildysite brėžinį pagal mastelį: 1 vnt. \u003d 1 cm (dvi tetrados langeliai), tada atsakymą galima patikrinti įprastu liniuote, tiesiogiai išmatuojant atkarpos ilgį.

Taip, sprendimas trumpas, bet jame yra keletas svarbių punktų, kuriuos norėčiau patikslinti:

Pirma, atsakyme nustatome matmenį: „vienetai“. Sąlyga nenurodo, KAS tai yra, milimetrai, centimetrai, metrai ar kilometrai. Todėl bendra formuluotė bus matematiškai kompetentingas sprendimas: „vienetai“ - sutrumpinta kaip „vienetai“.

Antra, pakartokime mokyklinę medžiagą, kuri naudinga ne tik nagrinėjamai problemai:

atkreipkite dėmesį į svarbus techninis triukas – išimant daugiklį iš po šaknies. Skaičiuodami gavome rezultatą, o geras matematinis stilius apima daugiklio paėmimą iš šaknies (jei įmanoma). Procesas detaliau atrodo taip: Žinoma, atsakymo palikimas formoje nebus klaida – bet tai tikrai trūkumas ir svarus argumentas dėl mokytojo niūrumo.

Štai kiti dažni atvejai:

Pavyzdžiui, dažnai pakankamai didelis skaičius gaunamas po šaknimi. Kaip tokiais atvejais būti? Skaičiuoklėje patikriname, ar skaičius dalijasi iš 4:. Taip, jis buvo visiškai padalintas, todėl: . O gal skaičių vėl galima padalyti iš 4? . Šiuo būdu: . Paskutinis skaičiaus skaitmuo yra nelyginis, todėl trečią kartą dalinti iš 4 aiškiai neįmanoma. Bandoma padalyti iš devynių: . Kaip rezultatas:
Paruošta.

Išvestis: jei po šaknimi gauname sveikąjį skaičių, kurio negalima išgauti, tada bandome ištraukti koeficientą iš po šaknies - skaičiuotuvu tikriname, ar skaičius dalijasi iš: 4, 9, 16, 25, 36, 49 ir kt.

Sprendžiant įvairias problemas dažnai randamos šaknys, visada stengiamasi ištraukti veiksnius iš po šaknies, kad išvengtumėte mažesnio balo ir bereikalingų nesklandumų baigiant savo sprendimus pagal mokytojo pastabą.

Kartu pakartokime šaknų ir kitų galių kvadratūravimą:

Veiksmų su laipsniais taisykles bendra forma galima rasti mokykliniame algebros vadovėlyje, bet manau, kad viskas ar beveik viskas jau aišku iš pateiktų pavyzdžių.

Užduotis savarankiškam sprendimui su segmentu erdvėje:

4 pavyzdys

Duoti taškai ir . Raskite atkarpos ilgį.

Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Segmento ilgį galima nustatyti įvairiais būdais. Norint sužinoti, kaip rasti atkarpos ilgį, pakanka turėti liniuotę arba žinoti specialias skaičiavimo formules.

Linijos ilgis su liniuote

Norėdami tai padaryti, plokštumoje pastatytą atkarpą taikome liniuotę su milimetrų padalomis, o pradžios taškas turi būti suderintas su liniuotės skalės nuliu. Tada šioje skalėje turėtumėte pažymėti šio segmento pabaigos taško vietą. Gautas sveikų skalės padalų skaičius bus atkarpos ilgis, išreikštas cm ir mm.

Plokštumos koordinačių metodas

Jei žinomos atkarpos (x1; y1) ir (x2; y2) koordinatės, tada jos ilgį reikia skaičiuoti taip. Iš antrojo taško plokštumos koordinačių reikia atimti pirmojo taško koordinates. Rezultatas turėtų būti du skaičiai. Kiekvienas iš šių skaičių turi būti padalytas į kvadratą, tada suraskite šių kvadratų sumą. Iš gauto skaičiaus reikia išgauti kvadratinę šaknį, kuri bus atstumas tarp taškų. Kadangi šie taškai yra atkarpos galai, ši reikšmė bus jos ilgis.

Apsvarstykite pavyzdį, kaip rasti atkarpos ilgį pagal koordinates. Yra dviejų taškų (-1;2) ir (4;7) koordinatės. Surasdami taškų koordinačių skirtumą, gauname tokias reikšmes: x = 5, y = 5. Gauti skaičiai bus atkarpos koordinatės. Tada kiekvieną skaičių padalijame kvadratu ir randame rezultatų sumą, kuri yra 50. Iš šio skaičiaus išimame kvadratinę šaknį. Rezultatas: 5 šaknys iš 2. Tai atkarpos ilgis.

Koordinačių metodas erdvėje

Norėdami tai padaryti, apsvarstykite, kaip rasti vektoriaus ilgį. Būtent jis bus segmentas Euklido erdvėje. Jis randamas beveik taip pat, kaip ir atkarpos ilgis plokštumoje. Vektoriaus konstrukcija vyksta skirtingose ​​plokštumose. Kaip sužinoti vektoriaus ilgį?

1. Raskite vektoriaus koordinates, tam iš jo pabaigos taško koordinačių reikia atimti jo pradžios taško koordinates.
2. Po to kiekvieną vektoriaus koordinatę turite padalyti kvadratu.
3. Tada pridėkite koordinačių kvadratus.
4. Norėdami sužinoti vektoriaus ilgį, turite paimti kvadratinę šaknį iš koordinačių kvadratų sumos.

Panagrinėkime skaičiavimo algoritmą naudodami pavyzdį. Reikia rasti vektoriaus AB koordinates. Taškai A ir B turi šias koordinates: A (1;6;3) ir B (3;-1;7). Vektoriaus pradžia yra taške A, galas yra taške B. Taigi, norint rasti jo koordinates, iš taško B koordinačių reikia atimti taško A koordinates: (3 - 1; -1 - 6; 7 - 3) = (2; - 3) 7;4).

Dabar kiekvieną koordinates padalome kvadratu ir sudedame: 4+49+16=69. Galiausiai ištraukia duoto skaičiaus kvadratinę šaknį. Sunku jį išgauti, todėl rezultatą rašome taip: vektoriaus ilgis lygus 69 šaknei.

Jei jums nėra svarbu patiems skaičiuoti segmentų ir vektorių ilgį, o jums tiesiog reikia rezultato, galite naudoti, pavyzdžiui, šį internetinį skaičiuotuvą.

Dabar, išstudijavę šiuos metodus ir apsvarstę pateiktus pavyzdžius, galite lengvai rasti segmento ilgį bet kurioje užduotyje.

segmentas vadinkite tiesės dalį, susidedančią iš visų šios linijos taškų, esančių tarp šių dviejų taškų – jie vadinami atkarpos galais.

Panagrinėkime pirmąjį pavyzdį. Tegul tam tikras atkarpas koordinačių plokštumoje nurodo du taškai. Šiuo atveju jo ilgį galime rasti taikydami Pitagoro teoremą.

Taigi koordinačių sistemoje nubrėžkite atkarpą su nurodytomis jo galų koordinatėmis(x1; y1) Ir (x2; y2) . ant ašies X Ir Y numesti statmenas nuo atkarpos galų. Raudonai pažymėkite atkarpas, kurios yra pradinio segmento projekcijos koordinačių ašyje. Po to projekcinius segmentus perkeliame lygiagrečiai atkarpų galams. Gauname trikampį (stačiakampį). Šio trikampio hipotenuzė bus pati atkarpa AB, o jos kojos yra perkeltos projekcijos.

Apskaičiuokime šių projekcijų ilgį. Taigi ant ašies Y projekcijos ilgis yra y2-y1 , ir ašyje X projekcijos ilgis yra x2-x1 . Taikykime Pitagoro teoremą: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . Tokiu atveju |AB| yra atkarpos ilgis.

Jei naudosite šią schemą segmento ilgiui apskaičiuoti, tada segmento netgi negalėsite sukurti. Dabar apskaičiuojame, koks yra atkarpos ilgis su koordinatėmis (1;3) Ir (2;5) . Taikydami Pitagoro teoremą gauname: |AB|² = (2–1)² + (5–3)² = 1 + 4 = 5 . Ir tai reiškia, kad mūsų segmento ilgis yra lygus 5:1/2 .

Apsvarstykite tokį atkarpos ilgio nustatymo metodą. Norėdami tai padaryti, turime žinoti dviejų taškų koordinates tam tikroje sistemoje. Apsvarstykite šią parinktį naudodami dvimatę Dekarto koordinačių sistemą.

Taigi dvimatėje koordinačių sistemoje pateikiamos atkarpos kraštinių taškų koordinatės. Jei per šiuos taškus brėžiame tiesias linijas, jos turi būti statmenos koordinačių ašiai, tada gauname stačią trikampį. Pradinis segmentas bus gauto trikampio hipotenuzė. Trikampio kojelės sudaro atkarpas, jų ilgis lygus hipotenuzės projekcijai koordinačių ašyse. Remdamiesi Pitagoro teorema, darome išvadą: norint rasti tam tikros atkarpos ilgį, reikia rasti dviejų koordinačių ašių projekcijų ilgius.

Raskite projekcijos ilgius (X ir Y) pradinis segmentas į koordinačių ašis. Jas apskaičiuojame rasdami taškų koordinačių skirtumą išilgai atskiros ašies: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .

Apskaičiuokite atkarpos ilgį BET , tam randame kvadratinę šaknį:

A = √(X²+Y²) = √((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Jei mūsų atkarpa yra tarp taškų, kurių koordinatės 2;4 Ir 4;1 , tada jo ilgis atitinkamai yra lygus √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .