Skirtingų galių skaičių sandauga. Laipsnis ir jo savybės. Išsamus vadovas (2020). Pagrindinės laipsnių savybės su neracionaliais rodikliais
Ankstesniame straipsnyje mes kalbėjome apie tai, kas yra monomai. Šioje medžiagoje analizuosime, kaip spręsti pavyzdžius ir problemas, kuriose jie naudojami. Čia mes apsvarstysime tokius veiksmus kaip atimtis, sudėtis, daugyba, vienanarių dalijimas ir jų pakėlimas į laipsnį su natūraliuoju laipsniu. Parodysime kaip apibrėžiamos tokios operacijos, nurodysime pagrindines jų vykdymo taisykles ir koks turėtų būti rezultatas. Visos teorinės nuostatos, kaip įprasta, bus iliustruojamos problemų pavyzdžiais su sprendimų aprašymais.
Patogiausia dirbti su standartiniu monomijų žymėjimu, todėl visus posakius, kurie bus naudojami straipsnyje, pateikiame standartine forma. Jei iš pradžių jie nustatomi kitaip, pirmiausia rekomenduojama juos pakeisti į visuotinai priimtą formą.
Vienanarių sudėties ir atėmimo taisyklės
Paprasčiausios operacijos, kurias galima atlikti su monomijomis, yra atimtis ir sudėjimas. Bendruoju atveju šių veiksmų rezultatas bus daugianomas (kai kuriais ypatingais atvejais galimas mononomas).
Kai pridedame arba atimame vienatūrius, pirmiausia užrašome atitinkamą sumą ir skirtumą visuotinai priimta forma, o po to supaprastiname gautą išraišką. Jei yra panašių terminų, juos reikia duoti, skliaustus atplėšti. Paaiškinkime pavyzdžiu.
1 pavyzdys
Būklė: pridėkite vienanarius − 3 · x ir 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .
Sprendimas
Užrašykime pradinių posakių sumą. Pridėkite skliaustus ir tarp jų padėkite pliuso ženklą. Gausime šiuos dalykus:
(− 3 x) + (2, 72 x 3 ir 5 z)
Išplėtę skliaustus gauname - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Tai daugianomas, parašytas standartine forma, kuris bus šių mononomų pridėjimo rezultatas.
Atsakymas:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z .
Jei pateikiame tris, keturis ar daugiau terminų, šį veiksmą atliekame taip pat.
2 pavyzdys
Būklė: atlikti duotąsias operacijas su daugianariais teisinga tvarka
3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Sprendimas
Pradėkime atidarydami skliaustus.
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Matome, kad gautą išraišką galima supaprastinti sumažinant panašius terminus:
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 ac + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 ac + 4 9
Turime daugianarį, kuris bus šio veiksmo rezultatas.
Atsakymas: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9
Iš principo galime atlikti dviejų vienanarių sudėjimą ir atėmimą su tam tikrais apribojimais, kad gautume vienanarį. Norėdami tai padaryti, būtina laikytis tam tikrų sąlygų, susijusių su terminais ir atimtais vienatūriais. Kaip tai padaryti, aprašysime atskirame straipsnyje.
Monomijų dauginimo taisyklės
Dauginimo veiksmas netaiko jokių apribojimų daugikliui. Dauginami monomai neturi atitikti jokių papildomų sąlygų, kad rezultatas būtų monomis.
Norėdami atlikti monomijų dauginimą, turite atlikti šiuos veiksmus:
- Teisingai įrašykite kūrinį.
- Gautoje išraiškoje išskleiskite skliaustus.
- Jei įmanoma, sugrupuokite veiksnius su tais pačiais kintamaisiais ir skaitinius veiksnius atskirai.
- Atlikite reikiamus veiksmus su skaičiais, o likusiems veiksniams pritaikykite galių dauginimo tais pačiais pagrindais savybę.
Pažiūrėkime, kaip tai daroma praktiškai.
3 pavyzdys
Būklė: padauginkite vienatūrius 2 · x 4 · y · z ir - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .
Sprendimas
Pradėkime nuo kūrinio kompozicijos.
Atidarę jame esančius skliaustus, gauname:
2 x 4 y z – 7 16 t 2 x 2 z 11
2–7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11
Viskas, ką turime padaryti, tai padauginti skaičius pirmuosiuose skliaustuose ir pritaikyti galios savybę antrajam. Dėl to gauname:
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14
Atsakymas: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .
Jei sąlygoje turime tris ar daugiau daugianarių, juos padauginame naudodami lygiai tą patį algoritmą. Atskiroje medžiagoje plačiau nagrinėsime monomijų dauginimo klausimą.
Taisyklės, kaip pakelti monomio laipsnį
Žinome, kad tam tikro skaičiaus identiškų veiksnių sandauga vadinama laipsniu su natūraliuoju rodikliu. Jų skaičius rodomas skaičiumi indikatoriuje. Pagal šį apibrėžimą monomijos pakėlimas iki laipsnio yra tolygu nurodyto vienodų vienatūrių skaičiaus padauginimui. Pažiūrėkime, kaip tai daroma.
4 pavyzdys
Būklė: pakelkite vienanarį − 2 · a · b 4 laipsniu 3 .
Sprendimas
Eksponentiškumą galime pakeisti 3 vienanarių daugyba − 2 · a · b 4 . Užsirašykime ir gaukime norimą atsakymą:
(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (aaa) (b 4 b 4 b 4) = − 8 a 3 b 12
Atsakymas:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .
Bet ką daryti, kai laipsnis turi didelį eksponentą? Įrašyti daug daugiklių yra nepatogu. Tada, norėdami išspręsti tokią problemą, turime pritaikyti laipsnio savybes, būtent produkto laipsnio savybę ir laipsnio savybę laipsnyje.
Išspręskime aukščiau paminėtą problemą nurodytu būdu.
5 pavyzdys
Būklė: pakelkite − 2 · a · b 4 į trečią laipsnį.
Sprendimas
Žinodami laipsnio savybę laipsnyje, galime pereiti prie tokios formos išraiškos:
(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .
Po to padidiname laipsnį - 2 ir taikome eksponento savybę:
(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .
Atsakymas:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .
Mes taip pat skyrėme atskirą straipsnį mononomo pakėlimui į galią.
Monomijų padalijimo taisyklės
Paskutinis veiksmas su monomijomis, kurį analizuosime šioje medžiagoje, yra monomio padalijimas iš monomio. Dėl to turėtume gauti racionaliąją (algebrinę) trupmeną (kai kuriais atvejais galima gauti monomiją). Iš karto išsiaiškinkime, kad dalyba iš nulinio mononomo nėra apibrėžta, nes dalyba iš 0 nėra apibrėžta.
Norėdami atlikti padalijimą, turime užrašyti nurodytus vienatūrius trupmenos pavidalu ir, jei įmanoma, sumažinti.
6 pavyzdys
Būklė: padalykite vienanarį − 9 x 4 y 3 z 7 iš − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .
Sprendimas
Pradėkime nuo monomijų užrašymo trupmenos pavidalu.
9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2
Šią dalį galima sumažinti. Tai padarę gauname:
3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5
Atsakymas:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .
Sąlygos, kuriomis dalijant monomiją gauname monomiją, pateiktos atskirame straipsnyje.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Galios formulės naudojamas mažinant ir supaprastinant sudėtingas išraiškas, sprendžiant lygtis ir nelygybes.
Skaičius c yra n- skaičiaus laipsnis a kada:
Operacijos su laipsniais.
1. Padauginus laipsnius iš tos pačios bazės, jų rodikliai sumuojami:
esua n = a m + n .
2. Skirstant laipsnius su ta pačia baze, jų rodikliai atimami:
3. 2 ar daugiau veiksnių sandaugos laipsnis yra lygus šių veiksnių laipsnių sandaugai:
(abc…) n = a n b n c n …
4. Trupmenos laipsnis lygus dividendo ir daliklio laipsnių santykiui:
(a/b) n = a n/b n .
5. Padidinus laipsnį į laipsnį, rodikliai dauginami:
(am) n = a m n .
Kiekviena aukščiau pateikta formulė yra teisinga kryptimis iš kairės į dešinę ir atvirkščiai.
Pavyzdžiui. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operacijos su šaknimis.
1. Kelių veiksnių sandaugos šaknis yra lygi šių veiksnių šaknų sandaugai:
2. Santykio šaknis lygi dividendo ir šaknų daliklio santykiui:
3. Keliant šaknį į laipsnį, pakanka pakelti šaknies skaičių iki šios laipsnio:
4. Jei padidinsime šaknies laipsnį n vieną kartą ir tuo pačiu metu pakelti į n laipsnis yra šakninis skaičius, tada šaknies reikšmė nepasikeis:
5. Jei sumažinsime šaknies laipsnį nšaknis tuo pačiu metu n laipsnį nuo radikalaus skaičiaus, tada šaknies reikšmė nepasikeis:
Laipsnis su neigiamu rodikliu. Skaičiaus laipsnis su neteigiamąja (sveikuoju) laipsniu apibrėžiamas kaip laipsnis, padalytas iš to paties skaičiaus laipsnio, kurio rodiklis lygus absoliučiai neteigiamojo eksponento vertei:
Formulė esu:a n = a m - n gali būti naudojamas ne tik m> n, bet ir adresu m< n.
Pavyzdžiui. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Į formulę esu:a n = a m - n tapo sąžiningas m=n, jums reikia nulio laipsnio.
Laipsnis su nuliniu rodikliu. Bet kurio nulinio skaičiaus, kurio rodiklis nulinis, laipsnis yra lygus vienetui.
Pavyzdžiui. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Laipsnis su trupmeniniu rodikliu. Norėdami padidinti tikrąjį skaičių bet iki laipsnio m/n, reikia ištraukti šaknį n laipsnis mšio skaičiaus laipsnį bet.
Matematikos laipsnio sąvoka supažindinama jau 7 klasėje algebros pamokoje. Ir ateityje, per visą matematikos studijų laikotarpį, ši sąvoka aktyviai naudojama įvairiomis formomis. Laipsniai yra gana sudėtinga tema, reikalaujanti įsiminti vertybes ir mokėti teisingai ir greitai skaičiuoti. Norėdami greičiau ir geriau dirbti su matematikos laipsniais, jie sugalvojo laipsnio savybes. Jie padeda sumažinti didelių skaičiavimų skaičių, tam tikru mastu paversti didžiulį pavyzdį į vieną skaičių. Savybių nėra tiek daug, ir visas jas lengva prisiminti ir pritaikyti praktikoje. Todėl straipsnyje aptariamos pagrindinės laipsnio savybės, taip pat kur jos taikomos.
laipsnio savybes
Išnagrinėsime 12 laipsnio savybių, įskaitant tos pačios bazės galių savybes, ir pateiksime kiekvienos savybės pavyzdį. Kiekviena iš šių savybių padės greičiau išspręsti su laipsniais susijusias problemas, taip pat sutaupys nuo daugybės skaičiavimo klaidų.
1-asis turtas.
Daugelis žmonių labai dažnai pamiršta apie šią savybę, daro klaidas, skaičių iki nulio laipsnio pateikdami kaip nulį.
2-asis turtas.
3 turtas.
Reikia atsiminti, kad šią savybę galima naudoti tik dauginant skaičius, ji neveikia su suma! Ir mes neturime pamiršti, kad šios ir šios savybės taikomos tik galioms, turinčioms tą patį pagrindą.
4-asis turtas.
Jei skaičius vardiklyje padidinamas iki neigiamos laipsnio, tada atimant vardiklio laipsnis imamas skliausteliuose, kad tolesniuose skaičiavimuose būtų teisingai pakeistas ženklas.
Savybė veikia tik dalijant, o ne atimant!
5-asis turtas.
6-asis turtas.
Ši savybė gali būti taikoma ir atvirkščiai. Vienetas, padalytas iš skaičiaus tam tikru laipsniu, yra tas skaičius, kurio laipsnis yra neigiamas.
7-asis turtas.
Ši savybė negali būti taikoma sumai ir skirtumui! Keliant sumą ar skirtumą į laipsnį, naudojamos sutrumpintos daugybos formulės, o ne laipsnio savybės.
8-asis turtas.
9-asis turtas.
Ši savybė veikia bet kokiam trupmeniniam laipsniui, kurio skaitiklis lygus vienetui, formulė bus ta pati, tik šaknies laipsnis keisis priklausomai nuo laipsnio vardiklio.
Be to, ši savybė dažnai naudojama atvirkštine tvarka. Bet kurio skaičiaus laipsnio šaknis gali būti pavaizduota kaip tas skaičius, padalytas iš šaknies laipsnio. Ši savybė labai naudinga tais atvejais, kai skaičiaus šaknis nėra išgaunama.
10-asis turtas.
Ši savybė veikia ne tik su kvadratine šaknimi ir antruoju laipsniu. Jei šaknies laipsnis ir šios šaknies pakilimo laipsnis yra vienodi, tada atsakymas bus radikali išraiška.
11-asis turtas.
Sprendžiant šią nuosavybę reikia laiku pamatyti, kad apsisaugotumėte nuo didžiulių skaičiavimų.
12-asis turtas.
Kiekviena iš šių savybių susidurs ne kartą atliekant užduotis, ji gali būti pateikta gryna forma arba gali prireikti tam tikrų transformacijų ir naudoti kitas formules. Todėl teisingam sprendimui neužtenka žinoti tik savybes, reikia praktikuotis ir susieti likusias matematines žinias.
Laipsnių taikymas ir jų savybės
Jie aktyviai naudojami algebroje ir geometrijoje. Matematikos laipsniai turi atskirą, svarbią vietą. Jų pagalba sprendžiamos eksponentinės lygtys ir nelygybės, taip pat galios dažnai apsunkina lygtis ir pavyzdžius, susijusius su kitomis matematikos dalimis. Rodikliai padeda išvengti didelių ir ilgų skaičiavimų, lengviau sumažinti ir apskaičiuoti rodiklius. Tačiau norint dirbti su didelėmis galiomis arba su didelių skaičių galiomis, reikia žinoti ne tik laipsnio savybes, bet ir kompetentingai dirbti su bazėmis, mokėti jas išskaidyti, kad būtų lengviau atlikti savo užduotį. Kad būtų patogiau, taip pat turėtumėte žinoti skaičių, pakeltų iki laipsnio, reikšmę. Tai sumažins jūsų sprendimo laiką, nes nebereikės ilgų skaičiavimų.
Laipsnio sąvoka logaritmuose vaidina ypatingą vaidmenį. Kadangi logaritmas iš esmės yra skaičiaus galia.
Sutrumpintos daugybos formulės yra dar vienas galių naudojimo pavyzdys. Jie negali naudoti laipsnių savybių, jie skaidomi pagal specialias taisykles, tačiau kiekvienoje sutrumpintoje daugybos formulėje visada yra laipsnių.
Laipsniai taip pat aktyviai naudojami fizikoje ir informatikoje. Visi vertimai į SI sistemą atliekami naudojant laipsnius, o ateityje, sprendžiant uždavinius, taikomos laipsnio savybės. Informatikos moksle dviejų galios aktyviai naudojamos, kad būtų patogiau skaičiuoti ir supaprastinti skaičių suvokimą. Tolesni matavimo vienetų perskaičiavimo arba uždavinių skaičiavimai, kaip ir fizikoje, atliekami naudojant laipsnio savybes.
Laipsniai labai praverčia ir astronomijoje, kur retai kada galima panaudoti laipsnio savybes, tačiau patys laipsniai aktyviai naudojami įvairių dydžių ir atstumų fiksavimui sutrumpinti.
Laipsniai naudojami ir kasdieniame gyvenime, skaičiuojant plotus, tūrius, atstumus.
Naudojant laipsnius, bet kurioje mokslo srityje užrašomos labai didelės ir labai mažos reikšmės.
eksponentinės lygtys ir nelygybės
Laipsnio savybės užima ypatingą vietą būtent eksponentinėse lygtyse ir nelygybėse. Šios užduotys yra labai dažnos tiek mokyklos kurse, tiek egzaminuose. Visi jie sprendžiami taikant laipsnio savybes. Nežinomybė visada yra pačiame laipsnyje, todėl žinant visas savybes, tokią lygtį ar nelygybę išspręsti nebus sunku.
Jeigu nekreipsime dėmesio į aštuntą laipsnį, ką čia matome? Pažvelkime į 7 klasės programą. Taigi, prisimeni? Tai sutrumpinta daugybos formulė, būtent kvadratų skirtumas! Mes gauname:
Atidžiai žiūrime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio veiksnių, bet kas negerai? Neteisinga terminų tvarka. Jei jie būtų sukeisti, taisyklė galėtų būti taikoma.
Bet kaip tai padaryti? Pasirodo, tai labai paprasta: čia mums padeda lygus vardiklio laipsnis.
Terminai stebuklingai pasikeitė vietomis. Šis „reiškinys“ taikomas bet kuriai išraiškai tolygiai: galime laisvai keisti ženklus skliausteliuose.
Tačiau svarbu atsiminti: visi ženklai keičiasi vienu metu!
Grįžkime prie pavyzdžio:
Ir vėl formulė:
visasįvardijame natūraliuosius skaičius, jų priešingybes (tai yra paimtus su ženklu "") ir skaičių.
teigiamas sveikasis skaičius, ir tai niekuo nesiskiria nuo natūralaus, tada viskas atrodo lygiai taip pat, kaip ankstesniame skyriuje.
Dabar pažvelkime į naujus atvejus. Pradėkime nuo rodiklio, lygaus.
Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui:
Kaip visada, klausiame savęs: kodėl taip yra?
Apsvarstykite tam tikrą galią su pagrindu. Paimkite, pavyzdžiui, ir padauginkite iš:
Taigi, padauginome skaičių iš ir gavome tą patį, koks buvo -. Iš kokio skaičiaus reikia padauginti, kad niekas nepasikeistų? Teisingai, toliau. Reiškia.
Tą patį galime padaryti su savavališku skaičiumi:
Pakartokime taisyklę:
Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui.
Tačiau iš daugelio taisyklių yra išimčių. Ir čia taip pat yra - tai yra skaičius (kaip pagrindas).
Viena vertus, jis turi būti lygus bet kokiam laipsniui – kad ir kiek padaugintumėte nulį iš savęs, vis tiek gausite nulį, aišku. Tačiau, kita vertus, kaip ir bet kuris skaičius iki nulio laipsnio, jis turi būti lygus. Taigi kokia čia tiesa? Matematikai nusprendė nesikišti ir atsisakė pakelti nulį iki nulinės galios. Tai yra, dabar galime ne tik padalyti iš nulio, bet ir pakelti jį iki nulinės galios.
Eikime toliau. Be natūraliųjų skaičių ir skaičių, sveikieji skaičiai apima ir neigiamus skaičius. Kad suprastume, kas yra neigiamas laipsnis, darykime taip pat, kaip ir praeitą kartą: kokį nors normalųjį skaičių padauginame iš to paties neigiamo laipsnio:
Iš čia jau lengva išreikšti norimą:
Dabar išplečiame gautą taisyklę iki savavališko laipsnio:
Taigi, suformuluokime taisyklę:
Skaičius neigiamam laipsniui yra atvirkštinis to paties skaičiaus teigiamam laipsniui. Bet tuo pačiu bazė negali būti nulinė:(nes padalyti neįmanoma).
Apibendrinkime:
I. Išraiška neapibrėžiama atveju. Jei tada.
II. Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui: .
III. Skaičius, kuris nėra lygus nuliui neigiamam laipsniui, yra atvirkštinis to paties skaičiaus teigiamam laipsniui: .
Užduotys savarankiškam sprendimui:
Na, kaip įprasta, nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai:
Savarankiško sprendimo užduočių analizė:
Žinau, žinau, skaičiai baisūs, bet per egzaminą turi būti pasiruošęs viskam! Išspręskite šiuos pavyzdžius arba išanalizuokite jų sprendimą, jei nepavyko išspręsti, ir išmoksite, kaip lengvai su jais susidoroti egzamine!
Ir toliau plėskime skaičių diapazoną, „tinkamą“ kaip eksponentą.
Dabar apsvarstykite racionalūs numeriai. Kokie skaičiai vadinami racionaliais?
Atsakymas: visa tai gali būti pavaizduota trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai.
Norėdami suprasti, kas yra "dalinis laipsnis" Panagrinėkime trupmeną:
Pakelkime abi lygties puses į laipsnį:
Dabar prisimink taisyklę "laipsnis į laipsnį":
Kokį skaičių reikia padidinti iki laipsnio, kad gautume?
Ši formuluotė yra laipsnio šaknies apibrėžimas.
Leiskite jums priminti: skaičiaus () laipsnio šaknis yra skaičius, kuris, pakeltas į laipsnį, yra lygus.
Tai yra, th laipsnio šaknis yra atvirkštinė eksponencijos operacija: .
Pasirodo, kad. Akivaizdu, kad šį specialų atvejį galima pratęsti: .
Dabar pridėkite skaitiklį: kas tai yra? Atsakymą nesunku gauti taikant energijos tiekimo taisyklę:
Bet ar bazė gali būti bet koks skaičius? Juk šaknies negalima išgauti iš visų skaičių.
Nė vienas!
Prisiminkite taisyklę: bet koks skaičius, padidintas iki lyginės laipsnio, yra teigiamas skaičius. Tai yra, iš neigiamų skaičių neįmanoma išskirti lyginio laipsnio šaknų!
O tai reiškia, kad tokių skaičių negalima pakelti iki trupmeninės laipsnio su lyginiu vardikliu, tai yra, išraiška neturi prasmės.
O išraiška?
Bet čia iškyla problema.
Skaičius gali būti pavaizduotas kaip kitos, sumažintos trupmenos, pavyzdžiui, arba.
Ir pasirodo, kad jis egzistuoja, bet neegzistuoja, ir tai tik du skirtingi to paties numerio įrašai.
Arba kitas pavyzdys: vieną kartą, tada galite užsirašyti. Bet kai tik užrašome indikatorių kitaip, vėl susiduriame su bėdomis: (tai yra, gavome visiškai kitokį rezultatą!).
Kad išvengtumėte tokių paradoksų, apsvarstykite tik teigiamas bazinis eksponentas su trupmeniniu rodikliu.
Taigi, jei:
- - natūralusis skaičius;
- yra sveikasis skaičius;
Pavyzdžiai:
Laipsniai su racionaliuoju rodikliu yra labai naudingi transformuojant išraiškas su šaknimis, pavyzdžiui:
5 praktikos pavyzdžiai
5 mokymo pavyzdžių analizė
1. Nepamirškite apie įprastas laipsnių savybes:
2. . Čia primename, kad pamiršome išmokti laipsnių lentelę:
juk – tai arba. Sprendimas randamas automatiškai: .
Na, o dabar – sunkiausia. Dabar analizuosime laipsnis su neracionaliuoju rodikliu.
Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnių su racionaliuoju rodikliu, išskyrus
Iš tiesų, pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti kaip trupmeną, kur ir yra sveikieji skaičiai (ty neracionalieji skaičiai yra visi tikrieji skaičiai, išskyrus racionalius).
Studijuodami laipsnius su natūraliu, sveiku skaičiumi ir racionaliu rodikliu, kiekvieną kartą sukurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais.
Pavyzdžiui, natūralusis rodiklis yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus;
...nulinė galia- tai tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jis dar nepradėtas dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „paruošimas skaičius“, būtent skaičius;
...neigiamo sveikojo skaičiaus rodiklis- tarsi įvyko tam tikras „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius buvo ne padaugintas iš savęs, o padalintas.
Beje, mokslas dažnai naudoja laipsnį su sudėtingu rodikliu, tai yra, eksponentas net nėra tikrasis skaičius.
Tačiau mokykloje apie tokius sunkumus negalvojame, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.
KUR ESAME TIKRINIAI, KUR JUMS EITI! (jei išmoksi spręsti tokius pavyzdžius :))
Pavyzdžiui:
Spręskite patys:
Sprendimų analizė:
1. Pradėkime nuo jau įprastos laipsnio pakėlimo į laipsnį taisyklės:
Dabar pažiūrėkite į rezultatą. Ar jis tau ką nors primena? Primename sutrumpinto kvadratų skirtumo dauginimo formulę:
Tokiu atveju,
Pasirodo, kad:
Atsakymas: .
2. Rodiklio trupmenas sudarome ta pačia forma: arba abi po kablelio, arba abi paprastosios. Mes gauname, pavyzdžiui:
Atsakymas: 16
3. Nieko ypatingo, taikome įprastas laipsnių savybes:
PAŽEIDĖJANTIS LYGIS
Laipsnio apibrėžimas
Laipsnis yra formos išraiška: , kur:
- — laipsnio pagrindas;
- - eksponentas.
Laipsnis su natūraliuoju rodikliu (n = 1, 2, 3,...)
Padidinti skaičių iki natūraliosios laipsnio n reiškia skaičių padauginti iš savęs iš karto:
Laipsnis su sveikuoju rodikliu (0, ±1, ±2,...)
Jei eksponentas yra teigiamas sveikasis skaičius numeris:
erekcija iki nulinės galios:
Išraiška yra neapibrėžta, nes, viena vertus, bet kuriuo laipsniu yra tai, o kita vertus, bet koks skaičius iki aštuntojo laipsnio yra tai.
Jei eksponentas yra sveikasis skaičius neigiamas numeris:
(nes padalyti neįmanoma).
Dar kartą apie nulius: atveju išraiška neapibrėžta. Jei tada.
Pavyzdžiai:
Laipsnis su racionaliuoju rodikliu
- - natūralusis skaičius;
- yra sveikasis skaičius;
Pavyzdžiai:
Laipsnio savybės
Kad būtų lengviau spręsti problemas, pabandykime suprasti: iš kur atsirado šios savybės? Įrodykime juos.
Pažiūrėkime: kas yra ir?
Pagal apibrėžimą:
Taigi dešinėje šios išraiškos pusėje gaunamas šis produktas:
Tačiau pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus laipsnis su eksponentu, ty:
Q.E.D.
Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.
Sprendimas : .
Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.
Sprendimas : Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje būtinai turi turėti tą patį pagrindą. Todėl laipsnius deriname su baze, bet liekame atskiru veiksniu:
Kita svarbi pastaba: ši taisyklė - tik galių produktams!
Jokiu būdu neturėčiau to rašyti.
Kaip ir ankstesnėje savybėje, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:
Pertvarkykime taip:
Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs vieną kartą, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus laipsnis:
Tiesą sakant, tai gali būti vadinama „indikatoriaus kėlimu“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso:!
Prisiminkime sutrumpinto daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti? Bet tai netiesa, tikrai.
Galia su neigiama baze.
Iki šiol aptarėme tik tai, kas turėtų būti indikatorius laipsnį. Bet kas turėtų būti pagrindas? Laipsniais nuo natūralus indikatorius pagrindas gali būti bet koks skaičius .
Iš tiesų, mes galime padauginti bet kurį skaičių vienas iš kito, nesvarbu, ar jie yra teigiami, neigiami ar lyginiai. Pagalvokime, kokie ženklai ("" arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?
Pavyzdžiui, ar skaičius bus teigiamas ar neigiamas? BET? ?
Su pirmuoju viskas aišku: nesvarbu, kiek teigiamų skaičių padauginsime vienas su kitu, rezultatas bus teigiamas.
Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Juk iš 6 klasės prisimename paprastą taisyklę: „minusas kartelį minusas duoda pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš (), gausime -.
Ir taip toliau iki begalybės: su kiekvienu tolesniu dauginimu ženklas keisis. Galite suformuluoti šias paprastas taisykles:
- net laipsnis, - skaičius teigiamas.
- Neigiamas skaičius padidintas iki nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
- Teigiamas bet kurios laipsnio skaičius yra teigiamas skaičius.
- Nulis bet kokiam laipsniui yra lygus nuliui.
Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Ar susitvarkei? Štai atsakymai:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Pirmuosiuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir eksponentą ir taikome atitinkamą taisyklę.
5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas. Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Pagrindas ne tas pats, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).
6 pavyzdys) nebėra toks paprastas. Čia reikia išsiaiškinti, kas mažiau: ar? Jei tai prisimenate, tai tampa aišku, o tai reiškia, kad bazė yra mažesnė už nulį. Tai yra, taikome 2 taisyklę: rezultatas bus neigiamas.
Ir vėl naudojame laipsnio apibrėžimą:
Viskas kaip įprasta - užrašome laipsnių apibrėžimą ir suskirstome juos vienas į kitą, suskirstome į poras ir gauname:
Prieš analizuodami paskutinę taisyklę, išspręskime kelis pavyzdžius.
Apskaičiuokite išraiškų reikšmes:
Sprendimai :
Jeigu nekreipsime dėmesio į aštuntą laipsnį, ką čia matome? Pažvelkime į 7 klasės programą. Taigi, prisimeni? Tai sutrumpinta daugybos formulė, būtent kvadratų skirtumas!
Mes gauname:
Atidžiai žiūrime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio veiksnių, bet kas negerai? Neteisinga terminų tvarka. Jei jie būtų pakeisti, būtų galima taikyti 3 taisyklę. Bet kaip tai padaryti? Pasirodo, tai labai paprasta: čia mums padeda lygus vardiklio laipsnis.
Jei padauginsite iš, niekas nepasikeis, tiesa? Bet dabar atrodo taip:
Terminai stebuklingai pasikeitė vietomis. Šis „reiškinys“ taikomas bet kuriai išraiškai tolygiai: galime laisvai keisti ženklus skliausteliuose. Tačiau svarbu atsiminti: visi ženklai keičiasi vienu metu! Jo negalima pakeisti pakeitus tik vieną mums nepriimtiną minusą!
Grįžkime prie pavyzdžio:
Ir vėl formulė:
Taigi dabar paskutinė taisyklė:
Kaip mes tai įrodysime? Žinoma, kaip įprasta: išplėskime laipsnio sąvoką ir supaprastinkime:
Na, dabar atidarykime skliaustus. Kiek bus raidžių? kartų pagal daugiklius – kaip tai atrodo? Tai ne kas kita, kaip operacijos apibrėžimas daugyba: iš viso pasirodė daugikliai. Tai yra, pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus laipsnis su eksponentu:
Pavyzdys:
Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu
Be informacijos apie vidutinio lygio laipsnius, mes analizuosime laipsnį su neracionaliu rodikliu. Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu, su išimtimi - juk pagal apibrėžimą iracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra , neracionalieji skaičiai yra visi realieji skaičiai, išskyrus racionaliuosius).
Studijuodami laipsnius su natūraliu, sveiku skaičiumi ir racionaliu rodikliu, kiekvieną kartą sukurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais. Pavyzdžiui, natūralusis rodiklis yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus; skaičius iki nulio laipsnio yra tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jis dar nepradėtas dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „numerio paruošimas“, būtent skaičius; laipsnis su sveikuoju neigiamu rodikliu - tarsi įvyko tam tikras „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius nebuvo padaugintas iš savęs, o padalintas.
Labai sunku įsivaizduoti laipsnį su neracionaliu eksponentu (kaip sunku įsivaizduoti 4-matę erdvę). Greičiau tai yra grynai matematinis objektas, kurį matematikai sukūrė siekdami išplėsti laipsnio sąvoką į visą skaičių erdvę.
Beje, mokslas dažnai naudoja laipsnį su sudėtingu rodikliu, tai yra, eksponentas net nėra tikrasis skaičius. Tačiau mokykloje apie tokius sunkumus negalvojame, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.
Taigi, ką daryti, jei matome neracionalų eksponentą? Stengiamės jo atsikratyti! :)
Pavyzdžiui:
Spręskite patys:
| 1) | 2) | 3) |
Atsakymai:
- Prisiminkite kvadratų formulės skirtumą. Atsakymas:.
- Trupmenas sudarome į tą pačią formą: arba abu dešimtainius, arba abu paprastus. Pavyzdžiui, gauname: .
- Nieko ypatingo, taikome įprastas laipsnių savybes:
SKYRIAUS SANTRAUKA IR PAGRINDINĖ FORMULĖ
Laipsnis vadinama formos išraiška: , kur:
Laipsnis su sveikuoju rodikliu
laipsnis, kurio rodiklis yra natūralusis skaičius (t. y. sveikasis skaičius ir teigiamas).
Laipsnis su racionaliuoju rodikliu
laipsnis, kurio rodiklis yra neigiami ir trupmeniniai skaičiai.
Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu
rodiklis, kurio rodiklis yra begalinė dešimtainė trupmena arba šaknis.
Laipsnio savybės
Laipsnių ypatumai.
- Neigiamas skaičius padidintas iki net laipsnis, - skaičius teigiamas.
- Neigiamas skaičius padidintas iki nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
- Teigiamas bet kurios laipsnio skaičius yra teigiamas skaičius.
- Nulis yra lygus bet kokiai galiai.
- Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus.
DABAR TURI ŽODĮ...
Kaip jums patinka straipsnis? Leiskite man žinoti toliau pateiktuose komentaruose, ar jums tai patiko, ar ne.
Papasakokite apie savo patirtį, susijusią su galios savybėmis.
Galbūt turite klausimų. Arba pasiūlymų.
Rašyk komentaruose.
Ir sėkmės egzaminuose!
Pamokos turinysKas yra laipsnis?
Laipsnis vadinamas kelių vienodų veiksnių sandauga. Pavyzdžiui:
2×2×2
Šios išraiškos reikšmė yra 8
2 x 2 x 2 = 8
Kairiąją šios lygties pusę galima sutrumpinti – pirmiausia užrašykite pasikartojimo koeficientą ir ant jo nurodykite, kiek kartų jis kartojasi. Pasikartojantis daugiklis šiuo atveju yra 2. Kartojasi tris kartus. Todėl virš dvejeto rašome trigubą:
2 3 = 8
Ši išraiška skamba taip: nuo dviejų iki trečiojo laipsnio lygus aštuoniems arba " trečiasis 2 laipsnis yra 8.
Dažniau naudojama trumpoji tų pačių veiksnių daugybos rašymo forma. Todėl turime atsiminti, kad jei virš kurio nors skaičiaus įrašytas kitas skaičius, tai yra kelių identiškų faktorių dauginimas.
Pavyzdžiui, jei pateikiama išraiška 5 3, tuomet reikia turėti omenyje, kad ši išraiška yra lygiavertė 5 × 5 × 5 rašymui.
Iškviečiamas skaičius, kuris kartojasi laipsnio pagrindas. Išraiškoje 5 3 laipsnio pagrindas yra skaičius 5 .
Ir vadinamas skaičius, kuris įrašytas virš skaičiaus 5 eksponentas. Išraiškoje 5 3 eksponentas yra skaičius 3. Rodiklis parodo, kiek kartų kartojasi laipsnio bazė. Mūsų atveju 5 bazė kartojama tris kartus.
Vadinamas identiškų koeficientų dauginimo operacija eksponencija.
Pavyzdžiui, jei jums reikia rasti keturių identiškų veiksnių sandaugą, kurių kiekvienas yra lygus 2, tada jie sako, kad skaičius 2 pakeltas į ketvirtą laipsnį:
Matome, kad skaičius 2 iki ketvirtosios laipsnio yra skaičius 16.
Atkreipkite dėmesį, kad šioje pamokoje mes nagrinėjame laipsnių su natūraliu rodikliu. Tai savotiškas laipsnis, kurio eksponentas yra natūralusis skaičius. Prisiminkite, kad natūralūs skaičiai yra sveikieji skaičiai, didesni už nulį. Pavyzdžiui, 1, 2, 3 ir pan.
Apskritai laipsnio apibrėžimas su natūraliu rodikliu yra toks:
Laipsnis a su natūraliu indikatoriumi n yra formos išraiška a n, kuri yra lygi gaminiui n daugikliai, kurių kiekvienas yra lygus a
Pavyzdžiai:
Būkite atsargūs keldami skaičių į laipsnį. Dažnai dėl neatidumo žmogus laipsnio bazę padaugina iš laipsnio.
Pavyzdžiui, skaičius 5 iki antrosios laipsnio yra dviejų veiksnių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus 5. Ši sandauga yra lygi 25
Dabar įsivaizduokite, kad mes netyčia padauginome bazę 5 iš eksponento 2
Įvyko klaida, nes antrosios laipsnio skaičius 5 nėra lygus 10.
Be to, reikia paminėti, kad skaičiaus, kurio eksponentas yra 1, galia yra pats skaičius:
Pavyzdžiui, skaičius 5 iki pirmosios laipsnio yra pats skaičius 5.
Atitinkamai, jei skaičius neturi rodiklio, turime manyti, kad rodiklis yra lygus vienetui.
Pavyzdžiui, skaičiai 1, 2, 3 pateikiami be laipsnio, todėl jų rodikliai bus lygūs vienetui. Kiekvienas iš šių skaičių gali būti parašytas eksponentu 1
Ir jei padidinsite 0 iki bet kokios galios, gausite 0. Iš tiesų, nesvarbu, kiek kartų niekas nebūtų padaugintas iš savęs, niekas neišeis. Pavyzdžiai:
Ir išraiška 0 0 neturi prasmės. Tačiau kai kuriose matematikos šakose, ypač analizėje ir aibių teorijoje, išraiška 0 0 gali būti prasminga.
Treniruotėms išspręsime kelis skaičių didinimo į laipsnius pavyzdžius.
1 pavyzdys Pakelkite skaičių 3 į antrą laipsnį.
Skaičius 3 iki antrosios laipsnio yra dviejų veiksnių, kurių kiekvienas yra lygus 3, sandauga
3 2 = 3 × 3 = 9
2 pavyzdys Pakelkite skaičių 2 iki ketvirtosios laipsnio.
Skaičius 2 iki ketvirtosios laipsnio yra keturių veiksnių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus 2
2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
3 pavyzdys Pakelkite skaičių 2 iki trečios laipsnio.
Skaičius 2 iki trečiosios laipsnio yra trijų veiksnių, kurių kiekvienas yra lygus 2, sandauga
2 3 = 2 × 2 × 2 = 8
Skaičiaus 10 eksponencija
Norint padidinti skaičių 10 iki laipsnio, pakanka po vieneto pridėti nulių skaičių, lygų eksponentui.
Pavyzdžiui, skaičių 10 pakelkime į antrą laipsnį. Pirmiausia parašome patį skaičių 10 ir kaip rodiklį nurodome skaičių 2
10 2
Dabar dedame lygybės ženklą, užrašome vieną, o po šio – du nulius, nes nulių skaičius turi būti lygus eksponentui
10 2 = 100
Taigi, skaičius 10 antrosios laipsnio atžvilgiu yra skaičius 100. Taip yra dėl to, kad skaičius 10 iki antrosios laipsnio yra dviejų veiksnių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus 10
10 2 = 10 × 10 = 100
2 pavyzdys. Pakelkime skaičių 10 į trečią laipsnį.
Šiuo atveju po vieno bus trys nuliai:
10 3 = 1000
3 pavyzdys. Pakelkime skaičių 10 iki ketvirtosios laipsnio.
Šiuo atveju po vieno bus keturi nuliai:
10 4 = 10000
4 pavyzdys. Pakelkime skaičių 10 į pirmą laipsnį.
Šiuo atveju po vieneto bus vienas nulis:
10 1 = 10
Skaičių 10, 100, 1000 pavaizdavimas kaip laipsnis su 10 baze
Norėdami pavaizduoti skaičius 10, 100, 1000 ir 10 000 kaip laipsnį su 10 baze, turite parašyti bazę 10 ir nurodyti skaičių, lygų pradinio skaičiaus nulių skaičiui kaip eksponentą.
Pavaizduokime skaičių 10 kaip laipsnį su baze 10. Matome, kad jis turi vieną nulį. Taigi skaičius 10 kaip laipsnis su baze 10 bus pavaizduotas kaip 10 1
10 = 10 1
2 pavyzdys. Pavaizduokime skaičių 100 kaip laipsnį su baze 10. Matome, kad skaičiuje 100 yra du nuliai. Taigi skaičius 100 kaip laipsnis su baze 10 bus pavaizduotas kaip 10 2
100 = 10 2
3 pavyzdys. Pavaizduokime skaičių 1000 kaip laipsnį su 10 baze.
1 000 = 10 3
4 pavyzdys. Pavaizduokime skaičių 10 000 kaip laipsnį su 10 baze.
10 000 = 10 4
Neigiamojo skaičiaus didinimas
Keliant neigiamą skaičių į laipsnį, jis turi būti rašomas skliausteliuose.
Pavyzdžiui, neigiamą skaičių −2 pakelkime į antrą laipsnį. Skaičius −2 iki antrosios laipsnio yra dviejų veiksnių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus (−2)
(-2) 2 = (-2) × (-2) = 4
Jei nerašytume skaičiaus -2 skliausteliuose, tada išeitų, kad apskaičiuotume išraišką -2 2 , kuri nėra lygus 4 . Išraiška -2² bus lygi -4 . Norėdami suprasti, kodėl, palieskime kai kuriuos dalykus.
Kai prieš teigiamą skaičių dedame minusą, mes taip atliekame priešingos reikšmės paėmimo operacija.
Tarkime, kad duotas skaičius 2, o jums reikia rasti jam priešingą skaičių. Žinome, kad 2 priešingybė yra −2. Kitaip tariant, norint rasti priešingą skaičių 2, užtenka prieš šį skaičių įdėti minusą. Minuso įterpimas prieš skaičių jau laikomas visaverte matematikos operacija. Ši operacija, kaip minėta aukščiau, vadinama priešingos reikšmės gavimo operacija.
Išraiškos -2 2 atveju įvyksta dvi operacijos: priešingos reikšmės paėmimo ir eksponencijos operacija. Padidinimas iki galios yra didesnio prioriteto operacija nei priešingos vertės gavimas.
Todėl išraiška −2 2 apskaičiuojama dviem etapais. Pirma, atliekama eksponavimo operacija. Šiuo atveju teigiamas skaičius 2 buvo pakeltas į antrą laipsnį.
Tada buvo paimta priešinga vertė. Ši priešinga reikšmė buvo nustatyta 4 reikšmei. O priešinga 4 reikšmė yra −4
−2 2 = −4
Skliausteliuose yra didžiausia vykdymo pirmenybė. Todėl skaičiuojant išraišką (−2) 2, pirmiausia imama priešinga reikšmė, o tada neigiamas skaičius −2 keliamas į antrą laipsnį. Rezultatas yra teigiamas atsakymas 4, nes neigiamų skaičių sandauga yra teigiamas skaičius.
2 pavyzdys. Pakelkite skaičių −2 iki trečiosios laipsnio.
Skaičius –2 iki trečiosios laipsnio yra trijų veiksnių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus (–2)
(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8
3 pavyzdys. Pakelkite skaičių −2 iki ketvirtosios laipsnio.
Skaičius −2 iki ketvirtosios laipsnio yra keturių veiksnių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus (−2)
(-2) 4 = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 16
Nesunku pastebėti, kad neigiamą skaičių pakėlus į laipsnį, galima gauti arba teigiamą, arba neigiamą atsakymą. Atsakymo ženklas priklauso nuo pradinio laipsnio eksponento.
Jei rodiklis lyginis, atsakymas yra taip. Jei rodiklis nelyginis, atsakymas yra neigiamas. Parodykime tai skaičiaus −3 pavyzdžiu
Pirmu ir trečiu atveju rodiklis buvo nelyginis numerį, taip ir tapo atsakymas neigiamas.
Antru ir ketvirtu atveju rodiklis buvo net numerį, taip ir tapo atsakymas teigiamas.
7 pavyzdys Pakelkite skaičių -5 iki trečios laipsnio.
Skaičius -5 iki trečiosios laipsnio yra trijų veiksnių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus -5. Rodiklis 3 yra nelyginis skaičius, todėl galime iš anksto pasakyti, kad atsakymas bus neigiamas:
(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125
8 pavyzdys Pakelkite skaičių -4 iki ketvirtosios laipsnio.
Skaičius -4 iki ketvirtosios laipsnio yra keturių veiksnių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus -4. Šiuo atveju rodiklis 4 yra lygus, todėl galime iš anksto pasakyti, kad atsakymas bus teigiamas:
(-4) 4 = (-4) × (-4) × (-4) × (-4) = 256
Išraiškos reikšmių paieška
Kai randame reiškinių, kuriuose nėra skliaustų, reikšmes, pirmiausia bus atliktas eksponentas, tada daugyba ir padalijimas jų tvarka, o tada sudėjimas ir atėmimas jų tvarka.
1 pavyzdys. Raskite išraiškos 2 + 5 2 reikšmę
Pirma, atliekama eksponencija. Šiuo atveju skaičius 5 pakeliamas į antrą laipsnį – pasirodo 25. Tada šis rezultatas pridedamas prie skaičiaus 2
2 + 5 2 = 2 + 25 = 27
10 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę −6 2 × (−12)
Pirma, atliekama eksponencija. Atkreipkite dėmesį, kad skaičius −6 nėra skliausteliuose, todėl skaičius 6 bus pakeltas į antrą laipsnį, tada prieš rezultatą bus dedamas minusas:
–6 2 × (–12) = –36 × (–12)
Pavyzdį užbaigiame padaugindami -36 iš (-12)
–6 2 × (–12) = –36 × (–12) = 432
11 pavyzdys. Raskite išraiškos −3 × 2 2 reikšmę
Pirma, atliekama eksponencija. Tada rezultatas padauginamas iš skaičiaus −3
−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12
Jei išraiškoje yra skliaustų, pirmiausia turite atlikti operacijas šiuose skliausteliuose, tada didinti, tada dauginti ir dalyti, o tada sudėti ir atimti.
12 pavyzdys. Raskite reiškinio reikšmę (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5
Pirmiausia padarykime skliaustus. Skliaustuose taikome anksčiau išmoktas taisykles, būtent, pirmiausia pakelkite skaičių 3 į antrą laipsnį, tada atlikite daugybą 1 × 3, tada sudėkite skaičiaus 3 padidinimo į laipsnį ir padaugindami iš 1 × 3 rezultatus. Tada atimimas ir sudėjimas atliekami tokia tvarka, kokia jie atsiranda. Sudėkime tokią pradinės išraiškos veiksmo atlikimo tvarką:
(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2
13 pavyzdys. Raskite išraiškos 2 × 5 3 + 5 × 2 3 reikšmę
Pirmiausia pakeliame skaičius iki laipsnio, tada atliekame dauginimą ir pridedame rezultatus:
2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290
Galių tapatybės transformacijos
Įvairios identiškos galių transformacijos gali būti atliekamos taip jas supaprastinant.
Tarkime, reikėjo apskaičiuoti (2 3) 2 išraišką. Šiame pavyzdyje nuo dviejų iki trečiojo laipsnio pakeliama į antrą laipsnį. Kitaip tariant, laipsnis pakeliamas į kitą laipsnį.
(2 3) 2 yra dviejų laipsnių, kurių kiekvienas yra lygus 2 3, sandauga
Be to, kiekviena iš šių galių yra trijų veiksnių, kurių kiekvienas yra lygus 2, sandauga
Gavome sandaugą 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, kuri yra lygi 64. Taigi išraiškos reikšmė (2 3) 2 arba lygi 64
Šį pavyzdį galima labai supaprastinti. Tam galima padauginti reiškinio (2 3) 2 rodiklius ir parašyti šį sandaugą per bazę 2
Gavau 26. Nuo dviejų iki šešto laipsnio yra šešių veiksnių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus 2. Ši sandauga yra lygi 64
Ši savybė veikia, nes 2 3 yra 2 × 2 × 2 sandauga, kuri savo ruožtu kartojama du kartus. Tada paaiškėja, kad 2 bazė kartojama šešis kartus. Iš čia galime parašyti, kad 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 yra 2 6
Apskritai, dėl bet kokios priežasties a su rodikliais m Ir n, galioja ši lygybė:
(a n)m = a n × m
Ši identiška transformacija vadinama eksponencija. Tai galima perskaityti taip: „Keliant laipsnį į laipsnį, bazė paliekama nepakitusi, o laipsniai dauginami“ .
Padauginus rodiklius, gaunamas kitas laipsnis, kurio reikšmę galima rasti.
2 pavyzdys. Raskite reiškinio reikšmę (3 2) 2
Šiame pavyzdyje bazė yra 3, o skaičiai 2 ir 2 yra rodikliai. Pasinaudokime eksponencijos taisykle. Paliekame nepakeistą bazę ir padauginame rodiklius:
Gavau 34. O skaičius 3 iki ketvirtosios laipsnio yra 81
Pažvelkime į likusias transformacijas.
Galios dauginimas
Norėdami padauginti laipsnius, turite atskirai apskaičiuoti kiekvieną laipsnį ir padauginti rezultatus.
Pavyzdžiui, 2 2 padauginkime iš 3 3 .
2 2 yra skaičius 4, o 3 3 yra skaičius 27. Padauginus skaičius 4 ir 27, gauname 108
2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108
Šiame pavyzdyje galių pagrindai buvo skirtingi. Jei pagrindai yra vienodi, tada galima užrašyti vieną bazę, o kaip rodiklį parašyti pradinių laipsnių rodiklių sumą.
Pavyzdžiui, 2 2 padauginkite iš 2 3
Šiame pavyzdyje eksponentai turi tą pačią bazę. Tokiu atveju galite parašyti vieną bazę 2 ir kaip rodiklį parašyti rodiklių 2 2 ir 2 3 sumą. Kitaip tariant, palikite bazę nepakeistą ir pridėkite pradinių laipsnių eksponentus. Tai atrodys taip:
Gavau 25. Skaičius 2 iki penktosios laipsnio yra 32
Ši savybė veikia, nes 2 2 yra 2 × 2 sandauga, o 2 3 yra 2 × 2 × 2 sandauga. Tada gaunama penkių identiškų koeficientų sandauga, kurių kiekvienas yra lygus 2. Šis produktas gali būti pavaizduotas kaip 2 5
Apskritai, bet kokiam a ir rodikliai m Ir n galioja ši lygybė:
Ši identiška transformacija vadinama pagrindinė laipsnio savybė. Tai galima perskaityti taip: PDauginant laipsnius su ta pačia baze, bazė paliekama nepakitusi, o laipsniai pridedami. .
Atkreipkite dėmesį, kad ši transformacija gali būti taikoma bet kokiam laipsnių skaičiui. Svarbiausia, kad pagrindas būtų tas pats.
Pavyzdžiui, suraskime reiškinio reikšmę 2 1 × 2 2 × 2 3 . 2 pamatas
Kai kuriose problemose gali pakakti atlikti atitinkamą transformaciją neapskaičiuojant galutinio laipsnio. Tai, žinoma, labai patogu, nes nėra taip paprasta apskaičiuoti dideles galias.
1 pavyzdys. Išreikškite kaip galią išraišką 5 8 × 25
Šioje užduotyje reikia padaryti taip, kad vietoj išraiškos 5 8 × 25 būtų gautas vienas laipsnis.
Skaičius 25 gali būti pavaizduotas kaip 5 2 . Tada gauname tokią išraišką:
Šioje išraiškoje galite pritaikyti pagrindinę laipsnio savybę - palikti 5 bazę nepakeistą ir pridėti rodiklius 8 ir 2:
Parašykime sprendimą trumpai:
2 pavyzdys. Išreikškite kaip galią išraišką 2 9 × 32
Skaičius 32 gali būti pavaizduotas kaip 25. Tada gauname išraišką 2 9 × 2 5 . Toliau galite pritaikyti bazinę laipsnio savybę – 2 bazę palikti nepakeistą ir pridėti rodiklius 9 ir 5. Dėl to bus gautas toks sprendimas:
3 pavyzdys. Apskaičiuokite 3 × 3 sandaugą naudodami pagrindinę galios savybę.
Visi puikiai žino, kad trys kart trys yra lygu devyni, tačiau sprendžiant užduotį reikia panaudoti pagrindinę laipsnio savybę. Kaip tai padaryti?
Primename, kad jei skaičius pateikiamas be rodiklio, tada rodiklis turi būti laikomas lygiu vienetui. Taigi koeficientai 3 ir 3 gali būti parašyti kaip 3 1 ir 3 1
3 1 × 3 1
Dabar naudojame pagrindinę laipsnio savybę. 3 pagrindą paliekame nepakeistą ir pridedame 1 ir 1 rodiklius:
3 1 × 3 1 = 3 2 = 9
4 pavyzdys. Apskaičiuokite sandaugą 2 × 2 × 3 2 × 3 3 naudodami pagrindinę galios savybę.
Produktą 2 × 2 pakeičiame 2 1 × 2 1 , tada 2 1 + 1 ir 2 2 . 3 2 × 3 3 sandauga pakeičiama 3 2 + 3 ir tada 3 5
5 pavyzdys. Atlikite dauginimą x × x
Tai yra du identiški abėcėlės veiksniai su rodikliais 1. Aiškumo dėlei šiuos rodiklius užrašome. Tolesnė bazė x palikite jį nepakeistą ir pridėkite rodiklius:
Būnant prie lentos nereikėtų taip smulkiai, kaip čia daroma, surašyti galių dauginimo tais pačiais pagrindais. Tokie skaičiavimai turi būti atliekami mintyse. Išsamus įrašas greičiausiai suerzins mokytoją ir jis sumažins balą už tai. Čia pateikiamas išsamus įrašas, kad medžiaga būtų kuo lengviau suprantama.
Šio pavyzdžio sprendimas turėtų būti parašytas taip:
6 pavyzdys. Atlikite dauginimą x 2 × x
Antrojo faktoriaus indeksas lygus vienetui. Aiškumo dėlei užsirašykime. Toliau bazę paliekame nepakeistą ir pridedame rodiklius:
7 pavyzdys. Atlikite dauginimą y 3 y 2 y
Trečiojo faktoriaus indeksas lygus vienetui. Aiškumo dėlei užsirašykime. Toliau bazę paliekame nepakeistą ir pridedame rodiklius:
8 pavyzdys. Atlikite dauginimą aa 3 a 2 a 5
Pirmojo koeficiento indeksas lygus vienetui. Aiškumo dėlei užsirašykime. Toliau bazę paliekame nepakeistą ir pridedame rodiklius:
9 pavyzdys. Išreikškite 3 8 laipsnį kaip galių sandaugą su ta pačia baze.
Šiame uždavinyje reikia sudaryti laipsnių sandaugą, kurios bazės bus lygios 3, o eksponentų suma lygi 8. Galite naudoti bet kokius rodiklius. Mes atstovaujame laipsnį 3 8 kaip laipsnių 3 5 ir 3 3 sandaugą
Šiame pavyzdyje mes vėl rėmėmės pagrindine laipsnio savybe. Juk išraišką 3 5 × 3 3 galima užrašyti kaip 3 5 + 3, iš kur 3 8 .
Žinoma, buvo galima pavaizduoti galią 3 8 kaip kitų galių sandaugą. Pavyzdžiui, 3 7 × 3 1 forma, nes šis produktas taip pat yra 3 8
Laipsnio reprezentavimas kaip galių, turinčių tą patį pagrindą, produktas dažniausiai yra kūrybinis darbas. Taigi nebijokite eksperimentuoti.
10 pavyzdys. Pateikti laipsnį x 12 kaip įvairūs galių sandaugai su bazėmis x .
Pasinaudokime pagrindine laipsnio savybe. Įsivaizduok x 12 kaip gaminiai su bazėmis x, o kurių eksponentų suma lygi 12
Aiškumo dėlei buvo užfiksuotos konstrukcijos su rodiklių sumomis. Dažniausiai juos galima praleisti. Tada gauname kompaktišką sprendimą:
Produkto eksponentiškumas
Norėdami padidinti gaminį iki galios, turite padidinti kiekvieną šio produkto koeficientą iki nurodytos galios ir padauginti rezultatus.
Pavyzdžiui, pakelkime sandaugą 2 × 3 iki antrojo laipsnio. Šį gaminį paimame skliausteliuose ir nurodome 2 kaip indikatorių
Dabar kiekvieną 2 × 3 sandaugos koeficientą padidinkime iki antrojo laipsnio ir padauginkime rezultatus:
Šios taisyklės veikimo principas grindžiamas laipsnio apibrėžimu, kuris buvo pateiktas pačioje pradžioje.
Padidinus sandaugą 2 × 3 iki antrojo laipsnio, šis sandaugas kartojamas du kartus. Ir jei pakartosite tai du kartus, galite gauti šiuos rezultatus:
2×3×2×3
Nuo faktorių vietų permutacijos sandauga nesikeičia. Tai leidžia sugrupuoti tuos pačius daugiklius:
2×2×3×3
Pasikartojančius daugiklius galima pakeisti trumpais įrašais – bazėmis su eksponentais. 2 × 2 sandauga gali būti pakeista 2 2 , o 3 × 3 sandauga gali būti pakeista 3 2 . Tada išraiška 2 × 2 × 3 × 3 virsta išraiška 2 × 3 × 2 .
Leisti būti ab originalus darbas. Norėdami pakelti šį gaminį į galią n, reikia atskirai pakelti veiksnius a Ir b iki nurodyto laipsnio n
Ši savybė galioja daugeliui veiksnių. Taip pat galioja šios išraiškos:
2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę (2 × 3 × 4) 2
Šiame pavyzdyje turite pakelti sandaugą 2 × 3 × 4 iki antrojo laipsnio. Norėdami tai padaryti, kiekvieną šio produkto koeficientą turite padidinti iki antrojo laipsnio ir padauginti rezultatus:
3 pavyzdys. Pakelkite gaminį į trečią laipsnį a × b × c
Šį gaminį pateikiame skliausteliuose, o kaip indikatorių nurodome skaičių 3
4 pavyzdys. Pakelkite gaminį į trečią laipsnį 3 xyz
Šį gaminį pateikiame skliausteliuose ir nurodome 3 kaip indikatorių
(3xyz) 3
Padidinkime kiekvieną šio produkto koeficientą iki trečios laipsnio:
(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3
Skaičius 3 iki trečiosios laipsnio yra lygus skaičiui 27. Likusią dalį paliekame nepakeistą:
(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3 = 27x 3 y 3 z 3
Kai kuriuose pavyzdžiuose laipsnių, turinčių tuos pačius rodiklius, dauginimą galima pakeisti bazių, turinčių tą patį rodiklį, sandauga.
Pavyzdžiui, apskaičiuokime reiškinio reikšmę 5 2 × 3 2 . Padidinkite kiekvieną skaičių iki antrojo laipsnio ir padauginkite rezultatus:
5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225
Bet jūs negalite apskaičiuoti kiekvieno laipsnio atskirai. Vietoj to, šis laipsnių sandauga gali būti pakeista sandauga su vienu laipsniu (5 × 3) 2 . Tada apskaičiuokite vertę skliausteliuose ir padidinkite rezultatą iki antrojo laipsnio:
5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225
Šiuo atveju vėl buvo taikoma gaminio didinimo taisyklė. Juk jei (a x b)n = a n × b n , tada a n × b n = (a × b) n. Tai yra, kairė ir dešinė lygties pusės yra apverstos.
Eksponentiškumas
Šią transformaciją laikėme pavyzdžiu, kai bandėme suprasti identiškų laipsnių transformacijų esmę.
Didinant laipsnį į laipsnį, bazė paliekama nepakitusi, o rodikliai dauginami:
(a n)m = a n × m
Pavyzdžiui, išraiška (2 3) 2 yra laipsnio kėlimas į laipsnį – du į trečią laipsnį pakeliamas į antrą laipsnį. Norint rasti šios išraiškos reikšmę, bazę galima palikti nepakeistą, o eksponentus padauginti:
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64
Ši taisyklė grindžiama ankstesnėmis taisyklėmis: sandaugos eksponencija ir pagrindine laipsnio savybe.
Grįžkime prie išraiškos (2 3) 2 . Išraiška skliausteliuose 2 3 yra trijų identiškų koeficientų, kurių kiekvienas yra lygus 2, sandauga. Tada (2 3) 2 išraiškoje skliaustuose esanti galia gali būti pakeista sandauga 2 × 2 × 2.
(2 × 2 × 2) 2
Ir tai yra produkto, kurį mes studijavome anksčiau, eksponencija. Prisiminkite, kad norėdami padidinti gaminį iki galios, turite padidinti kiekvieną šio gaminio koeficientą iki nurodytos galios ir padauginti rezultatus:
(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2
Dabar mes kalbame apie pagrindinę laipsnio savybę. Paliekame nepakeistą bazę ir pridedame rodiklius:
(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6
Kaip ir anksčiau, gavome 26. Šio laipsnio vertė yra 64
(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64
Produktas, kurio veiksniai taip pat yra galios, taip pat gali būti pakeltas į laipsnį.
Pavyzdžiui, suraskime reiškinio reikšmę (2 2 × 3 2) 3 . Čia kiekvieno daugiklio rodikliai turi būti padauginti iš bendro rodiklio 3. Tada suraskite kiekvieno laipsnio vertę ir apskaičiuokite sandaugą:
(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656
Apytiksliai tas pats atsitinka pakėlus gaminio galią. Sakėme, kad keliant gaminį iki galios, kiekvienas šio gaminio faktorius pakeliamas iki nurodytos galios.
Pavyzdžiui, norėdami pakelti sandaugą 2 × 4 iki trečiosios laipsnio, turite parašyti šią išraišką:
Tačiau anksčiau buvo sakoma, kad jei skaičius pateikiamas be rodiklio, tada rodiklis turėtų būti laikomas lygiu vienetui. Pasirodo, sandaugos 2 × 4 koeficientai iš pradžių yra lygūs 1. Tai reiškia, kad išraiška 2 1 × 4 1 buvo padidinta iki trečiosios laipsnio. Ir tai yra laipsnio pakėlimas į galią.
Perrašykime sprendimą naudodami eksponencijos taisyklę. Turėtume gauti tą patį rezultatą:
2 pavyzdys. Raskite reiškinio reikšmę (3 3) 2
Paliekame nepakeistą bazę ir padauginame rodiklius:
Gavau 36. Skaičius 3 iki šeštojo laipsnio yra skaičius 729
3 pavyzdysxy)³
4 pavyzdys. Atlikite eksponenciją išraiškoje ( abc)⁵
Pakelkime kiekvieną sandaugos koeficientą iki penktojo laipsnio:
5 pavyzdyskirvis) 3
Pakelkime kiekvieną sandaugos koeficientą iki trečios laipsnio:
Kadangi neigiamas skaičius −2 buvo pakeltas į trečią laipsnį, jis buvo paimtas skliausteliuose.
6 pavyzdys. Atlikite eksponenciją išraiškoje (10 xy) 2
7 pavyzdys. Atlikite eksponenciją išraiškoje (−5 x) 3
8 pavyzdys. Atlikite eksponenciją išraiškoje (-3 y) 4
9 pavyzdys. Atlikite eksponenciją išraiškoje (-2 abx)⁴
10 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką x 5×( x 2) 3
Laipsnis x 5 kol kas išliks nepakitęs, o išraiškoje ( x 2) 3 atlikite laipsnio eksponenciją:
x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6
Dabar atlikime dauginimą x 5 × x 6. Norėdami tai padaryti, naudojame pagrindinę laipsnio savybę - bazę x palikite jį nepakeistą ir pridėkite rodiklius:
x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = x 5 + 6 = x 11
9 pavyzdys. Raskite išraiškos 4 3 × 2 2 reikšmę naudodami pagrindinę laipsnio savybę.
Pagrindinė laipsnio savybė gali būti naudojama, jei pradinių laipsnių pagrindai yra vienodi. Šiame pavyzdyje bazės yra skirtingos, todėl pirmiausia reikia šiek tiek pakeisti pradinę išraišką, būtent, kad laipsnių pagrindai taptų vienodi.
Atidžiai pažvelkime į 4 3 galią. Šio laipsnio pagrindas yra skaičius 4, kurį galima pavaizduoti kaip 2 2 . Tada pradinė išraiška įgaus formą (2 2) 3 × 2 2 . Eksponentindami laipsnį reiškinyje (2 2) 3 , gauname 2 6 . Tada pradinė išraiška bus 2 6 × 2 2 forma, kurią galima apskaičiuoti naudojant pagrindinę laipsnio savybę.
Parašykime šio pavyzdžio sprendimą:
Valdžių padalijimas
Norėdami atlikti galios padalijimą, turite rasti kiekvieno laipsnio reikšmę, tada padalyti įprastus skaičius.
Pavyzdžiui, 4 3 padalinkime iš 2 2 .
Apskaičiuokite 4 3 , gausime 64 . Apskaičiuojame 2 2, gauname 4. Dabar 64 padaliname iš 4, gauname 16
Jei dalijant pagrindo laipsnius paaiškėja, kad jie yra vienodi, tada bazę galima palikti nepakeistą, o daliklio rodiklį atimti iš dividendo laipsnio.
Pavyzdžiui, suraskime išraiškos 2 3 reikšmę: 2 2
2 bazę paliekame nepakeistą ir iš dividendo rodiklio atimame daliklio rodiklį:
Taigi išraiškos 2 3: 2 2 reikšmė yra 2 .
Ši savybė remiasi galių padauginimu su tais pačiais pagrindais arba, kaip sakydavome, pagrindine laipsnio savybe.
Grįžkime prie ankstesnio pavyzdžio 2 3: 2 2 . Čia dividendas yra 2 3, o daliklis yra 2 2.
Vieną skaičių padalyti iš kito reiškia rasti skaičių, kurį padauginus iš daliklio, bus gautas dividendas.
Mūsų atveju 2 3 dalijimas iš 2 2 reiškia laipsnio radimą, kurį padauginus iš daliklio 2 2, gausime 2 3 . Kokią galią galima padauginti iš 2 2, kad gautume 2 3? Akivaizdu, kad tik laipsnis 2 1 . Iš pagrindinės laipsnio savybės turime:
Galite patikrinti, ar išraiškos 2 3: 2 2 reikšmė yra 2 1, tiesiogiai įvertinę išraišką 2 3: 2 2 . Norėdami tai padaryti, pirmiausia randame laipsnio reikšmę 2 3, gauname 8. Tada randame laipsnio reikšmę 2 2 , gauname 4 . Padalinkite 8 iš 4, gausime 2 arba 2 1 , nes 2 = 2 1 .
2 3: 2 2 = 8: 4 = 2
Taigi, dalijant galias ta pačia baze, galioja ši lygybė:
Taip pat gali atsitikti taip, kad ne tik bazės, bet ir rodikliai gali būti vienodi. Šiuo atveju atsakymas bus vienas.
Pavyzdžiui, raskime išraiškos 2 2 reikšmę: 2 2 . Apskaičiuokime kiekvieno laipsnio reikšmę ir padalinkime gautus skaičius:
Spręsdami 2 2: 2 2 pavyzdį, taip pat galite taikyti laipsnių dalijimo taisyklę tais pačiais pagrindais. Rezultatas yra nulinės laipsnio skaičius, nes skirtumas tarp 2 2 ir 2 2 rodiklių yra lygus nuliui:
Kodėl skaičius 2 iki nulio laipsnio yra lygus vienetui, mes sužinojome aukščiau. Jei apskaičiuojate 2 2: 2 2 įprastu būdu, nenaudodami laipsnių padalijimo taisyklės, gausite vieną.
2 pavyzdys. Raskite išraiškos 4 12: 4 10 reikšmę
4 paliekame nepakeistą ir iš dividendo rodiklio atimame daliklio rodiklį:
4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16
3 pavyzdys. Pateikti privačiai x 3: x kaip laipsnis su pagrindu x
Pasinaudokime laipsnių padalijimo taisykle. Bazė x palikite jį nepakeistą ir iš dividendo rodiklio atimkite daliklio rodiklį. Daliklio rodiklis lygus vienetui. Kad būtų aiškumo, užsirašykime:
4 pavyzdys. Pateikti privačiai x 3: x 2 kaip galia su pagrindu x
Pasinaudokime laipsnių padalijimo taisykle. Bazė x
Laipsnių padalijimas gali būti parašytas trupmena. Taigi, ankstesnį pavyzdį galima parašyti taip:
Trupmenos skaitiklis ir vardiklis gali būti parašyti išplėstine forma, būtent identiškų veiksnių sandaugų forma. Laipsnis x 3 gali būti parašytas kaip x × x × x, ir laipsnį x 2 as x × x. Tada statyba x 3–2 galima praleisti ir naudoti frakcijų mažinimą. Skaitiklyje ir vardiklyje bus galima sumažinti po du veiksnius x. Rezultatas bus vienas daugiklis x
Arba dar trumpiau:
Taip pat naudinga greitai sumažinti trupmenas, susidedančias iš laipsnių. Pavyzdžiui, trupmena gali būti sumažinta iki x 2. Norėdami sumažinti dalį x 2 trupmenos skaitiklį ir vardiklį reikia padalyti iš x 2
Neįmanoma išsamiai aprašyti laipsnių padalijimo. Aukščiau pateikta santrumpa gali būti sutrumpinta:
Arba dar trumpiau:
5 pavyzdys. Vykdyti padalijimą x 12 : x 3
Pasinaudokime laipsnių padalijimo taisykle. Bazė x palikite jį nepakeistą ir iš dividendo rodiklio atimkite daliklio rodiklį:
Rašome sprendimą naudodami frakcijų mažinimą. Valdžių padalijimas x 12 : x 3 bus parašytas kaip . Toliau šią trupmeną sumažiname x 3 .
6 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę
Skaitiklyje atliekame galių dauginimą tomis pačiomis bazėmis:
Dabar taikome galių padalijimo taisyklę tais pačiais pagrindais. 7 bazę paliekame nepakeistą ir iš dividendo rodiklio atimame daliklio rodiklį:
Pavyzdį užbaigiame apskaičiuodami 7 2 galią
7 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę
Atlikime eksponenciją skaitiklyje. Tai turite padaryti naudodami išraišką (2 3) 4
Dabar atlikime galių dauginimą tomis pačiomis skaitiklio bazėmis.
