Kaip išspręsti natūralių logaritmų lygtis. Logaritminė lygtis: pagrindinės formulės ir metodai. Abiejų lygties pusių logaritmas
Logaritminės lygtys ir nelygybės USE variantuose matematikoje yra skirta užduotis C3 . Kiekvienas studentas turėtų išmokti spręsti užduotis C3 iš vieningo valstybinio matematikos egzamino, jei nori išlaikyti būsimą egzaminą „gerai“ ar „puikiai“. Šiame straipsnyje trumpai apžvelgiamos dažniausiai pasitaikančios logaritminės lygtys ir nelygybės bei pagrindiniai jų sprendimo būdai.
Taigi šiandien pažvelkime į keletą pavyzdžių. logaritmines lygtis ir nelygybes, kurie buvo pasiūlyti studentams pastarųjų metų matematikos USE variantuose. Bet pradėkite nuo santrauka Pagrindiniai teoriniai klausimai, kuriuos turime išspręsti.
logaritminė funkcija
Apibrėžimas
Peržiūros funkcija
0,\, a\ne 1 \]" title="(!LANG:Pateikė QuickLaTeX.com">!}
paskambino logaritminė funkcija.
Pagrindinės savybės
Pagrindinės logaritminės funkcijos savybės y= žurnalas a x:
Logaritminės funkcijos grafikas yra logaritminė kreivė:
Logaritmų savybės
Produkto logaritmas du teigiami skaičiai yra lygūs šių skaičių logaritmų sumai:
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Dalinio logaritmas du teigiami skaičiai yra lygūs šių skaičių logaritmų skirtumui:
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Jeigu a Ir b a≠ 1, tada bet kuriam skaičiui r sąžininga lygybė:
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Lygybėžurnalas a t= žurnalas a s, kur a > 0, a ≠ 1, t > 0, s> 0 yra teisinga tada ir tik tada t = s.
Jeigu a, b, c yra teigiami skaičiai ir a Ir c skiriasi nuo vienybės, tada lygybė ( konvertavimo formulę į naują logaritmo bazę):
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
1 teorema. Jeigu f(x) > 0 ir g(x) > 0, tada logaritminė lygtis log a f(x) = žurnalas a g(x) (kur a > 0, a≠ 1) yra lygiavertė lygčiai f(x) = g(x).
Logaritminių lygčių ir nelygybių sprendimas
1 pavyzdys Išspręskite lygtį:
Sprendimas. Priimtinų verčių diapazonas apima tik tas x, kurios išraiška po logaritmo ženklu yra didesnė už nulį. Šios vertės nustatomos pagal šią nelygybių sistemą:
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Atsižvelgiant į tai, kad
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
gauname intervalą, kuris nustato šios logaritminės lygties leistinų verčių plotą:
Remdamiesi 1 teorema, kurios visos sąlygos čia tenkinamos, pereiname prie šios ekvivalentinės kvadratinės lygties:
Į priimtinų verčių diapazoną įtraukiama tik pirmoji šaknis.
Atsakymas: x=7.
2 pavyzdys Išspręskite lygtį:
Sprendimas. Lygties leistinų verčių diapazonas nustatomas pagal nelygybių sistemą:
ql-right-eqno">
Sprendimas. Lygties leistinų verčių diapazonas yra lengvai apibrėžtas čia: x > 0.
Mes naudojame pakaitalą:
Lygtis įgauna tokią formą:
Atgal pakeitimas:
Abu atsakymąįveskite leistinų lygties verčių diapazoną, nes tai yra teigiami skaičiai.
4 pavyzdys Išspręskite lygtį:
Sprendimas. Pradėkime sprendimą dar kartą, nustatydami leistinų lygties verčių diapazoną. Jį apibrėžia tokia nelygybių sistema:
ql-right-eqno">
Logaritmų pagrindai yra vienodi, todėl galiojančių verčių diapazone galite pereiti prie šios kvadratinės lygties:
Pirmoji šaknis neįtraukta į leistinų lygties reikšmių diapazoną, antroji – įtraukta.
Atsakymas: x = -1.
5 pavyzdys Išspręskite lygtį:
Sprendimas. Intervale ieškosime sprendimų x > 0, x≠1. Paverskime lygtį į lygiavertę:
Abu atsakymą yra leistinų lygties verčių diapazone.
6 pavyzdys Išspręskite lygtį:
Sprendimas. Nelygybių sistema, apibrėžianti lygties leistinų verčių diapazoną, šį kartą turi tokią formą:
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Naudodami logaritmo savybes lygtį paverčiame lygiaverte leistinų verčių diapazone:
Naudodami perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulę, gauname:
Tik vienas yra leidžiamame diapazone. atsakymas: x = 4.
Pereikime prie logaritmines nelygybes . Būtent su tuo teks susidurti per matematikos egzaminą. Norėdami išspręsti kitus pavyzdžius, mums reikia šios teoremos:
2 teorema. Jeigu f(x) > 0 ir g(x) > 0, tada:
adresu a> 1 logaritminė nelygybė log a f(x)> žurnalas a g(x) yra lygiavertis tos pačios reikšmės nelygybei: f(x) > g(x);
ties 0< a < 1 логарифмическое неравенство log a f(x)> žurnalas a g(x) yra lygiavertis priešingos reikšmės nelygybei: f(x) < g(x).
7 pavyzdys Išspręskite nelygybę:
Sprendimas. Pradėkime nuo priimtinų nelygybės verčių diapazono apibrėžimo. Išraiška po logaritminės funkcijos ženklu turi turėti tik teigiamas reikšmes. Tai reiškia, kad norimas priimtinų verčių diapazonas nustatomas pagal šią nelygybių sistemą:
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Kadangi logaritmo pagrindas yra skaičius, mažesnis už vieną, atitinkama logaritminė funkcija mažės, todėl pagal 2 teoremą perėjimas prie šios kvadratinės nelygybės bus lygiavertis:
Galiausiai, atsižvelgdami į leistinų verčių diapazoną, gauname atsakymas:
8 pavyzdys Išspręskite nelygybę:
Sprendimas. Pradėkime iš naujo nustatydami priimtinų verčių diapazoną:
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Priimtinų nelygybės verčių rinkinyje atliekame lygiavertes transformacijas:
Sumažinę ir perėję prie nelygybės ekvivalento pagal 2 teoremą, gauname:
Atsižvelgdami į leistinų verčių diapazoną, gauname galutinį atsakymas:
9 pavyzdys Išspręskite logaritminę nelygybę:
Sprendimas. Priimtinų nelygybės verčių diapazonas nustatomas pagal šią sistemą:
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Matyti, kad leistinų reikšmių diapazone logaritmo pagrindo išraiška visada yra didesnė už vienetą, todėl pagal 2 teoremą perėjimas prie šios nelygybės bus lygiavertis:
Atsižvelgdami į priimtinų verčių diapazoną, gauname galutinį atsakymą:
10 pavyzdys Išspręskite nelygybę:
Sprendimas.
Priimtinų nelygybės dydžių sritis nustatoma pagal nelygybių sistemą:
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Aš būdas. Naudokime perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulę ir pereikime prie nelygybės, kuri yra lygiavertė leistinų verčių srityje.
Šiuo vaizdo įrašu pradedu ilgą pamokų apie logaritmines lygtis seriją. Dabar iš karto turite tris pavyzdžius, kurių pagrindu išmoksime išspręsti paprasčiausias užduotis, kurios vadinamos taip - pirmuonys.
log 0,5 (3x - 1) = -3
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Leiskite jums priminti, kad paprasčiausia logaritminė lygtis yra tokia:
log a f(x) = b
Svarbu, kad kintamasis x būtų tik argumento viduje, ty tik funkcijoje f(x). O skaičiai a ir b yra tik skaičiai ir jokiu būdu nėra funkcijos, turinčios kintamąjį x.
Pagrindiniai sprendimo būdai
Yra daug būdų, kaip išspręsti tokias struktūras. Pavyzdžiui, dauguma mokytojų mokykloje siūlo tokį būdą: Nedelsdami išreikškite funkciją f ( x ) naudodami formulę f( x ) = a b . Tai yra, kai sutinkate paprasčiausią konstrukciją, galite iš karto pereiti prie sprendimo be papildomų veiksmų ir konstrukcijų.
Taip, žinoma, sprendimas bus teisingas. Tačiau šios formulės problema yra ta, kad dauguma studentų nesuprasti, iš kur ji atsiranda ir kodėl būtent a raidę keliame į raidę b.
Dėl to dažnai pastebiu labai įžeidžiančias klaidas, kai, pavyzdžiui, šios raidės yra sukeičiamos. Šią formulę reikia arba suprasti, arba įsiminti, o antrasis metodas priveda prie klaidų pačiais netinkamiausiais ir svarbiausiais momentais: egzaminuose, testuose ir pan.
Todėl siūlau visiems savo mokiniams atsisakyti standartinės mokyklos formulės ir sprendžiant logaritmines lygtis antrąjį metodą, kuris, kaip tikriausiai atspėjote iš pavadinimo, vadinasi kanoninė forma.
Kanoninės formos idėja yra paprasta. Dar kartą pažvelkime į savo užduotį: kairėje pusėje yra log a , o raidė a reiškia tiksliai skaičių ir jokiu būdu ne funkciją, kurioje yra kintamasis x. Todėl šiai raidei taikomi visi apribojimai, taikomi logaritmo pagrindui. būtent:
1 ≠ a > 0
Kita vertus, iš tos pačios lygties matome, kad logaritmas turi būti lygus skaičiui b, ir šiai raidei nėra taikomi jokie apribojimai, nes ji gali įgauti bet kokią reikšmę – ir teigiamą, ir neigiamą. Viskas priklauso nuo to, kokias reikšmes įgyja funkcija f(x).
Ir čia mes prisimename mūsų nuostabią taisyklę, kad bet kuris skaičius b gali būti pavaizduotas kaip logaritmas bazėje a nuo a iki b laipsnio:
b = log a a b
Kaip atsiminti šią formulę? Taip, labai paprasta. Parašykime tokią konstrukciją:
b = b 1 = b log a a
Žinoma, tokiu atveju atsiranda visi apribojimai, kuriuos užsirašėme pradžioje. O dabar pasinaudokime pagrindine logaritmo savybe ir įveskime koeficientą b kaip a laipsnį. Mes gauname:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Dėl to pradinė lygtis bus perrašyta tokia forma:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Tai viskas. Naujojoje funkcijoje nebėra logaritmo ir ji išsprendžiama naudojant standartinius algebrinius metodus.
Žinoma, kas nors dabar paprieštaraus: kodėl išvis reikėjo sugalvoti kokią nors kanoninę formulę, kam atlikti du papildomus nereikalingus žingsnius, jei buvo galima iš karto pereiti nuo pirminės konstrukcijos prie galutinės formulės? Taip, jei tik todėl, kad dauguma studentų nesupranta, iš kur atsiranda ši formulė, ir dėl to reguliariai klysta ją taikydami.
Tačiau tokia veiksmų seka, susidedanti iš trijų žingsnių, leidžia išspręsti pradinę logaritminę lygtį, net jei nesupranti, iš kur ta galutinė formulė. Beje, šis įrašas vadinamas kanonine formule:
log a f(x) = log a a b
Kanoninės formos patogumas slypi ir tame, kad ja galima išspręsti labai plačią logaritminių lygčių klasę, o ne tik pačias paprasčiausias, kurias šiandien svarstome.
Sprendimo pavyzdžiai
Dabar pažvelkime į tikrus pavyzdžius. Taigi nuspręskime:
log 0,5 (3x - 1) = -3
Perrašykime taip:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Daugelis studentų skuba ir stengiasi iš karto pakelti skaičių 0,5 iki galios, kuri mums kilo iš pradinės problemos. Ir iš tiesų, kai jau esate gerai apmokytas spręsti tokias problemas, galite iš karto atlikti šį veiksmą.
Tačiau jei dabar tik pradedate nagrinėti šią temą, geriau niekur neskubėkite, kad nepadarytumėte įžeidžiančių klaidų. Taigi turime kanoninę formą. Mes turime:
3x - 1 = 0,5 -3
Tai jau ne logaritminė lygtis, o tiesinė lygtis kintamojo x atžvilgiu. Norėdami tai išspręsti, pirmiausia panagrinėkime skaičių 0,5 iki −3 laipsnio. Atminkite, kad 0,5 yra 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Išspręsdami logaritminę lygtį, visus dešimtainius skaičius konvertuokite į trupmenas.
Perrašome ir gauname:
3x − 1 = 8
3x=9
x=3
Visi gavome atsakymą. Pirmoji užduotis išspręsta.
Antra užduotis
Pereikime prie antrosios užduoties:
Kaip matote, ši lygtis nebėra pati paprasčiausia. Jei tik todėl, kad skirtumas yra kairėje, o ne vienas logaritmas viename pagrinde.
Todėl jūs turite kažkaip atsikratyti šio skirtumo. Šiuo atveju viskas labai paprasta. Pažvelkime atidžiau į pagrindus: kairėje yra skaičius po šaknimi:
Bendra rekomendacija: visose logaritminėse lygtyse stenkitės atsikratyti radikalų, ty nuo įrašų su šaknimis ir pereikite prie laipsniškų funkcijų, vien todėl, kad šių galių rodikliai lengvai išimami iš logaritmo ženklo ir galiausiai tokie. žymėjimas labai supaprastina ir pagreitina skaičiavimus. Parašykime taip:
Dabar primename nepaprastą logaritmo savybę: iš argumento, taip pat iš pagrindo, galite išskirti laipsnius. Kalbant apie bazes, atsitinka taip:
log a k b = 1/k loga b
Kitaip tariant, skaičius, kuris stovėjo pagrindo laipsnyje, pakeliamas į priekį ir tuo pačiu apverčiamas, tai yra, jis tampa skaičiaus atvirkštiniu skaičiumi. Mūsų atveju buvo bazinis laipsnis, kurio rodiklis buvo 1/2. Todėl galime jį išimti kaip 2/1. Mes gauname:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Atkreipkite dėmesį: šiame žingsnyje jokiu būdu neturėtumėte atsikratyti logaritmų. Prisiminkite 4-5 klasės matematiką ir operacijų eiliškumą: pirmiausia atliekama daugyba, o tik po to atliekama sudėjimas ir atėmimas. Šiuo atveju iš 10 elementų atimame vieną iš tų pačių elementų:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Dabar mūsų lygtis atrodo taip, kaip turėtų. Tai paprasčiausia konstrukcija, kurią išsprendžiame naudodami kanoninę formą:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25
Tai viskas. Antroji problema išspręsta.
Trečias pavyzdys
Pereikime prie trečios užduoties:
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Prisiminkite šią formulę:
log b = log 10 b
Jei dėl kokių nors priežasčių susipainiojate rašydami lg b , tada atlikdami visus skaičiavimus galite tiesiog parašyti log 10 b . Su dešimtainiais logaritmais galite dirbti taip pat, kaip ir su kitais: išimkite laipsnius, sudėkite ir bet kurį skaičių pavaizduokite kaip lg 10.
Būtent šias savybes dabar naudosime spręsdami problemą, nes tai nėra pati paprasčiausia, kurią užsirašėme pačioje pamokos pradžioje.
Pirmiausia atkreipkite dėmesį, kad koeficientas 2 prieš lg 5 gali būti įterptas ir tampa 5 bazės laipsniu. Be to, laisvasis terminas 3 taip pat gali būti pavaizduotas kaip logaritmas – tai labai lengva pastebėti iš mūsų žymėjimo.
Spręskite patys: bet koks skaičius gali būti pavaizduotas kaip žurnalas iki 10:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Perrašykime pradinę problemą, atsižvelgdami į gautus pakeitimus:
lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = 25 000 lg
Prieš mus vėl yra kanoninė forma, kurią gavome apeidami transformacijų etapą, t.y., paprasčiausia logaritminė lygtis mums niekur neatsirado.
Apie tai ir kalbėjau pačioje pamokos pradžioje. Kanoninė forma leidžia išspręsti platesnę užduočių grupę nei standartinė mokyklos formulė, kurią pateikia dauguma mokyklos mokytojų.
Tai viskas, atsikratome dešimtainio logaritmo ženklo ir gauname paprastą tiesinę konstrukciją:
x + 3 = 25 000
x = 24997
Viskas! Problema išspręsta.
Pastaba apie taikymo sritį
Čia norėčiau pateikti svarbią pastabą apie apibrėžimo sritį. Tikrai dabar yra mokinių ir mokytojų, kurie sakys: „Kai sprendžiame išraiškas logaritmais, būtina atsiminti, kad argumentas f (x) turi būti didesnis už nulį! Šiuo atžvilgiu kyla logiškas klausimas: kodėl nė vienoje iš nagrinėjamų problemų nereikalavome, kad ši nelygybė būtų patenkinta?
Nesijaudink. Tokiais atvejais neatsiras papildomų šaknų. Ir tai dar vienas puikus triukas, leidžiantis paspartinti sprendimą. Tiesiog žinokite, kad jei uždavinyje kintamasis x yra tik vienoje vietoje (tiksliau, viename ir vieninteliame logaritmo argumente), o niekur kitur mūsų atveju kintamasis x nėra, tada parašykite domeną nereikia nes jis veiks automatiškai.
Spręskite patys: pirmoje lygtyje gavome, kad 3x - 1, t.y. argumentas turi būti lygus 8. Tai automatiškai reiškia, kad 3x - 1 bus didesnis už nulį.
Ta pačia sėkme galime parašyti, kad antruoju atveju x turi būti lygus 5 2, t.y., jis tikrai didesnis už nulį. Ir trečiuoju atveju, kur x + 3 = 25 000, t.y., vėlgi, akivaizdžiai didesnis už nulį. Kitaip tariant, apimtis yra automatinė, bet tik tuo atveju, jei x yra tik vieno logaritmo argumente.
Tai viskas, ką reikia žinoti norint išspręsti paprastas problemas. Vien ši taisyklė kartu su transformacijos taisyklėmis leis išspręsti labai plačią problemų klasę.
Bet būkime sąžiningi: norint pagaliau suprasti šią techniką ir išmokti taikyti kanoninę logaritminės lygties formą, neužtenka vien žiūrėti vieną vaizdo pamoką. Taigi atsisiųskite parinktis dabar savarankiškas sprendimas, kurie pridedami prie šios vaizdo pamokos ir pradėkite spręsti bent vieną iš šių dviejų savarankiškų darbų.
Tai užtruks vos kelias minutes. Tačiau tokio mokymo poveikis bus daug didesnis, palyginti su tuo, jei ką tik žiūrėjote šį vaizdo įrašą.
Tikiuosi, kad ši pamoka padės suprasti logaritmines lygtis. Taikykite kanoninę formą, supaprastinkite išraiškas naudodamiesi darbo su logaritmais taisyklėmis - ir jūs nebijosite jokių užduočių. Ir tai viskas, ką šiandien turiu.
Apimties svarstymas
Dabar pakalbėkime apie logaritminės funkcijos sritį, taip pat apie tai, kaip tai veikia logaritminių lygčių sprendimą. Apsvarstykite formos konstrukciją
log a f(x) = b
Tokia išraiška vadinama paprasčiausia – ji turi tik vieną funkciją, o skaičiai a ir b yra tik skaičiai ir jokiu būdu nėra funkcija, kuri priklauso nuo kintamojo x. Tai išspręsta labai paprastai. Jums tereikia naudoti formulę:
b = log a a b
Ši formulė yra viena iš pagrindinių logaritmo savybių, o pakeitę pradinę išraišką gauname:
log a f(x) = log a a b
f(x) = a b
Tai jau pažįstama formulė iš mokyklinių vadovėlių. Daugeliui mokinių tikriausiai kils klausimas: kadangi funkcija f ( x ) originalioje išraiškoje yra po žurnalo ženklu, jai taikomi tokie apribojimai:
f(x) > 0
Šis apribojimas galioja, nes neigiamų skaičių logaritmas neegzistuoja. Taigi, galbūt dėl šio apribojimo turėtumėte įvesti atsakymų patikrinimą? Galbūt juos reikia pakeisti šaltinyje?
Ne, paprasčiausiose logaritminėse lygtyse papildomas tikrinimas nereikalingas. Ir štai kodėl. Pažvelkite į mūsų galutinę formulę:
f(x) = a b
Faktas yra tas, kad skaičius a bet kuriuo atveju yra didesnis nei 0 - šį reikalavimą taip pat nustato logaritmas. Skaičius a yra pagrindas. Šiuo atveju skaičiui b netaikomi jokie apribojimai. Bet tai nesvarbu, nes nesvarbu, kokiu laipsniu padidintume teigiamą skaičių, vis tiek gausime teigiamą skaičių išvestyje. Taigi reikalavimas f (x) > 0 yra įvykdytas automatiškai.
Tikrai verta patikrinti funkcijos apimtį po žurnalo ženklu. Gali būti gana sudėtingų dizainų, ir juos spręsdami būtinai turite jų laikytis. Pažiūrėkime.
Pirma užduotis:
Pirmas žingsnis: konvertuokite dešinėje esančią trupmeną. Mes gauname:
Atsikratome logaritmo ženklo ir gauname įprastą neracionalią lygtį:
Iš gautų šaknų mums tinka tik pirmoji, nes antroji šaknis mažesnė už nulį. Vienintelis atsakymas bus skaičius 9. Štai ir viskas, problema išspręsta. Jokių papildomų patikrinimų, ar išraiška po logaritmo ženklu yra didesnė už 0, nereikia, nes ji ne tik didesnė už 0, bet pagal lygties sąlygą lygi 2. Todėl reikalavimas "didesnis už nulį" yra automatiškai patenkintas.
Pereikime prie antrosios užduoties:
Čia viskas taip pat. Perrašome konstrukciją, pakeisdami trigubą:
Atsikratome logaritmo ženklų ir gauname neracionalią lygtį:
Atsižvelgdami į apribojimus, abi dalis išlyginame kvadratu ir gauname:
4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2
4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16
x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x2 = 0
2x2 + 14x + 12 = 0 |:2
x2 + 7x + 6 = 0
Gautą lygtį išsprendžiame per diskriminantą:
D \u003d 49 - 24 \u003d 25
x 1 = −1
x 2 \u003d -6
Bet x = −6 mums netinka, nes jei šį skaičių pakeisime savo nelygybe, gausime:
−6 + 4 = −2 < 0
Mūsų atveju reikalaujama, kad jis būtų didesnis nei 0 arba, kraštutiniais atvejais, lygus. Bet x = −1 mums tinka:
−1 + 4 = 3 > 0
Vienintelis atsakymas mūsų atveju yra x = −1. Štai ir visas sprendimas. Grįžkime į pačią mūsų skaičiavimo pradžią.
Pagrindinė šios pamokos išvada yra ta, kad nereikia tikrinti funkcijos ribų paprasčiausiose logaritminėse lygtyse. Nes sprendžiant visus apribojimus vykdomi automatiškai.
Tačiau tai jokiu būdu nereiškia, kad galite visiškai pamiršti apie patikrinimą. Darbo su logaritmine lygtimi procese ji gali virsti neracionalia, kuri turės savo apribojimus ir reikalavimus dešinei pusei, kurią šiandien matėme dviejuose skirtinguose pavyzdžiuose.
Nedvejodami spręskite tokias problemas ir būkite ypač atsargūs, jei ginče yra šaknis.
Logaritminės lygtys su skirtingais pagrindais
Toliau tiriame logaritmines lygtis ir analizuojame dar du gana įdomius triukus, su kuriais madinga išspręsti daugiau sudėtingos struktūros. Tačiau pirmiausia prisiminkime, kaip sprendžiamos paprasčiausios užduotys:
log a f(x) = b
Šiame žymėjime a ir b yra tik skaičiai, o funkcijoje f (x) turi būti kintamasis x ir tik ten, tai yra, x turi būti tik argumente. Tokias logaritmines lygtis transformuosime naudodami kanoninę formą. Dėl to atkreipiame dėmesį į tai
b = log a a b
O a b yra tik argumentas. Perrašykime šią išraišką taip:
log a f(x) = log a a b
Būtent to ir siekiame, kad ir kairėje, ir dešinėje būtų logaritmas iki pagrindo a. Šiuo atveju galime, vaizdžiai tariant, išbraukti rąsto ženklus, o matematikos požiūriu galime teigti, kad argumentus tiesiog tapatiname:
f(x) = a b
Dėl to gauname naują išraišką, kuri bus išspręsta daug lengviau. Taikykime šią taisyklę savo šiandieninėms užduotims.
Taigi pirmasis dizainas:
Visų pirma atkreipiu dėmesį, kad dešinėje yra trupmena, kurios vardiklis yra log. Kai matote tokią išraišką, verta prisiminti nuostabią logaritmų savybę:
Išvertus į rusų kalbą, tai reiškia, kad bet kurį logaritmą galima pavaizduoti kaip dviejų logaritmų su bet kuria baze c koeficientą. Žinoma, 0< с ≠ 1.
Taigi: ši formulė turi vieną nuostabų ypatingą atvejį, kai kintamasis c yra lygus kintamajam b. Tokiu atveju gauname formos konstrukciją:
Būtent šią konstrukciją mes stebime iš ženklo dešinėje mūsų lygtyje. Pakeiskime šią konstrukciją log a b , gausime:
Kitaip tariant, palyginus su pradine užduotimi, mes sukeitėme argumentą ir logaritmo bazę. Vietoj to, mes turėjome apversti trupmeną.
Primename, kad bet koks laipsnis gali būti pašalintas iš bazės pagal šią taisyklę:
Kitaip tariant, koeficientas k, kuris yra pagrindo laipsnis, išimamas kaip atvirkštinė trupmena. Išimkime ją kaip apverstą trupmeną:
Trupmeninio koeficiento negalima palikti priekyje, nes tokiu atveju negalėsime pavaizduoti šio įrašo kaip kanoninės formos (juk kanoninėje formoje prieš antrąjį logaritmą papildomo koeficiento nėra). Todėl argumente kaip laipsnį įdėkime trupmeną 1/4:
Dabar sulyginame argumentus, kurių pagrindai yra vienodi (ir mes tikrai turime tuos pačius pagrindus), ir parašome:
x + 5 = 1
x = −4
Tai viskas. Gavome atsakymą į pirmąją logaritminę lygtį. Atkreipkite dėmesį: pradinėje užduotyje kintamasis x yra tik viename žurnale ir yra jo argumente. Todėl nereikia tikrinti domeno, o mūsų skaičius x = −4 iš tikrųjų yra atsakymas.
Dabar pereikime prie antrosios išraiškos:
log 56 = log 2 log 2 7 – 3 log (x + 4)
Čia, be įprastų logaritmų, teks dirbti su lg f (x). Kaip išspręsti tokią lygtį? Nepasiruošusiam mokiniui gali atrodyti, kad tai kažkokia skarda, bet iš tikrųjų viskas išspręsta elementariai.
Atidžiai pažvelkite į terminą lg 2 log 2 7. Ką apie tai galime pasakyti? Log ir lg pagrindai ir argumentai yra vienodi, ir tai turėtų duoti užuominų. Dar kartą prisiminkime, kaip laipsniai išimami iš po logaritmo ženklo:
log a b n = nlog a b
Kitaip tariant, kokia buvo skaičiaus b galia argumente, tampa veiksniu prieš patį logą. Šią formulę pritaikykime reiškiniui lg 2 log 2 7. Nebijokite lg 2 – tai dažniausiai pasitaikanti išraiška. Galite perrašyti taip:
Jam galioja visos taisyklės, kurios galioja bet kuriam kitam logaritmui. Visų pirma, priešais esantis veiksnys gali būti įtrauktas į argumento galią. Parašykime:
Labai dažnai studentai tuščiu tašku nemato šio veiksmo, nes nėra gerai įvesti vieną rąstą po kito ženklu. Tiesą sakant, tame nėra nieko nusikalstamo. Be to, gauname formulę, kurią lengva apskaičiuoti, jei atsimenate svarbią taisyklę:
Šią formulę galima laikyti ir apibrėžimu, ir viena iš jos savybių. Bet kokiu atveju, jei konvertuojate logaritminę lygtį, šią formulę turėtumėte žinoti taip pat, kaip ir bet kurio skaičiaus atvaizdavimą žurnalo forma.
Grįžtame prie savo užduoties. Perrašome atsižvelgdami į tai, kad pirmasis lygybės ženklo dešinėje esantis narys bus tiesiog lygus lg 7. Turime:
lg 56 = lg 7–3 lg (x + 4)
Perkelkime lg 7 į kairę, gausime:
lg 56 – lg 7 = –3 lg (x + 4)
Atimame kairėje esančias išraiškas, nes jų pagrindas yra tas pats:
lg (56/7) = -3 lg (x + 4)
Dabar atidžiau pažvelkime į gautą lygtį. Tai praktiškai kanoninė forma, tačiau dešinėje yra koeficientas −3. Įveskime jį į tinkamą lg argumentą:
lg 8 = lg (x + 4) −3
Prieš mus yra kanoninė logaritminės lygties forma, todėl išbraukiame lg ženklus ir sulyginame argumentus:
(x + 4) -3 = 8
x + 4 = 0,5
Tai viskas! Išsprendėme antrąją logaritminę lygtį. Šiuo atveju papildomų patikrinimų nereikia, nes pradinėje užduotyje x buvo tik viename argumente.
Leiskite man pakartoti pagrindinius šios pamokos dalykus.
Pagrindinė formulė, kuri nagrinėjama visose šio puslapio pamokose, skirtose logaritminėms lygtims spręsti, yra kanoninė forma. Ir nesijaudinkite dėl to, kad daugumoje mokyklinių vadovėlių mokoma, kaip tokias problemas spręsti kitaip. Šis įrankis veikia labai efektyviai ir leidžia išspręsti daug platesnę užduočių grupę nei pačios paprasčiausios, kurias nagrinėjome pačioje pamokos pradžioje.
Be to, norint išspręsti logaritmines lygtis, bus naudinga žinoti pagrindines savybes. Būtent:
- Perėjimo į vieną bazę formulė ir specialus atvejis, kai apverčiame žurnalą (tai mums labai pravertė atliekant pirmąją užduotį);
- Formulė galių įvedimui ir išėmimui iš po logaritmo ženklo. Čia daugelis studentų užstringa ir nemato, kad išimtoje ir įvestoje galioje gali būti log f (x). Nieko blogo tame. Galime įvesti vieną rąstą pagal kito ženklą ir tuo pačiu gerokai supaprastinti problemos sprendimą, ką ir stebime antruoju atveju.
Baigdamas norėčiau pridurti, kad kiekvienu iš šių atvejų nebūtina tikrinti apimties, nes visur kintamasis x yra tik viename log ženkle ir tuo pačiu yra jo argumente. Dėl to visi domeno reikalavimai tenkinami automatiškai.
Problemos su kintamu pagrindu
Šiandien nagrinėsime logaritmines lygtis, kurios daugeliui studentų atrodo nestandartinės, jei ne visiškai neišsprendžiamos. Kalbame apie išraiškas, kurios pagrįstos ne skaičiais, o kintamaisiais ir net funkcijomis. Tokias konstrukcijas spręsime naudodami standartinę techniką, būtent per kanoninę formą.
Pirmiausia prisiminkime, kaip sprendžiamos paprasčiausios problemos, pagrįstos įprastais skaičiais. Taigi, vadinama paprasčiausia konstrukcija
log a f(x) = b
Norėdami išspręsti tokias problemas, galime naudoti šią formulę:
b = log a a b
Perrašome pradinę išraišką ir gauname:
log a f(x) = log a a b
Tada sulyginame argumentus, ty rašome:
f(x) = a b
Taip atsikratome rąsto ženklo ir išsprendžiame įprastą problemą. Šiuo atveju sprendime gautos šaknys bus pradinės logaritminės lygties šaknys. Be to, įrašas, kai ir kairė, ir dešinė yra tame pačiame logaritme su tuo pačiu pagrindu, vadinamas kanonine forma. Būtent iki šio rekordo ir stengsimės sumažinti šiandienines statybas. Taigi eime.
Pirma užduotis:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1
Pakeiskite 1 log x − 2 (x − 2) 1 . Laipsnis, kurį stebime argumente, iš tikrųjų yra skaičius b , kuris buvo lygybės ženklo dešinėje. Taigi perrašykime savo išraišką. Mes gauname:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)
Ką mes matome? Prieš mus yra kanoninė logaritminės lygties forma, todėl galime saugiai sulyginti argumentus. Mes gauname:
2x2 - 13x + 18 = x - 2
Tačiau sprendimas tuo nesibaigia, nes ši lygtis nėra lygiavertė pradinei. Galų gale, gauta konstrukcija susideda iš funkcijų, kurios yra apibrėžtos visoje skaičių eilutėje, o mūsų pradiniai logaritmai yra apibrėžti ne visur ir ne visada.
Todėl apibrėžimo sritį turime užrašyti atskirai. Nebūkime išmintingesni ir pirmiausia surašykime visus reikalavimus:
Pirma, kiekvieno logaritmo argumentas turi būti didesnis nei 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Antra, bazė turi būti ne tik didesnė nei 0, bet ir skirtis nuo 1:
x – 2 ≠ 1
Kaip rezultatas, mes gauname sistemą:
Tačiau neišsigąskite: apdorojant logaritmines lygtis tokia sistema gali būti gerokai supaprastinta.
Spręskite patys: viena vertus, iš mūsų reikalaujama, kad kvadratinė funkcija būtų didesnė už nulį, kita vertus, ši kvadratinė funkcija prilyginama tam tikrai tiesinei išraiškai, kuri taip pat reikalaujama, kad ji būtų didesnė už nulį.
Tokiu atveju, jei reikalaujame, kad x − 2 > 0, tai reikalavimas 2x 2 − 13x + 18 > 0 taip pat bus automatiškai įvykdytas, todėl nelygybę, kurioje yra kvadratinė funkcija, galime drąsiai išbraukti. Taigi mūsų sistemoje esančių išraiškų skaičius bus sumažintas iki trijų.
Žinoma, lygiai taip pat galėtume nubraukti tiesinę nelygybę, t. y. nubraukti x - 2 > 0 ir reikalauti, kad 2x 2 - 13x + 18 > 0. Tačiau reikia pripažinti, kad paprasčiausią tiesinę nelygybę išspręsti yra daug greičiau ir lengviau. nei kvadratinė, net jei išsprendus visą šią sistemą gauname tas pačias šaknis.
Apskritai, kai tik įmanoma, stenkitės optimizuoti skaičiavimus. O logaritminių lygčių atveju užbraukite sunkiausias nelygybes.
Perrašykime savo sistemą:
Štai tokia trijų posakių sistema, iš kurių dvi iš tikrųjų jau išsiaiškinome. Atskirai išrašykime kvadratinę lygtį ir išspręskime:
2x2 – 14x + 20 = 0
x2 – 7x + 10 = 0
Prieš mus yra sumažintas kvadratinis trinaris, todėl galime naudoti Vieta formules. Mes gauname:
(x - 5) (x - 2) = 0
x 1 = 5
x2 = 2
Dabar, grįžę prie mūsų sistemos, matome, kad x = 2 mums netinka, nes iš mūsų reikalaujama, kad x būtų griežtai didesnis nei 2.
Bet x \u003d 5 mums tinka gana gerai: skaičius 5 yra didesnis nei 2, o tuo pačiu metu 5 nėra lygus 3. Todėl vienintelis šios sistemos sprendimas bus x \u003d 5.
Viskas, užduotis išspręsta, įskaitant atsižvelgiant į ODZ. Pereikime prie antrosios lygties. Čia laukiame įdomesnių ir prasmingesnių skaičiavimų:
Pirmas žingsnis: kaip ir paskutinį kartą, visą šį verslą perkeliame į kanoninę formą. Norėdami tai padaryti, skaičių 9 galime parašyti taip:
Pagrindo su šaknimi liesti negalima, bet argumentą geriau transformuoti. Pereikime nuo šaknies prie laipsnio su racionaliuoju rodikliu. Parašykime:
Leiskite neperrašyti visos mūsų didelės logaritminės lygties, o tiesiog iš karto sulyginti argumentus:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Prieš mus vėl yra sumažintas kvadratinis trinaris, naudosime Vieta formules ir parašysime:
(x + 3) (x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
Taigi, gavome šaknis, bet niekas negarantavo, kad jos atitiks pradinę logaritminę lygtį. Juk rąstų ženklai kelia papildomus apribojimus (čia tektų užsirašyti sistemą, bet dėl visos konstrukcijos gremėzdiškumo nusprendžiau apibrėžimo sritį skaičiuoti atskirai).
Visų pirma, atminkite, kad argumentai turi būti didesni nei 0, būtent:
Tai yra apibrėžimo srities keliami reikalavimai.
Iš karto pastebime, kad kadangi pirmąsias dvi sistemos išraiškas prilyginame viena kitai, bet kurią iš jų galime išbraukti. Pirmąjį išbraukime, nes jis atrodo grėsmingesnis nei antrasis.
Be to, atkreipkite dėmesį, kad antrosios ir trečiosios nelygybių sprendiniai bus tos pačios aibės (kai kurio skaičiaus kubas yra didesnis už nulį, jei pats skaičius didesnis už nulį; panašiai ir su trečiojo laipsnio šaknimi - šios nelygybės yra visiškai panašus, todėl vieną iš jų galime užbraukti).
Tačiau su trečiąja nelygybe tai neveiks. Atsikratykime kairėje esančio radikalo ženklo, kuriam abi dalis pakeliame į kubą. Mes gauname:
Taigi gauname šiuos reikalavimus:
−2 ≠ x > −3
Kuri iš mūsų šaknų: x 1 = -3 arba x 2 = -1 atitinka šiuos reikalavimus? Akivaizdu, kad tik x = −1, nes x = −3 netenkina pirmosios nelygybės (nes mūsų nelygybė yra griežta). Iš viso, grįžtant prie mūsų uždavinio, gauname vieną šaknį: x = −1. Štai ir viskas, problema išspręsta.
Vėlgi, pagrindiniai šios užduoties punktai:
- Nedvejodami pritaikykite ir spręskite logaritmines lygtis naudodami kanoninę formą. Studentai, kurie daro tokį įrašą ir nepereina tiesiai nuo pradinės problemos prie tokios konstrukcijos kaip log a f ( x ) = b , daro daug mažiau klaidų nei tie, kurie kažkur skuba, praleidžia tarpinius skaičiavimo žingsnius;
- Kai tik logaritme atsiranda kintamoji bazė, problema nustoja būti pati paprasčiausia. Todėl sprendžiant ją būtina atsižvelgti į apibrėžimo sritį: argumentai turi būti didesni už nulį, o pagrindai turi būti ne tik didesni už 0, bet ir nelygūs 1.
Paskutinius reikalavimus galutiniams atsakymams galite kelti įvairiais būdais. Pavyzdžiui, galima išspręsti visą sistemą, kurioje yra visi domeno reikalavimai. Kita vertus, pirmiausia galite išspręsti pačią problemą, o tada prisiminti apibrėžimo sritį, ją atskirai parengti sistemos pavidalu ir pritaikyti gautoms šaknims.
Kurį būdą pasirinkti sprendžiant tam tikrą logaritminę lygtį, priklauso nuo jūsų. Bet kokiu atveju atsakymas bus tas pats.
Kaip žinote, dauginant išraiškas su laipsniais, jų rodikliai visada sumuojasi (a b * a c = a b + c). Šį matematinį dėsnį išvedė Archimedas, o vėliau, VIII amžiuje, matematikas Virasenas sukūrė sveikųjų skaičių rodiklių lentelę. Būtent jie pasitarnavo tolesniam logaritmų atradimui. Šios funkcijos naudojimo pavyzdžių galima rasti beveik visur, kur reikia supaprastinti sudėtingą daugybą iki paprasto sudėjimo. Jei skaitydami šį straipsnį skirsite 10 minučių, paaiškinsime, kas yra logaritmai ir kaip su jais dirbti. Paprasta ir prieinama kalba.
Apibrėžimas matematikoje
Logaritmas yra tokios formos išraiška: log ab=c, tai yra, bet kurio neneigiamo skaičiaus (ty bet kurio teigiamo) "b" logaritmas pagal bazę "a" laikomas "c" laipsniu. , iki kurio reikia pakelti bazę "a", kad galiausiai gautumėte reikšmę "b". Išanalizuokime logaritmą naudodami pavyzdžius, tarkime, kad yra išraiška log 2 8. Kaip rasti atsakymą? Labai paprasta, reikia susirasti tokį laipsnį, kad nuo 2 iki reikiamo laipsnio gautum 8. Mintyse atlikę tam tikrus skaičiavimus, gauname skaičių 3! Ir teisingai, nes 2 iki 3 laipsnio atsakyme suteikia skaičių 8.
Logaritmų atmainos
Daugeliui mokinių ir studentų ši tema atrodo sudėtinga ir nesuprantama, tačiau iš tikrųjų logaritmai nėra tokie baisūs, svarbiausia suprasti jų bendrą reikšmę ir atsiminti jų savybes bei kai kurias taisykles. Yra trys skirtingos logaritminių išraiškų rūšys:
- Natūralusis logaritmas ln a, kur bazė yra Eulerio skaičius (e = 2,7).
- Dešimtainė a, kur bazė yra 10.
- Bet kurio skaičiaus b logaritmas bazei a>1.
Kiekvienas iš jų yra išspręstas standartiniu būdu, įskaitant supaprastinimą, sumažinimą ir vėlesnį sumažinimą iki vieno logaritmo naudojant logaritmines teoremas. Norint gauti teisingas logaritmų reikšmes, reikia atsiminti jų savybes ir veiksmų eiliškumą priimant sprendimus.
Taisyklės ir kai kurie apribojimai
Matematikoje yra keletas taisyklių-ribojimų, kurie priimami kaip aksioma, tai yra, jie nėra diskutuojami ir yra teisingi. Pavyzdžiui, neįmanoma skaičių padalyti iš nulio, taip pat neįmanoma iš neigiamų skaičių išskirti lyginio laipsnio šaknies. Logaritmai taip pat turi savo taisykles, kuriomis vadovaudamiesi galite lengvai išmokti dirbti net su ilgomis ir talpiomis logaritminėmis išraiškomis:
- bazė "a" visada turi būti didesnė už nulį ir tuo pačiu metu negali būti lygi 1, kitaip išraiška praras savo reikšmę, nes "1" ir "0" bet kokiu laipsniu visada yra lygūs jų reikšmėms;
- jei a > 0, tai a b > 0, išeina, kad „c“ turi būti didesnis už nulį.
Kaip išspręsti logaritmus?
Pavyzdžiui, davus užduotį rasti atsakymą į lygtį 10 x \u003d 100. Tai labai paprasta, reikia pasirinkti tokią galią, pakeliant skaičių dešimt, iki kurio gauname 100. Tai, žinoma, yra 10 2 \u003d 100.
Dabar pavaizduokime šią išraišką kaip logaritminę. Gauname log 10 100 = 2. Sprendžiant logaritmus visi veiksmai praktiškai susilieja, kad būtų nustatytas laipsnis, iki kurio reikia įvesti logaritmo bazę, norint gauti duotą skaičių.
Norėdami tiksliai nustatyti nežinomo laipsnio reikšmę, turite išmokti dirbti su laipsnių lentele. Tai atrodo taip:
Kaip matote, kai kuriuos eksponentus galima atspėti intuityviai, jei turite techninį mąstymą ir išmanote daugybos lentelę. Tačiau didesnėms vertėms reikės maitinimo lentelės. Ją gali naudoti net tie, kurie visiškai nieko nesupranta sudėtingose matematinėse temose. Kairiajame stulpelyje yra skaičiai (bazė a), viršutinėje skaičių eilutėje yra laipsnio c reikšmė, iki kurios pakeliamas skaičius a. Ląstelių sankirtoje nustatomos skaičių reikšmės, kurios yra atsakymas (a c = b). Paimkime, pavyzdžiui, patį pirmąjį langelį su skaičiumi 10 ir padėkite jį kvadratu, gausime reikšmę 100, kuri yra nurodyta mūsų dviejų langelių sankirtoje. Viskas taip paprasta ir lengva, kad supras net pats tikriausias humanistas!
Lygtys ir nelygybės
Pasirodo, tam tikromis sąlygomis eksponentas yra logaritmas. Todėl bet kurios matematinės skaitinės išraiškos gali būti parašytos kaip logaritminė lygtis. Pavyzdžiui, 3 4 =81 galima parašyti kaip logaritmą nuo 81 iki 3 bazės, kuri yra keturi (log 3 81 = 4). Neigiamų galių taisyklės tos pačios: 2 -5 = 1/32 rašome logaritmu, gauname log 2 (1/32) = -5. Viena patraukliausių matematikos skyrių yra „logaritmų“ tema. Lygčių pavyzdžius ir sprendimus svarstysime šiek tiek žemiau, iš karto ištyrę jų savybes. Dabar pažiūrėkime, kaip atrodo nelygybės ir kaip jas atskirti nuo lygčių.
Pateikiama tokios formos išraiška: log 2 (x-1) > 3 - tai logaritminė nelygybė, nes nežinoma reikšmė "x" yra po logaritmo ženklu. Taip pat išraiškoje lyginami du dydžiai: norimo skaičiaus logaritmas bazėje du yra didesnis nei skaičius trys.
Svarbiausias skirtumas tarp logaritminių lygčių ir nelygybių yra tas, kad lygtys su logaritmais (pavyzdžiui, logaritmas 2 x = √9) atsakyme reiškia vieną ar daugiau konkrečių skaitinių reikšmių, o sprendžiant nelygybę, tiek priimtinos reikšmės ir taškai, pažeidžiantys šią funkciją. Todėl atsakymas yra ne paprasta atskirų skaičių rinkinys, kaip lygties atsakyme, o ištisinė skaičių seka arba rinkinys.
Pagrindinės teoremos apie logaritmus
Sprendžiant primityvias užduotis ieškant logaritmo reikšmių, jo savybės gali būti nežinomos. Tačiau kalbant apie logaritmines lygtis ar nelygybes, pirmiausia reikia aiškiai suprasti ir praktiškai pritaikyti visas pagrindines logaritmų savybes. Su lygčių pavyzdžiais susipažinsime vėliau, pirmiausia išanalizuokime kiekvieną savybę išsamiau.
- Pagrindinė tapatybė atrodo taip: a logaB =B. Jis taikomas tik tuo atveju, jei a yra didesnis nei 0, nelygus vienetui, o B yra didesnis už nulį.
- Produkto logaritmą galima pavaizduoti tokia formule: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Šiuo atveju būtina sąlyga: d, s 1 ir s 2 > 0; a≠1. Galite pateikti šios logaritmų formulės įrodymą su pavyzdžiais ir sprendimu. Tegu log kaip 1 = f 1 ir log kaip 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Gauname, kad s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (laipsnio savybės ), o toliau pagal apibrėžimą: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log as 2, kas turėjo būti įrodyta.
- Dalinio logaritmas atrodo taip: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorema formulės pavidalu įgauna tokią formą: log a q b n = n/q log a b.
Ši formulė vadinama „logaritmo laipsnio savybe“. Tai primena įprastų laipsnių savybes, ir tai nenuostabu, nes visa matematika remiasi įprastais postulatais. Pažiūrėkime į įrodymą.
Leiskite įregistruoti a b \u003d t, pasirodo, a t \u003d b. Jei abi dalis pakelsite iki laipsnio m: a tn = b n ;
bet kadangi a tn = (a q) nt/q = b n , vadinasi, log a q b n = (n*t)/t, tai log a q b n = n/q log a b. Teorema įrodyta.
Problemų ir nelygybių pavyzdžiai
Dažniausiai pasitaikančios logaritmų problemos yra lygčių ir nelygybių pavyzdžiai. Jie yra beveik visose probleminėse knygose, taip pat įtraukiami į privalomą matematikos egzaminų dalį. Dėl stojimo į universitetą ar išlaikymo stojamieji egzaminai matematikoje reikia mokėti teisingai išspręsti tokius uždavinius.
Deja, nėra vieno plano ar schemos, kaip išspręsti ir nustatyti nežinomą logaritmo reikšmę, tačiau kiekvienai matematinei nelygybei ar logaritminei lygčiai gali būti taikomos tam tikros taisyklės. Visų pirma turėtumėte išsiaiškinti, ar išraišką galima supaprastinti arba sumažinti iki bendros formos. Supaprastinkite ilgai logaritmines išraiškas Galite, jei teisingai naudosite jų savybes. Greitai su jais susipažinkime.
Sprendžiant logaritmines lygtis, būtina nustatyti, kokį logaritmą turime prieš mus: išraiškos pavyzdyje gali būti natūralusis logaritmas arba dešimtainis.
Štai pavyzdžiai ln100, ln1026. Jų sprendimas yra susijęs su tuo, kad reikia nustatyti, kokiu laipsniu bazė 10 bus lygi atitinkamai 100 ir 1026. Natūralių logaritmų sprendiniams reikia taikyti logaritminius tapatumus arba jų savybes. Pažvelkime į įvairių tipų logaritminių uždavinių sprendimo pavyzdžius.
Kaip naudoti logaritmo formules: su pavyzdžiais ir sprendimais
Taigi, pažvelkime į pagrindinių logaritmų teoremų naudojimo pavyzdžius.
- Produkto logaritmo savybė gali būti naudojama atliekant užduotis, kur reikia plėsti didelę reikšmę skaičius b į paprastesnius veiksnius. Pavyzdžiui, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Atsakymas yra 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kaip matote, naudojant ketvirtąją logaritmo laipsnio savybę, mums pavyko išspręsti iš pirmo žvilgsnio sudėtingą ir neišsprendžiamą išraišką. Pakanka tik koeficientuoti bazę ir išimti eksponentų reikšmes iš logaritmo ženklo.
Užduotys iš egzamino
Logaritmai dažnai aptinkami stojamuosiuose egzaminuose, ypač daug logaritminių uždavinių Vieningame valstybiniame egzamine (valstybinis egzaminas visiems abiturientams). Paprastai šios užduotys pateikiamos ne tik A dalyje (lengviausia egzamino dalis), bet ir C dalyje (sunkiausios ir didžiausios užduotys). Egzaminas reiškia tikslią ir nepriekaištingą temos „Natūralūs logaritmai“ išmanymą.
Pavyzdžiai ir problemų sprendimai paimti iš oficialaus NAUDOTI parinktis. Pažiūrėkime, kaip tokios užduotys sprendžiamos.
Duotas log 2 (2x-1) = 4. Sprendimas:
perrašykime išraišką, šiek tiek supaprastindami log 2 (2x-1) = 2 2 , pagal logaritmo apibrėžimą gauname, kad 2x-1 = 2 4 , todėl 2x = 17; x = 8,5.
- Visus logaritmus geriausia sumažinti iki tos pačios bazės, kad sprendimas nebūtų sudėtingas ir painus.
- Visos išraiškos po logaritmo ženklu nurodomos kaip teigiamos, todėl išimant reiškinio, esančio po logaritmo ženklą ir kaip jo bazę, rodiklį, po logaritmu likusi išraiška turi būti teigiama.
Pasiruošimas baigiamajam matematikos testui apima svarbią dalį – „Logaritmai“. Užduotys iš šios temos būtinai įtraukiamos į egzaminą. Pastarųjų metų patirtis rodo, kad logaritminės lygtys kėlė sunkumų daugeliui moksleivių. Todėl skirtingo išsilavinimo studentai turėtų suprasti, kaip rasti teisingą atsakymą ir greitai su jais susidoroti.
Sėkmingai išlaikykite sertifikavimo testą su edukacinio portalo „Shkolkovo“ pagalba!
Ruošiantis vieningam valstybinis egzaminas abiturientams reikalingas patikimas šaltinis, suteikiantis išsamiausią ir tiksliausią informaciją sėkmingam testo uždavinių sprendimui. Tačiau vadovėlis ne visada po ranka, o reikalingų taisyklių ir formulių paieška internete neretai užtrunka.
Švietimo portalas „Shkolkovo“ leidžia pasiruošti egzaminui bet kur ir bet kada. Mūsų svetainė siūlo patogiausią būdą pakartoti ir įsisavinti didelį kiekį informacijos apie logaritmus, taip pat apie vieną ir kelis nežinomus dalykus. Pradėkite nuo lengvų lygčių. Jei su jais susidorojote be sunkumų, pereikite prie sunkesnių. Jei kyla problemų sprendžiant tam tikrą nelygybę, galite įtraukti ją į mėgstamiausius, kad galėtumėte prie jos grįžti vėliau.
Užduočiai atlikti reikalingas formules, pakartoti specialius atvejus ir standartinės logaritminės lygties šaknies apskaičiavimo metodus galite pažvelgę į skyrių „Teorinė nuoroda“. „Shkolkovo“ mokytojai surinko, susistemino ir paprasčiausia ir suprantamiausia forma pateikė visą sėkmingam pristatymui reikalingą medžiagą.
Norėdami lengvai susidoroti su bet kokio sudėtingumo užduotimis, mūsų portale galite susipažinti su kai kurių tipiškų logaritminių lygčių sprendimu. Norėdami tai padaryti, eikite į skyrių „Katalogai“. Pateikėme daugybę pavyzdžių, įskaitant tuos, kuriuose yra matematikos vieningo valstybinio egzamino profilio lygio lygtys.
Mūsų portalu gali naudotis mokiniai iš visos Rusijos mokyklų. Norėdami pradėti, tiesiog užsiregistruokite sistemoje ir pradėkite spręsti lygtis. Norėdami konsoliduoti rezultatus, patariame kasdien grįžti į Shkolkovo svetainę.
Prieš spręsdami logaritmines lygtis, pakartokime logaritmo apibrėžimą ir pagrindines formules.
Logaritmas teigiamas skaičius b dėl priežasties a yra rodiklis, iki kurio reikia kelti a, Gauti b.
Šiuo atveju class="tex" alt="(!LANG:b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.!}
Atkreipkime dėmesį į logaritmo leistinų verčių sritį:
class="tex" alt="(!LANG:b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">. !}
Pagrindinė logaritminė tapatybė:
Pagrindinės logaritmų formulės:
(produkto logaritmas lygus logaritmų sumai)
(dalinio logaritmas yra lygus logaritmų skirtumui)
(laipsnio logaritmo formulė)
Persikėlimo į naują bazę formulė yra tokia:
Žinome, kaip atrodo logaritminės funkcijos grafikas. Ši funkcija yra monotoniška. Jei logaritmo bazė yra didesnė už vienetą, logaritminė funkcija monotoniškai didėja. Jei bazė yra didesnė už nulį ir mažesnė už vienetą, logaritminė funkcija mažėja monotoniškai. Ir bet kuriuo atveju kiekviena reikšmė paima tik vieną kartą. Tai reiškia, kad jei dviejų skaičių logaritmai yra lygūs bet kurioje bazėje, tai ir patys skaičiai yra lygūs.
Visa tai mums pravers sprendžiant logaritmines lygtis.
Paprasčiausios logaritminės lygtys
1. Išspręskite lygtį:
Logaritmų pagrindai lygūs, patys logaritmai taip pat lygūs, vadinasi, lygūs ir skaičiai, iš kurių jie paimti.
Paprastai šią taisyklę mokiniai įsimena trumpa žargono formuluote: „Pameskime logaritmus!“ Žinoma, mes juos „išmetame“ ne šiaip, o pasinaudodami logaritminės funkcijos monotoniškumo savybe.
Mes gauname:
Spręsdami logaritmines lygtis nepamirškite apie tolerancijos diapazonas logaritmas. Atminkite, kad išraiška yra apibrėžta class="tex" alt="(!LANG:b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.!}
Labai gerai, jei jūs, radę lygties šaknį, tiesiog pakeisite ją į lygtį. Jei po tokio pakeitimo kairioji arba dešinė lygties pusė neturi prasmės, tada rastas skaičius nėra lygties šaknis ir negali būti problemos atsakymas. Tai geras būdas pasitikrinti egzaminą.
2. Išspręskite lygtį:
Kairėje lygties pusėje - logaritmas, dešinėje - skaičius 7. Taikant pagrindinę logaritminę tapatybę, formoje pavaizduojame skaičių 7. Tada viskas paprasta.
Atsakymas: -124
3. Išspręskite lygtį:
Matote skaičių 2 prieš logaritmą dešinėje lygties pusėje? Dabar tai neleidžia jums „nuleisti logaritmų“. Ką daryti su juo, kad kairioji ir dešinė pusės būtų tik logaritmai iki 5 bazės? Žinoma, padės laipsnio logaritmo formulė.
4. Išspręskite lygtį:
Tinkamas diapazonas: class="tex" alt="(!LANG:4-x> 0."> Значит, class="tex" alt="x > -4.">!}
Pavaizduokime 2 dešinėje lygties pusėje taip, kad kairioji ir dešinioji lygties pusės būtų logaritmai 5 pagrindo atžvilgiu.
Funkcija monotoniškai didėja ir kiekvieną jos reikšmę paima tiksliai vieną kartą. Logaritmai lygūs, jų pagrindai lygūs. Išmeskime logaritmus! Žinoma, class="tex" alt="(!LANG:x> -4">.!}
5. Išspręskite lygtį:
Sprendimą rašome kaip lygiaverčių perėjimų grandinę. Užrašome ODZ ir „pašaliname“ logaritmus:
Class="tex" alt="(!LANG:\log _(8)\left (x^(2)+x \right)=\log _(8)\left (x^(2)-4 \right )\Rodyklė į kairę \kairė\(\begin(matrica) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x^(2)+x=x^(2)-4 \ pabaiga(matrica)\dešinė.\Rodyklė į kairę \left\(\begin(matrica) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x=-4 \end(matrica)\ dešinėn.\Rodyklė kairėn dešinėn x=-4">!}
Atsakymas: -4.
Atkreipkite dėmesį, kad logaritminių lygčių sprendinius geriausia rašyti kaip lygiaverčių perėjimų grandinę. Tai padės mums nepamiršti galiojančių verčių diapazono.
6.Išspręskite lygtį:.
Pereikime nuo 4 bazinio logaritmo (eksponente) prie 2 bazinio logaritmo. Tai darome naudodamiesi bazine konvertavimo formule:
Sprendimą rašome kaip lygiaverčių perėjimų grandinę.
Class="tex" alt="(!LANG:2^(\log _(4)\left (4x+5 \right))=9\Leftright arrow \left\(\begin(matrica) 2^\frac(( \log _(2)\left (4x+5 \right)))(2)=9\\ 4x+5> 0 \end(matrica)\right.\Leftright rodrow \left\(\begin(matrica) \left (2^(\log _(2)\left (4x+5 \right)) \right)^(\frac(1)(2))=9\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matrica)\right.\Leftright rodrow \left\(\begin(matrica) \left (4x+5 \right)^(\frac(1)(2))=9\\ x> -1\frac( 1)(4) \end(matrica)\right.\Leftright rodrow \left\(\begin(matrix) \sqrt(4x+5)=9\\ x> -1\frac(1)(4) \end( matrica)\right.\Rodyklė į kairę \left\(\begin(matrica) 4x+5=81\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matrica)\right.\Rodyklė į kairę \kairė\(\ pradžia(matrica) x=19\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matrica)\right.">!}
7. Išspręskite lygtį:.
Atkreipkite dėmesį: kintama X tiek pagal logaritmą, tiek prie logaritmo pagrindo. Prisimename, kad logaritmo bazė turi būti teigiama ir nelygi 1.
ODZ:
class="tex" alt="(!LANG:\left\(\begin(matrica) 12-x> 0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end(matrica)\right).">!}
Dabar galite "pašalinti" logaritmus.
Užsienio šaknis, nes class="tex" alt="(!LANG:x> 0">.!}
8. Išspręskite lygtį.
ODZ lygtis: class="tex" alt="(!LANG:x> 0">!}
Padarykime pakaitalą. Kaip ir algebrinėse lygtyse, kai tik įmanoma, keičiame kintamąjį.
Grįžkite į kintamąjį X:
9. Išspręskite lygtį:
Išraiška po logaritmu visada yra teigiama – kadangi prie neneigiamos reikšmės pridedame 25. Išraiška po šaknimi dešinėje taip pat yra teigiama. Reiškia, X gali būti bet koks tikrasis skaičius.
Kairėje pusėje esančių logaritmų sumą pavaizduojame kaip sandaugos logaritmą. Dešinėje pusėje - pereikime prie logaritmo iki pagrindo 3. Ir naudokite laipsnio logaritmo formulę.
Atsisakome logaritmų.
Tokia lygtis vadinama bikvadratine. Tai apima išraiškas ir . Padarykime pakaitalą
Grįžkite į kintamąjį X. Mes gauname:
Mes radome visas pradinės lygties šaknis.
Taip pat logaritmines lygtis galite atitikti profilio vieningo valstybinio egzamino matematikos užduotyje Nr. 5 ir užduotyje Nr. 13. Ir jei užduotyje Nr.5 reikia išspręsti paprasčiausią lygtį, tai 13 užduotyje sprendimas susideda iš dviejų taškų. Antrasis taškas yra šaknų pasirinkimas tam tikrame segmente arba intervale.
