Puasono pasiskirstymas. Retų įvykių dėsnis. Diskretinio atsitiktinio dydžio Puasono skirstinys Puasono skirstinio tikimybė

Dažniausias įvairių tipų tikimybių skirstinių atvejis yra dvejetainis skirstinys. Išnaudokime jo universalumą, kad nustatytų dažniausiai pasitaikančius konkrečius paskirstymo tipus, su kuriais susiduriama praktikoje.

Binominis skirstinys

Tebūnie koks įvykis A. Įvykio A tikimybė lygi p, įvykio A neįvykimo tikimybė yra 1 p, kartais jis nurodomas kaip q. Leisti n testų skaičius, mįvykio A pasireiškimo dažnis šiuose n bandymai.

Yra žinoma, kad bendra visų galimų rezultatų derinių tikimybė yra lygi vienetui, tai yra:

1 = p n + n · p n 1 (1 p) + C n n 2 · p n 2 (1 p) 2 + + C n m · p m· (1 p) n – m+ + (1 p) n .

p n tikimybė, kad į nn kartą; n · p n 1 (1 p) tikimybė, kad į nn 1) vieną kartą ir neįvyks 1 kartą; C n n 2 · p n 2 (1 p) 2 tikimybė, kad į n bandymai, įvyks A įvykis ( n 2) kartus ir neįvyks 2 kartus; P m = C n m · p m· (1 p) n – m tikimybė, kad į n bandymai, įvyks A įvykis m niekada nebus ( n – m) kartą; (1 p) n tikimybė, kad į n bandymuose įvykis A neįvyks net vieną kartą; kombinacijų skaičius n Autorius m .

Tikėtina vertė M binominis skirstinys yra lygus:

M = n · p ,

Kur n testų skaičius, pįvykio A tikimybė.

Standartinis nuokrypis σ :

σ = sqrt( n · p· (1 p)) .

1 pavyzdys. Apskaičiuokite tikimybę, kad įvykis turi tikimybę p= 0,5 colio n= įvyks 10 bandymų m= 1 kartą. Mes turime: C 10 1 = 10 ir toliau: P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,0098. Kaip matome, šio įvykio tikimybė yra gana maža. Tai paaiškinama, pirma, tuo, kad visiškai neaišku, ar įvykis įvyks, ar ne, nes tikimybė yra 0,5, o tikimybė čia yra nuo 50 iki 50; ir antra, reikia paskaičiuoti, kad įvykis įvyks lygiai vieną kartą (ne daugiau ir ne mažiau) iš dešimties.

2 pavyzdys. Apskaičiuokite tikimybę, kad įvykis turi tikimybę p= 0,5 colio n= įvyks 10 bandymų m= 2 kartus. Mes turime: C 10 2 = 45 ir toliau: P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,044. Šio įvykio tikimybė išaugo!

3 pavyzdys. Padidinkime paties įvykio tikimybę. Padidinkime tai tikimybę. Apskaičiuokite tikimybę, kad įvykis turi tikimybę p= 0,8 colio n= įvyks 10 bandymų m= 1 kartą. Mes turime: C 10 1 = 10 ir toliau: P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004. Tikimybė tapo mažesnė nei pirmame pavyzdyje! Atsakymas iš pirmo žvilgsnio atrodo keistas, tačiau kadangi įvykis turi gana didelę tikimybę, tai vargu ar įvyks tik vieną kartą. Labiau tikėtina, kad tai įvyks ne vieną kartą. Tikrai, skaičiuojant P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (tikimybė, kad įvykis n= 10 bandymų įvyks 0, 1, 2, 3, , 10 kartų), pamatysime:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,8 0 (1 0,8) 10 0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000…;
P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000…;
P 2 = 45 0,8 2 (1 0,8) 10 2 = 45 0,8 2 0,2 ​​8 = 0,0000…;
P 3 = 120 0,8 3 (1 0,8) 10 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008…;
P 4 = 210 0,8 4 (1 0,8) 10 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055…;
P 5 = 252 0,8 5 (1 0,8) 10 5 = 252 0,8 5 0,2 5 = 0,0264…;
P 6 = 210 0,8 6 (1 0,8) 10 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881…;
P 7 = 120 0,8 7 (1 0,8) 10 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013…;
P 8 = 45 0,8 8 (1 0,8) 10 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020…(didžiausia tikimybė!);
P 9 = 10 0,8 9 (1 0,8) 10 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684…;
P 10 = 1 0,8 10 (1 0,8) 10 10 = 1 0,8 10 0,2 0 = 0,1074…

Žinoma P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Normalus skirstinys

Jei pavaizduotume kiekius P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10, kurį apskaičiavome 3 pavyzdyje, grafike paaiškėja, kad jų skirstinys turi formą, artimą normaliojo skirstinio dėsniui (žr. 27.1 pav.) (žr. 25 paskaitą. Normalaus pasiskirstymo atsitiktinių dydžių modeliavimas).

Ryžiai. 27.1. Binominio skirstinio tipas
skirtingų m tikimybės, kai p = 0,8, n = 10

Dvejetainis dėsnis tampa normalus, jei įvykio A atsiradimo ir neįvykimo tikimybės yra maždaug vienodos, tai yra, galime sąlygiškai parašyti: p≈ (1 p) . Pavyzdžiui, paimkime n= 10 ir p= 0,5 (ty p= 1 p = 0.5 ).

Prie tokios problemos prasmingai prieisime, jei, pavyzdžiui, norėsime teoriškai paskaičiuoti, kiek iš 10 gimdymo namuose tą pačią dieną gimusių vaikų bus berniukų ir kiek mergaičių. Tiksliau skaičiuosime ne berniukus ir mergaites, o tikimybę, kad gims tik berniukai, kad gims 1 berniukas ir 9 mergaitės, kad gims 2 berniukai ir 8 mergaitės ir pan. Paprastumo dėlei tarkime, kad tikimybė susilaukti berniuko ir mergaitės yra vienoda ir lygi 0,5 (bet iš tikrųjų, tiesą sakant, taip nėra, žr. kursą „Dirbtinio intelekto sistemų modeliavimas“).

Aišku, kad pasiskirstymas bus simetriškas, nes tikimybė susilaukti 3 berniukų ir 7 mergaičių yra lygi tikimybei turėti 7 berniukus ir 3 mergaites. Didžiausia gimimo tikimybė bus 5 berniukams ir 5 mergaitėms. Ši tikimybė lygi 0,25, beje, absoliučia verte ji nėra tokia didelė. Be to, tikimybė, kad vienu metu gims 10 ar 9 berniukai, yra daug mažesnė nei tikimybė, kad iš 10 vaikų gims 5 ± 1 berniukas. Binominis skirstinys padės mums atlikti šį skaičiavimą. Taigi.

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,5 0 (1 0,5) 10 0 = 1 1 0,5 10 = 0,000977…;
P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
P 3 = 120 0,5 3 (1 0,5) 10 3 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
P 4 = 210 0,5 4 (1 0,5) 10 4 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
P 5 = 252 0,5 5 (1 0,5) 10 5 = 252 0,5 10 = 0,246094…;
P 6 = 210 0,5 6 (1 0,5) 10 6 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
P 7 = 120 0,5 7 (1 0,5) 10 7 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
P 8 = 45 0,5 8 (1 0,5) 10 8 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
P 9 = 10 0,5 9 (1 0,5) 10 9 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
P 10 = 1 0,5 10 (1 0,5) 10 10 = 1 0,5 10 = 0,000977…

Žinoma P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Grafike parodykime kiekius P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (žr. 27.2 pav.).

Ryžiai. 27.2. Binominio skirstinio grafikas su parametrais
p = 0,5 ir n = 10, priartindami jį prie normalaus dėsnio

Taigi, esant sąlygoms m ≈ n/2 ir p≈ 1 p arba p≈ 0,5 vietoj binominio skirstinio galite naudoti įprastą. Dėl didelių vertybių n grafikas pasislenka į dešinę ir tampa vis plokštesnis, nes didėjant matematiniams lūkesčiams ir dispersijai didėja n : M = n · p , D = n · p· (1 p) .

Beje, dvinario dėsnis linkęs normaliai ir didėjant n, kas yra gana natūralu, pagal centrinę ribinę teoremą (žr. 34 paskaitą. Statistinių rezultatų registravimas ir apdorojimas).

Dabar apsvarstykite, kaip keičiasi dvinario dėsnis tuo atveju, kai p ≠ q, tai yra p> 0. Šiuo atveju negalima taikyti normaliojo skirstinio hipotezės, o dvinario skirstinys tampa Puasono skirstiniu.

Puasono pasiskirstymas

Puasono skirstinys yra specialus dvinario skirstinio atvejis (su n>> 0 ir at p>0 (reti atvejai)).

Iš matematikos žinoma formulė, leidžianti apytiksliai apskaičiuoti bet kurio binominio skirstinio nario vertę:

Kur a = n · p Puasono parametras (matematinis lūkestis), o dispersija yra lygi matematiniam lūkesčiui. Pateiksime matematinius skaičiavimus, paaiškinančius šį perėjimą. Binominio skirstymo dėsnis

P m = C n m · p m· (1 p) n – m

galima parašyti jei įdedi p = a/n , kaip

Nes p yra labai mažas, tuomet reikėtų atsižvelgti tik į skaičius m, mažas, palyginti su n. Darbas

labai arti vienybės. Tas pats pasakytina ir apie dydį

Didumas

labai arti e – a. Iš čia gauname formulę:

Pavyzdys. Dėžutėje yra n= 100 dalių, tiek aukštos kokybės, tiek su defektais. Tikimybė gauti nekokybišką prekę yra p= 0,01 . Tarkime, išimame prekę, nustatome, ar ji brokuota ar ne, ir grąžiname atgal. Tai padarius paaiškėjo, kad iš 100 produktų, kuriuos perėjome, du buvo su trūkumais. Kokia to tikimybė?

Iš binominio skirstinio gauname:

Iš Puasono skirstinio gauname:

Kaip matote, reikšmės pasirodė artimos, todėl retų įvykių atveju visiškai priimtina taikyti Puasono dėsnį, juolab kad tam reikia mažiau skaičiavimo pastangų.

Grafiškai parodykime Puasono dėsnio formą. Paimkime parametrus kaip pavyzdį p = 0.05 , n= 10. Tada:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,05 0 (1 0,05) 10 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987…;
P 1 = 10 0,05 1 (1 0,05) 10 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151…;
P 2 = 45 0,05 2 (1 0,05) 10 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746…;
P 3 = 120 0,05 3 (1 0,05) 10 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105…;
P 4 = 210 0,05 4 (1 0,05) 10 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096…;
P 5 = 252 0,05 5 (1 0,05) 10 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006…;
P 6 = 210 0,05 6 (1 0,05) 10 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000…;
P 7 = 120 0,05 7 (1 0,05) 10 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000…;
P 8 = 45 0,05 8 (1 0,05) 10 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000…;
P 9 = 10 0,05 9 (1 0,05) 10 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000…;
P 10 = 1 0,05 10 (1 0,05) 10 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000…

Žinoma P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Ryžiai. 27.3. Puasono pasiskirstymo grafikas, kai p = 0,05 ir n = 10

At n> ∞ Puasono skirstinys virsta normaliu dėsniu pagal centrinę ribinę teoremą (žr.

Įvadas

Tikimybių teorija yra matematikos mokslas, tiriantis atsitiktinių reiškinių modelius. Šiandien tai yra visavertis mokslas, turintis didelę praktinę reikšmę.

Tikimybių teorijos istorija siekia XVII amžių, kai buvo imtasi pirmųjų bandymų sistemingai tirti problemas, susijusias su masiniais atsitiktiniais reiškiniais, atsirado atitinkamas matematinis aparatas. Nuo to laiko buvo sukurta daug pagrindų ir pagilinta iki dabartinių sąvokų, buvo atrasti kiti svarbūs dėsniai ir modeliai. Daugelis mokslininkų dirbo ir dirba su tikimybių teorijos problemomis.

Tarp jų negalima nekreipti dėmesio į Simeono Deniso Puasono ((1781–1840) – prancūzų matematiko) darbus, kurie įrodė bendresnę didelių skaičių dėsnio formą nei Jacobas Bernoulli, taip pat pirmą kartą pritaikytas. šaudymo problemų tikimybės teorija. Puasono vardas siejamas su vienu iš pasiskirstymo dėsnių, kuris vaidina svarbų vaidmenį tikimybių teorijoje ir jos taikymuose.

Tam tikro atsitiktinio įvykio įvykių skaičius per laiko vienetą, kai šio įvykio faktas tam tikrame eksperimente nepriklauso nuo to, kiek kartų ir kokiu momentu jis įvyko praeityje, ir neturi įtakos ateitis. O bandymai atliekami stacionariomis sąlygomis, tuomet tokio atsitiktinio dydžio pasiskirstymui aprašyti dažniausiai naudojamas Puasono dėsnis (šį skirstinį pirmą kartą pasiūlė ir paskelbė šis mokslininkas 1837 m.).

Šį dėsnį galima apibūdinti ir kaip ribinį dvinario skirstinio atvejį, kai viename eksperimente mus dominančio įvykio tikimybė p yra labai maža, tačiau per laiko vienetą atliekamų eksperimentų skaičius m yra gana didelis. , būtent toks, kad procese p

0 ir m, sandauga mp turi tam tikrą teigiamą pastovią vertę (ty mp).

Todėl Puasono dėsnis dažnai dar vadinamas retų įvykių dėsniu.

Puasono skirstinys tikimybių teorijoje

Funkcijų ir paskirstymo serijos

Puasono skirstinys yra specialus dvinario skirstinio atvejis (su n>> 0 ir at p–> 0 (reti atvejai)).

Iš matematikos žinoma formulė, leidžianti apytiksliai apskaičiuoti bet kurio binominio skirstinio nario vertę:

Kur a = n · p yra Puasono parametras (matematinis lūkestis), o dispersija yra lygi matematiniam lūkesčiui. Pateiksime matematinius skaičiavimus, paaiškinančius šį perėjimą. Binominio skirstymo dėsnis

pm = C n m · p m· (1 - p)n – m

galima parašyti jei įdedi p = a/n, kaip

Nes p yra labai mažas, tuomet reikėtų atsižvelgti tik į skaičius m, mažas, palyginti su n. Darbas

labai arti vienybės. Tas pats pasakytina ir apie dydį

labai arti e –a. Iš čia gauname formulę:

Eulerio skaičius (2,71...). ,

Dėl generavimo funkcijos

turime kiekius:

Kaupiamojo tikimybių skirstinio funkcija lygi

Klasikinis atsitiktinio dydžio, paskirstyto pagal Puasoną, pavyzdys yra automobilių, pravažiuojančių tam tikrą kelio atkarpą per tam tikrą laikotarpį, skaičius. Taip pat galite atkreipti dėmesį į tokius pavyzdžius kaip žvaigždžių skaičius tam tikro dydžio dangaus atkarpoje, klaidų skaičius tam tikro ilgio tekste, telefono skambučių skaičius skambučių centre arba skambučių skaičius. žiniatinklio serveryje per tam tikrą laikotarpį.

Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo serija, paskirstyta pagal Puasono dėsnį, atrodo taip:

x m	0	1	2	…	m	…
pm	e-a			…		…

Fig. 1 pavaizduoti atsitiktinių dydžių skirstinio daugiakampiai X pagal Puasono dėsnį, atitinkantį skirtingas parametro reikšmes A.

Pirmiausia įsitikinkime, kad tikimybių seka gali būti skirstinio eilutė, t.y. kad visų tikimybių suma Rm lygus vienam.

Mes naudojame funkcijos išplėtimą e x Maclaurin serijoje:

Yra žinoma, kad ši serija sutampa bet kokiai vertei X, todėl imant x=a, mes gauname

vadinasi

Puasono skirstinio padėties skaitinės charakteristikos

Matematinis diskretiškojo atsitiktinio dydžio lūkestis yra visų jo galimų reikšmių ir jų tikimybių sandaugų suma.

Pagal apibrėžimą, kai diskretinis atsitiktinis kintamasis įgauna skaičiuojamą reikšmių rinkinį:

Pirmasis sumos narys (atitinka m=0 ) yra lygus nuliui, todėl sumavimas gali prasidėti nuo m=1 :

Taigi parametras A yra ne kas kita, kaip matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis X.

Be matematinio lūkesčio, atsitiktinio dydžio padėtis apibūdinama režimu ir mediana.

Atsitiktinio dydžio režimas yra labiausiai tikėtina jo reikšmė.

Ištisinio dydžio režimas vadinamas tikimybės tankio funkcijos vietinio maksimumo tašku. Jei daugiakampis arba pasiskirstymo kreivė turi vieną maksimumą (2 pav. a), tada pasiskirstymas vadinamas unimodaliniu, jei yra daugiau nei vienas maksimumas, jis yra multimodalinis (ypač pasiskirstymas su dviem modalais vadinamas bimodaliniu). Pasiskirstymas, turintis minimumą, vadinamas antimodaliniu (2 pav. b)

x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x

Labiausiai tikėtina atsitiktinio dydžio reikšmė yra režimas, suteikiantis didžiausią visuotinę tikimybę diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams arba pasiskirstymo tankį nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui.

Mediana yra x l reikšmė, kuri plotą po tikimybių tankio grafiku padalija per pusę, t.y. Mediana yra bet kuri lygties šaknis. Matematinio lūkesčio gali ir nebūti, tačiau mediana visada egzistuoja ir gali būti dviprasmiškai apibrėžta.

Atsitiktinio dydžio mediana

jo reikšmė = x med vadinama taip, kad P (< x med) = Р ( >x med) = .

Skaitinės sklaidos charakteristikos

Atsitiktinio dydžio X dispersija yra atsitiktinio dydžio kvadratinio nuokrypio nuo jo matematinio lūkesčio matematinis lūkestis.

Kur λ yra lygi vidutiniam įvykių skaičiui identiškuose nepriklausomuose bandymuose, t.y. λ = n × p, kur p yra įvykio tikimybė per vieną bandymą, e = 2,71828.

Puasono įstatymo paskirstymo serija yra tokia:

Paslaugos paskirtis. Internetinis skaičiuotuvas naudojamas Puasono skirstiniui sudaryti ir visoms serijos charakteristikoms apskaičiuoti: matematinį lūkestį, dispersiją ir standartinį nuokrypį. Ataskaita su sprendimu surašoma Word formatu.

Tuo atveju, kai n yra didelis ir λ = p n > 10, Puasono formulė duoda labai apytikslį aproksimaciją, o P n (m) apskaičiuoti naudojamos lokalios ir integralinės Moivre-Laplace teoremos.

Atsitiktinio dydžio X skaitinės charakteristikos

Tikimasi Puasono pasiskirstymo
M[X] = λ

Puasono skirstinio dispersija
D[X] = λ

1 pavyzdys. Sėklose yra 0,1% piktžolių. Kokia tikimybė rasti 5 piktžolių sėklas, jei atsitiktinai atrinksite 2000 sėklų?
Sprendimas.
Tikimybė p yra maža, bet skaičius n yra didelis. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Tikėtina vertė: M[X] = λ = 2
Sklaida: D[X] = λ = 2

2 pavyzdys. Tarp rugių sėklų yra 0,4% piktžolių sėklų. Sudarykite piktžolių skaičiaus pasiskirstymo dėsnį, kai atsitiktinai atrenkama 5000 sėklų. Raskite šio atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius ir dispersiją.
Sprendimas. Matematinė prognozė: M[X] = λ = 0,004*5000 = 20. Sklaida: D[X] = λ = 20
Platinimo įstatymas:

X	0	1	2	…	m	…
P	e -20	20e -20	200e -20	…	20 m e -20 /m!	…

3 pavyzdys. Telefono stotyje įvyksta neteisingas ryšys su 1/200 tikimybe. Raskite tikimybę, kad tarp 200 jungčių įvyks:
a) tiksliai vienas neteisingas ryšys;
b) mažiau nei trys neteisingi sujungimai;
c) daugiau nei du neteisingi sujungimai.
Sprendimas. Pagal uždavinio sąlygas įvykio tikimybė maža, todėl naudojame Puasono formulę (15).
a) Duota: n = 200, p = 1/200, k = 1. Raskime P 200 (1).
Mes gauname: . Tada P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
b) Duota: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Turime: a = 1.

c) Duota: n = 200, p = 1/200, k > 2. Raskime P 200 (k > 2).
Šią problemą galima išspręsti paprasčiau: raskite priešingo įvykio tikimybę, nes tokiu atveju reikia skaičiuoti mažiau terminų. Atsižvelgdami į ankstesnį atvejį, turime

Apsvarstykite atvejį, kai n yra pakankamai didelis, o p pakankamai mažas; įdėkime np = a, kur a yra koks nors skaičius. Šiuo atveju norima tikimybė nustatoma pagal Puasono formulę:

Tikimybę, kad per laikotarpį t įvyks k įvykiai, taip pat galima rasti naudojant Puasono formulę:
čia λ yra įvykių srauto intensyvumas, ty vidutinis įvykių, pasirodančių per laiko vienetą, skaičius.

4 pavyzdys. Tikimybė, kad dalis yra sugedusi, yra 0,005. Patikrinta 400 dalių. Pateikite formulę, kaip apskaičiuoti tikimybę, kad daugiau nei 3 dalys yra sugedusios.

5 pavyzdys. Tikimybė, kad masinės gamybos metu atsiras brokuotų dalių, yra p. nustatyti tikimybę, kad N dalių partijoje yra a) tiksliai trys dalys; b) ne daugiau kaip trys sugedusios dalys.
p=0,001; N = 4500
Sprendimas.
Tikimybė p yra maža, bet skaičius n yra didelis. np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Atsitiktinis dydis X turi verčių diapazoną (0,1,2,...,m). Šių verčių tikimybes galima rasti naudojant formulę:

Raskime X paskirstymo seriją.
Čia λ = np = 4500*0,001 = 4,5
P(0) = e - λ = e -4,5 = 0,01111
P(1) = λe -λ = 4,5e -4,5 = 0,04999

Tada tikimybė, kad N dalių partijoje yra tiksliai trys dalys, yra lygi:

Tada tikimybė, kad N dalių partijoje yra ne daugiau kaip trys sugedusios dalys:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

6 pavyzdys. Automatinė telefono stotis vidutiniškai per valandą sulaukia N skambučių. Nustatykite tikimybę, kad per tam tikrą minutę ji sulauks: a) lygiai dviejų skambučių; b) daugiau nei du skambučiai.
N = 18
Sprendimas.
Per vieną minutę automatinė telefono stotis vidutiniškai gauna λ = 18/60 min. = 0,3
Darant prielaidą, kad per vieną minutę PBX gautas atsitiktinis X skambučių skaičius,
paklūsta Puasono dėsniui, naudodamiesi formule rasime norimą tikimybę

Raskime X paskirstymo seriją.
Čia λ = 0,3
P(0) = e - λ = e -0,3 = 0,7408
P(1) = λe -λ = 0,3e -0,3 = 0,2222

Tikimybė, kad ji gaus lygiai du skambučius per tam tikrą minutę:
P(2) = 0,03334
Tikimybė, kad ji gaus daugiau nei du skambučius per tam tikrą minutę:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366

7 pavyzdys. Nagrinėjami du elementai, veikiantys nepriklausomai vienas nuo kito. Veikimo be gedimų trukmė turi eksponentinį pasiskirstymą su parametru λ1 = 0,02 pirmajam elementui ir λ2 = 0,05 antrajam elementui. Raskite tikimybę, kad per 10 valandų: a) abu elementai veiks be gedimų; b) tik tikimybė, kad elementas Nr. 1 nesuges per 10 valandų:
Sprendimas.
P 1 (0) = e -λ1*t = e -0,02*10 = 0,8187

Tikimybė, kad elementas Nr. 2 nesuges per 10 valandų:
P 2 (0) = e -λ2*t = e -0,05*10 = 0,6065

a) abu elementai veiks nepriekaištingai;
P(2) = P 1 (0) * P 2 (0) = 0,8187 * 0,6065 = 0,4966
b) suges tik vienas elementas.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321

7 pavyzdys. Gamyba turi 1% defektų. Kokia tikimybė, kad iš 1100 tyrimams paimtų produktų ne daugiau kaip 17 bus atmesti?
Pastaba: kadangi čia n*p =1100*0.01=11 > 10, reikia naudoti

Nagrinėjant mažos tikimybės įvykius, kurie įvyksta didelėje nepriklausomų bandymų serijoje tam tikrą (baigtinį) skaičių kartų, šių įvykių atsiradimo tikimybės atitinka Puasono dėsnį arba retų įvykių dėsnį, kur λ yra lygus vidutiniam įvykių pasireiškimai identiškuose nepriklausomuose tyrimuose, t.y. λ = n × p, čia p – įvykio tikimybė vieno bandymo metu, e = 2,71828, m – šio įvykio dažnis, matematinė lūkestis M[X] lygi λ.

Puasono įstatymo paskirstymo serija yra tokia:

Atsitiktinio dydžio X skaitinės charakteristikos

Tikimasi Puasono pasiskirstymo
M[X] = λ

Puasono skirstinio dispersija
D[X] = λ

Puasono dėsnis gali būti naudojamas populiacijoms, kurių tūris yra pakankamai didelis (n > 100) ir turi pakankamai mažą vienetų dalį, turinčią šią savybę (p< 0,1).
Šiuo atveju Puasono skirstinys gali būti taikomas, kai nežinoma ne tik n reikšmė – bendras galimų baigčių skaičius, bet ir tada, kai nežinomas galutinis skaičius, kurį n gali pavaizduoti. Kai yra vidutinis įvykio įvykių skaičius, įvykio tikimybė apibūdinama išplėtimo sąlygomis:
.
Todėl atitinkamos tikimybės yra:

Todėl, jei vidutinis žemės drebėjimų skaičius yra vienas per mėnesį, tada m = 1, o įvykių tikimybė per mėnesį bus tokia, skaičiuojant iš apytikslės reikšmės e - m = 0,3679:

Pavyzdys. Patikrinus 1000 identiškų gaminių partijų, gautas toks nekokybiškų gaminių skaičiaus pasiskirstymas partijoje:

Nustatykime vidutinį sugedusių gaminių skaičių partijoje:
.
Mes randame teorinius Puasono dėsnio dažnius:


Empiriškai ir teoriškai nustatytas Puasono skirstinys:

604	306	77	12	1
606	303	76	13	2

Palyginimas rodo, kad empirinis skirstinys atitinka Puasono skirstinį.

2 pavyzdys. Techninės kontrolės skyrius patikrino n panašių gaminių partijų ir nustatė, kad nestandartinių gaminių skaičius X vienoje partijoje turi empirinį pasiskirstymą, parodytą lentelėje, kurios vienoje eilutėje nurodomas nestandartinių gaminių skaičius x i vienoje partijoje, o kitoje eilutėje nurodomas n i partijų, kuriose yra x i nestandartinių gaminių, skaičius. Reikšmingumo lygiu α=0,05 reikia patikrinti hipotezę, kad atsitiktinis dydis X (nestandartinių gaminių skaičius vienoje partijoje) paskirstytas pagal Puasono dėsnį.

x i	0	1	2	3	4	5
n i	370	360	190	63	14	3

Patikrinkime hipotezę, kad X yra paskirstytas Puasono dėsnis Naudojimasis paslauga, statistinių hipotezių tikrinimas.


čia p i – tikimybė, kad atsitiktinis dydis, paskirstytas pagal hipotetinį dėsnį, pateks į i-ąjį intervalą; λ = x vid.
i = 0: p 0 = 0,3679, np 0 = 367,88
i = 1: p 1 = 0,3679, np 1 = 367,88
i = 2: p 2 = 0,1839, np 2 = 183,94
i = 3: p 3 = 0,0613, np 3 = 61,31
i = 4: p 4 = 0,0153, np 4 = 15,33
i = 5: p 5 = 0,0031, np 5 = 3,07
i = 6: 17 = 14 + 3
i = 6: 18,39 = 15,33 + 3,07

i	Stebimas dažnis n i	p i	Numatomas dažnis np i
0	370	0.37	367.88	0.0122
1	360	0.37	367.88	0.17
2	190	0.18	183.94	0.2
3	63	0.0613	61.31	0.0464
4	17	0.0153	18.39	0.11
	1000			0.53

Nustatykime kritinės srities ribą. Kadangi Pirsono statistika matuoja skirtumą tarp empirinio ir teorinio skirstinių, kuo didesnė jo stebima reikšmė K obs, tuo stipresnis argumentas prieš pagrindinę hipotezę.
Todėl šios statistikos kritinė sritis visada yra dešiniarankė :)