ឧទាហរណ៍នៃកន្សោមលោការីត។ លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត។ រូបមន្តលោការីត។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយលោការីត

បញ្ហា B7 ផ្តល់នូវកន្សោមដែលចាំបាច់ត្រូវធ្វើឱ្យសាមញ្ញ។ លទ្ធផលគួរតែជាលេខធម្មតាដែលអាចត្រូវបានសរសេរនៅលើសន្លឹកចម្លើយ។ កន្សោមទាំងអស់ត្រូវបានបែងចែកតាមលក្ខខណ្ឌជាបីប្រភេទ៖

1. លោការីត,
2. បាតុកម្ម,
3. រួមបញ្ចូលគ្នា។

កន្សោមអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីតនៅក្នុងទម្រង់សុទ្ធរបស់ពួកគេស្ទើរតែរកមិនឃើញ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយការដឹងពីរបៀបដែលពួកគេត្រូវបានគណនាគឺចាំបាច់។

ជាទូទៅបញ្ហា B7 ត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញ ហើយស្ថិតក្នុងអំណាចនៃនិស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សាមធ្យម។ កង្វះនៃក្បួនដោះស្រាយច្បាស់លាស់ត្រូវបានទូទាត់ដោយស្តង់ដារនិងឯកសណ្ឋានរបស់វា។ អ្នកអាចរៀនពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះដោយសាមញ្ញតាមរយៈការបណ្តុះបណ្តាលជាច្រើន។

កន្សោមលោការីត

ភាគច្រើននៃបញ្ហា B7 មានលោការីតក្នុងទម្រង់មួយឬផ្សេងទៀត។ ប្រធានបទនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាជាប្រពៃណីពិបាក ចាប់តាំងពីការសិក្សារបស់វាជាក្បួនធ្លាក់នៅថ្នាក់ទី 11 ដែលជាយុគសម័យនៃការរៀបចំដ៏ធំសម្រាប់ការប្រឡងចុងក្រោយ។ ជាលទ្ធផល និស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សាជាច្រើនមានគំនិតមិនច្បាស់លាស់អំពីលោការីត។

ប៉ុន្តែ​ក្នុង​កិច្ចការ​នេះ គ្មាន​នរណា​ម្នាក់​ទាមទារ​ចំណេះដឹង​ទ្រឹស្ដី​ស៊ីជម្រៅ​ឡើយ។ យើងនឹងជួបតែកន្សោមសាមញ្ញបំផុតដែលទាមទារការវែកញែកដោយត្រង់ៗ ហើយប្រហែលជាត្រូវបានស្ទាត់ជំនាញដោយឯករាជ្យ។ ខាងក្រោមនេះជារូបមន្តមូលដ្ឋានដែលអ្នកត្រូវដឹងដើម្បីដោះស្រាយជាមួយលោការីត៖

លើសពីនេះទៀត មនុស្សម្នាក់ត្រូវតែអាចជំនួសឫស និងប្រភាគដោយអំណាចដោយប្រើនិទស្សន្តសមហេតុផល បើមិនដូច្នេះទេនៅក្នុងកន្សោមខ្លះនឹងគ្មានអ្វីដែលត្រូវដកចេញពីក្រោមសញ្ញានៃលោការីតនោះទេ។ រូបមន្តជំនួស៖

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកតម្លៃកន្សោម៖
កំណត់ហេតុ ៦ ២៧០ − កំណត់ហេតុ ៦ ៧.៥
log 5 775 − log 5 6.2

កន្សោមពីរដំបូងត្រូវបានបំប្លែងជាភាពខុសគ្នានៃលោការីត៖
log 6 270 − log 6 7.5 = log 6 (270: 7.5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6.2 = log 5 (775:6.2) = log 5 125 = 3 ។

ដើម្បីគណនាកន្សោមទីបី អ្នកនឹងត្រូវជ្រើសរើសដឺក្រេ - ទាំងក្នុងមូលដ្ឋាន និងក្នុងអាគុយម៉ង់។ ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកលោការីតខាងក្នុង៖

បន្ទាប់មក - ខាងក្រៅ៖

សំណង់ដូចជា log a log b x ហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញ និងមានការយល់ច្រលំចំពោះមនុស្សជាច្រើន។ ទន្ទឹមនឹងនេះ នេះគ្រាន់តែជាលោការីត លោការីត ពោលគឺលោការីត។ កំណត់ហេតុ a (កំណត់ហេតុ b x) ។ ដំបូង លោការីតខាងក្នុងត្រូវបានគណនា (ដាក់ log b x = c) ហើយបន្ទាប់មកខាងក្រៅ៖ log a c ។

កន្សោមអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

យើងនឹងហៅកន្សោមអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល រាល់សំណង់នៃទម្រង់ a k ដែលលេខ a និង k ជាចំនួនថេរតាមអំពើចិត្ត និង a > 0។ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ធ្វើការជាមួយកន្សោមបែបនេះគឺសាមញ្ញណាស់ ហើយត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងមេរៀនពិជគណិតថ្នាក់ទី 8 ។

ខាងក្រោមនេះជារូបមន្តមូលដ្ឋានដែលអ្នកត្រូវតែដឹង។ ការអនុវត្តរូបមន្តទាំងនេះក្នុងការអនុវត្តជាក្បួនមិនបង្កបញ្ហាទេ។

1. a n a m = a n + m ;
2. a n / a m = a n − m ;
3. (a n) m = a n m ;
4. (a b) n = a n b n ;
5. (a : b ) n = a n : b n ។

ប្រសិនបើការបញ្ចេញមតិស្មុគ្រស្មាញជាមួយនឹងអំណាចត្រូវបានជួបប្រទះ ហើយវាមិនច្បាស់អំពីរបៀបចូលទៅជិតវាទេ បច្ចេកទេសសកលមួយត្រូវបានប្រើ - ការបំបែកទៅជាកត្តាសំខាន់។ ជាលទ្ធផលចំនួនដ៏ធំនៅក្នុងមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេត្រូវបានជំនួសដោយធាតុសាមញ្ញនិងអាចយល់បាន។ បន្ទាប់មកវានៅសល់តែអនុវត្តរូបមន្តខាងលើប៉ុណ្ណោះ - ហើយបញ្ហានឹងត្រូវបានដោះស្រាយ។

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកតម្លៃកន្សោម៖ 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .

ដំណោះស្រាយ។ យើងបំបែកមូលដ្ឋាននៃអំណាចទាំងអស់ទៅជាកត្តាចម្បង៖
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189 ។
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6 ។
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

ភារកិច្ចរួមបញ្ចូលគ្នា

ប្រសិនបើអ្នកស្គាល់រូបមន្ត នោះកន្សោមអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីតទាំងអស់ត្រូវបានដោះស្រាយតាមព្យញ្ជនៈក្នុងមួយជួរ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងបញ្ហា B7 អំណាច និងលោការីតអាចត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាដើម្បីបង្កើតជាបន្សំខ្លាំងជាង។

ផ្នែក៖ គណិតវិទ្យា

ប្រភេទមេរៀន៖មេរៀនទូទៅ និងប្រព័ន្ធនៃចំណេះដឹង

គោលដៅ៖

• ដើម្បីធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹងរបស់សិស្សអំពីលោការីត និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេ ដែលជាផ្នែកមួយនៃការធ្វើពាក្យដដែលៗ និងការរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡង។
• ដើម្បីលើកកម្ពស់ការអភិវឌ្ឍនៃសកម្មភាពផ្លូវចិត្តរបស់សិស្ស ជំនាញនៃការអនុវត្តចំណេះដឹងទ្រឹស្តីនៅពេលអនុវត្តលំហាត់;
• ដើម្បីលើកកម្ពស់ការអភិវឌ្ឍគុណភាពផ្ទាល់ខ្លួនរបស់សិស្ស ជំនាញនៃការគ្រប់គ្រងខ្លួនឯង និងការវាយតម្លៃដោយខ្លួនឯងនៃសកម្មភាពរបស់ពួកគេ; បណ្តុះភាពឧស្សាហ៍ព្យាយាម អត់ធ្មត់ តស៊ូ ឯករាជ្យ។

ឧបករណ៍៖កុំព្យូទ័រ, ម៉ាស៊ីនបញ្ចាំង, ការបង្ហាញ (ឯកសារភ្ជាប់ ១), កាតដែលមានកិច្ចការផ្ទះ (អ្នកអាចភ្ជាប់ឯកសារជាមួយភារកិច្ចនៅក្នុងកំណត់ហេតុអេឡិចត្រូនិច) ។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

I. ពេលរៀបចំ។ សួស្តី ត្រៀមខ្លួនសម្រាប់មេរៀន។

II. ការពិភាក្សាអំពីកិច្ចការផ្ទះ។

III. សារអំពីប្រធានបទ និងគោលបំណងនៃមេរៀន។ ការលើកទឹកចិត្ត។(ស្លាយទី ១) បទបង្ហាញ។

យើងបន្តធ្វើពាក្យដដែលៗនៃមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យា ដើម្បីត្រៀមប្រឡង។ ហើយថ្ងៃនេះនៅក្នុងមេរៀនយើងនឹងនិយាយអំពីលោការីត និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

ភារកិច្ចសម្រាប់ការគណនាលោការីត និងការផ្លាស់ប្តូរកន្សោមលោការីត គឺចាំបាច់មានវត្តមាននៅក្នុងវត្ថុបញ្ជា និងវាស់វែងទាំងកម្រិតមូលដ្ឋាន និងទម្រង់។ ដូច្នេះ គោលបំណងនៃមេរៀនរបស់យើងគឺដើម្បីស្តារគំនិតអំពីអត្ថន័យនៃគោលគំនិតនៃ "លោការីត" និងធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពជំនាញនៃការបំប្លែងកន្សោមលោការីត។ សរសេរប្រធានបទនៃមេរៀននៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រារបស់អ្នក។

IV. បច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹង។

1. /ផ្ទាល់មាត់/ជាដំបូង ចូរយើងចងចាំនូវអ្វីដែលហៅថាលោការីត។ (ស្លាយទី 2)

(លោការីតនៃចំនួនវិជ្ជមាន b ទៅមូលដ្ឋាន a (ដែល a > 0, a? 1) គឺជានិទស្សន្តដែលអ្នកត្រូវបង្កើនចំនួន a ដើម្បីទទួលបានលេខ b)

កំណត់ហេតុ a b = n<->a n \u003d b, (a> 0, a 1, b> 0)

ដូច្នេះ “LOGARIFM” គឺ “អិចផន”!

(ស្លាយទី 3) បន្ទាប់មក a n = b អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា = b គឺជាអត្តសញ្ញាណលោការីតសំខាន់។

ប្រសិនបើមូលដ្ឋាន a \u003d 10 នោះលោការីតត្រូវបានគេហៅថាទសភាគ ហើយត្រូវបានតំណាងថា lgb ។

ប្រសិនបើ \u003d អ៊ី នោះលោការីតត្រូវបានគេហៅថាធម្មជាតិ និងតំណាងដោយ lnb ។

2. / សរសេរ / (ស្លាយទី ៤)បំពេញចន្លោះដើម្បីទទួលបានសមភាពត្រឹមត្រូវ៖

កំណត់ហេតុ? x + កត់ត្រា a ? = កំណត់ហេតុ ? (?y)

កំណត់​ហេតុ? - កំណត់ហេតុ? y = កំណត់ហេតុ ? (x/?)

កំណត់ហេតុ x? = pLog ? (?)

ការប្រឡង៖

មួយ; មួយ; a,y,x; x,a,a,y; p,a,x ។

ទាំងនេះគឺជាលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់លោការីត។ និងក្រុមមួយទៀតនៃទ្រព្យសម្បត្តិ៖ (ស្លាយទី 5)

ការប្រឡង៖

a,1,n,x; n,x,p,a; x,b,a,y; a,x,b; a,1,b ។

V. ការងារផ្ទាល់មាត់

(ស្លាយទី ៦) លេខ 1 ។ គណនា៖

a B C D); អ៊ី) ។

ចម្លើយ : ក) ៤; b) - 2; ក្នុង 2; ឃ) ៧; ង) ២៧.

(ស្លាយទី ៧) លេខ 2 ។ ស្វែងរក X៖

ប៉ុន្តែ); ខ) (ចម្លើយ៖ ក) ១/៤; ខ) ៩).

លេខ 3 ។ តើវាសមហេតុផលទេក្នុងការពិចារណាលោការីតបែបនេះ៖

ប៉ុន្តែ); ខ) ; ក្នុង)? (មិនមែន)

VI. ការងារឯករាជ្យជាក្រុម សិស្សខ្លាំង - អ្នកប្រឹក្សា. (ស្លាយទី ៨)

លេខ ១ គណនា៖ .

# 2 ធ្វើឱ្យសាមញ្ញ:

លេខ 3. រកតម្លៃនៃកន្សោមប្រសិនបើ

#៤ សម្រួលការបញ្ចេញមតិ៖

លេខ ៥ គណនា៖

#៦ គណនា៖

លេខ ៧ គណនា៖

លេខ ៨ គណនា៖

បន្ទាប់ពីបញ្ចប់ - ការផ្ទៀងផ្ទាត់ និងការពិភាក្សាលើដំណោះស្រាយដែលបានរៀបចំ ឬដោយមានជំនួយពីកាមេរ៉ាឯកសារ។

VII. ដោះស្រាយភារកិច្ចនៃភាពស្មុគស្មាញ(សិស្សខ្លាំងម្នាក់នៅលើក្តារ នៅសល់នៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រា) (ស្លាយទី ៩)

ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

VIII. កិច្ចការ​ផ្ទះ(នៅលើកាត) ខុសគ្នា។(ស្លាយទី ១០)

លេខ 1 ។ គណនា៖

លេខ 2 ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

F.F. Lysenko និងអ្នកដទៃ គណិតវិទ្យា។ ការ​ធ្វើ​តេ​ស្ត​ថ្នាក់​ទី 10 - 11 ។ ផ្នែកទី 1 / Rostov-on-Don: "Legion", ឆ្នាំ 2008

VV Kochagin ការបណ្តុះបណ្តាលដែលពឹងផ្អែកខ្លាំង។ ប្រើគណិតវិទ្យា។ / M: "Eksmo", ឆ្នាំ 2008

ធនធានអ៊ីនធឺណិត៖

1. L.V. Artamonova គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា Moskalensky Lyceum បទបង្ហាញ "នៅក្នុងទឹកដីនៃលោការីត"
2. A.A. Kuksheva, MOU "អនុវិទ្យាល័យ Egorievskaya" បទបង្ហាញ "លោការីតនិងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេ"

លោការីត ដូចជាលេខណាមួយ អាចត្រូវបានបន្ថែម ដក និងបំប្លែងតាមគ្រប់មធ្យោបាយដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ប៉ុន្តែដោយសារលោការីតមិនមែនជាលេខធម្មតាទេ មានច្បាប់នៅទីនេះ ដែលត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន.

ច្បាប់ទាំងនេះត្រូវតែដឹង - គ្មានបញ្ហាលោការីតធ្ងន់ធ្ងរអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយគ្មានពួកវាទេ។ លើសពីនេះទៀតមានពួកគេតិចតួចណាស់ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងអាចរៀនបានក្នុងមួយថ្ងៃ។ ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើម។

ការបូកនិងដកលោការីត

ពិចារណាលោការីតពីរដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖ កំណត់ហេតុ ក xនិងកំណត់ហេតុ ក y. បន្ទាប់មក គេអាចបូក និងដក និង៖

1. កំណត់ហេតុ ក x+ កំណត់ហេតុ ក y= កំណត់ហេតុ ក (x · y);
2. កំណត់ហេតុ ក x- កំណត់ហេតុ ក y= កំណត់ហេតុ ក (x : y).

ដូច្នេះផលបូកនៃលោការីតគឺស្មើនឹងលោការីតនៃផលិតផល ហើយភាពខុសគ្នាគឺលោការីតនៃកូតាត។ សូមចំណាំ៖ ចំណុចសំខាន់នៅទីនេះគឺ - មូលដ្ឋានដូចគ្នា។. ប្រសិនបើមូលដ្ឋានខុសគ្នា ច្បាប់ទាំងនេះមិនដំណើរការទេ!

រូបមន្តទាំងនេះនឹងជួយគណនាកន្សោមលោការីត ទោះបីជាផ្នែកនីមួយៗរបស់វាមិនត្រូវបានពិចារណាក៏ដោយ (សូមមើលមេរៀន " តើលោការីតគឺជាអ្វី") សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ហើយមើល៖

កំណត់ហេតុ ៦ ៤ + កំណត់ហេតុ ៦ ៩.

ដោយសារមូលដ្ឋាននៃលោការីតគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តបូក៖
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2 ។

កិច្ចការមួយ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 2 48 − log 2 ៣.

មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តខុសគ្នា៖
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48:3) = log 2 16 = 4 ។

កិច្ចការមួយ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 3 135 − log 3 5 ។

ជាថ្មីម្តងទៀត មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា ដូច្នេះយើងមាន៖
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135:5) = log 3 27 = 3 ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញកន្សោមដើមត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយលោការីត "អាក្រក់" ដែលមិនត្រូវបានគេចាត់ទុកថាដាច់ដោយឡែក។ ប៉ុន្តែ​បន្ទាប់​ពី​ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​ចំនួន​ធម្មតា​ពិត​ជា​ចេញ​។ ការធ្វើតេស្តជាច្រើនគឺផ្អែកលើការពិតនេះ។ បាទ/ចាស ការគ្រប់គ្រង - ការបញ្ចេញមតិស្រដៀងគ្នាក្នុងភាពធ្ងន់ធ្ងរទាំងអស់ (ជួនកាល - ស្ទើរតែគ្មានការផ្លាស់ប្តូរ) ត្រូវបានផ្តល់ជូននៅពេលប្រឡង។

ការដកនិទស្សន្តចេញពីលោការីត

ឥឡូវ​នេះ​សូម​ធ្វើ​ឱ្យ​កិច្ចការ​ស្មុគស្មាញ​បន្តិច។ ចុះបើមានដឺក្រេក្នុងគោល ឬអាគុយម៉ង់នៃលោការីត? បន្ទាប់មកនិទស្សន្តនៃដឺក្រេនេះអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃលោការីតដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដូចខាងក្រោមៈ

វាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាច្បាប់ចុងក្រោយធ្វើតាមពីរដំបូងរបស់ពួកគេ។ ប៉ុន្តែវាជាការល្អប្រសើរជាងមុនក្នុងការចងចាំវាយ៉ាងណាក៏ដោយ - ក្នុងករណីខ្លះវានឹងកាត់បន្ថយបរិមាណនៃការគណនាយ៉ាងខ្លាំង។

ជាការពិតណាស់ ច្បាប់ទាំងអស់នេះមានន័យប្រសិនបើលោការីត ODZ ត្រូវបានអង្កេត៖ ក > 0, ក ≠ 1, x> 0. ហើយរឿងមួយទៀត៖ រៀនអនុវត្តរូបមន្តទាំងអស់មិនត្រឹមតែពីឆ្វេងទៅស្តាំប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងច្រាសមកវិញ ពោលគឺឧ។ អ្នកអាចបញ្ចូលលេខមុនសញ្ញាលោការីតទៅក្នុងលោការីតខ្លួនឯង។ នេះគឺជាអ្វីដែលត្រូវការញឹកញាប់បំផុត។

កិច្ចការមួយ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ កំណត់ហេតុ ៧ ៤៩ ៦ .

ចូរយើងកម្ចាត់ដឺក្រេនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ដោយរូបមន្តទីមួយ៖
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

[រូបភាពចំណងជើង]

ចំណាំថាភាគបែងគឺជាលោការីតដែលមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់មានអំណាចពិតប្រាកដ៖ 16 = 2 4 ; ៤៩ = ៧២. យើង​មាន:

[រូបភាពចំណងជើង]

ខ្ញុំគិតថាឧទាហរណ៍ចុងក្រោយត្រូវការការបំភ្លឺ។ តើលោការីតបានទៅណា? រហូត​ដល់​ពេល​ចុង​ក្រោយ​បំផុត យើង​ធ្វើ​ការ​តែ​ជាមួយ​ភាគបែង​ប៉ុណ្ណោះ។ ពួកគេបានបង្ហាញពីមូលដ្ឋាន និងអំណះអំណាងនៃលោការីតឈរនៅទីនោះក្នុងទម្រង់ជាដឺក្រេ ហើយយកសូចនាករចេញ - ពួកគេទទួលបានប្រភាគ "បីជាន់" ។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលប្រភាគសំខាន់។ ភាគយក និងភាគបែងមានលេខដូចគ្នា៖ log 2 7. ចាប់តាំងពី log 2 7 ≠ 0 យើងអាចកាត់បន្ថយប្រភាគ - 2/4 នឹងនៅតែមាននៅក្នុងភាគបែង។ យោងតាមក្បួននព្វន្ធ លេខទាំងបួនអាចផ្ទេរទៅភាគយកដែលបានធ្វើរួច។ លទ្ធផលគឺចម្លើយ៖ ២.

ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។

និយាយអំពីច្បាប់សម្រាប់បូក និងដកលោការីត ខ្ញុំបានសង្កត់ធ្ងន់ជាពិសេសថាពួកវាដំណើរការតែជាមួយមូលដ្ឋានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ចុះបើមូលដ្ឋានខុសគ្នា? ចុះ​បើ​ពួក​គេ​មិន​មែន​ជា​លេខ​ដូច​គ្នា?

រូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីមកជួយសង្គ្រោះ។ យើងបង្កើតវាក្នុងទម្រង់នៃទ្រឹស្តីបទ៖

អនុញ្ញាតឱ្យលោការីតកត់ត្រា ក x. បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខណាមួយ។ គបែបនោះ។ គ> 0 និង គ≠ ១ សមភាពគឺពិត៖

[រូបភាពចំណងជើង]

ជាពិសេសប្រសិនបើយើងដាក់ គ = x, យើង​ទទួល​បាន:

[រូបភាពចំណងជើង]

វាធ្វើតាមរូបមន្តទីពីរដែលវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីផ្លាស់ប្តូរមូលដ្ឋាននិងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះកន្សោមទាំងមូលត្រូវបាន "ត្រឡប់" ពោលគឺឧ។ លោការីតគឺនៅក្នុងភាគបែង។

រូបមន្តទាំងនេះកម្រត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងកន្សោមលេខធម្មតា។ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីវាយតម្លៃថាតើពួកគេមានភាពងាយស្រួលយ៉ាងណានៅពេលសម្រេចចិត្ត សមីការលោការីតនិងវិសមភាព។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានកិច្ចការដែលមិនអាចដោះស្រាយបានទាល់តែសោះ លើកលែងតែការផ្លាស់ប្តូរទៅកាន់គ្រឹះថ្មីមួយ។ ចូរយើងពិចារណាពីរបីចំណុចនេះ៖

កិច្ចការមួយ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 5 16 log 2 25 ។

ចំណាំថាអាគុយម៉ង់នៃលោការីតទាំងពីរគឺជានិទស្សន្តពិតប្រាកដ។ ចូរយកសូចនាករនេះចេញ៖ log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

ឥឡូវ​យើង​ត្រឡប់​លោការីត​ទីពីរ៖

[រូបភាពចំណងជើង]

ដោយសារផលិតផលមិនផ្លាស់ប្តូរពីការបំប្លែងកត្តា យើងគុណនឹងបួន និងពីរដោយស្ងប់ស្ងាត់ ហើយបន្ទាប់មករកលោការីត។

កិច្ចការមួយ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 9 100 lg ៣.

មូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតទី 1 គឺជាអំណាចពិតប្រាកដ។ ចូរសរសេរវាចុះ ហើយកម្ចាត់សូចនាករ៖

[រូបភាពចំណងជើង]

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកម្ចាត់លោការីតទសភាគដោយផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មី៖

[រូបភាពចំណងជើង]

អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន

ជាញឹកញាប់នៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីតំណាងឱ្យលេខជាលោការីតទៅមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងករណីនេះរូបមន្តនឹងជួយយើង:

ក្នុងករណីដំបូងលេខ នក្លាយជានិទស្សន្តនៃអាគុយម៉ង់។ ចំនួន នវាអាចជាអ្វីទាំងអស់ ព្រោះវាគ្រាន់តែជាតម្លៃនៃលោការីត។

រូបមន្តទីពីរគឺពិតជានិយមន័យដែលបានបកស្រាយ។ វាត្រូវបានគេហៅថាអត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន។

ជាការពិត តើនឹងមានអ្វីកើតឡើង ប្រសិនបើលេខ ខបង្កើនអំណាចដូច្នេះ ខដល់កម្រិតនេះផ្តល់លេខ ក? ត្រឹមត្រូវ៖ នេះគឺជាលេខដូចគ្នា។ ក. អានកថាខណ្ឌនេះម្តងទៀតដោយប្រុងប្រយ័ត្ន - មនុស្សជាច្រើន "ព្យួរ" លើវា។

ដូចរូបមន្តបំប្លែងមូលដ្ឋានថ្មី អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន ជួនកាលជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើទៅបាន។

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

[រូបភាពចំណងជើង]

ចំណាំថា log 25 64 = log 5 8 - គ្រាន់តែយកការ៉េចេញពីមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីត។ ដោយផ្អែកលើច្បាប់សម្រាប់គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា យើងទទួលបាន៖

[រូបភាពចំណងជើង]

បើអ្នកណាមិនស្គាល់ នោះជាកិច្ចការពិតពីការប្រឡង :)

ឯកតាលោការីត និងសូន្យលោការីត

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំនឹងផ្តល់អត្តសញ្ញាណពីរដែលពិបាកហៅលក្ខណៈសម្បត្តិ - ផ្ទុយទៅវិញ ទាំងនេះគឺជាផលវិបាកពីនិយមន័យនៃលោការីត។ ពួកគេត្រូវបានរកឃើញជានិច្ចនៅក្នុងបញ្ហា ហើយគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល បង្កើតបញ្ហាសូម្បីតែសម្រាប់សិស្ស "កម្រិតខ្ពស់" ក៏ដោយ។

1. កំណត់ហេតុ ក ក= 1 គឺជាឯកតាលោការីត។ ចងចាំម្តងនិងសម្រាប់ទាំងអស់: លោការីតទៅមូលដ្ឋានណាមួយ។ កពីមូលដ្ឋាននេះខ្លួនវាស្មើនឹងមួយ។
2. កំណត់ហេតុ ក 1 = 0 គឺជាលោការីតសូន្យ។ មូលដ្ឋាន កអាចជាអ្វីក៏បាន ប៉ុន្តែប្រសិនបើអាគុយម៉ង់គឺមួយ លោការីតគឺសូន្យ! ដោយសារតែ ក 0 = 1 គឺជាលទ្ធផលផ្ទាល់នៃនិយមន័យ។

នោះហើយជាលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់។ ត្រូវ​អនុវត្ត​ឲ្យ​បាន​ជាក់​ជា​មិន​ខាន! ទាញយកសន្លឹកបន្លំនៅដើមមេរៀន បោះពុម្ពវាចេញ និងដោះស្រាយបញ្ហា។

ជួរដែលអាចទទួលយកបាន (ODZ) នៃលោការីត

ឥឡូវនេះសូមនិយាយអំពីការរឹតបន្តឹង (ODZ - តំបន់នៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃអថេរ) ។

យើងចងចាំថា ជាឧទាហរណ៍ ឫសការ៉េមិនអាចយកចេញពីលេខអវិជ្ជមានបានទេ។ ឬប្រសិនបើយើងមានប្រភាគ នោះភាគបែងមិនអាចស្មើនឹងសូន្យបានទេ។ មានការរឹតបន្តឹងស្រដៀងគ្នាសម្រាប់លោការីត៖

នោះគឺ ទាំងអាគុយម៉ង់ និងមូលដ្ឋានត្រូវតែធំជាងសូន្យ ហើយមូលដ្ឋានមិនអាចស្មើគ្នាបានទេ។

ហេតុអ្វីបានជា​អញ្ចឹង?

ចូរចាប់ផ្តើមសាមញ្ញ៖ ចូរនិយាយថា។ បន្ទាប់មក ជាឧទាហរណ៍ លេខមិនមានទេ ព្រោះមិនថាយើងលើកកម្រិតណាទេ វាតែងតែចេញ។ លើសពីនេះទៅទៀតវាមិនមានសម្រាប់នរណាម្នាក់ទេ។ ប៉ុន្តែក្នុងពេលតែមួយវាអាចស្មើនឹងអ្វីទាំងអស់ (សម្រាប់ហេតុផលដូចគ្នា - វាស្មើនឹងកម្រិតណាមួយ) ។ ដូច្នេះ វត្ថុគឺមិនមានការចាប់អារម្មណ៍ទេ ហើយវាត្រូវបានបោះចោលដោយគណិតវិទ្យា។

យើងមានបញ្ហាស្រដៀងគ្នានៅក្នុងករណី: ក្នុងកម្រិតវិជ្ជមានណាមួយ - នេះប៉ុន្តែវាមិនអាចត្រូវបានគេលើកឡើងទៅជាថាមពលអវិជ្ជមានទាល់តែសោះព្រោះការបែងចែកដោយសូន្យនឹងមានលទ្ធផល (ខ្ញុំរំលឹកអ្នកថា) ។

នៅពេលដែលយើងប្រឈមមុខនឹងបញ្ហានៃការលើកឡើងទៅជាអំណាចប្រភាគ (ដែលត្រូវបានតំណាងថាជាឬស: ។ ឧទាហរណ៍ (នោះគឺ) ប៉ុន្តែមិនមានទេ។

ដូច្នេះហេតុផលអវិជ្ជមានគឺងាយស្រួលក្នុងការបោះចោលជាងការរញ៉េរញ៉ៃជាមួយពួកគេ។

ជាការប្រសើរណាស់ ដោយសារមូលដ្ឋាន a គ្រាន់តែជាវិជ្ជមានសម្រាប់យើង ដូច្នេះមិនថាយើងលើកវាកម្រិតណាទេ យើងនឹងទទួលបានលេខវិជ្ជមានយ៉ាងតឹងរ៉ឹងជានិច្ច។ ដូច្នេះអាគុយម៉ង់ត្រូវតែវិជ្ជមាន។ ឧទាហរណ៍ វាមិនមានទេ ព្រោះវានឹងមិនមែនជាលេខអវិជ្ជមានក្នុងកម្រិតណាមួយទេ (និងសូម្បីតែសូន្យ ដូច្នេះវាក៏មិនមានដែរ)។

នៅក្នុងបញ្ហាជាមួយលោការីត ជំហានដំបូងគឺត្រូវសរសេរ ODZ ។ ខ្ញុំនឹងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយ៖

ចូរយើងដោះស្រាយសមីការ។

រំលឹកនិយមន័យ៖ លោការីត គឺជាអំណាចដែលមូលដ្ឋានត្រូវតែលើកឡើង ដើម្បីទទួលបានអាគុយម៉ង់។ ហើយតាមលក្ខខណ្ឌ សញ្ញាបត្រនេះស្មើនឹង៖ .

យើងទទួលបានសមីការការ៉េធម្មតា៖ . យើងដោះស្រាយវាដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta៖ ផលបូកនៃឫសគឺស្មើគ្នា ហើយផលិតផល។ ងាយស្រួលរើស ទាំងនេះជាលេខ និង។

ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកយកភ្លាមៗ ហើយសរសេរលេខទាំងពីរនេះនៅក្នុងចម្លើយនោះ អ្នកអាចទទួលបាន 0 ពិន្ទុសម្រាប់កិច្ចការ។ ហេតុអ្វី? ចូរយើងគិតថាតើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើយើងជំនួសឫសទាំងនេះទៅក្នុងសមីការដំបូង?

នេះ​ជា​រឿង​មិន​ពិត​ទេ ព្រោះ​មូលដ្ឋាន​មិន​អាច​អវិជ្ជមាន​នោះ​ទេ ពោល​គឺ​ឫស​គឺ "ភាគី​ទីបី"។

ដើម្បីជៀសវាងល្បិចមិនល្អបែបនេះ អ្នកត្រូវសរសេរ ODZ មុនពេលចាប់ផ្តើមដោះស្រាយសមីការ៖

បន្ទាប់​មក ដោយ​បាន​ទទួល​ឬស​ហើយ យើង​បោះចោល​ឫស​នោះ​ភ្លាម ហើយ​សរសេរ​ចម្លើយ​ត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍ ១(ព្យាយាមដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង) :

ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ។ ប្រសិនបើមានឫសច្រើន សូមចង្អុលបង្ហាញលេខតូចជាងនៅក្នុងចម្លើយរបស់អ្នក។

ដំណោះស្រាយ៖

ជាដំបូង ចូរយើងសរសេរ ODZ៖

ឥឡូវនេះយើងចាំថាលោការីតគឺជាអ្វី: តើអ្នកត្រូវការអំណាចអ្វីដើម្បីលើកមូលដ្ឋានដើម្បីទទួលបានអាគុយម៉ង់? នៅក្នុងទីពីរ។ I.e:

វាហាក់ដូចជាថាឫសតូចជាងគឺស្មើគ្នា។ ប៉ុន្តែនេះមិនមែនដូច្នោះទេ៖ យោងតាម ​​ODZ ឫសគឺជាភាគីទីបី ពោលគឺវាមិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការនេះទាល់តែសោះ។ ដូច្នេះសមីការមានឫសតែមួយ៖ .

ចម្លើយ៖ .

អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន

រំលឹកនិយមន័យនៃលោការីតនៅក្នុងពាក្យទូទៅ៖

ជំនួសក្នុងសមភាពទីពីរជំនួសឱ្យលោការីត៖

សមភាពនេះត្រូវបានគេហៅថា អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន. ទោះបីជានៅក្នុងខ្លឹមសារសមភាពនេះគ្រាន់តែត្រូវបានសរសេរខុសគ្នា និយមន័យលោការីត:

នេះ​ជា​អំណាច​ដែល​អ្នក​ត្រូវ​លើក​ឡើង​ដើម្បី​ទទួល​បាន។

ឧទាហរណ៍:

ដោះស្រាយឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម។

ដំណោះស្រាយ៖

រំលឹកឡើងវិញនូវច្បាប់ពីផ្នែក៖ ពោលគឺនៅពេលបង្កើនកម្រិតដល់ថាមពល សូចនាករត្រូវបានគុណ។ តោះអនុវត្តវា៖

ឧទាហរណ៍ ៣

បញ្ជាក់។

ដំណោះស្រាយ៖

លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត

ជាអកុសល កិច្ចការមិនតែងតែសាមញ្ញទេ - ជាញឹកញាប់ដំបូងអ្នកត្រូវធ្វើឱ្យការបញ្ចេញមតិសាមញ្ញ នាំវាទៅជាទម្រង់ធម្មតា ហើយមានតែពេលនោះទេ វានឹងអាចគណនាតម្លៃបាន។ វាងាយស្រួលបំផុតក្នុងការធ្វើវាដោយដឹង លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត. ដូច្នេះ ចូរ​យើង​រៀន​អំពី​លក្ខណៈ​មូលដ្ឋាន​នៃ​លោការីត។ ខ្ញុំនឹងបញ្ជាក់ពួកគេម្នាក់ៗ ព្រោះច្បាប់ណាមួយងាយចងចាំ ប្រសិនបើអ្នកដឹងថាវាមកពីណា។

លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នេះត្រូវតែចងចាំ បើគ្មានពួកវាទេ បញ្ហាភាគច្រើនជាមួយលោការីតមិនអាចដោះស្រាយបានទេ។

ហើយឥឡូវនេះអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃលោការីតនៅក្នុងលម្អិតបន្ថែមទៀត។

អចលនទ្រព្យ ១៖

ភស្តុតាង៖

អញ្ចឹង។

យើងមាន៖ , h.t.d.

ទ្រព្យសម្បត្តិទី២៖ ផលបូកលោការីត

ផលបូកនៃលោការីតដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាគឺស្មើនឹងលោការីតនៃផលិតផល៖ .

ភស្តុតាង៖

អញ្ចឹង។ អញ្ចឹង។

ឧទាហរណ៍៖រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ .

ដំណោះស្រាយ៖

រូបមន្តដែលអ្នកទើបតែរៀនជួយសម្រួលដល់ផលបូកលោការីត មិនមែនជាភាពខុសគ្នាទេ ដូច្នេះលោការីតទាំងនេះមិនអាចបញ្ចូលគ្នាភ្លាមៗបានទេ។ ប៉ុន្តែអ្នកអាចធ្វើផ្ទុយពីនេះ - "បំបែក" លោការីតទីមួយជាពីរ៖ ហើយនេះគឺជាភាពសាមញ្ញដែលបានសន្យា៖
.
ហេតុអ្វីបានជាវាត្រូវការ? ជាឧទាហរណ៍៖ តើវាមានបញ្ហាអ្វី?

ឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់។

ឥឡូវ​នេះ ធ្វើឱ្យវាងាយស្រួលសម្រាប់ខ្លួនអ្នក៖

ភារកិច្ច:

ចម្លើយ៖

ទ្រព្យសម្បត្តិទី៣៖ ភាពខុសគ្នានៃលោការីត៖

ភស្តុតាង៖

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នាទៅនឹងកថាខណ្ឌទី 2៖

អញ្ចឹង។

អញ្ចឹង។ យើង​មាន:

ឧទាហរណ៍ពីចំណុចចុងក្រោយឥឡូវនេះគឺសាមញ្ញជាងនេះ៖

ឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញជាងនេះ៖ ស្មាន​ខ្លួនឯង​ថា​ត្រូវ​សម្រេចចិត្ត​បែបណា​?

នៅទីនេះវាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាយើងមិនមានរូបមន្តតែមួយអំពីលោការីតការ៉េ។ នេះ​គឺ​ជា​អ្វី​ដែល​ស្រដៀង​នឹង​កន្សោម - នេះ​មិន​អាច​ត្រូវ​បាន​សាមញ្ញ​ភ្លាម​ៗ​ទេ។

ដូច្នេះ ចូរយើងដកឃ្លាពីរូបមន្តអំពីលោការីត ហើយគិតអំពីរូបមន្តអ្វីដែលយើងប្រើក្នុងគណិតវិទ្យាញឹកញាប់ជាងគេ? តាំងពីថ្នាក់ទី៧មក!

នេះ - ។ អ្នកត្រូវតែស៊ាំនឹងការពិតដែលថាពួកគេនៅគ្រប់ទីកន្លែង! ហើយនៅក្នុងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងក្នុងត្រីកោណមាត្រ និងក្នុងបញ្ហាមិនសមហេតុផល ពួកវាត្រូវបានរកឃើញ។ ដូច្នេះពួកគេត្រូវតែចងចាំ។

ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលយ៉ាងដិតដល់នូវលក្ខខណ្ឌពីរដំបូង វាច្បាស់ណាស់ថានេះគឺ ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ:

ចម្លើយដើម្បីពិនិត្យ៖

ធ្វើឱ្យខ្លួនអ្នកសាមញ្ញ។

ឧទាហរណ៍

ចម្លើយ។

Property 4: Deviation of the exponent from the argument of the logarithm:

ភស្តុតាង៖ហើយនៅទីនេះយើងក៏ប្រើនិយមន័យនៃលោការីត៖ អនុញ្ញាតឱ្យ, បន្ទាប់មក។ យើងមាន៖ , h.t.d.

អ្នកអាចយល់ពីច្បាប់ដូចនេះ៖

នោះ​គឺ​កម្រិត​នៃ​អាគុយម៉ង់​ត្រូវ​បាន​យក​ទៅ​មុខ​លោការីត​ជា​មេគុណ។

ឧទាហរណ៍៖ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម។

ដំណោះស្រាយ៖ .

សម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍:

ចម្លើយ៖

Property 5: ដេរីវេនៃនិទស្សន្តពីគោលនៃលោការីត៖

ភស្តុតាង៖អញ្ចឹង។

យើងមាន៖ , h.t.d.
ចងចាំ៖ ពី ដីសញ្ញាបត្រត្រូវបានបកប្រែជា បញ្ច្រាសលេខមិនដូចករណីមុន!

Property 6: Derivation of the exponent from base and the argument of the logarithm:

ឬ​បើ​ដឺក្រេ​ដូច​គ្នា៖ .

អចលនទ្រព្យ 7: ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មី:

ភស្តុតាង៖អញ្ចឹង។

យើងមាន៖ , h.t.d.

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៨៖ ប្តូរមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់លោការីត៖

ភស្តុតាង៖នេះជាករណីពិសេសនៃរូបមន្តទី ៧៖ ប្រសិនបើយើងជំនួស យើងទទួលបាន៖ , p.t.d.

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួនទៀត។

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម។

យើងប្រើទ្រព្យសម្បត្តិលោការីតលេខ 2 - ផលបូកនៃលោការីតដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាគឺស្មើនឹងលោការីតនៃផលិតផល:

ឧទាហរណ៍ ៥

ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម។

ដំណោះស្រាយ៖

យើងប្រើទ្រព្យសម្បត្តិលោការីតលេខ ៣ និងលេខ ៤៖

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម។

ដំណោះស្រាយ៖

ការប្រើប្រាស់ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ 7 - ទៅកាន់មូលដ្ឋាន 2:

ឧទាហរណ៍ ៧

ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម។

ដំណោះស្រាយ៖

តើអ្នកចូលចិត្តអត្ថបទដោយរបៀបណា?

ប្រសិនបើអ្នកកំពុងអានបន្ទាត់ទាំងនេះ នោះអ្នកបានអានអត្ថបទទាំងមូលហើយ។

ហើយឡូយណាស់!

ឥឡូវប្រាប់យើងពីរបៀបដែលអ្នកចូលចិត្តអត្ថបទ?

តើអ្នកបានរៀនដោះស្រាយលោការីតទេ? បើមិនអញ្ចឹង តើមានបញ្ហាអ្វី?

សរសេរមកយើងនៅក្នុងមតិយោបល់ខាងក្រោម។

បាទ សូមសំណាងល្អជាមួយនឹងការប្រឡងរបស់អ្នក។

នៅឯការប្រឡង Unified State និង OGE និងជាទូទៅក្នុងជីវិត