Үшінші ретті теңдеу мысалында дифференциалдық теңдеулерді шешудің операциялық әдісін қарастырайық.

Тұрақты коэффициенттері бар үшінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеудің нақты шешімін табу керек делік.

бастапқы шарттарды қанағаттандыру:

c 0, c 1, c 2 - берілген сандар.

Түпнұсқаның дифференциалдау қасиетін пайдаланып, жазамыз:

(6.4.1) теңдеуінде түпнұсқадан кескіндерге көшейік

Алынған теңдеу деп аталады операторнемесе суреттердегі теңдеу. Оны Y-ге қатысты шешіңіз.

Айнымалыдағы алгебралық көпмүшелер Р.

Теңдік дифференциалдық теңдеудің операторлық шешімі деп аталады (6.4.1).

Түпнұсқаны табу ж(т), табылған кескінге сәйкес, дифференциалдық теңдеудің белгілі бір шешімін аламыз.

Мысал: Операциялық есептеу әдісін пайдаланып, берілген бастапқы шарттарды қанағаттандыратын дифференциалдық теңдеудің нақты шешімін табыңыз.

Түпнұсқалардан кескіндерге көшейік

Түпнұсқа теңдеуді кескіндерге жазып, оны шешейік Ы

Алынған кескіннің түпнұсқасын табу үшін бөлшектің бөлгішін көбейткіштерге бөліп, алынған бөлшекті жай бөлшектердің қосындысы ретінде жазамыз.

Коэффициенттерді табайық A, B,Және МЕН.

Кестені пайдалана отырып, алынған суреттің түпнұсқасын жазамыз

Бастапқы теңдеудің жеке шешімі.

Операциялық әдіс тұрақты коэффициенттері бар сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу үшін де қолданылады

Белгісіз функциялар.

Суреттерге көшейік

Теңдеулерді бейнелеу жүйесін аламыз

Жүйені Крамер әдісі арқылы шешеміз. Біз анықтауыштарды табамыз:

Бейнелеу жүйесінің шешімін табу X(p), Y(p) , Z(p).

Біз жүйенің қажетті шешімін алдық

Операциялық есептеулерді пайдалана отырып, айнымалы коэффициенттері бар сызықтық дифференциалдық теңдеулердің және дербес дифференциалдық теңдеулердің шешімдерін табуға болады; интегралды есептеу. Сонымен бірге есептерді шешу айтарлықтай жеңілдетілген. Ол математикалық физика теңдеулерінің есептерін шешуде қолданылады.

Өзін-өзі бақылауға арналған сұрақтар.

1. Қандай функция түпнұсқа деп аталады?

2. Түпнұсқаның кескіні деп қандай функцияны атайды?

3. Хевисайд функциясы және оның бейнесі.

4. Кескін анықтамасын пайдаланып, түпнұсқалардың функциялары үшін кескінді алыңыз: f(t) =t , .

5. Лаплас түрлендірулерінің қасиеттерін пайдаланып, функциялардың кескіндерін алу.

6. Суреттер кестесін пайдаланып түпнұсқалардың қызметін табыңыз: ;

7. Операциялық есептеу әдістерін қолданып, сызықтық дифференциалдық теңдеудің нақты шешімін табыңыз.

Әдебиет: 411-439-б., 572-594-беттер.

Мысалдар: 305-316 беттер.

ӘДЕБИЕТ

1. Данко П.Е. Жаттығулар мен есептердегі жоғары математика. 2 бөлімнен І бөлім: Оқулық. колледждерге арналған нұсқаулық/П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова – М.: Жоғары. мектеп, 1997.– 304 б.

2. Данко П.Е. Жаттығулар мен есептердегі жоғары математика. 2 бөлімнен ІІ бөлім: Оқулық. колледждерге арналған оқу құралы./ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова – М.: Жоғары. мектеп, 1997.– 416 б.

3. Каплан И.А. Жоғары математикадан практикалық сабақтар. 4-бөлім./ I.A. Каплан – Харьков мемлекеттік университетінің баспасы, 1966, 236 б.

4. Пискунов Н.С. Дифференциалдық және интегралдық есептеулер. 2 томда, 1 том: оқулық. колледждерге арналған оқу құралы./ Н.С. Пискунов – М.: ред. «Ғылым», 1972. – 456 б.

5. Пискунов Н.С. Колледждерге арналған дифференциалдық және интегралдық есептеулер. 2 томдық, 2 том: оқулық. Колледждерге арналған оқу құралы../ Н.С. Пискунов – М.: ред. «Ғылым», 1972. – 456 б.

6. Жазбаша Д.Т. Жоғары математика бойынша дәріс конспектісі: толық курс.–4-бас./ Д.Т. Жазған – М.: Ирис-пресс, 2006.–608 б. - (Жоғарғы білім).

7. Слободская В.А. Жоғары математиканың қысқаша курсы. Ред. 2-ші, қайта өңделген және қосымша Оқулық колледждерге арналған нұсқаулық/В.А. Слободская - М.: Жоғары. мектеп, 1969.– 544 б.

© Ирина Александровна Драчева

Дәріс конспектісі Жоғары математика

6.070104 «Теңіз және өзен көлігі» бағытының студенттеріне арналған

«Кеме электр станцияларын пайдалану» мамандығы

күндізгі және сырттай оқу курстары 2 курс

Таралымы______ дана Жариялауға қол қойды ______________

Бұйрық №__________. Көлемі__2,78__б.л.

«Керчь мемлекеттік теңіз технологиялық университеті» баспасы

98309 Керчь, Орджоникидзе, 82

Көшеде бұлыңғыр уақыт, теректің үлбірегі ұшып жатыр, бұл ауа-райы демалуға қолайлы. Оқу жылында барлығында шаршау жинақталды, бірақ жазғы демалыстарды/демалыстарды күту сізді емтихандар мен сынақтарды сәтті тапсыруға шабыттандыруы керек. Айтпақшы, мұғалімдер де маусымда қыбырлайды, сондықтан жақын арада мен де миымды босатуға уақыт бөлемін. Ал енді кофе, жүйелік блоктың ырғақты гуілі, терезедегі бірнеше өлі маса және толық жұмыс күйі... ...о, қарғыс атсын... ақын.

Нүктеге. Кімге бәрібір, бірақ мен үшін бүгін 1 маусым, және біз кешенді талдаудың тағы бір типтік мәселесін қарастырамыз - операциялық есептеу әдісі арқылы дифференциалдық теңдеулер жүйесінің белгілі бір шешімін табу. Оны шешуді үйрену үшін нені білу керек және не істей білу керек? Ең біріншіден, өте ұсыныладысабаққа сілтеме жасаңыз. Кіріспе бөлімді оқып, тақырыптың жалпы тұжырымын, терминологиясын, белгілеуін және кем дегенде екі-үш мысалды түсініңіз. Өйткені диффузорлық жүйелерде бәрі дерлік бірдей және одан да қарапайым болады!

Әрине, сіз оның не екенін түсінуіңіз керек дифференциалдық теңдеулер жүйесі, бұл жүйенің жалпы шешімін және жүйенің белгілі бір шешімін табуды білдіреді.

Еске сала кетейін, дифференциалдық теңдеулер жүйесін «дәстүрлі» жолмен шешуге болады: жою арқылынемесе сипаттамалық теңдеуді қолдану. Талқыланатын операциялық есептеу әдісі тапсырма келесідей тұжырымдалған кезде қашықтан басқару жүйесіне қолданылады:

Біртекті дифференциалдық теңдеулер жүйесінің белгілі бір шешімін табыңыз , бастапқы шарттарға сәйкес .

Сонымен қатар, жүйе гетерогенді болуы мүмкін - функциялар түріндегі және оң жағындағы «қосымша салмақтары» бар:

Бірақ екі жағдайда да жағдайдың екі негізгі сәтіне назар аудару керек:

1) Бұл туралы тек жеке шешім туралы.
2) Бастапқы шарттар жақшада болып табылады қатаң нөлдер, және басқа ештеңе жоқ.

Жалпы курс пен алгоритм өте ұқсас болады операциялық әдіс арқылы дифференциалдық теңдеуді шешу. Анықтамалық материалдардан сізге қажет болады түпнұсқалар мен суреттер кестесі.

1-мысал

, ,

Шешімі:Бастауы тривиальды: пайдалану Лапластың түрлендіру кестелеріТүпнұсқалардан сәйкес суреттерге көшейік. Қашықтан басқару жүйелеріне қатысты мәселеде бұл ауысу әдетте қарапайым:

No 1, 2 кестелік формулаларды пайдаланып, бастапқы шартты ескере отырып, аламыз:

«Ойындармен» не істеу керек? Кестедегі «Х» таңбаларын «Мен» деп ойша өзгертіңіз. Бірдей No1, 2 түрлендірулерді пайдаланып, бастапқы шартты ескере отырып, табамыз:

Табылған кескіндерді бастапқы теңдеуге ауыстырайық :

Қазір сол жақ бөліктердетеңдеулерді жинақтау қажет Барлықбар немесе бар терминдер. Оң жақ бөліктергетеңдеулерді «формальды» ету керек басқашарттар:

Әрі қарай, әрбір теңдеудің сол жағында жақшаны орындаймыз:

Бұл жағдайда бірінші позицияларға, ал екінші позицияларға мыналарды орналастыру керек:

Алынған екі белгісіз теңдеулер жүйесі әдетте шешіледі Крамер формулалары бойынша. Жүйенің негізгі анықтауышын есептейік:

Анықтаушыны есептеу нәтижесінде көпмүше алынды.

Маңызды техника!Бұл көпмүше жақсырақ бірденфакторға тырысыңыз. Осы мақсаттар үшін квадрат теңдеуді шешуге тырысу керек , бірақ екінші жылдық көзі бар көптеген оқырмандар мұны байқайды .

Сонымен, жүйенің негізгі детерминанты:

Жүйені одан әрі бөлшектеу, Крамерге рахмет, стандартты болып табылады:

Нәтижесінде біз аламыз жүйенің операторлық шешімі:

Қарастырылып отырған тапсырманың артықшылығы мынада, бөлшектер әдетте қарапайым болып шығады және олармен жұмыс есептерде бөлшектерге қарағанда әлдеқайда оңай. операциялық әдісті пайдалана отырып, DE-нің нақты шешімін табу. Сіздің алдын-ала ескертуіңіз сізді алдамады - қарт анықталмаған коэффициенттер әдісі, оның көмегімен біз әрбір бөлшекті элементар бөлшектерге бөлеміз:

1) Бірінші бөлшекті қарастырайық:

Осылайша:

2) Екінші бөлшекті ұқсас схема бойынша бөлеміз, бірақ басқа тұрақтыларды (анықталмаған коэффициенттерді) пайдалану дұрысырақ:

Осылайша:

Мен манекендерге ыдыраған оператор шешімін келесі пішінде жазуға кеңес беремін:
- бұл соңғы кезеңді айқынырақ етеді - кері Лаплас түрлендіруі.

Кестенің оң жақ бағанын пайдаланып, суреттерден сәйкес түпнұсқаларға көшейік:

Жақсы математикалық әдептілік ережелеріне сәйкес біз нәтижені сәл ретке келтіреміз:

Жауап:

Жауап сабақта егжей-тегжейлі талқыланатын типтік схема бойынша тексеріледі. Дифференциалдық теңдеулер жүйесін қалай шешуге болады?Тапсырмаға үлкен плюс қосу үшін әрқашан оны аяқтауға тырысыңыз.

2-мысал

Операциялық есептеулерді қолданып, берілген бастапқы шарттарға сәйкес келетін дифференциалдық теңдеулер жүйесінің белгілі бір шешімін табыңыз.
, ,

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Есептің қорытынды формасының шамамен үлгісі және сабақ соңындағы жауабы.

Біртекті емес дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешудің алгоритмдік тұрғыдан айырмашылығы жоқ, тек техникалық жағынан ол біршама күрделірек болады:

3-мысал

Операциялық есептеулерді қолданып, берілген бастапқы шарттарға сәйкес келетін дифференциалдық теңдеулер жүйесінің белгілі бір шешімін табыңыз.
, ,

Шешімі:Бастапқы шарттарды ескере отырып, Лапластың түрлендіру кестесін қолдану , түпнұсқадан сәйкес суреттерге көшейік:

Бірақ бұл бәрі емес, теңдеулердің оң жағында жалғыз тұрақтылар бар. Тұрақты өздігінен толығымен жалғыз болған жағдайларда не істеу керек? Бұл қазірдің өзінде сыныпта талқыланды. Операциялық әдісті қолдана отырып, DE қалай шешуге болады. Қайталап көрейік: жалғыз тұрақтыларды ойша бір көбейту керек және бірліктерге келесі Лаплас түрлендіруін қолдану керек:

Табылған кескіндерді бастапқы жүйеге ауыстырайық:

Құрамында бар терминдерді солға жылжытайық, ал қалған мүшелерді оң жақтарына орналастырайық:

Сол жақтарда біз жақшаны жүргіземіз, сонымен қатар екінші теңдеудің оң жағын ортақ бөлгішке келтіреміз:

Жүйенің негізгі детерминантын есептеп көрейік, нәтижені бірден көбейткішке бөлуге тырысқан жөн:
, бұл жүйеде бірегей шешім бар дегенді білдіреді.

Әрі қарай жүрейік:



Осылайша, жүйенің операторлық шешімі:

Кейде бір немесе тіпті екі фракцияны азайтуға болады, ал кейде сәтті болғаны сонша, ештеңені кеңейтудің қажеті жоқ! Кейбір жағдайларда сіз бірден тегін аласыз, айтпақшы, сабақтың келесі мысалы индикативті мысал болады.

Анықталмаған коэффициенттер әдісі арқылы элементар бөлшектердің қосындыларын аламыз.

Бірінші бөлшекті бөлейік:

Ал біз екіншісіне қол жеткіземіз:

Нәтижесінде операторлық шешім бізге қажетті пішінді алады:

Оң жақ бағанды ​​пайдалану түпнұсқалар мен кескіндердің кестелерікері Лаплас түрлендіруін орындаймыз:

Алынған кескіндерді жүйенің операторлық шешіміне ауыстырайық:

Жауап:жеке шешім:

Көріп отырғаныңыздай, гетерогенді жүйеде біртекті жүйемен салыстырғанда көп еңбекті қажет ететін есептеулерді жүргізу қажет. Синустар мен косинустармен тағы бірнеше мысалды қарастырайық, бұл жеткілікті, өйткені мәселенің барлық дерлік түрлері және шешімнің көптеген нюанстары қарастырылады.

4-мысал

Операциялық есептеу әдісін пайдаланып, бастапқы шарттары берілген дифференциалдық теңдеулер жүйесінің белгілі бір шешімін табыңыз,

Шешімі:Мен бұл мысалды өзім де талдаймын, бірақ пікірлер тек ерекше сәттерге қатысты болады. Сіз шешім алгоритмін жақсы білетінсіз деп ойлаймын.

Түпнұсқалардан сәйкес суреттерге көшейік:

Табылған кескіндерді бастапқы қашықтан басқару жүйесіне ауыстырайық:

Крамер формулалары арқылы жүйені шешейік:
, бұл жүйеде бірегей шешім бар дегенді білдіреді.

Алынған көпмүшені көбейткіштерге бөлуге болмайды. Мұндай жағдайларда не істеу керек? Мүлдем ештеңе. Бұл да болады.

Нәтижесінде жүйенің операторлық шешімі:

Міне, бақытты билет! Анықталмаған коэффициенттер әдісін мүлдем қолданудың қажеті жоқ! Жалғыз нәрсе, кесте түрлендірулерін қолдану үшін шешімді келесі пішінде қайта жазамыз:

Суреттерден сәйкес түпнұсқаларға көшейік:

Алынған кескіндерді жүйенің операторлық шешіміне ауыстырайық:

Ауыр жақтың кеңею формуласы

Функцияның кескіні бөлшек рационал функция болсын.

Теорема.Мұндағы және дифференциалданатын функциялар болсын. Функцияның екі полюсін де енгізейік, яғни. оның бөлгішінің түбірлері (нөлдері). Содан кейін, егер біз Heaviside формуласын алсақ:

Дәлелдеуді дәрежелердің көпмүшелері болған кезде орындаймыз ТЖәне Псәйкесінше, while Т П. Сонда бұл дұрыс рационал бөлшек. Оны жай бөлшектердің қосындысы ретінде көрсетейік:

Осы жерден сәйкестендіруден (17.2) коэффициенттерді табамыз, оны түрге қайта жазамыз

Соңғы теңдіктің екі жағын да көбейтіп, шегіне барайық. Осыны ескере отырып, біз аламыз

осыдан келіп шығады (17.1). Теорема дәлелденді.

Ескерту 1.Егер көпмүшелердің коэффициенттері нақты болса, онда көпмүшенің күрделі түбірлері жұптық конъюгаттық болады. Демек, (17.1) формулада күрделі конъюгаттық шамалар көпмүшенің күрделі конъюгаттық түбірлеріне сәйкес келетін мүшелер болады, ал Heaviside формуласы пішінді қабылдайды.

мұндағы бірінші қосынды көпмүшенің барлық нақты түбірлеріне, екіншісі – оң елестетілген бөліктері бар оның барлық күрделі түбірлеріне таратылады.

Ескерту 2.(17.1) формуланың әрбір мүшесі күрделі түрде жазылған тербелісті білдіреді, мұнда. Сонымен, нақты түбірлер () периодтық тербелістерге, теріс нақты бөліктері бар күрделі түбірлер сөндірілмеген тербелістерге, ал таза ойдан алынған түбірлер сөндірілмеген гармоникалық тербелістерге сәйкес келеді.

Егер бөлгіште оң нақты бөліктері бар түбірлер болмаса, онда жеткілікті үлкен мәндер үшін біз тұрақты күйді аламыз:

Оң елес бөліктері бар көпмүшенің таза елес түбірлері.

Теріс нақты бөліктері бар түбірлерге сәйкес тербелістер экспоненциалды түрде ыдырайды, сондықтан стационарлық күйге кірмейді.

1-мысал.Түпнұсқа суретті табыңыз

Шешім. Бізде бар. Көпмүшенің түбірлерін жазайық: .

(17.1) формулаға сәйкес

Мұнда сандар теңдеудің түбірі болғандықтан. Демек,

2-мысал.Түпнұсқа суретті табыңыз

Қайда А 0; .

Шешім. Мұнда функцияның айқын түбірден басқа, функцияның нөлдері болатын шексіз көп түбірлері бар. Теңдеуді шеше отырып, біз қай жерде боламыз

Сонымен, бөлгіштің түбірлері пішінге ие және, қайда

(17.3) формуласы арқылы түпнұсқаны табамыз

Дифференциалдық теңдеулерді шешудің операторлық әдісі

Дифференциалдық теңдеулер.Сызықтық дифференциалдық теңдеу үшін Коши есебін қарастырайық

(мұнда) бастапқы шарттармен

(18.1) кескіндерге көшкенде, Лаплас түрлендіруінің сызықтылығына байланысты бізде болады

§ 16-ның 3-теоремасын және бастапқы шарттарды (18.2) пайдалана отырып, туындылардың кескіндерін түрінде жазамыз.

(18.4) орнына (18.3) қойып, қарапайым түрлендірулерден кейін оператор теңдеуін аламыз.

мұндағы (сипаттамалық көпмүше); .

(18.5) теңдеуден оператор шешімін табамыз

Коши есебінің шешімі (18.1), (18.2) бастапқы оператор шешімі (18.6):

Коши мәселесі үшін қабылданған белгілеуде жаза аламыз

Оператор теңдеуінің пішіні бар

Оператор шешімін жай бөлшектерге бөлейік:

§ 15-те алынған формулаларды пайдалана отырып, біз түпнұсқаларды аламыз:

Осылайша, Коши есебінің шешімі пішінге ие болады

1-мысал.Бастапқы шарттары бар дифференциалдық теңдеу үшін Коши есебін шешіңіз, мұндағы.

Шешім.

Оның шешімі формасы бар

§ 16-ның 2-теоремасын пайдалана отырып, біз дәйекті түрде табамыз:

2-мысал.Бастапқы шарттары нөлге тең дифференциалдық теңдеу үшін Коши есебін шешіңіз, мұндағы қадамдық импульстік функция.

Шешім. Оператор теңдеуін жазайық

және оның шешімі

§ 16-ның 2-теоремасынан былай шығады

тежеу ​​теоремасына сәйкес (§ 15)

Ақырында,

3-мысал.Нүктелік массаға Т, серіппеге қаттылық арқылы бекітілген біргежәне тегіс көлденең жазықтықта орналасқан, мезгіл-мезгіл өзгеретін күш әрекет етеді. Бір мезетте нүкте импульс әкелетін соққыға ұшырады. Қарсылықты елемей, нүктенің қозғалыс заңын табыңыз, егер ол координаталар басындағы уақыттың бастапқы моментінде тыныштықта болса.

Шешім. Қозғалыс теңдеуін түрінде жазамыз

серпімділік күші қайда; - Дирак функциясы. Оператор теңдеуін шешейік

Егер (резонанс жағдайы), онда

Кешігу теоремасы бойынша

Ақырында,

Дюамель интегралы (формула). Бастапқы шарттарда (18.1) теңдеу үшін Коши есебін қарастырайық. Бұл жағдайда оператор шешімі пішінге ие

Салмақ функциясы түпнұсқа болсын. онда § 16-ның 1-теоремасы бойынша аламыз

(18.7) қатынас Дюамель интегралы (формуласы) деп аталады.

Түсініктеме.Нөлге тең емес бастапқы шарттар үшін Дюамель формуласы тікелей қолданылмайды. Бұл жағдайда алдымен бастапқы есепті біртекті (нөлдік) бастапқы шарттары бар есепке түрлендіру қажет. Ол үшін біз жаңа функцияны енгіземіз деп есептейміз

мұнда қажетті шешімнің бастапқы мәндері.

Көру қаншалықты оңай, сондықтан .

Осылайша, функция (18.1) теңдеудің оң жағымен (18.8) орнын (18.1) бастапқы деректері нөлге теңестіру арқылы алынған шешім болып табылады.

(18.7) көмегімен және.

4-мысал.Дюамель интегралы арқылы Коши есебінің шешімін табыңыз

бастапқы шарттарымен.

Шешім. Бастапқы деректер нөлге тең емес. (18.8) сәйкес деп есептейміз. Содан кейін анықтау үшін біртекті бастапқы шарттары бар теңдеу аламыз.

Қарастырылып отырған есеп үшін сипаттамалық көпмүшелік, салмақтық функция. Дюамель формуласы бойынша

Ақырында,

Тұрақты коэффициенттері бар сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі.Матрицалық белгілеудегі сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесіне арналған Коши есебінің түрі бар

мұндағы қажетті функциялардың векторы; - оң жақтардың векторы; - коэффициент матрицасы; - бастапқы мәліметтер векторы.

Көшеде бұлыңғыр уақыт, теректің үлбірегі ұшып жатыр, бұл ауа-райы демалуға қолайлы. Оқу жылында барлығында шаршау жинақталды, бірақ жазғы демалыстарды/демалыстарды күту сізді емтихандар мен сынақтарды сәтті тапсыруға шабыттандыруы керек. Айтпақшы, мұғалімдер де маусымда қыбырлайды, сондықтан жақын арада мен де миымды босатуға уақыт бөлемін. Ал енді кофе, жүйелік блоктың ырғақты гуілі, терезедегі бірнеше өлі маса және толық жұмыс күйі... ...о, қарғыс атсын... ақын.

Нүктеге. Кімге бәрібір, бірақ мен үшін бүгін 1 маусым, және біз кешенді талдаудың тағы бір типтік мәселесін қарастырамыз - операциялық есептеу әдісі арқылы дифференциалдық теңдеулер жүйесінің белгілі бір шешімін табу. Оны шешуді үйрену үшін нені білу керек және не істей білу керек? Ең біріншіден, өте ұсыныладысабаққа сілтеме жасаңыз. Кіріспе бөлімді оқып, тақырыптың жалпы тұжырымын, терминологиясын, белгілеуін және кем дегенде екі-үш мысалды түсініңіз. Өйткені диффузорлық жүйелерде бәрі дерлік бірдей және одан да қарапайым болады!

Әрине, сіз оның не екенін түсінуіңіз керек дифференциалдық теңдеулер жүйесі, бұл жүйенің жалпы шешімін және жүйенің белгілі бір шешімін табуды білдіреді.

Еске сала кетейін, дифференциалдық теңдеулер жүйесін «дәстүрлі» жолмен шешуге болады: жою арқылынемесе сипаттамалық теңдеуді қолдану. Талқыланатын операциялық есептеу әдісі тапсырма келесідей тұжырымдалған кезде қашықтан басқару жүйесіне қолданылады:

Біртекті дифференциалдық теңдеулер жүйесінің белгілі бір шешімін табыңыз , бастапқы шарттарға сәйкес .

Сонымен қатар, жүйе гетерогенді болуы мүмкін - функциялар түріндегі және оң жағындағы «қосымша салмақтары» бар:

Бірақ екі жағдайда да жағдайдың екі негізгі сәтіне назар аудару керек:

1) Бұл туралы тек жеке шешім туралы.
2) Бастапқы шарттар жақшада болып табылады қатаң нөлдер, және басқа ештеңе жоқ.

Жалпы курс пен алгоритм өте ұқсас болады операциялық әдіс арқылы дифференциалдық теңдеуді шешу. Анықтамалық материалдардан сізге қажет болады түпнұсқалар мен суреттер кестесі.

1-мысал

, ,

Шешімі:Бастауы тривиальды: пайдалану Лапластың түрлендіру кестелеріТүпнұсқалардан сәйкес суреттерге көшейік. Қашықтан басқару жүйелеріне қатысты мәселеде бұл ауысу әдетте қарапайым:

No 1, 2 кестелік формулаларды пайдаланып, бастапқы шартты ескере отырып, аламыз:

«Ойындармен» не істеу керек? Кестедегі «Х» таңбаларын «Мен» деп ойша өзгертіңіз. Бірдей No1, 2 түрлендірулерді пайдаланып, бастапқы шартты ескере отырып, табамыз:

Табылған кескіндерді бастапқы теңдеуге ауыстырайық :

Қазір сол жақ бөліктердетеңдеулерді жинақтау қажет Барлықбар немесе бар терминдер. Оң жақ бөліктергетеңдеулерді «формальды» ету керек басқашарттар:

Әрі қарай, әрбір теңдеудің сол жағында жақшаны орындаймыз:

Бұл жағдайда бірінші позицияларға, ал екінші позицияларға мыналарды орналастыру керек:

Алынған екі белгісіз теңдеулер жүйесі әдетте шешіледі Крамер формулалары бойынша. Жүйенің негізгі анықтауышын есептейік:

Анықтаушыны есептеу нәтижесінде көпмүше алынды.

Маңызды техника!Бұл көпмүше жақсырақ бірденфакторға тырысыңыз. Осы мақсаттар үшін квадрат теңдеуді шешуге тырысу керек , бірақ екінші жылдық көзі бар көптеген оқырмандар мұны байқайды .

Сонымен, жүйенің негізгі детерминанты:

Жүйені одан әрі бөлшектеу, Крамерге рахмет, стандартты болып табылады:

Нәтижесінде біз аламыз жүйенің операторлық шешімі:

Қарастырылып отырған тапсырманың артықшылығы мынада, бөлшектер әдетте қарапайым болып шығады және олармен жұмыс есептерде бөлшектерге қарағанда әлдеқайда оңай. операциялық әдісті пайдалана отырып, DE-нің нақты шешімін табу. Сіздің алдын-ала ескертуіңіз сізді алдамады - қарт анықталмаған коэффициенттер әдісі, оның көмегімен біз әрбір бөлшекті элементар бөлшектерге бөлеміз:

1) Бірінші бөлшекті қарастырайық:

Осылайша:

2) Екінші бөлшекті ұқсас схема бойынша бөлеміз, бірақ басқа тұрақтыларды (анықталмаған коэффициенттерді) пайдалану дұрысырақ:

Осылайша:

Мен манекендерге ыдыраған оператор шешімін келесі пішінде жазуға кеңес беремін:
- бұл соңғы кезеңді айқынырақ етеді - кері Лаплас түрлендіруі.

Кестенің оң жақ бағанын пайдаланып, суреттерден сәйкес түпнұсқаларға көшейік:

Жақсы математикалық әдептілік ережелеріне сәйкес біз нәтижені сәл ретке келтіреміз:

Жауап:

Жауап сабақта егжей-тегжейлі талқыланатын типтік схема бойынша тексеріледі. Дифференциалдық теңдеулер жүйесін қалай шешуге болады?Тапсырмаға үлкен плюс қосу үшін әрқашан оны аяқтауға тырысыңыз.

2-мысал

Операциялық есептеулерді қолданып, берілген бастапқы шарттарға сәйкес келетін дифференциалдық теңдеулер жүйесінің белгілі бір шешімін табыңыз.
, ,

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Есептің қорытынды формасының шамамен үлгісі және сабақ соңындағы жауабы.

Біртекті емес дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешудің алгоритмдік тұрғыдан айырмашылығы жоқ, тек техникалық жағынан ол біршама күрделірек болады:

3-мысал

Операциялық есептеулерді қолданып, берілген бастапқы шарттарға сәйкес келетін дифференциалдық теңдеулер жүйесінің белгілі бір шешімін табыңыз.
, ,

Шешімі:Бастапқы шарттарды ескере отырып, Лапластың түрлендіру кестесін қолдану , түпнұсқадан сәйкес суреттерге көшейік:

Бірақ бұл бәрі емес, теңдеулердің оң жағында жалғыз тұрақтылар бар. Тұрақты өздігінен толығымен жалғыз болған жағдайларда не істеу керек? Бұл қазірдің өзінде сыныпта талқыланды. Операциялық әдісті қолдана отырып, DE қалай шешуге болады. Қайталап көрейік: жалғыз тұрақтыларды ойша бір көбейту керек және бірліктерге келесі Лаплас түрлендіруін қолдану керек:

Табылған кескіндерді бастапқы жүйеге ауыстырайық:

Құрамында бар терминдерді солға жылжытайық, ал қалған мүшелерді оң жақтарына орналастырайық:

Сол жақтарда біз жақшаны жүргіземіз, сонымен қатар екінші теңдеудің оң жағын ортақ бөлгішке келтіреміз:

Жүйенің негізгі детерминантын есептеп көрейік, нәтижені бірден көбейткішке бөлуге тырысқан жөн:
, бұл жүйеде бірегей шешім бар дегенді білдіреді.

Әрі қарай жүрейік:



Осылайша, жүйенің операторлық шешімі:

Кейде бір немесе тіпті екі фракцияны азайтуға болады, ал кейде сәтті болғаны сонша, ештеңені кеңейтудің қажеті жоқ! Кейбір жағдайларда сіз бірден тегін аласыз, айтпақшы, сабақтың келесі мысалы индикативті мысал болады.

Анықталмаған коэффициенттер әдісі арқылы элементар бөлшектердің қосындыларын аламыз.

Бірінші бөлшекті бөлейік:

Ал біз екіншісіне қол жеткіземіз:

Нәтижесінде операторлық шешім бізге қажетті пішінді алады:

Оң жақ бағанды ​​пайдалану түпнұсқалар мен кескіндердің кестелерікері Лаплас түрлендіруін орындаймыз:

Алынған кескіндерді жүйенің операторлық шешіміне ауыстырайық:

Жауап:жеке шешім:

Көріп отырғаныңыздай, гетерогенді жүйеде біртекті жүйемен салыстырғанда көп еңбекті қажет ететін есептеулерді жүргізу қажет. Синустар мен косинустармен тағы бірнеше мысалды қарастырайық, бұл жеткілікті, өйткені мәселенің барлық дерлік түрлері және шешімнің көптеген нюанстары қарастырылады.

4-мысал

Операциялық есептеу әдісін пайдаланып, бастапқы шарттары берілген дифференциалдық теңдеулер жүйесінің белгілі бір шешімін табыңыз,

Шешімі:Мен бұл мысалды өзім де талдаймын, бірақ пікірлер тек ерекше сәттерге қатысты болады. Сіз шешім алгоритмін жақсы білетінсіз деп ойлаймын.

Түпнұсқалардан сәйкес суреттерге көшейік:

Табылған кескіндерді бастапқы қашықтан басқару жүйесіне ауыстырайық:

Крамер формулалары арқылы жүйені шешейік:
, бұл жүйеде бірегей шешім бар дегенді білдіреді.

Алынған көпмүшені көбейткіштерге бөлуге болмайды. Мұндай жағдайларда не істеу керек? Мүлдем ештеңе. Бұл да болады.

Нәтижесінде жүйенің операторлық шешімі:

Міне, бақытты билет! Анықталмаған коэффициенттер әдісін мүлдем қолданудың қажеті жоқ! Жалғыз нәрсе, кесте түрлендірулерін қолдану үшін шешімді келесі пішінде қайта жазамыз:

Суреттерден сәйкес түпнұсқаларға көшейік:

Алынған кескіндерді жүйенің операторлық шешіміне ауыстырайық:

Дифференциалдық теңдеуді шешу жолы
операциялық есептеу әдісі?

Бұл сабақта кешенді талдаудың типтік және кең тараған тапсырмасы егжей-тегжейлі талқыланады - операциялық есептеу әдісі арқылы тұрақты коэффициенттері бар 2-ші ретті DE-нің нақты шешімін табу. Мен сізді материалды елестету мүмкін емес күрделі және қол жетімсіз деген алдын-ала түсініктен қайта-қайта арылтып отырамын. Бұл күлкілі, бірақ мысалдарды меңгеру үшін сіз ажырата, біріктіре алмайсыз және оның не екенін білмеуіңіз мүмкін. күрделі сандар. Қолдану дағдысы қажет анықталмаған коэффициенттер әдісі, ол мақалада егжей-тегжейлі талқыланады Бөлшек-рационал функцияларды интегралдау. Шындығында, тапсырманың ірге тасы қарапайым алгебралық амалдар болып табылады және мен материалдың тіпті жоғары сынып оқушысы үшін де қолжетімді екеніне сенімдімін.

Біріншіден, қарастырылатын математикалық талдау бөлімі туралы қысқаша теориялық ақпарат. Негізгі нүкте операциялық есептеукелесідей: функция жарамдыдеп аталатынды пайдаланып айнымалы Лапластың түрленуіішінде көрсетіледі функциясы жан-жақтыайнымалы :

Терминология және белгілеулер:
функциясы шақырылады түпнұсқа;
функциясы шақырылады сурет;
бас әріпті білдіреді Лапластың түрленуі.

Қарапайым тілмен айтқанда, белгілі бір ережелер бойынша нақты функция (түпнұсқа) күрделі функцияға (бейне) түрленуі керек. Көрсеткі дәл осы түрлендіруді көрсетеді. Және «белгілі бір ережелердің» өзі Лапластың түрленуі, біз оны тек ресми түрде қарастырамыз, бұл мәселелерді шешу үшін жеткілікті болады.

Кері Лаплас түрлендіруі кескін түпнұсқаға өзгертілгенде де мүмкін болады:

Мұның бәрі не үшін қажет? Бірқатар жоғары математикалық есептерде түпнұсқадан кескіндерге ауысу өте тиімді болуы мүмкін, өйткені бұл жағдайда есептің шешімі айтарлықтай жеңілдетілген (жай қалжың). Және осы мәселелердің бірін ғана қарастырамыз. Егер сіз операциялық есептеулерді көру үшін өмір сүрген болсаңыз, онда формула сізге өте таныс болуы керек:

Берілген бастапқы шарттар үшін тұрақты коэффициенттері бар екінші ретті біртекті емес теңдеудің нақты шешімін табыңыз.

Ескерту: кейде дифференциалдық теңдеу біртекті болуы мүмкін: , ол үшін жоғарыда келтірілген тұжырымда операциялық есептеу әдісі де қолданылады. Дегенмен, практикалық мысалдарда 2-ші ретті біртекті DEөте сирек кездеседі, әрі қарай біртекті емес теңдеулер туралы айтатын боламыз.

Ал енді үшінші әдіс талқыланатын болады – операциялық есептеулер көмегімен дифференциалдық теңдеулерді шешу. Мен бұл фактіні тағы бір рет атап өтемін біз нақты шешім табу туралы айтып отырмыз, Сонымен қатар, бастапқы шарттар қатаң түрде нысанға ие(«X» нөлдерге тең).

Айтпақшы, «Х» туралы. Теңдеуді келесі түрде қайта жазуға болады:
, мұндағы “x” тәуелсіз айнымалы, ал “y” – функция. Бұл туралы айтып отырғаным кездейсоқ емес, өйткені қарастырылып отырған мәселеде басқа әріптер жиі қолданылады:

Яғни, тәуелсіз айнымалының рөлін «te» айнымалысы («x» орнына), ал функцияның рөлін «х» айнымалысы («y» орнына) атқарады.

Әрине, бұл ыңғайсыз екенін түсінемін, бірақ көптеген проблемалық кітаптар мен оқу құралдарында кездесетін белгілерді ұстанған дұрыс.

Сонымен, басқа әріптерге қатысты мәселеміз былай жазылған:

Берілген бастапқы шарттар үшін тұрақты коэффициенттері бар екінші ретті біртекті емес теңдеудің нақты шешімін табыңыз .

Тапсырманың мағынасы мүлде өзгерген жоқ, тек әріптер ғана өзгерді.

Бұл есепті операциялық есептеу әдісі арқылы қалай шешуге болады?

Ең алдымен сізге қажет болады түпнұсқалар мен суреттер кестесі. Бұл шешудің негізгі құралы және онсыз жасай алмайсыз. Сондықтан, мүмкін болса, берілген анықтамалық материалды басып шығаруға тырысыңыз. Бірден «pe» әрпі нені білдіретінін түсіндірейін: күрделі айнымалы (әдеттегі «z» орнына). Бұл факт мәселелерді шешу үшін аса маңызды болмаса да, «pe» - «pe».

Кестені пайдалана отырып, түпнұсқаларды кейбір кескіндерге айналдыру керек. Келесі типтік әрекеттер қатары болып табылады және кері Лаплас түрлендіруі қолданылады (сонымен қатар кестеде). Осылайша, қажетті нақты шешім табылады.

Барлық мәселелер, бұл жақсы, өте қатаң алгоритм бойынша шешіледі.

1-мысал

, ,

Шешімі:Бірінші қадамда біз түпнұсқалардан сәйкес кескіндерге көшеміз. Біз сол жағын қолданамыз.

Алдымен бастапқы теңдеудің сол жағын қарастырайық. Лаплас түрлендіруі үшін бізде бар сызықтық ережелер, сондықтан біз барлық тұрақтыларды елемей, функциямен және оның туындыларымен бөлек жұмыс істейміз.

№1 кестелік формуланы пайдаланып, функцияны түрлендіреміз:

No2 формула бойынша , бастапқы шартты ескере отырып, туындыны түрлендіреміз:

No3 формуланы пайдаланып, бастапқы шарттарды ескере отырып, екінші туындыны түрлендіреміз:

Белгілермен шатастырмаңыз!

«Формулалар» емес, «түрлендірулер» деп айту дұрысырақ екенін мойындаймын, бірақ қарапайымдылық үшін кестенің мазмұнын мезгіл-мезгіл формулалар деп атаймын.

Енді көпмүшені қамтитын оң жағын қарастырайық. Сол себепті сызықтық ережелерЛаплас түрлендіру, біз әр терминмен жеке жұмыс істейміз.

Бірінші мүшені қарастырайық: - бұл тұрақтыға көбейтілген «te» тәуелсіз айнымалысы. Тұрақтыны елемейміз және кестенің №4 нүктесін пайдаланып, түрлендіруді орындаймыз:

Екінші мүшені қарастырайық: –5. Тұрақты мән жалғыз табылған кезде, оны енді өткізіп жіберу мүмкін емес. Бір константамен олар мұны жасайды: түсінікті болу үшін оны туынды ретінде көрсетуге болады: , және түрлендіру бірлікке қолданылуы мүмкін:

Осылайша, дифференциалдық теңдеудің барлық элементтері (түпнұсқалары) үшін кестенің көмегімен сәйкес кескіндер табылды:

Табылған кескіндерді бастапқы теңдеуге ауыстырайық:

Келесі тапсырма - білдіру оператор шешіміқалғанының бәрі арқылы, атап айтқанда бір бөлшек арқылы. Бұл жағдайда келесі процедураны ұстанған жөн:

Алдымен сол жақтағы жақшаларды ашыңыз:

Біз сол жағында ұқсас терминдерді ұсынамыз (егер олар бар болса). Бұл жағдайда –2 және –3 сандарын қосамыз. Мен шәйнектер бұл қадамды өткізіп алмауға кеңес беремін:

Сол жақта біз құрамындағы шарттарды қалдырамыз, ал қалған шарттарды белгіні өзгерту арқылы оңға жылжытамыз:

Сол жағында оператор шешімін жақшаның ішінен шығарамыз, оң жағында өрнекті ортақ бөлгішке келтіреміз:

Сол жақтағы көпмүшені көбейткіштерге бөлу керек (мүмкіндігінше). Квадрат теңдеуді шешу:

Осылайша:

Оң жақтың бөлгішін қалпына келтіреміз:

Мақсатқа қол жеткізілді – операторлық шешім бір бөлшекпен өрнектеледі.

Екінші әрекет. Қолдану анықталмаған коэффициенттер әдісі, теңдеудің операторлық шешімін қарапайым бөлшектердің қосындысына кеңейту керек:

Сәйкес дәрежедегі коэффициенттерді теңестіріп, жүйені шешейік:

Егер сізде қандай да бір проблемалар болса мақалаларды қадағалаңыз Бөлшек-рационал функцияны интегралдауЖәне Теңдеулер жүйесін қалай шешуге болады?Бұл өте маңызды, өйткені бөлшек сандар мәселенің ең маңызды бөлігі болып табылады.

Сонымен, коэффициенттер табылды: , және операторлық шешім бөлшектелген түрде біздің алдымызда пайда болады:

Тұрақтылар бөлшек алымдарда жазылмайтынын ескеріңіз. Жазудың бұл түрі қарағанда тиімдірек . Бұл тиімдірек, өйткені соңғы әрекет шатасусыз және қатесіз өтеді:

Есептің соңғы кезеңі бейнелерден сәйкес түпнұсқаларға көшу үшін кері Лаплас түрлендіруін қолдану болып табылады. Оң жақ бағанды ​​пайдалану түпнұсқалар мен кескіндердің кестелері.

Түрлендіруді бәрі бірдей түсінбеуі мүмкін. Мұнда кестенің No5 тармағының формуласы қолданылады: . Толығырақ: . Шын мәнінде, ұқсас жағдайлар үшін формуланы өзгертуге болады: . Ал No5 тармақтың барлық кестелік формулалары ұқсас түрде қайта жазылуы өте оңай.

Кері ауысудан кейін күміс табаққа DE қажетті жартылай ерітіндісі алынады:

болды:

Болды:

Жауап:жеке шешім:

Егер сізде уақыт болса, әрқашан тексеруді орындаған жөн. Тексеру сыныпта талқыланған типтік схема бойынша жүргізіледі. 2-ші ретті біртекті емес дифференциалдық теңдеулер. Қайталап көрейік:

Бастапқы шарттың орындалуын тексерейік:
- орындалды.

Бірінші туындыны табайық:

Екінші бастапқы шарттың орындалуын тексерейік:
- орындалды.

Екінші туындыны табайық:

ауыстырайық , және бастапқы теңдеудің сол жағына:

Бастапқы теңдеудің оң жағы алынады.

Қорытынды: тапсырма дұрыс орындалды.

Өз шешіміңіз үшін шағын мысал:

2-мысал

Операциялық есептеулерді қолданып, берілген бастапқы шарттарда дифференциалдық теңдеудің нақты шешімін табыңыз.

Сабақтың соңындағы қорытынды тапсырманың шамамен үлгісі.

Көпшілік бұрыннан байқағандай, дифференциалдық теңдеулердің ең көп таралған қонағы экспоненциалдар болып табылады, сондықтан олармен, олардың туыстарымен бірнеше мысалды қарастырайық:

3-мысал

, ,

Шешімі:Лапластың түрлендіру кестесін пайдаланып (кестенің сол жағы) түпнұсқадан сәйкес суреттерге көшеміз.

Алдымен теңдеудің сол жағын қарастырайық. Онда бірінші туынды жоқ. Енді не? Тамаша. Аз жұмыс. Бастапқы шарттарды ескере отырып, No 1, 3 кестелік формулаларды пайдалана отырып, кескіндерді табамыз:

Енді оң жағына қараңыз: – екі функцияның көбейтіндісі. Пайда болу үшін сызықтық қасиеттеріЛаплас түрлендіру, жақшаларды ашу керек: . Тұрақтылар туындыларда болғандықтан, біз оларды ұмытып, кестелік формулалардың No5 тобын пайдаланып, кескіндерді табамыз:

Табылған кескіндерді бастапқы теңдеуге ауыстырайық:

Естеріңізге сала кетейін, келесі тапсырма оператор шешімін бір бөлшек арқылы өрнектеу.

Сол жағында біз бар терминдерді қалдырамыз, ал қалған терминдерді оң жаққа жылжытамыз. Сонымен қатар, оң жақта біз жай бөлшектерді ортақ бөлгішке дейін азайта бастаймыз:

Сол жақта оны жақшадан шығарамыз, оң жақта өрнекті ортақ бөлгішке келтіреміз:

Сол жақта көбейткіштерге жіктелмейтін көпмүшені аламыз. Егер көпмүшені көбейткіштерге бөлу мүмкін болмаса, онда бейшараны дереу оң жақтың түбіне лақтыру керек, оның аяқтарын бассейнге бетондау керек. Ал алымдағы жақшаларды ашып, ұқсас терминдерді көрсетеміз:

Ең қиын кезең келді: анықталмаған коэффициенттер әдісіТеңдеудің операторлық шешімін қарапайым бөлшектердің қосындысына кеңейтейік:


Осылайша:

Бөлшектің қалай ыдырайтынына назар аударыңыз: , Мен мұның себебін жақын арада түсіндіремін.

Аяқтау: суреттерден сәйкес түпнұсқаларға көшейік, кестенің оң жақ бағанын пайдаланыңыз:

Төменгі екі түрлендіруде кестенің № 6 және 7 формулалары қолданылды және бөлшек оны кесте түрлендірулеріне «сәйкестендіру» үшін алдын ала кеңейтілді.

Нәтижесінде нақты шешім:

Жауап:қажетті нақты шешім:

DIY шешіміне ұқсас мысал:

4-мысал

Дифференциалдық теңдеудің нақты шешімін операциялық есептеу әдісі арқылы табыңыз.

Сабақ соңында қысқаша шешім және жауап.

4-мысалда бастапқы шарттардың бірі нөлге тең. Бұл, әрине, шешімді жеңілдетеді және ең жақсы нұсқа екі бастапқы шарт нөлге тең болғанда: . Бұл жағдайда туындылар құйрықсыз кескіндерге түрлендіріледі:

Жоғарыда айтылғандай, мәселенің ең күрделі техникалық аспектісі - фракцияның кеңеюі анықталмаған коэффициенттер әдісі, және менің қолымда өте көп еңбекті қажет ететін мысалдар бар. Дегенмен, мен ешкімді құбыжықтармен қорқытпаймын; теңдеудің тағы бірнеше типтік нұсқаларын қарастырайық:

5-мысал

Операциялық есептеу әдісін пайдаланып, берілген бастапқы шарттарды қанағаттандыратын дифференциалдық теңдеудің белгілі бір шешімін табыңыз.
, ,

Шешімі:Лапластың түрлендіру кестесін пайдалана отырып, түпнұсқадан сәйкес кескіндерге көшеміз. Бастапқы шарттарды ескере отырып :

Оң жағында да проблемалар жоқ:

(Көбейткіш тұрақтылары еленбейтінін есте сақтаңыз)

Алынған кескіндерді бастапқы теңдеуге ауыстырайық және стандартты әрекеттерді орындайық, олар сіз жақсы жұмыс істедіңіз деп үміттенемін:

Бөлшектегі тұрақтыны бөлшектің сыртында аламыз, бастысы бұл туралы кейінірек ұмытпау керек:

Мен нумератордан қосымша екіні алып тастау туралы ойладым, бірақ түгендеуден кейін бұл қадам іс жүзінде келесі шешімді жеңілдетпейді деген қорытындыға келдім.

Тапсырманың ерекшелігі - нәтижелі бөлшек. Оның ыдырауы ұзақ және қиын болатын сияқты, бірақ сыртқы көріністер алдамшы. Әрине, қиын нәрселер бар, бірақ кез келген жағдайда - алға, қорқынышсыз және күмәнсіз:

Кейбір коэффициенттердің бөлшек болып шығуы шатастырмауы керек, бұл жағдай сирек емес. Тек есептеу техникасы сәтсіздікке ұшырамаса. Сонымен қатар, жауапты тексеруге әрқашан мүмкіндік бар.

Нәтижесінде оператор шешімі:

Суреттерден сәйкес түпнұсқаларға көшейік:

Осылайша, нақты шешім: