Տետրաեդրոնում հատվածների կառուցում. Տետրաեդրոնը և նրա հատվածը Երեք կետերից քառաեդրոն հատվածի կառուցում

Դաս թեմայի շուրջ.

«Տետրաեդրոնի և զուգահեռականի հատվածների կառուցում»

Դասի նպատակները

1. Ծանոթացեք խնդիրների լուծման հիմունքներին, որոնք ենթադրում են հարթության վրա քառանիստի և զուգահեռականի հատվածների կառուցում:

2. Բացահայտել հատվածների կառուցման խնդիրների տեսակները:

3. Զարգացնել քառանկյունի և զուգահեռականի հատվածների կառուցման հետ կապված խնդիրներ լուծելու հմտություններ:

4. Տարածական երեւակայության ձեւավորում.

Դասերի ժամանակ.

I Կազմակերպչական պահ.

II Տնային աշխատանքների ստուգում.

Տղերք, ի՞նչ երկրաչափական մարմիններ ենք ուսումնասիրել մեր վերջին դասերին։ (տետրաեդրոն, զուգահեռատիպ):

Ինչպե՞ս է կոչվում քառաեդրոնը:

Ինչպե՞ս է կոչվում զուգահեռականը:

Այժմ ստուգենք բանավոր տնային աշխատանքը։

31-րդ էջի դասագրքում կարդում և պատասխանում ենք 14,15 հարցերին։

14. Կա՞ քառաեդրոն հինգ ուղիղ անկյուններով:

(Ոչ, քանի որ չորս ձևավորվող եռանկյուններում կարող են լինել միայն չորս ուղղանկյուններ, առավելագույնը յուրաքանչյուրից մեկը):

15. Կա՞ զուգահեռաբար, որն ունի.

Ա) Միայն մեկ դեմքն է ուղղանկյուն: (Ոչ, քանի որ զուգահեռականի հակառակ կողմերը հավասար են):

բ) Միայն երկու հարակից դեմքեր են ռոմբուսներ: (Ոչ, միայն հակառակ դեմքերը կարող են լինել ադամանդներ):

Վ) Բոլոր եզրային անկյունները սուր են: (Ոչ, զուգահեռագիծն ունի և՛ սուր, և՛ բութ անկյուններ, և յուրաքանչյուր դեմք զուգահեռագիծ է):

Գ) Դեմքի բոլոր անկյունները ճիշտ են: (Այո, ուղղանկյուն զուգահեռաբար):

դ) Դեմքի բոլոր սուր անկյունների թիվը հավասար չէ դեմքի բոլոր բութ անկյունների թվին: (Ոչ, յուրաքանչյուր դեմքի վրա կան հավասար քանակությամբ սուր և բութ անկյուններ):

III Նոր թեմայի բացատրություն.

Հիմա անցնենք նոր թեմային։ Գրեք դասի թեման: Այսօրվա դասի նպատակը.

1. Ծանոթացեք խնդիրների լուծման հիմունքներին, որոնք ենթադրում են հարթության վրա քառանիստի և զուգահեռականի հատվածների կառուցում:

2. Բացահայտել հատվածների կառուցման խնդիրների տեսակները:

3. Զարգացնել քառանկյունի և զուգահեռականի հատվածների կառուցման հետ կապված խնդիրներ լուծելու հմտություններ:

4. Տարածական երեւակայության ձեւավորում.

Այսպիսով, քառանիստի և զուգահեռականի հետ կապված բազմաթիվ երկրաչափական խնդիրներ լուծելու համար օգտակար է նրանց հատվածները տարբեր հարթություններում գծել:

Ի՞նչ նկատի ունենք ասելով կտրող ինքնաթիռ ? 27-րդ էջի դասագրքում մենք կգտնենք այս հարցի պատասխանը.

Կտրող ինքնաթիռ կանչել ցանկացած հարթություն, որի երկու կողմերում կան տրված բազմանիստի կետեր:

Հաջորդ հայեցակարգն է Բաժին. Եվ կրկին դիմում ենք դասագրքին օգնության համար։ Այժմ տեսեք, թե ինչ տեսք ունի բաժնի ճշգրիտ սահմանումը:

v Որտե՞ղ են գտնվում հատված հանդիսացող բազմանկյունի կողմերը:

v Որտե՞ղ են հատված հանդիսացող բազմանկյան գագաթները:

Հիմա եկեք պատասխանենք հարցին. Ի՞նչ է նշանակում հարթությամբ բազմանկյունի հատված կառուցել: Այսպիսով, յուրաքանչյուր դեմքի վրա մենք կկառուցենք հատվածներ, որոնց երկայնքով կտրող հարթությունը հատում է դեմքերը:

Խաչաձեւ հատվածը ճիշտ կառուցելու համար դուք պետք է կարողանաք կիրառել տարբեր թեորեմներ և հատկություններ: Եկեք պատասխանենք հարցին.

Այս հայտարարություններից ո՞րը կարող է օգտակար լինել բաժիններ կառուցելիս:

1. Եթե երկու հարթություններ ունեն ընդհանուր կետ, ապա դրանք հատվում են այս կետը պարունակող ուղիղ գծով։

2. Եթե հատվող հարթություններից մեկում ընկած ուղիղը հատում է մեկ այլ հարթություն, ապա այն հատում է հարթությունների հատման գիծը։

3. Եթե երկու զուգահեռ հարթություններ հատվում են երրորդով, ապա հարթությունների հատման ուղիղները զուգահեռ են։

4. Սեկանտային հարթությունը հատում է բազմանիստ երեսը ճեղքված գծով:

5. Զուգահեռապատիկի հարթության մի հատվածում կարող է պարզվել.

v գծի հատված

v եռանկյուն

v քառանկյուն

v հնգանկյուն

v վեցանկյուն

v Յոթանկյուն

Հիմա եկեք հիշենք, թե ինչպես սահմանել ինքնաթիռը.

Բաժիններ կառուցելիս կարևոր է իմանալ.

https://pandia.ru/text/78/131/images/image003_53.jpg" width="559" height="288 src=">

https://pandia.ru/text/78/131/images/image005_39.jpg" width="564" height="355 src=">

Այժմ դասագրքում մենք կքննարկենք բաժինների կառուցման հիմնական խնդիրները: Եվ այսպես, առաջադրանք առաջին, որտեղ անհրաժեշտ է կառուցել քառանիստի հատված՝ օգտագործելով երեք կետերը, որոնք պատկանում են սեկանտային հարթությանը, որոնցից երկուսը գտնվում են մեկ հարթության մեջ, իսկ երրորդը՝ մեկ այլ հարթության վրա:
.jpg" width="588" height="359 src=">

Խնդրի լուծում. Լուծման ճիշտության ստուգում սլայդների միջոցով:

V Դասի ամփոփում.

Պատկերացրեք իրավիճակը.

Ձեր դասընկերը հիվանդացավ և բաց թողեց դասերը, որտեղ նրանք լուսաբանում էին «Բազմանդեղների հատվածների կառուցում» թեման: Դուք պետք է հեռախոսով բացատրեք այս թեման: Ձևակերպեք քայլ առ քայլ ալգորիթմ:

https://pandia.ru/text/78/131/images/image015_14.jpg" width="600" height="284 src=">

Հիմա ես մի քանի փորձարկում կանեմ: Երեք րոպեի ընթացքում պետք է կատարեք երեք առաջադրանք: Ընտրեք և գրեք այն գծագրերի քանակը, որոնք ցույց են տալիս քառանիստի և զուգահեռականի ճիշտ հատվածները, ինչպես նաև ճիշտ գծագիրը:

VI Տնային աշխատանք . հ.14 հարց 16 հ.000106. Մտածեք և լուծեք մեկ խնդիր քառանիստի կամ զուգահեռականի մի հատված կառուցելու վերաբերյալ:

Այսօր մենք կրկին կանդրադառնանք, թե ինչպես հարթությամբ կառուցել քառաեդրոնի մի հատված.
Դիտարկենք ամենապարզ դեպքը (պարտադիր մակարդակ), երբ հատվածի հարթության 2 կետը պատկանում է մի դեմքին, իսկ երրորդ կետը՝ մեկ այլ երեսին։

Հիշեցնենք բաժինների կառուցման ալգորիթմայս տեսակի (գործ. 2 միավոր պատկանում է նույն դեմքին):

1. Մենք փնտրում ենք դեմք, որը պարունակում է հատվածի հարթության 2 կետ: Միևնույն դեմքի վրա ընկած երկու կետերի միջով ուղիղ գիծ գծեք: Մենք գտնում ենք նրա հատման կետերը քառանիստի եզրերի հետ։ Ուղիղ գծի այն հատվածը, որն ավարտվում է դեմքին, հատվածի կողմն է։

2. Եթե բազմանկյունը կարող է փակվել, ապա հատվածը կառուցված է: Եթե ​​անհնար է փակել, ապա գտնում ենք կառուցված գծի և երրորդ կետը պարունակող հարթության հատման կետը։

1. Մենք տեսնում ենք, որ E և F կետերը ընկած են նույն դեմքի վրա (BCD), հարթության մեջ գծում ենք ուղիղ գիծ EF (BCD):
2. Գտնենք EF ուղիղ գծի հատման կետը BD քառանիստի եզրին, սա H կետն է:
3. Այժմ դուք պետք է գտնեք EF ուղիղ գծի և երրորդ G կետը պարունակող հարթության հատման կետը, այսինքն. ինքնաթիռ (ADC):
Ուղիղ գիծը գտնվում է (ADC) և (BDC) հարթություններում, ինչը նշանակում է, որ այն հատում է EF ուղիղ գիծը, իսկ K կետը ուղիղ EF-ի և հարթության (ADC) հատման կետն է:
4. Այնուհետև մենք գտնում ենք ևս երկու կետ, որոնք ընկած են նույն հարթության վրա: Սրանք G և K կետերն են, երկուսն էլ գտնվում են ձախ կողմի երեսի հարթությունում: Գծում ենք GK ուղիղ և նշում ենք այն կետերը, որոնցով այս ուղիղը հատում է քառանիստի եզրերը։ Սրանք M և L կետերն են:
4. Մնում է «փակել» հատվածը, այսինքն՝ միացնել նույն դեմքի վրա ընկած կետերը։ Սրանք M և H կետերն են, ինչպես նաև L և F: Այս երկու հատվածներն էլ անտեսանելի են, մենք դրանք գծում ենք կետավոր գծով:

Խաչմերուկը ստացվել է քառանկյուն MHFL: Նրա բոլոր գագաթները ընկած են քառանիստի եզրերին: Ընտրենք ստացված բաժինը։

Հիմա ձեւակերպենք Ճիշտ կառուցված հատվածի «հատկություններ».

1. Բազմանկյունի բոլոր գագաթները, որը հատված է, ընկած են քառանիստի (զուգահեռանկյուն, բազմանկյուն) եզրերին:

2. Հատվածի բոլոր կողմերը ընկած են պոլիէդրոնի երեսներին:
3. Բազմանկյունի յուրաքանչյուր դեմք կարող է պարունակել հատվածի ոչ ավելի, քան մեկ (մեկ կամ ոչ մեկը):

Դասի զարգացում

10-րդ դասարանի «Ա» քառանիստի և զուգահեռականի հատվածների կառուցում» թեմայով.

Դասի նպատակը.

սովորեցնել, թե ինչպես կառուցել քառանիստի և զուգահեռականի հատվածներ հարթությամբ.

զարգացնել վերլուծելու, համեմատելու, ընդհանրացնելու և եզրակացություններ անելու կարողությունը.

զարգացնել ուսանողների ինքնուրույն գործունեության հմտությունները և խմբում աշխատելու կարողությունը:

Սարքավորումներ: պրոյեկտոր, ինտերակտիվ գրատախտակ, թերթիկներ:

Դասի տեսակը. նոր նյութ սովորելու դաս.

Դասի ընթացքում օգտագործվող մեթոդներն ու տեխնիկան. տեսողական, գործնական, խնդիր-որոնում, խումբ, հետազոտական ​​գործունեության տարրեր.

Ի . Կազմակերպման ժամանակ.

Ուսուցիչը հայտարարում է դասի թեման և նպատակը (սլայդ թիվ 1 ).

II . Գիտելիքների թարմացում.

Ուսուցիչ: Տնային առաջադրանքն անելիս պետք է գտնեիր ուղիղ գծերի և հարթությունների հանդիպման կետերը, կտրող հարթության հետքը պոլիէդրոնի դեմքի հարթության վրա: Մեկնաբանեք, թե ինչ է պետք անել դրա համար:

(Աշակերտները մեկնաբանում են տնային աշխատանքը (սլայդներ թիվ 2-3 ).

Ուսուցիչ: Նոր թեմայի ուսումնասիրությանը անցնելու համար վերանայենք տեսական նյութը՝ պատասխանելով հարցերին.

Ինչ է կոչվում կտրող ինքնաթիռ (սլայդ թիվ 4 )? (Ուսանողները տալիս են սահմանում):

Այն, ինչ կոչվում է պոլիէդրոնի հատված (սլայդ թիվ 5 )? (Սահմանումը ձևակերպված է):

Ի՞նչ է պետք անել, որպեսզի հարթության վրա կառուցվի բազմանկյունի հատված:

Հատվածի կառուցումը հանգում է կտրող հարթության և պոլիէդրոնի երեսների հարթությունների հատման գծերի կառուցմանը։)

Արդյո՞ք անհրաժեշտ է, որ կտրող հարթությունը հատի պոլիէդրոնի բոլոր երեսների հարթությունները:

Ուսուցիչ: Եկեք մի փոքր ուսումնասիրենք և պատասխանենք հարցին. «Ի՞նչ պատկեր կարելի է ձեռք բերել քառանիստի կամ հարթության զուգահեռականի հատվածում»:

(Ուսանողները, աշխատելով խմբերով, փնտրում են տրված հարցի պատասխանը):

(Մի քանի րոպե հետո նրանք ձևակերպում են իրենց ենթադրությունները, և սկսվում է ցույցըսլայդներ 6-7 .)

Ուսուցիչ: Կրկնենք այն կանոնները, որոնք պետք է հիշել բազմաբովանդակ հատվածներ կառուցելիս (ուսանողները հիշում և ձևակերպում են անհրաժեշտ աքսիոմները, թեորեմները, հատկությունները).

Եթե ​​երկու կետերը պատկանում են կտրող հարթությանը և բազմանիստի որոշ երեսի հարթությանը, ապա այդ կետերով անցնող ուղիղ գիծը կլինի կտրող հարթության հետքը դեմքի հարթության վրա։

Եթե ​​կտրող հարթությունը զուգահեռ է որոշակի հարթությունում ընկած գծին և հատում է այս հարթությունը, ապա այդ հարթությունների հատման գիծը զուգահեռ է այս ուղիղին։

Երբ երկու զուգահեռ հարթությունները հատվում են կտրող հարթությամբ, ստացվում են զուգահեռ գծեր։

Եթե ​​կտրող հարթությունը զուգահեռ է որոշակի հարթության, ապա այս երկու հարթությունները հատում են երրորդ հարթությունը միմյանց զուգահեռ ուղիղ գծերով։

Եթե ​​կտրող հարթությունը և երկու հատվող երեսների հարթություններն ունեն ընդհանուր կետ, ապա այն ընկած է այդ երեսների ընդհանուր եզր պարունակող գծի վրա:

Ուսուցիչ: Գտեք սխալներ այս գծագրերում, հիմնավորեք ձեր հայտարարությունը (սլայդներ 8-9 ).

Ուսուցիչ: Այսպիսով, տղերք, մենք տեսական հիմք ենք պատրաստել սովորելու, թե ինչպես կարելի է հարթությամբ կառուցել բազմանիստ հատվածներ, մասնավորապես քառաեդրոնի և զուգահեռականի հատվածներ: Առաջադրանքների մեծ մասը դուք կկատարեք ինքնուրույն՝ աշխատելով խմբերով, այնպես որ ձեզնից յուրաքանչյուրն ունի աշխատանքային թերթիկներ՝ պոլիէդրների դատարկ գծագրերով, որոնց վրա կկառուցեք հատվածներ։ Անհրաժեշտության դեպքում կարող եք խորհուրդներ ստանալ ուսուցիչից կամ խմբի ավագից:

Այսպիսով, ներկայացնում ենք ձեր ուշադրությանըառաջին առաջադրանքը : ( սլայդ թիվ 10 ) Տրված կետերով անցնող հարթությամբ կառուցիր քառաեդրոնի հատվածըՄ, Ն, Կ. (Խաչահատումը ստացվում է եռանկյունի, ստուգեք.սլայդ թիվ 11 .)

Ուսուցիչ: Եկեք դիտարկենքերկրորդ առաջադրանքը Տրված է քառաեդրոնDABC. Կառուցեք քառաեդրոնի մի հատված հարթությամբMNK, ԵթեՄDC, ՆՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ, ԿԱԲ. ( Սլայդ թիվ 12 )

(Խնդիրը լուծեք դասարանի հետ՝ մեկնաբանելով շինարարությունը):

( Առաջադրանք թիվ 3 - անկախ աշխատանք խմբերով (սլայդ թիվ 14 ) Փորձաքննություն -սլայդ թիվ 15 .)

Առաջադրանք թիվ 4 Կառուցեք քառանիստի հատվածը հարթությամբMNK, ՈրտեղՄԵվՆ- կողերի մեջտեղըԱԲԵվՔ.ա. ( սլայդ թիվ 16 ) (Ստուգեքսլայդ թիվ 17 .)

Ուսուցիչ : Անցնենք դասի հաջորդ հատվածին։ Դիտարկենք զուգահեռականի հարթությամբ հատվածներ կառուցելու խնդիրը։ Մենք պարզեցինք, որ երբ զուգահեռաբարձը կտրվում է հարթությամբ, այն կարող է առաջացնել եռանկյուն, քառանկյուն, հնգանկյուն կամ վեցանկյուն: Բաժինների կառուցման կանոնները նույնն են. Առաջարկում եմ անցնել հաջորդ խնդրին, որը դուք ինքնուրույն կլուծեք։

(Ցուցադրվել էսլայդ թիվ 18 )

Խնդիր թիվ 5

Կառուցեք զուգահեռականի խաչմերուկABCDA 1 Բ 1 Գ 1 Դ 1 ԻնքնաթիռMNK, ԵթեՄԱ.Ա. 1 , ՆԲԲ 1 , ԿՍԴ 1 . (Ստուգեքսլայդ թիվ 19 ).

Խնդիր թիվ 6 : ( Սլայդ թիվ 20 ) Կառուցեք զուգահեռականի մի հատվածABCDA 1 Բ 1 Գ 1 Դ 1 ԻնքնաթիռPTO, Եթե Պ, Տ, Օպատկանում են համապատասխանաբար AA եզրերին 1, BB 1, SS 1.

(Լուծումը քննարկվում է, ուսանողները առանձին թերթիկների վրա կառուցում են հատված և արձանագրում շինարարության ընթացքը (սլայդ թիվ 21 ).)

TO ∩ BC = Մ

TP ∩ AB = N

NM ∩ AD = L

NM ∩ CD = F

PL, FO

PTOFL- պահանջվող հատվածը.

Առաջադրանք թիվ 7 (սլայդ թիվ 22) Կառուցե՛ք զուգահեռանիստի հատվածը հարթությամբKMN, ԵթեԿԱ 1 Դ 1 , Ն, ՄԱԲ.

Լուծում: (սլայդ թիվ 23)

MN∩ AD=Q;

QK∩AA 1 =P;

վարչապետ;

NE II PK; KF II MN;

Ֆ.Է.

MPKFENցանկալի հատվածը.

Ստեղծագործական առաջադրանքներ (քարտեր ըստ ընտրանքների).

Կանոնավոր եռանկյուն բուրգումՍABC գագաթ C միջով ևկողոսկրի կեսըՍԳծի՛ր բուրգի մի հատվածը զուգահեռՍ.Բ.. AB եզրին վերցված է կետՖորպեսզի ԱՖ: ՖB=3:1. Կետի միջոցովՖԵվկողոսկրի կեսըՍC-ից ուղիղ գիծ է գծվում։ Այս տողը կլինի՞հատվածի հարթությանը զուգահեռ?

ԱԲ 1 ՀԵՏ -ուղղանկյուն զուգահեռականի ABC հատվածըԴԱ 1 IN 1 ՀԵՏ 1 Դ 1. E կետերի միջոցով,Ֆ, K, որոնք համապատասխանաբարկողերի կեսըDD 1 , Ա 1 Դ 1 , Դ 1 Գ 1 կատարվեց երկրորդ հատվածը.Ապացուցեք, որ եռանկյունները EՖԿ և Ա.Բ 1 Գնմանատիպ, և տեղադրեքայս եռանկյունների ո՞ր անկյուններն են հավասար միմյանց.

Դասի ամփոփում. Այսպիսով, մենք ծանոթացանք քառանիստի և զուգահեռականի հատվածների կառուցման կանոններին, ուսումնասիրեցինք հատվածների տեսակները և լուծեցինք հատվածների կառուցման ամենապարզ խնդիրները։ Հաջորդ դասին մենք կշարունակենք ուսումնասիրել թեման և դիտարկել ավելի բարդ խնդիրներ:

Հիմա եկեք ամփոփենք դասը՝ պատասխանելով մեր ավանդական հարցերին (սլայդ թիվ 24 ):

«Ինձ դուր եկավ (դուր չեկավ) դասը, որովհետև…»

«Այսօր դասարանում ես սովորեցի…»

"Ես ուզում եմ..."

(Գնահատում դասի համար):

Տնային աշխատանք: պարբերություն 14 թիվ 105, 106. (սլայդ թիվ 25 )

Լրացուցիչ առաջադրանք թիվ 105-ին Գտեք այն հարաբերակցությունը, որում գտնվում է հարթությունըMNKբաժանում է մի եզրԱԲ, ԵթեCN : ՆԴ = 2:1, Բ.Մ. = Մ.Դ.և ժամանակաշրջանԿ- միջնագծի միջին մասըԱԼեռանկյունABC.

(Ավարտեք ստեղծագործական առաջադրանքը):

Սլայդ 2

Տեղեկատվություն ուսուցիչների համար. Այս ներկայացման ստեղծման նպատակն է հստակ ցույց տալ ուղղի և հարթության հատման կետը, հարթությունների և քառաեդրոնի հատվածների հատման գիծը կառուցելու ալգորիթմները: Ուսուցիչը կարող է օգտագործել պրեզենտացիան այս թեմայի վերաբերյալ դասեր դասավանդելիս կամ խորհուրդ տալ այն ուսանողներին ինքնուրույն ուսումնասիրել, ովքեր ինչ-ինչ պատճառներով բաց են թողել այն, կամ կրկնել որոշակի հարցեր: Ուսանողները ուղեկցում են ներկայացման իրենց ուսումնասիրությունը՝ լրացնելով կարճ ամփոփում:

Սլայդ 3

Տեղեկություններ ուսանողի համար. Այս ներկայացման ստեղծման նպատակը տիեզերքում շինարարության հետ կապված խնդիրների լուծման ալգորիթմների հստակ ցուցադրումն է: Փորձեք ուշադիր և դանդաղ ուսումնասիրել մակագրությունների մեկնաբանությունները և համեմատել դրանք գծագրի հետ: Լրացրե՛ք ամփոփագրի բոլոր բացերը: Խնդիրները ինքնուրույն լուծելիս նախ պետք է ինքներդ մտածեք դրա լուծումը, ապա նայեք հեղինակի առաջարկածին: Գրեք հարցեր ուսուցչի համար և տվեք դրանք դասարանում:

Սլայդ 4

I. Ուղիղ a-ն հատում է α հարթությունը: Կառուցեք հատման կետ:

α β P m a Պատասխան՝ I. a-ի և α հարթության հատման կետը կառուցելու համար անհրաժեշտ է. a և m ուղիղների հատման P կետ. Ուղիղ a-ով մենք գծում ենք β հարթություն, որը հատում է α հարթությունը t ուղիղ գծի երկայնքով: Մենք հատում ենք a ուղիղը α և β հարթությունների հատման գծի հետ՝ ուղիղ t: P կետը a և ուղիղ գծի ընդհանուր կետն է: հարթություն α, քանի որ m ուղիղ գիծը գտնվում է α հարթության մեջ: Գրեք ալգորիթմը կարճ ամփոփումով:

Սլայդ 5

1) Կառուցեք ուղիղ MN-ի և BDC հարթության հատման կետը.

D B A C M N P (M, N) (ABC) Պատասխան. ABC հարթությունն անցնում է MN ուղիղ գծով և հատում BDC հարթությունը BC ուղիղ գծով: MN ուղիղը հատում է BC ուղիղը P կետում: BC ուղիղ գիծը գտնվում է BDC հարթության մեջ, ինչը նշանակում է, որ MN ուղիղը հատում է BDC հարթությունը P կետում:

Սլայդ 6

2) Կառուցե՛ք MN ուղիղ գծի և ABD հարթության հատման կետը.

D B A C M N P Պատասխան. Տեսողական լուծում MN ուղիղը պատկանում է ВDC հարթությանը, որը հատում է АВD հարթությունը DB ուղիղ գծով Եկեք հատենք MN և DB ուղիղները: Հետագա

Սլայդ 7

II. Թող AB ուղիղը զուգահեռ չլինի α հարթությանը: Կառուցեք α և ABC հարթությունների հատման ուղիղը, եթե C կետը պատկանում է α հարթությանը

B C A α β P m Կառուցենք AB ուղիղ գծի α հարթության հետ հատման կետը: Ըստ պայմանի և կառուցվածքի, C և P կետերը ընդհանուր են ABC և α հարթությունների համար: Ըստ պայմանի և կառուցվածքի, C և P կետերը ընդհանուր են ABC և α հարթությունների համար: Սա նշանակում է, որ ուղիղ CP-ն ABC և α հարթությունների հատման ցանկալի ուղիղ գիծն է: II. α հարթության և ABC (C α, (A, B) α, AB || α հարթության հատման գիծը կառուցելու համար անհրաժեշտ է՝ կառուցել AB ուղիղ գծի և հարթության հատման կետը. α - կետ P; 2) P և C կետերը հարթությունների (ABC) և α-ի ընդհանուր կետերն են, ինչը նշանակում է (ABC) α = CP Գրեք ալգորիթմը կարճ ամփոփումով:

Սլայդ 8

3) Կառուցեք MNP և ADB հարթությունների հատման ուղիղ գիծը:

Կառուցեք MNP հարթության և ԱԶԲ դեմքի խաչմերուկը: M D B A C N P X Q R Պատասխան. Կառուցենք MR ուղիղ գծի հատման կետը ԱԶԲ հարթության հետ (կետ X): MR ուղիղ գիծը գտնվում է ADC հարթության մեջ, որը հատում է ADB հարթությունը AD ուղիղ գծի երկայնքով: MR ուղիղ գիծը գտնվում է ADC հարթության մեջ, որը հատում է ADB հարթությունը AD ուղիղ գծի երկայնքով: X և N կետերը ADB և MNP հարթությունների ընդհանուր կետերն են: Սա նշանակում է, որ դրանք հատվում են XN ուղիղ գծի երկայնքով: Գրանցեք շինարարության ընթացքը կարճ ամփոփումով:

Սլայդ 9

Տետրաեդրոնի հատված.

C D B A M N P α Բազմանկյունը, որը կազմված է հատվածներից, որոնց երկայնքով կտրող հարթությունը հատում է բազմանկյունի երեսները, կոչվում է բազմանկյունի հատված: Այն հատվածները, որոնք կազմում են հատվածը, կոչվում են կտրող հարթության հետքեր դեմքերի վրա: ∆ MNP – բաժին. Թող հարթությունը հատի քառանիստը, այնուհետև այն կոչվում է կտրող հարթություն, հարթությունը հատում է քառաեդրոնի եզրերը M, N, P կետերում, իսկ երեսները MN, MP, NP հատվածների երկայնքով... MNP եռանկյունը կոչվում է. քառանիստի հատվածն այս հարթությամբ... Գրի՛ր այն կարճ գրառմամբ.

Սլայդ 10

Քառանկյուն կարող է լինել նաև քառանկյունի խաչմերուկը։

A C D B M N P Q α MNPQ – բաժին.

Սլայդ 11

Տրված երեք M, N, P կետերով անցնող հարթությամբ քառաեդրոնի հատված կառուցելու ալգորիթմ։

MNPQ-ն անհրաժեշտ բաժինն է: D B A C M N P Q X Կառուցեք կտրող հարթության հետքերը այն երեսներում, որոնք ունեն նրա հետ 2 ընդհանուր կետ: 3) Կառուցված կետերի միջով գծեք ուղիղ գիծ, ​​որոնց երկայնքով կտրող հարթությունը հատում է ընտրված դեմքի ABC հարթությունը: 4) Նշեք և նշանակեք այն կետերը, որոնցում այս ուղիղը հատում է ABC դեմքի եզրերը և լրացրեք մնացած հետքերը: 2) Ընտրեք դեմք, որը դեռ հետք չունի: Կառուցեք արդեն իսկ կառուցված հետքեր պարունակող ուղիղ գծերի հատման կետերը ընտրված դեմքի հարթությամբ՝ ABC:

Սլայդ 12

Կառուցեք հատված՝ օգտագործելով քառանիստ հարթություն MNP.2 մեթոդը:

D B A C M N P Q X MNPQ – պահանջվող հատվածը:

Սլայդ 13

Թիվ 1. (Խնդիրը ինքներդ լուծեք): Կառուցեք քառաեդրոնի մի հատված՝ օգտագործելով MNP հարթությունը:

Q D A C M N P X B X Դիտել լուծումը Երկրորդ մեթոդ. Հաջորդը

Սլայդ 14

Թիվ 2. (Որոշեք ինքներդ): Կառուցեք քառաեդրոնի մի հատված՝ օգտագործելով MNP հարթությունը, եթե P-ն պատկանում է ADC դեմքին:

Սլայդ 15

Թիվ 3. Կառուցեք հատված՝ օգտագործելով α քառանիստ հարթությունը՝ CD եզրին զուգահեռ և անցնելով F կետով, ընկած DBC հարթության վրա և M կետով:

3)α (ADB)= MN, α (ABC)=QP: Q D B A M N P F C Տրված է՝ α||DC, (M;F) α, F (BDC), M AD: Կառուցեք DABC քառաեդրոնի մի հատված: α||DC, ապա (DBC) α=FP եւ FP||DC, FP BC=P, FP BD=N. 2) Քանի որ α||DC, ապա (DAC) α=MQ եւ MQ||DC, MQ AC=Q: DC || NP և NP α, նշանակում է DC||α, հետևաբար MNPQ-ն ցանկալի հատվածն է: Շարունակե՛ք նախադասությունը. Եթե a տրված ուղիղ ուղիղը զուգահեռ է որոշակի հարթությանը, ապա այս a հարթության միջով անցնող ցանկացած հարթություն, որը զուգահեռ չէ α հարթությանը, հատում է α հարթությունը b ուղիղ գծով…………………… ………………… Ա ուղիղ գծին զուգահեռ. Շարունակեք... α||DC, ապա BDC հարթությունը հատում է α-ն ուղիղ գծով, որը զուգահեռ է DC-ին և անցնում է F α||DC կետով, ապա ADC հարթությունը հատում է α-ն DC-ին զուգահեռ ուղիղ գծով և անցնում է կետ Մ

Սլայդ 16

2)α||DВC, (ADC) (DBC)=CD, (ADC)α=MN MP||CD. P#4. Կառուցե՛ք α քառանիստ հարթությամբ հատված, որը զուգահեռ է BDC երեսին և անցնում է M կետով. B A C M N D Տրված է՝ α||DBC, M α, M AD: Կառուցե՛ք DABC քառաեդրոնի հատվածը α α||DВC, (ADB) (DBC)=BD, MN||BD հարթությամբ: (ADB)α=MN 3)α (ABC)=NP. ∆ MNP-ն անհրաժեշտ բաժինն է, քանի որ………. Շարունակի՛ր նախադասությունը. Եթե երկու զուգահեռ հարթություններ հատվում են երրորդ հարթությամբ, ապա դրանց հատման ուղիղները………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… α հարթության MN և MP երկու հատվող ուղիղները համապատասխանաբար զուգահեռ են հարթության երկու հատվող ուղիղների՝ DB և DC (DBC), ինչը նշանակում է α||(DBC): α||DВC, ապա AВ և ADC հարթությունները հատում են α և (ВДС) հարթությունները MN և МР ուղիղ գծերով, համապատասխանաբար DB և DC-ին զուգահեռ և անցնելով M կետով:

Սլայդ 17

Հաջորդը M R B A C N No 5. Ինքնուրույն լուծեք և գրեք լուծումը: M կետով և PN հատվածով անցնող α հարթությամբ քառաեդրոնի հատվածը կառուցեք, եթե PN||AB և M պատկանում են հարթությանը (ABC): P Q D 1)NP||AB NP||(ABC) NP α, α (ABC)=MQ MQ||NP. 2)MQ AC=R. α (ADC)=NR, α (BDC)=PQ: RNPQ-ի պահանջվող խաչմերուկ: Դիտեք NP||(ABC) լուծումը, ինչը նշանակում է, որ MNP հարթությունը հատում է ABC հարթությունը MQ ուղիղ գծի երկայնքով, որը զուգահեռ է NP-ին և անցնում է M կետով:

Սլայդ 18

Մի մոռացեք ձևակերպել հարցեր ուսուցչի համար, եթե ինչ-որ բան պարզ չէր, ինչպես նաև ձեր առաջարկությունները բարելավելու այս ներկայացումը:

Սլայդ 19

Ներկայացումը ստեղծելիս օգտագործվել են դասագրքեր և ձեռնարկներ՝ 1. Լ.Ս. Աթանասյան, Վ.Ֆ. Բուտուզովը և ուրիշներ Երկրաչափություն 10-11. M. «Լուսավորություն» 2008. 2.B.G. Զիվ, Վ.Մ. Մեյլերը, Ա.Գ. Բախանսկի Խնդիրները երկրաչափության մեջ 7-11.Մ. «Լուսավորություն» 2000 թ

Դիտեք բոլոր սլայդները

, սլայդներ 1-2)

սովորել կիրառել ստերեոմետրիայի աքսիոմները խնդիրներ լուծելիս.

սովորել գտնել կտրող հարթության հատման կետերի դիրքը քառանիստի եզրերով.

այս հատվածների կառուցման հիմնական մեթոդները

ձևավորել ճանաչողական գործունեություն, տրամաբանորեն մտածելու ունակություն.

պայմաններ ստեղծել գիտելիքների և հմտությունների ձեռքբերման ինքնատիրապետման համար.

Դասի տեսակը. Նոր գիտելիքների ձևավորում.

Դասերի ժամանակ

I. Կազմակերպչական պահ

II. Ուսանողների գիտելիքների թարմացում

Ճակատային հետազոտություն. (Ստերեոմետրիայի աքսիոմներ, զուգահեռ հարթությունների հատկություններ)

Ուսուցչի խոսքը

Շատ երկրաչափական խնդիրներ լուծելու համար, որոնք կապված են քառանիստի հետ, օգտակար է դրանք նկարելբաժինները տարբեր ինքնաթիռներ. (սլայդ 3): Եկեք զանգենքկտրող ինքնաթիռ քառաեդրոնը ցանկացած հարթություն է, որի երկու կողմերում կան տվյալ քառաեդրոնի կետեր։ Կտրող հարթությունը հատում է քառանիստի երեսները հատվածների երկայնքով: Այն բազմանկյունը, որի կողմերն այս հատվածներն են, կոչվում էքառաեդրոնի խաչմերուկ . Քանի որ քառանիստն ունի չորս երես, դրա հատվածները կարող են լինել միայն եռանկյուններ և քառանկյուններ: Նկատի ունեցեք նաև, որ հատված կառուցելու համար բավական է կառուցել կտրող հարթության հատման կետերը քառանկյունի եզրերի հետ, որից հետո մնում է նույն երեսին ընկած յուրաքանչյուր երկու կառուցված կետերը միացնող հատվածներ գծել։

Այս դասում դուք կկարողանաք մանրամասն ուսումնասիրել քառանիստի հատվածները և տիրապետել այդ հատվածների կառուցման մեթոդներին։ Դուք կսովորեք պոլիեդրների հատվածներ կառուցելու հինգ կանոններ, կսովորեք գտնել կտրող հարթության հատման կետերի դիրքը քառանիստի եզրերի հետ:

Աջակցող հայեցակարգերի թարմացում

Առաջին կանոն. Եթե ​​երկու կետերը պատկանում են և՛ կտրող հարթությանը, և՛ պոլիէդրոնի որոշ երեսների հարթությանը, ապա այս երկու կետերով անցնող ուղիղ գիծը կտրող հարթության հատման գիծն է այս դեմքի հարթության հետ (հետևանք է աքսիոմի վրա. ինքնաթիռների խաչմերուկ):

Երկրորդ կանոն . Եթե ​​կտրող հարթությունը զուգահեռ է որոշակի հարթության, ապա այս երկու հարթությունները հատվում են ցանկացած դեմքի հետ զուգահեռ գծերով (երրորդով հատված երկու զուգահեռ հարթությունների հատկությունը)։

Երրորդ կանոն. Եթե ​​կտրող հարթությունը զուգահեռ է որոշակի հարթությունում ընկած գծին (օրինակ՝ ինչ-որ երեսի հարթություն), ապա կտրող հարթության հատման գիծը այս հարթության (դեմքի) հետ զուգահեռ է այս ուղղին (հատկությունը a. հարթությանը զուգահեռ գիծ):

Չորրորդ կանոն. Կտրող հարթությունը հատում է զուգահեռ երեսները զուգահեռ գծերի երկայնքով (երրորդով հատված զուգահեռ հարթությունների հատկությունը):

Հինգերորդ կանոն . Թող երկու A և B կետերը պատկանում են կտրող հարթությանը, իսկ A կետերը 1 և Բ 1 այս կետերի զուգահեռ պրոյեկցիաներն են որոշ դեմքի վրա: Եթե ​​ուղիղ գծերը AB և A 1 Բ 1 զուգահեռ են, ապա կտրող հարթությունը հատում է այս երեսը Ա-ին զուգահեռ ուղիղ գծով 1 Բ 1 . Եթե ​​ուղիղ գծերը AB և A 1 Բ 1 հատվում են որոշակի կետում, ապա այս կետը պատկանում է և՛ կտրող հարթությանը, և՛ այս դեմքի հարթությանը (այս թեորեմի առաջին մասը բխում է հարթությանը զուգահեռ ուղիղի հատկությունից, իսկ երկրորդը՝ զուգահեռի լրացուցիչ հատկություններից. պրոյեկցիա):

III. Նոր նյութի ուսուցում (գիտելիքների, հմտությունների ձևավորում)

Կոլեկտիվ խնդրի լուծում բացատրությամբ (սլայդ 4)

Առաջադրանք 1. Կառուցեք DABC քառաեդրոնի հատվածը K є AD, M є DS, E є BC կետերով անցնող հարթությամբ։

Եկեք ուշադիր նայենք գծագրին: Քանի որ K և M կետերը պատկանում են միևնույն հարթությանը, մենք գտնում ենք կտրող հարթության հատումը ADS երեսի հետ. սա KM հատվածն է: M և E կետերը նույնպես գտնվում են նույն հարթության մեջ, ինչը նշանակում է, որ կտրող հարթության և VDS-ի երեսի հատումը ME հատվածն է: Մենք գտնում ենք KM և AC ուղիղների հատման կետը, որոնք գտնվում են նույն հարթության վրա ADS: Այժմ X կետը գտնվում է ABC երեսի վրա, այնուհետև այն կարելի է միացնել E կետին: Մենք գծում ենք ուղիղ XE, որը հատվում է AB-ի հետ P կետում: PE հատվածը կտրող հարթության հատումն է ABC դեմքի հետ, և ԿՊ հատվածը կտրող հարթության հատումն է ABC դեմքի հետ: Հետևաբար, KMER քառանկյունը մեր ցանկալի հատվածն է: Լուծումը գրանցեք ձեր նոթատետրում.

Լուծում.

KM = α ∩ ADS

ME = α ∩ VDS

X = KM ∩ AC

P = XE ∩ AB

PE = α ∩ ABC

KR = α ∩ ADV

KMER - պահանջվող հատված

Առաջադրանք 2. (սլայդ 5)

Կառուցեք DABC քառաեդրոնի մի հատված K = ABC, M = VDS, N = AD կետերով անցնող հարթությամբ:

Դիտարկենք երկու կետերի կանխատեսումները։ Տետրաեդրոնում կետերի կանխատեսումները հայտնաբերվում են գագաթից մինչև բազային հարթություն, այսինքն. M→M 1 , N→A. NM և AM ուղիղների հատման կետը գտնելը 1 կետ X. Այս կետը պատկանում է կտրող հարթությանը, քանի որ այն գտնվում է NM ուղիղ գծի վրա, պատկանում է ABC հարթությանը, քանի որ այն գտնվում է AM ուղիղ գծի վրա: 1 . Սա նշանակում է, որ այժմ ABC հարթությունում մենք ունենք երկու կետ, որոնք կարելի է միացնել, ստանում ենք ուղիղ KX: Ուղիղ գիծը հատում է BC կողմը L կետում, իսկ AB կողմը H կետում: ABC դեմքով մենք գտնում ենք հատման գիծը, այն անցնում է H և K կետերով, սա NL է: ABP դեմքով հատման գիծը НN է, VDS երեսում մենք խաչմերուկի գիծը գծում ենք L և M կետերի միջով - սա LQ է, իսկ ADS երեսում մենք ստանում ենք NQ հատվածը: Քառանկյուն HNQL-ը պահանջվող հատվածն է:

Լուծում

M → M 1 N → Ա

X = NM ∩ AM 1

L = KX ∩ մ.թ.ա

H = KX ∩ AB

НL = α ∩ АВС, К є НL

НN = α ∩ АВД,

LQ = α ∩ VDS, М є LQ

NQ = α ∩ ADS

HNQL – պահանջվող բաժին

IV. Գիտելիքների համախմբում

Խնդրի լուծում հետագա ստուգմամբ

Առաջադրանք 3. (սլայդ 6)

Կառուցե՛ք DAWS քառաեդրոնի հատվածը K є BC, M є ADV, N є VDS կետերով անցնող հարթությամբ։

Լուծում

1. Մ → Մ 1 , N → N 1

X = NM ∩ N 1 Մ 1

R = KX ∩ AB

RL = α ∩ АВД, М є RL

KR = α ∩ VDS, N є KR

LP = α ∩ ADS

RLPK - պահանջվող բաժին

V. Անկախ աշխատանք (ըստ տարբերակների)

(սլայդ 7)

Առաջադրանք 4. Կառուցեք DABC քառաեդրոնի մի հատված M = AB, N = AC, K = AD կետերով անցնող հարթությամբ:

Լուծում

KM = α ∩ AVD,

МN = α ∩ АВС,

KN = α ∩ ADS

KMN – պահանջվող բաժին

Առաջադրանք 5. Կառուցեք DABC քառաեդրոնի մի հատված M = AB, K = DS, N = DV կետերով անցնող հարթությամբ:

Լուծում

MN = α ∩ AVD

NK = α ∩ VDS

X = NK ∩ մ.թ.ա

P = AC ∩ MX

RK = α ∩ ADS

MNKP - պահանջվող բաժին

Առաջադրանք 6. Կառուցեք DABC քառաեդրոնի մի հատված M = ABC, K = VD, N = DS կետերով անցնող հարթությամբ:

Լուծում

KN = α ∩ ICE

Х = КN ∩ ВС

T = MX ∩ AVR = TX ∩ AC

RT = α ∩ ABC, M є RT

PN = α ∩ ADS

TP N K – պահանջվող բաժին

VI. Դասի ամփոփում.

(սլայդ 8)

Այսպիսով, այսօր մենք սովորեցինք, թե ինչպես կարելի է կառուցել ամենապարզ խնդիրները քառանիստ հատվածների վրա: Հիշեցնեմ, որ բազմանկյունի հատվածը բազմանկյուն է, որը ստացվում է բազմանկյունի որոշակի հարթության հետ հատման արդյունքում։ Ինքնաթիռը ինքնին կոչվում է կտրող ինքնաթիռ: Կառուցել հատված նշանակում է որոշել, թե որ եզրերն է հատվում կտրող հարթությունը, ստացված հատվածի տեսակը և կտրող հարթության հատման կետերի ճշգրիտ դիրքը այդ եզրերի հետ: Այսինքն՝ այն նպատակները, որոնք դրված էին դասում, իրականացվեցին։

VII. Տնային աշխատանք.

(սլայդ 9)

Գործնական աշխատանք «Կառուցել քառաեդրոնի հատվածներ» էլեկտրոնային կամ թղթային տարբերակով: (Յուրաքանչյուրին տրվել է անհատական ​​առաջադրանք