Ինչպես գտնել վեկտորի կեսի կոորդինատները: Վեկտորներ կեղծամների համար. Գործողություններ վեկտորներով. Վեկտորային կոորդինատներ. Ամենապարզ խնդիրները վեկտորների հետ. Հատվածի միջին հատվածի կոորդինատների որոշում նրա ծայրերի շառավղային վեկտորների կոորդինատների միջոցով

Վերջապես ձեռքս ընկավ մի ծավալուն և երկար սպասված թեմայի վրա վերլուծական երկրաչափություն. Նախ, մի փոքր բարձրագույն մաթեմատիկայի այս բաժնի մասին…. Անշուշտ, դուք հիմա հիշեցիք դպրոցական երկրաչափության դասընթացը բազմաթիվ թեորեմներով, դրանց ապացույցներով, գծագրերով և այլն: Ինչ թաքցնել, ուսանողների զգալի մասի համար չսիրված և հաճախ անհասկանալի թեմա: Անալիտիկ երկրաչափությունը, տարօրինակ կերպով, կարող է թվալ ավելի հետաքրքիր և հասանելի: Ի՞նչ է նշանակում «վերլուծական» ածականը: Անմիջապես մտքիս են գալիս երկու կնքված մաթեմատիկական շրջադարձեր՝ «լուծման գրաֆիկական մեթոդ» և «լուծման վերլուծական մեթոդ»։ Գրաֆիկական մեթոդ, իհարկե, կապված է գրաֆիկների, գծագրերի կառուցման հետ։ Վերլուծականնույնը մեթոդներառում է խնդիրների լուծում գերակշռողհանրահաշվական գործողությունների միջոցով: Այս առումով, վերլուծական երկրաչափության գրեթե բոլոր խնդիրների լուծման ալգորիթմը պարզ և թափանցիկ է, հաճախ բավական է ճշգրիտ կիրառել անհրաժեշտ բանաձևերը, և պատասխանը պատրաստ է: Ոչ, իհարկե, առանց գծագրերի ամենևին էլ չի լինի, բացի այդ, նյութը ավելի լավ հասկանալու համար կփորձեմ դրանք անհրաժեշտությունից ավել բերել։

Երկրաչափության դասերի բաց դասընթացը չի հավակնում տեսական ամբողջականության, այն ուղղված է գործնական խնդիրների լուծմանը։ Դասախոսություններիս մեջ կներառեմ միայն այն, ինչը, իմ տեսանկյունից, կարևոր է գործնական առումով։ Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է ավելի ամբողջական հղում որևէ ենթաբաժնի վերաբերյալ, խորհուրդ եմ տալիս հետևյալ բավականին մատչելի գրականությունը.

1) Մի բան, որը, առանց կատակի, ծանոթ է մի քանի սերունդների. Երկրաչափության դպրոցական դասագիրք, հեղինակները - Լ.Ս. Աթանասյանը և ընկերությունը. Դպրոցի հանդերձարանի այս կախիչը արդեն դիմացել է 20 (!) վերաթողարկման, ինչը, իհարկե, սահմանը չէ։

2) Երկրաչափություն 2 հատորով. Հեղինակները Լ.Ս. Աթանասյան, Բազիլև Վ.Տ.. Սա գրականություն է բարձրագույն կրթության համար, ձեզ պետք կգա առաջին հատորը. Հազվադեպ կատարվող առաջադրանքները կարող են դուրս մնալ իմ տեսադաշտից, և ձեռնարկը անգնահատելի օգնություն կլինի:

Երկու գրքերն էլ անվճար են առցանց ներբեռնելու համար: Բացի այդ, կարող եք օգտագործել իմ արխիվը պատրաստի լուծումներով, որոնք կարող եք գտնել էջում Ներբեռնեք բարձրագույն մաթեմատիկայի օրինակներ.

Գործիքներից ես կրկին առաջարկում եմ իմ սեփական զարգացումը. ծրագրային փաթեթվերլուծական երկրաչափության վրա, որը մեծապես կհեշտացնի կյանքը և շատ ժամանակ կխնայի:

Ենթադրվում է, որ ընթերցողը ծանոթ է հիմնական երկրաչափական հասկացություններին և պատկերներին՝ կետ, ուղիղ, հարթություն, եռանկյուն, զուգահեռագիծ, զուգահեռ գագաթ, խորանարդ և այլն։ Ցանկալի է հիշել որոշ թեորեմներ, գոնե Պյութագորասի թեորեմը, բարև կրկնողներ)

Եվ հիմա մենք հաջորդաբար կդիտարկենք՝ վեկտորի հասկացությունը, վեկտորներով գործողություններ, վեկտորային կոորդինատներ: Ավելին, ես խորհուրդ եմ տալիս կարդալ ամենակարևոր հոդվածը Վեկտորների կետային արտադրյալ, Ինչպես նաեւ Վեկտորների վեկտոր և խառը արտադրյալ. Տեղական խնդիրն ավելորդ չի լինի՝ այս առումով հատվածի բաժանում։ Վերոնշյալ տեղեկատվության հիման վրա կարող եք հարթության ուղիղ գծի հավասարումը-ից լուծումների ամենապարզ օրինակները, ինչը թույլ կտա սովորել, թե ինչպես լուծել երկրաչափության խնդիրները. Հետևյալ հոդվածները նույնպես օգտակար են. Ինքնաթիռի հավասարումը տարածության մեջ, Ուղիղ գծի հավասարումներ տարածության մեջ, Հիմնական խնդիրներ ուղիղի և հարթության վրա, անալիտիկ երկրաչափության այլ բաժիններ։ Բնականաբար, ճանապարհին կդիտարկվեն ստանդարտ առաջադրանքներ։

Վեկտորի հասկացությունը. ազատ վեկտոր

Նախ, եկեք կրկնենք վեկտորի դպրոցական սահմանումը: Վեկտորկանչեց ուղղորդվածհատված, որի համար նշվում են դրա սկիզբը և ավարտը.

Այս դեպքում հատվածի սկիզբը կետն է, հատվածի վերջը՝ կետը: Վեկտորն ինքնին նշանակվում է . Ուղղությունէական է, եթե սլաքը վերադասավորես հատվածի մյուս ծայրին, կստանաս վեկտոր, և սա արդեն բոլորովին այլ վեկտոր. Վեկտոր հասկացությունը հարմար է նույնացնել ֆիզիկական մարմնի շարժման հետ. պետք է խոստովանել, որ ինստիտուտի դռներից մտնելը կամ ինստիտուտի դռներից դուրս գալը բոլորովին այլ բաներ են։

Հարմար է հարթության առանձին կետերը, տարածությունը դիտարկել այսպես կոչված զրոյական վեկտոր. Նման վեկտորն ունի նույն վերջն ու սկիզբը։

!!! Նշում: Այստեղ և ներքևում կարող եք ենթադրել, որ վեկտորները գտնվում են նույն հարթության մեջ կամ կարող եք ենթադրել, որ դրանք տեղակայված են տարածության մեջ. ներկայացված նյութի էությունը վավեր է և՛ հարթության, և՛ տարածության համար:

Նշումներ:Շատերն անմիջապես ուշադրություն հրավիրեցին նշման մեջ առանց նետի փայտի վրա և ասացին, որ իրենք նաև սլաք են դրել վերևում: Ճիշտ է, կարելի է սլաքով գրել՝ , բայց թույլատրելի է և ձայնագրություն, որը ես կօգտագործեմ ավելի ուշ. Ինչո՞ւ։ Ըստ երևույթին, նման սովորություն է ձևավորվել գործնական նկատառումներից ելնելով, դպրոցում և համալսարանում իմ հրաձիգները չափազանց բազմազան են և բրդոտ: Ուսումնական գրականության մեջ նրանք երբեմն ընդհանրապես չեն անհանգստանում սեպագրերով, այլ ընդգծում են տառերը՝ ընդգծված տառերով՝ դրանով իսկ ակնարկելով, որ սա վեկտոր է։

Սա էր ոճը, իսկ հիմա վեկտորները գրելու ձևերի մասին.

1) Վեկտորները կարելի է գրել երկու մեծ լատինատառ տառերով.
և այլն: Մինչդեռ առաջին նամակը անպայմաննշանակում է վեկտորի մեկնարկային կետը, իսկ երկրորդ տառը՝ վեկտորի վերջնակետը։

2) Վեկտորները գրվում են նաև փոքր լատինատառ տառերով.
Մասնավորապես, մեր վեկտորը հակիրճության համար կարող է վերանշանակվել փոքր լատինատառով:

Երկարությունկամ մոդուլՈչ զրոյական վեկտորը կոչվում է հատվածի երկարություն: Զրո վեկտորի երկարությունը զրո է։ Տրամաբանորեն.

Վեկտորի երկարությունը նշվում է մոդուլի նշանով.

Ինչպես գտնել վեկտորի երկարությունը, մենք կսովորենք (կամ կկրկնենք՝ ում համար ինչպես) մի փոքր ուշ։

Դա վեկտորի մասին տարրական տեղեկատվություն էր, որը ծանոթ էր բոլոր դպրոցականներին։ Անալիտիկ երկրաչափության մեջ այսպես կոչված ազատ վեկտոր.

Եթե ​​դա բավականին պարզ է - վեկտորը կարելի է նկարել ցանկացած կետից:

Նման վեկտորները մենք նախկինում անվանում էինք հավասար (հավասար վեկտորների սահմանումը ստորև կտրվի), բայց զուտ մաթեմատիկական տեսանկյունից սա ՆՈՒՅՆ ՎԵԿՏՈՐՆ է կամ. ազատ վեկտոր. Ինչու՞ անվճար: Որովհետև խնդիրների լուծման ընթացքում դուք կարող եք «կցել» այս կամ այն ​​«դպրոցական» վեկտորը ձեզ անհրաժեշտ հարթության կամ տարածության ՑԱՆԿԱՑԱԾ կետին: Սա շատ հիանալի սեփականություն է: Պատկերացրեք կամայական երկարության և ուղղության ուղղորդված հատված. այն կարելի է «կլոնավորել» անսահման թվով անգամներ և տարածության ցանկացած կետում, իրականում այն ​​գոյություն ունի ԱՄԵՆ ՈՒՐ: Ուսանողի այսպիսի ասացվածք կա՝ յուրաքանչյուր դասախոս f ** u-ում վեկտորում. Ի վերջո, դա պարզապես սրամիտ ոտանավոր չէ, ամեն ինչ գրեթե ճիշտ է. այնտեղ նույնպես կարող է կցվել ուղղորդված հատված: Բայց մի շտապեք ուրախանալ, ուսանողներն իրենք ավելի հաճախ են տառապում =)

Այսպիսով, ազատ վեկտոր- սա շատ նույնական ուղղորդված հատվածներ: Պարբերության սկզբում տրված վեկտորի դպրոցական սահմանումը. «Ուղղորդված հատվածը կոչվում է վեկտոր ...», ենթադրում է. կոնկրետուղղորդված հատված՝ վերցված տվյալ բազմությունից, որը կցված է հարթության կամ տարածության որոշակի կետին։

Հարկ է նշել, որ ֆիզիկայի տեսակետից ազատ վեկտոր հասկացությունն ընդհանրապես ճիշտ չէ, և կարևոր է կիրառման կետը։ Իսկապես, նույն ուժի ուղիղ հարվածը քթին կամ ճակատին բավական է, որպեսզի իմ հիմար օրինակը զարգանա, իր հետ բերում է տարբեր հետևանքներ։ Այնուամենայնիվ, ոչ անվճարվեկտորներ հայտնաբերվում են նաև վիշմատի ընթացքում (մի գնա այնտեղ :)):

Գործողություններ վեկտորներով. Վեկտորների համայնություն

Դպրոցական երկրաչափության դասընթացում դիտարկվում են վեկտորներով մի շարք գործողություններ և կանոններ. գումարում ըստ եռանկյունու կանոնի, գումարում ըստ զուգահեռագծի կանոնի, վեկտորների տարբերության կանոն, վեկտորի բազմապատկում թվով, վեկտորների սկալյար արտադրյալ և այլն։Որպես սերմ մենք կրկնում ենք երկու կանոն, որոնք հատկապես կարևոր են վերլուծական երկրաչափության խնդիրների լուծման համար։

Վեկտորների գումարման կանոն՝ ըստ եռանկյունների կանոնի

Դիտարկենք երկու կամայական ոչ զրոյական վեկտորներ և.

Պահանջվում է գտնել այս վեկտորների գումարը: Հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ բոլոր վեկտորները համարվում են ազատ, մենք հետաձգում ենք վեկտորը վերջվեկտոր :

Վեկտորների գումարը վեկտորն է: Կանոնն ավելի լավ հասկանալու համար խորհուրդ է տրվում դրա մեջ ֆիզիկական իմաստ դնել. թող ինչ-որ մարմին ճանապարհ անցնի վեկտորի երկայնքով, այնուհետև վեկտորի երկայնքով: Այնուհետև վեկտորների գումարը ստացված ուղու վեկտորն է, որը սկսվում է մեկնման կետից և ավարտվում ժամանման կետում: Նմանատիպ կանոն է ձևակերպվում ցանկացած թվով վեկտորների գումարի համար: Ինչպես ասում են, մարմինը կարող է գնալ իր ճանապարհը խիստ զիգզագով, կամ միգուցե ավտոպիլոտով` ստացված գումարի վեկտորի երկայնքով:

Ի դեպ, եթե վեկտորը հետաձգվի ից սկսելվեկտոր, ապա ստանում ենք համարժեքը զուգահեռագծի կանոնվեկտորների ավելացում.

Նախ՝ վեկտորների համակողմանիության մասին։ Երկու վեկտորները կոչվում են համագիծեթե նրանք ընկած են նույն կամ զուգահեռ գծերի վրա: Կոպիտ ասած՝ խոսքը զուգահեռ վեկտորների մասին է։ Բայց դրանց առնչությամբ միշտ օգտագործվում է «collinear» ածականը։

Պատկերացրեք երկու համագիծ վեկտոր: Եթե ​​այս վեկտորների սլաքներն ուղղված են նույն ուղղությամբ, ապա այդպիսի վեկտորները կոչվում են համատեղ ուղղորդված. Եթե ​​սլաքները նայում են տարբեր ուղղություններով, ապա վեկտորները կլինեն հակառակ ուղղված.

Նշումներ:վեկտորների համակցվածությունը գրվում է սովորական զուգահեռականության պատկերակով.

աշխատանքՈչ զրոյական վեկտորի թվով վեկտորը, որի երկարությունը հավասար է, իսկ վեկտորները և ուղղորդված են դեպի և հակառակ ուղղությամբ:

Վեկտորը թվով բազմապատկելու կանոնն ավելի հեշտ է հասկանալ նկարով.

Մենք ավելի մանրամասն հասկանում ենք.

1) ուղղություն. Եթե ​​բազմապատկիչը բացասական է, ապա վեկտորը փոխում է ուղղությունըդեպի հակառակը.

2) երկարությունը. Եթե ​​գործոնը պարունակվում է կամ , ապա վեկտորի երկարությունը նվազում է. Այսպիսով, վեկտորի երկարությունը երկու անգամ փոքր է վեկտորի երկարությունից: Եթե ​​մոդուլային բազմապատկիչը մեկից մեծ է, ապա վեկտորի երկարությունը ավելանում էժամանակին.

3) Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ բոլոր վեկտորները համակողմանի են, մինչդեռ մի վեկտորն արտահայտվում է մյուսի միջոցով, օրինակ՝ . Ճիշտ է նաև հակառակըԵթե ​​մի վեկտորը կարող է արտահայտվել մյուսի տեսքով, ապա այդպիսի վեկտորները անպայման համագիծ են: Այս կերպ: եթե վեկտորը բազմապատկենք թվով, կստանանք համագիծ(բնօրինակի համեմատ) վեկտոր.

4) Վեկտորները միակողմանի են: Վեկտորները և նաև միակողմանի են: Առաջին խմբի ցանկացած վեկտոր հակադիր է երկրորդ խմբի ցանկացած վեկտորի:

Ո՞ր վեկտորներն են հավասար:

Երկու վեկտորները հավասար են, եթե դրանք միակողմանի են և ունեն նույն երկարությունը. Նկատի ունեցեք, որ համատեղ ուղղությունը ենթադրում է համագիծ վեկտորներ: Սահմանումը կլինի ոչ ճշգրիտ (ավելորդ), եթե ասեք. «Երկու վեկտորները հավասար են, եթե դրանք համակողմանի են, ուղղորդված են և ունեն նույն երկարությունը»:

Ազատ վեկտոր հասկացության տեսանկյունից հավասար վեկտորները նույն վեկտորն են, որն արդեն քննարկվել է նախորդ պարբերությունում։

Վեկտորային կոորդինատները հարթության վրա և տարածության մեջ

Առաջին կետը հարթության վրա վեկտորները դիտարկելն է: Գծե՛ք դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ և մի կողմ դրե՛ք սկզբնակետից միայնակվեկտորներ և.

Վեկտորներ և ուղղանկյուն. Ուղղանկյուն = Ուղղահայաց: Խորհուրդ եմ տալիս կամաց-կամաց ընտելանալ տերմիններին. զուգահեռության և ուղղահայացության փոխարեն օգտագործում ենք համապատասխանաբար բառերը. collinearityԵվ ուղղանկյունություն.

Նշանակում:Վեկտորների ուղղանկյունությունը գրվում է սովորական ուղղահայաց նշանով, օրինակ՝ .

Դիտարկվող վեկտորները կոչվում են կոորդինատային վեկտորներկամ օրթս. Այս վեկտորները ձևավորվում են հիմքմակերեսի վրա. Թե որն է հիմքը, կարծում եմ, շատերի համար ինտուիտիվ պարզ է, ավելի մանրամասն տեղեկություններ կարելի է գտնել հոդվածում Վեկտորների գծային (ոչ) կախվածություն. Վեկտորային հիմքՊարզ բառերով ասած, կոորդինատների հիմքն ու ծագումը սահմանում են ամբողջ համակարգը. սա մի տեսակ հիմք է, որի վրա եռում է լիարժեք և հարուստ երկրաչափական կյանքը:

Երբեմն կառուցված հիմքը կոչվում է օրթոնորմալհարթության հիմքը՝ «օրթո» - քանի որ կոորդինատների վեկտորները ուղղանկյուն են, «նորմալացված» ածականը նշանակում է միավոր, այսինքն. հիմքի վեկտորների երկարությունները հավասար են մեկի։

Նշանակում:հիմքը սովորաբար գրվում է փակագծերում, որի ներսում խիստ կարգովթվարկված են հիմքի վեկտորները, օրինակ՝ . Կոորդինատների վեկտորներ դա արգելված էփոխանակել տեղերը.

Ցանկացածհարթության վեկտոր միակ ելքըարտահայտված որպես.
, որտեղ - թվեր, որոնք կոչվում են վեկտորային կոորդինատներայս հիմքում։ Բայց ինքնին արտահայտությունը կանչեց վեկտորի տարրալուծումհիմք .

Մատուցվող ընթրիք.

Սկսենք այբուբենի առաջին տառից. Գծանկարը հստակ ցույց է տալիս, որ վեկտորը հիմքի առումով քայքայելիս օգտագործվում են հենց նոր դիտարկվածները.
1) վեկտորի բազմապատկման կանոնը թվով և ;
2) վեկտորների գումարում ըստ եռանկյունու կանոնի՝ .

Այժմ մտովի մի կողմ դրեք վեկտորը հարթության ցանկացած այլ կետից: Միանգամայն ակնհայտ է, որ նրա կոռուպցիան «անխնա կհետևի իրեն»։ Ահա, վեկտորի ազատությունը՝ վեկտորը «ամեն ինչ տանում է քեզ հետ»։ Այս հատկությունը, իհարկե, ճիշտ է ցանկացած վեկտորի համար: Զավեշտալի է, որ հիմքի (անվճար) վեկտորներն իրենք պետք չէ մի կողմ դնել սկզբնաղբյուրից, մեկը կարելի է նկարել, օրինակ, ներքևի ձախ մասում, իսկ մյուսը վերևի աջ կողմում, և դրանից ոչինչ չի փոխվի: Ճիշտ է, դա անելու կարիք չունեք, քանի որ ուսուցիչը նույնպես ինքնատիպություն կցուցաբերի և ձեզ «անցում» կկազմի անսպասելի վայրում:

Վեկտորները, ճշգրիտ ցույց են տալիս վեկտորը թվով բազմապատկելու կանոնը, վեկտորը ուղղորդվում է բազային վեկտորի հետ, վեկտորն ուղղված է հիմքի վեկտորի հակառակը: Այս վեկտորների համար կոորդինատներից մեկը հավասար է զրոյի, այն կարելի է մանրակրկիտ գրել հետևյալ կերպ.


Իսկ հիմքի վեկտորները, ի դեպ, այսպիսին են՝ (իրականում արտահայտվում են իրենց միջոցով)։

Եւ, վերջապես: , . Ի դեպ, ի՞նչ է վեկտորային հանումը, և ինչու ես ձեզ չասացի հանման կանոնի մասին։ Ինչ-որ տեղ գծային հանրահաշիվում, չեմ հիշում որտեղ, նշել եմ, որ հանումը գումարման հատուկ դեպք է։ Այսպիսով, «de» և «e» վեկտորների ընդլայնումները հանգիստ գրվում են որպես գումար. . Հետևեք գծագրին՝ տեսնելու, թե որքան լավ է աշխատում վեկտորների հին լավ գումարումը, ըստ եռանկյունու կանոնի, այս իրավիճակներում:

Համարվում է ձևի տարրալուծում երբեմն կոչվում է վեկտորային տարրալուծում համակարգում կամ(այսինքն՝ միավոր վեկտորների համակարգում): Բայց սա վեկտոր գրելու միակ միջոցը չէ, տարածված է հետևյալ տարբերակը.

Կամ հավասարության նշանով.

Հիմքի վեկտորներն իրենք գրված են հետևյալ կերպ

Այսինքն՝ վեկտորի կոորդինատները նշվում են փակագծերում։ Գործնական առաջադրանքներում օգտագործվում են ձայնագրման բոլոր երեք տարբերակները:

Ես կասկածում էի՝ խոսելու մասին, բայց այնուամենայնիվ կասեմ. վեկտորի կոորդինատները չեն կարող վերադասավորվել. Խստորեն առաջին տեղումգրեք կոորդինատը, որը համապատասխանում է միավորի վեկտորին, խստորեն երկրորդ տեղումգրեք կոորդինատը, որը համապատասխանում է միավորի վեկտորին: Իրոք, և երկու տարբեր վեկտորներ են:

Մենք պարզեցինք ինքնաթիռի կոորդինատները: Հիմա հաշվի առեք վեկտորները եռաչափ տարածության մեջ, այստեղ ամեն ինչ գրեթե նույնն է: Կավելացվի ևս մեկ կոորդինատ։ Դժվար է կատարել եռաչափ գծագրեր, ուստի ես կսահմանափակվեմ մեկ վեկտորով, որը պարզության համար կհետաձգեմ սկզբնաղբյուրից.

Ցանկացած 3D տիեզերական վեկտոր միակ ելքըընդլայնել օրթոնորմալ հիմունքներով.
, որտեղ են վեկտորի (թվի) կոորդինատները տրված հիմքում։

Օրինակ նկարից. . Տեսնենք, թե այստեղ ինչպես են աշխատում վեկտորի գործողության կանոնները: Նախ՝ վեկտորը բազմապատկելով թվով (կարմիր սլաք), (կանաչ սլաք) և (կարմիր սլաք): Երկրորդ, ահա մի քանի, այս դեպքում երեք, վեկտորներ ավելացնելու օրինակ. Գումարի վեկտորը սկսվում է մեկնարկային կետից (վեկտորի սկիզբը) և ավարտվում է վերջնական ժամանման կետում (վեկտորի վերջում):

Եռաչափ տարածության բոլոր վեկտորները, իհարկե, նույնպես ազատ են, փորձեք մտովի հետաձգել վեկտորը ցանկացած այլ կետից, և կհասկանաք, որ դրա ընդլայնումը «մնում է իր հետ»։

Ինքնաթիռի գործի նման, բացի գրելուց լայնորեն կիրառվում են փակագծերով տարբերակները՝ կամ .

Եթե ​​ընդլայնման մեջ բացակայում է մեկ (կամ երկու) կոորդինատային վեկտոր, ապա փոխարենը դրվում են զրոներ: Օրինակներ.
վեկտոր (մանրամասն ) – գրել;
վեկտոր (մանրամասն ) – գրել;
վեկտոր (մանրամասն ) – գրիր։

Հիմնական վեկտորները գրվում են հետևյալ կերպ.

Այստեղ է, թերեւս, ամբողջ տեսական նվազագույն գիտելիքները, որոնք անհրաժեշտ են վերլուծական երկրաչափության խնդիրների լուծման համար։ Թերևս չափազանց շատ տերմիններ և սահմանումներ կան, ուստի ես խորհուրդ եմ տալիս խաբեբաներին նորից կարդալ և ըմբռնել այս տեղեկատվությունը: Եվ ցանկացած ընթերցողի համար օգտակար կլինի ժամանակ առ ժամանակ անդրադառնալ հիմնական դասին՝ նյութի ավելի լավ յուրացման համար։ Համագծայինություն, ուղղանկյունություն, օրթոնորմալ հիմք, վեկտորի տարրալուծում - այս և այլ հասկացությունները հաճախ կօգտագործվեն հետևյալում: Ես նշում եմ, որ կայքի նյութերը բավարար չեն տեսական թեստ անցնելու համար, երկրաչափության կոլոկվիում, քանի որ ես զգուշորեն ծածկագրում եմ բոլոր թեորեմները (բացի առանց ապացույցների)՝ ի վնաս ներկայացման գիտական ​​ոճի, բայց պլյուս ձեր ըմբռնման համար։ առարկայի. Մանրամասն տեսական տեղեկատվության համար խնդրում եմ խոնարհվել պրոֆեսոր Աթանասյանի առաջ։

Այժմ անցնենք գործնական մասին.

Անալիտիկ երկրաչափության ամենապարզ խնդիրները.
Գործողություններ վեկտորների հետ կոորդինատներում

Առաջադրանքները, որոնք կքննարկվեն, շատ ցանկալի է սովորել, թե ինչպես լուծել դրանք ամբողջությամբ ավտոմատ կերպով, և բանաձևերը. անգիր անել, դիտմամբ էլ մի հիշեք, իրենք իրենք կհիշեն =) Սա շատ կարևոր է, քանի որ անալիտիկ երկրաչափության մյուս խնդիրները հիմնված են ամենապարզ տարրական օրինակների վրա, և ձանձրալի կլինի հավելյալ ժամանակ հատկացնել լոմբարդ ուտելուն։ Շապիկի վերևի կոճակները պետք չէ ամրացնել, շատ բաներ քեզ ծանոթ են դպրոցից։

Նյութի ներկայացումը կանցնի զուգահեռ ընթացքով՝ և՛ հարթության, և՛ տիեզերքի համար: Այն պատճառով, որ բոլոր բանաձեւերը ... դուք ինքներդ կտեսնեք:

Ինչպե՞ս գտնել երկու կետ տրված վեկտորը:

Եթե ​​հարթության երկու կետերը տրված են, ապա վեկտորն ունի հետևյալ կոորդինատները.

Եթե ​​տարածության երկու կետ տրված է, ապա վեկտորն ունի հետևյալ կոորդինատները.

այսինքն. վեկտորի վերջի կոորդինատներիցպետք է հանել համապատասխան կոորդինատները վեկտորային սկիզբ.

Առաջադրանք.Նույն կետերի համար գրի՛ր վեկտորի կոորդինատները գտնելու բանաձևերը։ Բանաձևեր դասի վերջում.

Օրինակ 1

Տրված է հարթության երկու կետ և . Գտեք վեկտորի կոորդինատները

Լուծում:ըստ համապատասխան բանաձևի.

Որպես այլընտրանք, կարող է օգտագործվել հետևյալ նշումը.

Էսթետները կորոշեն այսպես.

Անձամբ ես սովոր եմ ձայնագրության առաջին տարբերակին։

Պատասխան.

Ըստ պայմանի՝ գծանկար չպահանջվեց կառուցել (որը բնորոշ է վերլուծական երկրաչափության խնդիրներին), բայց դեբիլներին որոշ կետեր բացատրելու համար ես շատ ծույլ չեմ լինի.

Պետք է հասկանալ կետային կոորդինատների և վեկտորի կոորդինատների միջև տարբերությունը:

Կետերի կոորդինատներըուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում սովորական կոորդինատներն են: Կարծում եմ, բոլորը գիտեն, թե ինչպես գծագրել կետերը կոորդինատային հարթության վրա 5-6-րդ դասարանից սկսած: Յուրաքանչյուր կետ ինքնաթիռում խիստ տեղ ունի, և դրանք ոչ մի տեղ չեն կարող տեղափոխվել։

Նույն վեկտորի կոորդինատներըայս դեպքում հիմքի նկատմամբ դրա ընդլայնումն է։ Ցանկացած վեկտոր ազատ է, հետևաբար, ցանկության դեպքում կամ անհրաժեշտության դեպքում, մենք կարող ենք հեշտությամբ հետաձգել այն հարթության որևէ այլ կետից (վերանվանելով այն, օրինակ, միջոցով, որպեսզի շփոթություն չառաջանա): Հետաքրքիր է, որ վեկտորների համար ընդհանրապես չի կարելի առանցքներ կառուցել՝ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ, անհրաժեշտ է միայն հիմք, այս դեպքում՝ հարթության օրթոնորմալ հիմք։

Կետերի կոորդինատների և վեկտորի կոորդինատների գրառումները կարծես նման են՝ , և կոորդինատների զգացումբացարձակապես տարբեր, և դուք պետք է լավ գիտակցեք այս տարբերությունը: Այս տարբերությունը, իհարկե, ճիշտ է նաև տիեզերքի համար։

Տիկնայք և պարոնայք, մենք լցնում ենք մեր ձեռքերը.

Օրինակ 2

ա) Տրված միավորներ և . Գտեք վեկտորներ և .
բ) Տրված են միավորներ Եվ . Գտեք վեկտորներ և .
գ) Տրված միավորներ և . Գտեք վեկտորներ և .
դ) Տրված են միավորներ: Գտեք վեկտորներ .

Թերևս բավական է։ Սրանք օրինակներ են անկախ որոշման համար, աշխատեք չանտեսել դրանք, դա կտա արդյունք ;-): Գծագրերը պարտադիր չեն: Լուծումներ և պատասխաններ դասի վերջում:

Ի՞նչն է կարևոր անալիտիկ երկրաչափության խնդիրների լուծման համար:Կարևոր է չափազանց զգույշ լինել, որպեսզի խուսափես «երկուսին գումարած երկու հավասար է զրոյի» սխալից: Նախապես ներողություն եմ խնդրում, եթե սխալվել եմ =)

Ինչպե՞ս գտնել հատվածի երկարությունը:

Երկարությունը, ինչպես արդեն նշվել է, նշվում է մոդուլի նշանով։

Եթե ​​տրված են հարթության երկու կետերը, ապա հատվածի երկարությունը կարելի է հաշվարկել բանաձևով

Եթե ​​տրված են երկու կետ տարածության մեջ, ապա հատվածի երկարությունը կարելի է հաշվարկել բանաձևով

Նշում: Բանաձևերը ճիշտ կմնան, եթե համապատասխան կոորդինատները փոխվեն՝ և , բայց առաջին տարբերակն ավելի ստանդարտ է։

Օրինակ 3

Լուծում:ըստ համապատասխան բանաձևի.

Պատասխան.

Պարզության համար ես նկար կկատարեմ

Բաժին - դա վեկտոր չէ, և այն, իհարկե, ոչ մի տեղ չես կարող տեղափոխել։ Բացի այդ, եթե գծագրությունն ավարտեք մասշտաբով՝ 1 միավոր: \u003d 1 սմ (երկու տետրադ բջիջ), այնուհետև պատասխանը կարելի է ստուգել սովորական քանոնով՝ ուղղակիորեն չափելով հատվածի երկարությունը:

Այո, լուծումը կարճ է, բայց դրա մեջ կան մի քանի կարևոր կետեր, որոնք ես կցանկանայի պարզաբանել.

Նախ, պատասխանում մենք սահմանել ենք չափը՝ «միավորներ»: Վիճակը չի ասում, թե ԻՆՉ Է դա, միլիմետր, սանտիմետր, մետր կամ կիլոմետր: Հետևաբար, ընդհանուր ձևակերպումը կլինի մաթեմատիկորեն իրավասու լուծում. «միավորներ» - կրճատված որպես «միավորներ»:

Երկրորդ՝ կրկնենք դպրոցական նյութը, որն օգտակար է ոչ միայն դիտարկվող խնդրի համար.

ուշադրություն դարձնել կարևոր տեխնիկական հնարք – արմատի տակից հանելով բազմապատկիչը. Հաշվարկների արդյունքում մենք ստացանք արդյունքը, և լավ մաթեմատիկական ոճը ներառում է գործոնը արմատի տակից հանելը (եթե հնարավոր է): Գործընթացը ավելի մանրամասն այսպիսի տեսք ունի. . Իհարկե, պատասխանը ձևի մեջ թողնելը սխալ չի լինի, բայց դա միանշանակ թերություն է և ծանրակշիռ փաստարկ ուսուցչի կողմից:

Ահա այլ սովորական դեպքեր.

Հաճախ արմատի տակ բավականաչափ մեծ թիվ է ստացվում, օրինակ. Ինչպե՞ս լինել նման դեպքերում: Հաշվիչի վրա մենք ստուգում ենք, թե արդյոք թիվը բաժանվում է 4: Այո, ամբողջությամբ բաժանել, այսպես. . Իսկ միգուցե թիվը կրկին կարելի՞ է բաժանել 4-ի։ . Այս կերպ: . Թվի վերջին թվանշանը կենտ է, ուստի երրորդ անգամ 4-ի բաժանելն ակնհայտորեն հնարավոր չէ։ Փորձում ենք բաժանել ինը. Որպես արդյունք:
Պատրաստ.

Արդյունք:եթե արմատի տակ մենք ստանում ենք մի ամբողջ թիվ, որը չի կարելի հանել, ապա մենք փորձում ենք արմատի տակից հանել գործակիցը - հաշվիչի վրա ստուգում ենք, թե արդյոք թիվը բաժանվում է 4, 9, 16, 25, 36, 49: և այլն։

Տարբեր խնդիրների լուծման ընթացքում հաճախ արմատներ են հայտնաբերվում, միշտ աշխատեք արմատի տակից գործոններ հանել, որպեսզի խուսափեք ավելի ցածր գնահատականից և ավելորդ անախորժություններից՝ ձեր լուծումները ուսուցչի նկատառման համաձայն վերջնական տեսքի բերելով:

Միաժամանակ կրկնենք արմատների և այլ հզորությունների քառակուսիացումը.

Ընդհանուր ձևով աստիճաններով գործողությունների կանոնները կարելի է գտնել հանրահաշվի դպրոցական դասագրքում, բայց ես կարծում եմ, որ բերված օրինակներից արդեն ամեն ինչ կամ գրեթե ամեն ինչ պարզ է:

Տիեզերքում հատված ունեցող անկախ լուծման առաջադրանք.

Օրինակ 4

Տրված միավորներ և. Գտեք հատվածի երկարությունը:

Լուծում և պատասխան՝ դասի վերջում։

Ինչպե՞ս գտնել վեկտորի երկարությունը:

Եթե ​​տրված է հարթ վեկտոր, ապա դրա երկարությունը հաշվարկվում է բանաձևով.

Եթե ​​տրված է տիեզերական վեկտոր, ապա դրա երկարությունը հաշվարկվում է բանաձևով .

Այս բանաձևերը (ինչպես նաև հատվածի երկարության բանաձևերը) հեշտությամբ ստացվում են՝ օգտագործելով հայտնի Պյութագորասի թեորեմը։

Վեկտորը մեծություն է, որը բնութագրվում է իր թվային արժեքով և ուղղությամբ։ Այլ կերպ ասած, վեկտորը ուղղորդված հատված է: Դիրք վեկտորՏիեզերքում AB-ն տրվում է սկզբնակետի կոորդինատներով վեկտորԱ և վերջնակետերը վեկտորԲ. Մտածեք, թե ինչպես կարելի է որոշել միջինի կոորդինատները վեկտոր.

Հրահանգ

Նախ, եկեք սահմանենք սկզբի և վերջի նշումը վեկտոր. Եթե ​​վեկտորը գրված է որպես AB, ապա A կետը սկիզբն է վեկտոր, իսկ B կետը վերջն է։ Ընդհակառակը, համար վեկտոր BA կետ B սկիզբն է վեկտոր, իսկ Ա կետը վերջն է։ Մեզ տրվի AB վեկտոր՝ սկզբնաղբյուրի կոորդինատներով վեկտոր A = (a1, a2, a3) և վերջ վեկտոր B = (b1, b2, b3): Այնուհետև կոորդինատները վեկտոր AB-ն կլինի հետևյալը՝ AB = (b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3), այսինքն. վերջի կոորդինատից վեկտորպետք է հանել համապատասխան մեկնարկային կոորդինատը վեկտոր. Երկարություն վեկտոր AB (կամ նրա մոդուլը) հաշվարկվում է որպես նրա կոորդինատների քառակուսիների գումարի քառակուսի արմատ՝ |AB| = ?((b1 – a1)^2 + (b2 – a2)^2 + (b3 – a3)^2):

Գտե՛ք այն կետի կոորդինատները, որը միջնակետն է վեկտոր. Նշեք այն O = (o1, o2, o3) տառով: Գտե՛ք միջինի կոորդինատները վեկտորճիշտ այնպես, ինչպես կանոնավոր հատվածի միջնամասի կոորդինատները՝ համաձայն հետևյալ բանաձևերի՝ o1 = (a1 + b1)/2, o2 = (a2 + b2)/2, o3 = (a3 + b3)/2. . Գտնենք կոորդինատները վեկտոր AO: AO = (o1 - a1, o2 - a2, o3 - a3) = ((b1 - a1)/2, (b2 - a2)/2, (b3 - a3)/2):

Դիտարկենք մի օրինակ։ Թող AB վեկտորը տրվի սկզբնաղբյուրի կոորդինատներով վեկտոր A = (1, 3, 5) և վերջ վեկտոր B = (3, 5, 7): Այնուհետև կոորդինատները վեկտոր AB-ը կարող է գրվել որպես AB = (3 - 1, 5 - 3, 7 - 5) = (2, 2, 2): Եկեք գտնենք մոդուլը վեկտորԱԲ՝ |ԱԲ| = ?(4 + 4 + 4) = 2 * ?3. Նշվածի երկարության արժեքը վեկտորկօգնի մեզ հետագայում ստուգել միջինի կոորդինատների ճիշտությունը վեկտոր. Հաջորդը, մենք գտնում ենք O կետի կոորդինատները. O = ((1 + 3)/2, (3 + 5)/2, (5 + 7)/2) = (2, 4, 6): Այնուհետև կոորդինատները վեկտոր AO-ն հաշվարկվում է որպես AO = (2 - 1, 4 - 3, 6 - 5) = (1, 1, 1):

Եկեք ստուգում անենք։ Երկարություն վեկտոր AO = ?(1 + 1 + 1) = ?3. Հիշեցնենք, որ բնօրինակի երկարությունը վեկտորհավասար է 2 * ?3, այսինքն. կեսը վեկտորիրականում հավասար է բնօրինակի երկարության կեսին վեկտոր. Հիմա եկեք հաշվարկենք կոորդինատները վեկտոր OB = (3 - 2, 5 - 4, 7 - 6) = (1, 1, 1): Գտնենք AO և OB վեկտորների գումարը՝ AO + OB = (1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (2, 2, 2) = AB: Հետեւաբար, միջինի կոորդինատները վեկտորճիշտ են հայտնաբերվել։

Օգտակար խորհուրդ

Վեկտորի կեսի կոորդինատները հաշվարկելուց հետո համոզվեք, որ կատարեք առնվազն ամենապարզ ստուգումը` հաշվարկեք վեկտորի երկարությունը և համեմատեք այն այս վեկտորի երկարության հետ:

Այս հոդվածում ես և դուք կսկսենք մեկ «կախարդական փայտիկի» քննարկումը, որը թույլ կտա երկրաչափության բազմաթիվ խնդիրներ հասցնել պարզ թվաբանության: Այս «գավազանը» կարող է շատ ավելի հեշտացնել ձեր կյանքը, հատկապես, երբ դուք անվստահ եք զգում տարածական պատկերներ, հատվածներ և այլն կառուցելիս: Այս ամենը պահանջում է որոշակի երևակայություն և գործնական հմտություններ: Մեթոդը, որը մենք կսկսենք դիտարկել այստեղ, թույլ կտա ձեզ գրեթե ամբողջությամբ վերացվել բոլոր տեսակի երկրաչափական կառույցներից և հիմնավորումներից: Մեթոդը կոչվում է «կոորդինացիոն մեթոդ». Այս հոդվածում մենք կքննարկենք հետևյալ հարցերը.

1. Կոորդինատիվ ինքնաթիռ
2. Կետերը և վեկտորները հարթության վրա
3. Երկու կետից վեկտորի կառուցում
4. Վեկտորի երկարությունը (երկու կետերի միջև հեռավորությունը):
5. Միջին կետի կոորդինատները
6. Վեկտորների կետային արտադրյալ
7. Անկյուն երկու վեկտորների միջև

Կարծում եմ՝ արդեն գուշակեցիք, թե ինչու է կոորդինատային մեթոդն այդպես կոչվում։ Ճիշտ է, այն ստացել է նման անվանում, քանի որ այն գործում է ոչ թե երկրաչափական առարկաների, այլ նրանց թվային բնութագրերով (կոորդինատներով)։ Իսկ ինքնին փոխակերպումը, որը հնարավորություն է տալիս երկրաչափությունից հանրահաշիվ անցնել, բաղկացած է կոորդինատային համակարգի ներդրումից։ Եթե ​​սկզբնական պատկերը հարթ է եղել, ապա կոորդինատները երկչափ են, իսկ եթե պատկերը եռաչափ է, ապա կոորդինատները եռաչափ են։ Այս հոդվածում մենք կքննարկենք միայն երկչափ դեպքը: Եվ հոդվածի հիմնական նպատակն է սովորեցնել ձեզ, թե ինչպես օգտագործել կոորդինատային մեթոդի որոշ հիմնական տեխնիկա (դրանք երբեմն օգտակար են դառնում Պետական ​​միասնական քննության B մասի պլանաչափության խնդիրներ լուծելիս): Այս թեմայի հետևյալ երկու բաժինները նվիրված են C2 խնդիրների լուծման մեթոդների քննարկմանը (ստերեոմետրիայի խնդիր):

Որտեղի՞ց կլիներ տրամաբանական սկսել կոորդինատային մեթոդի քննարկումը: Հավանաբար կոորդինատային համակարգ հասկացությամբ։ Հիշեք, երբ առաջին անգամ հանդիպեցիք նրան: Ինձ թվում է՝ 7-րդ դասարանում, երբ իմացար գծային ֆունկցիայի գոյության մասին, օրինակ. Հիշեցնեմ, որ դուք այն կառուցել եք կետ առ կետ։ Հիշում ես? Դուք ընտրեցիք կամայական թիվ, այն փոխարինեցիք բանաձևով և հաշվարկեցիք այս կերպ. Օրինակ, եթե, ապա, եթե, ապա և այլն: Ի՞նչ եք ստացել արդյունքում: Իսկ դուք կոորդինատներով միավորներ եք ստացել՝ և. Այնուհետև գծեցիք «խաչ» (կոորդինատների համակարգ), դրա վրա ընտրեցիք սանդղակը (քանի բջիջ կունենաք որպես մեկ հատված) և դրա վրա նշեցիք ստացված կետերը, որոնք այնուհետև կապեցիք ուղիղ գծով՝ ստացված գիծը։ ֆունկցիայի գրաֆիկն է։

Կան մի քանի բաներ, որոնք ձեզ պետք է մի փոքր ավելի մանրամասն բացատրել.

1. Հարմարության նկատառումներից ելնելով ընտրում եք մեկ հատված, որպեսզի ամեն ինչ գեղեցիկ և կոմպակտ տեղավորվի նկարում։

2. Ենթադրվում է, որ առանցքը գնում է ձախից աջ, իսկ առանցքը՝ ներքեւից վերեւ։

3. Նրանք հատվում են ուղիղ անկյան տակ, և դրանց հատման կետը կոչվում է սկզբնակետ։ Այն նշվում է տառով.

4. Կետի կոորդինատների գրառման մեջ, օրինակ, փակագծերում ձախ կողմում նշված է առանցքի երկայնքով կետի կոորդինատը, իսկ աջում՝ առանցքի երկայնքով։ Մասնավորապես, պարզապես նշանակում է, որ կետը

5. Կոորդինատների առանցքի ցանկացած կետ դնելու համար անհրաժեշտ է նշել դրա կոորդինատները (2 թիվ)

6. Առանցքի վրա ընկած ցանկացած կետի համար,

7. Առանցքի վրա ընկած ցանկացած կետի համար,

8. Առանցքը կոչվում է x առանցք

9. Առանցքը կոչվում է y առանցք

Հիմա եկեք ձեզ հետ կատարենք հաջորդ քայլը՝ նշեք երկու կետ: Այս երկու կետերը միացրեք գծով: Եվ սլաքը դնենք այնպես, ասես կետից կետ գծում ենք հատված, այսինքն՝ մեր հատվածը կդարձնենք ուղղորդված։

Հիշեք, թե որն է ուղղորդված հատվածի մեկ այլ անուն: Ճիշտ է, այն կոչվում է վեկտոր:

Այսպիսով, եթե կետը միացնենք կետին, և սկիզբը կլինի A կետը, իսկ վերջը կլինի B կետը,ապա մենք ստանում ենք վեկտոր. Դուք նույնպես 8-րդ դասարանում եք արել այս շինարարությունը, հիշում եք.

Ստացվում է, որ վեկտորները, ինչպես կետերը, կարող են նշանակվել երկու թվով. այս թվերը կոչվում են վեկտորի կոորդինատներ: Հարց՝ ի՞նչ եք կարծում, բավարա՞ր է, որ մենք իմանանք վեկտորի սկզբի և վերջի կոորդինատները նրա կոորդինատները գտնելու համար։ Ստացվում է, որ այո! Եվ դա շատ հեշտ է անել.

Այսպիսով, քանի որ վեկտորում կետը սկիզբն է, իսկ վերջը, վեկտորն ունի հետևյալ կոորդինատները.

Օրինակ, եթե, ապա վեկտորի կոորդինատները

Հիմա անենք հակառակը, գտենք վեկտորի կոորդինատները։ Սրա համար ի՞նչ է պետք փոխել։ Այո, դուք պետք է փոխեք սկիզբը և վերջը. այժմ վեկտորի սկիզբը կլինի մի կետում, իսկ վերջը մի կետում: Ապա.

Ուշադիր նայեք, ո՞րն է տարբերությունը վեկտորների և. Նրանց միակ տարբերությունը կոորդինատներում առկա նշաններն են։ Նրանք հակադիր են. Այս փաստը գրված է այսպես.

Երբեմն, եթե կոնկրետ նշված չէ, թե որ կետն է վեկտորի սկիզբը, իսկ որը՝ վերջը, ապա վեկտորները նշանակվում են ոչ թե երկու մեծատառով, այլ մեկ փոքրատառով, օրինակ՝ և այլն։

Հիմա մի քիչ պրակտիկաև գտնել հետևյալ վեկտորների կոորդինատները.

Փորձաքննություն:

Հիմա մի փոքր ավելի բարդ լուծեք խնդիրը.

Վեկտորային տորուսը on-cha-scrap-ով մի կետում ունի co-or-di-on-you: Գտեք-դի-տե աբս-ցիս-սու կետեր:

Միևնույն է, միանգամայն պրոզայիկ է. թող լինեն կետի կոորդինատները: Հետո

Ես կազմեցի համակարգը՝ որոշելով, թե ինչ կոորդինատներ են վեկտորը: Այնուհետև կետն ունի կոորդինատներ: Մեզ հետաքրքրում է աբսցիսը։ Հետո

Պատասխան.

Էլ ի՞նչ կարող եք անել վեկտորների հետ: Այո, գրեթե ամեն ինչ նույնն է, ինչ սովորական թվերի դեպքում (բացառությամբ, որ դուք չեք կարող բաժանել, բայց կարող եք բազմապատկել երկու եղանակով, որոնցից մեկը մենք կքննարկենք այստեղ մի փոքր ուշ)

1. Վեկտորները կարող են շարվել միմյանց հետ
2. Վեկտորները կարելի է հանել միմյանցից
3. Վեկտորները կարելի է բազմապատկել (կամ բաժանել) կամայական ոչ զրոյական թվով
4. Վեկտորները կարելի է բազմապատկել միմյանց հետ

Այս բոլոր գործողություններն ունեն բավականին տեսողական երկրաչափական պատկեր: Օրինակ՝ գումարման և հանման եռանկյունու (կամ զուգահեռագծի) կանոնը.

Վեկտորը ձգվում կամ փոքրանում է կամ փոխում ուղղությունը, երբ բազմապատկվում կամ բաժանվում է թվով.

Այնուամենայնիվ, այստեղ մեզ կհետաքրքրի այն հարցը, թե ինչ է տեղի ունենում կոորդինատների հետ։

1. Երկու վեկտոր գումարելիս (հանելիս) տարր առ տարր ավելացնում ենք (հանում) դրանց կոորդինատները։ այսինքն.

2. Վեկտորը թվի վրա բազմապատկելիս (բաժանելիս) նրա բոլոր կոորդինատները բազմապատկվում (բաժանվում են) այս թվով.

Օրինակ:

· Գտեք-դի-կո-որ-դի-նատ դար-ռա գումարը:

Եկեք նախ գտնենք վեկտորներից յուրաքանչյուրի կոորդինատները։ Երկուսն էլ նույն ծագումն ունեն՝ սկզբնակետը։ Նրանց ծայրերը տարբեր են. Հետո, . Այժմ մենք հաշվարկում ենք վեկտորի կոորդինատները Այնուհետև ստացված վեկտորի կոորդինատների գումարը հավասար է.

Պատասխան.

Այժմ ինքներդ լուծեք հետևյալ խնդիրը.

· Գտե՛ք վեկտորի կոորդինատների գումարը

Մենք ստուգում ենք.

Այժմ դիտարկենք հետևյալ խնդիրը. կոորդինատային հարթության վրա ունենք երկու կետ։ Ինչպե՞ս գտնել նրանց միջև հեռավորությունը: Թող լինի առաջին կետը, իսկ երկրորդը. Նրանց միջև եղած հեռավորությունը նշենք որպես . Պարզության համար կատարենք հետևյալ գծագիրը.

Ի՞նչ եմ ես արել: Ես նախ կապեցի կետերը, և նաև կետից գծեցի առանցքին զուգահեռ ուղիղ, իսկ կետից գծեցի առանցքին զուգահեռ գիծ։ Արդյո՞ք դրանք հատվել են մի կետում՝ կազմելով հիասքանչ կերպար։ Ինչու՞ է նա հիանալի: Այո, ես և դու գրեթե ամեն ինչ գիտենք ուղղանկյուն եռանկյունու մասին: Դե, Պյութագորասի թեորեմը, հաստատ։ Ցանկալի հատվածը այս եռանկյունու հիպոթենուսն է, իսկ հատվածները՝ ոտքերը։ Որո՞նք են կետի կոորդինատները: Այո, դրանք հեշտ է գտնել նկարից: Քանի որ հատվածները զուգահեռ են առանցքներին և, համապատասխանաբար, դրանց երկարությունները հեշտ է գտնել. եթե նշենք հատվածների երկարությունները, համապատասխանաբար, միջով, ապա.

Այժմ օգտագործենք Պյութագորասի թեորեմը։ Մենք գիտենք ոտքերի երկարությունը, մենք կգտնենք հիպոթենուսը.

Այսպիսով, երկու կետերի միջև հեռավորությունը կոորդինատներից քառակուսի տարբերությունների արմատային գումարն է: Կամ - երկու կետերի միջև հեռավորությունը դրանք միացնող հատվածի երկարությունն է: Հեշտ է տեսնել, որ կետերի միջև հեռավորությունը կախված չէ ուղղությունից: Ապա.

Դրանից մենք երեք եզրակացություն ենք անում.

Եկեք մի փոքր զբաղվենք երկու կետերի միջև հեռավորությունը հաշվարկելու վրա.

Օրինակ, եթե, ապա և-ի միջև եղած հեռավորությունը

Կամ եկեք այլ կերպ գնանք՝ գտե՛ք վեկտորի կոորդինատները

Եվ գտե՛ք վեկտորի երկարությունը.

Ինչպես տեսնում եք, նույնն է!

Այժմ մի փոքր մարզվեք ինքնուրույն.

Առաջադրանք՝ գտնել տրված կետերի միջև եղած հեռավորությունը.

Մենք ստուգում ենք.

Ահա ևս մի քանի խնդիր նույն բանաձևի համար, թեև դրանք մի փոքր տարբեր են հնչում.

1. Գտիր-դի-տե կոպի երկարության քառակուսին-ից-րա:

2. Նաի-դի-տե կոպի երկարությամբ քառակուսի-ռա

Կարծում եմ, դուք կարող եք հեշտությամբ կարգավորել դրանք: Մենք ստուգում ենք.

1. Եվ սա ուշադիր լինելու համար) Մենք նախկինում արդեն գտել ենք վեկտորների կոորդինատները. Այնուհետև վեկտորն ունի կոորդինատներ: Նրա երկարության քառակուսին կլինի.

2. Գտի՛ր վեկտորի կոորդինատները

Այնուհետև դրա երկարության քառակուսին է

Ոչ մի բարդ բան, չէ՞: Պարզ թվաբանություն, ոչ ավելին։

Հետևյալ գլուխկոտրուկները չեն կարող միանշանակ դասակարգվել, դրանք ավելի շուտ ընդհանուր էրուդիցիայի և պարզ նկարներ նկարելու ունակության համար են:

1. Գտե՛ք անկյան երկու սինուսները՝ կողքից, կտրվածքից, միացրեք մեկ n-րդ կետը, աբսցիսայի առանցքով:

Եվ

Ինչպե՞ս ենք դա անելու այստեղ: Դուք պետք է գտնեք անկյան սինուսը և առանցքի միջև: Իսկ որտե՞ղ կարող ենք փնտրել սինուսը: Ճիշտ է, ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ: Այսպիսով, ինչ պետք է անենք: Կառուցե՛ք այս եռանկյունին:

Քանի որ կետի կոորդինատները և, ապա հատվածը հավասար է, և հատվածը. Մենք պետք է գտնենք անկյան սինուսը: Հիշեցնեմ, որ սինուսը հակառակ ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է, ապա

Մեզ ի՞նչ է մնում անել։ Գտեք հիպոթենուսը: Դուք կարող եք դա անել երկու եղանակով. Պյութագորասի թեորեմով (ոտքերը հայտնի են) կամ երկու կետերի միջև հեռավորության բանաձևով (իրականում նույնն է, ինչ առաջին մեթոդը): Ես կգնամ երկրորդ ճանապարհով.

Պատասխան.

Հաջորդ առաջադրանքը ձեզ էլ ավելի հեշտ կթվա։ Նա - կետի կոորդինատների վրա:

Առաջադրանք 2.Կետից պեր-գրիչ-դի-կու-լարը իջեցվում է աբս-ցիս առանցքի վրա: Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Եկեք նկարենք.

Ուղղահայացի հիմքը այն կետն է, որտեղ այն հատում է x առանցքը (առանցքը) ինձ համար սա կետ է: Նկարը ցույց է տալիս, որ այն ունի կոորդինատներ. Մեզ հետաքրքրում է աբսցիսսը, այսինքն՝ «X» բաղադրիչը։ Նա հավասար է:

Պատասխան. .

Առաջադրանք 3.Նախորդ խնդրի պայմաններում գտե՛ք կետից մինչև կոորդինատային առանցքների հեռավորությունների գումարը։

Առաջադրանքն ընդհանուր առմամբ տարրական է, եթե գիտեք, թե ինչ է հեռավորությունը կետից մինչև առանցքները: Դու գիտես? Հուսով եմ, բայց այնուամենայնիվ հիշեցնում եմ.

Այսպիսով, իմ գծագրում, որը գտնվում է մի փոքր ավելի բարձր, ես արդեն պատկերել եմ մեկ այդպիսի ուղղահայաց: Ի՞նչ առանցք է դա։ դեպի առանցքը. Եվ ո՞րն է դրա երկարությունը: Նա հավասար է: Այժմ ինքներդ գծեք առանցքին ուղղահայաց և գտեք դրա երկարությունը: Հավասար կլինի, չէ՞։ Այդ դեպքում նրանց գումարը հավասար է։

Պատասխան. .

Առաջադրանք 4.Խնդիր 2-ի պայմաններում գտե՛ք x-ի առանցքի շուրջ կետին համաչափ կետի օրդինատը:

Կարծում եմ, դուք ինտուիտիվ կերպով հասկանում եք, թե ինչ է համաչափությունը: Այն ունեն շատ առարկաներ՝ բազմաթիվ շենքեր, սեղաններ, հարթություններ, բազմաթիվ երկրաչափական ձևեր՝ գնդիկ, գլան, քառակուսի, ռոմբ և այլն: Կոպիտ ասած, համաչափությունը կարելի է հասկանալ հետևյալ կերպ. նույնական կեսեր: Այս համաչափությունը կոչվում է առանցքային: Ուրեմն ի՞նչ է առանցքը: Սա հենց այն գիծն է, որի երկայնքով գործիչը, համեմատաբար ասած, կարող է «կտրվել» նույնական կիսով չափ (այս նկարում համաչափության առանցքը ուղիղ է).

Հիմա վերադառնանք մեր առաջադրանքին։ Մենք գիտենք, որ մենք փնտրում ենք մի կետ, որը սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ: Ապա այս առանցքը համաչափության առանցքն է։ Այսպիսով, մենք պետք է նշենք մի կետ, որպեսզի առանցքը կտրի հատվածը երկու հավասար մասերի: Փորձեք ինքներդ նշել նման կետ։ Հիմա համեմատեք իմ լուծման հետ.

Դուք նույնն արեցի՞ք։ Լավ! Գտնված կետում մեզ հետաքրքրում է օրդինատը։ Նա հավասար է

Պատասխան.

Հիմա ասա ինձ, մի վայրկյան մտածելուց հետո, ո՞րն է լինելու A կետին սիմետրիկ կետի աբսցիսան y առանցքի նկատմամբ: Ո՞րն է ձեր պատասխանը։ Ճիշտ պատասխան: .

Ընդհանուր առմամբ, կանոնը կարելի է գրել այսպես.

X առանցքի շուրջ կետին սիմետրիկ կետն ունի կոորդինատներ.

Y-առանցքի նկատմամբ սիմետրիկ կետը ունի կոորդինատներ.

Դե, հիմա իսկապես սարսափելի է: առաջադրանքԳտե՛ք կետի կոորդինատները, որը համաչափ է մի կետի՝ սկզբնաղբյուրի նկատմամբ: Դուք նախ ինքներդ մտածեք, իսկ հետո նայեք իմ նկարին:

Պատասխան.

Հիմա զուգահեռագծի խնդիր.

Առաջադրանք 5. Կետերը վեր-շի-նա-մի-պա-ռալ-լե-լո-գրամ-մա են: Գտեք-dee-te կամ-dee-on-tu կետերը:

Այս խնդիրը կարող եք լուծել երկու եղանակով՝ տրամաբանությամբ և կոորդինատային մեթոդով: Ես նախ կկիրառեմ կոորդինատային մեթոդը, իսկ հետո կասեմ, թե ինչպես կարող եք այլ կերպ որոշել։

Միանգամայն պարզ է, որ կետի աբսցիսան հավասար է։ (այն գտնվում է կետից դեպի x-առանցք գծված ուղղահայաց վրա): Մենք պետք է գտնենք օրդինատը: Եկեք օգտվենք այն հանգամանքից, որ մեր պատկերը զուգահեռագիծ է, ինչը նշանակում է. Գտեք հատվածի երկարությունը՝ օգտագործելով երկու կետերի միջև հեռավորության բանաձևը.

Կետը առանցքի հետ կապող ուղղահայացն իջեցնում ենք։ հատման կետը նշվում է տառով:

Հատվածի երկարությունը հավասար է: (ինքներդ գտեք խնդիրը, որտեղ մենք քննարկեցինք այս պահը), այնուհետև մենք կգտնենք հատվածի երկարությունը՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը.

Հատվածի երկարությունը ճիշտ նույնն է, ինչ նրա օրդինատը:

Պատասխան. .

Մեկ այլ լուծում (ես պարզապես կներկայացնեմ նկարը, որը ցույց է տալիս դա)

Լուծման առաջընթաց.

1. Ծախսել

2. Գտեք կետի կոորդինատները և երկարությունը

3. Ապացուցեք, որ.

Եւս մեկ կտրվածքի երկարության խնդիր:

Կետերն են-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-anngle-no-ka: Գտե՛ք նրա միջին գծի երկարությունը՝ պար-րալ-լել-նոյ:

Հիշու՞մ եք, թե որն է եռանկյան միջին գիծը: Ապա ձեզ համար այս խնդիրը տարրական է: Եթե ​​չեք հիշում, ապա հիշեցնեմ. Եռանկյան միջին գիծը մի գիծ է, որը միացնում է հակառակ կողմերի միջնակետերը։ Այն զուգահեռ է հիմքին և հավասար է դրա կեսին։

Հիմքը հատված է։ Պետք էր ավելի շուտ փնտրել դրա երկարությունը, այն հավասար է։ Այնուհետև միջնագծի երկարությունը կիսով չափ երկար է և հավասար։

Պատասխան. .

Մեկնաբանություն՝ այս խնդիրը կարելի է լուծել այլ կերպ, որին կանդրադառնանք քիչ ուշ։

Միևնույն ժամանակ, ահա ձեզ համար մի քանի առաջադրանք, կիրառեք դրանց վրա, դրանք բավականին պարզ են, բայց օգնում են «ձեռք բերել» կոորդինատային մեթոդով:

1. Կետերը հայտնվում են-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion: Գտե՛ք նրա միջնագծի երկարությունը:

2. Միավորներ եւ yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma: Գտեք-dee-te կամ-dee-on-tu կետերը:

3. Գտեք կտրվածքից երկարությունը, միացրեք երկրորդ կետը և

4. Գտիր-դի-տե կո-օր-դի-նատ-նոյ հարթության վրա-կարմիր-շեն-նոյ ֆի-գու-րի տարածքը:

5. Նա-չա-լե կո-օր-դի-նատ կենտրոնով շրջանագիծ է անցնում կետով: Գտեք-դե-տե նրա ռա-դի-բեղերը:

6. Նաի-դի-տե րա-դի-ուս շրջան-նո-ստի, նկարագրիր-սան-նոյին աջ-անկյուն-նո-կա-ի մոտ, ինչ-որ բան-րո-գո-ի գագաթները-շի-նի ունեն կո-որ - di-na-you co-from-reply-but

Լուծումներ:

1. Հայտնի է, որ տրապիզոնի միջնագիծը հավասար է նրա հիմքերի գումարի կեսին։ Հիմքը հավասար է, բայց հիմքը։ Հետո

Պատասխան.

2. Այս խնդիրը լուծելու ամենահեշտ ճանապարհը դա նկատելն է (զուգահեռագծի կանոն): Հաշվիր վեկտորների կոորդինատները և դժվար չէ. Վեկտորներ ավելացնելիս կոորդինատները գումարվում են։ Այնուհետև ունի կոորդինատներ: Կետն ունի նույն կոորդինատները, քանի որ վեկտորի սկիզբը կոորդինատներով կետ է։ Մեզ հետաքրքրում է օրդինատը։ Նա հավասար է:

Պատասխան.

3. Մենք անմիջապես գործում ենք երկու կետերի միջև հեռավորության բանաձևի համաձայն.

Պատասխան.

4. Նայեք նկարին և ասեք՝ ո՞ր երկու ֆիգուրների միջև է «սեղմված» ստվերված հատվածը։ Այն դրված է երկու քառակուսիների միջև։ Այնուհետև ցանկալի գործչի մակերեսը հավասար է մեծ քառակուսու մակերեսին` հանած փոքրի տարածքը: Փոքր քառակուսու կողմը կետերն իրար կապող հատված է, և դրա երկարությունը կազմում է

Այնուհետև փոքր քառակուսու մակերեսը կազմում է

Նույնը անում ենք մեծ քառակուսու դեպքում՝ նրա կողմը կետերն իրար միացնող հատված է և երկարությունը հավասար է

Այնուհետև մեծ քառակուսու մակերեսը կազմում է

Ցանկալի գործչի տարածքը հայտնաբերվում է բանաձևով.

Պատասխան.

5. Եթե շրջանագիծն իր կենտրոնն ունի սկզբնաղբյուրը և անցնում է կետով, ապա նրա շառավիղը ճիշտ կլինի հավասար հատվածի երկարությանը (գծագրիր և կհասկանաս, թե ինչու է դա ակնհայտ): Գտեք այս հատվածի երկարությունը.

Պատասխան.

6. Հայտնի է, որ ուղղանկյունով շրջագծված շրջանագծի շառավիղը հավասար է նրա անկյունագծի կեսին։ Եկեք գտնենք երկու անկյունագծերից որևէ մեկի երկարությունը (ի վերջո, ուղղանկյունում դրանք հավասար են):

Պատասխան.

Լավ, ամեն ինչ հասցրե՞լ եք։ Այդքան էլ դժվար չէր դա պարզել, չէ՞: Այստեղ միայն մեկ կանոն կա՝ կարողանալ վիզուալ պատկեր ստեղծել և պարզապես «կարդալ» դրանից բոլոր տվյալները։

Մեզ շատ քիչ է մնացել։ Բառացիորեն ևս երկու կետ կա, որոնք ես կցանկանայի քննարկել:

Փորձենք լուծել այս պարզ խնդիրը։ Թող երկու միավոր և տրվի: Գտե՛ք հատվածի կեսի կոորդինատները: Այս խնդրի լուծումը հետևյալն է՝ թող կետը լինի ցանկալի միջին, այնուհետև այն ունի կոորդինատներ.

այսինքն. հատվածի կեսի կոորդինատները = հատվածի ծայրերի համապատասխան կոորդինատների միջին թվաբանականը:

Այս կանոնը շատ պարզ է և սովորաբար դժվարություններ չի առաջացնում ուսանողների համար։ Տեսնենք, թե ինչ խնդիրներում և ինչպես է այն օգտագործվում.

1. Գտեք-դի-տե կամ-դի-նա-տու սե-րե-դի-մուս-ից-կտրեք, միացրեք-նյա-յու-րդ-րդ կետը և

2. Կետերը yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka են: Գտեք-դի-տե կամ-դի-նա-տու կետերը ռե-րե-սե-չե-նիայի իր դիա-գո-ոն-լեյի:

3. Շրջանակի կենտրոնի գտիր-դի-տե աբս-ցիս-սու, նկարագրիր-սան-նոյին ուղղանկյուն-նո-կա-ի մոտ, գագաթները-շի-մենք ունենք ինչ-որ բան-ro-go co-or-di-. նա-դու համ-վետ-ստվենո-բայց.

Լուծումներ:

1. Առաջին առաջադրանքը պարզապես դասական է։ Մենք գործում ենք անմիջապես՝ որոշելով հատվածի միջնակետը։ Նա ունի կոորդինատներ: Օրդինատը հավասար է.

Պատասխան.

2. Հեշտ է տեսնել, որ տրված քառանկյունը զուգահեռագիծ է (նույնիսկ ռոմբուս): Դուք ինքներդ կարող եք դա ապացուցել՝ հաշվարկելով կողմերի երկարությունները և համեմատելով դրանք միմյանց հետ։ Ի՞նչ գիտեմ զուգահեռագծի մասին: Նրա անկյունագծերը հատվում են հատման կետով: Ահա՜ Այսպիսով, ո՞րն է անկյունագծերի հատման կետը: Սա անկյունագծերից որևէ մեկի միջինն է: Կընտրեմ, մասնավորապես, անկյունագիծը։ Ապա կետն ունի կոորդինատներ Կետի օրդինատը հավասար է.

Պատասխան.

3. Ո՞րն է ուղղանկյան շուրջը շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը: Այն համընկնում է իր անկյունագծերի հատման կետի հետ։ Ի՞նչ գիտեք ուղղանկյան անկյունագծերի մասին: Նրանք հավասար են, և հատման կետը կիսով չափ բաժանված է: Առաջադրանքը կրճատվել է նախորդի վրա։ Վերցրեք, օրինակ, անկյունագիծը: Ապա եթե շրջագծված շրջանագծի կենտրոնն է, ապա միջինն է: Փնտրում եմ կոորդինատներ՝ աբսցիսան հավասար է։

Պատասխան.

Հիմա մի քիչ ինքնուրույն պարապեք, ես միայն յուրաքանչյուր խնդրի պատասխանը կտամ, որ ինքներդ ստուգեք։

1. Նաի-դի-տե րա-դի-ուս շրջան-նո-ստի, նկարագրիր-սան-նոյին մոտ եռանկյունու-նո-կա, մեկի-րո-գո գագաթները ունեն կո-որ-դի-ոչ միստրեր.

2. Գտիր-դի-տե կամ-դի-նա-տու շրջանագծի կենտրոնը, նկարագրիր սան-նոյը եռանկյունու մոտ-նո-կա, գագաթները-շի-մենք ունենք ինչ-որ բան-ռո-գո կոորդինատներ.

3. Ինչպիսի՞ ra-di-y-sa պետք է լինի մի կետում կենտրոն ունեցող շրջանագիծ, որպեսզի այն դիպչի աբս-ցիս առանցքին:

4. Գտեք-դի-տե կամ-դի-այն առանցքի և ից-կտրման վերագրանցման կետը, միացրեք-նյա-յու-րդ կետը և

Պատասխանները:

Ամեն ինչ ստացվե՞լ է։ Ես իսկապես հույս ունեմ դրա համար: Այժմ - վերջին հրում. Հիմա հատկապես զգույշ եղեք։ Նյութը, որը ես հիմա կբացատրեմ, վերաբերում է ոչ միայն Բ մասի պարզ կոորդինատային մեթոդի խնդիրներին, այլև ամենուրեք առկա է C2 խնդրին:

Իմ խոստումներից ո՞րը դեռ չեմ կատարել: Հիշեք, թե վեկտորների վրա ինչ գործողություններ էի խոստացել ներկայացնել, և որոնք ի վերջո ներկայացրեցի: Վստա՞հ եմ, որ ոչինչ չեմ մոռացել։ Մոռացել ես Մոռացա բացատրել, թե ինչ է նշանակում վեկտորների բազմապատկում։

Վեկտորը վեկտորով բազմապատկելու երկու եղանակ կա. Կախված ընտրված մեթոդից, մենք կստանանք տարբեր բնույթի օբյեկտներ.

Վեկտորային արտադրանքը բավականին բարդ է: Ինչպես դա անել և ինչու է դա անհրաժեշտ, մենք ձեզ հետ կքննարկենք հաջորդ հոդվածում: Եվ այստեղ մենք կկենտրոնանանք սկալյար արտադրանքի վրա:

Արդեն երկու եղանակ կա, որոնք թույլ են տալիս հաշվարկել այն.

Ինչպես դուք կռահեցիք, արդյունքը պետք է լինի նույնը: Այսպիսով, եկեք նախ նայենք առաջին ճանապարհին.

Կետային արտադրանքը կոորդինատների միջոցով

Գտեք. - կետային արտադրանքի ընդհանուր նշում

Հաշվարկի բանաձևը հետևյալն է.

Այսինքն՝ կետային արտադրյալը = վեկտորների կոորդինատների արտադրյալների գումարը։

Օրինակ:

Գտեք-դի-տե

Լուծում:

Գտեք վեկտորներից յուրաքանչյուրի կոորդինատները.

Մենք հաշվարկում ենք սկալյար արտադրանքը բանաձևով.

Պատասխան.

Տեսնում եք, բացարձակապես ոչ մի բարդ բան չկա:

Դե, հիմա փորձեք ինքներդ.

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie-ից դար-խորշ և

Դուք հասցրե՞լ եք: Միգուցե նա փոքրիկ հնարք նկատե՞լ է։ Եկեք ստուգենք.

Վեկտորի կոորդինատները, ինչպես նախորդ առաջադրանքում: Պատասխան.

Բացի կոորդինատից, կա սկալյար արտադրյալը հաշվարկելու ևս մեկ եղանակ, այն է՝ վեկտորների երկարությունների և նրանց միջև անկյան կոսինուսի միջոցով.

Նշում է անկյունը վեկտորների միջև և.

Այսինքն՝ սկալյար արտադրյալը հավասար է վեկտորների երկարությունների և նրանց միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալին։

Ինչի՞ն է պետք այս երկրորդ բանաձեւը, եթե ունենք առաջինը, որը շատ ավելի պարզ է, համենայնդեպս դրա մեջ կոսինուսներ չկան։ Եվ դա մեզ անհրաժեշտ է, որպեսզի առաջին և երկրորդ բանաձևերից կարողանանք եզրակացնել, թե ինչպես կարելի է գտնել վեկտորների միջև ընկած անկյունը:

Թող Հետո հիշենք վեկտորի երկարության բանաձևը:

Այնուհետև, եթե այս տվյալները միացնեմ կետային արտադրանքի բանաձևին, ես կստանամ.

Բայց այլ կերպ.

Այսպիսով, ի՞նչ ունենք մենք: Այժմ մենք ունենք երկու վեկտորների միջև անկյունը հաշվարկելու բանաձև: Երբեմն կարճության համար գրվում է նաև այսպես.

Այսինքն՝ վեկտորների միջև անկյունը հաշվարկելու ալգորիթմը հետևյալն է.

1. Մենք հաշվարկում ենք սկալյար արտադրյալը կոորդինատների միջոցով
2. Գտե՛ք վեկտորների երկարությունները և բազմապատկե՛ք դրանք
3. 1-ին կետի արդյունքը բաժանել 2-րդ կետի արդյունքի վրա

Եկեք պարապենք օրինակներով.

1. Գտեք կոպերի միջև ընկած անկյունը-ռա-մի և. Տվեք ձեր պատասխանը աստիճաններով:

2. Նախորդ խնդրի պայմաններում գտի՛ր վեկտորների միջեւ եղած կոսինուսը

Եկեք այսպես անենք. ես կօգնեմ ձեզ լուծել առաջին խնդիրը, իսկ երկրորդը փորձեք ինքներդ անել: Համաձայնվել? Ապա եկեք սկսենք!

1. Այս վեկտորները մեր հին ընկերներն են: Մենք արդեն դիտարկել ենք նրանց սկալյար արտադրյալը և այն հավասար էր։ Նրանց կոորդինատներն են՝ , . Այնուհետև մենք գտնում ենք դրանց երկարությունները.

Այնուհետև մենք փնտրում ենք կոսինուս վեկտորների միջև.

Որքա՞ն է անկյան կոսինուսը: Սա անկյունն է։

Պատասխան.

Դե, հիմա ինքներդ լուծեք երկրորդ խնդիրը, իսկ հետո համեմատեք։ Ես ուղղակի շատ կարճ լուծում կտամ.

2. ունի կոորդինատներ, ունի կոորդինատներ։

Թող լինի անկյունը վեկտորների միջև և, ապա

Պատասխան.

Հարկ է նշել, որ քննական թերթի B մասում ուղղակիորեն վեկտորների վրա առաջադրանքները և կոորդինատների մեթոդը բավականին հազվադեպ են: Այնուամենայնիվ, C2 խնդիրների ճնշող մեծամասնությունը հեշտությամբ կարող է լուծվել կոորդինատային համակարգի ներդրմամբ: Այսպիսով, դուք կարող եք այս հոդվածը համարել որպես հիմք, որի հիման վրա մենք կկատարենք բավականին խրթին կոնստրուկցիաներ, որոնք մեզ անհրաժեշտ կլինեն բարդ խնդիրներ լուծելու համար։

ԿՈՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐ ԵՎ ՎԵԿՏՈՐՆԵՐ. ՄԻՋԱՆԿՅԱԼ ՄԱԿԱՐԴԱԿ

Ես և դու շարունակում ենք ուսումնասիրել կոորդինատների մեթոդը։ Վերջին մասում մենք ստացանք մի շարք կարևոր բանաձևեր, որոնք թույլ են տալիս.

1. Գտեք վեկտորի կոորդինատները
2. Գտեք վեկտորի երկարությունը (այլընտրանք՝ երկու կետերի միջև հեռավորությունը)
3. Վեկտորների գումարում, հանում: Բազմապատկե՛ք դրանք իրական թվով
4. Գտեք հատվածի միջնակետը
5. Հաշվել վեկտորների կետային արտադրյալը
6. Գտեք վեկտորների միջև եղած անկյունը

Իհարկե, ամբողջ կոորդինատային մեթոդը չի տեղավորվում այս 6 կետերի մեջ։ Այն ընկած է այնպիսի գիտության հիմքում, ինչպիսին է վերլուծական երկրաչափությունը, որին կծանոթանաք համալսարանում։ Ես ուղղակի ուզում եմ կառուցել մի հիմք, որը թույլ կտա լուծել խնդիրները մեկ պետության մեջ։ քննություն. Մենք պարզեցինք B մասի առաջադրանքները Այժմ ժամանակն է անցնել որակապես նոր մակարդակի: Այս հոդվածը նվիրված կլինի այն C2 խնդիրների լուծման մեթոդին, որտեղ խելամիտ կլինի անցնել կոորդինատային մեթոդին: Այս ողջամտությունը որոշվում է նրանով, թե ինչ է պետք գտնել խնդրի մեջ և ինչ ցուցանիշ է տրված: Այսպիսով, ես կօգտագործեի կոորդինատային մեթոդը, եթե հարցերը հետևյալն են.

1. Գտեք անկյունը երկու հարթությունների միջև
2. Գտի՛ր ուղիղի և հարթության անկյունը
3. Գտեք անկյունը երկու տողերի միջև
4. Գտե՛ք հեռավորությունը կետից մինչև հարթություն
5. Գտեք կետից մինչև ուղիղ հեռավորությունը
6. Գտե՛ք ուղիղ գծից հարթության հեռավորությունը
7. Գտեք երկու տողերի միջև եղած հեռավորությունը

Եթե ​​խնդրի պայմանում տրված ցուցանիշը հեղափոխության մարմին է (գնդիկ, գլան, կոն…)

Կոորդինատային մեթոդի համար հարմար թվերն են.

1. խորանարդաձեւ
2. Բուրգ (եռանկյուն, քառանկյուն, վեցանկյուն)

Նաև իմ փորձից կոորդինատային մեթոդի օգտագործումը տեղին չէ:

1. Գտեք հատվածների տարածքները
2. Մարմինների ծավալների հաշվարկներ

Այնուամենայնիվ, անմիջապես պետք է նշել, որ կոորդինատային մեթոդի համար երեք «անբարենպաստ» իրավիճակներ գործնականում բավականին հազվադեպ են: Առաջադրանքների մեծ մասում այն ​​կարող է դառնալ ձեր փրկիչը, հատկապես, եթե դուք այնքան էլ ուժեղ չեք եռաչափ կառուցվածքներում (որոնք երբեմն բավականին բարդ են):

Որո՞նք են այն բոլոր թվերը, որոնք ես թվարկեցի վերևում: Դրանք այլևս հարթ չեն, օրինակ՝ քառակուսի, եռանկյուն, շրջան, այլ ծավալուն։ Ըստ այդմ, մենք պետք է դիտարկենք ոչ թե երկչափ, այլ եռաչափ կոորդինատային համակարգ։ Այն կառուցվում է բավականին հեշտ. պարզապես աբսցիսից և օրդինատներից բացի կներկայացնենք ևս մեկ առանցք՝ կիրառական առանցքը։ Նկարը սխեմատիկորեն ցույց է տալիս նրանց հարաբերական դիրքը.

Դրանք բոլորը փոխադարձաբար ուղղահայաց են, հատվում են մի կետում, որը մենք կանվանենք սկիզբ։ Աբսցիսայի առանցքը, ինչպես նախկինում, կնշանակվի, օրդինատների առանցքը՝ , իսկ ներկայացված կիրառական առանցքը՝ ։

Եթե ​​նախկինում հարթության վրա գտնվող յուրաքանչյուր կետ բնութագրվում էր երկու թվով` աբսցիսա և օրդինատ, ապա տարածության յուրաքանչյուր կետ արդեն նկարագրվում է երեք թվով` աբսցիսա, օրդինատ, կիրառական: Օրինակ:

Ըստ այդմ՝ կետի աբսցիսսը հավասար է, օրդինատը՝ , իսկ կիրառականը՝ ։

Երբեմն կետի աբսցիսա կոչվում է նաև կետի պրոյեկցիա աբսցիսային առանցքի վրա, օրդինատը կետի պրոյեկցիան է y առանցքի վրա, իսկ կիրառականը կետի պրոյեկցիան է կիրառական առանցքի վրա։ Համապատասխանաբար, եթե տրված է կետ, ապա կոորդինատներով կետ.

կոչվում է կետի պրոյեկցիան հարթության վրա

կոչվում է կետի պրոյեկցիան հարթության վրա

Բնական հարց է ծագում. արդյոք երկչափ գործի համար ստացված բոլոր բանաձևերը վավեր են տարածության մեջ: Պատասխանը՝ այո, նրանք արդար են և ունեն նույն տեսքը։ Մի փոքր մանրամասնության համար. Կարծում եմ՝ արդեն գուշակեցիք, թե որն է։ Բոլոր բանաձևերում մենք ստիպված կլինենք ավելացնել ևս մեկ տերմին, որը պատասխանատու է կիրառական առանցքի համար: Այսինքն.

1. Եթե տրված է երկու միավոր՝ , ապա.

• Վեկտորի կոորդինատները.
• Հեռավորությունը երկու կետերի միջև (կամ վեկտորի երկարությունը)
• Հատվածի կեսն ունի կոորդինատներ

2. Եթե տրված է երկու վեկտոր՝ and, ապա.

• Նրանց կետային արտադրանքը հետևյալն է.
• Վեկտորների միջև անկյան կոսինուսը հետևյալն է.

Այնուամենայնիվ, տարածքը այնքան էլ պարզ չէ: Ինչպես հասկանում եք, ևս մեկ կոորդինատի ավելացումը զգալի բազմազանություն է մտցնում այս տարածության մեջ «ապրող» գործիչների սպեկտրում: Իսկ հետագա շարադրման համար անհրաժեշտ է ներկայացնել ուղիղ գծի որոշակի, կոպիտ ասած, «ընդհանրացում»։ Այս «ընդհանրացումը» հարթություն է լինելու. Ի՞նչ գիտեք ինքնաթիռի մասին: Փորձեք պատասխանել հարցին, թե ինչ է ինքնաթիռը: Շատ դժվար է ասել. Այնուամենայնիվ, մենք բոլորս ինտուիտիվ կերպով պատկերացնում ենք, թե ինչ տեսք ունի.

Կոպիտ ասած, սա մի տեսակ անվերջանալի «տերև» է տարածություն: «Անսահմանությունը» պետք է հասկանալ, որ ինքնաթիռը տարածվում է բոլոր ուղղություններով, այսինքն՝ նրա մակերեսը հավասար է անսահմանության։ Սակայն «մատների վրա» այս բացատրությունը նվազագույն պատկերացում չի տալիս ինքնաթիռի կառուցվածքի մասին։ Եվ դա մեզ կհետաքրքրի։

Հիշենք երկրաչափության հիմնական աքսիոմներից մեկը.

• Ուղիղ գիծն անցնում է հարթության երկու տարբեր կետերով, ընդ որում՝ միայն մեկը.

Կամ դրա անալոգը տարածության մեջ.

Իհարկե, դուք հիշում եք, թե ինչպես կարելի է դուրս բերել ուղիղ գծի հավասարումը երկու տրված կետերից, դա ամենևին էլ դժվար չէ. եթե առաջին կետն ունի կոորդինատներ, իսկ երկրորդը, ապա ուղիղ գծի հավասարումը կլինի հետևյալը.

Դուք անցել եք սա 7-րդ դասարանում: Տիեզերքում ուղիղ գծի հավասարումն ունի հետևյալ տեսքը՝ ունենանք երկու կետ կոորդինատներով. , ապա դրանց միջով անցնող ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև.

Օրինակ, մի գիծ անցնում է կետերով.

Ինչպե՞ս պետք է սա հասկանալ: Սա պետք է հասկանալ հետևյալ կերպ. կետը գտնվում է գծի վրա, եթե դրա կոորդինատները բավարարում են հետևյալ համակարգին.

Մեզ շատ չի հետաքրքրի ուղիղ գծի հավասարումը, սակայն պետք է ուշադրություն դարձնել ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի շատ կարևոր հայեցակարգին։ - տրված գծի վրա կամ դրան զուգահեռ ընկած ցանկացած ոչ զրոյական վեկտոր:

Օրինակ, երկու վեկտորներն էլ ուղիղ գծի ուղղության վեկտորներ են: Թող լինի ուղիղ գծի վրա ընկած կետ և լինի դրա ուղղորդող վեկտորը: Այնուհետև ուղիղ գծի հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ ձևով.

Եվս մեկ անգամ, ինձ շատ չի հետաքրքրի ուղիղ գծի հավասարումը, բայց ես իսկապես կարիք ունեմ, որ դուք հիշեք, թե ինչ է ուղղության վեկտորը: Կրկին. դա ցանկացած ոչ զրոյական վեկտոր է, որը ընկած է գծի վրա կամ դրան զուգահեռ:

հանել հարթության երեք կետանոց հավասարումայլևս այնքան էլ չնչին չէ և սովորաբար չի ընդգրկվում ավագ դպրոցի դասընթացում: Բայց իզուր։ Այս տեխնիկան կենսական նշանակություն ունի, երբ մենք դիմում ենք կոորդինատային մեթոդին՝ բարդ խնդիրներ լուծելու համար: Այնուամենայնիվ, ես ենթադրում եմ, որ դուք լի եք նոր բան սովորելու ցանկությամբ: Ավելին, դուք կկարողանաք տպավորել ձեր ուսուցչին համալսարանում, երբ պարզվի, որ դուք արդեն գիտեք, թե ինչպես օգտագործել այն տեխնիկան, որը սովորաբար ուսումնասիրվում է վերլուծական երկրաչափության կուրսում: Այսպիսով, եկեք սկսենք:

Ինքնաթիռի հավասարումը շատ չի տարբերվում հարթության վրա ուղիղ գծի հավասարումից, այն ունի ձև.

որոշ թվեր (ոչ բոլորը հավասար են զրոյի), բայց փոփոխականներ, օրինակ՝ և այլն։ Ինչպես տեսնում եք, հարթության հավասարումը շատ չի տարբերվում ուղիղ գծի հավասարումից (գծային ֆունկցիա): Այնուամենայնիվ, հիշո՞ւմ եք, թե ինչ վիճեցինք ձեզ հետ: Մենք ասացինք, որ եթե մենք ունենք երեք կետ, որոնք չեն գտնվում մեկ ուղիղ գծի վրա, ապա դրանցից եզակիորեն վերականգնվում է հարթության հավասարումը։ Բայց ինչպես? Ես կփորձեմ բացատրել ձեզ:

Քանի որ հարթության հավասարումը հետևյալն է.

Եվ կետերը պատկանում են այս հարթությանը, ապա յուրաքանչյուր կետի կոորդինատները հարթության հավասարման մեջ փոխարինելիս պետք է ստանանք ճիշտ նույնականությունը.

Այսպիսով, անհրաժեշտություն կա լուծելու երեք հավասարումներ արդեն անհայտներով։ երկընտրանք. Այնուամենայնիվ, մենք միշտ կարող ենք ենթադրել, որ (դրա համար անհրաժեշտ է բաժանել): Այսպիսով, մենք ստանում ենք երեք հավասարումներ երեք անհայտներով.

Այնուամենայնիվ, մենք չենք լուծի նման համակարգը, այլ դուրս կգանք դրանից բխող գաղտնի արտահայտությունը.

Երեք տրված կետերով անցնող ինքնաթիռի հավասարումը

\[\ձախ| (\սկիզբ(զանգված)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \վերջ (զանգված)) \աջ| = 0\]

Կանգ առեք Էլ ի՞նչ է սա։ Շատ անսովոր մոդուլ: Այնուամենայնիվ, օբյեկտը, որը դուք տեսնում եք ձեր առջև, ոչ մի կապ չունի մոդուլի հետ: Այս օբյեկտը կոչվում է երրորդ կարգի որոշիչ: Այսուհետ, երբ գործ ունես հարթության վրա կոորդինատների մեթոդի հետ, շատ հաճախ հանդիպելու ես նույն որոշիչներին: Ի՞նչ է երրորդ կարգի որոշիչը: Տարօրինակ է, բայց դա ընդամենը թիվ է: Մնում է հասկանալ, թե կոնկրետ որ թիվն ենք համեմատելու որոշիչի հետ։

Եկեք նախ գրենք երրորդ կարգի որոշիչն ավելի ընդհանուր ձևով.

Որտեղ են որոշ թվեր: Ընդ որում, առաջին ինդեքս ասելով մենք հասկանում ենք տողի համարը, իսկ ինդեքսի տակ՝ սյունակի համարը։ Օրինակ՝ նշանակում է, որ տրված թիվը գտնվում է երկրորդ շարքի և երրորդ սյունակի հատման կետում։ Եկեք հետևյալ հարցը դնենք՝ ինչպե՞ս ենք մենք հաշվարկելու նման որոշիչ։ Այսինքն՝ կոնկրետ ո՞ր թվի հետ ենք համեմատելու։ Հենց երրորդ կարգի որոշիչի համար գոյություն ունի էվրիստիկ (տեսողական) եռանկյունու կանոն, այն ունի հետևյալ տեսքը.

1. Հիմնական շեղանկյունի տարրերի արտադրյալը (վերևից ձախից ներքև աջ) առաջին եռանկյունին «ուղղահայաց» կազմող տարրերի արտադրյալը: անկյունագծային
2. Երկրորդական անկյունագծի տարրերի արտադրյալը (վերևից աջից դեպի ներքև ձախ) առաջին եռանկյունին «ուղղահայաց» կազմող տարրերի արտադրյալը երկրորդ եռանկյունին «ուղղահայաց» կազմող տարրերի արտադրյալը: երկրորդական անկյունագիծը
3. Այնուհետև որոշիչը հավասար է քայլում ստացված արժեքների տարբերությանը և

Եթե ​​այս ամենը գրենք թվերով, ապա կստանանք հետևյալ արտահայտությունը.

Այնուամենայնիվ, ձեզ հարկավոր չէ այս ձևով անգիր անել հաշվարկի մեթոդը, բավական է պարզապես պահել եռանկյունները ձեր գլխում և հենց այն գաղափարը, թե ինչին ավելացվում է, և ինչից հետո հանվում է):

Եկեք պատկերացնենք եռանկյունու մեթոդը օրինակով.

1. Հաշվիր որոշիչը.

Եկեք պարզենք, թե ինչ ենք ավելացնում և ինչ ենք հանում.

Պայմաններ, որոնք գալիս են «գումարածով».

Սա հիմնական անկյունագիծն է՝ տարրերի արտադրյալն է

Առաջին եռանկյունը, «ուղղահայաց դեպի հիմնական անկյունագիծ. տարրերի արտադրյալն է

Երկրորդ եռանկյունը, «ուղղահայաց է հիմնական անկյունագծին. տարրերի արտադրյալն է

Մենք ավելացնում ենք երեք թվեր.

Պայմաններ, որոնք գալիս են «մինուսով»

Սա կողային անկյունագիծ է. տարրերի արտադրյալն է

Առաջին եռանկյունը, «ուղղահայաց երկրորդական անկյունագծին. տարրերի արտադրյալն է

Երկրորդ եռանկյունը, «ուղղահայաց երկրորդական անկյունագծին. տարրերի արտադրյալն է

Մենք ավելացնում ենք երեք թվեր.

Մնում է անել միայն գումարած անդամների գումարից հանել մինուս անդամների գումարը.

Այս կերպ,

Ինչպես տեսնում եք, երրորդ կարգի որոշիչների հաշվարկում բարդ և գերբնական ոչինչ չկա: Ուղղակի կարևոր է հիշել եռանկյունների մասին և չսխալվել թվաբանական սխալներից։ Այժմ փորձեք ինքներդ հաշվարկել.

Մենք ստուգում ենք.

1. Առաջին եռանկյունը, որն ուղղահայաց է հիմնական անկյունագծին.
2. Երկրորդ եռանկյունը, որն ուղղահայաց է հիմնական անկյունագծին.
3. Գումարած պայմանների գումարը.
4. Կողքի անկյունագծին ուղղահայաց առաջին եռանկյունը.
5. Երկրորդ եռանկյունը, որը ուղղահայաց է կողմի անկյունագծին.
6. Պայմանների գումարը մինուսով.
7. Պլյուս անդամների գումարը հանած մինուս տերմինների գումարը.

Ահա ևս մի քանի որոշիչ ձեզ համար, ինքներդ հաշվարկեք դրանց արժեքները և համեմատեք պատասխանների հետ.

Պատասխանները:

Դե, ամեն ինչ համընկե՞լ է: Հիանալի է, ապա կարող եք առաջ շարժվել: Եթե ​​դժվարություններ կան, ապա իմ խորհուրդը սա է. ինտերնետում կան մի շարք ծրագրեր՝ որոշիչն առցանց հաշվարկելու համար։ Ձեզ անհրաժեշտ է միայն ձեր սեփական որոշիչն առաջարկել, ինքներդ հաշվարկել այն, ապա համեմատել ծրագրի հաշվարկածի հետ: Եվ այսպես շարունակ, մինչև արդյունքները չսկսեն համընկնել: Վստահ եմ, որ այս պահը չի ուշանա:

Այժմ վերադառնանք այն որոշիչին, որը ես գրել էի, երբ խոսում էի երեք տրված կետերով անցնող ինքնաթիռի հավասարման մասին.

Ձեզ մնում է ուղղակիորեն հաշվարկել դրա արժեքը (եռանկյունի մեթոդ) և արդյունքը սահմանել զրոյի: Բնականաբար, քանի որ դրանք փոփոխականներ են, դուք կստանաք որոշակի արտահայտություն, որը կախված է դրանցից: Հենց այս արտահայտությունն է լինելու երեք տրված կետերով անցնող հարթության հավասարումը, որոնք չեն գտնվում մեկ ուղիղ գծի վրա։

Եկեք սա բացատրենք պարզ օրինակով.

1. Կառուցեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը

Այս երեք կետերի համար մենք կազմում ենք որոշիչ.

Պարզեցում:

Այժմ մենք հաշվարկում ենք այն ուղղակիորեն եռանկյունների կանոնի համաձայն.

\[(\ձախ| (\սկիզբ(զանգված)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\վերջ (զանգված)) \ աջ| = \left((x + 3) \աջ) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \աջ) + \ձախ ((y - 2) \աջ) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Այսպիսով, կետերով անցնող ինքնաթիռի հավասարումը հետևյալն է.

Այժմ փորձեք ինքներդ լուծել մեկ խնդիր, այնուհետև մենք կքննարկենք այն.

2. Գտի՛ր կետերով անցնող հարթության հավասարումը

Դե, հիմա եկեք քննարկենք լուծումը.

Մենք որոշում ենք.

Եվ հաշվարկեք դրա արժեքը.

Այնուհետև ինքնաթիռի հավասարումն ունի ձև.

Կամ, նվազեցնելով, մենք ստանում ենք.

Այժմ երկու խնդիր ինքնատիրապետման համար.

1. Կառուցեք երեք կետերով անցնող ինքնաթիռի հավասարումը.

Պատասխանները:

Արդյո՞ք ամեն ինչ համապատասխանում էր: Դարձյալ, եթե որոշակի դժվարություններ կան, ապա իմ խորհուրդը սա է՝ գլխիցդ հանում ես երեք կետ (հավանականության բարձր աստիճանով՝ մեկ ուղիղ գծի վրա չեն պառկի), հարթություն կառուցիր դրանց վրա։ Եվ հետո ստուգեք ինքներդ ձեզ առցանց: Օրինակ, կայքում.

Սակայն որոշիչների օգնությամբ մենք կկառուցենք ոչ միայն հարթության հավասարումը։ Հիշեք, ես ձեզ ասացի, որ վեկտորների համար սահմանված է ոչ միայն կետային արտադրյալը: Կա նաև վեկտոր, ինչպես նաև խառը արտադրանք: Եվ եթե երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը կլինի թիվ, ապա երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալը կլինի վեկտոր, և այս վեկտորը ուղղահայաց կլինի տրվածներին.

Ավելին, դրա մոդուլը հավասար կլինի վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսին և. Այս վեկտորը մեզ անհրաժեշտ կլինի կետից ուղիղ հեռավորությունը հաշվարկելու համար: Ինչպե՞ս կարող ենք հաշվել վեկտորների խաչաձև արտադրյալը և արդյոք տրված են դրանց կոորդինատները: Մեզ նորից օգնության է գալիս երրորդ կարգի որոշիչը։ Այնուամենայնիվ, նախքան խաչաձև արտադրյալի հաշվարկման ալգորիթմին անցնելը, պետք է մի փոքրիկ լիրիկական շեղում կատարեմ։

Այս շեղումը վերաբերում է հիմքի վեկտորներին:

Սխեմատիկորեն դրանք ներկայացված են նկարում.

Ինչու եք կարծում, որ դրանք կոչվում են հիմնական: Փաստն այն է, որ.

Կամ նկարում.

Այս բանաձևի վավերականությունն ակնհայտ է, քանի որ.

վեկտորային արտադրանք

Այժմ ես կարող եմ սկսել ներկայացնել խաչի արտադրանքը.

Երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալը վեկտոր է, որը հաշվարկվում է հետևյալ կանոնի համաձայն.

Այժմ բերենք խաչաձև արտադրյալի հաշվարկման օրինակներ.

Օրինակ 1. Գտեք վեկտորների խաչաձև արտադրյալը.

Լուծում. Ես որոշում եմ.

Եվ ես հաշվարկում եմ.

Այժմ, հիմքի վեկտորների միջոցով գրելուց, ես կվերադառնամ սովորական վեկտորային նշումին.

Այս կերպ:

Հիմա փորձիր։

Պատրա՞ստ եք: Մենք ստուգում ենք.

Եվ ավանդաբար երկու վերահսկելու առաջադրանքներ.

1. Գտե՛ք հետևյալ վեկտորների խաչաձև արտադրյալը.
2. Գտե՛ք հետևյալ վեկտորների խաչաձև արտադրյալը.

Պատասխանները:

Երեք վեկտորների խառը արտադրյալ

Վերջին կոնստրուկցիան, որն ինձ անհրաժեշտ է, երեք վեկտորների խառը արտադրյալն է: Այն, ինչպես սկալյարը, թիվ է։ Այն հաշվարկելու երկու եղանակ կա. - որոշիչի միջոցով, - խառը արտադրանքի միջոցով:

Այսինքն, ենթադրենք, որ մենք ունենք երեք վեկտոր.

Այնուհետև երեք վեկտորների խառը արտադրյալը, որը նշվում է հետևյալ կերպ.

1. - այսինքն՝ խառը արտադրյալը վեկտորի սկալյար արտադրյալն է և երկու այլ վեկտորների վեկտորային արտադրյալը։

Օրինակ, երեք վեկտորների խառը արտադրյալը հետևյալն է.

Փորձեք հաշվարկել այն ինքներդ՝ օգտագործելով վեկտորային արտադրանքը և համոզվեք, որ արդյունքները համընկնում են:

Եվ կրկին՝ անկախ որոշման երկու օրինակ.

Պատասխանները:

Կոորդինատների համակարգի ընտրություն

Դե, հիմա մենք ունենք գիտելիքների բոլոր անհրաժեշտ հիմքերը երկրաչափության բարդ ստերեոմետրիկ խնդիրներ լուծելու համար: Այնուամենայնիվ, նախքան ուղղակիորեն անցնելը դրանց լուծման օրինակներին և ալգորիթմներին, կարծում եմ, որ օգտակար կլինի կանգ առնել հետևյալ հարցի վրա. ընտրեք կոորդինատային համակարգ որոշակի գործչի համար:Ի վերջո, դա կոորդինատային համակարգի հարաբերական դիրքի և տարածության մեջ թվի ընտրությունն է, որը վերջնականապես կորոշի, թե որքան ծանր կլինեն հաշվարկները:

Հիշեցնում եմ ձեզ, որ այս բաժնում մենք դիտարկում ենք հետևյալ ձևերը.

1. խորանարդաձեւ
2. Ուղիղ պրիզմա (եռանկյուն, վեցանկյուն…)
3. Բուրգ (եռանկյուն, քառանկյուն)
4. Տետրաեդրոն (նույնը, ինչ եռանկյուն բուրգը)

Խորանարդի կամ խորանարդի համար խորհուրդ եմ տալիս հետևյալ կառուցվածքը.

Այսինքն՝ նկարը կտեղադրեմ «անկյունում»։ Խորանարդն ու տուփը շատ լավ թվեր են։ Նրանց համար դուք միշտ կարող եք հեշտությամբ գտնել նրա գագաթների կոորդինատները: Օրինակ, եթե (ինչպես ցույց է տրված նկարում)

ապա գագաթային կոորդինատներն են.

Իհարկե, սա հիշելու կարիք չկա, բայց ցանկալի է հիշել, թե ինչպես լավագույնս տեղադրել խորանարդը կամ ուղղանկյուն տուփը:

ուղիղ պրիզմա

Պրիզման ավելի վնասակար կերպար է։ Դուք կարող եք այն կազմակերպել տարածության մեջ տարբեր ձևերով: Այնուամենայնիվ, կարծում եմ, որ լավագույն տարբերակը հետևյալն է.

Եռանկյուն պրիզմա.

Այսինքն՝ եռանկյան կողմերից մեկն ամբողջությամբ դնում ենք առանցքի վրա, իսկ գագաթներից մեկը համընկնում է սկզբնակետին։

Վեցանկյուն պրիզմա:

Այսինքն՝ գագաթներից մեկը համընկնում է սկզբնակետին, իսկ կողմերից մեկն ընկած է առանցքի վրա։

Քառանկյուն և վեցանկյուն բուրգ.

Խորանարդի նման իրավիճակ՝ հիմքի երկու կողմերը միավորում ենք կոորդինատային առանցքների հետ, գագաթներից մեկը միացնում ենք սկզբնաղբյուրին։ Միակ փոքր դժվարությունը կլինի կետի կոորդինատները հաշվարկելը։

Վեցանկյուն բուրգի համար - նույնը, ինչ վեցանկյուն պրիզմայի համար: Գլխավոր խնդիրը կրկին լինելու է գագաթի կոորդինատները գտնելը։

Տետրաեդրոն (եռանկյուն բուրգ)

Իրավիճակը շատ նման է այն իրավիճակին, որը ես տվել եմ եռանկյուն պրիզմայի համար՝ մի գագաթը համընկնում է սկզբնակետին, մի կողմը՝ կոորդինատային առանցքի վրա։

Դե, հիմա ես և դու վերջապես մոտ ենք խնդիրներ լուծելուն։ Հոդվածի հենց սկզբում ասածիցս կարող եք հետևել հետևյալ եզրակացությանը. C2 խնդիրների մեծ մասը բաժանվում է 2 կատեգորիայի. խնդիրներ անկյան համար և խնդիրներ հեռավորության համար: Նախ, մենք կքննարկենք անկյուն գտնելու խնդիրները: Նրանք, իր հերթին, բաժանվում են հետևյալ կատեգորիաների (քանի որ բարդությունը մեծանում է).

Անկյուններ գտնելու խնդիրներ

1. Գտեք անկյունը երկու տողերի միջև
2. Գտեք անկյունը երկու հարթությունների միջև

Դիտարկենք այս խնդիրները հաջորդաբար. եկեք սկսենք գտնել երկու ուղիղների միջև եղած անկյունը: Դե արի, հիշիր, ես ու դու նախկինում նմանատիպ օրինակներ լուծե՞լ ենք։ Հիշում եք, քանի որ մենք արդեն ունեինք նման բան... Մենք անկյուն էինք փնտրում երկու վեկտորների միջև: Հիշեցնում եմ ձեզ, եթե տրված են երկու վեկտորներ և, ապա նրանց միջև անկյունը հայտնաբերվում է հարաբերությունից.

Այժմ մենք նպատակ ունենք՝ գտնել անկյունը երկու ուղիղ գծերի միջև: Անդրադառնանք «հարթ պատկերին».

Քանի՞ անկյուն ենք ստանում, երբ երկու ուղիղ հատվում են: Արդեն բաներ. Ճիշտ է, դրանցից միայն երկուսն են հավասար, մինչդեռ մյուսները ուղղահայաց են նրանց նկատմամբ (և հետևաբար համընկնում են նրանց հետ): Այսպիսով, ո՞ր անկյունը պետք է դիտարկենք երկու ուղիղ գծերի միջև. թե՞: Այստեղ կանոնը հետևյալն է. երկու ուղիղ գծերի միջև անկյունը միշտ չէ, քան աստիճանները. Այսինքն՝ երկու տեսանկյունից մենք միշտ կընտրենք ամենափոքր աստիճանի չափման անկյունը։ Այսինքն՝ այս նկարում երկու գծերի անկյունը հավասար է։ Որպեսզի չանհանգստանան ամեն անգամ երկու անկյուններից ամենափոքրը գտնելով, խորամանկ մաթեմատիկոսներն առաջարկեցին օգտագործել մոդուլը։ Այսպիսով, երկու ուղիղ գծերի միջև անկյունը որոշվում է բանաձևով.

Դուք, որպես ուշադիր ընթերցող, պետք է հարց ունենայիք. իրականում որտեղի՞ց ենք մենք ստանում հենց այս թվերը, որոնք մեզ անհրաժեշտ են անկյան կոսինուսը հաշվարկելու համար: Պատասխան՝ դրանք կվերցնենք գծերի ուղղության վեկտորներից։ Այսպիսով, երկու տողերի միջև անկյունը գտնելու ալգորիթմը հետևյալն է.

1. Մենք կիրառում ենք բանաձև 1.

Կամ ավելի մանրամասն.

1. Մենք փնտրում ենք առաջին ուղիղ գծի ուղղության վեկտորի կոորդինատները
2. Մենք փնտրում ենք երկրորդ տողի ուղղության վեկտորի կոորդինատները
3. Հաշվե՛ք դրանց սկալյար արտադրյալի մոդուլը
4. Մենք փնտրում ենք առաջին վեկտորի երկարությունը
5. Մենք փնտրում ենք երկրորդ վեկտորի երկարությունը
6. 4-րդ կետի արդյունքները բազմապատկել 5-րդ կետի արդյունքներով
7. 3-րդ կետի արդյունքը բաժանում ենք 6-րդ կետի արդյունքի վրա։ Ստանում ենք ուղիղների միջև անկյան կոսինուսը։
8. Եթե ​​այս արդյունքը թույլ է տալիս ճշգրիտ հաշվարկել անկյունը, մենք փնտրում ենք այն
9. Հակառակ դեպքում մենք գրում ենք արկկոսինի միջոցով

Դե, հիմա ժամանակն է անցնելու առաջադրանքներին՝ ես մանրամասն կցուցադրեմ առաջին երկուսի լուծումը, մյուսի լուծումը կներկայացնեմ հակիրճ, իսկ վերջին երկու առաջադրանքների պատասխանը կտամ միայն, դուք պետք է. բոլոր հաշվարկները նրանց համար ինքներդ կատարեք։

Առաջադրանքներ.

1. Աջ տետ-րա-եդ-ռեում գտե՛ք-դի-տե անկյունը ձեր-այդ տետ-րա-եդ-րա և մե-դի-ա-նոյ բո-կո-հաու կողմի միջև:

2. Աջ առաջ վեց ածուխ-պի-րա-մի-դե-ում հարյուր-րո-նա-ոս-նո-վա-նիյա-ն ինչ-որ կերպ հավասար են, իսկ կողային կողերը՝ հավասար, գտե՛ք ուղիղի միջև եղած անկյունը: գծեր և.

3. Աջակողմյան քառյակի բոլոր եզրերի երկարությունները հավասար են միմյանց: Գտեք անկյունը ուղիղ գծերի միջև, և եթե from-re-zok - դուք-այնպես, որ տրված է pi-ra-mi-dy, կետը se-re-di-նրա bo-ko- րդ կողի վրա է:

4. Խորանարդի եզրին from-me-che-to մի կետ այնպես, որ Գտեք-di-te անկյունը ուղիղ գծերի և

5. Կետ - se-re-di- խորանարդի եզրերին Nai-di-te ուղիղ գծերի միջև ընկած անկյունը և.

Պատահական չէ, որ ես առաջադրանքները դասավորեցի այս հերթականությամբ. Մինչ դուք դեռ չեք հասցրել սկսել նավարկելու կոորդինատների մեթոդը, ես ինքս կվերլուծեմ առավել «խնդրահարույց» թվերը, և ես ձեզ կթողնեմ զբաղվել ամենապարզ խորանարդով: Աստիճանաբար դուք պետք է սովորեք, թե ինչպես աշխատել բոլոր թվերի հետ, ես կմեծացնեմ առաջադրանքների բարդությունը թեմայից թեմա:

Սկսենք լուծել խնդիրները.

1. Գծե՛ք քառանիստ, տեղադրե՛ք այն կոորդինատային համակարգում, ինչպես ավելի վաղ առաջարկել էի: Քանի որ քառաեդրոնը կանոնավոր է, ուրեմն նրա բոլոր դեմքերը (ներառյալ հիմքը) կանոնավոր եռանկյուններ են։ Քանի որ մեզ չի տրվում կողքի երկարությունը, ես կարող եմ այն ​​հավասար ընդունել։ Կարծում եմ, դուք հասկանում եք, որ անկյունը իրականում կախված չի լինի նրանից, թե որքանով է «ձգվելու» մեր քառանիստը: Ես նաև կգծեմ բարձրությունը և միջինը քառանիստում: Ճանապարհին ես կնկարեմ դրա հիմքը (դա մեզ նույնպես հարմար կլինի):

Ես պետք է գտնեմ անկյունը և. Ի՞նչ գիտենք մենք։ Մենք գիտենք միայն կետի կոորդինատը։ Այսպիսով, մենք պետք է գտնենք կետերի ավելի շատ կոորդինատներ: Այժմ մենք մտածում ենք. կետը եռանկյան բարձրությունների (կամ կիսատների կամ միջնամասերի) հատման կետն է: Կետը բարձրացված կետ է: Կետը հատվածի միջնակետն է: Հետո վերջապես պետք է գտնել՝ կետերի կոորդինատները՝ .

Սկսենք ամենապարզից՝ կետային կոորդինատներից: Նայեք նկարին. Պարզ է, որ կետի կիրառումը հավասար է զրոյի (կետը գտնվում է հարթության վրա): Նրա օրդինատը հավասար է (որովհետև դա միջինն է)։ Ավելի դժվար է գտնել նրա աբսցիսը։ Այնուամենայնիվ, դա հեշտությամբ արվում է Պյութագորասի թեորեմի հիման վրա. Դիտարկենք եռանկյունին: Նրա հիպոթենուսը հավասար է, և ոտքից մեկը հավասար է Այնուհետև.

Վերջապես մենք ունենք.

Հիմա եկեք գտնենք կետի կոորդինատները։ Պարզ է, որ նրա կիրառականը կրկին հավասար է զրոյի, իսկ օրդինատը նույնն է, ինչ կետի, այսինքն. Գտնենք նրա աբսցիսսը։ Սա արվում է բավականին տրիվիալ, եթե դա հիշի Հավասարակողմ եռանկյան բարձրությունները բաժանվում են հատման կետի համամասնությամբհաշվելով վերևից. Քանի որ:, ապա կետի ցանկալի աբսցիսան, որը հավասար է հատվածի երկարությանը, հավասար է. Այսպիսով, կետի կոորդինատներն են.

Գտնենք կետի կոորդինատները։ Հասկանալի է, որ նրա աբսցիսն ու օրդինատը համընկնում են կետի աբսցիսային ու օրդինականին։ Իսկ հավելվածը հավասար է հատվածի երկարությանը։ - սա եռանկյունու ոտքերից մեկն է: Եռանկյան հիպոթենուսը հատված է՝ ոտք։ Որոնվում է այն պատճառներով, որոնք ես ընդգծեցի թավով.

Կետը հատվածի միջնակետն է: Այնուհետև մենք պետք է հիշենք հատվածի կեսի կոորդինատների բանաձևը.

Վերջ, այժմ մենք կարող ենք փնտրել ուղղության վեկտորների կոորդինատները.

Դե, ամեն ինչ պատրաստ է. մենք բոլոր տվյալները փոխարինում ենք բանաձևով.

Այս կերպ,

Պատասխան.

Պետք չէ վախենալ նման «սարսափելի» պատասխաններից. C2 խնդիրների դեպքում սա սովորական պրակտիկա է։ Ես ավելի շուտ կզարմանամ այս մասի «գեղեցիկ» պատասխանից. Նաև, ինչպես դուք նշեցիք, ես գործնականում ոչ մի այլ բանի չեմ դիմել, քան Պյութագորասի թեորեմը և հավասարակողմ եռանկյան բարձրությունների հատկությունը: Այսինքն՝ ստերեոմետրիկ խնդիրը լուծելու համար ես օգտագործել եմ ստերեոմետրիայի շատ նվազագույնը։ Սրանում շահույթը մասամբ «մարվում» է բավականին ծանր հաշվարկներով։ Բայց դրանք բավականին ալգորիթմական են:

2. Կոորդինատների համակարգի հետ գծե՛ք կանոնավոր վեցանկյուն բուրգ, ինչպես նաև դրա հիմքը.

Մենք պետք է գտնենք գծերի և. Այսպիսով, մեր խնդիրը կրճատվում է կետերի կոորդինատները գտնելով. Փոքր գծագրից կգտնենք վերջին երեքի կոորդինատները, իսկ կետի կոորդինատով կգտնենք գագաթի կոորդինատը։ Շատ աշխատանք, բայց պետք է սկսել:

ա) կոորդինատ՝ պարզ է, որ դրա կիրառականն ու օրդինատը զրո են։ Եկեք գտնենք աբսցիսը: Դա անելու համար հաշվի առեք ուղղանկյուն եռանկյունին: Ավաղ, դրա մեջ մենք գիտենք միայն հիպոթենուսը, որը հավասար է. Մենք կփորձենք գտնել ոտքը (որովհետև պարզ է, որ ոտքի կրկնակի երկարությունը մեզ կտա կետի աբսցիսա): Ինչպե՞ս կարող ենք փնտրել նրան: Եկեք հիշենք, թե ինչպիսի պատկեր ունենք բուրգի հիմքում: Սա սովորական վեցանկյուն է: Ինչ է դա նշանակում? Սա նշանակում է, որ բոլոր կողմերը և բոլոր անկյունները հավասար են: Պետք է գտնել այդպիսի մեկ անկյուն։ Կա՞ն գաղափարներ: Գաղափարները շատ են, բայց կա մի բանաձև.

Կանոնավոր n-անկյունի անկյունների գումարը հավասար է .

Այսպիսով, կանոնավոր վեցանկյան անկյունների գումարը աստիճաններ է։ Այնուհետև անկյուններից յուրաքանչյուրը հավասար է.

Եկեք նորից նայենք նկարին։ Պարզ է, որ հատվածը անկյան կիսորդն է։ Այնուհետեւ անկյունը աստիճաններ է: Ապա.

Հետո որտեղ.

Այսպիսով, այն ունի կոորդինատներ

բ) Այժմ մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել կետի կոորդինատը.

գ) Գտե՛ք կետի կոորդինատները. Քանի որ նրա աբսցիսան համընկնում է հատվածի երկարության հետ, այն հավասար է։ Օրինատը գտնելը նույնպես շատ դժվար չէ. եթե կետերը միացնենք և նշանակենք ուղիղի հատման կետը, ասենք համար. (դա ինքներդ արեք պարզ շինարարություն): Այսպիսով, B կետի օրդինատը հավասար է հատվածների երկարությունների գումարին։ Եկեք նորից նայենք եռանկյունին: Հետո

Հետո քանի որ Հետո կետն ունի կոորդինատներ

դ) Այժմ գտե՛ք կետի կոորդինատները: Դիտարկենք ուղղանկյուն և ապացուցենք, որ այսպիսով կետի կոորդինատներն են.

ե) Մնում է գտնել գագաթի կոորդինատները: Հասկանալի է, որ նրա աբսցիսն ու օրդինատը համընկնում են կետի աբսցիսային ու օրդինականին։ Եկեք մի հավելված գտնենք։ Այդ ժամանակվանից. Դիտարկենք ուղղանկյուն եռանկյուն: Խնդրի պայմանով կողային եզր. Սա իմ եռանկյունու հիպոթենուսն է: Այնուհետեւ բուրգի բարձրությունը ոտքն է:

Այնուհետև կետն ունի կոորդինատներ.

Վերջ, ես ունեմ ինձ հետաքրքրող բոլոր կետերի կոորդինատները։ Ես փնտրում եմ ուղիղ գծերի ուղղորդող վեկտորների կոորդինատները.

Մենք փնտրում ենք անկյուն այս վեկտորների միջև.

Պատասխան.

Կրկին այս խնդիրը լուծելիս ես ոչ մի բարդ հնարք չեմ օգտագործել, բացառությամբ կանոնավոր n-gon անկյունների գումարի բանաձևի, ինչպես նաև ուղղանկյուն եռանկյան կոսինուսի և սինուսի սահմանման:

3. Քանի որ մեզ դարձյալ չեն տրվում բուրգի եզրերի երկարությունները, ես դրանք հավասար կհամարեմ մեկի։ Այսպիսով, քանի որ ԲՈԼՈՐ եզրերը, և ոչ միայն կողայինները, հավասար են միմյանց, ապա բուրգի հիմքում և ես ընկած է քառակուսի, իսկ կողային երեսները կանոնավոր եռանկյուններ են: Եկեք պատկերենք նման բուրգը, ինչպես նաև դրա հիմքը հարթության վրա՝ նշելով խնդրի տեքստում տրված բոլոր տվյալները.

Մենք փնտրում ենք անկյունը և. Շատ հակիրճ հաշվարկներ կանեմ, երբ որոնեմ կետերի կոորդինատները։ Դուք պետք է «գաղտնազերծեք» դրանք.

բ) - հատվածի կեսը. Նրա կոորդինատները.

գ) Ես կգտնեմ հատվածի երկարությունը՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը եռանկյունու մեջ: Պյութագորասի թեորեմով կգտնեմ եռանկյունու մեջ:

Կոորդինատներ:

դ) - հատվածի կեսը: Դրա կոորդինատներն են

ե) Վեկտորի կոորդինատները

զ) Վեկտորի կոորդինատները

է) Անկյունի որոնում.

Խորանարդը ամենապարզ պատկերն է։ Համոզված եմ, որ դուք կարող եք դա ինքնուրույն պարզել: 4-րդ և 5-րդ խնդիրների պատասխանները հետևյալն են.

Գտեք գծի և հարթության անկյունը

Դե, պարզ հանելուկների ժամանակն ավարտվել է: Հիմա օրինակներն էլ ավելի բարդ կլինեն։ Ուղղի և հարթության անկյունը գտնելու համար մենք կշարունակենք հետևյալ կերպ.

1. Օգտագործելով երեք կետ՝ կառուցում ենք հարթության հավասարումը
   ,
   օգտագործելով երրորդ կարգի որոշիչ:
2. Երկու կետով մենք փնտրում ենք ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի կոորդինատները.
3. Ուղիղ գծի և հարթության միջև անկյունը հաշվարկելու համար մենք կիրառում ենք բանաձևը.

Ինչպես տեսնում եք, այս բանաձևը շատ նման է այն բանաձևին, որը մենք օգտագործել ենք երկու տողերի միջև անկյունները գտնելու համար: Աջ կողմի կառուցվածքը նույնն է, իսկ ձախում մենք հիմա փնտրում ենք սինուս, և ոչ թե կոսինուս, ինչպես նախկինում: Դե, ավելացվեց մեկ տհաճ գործողություն՝ ինքնաթիռի հավասարման որոնումը։

Եկեք դարակ չդնենք լուծման օրինակներ.

1. Os-no-va-ni-em straight-my prize-we are-la-et-xia հավասար-բայց աղքատ-ren-ny եռանկյուն-նիկ դու-այդ մրցանակով-մենք հավասար ենք: Գտե՛ք ուղիղ գծի և հարթության անկյունը

2. Ուղղանկյուն pa-ral-le-le-pi-pe-de-ում արևմուտքից Nai-di-te-ում ուղիղ գծի և հարթության միջև ընկած անկյունը.

3. Աջակողմյան վեց ածուխի պրիզմայում բոլոր եզրերը հավասար են: Գտե՛ք ուղիղ գծի և հարթության անկյունը:

4. Ուղղանկյուն եռանկյունի պի-րա-մի-դե-ում ոս-բուտ-վա-նի-եմ-ով կողոսկրի արևմուտքից Նաի-դի-տե անկյան տակ, օս-ի օբ-րա-զո-վան -նի հարթությունում. -նո-վա-նիյա և ուղիղ-իմ, անցնելով կողերի սե-րե-դի-նա և.

5. Աջ քառանկյուն pi-ra-mi-dy-ի բոլոր եզրերի երկարությունները վերևի հետ հավասար են միմյանց: Գտե՛ք ուղիղ գծի և հարթության անկյունը, եթե կետը se-re-di- է pi-ra-mi-dy-ի bo-ko-in-րդ եզրին:

Դարձյալ առաջին երկու խնդիրները մանրամասն կլուծեմ, երրորդը՝ հակիրճ, իսկ վերջին երկուսը թողնում եմ ձեզ, որ ինքնուրույն լուծեք։ Բացի այդ, դուք արդեն ստիպված էիք գործ ունենալ եռանկյուն և քառանկյուն բուրգերի հետ, բայց դեռ ոչ պրիզմաների հետ:

Լուծումներ:

1. Գծի՛ր պրիզմա, ինչպես նաև դրա հիմքը։ Եկեք այն համատեղենք կոորդինատային համակարգի հետ և նշենք բոլոր տվյալները, որոնք տրված են խնդրի հայտարարության մեջ.

Ներողություն եմ խնդրում որոշ չափաբաժիններ չպահպանելու համար, բայց խնդիրը լուծելու համար դա, ըստ էության, այնքան էլ կարևոր չէ։ Ինքնաթիռը պարզապես իմ պրիզմայի «հետեւի պատն» է։ Բավական է պարզապես կռահել, որ նման հարթության հավասարումն ունի ձևը.

Այնուամենայնիվ, սա կարող է նաև ուղղակիորեն ցուցադրվել.

Մենք ընտրում ենք կամայական երեք կետեր այս հարթության վրա. օրինակ՝ .

Կազմենք հարթության հավասարումը.

Զորավարժություններ ձեզ համար. ինքներդ հաշվարկեք այս որոշիչը: Ձեզ հաջողվե՞լ է։ Այնուհետև ինքնաթիռի հավասարումն ունի ձև.

Կամ պարզապես

Այս կերպ,

Օրինակը լուծելու համար պետք է գտնել ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի կոորդինատները։ Քանի որ կետը համընկել է սկզբնակետի հետ, վեկտորի կոորդինատները պարզապես կհամընկնեն կետի կոորդինատների հետ։Դրա համար նախ գտնում ենք կետի կոորդինատները։

Դա անելու համար հաշվի առեք եռանկյունին: Վերևից գծենք բարձրություն (այն նաև միջնագիծ է և կիսադիր)։ Քանի որ ուրեմն կետի օրդինատը հավասար է։ Այս կետի աբսցիսան գտնելու համար պետք է հաշվենք հատվածի երկարությունը։ Պյութագորասի թեորեմով մենք ունենք.

Այնուհետև կետն ունի կոորդինատներ.

Կետը կետի վրա «բարձրացված» է.

Այնուհետև վեկտորի կոորդինատները.

Պատասխան.

Ինչպես տեսնում եք, նման խնդիրների լուծման մեջ սկզբունքորեն դժվար բան չկա։ Փաստորեն, պրիզմայի նման գործչի «ուղղությունը» մի փոքր ավելի պարզեցնում է գործընթացը: Այժմ անցնենք հաջորդ օրինակին.

2. Գծում ենք զուգահեռաբարձ, մեջը հարթություն և ուղիղ գիծ, ​​ինչպես նաև առանձին գծում դրա ստորին հիմքը.

Նախ, մենք գտնում ենք հարթության հավասարումը. Նրանում գտնվող երեք կետերի կոորդինատները.

(առաջին երկու կոորդինատները ստացվում են ակնհայտ ձևով, և դուք կարող եք հեշտությամբ գտնել վերջին կոորդինատը նկարից կետից): Այնուհետև կազմում ենք հարթության հավասարումը.

Մենք հաշվարկում ենք.

Մենք փնտրում ենք ուղղության վեկտորի կոորդինատները՝ պարզ է, որ դրա կոորդինատները համընկնում են կետի կոորդինատների հետ, այնպես չէ՞։ Ինչպե՞ս գտնել կոորդինատները: Սրանք կետի կոորդինատներն են, որոնք բարձրացված են կիրառական առանցքի երկայնքով մեկով: . Այնուհետև մենք փնտրում ենք ցանկալի անկյունը.

Պատասխան.

3. Գծի՛ր կանոնավոր վեցանկյուն բուրգ, իսկ հետո դրա մեջ հարթություն և ուղիղ գիծ գծի՛ր:

Այստեղ նույնիսկ խնդրահարույց է հարթություն նկարելը, էլ չեմ խոսում այս խնդրի լուծման մասին, բայց կոորդինատային մեթոդը չի հետաքրքրում: Դրա հիմնական առավելությունն իր բազմակողմանիության մեջ է:

Ինքնաթիռն անցնում է երեք կետով. Մենք փնտրում ենք դրանց կոորդինատները.

մեկ): Ինքներդ ցուցադրեք վերջին երկու կետերի կոորդինատները: Դրա համար դուք պետք է լուծեք խնդիրը վեցանկյուն բուրգով:

2) Մենք կառուցում ենք հարթության հավասարումը.

Մենք փնտրում ենք վեկտորի կոորդինատները. (Նորից տես եռանկյուն բուրգի խնդիրը):

3) Մենք փնտրում ենք անկյուն.

Պատասխան.

Ինչպես տեսնում եք, այս առաջադրանքներում գերբնական դժվար բան չկա։ Պարզապես պետք է շատ զգույշ լինել արմատների հետ: Վերջին երկու խնդիրներին ես կտամ միայն պատասխաններ.

Ինչպես տեսնում եք, խնդիրների լուծման տեխնիկան ամենուր նույնն է. հիմնական խնդիրն է գտնել գագաթների կոորդինատները և դրանք փոխարինել որոշ բանաձևերով: Մեզ մնում է դիտարկել անկյունների հաշվարկման խնդիրների ևս մեկ դաս, այն է՝

Երկու հարթությունների միջև անկյունների հաշվարկ

Լուծման ալգորիթմը կլինի հետևյալը.

1. Երեք կետերի համար մենք փնտրում ենք առաջին հարթության հավասարումը.
2. Մնացած երեք կետերի համար մենք փնտրում ենք երկրորդ հարթության հավասարումը.
3. Մենք կիրառում ենք բանաձևը.

Ինչպես տեսնում եք, բանաձևը շատ նման է նախորդ երկուսին, որոնց օգնությամբ մենք փնտրում էինք անկյուններ ուղիղ գծերի և ուղիղ գծի և հարթության միջև: Այսպիսով, այս մեկը հիշելը ձեզ համար դժվար չի լինի: Եկեք անմիջապես անցնենք խնդրին.

1. Ուղղանկյուն եռանկյուն պրիզմայի հիման վրա հարյուր ռո-ն հավասար է, իսկ կողային երեսի անկյունագիծը հավասար է: Գտե՛ք հարթության և մրցանակի հիմքի հարթության անկյունը:

2. Աջ առաջ չորս-դու-ռե-ածուխ-նոյ պի-րա-մի-դե-ում մեկի բոլոր եզրերը հավասար են, գտե՛ք հարթության և միջով անցնող Կո-Ստու հարթության անկյան սինուսը: կետը per-pen-di-ku-lyar-but straight-my.

3. Կանոնավոր քառածուխ պրիզմայում օս-նո-վա-նիայի կողմերը հավասար են, իսկ կողային եզրերը՝ հավասար: Եզրին from-me-che-to the point, որպեսզի. Գտե՛ք հարթությունների և

4. Աջ քառանկյուն պրիզմայում հիմքերի կողմերը հավասար են, իսկ կողային եզրերը՝ հավասար։ From-me-che-to կետի եզրին, որպեսզի Գտեք հարթությունների միջև անկյունը և.

5. Խորանարդի մեջ գտե՛ք հարթությունների և

Խնդրի լուծումներ.

1. Գծում եմ կանոնավոր (հիմքում՝ հավասարակողմ եռանկյունի) եռանկյուն պրիզմա և վրան նշում այն ​​հարթությունները, որոնք հայտնվում են խնդրի վիճակում.

Մենք պետք է գտնենք երկու հարթությունների հավասարումները. բազային հավասարումը ստացվում է տրիվիալ կերպով. դուք կարող եք կատարել համապատասխան որոշիչ երեք կետերի համար, բայց ես անմիջապես կկազմեմ հավասարումը.

Հիմա եկեք գտնենք հավասարումը Կետն ունի կոորդինատներ: Կետը - Քանի որ եռանկյան միջինը և բարձրությունը, այն հեշտ է գտնել Պյութագորասի թեորեմով եռանկյան մեջ: Այնուհետև կետն ունի կոորդինատներ. Գտե՛ք կետի կիրառումը Դա անելու համար դիտարկեք ուղղանկյուն եռանկյուն

Այնուհետև ստանում ենք հետևյալ կոորդինատները. Կազմում ենք հարթության հավասարումը.

Մենք հաշվարկում ենք հարթությունների միջև անկյունը.

Պատասխան.

2. Նկարչություն կատարելը.

Ամենադժվարը հասկանալն է, թե ինչ խորհրդավոր հարթության մասին է խոսքը՝ կետով ուղղահայաց անցնելով։ Դե, գլխավորն այն է, թե ինչ է դա: Գլխավորը ուշադրությունն է։ Իրոք, գիծը ուղղահայաց է: Գիծը նույնպես ուղղահայաց է։ Այնուհետև այս երկու ուղիղներով անցնող հարթությունը ուղղահայաց կլինի, և, ի դեպ, կանցնի կետի միջով։ Այս ինքնաթիռը նույնպես անցնում է բուրգի գագաթով։ Հետո ցանկալի ինքնաթիռը - Իսկ ինքնաթիռն արդեն մեզ է տրված։ Մենք փնտրում ենք կետերի կոորդինատներ։

Մենք գտնում ենք կետի կոորդինատը կետի միջով: Փոքր գծագրից հեշտ է եզրակացնել, որ կետի կոորդինատները կլինեն հետևյալը. Ի՞նչ է մնում հիմա գտնել բուրգի գագաթի կոորդինատները գտնելու համար: Դեռ պետք է հաշվարկել դրա բարձրությունը: Սա արվում է օգտագործելով նույն Պյութագորասի թեորեմը. նախ՝ ապացուցեք դա (հիմնականում քառակուսի կազմող փոքր եռանկյուններից): Քանի որ պայմանով մենք ունենք.

Այժմ ամեն ինչ պատրաստ է. գագաթային կոորդինատները.

Մենք կազմում ենք հարթության հավասարումը.

Դուք արդեն փորձագետ եք որոշիչները հաշվարկելու մեջ: Հեշտությամբ դուք կստանաք.

Կամ հակառակ դեպքում (եթե երկու մասերը բազմապատկենք երկուսի արմատով)

Հիմա եկեք գտնենք հարթության հավասարումը.

(Դուք չեք մոռացել, թե ինչպես ենք մենք ստանում ինքնաթիռի հավասարումը, չէ՞: Եթե չեք հասկանում, թե որտեղից է եկել այս մինուս մեկը, ապա վերադառնաք հարթության հավասարման սահմանմանը: Պարզապես միշտ այդպես է ստացվել մինչ այդ որ իմ ինքնաթիռը պատկանում էր ծագմանը։)

Մենք հաշվարկում ենք որոշիչը.

(Դուք կարող եք նկատել, որ հարթության հավասարումը համընկել է կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարման հետ և մտածեք, թե ինչու):

Այժմ մենք հաշվարկում ենք անկյունը.

Մենք պետք է գտնենք սինուսը.

Պատասխան.

3. Խորամանկ հարց՝ ի՞նչ է ուղղանկյուն պրիզմա, ի՞նչ եք կարծում։ Դա ձեզ համար պարզապես հայտնի զուգահեռական է: Անմիջապես նկարել: Դուք նույնիսկ չեք կարող առանձին պատկերել հիմքը, այստեղից քիչ օգուտ կա.

Ինքնաթիռը, ինչպես արդեն նշեցինք, գրված է որպես հավասարում.

Այժմ մենք ինքնաթիռ ենք պատրաստում

Մենք անմիջապես կազմում ենք ինքնաթիռի հավասարումը.

Անկյուն փնտրելով

Այժմ վերջին երկու խնդիրների պատասխանները.

Դե, հիմա ընդմիջման ժամանակն է, որովհետև ես և դու հիանալի ենք և մեծ աշխատանք ենք կատարել:

Կոորդինատներ և վեկտորներ. Ընդլայնված մակարդակ

Այս հոդվածում մենք ձեզ հետ կքննարկենք խնդիրների մեկ այլ դաս, որոնք կարելի է լուծել կոորդինատային մեթոդի միջոցով՝ հեռավորության խնդիրներ: Մասնավորապես, մենք կքննարկենք հետևյալ դեպքերը.

1. Թեք գծերի միջև հեռավորության հաշվարկ:

Ես պատվիրել եմ տրված առաջադրանքները, քանի որ դրանց բարդությունը մեծանում է։ Ամենահեշտը գտնելն է մատնանշեք հարթության հեռավորությունըև ամենադժվարը գտնելն է հեռավորությունը հատվող գծերի միջև. Թեև, իհարկե, անհնարին ոչինչ չկա։ Եկեք չձգձգենք և անմիջապես անցնենք առաջին կարգի խնդիրների քննարկմանը.

Կետից մինչև հարթություն հեռավորության հաշվարկ

Ի՞նչ է մեզ պետք այս խնդիրը լուծելու համար։

1. Կետերի կոորդինատները

Այսպիսով, հենց որ մենք ստանում ենք բոլոր անհրաժեշտ տվյալները, մենք կիրառում ենք բանաձևը.

Դուք արդեն պետք է իմանաք, թե ինչպես ենք մենք կառուցում ինքնաթիռի հավասարումը նախորդ խնդիրներից, որոնք վերլուծեցի վերջին մասում։ Եկեք անմիջապես անցնենք գործին: Սխեման հետևյալն է՝ 1, 2 - ես օգնում եմ քեզ որոշել, իսկ որոշ մանրամասներով՝ 3, 4՝ միայն պատասխանը, դու ինքդ ես որոշում կայացնում ու համեմատում։ Սկսվեց!

Առաջադրանքներ.

1. Տրվում է խորանարդ: Խորանարդի եզրի երկարությունն է Գտեք-դի-տե հեռավորությունը se-re-di-ny-ից կտրվածքից մինչև հարթ

2. Հաշվի առնելով աջ-վիլ-նայա չորս-դու-ռեխ-ածուխ-նայա պի-րա-մի-դա Բո-կո-վոե եզրը հարյուր-րո-ին օս-նո-վա-նիա հավասար է: Գտի՛ր այն հեռավորությունները մի կետից մինչև հարթություն, որտեղ եզրերի վրա՝ se-re-di-ի:

3. Օս-բութ-վա-նի-եմ-ով աջ եռանկյունի պի-րա-մի-դեում մյուս եզրը հավասար է, իսկ հարյուր-րո-ոն ոս-նո-վանիան հավասար է: Գտե՛ք վերևից մինչև հարթություն ընկած հեռավորությունները:

4. Աջակողմյան վեց ածուխի պրիզմայում բոլոր եզրերը հավասար են: Գտե՛ք այն հեռավորությունները կետից մինչև հարթություն:

Լուծումներ:

1. Գծե՛ք մեկ եզրերով խորանարդ, կառուցե՛ք հատված և հարթություն, հատվածի կեսը նշե՛ք տառով.

.

Նախ, եկեք սկսենք հեշտից. գտե՛ք կետի կոորդինատները: Այդ ժամանակից ի վեր (հիշեք հատվածի կեսի կոորդինատները):

Այժմ մենք կազմում ենք հարթության հավասարումը երեք կետերի վրա

\[\ձախ| (\սկիզբ(զանգված)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\վերջ(զանգված)) \աջ| = 0\]

Այժմ ես կարող եմ սկսել գտնել հեռավորությունը.

2. Նորից սկսում ենք գծանկարով, որի վրա նշում ենք բոլոր տվյալները։

Բուրգի համար օգտակար կլինի դրա հիմքը առանձին նկարել:

Նույնիսկ այն, որ ես հավի թաթի պես նկարում եմ, մեզ չի խանգարի հեշտությամբ լուծել այս խնդիրը։

Այժմ հեշտ է գտնել կետի կոորդինատները

Քանի որ կետի կոորդինատները

2. Քանի որ ա կետի կոորդինատները հատվածի միջնամասն են, ուրեմն

Մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել հարթության վրա ևս երկու կետի կոորդինատները: Կազմում ենք հարթության հավասարումը և պարզեցնում այն.

\[\ձախ| (\ձախ| (\սկիզբ(զանգված)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\վերջ (զանգված)) \right|) \right| = 0\]

Քանի որ կետն ունի կոորդինատներ՝ , ապա մենք հաշվարկում ենք հեռավորությունը.

Պատասխան (շատ հազվադեպ):

Լավ, հասկացա՞ր։ Ինձ թվում է, որ այստեղ ամեն ինչ նույնքան տեխնիկական է, որքան նախորդ մասում մենք ձեզ հետ քննարկած օրինակներում: Ուստի վստահ եմ, որ եթե դուք տիրապետել եք այդ նյութին, ապա ձեզ համար դժվար չի լինի լուծել մնացած երկու խնդիրները։ Ես ձեզ պարզապես կտամ պատասխանները.

Գծից հարթություն հեռավորության հաշվարկ

Փաստորեն, այստեղ ոչ մի նոր բան չկա։ Ինչպե՞ս կարող են գիծն ու հարթությունը տեղակայվել միմյանց նկատմամբ: Նրանք ունեն բոլոր հնարավորությունները՝ հատվել, կամ ուղիղ գիծը զուգահեռ է հարթությանը։ Ի՞նչ եք կարծում, որքա՞ն է հեռավորությունը գծից մինչև այն հարթությունը, որի հետ հատվում է տվյալ ուղիղը: Ինձ թվում է՝ պարզ է, որ նման հեռավորությունը հավասար է զրոյի։ Անհետաքրքիր դեպք.

Երկրորդ դեպքն ավելի բարդ է. այստեղ հեռավորությունն արդեն զրոյական չէ: Այնուամենայնիվ, քանի որ ուղիղը զուգահեռ է հարթությանը, ուրեմն գծի յուրաքանչյուր կետ այս հարթությունից հավասար է.

Այս կերպ:

Իսկ դա նշանակում է, որ իմ առաջադրանքը կրճատվել է նախորդի վրա՝ մենք փնտրում ենք գծի ցանկացած կետի կոորդինատները, փնտրում ենք հարթության հավասարումը, հաշվում ենք կետից հարթություն հեռավորությունը։ Փաստորեն, քննության նման առաջադրանքները չափազանց հազվադեպ են: Ինձ հաջողվեց գտնել միայն մեկ խնդիր, և դրա մեջ եղած տվյալները այնպիսին էին, որ կոորդինատային մեթոդն այնքան էլ կիրառելի չէր դրա համար:

Հիմա եկեք անցնենք խնդիրների մեկ այլ, շատ ավելի կարևոր դասի.

Կետի և գծի հեռավորության հաշվարկ

Ի՞նչ է մեզ պետք։

1. Այն կետի կոորդինատները, որտեղից մենք փնտրում ենք հեռավորությունը.

2. Ուղիղ գծի վրա ընկած ցանկացած կետի կոորդինատներ

3. Ուղիղ գծի ուղղության վեկտորի կոորդինատները

Ի՞նչ բանաձեւ ենք մենք օգտագործում:

Ի՞նչ է նշանակում այս կոտորակի հայտարարը ձեզ համար և, հետևաբար, պետք է պարզ լինի. սա ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի երկարությունն է: Ահա մի շատ բարդ համարիչ: Արտահայտությունը նշանակում է վեկտորների վեկտորային արտադրյալի մոդուլը (երկարությունը) և Ինչպես հաշվարկել վեկտորային արտադրյալը, մենք ուսումնասիրել ենք աշխատանքի նախորդ մասում։ Թարմացրեք ձեր գիտելիքները, այն մեզ համար շատ օգտակար կլինի հիմա:

Այսպիսով, խնդիրների լուծման ալգորիթմը կլինի հետևյալը.

1. Մենք փնտրում ենք այն կետի կոորդինատները, որտեղից փնտրում ենք հեռավորությունը.

2. Մենք փնտրում ենք գծի ցանկացած կետի կոորդինատները, որտեղ մենք փնտրում ենք հեռավորությունը.

3. Վեկտորի կառուցում

4. Կառուցում ենք ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը

5. Հաշվիր խաչաձև արտադրյալը

6. Մենք փնտրում ենք ստացված վեկտորի երկարությունը.

7. Հաշվիր հեռավորությունը.

Մենք շատ աշխատանք ունենք, և օրինակները բավականին բարդ կլինեն։ Այսպիսով, հիմա կենտրոնացրեք ձեր ամբողջ ուշադրությունը:

1. Dana-ն աջակողմյան եռանկյունաձև պի-րա-մի-դա է՝ գագաթով: Ոս-նո-վա-նիյա պի-րա-մի-դի-ի հարյուր-րո-ն հավասար է, դու-սո-թա հավասար է: Գտեք-դի-այդ հեռավորությունները bo-ko-րդ եզրի se-re-di-ny-ից մինչև ուղիղ գիծ, ​​որտեղ կետերը և կողոսկրերի se-re-di-ny-ն են և համ-ից- վետ. -Սթվեն-բայց.

2. Կողերի երկարությունները և աջանկյուն-ոչ-պարա-ռալ-լե-լե-պի-պե-դա համապատասխանաբար հավասար են, և Գտեք-դի-տե հեռավորությունը top-shi-ny-ից մինչև ուղիղ-my:

3. Աջ վեց ածուխի պրիզմայում երամի բոլոր եզրերը հավասար են, գտե՛ք այն հեռավորությունը կետից մինչև ուղիղ գիծ։

Լուծումներ:

1. Կատարում ենք կոկիկ գծանկար, որի վրա նշում ենք բոլոր տվյալները.

Մենք ձեզ համար շատ աշխատանք ունենք: Ես նախ կցանկանայի բառերով նկարագրել, թե ինչ ենք մենք փնտրում և ինչ հերթականությամբ.

1. Կետերի կոորդինատները և

2. Կետերի կոորդինատները

3. Կետերի կոորդինատները և

4. Վեկտորների կոորդինատները և

5. Նրանց խաչաձեւ արտադրությունը

6. Վեկտորի երկարությունը

7. Վեկտորի արտադրյալի երկարությունը

8. Հեռավորությունը մինչև

Դե, մենք շատ գործ ունենք անելու։ Եկեք ծալենք մեր թևերը։

1. Բուրգի բարձրության կոորդինատները գտնելու համար մենք պետք է իմանանք կետի կոորդինատները, որի կիրառումը զրո է, իսկ օրդինատը հավասար է աբսցիսային: Ի վերջո, մենք ստացանք կոորդինատները.

Կետերի կոորդինատները

2. - հատվածի կեսը

3. - հատվածի կեսը

միջնակետ

4.Կորդինատներ

Վեկտորային կոորդինատներ

5. Հաշվիր վեկտորային արտադրյալը.

6. Վեկտորի երկարությունը. ամենահեշտ ձևը փոխարինելն է, որ հատվածը եռանկյան միջին գիծն է, ինչը նշանակում է, որ այն հավասար է հիմքի կեսին: Այսպիսով.

7. Մենք համարում ենք վեկտորի արտադրյալի երկարությունը.

8. Վերջապես գտե՛ք հեռավորությունը.

Ֆու, այսքանը: Անկեղծ ասած, ձեզ կասեմ. ավանդական մեթոդներով (կոնստրուկցիաների միջոցով) այս խնդրի լուծումը շատ ավելի արագ կլիներ։ Բայց այստեղ ես ամեն ինչ կրճատեցի պատրաստի ալգորիթմի: Կարծում եմ, որ լուծման ալգորիթմը ձեզ համար պարզ է: Ուստի կխնդրեմ, որ մնացած երկու խնդիրները ինքնուրույն լուծեք։ Համեմատե՞լ պատասխանները:

Կրկին կրկնում եմ՝ ավելի հեշտ է (ավելի արագ) լուծել այս խնդիրները կոնստրուկցիաների միջոցով, քան դիմել կոորդինատային մեթոդին։ Ես ցույց տվեցի լուծելու այս ձևը միայն այն բանի համար, որ ձեզ ցույց տամ ունիվերսալ մեթոդ, որը թույլ է տալիս «ոչինչ չավարտել»:

Վերջապես, հաշվի առեք խնդիրների վերջին դասը.

Թեք գծերի միջև հեռավորության հաշվարկ

Այստեղ խնդիրների լուծման ալգորիթմը նման կլինի նախորդին։ Ինչ ունենք.

3. Առաջին և երկրորդ տողերի կետերը միացնող ցանկացած վեկտոր.

Ինչպե՞ս ենք գտնում տողերի միջև եղած հեռավորությունը:

Բանաձևը հետևյալն է.

Համարիչը խառը արտադրյալի մոդուլն է (մենք ներկայացրել ենք նախորդ մասում), իսկ հայտարարը՝ ինչպես նախորդ բանաձևում (գծերի ուղղորդող վեկտորների վեկտորային արտադրյալի մոդուլը, որի միջև մենք փնտրում ենք հեռավորությունը. համար):

Հիշեցնեմ դա

ապա հեռավորության բանաձևը կարող է վերաշարադրվել որպես:

Բաժանե՛ք այս որոշիչը որոշիչի վրա։ Չնայած, ճիշտն ասած, ես այստեղ կատակների տրամադրություն չունեմ։ Այս բանաձևը, ըստ էության, շատ ծանր է և հանգեցնում է բավականին բարդ հաշվարկների։ Եթե ​​ես քո տեղը լինեի, ես դա կօգտագործեի միայն որպես վերջին միջոց:

Փորձենք լուծել մի քանի խնդիր՝ օգտագործելով վերը նշված մեթոդը.

1. Ուղղանկյուն եռանկյուն պրիզմայում բոլոր եզրերը ինչ-որ կերպ հավասար են, գտե՛ք ուղիղների միջև եղած հեռավորությունը և.

2. Հաշվի առնելով աջ առջևի ձևավորված եռանկյուն պրիզմա, ինչ-որ մեկի os-no-va-niya-ի բոլոր եզրերը հավասար են Se-che-tion-ին, անցնելով մյուս կողով և se-re-di-nu կողերով. yav-la-et-sya քառակուսի-ra-tom. Գտեք-di-te dis-sto-I-nie ուղիղ-we-mi-ի և

Ես որոշում եմ առաջինը, իսկ դրա հիման վրա դուք՝ երկրորդը։

1. Նկարում եմ պրիզմա և նշում գծերը և

C կետի կոորդինատները՝ ապա

Կետերի կոորդինատները

Վեկտորային կոորդինատներ

Կետերի կոորդինատները

Վեկտորային կոորդինատներ

Վեկտորային կոորդինատներ

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \աջ) = \ձախ| (\սկիզբ(զանգված)(*(20)(l))(\սկիզբ(զանգված)(*(20)(c))0&1&0\վերջ(զանգված)\\(\սկիզբ(զանգված)(*(20) (գ))0&0&1\վերջ(զանգված))\\(\սկիզբ(զանգված)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \frac(1) (2))&1\վերջ (զանգված))\վերջ (զանգված)) \աջ| = \frac((\sqrt 3))(2)\]

Մենք դիտարկում ենք խաչաձև արտադրյալը վեկտորների միջև և

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \ձախ| \սկիզբ(զանգված)(l)\սկիզբ(զանգված)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j)&(\overrightarrow k)\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\վերջ(զանգված)\\\սկիզբ(զանգված)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Այժմ մենք դիտարկում ենք դրա երկարությունը.

Պատասխան.

Այժմ փորձեք ուշադիր կատարել երկրորդ խնդիրը: Դրա պատասխանը կլինի.

Կոորդինատներ և վեկտորներ. Համառոտ նկարագրություն և հիմնական բանաձևեր

Վեկտորը ուղղորդված հատված է: - վեկտորի սկիզբը, - վեկտորի վերջը:
Վեկտորը նշանակվում է կամ.

Բացարձակ արժեքվեկտոր - վեկտորը ներկայացնող հատվածի երկարությունը: Նշանակված է որպես.

Վեկտորի կոորդինատները.

,
որտեղ են վեկտորի ծայրերը \displaystyle a .

Վեկտորների գումարը՝ .

Վեկտորների արտադրյալը.

Վեկտորների կետային արտադրյալ.

Վեկտորների սկալյար արտադրյալը հավասար է դրանց բացարձակ արժեքների և նրանց միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալին.

ՄՆԱՑՎԱԾ 2/3 ՀՈԴՎԱԾՆԵՐԸ ՀԱՍԱՆԵԼԻ ԵՆ ՄԻԱՅՆ ՁԵԶ ՈՒՍԱՆՈՂՆԵՐԻՆ:

Դարձեք YouClever-ի ուսանող,

Պատրաստվեք OGE-ին կամ մաթեմատիկայի ՕԳՏԱԳՈՐԾՄԱՆ «ամսական մեկ բաժակ սուրճի» գնով։

Եվ նաև ստացեք անսահմանափակ մուտք դեպի «YouClever» դասագիրք, «100gia» ուսումնական ծրագիր (լուծումների գիրք), անսահմանափակ փորձնական USE և OGE, 6000 առաջադրանքներ լուծումների վերլուծությամբ և այլ YouClever և 100gia ծառայություններ:

Ստորև բերված հոդվածում կքննարկվեն հատվածի միջնամասի կոորդինատները գտնելու հարցերը նրա ծայրահեղ կետերի կոորդինատների առկայության դեպքում որպես սկզբնական տվյալ։ Բայց մինչ հարցի ուսումնասիրությանը անցնելը ներկայացնում ենք մի շարք սահմանումներ։

Սահմանում 1

Բաժին- երկու կամայական կետեր միացնող ուղիղ գիծ, ​​որը կոչվում է հատվածի ծայրեր: Որպես օրինակ, թող դրանք լինեն A և B կետերը և, համապատասխանաբար, A B հատվածը:

Եթե ​​A B հատվածը A և B կետերից շարունակվի երկու ուղղություններով, ապա կստանանք A B ուղիղ գիծ: Այնուհետև A B հատվածը ստացված ուղիղ գծի մի մասն է, որը սահմանափակված է A և B կետերով: A B հատվածը միավորում է A և B կետերը, որոնք նրա ծայրերն են, ինչպես նաև դրանց միջև ընկած կետերի բազմությունը: Եթե, օրինակ, վերցնենք ցանկացած կամայական K կետ, որը գտնվում է A և B կետերի միջև, կարող ենք ասել, որ K կետը գտնվում է A B հատվածի վրա:

Սահմանում 2

Կտրեք երկարությունըտրված մասշտաբով հատվածի ծայրերի միջև հեռավորությունն է (միավոր երկարության հատված): A B հատվածի երկարությունը նշում ենք հետևյալ կերպ՝ A B .

Սահմանում 3

միջնակետԳծային հատվածի մի կետ, որը հավասար է նրա ծայրերից: Եթե ​​A B հատվածի կեսը նշանակվի C կետով, ապա հավասարությունը ճիշտ կլինի՝ A C \u003d C B

Սկզբնական տվյալներ՝ կոորդինատային O x և դրա վրա անհամապատասխան կետեր՝ A և B: Այս կետերը համապատասխանում են իրական թվերին x Ա և x Բ. C կետը A B հատվածի միջնակետն է. անհրաժեշտ է որոշել կոորդինատը x C.

Քանի որ C կետը A B հատվածի միջնակետն է, ապա հավասարությունը ճիշտ կլինի՝ | A C | = | Գ Բ | . Կետերի միջև հեռավորությունը որոշվում է դրանց կոորդինատների տարբերության մոդուլով, այսինքն.

| A C | = | Գ Բ | ⇔ x C - x A = x B - x C

Այնուհետև հնարավոր է երկու հավասարություն՝ x C - x A = x B - x C և x C - x A = - (x B - x C)

Առաջին հավասարությունից մենք ստանում ենք բանաձև C կետի կոորդինատի համար. x C \u003d x A + x B 2 (հատվածի ծայրերի կոորդինատների գումարի կեսը):

Երկրորդ հավասարությունից ստանում ենք՝ x A = x B , ինչը անհնար է, քանի որ սկզբնական տվյալների մեջ՝ անհամապատասխան կետեր: Այս կերպ, A B հատվածի միջնակետի կոորդինատները որոշելու բանաձև A (x A) ծայրերով և B (xB):

Ստացված բանաձեւը հիմք կհանդիսանա հարթության կամ տարածության վրա հատվածի միջնակետի կոորդինատները որոշելու համար:

Սկզբնական տվյալներ՝ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y հարթության վրա, երկու կամայական չհամընկնող կետեր՝ տրված A x A, y A և B x B, y B կոորդինատներով: C կետը A B հատվածի միջնակետն է: C կետի համար անհրաժեշտ է որոշել x C և y C կոորդինատները:

Վերլուծության համար վերցնենք այն դեպքը, երբ A և B կետերը չեն համընկնում և չեն գտնվում նույն կոորդինատային գծի կամ առանցքներից մեկին ուղղահայաց գծի վրա։ A x, A y; B x, B y և C x, C y - A, B և C կետերի կանխատեսումները կոորդինատային առանցքների վրա (ուղիղ գծեր O x և O y):

Ըստ կառուցման՝ A A x , B B x , C C x ուղիղները զուգահեռ են; գծերը նույնպես զուգահեռ են միմյանց: Սրա հետ մեկտեղ, ըստ Թալեսի թեորեմի, AC \u003d CB հավասարությունից հետևում են հավասարությունները՝ A x C x \u003d C x B x և A y C y \u003d C y B y, և նրանք, իր հերթին, նշեք, որ C x կետը A x B x հատվածի միջինն է, իսկ C y-ը A y B y հատվածի միջինն է: Եվ հետո, հիմնվելով ավելի վաղ ստացված բանաձևի վրա, մենք ստանում ենք.

x C = x A + x B 2 և y C = y A + y B 2

Նույն բանաձևերը կարող են օգտագործվել այն դեպքում, երբ A և B կետերը գտնվում են նույն կոորդինատային գծի կամ առանցքներից մեկին ուղղահայաց գծի վրա: Մենք այս գործի մանրամասն վերլուծություն չենք անցկացնի, մենք այն կդիտարկենք միայն գրաֆիկորեն.

Ամփոփելով վերը նշված բոլորը. A B հատվածի կեսի կոորդինատները հարթության վրա ծայրերի կոորդինատներով A (x A, y A) Եվ B(x B, y B) սահմանվում է որպես:

(x A + x B 2, y A + y B 2)

Սկզբնական տվյալներ՝ կոորդինատային համակարգ О x y z և երկու կամայական կետեր A (x A, y A, z A) և B (x B, y B, z B) կոորդինատներով: Անհրաժեշտ է որոշել C կետի կոորդինատները, որը A B հատվածի միջինն է:

A x, A y, A z; B x, B y, B z և C x, C y, C z - կոորդինատային համակարգի առանցքների վրա տրված բոլոր կետերի կանխատեսումները:

Համաձայն Թալեսի թեորեմի՝ հավասարությունները ճշմարիտ են՝ A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z.

Հետևաբար, C x, C y, C z կետերը համապատասխանաբար A x B x, A y B y, A z B z հատվածների միջնակետերն են: Հետո, Տիեզերքում հատվածի կեսի կոորդինատները որոշելու համար ճշմարիտ են հետևյալ բանաձևերը.

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Ստացված բանաձևերը կիրառելի են նաև այն դեպքերում, երբ A և B կետերը գտնվում են կոորդինատային գծերից մեկի վրա. առանցքներից մեկին ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա; մեկ կոորդինատային հարթությունում կամ կոորդինատային հարթություններից մեկին ուղղահայաց հարթությունում:

Հատվածի միջին հատվածի կոորդինատների որոշում նրա ծայրերի շառավղային վեկտորների կոորդինատների միջոցով

Հատվածի կեսի կոորդինատները գտնելու բանաձևը կարող է ստացվել նաև ըստ վեկտորների հանրահաշվական մեկնաբանության։

Սկզբնական տվյալներ՝ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգ O x y, տրված A (x A, y A) և B (x B, x B) կոորդինատներով կետեր: C կետը A B հատվածի միջնակետն է:

Ըստ վեկտորների վրա գործողությունների երկրաչափական սահմանման՝ ճշմարիտ կլինի հետևյալ հավասարությունը՝ O C → = 1 2 · O A → + O B → . C կետն այս դեպքում O A → և O B → վեկտորների հիման վրա կառուցված զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետն է, այսինքն. անկյունագծերի միջնամասի կետը Կետի շառավիղի վեկտորի կոորդինատները հավասար են կետի կոորդինատներին, ապա ճիշտ են հավասարությունները՝ OA → = (x A , y A) , OB → = (x B. , y Բ) . Կատարենք մի քանի գործողություններ վեկտորների վրա կոորդինատներով և ստացենք.

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2, y A + y B 2

Հետևաբար, C կետն ունի կոորդինատներ.

x A + x B 2, y A + y B 2

Անալոգիայով սահմանվում է բանաձև՝ տարածության մեջ հատվածի միջնակետի կոորդինատները գտնելու համար.

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Հատվածի միջնամասի կոորդինատները գտնելու խնդիրների լուծման օրինակներ

Վերևում ստացված բանաձևերի օգտագործումը ներառող առաջադրանքների թվում կան և՛ այնպիսիք, որոնցում հարցն ուղղակիորեն պետք է հաշվարկի հատվածի միջին կոորդինատները, և՛ նրանք, որոնք ներառում են տվյալ պայմանները այս հարցին բերելը. «միջին» տերմինը: հաճախ օգտագործվում է, նպատակը հատվածի ծայրերից մեկի կոորդինատները գտնելն է, ինչպես նաև համաչափության վերաբերյալ խնդիրներ, որոնց լուծումն ընդհանուր առմամբ նույնպես չպետք է դժվարություններ առաջացնի այս թեման ուսումնասիրելուց հետո։ Դիտարկենք բնորոշ օրինակներ.

Օրինակ 1

Նախնական տվյալներ.հարթության վրա՝ կետեր՝ տրված A (- 7, 3) և B (2, 4) կոորդինատներով: Անհրաժեշտ է գտնել A B հատվածի միջնակետի կոորդինատները։

Լուծում

A B հատվածի կեսը նշանակենք C կետով: Դրա կոորդինատները կորոշվեն որպես հատվածի ծայրերի կոորդինատների գումարի կեսը, այսինքն. A և B կետերը.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Պատասխանել A B հատվածի կեսի կոորդինատները - 5 2, 7 2:

Օրինակ 2

Նախնական տվյալներ.Հայտնի են A B C եռանկյան կոորդինատները՝ A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) ։ Անհրաժեշտ է գտնել A M միջնագծի երկարությունը:

Լուծում

1. Խնդրի պայմանով A M-ը միջինն է, ինչը նշանակում է, որ M-ը B C հատվածի միջնակետն է: Առաջին հերթին, մենք գտնում ենք B C հատվածի կեսի կոորդինատները, այսինքն. M միավոր:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Քանի որ մենք այժմ գիտենք մեդիանայի երկու ծայրերի կոորդինատները (կետ A և M), մենք կարող ենք օգտագործել բանաձևը կետերի միջև հեռավորությունը որոշելու և A M միջնագծի երկարությունը հաշվարկելու համար.

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Պատասխան. 58

Օրինակ 3

Նախնական տվյալներ.Եռաչափ տարածության ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում տրված է զուգահեռատիպ A B C D A 1 B 1 C 1 D 1: Տրված են C 1 (1, 1, 0) կետի կոորդինատները, սահմանվում է նաև M կետը, որը B D 1 անկյունագծի միջնակետն է և ունի M (4, 2, - 4) կոորդինատները։ Անհրաժեշտ է հաշվարկել Ա կետի կոորդինատները։

Լուծում

Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են մի կետում, որը բոլոր անկյունագծերի միջնակետն է: Ելնելով այս պնդումից՝ կարող ենք նկատի ունենալ, որ խնդրի պայմաններով հայտնի M կետը А С 1 հատվածի միջինն է։ Տիեզերքում հատվածի կեսի կոորդինատները գտնելու բանաձևի հիման վրա մենք գտնում ենք A կետի կոորդինատները՝ x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

Պատասխան. A կետի կոորդինատները (7, 3, - 8) .

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter