Խաղեր

Քառակուսի լուծելու 10 եղանակ. Քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ. Քառակուսային հավասարումների զարգացման պատմություն

https://pandia.ru/text/78/082/images/image002_237.gif" height="952"> Փոխըմբռնման հուշագիր «Սերգիևսկայայի միջնակարգ դպրոց».

Ավարտեց՝ Սիզիկով Ստանիսլավ

Ուսուցիչ:

Հետ. Սերգիևկա, 2007 թ

1. Ներածություն. Քառակուսի հավասարումներ Հին Բաբելոնում………………….3

2. Քառակուսի հավասարումներ դիաֆանտում………………………………………….4

3. Քառակուսի հավասարումներ Հնդկաստանում …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

4. Քառակուսի հավասարումներ ալ-Խորեզմիում ………………………………………..6

5. Քառակուսի հավասարումներ Եվրոպայում XIII - XYII……………………………………7

6. Վիետայի թեորեմի մասին ………………………………………………………………..9

7. Քառակուսային հավասարումների լուծման տասը եղանակ………………………..10

8. Եզրակացություն ………………………………………………………………………20

9. Հղումներ …………………………………………………………………………………………………

Ներածություն

Քառակուսային հավասարումներ

Քառակուսի հավասարումները այն հիմքն են, որի վրա հենվում է հանրահաշվի վեհաշուք շենքը: Քառակուսային հավասարումները լայնորեն կիրառվում են եռանկյունաչափական, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական, իռացիոնալ հավասարումներ լուծելիս։ Մենք բոլորս գիտենք, թե ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ՝ սկսած 8-րդ դասարանից։ Բայց ինչպե՞ս է ծագել և զարգացել քառակուսի հավասարումների լուծման պատմությունը։

Քառակուսի հավասարումներ Հին Բաբելոնում

Ոչ միայն առաջին, այլև երկրորդ աստիճանի հավասարումներ լուծելու անհրաժեշտությունը դեռևս հին ժամանակներում առաջացել է հողատարածքների հայտնաբերման հետ կապված խնդիրների լուծման անհրաժեշտությամբ. ռազմական բնույթի հողային աշխատանքներ, ինչպես նաև բուն աստղագիտության և մաթեմատիկայի զարգացմամբ։ Քառակուսային հավասարումները կարողացան լուծել մոտ 2000 մ.թ.ա. ե. բաբելոնացիներ. Օգտագործելով ժամանակակից հանրահաշվական նշումը, կարող ենք ասել, որ նրանց սեպագիր տեքստերում, բացի թերիներից, կան, օրինակ, ամբողջական քառակուսի հավասարումներ՝ x2 + x = , : x2 - x = 14https://pandia.ru/text/ 78/082 /images/image005_150.gif" width="16" height="41 src=">)2 + 12 = x; Բհասկարան գրում է քողի տակ

x2- 64X = - 768

և այս հավասարման ձախ կողմը քառակուսին լրացնելու համար նա երկու կողմերին ավելացնում է 322՝ ստանալով, ապա. x2- 64x + 322 = - 768 + 1024;

(X- 32)2 = 256; X - 32 = ± 16, xt = 16, հգ= 48.

Քառակուսային հավասարումներ ալ-Խորեզմիում

Ալ-Խվարեզմիի հանրահաշվական տրակտատը տալիս է գծային և քառակուսի հավասարումների դասակարգում։ Հեղինակը թվարկում է 6 տեսակի հավասարումներ՝ դրանք արտահայտելով այսպես.

1) «Քառակուսիները հավասար են արմատներին», այսինքն. ax2 = in.

2) «Քառակուսիները հավասար են թվին», այսինքն. ահ2= Հետ.

3) «Արմատները հավասար են թվին», այսինքն. ախ = ս.

4) «Քառակուսիները և թվերը հավասար են արմատներին», այսինքն. ահ2+ գ = մեջ.

5) «Քառակուսիները և արմատները հավասար են թվին», այսինքն. ահ2+ մեջ = s.

6) «Արմատները և թվերը հավասար են քառակուսիների», այսինքն. մեջ+ c \u003d ax2.Ալ-Խվարեզմիի համար, ով խուսափում էր բացասական թվերի օգտագործումից, այս հավասարումներից յուրաքանչյուրի անդամները հավելումներ են, ոչ թե հանումներ։ Այս դեպքում ակնհայտորեն հաշվի չեն առնվում այն հավասարումները, որոնք չունեն դրական լուծումներ։ Հեղինակը սահմանում է այս հավասարումների լուծման մեթոդները: Նրա որոշումը, իհարկե, լիովին չի համընկնում մեր որոշման հետ։ Էլ չենք խոսում այն մասին, որ այն զուտ հռետորական է, պետք է նշել, օրինակ, որ առաջին տիպի թերի քառակուսի հավասարումը լուծելիս ալ-Խվարեզմին, ինչպես և բոլոր մաթեմատիկոսները մինչև 17-րդ դարը, հաշվի չեն առնում զրոն. լուծում, հավանաբար այն պատճառով, որ կոնկրետ գործնական առաջադրանքներում դա նշանակություն չունի: Ամբողջական քառակուսի հավասարումներ լուծելիս ալ-Խվարեզմին սահմանում է դրանք լուծելու կանոնները՝ օգտագործելով որոշակի թվային օրինակներ, այնուհետև դրանց երկրաչափական ապացույցները։

Օրինակ բերենք.

Խնդիր 14. «Քառակուսին և 21 թիվը հավասար են 10 արմատի։ Գտեք արմատը» (նկատի ունի հավասարման արմատը x2+ 21 = 10X).

Հեղինակային լուծումը մոտավորապես այսպիսին է՝ արմատների թիվը կիսով չափ բաժանեք, ստացվում է 5, բազմապատկեք 5-ը, արտադրյալից հանեք 21, մնում է 4, Վերցրեք 4-ի արմատը, կստանաք 2, 5-ից հանեք 2, դուք. ստացեք 3, սա կլինի ցանկալի արմատը: Կամ 5-ին ավելացրեք 2, որը կտա 7, սա նույնպես արմատ է։

Ալ-Խվարեզմիի տրակտատը մեզ հասած առաջին գիրքն է, որտեղ համակարգված կերպով ներկայացված է քառակուսի հավասարումների դասակարգումը և տրված են դրանց լուծման բանաձևերը։

Քառակուսի հավասարումներ ԵվրոպայումXIII- XVIIդարեր

Եվրոպայում ալ-Խվարիզմի մոդելի վրա քառակուսի հավասարումների լուծման բանաձևերը առաջին անգամ ներկայացվել են Աբակուսի գրքում (հրատարակվել է Հռոմում անցյալ դարի կեսերին, Ֆիբոնաչիի գիրքը պարունակում է 459 էջ), գրված է. Իտալացի մաթեմատիկոս Լեոնարդո Ֆիբոնաչիի կողմից 1202 թ. Այս ծավալուն աշխատությունը, որն արտացոլում է մաթեմատիկայի ազդեցությունը ինչպես իսլամի, այնպես էլ Հին Հունաստանի երկրներից, առանձնանում է ինչպես ամբողջականությամբ, այնպես էլ մատուցման հստակությամբ: Հեղինակն ինքնուրույն մշակել է խնդրի լուծման մի քանի նոր հանրահաշվական օրինակներ և առաջին մեջԵվրոպան մոտեցավ բացասական թվերի ներմուծմանը. Նրա գիրքը նպաստել է հանրահաշվական գիտելիքների տարածմանը ոչ միայն Իտալիայում, այլեւ Գերմանիայում, Ֆրանսիայում եւ եվրոպական այլ երկրներում։ Աբակուսի գրքից շատ առաջադրանքներ անցել են 16-17-րդ դարերի եվրոպական գրեթե բոլոր դասագրքերում։ և մասամբ XVIII.

Քառակուսային հավասարումներ լուծելու ընդհանուր կանոն՝ իջեցված մեկ կանոնական ձևի x2+ in = s,գործակիցների նշանների բոլոր հնարավոր համակցությունների համար մեջ, հետԵվրոպայում ձեւակերպվել է միայն 1544 թ. Մ.Շտիֆել.

Վիետան ունի քառակուսի հավասարման լուծման բանաձևի ընդհանուր ածանցավորում, բայց Վիետան ճանաչեց միայն դրական արմատներ: Իտալացի մաթեմատիկոսներ Տարտալիան, Կարդակոն, Բոմբելլին առաջիններից էին 16-րդ դարում։ հաշվի առնել, բացի դրական, և բացասական արմատներից: Միայն XVII դ. Ժիրարի, Դեկարտի, Նյուտոնի և այլ գիտնականների աշխատությունների շնորհիվ քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդը ժամանակակից տեսք է ստանում։

Վիետայի թեորեմի մասին

Վիետա անունը կրող քառակուսի հավասարման գործակիցների և նրա արմատների միջև կապն արտահայտող թեորեմն առաջին անգամ ձևակերպել է նրա կողմից 1591 թվականին հետևյալ կերպ. «Եթե. AT+ Դ, բազմապատկած ԲԱՅՑմինուս A2,հավասար է ԲԴ, ապա ԲԱՅՑհավասար է ATև հավասար Դ».

Վիետային հասկանալու համար պետք է հիշել դա ԲԱՅՑ,ինչպես ցանկացած
ձայնավոր, նրա համար անհայտ (մեր X),ձայնավորներ
AT,Դ- գործակիցներ անհայտի համար: Ժամանակակից հանրահաշվի լեզվով Վիետայի վերը նշված ձևակերպումը նշանակում է՝ եթե

(ա+ գ) x - x 2 = աբ, x2 - (a+ բ) x + աբ = 0, x1 = a, x2 = b.

Արտահայտելով հավասարումների արմատների և գործակիցների միջև կապը խորհրդանիշների միջոցով գրված ընդհանուր բանաձևերով՝ Վիետը հաստատեց հավասարումների լուծման մեթոդների միատեսակությունը։ Այնուամենայնիվ, Վիետայի սիմվոլիկան դեռ հեռու է իր ժամանակակից ձևից: Նա բացասական թվեր չէր ճանաչում և, հետևաբար, հավասարումներ լուծելիս հաշվի էր առնում միայն այն դեպքերը, երբ բոլոր արմատները դրական են:

Քառակուսային հավասարումների լուծման տասը եղանակներ

Մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացում ուսումնասիրվում են քառակուսի հավասարումների արմատների բանաձևերը, որոնց օգնությամբ կարելի է լուծել ցանկացած քառակուսի հավասարումներ։ Այնուամենայնիվ, կան քառակուսի հավասարումներ լուծելու այլ եղանակներ, որոնք թույլ են տալիս լուծել շատ հավասարումներ շատ արագ և ռացիոնալ: Քառակուսային հավասարումները լուծելու տասը եղանակ կա: Դիտարկենք դրանցից յուրաքանչյուրը:

1. Հավասարման ձախ կողմի գործոնացում

Եկեք լուծենք հավասարումը x2+ 10X- 24 = 0. Եկեք գործոնացնենք հավասարման ձախ կողմը.

x2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 =

X(x + x + 12) = (x + 12) (x - 2):

Հետևաբար, հավասարումը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

( X + 12) (x - 2) = 0:

Քանի որ արտադրանքը զրո է, դրա գործակիցներից առնվազն մեկը զրո է։ Հետևաբար, հավասարման ձախ կողմը անհետանում է, երբ x = 2, ինչպես նաև X= - 12. Սա նշանակում է, որ 2 և - 12 թվերը x2 + 10x - 24 = 0 հավասարման արմատներն են։

2. Ամբողջական քառակուսի ընտրության մեթոդ

Եկեք բացատրենք այս մեթոդը օրինակով.

Եկեք լուծենք x2 + 6x - 7 = 0 հավասարումը: Ձախ կողմում ընտրեք լրիվ քառակուսի: Դա անելու համար մենք գրում ենք x2 + 6x արտահայտությունը հետևյալ ձևով.

x2 + 6x = x2 + 2 * x * 3.

Ստացված արտահայտության մեջ առաջին անդամը x թվի քառակուսին է, իսկ երկրորդը՝ x-ի կրկնակի արտադրյալը 3-ով։ Հետևաբար, լրիվ քառակուսին ստանալու համար անհրաժեշտ է ավելացնել 32, քանի որ.

x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2.

Այժմ մենք վերափոխում ենք հավասարման ձախ կողմը

x2 + 6x - 7 = 0,

գումարելով դրան և հանելով 32. Ունենք.

x2 + 6x - 7 = x2 + 2 X 3 +– 7 = (X- \u003d (x - Z) 2 - 16 .

Այսպիսով, այս հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

(x + = 0, այսինքն. (x + 3) 2 = 16:

հետևաբար, X+ 3 \u003d 4 x1 \u003d 1, կամ x + 3 \u003d - 4, x2 \u003d - 7:

3. Քառակուսային հավասարումների լուծում բանաձևով

Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը

ահ2+ մեջ+ գ = 0, ա ≠ 0, վրա 4 աև հաջորդաբար ունենք.

4a2 x2 + 4աբքս+ 4ac = 0,

((2ax)2 + 2 աքսբ + բ2 ) - բ2 + 4ac= 0,

(2ax +բ)2 = in2- 4ac,

2 ax+ բ= ± https://pandia.ru/text/78/082/images/image006_128.gif" width="71" height="27">, x1,2 =

Դրական դիսկրիմինանտի դեպքում, այսինքն՝ հետ v2 - 4ac > 0, հավասարում ահ2+ մեջ + s= 0-ն ունի երկու տարբեր արմատներ:

Եթե տարբերակիչը զրո է, այսինքն. v2 - 4ac = 0, ապա հավասարումը ահ2+ մեջ+ Հետ= 0-ն ունի մեկ արմատ, x = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image009_95.gif" width="14" height="62"> Դրա արմատները բավարարում են Վիետայի թեորեմը, որը. երբ ա= 1-ն ունի ձև

x1 x2 = ք,

x1 + x2 = - Ռ.

Դրանից մենք կարող ենք անել հետևյալ եզրակացությունները (գործակիցներով Ռև քարմատային նշանները կարելի է կանխատեսել):

ա) Եթե ազատ անդամ քկրճատված հավասարում (1)
դրական (ք> 0), ապա հավասարումը ունի երկու նույնական
արմատի նշանով և դա կախված է երկրորդ գործակիցից Ռ
Եթե Ռ> 0, ապա երկու արմատներն էլ բացասական են, եթե Ռ< 0, ապա երկուսն էլ
արմատները դրական են:

Օրինակ,

x2- 3X + 2 = 0; x1= 2 և x2 = 1, քանի որ ք = 2 > 0 u էջ = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 \u003d - 7 և x2 \u003d - 1, քանի որ ք= 7 > 0 և Ռ = 8 > 0.

բ) Եթե ազատ անդամ քկրճատված հավասարում (1)
բացասական (ք < 0), ապա հավասարումն ունի տարբեր նշանի երկու արմատ, և բացարձակ արժեքով ավելի մեծ արմատը դրական կլինի, եթե Ռ< 0, կամ բացասական, եթե p > 0.

Օրինակ,

x2 + 4x - 5 = 0; x1 \u003d - 5 և x2 \u003d 1, քանի որ ք = - 5 < 0 и Ռ= 4 > 0;

x2 - 8x - 9 = 0; x1 = 9 և x2= - 1 քանի որ ք = - 9 < и Ռ= - 8 < 0.

5. Հավասարումների լուծում «փոխանցման» մեթոդով.

Դիտարկենք քառակուսի հավասարումը ax2 + in+ գ = 0, որտեղ ա ≠ 0. Նրա երկու մասերը բազմապատկելով ա,մենք ստանում ենք հավասարումը a2x2 +աբքս+ ac= 0.

Թող ah = yորտեղ X=; հետո գալիս ենք հավասարմանը

y2+ կողմից+ ac = 0,

համարժեք այս մեկին: նրա արմատները y1և y2գտնել Վիետայի թեորեմի օգնությամբ. Վերջապես մենք ստանում ենք x1= https://pandia.ru/text/78/082/images/image012_77.gif" width="24" height="43">:

Այս մեթոդով գործակիցը աբազմապատկվում է ազատ տերմինով, կարծես «նետված» է դրան, ինչի համար էլ կոչվում է փոխանցման եղանակը.Այս մեթոդը կիրառվում է, երբ հեշտ է գտնել հավասարման արմատները՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, և ամենակարևորը, երբ դիսկրիմինանտը ճշգրիտ քառակուսի է։

1. Լուծե՛ք 2x2 - 11x + 15 = 0 հավասարումը։

Լուծում. 2 գործակիցը «փոխանցենք» ազատ անդամին, արդյունքում ստանում ենք հավասարումը

y2 - 11 ժամը+ 30 = 0.

Վիետայի թեորեմի համաձայն՝ y1 = 5, y2 = 6, հետևաբար x1 = https://pandia.ru/text/78/082/images/image014_69.gif" width="16 height=41" height="41" >, տ ե.

x1 = 2,5 x2 = 3:

Պատասխան. 2,5; 3.

6. Քառակուսու գործակիցների հատկություններըհավասարումներ

Ա. Թող տրվի քառակուսի հավասարում

ax2 + in + c= 0, որտեղ ա ≠ 0.

1. Եթե + մեջ + հետ= 0 (այսինքն՝ հավասարման գործակիցների գումարը հավասար է զրոյի), ապա x1 = 1, x2 = .

2. Եթե a - b + c= 0, կամբ = ա + գ, ապա x1 = - 1, X 2 = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image016_58.gif" width="44 height=41" height="41">:

Պատասխան. 1; 184">

Հնարավոր են հետևյալ դեպքերը.

Ուղիղ գիծը և պարաբոլան կարող են հատվել երկու կետում, հատման կետերի աբսցիսները քառակուսի հավասարման արմատներն են.

Ուղիղ գիծը և պարաբոլան կարող են դիպչել (միայն մեկ ընդհանուր կետ), այսինքն՝ հավասարումն ունի մեկ լուծում.

Ուղիղ գիծը և պարաբոլան չունեն ընդհանուր կետեր, այսինքն՝ քառակուսի հավասարումն արմատներ չունի։

Օրինակներ.

1. Գրաֆիկորեն լուծենք x2 - 3x - 4 = 0 հավասարումը (նկ. 2):

Լուծում.Հավասարումը գրում ենք ձևով x2 = 3x + 4:

Եկեք կառուցենք պարաբոլա y = x2և ուղղակի y= 3x + 4. Ուղիղ ժամը= 3x + 4-ը կարելի է կառուցել երկու M(0; 4) և N(3; 13) կետերից: Ուղղը և պարաբոլան հատվում են երկու կետով Ա-ից Բաբսցիսով x1= - 1 և x2 = 4:

Պատասխան՝ x1= - 1, x, = 4:

8. Քառակուսային հավասարումների լուծումը կողմնացույցով և ուղղանկյունով

Պարաբոլայի միջոցով քառակուսի հավասարումներ լուծելու գրաֆիկական ձևն անհարմար է։ Եթե կետ առ կետ կառուցում եք պարաբոլա, ապա դա շատ ժամանակ է պահանջում, իսկ ստացված արդյունքների ճշգրտության աստիճանը ցածր է։

Մենք առաջարկում ենք քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու հետևյալ մեթոդը

ահ2+ մեջ+ Հետ= 0

օգտագործելով կողմնացույց և քանոն (նկ.):

Ենթադրենք, որ ցանկալի շրջանագիծը հատում է աբսցիսայի առանցքը կետերում Բ(x1; 0) և Դ(x2 ; 0), որտեղ x1և x2- հավասարման արմատները ax2 + in+Հետ=0,
և անցնում է y առանցքի A(0; 1) և C(0; ) կետերով..gif" width="197" height="123">

Այսպիսով՝ 1) կառուցեք կետեր https://pandia.ru/text/78/082/images/image023_40.gif" width="171" height="45"> շրջանագիծը հատում է OX առանցքը B կետում (x1;0): ), և D (x1 ; 0), որտեղ x1 և x2 - ax2+bx+c քառակուսի հավասարման արմատները = 0.

2) Շրջանակի շառավիղը հավասար է կենտրոնի օրդինատին , շրջանագիծը դիպչում է x առանցքին B(x1; 0) կետում, որտեղ xxքառակուսի հավասարման արմատն է։

3) Շրջանակի շառավիղը փոքր է ձախ կենտրոնի օրդինատից»>

https://pandia.ru/text/78/082/images/image029_34.gif" width="612" height="372">40" height="14">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image031_28.gif" width="612" height="432 src=">

որտեղից հետո փոխարինումներ և

պարզեցումներով, հետևում է z2+pz+q=0 հավասարումը, իսկ z տառը նշանակում է կորագիծ մասշտաբի ցանկացած կետի պիտակ:

10. Քառակուսային հավասարումների լուծման երկրաչափական մեթոդ

Հնում, երբ երկրաչափությունն ավելի զարգացած էր, քան հանրահաշիվը, քառակուսի հավասարումները լուծվում էին ոչ թե հանրահաշվորեն, այլ երկրաչափական եղանակով։ Բերենք մի օրինակ, որը հայտնի է դարձել Ալ-Խավարիզմի հանրահաշիվից:

Եվ չորս կցված քառակուսի, այսինքն՝ S=x2+10x+25: x2+10x-ը փոխարինելով 39-ով, ստանում ենք S = 39 + 25 = 64, ինչը նշանակում է, որ քառակուսու կողմը. Ա Բ Գ Դ, այսինքն հատված ԱԲ= 8. Ցանկալի կողմի համար Xսկզբնական քառակուսին մենք ստանում ենք

Եզրակացություն

Մենք բոլորս գիտենք, թե ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ՝ դպրոցից մինչև ավարտական։ Բայց մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացում ուսումնասիրվում են քառակուսի հավասարումների արմատների բանաձեւերը, որոնց օգնությամբ կարելի է լուծել ցանկացած քառակուսի հավասարումներ։ Այնուամենայնիվ, ավելի խորը ուսումնասիրելով այս հարցը, ես համոզվեցի, որ կան քառակուսի հավասարումներ լուծելու այլ եղանակներ, որոնք թույլ են տալիս շատ հավասարումներ լուծել շատ արագ և ռացիոնալ:

Միգուցե մաթեմատիկան ինչ-որ տեղ այնտեղ է այլ հարթություններում, տեսանելի չէ աչքին. ամեն ինչ գրված է, և մենք պարզապես ստանում ենք բոլոր նոր փաստերը աշխարհների անցքից: ... Աստված գիտի; բայց պարզվում է, որ եթե ֆիզիկոսներին, քիմիկոսներին, տնտեսագետներին կամ հնագետներին անհրաժեշտ է աշխարհի կառուցվածքի նոր մոդել, ապա այս մոդելը միշտ կարելի է վերցնել այն դարակից, որտեղ մաթեմատիկոսներն այն դրել են երեք հարյուր տարի առաջ, կամ հավաքել դրա վրա ընկած մասերից։ դարակ. Միգուցե այս մասերը պետք է ոլորվեն, հարմարեցվեն միմյանց, հղկվեն, արագ մշակվեն մի քանի նոր թեորեմի թփեր. բայց արդյունքի տեսությունը ոչ միայն կնկարագրի ստեղծված փաստացի իրավիճակը, այլ նաև կկանխատեսի հետևանքները։ ...

Տարօրինակ բան է այս մտքի խաղը, որը միշտ ճիշտ է...

գրականություն

1. Ալիմով Շ.Ա., Իլյին Վ.Ա. et al. Հանրահաշիվ, 6-8. Ավագ դպրոցի 6-8-րդ դասարանների փորձնական դասագիրք. - Մ., Կրթություն, 1981։

2.Բրադիսի մաթեմատիկական աղյուսակներ ավագ դպրոցի համար: Էդ. 57-րդ. - Մ., Կրթություն, 1990. S. 83:

3. Զլոցկի - առաջադրանքներ մաթեմատիկայի դասավանդման մեջ. Գիրք ուսուցչի համար. - Մ., Կրթություն, 1992:

4.Մ., Մաթեմատիկա («Առաջին սեպտեմբերի» թերթի հավելված), թիվ 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98։

5. Օկունևի ֆունկցիաներ, հավասարումներ և անհավասարություններ: Ուղեցույց ուսուցչի համար. - Մ., Կրթություն, 1972։

6. Solomnik B. C., Քաղցր հարցեր և խնդիրներ մաթեմատիկայի մեջ: Էդ. 4-րդ, ավելացնել. - Մ., Բարձրագույն դպրոց, 1973։

7.Մ., Մաթեմատիկա («Առաջին սեպտեմբերի» թերթի հավելված), թիվ 40, 2000 թ.

Վերանայում

MOU 11-րդ դասարանի աշակերտի աշխատանքի համար «Սերգիևսկայա միջն

հանրակրթական դպրոց»

Կոպիևսկայայի գյուղական միջնակարգ դպրոց

Քառակուսի հավասարումներ լուծելու 10 եղանակ

Ղեկավար՝ Պատրիկեևա Գալինա Անատոլևնա,

մաթեմատիկայի ուսուցիչ

s.Kopyevo, 2007 թ

1. Քառակուսային հավասարումների զարգացման պատմություն

1.1 Քառակուսի հավասարումներ Հին Բաբելոնում

1.2 Ինչպես Դիոֆանտը կազմեց և լուծեց քառակուսի հավասարումներ

1.3 Քառակուսային հավասարումներ Հնդկաստանում

1.4 Քառակուսային հավասարումներ ալ-Խվարեզմում

1.5 Քառակուսի հավասարումներ Եվրոպայում XIII - XVII դդ

1.6 Վիետայի թեորեմի մասին

2. Քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ

Եզրակացություն

գրականություն

1. Քառակուսային հավասարումների զարգացման պատմություն

1 .1 Քառակուսի հավասարումներվեճեր հին Բաբելոնում

Հնում ոչ միայն առաջին, այլև երկրորդ աստիճանի հավասարումների լուծման անհրաժեշտությունը առաջացել է ռազմական բնույթի հողատարածքների և հողային աշխատանքների հայտնաբերման, ինչպես նաև աստղագիտության և զարգացման հետ կապված խնդիրների լուծման անհրաժեշտությամբ։ հենց մաթեմատիկան։ Քառակուսային հավասարումները կարողացան լուծել մոտ 2000 մ.թ.ա. ե. բաբելոնացիներ.

Կիրառելով ժամանակակից հանրահաշվական նշումը, կարող ենք ասել, որ նրանց սեպագիր տեքստերում, ի լրումն թերի, կան այնպիսիք, ինչպիսիք են, օրինակ, ամբողջական քառակուսի հավասարումները.

X 2 + X = ѕ; X 2 - X = 14,5

Բաբելոնյան տեքստերում նշված այս հավասարումների լուծման կանոնը, ըստ էության, համընկնում է ժամանակակիցի հետ, սակայն հայտնի չէ, թե ինչպես են բաբելոնացիները եկել այս կանոնին։ Առայժմ հայտնաբերված գրեթե բոլոր սեպագիր տեքստերը տալիս են միայն բաղադրատոմսերի տեսքով նշված լուծումների խնդիրներ՝ առանց մատնանշելու, թե ինչպես են դրանք գտնվել:

Չնայած Բաբելոնում հանրահաշվի զարգացման բարձր մակարդակին, սեպագիր տեքստերում բացակայում է բացասական թվի հայեցակարգը և քառակուսի հավասարումների լուծման ընդհանուր մեթոդները։

1.2 Ինչպես Դիոֆանտը կազմեց և լուծեց քառակուսի հավասարումներ:

Դիոֆանտոսի թվաբանությունը չի պարունակում հանրահաշվի սիստեմատիկ ցուցադրություն, այլ պարունակում է խնդիրների համակարգված շարք, որոնք ուղեկցվում են բացատրություններով և լուծվում տարբեր աստիճանի հավասարումներ կազմելով։

Հավասարումներ կազմելիս Դիոֆանտը հմտորեն ընտրում է անհայտները՝ լուծումը պարզեցնելու համար։

Ահա, օրինակ, նրա առաջադրանքներից մեկը.

Առաջադրանք 11.«Գտեք երկու թիվ՝ իմանալով, որ դրանց գումարը 20 է, իսկ արտադրյալը՝ 96»։

Դիոֆանտոսը պնդում է հետևյալը. խնդրի պայմանից հետևում է, որ ցանկալի թվերը հավասար չեն, քանի որ եթե դրանք հավասար լինեին, ապա նրանց արտադրյալը կլիներ ոչ թե 96, այլ 100։ Այսպիսով, դրանցից մեկը կլինի նրանց կեսից ավելին։ գումար, այսինքն. 10 + x, մյուսը ավելի փոքր է, այսինքն. 10-ական թթ. Նրանց միջև եղած տարբերությունը 2x.

Հետևաբար հավասարումը.

(10 + x) (10 - x) = 96

100-ականներ 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

Այստեղից x = 2. Ցանկալի թվերից մեկն է 12 , այլ 8 . Լուծում x = -2քանի որ Դիոֆանտոսը գոյություն չունի, քանի որ հունական մաթեմատիկան գիտեր միայն դրական թվեր:

Եթե այս խնդիրը լուծենք՝ ընտրելով ցանկալի թվերից մեկը որպես անհայտ, ապա կգանք հավասարման լուծմանը.

y (20 - y) = 96,

ժամը 2 - 20y + 96 = 0: (2)

Հասկանալի է, որ Դիոֆանտը պարզեցնում է լուծումը՝ ընտրելով ցանկալի թվերի կես տարբերությունը որպես անհայտ; նրան հաջողվում է խնդիրը հասցնել ոչ լրիվ քառակուսային հավասարման (1) լուծման։

1.3 Քառակուսի հավասարումներ Հնդկաստանում

Քառակուսային հավասարումների խնդիրներն արդեն հանդիպում են «Արյաբհաթամ» աստղագիտական տրակտատում, որը կազմվել է 499 թվականին հնդիկ մաթեմատիկոս և աստղագետ Արյաբհաթայի կողմից։ Մեկ այլ հնդիկ գիտնական՝ Բրահմագուպտան (7-րդ դար), ուրվագծել է քառակուսի հավասարումների լուծման ընդհանուր կանոնը՝ կրճատված մեկ կանոնական ձևով.

Օ՜ 2 + բx = c, a > 0: (1)

(1) հավասարման մեջ գործակիցները, բացառությամբ ա, կարող է լինել նաև բացասական։ Բրահմագուպտայի կանոնը ըստ էության համընկնում է մերի հետ։

Հին Հնդկաստանում դժվար խնդիրների լուծման հասարակական մրցույթները սովորական էին: Հին հնդկական գրքերից մեկում այսպիսի մրցույթների մասին ասվում է հետևյալը. «Ինչպես արևն իր փայլով գերազանցում է աստղերին, այնպես էլ գիտուն մարդը հանրային հանդիպումների ժամանակ կգերազանցի ուրիշի փառքը՝ առաջարկելով և լուծելով հանրահաշվական խնդիրներ»: Առաջադրանքները հաճախ դրված էին բանաստեղծական ձևով:

Ահա XII դարի հայտնի հնդիկ մաթեմատիկոսի խնդիրներից մեկը. Բասկարա.

Առաջադրանք 13.

«Կապիկների թրթռուն երամ և տասներկու որթատունկ...

Ունենալով ուժ կերել, զվարճացել: Նրանք սկսեցին ցատկել, կախված ...

Դրանց ութերորդ մասը հրապարակում Քանի կապիկ կար այնտեղ,

Զվարճանալ մարգագետնում: Դուք ինձ ասում եք, այս հոտի մեջ:

Բհասկարայի լուծումը ցույց է տալիս, որ նա գիտեր քառակուսի հավասարումների արմատների երկարժեքության մասին (նկ. 3):

13 խնդրին համապատասխան հավասարումը հետևյալն է.

(x/8) 2 + 12 = x

Բհասկարան քողի տակ գրում է.

X 2 - 64x = -768

և այս հավասարման ձախ կողմը քառակուսու ձևով ավարտելու համար նա ավելացնում է երկու կողմերը 32 2 , ստանալով ապա:

X 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

X 1 = 16, X 2 = 48.

1.4 Քառակուսի հավասարումներալ-Խորեզմի

Ալ-Խորեզմիի հանրահաշվական տրակտատը տալիս է գծային և քառակուսի հավասարումների դասակարգում։ Հեղինակը թվարկում է 6 տեսակի հավասարումներ՝ դրանք արտահայտելով այսպես.

1) «Քառակուսիները հավասար են արմատներին», այսինքն. Օ՜ 2 + հետ =բX.

2) «Քառակուսիները հավասար են թվին», այսինքն. Օ՜ 2 = ս.

3) «Արմատները հավասար են թվին», այսինքն. ախ = ս.

4) «Քառակուսիները և թվերը հավասար են արմատներին», այսինքն. Օ՜ 2 + հետ =բX.

5) «Քառակուսիները և արմատները հավասար են թվին», այսինքն. Օ՜ 2 + bx= ս.

6) «Արմատները և թվերը հավասար են քառակուսիների», այսինքն. bx+ գ = կացին 2 .

Ալ-Խվարեզմիի համար, ով խուսափում էր բացասական թվերի օգտագործումից, այս հավասարումներից յուրաքանչյուրի անդամները հավելումներ են, ոչ թե հանումներ։ Այս դեպքում ակնհայտորեն հաշվի չեն առնվում այն հավասարումները, որոնք չունեն դրական լուծումներ։ Հեղինակը ուրվագծում է այս հավասարումների լուծման մեթոդները՝ օգտագործելով ալ-ջաբր և ալ-մուկաբալա մեթոդները։ Նրա որոշումները, իհարկե, լիովին չեն համընկնում մերի հետ։ Էլ չենք խոսում այն մասին, որ այն զուտ հռետորական է, պետք է նշել, որ, օրինակ, առաջին տիպի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումը լուծելիս.

ալ-Խորեզմին, ինչպես մինչև 17-րդ դարը բոլոր մաթեմատիկոսները, հաշվի չի առնում զրոյական լուծումը, հավանաբար այն պատճառով, որ դա կարևոր չէ կոնկրետ գործնական խնդիրներում։ Ամբողջական քառակուսի հավասարումներ լուծելիս ալ-Խորեզմին սահմանում է լուծման կանոնները, այնուհետև երկրաչափական ապացույցները՝ օգտագործելով որոշակի թվային օրինակներ։

Առաջադրանք 14.«Քառակուսին և 21 թիվը հավասար են 10 արմատի։ Գտի՛ր արմատը» (ենթադրելով x հավասարման արմատը 2 + 21 = 10x):

«Ալ-Խորեզմի» տրակտատը մեզ հասած առաջին գիրքն է, որտեղ համակարգված կերպով նշված է քառակուսի հավասարումների դասակարգումը և տրված են դրանց լուծման բանաձևերը։

1.5 Քառակուսի հավասարումներ ԵվրոպայումXIII - XVIIդարեր

Եվրոպայում ալ-Խորեզմիի մոդելով քառակուսի հավասարումների լուծման բանաձևերը առաջին անգամ ներկայացվել են «Աբակուսի գրքում», որը գրվել է 1202 թվականին իտալացի մաթեմատիկոս Լեոնարդո Ֆիբոնաչիի կողմից: Այս ծավալուն աշխատությունը, որն արտացոլում է մաթեմատիկայի ազդեցությունը, ինչպես իսլամի, այնպես էլ Հին Հունաստանի երկրների, առանձնանում է ինչպես ամբողջականությամբ, այնպես էլ մատուցման հստակությամբ: Հեղինակն ինքնուրույն մշակել է խնդիրների լուծման մի քանի նոր հանրահաշվական օրինակներ և առաջինն է Եվրոպայում, ով մոտեցել է բացասական թվերի ներդրմանը։ Նրա գիրքը նպաստել է հանրահաշվական գիտելիքների տարածմանը ոչ միայն Իտալիայում, այլեւ Գերմանիայում, Ֆրանսիայում եւ եվրոպական այլ երկրներում։ «Աբակուսի գրքից» բազմաթիվ առաջադրանքներ անցել են 16-17-րդ դարերի եվրոպական գրեթե բոլոր դասագրքերում։ և մասամբ XVIII.

Քառակուսային հավասարումների լուծման ընդհանուր կանոնը, որը վերածվել է մեկ կանոնական ձևի.

X 2 + bx= հետ,

գործակիցների նշանների բոլոր հնարավոր համակցությունների համար բ, ՀետԵվրոպայում ձեւակերպվել է միայն 1544 թվականին Մ.Շտիֆելի կողմից։

Վիետան ունի քառակուսի հավասարման լուծման բանաձևի ընդհանուր ածանցավորում, բայց Վիետան ճանաչեց միայն դրական արմատներ: Իտալացի մաթեմատիկոսներ Տարտալիան, Կարդանոն, Բոմբելլին առաջիններից էին 16-րդ դարում։ Հաշվի առեք, բացի դրականից, և բացասական արմատներից: Միայն XVII դ. Ժիրարի, Դեկարտի, Նյուտոնի և այլ գիտնականների աշխատանքի շնորհիվ քառակուսի հավասարումների լուծման ճանապարհը ժամանակակից տեսք է ստանում։

1.6 Վիետայի թեորեմի մասին

Վիետա անունը կրող քառակուսի հավասարման գործակիցների և նրա արմատների միջև կապն արտահայտող թեորեմն առաջին անգամ ձևակերպել է նրա կողմից 1591 թվականին հետևյալ կերպ. «Եթե. Բ + Դբազմապատկած Ա - Ա 2 , հավասար է ԲԴ, ապա Ահավասար է ATև հավասար Դ».

Վիետային հասկանալու համար պետք է հիշել դա ԲԱՅՑ, ինչպես ցանկացած ձայնավոր, նրա համար նշանակում էր անհայտը (մեր X), ձայնավորները AT,Դ- գործակիցներ անհայտի համար: Ժամանակակից հանրահաշվի լեզվով Վիետայի վերը նշված ձևակերպումը նշանակում է՝ եթե

(a +բ)x - x 2 = աբ,

X 2 - (a +բ)x + աբ = 0,

X 1 = ա, X 2 = բ.

Արտահայտելով հավասարումների արմատների և գործակիցների միջև կապը խորհրդանիշների միջոցով գրված ընդհանուր բանաձևերով՝ Վիետը հաստատեց հավասարումների լուծման մեթոդների միատեսակությունը։ Միևնույն ժամանակ, Վիետայի սիմվոլիկան դեռ հեռու է իր ժամանակակից տեսքից։ Նա բացասական թվեր չէր ճանաչում, և, հետևաբար, հավասարումներ լուծելիս հաշվի էր առել միայն այն դեպքերը, երբ բոլոր արմատները դրական են:

2. Քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ

Քառակուսի հավասարումները այն հիմքն են, որի վրա հենվում է հանրահաշվի վեհաշուք շենքը: Քառակուսային հավասարումները լայնորեն կիրառվում են եռանկյունաչափական, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական, իռացիոնալ և տրանսցենդենտալ հավասարումների և անհավասարությունների լուծման համար։ Մենք բոլորս գիտենք, թե ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ դպրոցից (8-րդ դասարան) մինչև ավարտը:

Մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացում ուսումնասիրվում են քառակուսի հավասարումների արմատների բանաձևերը, որոնց օգնությամբ կարելի է լուծել ցանկացած քառակուսի հավասարումներ։ Միաժամանակ կան քառակուսի հավասարումներ լուծելու այլ եղանակներ, որոնք թույլ են տալիս շատ արագ և ռացիոնալ լուծել շատ հավասարումներ։ Քառակուսային հավասարումները լուծելու տասը եղանակ կա: Իմ աշխատանքում ես մանրամասն վերլուծել եմ դրանցից յուրաքանչյուրը։

1. ՄԵԹՈԴ : Հավասարման ձախ կողմի գործոնացում.

Եկեք լուծենք հավասարումը

X 2 + 10x - 24 = 0.

Եկեք ֆակտորիզացնենք ձախ կողմը.

X 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2):

Հետևաբար, հավասարումը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

(x + 12) (x - 2) = 0

Քանի որ արտադրանքը զրո է, ուրեմն դրա գործակիցներից առնվազն մեկը զրո է։ Հետևաբար, հավասարման ձախ կողմը անհետանում է ժամը x = 2, ինչպես նաև ժամը x = - 12. Սա նշանակում է, որ թիվը 2 և - 12 հավասարման արմատներն են X 2 + 10x - 24 = 0.

2. ՄԵԹՈԴ : Ամբողջական քառակուսի ընտրության մեթոդ.

Եկեք լուծենք հավասարումը X 2 + 6x - 7 = 0.

Եկեք ձախ կողմում ընտրենք լրիվ քառակուսի:

Դա անելու համար մենք գրում ենք x 2 + 6x արտահայտությունը հետևյալ ձևով.

X 2 + 6x = x 2 + 2 * x * 3.

Ստացված արտահայտության մեջ առաջին անդամը x թվի քառակուսին է, իսկ երկրորդը՝ x-ի կրկնակի արտադրյալը 3-ով: Հետևաբար, լրիվ քառակուսին ստանալու համար պետք է գումարել 3 2, քանի որ.

x 2+ 2* x * 3 + 3 2 = (x + 3) 2 .

Այժմ մենք վերափոխում ենք հավասարման ձախ կողմը

X 2 + 6x - 7 = 0,

գումարելով դրան և հանելով 3 2: Մենք ունենք:

X 2 + 6x - 7 = x 2+ 2* x * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Այսպիսով, այս հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

հետևաբար, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, կամ x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. ՄԵԹՈԴ :Քառակուսային հավասարումների լուծում բանաձևով.

Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը

Օ՜ 2 + բx + c = 0, հա՞: 0

4ա-ում և հաջորդաբար ունենք.

4 ա 2 X 2 + 4 աբx + 4ac = 0,

((2ah) 2 + 2 ax *բ + բ 2 ) - բ 2 + 4 ակ = 0,

(2ax+b) 2 = բ 2 - 4ac,

2ax + b = ± vb 2 - 4ac,

2ax = - b ± v բ 2 - 4ac,

Օրինակներ.

ա)Եկեք լուծենք հավասարումը. 4x 2 + 7x + 3 = 0:

a = 4,բ= 7, c = 3,Դ = բ 2 - 4 ակ = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

Դ > 0, երկու տարբեր արմատներ;

Այսպիսով, դրական դիսկրիմինանտի դեպքում, այսինքն. ժամը

բ 2 - 4 ակ >0 , հավասարումը Օ՜ 2 + բx + c = 0ունի երկու տարբեր արմատներ.

բ)Եկեք լուծենք հավասարումը. 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,բ= - 4, c = 1,Դ = բ 2 - 4 ակ = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

Դ = 0, մեկ արմատ;

Այսպիսով, եթե դիսկրիմինատորը զրո է, այսինքն. բ 2 - 4 ակ = 0 , ապա հավասարումը

Օ՜ 2 + բx + c = 0ունի մեկ արմատ

մեջ)Եկեք լուծենք հավասարումը. 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,բ= 3, c = 4,Դ = բ 2 - 4 ակ = 3 2 - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 13 , Դ < 0.

Այս հավասարումը արմատներ չունի։

Այսպիսով, եթե տարբերակիչը բացասական է, այսինքն. բ 2 - 4 ակ < 0 ,

հավասարումը Օ՜ 2 + բx + c = 0արմատներ չունի.

Քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը (1). Օ՜ 2 + բx + c = 0թույլ է տալիս գտնել արմատները ցանկացած քառակուսի հավասարում (եթե այդպիսիք կան), ներառյալ կրճատված և թերի: Բանաձև (1) բանավոր արտահայտվում է հետևյալ կերպ. քառակուսի հավասարման արմատները հավասար են կոտորակի, որի համարիչը հավասար է երկրորդ գործակցին՝ վերցված հակառակ նշանով, գումարած հանած այս գործակցի քառակուսու քառակուսի արմատը՝ առանց քառապատկելու առաջին գործակցի արտադրյալը ազատ անդամով, իսկ հայտարարը երկու անգամ առաջին գործակիցն է։

4. ՄԵԹՈԴ: Վիետայի թեորեմի օգտագործմամբ հավասարումների լուծում.

Ինչպես հայտնի է, տրված քառակուսի հավասարումն ունի ձև

X 2 + px + գ = 0. (1)

Նրա արմատները բավարարում են Վիետայի թեորեմը, որը, երբ a = 1ունի ձևը

x 1 x 2 = ք,

x 1 + x 2 = - էջ

Այստեղից կարելի է անել հետևյալ հետևությունները (արմատների նշանները կարելի է կանխատեսել p և q գործակիցներից).

ա) Եթե ամփոփ տերմինը քկրճատված հավասարման (1) դրական է ( ք > 0 ), ապա հավասարումն ունի նույն նշանի երկու արմատ և սա երկրորդ գործակցի նախանձն է էջ. Եթե Ռ< 0 , ապա երկու արմատներն էլ բացասական են, եթե Ռ< 0 , ապա երկու արմատներն էլ դրական են։

Օրինակ,

x 2 - 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 և x 2 = 1, որովհետեւ ք = 2 > 0 և էջ = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 և x 2 = - 1, որովհետեւ ք = 7 > 0 և էջ= 8 > 0.

բ) Եթե ազատ անդամ քկրճատված հավասարման (1) բացասական է ( ք < 0 ), ապա հավասարումն ունի տարբեր նշանի երկու արմատ, իսկ բացարձակ արժեքով ավելի մեծ արմատը դրական կլինի, եթե էջ < 0 , կամ բացասական, եթե էջ > 0 .

Օրինակ,

x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 = - 5 և x 2 = 1, որովհետեւ ք= - 5 < 0 և էջ = 4 > 0;

x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 = 9 և x 2 = - 1, որովհետեւ ք = - 9 < 0 և էջ = - 8 < 0.

5. ՄԵԹՈԴ: Հավասարումների լուծում «փոխանցում» մեթոդով.

Դիտարկենք քառակուսի հավասարումը

Օ՜ 2 + բx + c = 0,որտեղ ա? 0.

Նրա երկու մասերը բազմապատկելով a-ով, ստանում ենք հավասարումը

ա 2 X 2 + աբx + ac = 0:

Թող ah = y, որտեղ x = y/a; հետո գալիս ենք հավասարմանը

ժամը 2 + կողմից+ ac = 0,

համարժեք այս մեկին: նրա արմատները ժամը 1 և ժամը 2-ը կարելի է գտնել Վիետայի թեորեմի միջոցով:

Վերջապես մենք ստանում ենք

X 1 = y 1 /ա և X 1 = y 2 /ա.

Այս մեթոդով գործակիցը աբազմապատկվում է ազատ տերմինով, կարծես «նետված» է դրան, ուստի կոչվում է փոխանցման եղանակը. Այս մեթոդը կիրառվում է, երբ հեշտ է գտնել հավասարման արմատները՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, և ամենակարևորը, երբ դիսկրիմինանտը ճշգրիտ քառակուսի է։

Օրինակ.

Եկեք լուծենք հավասարումը 2x 2 - 11x + 15 = 0:

Լուծում. 2 գործակիցը «փոխանցենք» ազատ անդամին, արդյունքում ստանում ենք հավասարումը

ժամը 2 - 11y + 30 = 0:

Վիետայի թեորեմի համաձայն

ժամը 1 = 5 X 1 = 5/2 x 1 = 2,5

ժամը 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Պատասխան՝ 2,5; 3.

6. ՄԵԹՈԴ: Քառակուսային հավասարման գործակիցների հատկությունները.

ԲԱՅՑ.Թող քառակուսի հավասարումը

Օ՜ 2 + բx + c = 0,որտեղ ա? 0.

1) Եթե, a+բ+ c = 0 (այսինքն գործակիցների գումարը զրո է), ապա x 1 = 1,

X 2 = s/a.

Ապացույց.Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՞լ ա-ի։ 0, մենք ստանում ենք կրճատված քառակուսի հավասարումը

x 2 + բ/ ա * x + գ/ ա = 0.

Վիետայի թեորեմի համաձայն

x 1 + x 2 = - բ/ ա,

x 1 x 2 = 1* գ/ ա.

Ըստ պայմանի ա -բ + c = 0,որտեղ բ= ա + գ.Այս կերպ,

x 1 + x 2 = - ա+ b / a \u003d -1 - c / a,

x 1 x 2 = - 1* (-c/a),

դրանք. X 1 = -1 և X 2 = գ/ ա, որը մենք պետք է ապացուցեինք։

Օրինակներ.

1) Լուծե՛ք հավասարումը 345x 2 - 137x - 208 = 0:

Լուծում.Որովհետեւ ա +բ+ c = 0 (345 - 137 - 208 = 0),ապա

X 1 = 1, X 2 = գ/ ա = -208/345.

Պատասխան՝ 1; -208/345.

2) Լուծե՛ք հավասարումը 132x 2 - 247x + 115 = 0:

Լուծում.Որովհետեւ ա +բ+ c = 0 (132 - 247 + 115 = 0),ապա

X 1 = 1, X 2 = գ/ ա = 115/132.

Պատասխան՝ 1; 115/132 թ.

Բ.Եթե երկրորդ գործակիցը բ = 2 կ զույգ թիվ է, ապա արմատների բանաձեւը

Օրինակ.

Եկեք լուծենք հավասարումը 3x2 -- 14x + 16 = 0.

Լուծում. Մենք ունենք: a = 3,բ= -- 14, c = 16,կ = -- 7 ;

Դ = կ 2 - ակ = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, Դ > 0, երկու տարբեր արմատներ;

Պատասխան՝ 2; 8/3

AT.Կրճատված հավասարում

X 2 +px+ք= 0

համընկնում է ընդհանուր հավասարման հետ, որում a = 1, բ= pև գ =ք. Հետևաբար, կրճատված քառակուսի հավասարման համար արմատների բանաձևը

ընդունում է ձևը՝

Բանաձևը (3) հատկապես հարմար է օգտագործել, երբ Ռ-- զույգ թիվ.

Օրինակ.Եկեք լուծենք հավասարումը X 2 - 14x - 15 = 0:

Լուծում.Մենք ունենք: X 1,2 =7±

Պատասխան՝ x 1 = 15; X 2 = -1.

7. ՄԵԹՈԴ: Քառակուսային հավասարման գրաֆիկական լուծում.

Եթե հավասարման մեջ

X 2 + px + ք = 0

տեղափոխեք երկրորդ և երրորդ անդամները աջ կողմում, մենք ստանում ենք

X 2 = - px - ք.

Եկեք կառուցենք կախվածության գրաֆիկներ y \u003d x 2 և y \u003d - px - q:

Առաջին կախվածության գրաֆիկը սկզբնաղբյուրով անցնող պարաբոլա է։ Երկրորդ կախվածության գրաֆիկը -

ուղիղ գիծ (նկ. 1): Հնարավոր են հետևյալ դեպքերը.

Գիծը և պարաբոլան կարող են դիպչել (միայն մեկ ընդհանուր կետ), այսինքն. հավասարումն ունի մեկ լուծում.

Ուղիղ գիծը և պարաբոլան չունեն ընդհանուր կետեր, այսինքն. քառակուսի հավասարումը արմատներ չունի:

Օրինակներ.

1) Եկեք գրաֆիկորեն լուծենք հավասարումը X 2 - 3x - 4 = 0(նկ. 2):

Լուծում.Հավասարումը գրում ենք ձևով X 2 = 3x + 4.

Եկեք կառուցենք պարաբոլա y = x 2 և ուղղակի y = 3x + 4. ուղիղ

y = 3x + 4կարելի է կառուցել երկու կետից M (0; 4)և

Ն (3; 13) . Ուղղը և պարաբոլան հատվում են երկու կետով

ԲԱՅՑև ATաբսցիսով X 1 = - 1 և X 2 = 4 . Պատասխանել: X 1 = - 1;

X 2 = 4.

2) Գրաֆիկորեն լուծենք հավասարումը (նկ. 3) X 2 - 2x + 1 = 0.

Լուծում.Հավասարումը գրում ենք ձևով X 2 = 2x - 1.

Եկեք կառուցենք պարաբոլա y = x 2 և ուղղակի y = 2x - 1:

ուղիղ y = 2x - 1կառուցել երկու կետի վրա M (0; - 1)

և Ն(1/2; 0) . Ուղղը և պարաբոլան հատվում են մի կետում ԲԱՅՑՀետ

abscissa x = 1. Պատասխան.x = 1.

3) Եկեք գրաֆիկորեն լուծենք հավասարումը X 2 - 2x + 5 = 0(նկ. 4):

Լուծում.Հավասարումը գրում ենք ձևով X 2 = 5x - 5. Եկեք կառուցենք պարաբոլա y = x 2 և ուղղակի y = 2x - 5. ուղիղ y = 2x - 5կառուցել երկու կետով M(0; - 5) և N(2.5; 0): Ուղիղ գիծը և պարաբոլան չունեն հատման կետեր, այսինքն. Այս հավասարումը արմատներ չունի։

Պատասխանել.Հավասարումը X 2 - 2x + 5 = 0արմատներ չունի.

8. ՄԵԹՈԴ: Քառակուսային հավասարումների լուծումը կողմնացույցով և տիրակալներ.

Պարաբոլայի միջոցով քառակուսի հավասարումներ լուծելու գրաֆիկական ձևն անհարմար է։ Եթե կետ առ կետ կառուցում եք պարաբոլա, ապա դա շատ ժամանակ է պահանջում, և այս ամենի հետ մեկտեղ ստացված արդյունքների ճշգրտության աստիճանը ցածր է։

Ես առաջարկում եմ քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու հետևյալ մեթոդը Օ՜ 2 + բx + c = 0օգտագործելով կողմնացույց և քանոն (նկ. 5):

Ենթադրենք, որ ցանկալի շրջանագիծը հատում է առանցքը

abscissa կետերում B (x 1 ; 0) և Դ(X 2 ; 0), որտեղ X 1 և X 2 - հավասարման արմատները Օ՜ 2 + բx + c = 0, և անցնում է կետերով

A (0; 1)և C(0;գ/ ա) y առանցքի վրա: Այնուհետև, սեկանտային թեորեմով, մենք ունենք ՕԲ * ՕԴ = ՕԱ * OC, որտեղ OC = ՕԲ * ՕԴ/ ՕԱ= x 1 X 2 / 1 = գ/ ա.

Շրջանակի կենտրոնը գտնվում է ուղղահայացների հատման կետում Ս.Ֆև SK, վերականգնված ակորդների միջնակետերում ACև ԲԴ, Ահա թե ինչու

1) կառուցել կետեր (շրջանի կենտրոնը) և Ա(0; 1) ;

2) գծեք շառավղով շրջան Ս.Ա;

3) այս շրջանագծի առանցքի հետ հատման կետերի աբսցիսները Օ՜սկզբնական քառակուսի հավասարման արմատներն են։

Այս դեպքում հնարավոր է երեք դեպք.

1) Շրջանի շառավիղը մեծ է կենտրոնի օրդինատից (ԱՍ > SK, կամ Ռ > ա + գ/2 ա) , շրջանագիծը հատում է x առանցքը երկու կետով (նկ. 6,ա) B (x 1 ; 0) և Դ(X 2 ; 0) , որտեղ X 1 և X 2 - քառակուսի հավասարման արմատները Օ՜ 2 + բx + c = 0.

2) Շրջանակի շառավիղը հավասար է կենտրոնի օրդինատին (ԱՍ = ՍԲ, կամՌ = ա + գ/2 ա) , շրջանագիծը կետում դիպչում է Ox առանցքին (նկ. 6,բ): B (x 1 ; 0) , որտեղ x 1-ը քառակուսի հավասարման արմատն է:

3) Շրջանակի շառավիղը փոքր է կենտրոնի օրդինատից, շրջանագիծը չունի ընդհանուր կետեր աբսցիսայի առանցքի հետ (նկ. 6, գ), այս դեպքում հավասարումը լուծում չունի։

Օրինակ.

Եկեք լուծենք հավասարումը X 2 - 2x - 3 = 0 (նկ. 7):

Լուծում.Որոշե՛ք շրջանագծի կենտրոնի կետի կոորդինատները բանաձևերով.

Գծենք SA շառավղով շրջան, որտեղ A (0; 1):

Պատասխան. X 1 = - 1; X 2 = 3.

9. ՄԵԹՈԴ: Քառակուսային հավասարումների լուծում նոմոգրամներ.

Սա քառակուսի հավասարումների լուծման հին և անարժանաբար մոռացված մեթոդ է, որը տեղադրված է էջ 83-ում (տե՛ս Bradis V.M. Քառարժեք մաթեմատիկական աղյուսակներ. - M., Enlightenment, 1990):

Աղյուսակ XXII. Նոմոգրամ՝ հավասարումների լուծման համար զ 2 + pz + ք = 0 . Այս նոմոգրամը թույլ է տալիս, առանց քառակուսի հավասարումը լուծելու, իր գործակիցներով որոշել հավասարման արմատները։

Նոմոգրամի կորագիծ սանդղակը կառուցված է ըստ բանաձևերի (նկ. 11).

Ենթադրելով OS = p,ED = ք, OE = ա(բոլորը սմ-ով), եռանկյունների նմանությունից ՍԱՆև CDFմենք ստանում ենք համամասնությունը

որտեղից փոխարինումներից և պարզեցումներից հետո հետևում է հավասարումը

զ 2 + pz + ք = 0,

և նամակը զնշանակում է կոր սանդղակի ցանկացած կետի պիտակ:

Օրինակներ.

1) Հավասարման համար զ 2 - 9 զ + 8 = 0 նոմոգրամը տալիս է արմատներ

զ 1 = 8,0 և զ 2 = 1,0 (նկ. 12):

2) Հավասարումը լուծում ենք նոմոգրամի միջոցով

2 զ 2 - 9 զ + 2 = 0.

Այս հավասարման գործակիցները բաժանում ենք 2-ի, ստանում ենք հավասարումը

զ 2 - 4,5 զ + 1 = 0.

Նոմոգրամը տալիս է արմատներ զ 1 = 4 և զ 2 = 0,5.

3) Հավասարման համար

զ 2 - 25 զ + 66 = 0

p և q գործակիցները սանդղակից դուրս են, մենք կկատարենք փոխարինումը զ = 5 տ, մենք ստանում ենք հավասարումը

տ 2 - 5 տ + 2,64 = 0,

որը լուծում ենք նոմոգրամի միջոցով և ստանում տ 1 = 0,6 և տ 2 = 4,4, որտեղ զ 1 = 5 տ 1 = 3,0 և զ 2 = 5 տ 2 = 22,0.

10. ՄԵԹՈԴ: Քառակուսու լուծման երկրաչափական եղանակ հավասարումներ։

Հնում, երբ երկրաչափությունն ավելի զարգացած էր, քան հանրահաշիվը, քառակուսի հավասարումները լուծվում էին ոչ թե հանրահաշվորեն, այլ երկրաչափական եղանակով։ Բերեմ մի օրինակ, որը հայտնի է դարձել ալ-Խավարիզմի «Հանրահաշիվից».

Օրինակներ.

1) Լուծե՛ք հավասարումը X 2 + 10x = 39:

Բնագրում այս խնդիրը ձևակերպված է հետևյալ կերպ. «Քառակուսին և տասը արմատը հավասար են 39-ի» (նկ. 15):

Լուծում.Դիտարկենք քառակուսի x կողմով, նրա կողքերում ուղղանկյուններ են կառուցված, որպեսզի յուրաքանչյուրի մյուս կողմը լինի 2,5, հետևաբար յուրաքանչյուրի մակերեսը 2,5x է: Ստացված պատկերն այնուհետև լրացվում է նոր ABCD քառակուսու վրա՝ անկյուններում լրացնելով չորս հավասար քառակուսի, որոնցից յուրաքանչյուրի կողմը 2,5 է, իսկ մակերեսը՝ 6,25։

Քառակուսի Ս քառակուսի Ա Բ Գ Դկարող է ներկայացվել որպես տարածքների գումար՝ սկզբնական քառակուսի X 2 , չորս ուղղանկյուն (4* 2.5x = 10x)և չորս կցված քառակուսիներ (6,25* 4 = 25) , այսինքն. Ս = X 2 + 10x + 25.Փոխարինելով

X 2 + 10xթիվ 39 , մենք դա հասկանում ենք Ս = 39 + 25 = 64 , որտեղից հետևում է, որ քառակուսու կողմը Ա Բ Գ Դ, այսինքն. գծի հատված AB = 8. Ցանկալի կողմի համար Xսկզբնական քառակուսին մենք ստանում ենք

2) Բայց, օրինակ, ինչպես են հին հույները լուծել հավասարումը ժամը 2 + 6y - 16 = 0.

Լուծումցույց է տրված նկ. 16, որտեղ

ժամը 2 + 6y = 16, կամ ժամը 2 + 6y + 9 = 16 + 9:

Լուծում.Արտահայտությունները ժամը 2 + 6տ + 9և 16 + 9 երկրաչափորեն ներկայացնում է նույն քառակուսին և սկզբնական հավասարումը ժամը 2 + 6y - 16 + 9 - 9 = 0նույն հավասարումն է։ որտեղից մենք դա ստանում ենք y + 3 = ± 5,կամ ժամը 1 = 2, y 2 = - 8 (նկ. 16):

3) լուծել երկրաչափական հավասարումը ժամը 2 - 6y - 16 = 0:

Փոխակերպելով հավասարումը, մենք ստանում ենք

ժամը 2 - 6y = 16.

Նկ. 17 գտե՛ք արտահայտության «պատկերները»։ ժամը 2 - 6 տարեկան,դրանք. y կողմով քառակուսու մակերեսից երկու անգամ հանել հավասար կողմ ունեցող քառակուսու մակերեսը 3 . Այսպիսով, եթե արտահայտությունը ժամը 2 - 6տ ավելացնել 9 , այնուհետև մենք ստանում ենք կողմ ունեցող քառակուսիի մակերեսը ժամը - 3 . Արտահայտության փոխարինում ժամը 2 - 6տ նրա հավասար թիվը՝ 16,

մենք ստանում ենք. (y - 3) 2 = 16 + 9, դրանք. y - 3 = ± v25, կամ y - 3 = ± 5, որտեղ ժամը 1 = 8 և ժամը 2 = - 2.

Եզրակացություն

Քառակուսային հավասարումները լայնորեն կիրառվում են եռանկյունաչափական, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական, իռացիոնալ և տրանսցենդենտալ հավասարումների և անհավասարությունների լուծման համար։

Միևնույն ժամանակ, քառակուսի հավասարումների արժեքը ոչ միայն խնդիրների լուծման նրբագեղության և հակիրճության մեջ է, թեև դա շատ նշանակալի է: Պակաս կարևոր չէ այն փաստը, որ հարցեր լուծելիս քառակուսի հավասարումների կիրառման արդյունքում հաճախ հայտնաբերվում են նոր մանրամասներ, կարելի է հետաքրքիր ընդհանրացումներ անել և կատարելագործումներ, որոնք հուշում են ստացված բանաձևերի և հարաբերությունների վերլուծությունը։

Նշեմ նաև, որ այս աշխատության մեջ ներկայացված թեման դեռևս քիչ է ուսումնասիրված, պարզապես դրանով չեն զբաղվում, հետևաբար այն հղի է շատ թաքնված և անհայտ բաներով, ինչը հիանալի հնարավորություն է տալիս հետագա աշխատանքի համար: .

Այստեղ ես որոշեցի քառակուսի հավասարումներ լուծելու հարցը, և ինչ,

եթե կան դրանք լուծելու այլ ուղիներ: Նորից գտեք գեղեցիկ նախշեր, որոշ փաստեր, պարզաբանումներ, կատարեք ընդհանրացումներ, բացահայտեք ամեն նոր ու նոր բան։ Բայց սրանք հարցեր են հետագա աշխատանքների համար։

Ամփոփելով՝ կարող ենք եզրակացնել՝ քառակուսի հավասարումները հսկայական դեր են խաղում մաթեմատիկայի զարգացման գործում։ Մենք բոլորս գիտենք, թե ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ դպրոցից (8-րդ դասարան) մինչև ավարտը: Այս գիտելիքը կարող է օգտակար լինել մեզ ողջ կյանքի ընթացքում:

Քանի որ քառակուսի հավասարումների լուծման այս մեթոդները հեշտ են օգտագործել, դրանք, անշուշտ, պետք է հետաքրքրեն մաթեմատիկայի սիրահար ուսանողներին: Իմ աշխատանքը հնարավորություն է տալիս այլ կերպ նայել այն խնդիրներին, որոնք մաթեմատիկան դնում է մեր առջեւ:

Գրականություն:

1. Ալիմով Շ.Ա., Իլյին Վ.Ա. et al. Հանրահաշիվ, 6-8. Փորձնական դասագիրք 6-8-րդ դասարանների ավագ դպրոցի համար. - Մ., Կրթություն, 1981։

2. Բրեդիս Վ.Մ. Քառանիշ մաթեմատիկական աղյուսակներ ավագ դպրոցի համար.Խմբ. 57-րդ. - Մ., Կրթություն, 1990. S. 83:

3. Կրուժեպով Ա.Կ., Ռուբանով Ա.Տ. Հանրահաշվի և տարրական ֆունկցիաների խնդիրների գիրք. Դասագիրք միջնակարգ մասնագիտացված ուսումնական հաստատությունների համար. - Մ., բարձրագույն դպրոց, 1969 թ.

4. Օկունև Ա.Կ. Քառակուսային ֆունկցիաներ, հավասարումներ և անհավասարություններ: Ուղեցույց ուսուցչի համար. - Մ., Կրթություն, 1972։

5. Պրեսման Ա.Ա. Քառակուսային հավասարման լուծումը կողմնացույցով և ուղղագիծով: - Մ., Կվանտ, թիվ 4/72։ S. 34.

6. Սոլոմնիկ Վ.Ս., Միլով Պ.Ի. Հարցերի և առաջադրանքների ժողովածու մաթեմատիկայից: Էդ. - 4-րդ, ավելացնել. - Մ., Բարձրագույն դպրոց, 1973։

7. Խուդոբին Ա.Ի. Հանրահաշվի և տարրական ֆունկցիաների խնդիրների ժողովածու։ Ուղեցույց ուսուցչի համար. Էդ. 2-րդ. - Մ., Կրթություն, 1970։

Շապովալովա Լ.Ա. (կայարան Եգորլիկսկայա, MBOU ESOSH No. 11)

1. Մորդկովիչ Ա.Գ. Հանրահաշիվ.8 դաս. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների համար / Ա.Գ. Մորդկովիչ. Թիվ 8622 / 0790 - M.: Mnemozina, 2013. Թիվ 8622 / 0790 - 260 p.

2. Մորդկովիչ Ա.Գ. Հանրահաշիվ.8 դաս. Ուսումնական հաստատությունների առաջադրանքների տետր / Ա.Գ. Մորդկովիչ. Թիվ 8622 / 0790 - M.: Mnemozina, 2013 թ. No 8622 / 0790 - 270 p.

3. Գլեյզեր Գ.Ի. Մաթեմատիկայի պատմություն թիվ 8622 / 0790 դպրոցում / Գ.Ի. Գլեյզեր. Թիվ 8622 / 0790 - Մ .: Կրթություն, 1982 թ. Թիվ 8622 / 0790 - 340 էջ.

4. Գուսեւ Վ.Ա. Մաթեմատիկա. Տեղեկատու նյութեր / Վ.Ա. Գուսև, Ա.Գ. Մորդկովիչ. No 8622 / 0790 - M .: Prosveshchenie, 1988 թ. No 8622 / 0790 - 372 p.

5. Բրեդիս Վ.Մ. Քառանիշ մաթեմատիկական աղյուսակներ միջնակարգ դպրոցի համար / V.M. Բրադիս. Թիվ 8622 / 0790 - Մ .: Կրթություն, 1990 թ. Թիվ 8622 / 0790 - 83 էջ.

6. Վիետայի թեորեմա. Թիվ 8622 / 0790 - Մուտքի ռեժիմ՝ http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-francua-vieta/ Վիետայի թեորեմ (հեռավոր հասանելիության ռեսուրսներ (Ինտերնետ) ) . 20.01.2016թ.

7. Քառակուսային հավասարումներ. Թիվ 8622 / 0790 - Մուտքի ռեժիմ՝ http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html (հեռավոր մուտքի ռեսուրսներ (Ինտերնետ)): 20.01.2016թ.

Հանրահաշվի և ընդհանրապես մաթեմատիկայի մեջ առաջատար տեղ է զբաղեցնում հավասարումների տեսությունը։ Դրա նշանակությունը ոչ միայն բնական օրենքների իմացության տեսական նշանակության մեջ է, այլև ծառայում է գործնական նպատակների։ Կյանքի խնդիրների մեծ մասը գալիս է տարբեր տեսակի հավասարումների լուծմանը, և ավելի հաճախ դրանք քառակուսի ձևի հավասարումներ են:

Դպրոցական ծրագրում դիտարկվում է դրանց լուծման ընդամենը 3 ճանապարհ. Առաջիկա քննություններին նախապատրաստվելիս ես սկսեցի հետաքրքրվել այս հավասարումների այլ եղանակներով։ Ուստի ընտրեցի «Քառակուսի հավասարումների լուծման 10 եղանակ» թեման։

Այս թեմայի արդիականությունը կայանում է նրանում, որ հանրահաշվի, երկրաչափության, ֆիզիկայի դասերին մենք շատ հաճախ հանդիպում ենք քառակուսի հավասարումների լուծմանը։ Ուստի յուրաքանչյուր աշակերտ պետք է կարողանա ճիշտ և ռացիոնալ լուծել քառակուսի հավասարումներ, ինչը նույնպես օգտակար է ավելի բարդ խնդիրների լուծման համար, այդ թվում՝ քննություններ հանձնելիս։

Աշխատանքի նպատակը՝ ուսումնասիրել քառակուսի հավասարումների լուծման տարբեր եղանակներ, սովորել լուծել քառակուսի հավասարումներ։

Դիտարկենք քառակուսի հավասարումների լուծման ստանդարտ և ոչ ստանդարտ մեթոդներ.

Բացահայտել քառակուսի հավասարումների լուծման ամենահարմար ուղիները.

Սովորեք լուծել քառակուսի հավասարումներ տարբեր ձևերով:

Ուսումնասիրության առարկա՝ քառակուսի հավասարումներ։

Ուսումնասիրության առարկան՝ քառակուսի հավասարումների լուծման ուղիներ։

Հետազոտության մեթոդներ.

Տեսական՝ հետազոտական թեմայի վերաբերյալ գրականության ուսումնասիրություն, թեմատիկ ինտերնետային ռեսուրսների ուսումնասիրություն;

Ստացված տեղեկատվության վերլուծություն;

Հարմարության և ռացիոնալության համար քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդների համեմատություն:

Քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ

Քառակուսի հավասարումը ax 2 + bx + c \u003d 0 ձևի հավասարումն է, որտեղ x-ը փոփոխական է, a, b և c-ն որոշ թվեր են, մինչդեռ a. 0. Նման հավասարման արմատը այն փոփոխականի արժեքն է, որը քառակուսի եռանդամը դարձնում է զրո, այսինքն՝ այն արժեքը, որը քառակուսի հավասարումը վերածում է նույնականության։ Քառակուսային հավասարման գործակիցներն ունեն իրենց անունները՝ a գործակիցը կոչվում է առաջին կամ ավագ, b գործակիցը կոչվում է երկրորդ կամ գործակիցը x-ում, c՝ այս հավասարման ազատ անդամ։

Ամբողջական քառակուսի հավասարումը այն հավասարումն է, որի գործակիցները բոլորը զրոյական չեն (a, b, c - 0):

Կոչվում է կրճատված քառակուսի հավասարում, որի առաջատար գործակիցը հավասար է մեկի։ Նման հավասարումը կարելի է ստանալ՝ ամբողջ արտահայտությունը բաժանելով ա առաջատար գործակցով՝ x 2 + px + q \u003d 0, p \u003d b / a, q \u003d c / a:

Անավարտ քառակուսի հավասարումները երեք տեսակի են.

1) կացին 2 + c = 0, որտեղ c-ն 0 է;

2) կացին 2 + bx = 0, որտեղ b - 0;

Այս աշխատանքի շրջանակներում մենք կդիտարկենք միայն ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդներ:

Քառակուսային հավասարումների լուծում ընդհանուր բանաձևով

Քառակուսային հավասարումներ լուծելու համար օգտագործվում է դիսկրիմինանտի միջոցով արմատներ գտնելու մեթոդը։ Տարբերիչը գտնելու համար օգտագործվում է հետևյալ բանաձևը՝ D = b 2 - 4ac: D-ն գտնելուց հետո մենք օգտագործում ենք բանաձեւը՝ գտնելու հավասարման արմատները

Հարկ է նշել, որ եթե.

D > 0 - հավասարումն ունի երկու արմատ.

D \u003d 0 - հավասարումն ունի մեկ արմատ.

Դ< 0 - уравнение не имеет корней.

Այս կերպ հավասարումը լուծելու օրինակ ներկայացված է նկ. 1 (1.1).

Բրինձ. 1. Գործնական մաս

Ձախ կողմի ֆակտորինգ

Մեթոդը ցուցադրելու համար մենք լուծում ենք x 2 + 10x - 24 = 0 հավասարումը:

Եկեք ֆակտորիզացնենք ձախ կողմը.

x 2 + 10x - 24 = x + 12x - 2x - 24 = = x(x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2):

Հետևաբար, հավասարումը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

(x + 12) (x - 2) = 0

Քանի որ արտադրանքը զրո է, ուրեմն դրա գործակիցներից առնվազն մեկը զրո է։ Հետևաբար, հավասարման ձախ կողմը անհետանում է x = 2, և նաև x = -12 դեպքում:

Այս կերպ հավասարումը լուծելու օրինակ ներկայացված է նկ. 1 (1.2).

Ամբողջական քառակուսու ընտրությունը ինքնության այնպիսի փոխակերպում է, որում տրված եռանկյունը ներկայացված է որպես (a ± b) 2 երկանդամի քառակուսու գումարը կամ տարբերությունը և որոշ թվային կամ բառացի արտահայտություն:

Եկեք լուծենք x 2 + 14x + 40 = 0 հավասարումը։

Եկեք բաժանենք բազմանդամը գործակիցների՝ օգտագործելով լրիվ քառակուսի մեթոդը:

Առաջին բանաձևը կիրառելու համար անհրաժեշտ է ստանալ արտահայտությունը

x2 + 14x + 49 = 0:

Այսպիսով, մենք գումարում և հանում ենք 9 թիվը x 2 + 14x + 40 բազմանդամից, որպեսզի ընտրենք ամբողջական քառակուսին:

x 2 + 14x + 40 + 9 - 9 = 0

(x + 14x + 40 + 9) - 9 = 0

(x + 14x + 49) - 9 = 0

(x + 7) 2 - 9 = 0

Կիրառենք «քառակուսիների տարբերություն» բանաձևը a2 - b2 = (a - b) (a + b)

(x + 7) 2 - 32 = 0

(x + 7 - 3) (x + 7 + 3) = 0

(x + 4) (x + 10) = 0

x + 4 = 0x + 10 = 0

x1 = - 4x2 = - 10

Պատասխան՝ -4; - տասը:

Այս կերպ հավասարումը լուծելու օրինակ ներկայացված է նկ. 1 (1.3).

Վիետայի թեորեմի միջոցով հավասարումների լուծում

Վիետայի թեորեմի համաձայն ամբողջական քառակուսային հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է ամբողջ հավասարումը բաժանել a գործակցի վրա։ x 2 + px + q = 0 հավասարման համար, եթե x1 և x2 դրա արմատներն են, ապա բանաձևերը վավեր են.

Այս կերպ հավասարումը լուծելու օրինակ ներկայացված է նկ. 1 (1.4).

Գործակիցների հատկությունների միջոցով հավասարումների լուծում

Եթե բավարարված է հետևյալ պայմանը՝ a + c = b, ապա x1 = - 1; x2 = - s/a.

4x2 + 3x - 1 = 04 - 1 = 3

x1 = - 1x2 = - 1/4

Եթե բավարարվում է հետևյալ պայմանը.

a + b + c = 0, ապա x1 = 1; x2 = s/a.

5x2 + 2x - 7 = 05 + 2 -7 = 0

Նման ձևով հավասարումը լուծելու անհնարինության օրինակ ներկայացված է նկ. 1 (1.5).

Հավասարումների լուծում «փոխանցում» մեթոդով

Այսպես կոչված «փոխանցման» մեթոդը հնարավորություն է տալիս չկրճատված և չփոխակերպվող հավասարումների լուծումը կրճատել ամբողջ թվով գործակիցներով կրճատվածների տեսքով՝ դրանք բաժանելով հավասարումների առաջատար գործակցով մինչև ամբողջ թվով կրճատված հավասարումների լուծումը։ գործակիցները։ Այն հետևյալն է՝ ax 2 + bx + c = 0 հավասարումը բազմապատկել a-ով:

Ստանում ենք՝ a 2 x2 + abx + as = 0: Ներկայացնենք նոր փոփոխական y = ax: Մենք ստանում ենք y 2 +by+ac = 0. Այս հավասարման արմատներն են y1 և y2, հետևաբար, x1 = y1/a; x2 = y2/a.

Այս կերպ հավասարումը լուծելու օրինակ ներկայացված է նկ. 1 (1.6).

Եկեք լուծենք x 2 - 4x - 12 = 0 հավասարումը:

Ներկայացնենք այն x 2 - 4x = 12:

Նկ. 2-ը «պատկերում է» x - 4x արտահայտությունը, այսինքն. x կողմով քառակուսու մակերեսը երկու անգամ հանվում է 2-րդ կողմ ունեցող քառակուսու մակերեսից: Այսպիսով, x 2 - 4x + 4-ը x-2 կողմ ունեցող քառակուսու մակերեսն է:

x 2 - 4x = 12 փոխարինելուց հետո մենք ստանում ենք

(x - 2)2 = 12 + 4

x - 2 = 4x - 2 = - 4

Պատասխան՝ x1 = 6, x1 = - 2:

Այս կերպ հավասարումը լուծելու օրինակ ներկայացված է նկ. 1 (1.7).

x 2 + px + q = 0 հավասարման մեջ երկրորդ և երրորդ անդամները տեղափոխում ենք հավասարման աջ կողմ: Մենք ստանում ենք՝ x 2 \u003d - px - q: Եկեք կառուցենք ֆունկցիաների գրաֆիկները

y = x 2 (պարաբոլա);

y = - qx - p (ուղիղ):

Հարկ է նշել, որ.

Եթե ուղիղը և պարաբոլան կարող են հատվել երկու կետում, ապա հատման կետերի աբսցիսները քառակուսի հավասարման արմատներն են.

Եթե ուղիղը դիպչում է պարաբոլային (միայն մեկ ընդհանուր կետ), ապա հավասարումն ունի մեկ արմատ.

Եթե ուղիղը և պարաբոլան չունեն ընդհանուր կետեր, այսինքն. քառակուսի հավասարումը արմատներ չունի:

Հավասարումների լուծում կողմնացույցով և ուղղաձիգով

Եկեք լուծենք ax 2 + bx + c = 0 հավասարումը:

1) կոորդինատային հարթության վրա կառուցեք կետեր.

A(- b/2a; (a + c)/2a) շրջանագծի կենտրոնն է, իսկ B(0; 1)

2) Շրջանակ նկարիր r = AB

3) Ox առանցքի հետ հատման կետերի աբսցիսաները սկզբնական հավասարման արմատներն են.

Հարկ է նշել, որ.

Եթե շրջանագծի շառավիղը մեծ է կենտրոնի օրդինատից (AB > AC, կամ R > (a + c) / 2a), ապա շրջանագիծը.

Հատում է x առանցքը K(x1; 0) և N(x2; 0) երկու կետերում, որտեղ x1 և x2 քառակուսային հավասարման արմատներն են x2 + bx + c = 0:

Եթե շրջանագծի շառավիղը հավասար է կենտրոնի օրդինատին (AB \u003d AC, կամ R \u003d (a + c) / 2a), ապա շրջանագիծը դիպչում է աբսցիսայի առանցքին C կետում (x; 0), որտեղ. x1-ը քառակուսի հավասարման արմատն է:

Եթե շրջանագծի շառավիղը փոքր է կենտրոնի օրդինատից (AB< AС, или R < (a + c)/2a), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

Այս կերպ հավասարումը լուծելու օրինակ ներկայացված է նկ. 1 (1.9).

Սա քառակուսի հավասարումներ լուծելու հին և այժմ մոռացված եղանակ է:

Նոմոգրամը տալիս է z 2 + pz + q \u003d 0 հավասարման դրական արմատների արժեքները: Եթե հավասարումը տարբեր նշանների արմատներ ունի, ապա նոմոգրամից դրական արմատ գտնելով, բացասական է. հայտնաբերվել է դրականը հանելով - p.

Բրինձ. 6. Մենոգրամի տեսակ z 2 + pz + q = 0 հավասարումը լուծելու համար

Այն դեպքում, երբ երկու արմատներն էլ բացասական են, վերցնում են z = - t և նոմոգրամից գտնում են երկու դրական արմատ t1; t 2 հավասարումներ t 2 + - pt + z = 0 և ապա z1 = - t1; z 2 \u003d - t2.

Եթե p և q գործակիցները մասշտաբից դուրս են, կատարեք z = kt փոխարինումը և լուծեք հավասարումը նոմոգրամի միջոցով.

որտեղ k-ն վերցված է այնպես, որ անհավասարությունները

z 2 + pz + q = 0 հավասարումը լուծելու մենագրության ձևը կարելի է գտնել նկ. 6.

Տարբեր լուծումների «կողմ» և «դեմ».

Քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդի անվանումը
Քառակուսային հավասարումների լուծում բանաձևով	Կարող է կիրառվել բոլոր քառակուսի հավասարումների վրա:	Դուք պետք է սովորեք բանաձևերը.
Հավասարման ձախ կողմի ֆակտորինգ	Այն հնարավորություն է տալիս անմիջապես տեսնել հավասարման արմատները։	Անհրաժեշտ է ճիշտ հաշվարկել խմբավորման համար նախատեսված պայմանները։
Ամբողջական քառակուսի ընտրության մեթոդ	Գործողությունների նվազագույն քանակի համար կարող եք գտնել հավասարումների արմատները	Ամբողջ քառակուսին ընտրելու համար անհրաժեշտ է ճիշտ գտնել բոլոր տերմինները։
Վիետայի թեորեմի միջոցով հավասարումների լուծում	Բավականին հեշտ միջոց է, որը հնարավորություն է տալիս անմիջապես տեսնել հավասարման արմատները:	հեշտությամբ կարելի է գտնել միայն ամբողջական արմատներ:
Քառակուսային հավասարման գործակիցների հատկությունները	Մեծ ջանք չի պահանջում	Համապատասխանում է միայն որոշ հավասարումների
Հավասարումների լուծում փոխանցման մեթոդով	Գործողությունների նվազագույն քանակի համար կարող եք գտնել հավասարման արմատները, այն օգտագործվում է Վիետայի թեորեմի մեթոդի հետ համատեղ:	հեշտ է գտնել միայն ամբողջական արմատներ:
Քառակուսային հավասարումների լուծման երկրաչափական եղանակ	Տեսողական ճանապարհ.	նման է ամբողջական քառակուսի ընտրելու եղանակին
Քառակուսային հավասարման գրաֆիկական լուծում	տեսողական ճանապարհ	Ժամանակացույցի մեջ կարող են լինել անճշտություններ
Քառակուսային հավասարումների լուծումը կողմնացույցով և ուղղանկյունով	տեսողական ճանապարհ	Կարող է ճշգրիտ չլինել
Քառակուսային հավասարումների լուծում նոմոգրամի միջոցով	Ինտուիտիվ, հեշտ օգտագործման համար:	Միշտ չէ, որ ձեռքի տակ կա նոմոգրաֆիա:

Եզրակացություն

Այս հետազոտական աշխատանքի ընթացքում ինձ հաջողվեց ընդհանրացնել և համակարգել ուսումնասիրված նյութը ընտրված թեմայի շուրջ, ուսումնասիրել քառակուսի հավասարումների լուծման տարբեր եղանակներ, սովորել, թե ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ 10 եղանակով: Հարկ է նշել, որ ոչ բոլորն են հարմար լուծելու համար, սակայն յուրաքանչյուրն յուրովի հետաքրքիր է։ Իմ տեսանկյունից դպրոցում ուսումնասիրված մեթոդները կլինեն ամենառացիոնալ օգտագործման համար. 1.1. (ըստ բանաձևի); 1.4. (ըստ Վիետայի թեորեմի); ինչպես նաև մեթոդ 1.5. (օգտագործելով գործակիցների հատկությունները):

Ամփոփելով՝ կարող ենք եզրակացնել, որ քառակուսի հավասարումները հսկայական դեր են խաղում մաթեմատիկայի մեջ: Այս գիտելիքը մեզ կարող է օգտակար լինել ոչ միայն դպրոցում և համալսարանում, այլև ողջ կյանքում:

Մատենագիտական հղում

Ուլևսկի Ս.Ա. ՔԱՌՆԱԿԱՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ԼՈՒԾՄԱՆ ՏԱՍԸ ՈՒՂԻՆԵՐ // Սկիզբ գիտության մեջ. - 2016. - No 1. - P. 75-79;
URL՝ http://science-start.ru/ru/article/view?id=15 (մուտքի ամսաթիվ՝ 12/30/2019):

սլայդ 1

սլայդ 2

Դասընթացի նպատակները. Ծանոթացում քառակուսի հավասարումների լուծման նոր մեթոդների հետ Գիտելիքների խորացում «Քառյակային հավասարումներ» թեմայով Մաթեմատիկական, ինտելեկտուալ կարողությունների, հետազոտական հմտությունների զարգացում Անհատի ինքնաիրացման համար պայմանների ստեղծում.

սլայդ 3

Դասընթացի նպատակները. Ուսանողներին ծանոթացնել քառակուսի հավասարումների լուծման նոր ուղիների ամրապնդել հայտնի մեթոդներով հավասարումներ լուծելու կարողությունը Ներդրել թեորեմներ, որոնք թույլ են տալիս լուծել հավասարումները ոչ ստանդարտ ձևերով Շարունակել հանրակրթական հմտությունների, մաթեմատիկական մշակույթի ձևավորումը Նպաստել ձևավորմանը. Հետաքրքրություն հետազոտական գործունեության նկատմամբ Ուսանողների համար ստեղծել պայմաններ մաթեմատիկայի առարկայի նկատմամբ հետաքրքրությունը գիտակցելու և զարգացնելու համար Ուսանողներին պատրաստել պրոֆիլի ուղղության ճիշտ ընտրության համար

սլայդ 4

Ծրագրի բովանդակությունը Թեմա 1. Ներածություն. 1 ժամ. Քառակուսային հավասարման սահմանում. Լրիվ և թերի քառ. հավասարումներ։ Դրանց լուծման մեթոդները. Հարցադրում. Թեմա 2. Քառ. հավասարումներ։ Ֆակտորինգի մեթոդ Լրիվ քառակուսի ընտրության մեթոդ Լուծման քառ. Հավասարումներ ըստ բանաձևերի Լուծման քառակուսի. հավասարումներ փոխանցման մեթոդով Լուծում քառ. հավասարումներ օգտագործելով t.Vieta Solution քառ. հավասարումներ՝ օգտագործելով գործակիցը Լուծում քառ. հավասարումներ գրաֆիկական եղանակով Լուծում քառ. հավասարումներ՝ օգտագործելով կողմնացույց և քանոն Լուծում քառ. հավասարումներ երկրաչափական եղանակով Լուծում քառ. «նոմոգրամներ» օգտագործող հավասարումներ

սլայդ 5

Մի քիչ պատմություն... Քառակուսի հավասարումները այն հիմքն են, որի վրա հենվում է հանրահաշվի վեհաշուք շենքը: Քառակուսային հավասարումները լայնորեն կիրառվում են եռանկյունաչափական, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական, իռացիոնալ և տրանսցենդենտալ հավասարումների և անհավասարությունների լուծման համար։ Քառակուսի հավասարումներ Հին Բաբելոնում. Քառակուսի հավասարումներ Հնդկաստանում. Քառակուսի հավասարումներ ալ-Խորեզմիում. Քառակուսի հավասարումներ Եվրոպայում XIII - XVII դդ.

սլայդ 6

Սլայդ 7

Սլայդ 8

Սլայդ 9

սլայդ 10

Ֆրանսիացի հայտնի գիտնական Ֆրանսուա Վիեն (1540-1603) մասնագիտությամբ իրավաբան էր։ Նա իր ազատ ժամանակը նվիրում էր աստղագիտությանը։ Աստղագիտության դասերը պահանջում էին եռանկյունաչափության և հանրահաշվի իմացություն: Վիետը վերցրեց այս գիտությունները և շուտով եկավ այն եզրակացության, որ անհրաժեշտ է դրանք կատարելագործել, ինչի վրա նա աշխատել է մի քանի տարի։ Նրա աշխատանքի շնորհիվ հանրահաշիվը դառնում է բառացի հաշվարկի վրա հիմնված հանրահաշվական հավասարումների ընդհանուր գիտություն։ Ուստի հնարավոր դարձավ ընդհանուր բանաձևերով արտահայտել հավասարումների հատկությունները և դրանց արմատները։

սլայդ 11

Աշխատանքը կատարելիս նկատվեցին հետևյալ մեթոդները, որոնք ես կկիրառեմ. Վիետայի թեորեմ Գործակիցների հատկությունները «փոխանցման» մեթոդ Ձախ կողմի գործոնավորումը գործոնների Գրաֆիկական մեթոդ Մեթոդները հետաքրքիր են, բայց շատ ժամանակ են պահանջում և միշտ չէ, որ հարմար են: Գրաֆիկական մեթոդ Քանոնների և կողմնացույցների օգնությամբ նոմոգրամի ընտրությամբ ես խոնարհվում եմ այն գիտնականների առջև, ովքեր հայտնաբերեցին այս մեթոդները և գիտությանը զարգացման խթան տվեցին «Քառակուսի հավասարումների լուծում» թեմայով:

սլայդ 12

Հավասարման ձախ կողմի գործոնացում Լուծենք x2 + 10x - 24=0 հավասարումը։ Ձախ կողմի ֆակտորինգ՝ x2 + 10x - 24= x2 + 12x -2x - 24= x(x + 12) - 2(x + 12)= (x + 12)(x - 2): (x + 12)(x - 2)=0 x + 12=0 կամ x - 2=0 x= -12 x= 2 Պատասխան՝ x1= -12, x2 = 2. Լուծե՛ք հավասարումներ՝ x2 - x=0 x2. + 2x=0 x2 - 81=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 3=0

սլայդ 13

Ամբողջական քառակուսի ընտրության մեթոդ Լուծե՛ք x2 + 6x - 7=0 x2 + 6x - 7=x2 + 2x3 + 32 - 32 - 7=(x-3)2 - 9- 7= (x-3)2 - 16 ( x -3)2 -16=0 (x-3)2 =16 x-3=4 կամ x-3=-4 x=1 x=-7 Պատասխան՝ x1=1, x2=-7. Լուծեք հավասարումներ՝ x2 - 8x+15=0 x2 +12x +20=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 2=0 x2 - 6x + 8=0

սլայդ 14

Քառակուսային հավասարումների լուծում ըստ բանաձևի Հիմնական բանաձևեր. Եթե b-ն կենտ է, ապա D= b2-4ac և x 1.2=, (եթե D> 0) Եթե b-ն զույգ է, ապա D1= և x1.2=, (եթե D. >0) Լուծե՛ք հավասարումները՝ 2x2 - 5x + 2=0 6x2 + 5x +1=0 4x2 - 5x + 2=0 2x2 - 6x + 4=0 x2 - 18x +17=0 =

սլայդ 15

Հավասարումների լուծում փոխանցման մեթոդով Լուծենք ax2 +bx+c=0 հավասարումը։ Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկենք a-ով, կստանանք a2 x2 +abx+ac=0: Թողեք ax = y, որտեղից x = y/a: Հետո U2 +գնել+ac=0։ Նրա արմատներն են y1 և y2: Վերջապես x1 = y1/a, x1 = y2/a: Լուծենք 2x2 -11x + 15=0 հավասարումը։ 2 գործակիցը փոխանցենք ազատ անդամին՝ Y2 -11y+30=0։ Վիետայի թեորեմի համաձայն՝ y1 =5 և y2 =6: x1 = 5/2 և x2 = 6/2 x1 = 2,5 և x2 = 3 Պատասխան՝ x1 = 2,5, x2 = 3 Լուծե՛ք հավասարումը. 2x2 -9x +9=0 10x2 -11x + 3=0 3x2 + 11x +6. =0 6x2 +5x - 6=0 3x2 +1x - 4=0

սլայդ 16

Վիետայի թեորեմի միջոցով հավասարումների լուծում Լուծենք x2 +10x-24=0 հավասարումը։ Քանի որ x1 * x2 \u003d -24 x1 + x2 \u003d -10, ապա 24 \u003d 2 * 12, բայց -10 \u003d -12 + 2, ապա x1 \u003d -12 x2 \u003d 2 Պատասխան ՝ x1 \u0 , x2 \u003d -12. Լուծեք հավասարումներ՝ x2 - 7x - 30 =0 x2 +2x - 15=0 x2 - 7x + 6=0 3x2 - 5x + 2=0 5x2 + 4x - 9=0

սլայդ 17

Քառակուսային հավասարման գործակիցների հատկությունները Եթե a+b+c=0, ապա x2 = 1, x2 = c/a 7= 0 Լուծենք 2x2 + 3x +1= 0 1 + 6 - 7 = 0 հավասարումը, ուրեմն x1. =1, x2 = -7/1=-7. 2 - 3+1=0, ուրեմն x1= - 1, x2 = -1/2 Պատասխան՝ x1=1, x2 = -7: Պատասխան՝ x1=-1, x2=-1/2: Լուծել հավասարումներ՝ 5x2 - 7x +2 =0 Լուծել հավասարումներ՝ 5x2 - 7x -12 =0 11x2 +25x - 36=0 11x2 +25x +14=0 345x2 -137x -208=0 3x2 +5x +2 + 0 3x 5x - 8=0 5x2 + 4x - 1=0 5x2 + 4x - 9=0 x2 + 4x +3=0

Կոպիևսկայայի գյուղական միջնակարգ դպրոց

Քառակուսի հավասարումներ լուծելու 10 եղանակ

Ղեկավար՝ Պատրիկեևա Գալինա Անատոլևնա,

մաթեմատիկայի ուսուցիչ

s.Kopyevo, 2007 թ

1. Քառակուսային հավասարումների զարգացման պատմություն

1.1 Քառակուսի հավասարումներ Հին Բաբելոնում

1.2 Ինչպես Դիոֆանտը կազմեց և լուծեց քառակուսի հավասարումներ

1.3 Քառակուսային հավասարումներ Հնդկաստանում

1.4 Քառակուսային հավասարումներ ալ-Խվարեզմում

1.5 Քառակուսի հավասարումներ Եվրոպայում XIII - XVII դդ

1.6 Վիետայի թեորեմի մասին

2. Քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ

Եզրակացություն

գրականություն

1. Քառակուսային հավասարումների զարգացման պատմություն

1.1 Քառակուսի հավասարումներ Հին Բաբելոնում

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

1.2 Ինչպես Դիոֆանտը կազմեց և լուծեց քառակուսի հավասարումներ:

Հավասարումներ կազմելիս Դիոֆանտը հմտորեն ընտրում է անհայտները՝ լուծումը պարզեցնելու համար։

Ահա, օրինակ, նրա առաջադրանքներից մեկը.

Առաջադրանք 11.«Գտեք երկու թիվ՝ իմանալով, որ դրանց գումարը 20 է, իսկ արտադրյալը՝ 96»։

Հետևաբար հավասարումը.

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Եթե այս խնդիրը լուծենք՝ ընտրելով ցանկալի թվերից մեկը որպես անհայտ, ապա կգանք հավասարման լուծմանը.

y (20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

1.3 Քառակուսի հավասարումներ Հնդկաստանում

ահ 2+բx = c, a > 0. (1)

Ահա XII դարի հայտնի հնդիկ մաթեմատիկոսի խնդիրներից մեկը. Բասկարա.

Առաջադրանք 13.

«Կապիկների թրթռուն երամ և տասներկու որթատունկ...

Ունենալով ուժ կերել, զվարճացել: Նրանք սկսեցին ցատկել, կախված ...

Դրանց ութերորդ մասը հրապարակում Քանի կապիկ կար այնտեղ,

Զվարճանալ մարգագետնում: Դուք ինձ ասում եք, այս հոտի մեջ:

13 խնդրին համապատասխան հավասարումը հետևյալն է.

(x/8) 2 + 12 = x

Բհասկարան քողի տակ գրում է.

x 2 - 64x = -768

և այս հավասարման ձախ կողմը քառակուսու ձևով ավարտելու համար նա ավելացնում է երկու կողմերը 32 2 , ստանալով ապա:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48:

1.4 Քառակուսային հավասարումներ ալ-Խորեզմիում

1) «Քառակուսիները հավասար են արմատներին», այսինքն. կացին 2 + գ =բX.

2) «Քառակուսիները հավասար են թվին», այսինքն. կացին 2 = ս.

3) «Արմատները հավասար են թվին», այսինքն. ախ = ս.

4) «Քառակուսիները և թվերը հավասար են արմատներին», այսինքն. կացին 2 + գ =բX.

5) «Քառակուսիները և արմատները հավասար են թվին», այսինքն. ահ 2+bx= ս.

6) «Արմատները և թվերը հավասար են քառակուսիների», այսինքն.bx+ c \u003d կացին 2.

Առաջադրանք 14.«Քառակուսին և 21 թիվը հավասար են 10 արմատի։ Գտի՛ր արմատը» (ենթադրելով x 2 + 21 = 10x հավասարման արմատը):

1.5 Քառակուսի հավասարումներ ԵվրոպայումXIII - XVIIդարեր

Քառակուսային հավասարումների լուծման ընդհանուր կանոնը, որը վերածվել է մեկ կանոնական ձևի.

x 2+bx= հետ,

1.6 Վիետայի թեորեմի մասին

(a +բ)x - x 2 =աբ,

x 2 - (a +բ)x + աբ = 0,

x 1 = a, x 2 =բ.

Արտահայտելով հավասարումների արմատների և գործակիցների միջև կապը խորհրդանիշների միջոցով գրված ընդհանուր բանաձևերով՝ Վիետը հաստատեց հավասարումների լուծման մեթոդների միատեսակությունը։ Այնուամենայնիվ, Վիետայի սիմվոլիկան դեռ հեռու է իր ժամանակակից ձևից: Նա բացասական թվեր չէր ճանաչում, և, հետևաբար, հավասարումներ լուծելիս հաշվի էր առել միայն այն դեպքերը, երբ բոլոր արմատները դրական են:

2. Քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ

Քառակուսի հավասարումները այն հիմքն են, որի վրա հենվում է հանրահաշվի վեհաշուք շենքը: Քառակուսային հավասարումները լայնորեն կիրառվում են եռանկյունաչափական, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական, իռացիոնալ և տրանսցենդենտալ հավասարումների և անհավասարությունների լուծման համար։ Մենք բոլորս գիտենք, թե ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ դպրոցից (8-րդ դասարան) մինչև ավարտը:

Քառակուսի լուծելու 10 եղանակ. Քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ. Քառակուսային հավասարումների զարգացման պատմություն

Մատենագիտական ​​հղում

Մատենագիտական հղում