Երկուսը համարժեք են։ Երկու հավասար մրցակիցներ շախմատ են խաղում։ Համարժեք փոխակերպումներ. Բանաձևերի պարզեցում
Սահմանում. Երկու հավասարումներ f 1 (x) = g 1 (x) և f 2 (x) = g 2 (x) կոչվում են համարժեք, եթե դրանց արմատների բազմությունները համընկնում են:
Օրինակ, հավասարումները x 2 - 9 = 0 և (2 X + 6)(X- 3) = 0-ը համարժեք են, քանի որ երկուսն էլ որպես արմատ ունեն 3 և -3 թվերը: Հավասարումներ (3 X + 1)-2 = x 2- + 1 և x 2+ 1 = 0, քանի որ երկուսն էլ արմատ չունեն, այսինքն. նրանց արմատների հավաքածուները համընկնում են:
Սահմանում. Հավասարումը համարժեք հավասարմամբ փոխարինելը կոչվում է համարժեք փոխակերպում:
Այժմ պարզենք, թե ինչպիսի փոխակերպումներ են թույլ տալիս ստանալ համարժեք հավասարումներ:
Թեորեմ 1.Թող հավասարումը f (x) և g (x)տրված նկարահանման հրապարակում և հ(x) նույն բազմության վրա սահմանված արտահայտություն է։ Հետո հավասարումները f (x) = g (x)(1) և f (x) + h(x) =g (x) + ժ(x) (2) համարժեք են։
Ապացույց. Նշենք ըստ T 1 -(1) հավասարման լուծումների բազմությունը և միջով T 2 -(2) հավասարման լուծումների բազմությունը։ Այդ դեպքում (1) և (2) հավասարումները համարժեք կլինեն, եթե T 1 = T 2.Սրանում համոզվելու համար անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ ցանկացած արմատ Տ 1(2) հավասարման արմատն է և, ընդհակառակը, ցանկացած արմատ Տ 2(1) հավասարման արմատն է։
Թող թիվը ա(1) հավասարման արմատն է։ Հետո ա? T 1,և երբ փոխարինվում է (1) հավասարմամբ, այն վերածում է իրական թվային հավասարության f (a) = g (a)և արտահայտությունը ժ (x)վերածվում է թվային արտահայտության հ(ա), ինչն իմաստ ունի նկարահանման հրապարակում X.Ավելացրե՛ք իրական հավասարության երկու կողմերին f (a) = g (a)թվային արտահայտություն հ(ա): Ըստ իրական թվային հավասարումների հատկությունների, մենք ստանում ենք իրական թվային հավասարություն f (a) + h(ա) =g (a) + h(ա), որը ցույց է տալիս, որ թիվը ա(2) հավասարման արմատն է։
Այսպիսով, ապացուցվել է, որ (1) հավասարման յուրաքանչյուր արմատ նույնպես (2) հավասարման արմատ է, այսինքն. Տ 1Հետ Տ 2.
Թող հիմա ա -(2) հավասարման արմատը. Հետո ա? Տ 2և երբ փոխարինվում է (2) հավասարմամբ, այն վերածում է իրական թվային հավասարության f (a) + h(ա) =g (a) + h(ա): Այս հավասարության երկու կողմերին ավելացրեք թվային արտահայտություն. հ(ա), Մենք ստանում ենք իրական թվային հավասարություն f (x) = g (x),ինչը ցույց է տալիս, որ թիվը ա -(1) հավասարման արմատը.
Այսպիսով, ապացուցվել է, որ (2) հավասարման յուրաքանչյուր արմատ նույնպես (1) հավասարման արմատ է, այսինքն. Տ 2Հետ Տ 1.
Որովհետեւ Տ 1Հետ Տ 2և Տ 2Հետ T 1,ապա հավասար բազմությունների սահմանմամբ Տ 1= Տ 2, ինչը նշանակում է, որ (1) և (2) հավասարումները համարժեք են։
Այս թեորեմը կարող է ձևակերպվել տարբեր կերպ՝ եթե տիրույթով հավասարման երկու կողմերում Xավելացնել նույն արտահայտությունը փոփոխականով, որը սահմանված է նույն բազմության վրա, ապա ստանում ենք տրվածին համարժեք նոր հավասարում։
Այս թեորեմը ենթադրում է հետևյալ հետևությունները, որոնք օգտագործվում են հավասարումների լուծման համար.
1. Եթե հավասարման երկու կողմերին գումարվում է մեկը կամ մյուս թիվը, ապա ստանում ենք տրվածին համարժեք հավասարում։
2. Եթե որևէ տերմին (թվային արտահայտություն կամ փոփոխականով արտահայտություն) փոխանցվում է հավասարման մի մասից մյուսը` փոխելով տերմինի նշանը հակառակի, ապա մենք ստանում ենք այս մեկին համարժեք հավասարում:
Թեորեմ 2.Թող հավասարումը f (x) = g (x)տրված նկարահանման հրապարակում Xև ժ (x) -արտահայտություն, որը սահմանված է նույն հավաքածուի վրա և չի անհետանում որևէ արժեքի համար Xբազմութեան X.Հետո հավասարումները f (x) = g (x)և f (x) ժ(x) =g (x) ժ(x) համարժեք են։
Այս թեորեմի ապացույցը նման է 1-ին թեորեմի ապացույցին։
Թեորեմ 2-ը կարելի է տարբեր կերպ ձևակերպել. եթե հավասարման երկու կողմերն էլ տիրույթով Xբազմապատկել նույն արտահայտությամբ, որը սահմանված է նույն բազմության վրա և չի վերանում դրա վրա, ապա ստանում ենք տրվածին համարժեք նոր հավասարում։
Այս թեորեմից հետևում է հետևյալ հետևությունը. եթե հավասարման երկու կողմերը բազմապատկվեն (կամ բաժանվեն) միևնույն ոչ զրոյական թվով, ապա կստանանք տրվածին համարժեք հավասարում։
Հավասարումների լուծում մեկ փոփոխականով
Եկեք լուծենք 1-ի հավասարումը. x/3 = x/6, x ? Ռև հիմնավորել բոլոր այն փոխակերպումները, որոնք մենք կատարելու ենք լուծման գործընթացում։
| Փոխակերպումներ | Փոխակերպման հիմնավորումը |
| 1. Հավասարման ձախ և աջ կողմերի արտահայտությունները բերենք ընդհանուր հայտարարի. (6-2). X)/ 6 = X/6 | Կատարել է հավասարման ձախ կողմի արտահայտության նույնական փոխակերպում: |
| 2. Բաց թողեք ընդհանուր հայտարարը՝ 6-2 X = X | Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով 6-ով (Թեորեմ 2) ստացանք հավասարություն, որը համարժեք է տրվածին։ |
| 3. -2x արտահայտությունը հավասարման աջ կողմ ենք փոխանցում հակառակ նշանով՝ 6 = X+2X. | Մենք օգտագործեցինք 1-ին թեորեմի հետևանքը և ստացանք հավասարում, որը համարժեք է նախորդին և, հետևաբար, տրվածին: |
| 4. Հավասարման աջ կողմում տալիս ենք նմանատիպ տերմիններ՝ 6 = 3 X. | Կատարել է արտահայտության նույնական փոխակերպում: |
| 5. Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք 3-ի. X = 2. | Օգտագործեցինք 2-րդ թեորեմի հետևանքը, ստացանք նախորդին, հետևաբար՝ տրվածին համարժեք հավասարում։ |
Քանի որ բոլոր փոխակերպումները, որոնք մենք կատարել ենք այս հավասարումը լուծելիս, համարժեք էին, կարելի է պնդել, որ 2-ը այս հավասարման արմատն է:
Եթե հավասարման լուծման գործընթացում 1-ին և 2-րդ թեորեմների պայմանները բավարարված չեն, ապա կարող են առաջանալ արմատների կորուստ կամ առաջանալ կողմնակի արմատներ։ Հետևաբար, ավելի պարզը ստանալու համար հավասարումը փոխակերպելիս կարևոր է ապահովել, որ դրանք հանգեցնեն այս մեկին համարժեք հավասարման:
Դիտարկենք, օրինակ, հավասարումը x (x - 1) = 2x, x? Ռ... Եկեք երկու մասերը բաժանենք X, մենք ստանում ենք հավասարումը X - 1 = 2, որտեղից X= 3, այսինքն՝ այս հավասարումն ունի մեկ արմատ՝ թիվ 3։ Բայց արդյոք սա ճի՞շտ է։ Հեշտ է տեսնել, որ եթե տվյալ հավասարման մեջ փոփոխականի փոխարեն Xփոխարինելով 0-ը, այն կվերածվի իրական թվային հավասարության 0 · (0 - 1) = 2 · 0: Սա նշանակում է, որ 0-ն այս հավասարման արմատն է, որը մենք կորցրել ենք փոխակերպումները կատարելիս։ Եկեք վերլուծենք դրանք։ Առաջին բանը, որ մենք արեցինք, հավասարման երկու կողմերն էլ բաժանեցինք X,դրանք. բազմապատկված արտահայտությամբ xբայց ժամը X= Օ՜, իմաստ չունի: Հետևաբար, մենք չկատարեցինք 2-րդ թեորեմի պայմանը, որը հանգեցրեց արմատի կորստի։
Համոզվելու համար, որ այս հավասարման արմատների բազմությունը բաղկացած է երկու 0 և 3 թվերից, մենք տալիս ենք մեկ այլ լուծում։ Տեղափոխել արտահայտությունը 2 Xաջից ձախ. x (x- 1) - 2x = 0. Հավասարման ձախ կողմում հանում ենք փակագծերից դուրս. Xև տալ նմանատիպ անդամներ. x (x - 3) = 0. Երկու գործակիցների արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանցից գոնե մեկը հավասար է զրոյի, հետևաբար. x= 0 կամ X- 3 = 0: Այսպիսով, մենք ստանում ենք, որ այս հավասարման արմատները 0 և 3 են:
Մաթեմատիկայի տարրական կուրսում տեսական հիմքՀավասարումների լուծումը գործողությունների բաղադրիչների և արդյունքների հարաբերությունն է: Օրինակ՝ լուծել հավասարումը ( X 9): 24 = 3 հիմնավորված է հետևյալ կերպ. Քանի որ անհայտը դիվիդենտում է, շահաբաժինը գտնելու համար բաժանարարը պետք է բազմապատկել քանորդով. X 9 = 24 3, կամ X 9 = 72:
Անհայտ գործոն գտնելու համար անհրաժեշտ է արտադրանքը բաժանել հայտնի գործակցի. x = 72։9, կամ x = 8, հետևաբար, այս հավասարման արմատը 8 թիվն է:
Զորավարժություններ
1 ... Որոշեք, թե հետևյալ մուտքերից որոնք են մեկ փոփոխական հավասարումներ.
ա) ( X-3) 5 = 12 X; դ) 3 + (12-7) 5 = 16;
բ) ( X-3) 5 = 12; ե) ( X-3) y =12X;
v) ( X-3) 17 + 12; ե) x 2 - 2x + 5 = 0.
2. Հավասարում 2 X 4 + 4XԲնական թվերի բազմության վրա տրված է 2 -6 = 0։ Բացատրեք, թե ինչու 1 թիվը այս հավասարման արմատն է, բայց 2-ը և -1-ը դրա արմատները չեն:
3. Հավասարման մեջ ( X+ ...)(2X + 5) - (X - 3)(2X+ 1) = 20 մեկ թիվը ջնջվում է և փոխարինվում է կետերով: Գտե՛ք ջնջված թիվը, եթե գիտեք, որ այս հավասարման արմատը 2 թիվն է։
4. Ձևակերպեք այն պայմանները, որոնց դեպքում.
ա) 5 թիվը հավասարման արմատն է f (x) = g (x);
բ) 7 թիվը հավասարման արմատ չէ f (x) = g (x).
5. Պարզի՛ր, թե հետևյալ զույգ հավասարումներից որն է համարժեք իրական թվերի բազմության վրա.
ա) 3 + 7 X= -4 և 2 (3 + 7լ X) = -8;
6)3 + 7X= -4 և 6 + 7 X = -1;
գ) 3 + 7 X= -4 և լ X + 2 = 0.
6. Ձևակերպե՛ք հավասարումների համարժեքության կապի հատկությունները. Որո՞նք են օգտագործվում հավասարումը լուծելու գործընթացում:
7. Լուծե՛ք հավասարումները (բոլորը տրված են իրական թվերի բազմության վրա) և հիմնավորե՛ք դրանց պարզեցման գործընթացում կատարված բոլոր փոխակերպումները.
ա) (7 x+4)/2 – x = (3x-5)/2;
բ) x –(3x-2)/5 = 3 – (2x-5)/3;
2-ում X)2-X (X + 1,5) = 4.
8. Աշակերտը լուծեց 5-րդ հավասարումը X + 15 = 3 X+ 9 հետևյալ կերպ՝ ես ձախ կողմում հանեցի 5 թիվը, իսկ աջ կողմում՝ 3, ստացա հավասարումը. 5 (x+ 3) = 3(X+ 3) և այնուհետև երկու մասերը բաժանեք արտահայտության X+ 3. Ստացվեց 5 = 3 հավասարությունը և եզրակացրեց, որ այս հավասարումը արմատներ չունի: Ճի՞շտ է արդյոք ուսանողը:
9. Լուծեք 2 / (2-) հավասարումը x) - ½ = 4 / ((2- x)x); X? Ռ... Արդյո՞ք 2 թիվը այս հավասարման արմատն է:
10. Լուծեք հավասարումներ՝ օգտագործելով բաղադրիչների և գործողությունների արդյունքների միջև կապը.
ա) ( X+ 70) 4 = 328; գ) (85 X + 765): 170 = 98;
բ) 560: ( X+ 9) - 56; G) ( X - 13581):709 = 306.
11. Խնդիրներ լուծել թվաբանական և հանրահաշվական մեթոդներով.
ա) Առաջին դարակում 16 գիրք ավելի շատ է, քան երկրորդը: Եթե յուրաքանչյուր դարակից հանեք 3 գիրք, ապա առաջին դարակում մեկուկես անգամ ավելի շատ գիրք կլինի, քան երկրորդում։ Քանի՞ գիրք կա յուրաքանչյուր դարակում:
բ) Հեծանվորդը ճամբարի վայրից մինչև կայարան ամբողջ ճանապարհը, որը 26 կմ է, անցել է 1 ժամ 10 րոպեում: Այս ժամանակի առաջին 40 րոպեները նա վարել է նույն արագությամբ, իսկ մնացած ժամանակը՝ 3 կմ/ժ պակաս արագությամբ։ Գտեք հեծանվորդի արագությունը ուղու առաջին հատվածում:
Բաց դաս մաթեմատիկայի «Բեռնուլիի սխեման. Խնդիրների լուծում ըստ Բեռնուլիի և Լապլասի սխեմայի»
Դիդակտիկ. Բեռնուլիի սխեմայով հավանականությունների հաշվարկման հմտությունների և կարողությունների ձեռքբերում:
Զարգացում՝ գիտելիքները գործնականում կիրառելու հմտությունների զարգացում, ուսանողների ֆունկցիոնալ մտածողության ձևավորում և զարգացում, համեմատության, վերլուծության և սինթեզի հմտությունների զարգացում, զույգերով աշխատելու հմտություններ, մասնագիտական բառապաշարի ընդլայնում:
Ինչպես կարող եք խաղալ այս խաղը.
Ուսումնական. առարկայի նկատմամբ հետաքրքրության խթանում գործնական օգտագործումտեսություն, ուսանողների ուսումնական նյութի գիտակցված յուրացման ձեռքբերում, թիմում աշխատելու ունակության ձևավորում, համակարգչային տերմինների ճիշտ օգտագործում, գիտության նկատմամբ հետաքրքրություն, ապագա մասնագիտության նկատմամբ հարգանք։
Գիտելիքի գիտական բնավորությունը՝ Բ
Դասի տեսակը՝ համակցված դաս.
- նախորդ դասերին անցած նյութի համախմբում;
- թեմատիկ, տեղեկատվական-խնդրահարույց տեխնոլոգիա;
- այս դասում ուսումնասիրված նյութի ընդհանրացում և համախմբում:
Դասավանդման մեթոդը՝ բացատրական - պատկերազարդ, խնդրահարույց:
Գիտելիքների վերահսկում` ճակատային հարցում, խնդրի լուծում, ներկայացում:
Դասի նյութատեխնիկական հագեցվածություն. համակարգիչ, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր։
Մեթոդական աջակցություն՝ տեղեկատու նյութեր, դասի թեմայի ներկայացում, խաչբառ:
Դասերի ժամանակ
1. Կազմակերպչական պահ՝ 5ր.
(Ողջույն, խմբի պատրաստակամություն դասին).
2. Փորձարկման գիտելիքներ.
Ստուգեք հարցերը սլայդների առջևում՝ 10 րոպե:
- «Հավանականությունների տեսություն» բաժնի սահմանումները.
- «Հավանականությունների տեսություն» բաժնի հիմնական հայեցակարգը.
- ի՞նչ իրադարձություններ է ուսումնասիրում «Հավանականությունների տեսությունը».
- պատահական իրադարձության բնորոշ
- հավանականությունների դասական սահմանում
Ամփոփելով. 5 րոպե.
3.Խնդիրների լուծում տողերով՝ 5ր.
Խնդիր 1. Գցվում է զառ: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ հավասար և 5-ից փոքր միավորը գլորվի:
Խնդիր 2. Տուփում կան ինը միանման ռադիոխողովակներ, որոնցից երեքն օգտագործվում էին: Աշխատանքային օրվա ընթացքում վարպետը պետք է երկու ռադիոխողովակ վերցներ սարքավորումները վերանորոգելու համար։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ երկու վերցված լամպերն էլ օգտագործվել են:
Խնդիր 3. Կինոթատրոնի երեք դահլիճներում ցուցադրվում են երեք տարբեր ֆիլմեր։ 1-ին դահլիճի տոմսարկղերում որոշակի ժամվա տոմսերի առկայության հավանականությունը 0,3 է, 2-րդ սրահի տոմսարկղերում՝ 0,2, իսկ 3-րդ սրահի տոմսարկղերում՝ 0,4։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ տվյալ ժամին հնարավոր է գոնե մեկ ֆիլմի տոմս գնել։
4. Խնդիրների լուծման մեթոդների ստուգում խորհրդի մոտ: Հավելված 1.5 ր.
Խնդիրների լուծման 5-րդ եզրակացություն.
Իրադարձության առաջացման հավանականությունը յուրաքանչյուր առաջադրանքի համար նույնն է. m և n - const
6. Առաջադրանքի միջոցով նպատակադրում. 5ր.
Առաջադրանք. Շախմատ են խաղում երկու համարժեք շախմատիստներ։ Որքա՞ն է չորսից երկու խաղում հաղթելու հավանականությունը:
Որքա՞ն է վեց խաղերից երեքում հաղթելու հավանականությունը (ոչ-ոքիները հաշվի չեն առնվում):
Հարց. Մտածեք և նշեք, թե այս առաջադրանքի հարցերն ինչո՞վ են տարբերվում նախորդ առաջադրանքների հարցերից։
Պատճառաբանություն, համեմատություն՝ հասնելու պատասխանի՝ m և n հարցերում տարբեր են:
7. Դասի թեմա.
Իրադարձության առաջացման հավանականության հաշվարկը p-const-ով n փորձերից k անգամ:
Եթե կատարվում են թեստեր, որոնցում յուրաքանչյուր թեստում Ա իրադարձության առաջացման հավանականությունը կախված չէ այլ թեստերի արդյունքներից, ապա այդպիսի թեստերը կոչվում են անկախ A իրադարձությունից: Թեստեր, որոնցից յուրաքանչյուրում իրադարձության առաջացման հավանականությունը նույնը.
Բեռնուլիի բանաձեւը. Հավանականությունը, որ n անկախ փորձարկումներում, որոնցից յուրաքանչյուրում իրադարձության առաջացման հավանականությունը p է (0 կամ Հավելված 2 Բեռնուլիի բանաձևը, որտեղ k, n-ը փոքր թվեր են, որտեղ q = 1-p Լուծում. խաղում են համարժեք շախմատիստներ, ուստի հաղթելու հավանականությունը p = 1/2 է; հետեւաբար q կորցնելու հավանականությունը նույնպես 1/2 է։ Քանի որ բոլոր խաղերում հաղթելու հավանականությունը հաստատուն է, և կարևոր չէ, թե ինչ հաջորդականությամբ են հաղթելու խաղերը, կիրառելի է Բեռնուլիի բանաձևը։ 5 րոպե Գտնենք հավանականությունը, որ չորս խաղերից երկուսը հաղթելու են. Գտնենք հավանականությունը, որ վեց խաղերից երեքը հաղթելու են. Քանի որ P4 (2)> P6 (3), ավելի հավանական է հաղթել չորս խաղերից երկու, քան վեցից երեքը: Գտեք հավանականությունը, որ A իրադարձությունը տեղի կունենա ուղիղ 70 անգամ 243 թեստում, եթե յուրաքանչյուր թեստում այս իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը 0,25 է: k = 70, n = 243 Այսպիսով, k և n-ը մեծ թվեր են: Սա նշանակում է, որ Բեռնուլիի բանաձևով դժվար է հաշվել։ Նման դեպքերի համար կիրառվում է տեղական Լապլասի բանաձևը. Հավելված 3 x-ի դրական արժեքների համար տրված է Հավելված 4-ում. x-ի բացասական արժեքների համար օգտագործեք նույն աղյուսակը և =: 1. Երկու հավասար խաղացողներ խաղում են մի խաղ, որում ոչ-ոքի չի լինում: Ո՞րն է հավանականությունը, որ առաջին խաղացողը հաղթի. ա) երկու խաղից մեկը: բ) չորսից երկուսը. գ) վեցից երեքը. Պատասխան.ա); բ); v) 3. Հատված ԱԲբաժանված է կետով ՀԵՏ 2:1 հարաբերակցությամբ: Այս հատվածի վրա պատահականորեն նետվում են չորս միավոր: Գտեք հավանականությունը, որ դրանցից երկուսը կգտնվեն C կետից ձախ, իսկ երկուսը՝ աջ: Պատասխան. 4. Գտեք հավանականությունը, որ A իրադարձությունը տեղի կունենա ուղիղ 70 անգամ 243 փորձարկումներում, եթե յուրաքանչյուր փորձարկումից այս իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը 0,25 է: Պատասխան. . 5. Տղա ունենալու հավանականությունը 0,515 է։ Գտե՛ք հավանականությունը, որ 100 նորածինների մեջ տղաներն ու աղջիկները հավասարապես կլինեն։ Պատասխան. 0,0782 6. Խանութը ստացել է 500 ապակե շիշ։ Փոխադրման ժամանակ շշերից որևէ մեկը կոտրվելու հավանականությունը 0,003 է։ Գտեք հավանականությունը, որ խանութը կստանա կոտրված շշեր. ա) ուղիղ երկու. բ) երկուսից պակաս. գ) առնվազն երկու. դ) առնվազն մեկը. Պատասխան.ա) 0,22; բ) 0,20; գ) 0,80; դ) 0,95 7. Ավտոմոբիլային գործարանը արտադրում է մեքենաների 80%-ը՝ առանց էական թերությունների։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ գործարանից ավտոբորսա առաքված 600 մեքենաների մեջ լինի առնվազն 500 առանց էական թերությունների։ Պատասխան. 0,02. 8. Քանի՞ անգամ պետք է մետաղադրամը նետել այնպես, որ 0,95 հավանականությամբ կարելի է ակնկալել, որ զինանշանի տեսքի հարաբերական հաճախականությունը կշեղվի հավանականությունից։ Ռ= 0,5 զինանշանի տեսքը մետաղադրամի մեկ նետումով ոչ ավելի, քան 0,02: Պատասխան՝ n ≥ 2401. 9. Իրադարձության առաջացման հավանականությունը 100 անկախ իրադարձություններից յուրաքանչյուրում հաստատուն է և հավասար է. էջ= 0,8. Գտե՛ք իրադարձությունների առաջացման հավանականությունը՝ ա) առնվազն 75 անգամ և ոչ ավելի, քան 90 անգամ. բ) առնվազն 75 անգամ. գ) ոչ ավելի, քան 74 անգամ: Պատասխան.ա Բ Գ) . 10. Իրադարձության առաջացման հավանականությունը անկախ թեստերից յուրաքանչյուրում 0,2 է: Գտե՛ք, թե իրադարձության պատահման հարաբերական հաճախականության ինչ շեղում նրա հավանականությունից կարելի է ակնկալել 0,9128 հավանականությամբ 5000 թեստի համար: Պատասխան. 11. Քանի՞ անգամ պետք է մետաղադրամը նետել, որպեսզի 0,6 հավանականությամբ կարելի է ակնկալել, որ զինանշանի տեսքի հարաբերական հաճախականության շեղումը հավանականությունից. էջ= 0.5-ը բացարձակ արժեքով ստացվում է ոչ ավելի, քան 0.01: Պատասխան՝ n = 1764. 12. Իրադարձության առաջացման հավանականությունը 10000 անկախ փորձարկումներից յուրաքանչյուրում 0,75 է: Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ իրադարձության առաջացման հարաբերական հաճախականությունը բացարձակ արժեքով իր հավանականությունից շեղվելու է 0,01-ից ոչ ավելի: Պատասխան. . 13. Անկախ փորձարկումներից յուրաքանչյուրում իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը 0,5 է: Գտեք փորձությունների քանակը n, որում 0,7698 հավանականությամբ կարելի է ակնկալել, որ իրադարձության առաջացման հարաբերական հաճախականությունը բացարձակ արժեքով իր հավանականությունից կշեղվի 0,02-ից ոչ ավելի։ Սահմանում.Տրամաբանության հանրահաշվի երկու բանաձև Ա և Բկոչվում են համարժեք,եթե նրանք վերցնում են նույն տրամաբանական արժեքները տարրական հայտարարությունների բանաձևերում ներառված արժեքների ցանկացած հավաքածուի վրա: Բանաձևերի համարժեքությունը կնշանակվի նշանով և նշումով Ա Վնշանակում է, որ բանաձեւերը Ա և Բհամարժեք են։ Օրինակ, բանաձևերը համարժեք են. A բանաձևը կոչվում է նույնական ճշմարիտ (կամ տավտոլոգիա)եթե այն վերցնում է 1 արժեքը դրանում ներառված փոփոխականների բոլոր արժեքների համար: Օրինակ, բանաձեւերը ,
. Բանաձև Ականչեց նույնապես կեղծ,եթե այն վերցնում է 0 արժեքը դրանում ներառված փոփոխականների բոլոր արժեքների համար: Օրինակ, բանաձեւը նույնական կեղծ է: Հասկանալի է, որ համարժեքության կապը ռեֆլեքսիվ է, սիմետրիկ և անցումային։ Համարժեքություն և համարժեք հասկացությունների միջև կա հետևյալ կապը՝ եթե բանաձևերը Աև Վհամարժեք են, ապա բանաձևը Ա Վ- տավտոլոգիա, և հակառակը, եթե բանաձևը Ա Վ- տավտոլոգիա, ապա բանաձեւեր Աև Վհամարժեք են։ Տրամաբանության հանրահաշվի ամենակարևոր համարժեքները կարելի է բաժանել երեք խմբի. 1. Հիմնական համարժեքներ. Եկեք ապացուցենք կլանման օրենքներից մեկը. Դիտարկենք բանաձևը .
Եթե այս բանաձեւում ա= 1, ապա, ակնհայտորեն, և մինչ երկու ճշմարիտ պնդումների միացում: Հիմա թող բանաձեւը A x = 0. Բայց հետո, ըստ սահմանման, շաղկապական գործողությունը կլինի կեղծ, իսկ շաղկապը .
Այսպիսով, բոլոր դեպքերում բանաձևի արժեքները Ահամապատասխանել արժեքներին ա,եւ, հետեւաբար Ա x. 2. Որոշ տրամաբանական գործողություններ մյուսների միջոցով արտահայտող համարժեքներ. Հասկանալի է, որ 5-րդ և 6-րդ համարժեքները ստացվում են համապատասխանաբար 3-րդ և 4-րդ համարժեքներից, եթե վերջինիս երկու մասերից վերցնենք բացասական և օգտագործենք կրկնակի բացասականները հեռացնելու օրենքը։ Այսպիսով, առաջին չորս համարժեքները ապացույցի կարիք ունեն։ Փաստենք դրանցից երկուսը` առաջինն ու երրորդը: Քանի որ նույն տրամաբանական արժեքներով Xև ժամըբանաձևերը ճշմարիտ են, ապա շաղկապը Թող հիմա Xև ժամըունեն տարբեր տրամաբանական իմաստներ. Այնուհետև համարժեքությունը և երկու հետևանքներից մեկը կամ կեղծ կլինի: Միեւնույն ժամանակ կեղծ կլինի և շաղկապը Դիտարկենք համարժեքությունը 3. Եթե Xև ժամըմիևնույն ժամանակ վերցրեք իրական արժեքները, ապա կապը ճշմարիտ կլինի x & yև կապի կեղծ ժխտում։ Միևնույն ժամանակ, և և և կլինի կեղծ, հետևաբար նաև դիզյունցիան .
Հիմա թողեք փոփոխականներից գոնե մեկը Xկամ ժամըընդունում է false արժեքը: Այդ դեպքում կապը կեղծ կլինի x & yև դրա իսկական հերքումը: Միևնույն ժամանակ, փոփոխականներից առնվազն մեկի ժխտումը ճշմարիտ կլինի, հետևաբար դիզյունցիան նույնպես ճշմարիտ կլինի. .
Հետևաբար, բոլոր դեպքերում 3-ի համարժեքության երկու մասերն էլ ընդունում են նույն տրամաբանական արժեքները: 2-ի և 4-ի համարժեքներն ապացուցված են նույն կերպ։ Այս խմբի համարժեքներից հետևում է, որ տրամաբանության հանրահաշվի ցանկացած բանաձև կարող է փոխարինվել համարժեք բանաձևով, որը պարունակում է ընդամենը երկու տրամաբանական գործողություն՝ կապ և ժխտում կամ դիսյունկցիա և ժխտում։ Տրամաբանական գործողությունների հետագա բացառումն անհնար է։ Այսպիսով, եթե մենք օգտագործում ենք միայն կապ, ապա արդեն այնպիսի բանաձեւ, ինչպիսին ժխտումն է Xչի կարող արտահայտվել կապի գործողության միջոցով: Այնուամենայնիվ, կան գործողություններ, որոնցով կարող է արտահայտվել մեր օգտագործած հինգ տրամաբանական գործողություններից որևէ մեկը: Նման վիրահատություն է, օրինակ, Schaeffer Stroke վիրահատությունը։ Այս գործողությունը նշվում է խորհրդանիշով x | yև որոշվում է հետևյալ ճշմարտության աղյուսակով. Ակնհայտ է, որ կան համարժեքներ. 2) x & y (x | y) | (x | y). Այս երկու համարժեքներից հետևում է, որ տրամաբանության հանրահաշվի ցանկացած բանաձև կարող է փոխարինվել միայն «Շեֆերի հարված» գործողությամբ պարունակող համարժեք բանաձևով։ Նշենք, որ. Գործողությունը կարող է մուտքագրվել նույն կերպ 3. Տրամաբանության հանրահաշվի հիմնական օրենքներն արտահայտող համարժեքներ. 1. x & y y & x -կապի փոխադարձություն. 2. x ժամը y X- կոմուտատիվ դիզյունցիա. 3. x & (y & z) (x & y) & z- կապի ասոցիատիվությունը. 4. X(y z )
(X y)զ-ասոցիատիվություն դիզյունցիայի. 5. x & (y զ) (x & y) (x & z)- կապի բաշխվածությունը դիսյունցիայի նկատմամբ. 6. X (y & z) (X y) & (xզ )
- դիսյունցիայի բաշխվածությունը կապի նկատմամբ. Փաստենք թվարկված օրենքներից վերջինը. Եթե X= 1, ապա բանաձեւերը X (y &զ), X y, xզ .
Բայց հետո կապը (X y) & (xզ ).
Այսպիսով, համար X= 1 6 համարժեքության երկու մասերն էլ վերցնում են նույն տրամաբանական արժեքները (ճշմարիտ): Թող հիմա x = 0. Հետո X (y & z) y & z, x ժամը ժամըև x z z ,
և, հետևաբար, կապը X (y & z) y & z... Հետևաբար, այստեղ 6-ի համարժեքության երկու կողմերն էլ համարժեք են նույն բանաձևին y & z,և հետևաբար վերցրեք նույն տրամաբանական արժեքները: § 5. Բանաձեւերի համարժեք փոխակերպումներ Օգտագործելով I, II և III խմբերի համարժեքները՝ կարելի է բանաձևի մի մասը կամ բանաձևը փոխարինել համարժեք բանաձևով։ Բանաձևերի նման փոխակերպումները կոչվում են համարժեք։ Համարժեք փոխակերպումները օգտագործվում են համարժեքներն ապացուցելու, բանաձևերը տվյալ ձևի բերելու, բանաձևերը պարզեցնելու համար։ Բանաձև Ահամարվում է ավելի պարզ, քան համարժեք բանաձևը V,եթե այն պարունակում է ավելի քիչ տառեր, ապա տրամաբանական գործողությունները քիչ են: Այս դեպքում համարժեքության և ենթատեքստի գործողությունները սովորաբար փոխարինվում են անջատման և կապակցման գործողություններով, իսկ ժխտումը կոչվում է տարրական հայտարարություններ: Դիտարկենք մի քանի օրինակ։ 1. Ապացուցե՛ք համարժեքությունը Օգտագործելով I, II և III խմբերի համարժեքները 2.
Պարզեցնել բանաձևը Եկեք գրենք համարժեք բանաձևերի շղթա. 3. Ապացուցե՛ք բանաձեւի նույնականությունը Եկեք գրենք համարժեք բանաձևերի շղթա. Բուլի հանրահաշիվը III խմբի համարժեքները ցույց են տալիս, որ տրամաբանության հանրահաշիվն ունի փոխադարձ և ասոցիատիվ օրենքներ՝ կապված կապի և դիսյունկցիոն գործողությունների հետ, և կապի բաշխիչ օրենք՝ դիսյունկցիայի նկատմամբ, նույն օրենքները տեղի են ունենում նաև թվերի հանրահաշիվում։ Հետևաբար, տրամաբանության հանրահաշիվների բանաձևերի վրա կարելի է իրականացնել նույն փոխակերպումները, որոնք կատարվում են թվերի հանրահաշիվում (փակագծերի բացում, փակագծերի մեջ փակում, ընդհանուր գործոնը փակագծերից դուրս թողնելով): Բայց տրամաբանության հանրահաշիվում հնարավոր են նաև այլ փոխակերպումներ՝ հիմնվելով համարժեքների օգտագործման վրա. Այս հատկանիշը թույլ է տալիս հասնել հեռուն գնացող ընդհանրացումների։ Դիտարկենք ոչ դատարկ հավաքածու Մցանկացած բնույթի տարրեր ( x, y, z, ...} ,
որում սահմանվում են «=» (հավասար) հարաբերությունը և երեք գործողություններ՝ «+» (ավելացում), «» (բազմապատկում) և «-» (ժխտում)՝ հնազանդվելով հետևյալ աքսիոմներին. Փոխադարձ օրենքներ. 1 ա. x + y = y + x, 1բ. X y = y X. Ասոցիատիվ օրենքներ. 2 ա. x + (y + z)= (x + y) + z, 2բ. X (ժամը z) = (x y) զ. Բաշխման օրենքներ. 3 ա. (x + y) z = (xզ ) + (y է) 3բ. (x y) + z = (x + z) (y + z): Անզորության օրենքները. 4 ա. x + x = x, 4բ. X x = x. Կրկնակի ժխտման օրենքը. Դե Մորգանի օրենքները. 6 ա. ,
6բ .
. Կլանման օրենքներ. 7 ա. x + (y X)= X, 7բ. X (y + x) = x. Այնքան շատ Մկանչեց Բուլյան հանրահաշիվ. Եթե հիմնական տարրերի տակ x, y, z, ...«+», «», «-» դիսյունցիա, շաղկապ, ժխտում գործողություններով, համապատասխանաբար, և հավասարության նշանը համարվում է համարժեքության նշան, այնուհետև I, II և III խմբերի համարժեքներից. , Բուլյան հանրահաշվի բոլոր աքսիոմները բավարարված են։ Այն դեպքերում, երբ աքսիոմների որոշակի համակարգի համար հնարավոր է ընտրել կոնկրետ առարկաներ և նրանց միջև կոնկրետ հարաբերություններ, որպեսզի բոլոր աքսիոմները բավարարվեն, ասում են, որ այն գտնվել է. մեկնաբանություն(կամ մոդել)աքսիոմների այս համակարգը: Հետևաբար, Բուլյան հանրահաշիվը Բուլյան հանրահաշվի մեկնաբանությունն է: Բուլի հանրահաշիվն ունի նաև այլ մեկնաբանություններ։ Օրինակ, եթե հիմնական տարրերի տակ x, y, z, ...բազմություններ Մբազմություններ նշանակել՝ համապատասխանաբար «+», «», «-» միություն, հատում, գումարում, իսկ հավասար նշանով՝ բազմությունների հավասար նշան, ապա գալիս ենք բազմությունների հանրահաշիվին։ Հեշտ է ստուգել, որ բազմությունների հանրահաշիվում համապատասխանում են Բուլյան հանրահաշվի բոլոր աքսիոմները։ Բուլյան հանրահաշվի տարբեր մեկնաբանությունների թվում կան նաև տեխնիկական բնույթի մեկնաբանություններ։ Նրանցից մեկը կքննարկվի ստորև: Ինչպես ցույց կտանք, այն կարևոր դեր է խաղում ժամանակակից ավտոմատացման մեջ: Բուլյան հանրահաշվի ֆունկցիաներ Ինչպես արդեն նշվեց, տրամաբանության հանրահաշվի բանաձևի իմաստը լիովին կախված է այս բանաձևում ներառված հայտարարությունների արժեքներից: Հետևաբար, տրամաբանության հանրահաշվի բանաձևը իրենում ներառված տարրական պնդումների ֆունկցիա է։ Օրինակ, բանաձևը ֆունկցիա է երեք փոփոխական f (x, y, z):Այս ֆունկցիայի առանձնահատկությունն այն է, որ նրա արգումենտները վերցնում են երկու արժեքներից մեկը՝ զրո կամ մեկ, և ֆունկցիան նաև ընդունում է երկու արժեքներից մեկը՝ զրո կամ մեկ։ Սահմանում. Բուլյան հանրահաշիվ ֆունկցիահա փոփոխականներ (կամ Բուլյան ֆունկցիա)կոչվում է m փոփոխականների ֆունկցիա, որտեղ յուրաքանչյուր փոփոխական ընդունում է երկու արժեք՝ 0 և 1, և ֆունկցիան կարող է վերցնել երկու արժեքներից միայն մեկը՝ 0 կամ 1։ Հասկանալի է, որ տրամաբանության հանրահաշվի միևնույն ճշմարիտ և նույնական կեղծ բանաձևերը հաստատուն ֆունկցիաներ են, և երկու համարժեք բանաձևերն արտահայտում են նույն ֆունկցիան։ Եկեք պարզենք, թե որքան է n փոփոխականի ֆունկցիաների թիվը: Ակնհայտ է, որ տրամաբանության հանրահաշվի յուրաքանչյուր ֆունկցիա (ինչպես նաև տրամաբանության հանրահաշվի բանաձևը) կարելի է ճշտել՝ օգտագործելով ճշմարտության աղյուսակը, որը կպարունակի 2 n տող։ Հետևաբար, n փոփոխականների յուրաքանչյուր ֆունկցիա վերցնում է 2 n արժեք՝ բաղկացած զրոներից և մեկներից: Այսպիսով, n փոփոխականների ֆունկցիան ամբողջությամբ որոշվում է զրոների և 2 n երկարության միավորների արժեքների բազմությամբ: Բուլյան հանրահաշվի գործառույթները Պփոփոխականները հավասար են: Մասնավորապես, կան մեկ փոփոխականի չորս տարբեր ֆունկցիաներ, և երկու փոփոխականների տասնվեց տարբեր գործառույթներ: Եկեք դուրս գրենք մեկի տրամաբանության հանրահաշվի բոլոր գործառույթները ևերկու փոփոխական. Դիտարկենք ճշմարտության աղյուսակ մեկ փոփոխականի տարբեր ֆունկցիաների համար: Ակնհայտորեն նման է հետևյալին. Այս աղյուսակից հետևում է, որ մեկ փոփոխականի երկու ֆունկցիաները հաստատուն կլինեն. f 1 (x) = 1, f 4 (x) = 0, և f 2 (x) X,և f 3 (x) .
Երկու փոփոխականների բոլոր հնարավոր ֆունկցիաների ճշմարտության աղյուսակը հետևյալն է. f i = f i (x, y) Հասկանալի է, որ այս ֆունկցիաների վերլուծական արտահայտությունները կարելի է գրել հետևյալ կերպ. Բաժին 2. Բանաձևերի տրամաբանական համարժեքություն. Առաջարկվող հանրահաշվի բանաձևերի նորմալ ձևեր Համարժեքության հարաբերակցությունը Օգտագործելով ճշմարտության աղյուսակները՝ հնարավոր է պարզել, թե մուտքային փոփոխականների ճշմարտության արժեքների որ հավաքածուներում բանաձևը կընդունի ճշմարիտ կամ կեղծ արժեք (ինչպես նաև համապատասխան տրամաբանական կառուցվածքով հայտարարություն), որը բանաձևեր կլինեն տավտոլոգիաներ կամ հակասություններ։ , և նաև պարզել, թե արդյոք երկու տրված բանաձևերն են համարժեք։ Տրամաբանության մեջ ասում են, որ երկու նախադասությունները համարժեք են, եթե միաժամանակ երկուսն էլ ճիշտ են կամ սխալ։ Այս արտահայտության մեջ «միաժամանակ» բառը երկիմաստ է։ Այսպիսով, «Վաղը կլինի երեքշաբթի» և «Երեկ կիրակի էր» նախադասությունների համար այս բառը բառացի նշանակություն ունի՝ երկուշաբթի երկուսն էլ ճիշտ են, իսկ շաբաթվա մնացած օրերին՝ երկուսն էլ կեղծ են։ Հավասարումների համար» x = 2«և» 2x = 4«Միևնույն ժամանակ «նշանակում է» փոփոխականի նույն արժեքներով»: «Վաղը անձրև է գալու» և «Ճիշտ չէ, որ վաղը անձրև չի գա» կանխատեսումները միաժամանակ կհաստատվեն (պարզվում է, որ ճիշտ է) կամ չեն հաստատվելու (կհաստատվեն՝ սուտ են)։ Ըստ էության, սա միևնույն կանխատեսումն է՝ արտահայտված երկու տարբեր ձևերով, որոնք կարող են ներկայացվել բանաձևերով. Xեւ . Այս բանաձևերը միաժամանակ ընդունում են «true» կամ «false» արժեքը։ Ստուգելու համար բավական է կազմել ճշմարտության աղյուսակ. Մենք տեսնում ենք, որ առաջին և վերջին սյունակներում ճշմարտության արժեքները նույնն են: Բնական է նման բանաձեւերը, ինչպես նաեւ դրանց համապատասխանող նախադասությունները համարժեք համարելը։ F 1 և F 2 բանաձևերը կոչվում են համարժեք, եթե դրանց համարժեքը տավտոլոգիա է: Երկու բանաձևերի համարժեքությունը գրված է հետևյալ կերպ. (կարդա՝ բանաձև F 1համարժեք է բանաձևին F 2). Կան երեք եղանակներ ստուգելու, թե արդյոք բանաձևերը համարժեք են. 2) յուրաքանչյուր բանաձևի համար կազմել ճշմարտության աղյուսակ և համեմատել վերջնական արդյունքները. եթե վերջին սյունակներում՝ փոփոխական արժեքների նույն բազմություններով
երկու բանաձևերի ճշմարտացիության արժեքները հավասար կլինեն, ապա բանաձևերը համարժեք են. 3) օգտագործելով համարժեք փոխակերպումներ. Օրինակ 2.1:Պարզեք՝ արդյոք բանաձևերը համարժեք են՝ 1),; 2),. 1) Համարժեքությունը որոշելու համար կօգտագործենք առաջին մեթոդը, այսինքն՝ կպարզենք՝ արդյոք բանաձևերի համարժեքությունը նույնպես տավտոլոգիա է։ Կազմենք բանաձևերի համարժեքը՝. Ստացված բանաձևը պարունակում է երկու տարբեր փոփոխականներ ( Աև Վ) և 6 գործողություն՝ 1); 2); 3); 4) ; 5) ; 6). Սա նշանակում է, որ համապատասխան ճշմարտության աղյուսակը կունենա 5 տող և 8 սյունակ. Ճշմարտության աղյուսակի վերջին սյունակից երևում է, որ կազմված համարժեքությունը տավտոլոգիա է և, հետևաբար,. 2) Որպեսզի պարզենք, թե արդյոք բանաձևերը համարժեք են և համարժեք, մենք օգտագործում ենք երկրորդ մեթոդը, այսինքն՝ յուրաքանչյուր բանաձևի համար կազմում ենք ճշմարտության աղյուսակ և համեմատում վերջնական սյունակները։ ( Մեկնաբանություն... Երկրորդ մեթոդը արդյունավետ օգտագործելու համար անհրաժեշտ է, որ բոլոր կազմված ճշմարտության աղյուսակները սկսվեն նույն կերպ, այսինքն. փոփոխական արժեքների հավաքածուները նույնն էին համապատասխան տողերում
.) Բանաձևն ունի երկու տարբեր փոփոխական և 2 գործողություն, ինչը նշանակում է, որ համապատասխան ճշմարտության աղյուսակը ունի 5 տող և 4 սյունակ. Բանաձևն ունի երկու տարբեր փոփոխական և 3 գործողություն, ինչը նշանակում է, որ համապատասխան ճշմարտության աղյուսակը ունի 5 տող և 5 սյունակ. Համեմատելով կազմված ճշմարտության աղյուսակների վերջնական սյունակները (քանի որ աղյուսակները սկսվում են նույն կերպ, մենք կարող ենք անտեսել փոփոխական արժեքների բազմությունները), տեսնում ենք, որ դրանք չեն համընկնում և, հետևաբար, բանաձևերը համարժեք չեն (): Արտահայտությունը բանաձև չէ (քանի որ «» նշանը չի վերաբերում որևէ տրամաբանական գործողության): Այն արտահայտում է վերաբերմունքբանաձևերի միջև (ինչպես նաև թվերի միջև հավասարություն, տողերի միջև զուգահեռություն և այլն): Համարժեքության հարաբերության հատկությունների թեորեմը վավեր է. Թեորեմ 2.1.Առաջադրված հանրահաշվի բանաձևերի միջև համարժեքության կապը. 1) ռեֆլեկտիվ. 2) սիմետրիկ՝ եթե, ապա; 3) անցումային՝ եթե և, ապա։ Տրամաբանության օրենքները Առաջարկային տրամաբանության մեջ բանաձևերի համարժեքները հաճախ կոչվում են տրամաբանության օրենքները... Թվարկենք դրանցից ամենագլխավորները. 1. - ինքնության օրենքը. 2.- բացառված երրորդի օրենքը 3. - հակասության օրենքը 4. - դիսյունցիա զրոյի հետ 5. - զրոյի հետ կապ 6. - անջատում միավորի հետ 7. - մեկի հետ կապ 8. - կրկնակի ժխտման օրենքը 9. - կապի փոխադարձություն 10. - դիզյունցիայի փոխադարձություն 11. - կապի ասոցիատիվություն 12. - դիզյունցիայի ասոցիատիվություն 13. - կապի բաշխվածություն 14. - բաշխիչ դիզյունցիա 15.- անիմպոտենտության օրենքներ 16. 17. 18. 19. 20.- այլ տրամաբանական գործողություններով համարժեքություն արտահայտող օրենքներ Տրամաբանության օրենքներն օգտագործվում են պարզեցնելու բարդ բանաձևերը և ապացուցելու, որ բանաձևերը հավասարապես ճիշտ են կամ կեղծ: Համարժեք փոխակերպումներ. Բանաձևերի պարզեցում Եթե միևնույն բանաձևը ամենուր փոխարինվի համարժեք բանաձևերում՝ ինչ-որ փոփոխականի փոխարեն, ապա նոր ստացված բանաձևերը նույնպես կստացվեն համարժեք՝ ըստ փոխարինման կանոնի։ Այս կերպ յուրաքանչյուր համարժեքից կարելի է ստանալ այնքան նոր համարժեքներ։ Օրինակ 1:Եթե դե Մորգանի օրենքում փոխարեն Xփոխարինել, իսկ փոխարեն Յփոխարինող, մենք ստանում ենք նոր համարժեք: Ստացված համարժեքության վավերականությունը հեշտ է ստուգել՝ օգտագործելով ճշմարտության աղյուսակը։ Եթե որևէ բանաձև, որը բանաձևի մաս է Ֆ, փոխարինվում է բանաձևին համարժեք բանաձևով, այնուհետև ստացված բանաձևը կստացվի, որ համարժեք է բանաձևին. Ֆ. Այնուհետև օրինակ 2-ի բանաձևի համար կարող են կատարվել հետևյալ փոփոխությունները. - կրկնակի ժխտման օրենքը; - դե Մորգանի օրենքը; - կրկնակի ժխտման օրենքը; - ասոցիատիվության օրենքը; Համարժեքության հարաբերության անցողիկ հատկությամբ կարող ենք պնդել, որ Մեկ բանաձևի փոխարինումը դրան համարժեք այլ բանաձևով կոչվում է համարժեք փոխակերպում
բանաձեւեր. Տակ պարզեցում
Բանաձևերը, որոնք չեն պարունակում ենթատեքստի և համարժեքության նշաններ, հասկանում են համարժեք փոխակերպում, որը հանգեցնում է բանաձևի, որը չի պարունակում ոչ տարրական բանաձևերի ժխտում (մասնավորապես՝ կրկնակի ժխտումներ) կամ պարունակում է ընդհանուր առմամբ ավելի քիչ կապի և անջատման նշաններ, քան սկզբնականը։ . Օրինակ 2.2.Եկեք պարզեցնենք բանաձևը Առաջին քայլում մենք կիրառեցինք այն օրենքը, որը փոխակերպում է ենթատեքստը դիսյունցիայի: Երկրորդ քայլում մենք կիրառեցինք կոմուտատիվ օրենքը. Երրորդ քայլին մենք կիրառեցինք անզորության օրենքը. Չորրորդը դե Մորգանի օրենքն է։ Իսկ հինգերորդում՝ կրկնակի ժխտման օրենքը։ Դիտողություն 1... Եթե որոշակի բանաձևը տավտոլոգիա է, ապա դրան համարժեք ցանկացած բանաձև նույնպես տավտոլոգիա է: Այսպիսով, համարժեք փոխակերպումները կարող են օգտագործվել նաև որոշ բանաձևերի նույնական ճշմարտությունն ապացուցելու համար։ Դա անելու համար այս բանաձևը պետք է կրճատվի համարժեք փոխակերպումներով բանաձևերից մեկին, որոնք տավտոլոգիաներ են։ Դիտողություն 2... Որոշ տավտոլոգիաներ և համարժեքներ միավորվում են զույգերով (հակասության օրենք և այլընտրանքային, կոմուտատիվ, ասոցիատիվ օրենքներ և այլն)։ Այս նամակագրություններում այսպես կոչված երկակիության սկզբունքը
. Երկու բանաձևեր, որոնք չեն պարունակում ենթատեքստի և համարժեքության նշաններ, կոչվում են երկիմաստ
եթե դրանցից յուրաքանչյուրը կարելի է ձեռք բերել մյուսից՝ փոխարինելով նշանները, համապատասխանաբար, հետ. Երկակիության սկզբունքը սահմանում է հետևյալը. Թեորեմ 2.2:Եթե երկու բանաձևեր, որոնք չեն պարունակում ենթատեքստի և համարժեքության նշաններ, համարժեք են, ապա դրանց երկակի բանաձևերը նույնպես համարժեք են։ Նորմալ ձևեր Նորմալ ձևՏրված ֆունկցիան իրականացնող բանաձև գրելու շարահյուսական միանշանակ ձև է: Օգտագործելով տրամաբանության հայտնի օրենքները, ցանկացած բանաձև կարող է վերածվել ձևի համարժեք բանաձևի. Օրինակ 2.3:Խոշոր բանաձևերում կամ բազմակի փոխակերպումների դեպքում ընդունված է բաց թողնել կապի նշանը (ըստ անալոգիայի բազմապատկման նշանի). Մենք տեսնում ենք, որ կատարված փոխակերպումներից հետո բանաձևը երեք շաղկապների դիսյունցիա է։ Այս ձևը կոչվում է տարանջատող նորմալ ձև
(DNF): DNF-ի առանձին տարր կոչվում է տարրական կապ
կամ բաղկացուցիչ միավոր: Նմանապես, ցանկացած բանաձև կարող է կրճատվել մինչև համարժեք բանաձև, որը կլինի տարրերի միացում, որոնցից յուրաքանչյուրը կլինի տրամաբանական փոփոխականների դիսյունկցիան՝ բացասական նշանով կամ առանց դրա: Այսինքն, յուրաքանչյուր բանաձև կարող է կրճատվել ձևի համարժեք բանաձևի Օրինակ 2.4: CNF-ի առանձին տարր կոչվում է տարրական տարանջատում
կամ զրոյի բաղադրիչ։ Ակնհայտ է, որ յուրաքանչյուր բանաձև ունի անսահման շատ DNF և CNF: Օրինակ 2.5:Եկեք գտնենք մի քանի DNF բանաձևի համար Կատարյալ նորմալ ձևեր SDNF-ը (կատարյալ DNF) DNF-ն է, որտեղ յուրաքանչյուր տարրական կապ պարունակում է բոլոր տարրական պնդումները կամ դրանց ժխտումները մեկ անգամ, տարրական կապերը չեն կրկնվում: SKNF-ը (կատարյալ CNF) CNF-ն է, որտեղ յուրաքանչյուր տարրական դիսյունկցիա պարունակում է բոլոր տարրական հայտարարությունները կամ դրանց ժխտումները մեկ անգամ, տարրական անջատումները չեն կրկնվում: Օրինակ 2.6: 1) - SDNF 2) 1 - SKNF Եկեք ձևակերպենք SDNF-ի (SKNF) բնորոշ հատկանիշները: 1) դիսյունցիայի (կապակցման) բոլոր անդամները տարբեր են. 2) յուրաքանչյուր կապի (դիսյունկցիա) բոլոր անդամները տարբեր են. 3) ոչ մի շաղկապ (disjunction) չի պարունակում և՛ փոփոխական, և՛ դրա ժխտում. 4) Յուրաքանչյուր կապ (disjunction) պարունակում է բնօրինակ բանաձեւում ներառված բոլոր փոփոխականները: Ինչպես տեսնում ենք, բնորոշ հատկանիշները (բայց ոչ ձևերը) բավարարում են երկակիության սահմանումը, հետևաբար, բավական է գործ ունենալ մեկ ձևի հետ, որպեսզի սովորենք, թե ինչպես ստանալ երկուսն էլ։ DNF-ից (CNF), օգտագործելով համարժեք փոխակերպումներ, կարելի է հեշտությամբ ստանալ SDNF (SKNF): Քանի որ կատարյալ նորմալ ձևեր ստանալու կանոնները նույնպես երկակի են, մենք մանրամասն կվերլուծենք SDNF ստանալու կանոնը և կձևակերպենք ինքներդ SKNF ստանալու կանոնը՝ օգտագործելով երկակիության սահմանումը: Բանաձևը SDNF-ի վերածելու ընդհանուր կանոնը՝ օգտագործելով համարժեք փոխակերպումներ.
Բանաձևը տալու համար Ֆ, որը նույնական կեղծ չէ, SDNF-ին բավական է. 1) բերեք նրան որոշ DNF; 2) հեռացնել փոփոխականը պարունակող դիսյունցիայի անդամները նրա ժխտման հետ միասին (եթե այդպիսիք կան). 3) հեռացնել անջատման բոլոր նույնական անդամները, բացառությամբ մեկի (եթե այդպիսիք կան). 4) հեռացնել բոլոր միանման անդամները, բացառությամբ մեկի, յուրաքանչյուր շաղկապից (եթե այդպիսիք կան). 5) եթե որևէ կապ չի պարունակում փոփոխական սկզբնական բանաձևում ընդգրկված փոփոխականներից, ապա այս կապին ավելացրեք տերմին և կիրառեք համապատասխան բաշխիչ օրենքը. 6) եթե ստացված անջատումը պարունակում է նույն տերմինները, օգտագործեք դեղատոմս 3: Ստացված բանաձեւը այս բանաձեւի SDNF-ն է: Օրինակ 2.7:Եկեք գտնենք SDNF և SKNF բանաձևի համար Քանի որ այս բանաձևի DNF-ն արդեն գտնվել է (տես Օրինակ 2.5), մենք կսկսենք ստանալ SDNF. 2) ստացված դիզյունցիայում փոփոխականներ չկան դրանց ժխտումների հետ մեկտեղ. 3) բաժանման մեջ միանման անդամներ չկան. 4) ոչ մի կապում նույնական փոփոխականներ չկան. 5) առաջին տարրական կապը պարունակում է բնօրինակ բանաձևում ներառված բոլոր փոփոխականները, իսկ երկրորդ տարրական կապի մեջ բացակայում է փոփոխականը. զ, ուրեմն եկեք դրան անդամ ավելացնենք և կիրառենք բաշխիչ օրենքը:; 6) հեշտ է տեսնել, որ անջատման մեջ հայտնվել են նույնական տերմիններ, ուստի մենք հանում ենք մեկը (դեղատոմս 3). 3) հանել նույն անջատումներից մեկը. 4) մնացած կետերում միանման անդամներ չկան. 5) տարրական դիսյունկցիաներից ոչ մեկը չի պարունակում սկզբնական բանաձևում ներառված բոլոր փոփոխականները, հետևաբար, մենք դրանցից յուրաքանչյուրին լրացնում ենք կապով. 6) ստացված շաղկապում չկան նույնական դիսյունկցիաներ, հետևաբար գտնված կապակցական ձևը կատարյալ է: Քանի որ համախառն SKNF և SDNF բանաձևերը Ֆ 8 անդամ, ամենայն հավանականությամբ ճիշտ են գտնվել։ Յուրաքանչյուր գործարկվող (հերքելի) բանաձև ունի մեկ SDNF և մեկ եզակի SKNF: Տավտոլոգիան չունի SKNF, իսկ հակասությունը չունի SDNF:8. Առաջադրանք.
9. Կազմում ենք խնդրի լուծման ալգորիթմ՝ 5 ր.
10. Խնդրի լուծում գրատախտակի մոտ վերլուծությամբ: Հավելված 5.10 ր.
11. Դասի տեղեկատվության ամփոփում ներկայացումների միջոցով
.
Հետևաբար, այս դեպքում համարժեքության երկու մասերն էլ ունեն նույն իրական արժեքները։... Այսպիսով, այս դեպքում համարժեքության երկու մասերն էլ ունեն նույն տրամաբանական արժեքները։x y x | y
.
.
.
x f 1 (x)
f 2 (x)
f 3 (x)
f 3 (x)
1
x
y
զ 1
զ 2
զ 3
զ 4
զ 5
զ 6
զ 7
զ 8
զ 9
զ 10
զ 11
զ 12
զ 13
զ 14
զ 15
զ 16
X
1
0
1
0
1
0
Ա
Վ
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
Ա
Վ
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
Ա
Վ
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
; 
- կլանման օրենքները
; 
- դե Մորգանի օրենքները
- տարանջատման միջոցով ենթատեքստ արտահայտող օրենքը
- հակադրման օրենքը
- անզորության օրենքը.
.
.
, որտեղ և յուրաքանչյուրը կա՛մ փոփոխական է, կա՛մ փոփոխականի ժխտում, կա՛մ փոփոխականների միացում կամ դրանց ժխտում: Այլ կերպ ասած, ցանկացած բանաձև կարող է վերածվել պարզ ստանդարտ ձևի համարժեք բանաձևի, որը կլինի տարրերի դիսյունկցիան, որոնցից յուրաքանչյուրը առանձին տարբեր տրամաբանական փոփոխականների միացում է՝ բացասական նշանով կամ առանց դրա:
, որտեղ և յուրաքանչյուրը կա՛մ փոփոխական է, կա՛մ փոփոխականի ժխտում, կա՛մ փոփոխականների կամ դրանց ժխտում: Այս ձևը կոչվում է կոնյունկտիվ նորմալ ձև
(CNF):
.
.
;
