Piiratud joontega kujundid. Arvutage jooniste näidete pindala. Revolutsiooni keha maht
Sellest artiklist saate teada, kuidas integraalarvutuste abil leida joontega piiratud joonise pindala. Esimest korda puutume taolise probleemi sõnastamisega kokku keskkoolis, kui teatud integraalide õpe on just lõppenud ja on aeg alustada praktikas saadud teadmiste geomeetrilist tõlgendamist.
Niisiis, mida on vaja integraalide abil joonise pindala leidmise probleemi edukaks lahendamiseks:
- Oskus õigesti joonistada jooniseid;
- Oskus lahendada kindlat integraali, kasutades tuntud Newton-Leibnizi valemit;
- Võimalus "näha" tulusamat lahendust - s.t. aru saada, kuidas sel või teisel juhul on integreerimist mugavam läbi viia? Piki x-telge (OX) või y-telge (OY)?
- Noh, kus ilma õigete arvutusteta?) See hõlmab mõistmist, kuidas seda teist tüüpi integraale lahendada, ja õigeid arvulisi arvutusi.
Algoritm joontega piiratud joonise pindala arvutamise ülesande lahendamiseks:
1. Ehitame joonise. Soovitav on seda teha paberil puuris, suures mahus. Kirjutame iga graafiku kohale pliiatsiga selle funktsiooni nime. Graafikutele allkiri tehakse ainult edasiste arvutuste hõlbustamiseks. Pärast soovitud joonise graafiku saamist on enamikul juhtudel kohe selge, milliseid integreerimispiiranguid kasutatakse. Seega lahendame probleemi graafiliselt. Siiski juhtub, et piiride väärtused on murdosa või irratsionaalsed. Seetõttu saate teha täiendavaid arvutusi, minge teise sammu juurde.
2. Kui integreerimispiirid pole selgesõnaliselt paika pandud, siis leiame graafikute lõikepunktid omavahel ja vaatame, kas meie graafiline lahendus ühtib analüütilise lahendusega.
3. Järgmisena peate joonist analüüsima. Sõltuvalt sellest, kuidas funktsioonide graafikud asuvad, on joonise pindala leidmiseks erinevad lähenemisviisid. Mõelge erinevatele näidetele joonise pindala leidmiseks integraalide abil.
3.1. Probleemi kõige klassikalisem ja lihtsam versioon on siis, kui peate leidma kõverjoonelise trapetsi pindala. Mis on kõverjooneline trapets? See on tasane kujund, mis on piiratud x-teljega (y=0), sirge x = a, x = b ja mis tahes pidev kõver intervallil alates a enne b. Samal ajal on see näitaja mittenegatiivne ja ei asu x-teljelt madalamal. Sel juhul on kõverjoonelise trapetsi pindala arvuliselt võrdne Newtoni-Leibnizi valemi abil arvutatud kindla integraaliga:
Näide 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Millised jooned määratlevad figuuri? Meil on parabool y = x2 - 3x + 3, mis asub telje kohal Oh, see ei ole negatiivne, sest kõik selle parabooli punktid on positiivsed. Järgmiseks antud sirgjooned x = 1 ja x = 3 mis kulgevad paralleelselt teljega OU, on joonise piirjooned vasakul ja paremal. Noh y = 0, ta on x-telg, mis piirab joonist altpoolt. Saadud joonis on varjutatud, nagu on näha vasakpoolsel joonisel. Sel juhul saate kohe alustada probleemi lahendamisega. Meie ees on lihtne näide kõverjoonelisest trapetsist, mille lahendame seejärel Newtoni-Leibnizi valemi abil.
3.2. Eelmises punktis 3.1 analüüsiti juhtumit, kui kõverjooneline trapets paikneb x-telje kohal. Mõelge nüüd juhtumile, kui ülesande tingimused on samad, välja arvatud see, et funktsioon asub x-telje all. Standardsele Newtoni-Leibnizi valemile lisatakse miinus. Kuidas sellist probleemi lahendada, kaalume edasi.
Näide 2 . Arvutage joontega piiratud kujundi pindala y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
Selles näites on meil parabool y=x2+6x+2, mis pärineb telje alt Oh, sirge x = -4, x = -1, y = 0. Siin y = 0 piirab soovitud figuuri ülalt. Otsene x = -4 ja x = -1 need on piirid, mille piires arvutatakse kindel integraal. Joonise pindala leidmise probleemi lahendamise põhimõte langeb peaaegu täielikult kokku näitega number 1. Ainus erinevus on see, et antud funktsioon ei ole positiivne, vaid on ka intervallil pidev. [-4; -1] . Mida ei tähenda positiivne? Nagu jooniselt näha, on antud x-i piires oleval joonisel eranditult "negatiivsed" koordinaadid, mida peame ülesande lahendamisel nägema ja meeles pidama. Figuuri pindala otsime Newton-Leibnizi valemi abil, ainult alguses miinusmärgiga.
Artikkel ei ole lõpetatud.
Igal kindlal integraalil (mis eksisteerib) on väga hea geomeetriline tähendus. Tunnis ütlesin, et kindel integraal on arv. Ja nüüd on aeg välja tuua veel üks kasulik fakt. Geomeetria seisukohalt on kindel integraal PIIRKOND.
See on, kindel integraal (kui see on olemas) vastab geomeetriliselt mõne kujundi pindalale. Vaatleme näiteks kindlat integraali . Integrand määrab tasapinnal teatud kõvera (soovi korral saab seda alati joonistada) ja kindel integraal ise on arvuliselt võrdne vastava kõverjoonelise trapetsi pindalaga.
Näide 1
See on tüüpiline ülesande avaldus. Otsuse esimene ja kõige olulisem hetk on joonise konstrueerimine. Pealegi tuleb joonis ehitada ÕIGE.
Plaani koostamisel soovitan järgmist järjekorda: esiteks parem on konstrueerida kõik read (kui neid on) ja ainult pärast- paraboolid, hüperboolid, muude funktsioonide graafikud. Funktsioonigraafikute koostamine on tulusam punkt punktilt, punktipõhise ehituse tehnika leiab võrdlusmaterjalist.
Sealt leiate ka materjali, mis on meie tunniga seoses väga kasulik - kuidas kiiresti parabooli ehitada.
Selle probleemi puhul võib lahendus välja näha selline.
Teeme joonise (pange tähele, et võrrand määrab telje):
Ma ei hakka kõverjoonelist trapetsi hauduma, on ilmne, millisest piirkonnast me siin räägime. Lahendus jätkub järgmiselt:
Segmendil paikneb funktsiooni graafik üle telje, sellepärast:
Vastus:
Kellel on raskusi kindla integraali arvutamise ja Newtoni-Leibnizi valemi rakendamisega, lugege loengut Kindel integraal. Lahendusnäited.
Pärast ülesande täitmist on alati kasulik vaadata joonist ja aru saada, kas vastus on tõeline. Sel juhul loendame "silma järgi" joonisel olevate lahtrite arvu - noh, umbes 9 trükitakse, see näib olevat tõsi. On täiesti selge, et kui meil oleks, ütleme, vastus: 20 ruutühikut, siis ilmselgelt tehti kuskil viga - 20 lahtrit ilmselt ei mahu kõnealusele joonisele, kõige rohkem kümmekond. Kui vastus osutus eitavaks, siis oli ka ülesanne valesti lahendatud.
Näide 2
Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joontega , ja teljega
See on tee-seda-ise näide. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.
Mida teha, kui kõverjooneline trapets asub telje all?
Näide 3
Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joonte ja koordinaattelgedega.
Lahendus: teeme joonise:
Kui kõverjooneline trapets täiesti silla all, siis selle pindala saab leida valemiga:
Sel juhul:
Tähelepanu! Kahte tüüpi ülesandeid ei tohiks segi ajada:
1) Kui teil palutakse lahendada ainult kindel integraal ilma geomeetrilise tähenduseta, võib see olla negatiivne.
2) Kui teil palutakse leida figuuri pindala kindla integraali abil, siis on pindala alati positiivne! Seetõttu ilmub just vaadeldavas valemis miinus.
Praktikas paikneb joonis enamasti nii ülemisel kui alumisel pooltasandil ja seetõttu liigume lihtsamate kooliülesannete juurest edasi sisukamate näidete juurde.
Näide 4
Leidke tasapinnalise kujundi pindala, mis on piiratud joontega , .
Lahendus: Kõigepealt peate tegema joonise. Üldiselt huvitab meid pindalaülesannetes joonise konstrueerimisel enim sirgete lõikepunktid. Leiame parabooli ja sirge lõikepunktid. Seda saab teha kahel viisil. Esimene viis on analüütiline. Lahendame võrrandi:
Seega integratsiooni alumine piir, integratsiooni ülempiir.
Võimalusel on parem seda meetodit mitte kasutada.
Palju tulusam ja kiirem on liine punkt-punkti haaval ehitada, samas kui integratsiooni piirid selgitatakse välja justkui “iseenesest”. Erinevate diagrammide punkt-punkti ehitustehnikat käsitletakse üksikasjalikult abis Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused. Sellegipoolest tuleb piiride leidmise analüütilist meetodit mõnikord siiski kasutada, kui näiteks graafik on piisavalt suur või keermestatud konstruktsioon ei toonud esile integreerimise piire (need võivad olla murdosalised või irratsionaalsed). Ja me kaalume ka sellist näidet.
Pöördume tagasi oma ülesande juurde: ratsionaalsem on kõigepealt konstrueerida sirge ja alles seejärel parabool. Teeme joonise:
Kordan, et punktkonstruktsiooniga selgitatakse integratsiooni piirid kõige sagedamini välja “automaatselt”.
Ja nüüd töövalem: Kui segmendil mõni pidev funktsioon suurem või võrdne mõnda pidevat funktsiooni, siis saab vastava joonise pindala leida valemiga:
Siin pole enam vaja mõelda, kus kujund asub - telje kohal või telje all ja jämedalt öeldes on oluline, milline diagramm on ÜLAL(teise graafiku suhtes), ja milline neist on ALL.
Vaadeldavas näites on ilmne, et lõigul asub parabool sirgest kõrgemal ja seetõttu tuleb sellest lahutada
Lahenduse valmimine võib välja näha järgmine:
Soovitud figuuri piirab ülevalt parabool ja altpoolt sirgjoon.
Vastus:
Tegelikult on alumise pooltasandi kõverjoonelise trapetsi pindala koolivalem (vt lihtsat näidet nr 3) valemi erijuhtum. Kuna telg on antud võrrandiga ja funktsiooni graafik asub telje all, siis
Ja nüüd paar näidet iseseisvaks otsuseks
Näide 5
Näide 6
Leidke joontega ümbritsetud joonise pindala , .
Pindala arvutamise ülesannete lahendamise käigus teatud integraali abil juhtub mõnikord naljakas juhtum. Joonis tehti õigesti, arvutused olid õiged, kuid tähelepanematuse tõttu ... leidis vale kujundi ala, nõnda ajas su kuulekas sulane mitu korda sassi. Siin on tõsielu juhtum:
Näide 7
Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joontega , , , .
Kõigepealt joonistame:
Joonis, mille ala peame leidma, on varjutatud sinisega.(vaadake hoolikalt seisukorda - kuidas figuur on piiratud!). Kuid praktikas juhtub tähelepanematuse tõttu sageli, et peate leidma roheliseks varjutatud figuuri ala!
See näide on kasulik ka selle poolest, et selles arvutatakse joonise pindala kahe kindla integraali abil. Tõesti:
1) Lõigul telje kohal on sirge graafik;
2) Telje kohal asuval lõigul on hüperboolgraafik.
On üsna ilmne, et piirkondi saab (ja tuleks) lisada, seega:
Vastus:
Näide 8
Arvutage joontega piiratud kujundi pindala,
Esitame võrrandid "kooli" kujul ja teeme punkt-punkti joonise:
Jooniselt on näha, et meie ülempiir on “hea”: .
Aga mis on alumine piir? On selge, et see pole täisarv, aga mis? Võib olla ? Aga kus on garantii, et joonis on tehtud täiusliku täpsusega, see võib ka selguda. Või juur. Mis siis, kui me ei saanud graafikust üldse õiget?
Sellistel juhtudel tuleb kulutada lisaaega ja integreerimise piire analüütiliselt täpsustada.
Leiame sirge ja parabooli lõikepunktid.
Selleks lahendame võrrandi:
Järelikult,.
Edasine lahendus on triviaalne, peaasi, et asendustes ja märkides segadusse ei läheks, siin pole arvutused just kõige lihtsamad.
Segmendil vastavalt vastavale valemile:
Tunni kokkuvõtteks peame kaht ülesannet raskemaks.
Näide 9
Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joontega , ,
Lahendus: joonistage see joonis joonisele.
Joonise punkthaaval ehitamiseks on vaja teada sinusoidi välimust (ja üldiselt on kasulik teada kõigi elementaarfunktsioonide graafikud), samuti mõned siinusväärtused, need leiate trigonomeetriline tabel. Mõnel juhul (nagu antud juhul) on lubatud konstrueerida skemaatiline joonis, millel tuleb põhimõtteliselt õigesti kuvada graafikud ja integreerimispiirid.
Integratsioonipiirangutega siin probleeme pole, need tulenevad otse tingimusest: - "x" muutub nullist "pi"-ks. Teeme järgmise otsuse:
Segmendil asub funktsiooni graafik telje kohal, seega:
(1) Tunnis on näha, kuidas siinused ja koosinused paarituteks astmeteks lõimitakse Trigonomeetriliste funktsioonide integraalid. See on tüüpiline tehnika, näpistame ära ühe siinuse.
(2) Kasutame vormis trigonomeetrilist põhiidentiteeti
(3) Muudame muutujat , siis:
Uued integratsiooni ümberjaotused:
Kes on asendustega tõesti halb, mine palun õppetundi Asendusmeetod määramata integraalis. Neile, kes pole kindlas integraalis asendusalgoritmiga väga selged, külastage lehte Kindel integraal. Lahendusnäited. Näide 5: Lahendus: nii:
Vastus:
Märge: pange tähele, kuidas võetakse kuubis oleva puutuja integraal, siin kasutatakse trigonomeetrilise põhiidentiteedi järeldust.
Tagasi ette
Tähelepanu! Slaidi eelvaade on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada esitluse kogu ulatust. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.
Märksõnad: integraal, kõverjooneline trapets, liiliatega piiratud kujundite ala
Varustus Kabiin: tahvel, arvuti, multimeedia projektor
Tunni tüüp: tund-loeng
Tunni eesmärgid:
- hariv: kujundada vaimse töö kultuuri, luua igale õpilasele eduolukord, kujundada positiivne õppimismotivatsioon; arendada oskust rääkida ja teisi kuulata.
- arendamine:õpilase mõtlemise iseseisvuse kujundamine teadmiste rakendamisel erinevates olukordades, analüüsi- ja järelduste tegemise oskus, loogika arendamine, küsimuste õigesti püstitamise ja neile vastuste leidmise oskuse arendamine. Arvutus-, arvutamisoskuse kujunemise parandamine, õpilaste mõtlemise arendamine pakutud ülesannete täitmise käigus, algoritmilise kultuuri arendamine.
- hariv: kujundada mõisteid kõverjoonelisest trapetsist, integraalist, omandada tasapinnaliste kujundite pindalade arvutamise oskus
Õppemeetod: selgitav ja näitlik.
Tundide ajal
Eelmistes tundides õppisime arvutama nende kujundite pindalasid, mille piirideks on katkendlikud jooned. Matemaatikas on meetodeid, mis võimaldavad arvutada kõveratega piiratud kujundite pindala. Selliseid kujundeid nimetatakse kõverjoonelisteks trapetsideks ja nende pindala arvutatakse antiderivaatide abil.
Kurviline trapets ( slaid 1)
Kõverjooneline trapets on kujund, mis on piiratud funktsioonigraafikuga, ( w.m.), otse x = a ja x = b ja abstsiss
Erinevat tüüpi kõverjoonelised trapetsid ( slaid 2)
Vaatleme erinevat tüüpi kõverjoonelisi trapetse ja paneme tähele: üks joontest on taandunud punktiks, piirava funktsiooni rolli täidab joon.
Kõverjoonelise trapetsi pindala (slaid 3)
Fikseerige intervalli vasakpoolne ots a, ja õige X muudame, st nihutame kõverjoonelise trapetsi paremat seina ja saame muutuva kujundi. Funktsioonigraafikuga piiratud muutuva kõverjoonelise trapetsi pindala on antiderivaat F funktsiooni jaoks f
Ja segmendil [ a; b] funktsiooni poolt moodustatud kõverjoonelise trapetsi pindala f, on võrdne selle funktsiooni antiderivaadi juurdekasvuga:
1. harjutus:
Leia kõverjoonelise trapetsi pindala, mis on piiratud funktsiooni graafikuga: f(x) = x 2 ja otsene y=0, x=1, x=2.
Lahendus: ( slaidi 3 algoritmi järgi)
Joonistage funktsiooni ja joonte graafik
Leidke üks funktsiooni antiderivaatidest f(x) = x 2 :
Libistage Enesekontroll
Integraalne
Vaatleme funktsiooniga antud kõverjoonelist trapetsi f segmendil [ a; b]. Jagame selle segmendi mitmeks osaks. Kogu trapetsi pindala jagatakse väiksemate kõverjooneliste trapetsi pindalade summaks. ( slaid 5). Iga sellist trapetsi võib ligikaudu pidada ristkülikuks. Nende ristkülikute pindalade summa annab ligikaudse ettekujutuse kogu kõverjoonelise trapetsi pindalast. Mida väiksemaks lõigu murrame [ a; b], seda täpsemalt me pindala arvutame.
Kirjutame need kaalutlused valemite kujul.
Jagage segment [ a; b] n täppidega osaks x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Pikkus k- th tähistama xk = xk - xk-1. Teeme kokkuvõtte
Geomeetriliselt on see summa joonisel varjutatud joonise pindala ( sh.m.)
Vormi summasid nimetatakse funktsiooni integraalsummadeks f. (sch.m.)
Integraalsummad annavad pindala ligikaudse väärtuse. Täpne väärtus saadakse piirini üle minnes. Kujutage ette, et täpsustame segmendi [ a; b] nii, et kõigi väikeste segmentide pikkused kipuvad olema nullid. Seejärel läheneb koostatud kujundi pindala kõverjoonelise trapetsi pindalale. Võib öelda, et kõverjoonelise trapetsi pindala on võrdne integraalsummade piiriga, Sk.t. (sch.m.) või integraal, st
Definitsioon:
funktsiooni integraal f(x) alates a enne b nimetatakse integraalsummade piiriks
= (sch.m.)
Newtoni-Leibnizi valem.
Pidage meeles, et integraalsummade piir on võrdne kõverjoonelise trapetsi pindalaga, nii et võime kirjutada:
Sk.t. = (sch.m.)
Teisest küljest arvutatakse kõverjoonelise trapetsi pindala valemiga
S kuni t. (sch.m.)
Neid valemeid võrreldes saame:
= (sch.m.)Seda võrdsust nimetatakse Newtoni-Leibnizi valemiks.
Arvutuste mugavuse huvides on valem kirjutatud järgmiselt:
= = (sch.m.)Ülesanded: (sch.m.)
1. Arvutage integraal Newtoni-Leibnizi valemi abil: ( kontrolli slaidi 5)
2. Koostage integraalid vastavalt joonisele ( kontrollige slaidi 6)
3. Leidke joontega piiratud joonise pindala: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Slaid 7)
Tasapinnaliste kujundite pindalade leidmine ( slaid 8)
Kuidas leida kujundite pindala, mis ei ole kõverjoonelised trapetsid?
Olgu antud kaks funktsiooni, mille graafikuid näed slaidil . (sch.m.) Leidke varjutatud joonise pindala . (sch.m.). Kas kõnealune kujund on kõverjooneline trapets? Ja kuidas leida selle pindala, kasutades piirkonna liiteomadust? Mõelge kahele kõverjoonelisele trapetsile ja lahutage teise pindala ühe pindalast ( w.m.)
Teeme algoritmi slaidil olevalt animatsioonilt ala leidmiseks:
- Joonistamise funktsioonid
- Projekteerige graafikute lõikepunktid x-teljele
- Varjutage graafikute ristamisega saadud joonis
- Leia kõverjoonelised trapetsid, mille lõikepunkt või liit on antud kujund.
- Arvutage igaühe pindala
- Leia erinevus või pindalade summa
Suuline ülesanne: kuidas saada varjutatud figuuri pindala (rääkige animatsiooni abil, slaid 8 ja 9)
Kodutöö: Töötage välja referaat, nr 353 (a), nr 364 (a).
Bibliograafia
- Algebra ja analüüsi algus : õpik õhtu(vahetus)kooli 9.-11.klassile / toim. G.D. Glaser. - M: Valgustus, 1983.
- Bashmakov M.I. Algebra ja analüüsi algus: õpik keskkooli 10.-11. klassile / Bashmakov M.I. - M: Valgustus, 1991.
- Bashmakov M.I. Matemaatika: õpik õppeasutustele alguses. ja keskm. prof. haridus / M.I. Bašmakov. - M: Akadeemia, 2010.
- Kolmogorov A.N. Algebra ja analüüsi algus: õpik 10-11 lahtrile. õppeasutused / A.N. Kolmogorov. - M: Valgustus, 2010.
- Ostrovski S.L. Kuidas teha tunni jaoks ettekannet? / S.L. Ostrovski. – M.: Esimene september 2010.
Arvutage joontega piiratud kujundi pindala.
Lahendus.
Leiame etteantud sirgete lõikepunktid. Selleks lahendame võrrandisüsteemi:
Antud sirgete lõikepunktide abstsisside leidmiseks lahendame võrrandi:
Leiame: x 1 = -2, x 2 = 4.
Niisiis, need sirged, mis on parabool ja sirgjoon, ristuvad punktides A(-2; 0), B(4; 6).
Need jooned moodustavad suletud joonise, mille pindala arvutatakse ülaltoodud valemi abil:
Newtoni-Leibnizi valemi järgi leiame:
Leidke ellipsiga piiratud ala pindala.
Lahendus.
I kvadrandi ellipsi võrrandist saame . Siit saame valemi järgi
Rakendame asendust x = a patt t, dx = a cos t dt. Uued integratsiooni piirid t = α ja t = β määratakse võrranditest 0 = a patt t, a = a patt t. Saab panna α = 0 ja β = π /2.
Leiame neljandiku vajalikust pinnast
Siit S = pab.
Leidke joontega piiratud kujundi pindalay = - x 2 + x + 4 jay = - x + 1.
Lahendus.
Leidke sirgete lõikepunktid y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, võrdsustades joonte ordinaate: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 või x 2 - 2x- 3 = 0. Leia juured x 1 = -1, x 2 = 3 ja neile vastavad ordinaadid y 1 = 2, y 2 = -2.
Kasutades joonise pindala valemit, saame
Leidke parabooliga ümbritsetud alay = x 2 + 1 ja otsenex + y = 3.
Lahendus.
Võrrandisüsteemi lahendamine
leida ristumispunktide abstsissid x 1 = -2 ja x 2 = 1.
Eeldusel y 2 = 3 - x ja y 1 = x 2 + 1, saadud valemi põhjal
Arvutage Bernoulli lemniskaadi pindalar 2 = a 2 cos 2 φ .
Lahendus.
Polaarkoordinaatide süsteemis on joonise pindala, mis on piiratud kõvera kaarega r = f(φ ) ja kaks polaarraadiust φ 1 = ʅ ja φ 2 = ʆ , väljendatakse integraaliga
Kõvera sümmeetria tõttu määrame kõigepealt ühe neljandiku soovitud pindalast
Seega on kogupindala S = a 2 .
Arvutage astroidi kaare pikkusx 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .
Lahendus.
Kirjutame astroidi võrrandi kujule
(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .
Paneme x 1/3 = a 1/3 kulu t, y 1/3 = a 1/3 patt t.
Siit saame astroidi parameetrilised võrrandid
x = a cos 3 t, y = a patt 3 t, (*)
kus 0 ≤ t ≤ 2π .
Kõvera (*) sümmeetriat silmas pidades piisab, kui leida neljandiku kaare pikkusest L parameetri muutusele vastav t 0 kuni π /2.
Saame
dx = -3a cos 2 t patt t dt, dy = 3a patt 2 t cos t dt.
Siit leiame
Saadud avaldise integreerimine vahemikus 0 kuni π /2, saame
Siit L = 6a.
Leidke Archimedese spiraaliga piiratud alar = aφ ja kaks raadiusvektorit, mis vastavad polaarnurkadeleφ 1 jaφ 2 (φ 1 < φ 2 ).
Lahendus.
Kõveraga piiratud ala r = f(φ ) arvutatakse valemiga , kus α ja β - polaarnurga muutumise piirid.
Seega saame
(*)
Alates (*) järeldub, et ala, mis on piiratud polaartelje ja Archimedese spiraali esimese pöördega ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):
Samamoodi leiame ala, mis on piiratud polaartelje ja Archimedese spiraali teise pöördega ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):
Nõutav pindala on võrdne nende alade erinevusega
Arvutage ümber telje pöörlemisel saadud keha ruumalaOx paraboolidega piiratud kujundy = x 2 jax = y 2 .
Lahendus.
Lahendame võrrandisüsteemi
ja saada x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, kust kõverate lõikepunktid O(0; 0), B(üksteist). Nagu jooniselt näha, on pöördekeha soovitud ruumala võrdne ümber telje pöörlemisel tekkinud kahe ruumala vahega Ox kõverjoonelised trapetsid OCBA ja ODBA:
Arvutage teljega piiratud pindalaOx ja sinusoidy = pattx segmentide kohta: a); b) .
Lahendus.
a) Lõigul funktsioon sin x säilitab märgi ja seega valemiga , eeldades y= patt x, leiame
b) Lõigul funktsioon sin x muudab märki. Ülesande õigeks lahendamiseks on vaja segment jagada kaheks ja [ π , 2π ], millest igaühes säilitab funktsioon oma märgi.
Vastavalt märkide reeglile on lõigul [ π , 2π ] ala on võetud miinusmärgiga.
Selle tulemusena on soovitud ala võrdne
Määrake ellipsi pöörlemisel saadud pinnaga piiratud keha ruumalaümber suurteljea .
Lahendus.
Arvestades, et ellips on sümmeetriline koordinaattelgede suhtes, piisab, kui leida ümber telje pöörlemisel tekkiva ruumala Ox ala OAB, võrdub ühe neljandikuga ellipsi pindalast ja kahekordistage tulemus.
Tähistagem läbi pöördekeha mahtu V x; siis on meil valemi põhjal , kus 0 ja a- punktide abstsissid B ja A. Ellipsi võrrandist leiame . Siit
Seega on nõutav maht võrdne . (Kui ellips pöörleb ümber väiketelje b, keha maht on )
Leidke paraboolidega piiratud alay 2 = 2 px jax 2 = 2 py .
Lahendus.
Esiteks leiame paraboolide lõikepunktide koordinaadid, et määrata integreerimisintervall. Algseid võrrandeid teisendades saame ja . Võrdsustades need väärtused, saame või x 4 - 8lk 3 x = 0.
x 4 - 8lk 3 x = x(x 3 - 8lk 3) = x(x - 2lk)(x 2 + 2px + 4lk 2) = 0.
Leiame võrrandite juured:
Arvestades asjaolu, et punkt A paraboolide ristumiskoht on esimesel veerandil, siis lõimumise piirid x= 0 ja x = 2lk.
Soovitud ala leitakse valemiga
Näide1 . Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joontega: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 ja x = 2
Ehitame joonise (vt joonis.) Ehitame sirge x + 2y - 4 \u003d 0 mööda kahte punkti A (4; 0) ja B (0; 2). Väljendades y-d x-iga, saame y \u003d -0,5x + 2. Vastavalt valemile (1), kus f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, me leida
S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 ruutmeetrit ühikut
Näide 2 Arvutage joontega piiratud joonise pindala: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 ja y \u003d 0.
Lahendus. Ehitame figuuri.
Ehitame sirge x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Ehitame sirge x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Leidke sirgete lõikepunkt, lahendades võrrandisüsteemi:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Vajaliku pindala arvutamiseks jagame AMC kolmnurga kaheks kolmnurgaks AMN ja NMC, kuna kui x muutub A-st N-ks, on pindala piiratud sirgjoonega ja kui x muutub N-st C-ks, on see sirgjoon.
Kolmnurga AMN jaoks on meil: ; y = 0,5x + 2, st f (x) = 0,5x + 2, a = 4, b = 2.
NMC kolmnurga jaoks on meil: y = - x + 5, st f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Arvutades iga kolmnurga pindala ja liites tulemused, leiame:
ruut ühikut
ruut ühikut
9 + 4, 5 = 13,5 ruutmeetrit ühikut Kontrollige: = 0,5AC = 0,5 ruutmeetrit. ühikut
Näide 3 Arvutage joontega piiratud kujundi pindala: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
Sel juhul on vaja arvutada kõverjoonelise trapetsi pindala, mis on piiratud parabooliga y = x 2 , sirgjooned x \u003d 2 ja x \u003d 3 ning Ox telg (vt joonis.) Valemi (1) järgi leiame kõverjoonelise trapetsi pindala
= = 6kv. ühikut
Näide 4 Arvutage joontega piiratud joonise pindala: y \u003d - x 2 + 4 ja y = 0
Ehitame figuuri. Soovitud ala on ümbritsetud parabooli y \u003d - x vahele 2 + 4 ja telg Oh.
Leidke parabooli ja x-telje lõikepunktid. Eeldades y \u003d 0, leiame x \u003d Kuna see joonis on Oy telje suhtes sümmeetriline, arvutame Oy teljest paremal asuva joonise pindala ja kahekordistame tulemuse: \u003d + 4x] ruutmeetrit ühikut 2 = 2 ruutmeetrit ühikut
Näide 5 Arvutage joontega piiratud kujundi pindala: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Siin on vaja arvutada kõverjoonelise trapetsi pindala, mis on piiratud parabooli y ülemise haruga 2 \u003d x, härja telg ja sirgjooned x \u003d 1x \u003d 4 (vt joonis)
Vastavalt valemile (1), kus f(x) = a = 1 ja b = 4, on meil = (= ruutühikud
Näide 6 . Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joontega: y = sinx, y = 0, x = 0, x = .
Soovitud ala on piiratud poollaine sinusoidi ja Ox-teljega (vt joonis).
Meil on - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 ruutmeetrit. ühikut
Näide 7 Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joontega: y \u003d - 6x, y \u003d 0 ja x \u003d 4.
Joonis asub Ox-telje all (vt joonis).
Seetõttu leitakse selle pindala valemiga (3)
= =
Näide 8 Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joontega: y \u003d ja x \u003d 2. Koostame punktide kaupa kõvera y \u003d (vt joonist). Seega leitakse joonise pindala valemiga (4)
Näide 9 .
X 2 + y 2 = r 2 .
Siin peate arvutama ala, mis on piiratud ringiga x 2 + y 2 = r 2 st ringi pindala raadiusega r, mille keskpunkt on alguspunktis. Leiame selle ala neljanda osa, võttes integratsiooni piirid 0-st
dor; meil on: 1 = = [
Järelikult 1 =
Näide 10 Arvutage joontega piiratud joonise pindala: y \u003d x 2 ja y = 2x
Seda arvu piirab parabool y \u003d x 2 ja sirge y \u003d 2x (vt joonis.) Antud sirgete lõikepunktide määramiseks lahendame võrrandisüsteemi: x 2 – 2x = 0 x = 0 ja x = 2
Kasutades ala leidmiseks valemit (5), saame
= }
