Bajke

Formula vektorske dužine. Pronalaženje dužine vektora iz koordinata. Formula za određivanje vektorskih koordinata za prostorne probleme

Nađimo dužinu vektora iz njegovih koordinata (u pravougaonom koordinatnom sistemu), iz koordinata početne i krajnje tačke vektora i iz teoreme kosinusa (data su 2 vektora i ugao između njih).

Vector je usmjereni ravan segment. Dužina ovog segmenta određuje numeričku vrijednost vektora i naziva se dužina vektora ili modul vektora.

1. Izračunavanje dužine vektora iz njegovih koordinata

Ako su vektorske koordinate date u ravnom (dvodimenzionalnom) pravougaonom koordinatnom sistemu, tj. a x i a y su poznati, tada se dužina vektora može pronaći pomoću formule

U slučaju vektora u prostoru dodaje se treća koordinata

U MS EXCEL izrazu =ROOT(SUMKV(B8:B9)) omogućava izračunavanje modula vektora (pretpostavlja se da su vektorski koordinatori uneseni u ćelije B8:B9, pogledajte primjer datoteke).

Funkcija SUMMQ() vraća zbir kvadrata argumenata, tj. u ovom slučaju to je ekvivalentno formuli =B8*B8+B9*B9.

Datoteka primjera također izračunava dužinu vektora u prostoru.

Alternativna formula je =ROOT(SUMPROIZVOD(B8:B9,B8:B9)).

2. Pronalaženje dužine vektora kroz koordinate tačaka

Ako je vektor date kroz koordinate njegove početne i krajnje tačke, tada će formula biti drugačija =ROOT(SUMVARE(C28:C29,B28:B29))

Formula pretpostavlja da se koordinate početne i krajnje tačke unose u opsege C28:C29 I B28:B29 respektivno.

Funkcija SUMMQDIFFERENCE() u Vraća zbir kvadrata razlika odgovarajućih vrijednosti u dva niza.

U suštini, formula prvo izračunava koordinate vektora (razlika između odgovarajućih koordinata tačaka), a zatim izračunava zbir njihovih kvadrata.

3. Određivanje dužine vektora pomoću kosinusne teoreme

Ako trebate pronaći dužinu vektora koristeći kosinusni teorem, tada su obično data 2 vektora (njihovi moduli i ugao između njih).

Nađimo dužinu vektora c koristeći formulu =KORIJEN(SUM(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))

U ćelijama B43:B43 sadrži dužine vektora a i b i ćeliju B45 - ugao između njih u radijanima (u razlomcima PI()).

Ako je ugao naveden u stepenima, formula će biti malo drugačija =ROOT(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*PI()/180))

Bilješka: radi jasnoće, u ćeliji sa vrijednošću ugla u stupnjevima, možete koristiti , pogledajte, na primjer, članak

Oxy

O A OA.

, gdje OA .

dakle, .

Pogledajmo primjer.

Primjer.

Rješenje.

odgovor:

Oxyz u svemiru.

A OAće biti dijagonala.

U ovom slučaju (od OA OA .

dakle, dužina vektora .

Primjer.

Izračunajte dužinu vektora

Rješenje.

, dakle,

odgovor:

Prava linija u avionu

Opšta jednačina

Ax + By + C ( > 0).

Vector = (A; B) je normalni vektor.

U vektorskom obliku: + C = 0, gdje je radijus vektor proizvoljne tačke na pravoj (slika 4.11).

Posebni slučajevi:

1) Po + C = 0- prava paralelna sa osom Ox;

2) Ax + C = 0- prava paralelna sa osom Oy;

3) Ax + By = 0- prava linija prolazi kroz početak koordinata;

4) y = 0- osa Ox;

5) x = 0- osa Oy.

Jednačina prave u segmentima

Gdje a, b- vrijednosti segmenata odsječenih ravnom linijom na koordinatnoj osi.

Normalna jednadžba prave(Sl. 4.11)

gdje je ugao formiran normalno na pravu i osu Ox; str- udaljenost od početka do prave linije.

Dovođenje opšta jednačina direktno u normalan oblik:

Ovdje je normalizirani faktor linije; znak se bira suprotno od znaka C, ako i proizvoljno, ako C=0.

Pronalaženje dužine vektora iz koordinata.

Dužinu vektora ćemo označiti sa . Zbog ove notacije, dužina vektora se često naziva modulom vektora.

Počnimo od pronalaženja dužine vektora na ravni pomoću koordinata.

Hajde da uvedemo pravougaoni Dekartov koordinatni sistem na ravni Oxy. Neka je vektor specificiran u njemu i ima koordinate . Dobijamo formulu koja nam omogućava da pronađemo dužinu vektora kroz koordinate i .

Odložimo od početka koordinata (od tačke O) vektor . Označimo projekcije tačke A na koordinatnim osa kao i respektivno i razmotrimo pravougaonik sa dijagonalom OA.

Na osnovu Pitagorine teoreme, jednakost je tačna , gdje . Iz definicije vektorskih koordinata u pravougaonom koordinatnom sistemu možemo reći da i , a konstrukcijom dužina OA jednaka dužini vektora, dakle, .

dakle, formula za pronalaženje dužine vektora prema svojim koordinatama na ravni ima oblik .

Ako je vektor predstavljen kao ekspanzija u koordinatnim vektorima , tada se njegova dužina izračunava po istoj formuli , budući da su u ovom slučaju koeficijenti i koordinate vektora u datom koordinatnom sistemu.

Pogledajmo primjer.

Primjer.

Odredite dužinu vektora datu u Dekartovom koordinatnom sistemu.

Rješenje.

Odmah primijenite formulu da pronađete dužinu vektora iz koordinata :

odgovor:

Sada dobijamo formulu za pronalaženje dužine vektora po svojim koordinatama u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz u svemiru.

Nacrtajmo vektor iz ishodišta i označimo projekcije tačke A na koordinatnoj osi kao i . Tada možemo konstruirati pravokutni paralelepiped na stranama, u kojem OAće biti dijagonala.

U ovom slučaju (od OA– dijagonala pravougaonog paralelepipeda), odakle . Određivanje koordinata vektora nam omogućava da zapišemo jednakosti i dužine OA jednaka željenoj dužini vektora, dakle, .

dakle, dužina vektora u prostoru jednak je kvadratnom korijenu zbira kvadrata njegovih koordinata, odnosno pronađeno po formuli .

Primjer.

Izračunajte dužinu vektora , gdje su jedinični vektori pravokutnog koordinatnog sistema.

Rješenje.

Zadata nam je vektorska dekompozicija na koordinatne vektore oblika , dakle, . Zatim, koristeći formulu za pronalaženje dužine vektora iz koordinata, imamo .

Apscisa i ordinatna osa se nazivaju koordinate vektor. Vektorske koordinate su obično naznačene u obrascu (x, y), a sam vektor kao: =(x, y).

Formula za određivanje vektorskih koordinata za dvodimenzionalne probleme.

U slučaju dvodimenzionalnog problema, vektor sa poznatim koordinate tačaka A(x 1; y 1) I B(x 2 ; y 2 ) može se izračunati:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Formula za određivanje vektorskih koordinata za prostorne probleme.

U slučaju prostornog problema, vektor sa poznatim koordinate tačaka A (x 1; y 1;z 1 ) i B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) može se izračunati pomoću formule:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Koordinate daju sveobuhvatan opis vektora, budući da je moguće konstruisati sam vektor koristeći koordinate. Poznavajući koordinate, lako je izračunati i dužina vektora. (Svojstvo 3 ispod).

Svojstva vektorskih koordinata.

1. Bilo koji jednaki vektori u jednom koordinatnom sistemu imaju jednake koordinate.

2. Koordinate kolinearni vektori proporcionalan. Pod uslovom da nijedan od vektora nije nula.

3. Kvadrat dužine bilo kojeg vektora jednak je zbiru njegovih kvadrata koordinate.

4.Tokom operacije vektorsko množenje on pravi broj svaka njegova koordinata se množi ovim brojem.

5. Prilikom sabiranja vektora izračunavamo zbir odgovarajućih vektorske koordinate.

6. Skalarni proizvod dva vektora jednaka je zbroju proizvoda njihovih odgovarajućih koordinata.

Dužina vektora a → će biti označena sa → . Ova notacija je slična modulu broja, pa se dužina vektora naziva i modulom vektora.

Da bismo pronašli dužinu vektora na ravni iz njegovih koordinata, potrebno je razmotriti pravougaoni Dekartov koordinatni sistem O x y. Neka je u njemu specificiran neki vektor a → sa koordinatama a x; ay. Uvedemo formulu za pronalaženje dužine (modula) vektora a → kroz koordinate a x i a y.

Nacrtajmo vektor O A → = a → iz početka. Definirajmo odgovarajuće projekcije tačke A na koordinatne ose kao A x i A y. Sada razmotrite pravougaonik O A x A A y sa dijagonalom O A.

Iz Pitagorine teoreme slijedi jednakost O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , odakle je O A = O A x 2 + O A y 2 . Iz već poznate definicije vektorskih koordinata u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu dobijamo da je O A x 2 = a x 2 i O A y 2 = a y 2 , a po konstrukciji je dužina O A jednaka dužini vektora O A → , što znači O A → = O A x 2 + O A y 2.

Iz ovoga proizlazi da formula za pronalaženje dužine vektora a → = a x ; a y ima odgovarajući oblik: a → = a x 2 + a y 2 .

Ako je vektor a → dat u obliku ekspanzije u koordinatnim vektorima a → = a x i → + a y j →, tada se njegova dužina može izračunati pomoću iste formule a → = a x 2 + a y 2, u ovom slučaju koeficijenti a x a y su kao koordinate vektora a → u datom koordinatnom sistemu.

Primjer 1

Izračunajte dužinu vektora a → = 7 ; e, specificirano u pravougaonom koordinatnom sistemu.

Rješenje

Da bismo pronašli dužinu vektora, koristićemo formulu za pronalaženje dužine vektora iz koordinata a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

odgovor: a → = 49 + e.

Formula za pronalaženje dužine vektora a → = a x ; a y; a z iz njegovih koordinata u kartezijanskom koordinatnom sistemu Oxyz u prostoru, izvodi se slično formuli za slučaj na ravni (vidi sliku ispod)

U ovom slučaju, O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (pošto je OA dijagonala pravougaonog paralelepipeda), dakle O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Iz definicije vektorskih koordinata možemo napisati sljedeće jednakosti O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , a dužina OA jednaka je dužini vektora koji tražimo, dakle, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Iz toga slijedi da je dužina vektora a → = a x ; a y; a z je jednako a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Primjer 2

Izračunajte dužinu vektora a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , gdje su i → , j → , k → jedinični vektori pravokutnog koordinatnog sistema.

Rješenje

Zadana je vektorska dekompozicija a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k →, koordinate su a → = 4, - 3, 5. Koristeći gornju formulu dobijamo a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2.

odgovor: a → = 5 2 .

Dužina vektora kroz koordinate njegove početne i krajnje tačke

Formule su izvedene iznad koje vam omogućavaju da pronađete dužinu vektora iz njegovih koordinata. Razmatrali smo slučajeve na ravni i u trodimenzionalnom prostoru. Koristimo ih da pronađemo koordinate vektora iz koordinata njegove početne i krajnje tačke.

Dakle, date su tačke sa datim koordinatama A (a x ; a y) i B (b x ; b y), pa vektor A B → ima koordinate (b x - a x ; b y - a y) što znači da se njegova dužina može odrediti formulom: A B → = ( b x - a x) 2 + (b y - a y) 2

A ako su tačke sa datim koordinatama A (a x ; a y ; a z) i B (b x ; b y ; b z) date u trodimenzionalnom prostoru, tada se dužina vektora A B → može izračunati pomoću formule

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

Primjer 3

Odredite dužinu vektora A B → ako je u pravougaonom koordinatnom sistemu A 1, 3, B - 3, 1.

Rješenje

Koristeći formulu za pronalaženje dužine vektora iz koordinata početne i krajnje tačke na ravni, dobijamo A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1 ) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

Drugo rješenje uključuje primjenu ovih formula naizmjence: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

odgovor: A B → = 20 - 2 3 .

Primjer 4

Odrediti pri kojim vrijednostima je dužina vektora A B → jednaka 30 ako je A (0, 1, 2); B (5, 2, λ 2) .

Rješenje

Prvo, zapišimo dužinu vektora A B → koristeći formulu: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

Zatim izjednačimo rezultirajući izraz sa 30, odavde nalazimo traženi λ:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 i λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2, λ 3 = 0.

odgovor: λ 1 = - 2, λ 2 = 2, λ 3 = 0.

Određivanje dužine vektora pomoću kosinusne teoreme

Nažalost, u problemima koordinate vektora nisu uvijek poznate, pa ćemo razmotriti druge načine za pronalaženje dužine vektora.

Neka su date dužine dva vektora A B → , A C → i ugao između njih (ili kosinus ugla) i treba da nađete dužinu vektora B C → ili C B → . U ovom slučaju treba koristiti kosinusnu teoremu u trouglu △ A B C i izračunati dužinu stranice B C, koja je jednaka željenoj dužini vektora.

Razmotrimo ovaj slučaj koristeći sljedeći primjer.

Primjer 5

Dužine vektora A B → i A C → su 3, odnosno 7, a ugao između njih je π 3. Izračunajte dužinu vektora B C → .

Rješenje

Dužina vektora B C → u ovom slučaju jednaka je dužini stranice B C trougla △ A B C . Dužine stranica A B i A C trokuta poznate su iz uslova (jednake su dužinama odgovarajućih vektora), poznat je i ugao između njih, pa možemo koristiti kosinusni teorem: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B, → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Dakle, B C → = 37 .

odgovor: B C → = 37 .

Dakle, da biste pronašli dužinu vektora iz koordinata, postoje sljedeće formule a → = a x 2 + a y 2 ili a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , iz koordinata početne i krajnje točke vektora A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 ili A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, u nekim slučajevima treba koristiti kosinusnu teoremu .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

6.4. Neke primjene tačkastog proizvoda

11. Izraz skalarnog proizvoda vektora kroz koordinate faktora. Teorema.

12. Dužina vektora, dužina segmenta, ugao između vektora, uslov okomitosti vektora.

13. Vektorski proizvod vektora, njegova svojstva. Površina paralelograma.

14. Mješoviti proizvod vektora, njegova svojstva. Uslov za vektorsku koplanarnost. Volumen paralelepipeda. Volumen piramide.

15. Metode za definisanje prave linije na ravni.

16. Normalna jednačina prave na ravni (derivacija). Geometrijsko značenje koeficijenata.

17. Jednačina prave na ravni u segmentima (derivacija).

Svođenje opšte jednačine ravnine na jednadžbu ravnine u segmentima.

18. Jednačina prave linije na ravni sa ugaonim koeficijentom (derivacija).

19. Jednačina prave na ravni koja prolazi kroz dvije tačke (derivacija).

20. Ugao između pravih linija na ravni (izlaz).

21. Udaljenost od tačke do prave linije na ravni (izlaz).

22. Uslovi za paralelnost i okomitost pravih na ravni (derivacija).

23. Jednačina ravni. Jednačina normalne ravni (derivacija). Geometrijsko značenje koeficijenata.

24. Jednačina ravnine u segmentima (derivacija).

25. Jednačina ravni koja prolazi kroz tri tačke (derivacija).

26. Ugao između ravnina (izlaz).

27. Udaljenost od tačke do ravni (izlaz).

28. Uvjeti za paralelnost i okomitost ravni (zaključak).

29. Jednačine prave u r3. Jednačine prave koja prolazi kroz dvije fiksne tačke (derivacija).

30. Kanonske jednadžbe prave u prostoru (derivacija).

Sastavljanje kanonskih jednadžbi prave u prostoru.

Posebni slučajevi kanonskih jednadžbi prave u prostoru.

Kanonske jednadžbe prave koja prolazi kroz dvije date tačke u prostoru.

Prijelaz sa kanonskih jednadžbi prave u prostoru na druge tipove jednačina prave.

31. Ugao između pravih linija (izlaz).

32. Udaljenost od tačke do prave linije na ravni (izlaz).

Udaljenost od tačke do prave na ravni - teorija, primjeri, rješenja.

Prvi način za pronalaženje udaljenosti od date tačke do date prave linije na ravni.

Druga metoda vam omogućava da pronađete udaljenost od date tačke do date prave linije na ravni.

Rješavanje problema nalaženja udaljenosti od date tačke do date prave linije na ravni.

Udaljenost od tačke do prave u prostoru - teorija, primjeri, rješenja.

Prvi način za pronalaženje udaljenosti od tačke do prave u prostoru.

Druga metoda vam omogućava da pronađete udaljenost od tačke do linije u prostoru.

33. Uslovi za paralelnost i okomitost pravih u prostoru.

34. Relativni položaj pravih u prostoru i prave sa ravninom.

35. Klasična jednadžba elipse (derivacija) i njena konstrukcija. Kanonska jednadžba elipse ima oblik gdje su pozitivni realni brojevi i Kako konstruirati elipsu?

36. Klasična hiperbola jednadžba (derivacija) i njena konstrukcija. Asimptote.

37. Kanonska parabola jednadžba (derivacija) i konstrukcija.

38. Funkcija. Osnovne definicije. Grafovi osnovnih elementarnih funkcija.

39. Brojčani nizovi. Ograničenje niza brojeva.

40. Beskonačno male i beskonačno velike količine. Teorema o povezanosti između njih, svojstva.

41. Teoreme o akcijama na varijable koje imaju konačne granice.

42. Broj e.

Sadržaj

Metode određivanja

Svojstva

Priča

Aproksimacije

43. Određivanje granice funkcije. Otkrivanje neizvjesnosti.

44. Izvanredne granice, njihov zaključak. Ekvivalentne beskonačno male količine.

Sadržaj

Prva divna granica

Druga divna granica

45. Jednostrane granice. Kontinuitet i diskontinuiteti funkcije. Jednostrane granice

Lijeva i desna granica funkcije

Tačka diskontinuiteta prve vrste

Tačka diskontinuiteta druge vrste

Prelomna tačka

46. Definicija derivata. Geometrijsko značenje, mehaničko značenje izvedenice. Tangentne i normalne jednadžbe za krivu i tačku.

47. Teoreme o izvodu inverznih kompleksnih funkcija.

48. Derivati najjednostavnijih elementarnih funkcija.

49. Diferencijacija parametarskih, implicitnih i stepensko-eksponencijalnih funkcija.

21. Diferencijacija implicitnih i parametarski definiranih funkcija

21.1. Implicitna funkcija

21.2. Parametarski definirana funkcija

50. Derivati višeg reda. Taylorova formula.

51. Diferencijal. Primjena diferencijala za približne proračune.

52. Teoreme Rollea, Lagrangea, Cauchyja. L'Hopitalovo pravilo.

53. Teorema o potrebnim i dovoljnim uslovima za monotonost funkcije.

54. Određivanje maksimuma i minimuma funkcije. Teoreme o neophodnim i dovoljnim uslovima za postojanje ekstremuma funkcije.

Teorema (neophodan uslov za ekstremum)

55. Konveksnost i konkavnost krivih. Pregibne tačke. Teoreme o neophodnim i dovoljnim uslovima za postojanje prevojnih tačaka.

Dokaz

57. Determinante n-tog reda, njihova svojstva.

58. Matrice i akcije na njima. Matrix rang.

Definicija

Povezane definicije

Svojstva

Linearna transformacija i rang matrice

59. Inverzna matrica. Teorema o postojanju inverzne matrice.

60. Sistemi linearnih jednačina. Matrično rješenje sistema linearnih jednačina. Cramerovo pravilo. Gaussova metoda. Kronecker-Capelli teorem.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi, metode rješenja, primjeri.

Definicije, koncepti, oznake.

Rješavanje elementarnih sistema linearnih algebarskih jednačina.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Cramerovom metodom.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Kronecker–Capelli teorem.

Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Pisanje opšteg rešenja za homogene i nehomogene linearne algebarske sisteme korišćenjem vektora osnovnog sistema rešenja.

Rješavanje sistema jednadžbi koje se svode na slough.

Primjeri problema koji se svode na rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina.

12. Dužina vektora, dužina segmenta, ugao između vektora, uslov okomitosti vektora.

vektor – to je usmjereni segment koji spaja dvije tačke u prostoru ili u ravni. Vektori se obično označavaju malim slovima ili početnom i završnom tačkom. Obično je crtica na vrhu.

Na primjer, vektor usmjeren iz tačke A do tačke B, može se odrediti a ,

Nulti vektor 0 ili 0 - Ovo je vektor čija se početna i završna tačka poklapaju, tj. A = B. Odavde, 0 = – 0 .

Dužina vektora (modul)a je dužina segmenta koji ga predstavlja AB, označeno sa |a | . Posebno, | 0 | = 0.

Vektori se nazivaju kolinearno, ako njihovi usmjereni segmenti leže na paralelnim linijama. Kolinearni vektori a I b su naznačeni a || b .

Tri ili više vektora se nazivaju komplanarno, ako leže u istoj ravni.

Vektorsko dodavanje. Pošto su vektori usmjereno segmente, onda se može izvršiti njihovo dodavanje geometrijski. (Algebarsko sabiranje vektora je opisano u nastavku, u paragrafu “Jedinstveni ortogonalni vektori”). Hajde da se pretvaramo

a = AB i b = CD,

tada vektor __ __

a + b = AB+ CD

je rezultat dvije operacije:

a)paralelni transfer jedan od vektora tako da se njegova početna tačka poklapa sa krajnjom tačkom drugog vektora;

b)geometrijski dodatak, tj. konstruisanje rezultujućeg vektora koji ide od početne tačke fiksnog vektora do krajnje tačke prenesenog vektora.

Oduzimanje vektora. Ova se operacija svodi na prethodnu zamjenom vektora oduzimanja suprotnim: a – b =a + (– b ) .

Zakoni sabiranja.

I. a + b = b + a (Tranziciono pravo).

II. (a + b ) + c = a + (b + c ) (Kombinativno pravo).

III. a + 0 = a .

IV. a + (– a ) = 0 .

Zakoni za množenje vektora brojem.

I. 1 · a = a , 0 · a = 0 , m· 0 = 0 , (– 1) · a = – a .

II. ma = a m,| ma | = | m | · | a | .

III. m(na ) = (mn)a . (K o m b e t a l

zakon množenja brojem).

IV. (m+n) a = ma +na , (DISTRIBUCIJA

m(a + b ) = ma + mb . zakon množenja brojem).

Tačkasti proizvod vektora. __ __

Ugao između vektora koji nisu nula AB I CD– ovo je ugao koji formiraju vektori kada se prenose paralelno dok se tačke ne poravnaju A I C. Tačkasti proizvod vektoraa I b naziva se broj jednak proizvod njihovih dužina i kosinusa ugla između njih:

Ako je jedan od vektora nula, onda je njihov skalarni proizvod, u skladu s definicijom, jednak nuli:

(a, 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .

Ako su oba vektora različita od nule, tada se kosinus ugla između njih izračunava po formuli:

Skalarni proizvod ( aa ), jednako | a | 2, zv skalarni kvadrat. Dužina vektora a i njegov skalarni kvadrat povezani su relacijom:

Tačkasti proizvod dva vektora:

- pozitivno, ako je ugao između vektora ljuto;

- negativan, ako je ugao između vektora tup.

Tada je skalarni proizvod dva vektora različita od nule jednak nuli i to samo kada je ugao između njih ravan, tj. kada su ovi vektori okomiti (ortogonalni):

Svojstva skalarnog proizvoda. Za bilo koje vektore a, b,c i bilo koji broj m važeći su sljedeći odnosi:

I. (a, b ) = (b, a ) . (Tranzicioni zakon)

II. (ma, b ) = m(a, b ) .

III.(a+b,c ) = (a, c ) + (b, c ). (Distributivno pravo)

Jedinični ortogonalni vektori. U bilo koji pravokutni koordinatni sistem možete unijeti jedinični upareni ortogonalni vektorii , j I k povezano s koordinatnim osama: i – sa osovinom X, j – sa osovinom Y I k – sa osovinom Z. Prema ovoj definiciji:

(i , j ) = (i ,k ) = (j ,k ) = 0,

| i | =| j | =| k | = 1.

Bilo koji vektor a može se izraziti kroz ove vektore na jedinstven način: a = xi+ yj+ zk . Drugi oblik snimanja: a = (x, y, z). Evo x, y, z - koordinate vektor a u ovom koordinatnom sistemu. U skladu sa posljednjom relacijom i svojstvima jediničnih ortogonalnih vektora i, j ,k Skalarni proizvod dva vektora može se izraziti različito.

Neka a = (x, y, z); b = (u, v, w). Zatim ( a, b ) = xu + yv + zw.

Skalarni proizvod dva vektora jednak je zbroju proizvoda odgovarajućih koordinata.

Dužina vektora (modul) a = (x, y, z ) je jednako:

Osim toga, sada imamo priliku da dirigujemo algebarski operacije na vektorima, odnosno, sabiranje i oduzimanje vektora mogu se izvoditi pomoću koordinata:

a + b = (x + u, y + v, z + w) ;

a – b = (x–u, y– v, z–w) .

Unakrsni proizvod vektora. Vector artwork [a, b ] vektoria Ib (ovim redoslijedom) se naziva vektor:

Postoji još jedna formula za dužinu vektora [ a, b ] :

| [ a, b ] | = | a | | b | grijeh( a, b ) ,

tj. dužina ( modul ) vektorski proizvod vektoraa Ib jednak je proizvodu dužina (modula) ovih vektora i sinusa ugla između njih. Drugim riječima: dužina (modul) vektora[ a, b ] brojčano jednak površini paralelograma izgrađenog na vektorima a Ib .