Konstrukcija presjeka u tetraedru. Tetraedar i njegov presjek Konstrukcija presjeka tetraedra iz tri tačke
Lekcija na temu:
“Konstrukcija presjeka tetraedra i paralelepipeda”
Ciljevi lekcije
1. Upoznajte se sa osnovama rješavanja zadataka koji uključuju konstruiranje presjeka tetraedra i paralelepipeda ravninom.
2. Identifikujte vrste problema za konstruisanje preseka.
3. Razviti vještine rješavanja zadataka koji uključuju konstruiranje presjeka tetraedra i paralelepipeda.
4. Formiranje prostorne imaginacije.
Tokom nastave.
I Organizacioni momenat.
II Provjera domaćeg zadatka.
Momci, koja smo geometrijska tijela učili na zadnjim lekcijama? (tetraedar, paralelepiped).
Kako se zove tetraedar?
Kako se zove paralelepiped?
Sada provjerimo usmeni domaći zadatak.
U udžbeniku na strani 31 čitamo i odgovaramo na pitanja 14,15.
14. Postoji li tetraedar sa pet ravnih uglova?
(Ne, jer u četiri formirana trougla mogu biti samo četiri prava ugla, najviše jedan u svakom).
15. Postoji li paralelepiped koji ima:
A) Samo jedno lice je pravougaonik. (Ne, pošto su suprotne strane paralelepipeda jednake).
b) Samo dva susjedna lica su rombovi. (Ne, samo suprotna lica mogu biti dijamanti).
V) Svi uglovi ivica su oštri. (Ne, paralelogram ima i oštre i tupe uglove, a svako lice je paralelogram).
G) Svi uglovi lica su pravi. (Da, u pravougaonom paralelepipedu).
d) Broj svih oštrih uglova lica nije jednak broju svih tupih uglova lica. (Ne, postoji jednaka količina oštrih i tupih uglova na svakom licu).
III Objašnjenje nove teme.
Sada pređimo na novu temu. Zapišite temu lekcije. Cilj današnje lekcije:
1. Upoznajte se sa osnovama rješavanja zadataka koji uključuju konstruiranje presjeka tetraedra i paralelepipeda ravninom.
2. Identifikujte vrste problema za konstruisanje preseka.
3. Razviti vještine rješavanja zadataka koji uključuju konstruiranje presjeka tetraedra i paralelepipeda.
4. Formiranje prostorne imaginacije.
Dakle, za rješavanje mnogih geometrijskih problema vezanih za tetraedar i paralelepiped, korisno je moći nacrtati njihove presjeke u različitim ravnima.
Šta mislimo pod reznu ravninu ? U udžbeniku na strani 27 naći ćemo odgovor na ovo pitanje.
Ravan za sečenje nazovimo bilo koju ravan na čijoj se strani nalaze tačke datog poliedra.
Sljedeći koncept je odjeljak. I opet se za pomoć obraćamo udžbeniku. Sada pogledajte kako izgleda tačna definicija sekcije.
v Gdje su stranice poligona koji je presjek?
v Gdje su vrhovi poligona koji je presjek?
A sada da odgovorimo na pitanje. Šta znači konstruisati presek poliedra sa ravninom. Dakle, u svakoj plohi ćemo konstruisati segmente duž kojih rezna ravan siječe strane.
Da biste ispravno konstruirali poprečni presjek, morate biti u stanju primijeniti različite teoreme i svojstva. Hajde da odgovorimo na pitanje.
Koja od ovih izjava može biti korisna pri izradi sekcija?
1. Ako dvije ravni imaju zajedničku tačku, onda se sijeku duž prave linije koja sadrži ovu tačku.
2. Ako prava linija koja leži u jednoj od ravnina koje se seku siječe drugu ravan, tada siječe liniju presjeka ravnina.
3. Ako se dvije paralelne ravni sijeku trećom, tada su linije presjeka ravni paralelne.
4. Sekantna ravan siječe lice poliedra duž izlomljene linije.
5. U presjeku paralelepipeda ravninom može se ispostaviti:
v linijski segment
v trougao
v četvorougao
v pentagon
v hexagon
v Heptagon
Sada se prisjetimo kako definirati ravan:
Prilikom izrade sekcija važno je znati:
https://pandia.ru/text/78/131/images/image003_53.jpg" width="559" height="288 src=">
https://pandia.ru/text/78/131/images/image005_39.jpg" width="564" height="355 src=">
Sada ćemo u udžbeniku razmotriti glavne zadatke konstruiranja odjeljaka. I tako, zadatak prvi, gde je potrebno konstruisati presek tetraedra koristeći tri tačke koje pripadaju sekantnoj ravni, od kojih dve leže u jednoj ravni, a treća u drugoj ravni. 
.jpg" width="588" height="359 src=">
Rješavanje problema. Provjera ispravnosti rješenja pomoću slajdova.
V Sažetak lekcije.
Zamislite situaciju:
Tvoja drugarica iz razreda se razboljela i propustila je lekcije na kojima su obrađivali temu „Konstruiranje presjeka poliedara“. Ovu temu morate objasniti preko telefona. Formulirajte algoritam korak po korak.
https://pandia.ru/text/78/131/images/image015_14.jpg" width="600" height="284 src=">
Sad cu uraditi malo testiranja. Tri zadatka trebate obaviti u roku od tri minute. Odaberite i zapišite broj crteža koji prikazuju ispravne presjeke tetraedra i paralelepipeda, kao i ispravan crtež.
VI
Zadaća
. br.14, pitanje 16, broj 000,106. Smislite i riješite jedan zadatak o konstruiranju presjeka tetraedra ili paralelepipeda.
Danas ćemo ponovo pogledati kako konstruisati presek tetraedra sa ravninom.
Razmotrimo najjednostavniji slučaj (obavezni nivo), kada 2 tačke presečne ravni pripadaju jednom licu, a treća tačka drugom licu.
Da vas podsjetimo algoritam za konstruisanje preseka ovog tipa (slučaj: 2 tačke pripadaju istom licu).
1. Tražimo lice koje sadrži 2 tačke presečne ravni. Nacrtajte pravu liniju kroz dvije tačke koje leže na istom licu. Nalazimo tačke njegovog preseka sa ivicama tetraedra. Dio ravne linije koji završava na licu je strana presjeka.
2. Ako se poligon može zatvoriti, sekcija je konstruisana. Ako je nemoguće zatvoriti, tada nalazimo presek konstruisane prave i ravni koja sadrži treću tačku.
1. Vidimo da tačke E i F leže na istoj površini (BCD), povucite pravu liniju EF u ravni (BCD). 
2. Nađimo tačku preseka prave linije EF sa ivicom tetraedra BD, to je tačka H.
3. Sada morate pronaći tačku preseka prave linije EF i ravni koja sadrži treću tačku G, tj. ravni (ADC).
Prava linija CD leži u ravnima (ADC) i (BDC), što znači da seče pravu liniju EF, a tačka K je tačka preseka prave linije EF i ravni (ADC).
4. Zatim nalazimo još dvije tačke koje leže u istoj ravni. To su tačke G i K, obje leže u ravni lijeve bočne strane. Nacrtamo pravu GK i označimo tačke u kojima ova prava siječe rubove tetraedra. To su tačke M i L.
4. Ostaje "zatvoriti" odjeljak, odnosno spojiti točke koje leže na istom licu. To su tačke M i H, kao i L i F. Oba ova segmenta su nevidljiva, crtamo ih isprekidanom linijom.
Ispostavilo se da je poprečni presjek četverokutni MHFL. Svi njegovi vrhovi leže na ivicama tetraedra. Odaberimo rezultujući odjeljak.
Sada da formulišemo "osobine" ispravno konstruisanog preseka:
1. Svi vrhovi mnogougla, koji je presek, leže na ivicama tetraedra (paralelepiped, poligon).
2. Sve strane presjeka leže na stranama poliedra.
3. Svako lice poligona ne može sadržavati više od jedne (jedne ili nijedne!) strane sekcije
Razvoj lekcije
na temu "Konstrukcija presjeka tetraedra i paralelepipeda" u 10. razredu "A"
Svrha lekcije:
naučiti kako da se konstruišu preseci tetraedra i paralelepipeda sa ravni;
razvijaju sposobnost analize, poređenja, generalizacije i izvođenja zaključaka;
razvijati vještine samostalne aktivnosti učenika i sposobnost rada u grupi.
Oprema: projektor, interaktivna tabla, materijali.
Vrsta lekcije: lekcija učenja novog gradiva.
Metode i tehnike koje se koriste na lekciji: vizuelni, praktični, problemsko-tragajući, grupni, elementi istraživačke aktivnosti.
I . Organiziranje vremena.
Nastavnik najavljuje temu i svrhu časa (slajd broj 1 ).
II . Ažuriranje znanja.
Učitelj: Dok ste radili domaći zadatak, morali ste da pronađete tačke susreta pravih i ravni, trag presečne ravni na ravni lica poliedra. Komentirajte šta je potrebno učiniti za ovo.
(Učenici komentarišu domaći zadatak (slajdovi br. 2-3 ).
Učitelj: Da bismo prešli na proučavanje nove teme, pogledajmo teorijski materijal odgovarajući na pitanja:
Ono što se zove rezna ravan (slajd broj 4 )? (Učenici daju definiciju.)
Ono što se naziva presjek poliedra (slajd broj 5 )? (Definicija je formulirana.)
Šta je potrebno učiniti da bi se konstruisao presjek poliedra ravninom?
Konstruisanje preseka se svodi na konstruisanje linija preseka presečne ravni i ravni lica poliedra.)
Da li je potrebno da rezna ravan siječe ravni svih strana poliedra?
Učitelj: Hajdemo malo istražiti i odgovoriti na pitanje: "Koja se figura može dobiti u presjeku tetraedra ili paralelepipeda ravninom?"
(Učenici, radeći u grupama, traže odgovor na postavljeno pitanje.)
(Nakon nekoliko minuta formulišu svoje pretpostavke i počinje demonstracijaslajdovi 6 – 7 .)
Učitelj: Ponovimo pravila koja se moraju zapamtiti prilikom konstruiranja presjeka poliedra (učenici pamte i formuliraju potrebne aksiome, teoreme, svojstva):
Ako dvije tačke pripadaju ravni sečenja i ravni neke površine poliedra, tada će prava linija koja prolazi kroz ove tačke biti trag sečne ravni na ravni lica.
Ako je rezna ravan paralelna pravoj koja leži u određenoj ravni i siječe ovu ravan, tada je linija presjeka ovih ravni paralelna s ovom pravom.
Kada se dvije paralelne ravni preseku reznom ravninom, dobijaju se paralelne prave.
Ako je rezna ravan paralelna sa određenom ravninom, tada te dvije ravnine sijeku treću ravan duž ravnih linija paralelnih jedna s drugom.
Ako rezna ravan i ravnine dviju strana koje se sijeku imaju zajedničku tačku, onda ona leži na pravoj koja sadrži zajedničku ivicu ovih strana.
Učitelj: Pronađite greške na ovim crtežima, obrazložite svoju izjavu (slajdovi8-9 ).
Učitelj: Dakle, momci, pripremili smo teorijsku osnovu za učenje kako da konstruišemo preseke poliedara sa ravninom, posebno preseke tetraedra i paralelepipeda. Većinu zadataka ćete obavljati samostalno, radeći u grupama, tako da svako od vas ima radne listove sa praznim crtežima poliedara na kojima ćete graditi presjeke. Ako je potrebno, možete potražiti savjet od nastavnika ili starijeg u grupi.
Dakle, predstavljamo Vašoj pažnjiprvi zadatak : ( slajd broj 10 ) konstruisati presek tetraedra sa ravni koja prolazi kroz date tačkeM, N, K. (Poprečni presjek se ispostavi kao trokut, provjerite -slajd broj 11 .)
Učitelj: Hajde da razmotrimodrugi zadatak : Dat je tetraedarDABC. Konstruišite presek tetraedra sa ravninomMNK, AkoMDC, NAD, KAB. ( Slajd br. 12 )
(Riješi problem s razredom, komentirajući konstrukciju.)
( Zadatak br. 3 – samostalan rad u grupama (slajd br. 14 ). pregled -slajd broj 15 .)
Zadatak br. 4 : Konstruišite presek tetraedra sa ravninomMNK, GdjeMIN– sredina rebaraABIB.C. ( slajd broj 16 ). (Proveri zaslajd br. 17 .)
Učitelju : Pređimo na sljedeći dio lekcije. Razmotrimo problem konstruisanja preseka paralelepipeda ravninom. Saznali smo da kada se paralelepiped preseče ravninom, to može rezultirati trougao, četvorougao, petougao ili šestougao. Pravila za izradu sekcija su ista. Predlažem da pređete na sljedeći problem, koji ćete sami riješiti.
(Demonstriranoslajd br. 18 )
Problem #5
Konstruirajte poprečni presjek paralelepipedaABCDA 1 B 1 C 1 D 1 avionMNK, AkoMAA. 1 , NBB 1 , KCC 1 . (Proveri zaslajd broj 19 ).
Problem br. 6 : ( Slajd broj 20 ) Konstruirajte presjek paralelepipedaABCDA 1 B 1 C 1 D 1 avionPTO, Ako P, T, Opripadaju ivicama AA 1, BB 1, SS 1.
(Razgovara se o rješenju, učenici konstruiraju dio na pojedinačnim listovima i bilježe napredak konstrukcije (slajd broj 21 ).)
TO ∩ BC = M
TP ∩ AB = N
NM ∩ AD = L
NM ∩ CD = F
PL, FO
PTOFL– traženi dio.
Zadatak br. 7: (slajd br. 22) Konstruišite presek paralelepipeda sa ravninomKMN, AkoKA 1 D 1 , N, MAB.
Rješenje: (slajd broj 23)
MN∩ AD=Q;
QK∩AA 1 =P;
PM;
NE II PK; KF II MN;
F.E.
MPKFENželjeni dio.
Kreativni zadaci (kartice prema opcijama):
U pravilnoj trouglastoj piramidiSABC kroz vrh C isredina rebraSNacrtajte dio piramide paralelan sS.B.. Na rubu AB uzima se tačkaFtako da je AF: FB=3:1. Kroz tačkuFIsredina rebraSIz C se povlači prava linija. Hoće li ova linija bitiparalelno sa ravninom preseka?
AB 1 SA -presjek pravokutnog paralelepipeda ABCDA 1 IN 1 WITH 1 D 1. kroz tačke E,F, K, koji su respektivnosredina rebaraDD 1 , A 1 D 1 , D 1 C 1 obavljena je druga sekcija.Dokazati da su trouglovi EFK i AB 1 Cslično i instalirajtekoji su uglovi ovih trouglova međusobno jednaki?
Sažetak lekcije: Dakle, upoznali smo se s pravilima za građenje presjeka tetraedra i paralelepipeda, ispitali vrste presjeka i riješili najjednostavnije probleme za konstruiranje presjeka. U sljedećoj lekciji nastavit ćemo proučavati temu i razmatrati složenije probleme.
Sada da rezimiramo lekciju odgovarajući na naša tradicionalna pitanja (slajd broj 24 ):
“Sviđa mi se (ne sviđa mi se) lekcija jer...”
“Danas na času sam naučio...”
"Zelim..."
(Ocjena za lekciju.)
Zadaća: stav 14. br. 105, 106. (slajd broj 25 )
Dodatni zadatak uz br. 105 : Pronađite omjer u kojem je ravninaMNKdeli ivicuAB, AkoCN : ND = 2:1, B.M. = M.D.i tačkaK– sredina medijaneALtrougaoABC.
(Završi kreativni zadatak.)
Slajd 2
Informacije za nastavnike. Svrha izrade ove prezentacije je da se jasno demonstriraju algoritmi za konstruisanje tačke preseka prave i ravni, linije preseka ravni i preseka tetraedra. Nastavnik može koristiti prezentaciju prilikom predavanja na ovu temu, ili je preporučiti za samostalno proučavanje učenicima koji su je iz nekog razloga propustili, ili da ponove određena pitanja. Studenti prate svoje proučavanje prezentacije popunjavanjem kratkog sažetka.
Slajd 3
Informacije za studenta. Svrha izrade ove prezentacije je da jasno demonstrira algoritme za rješavanje problema koji uključuju konstrukciju u prostoru. Pokušajte pažljivo i polako proučiti komentare na oblačićima i uporediti ih sa crtežom. Popunite sva prazna mjesta u sažetku. Kada samostalno rješavate probleme, prvo morate sami razmisliti o rješenju, a zatim pogledati ono koje je predložio autor. Zapišite pitanja za nastavnika i postavite ih na času.
Slajd 4
I. Pravo a seče ravan α. Konstruirajte raskrsnicu.
α β P m a Odgovor: I. Da biste konstruisali tačku preseka prave a i ravni α, potrebno je da: 1) nacrtate (pronađete) ravan β koja prolazi kroz pravu a i seče ravan α duž prave m 2) konstruišete tačka P preseka pravih a i m. Kroz pravu a povučemo ravan β koja seče ravan α duž prave t. Pravu a siječemo linijom presjeka ravnina α i β: prava t. Tačka P je zajednička tačka prave a i ravan α, jer prava linija m leži u α ravni. Zapišite algoritam u kratkom sažetku.
Slajd 5
1) Konstruisati tačku preseka prave MN i ravni BDC.
D B A C M N P (M, N) (ABC) Odgovor: Ravan ABC prolazi kroz pravu MN i seče ravan BDC duž prave BC. Prava MN seče pravu BC u tački P. Prava BC leži u ravni BDC, što znači da prava MN seče ravan BDC u tački P.
Slajd 6
2) Konstruisati tačku preseka prave MN i ravni ABD.
D B A C M N P Odgovor: Vidi rešenje Prava MN pripada ravni VDC, koja seče ravan AVD duž prave DB. Secimo prave MN i DB. Dalje
Slajd 7
II. Neka prava AB nije paralelna ravni α. Konstruisati liniju preseka ravnina α i ABC ako tačka C pripada ravni α
B C A α β P m Konstruirajmo tačku preseka prave AB sa ravninom α. Po uslovu i konstrukciji, tačke C i P su zajedničke ravnima ABC i α. Po uslovu i konstrukciji, tačke C i P su zajedničke ravnima ABC i α. To znači da je prava linija CP željena ravna linija presjeka ravnina ABC i α. II. Da biste konstruisali liniju preseka ravni α i ravni ABC (C α, (A, B) α, AB || α), potrebno je: konstruisati tačku preseka prave AB i ravni α - tačka P; 2) tačke P i C su zajedničke tačke ravni (ABC) i α, što znači (ABC) α = CP Napišite algoritam u kratkom rezimeu.
Slajd 8
3). Konstruisati pravu liniju preseka ravni MNP i ADB.
Konstruisati presek MNP ravni i ADB lica. M D B A C N P X Q R Odgovor: Konstruirajmo tačku preseka prave MR sa ravni ADB (tačka X). Prava MR leži u ravni ADC, koja seče ravan ADB duž prave AD. Prava MR leži u ravni ADC, koja seče ravan ADB duž prave AD. Tačke X i N su zajedničke tačke ADB i MNP ravni. To znači da se sijeku duž prave linije XN. Zabilježite napredak izgradnje u kratkom sažetku.
Slajd 9
Presek tetraedra.
C D B A M N P α Mnogougao sastavljen od segmenata duž kojih sečeća ravan seče lica poliedra naziva se presek poliedra. Segmenti koji čine presek nazivaju se tragovi rezne ravni na stranama. ∆ MNP – presjek. Neka ravan siječe tetraedar, onda se to zove sečna ravan.Ravan siječe ivice tetraedra u tačkama M,N,P,a lica - duž odsječaka MN,MP,NP... Trougao MNP je nazvan presjek tetraedra ovom ravninom... Zapiši to u kratku bilješku.
Slajd 10
Poprečni presjek tetraedra može biti i četverougao.
A C D B M N P Q α MNPQ – presjek.
Slajd 11
Algoritam za konstruisanje preseka tetraedra sa ravni koja prolazi kroz tri date tačke M, N, P.
MNPQ je obavezna sekcija. D B A C M N P Q X Konstruisati tragove sečne ravni u onim plohama koje sa njom imaju 2 zajedničke tačke. 3) Kroz konstruisane tačke povući pravu liniju duž koje sečna ravan seče ravan izabranog lica ABC. 4) Označite i označite tačke u kojima ova prava seče ivice lica ABC i dovršite preostale tragove. 2) Odaberite lice koje još nema trag. Konstruisati tačke preseka pravih linija koje sadrže već izgrađene tragove sa ravninom izabranog lica: ABC.
Slajd 12
Konstruirajte presjek metodom tetraedarske ravni MNP.2.
D B A C M N P Q X MNPQ – tražena sekcija.
Slajd 13
br. 1. (Sami riješite problem). Konstruirajte presjek tetraedra koristeći MNP ravan.
Q D A C M N P X B X Pogledaj rješenje Drugi metod: Sljedeći
Slajd 14
br. 2. (Odlučite sami). Konstruirajte presjek tetraedra koristeći MNP ravan ako P pripada površini ADC.
Slajd 15
br. 3. Konstruišite presek koristeći tetraedačku ravan α, paralelnu sa ivicom CD i koja prolazi kroz tačku F, koja leži na ravni DBC, i tačku M.
3)α (ADB)= MN, α (ABC)=QP. Q D B A M N P F C Dato: α||DC, (M;F) α, F (BDC), M AD. Konstruirajte presjek tetraedra DABC. α||DC, zatim (DBC) α=FP i FP||DC, FP BC=P, FP BD=N. 2) Pošto je α||DC, onda je (DAC) α=MQ i MQ||DC, MQ AC=Q. DC || NP i NP α, znači DC||α, stoga je MNPQ željeni odsjek. Nastavite rečenicu: Ako je data prava a paralelna sa određenom ravninom α, tada bilo koja ravan koja prolazi kroz ovu pravu a a nije paralelna ravni α siječe ravan α duž prave b………………… …………………………… paralelno sa pravom A. Nastavite... α||DC, tada ravan BDC seče α duž prave linije paralelne sa DC i koja prolazi kroz tačku F α||DC, zatim ravan ADC seče α duž prave linije paralelne sa DC i prolazi kroz tačka M
Slajd 16
2)α||DVC, (ADC) (DBC)=CD, (ADC)α=MN MP||CD. P#4. Konstruisati presek sa tetraedarskom ravni α koja je paralelna sa licem BDC i prolazi kroz tačku M. B A C M N D Dato je: α||DBC, M α, M AD. Konstruisati presek tetraedra DABC ravninom α α||DVC, (ADB) (DBC)=BD, MN||BD. (ADB)α=MN 3)α (ABC)=NP. ∆ MNP je traženi presjek, jer………. Nastavite rečenicu: Ako dvije paralelne ravni siječe treća ravan, tada su linije njihovog presjeka ……………………………… paralelne. dve prave MN i MP ravni α koje se seku su paralelne sa dvema pravima koje se seku DB i DC ravni (DBC), što znači α||(DBC). α||DVC, tada ravni AV i ADC seku ravni α i (VDS) duž pravih MN i MR, paralelnih sa DB i DC, respektivno, i prolaze kroz tačku M.
Slajd 17
Sljedeće M R B A C N Br. 5. Riješite sami i zapišite rješenje. Konstruisati presek tetraedra ravninom α koja prolazi kroz tačku M i segment PN, ako PN||AB i M pripadaju ravni (ABC). P Q D 1)NP||AB NP||(ABC) NP α, α (ABC)=MQ MQ||NP. 2)MQ AC=R. α (ADC)=NR, α (BDC)=PQ. RNPQ-potrebni poprečni presjek. Pogledajte rješenje NP||(ABC), što znači da ravan MNP seče ravan ABC duž prave linije MQ paralelne sa NP i koja prolazi kroz tačku M.
Slajd 18
Ne zaboravite formulisati pitanja za nastavnika ako nešto nije jasno, kao i svoje preporuke za poboljšanje ove prezentacije.
Slajd 19
Prilikom izrade prezentacije korišteni su udžbenici i priručnici: 1. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov i dr. Geometrija 10-11. M. "Prosvjeta" 2008. 2.B.G. Ziv, V.M. Mailer, A.G. Bakhansky Problemi iz geometrije 7-11.M. "Prosvetljenje" 2000
Pogledajte sve slajdove
, slajdovi 1-2)naučiti primjenjivati aksiome stereometrije prilikom rješavanja problema;
naučiti pronaći položaj presječnih točaka ravnine sečenja sa ivicama tetraedra;
master metode za konstruisanje ovih sekcija
formirati kognitivnu aktivnost, sposobnost logičkog mišljenja;
stvoriti uslove za samokontrolu sticanja znanja i vještina.
Vrsta lekcije: Formiranje novih znanja.
Tokom nastave
I. Organizacioni momenat
II. Ažuriranje znanja učenika
Frontalna anketa. (Aksiomi stereometrije, svojstva paralelnih ravni)
Reč učitelja
Za rješavanje mnogih geometrijskih problema vezanih za tetraedar, korisno je znati ih nacrtatisekcije različitim avionima. (slajd 3). Hajde da pozovemoreznu ravninu tetraedar je svaka ravan na čijoj se strani nalaze tačke datog tetraedra. Ravan rezanja siječe lica tetraedra duž segmenata. Poligon čije su stranice ovi segmenti naziva sepresjek tetraedra . Pošto tetraedar ima četiri lica, njegovi preseci mogu biti samo trouglovi i četvorouglovi. Također imajte na umu da je za konstruiranje presjeka dovoljno konstruirati točke presjeka ravnine reza s rubovima tetraedra, nakon čega ostaje nacrtati segmente koji povezuju svaku dvije konstruirane točke koje leže na istoj strani.
U ovoj lekciji moći ćete detaljno proučiti presjeke tetraedra i ovladati metodama konstruisanja ovih presjeka. Naučit ćete pet pravila za konstruiranje presjeka poliedra, naučiti pronaći položaj točaka presjeka ravnine reza sa rubovima tetraedra.
Ažuriranje pratećih koncepata
Prvo pravilo. Ako dvije tačke pripadaju i reznoj ravni i ravni neke površine poliedra, tada je prava linija koja prolazi kroz ove dvije tačke linija presjeka ravnine sijecanja s ravninom ove površine (posledica aksioma o presek ravni).
Drugo pravilo . Ako je rezna ravan paralelna sa određenom ravninom, tada se ove dvije ravni sijeku s bilo kojom pločom duž paralelnih linija (osobina dvije paralelne ravni koje se sijeku trećinom).
Treće pravilo. Ako je rezna ravan paralelna pravoj koja leži u određenoj ravni (na primjer, ravnina nekog lica), tada je linija presjeka ravnine sijecanja s ovom ravninom (licem) paralelna s ovom pravom (osobina a prava paralelna sa ravninom).
Četvrto pravilo. Sečna ravan siječe paralelne površine duž paralelnih linija (svojstvo paralelnih ravnina koje se sijeku trećinom).
Peto pravilo . Neka dvije tačke A i B pripadaju reznoj ravni, a tačke A 1 i B 1 su paralelne projekcije ovih tačaka na neko lice. Ako su prave AB i A 1 B 1 su paralelne, tada rezna ravan siječe ovo lice duž prave linije paralelne sa A 1 B 1 . Ako su prave AB i A 1 B 1 seku u određenoj tački, tada ova tačka pripada i reznoj ravni i ravni ovog lica (prvi dio ove teoreme proizlazi iz svojstva prave paralelne s ravninom, a drugi slijedi iz dodatnih svojstava paralele projekcija).
III. Učenje novog gradiva (formiranje znanja, vještina)
Kolektivno rješavanje problema uz objašnjenje (slajd 4)
Zadatak 1. Konstruisati presek tetraedra DABC sa ravni koja prolazi kroz tačke K ê AD, M ê DS, E ê BC.
Pogledajmo pažljivo crtež. Pošto tačke K i M pripadaju istoj ravni, nalazimo presek presečne ravni sa ADS licem - to je segment KM. Tačke M i E takođe leže u istoj ravni, što znači da je presek presečne ravni i lica VDS segment ME. Nalazimo tačku preseka pravih KM i AC, koje leže u istoj ravni ADS. Sada tačka X leži u licu ABC, tada se može povezati sa tačkom E. Nacrtamo pravu liniju XE, koja se seče sa AB u tački P. Segment PE je presek sečne ravni sa licem ABC, a segment KP je presek sečne ravni sa licem ABC. Stoga je četverokut KMER naš željeni presjek. Zabilježite rješenje u svoju bilježnicu:
Rješenje.
KM = α ∩ ADS
ME = α ∩ VDS
X = KM ∩ AC
P = XE ∩ AB
PE = α ∩ ABC
KR = α ∩ ADV
KMER – obavezna dionica
Zadatak 2. (slajd 5)
Konstruišite presek tetraedra DABC sa ravninom koja prolazi kroz tačke K = ABC, M = VDS, N = AD
Razmotrimo projekcije neke dvije tačke. U tetraedru se projekcije tačaka nalaze od vrha do osnovne ravni, tj. M→M 1 , N→A. Pronalaženje sjecišta pravih NM i AM 1 tačka X. Ova tačka pripada presečnoj ravni, pošto leži na pravoj NM, pripada ravni ABC, pošto leži na pravoj AM 1 . To znači da sada u ravni ABC imamo dvije tačke koje se mogu povezati, dobijamo pravu liniju KX. Prava linija seče stranu BC u tački L, a stranu AB u tački H. U licu ABC nalazimo presečnu liniju, ona prolazi kroz tačke H i K - to je NL. U ABP licu presečna linija je NN, u VDS licu povlačimo presečnu liniju kroz tačke L i M - to je LQ, a u ADS licu dobijamo segment NQ. Četvorougao HNQL je traženi dio.
Rješenje
M → M 1 N → A
X = NM ∩ AM 1
L = KX ∩ BC
H = KX ∩ AB
NL = α ∩ AVS, K ê NL
NN = α ∩ ADV,
LQ = α ∩ VDS, M ê LQ
NQ = α ∩ ADS
HNQL – obavezna sekcija
IV. Konsolidacija znanja
Rješavanje problema naknadnom verifikacijom
Zadatak 3. (slajd 6)
Konstruisati presek tetraedra DAWS sa ravninom koja prolazi kroz tačke K ê BC, M ê ADV, N ê VDS.
Rješenje
1. M → M 1 , N → N 1
X = NM ∩ N 1 M 1
R = KX ∩ AB
RL = α ∩ ADV, M ê RL
KR = α ∩ VDS, N ê KR
LP = α ∩ ADS
RLPK – obavezna sekcija
V. Samostalni rad (prema opcijama)
(slajd 7)
Zadatak 4. Konstruisati presek tetraedra DABC sa ravninom koja prolazi kroz tačke M = AB, N = AC, K = AD.
Rješenje
KM = α ∩ AVD,
MN = α ∩ AVS,
KN = α ∩ ADS
KMN – obavezna sekcija
Zadatak 5. Konstruisati presek tetraedra DABC sa ravninom koja prolazi kroz tačke M = AB, K = DS, N = DV.
Rješenje
MN = α ∩ AVD
NK = α ∩ VDS
X = NK ∩ BC
P = AC ∩ MX
RK = α ∩ ADS
MNKP – obavezna sekcija
Zadatak 6. Konstruišite presek tetraedra DABC sa ravninom koja prolazi kroz tačke M = ABC, K = VD, N = DS
Rješenje
KN = α ∩ ICE
H = KN ∩ VS
T = MX ∩ AVR = TX ∩ AC
RT = α ∩ ABC, M ê RT
PN = α ∩ ADS
TP N K – potrebna sekcija
VI. Sažetak lekcije.
(slajd 8)
Dakle, danas smo naučili kako konstruirati najjednostavnije probleme na presjecima tetraedra. Da vas podsjetim da je presjek poliedra mnogokut koji se dobije kao rezultat presjeka poliedra s određenom ravninom. Sama ravan se naziva rezna ravan. Konstruisati presek znači odrediti koje ivice seče rezna ravan, vrstu rezultujućeg preseka i tačan položaj tačaka preseka ravni sečenja sa ovim ivicama. Odnosno, ciljevi koji su postavljeni na lekciji su ostvareni.
VII. Zadaća.
(slajd 9)
Praktični rad „Konstruiraj presjeke tetraedra“ u elektronskom obliku ili papirnoj verziji. (Svako je dobio individualni zadatak
