Oglašavanje na portalu

Kako pronaći dužinu segmenta ako su koordinate poznate. Pronalaženje koordinata sredine segmenta, primjeri, rješenja. Metoda koordinata u prostoru


U ovom članku ćemo govoriti o pronalaženju koordinata sredine segmenta iz koordinata njegovih krajeva. Prvo ćemo dati potrebne koncepte, zatim ćemo dobiti formule za pronalaženje koordinata sredine segmenta, a u zaključku ćemo razmotriti rješenja tipičnih primjera i problema.

Navigacija po stranici.

Koncept sredine segmenta.

Da bismo uveli koncept sredine segmenta, potrebne su nam definicije segmenta i njegove dužine.

Koncept segmenta se daje na časovima matematike u petom razredu srednje škole na sljedeći način: ako uzmemo dvije proizvoljne nepodudarne tačke A i B, pričvrstimo im ravnalo i povučemo pravu od A do B (ili od B do A), onda dobijamo segment AB(ili segment B A). Tačke A i B se nazivaju krajevi segmenta. Treba imati na umu da su segment AB i segment BA isti segment.

Ako je odsječak AB beskonačno produžen u oba smjera od krajeva, dobijamo prava AB(ili direktni VA). Odsječak AB je dio prave linije AB zatvoren između tačaka A i B. Dakle, segment AB je unija tačaka A, B i skupa svih tačaka prave AB smeštene između tačaka A i B. Ako uzmemo proizvoljnu tačku M prave AB koja se nalazi između tačaka A i B, onda kažu da je tačka M laži na segmentu AB.

Dužina segmenta AB je rastojanje između tačaka A i B na datoj skali (segment jedinične dužine). Dužina segmenta AB će biti označena kao .

Definicija.

Dot C se zove sredini segmenta AB ako leži na segmentu AB i na istoj je udaljenosti od njegovih krajeva.

To jest, ako je tačka C središte segmenta AB, onda ona leži na njoj i.

Nadalje, naš zadatak će biti pronaći koordinate sredine segmenta AB ako su koordinate tačaka A i B date na koordinatnoj liniji ili u pravokutnom koordinatnom sistemu.

Koordinata sredine segmenta na koordinatnoj liniji.

Neka nam je dana koordinata Ox i dvije nepodudarne tačke A i B na njoj, koje odgovaraju realnim brojevima i . Neka je tačka C središte segmenta AB. Nađimo koordinate tačke C.

Pošto je tačka C središte segmenta AB, tačna je jednakost. U odeljku o udaljenosti od tačke do tačke na koordinatnoj liniji, pokazali smo da je rastojanje između tačaka jednako modulu razlike njihovih koordinata, dakle, . Onda ili . Od jednakosti pronađite koordinatu sredine segmenta AB na koordinatnoj liniji: - jednaka je polovini zbira koordinata krajeva segmenta. Iz druge jednakosti dobijamo , što je nemoguće, pošto smo uzeli nepodudarne tačke A i B.

dakle, formula za pronalaženje koordinata sredine segmenta AB sa krajevima i ima oblik .

Koordinate sredine segmenta linije.

Hajde da uvedemo pravougaoni Dekartov koordinatni sistem Oxyz na ravni. Neka su nam date dvije tačke i znamo da je tačka C središte segmenta AB. Nađimo koordinate i tačke C.

Po konstrukciji, ravno paralelne kao i paralelne prave , dakle, po Talesova teorema iz jednakosti segmenata AC i CB slijedi jednakost segmenata i , kao i segmenata i . Dakle, tačka je središte segmenta, a središte segmenta. Zatim, na osnovu prethodnog stava ovog člana I .

Koristeći ove formule, mogu se izračunati i koordinate sredine segmenta AB u slučajevima kada tačke A i B leže na jednoj od koordinatnih osa ili na pravoj liniji okomitoj na jednu od koordinatnih osa. Ostavimo ove slučajeve bez komentara i damo grafičke ilustracije.

Na ovaj način, središte segmenta AB na ravni sa krajevima u tačkama i ima koordinate .

Koordinate sredine segmenta u prostoru.

Neka je pravougaoni koordinatni sistem Oxyz uveden u trodimenzionalni prostor i dvije tačke I . Dobijamo formule za pronalaženje koordinata tačke C, koja je središte segmenta AB.

Hajde da razmotrimo opšti slučaj.

Neka su i projekcije tačaka A, B i C na koordinatne ose Ox, Oy i Oz, redom.


Prema Talesovoj teoremi, dakle, tačke su sredine segmenata respektivno. Zatim (vidi prvi pasus ovog članka). Dakle, dobili smo formule za izračunavanje koordinata sredine segmenta iz koordinata njegovih krajeva u prostoru.

Ove formule se također mogu primijeniti u slučajevima kada tačke A i B leže na jednoj od koordinatnih osa ili na pravoj liniji okomitoj na jednu od koordinatnih osa, kao i ako tačke A i B leže u jednoj od koordinatnih ravnina ili u ravan paralelna sa jednom od koordinatnih osa.ravni.

Koordinate sredine segmenta kroz koordinate vektora radijusa njegovih krajeva.

Formule za pronalaženje koordinata sredine segmenta lako se dobijaju pozivanjem na algebru vektora.

Neka je pravougaoni Dekartov koordinatni sistem Oxy dat na ravni i tačka C je središte segmenta AB, sa i .

Prema geometrijskoj definiciji operacija nad vektorima, jednakost (tačka C je tačka preseka dijagonala paralelograma izgrađenog na vektorima i , odnosno tačka C je središte dijagonale paralelograma). U članku koordinate vektora u pravougaonom koordinatnom sistemu, otkrili smo da su koordinate radijus vektora tačke jednake koordinatama ove tačke, dakle, . Zatim, nakon obavljanja odgovarajućih operacija na vektorima u koordinatama , imamo . Kako možemo zaključiti da tačka C ima koordinate .

Apsolutno slično, koordinate sredine segmenta AB mogu se pronaći kroz koordinate njegovih krajeva u prostoru. U ovom slučaju, ako je C središte segmenta AB i , tada imamo .

Pronalaženje koordinata sredine segmenta, primjeri, rješenja.

U mnogim problemima morate koristiti formule da pronađete koordinate sredine segmenta. Razmotrimo rješenja najkarakterističnijih primjera.

Počnimo s primjerom koji samo treba primijeniti formulu.

Primjer.

Na ravni su date koordinate dvije tačke . Pronađite koordinate sredine segmenta AB.

Rješenje.

Neka je tačka C središte segmenta AB. Njegove koordinate su jednake poluzbirima odgovarajućih koordinata tačaka A i B:

Dakle, sredina segmenta AB ima koordinate.

Ako dobro naoštrenom olovkom dodirnete list bilježnice, ostat će trag koji daje predstavu o poenti. (Sl. 3).

Na listu papira označavamo dvije tačke A i B. Ove tačke se mogu povezati raznim linijama (sl. 4). A kako spojiti tačke A i B najkraćom linijom? To se može učiniti pomoću ravnala (sl. 5). Rezultirajuća linija se zove segment.

Tačka i linija - Primjeri geometrijski oblici.

Tačke A i B se nazivaju krajevi segmenta.

Postoji jedan segment čiji su krajevi tačke A i B. Dakle, segment se označava tako što se zapisuju tačke koje su njegovi krajevi. Na primjer, segment na slici 5 označen je na jedan od dva načina: AB ili BA. Pročitajte: "segment AB" ili "segment BA".

Slika 6 prikazuje tri segmenta. Dužina odsječka AB jednaka je 1 cm.Postavljena je tačno tri puta u segment MN, a tačno 4 puta u segment EF. Reći ćemo to dužina segmenta MN je 3 cm, a dužina segmenta EF je 4 cm.

Također je uobičajeno reći: "segment MN je 3 cm", "segment EF je 4 cm". Oni pišu: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Mjerili smo dužine segmenata MN i EF pojedinačni segment, čija je dužina 1 cm Za mjerenje segmenata možete odabrati druge jedinice dužine, na primjer: 1 mm, 1 dm, 1 km. Na slici 7, dužina segmenta je 17 mm. Mjeri se jednim segmentom, čija je dužina 1 mm, pomoću ravnala s podjelama. Takođe, pomoću ravnala možete izgraditi (nacrtati) segment zadate dužine (vidi sl. 7).

Uopšte, izmjeriti segment znači izbrojati koliko jediničnih segmenata stane u njega.

Dužina segmenta ima sljedeće svojstvo.

Ako je tačka C označena na segmentu AB, onda je dužina segmenta AB jednaka zbiru dužina segmenata AC i CB(Sl. 8).

Oni pišu: AB = AC + CB.

Na slici 9 prikazana su dva segmenta AB i CD. Ovi segmenti će se poklopiti kada se superponiraju.

Dva segmenta se nazivaju jednakima ako se poklapaju kada se preklapaju.

Stoga su segmenti AB i CD jednaki. Oni pišu: AB = CD.

Jednaki segmenti imaju jednake dužine.

Od dva nejednaka segmenta, smatraćemo da je veći onaj sa većom dužinom. Na primjer, na slici 6, segment EF je veći od segmenta MN.

Dužina segmenta AB se naziva razdaljina između tačaka A i B.

Ako se nekoliko segmenata rasporedi kao što je prikazano na slici 10, onda će se dobiti geometrijska figura koja se zove slomljena linija. Imajte na umu da svi segmenti na slici 11 ne čine isprekidanu liniju. Smatra se da segmenti formiraju izlomljenu liniju ako se kraj prvog segmenta poklapa sa krajem drugog, a drugi kraj drugog segmenta poklapa se sa krajem trećeg itd.

Tačke A, B, C, D, E − vrhovi polilinije ABCDE, tačke A i E − prekinuta linija završava, a segmenti AB, BC, CD, DE su njegovi linkovi(vidi sliku 10).

Dužina isprekidane linije je zbir dužina svih njegovih karika.

Na slici 12 prikazane su dvije izlomljene linije čiji se krajevi poklapaju. Takve izlomljene linije se nazivaju zatvoreno.

Primjer 1 . Segment BC je za 3 cm manji od segmenta AB čija je dužina 8 cm (slika 13). Odredite dužinu segmenta AC.

Rješenje. Imamo: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (cm).

Koristeći svojstvo dužine segmenta, možemo napisati AC = AB + BC. Dakle, AC = 8 + 5 = 13 (cm).

Odgovor: 13 cm.

Primjer 2 . Poznato je da je MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (slika 14). Odredite dužinu odsječka NK.

Rješenje. Imamo: MN = MP − NP.

Dakle, MN = 50 − 32 = 18 (cm).

Imamo: NK = MK − MN.

Dakle, NK = 24 − 18 = 6 (cm).

Odgovor: 6 cm.

Dužina, kao što je već napomenuto, označena je znakom modula.

Ako su date dvije tačke ravni i, tada se dužina segmenta može izračunati po formuli

Ako su date dvije tačke u prostoru i, tada se dužina segmenta može izračunati po formuli

Bilješka:Formule će ostati ispravne ako se zamijene odgovarajuće koordinate: i , ali prva opcija je standardnija

Primjer 3

Rješenje: prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Radi jasnoće, napraviću crtež

Odjeljak - to nije vektor, i ne možete ga nigdje pomjeriti, naravno. Osim toga, ako završite crtež u mjerilu: 1 jedinica. \u003d 1 cm (dvije tetradne ćelije), tada se odgovor može provjeriti običnim ravnalom direktnim mjerenjem dužine segmenta.

Da, rešenje je kratko, ali postoji nekoliko važnih tačaka koje bih želeo da razjasnim:

Prvo, u odgovoru postavljamo dimenziju: “jedinice”. Uslov ne kaže ŠTA je, milimetri, centimetri, metri ili kilometri. Stoga će opća formulacija biti matematički kompetentno rješenje: "jedinice" - skraćeno kao "jedinice".

Drugo, ponovimo školsko gradivo, koje je korisno ne samo za razmatrani problem:

obratite pažnju na važan tehnički trik – vađenje množitelja ispod korijena. Kao rezultat proračuna, dobili smo rezultat i dobar matematički stil uključuje vađenje faktora ispod korijena (ako je moguće). Proces detaljnije izgleda ovako: Naravno, ostavljanje odgovora u formularu neće biti greška – ali je definitivno mana i težak argument za prigovaranje od strane nastavnika.

Evo drugih uobičajenih slučajeva:

Često se dovoljno veliki broj dobije pod korijenom, na primjer. Kako biti u takvim slučajevima? Na kalkulatoru provjeravamo da li je broj djeljiv sa 4:. Da, bilo je potpuno podijeljeno, dakle: . Ili se broj može ponovo podijeliti sa 4? . Na ovaj način: . Posljednja cifra broja je neparna, tako da dijeljenje sa 4 po treći put očigledno nije moguće. Pokušavam podijeliti sa devet: . Kao rezultat:
Spreman.

Izlaz: ako ispod korijena dobijemo cijeli broj koji se ne može izdvojiti, onda pokušavamo izvaditi faktor ispod korijena - na kalkulatoru provjeravamo da li je broj djeljiv sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , itd.

Prilikom rješavanja raznih zadataka često se pronalaze korijeni, uvijek pokušajte da izvučete faktore ispod korijena kako biste izbjegli niži rezultat i nepotrebne muke oko finaliziranja rješenja prema napomeni nastavnika.

Ponovimo istovremeno kvadriranje korijena i drugih potencija:

Pravila za radnje sa stepenom u opštem obliku mogu se naći u školskom udžbeniku algebre, ali mislim da je već sve ili skoro sve jasno iz datih primera.

Zadatak za samostalno rješenje sa segmentom u prostoru:

Primjer 4

Dati bodovi i . Pronađite dužinu segmenta.

Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Dužina segmenta se može odrediti na različite načine. Da biste saznali kako pronaći dužinu segmenta, dovoljno je imati na raspolaganju ravnalo ili znati posebne formule za izračunavanje.

Dužina linije sa ravnalom

Da bismo to učinili, primjenjujemo ravnalo s milimetarskim podjelama na segment izgrađen na ravnini, a početna točka mora biti poravnata s nulom skale ravnala. Zatim na ovoj skali treba da označite lokaciju krajnje tačke ovog segmenta. Rezultirajući broj cijelih podjela skale bit će dužina segmenta, izražena u cm i mm.

Metoda ravnih koordinata

Ako su koordinate segmenta (x1; y1) i (x2; y2) poznate, onda njegovu dužinu treba izračunati na sljedeći način. Od koordinata na ravni druge tačke treba oduzeti koordinate prve tačke. Rezultat bi trebao biti dva broja. Svaki od ovih brojeva se mora kvadrirati, a zatim pronaći zbir ovih kvadrata. Iz rezultirajućeg broja treba izdvojiti kvadratni korijen, koji će biti udaljenost između tačaka. Pošto su ove tačke krajevi segmenta, ova vrednost će biti njegova dužina.

Razmotrimo primjer kako pronaći dužinu segmenta po koordinatama. Postoje koordinate dvije tačke (-1;2) i (4;7). Pri pronalaženju razlike u koordinatama tačaka dobijamo sledeće vrednosti: x = 5, y = 5. Rezultirajući brojevi će biti koordinate segmenta. Zatim kvadriramo svaki broj i nađemo zbir rezultata, on je 50. Iz ovog broja izvlačimo kvadratni korijen. Rezultat je: 5 korijena od 2. Ovo je dužina segmenta.

Metoda koordinata u prostoru

Da biste to učinili, razmislite kako pronaći dužinu vektora. On je taj koji će biti segment u euklidskom prostoru. Nalazi se na skoro isti način kao i dužina segmenta na ravni. Konstrukcija vektora se odvija u različitim ravnima. Kako pronaći dužinu vektora?

  1. Pronađite koordinate vektora, za to, od koordinata njegove krajnje točke, trebate oduzeti koordinate njegove početne točke.
  2. Nakon toga, trebate kvadrirati svaku koordinatu vektora.
  3. Zatim dodajte kvadrate koordinata.
  4. Da biste pronašli dužinu vektora, morate uzeti kvadratni korijen zbira kvadrata koordinata.

Razmotrimo algoritam proračuna koristeći primjer. Potrebno je pronaći koordinate vektora AB. Tačke A i B imaju sljedeće koordinate: A (1;6;3) i B (3;-1;7). Početak vektora leži u tački A, kraj se nalazi u tački B. Dakle, da bismo pronašli njegove koordinate, potrebno je oduzeti koordinate tačke A od koordinata tačke B: (3 - 1; -1 - 6; 7 - 3) = (2; - 3) 7;4).

Sada kvadriramo svaku koordinatu i saberemo ih: 4+49+16=69. Konačno, izvlači kvadratni korijen zadanog broja. Teško ga je izdvojiti, pa rezultat zapisujemo na ovaj način: dužina vektora jednaka je korijenu od 69.

Ako vam nije važno da sami izračunate dužinu segmenata i vektora, već vam je potreban samo rezultat, onda možete koristiti online kalkulator, na primjer, ovaj.

Sada, nakon proučavanja ovih metoda i razmatranja predstavljenih primjera, lako možete pronaći dužinu segmenta u bilo kojem problemu.

segment nazovimo dio prave linije koji se sastoji od svih tačaka ove prave koje se nalaze između ove dvije tačke - nazivaju se krajevi segmenta.

Razmotrimo prvi primjer. Neka je određeni segment u koordinatnoj ravni dat sa dvije tačke. U ovom slučaju, njegovu dužinu možemo pronaći primjenom Pitagorine teoreme.

Dakle, u koordinatnom sistemu nacrtajte segment sa datim koordinatama njegovih krajeva(x1; y1) I (x2; y2) . na osovini X I Y ispustite okomite sa krajeva segmenta. Označite crvenom bojom segmente koji su projekcije iz originalnog segmenta na koordinatnu osu. Nakon toga prenosimo segmente projekcije paralelno sa krajevima segmenata. Dobijamo trougao (pravougaonik). Hipotenuza ovog trougla bit će sam segment AB, a njegove noge su prenesene projekcije.

Izračunajmo dužinu ovih projekcija. Dakle, na osi Y dužina projekcije je y2-y1 , i na osi X dužina projekcije je x2-x1 . Primijenimo Pitagorinu teoremu: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . U ovom slučaju |AB| je dužina segmenta.

Ako koristite ovu šemu za izračunavanje dužine segmenta, tada čak ni ne možete izgraditi segment. Sada izračunavamo dužinu segmenta sa koordinatama (1;3) I (2;5) . Primjenom Pitagorine teoreme dobijamo: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . A to znači da je dužina našeg segmenta jednaka 5:1/2 .

Razmotrite sljedeću metodu za pronalaženje dužine segmenta. Da bismo to učinili, moramo znati koordinate dvije tačke u nekom sistemu. Razmotrite ovu opciju koristeći dvodimenzionalni Dekartov koordinatni sistem.

Dakle, u dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu date su koordinate ekstremnih tačaka segmenta. Ako kroz ove tačke povučemo prave linije, one moraju biti okomite na koordinatnu osu, tada ćemo dobiti pravokutni trokut. Originalni segment će biti hipotenuza rezultirajućeg trougla. Kraci trokuta formiraju segmente, njihova dužina je jednaka projekciji hipotenuze na koordinatne ose. Na osnovu Pitagorine teoreme zaključujemo: da biste pronašli dužinu datog segmenta, potrebno je pronaći dužine projekcija na dvije koordinatne ose.

Pronađite dužine projekcija (X i Y) originalni segment na koordinatne ose. Izračunavamo ih pronalaženjem razlike u koordinatama tačaka duž zasebne ose: X=X2-X1, Y=Y2-Y1 .

Izračunajte dužinu segmenta ALI , za ovo nalazimo kvadratni korijen:

A = √(X²+Y²) = √((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Ako se naš segment nalazi između tačaka čije koordinate 2;4 I 4;1 , tada je njegova dužina, respektivno, jednaka √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .