Proizvod brojeva različitih potencija. Stepen i njegova svojstva. Iscrpni vodič (2020). Osnovna svojstva stepeni sa iracionalnim eksponentima
U prethodnom članku smo govorili o tome šta su monomi. U ovom materijalu ćemo analizirati kako riješiti primjere i probleme u kojima se koriste. Ovdje ćemo razmotriti takve radnje kao što su oduzimanje, sabiranje, množenje, dijeljenje monoma i njihovo podizanje na stepen s prirodnim eksponentom. Pokazaćemo kako su takve operacije definisane, ukazati na osnovna pravila za njihovu implementaciju i šta bi trebalo da bude rezultat. Sve teorijske odredbe, kao i obično, biće ilustrovane primerima zadataka sa opisima rešenja.
Najpogodnije je raditi sa standardnim zapisom monoma, pa sve izraze koji će se koristiti u članku predstavljamo u standardnom obliku. Ako su inicijalno postavljeni drugačije, preporučuje se da se prvo dovedu u općeprihvaćeni oblik.
Pravila za sabiranje i oduzimanje monoma
Najjednostavnije operacije koje se mogu izvesti s monomima su oduzimanje i sabiranje. U opštem slučaju, rezultat ovih akcija će biti polinom (u nekim posebnim slučajevima moguć je monom).
Kada sabiramo ili oduzimamo monome, prvo zapisujemo odgovarajući zbir i razliku u opšteprihvaćenom obliku, nakon čega pojednostavljujemo rezultirajući izraz. Ako postoje slični pojmovi, moraju se dati, zagrade se moraju otvoriti. Objasnimo na primjeru.
Primjer 1
Stanje: dodaj monome − 3 · x i 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .
Rješenje
Zapišimo zbir originalnih izraza. Dodajte zagrade i stavite znak plus između njih. Dobićemo sledeće:
(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)
Kada proširimo zagrade, dobijamo - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Ovo je polinom, napisan u standardnom obliku, koji će biti rezultat sabiranja ovih monoma.
odgovor:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .
Ako imamo tri, četiri ili više termina, ovu radnju izvodimo na isti način.
Primjer 2
Stanje: izvršiti date operacije sa polinomima ispravnim redoslijedom
3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Rješenje
Počnimo otvaranjem zagrada.
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Vidimo da se rezultirajući izraz može pojednostaviti smanjenjem sličnih pojmova:
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 ac + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 ac + 4 9
Imamo polinom, koji će biti rezultat ove akcije.
odgovor: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9
U principu, možemo izvršiti sabiranje i oduzimanje dva monoma, uz neka ograničenja, tako da na kraju dobijemo monom. Da bi se to uradilo, potrebno je poštovati neke uslove u pogledu termina i oduzetih monoma. Opisat ćemo kako se to radi u posebnom članku.
Pravila za množenje monoma
Akcija množenja ne nameće nikakva ograničenja množiocima. Monomi koji se množe ne smiju ispunjavati nikakve dodatne uslove da bi rezultat bio monom.
Da biste izvršili množenje monoma, morate izvršiti sljedeće korake:
- Snimite komad ispravno.
- Proširite zagrade u rezultirajućem izrazu.
- Grupirajte, ako je moguće, faktore sa istim varijablama i numeričke faktore odvojeno.
- Izvršite potrebne radnje s brojevima i primijenite svojstvo množenja potencija s istim osnovama na preostale faktore.
Pogledajmo kako se to radi u praksi.
Primjer 3
Stanje: pomnožimo monome 2 · x 4 · y · z i - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .
Rješenje
Počnimo s kompozicijom djela.
Otvaranjem zagrada u njemu dobijamo sledeće:
2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11
Sve što treba da uradimo je da pomnožimo brojeve u prvim zagradama i primenimo svojstvo snage na drugu. Kao rezultat, dobijamo sljedeće:
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14
odgovor: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .
Ako imamo tri ili više polinoma u uslovu, množimo ih koristeći potpuno isti algoritam. Pitanje množenja monoma ćemo detaljnije razmotriti u posebnom materijalu.
Pravila za podizanje monoma na stepen
Znamo da se proizvod određenog broja identičnih faktora naziva stepen sa prirodnim eksponentom. Njihov broj je označen brojem u indeksu. Prema ovoj definiciji, podizanje monoma na stepen je ekvivalentno množenju naznačenog broja identičnih monoma. Da vidimo kako se to radi.
Primjer 4
Stanje: podići monom − 2 · a · b 4 na stepen 3 .
Rješenje
Eksponencijaciju možemo zamijeniti množenjem 3 monoma − 2 · a · b 4 . Hajde da zapišemo i dobijemo željeni odgovor:
(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (aaa) (b 4 b 4 b 4) = − 8 a 3 b 12
odgovor:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .
Ali šta je kada stepen ima veliki eksponent? Snimanje velikog broja množitelja je nezgodno. Zatim, da bismo riješili takav problem, trebamo primijeniti svojstva stepena, odnosno svojstvo stepena proizvoda i svojstvo stepena u stepenu.
Rešimo problem koji smo gore citirali na naznačen način.
Primjer 5
Stanje: povisi − 2 · a · b 4 na treći stepen.
Rješenje
Poznavajući svojstvo stepena u stepenu, možemo preći na izraz sledećeg oblika:
(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .
Nakon toga dižemo na stepen - 2 i primjenjujemo svojstvo eksponenta:
(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .
odgovor:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .
Takođe smo posvetili poseban članak podizanju monoma na stepen.
Pravila za dijeljenje monoma
Posljednja radnja s monomima koju ćemo analizirati u ovom materijalu je podjela monoma monomom. Kao rezultat, trebali bismo dobiti racionalni (algebarski) razlomak (u nekim slučajevima moguće je dobiti monom). Pojasnimo odmah da podjela nultim monomom nije definirana, jer podjela sa 0 nije definirana.
Da bismo izvršili dijeljenje, potrebno je naznačene monome zapisati u obliku razlomka i smanjiti ih, ako je moguće.
Primjer 6
Stanje: podijelimo monom − 9 x 4 y 3 z 7 sa − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .
Rješenje
Počnimo s pisanjem monoma u obliku razlomka.
9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2
Ovaj dio se može smanjiti. Nakon što ovo uradimo, dobijamo:
3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5
odgovor:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .
Uslovi pod kojima, kao rezultat dijeljenja monoma, dobijamo monom dati su u posebnom članku.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Formule snage koristi se u procesu redukcije i pojednostavljivanja složenih izraza, u rješavanju jednačina i nejednačina.
Broj c je n-ti stepen broja a kada:
Operacije sa ovlastima.
1. Množenjem stepeni sa istom bazom, njihovi indikatori se sabiraju:
a ma n = a m + n .
2. U podjeli stupnjeva sa istom osnovom oduzimaju se njihovi pokazatelji:
3. Stepen proizvoda 2 ili više faktora jednak je proizvodu stupnjeva ovih faktora:
(abc…) n = a n b n c n …
4. Stepen razlomka jednak je omjeru stupnjeva dividende i djelitelja:
(a/b) n = a n / b n .
5. Podižući stepen na stepen, eksponenti se množe:
(am) n = a m n .
Svaka gornja formula je ispravna u smjerovima s lijeva na desno i obrnuto.
Na primjer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operacije s korijenima.
1. Korijen proizvoda nekoliko faktora jednak je proizvodu korijena ovih faktora:
2. Korijen omjera jednak je omjeru dividende i djelitelja korijena:
3. Prilikom podizanja korijena na stepen, dovoljno je podići korijenski broj na ovaj stepen:
4. Ako povećamo stepen korijena u n jednom i istovremeno podići na n th stepen je korijenski broj, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:
5. Ako smanjimo stepen korijena u n root u isto vrijeme n stepena od radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:
Stepen s negativnim eksponentom. Stepen određenog broja sa nepozitivnim (cjelobrojnim) eksponentom definira se kao jedan podijeljen stepenom istog broja sa eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti nepozitivnog eksponenta:
Formula a m:a n = a m - n može se koristiti ne samo za m> n, ali i na m< n.
Na primjer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Za formulu a m:a n = a m - n postao pošten na m=n, potrebno je prisustvo nultog stepena.
Stepen sa nultim eksponentom. Potencija svakog broja različitog od nule sa eksponentom nula jednaka je jedan.
Na primjer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Stepen sa razlomkom eksponenta. Da podignem pravi broj ali do stepena m/n, morate izdvojiti korijen n th stepen of m stepen ovog broja ali.
Pojam diplome iz matematike uvodi se već u 7. razredu na času algebre. I u budućnosti, tokom studija matematike, ovaj koncept se aktivno koristi u svojim različitim oblicima. Stepeni su prilično teška tema, koja zahtijeva pamćenje vrijednosti i sposobnost pravilnog i brzog brojanja. Za brži i kvalitetniji rad sa diplomama iz matematike, osmislili su svojstva diplome. Pomažu da se smanje velike kalkulacije, da se veliki primjer u određenoj mjeri pretvori u jedan broj. Nema toliko svojstava, a sve ih je lako zapamtiti i primijeniti u praksi. Stoga se u članku razmatraju glavna svojstva diplome, kao i gdje se primjenjuju.
svojstva stepena
Razmotrićemo 12 svojstava stepena, uključujući svojstva stepena sa istom bazom, i dati primer za svako svojstvo. Svako od ovih svojstava će vam pomoći da brže riješite probleme sa stupnjevima, kao i spasiti vas od brojnih računskih grešaka.
1. vlasništvo.
Mnogi ljudi vrlo često zaborave na ovo svojstvo, prave greške, predstavljajući broj na nulti stepen kao nulu.
2. vlasništvo.
3rd property.
Mora se imati na umu da se ovo svojstvo može koristiti samo pri množenju brojeva, ne radi sa zbrojem! I ne smijemo zaboraviti da se ovo i sljedeće osobine odnose samo na snage s istom bazom.
4. vlasništvo.
Ako se broj u nazivniku podigne na negativan stepen, tada se prilikom oduzimanja stepen nazivnika uzima u zagrade kako bi se u daljim proračunima ispravno zamijenio predznak.
Svojstvo radi samo pri dijeljenju, ne i pri oduzimanju!
5. vlasništvo.
6. vlasništvo.
Ovo svojstvo se može primijeniti i obrnuto. Jedinica podijeljena brojem do nekog stepena je taj broj na negativan stepen.
7th property.
Ovo svojstvo se ne može primijeniti na zbir i razliku! Kada se zbroj ili razlika diže na stepen, koriste se skraćene formule za množenje, a ne svojstva stepena.
8th property.
9. vlasništvo.
Ovo svojstvo radi za bilo koji razlomak stepena sa brojicom jednakim jedan, formula će biti ista, samo će se stepen korena promeniti u zavisnosti od nazivnika stepena.
Također, ovo svojstvo se često koristi obrnutim redoslijedom. Korijen bilo kojeg stepena broja može se predstaviti kao taj broj na stepen jedinice podijeljen potencijom korijena. Ovo svojstvo je vrlo korisno u slučajevima kada korijen broja nije izvučen.
10. vlasništvo.
Ovo svojstvo radi ne samo s kvadratnim korijenom i drugim stepenom. Ako su stepen korijena i stepen do kojeg je ovaj korijen podignut isti, onda će odgovor biti radikalan izraz.
11. vlasništvo.
Morate biti u mogućnosti da vidite ovo svojstvo na vrijeme kada ga rješavate kako biste se spasili velikih proračuna.
12. vlasništvo.
Svako od ovih svojstava će vam se susresti više puta u zadacima, može se dati u svom čistom obliku ili može zahtijevati neke transformacije i korištenje drugih formula. Dakle, za ispravno rješenje nije dovoljno poznavati samo svojstva, potrebno je uvježbati i povezati ostalo matematičko znanje.
Primjena stepena i njihova svojstva
Aktivno se koriste u algebri i geometriji. Diplome iz matematike imaju posebno, važno mjesto. Uz njihovu pomoć rješavaju se eksponencijalne jednačine i nejednačine, kao i stepene koji često komplikuju jednačine i primjere koji se odnose na druge dijelove matematike. Eksponenti pomažu da se izbjegnu velika i duga izračunavanja, lakše je smanjiti i izračunati eksponente. Ali da biste radili s velikim snagama, ili s potencijama velikih brojeva, morate znati ne samo svojstva stepena, već i kompetentno raditi s bazama, biti u stanju da ih razložite kako biste olakšali svoj zadatak. Radi praktičnosti, trebali biste znati i značenje brojeva podignutih na stepen. Ovo će smanjiti vaše vrijeme u rješavanju eliminirajući potrebu za dugim proračunima.
Koncept stepena igra posebnu ulogu u logaritmima. Pošto je logaritam, u suštini, snaga broja.
Skraćene formule za množenje su još jedan primjer upotrebe potencija. Ne mogu koristiti svojstva stupnjeva, oni se rastavljaju prema posebnim pravilima, ali u svakoj skraćenoj formuli množenja uvijek postoje stepeni.
Diplome se također aktivno koriste u fizici i informatici. Svi prijevodi u SI sistem se izvode korištenjem stupnjeva, a u budućnosti se pri rješavanju zadataka primjenjuju svojstva stepena. U informatici se aktivno koriste stupnjevi dvojke, radi lakšeg brojanja i pojednostavljivanja percepcije brojeva. Dalja kalkulacija o konverzijama mjernih jedinica ili proračunima problema, baš kao u fizici, odvijaju se pomoću svojstava stepena.
Stepeni su takođe veoma korisni u astronomiji, gde se retko može naći upotreba svojstava stepena, ali se sami stepeni aktivno koriste za skraćivanje snimanja različitih veličina i udaljenosti.
Stepeni se također koriste u svakodnevnom životu, kada se računaju površine, zapremine, udaljenosti.
Uz pomoć stepena, u bilo kojoj oblasti nauke se pišu veoma velike i vrlo male vrednosti.
eksponencijalne jednačine i nejednačine
Svojstva stepena zauzimaju posebno mjesto upravo u eksponencijalnim jednačinama i nejednačinama. Ovi zadaci su veoma česti, kako na školskom kursu tako i na ispitima. Svi oni se rješavaju primjenom svojstava stepena. Nepoznato je uvijek u samom stepenu, stoga, poznavajući sva svojstva, neće biti teško riješiti takvu jednačinu ili nejednakost.
Ako ne obratimo pažnju na osmi stepen, šta vidimo ovde? Pogledajmo program za 7. razred. Pa, sećaš se? Ovo je skraćena formula za množenje, odnosno razlika kvadrata! Dobijamo:
Pažljivo gledamo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojilaca, ali šta nije u redu? Pogrešan redosled termina. Ako bi se zamijenili, moglo bi se primijeniti pravilo.
Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.
Termini su magično promijenili mjesta. Ovaj „fenomen“ se odnosi na bilo koji izraz u jednakoj meri: možemo slobodno menjati znakove u zagradama.
Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme!
Vratimo se na primjer:
I opet formula:
cijeli imenujemo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (tj. uzete sa znakom "") i broj.
pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, onda sve izgleda baš kao u prethodnom odeljku.
Pogledajmo sada nove slučajeve. Počnimo s indikatorom jednakim.
Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan:
Kao i uvijek, pitamo se zašto je to tako?
Uzmite u obzir neku snagu sa bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:
Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili smo isti kao što je bio -. S kojim se brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.
Isto možemo učiniti i sa proizvoljnim brojem:
Ponovimo pravilo:
Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan.
Ali postoje izuzeci od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao osnova).
S jedne strane, ona mora biti jednaka bilo kom stepenu - koliko god da pomnožite nulu sa sobom, i dalje ćete dobiti nulu, ovo je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nultom stepenu, on mora biti jednak. Pa šta je istina u ovome? Matematičari su odlučili da se ne miješaju i odbili su podići nulu na stepen nule. Odnosno, sada ne samo da možemo podijeliti sa nulom, već i podići na nulti stepen.
Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju negativne brojeve. Da bismo shvatili šta je negativan stepen, uradimo isto kao prošli put: pomnožimo neki normalan broj sa istim u negativnom stepenu:
Odavde je već lako izraziti željeno:
Sada proširujemo rezultirajuće pravilo na proizvoljan stepen:
Dakle, formulirajmo pravilo:
Broj na negativan stepen obrnut je istom broju na pozitivnu potenciju. Ali istovremeno baza ne može biti null:(jer je nemoguće podijeliti).
Hajde da rezimiramo:
I. Izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.
II. Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan: .
III. Broj koji nije jednak nuli na negativan stepen je obrnut od istog broja pozitivnom stepenu: .
Zadaci za samostalno rješavanje:
Pa, kao i obično, primjeri za nezavisno rješenje:
Analiza zadataka za samostalno rješavanje:
Znam, znam, brojke su strašne, ali na ispitu moraš biti spreman na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihovo rješenje ako ga niste mogli riješiti i naučit ćete kako se lako nositi s njima na ispitu!
Nastavimo širiti raspon brojeva "prikladnih" kao eksponent.
Sada razmislite racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?
Odgovor: sve to može biti predstavljeno kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi, štoviše.
Da razumem šta je "razlomak stepena" Razmotrimo razlomak:
Podignimo obje strane jednadžbe na stepen:
Sada zapamtite pravilo "stepen do stepena":
Koji broj se mora podići na stepen da se dobije?
Ova formulacija je definicija korijena th stepena.
Da vas podsjetim: korijen th stepena broja () je broj koji je, kada se podigne na stepen, jednak.
To jest, korijen th stepena je inverzna operacija eksponencijacije: .
Ispostavilo se da je to. Očigledno, ovaj poseban slučaj se može proširiti: .
Sada dodajte brojilac: šta je to? Odgovor je lako dobiti s pravilom snage na snagu:
Ali može li baza biti bilo koji broj? Na kraju krajeva, korijen se ne može izdvojiti iz svih brojeva.
Nijedan!
Zapamtite pravilo: svaki broj podignut na paran stepen je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izdvojiti korijene parnog stepena iz negativnih brojeva!
A to znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak sa parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.
Šta je sa izražavanjem?
Ali ovdje nastaje problem.
Broj se može predstaviti kao drugi, smanjeni razlomci, na primjer, ili.
I ispostavilo se da postoji, ali ne postoji, a to su samo dva različita zapisa istog broja.
Ili drugi primjer: jednom, onda možete to zapisati. Ali čim napišemo indikator na drugačiji način, opet imamo problem: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).
Da biste izbjegli takve paradokse, razmislite samo pozitivan osnovni eksponent sa razlomanim eksponentom.
Sta ako:
- - prirodni broj;
- je cijeli broj;
primjeri:
Potencije s racionalnim eksponentom su vrlo korisne za transformaciju izraza s korijenima, na primjer:
5 primjera iz prakse
Analiza 5 primjera za obuku
1. Ne zaboravite na uobičajena svojstva stupnjeva:
2. . Ovdje se prisjećamo da smo zaboravili naučiti tabelu stupnjeva:
na kraju krajeva - ovo ili. Rješenje se pronalazi automatski: .
Pa, sada - najteže. Sada ćemo analizirati stepen sa iracionalnim eksponentom.
Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stepene sa racionalnim eksponentom, sa izuzetkom
Zaista, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).
Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim indikatorom, svaki put smo pravili određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima.
Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;
...nulta snaga- ovo je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još nije počeo da se množi, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle, rezultat je samo određena „priprema broj”, odnosno broj;
...negativan cjelobrojni eksponent- kao da se desio određeni „obrnuti proces“, odnosno broj nije pomnožen sam po sebi, već podijeljen.
Inače, nauka često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj.
Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.
GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE IĆI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))
Na primjer:
Odlučite sami:
Analiza rješenja:
1. Počnimo sa već uobičajenim pravilom za podizanje stepena na stepen:
Sada pogledajte rezultat. Podsjeća li te na nešto? Prisjećamo se formule za skraćeno množenje razlike kvadrata:
U ovom slučaju,
Ispostavilo se da:
odgovor: .
2. Razlomke u eksponentima dovodimo u isti oblik: oba decimalna ili oba obična. Dobijamo, na primjer:
Odgovor: 16
3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:
NAPREDNI NIVO
Definicija stepena
Stepen je izraz oblika: , gdje je:
- — osnova stepena;
- - eksponent.
Stepen sa prirodnim eksponentom (n = 1, 2, 3,...)
Povećanje broja na prirodni stepen n znači množenje broja samim sobom puta:
Potencija sa cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)
Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:
erekcija na nultu snagu:
Izraz je neodređen, jer, s jedne strane, u bilo kom stepenu je ovo, a sa druge strane, bilo koji broj do th stepena je ovo.
Ako je eksponent cijeli broj negativan broj:
(jer je nemoguće podijeliti).
Još jednom o nullovima: izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.
primjeri:
Stepen sa racionalnim eksponentom
- - prirodni broj;
- je cijeli broj;
primjeri:
Svojstva diploma
Da bismo olakšali rješavanje problema, pokušajmo razumjeti: odakle su ova svojstva došla? Dokažimo ih.
Da vidimo: šta je i?
Po definiciji:
Dakle, na desnoj strani ovog izraza dobija se sljedeći proizvod:
Ali po definiciji, ovo je stepen broja sa eksponentom, to jest:
Q.E.D.
Primjer : Pojednostavite izraz.
Rješenje : .
Primjer : Pojednostavite izraz.
Rješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu obavezno moraju imati istu osnovu. Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo odvojeni faktor:
Još jedna važna napomena: ovo pravilo - samo za proizvode moći!
Ni u kom slučaju to ne smijem pisati.
Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:
Hajde da to preuredimo ovako:
Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je --ti stepen broja:
U stvari, ovo se može nazvati "zagrada indikatora". Ali ovo nikada ne možete učiniti u potpunosti!
Prisjetimo se formule za skraćeno množenje: koliko puta smo htjeli napisati? Ali to zaista nije istina.
Snaga s negativnom bazom.
Do sada smo razgovarali samo o onome što bi trebalo da bude indikator stepen. Ali šta bi trebalo da bude osnova? U stepenima od prirodno indikator osnova može biti bilo koji broj .
Zaista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bilo da je pozitivan, negativan ili paran. Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?
Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? ALI? ?
S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva međusobno pomnožimo, rezultat će biti pozitivan.
Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus puta minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa (), dobićemo -.
I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Možete formulirati ova jednostavna pravila:
- čak stepen, - broj pozitivno.
- Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
- Pozitivan broj na bilo koji stepen je pozitivan broj.
- Nula na bilo koji stepen jednaka je nuli.
Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Jeste li uspjeli? Evo odgovora:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.
U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očigledno ne, jer (jer).
Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje trebate saznati šta je manje: ili? Ako se toga sjetite, postaje jasno da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.
I opet koristimo definiciju stepena:
Sve je kao i obično - zapisujemo definiciju stupnjeva i dijelimo ih jedni na druge, dijelimo ih u parove i dobivamo:
Prije analize posljednjeg pravila, riješimo nekoliko primjera.
Izračunajte vrijednosti izraza:
Rješenja :
Ako ne obratimo pažnju na osmi stepen, šta vidimo ovde? Pogledajmo program za 7. razred. Pa, sećaš se? Ovo je skraćena formula za množenje, odnosno razlika kvadrata!
Dobijamo:
Pažljivo gledamo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojilaca, ali šta nije u redu? Pogrešan redosled termina. Ako bi se oni obrnuli, moglo bi se primijeniti pravilo 3. Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.
Ako to pomnožite sa, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada to izgleda ovako:
Termini su magično promijenili mjesta. Ovaj „fenomen“ se odnosi na bilo koji izraz u jednakoj meri: možemo slobodno menjati znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! Ne može se zamijeniti mijenjanjem samo jednog nama nepoželjnog minusa!
Vratimo se na primjer:
I opet formula:
Dakle, sada poslednje pravilo:
Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam stepena i pojednostavimo:
Pa, otvorimo zagrade. Koliko će slova biti? puta po množiteljima - kako to izgleda? Ovo nije ništa drugo do definicija operacije množenje: ukupno ispostavilo se da postoje množitelji. To jest, to je, po definiciji, stepen broja sa eksponentom:
primjer:
Stepen sa iracionalnim eksponentom
Pored informacija o stepenu za prosječni nivo, analiziraćemo stepen sa iracionalnim indikatorom. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stepen sa racionalnim eksponentom, s izuzetkom - na kraju krajeva, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. , iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).
Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim indikatorom, svaki put smo pravili određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima. Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj do nultog stepena je takoreći broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još nije počeo da se množi, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle, rezultat je samo određena „priprema broja“, odnosno broj; stepen sa negativnim cijelim brojem - kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.
Izuzetno je teško zamisliti stepen sa iracionalnim eksponentom (baš kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). Umjesto toga, to je čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili kako bi proširili koncept stepena na cijeli prostor brojeva.
Inače, nauka često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.
Dakle, šta da radimo ako vidimo iracionalni eksponent? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)
Na primjer:
Odlučite sami:
| 1) | 2) | 3) |
odgovori:
- Zapamtite formulu razlike kvadrata. Odgovor: .
- Razlomke dovodimo u isti oblik: ili obje decimale, ili obje obične. Dobijamo, na primjer: .
- Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:
SAŽETAK ODJELJAKA I OSNOVNA FORMULA
Stepen naziva se izraz oblika: , gdje je:
Stepen sa cjelobrojnim eksponentom
stepen, čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).
Stepen sa racionalnim eksponentom
stepen, čiji su indikator negativni i razlomci.
Stepen sa iracionalnim eksponentom
eksponent čiji je eksponent beskonačan decimalni razlomak ili korijen.
Svojstva diploma
Karakteristike stepena.
- Negativan broj podignut na čak stepen, - broj pozitivno.
- Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
- Pozitivan broj na bilo koji stepen je pozitivan broj.
- Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
- Bilo koji broj na nulti stepen je jednak.
SADA IMATE RIJEČ...
Kako vam se sviđa članak? Javite mi u komentarima ispod da li vam se sviđa ili ne.
Recite nam nešto o svom iskustvu sa energetskim svojstvima.
Možda imate pitanja. Ili sugestije.
Napišite u komentarima.
I sretno na ispitima!
Sadržaj lekcijeŠta je diploma?
Stepen naziva proizvod nekoliko identičnih faktora. Na primjer:
2×2×2
Vrijednost ovog izraza je 8
2 x 2 x 2 = 8
Lijeva strana ove jednadžbe se može skratiti – prvo zapišite faktor ponavljanja i preko njega označite koliko puta se ponavlja. Ponavljajući množitelj u ovom slučaju je 2. Ponavlja se tri puta. Stoga, preko dvojke pišemo trojku:
2 3 = 8
Ovaj izraz glasi ovako: dva na treći stepen jednako je osam ili " treći stepen od 2 je 8.
Kratki oblik pisanja množenja istih faktora se češće koristi. Stoga, moramo zapamtiti da ako je drugi broj upisan u neki broj, onda je to množenje nekoliko identičnih faktora.
Na primjer, ako je dat izraz 5 3, onda treba imati na umu da je ovaj izraz ekvivalentan pisanju 5 × 5 × 5.
Poziva se broj koji se ponavlja osnova stepena. U izrazu 5 3 osnova stepena je broj 5 .
I broj koji je upisan iznad broja 5 se zove eksponent. U izrazu 5 3, eksponent je broj 3. Eksponent pokazuje koliko puta se ponavlja baza stepena. U našem slučaju, baza 5 se ponavlja tri puta.
Operacija množenja identičnih faktora naziva se eksponencijacija.
Na primjer, ako trebate pronaći proizvod četiri identična faktora, od kojih je svaki jednak 2, onda kažu da je broj 2 podignuta na četvrti stepen:
Vidimo da je broj 2 na četvrti stepen broj 16.
Imajte na umu da u ovoj lekciji gledamo stepeni sa prirodnim indikatorom. Ovo je vrsta stepena čiji je eksponent prirodan broj. Podsjetimo da su prirodni brojevi cijeli brojevi koji su veći od nule. Na primjer, 1, 2, 3 i tako dalje.
Općenito, definicija diplome s prirodnim pokazateljem je sljedeća:
Stepen of a sa prirodnim indikatorom n je izraz forme a n, što je jednako proizvodu n množitelja, od kojih je svaki jednak a
primjeri:
Budite oprezni kada broj podižete na stepen. Često, zbog nepažnje, osoba množi bazu stepena sa eksponentom.
Na primjer, broj 5 na drugi stepen je proizvod dva faktora, od kojih je svaki jednak 5. Ovaj proizvod je jednak 25
Sada zamislite da smo nehotice pomnožili bazu 5 sa eksponentom 2
Došlo je do greške, jer broj 5 na drugi stepen nije jednak 10.
Dodatno, treba napomenuti da je stepen broja s eksponentom 1 sam broj:
Na primjer, broj 5 na prvi stepen je sam broj 5.
Shodno tome, ako broj nema indikator, onda moramo pretpostaviti da je indikator jednak jedinici.
Na primjer, brojevi 1, 2, 3 dati su bez eksponenta, tako da će njihovi eksponenti biti jednaki jedan. Svaki od ovih brojeva može se napisati sa eksponentom 1
A ako podignete 0 na bilo koji stepen, dobićete 0. Zaista, koliko god se puta ništa ne pomnoži samo po sebi, ništa neće ispasti. primjeri:
A izraz 0 0 nema smisla. Ali u nekim granama matematike, posebno u analizi i teoriji skupova, izraz 0 0 može imati smisla.
Za trening ćemo riješiti nekoliko primjera dizanja brojeva na stepen.
Primjer 1 Podignite broj 3 na drugi stepen.
Broj 3 na drugi stepen je proizvod dva faktora, od kojih je svaki jednak 3
3 2 = 3 × 3 = 9
Primjer 2 Podignite broj 2 na četvrti stepen.
Broj 2 na četvrti stepen je proizvod četiri faktora, od kojih je svaki jednak 2
2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
Primjer 3 Podignite broj 2 na treći stepen.
Broj 2 na treći stepen je proizvod tri faktora, od kojih je svaki jednak 2
2 3 = 2 × 2 × 2 = 8
Eksponencijacija broja 10
Da se broj 10 podigne na stepen, dovoljno je dodati broj nula iza jedinice, jednak eksponentu.
Na primjer, podignimo broj 10 na drugi stepen. Prvo napišemo sam broj 10 i označimo broj 2 kao indikator
10 2
Sada stavljamo znak jednakosti, zapisujemo jedan i nakon ovoga zapisujemo dvije nule, jer broj nula treba biti jednak eksponentu
10 2 = 100
Dakle, broj 10 na drugi stepen je broj 100. To je zbog činjenice da je broj 10 na drugi stepen proizvod dva faktora, od kojih je svaki jednak 10
10 2 = 10 × 10 = 100
Primjer 2. Podignimo broj 10 na treći stepen.
U ovom slučaju, iza jedinice će biti tri nule:
10 3 = 1000
Primjer 3. Podignimo broj 10 na četvrti stepen.
U ovom slučaju, iza jedinice će biti četiri nule:
10 4 = 10000
Primjer 4. Podignimo broj 10 na prvi stepen.
U ovom slučaju, iza jedinice će biti jedna nula:
10 1 = 10
Predstavljanje brojeva 10, 100, 1000 kao stepen sa bazom 10
Da biste predstavili brojeve 10, 100, 1000 i 10000 kao stepen sa osnovom 10, potrebno je da napišete bazu 10 i navedete broj jednak broju nula u originalnom broju kao eksponent.
Predstavimo broj 10 kao stepen sa bazom 10. Vidimo da ima jednu nulu. Dakle, broj 10 kao stepen sa bazom 10 biće predstavljen kao 10 1
10 = 10 1
Primjer 2. Predstavimo broj 100 kao stepen sa bazom 10. Vidimo da broj 100 sadrži dvije nule. Dakle, broj 100 kao stepen sa bazom 10 biće predstavljen kao 10 2
100 = 10 2
Primjer 3. Predstavimo broj 1000 kao stepen sa bazom 10.
1 000 = 10 3
Primjer 4. Predstavimo broj 10.000 kao stepen sa bazom 10.
10 000 = 10 4
Eksponencijacija negativnog broja
Kada se negativan broj podiže na stepen, on mora biti stavljen u zagrade.
Na primjer, podignimo negativni broj −2 na drugi stepen. Broj −2 na drugi stepen je proizvod dva faktora, od kojih je svaki jednak (−2)
(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4
Ako broj -2 ne stavimo u zagrade, ispalo bi da izračunavamo izraz -2 2 koji nije jednako 4 . Izraz -2² će biti jednak -4. Da bismo razumeli zašto, hajde da se dotaknemo nekih tačaka.
Kada stavimo minus ispred pozitivnog broja, time nastupamo operacija preuzimanja suprotne vrijednosti.
Recimo da je dat broj 2, a vi trebate pronaći njegov suprotni broj. Znamo da je suprotnost od 2 −2. Drugim riječima, da biste pronašli suprotan broj za 2, dovoljno je staviti minus ispred ovog broja. Umetanje minusa ispred broja već se smatra punopravnom operacijom u matematici. Ova operacija, kao što je gore spomenuto, naziva se operacija preuzimanja suprotne vrijednosti.
U slučaju izraza -2 2 javljaju se dvije operacije: operacija uzimanja suprotne vrijednosti i eksponencijalizacija. Podizanje na stepen je operacija većeg prioriteta od uzimanja suprotne vrijednosti.
Stoga se izraz −2 2 izračunava u dva koraka. Prvo se izvodi operacija eksponencijalnosti. U ovom slučaju, pozitivni broj 2 je podignut na drugi stepen.
Tada je uzeta suprotna vrijednost. Ova suprotna vrijednost je pronađena za vrijednost 4. A suprotna vrijednost za 4 je −4
−2 2 = −4
Zagrade imaju najveći prioritet izvršenja. Stoga se u slučaju izračunavanja izraza (−2) 2 prvo uzima suprotna vrijednost, a zatim se negativni broj −2 podiže na drugi stepen. Rezultat je pozitivan odgovor 4, jer je proizvod negativnih brojeva pozitivan broj.
Primjer 2. Podići broj −2 na treći stepen.
Broj −2 na treći stepen je proizvod tri faktora, od kojih je svaki jednak (−2)
(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8
Primjer 3. Podići broj −2 na četvrti stepen.
Broj −2 na četvrti stepen je proizvod četiri faktora, od kojih je svaki jednak (−2)
(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16
Lako je vidjeti da kada se negativan broj podigne na stepen, može se dobiti ili pozitivan ili negativan odgovor. Predznak odgovora zavisi od eksponenta početnog stepena.
Ako je eksponent paran, onda je odgovor da. Ako je eksponent neparan, odgovor je negativan. Pokažimo to na primjeru broja −3
U prvom i trećem slučaju indikator je bio odd broj, tako je odgovor postao negativan.
U drugom i četvrtom slučaju indikator je bio čak broj, tako je odgovor postao pozitivno.
Primjer 7 Podignite broj -5 na treći stepen.
Broj -5 na treći stepen je proizvod tri faktora, od kojih je svaki jednak -5. Eksponent 3 je neparan broj, tako da možemo unaprijed reći da će odgovor biti negativan:
(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125
Primjer 8 Podignite broj -4 na četvrti stepen.
Broj -4 na četvrti stepen je proizvod četiri faktora, od kojih je svaki jednak -4. U ovom slučaju indikator 4 je paran, tako da možemo unaprijed reći da će odgovor biti pozitivan:
(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256
Pronalaženje vrijednosti izraza
Prilikom pronalaženja vrijednosti izraza koji ne sadrže zagrade, prvo će se izvesti eksponencijacija, zatim množenje i dijeljenje po njihovom redu, a zatim sabiranje i oduzimanje po njihovom redu.
Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza 2 + 5 2
Prvo se izvodi eksponencijacija. U ovom slučaju, broj 5 se podiže na drugi stepen - ispada 25. Zatim se ovaj rezultat dodaje broju 2
2 + 5 2 = 2 + 25 = 27
Primjer 10. Pronađite vrijednost izraza −6 2 × (−12)
Prvo se izvodi eksponencijacija. Imajte na umu da broj −6 nije u zagradama, pa će broj 6 biti podignut na drugi stepen, a zatim će se ispred rezultata staviti minus:
−6 2 × (−12) = −36 × (−12)
Završavamo primjer množenjem −36 sa (−12)
−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432
Primjer 11. Pronađite vrijednost izraza −3 × 2 2
Prvo se izvodi eksponencijacija. Tada se rezultat množi sa brojem −3
−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12
Ako izraz sadrži zagrade, onda prvo morate izvršiti operacije u tim zagradama, zatim eksponencijaliranje, zatim množenje i dijeljenje, a zatim sabiranje i oduzimanje.
Primjer 12. Pronađite vrijednost izraza (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5
Hajde da prvo uradimo zagrade. Unutar zagrada primjenjujemo prethodno naučena pravila, naime, prvo povisimo broj 3 na drugi stepen, zatim izvršimo množenje 1 × 3, a zatim dodamo rezultate povećanja broja 3 na stepen i množenja 1 × 3. Zatim se oduzimanje i sabiranje izvode redoslijedom kojim se pojavljuju. Uredimo sljedeći redoslijed izvođenja radnje na originalnom izrazu:
(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2
Primjer 13. Pronađite vrijednost izraza 2 × 5 3 + 5 × 2 3
Prvo, podižemo brojeve na stepen, zatim izvodimo množenje i dodajemo rezultate:
2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290
Identitetske transformacije moći
Različite identične transformacije mogu se izvršiti na moćima, čime se pojednostavljuju.
Pretpostavimo da je bilo potrebno izračunati izraz (2 3) 2 . U ovom primjeru, dva na treći stepen je podignuta na drugi stepen. Drugim riječima, stepen se podiže na drugi stepen.
(2 3) 2 je proizvod dva stepena, od kojih je svaka jednaka 2 3
Štaviše, svaka od ovih snaga je proizvod tri faktora, od kojih je svaki jednak 2
Dobili smo proizvod 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, koji je jednak 64. Dakle, vrijednost izraza (2 3) 2 ili jednaka 64
Ovaj primjer se može znatno pojednostaviti. Za to se indikatori izraza (2 3) 2 mogu pomnožiti i ovaj proizvod se može napisati preko baze 2
Dobio 2 6 . Dva na šesti stepen je proizvod šest faktora, od kojih je svaki jednak 2. Ovaj proizvod je jednak 64
Ovo svojstvo funkcionira jer je 2 3 proizvod 2 × 2 × 2, koji se zauzvrat ponavlja dva puta. Tada se ispostavlja da se baza 2 ponavlja šest puta. Odavde možemo napisati da je 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 6
Općenito, iz bilo kojeg razloga a sa indikatorima m I n, vrijedi sljedeća jednakost:
(a n)m = a n × m
Ova identična transformacija se zove eksponencijacija. Može se pročitati ovako: “Kada se stepen diže na stepen, baza ostaje nepromijenjena, a eksponenti se množe” .
Nakon množenja indikatora, dobijate još jedan stepen, čija se vrijednost može pronaći.
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza (3 2) 2
U ovom primjeru, baza je 3, a brojevi 2 i 2 su eksponenti. Koristimo se pravilom eksponencijalnosti. Ostavljamo bazu nepromijenjenu i množimo indikatore:
Dobio 3 4 . A broj 3 na četvrti stepen je 81
Pogledajmo ostale transformacije.
Množenje snage
Da biste pomnožili stepene, morate posebno izračunati svaki stepen i pomnožiti rezultate.
Na primjer, pomnožimo 2 2 sa 3 3 .
2 2 je broj 4, a 3 3 je broj 27. Pomnožimo brojeve 4 i 27, dobijemo 108
2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108
U ovom primjeru, osnove ovlasti bile su različite. Ako su baze iste, onda se može napisati jedna baza, a kao indikator upisati zbir indikatora početnih stepeni.
Na primjer, pomnožite 2 2 sa 2 3
U ovom primjeru eksponenti imaju istu bazu. U ovom slučaju možete napisati jednu bazu 2 i zapisati zbir eksponenata 2 2 i 2 3 kao indikator. Drugim riječima, ostavite bazu nepromijenjenu i dodajte eksponente originalnih stupnjeva. To će izgledati ovako:
Dobio 2 5 . Broj 2 na peti stepen je 32
Ovo svojstvo funkcionira jer je 2 2 proizvod 2 × 2, a 2 3 proizvod 2 × 2 × 2 . Tada se dobije proizvod pet identičnih faktora, od kojih je svaki jednak 2. Ovaj proizvod se može predstaviti kao 2 5
Općenito, za bilo koje a i indikatori m I n vrijedi sljedeća jednakost:
Ova identična transformacija se zove glavno svojstvo diplome. Može se pročitati ovako: PPrilikom množenja stepena sa istom osnovom, baza se ostavlja nepromijenjena, a eksponenti se sabiraju. .
Imajte na umu da se ova transformacija može primijeniti na bilo koji broj stupnjeva. Glavna stvar je da je baza ista.
Na primjer, pronađimo vrijednost izraza 2 1 × 2 2 × 2 3 . Fondacija 2
U nekim problemima može biti dovoljno izvršiti odgovarajuću transformaciju bez izračunavanja konačnog stepena. Ovo je naravno vrlo zgodno, jer nije tako lako izračunati velike snage.
Primjer 1. Izraz 5 8 × 25 izraziti stepenom
U ovom zadatku treba da bude tako da se umesto izraza 5 8 × 25 dobije jedan stepen.
Broj 25 može se predstaviti kao 5 2 . Tada dobijamo sledeći izraz:
U ovom izrazu možete primijeniti glavno svojstvo stepena - ostavite bazu 5 nepromijenjenom i dodajte indikatore 8 i 2:
Napišimo rješenje ukratko:
Primjer 2. Izraz 2 9 × 32 izraziti kao stepen
Broj 32 može se predstaviti kao 2 5 . Tada dobijamo izraz 2 9 × 2 5 . Zatim možete primijeniti osnovno svojstvo stepena - ostavite bazu 2 nepromijenjenu i dodajte indikatore 9 i 5. Ovo će rezultirati sljedećim rješenjem:
Primjer 3. Izračunajte proizvod 3 × 3 koristeći osnovno svojstvo snage.
Svima je dobro poznato da je tri puta tri jednako devet, ali zadatak zahtijeva korištenje glavnog svojstva stepena u toku rješavanja. Kako uraditi?
Podsjećamo da ako je broj dan bez indikatora, onda se indikator mora smatrati jednakim jedan. Dakle, faktori 3 i 3 mogu se zapisati kao 3 1 i 3 1
3 1 × 3 1
Sada koristimo glavno svojstvo stepena. Ostavljamo bazu 3 nepromijenjenu i dodajemo indikatore 1 i 1:
3 1 × 3 1 = 3 2 = 9
Primjer 4. Izračunajte proizvod 2 × 2 × 3 2 × 3 3 koristeći osnovno svojstvo snage.
Proizvod 2 × 2 zamjenjujemo sa 2 1 × 2 1 , zatim sa 2 1 + 1 , a zatim sa 2 2 . Umnožak 3 2 × 3 3 zamjenjuje se sa 3 2 + 3, a zatim sa 3 5
Primjer 5. Izvršite množenje x × x
Ovo su dva identična alfabetska faktora sa indikatorima 1. Radi jasnoće, zapisujemo ove indikatore. Dalja baza x ostavite nepromijenjeno i dodajte indikatore:
Dok ste za tablom, ne treba zapisivati množenje potencija sa istim osnovama tako detaljno kao što je to urađeno ovde. Takve kalkulacije moraju biti urađene u umu. Detaljan unos će najvjerovatnije iznervirati nastavnika i on će sniziti ocjenu za ovo. Ovdje je dat detaljan zapis kako bi materijal bio što pristupačniji za razumijevanje.
Rješenje ovog primjera treba napisati ovako:
Primjer 6. Izvršite množenje x 2 × x
Indeks drugog faktora jednak je jedan. Hajde da to zapišemo radi jasnoće. Zatim ostavljamo bazu nepromijenjenu i dodajemo indikatore:
Primjer 7. Izvršite množenje y 3 y 2 y
Indeks trećeg faktora jednak je jedan. Hajde da to zapišemo radi jasnoće. Zatim ostavljamo bazu nepromijenjenu i dodajemo indikatore:
Primjer 8. Izvršite množenje aa 3 a 2 a 5
Indeks prvog faktora jednak je jedan. Hajde da to zapišemo radi jasnoće. Zatim ostavljamo bazu nepromijenjenu i dodajemo indikatore:
Primjer 9. Izrazite stepen 3 8 kao proizvod potencija sa istom osnovom.
U ovom zadatku morate napraviti proizvod potencija čije će baze biti jednake 3, a zbir eksponenata će biti jednak 8. Možete koristiti bilo koje indikatore. Predstavljamo stepen 3 8 kao proizvod potencija 3 5 i 3 3
U ovom primjeru, ponovo smo se oslonili na glavno svojstvo stepena. Na kraju krajeva, izraz 3 5 × 3 3 može se zapisati kao 3 5 + 3, odakle je 3 8 .
Naravno, bilo je moguće predstaviti moć 3 8 kao proizvod drugih moći. Na primjer, u obliku 3 7 × 3 1 , budući da je i ovaj proizvod 3 8
Predstavljanje diplome kao proizvoda moći sa istom osnovom uglavnom je kreativan rad. Zato se nemojte plašiti eksperimentisanja.
Primjer 10. Submit Degree x 12 kao razni proizvodi moći sa bazama x .
Koristimo glavno svojstvo stepena. Zamislite x 12 kao proizvodi sa bazama x, a zbir eksponenata je jednak 12
Konstrukcije sa zbirom indikatora su snimljene radi preglednosti. Većinu vremena mogu se preskočiti. Tada dobijamo kompaktno rješenje:
Eksponencijalnost proizvoda
Da biste podignuli proizvod na stepen, trebate svaki faktor ovog proizvoda podići na navedeni stepen i pomnožiti rezultate.
Na primjer, podignimo proizvod 2 × 3 na drugi stepen. Ovaj proizvod uzimamo u zagrade i označavamo 2 kao indikator
Sada podignimo svaki faktor proizvoda 2 × 3 na drugi stepen i pomnožimo rezultate:
Princip rada ovog pravila zasniva se na definiciji stepena, koja je data na samom početku.
Podići proizvod 2 × 3 na drugi stepen znači ponoviti ovaj proizvod dva puta. A ako to ponovite dvaput, možete dobiti sljedeće:
2×3×2×3
Od permutacije mjesta faktora, proizvod se ne mijenja. Ovo vam omogućava da grupišete iste množitelje:
2×2×3×3
Ponavljajući množitelji mogu se zamijeniti kratkim unosima - bazama sa eksponentima. Proizvod 2 × 2 može se zamijeniti sa 2 2 , a proizvod 3 × 3 može se zamijeniti sa 3 2 . Tada se izraz 2 × 2 × 3 × 3 pretvara u izraz 2 2 × 3 2 .
Neka bude ab originalni rad. Za podizanje ovog proizvoda na snagu n, potrebno je posebno podići faktore a I b do navedenog stepena n
Ovo svojstvo vrijedi za bilo koji broj faktora. Važe i sljedeći izrazi:
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza (2 × 3 × 4) 2
U ovom primjeru, trebate podići proizvod 2 × 3 × 4 na drugi stepen. Da biste to učinili, morate svaki faktor ovog proizvoda podići na drugi stepen i pomnožiti rezultate:
Primjer 3. Podignite proizvod na treću potenciju a×b×c
Ovaj proizvod stavljamo u zagrade, a kao indikator označavamo broj 3
Primjer 4. Podignite proizvod na treći stepen 3 xyz
Ovaj proizvod stavljamo u zagrade i označavamo 3 kao indikator
(3xyz) 3
Podignimo svaki faktor ovog proizvoda na treći stepen:
(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3
Broj 3 na treći stepen jednak je broju 27. Ostalo ostavljamo nepromijenjenim:
(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3 = 27x 3 y 3 z 3
U nekim primjerima, množenje potencija s istim eksponentima može se zamijeniti proizvodom baza s istim eksponentom.
Na primjer, izračunajmo vrijednost izraza 5 2 × 3 2 . Podignite svaki broj na drugi stepen i pomnožite rezultate:
5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225
Ali ne možete izračunati svaki stepen posebno. Umjesto toga, ovaj proizvod potencija može se zamijeniti proizvodom s jednim eksponentom (5 × 3) 2 . Zatim izračunajte vrijednost u zagradama i podignite rezultat na drugi stepen:
5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225
U ovom slučaju ponovo je korišteno pravilo eksponencijalnog proizvoda. Uostalom, ako (a x b)n = a n × b n , onda a n × b n = (a × b) n. To jest, lijeva i desna strana jednačine su obrnute.
Eksponencijacija
Ovu transformaciju smatrali smo primjerom kada smo pokušali razumjeti suštinu identičnih transformacija stupnjeva.
Kada se stepen diže na stepen, baza se ostavlja nepromijenjena, a eksponenti se množe:
(a n)m = a n × m
Na primjer, izraz (2 3) 2 je podizanje stepena na stepen - dva na treći stepen se diže na drugi stepen. Da biste pronašli vrijednost ovog izraza, baza se može ostaviti nepromijenjena, a eksponenti se mogu pomnožiti:
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64
Ovo pravilo se zasniva na prethodnim pravilima: eksponencijalizaciji proizvoda i osnovnom svojstvu stepena.
Vratimo se na izraz (2 3) 2 . Izraz u zagradama 2 3 je proizvod tri identična faktora, od kojih je svaki jednak 2. Tada se u izrazu (2 3) 2 snaga unutar zagrada može zamijeniti proizvodom 2 × 2 × 2.
(2×2×2) 2
A ovo je eksponencijalnost proizvoda koji smo ranije proučavali. Prisjetite se da da biste podignuli proizvod na stepen, morate svaki faktor ovog proizvoda podići na navedeni stepen i pomnožiti rezultate:
(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2
Sada se bavimo glavnim svojstvom diplome. Ostavljamo bazu nepromijenjenu i dodajemo indikatore:
(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6
Kao i ranije, dobili smo 2 6 . Vrijednost ovog stepena je 64
(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64
Proizvod čiji su faktori i moći također se može podići na snagu.
Na primjer, pronađimo vrijednost izraza (2 2 × 3 2) 3 . Ovdje se indikatori svakog množitelja moraju pomnožiti sa ukupnim indikatorom 3. Zatim pronađite vrijednost svakog stepena i izračunajte proizvod:
(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656
Otprilike ista stvar se dešava kada se podigne na snagu proizvoda. Rekli smo da se pri podizanju proizvoda na stepen svaki faktor ovog proizvoda podiže na naznačeni stepen.
Na primjer, da biste povećali proizvod 2 × 4 na treći stepen, trebate napisati sljedeći izraz:
Ali ranije je rečeno da ako je broj dan bez indikatora, onda se indikator treba smatrati jednakim jedan. Ispada da faktori proizvoda 2 × 4 u početku imaju eksponente jednake 1. To znači da je izraz 2 1 × 4 1 podignut na treći stepen. A ovo je podizanje stepena na moć.
Prepišimo rješenje koristeći pravilo eksponencijacije. Trebali bismo dobiti isti rezultat:
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza (3 3) 2
Ostavljamo bazu nepromijenjenu i množimo indikatore:
Dobio 3 6 . Broj 3 na šesti stepen je broj 729
Primjer 3xy)³
Primjer 4. Izvršite eksponencijaciju u izrazu ( abc)⁵
Podignimo svaki faktor proizvoda na peti stepen:
Primjer 5sjekira) 3
Podignimo svaki faktor proizvoda na treći stepen:
Pošto je negativan broj −2 podignut na treći stepen, uzet je u zagradama.
Primjer 6. Izvršite eksponencijaciju u izrazu (10 xy) 2
Primjer 7. Izvršite eksponencijaciju u izrazu (−5 x) 3
Primjer 8. Izvršite eksponencijaciju u izrazu (−3 y) 4
Primjer 9. Izvršite eksponencijaciju u izrazu (−2 abx)⁴
Primjer 10. Pojednostavite izraz x 5×( x 2) 3
Stepen x 5 će za sada ostati nepromijenjena, au izrazu ( x 2) 3 izvesti eksponencijaciju na stepen:
x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6
Sada uradimo množenje x 5 × x 6. Da bismo to učinili, koristimo glavno svojstvo stepena - bazu x ostavite nepromijenjeno i dodajte indikatore:
x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = x 5 + 6 = x 11
Primjer 9. Nađite vrijednost izraza 4 3 × 2 2 koristeći osnovno svojstvo stepena.
Glavno svojstvo stepena može se koristiti ako su baze početnih stepeni iste. U ovom primjeru baze su različite, pa je za početak potrebno malo modificirati originalni izraz, odnosno da bi osnove stupnjeva postale iste.
Pogledajmo pomno snagu 4 3 . Osnova ovog stepena je broj 4, koji se može predstaviti kao 2 2 . Tada će originalni izraz imati oblik (2 2) 3 × 2 2 . Eksponencijacijom na stepen u izrazu (2 2) 3 dobijamo 2 6 . Tada će originalni izraz imati oblik 2 6 × 2 2 , koji se može izračunati korištenjem glavnog svojstva stepena.
Napišimo rješenje ovog primjera:
Podjela stepena
Da biste izvršili dijeljenje stepena, morate pronaći vrijednost svakog stepena, a zatim izvršiti dijeljenje običnih brojeva.
Na primjer, podijelimo 4 3 sa 2 2 .
Izračunaj 4 3 , dobićemo 64 . Izračunamo 2 2 , dobijemo 4. Sada podijelimo 64 sa 4, dobijemo 16
Ako se pri dijeljenju stupnjeva baze ispostavi da su isti, tada se baza može ostaviti nepromijenjena, a eksponent djelitelja se može oduzeti od eksponenta dividende.
Na primjer, pronađimo vrijednost izraza 2 3: 2 2
Ostavljamo bazu 2 nepromijenjenu i oduzimamo eksponent djelitelja od eksponenta dividende:
Dakle, vrijednost izraza 2 3: 2 2 je 2 .
Ovo svojstvo se zasniva na množenju stepena sa istim bazama, ili, kako smo govorili, na glavnom svojstvu stepena.
Vratimo se na prethodni primjer 2 3: 2 2 . Ovdje je dividenda 2 3, a djelitelj je 2 2 .
Podijeliti jedan broj drugim znači pronaći broj koji će, kada se pomnoži s djeliteljem, dati dividendu kao rezultat.
U našem slučaju, dijeljenje 2 3 sa 2 2 znači pronalaženje stepena koji će, kada se pomnoži s djeliteljem 2 2, rezultirati 2 3 . Koja se snaga može pomnožiti sa 2 2 da se dobije 2 3 ? Očigledno, samo stepen 2 1 . Od glavne osobine diplome imamo:
Možete provjeriti da je vrijednost izraza 2 3: 2 2 2 1 direktnim procjenom izraza 2 3: 2 2 . Da bismo to učinili, prvo pronađemo vrijednost stepena 2 3 , dobićemo 8 . Tada nađemo vrijednost stepena 2 2 , dobijemo 4 . Podijelimo 8 sa 4, dobićemo 2 ili 2 1 , budući da je 2 = 2 1 .
2 3: 2 2 = 8: 4 = 2
Dakle, prilikom podjele potencija sa istom osnovom vrijedi sljedeća jednakost:
Takođe se može desiti da ne samo osnove, već i indikatori budu isti. U ovom slučaju, odgovor će biti jedan.
Na primjer, pronađimo vrijednost izraza 2 2: 2 2 . Izračunajmo vrijednost svakog stepena i izvršimo dijeljenje rezultirajućih brojeva:
Prilikom rješavanja primjera 2 2: 2 2 možete primijeniti i pravilo za dijeljenje stupnjeva sa istim bazama. Rezultat je broj na nultu potenciju, jer je razlika između eksponenata 2 2 i 2 2 nula:
Zašto je broj 2 na nultom stepenu jednak jedan, saznali smo iznad. Ako izračunate 2 2: 2 2 na uobičajen način, bez korištenja pravila za dijeljenje stupnjeva, dobićete jedan.
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza 4 12: 4 10
Ostavljamo 4 nepromijenjeno i oduzimamo eksponent djelitelja od eksponenta dividende:
4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16
Primjer 3. Pošalji privatno x 3: x kao diploma sa bazom x
Koristimo pravilo podjele stupnjeva. Baza x ostavite ga nepromijenjenim i oduzmite eksponent djelitelja od eksponenta dividende. Eksponent djelitelja je jednak jedan. Radi jasnoće, zapišimo:
Primjer 4. Pošalji privatno x 3: x 2 kao snaga sa bazom x
Koristimo pravilo podjele stupnjeva. Baza x
Podjela stupnjeva se može napisati kao razlomak. Dakle, prethodni primjer se može napisati na sljedeći način:
Brojnik i imenilac razlomka mogu se napisati u proširenom obliku, odnosno u obliku proizvoda identičnih faktora. Stepen x 3 se može napisati kao x × x × x, i stepen x 2 as x × x. Zatim izgradnja x 3 − 2 se može preskočiti i koristiti smanjenje razlomaka. U brojniku i u nazivniku biće moguće smanjiti po dva faktora x. Rezultat će biti jedan množitelj x
Ili još kraće:
Takođe, korisno je moći brzo smanjiti razlomke koji se sastoje od stepena. Na primjer, razlomak se može smanjiti na x 2. Da biste smanjili razlomak za x 2 trebate podijeliti brojilac i imenilac razlomka sa x 2
Podjela stupnjeva ne može se detaljno opisati. Gornja skraćenica se može skratiti:
Ili još kraće:
Primjer 5. Izvrši podjelu x 12 : x 3
Koristimo pravilo podjele stupnjeva. Baza x ostavite ga nepromijenjenim i oduzmite eksponent djelitelja od eksponenta dividende:
Rješenje pišemo korištenjem redukcije frakcija. Podjela stepena x 12 : x 3 će biti napisano kao . Zatim ovaj razlomak smanjujemo za x 3 .
Primjer 6. Pronađite vrijednost izraza
U brojiocu izvodimo množenje potencija sa istim bazama:
Sada primjenjujemo pravilo za podjelu potencija sa istim osnovama. Ostavljamo bazu 7 nepromijenjenu i oduzimamo eksponent djelitelja od eksponenta dividende:
Završavamo primjer izračunavanjem snage 7 2
Primjer 7. Pronađite vrijednost izraza
Izvršimo eksponencijaciju u brojiocu. Ovo treba da uradite sa izrazom (2 3) 4
Sada izvršimo množenje potencija sa istim bazama u brojniku.
