Poissonova distribucija. Zakon rijetkih događaja. Poissonova distribucija diskretne slučajne varijable Vjerovatnoća Poissonove distribucije

Najčešći slučaj različitih tipova distribucija vjerovatnoće je binomna distribucija. Iskoristimo njegovu svestranost da odredimo najčešće specifične tipove distribucija koje se susreću u praksi.

Binomna distribucija

Neka bude neki događaj A. Vjerovatnoća pojave događaja A je jednaka str, vjerovatnoća da se događaj A ne dogodi je 1 str, ponekad se označava kao q. Neka n broj testova, m učestalost pojavljivanja događaja A u njima n testovi.

Poznato je da je ukupna vjerovatnoća svih mogućih kombinacija ishoda jednaka jedan, odnosno:

1 = str n + n · str n 1 (1 str) + C n n 2 · str n 2 (1 str) 2 + + C n m · str m· (1 str) n – m+ + (1 str) n .

str n vjerovatnoća da u nn jednom; n · str n 1 (1 str) vjerovatnoća da u nn 1) jednom i neće se desiti 1 put; C n n 2 · str n 2 (1 str) 2 vjerovatnoća da u n testova, dogodit će se događaj A ( n 2) puta i neće se desiti 2 puta; P m = C n m · str m· (1 str) n – m vjerovatnoća da u n testova, desiće se događaj A m nikada se neće desiti ( n – m) jednom; (1 str) n vjerovatnoća da u n u suđenjima, događaj A se neće dogoditi ni jednom; broj kombinacija n By m .

Očekivana vrijednost M binomna distribucija je jednaka:

M = n · str ,

Gdje n broj testova, str vjerovatnoća nastanka događaja A.

Standardna devijacija σ :

σ = sqrt( n · str· (1 str)) .

Primjer 1. Izračunajte vjerovatnoću da događaj ima vjerovatnoću str= 0,5, in n= Desiće se 10 suđenja m= 1 put. Imamo: C 10 1 = 10, i dalje: P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,0098. Kao što vidimo, vjerovatnoća da se ovaj događaj dogodi je prilično mala. Ovo se objašnjava, prvo, činjenicom da apsolutno nije jasno da li će se događaj desiti ili ne, jer je verovatnoća 0,5, a šanse su ovde „50 prema 50“; i drugo, potrebno je izračunati da će se događaj desiti tačno jednom (ni više ni manje) od deset.

Primjer 2. Izračunajte vjerovatnoću da događaj ima vjerovatnoću str= 0,5, in n= Desiće se 10 suđenja m= 2 puta. Imamo: C 10 2 = 45, i dalje: P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,044. Povećana je vjerovatnoća da će se ovaj događaj dogoditi!

Primjer 3. Povećajmo vjerovatnoću da će se sam događaj desiti. Učinimo to vjerovatnijim. Izračunajte vjerovatnoću da događaj ima vjerovatnoću str= 0,8, in n= Desiće se 10 suđenja m= 1 put. Imamo: C 10 1 = 10, i dalje: P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004. Vjerovatnoća je postala manja nego u prvom primjeru! Odgovor se na prvi pogled čini čudnim, ali s obzirom da je vjerovatnoća događaja prilično velika, malo je vjerovatno da će se dogoditi samo jednom. Vjerovatnije je da će se to dogoditi više puta. Zaista, brojim P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (vjerovatnoća da će neki događaj u n= 10 pokušaja će se desiti 0, 1, 2, 3, , 10 puta), videćemo:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,8 0 (1 0,8) 10 0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000…;
P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000…;
P 2 = 45 0,8 2 (1 0,8) 10 2 = 45 0,8 2 0,2 ​​8 = 0,0000…;
P 3 = 120 0,8 3 (1 0,8) 10 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008…;
P 4 = 210 0,8 4 (1 0,8) 10 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055…;
P 5 = 252 0,8 5 (1 0,8) 10 5 = 252 0,8 5 0,2 5 = 0,0264…;
P 6 = 210 0,8 6 (1 0,8) 10 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881…;
P 7 = 120 0,8 7 (1 0,8) 10 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013…;
P 8 = 45 0,8 8 (1 0,8) 10 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020…(najveća vjerovatnoća!);
P 9 = 10 0,8 9 (1 0,8) 10 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684…;
P 10 = 1 0,8 10 (1 0,8) 10 10 = 1 0,8 10 0,2 0 = 0,1074…

Naravno P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Normalna distribucija

Ako prikažemo količine P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10, koji smo izračunali u primjeru 3, na grafu se ispostavlja da njihova distribucija ima oblik blizak zakonu normalne raspodjele (vidi sliku 27.1) (vidi predavanje 25. Modeliranje normalno raspoređenih slučajnih varijabli).

Rice. 27.1. Vrsta binomne distribucije
vjerovatnoće za različite m pri p = 0,8, n = 10

Binomni zakon postaje normalan ako su vjerovatnoće nastanka i nenastupanja događaja A približno iste, odnosno uslovno možemo napisati: str≈ (1 str) . Na primjer, uzmimo n= 10 i str= 0,5 (tj str= 1 str = 0.5 ).

Do takvog problema smisleno ćemo doći ako, na primjer, želimo teoretski izračunati koliko će dječaka, a koliko djevojčica biti od 10 djece rođenih u porodilištu istog dana. Tačnije, računaćemo ne dečake i devojčice, već verovatnoću da će se roditi samo dečaci, da će se roditi 1 dečak i 9 devojčica, da će se roditi 2 dečaka i 8 devojčica itd. Pretpostavimo radi jednostavnosti da je vjerovatnoća da ćete imati dječaka i djevojčicu jednaka i jednaka 0,5 (ali u stvari, da budemo iskreni, to nije slučaj, pogledajte kurs “Modeliranje sistema umjetne inteligencije”).

Jasno je da će raspodjela biti simetrična, jer je vjerovatnoća da ćemo imati 3 dječaka i 7 djevojčica jednaka vjerovatnoći da će se imati 7 dječaka i 3 djevojčice. Najveća vjerovatnoća rođenja će biti 5 dječaka i 5 djevojčica. Ova vjerovatnoća je jednaka 0,25, inače nije tako velika po apsolutnoj vrijednosti. Nadalje, vjerovatnoća da će se odjednom roditi 10 ili 9 dječaka je mnogo manja od vjerovatnoće da će se od 10 djece roditi 5 ± 1 dječak. Binomna distribucija će nam pomoći da napravimo ovaj proračun. Dakle.

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,5 0 (1 0,5) 10 0 = 1 1 0,5 10 = 0,000977…;
P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
P 3 = 120 0,5 3 (1 0,5) 10 3 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
P 4 = 210 0,5 4 (1 0,5) 10 4 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
P 5 = 252 0,5 5 (1 0,5) 10 5 = 252 0,5 10 = 0,246094…;
P 6 = 210 0,5 6 (1 0,5) 10 6 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
P 7 = 120 0,5 7 (1 0,5) 10 7 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
P 8 = 45 0,5 8 (1 0,5) 10 8 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
P 9 = 10 0,5 9 (1 0,5) 10 9 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
P 10 = 1 0,5 10 (1 0,5) 10 10 = 1 0,5 10 = 0,000977…

Naravno P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Hajde da prikažemo količine na grafikonu P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (vidi sliku 27.2).

Rice. 27.2. Grafikon binomne distribucije sa parametrima
p = 0,5 i n = 10, što ga približava normalnom zakonu

Dakle, pod uslovima m ≈ n/2 i str≈ 1 str ili str≈ 0,5 umjesto binomne distribucije, možete koristiti normalnu. Za velike vrijednosti n graf se pomiče udesno i postaje sve ravniji, kako se matematičko očekivanje i varijansa povećavaju s povećanjem n : M = n · str , D = n · str· (1 str) .

Inače, binomski zakon teži normalnom i rastućem n, što je sasvim prirodno, prema središnjoj graničnoj teoremi (vidjeti predavanje 34. Zapisivanje i obrada statističkih rezultata).

Sada razmotrite kako se binomski zakon mijenja u slučaju kada str ≠ q, to je str> 0 . U ovom slučaju, hipoteza normalne distribucije se ne može primijeniti, a binomna raspodjela postaje Poissonova raspodjela.

Poissonova distribucija

Poissonova raspodjela je poseban slučaj binomske distribucije (sa n>> 0 i at str>0 (rijetki događaji)).

Iz matematike je poznata formula koja vam omogućava da približno izračunate vrijednost bilo kojeg člana binomne distribucije:

Gdje a = n · str Poissonov parametar (matematičko očekivanje), a varijansa je jednaka matematičkom očekivanju. Predstavimo matematičke proračune koji objašnjavaju ovu tranziciju. Zakon binomne distribucije

P m = C n m · str m· (1 str) n – m

može se napisati ako staviš str = a/n , as

Jer str je vrlo mala, onda treba uzeti u obzir samo brojke m, mali u odnosu na n. Posao

veoma blizu jedinstva. Isto vrijedi i za veličinu

Magnituda

veoma blizu e – a. Odavde dobijamo formulu:

Primjer. Kutija sadrži n= 100 dijelova, kvalitetnih i neispravnih. Verovatnoća da dobijete neispravan proizvod je str= 0,01 . Recimo da izvadimo proizvod, utvrdimo da li je neispravan ili ne i vratimo ga nazad. Time se pokazalo da su se od 100 proizvoda kroz koje smo prošli, dva pokazala neispravna. Koja je vjerovatnoća za ovo?

Iz binomne distribucije dobijamo:

Iz Poissonove distribucije dobijamo:

Kao što vidite, ispostavilo se da su vrijednosti bliske, pa je u slučaju rijetkih događaja sasvim prihvatljivo primijeniti Poissonov zakon, pogotovo jer zahtijeva manje računskih napora.

Pokažimo grafički oblik Poissonovog zakona. Uzmimo parametre kao primjer str = 0.05 , n= 10 . onda:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,05 0 (1 0,05) 10 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987…;
P 1 = 10 0,05 1 (1 0,05) 10 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151…;
P 2 = 45 0,05 2 (1 0,05) 10 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746…;
P 3 = 120 0,05 3 (1 0,05) 10 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105…;
P 4 = 210 0,05 4 (1 0,05) 10 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096…;
P 5 = 252 0,05 5 (1 0,05) 10 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006…;
P 6 = 210 0,05 6 (1 0,05) 10 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000…;
P 7 = 120 0,05 7 (1 0,05) 10 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000…;
P 8 = 45 0,05 8 (1 0,05) 10 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000…;
P 9 = 10 0,05 9 (1 0,05) 10 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000…;
P 10 = 1 0,05 10 (1 0,05) 10 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000…

Naravno P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Rice. 27.3. Dijagram Poissonove raspodjele pri p = 0,05 i n = 10

At n> ∞ Poissonova raspodjela se pretvara u normalan zakon, prema središnjoj graničnoj teoremi (vidi.

Uvod

Teorija vjerovatnoće je matematička nauka koja proučava obrasce u slučajnim pojavama. Danas je to punopravna nauka od velike praktične važnosti.

Istorija teorije verovatnoće datira još od 17. veka, kada su učinjeni prvi pokušaji sistematskog proučavanja problema vezanih za masovne slučajne pojave i pojavio se odgovarajući matematički aparat. Od tada, mnoge osnove su razvijene i produbljene u trenutne koncepte, a otkriveni su i drugi važni zakoni i obrasci. Mnogi naučnici su radili i rade na problemima u teoriji vjerovatnoće.

Među njima se ne može ne obratiti pažnja na radove Simeona Denisa Poissona ((1781–1840) - francuskog matematičara), koji je dokazao opštiju formu zakona velikih brojeva od Jacoba Bernoullija, a takođe je prvi put primenio teorija vjerovatnoće za probleme pucanja. Poissonovo ime je povezano s jednim od zakona distribucije, koji igra važnu ulogu u teoriji vjerovatnoće i njenim primjenama.

Broj pojavljivanja određenog slučajnog događaja u jedinici vremena, kada činjenica pojave ovog događaja u datom eksperimentu ne zavisi od toga koliko se puta i u kom trenutku dogodio u prošlosti, i ne utiče budućnost. A testovi se provode u stacionarnim uslovima, tada se Poissonov zakon obično koristi za opisivanje distribucije takve slučajne varijable (ovu distribuciju je prvi predložio i objavio ovaj naučnik 1837.).

Ovaj zakon se također može opisati kao granični slučaj binomske distribucije, kada je vjerovatnoća p pojave događaja koji nas zanima u jednom eksperimentu vrlo mala, ali je broj eksperimenata m izvedenih po jedinici vremena prilično velik , naime, takav da u procesu p

0 i m, proizvod mp teži nekoj pozitivnoj konstantnoj vrijednosti (tj. mp).

Stoga se Poissonov zakon često naziva i zakonom rijetkih događaja.

Poissonova raspodjela u teoriji vjerovatnoće

Funkcija i distribucijski niz

Poissonova raspodjela je poseban slučaj binomske distribucije (sa n>> 0 i at str–> 0 (rijetki događaji)).

Iz matematike je poznata formula koja vam omogućava da približno izračunate vrijednost bilo kojeg člana binomne distribucije:

Gdje a = n · str je Poissonov parametar (matematičko očekivanje), a varijansa je jednaka matematičkom očekivanju. Predstavimo matematičke proračune koji objašnjavaju ovu tranziciju. Zakon binomne distribucije

P m = C n m · p m· (1 - str)n – m

može se napisati ako staviš str = a/n, as

Jer str je vrlo mala, onda treba uzeti u obzir samo brojke m, mali u odnosu na n. Posao

veoma blizu jedinstva. Isto vrijedi i za veličinu

veoma blizu e –a. Odavde dobijamo formulu:

Ojlerov broj (2,71...). ,

Za funkciju generiranja

imamo količine:

Funkcija kumulativne raspodjele vjerovatnoće je jednaka

Klasičan primjer slučajne varijable distribuirane prema Poissonu je broj automobila koji prolaze kroz određenu dionicu puta u određenom vremenskom periodu. Također možete primijetiti takve primjere kao što su broj zvijezda na dijelu neba određene veličine, broj grešaka u tekstu određene dužine, broj telefonskih poziva u pozivnom centru ili broj poziva na web server u određenom vremenskom periodu.

Red distribucije slučajne varijable X, distribuiran prema Poissonovom zakonu, izgleda ovako:

x m	0	1	2	…	m	…
P m	e-a			…		…

Na sl. 1 prikazuje poligone distribucije slučajne varijable X prema Poissonovom zakonu, što odgovara različitim vrijednostima parametra A.

Prvo, uvjerimo se da slijed vjerovatnoća može biti niz distribucije, tj. da je zbir svih verovatnoća Rm jednako jedan.

Koristimo proširenje funkcije e x u Maclaurin seriji:

Poznato je da ovaj niz konvergira za bilo koju vrijednost X, dakle, uzimanje x=a, dobijamo

dakle

Numeričke karakteristike položaja Poissonove distribucije

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća.

Po definiciji, kada diskretna slučajna varijabla uzme prebrojiv skup vrijednosti:

Prvi član sume (odgovarajući m=0 ) jednaka je nuli, dakle, sumiranje može početi od m=1 :

Dakle, parametar A nije ništa drugo do matematičko očekivanje slučajne varijable X.

Pored matematičkog očekivanja, položaj slučajne varijable karakteriziraju mod i medijan.

Mod slučajne varijable je njena najvjerovatnija vrijednost.

Za kontinuiranu veličinu, mod se naziva tačka lokalnog maksimuma funkcije gustoće vjerovatnoće. Ako poligon ili kriva distribucije ima jedan maksimum (slika 2 a), tada se distribucija naziva unimodalna ako postoji više od jednog maksimuma (posebno, distribucija sa dva načina se naziva bimodalna). Distribucija koja ima minimum naziva se antimodalna (slika 2 b)

x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x

Najvjerovatnija vrijednost slučajne varijable je način koji daje globalnu maksimalnu vjerovatnoću za diskretnu slučajnu varijablu ili gustinu distribucije za kontinuiranu slučajnu varijablu.

Medijan je vrijednost x l koja dijeli područje ispod grafa gustine vjerovatnoće na pola, tj. Medijan je bilo koji korijen jednadžbe. Matematičko očekivanje možda ne postoji, ali medijana uvijek postoji i može se dvosmisleno definirati.

Medijan slučajne varijable

njegova vrijednost = x med se naziva tako da je P (< x med) = Р ( >x med) = .

Numeričke karakteristike raspršenosti

Varijanca slučajne varijable X je matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.

Gdje je λ jednako prosječnom broju pojavljivanja događaja u identičnim nezavisnim ispitivanjima, tj. λ = n × p, gdje je p vjerovatnoća događaja u jednom ispitivanju, e = 2,71828.

Red distribucije Poissonovog zakona ima oblik:

Svrha usluge. Online kalkulator se koristi za konstruisanje Poissonove distribucije i izračunavanje svih karakteristika serije: matematičko očekivanje, varijansu i standardnu ​​devijaciju. Izvještaj sa odlukom sastavlja se u Word formatu.

U slučaju kada je n veliko i λ = p n > 10, Poissonova formula daje vrlo grubu aproksimaciju i lokalne i integralne teoreme Moivre-Laplacea se koriste za izračunavanje P n (m).

Numeričke karakteristike slučajne varijable X

Očekivanje Poissonove distribucije
M[X] = λ

Varijanca Poissonove distribucije
D[X] = λ

Primjer br. 1. Sjeme sadrži 0,1% korova. Kolika je vjerovatnoća da ćete pronaći 5 sjemenki korova ako nasumično odaberete 2000 sjemenki?
Rješenje.
Verovatnoća p je mala, ali je broj n veliki. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Očekivana vrijednost: M[X] = λ = 2
Disperzija: D[X] = λ = 2

Primjer br. 2. Među sjemenkama raži nalazi se 0,4% sjemena korova. Napraviti zakon raspodjele broja korova sa slučajnim odabirom od 5000 sjemenki. Pronađite matematičko očekivanje i varijansu ove slučajne varijable.
Rješenje. Matematičko očekivanje: M[X] = λ = 0,004*5000 = 20. Disperzija: D[X] = λ = 20
Zakon o distribuciji:

X	0	1	2	…	m	…
P	e -20	20e -20	200e -20	…	20 m e -20 /m!	…

Primjer br. 3. Na telefonskoj centrali se javlja pogrešna veza sa vjerovatnoćom od 1/200. Pronađite vjerovatnoću da će se između 200 veza dogoditi sljedeće:
a) tačno jedna pogrešna veza;
b) manje od tri neispravne veze;
c) više od dvije neispravne veze.
Rješenje. Prema uslovima zadatka, vjerovatnoća događaja je mala, pa koristimo Poissonovu formulu (15).
a) Dato je: n = 200, p = 1/200, k = 1. Nađimo P 200 (1).
Dobijamo: . Tada je P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
b) Dato je: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Imamo: a = 1.

c) Zadato je: n = 200, p = 1/200, k > 2. Nađimo P 200 (k > 2).
Ovaj problem se može riješiti jednostavnije: pronađite vjerovatnoću suprotnog događaja, jer u ovom slučaju morate izračunati manje pojmova. Uzimajući u obzir prethodni slučaj, imamo

Razmotrimo slučaj kada je n dovoljno veliko, a p dovoljno malo; stavimo np = a, gdje je a neki broj. U ovom slučaju, željena vjerovatnoća je određena Poissonovom formulom:

Vjerovatnoća pojave k događaja tokom vremenskog trajanja t također se može naći pomoću Poissonove formule:
gdje je λ intenzitet toka događaja, odnosno prosječan broj događaja koji se pojavljuju u jedinici vremena.

Primjer br. 4. Vjerovatnoća da je dio neispravan je 0,005. Provjereno je 400 dijelova. Navedite formulu za izračunavanje vjerovatnoće da su više od 3 dijela neispravna.

Primjer br. 5. Vjerovatnoća pojave neispravnih dijelova tokom masovne proizvodnje je p. odrediti vjerovatnoću da serija od N dijelova sadrži a) tačno tri dijela; b) najviše tri neispravna dijela.
p=0,001; N = 4500
Rješenje.
Verovatnoća p je mala, ali je broj n veliki. np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Slučajna varijabla X ima raspon vrijednosti (0,1,2,...,m). Vjerojatnosti ovih vrijednosti mogu se pronaći pomoću formule:

Nađimo distribucijsku seriju X.
Ovdje λ = np = 4500*0,001 = 4,5
P(0) = e - λ = e -4,5 = 0,01111
P(1) = λe -λ = 4,5e -4,5 = 0,04999

Tada je vjerovatnoća da serija od N dijelova sadrži tačno tri dijela jednaka:

Tada je vjerovatnoća da serija od N dijelova ne sadrži više od tri neispravna dijela:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Primjer br. 6. Automatska telefonska centrala u prosjeku prima N poziva po satu. Odrediti vjerovatnoću da će u datom minutu primiti: a) tačno dva poziva; b) više od dva poziva.
N=18
Rješenje.
U jednoj minuti automatska telefonska centrala u prosjeku prima λ = 18/60 min. = 0,3
Pod pretpostavkom da je slučajni broj X poziva primljenih na PBX u jednoj minuti,
poštuje Poissonov zakon, koristeći formulu ćemo pronaći željenu vjerovatnoću

Nađimo distribucijsku seriju X.
Ovdje λ = 0,3
P(0) = e - λ = e -0,3 = 0,7408
P(1) = λe -λ = 0,3e -0,3 = 0,2222

Verovatnoća da će primiti tačno dva poziva u datom minutu je:
P(2) = 0,03334
Verovatnoća da će primiti više od dva poziva u datom minutu je:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366

Primjer br. 7. Razmatraju se dva elementa koji rade nezavisno jedan od drugog. Trajanje rada bez otkaza ima eksponencijalnu distribuciju sa parametrom λ1 = 0,02 za prvi element i λ2 = 0,05 za drugi element. Naći vjerovatnoću da će za 10 sati: a) oba elementa raditi bez greške; b) samo vjerovatnoća da element br. 1 neće otkazati za 10 sati:
Odluka.
P 1 (0) = e -λ1*t = e -0,02*10 = 0,8187

Verovatnoća da element br. 2 neće otkazati za 10 sati:
P 2 (0) = e -λ2*t = e -0,05*10 = 0,6065

a) oba elementa će raditi besprijekorno;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
b) samo jedan element neće uspjeti.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321

Primjer br. 7. Proizvodnja proizvodi 1% nedostataka. Kolika je vjerovatnoća da od 1100 proizvoda uzetih za istraživanje, ne više od 17 bude odbijeno?
Bilješka: pošto je ovdje n*p =1100*0.01=11 > 10, potrebno je koristiti

Kada se uzmu u obzir događaji male vjerovatnoće koji se događaju u velikoj seriji nezavisnih ispitivanja određeni (konačan) broj puta, vjerovatnoće nastanka ovih događaja su u skladu sa Poissonovim zakonom ili zakonom rijetkih događaja, gdje je λ jednako prosječnom broju pojave događaja u identičnim nezavisnim ispitivanjima, tj. λ = n × p, gdje je p vjerovatnoća događaja tokom jednog pokušaja, e = 2,71828, m je učestalost ovog događaja, matematičko očekivanje M[X] je jednako λ.

Red distribucije Poissonovog zakona ima oblik:

Numeričke karakteristike slučajne varijable X

Očekivanje Poissonove distribucije
M[X] = λ

Varijanca Poissonove distribucije
D[X] = λ

Poissonov zakon može se koristiti za populacije koje su dovoljno velike zapremine (n > 100) i imaju dovoljno mali udio jedinica koje posjeduju ovu karakteristiku (p< 0,1).
U ovom slučaju, Poissonova raspodjela se može primijeniti kada nije poznata samo vrijednost n - ukupan broj mogućih ishoda, već i kada nije poznat konačni broj koji n može predstavljati. Tamo gdje postoji prosječan broj pojavljivanja događaja, vjerovatnoća da će se događaj dogoditi opisuje se uvjetima proširenja:
.
Stoga su odgovarajuće vjerovatnoće:

Dakle, ako je prosječan broj potresa jedan mjesečno, tada je m = 1 i vjerovatnoća pojave mjesečno će biti sljedeća, izračunata iz približne vrijednosti e - m = 0,3679:

Primjer. Kao rezultat provjere 1000 serija identičnih proizvoda, dobijena je sljedeća distribucija broja neispravnih proizvoda u seriji:

Odredimo prosječan broj neispravnih proizvoda u seriji:
.
Pronalazimo teorijske frekvencije Poissonovog zakona:


Empirijski i teorijski pronađena Poissonova distribucija:

604	306	77	12	1
606	303	76	13	2

Poređenje pokazuje da empirijska raspodjela odgovara Poissonovoj raspodjeli.

Primjer br. 2. Služba tehničke kontrole provjerila je n serija sličnih proizvoda i utvrdila da broj X nestandardnih proizvoda u jednoj seriji ima empirijsku raspodjelu prikazanu u tabeli, od kojih je jedan red označava broj x i nestandardnih proizvoda u jednoj seriji, a druga linija označava broj n i serija koje sadrže x i nestandardnih proizvoda. Potrebno je testirati hipotezu na nivou značajnosti α=0,05 da je slučajna varijabla X (broj nestandardnih proizvoda u jednoj seriji) distribuiran prema Poissonovom zakonu.

x i	0	1	2	3	4	5
n i	370	360	190	63	14	3

Provjerimo hipotezu da je X distribuiran Poissonov zakon Korištenje servisa, testiranje statističkih hipoteza.


gdje je p i vjerovatnoća da slučajna varijabla distribuirana prema hipotetičkom zakonu padne u i-ti interval; λ = x avg.
i = 0: p 0 = 0,3679, np 0 = 367,88
i = 1: p 1 = 0,3679, np 1 = 367,88
i = 2: p 2 = 0,1839, np 2 = 183,94
i = 3: p 3 = 0,0613, np 3 = 61,31
i = 4: p 4 = 0,0153, np 4 = 15,33
i = 5: p 5 = 0,0031, np 5 = 3,07
i = 6: 17=14 + 3
i = 6: 18,39=15,33 + 3,07

i	Uočena frekvencija n i	p i	Očekivana frekvencija np i
0	370	0.37	367.88	0.0122
1	360	0.37	367.88	0.17
2	190	0.18	183.94	0.2
3	63	0.0613	61.31	0.0464
4	17	0.0153	18.39	0.11
	1000			0.53

Odredimo granicu kritičnog područja. Budući da Pearsonova statistika mjeri razliku između empirijske i teorijske distribucije, što je veća njena uočena vrijednost K obs, to je jači argument protiv glavne hipoteze.
Stoga je kritična regija za ovu statistiku uvijek desnoruka :)