Kako riješiti jednadžbe prirodnim logaritmom. Logaritamska jednadžba: osnovne formule i tehnike. Logaritam obe strane jednačine

Logaritamske jednačine i nejednačine u verzijama ispita iz matematike je posvećen zadatak C3 ... Svaki student treba da nauči da rješava zadatke C3 sa ispita iz matematike ako želi da položi predstojeći ispit za "dobar" ili "odličan". Ovaj članak daje kratak pregled uobičajenih logaritamskih jednačina i nejednačina, kao i glavne metode za njihovo rješavanje.

Dakle, pogledajmo nekoliko primjera danas. logaritamske jednačine i nejednačine, koji su studentima ponuđeni u verzijama ispita iz matematike prošlih godina. Ali počinje sa sažetak glavne teorijske tačke koje trebamo da ih riješimo.

Logaritamska funkcija

Definicija

Funkcija pregleda

0, \, a \ ne 1 \] "title =" (! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

su pozvani logaritamska funkcija.

Osnovna svojstva

Osnovna svojstva logaritamske funkcije y= log sjekira:

Grafikon logaritamske funkcije je logaritamska kriva:

Svojstva logaritama

Logaritam proizvoda dva pozitivna broja jednaka su zbroju logaritama ovih brojeva:

Title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Logaritam količnika dva pozitivna broja jednaka su razlici logaritama ovih brojeva:

Title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Ako a i b a≠ 1, zatim za bilo koji broj r pravedna jednakost:

Title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Jednakost log a t= log a s, gdje a > 0, a ≠ 1, t > 0, s> 0, istina je ako i samo ako t = s.

Ako a, b, c Da li su pozitivni brojevi, i a i c razlikuju se od jedinice, onda je jednakost ( formula za prelazak na novu bazu logaritma):

Title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Teorema 1. Ako f(x)> 0 i g(x)> 0, zatim log logaritamske jednadžbe a f(x) = log a g(x) (gdje a > 0, a≠ 1) je ekvivalentno jednačini f(x) = g(x).

Rješavanje logaritamskih jednadžbi i nejednačina

Primjer 1. Riješite jednačinu:

Rješenje. Raspon važećih vrijednosti uključuje samo one x za koje je izraz pod znakom logaritma veći od nule. Ove vrijednosti su određene slijedećim sistemom nejednakosti:

Title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

S obzirom na to

Title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

dobijamo interval koji definira raspon dozvoljenih vrijednosti ove logaritamske jednadžbe:

Na osnovu teoreme 1, čiji su svi uslovi ovde zadovoljeni, prelazimo na sledeću ekvivalentnu kvadratnu jednačinu:

Samo je prvi korijen u rasponu važećih vrijednosti.

odgovor: x = 7.

Primjer 2. Riješite jednačinu:

Rješenje. Raspon dozvoljenih vrijednosti jednadžbe određen je sistemom nejednačina:

ql-right-eqno ">

Rješenje. Raspon dozvoljenih vrijednosti jednadžbe se ovdje lako određuje: x > 0.

Koristimo zamjenu:

Jednačina ima oblik:

Obrnuta zamjena:

Oba odgovor uključeni su u raspon dopuštenih vrijednosti jednadžbe, jer su pozitivni brojevi.

Primjer 4. Riješite jednačinu:

Rješenje. Počnimo ponovno rješenje određivanjem raspona dopuštenih vrijednosti jednadžbe. Određuje se sledećim sistemom nejednakosti:

ql-right-eqno ">

Osnove logaritama su iste, tako da u rasponu dozvoljenih vrijednosti možete ići na sljedeću kvadratnu jednadžbu:

Prvi korijen nije uključen u raspon dopuštenih vrijednosti jednadžbe, drugi je uključen.

odgovor: x = -1.

Primjer 5. Riješite jednačinu:

Rješenje. Tražit ćemo rješenja u intervalu x > 0, x≠ 1. Transformišemo jednačinu u ekvivalent:

Oba odgovor uključeni su u raspon dozvoljenih vrijednosti jednačine.

Primjer 6. Riješite jednačinu:

Rješenje. Sistem nejednačina koji definiše opseg dozvoljenih vrednosti jednačine, ovog puta ima oblik:

Title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Koristeći svojstva logaritma, transformiramo jednačinu u ekvivalentnu jednačinu u rasponu dopuštenih vrijednosti:

Koristeći formulu za prijelaz na novu bazu logaritma, dobijamo:

Raspon važećih vrijednosti uključuje samo jednu odgovor: x = 4.

Idemo sada na logaritamske nejednakosti ... Upravo s tim ćete morati da se pozabavite na ispitu iz matematike. Za rješavanje daljnjih primjera potrebna nam je sljedeća teorema:

Teorema 2. Ako f(x)> 0 i g(x)> 0, onda:
at a> 1 logaritamska nejednakost log a f(x)> log a g(x) je ekvivalentna nejednakosti istog značenja: f(x) > g(x);
u 0< a < 1 логарифмическое неравенство log a f(x)> log a g(x) je ekvivalentna nejednakosti suprotnog značenja: f(x) < g(x).

Primjer 7. Riješite nejednačinu:

Rješenje. Počnimo s definiranjem raspona važećih vrijednosti za nejednakost. Izraz pod znakom logaritamske funkcije mora imati samo pozitivne vrijednosti. To znači da je traženi raspon dozvoljenih vrijednosti određen sljedećim sistemom nejednakosti:

Title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Budući da se u osnovi logaritma nalazi broj manji od jedan, odgovarajuća logaritamska funkcija će biti opadajuća, pa će stoga prijelaz na sljedeću kvadratnu nejednakost biti ekvivalentan teoremi 2:

Konačno, uzimajući u obzir raspon dozvoljenih vrijednosti, dobijamo odgovor:

Primjer 8. Riješite nejednačinu:

Rješenje. Počnimo ponovo definiranjem raspona važećih vrijednosti:

Title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Na skupu dopuštenih vrijednosti nejednakosti vršimo ekvivalentne transformacije:

Nakon poništavanja i prelaska na ekvivalent nejednakosti po teoremi 2, dobijamo:

Uzimajući u obzir raspon dozvoljenih vrijednosti, dobijamo konačnu odgovor:

Primjer 9. Riješite logaritamsku nejednačinu:

Rješenje. Raspon važećih vrijednosti nejednakosti određen je sljedećim sistemom:

Title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Može se vidjeti da je u opsegu dozvoljenih vrijednosti izraz u osnovi logaritma uvijek veći od jedan, pa će stoga prijelaz na sljedeću nejednakost biti ekvivalentan teoremi 2:

Uzimajući u obzir raspon dozvoljenih vrijednosti, dobijamo konačni odgovor:

Primjer 10. Riješite nejednačinu:

Rješenje.

Raspon dozvoljenih vrijednosti nejednakosti određen je sistemom nejednakosti:

Title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Metoda I. Upotrijebimo formulu za prijelaz na novu bazu logaritma i prijeđimo na nejednakost ekvivalentnu u rasponu dopuštenih vrijednosti.

Ovim videom započinjem dugu seriju tutorijala o logaritamskim jednadžbama. Sada imate tri primjera odjednom, na osnovu kojih ćemo naučiti rješavati najjednostavnije probleme, koji se zovu tako - protozoa.

log 0,5 (3x - 1) = −3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Da vas podsjetim da je najjednostavnija logaritamska jednadžba sljedeća:

log a f (x) = b

U ovom slučaju je važno da je varijabla x prisutna samo unutar argumenta, odnosno samo u funkciji f (x). A brojevi a i b su samo brojevi, a ni u kom slučaju nisu funkcije koje sadrže varijablu x.

Osnovne metode rješenja

Postoji mnogo načina za rješavanje takvih konstrukcija. Na primjer, većina nastavnika u školi predlaže ovaj način: Funkciju f (x) odmah izrazite formulom f ( x) = a b. Odnosno, kada upoznate najjednostavniju konstrukciju, možete ići direktno na rješenje bez dodatnih radnji i konstrukcija.

Da, naravno, odluka će se pokazati ispravnom. Međutim, problem sa ovom formulom je što većina studenata ne razumijem, odakle dolazi i zašto slovo a dižemo na slovo b.

Kao rezultat toga, često vidim vrlo uvredljive greške kada su, na primjer, ova slova obrnuta. Ovu formulu se mora ili razumjeti ili nagurati, a druga metoda dovodi do grešaka u najneprikladnijim i najpresudnijim trenucima: na ispitima, testovima itd.

Zato predlažem svim svojim učenicima da napuste standardnu ​​školsku formulu i koriste drugi pristup za rješavanje logaritamskih jednadžbi, koji se, kao što ste vjerovatno već iz imena naslutili, zove kanonski oblik.

Ideja iza kanonskog oblika je jednostavna. Pogledajmo još jednom naš problem: na lijevoj strani imamo log a, dok slovo a označava upravo broj, a ni u kom slučaju funkciju koja sadrži varijablu x. Dakle, ovo slovo podliježe svim ograničenjima koja su nametnuta na osnovu logaritma. naime:

1 ≠ a> 0

S druge strane, iz iste jednadžbe vidimo da logaritam mora biti jednak broju b, a na ovo slovo nisu nametnuta nikakva ograničenja, jer može imati bilo koje vrijednosti - i pozitivne i negativne. Sve ovisi o tome koje vrijednosti zauzima funkcija f (x).

I ovdje se prisjećamo našeg divnog pravila da se bilo koji broj b može predstaviti kao logaritam bazi a od a do stepena b:

b = log a a b

Kako se sjećate ove formule? Vrlo je jednostavno. Napišimo sljedeću konstrukciju:

b = b 1 = b log a a

Naravno, javljaju se sva ograničenja koja smo na početku zapisali. Sada koristimo osnovno svojstvo logaritma i uvedemo faktor b kao stepen a. Dobijamo:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Kao rezultat toga, originalna jednačina će biti prepisana na sljedeći način:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

To je sve. Nova funkcija više ne sadrži logaritam i rješava se standardnim algebarskim tehnikama.

Naravno, neko će sada prigovoriti: zašto se truditi smišljati neku vrstu kanonske formule, zašto izvoditi dva dodatna nepotrebna koraka, ako možete odmah preći od početne konstrukcije do konačne formule? Da, čak i tada, većina učenika ne razumije odakle dolazi ova formula i kao rezultat toga redovno griješe kada je primjenjuju.

Ali ovaj slijed radnji, koji se sastoji od tri koraka, omogućava vam da riješite originalnu logaritamsku jednadžbu, čak i ako ne razumijete odakle dolazi konačna formula. Inače, upravo se ovaj zapis zove kanonska formula:

log a f (x) = log a a b

Pogodnost kanonskog oblika je i u činjenici da se može koristiti za rješavanje vrlo široke klase logaritamskih jednadžbi, a ne samo onih najjednostavnijih koje danas razmatramo.

Primjeri rješenja

Pogledajmo sada primjere iz stvarnog života. Dakle, odlučujemo:

log 0,5 (3x - 1) = −3

Hajde da to prepišemo ovako:

log 0,5 (3x - 1) = log 0,5 0,5 −3

Mnogi učenici žure i pokušavaju odmah podići broj 0,5 na stepen koji nam je došao iz prvobitnog problema. Zaista, kada ste već dobro obučeni za rješavanje takvih problema, možete odmah slijediti ovaj korak.

Međutim, ako sada tek počinjete proučavati ovu temu, bolje je ne žuriti nigdje kako ne biste napravili uvredljive greške. Dakle, pred nama je kanonski oblik. Imamo:

3x - 1 = 0,5 −3

Ovo više nije logaritamska jednadžba, već linearna u odnosu na varijablu x. Da bismo ovo riješili, hajde da se prvo pozabavimo brojem 0,5 na stepen −3. Imajte na umu da je 0,5 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Pretvorite sve decimale u regularne razlomke kada rješavate logaritamsku jednadžbu.

Prepisujemo i dobijamo:

3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

To je to, dobili smo odgovor. Prvi zadatak je riješen.

Drugi zadatak

Pređimo na drugi zadatak:

Kao što vidite, ova jednačina više nije najjednostavnija. Makar samo zato što je razlika lijevo, a ne jedan jedini logaritam u jednoj bazi.

Stoga se morate nekako riješiti ove razlike. U ovom slučaju, sve je vrlo jednostavno. Pogledajmo izbliza osnove: na lijevoj strani je broj ispod korijena:

Opća preporuka: u svim logaritamskim jednadžbama pokušajte se riješiti radikala, odnosno unosa s korijenima i prijeći na funkcije stepena, jednostavno zato što se eksponenti ovih potencija lako izvlače iz predznaka logaritma i na kraju , takva notacija uvelike pojednostavljuje i ubrzava proračune. Hajde da to zapišemo ovako:

Sada se prisjećamo izuzetnog svojstva logaritma: iz argumenta, kao i iz baze, možete izvesti stepene. U slučaju osnova dolazi do sljedećeg:

log a k b = 1 / k loga b

Drugim riječima, broj koji je stajao u stepenu baze prenosi se naprijed i istovremeno se okreće, odnosno postaje inverzni broj. U našem slučaju, postojao je stepen temelja sa eksponentom od 1/2. Stoga ga možemo prikazati kao 2/1. Dobijamo:

5 2 log 5 x - log 5 x = 18
10 log 5 x - log 5 x = 18

Imajte na umu: ni u kom slučaju se ne smijete riješiti logaritama u ovom koraku. Zapamtite matematiku 4-5 razreda i postupak: prvo se vrši množenje, a tek onda sabiranje i oduzimanje. U ovom slučaju oduzimamo jedan od istih od 10 elemenata:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Sada naša jednadžba izgleda kako bi trebala. Ovo je najjednostavniji konstrukt, a mi ga rješavamo kanonskim oblikom:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

To je sve. Drugi zadatak je riješen.

Treći primjer

Pređimo na treći zadatak:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Dozvolite mi da vas podsjetim na sljedeću formulu:

lg b = log 10 b

Ako ste iz nekog razloga zbunjeni dnevnikom b, onda kada izvodite sve proračune, možete jednostavno zabilježiti 10 b. Sa decimalnim logaritmima možete raditi na isti način kao i sa ostalima: izvadite stepene, sabirajte i predstavite bilo koje brojeve u obliku lg 10.

Upravo ta svojstva ćemo sada koristiti za rješavanje problema, jer nije ono najjednostavnije koje smo zapisali na samom početku naše lekcije.

Za početak, imajte na umu da faktor 2 prije lg 5 može biti uveden i postaje stepen baze 5. Osim toga, slobodni član 3 također se može predstaviti kao logaritam - to je vrlo lako uočiti iz naše notacije.

Procijenite sami: bilo koji broj se može predstaviti kao log baza 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Prepišimo originalni problem uzimajući u obzir primljene promjene:

lg (x - 3) = lg 1000 + lg 25
log (x - 3) = log 1000 25
lg (x - 3) = lg 25.000

Pred nama je opet kanonski oblik, a dobili smo ga zaobilazeći fazu transformacija, odnosno najjednostavnija logaritamska jednadžba kod nas nikada nije iskočila.

Upravo o tome sam govorio na samom početku lekcije. Kanonski oblik omogućava rješavanje šire klase problema od standardne školske formule koju daje većina školskih nastavnika.

Pa, to je sve, riješili smo se predznaka decimalnog logaritma i dobili smo jednostavnu linearnu konstrukciju:

x + 3 = 25.000
x = 24,997

Sve! Problem je riješen.

Napomena o obimu

Ovdje bih želio dati važnu napomenu o obimu definicije. Sada sigurno ima učenika i nastavnika koji će reći: "Kada rješavamo izraze logaritmima, neophodno je zapamtiti da argument f (x) mora biti veći od nule!" S tim u vezi postavlja se logično pitanje: zašto ni u jednom od razmatranih problema nismo zahtijevali ispunjenje ove nejednakosti?

Ne brini. U ovim slučajevima neće se pojaviti dodatni korijeni. A ovo je još jedan sjajan trik koji vam omogućava da ubrzate rješenje. Samo znajte da ako se u problemu varijabla x pojavljuje samo na jednom mjestu (tačnije, u jednom argumentu jednog logaritma), a nigdje drugdje u našem slučaju ne postoji varijabla x, onda upišite domenu nema potrebe jer će se pokrenuti automatski.

Procijenite sami: u prvoj jednačini dobili smo da je 3x - 1, odnosno argument mora biti jednak 8. To automatski znači da će 3x - 1 biti veće od nule.

Sa istim uspjehom možemo zapisati da u drugom slučaju x mora biti jednako 5 2, odnosno sigurno je veće od nule. I u trećem slučaju, gdje je x + 3 = 25.000, odnosno opet očigledno veće od nule. Drugim riječima, domen je automatski zadovoljen, ali samo ako se x pojavljuje samo u argumentu samo jednog logaritma.

To je sve što treba znati za osnovne zadatke. Samo ovo pravilo, zajedno sa pravilima transformacije, omogućiće vam da rešite veoma široku klasu problema.

Ali budimo iskreni: da biste konačno razumjeli ovu tehniku, da biste naučili kako primijeniti kanonski oblik logaritamske jednadžbe, nije dovoljno samo pogledati jedan video tutorijal. Stoga, opcije preuzimanja za nezavisna odluka koji su priloženi ovom video tutorijalu i započnite rješavanje barem jednog od ova dva samostalna rada.

Trebat će vam samo nekoliko minuta. Ali učinak takvog treninga bit će mnogo veći u odnosu na da ste upravo pogledali ovaj video tutorijal.

Nadam se da će vam ovaj vodič pomoći da razumijete logaritamske jednačine. Koristite kanonski oblik, pojednostavite izraze koristeći pravila za rad s logaritmima - i nijedan problem neće biti zastrašujući za vas. I imam sve za danas.

Razmatranje obima

Hajde sada da razgovaramo o domenu logaritamske funkcije, kao io tome kako ona utiče na rešenje logaritamskih jednačina. Razmotrite konstrukciju forme

log a f (x) = b

Takav izraz se naziva najjednostavnijim - u njemu postoji samo jedna funkcija, a brojevi a i b su upravo brojevi, a ni u kom slučaju to nije funkcija koja ovisi o varijabli x. Može se vrlo jednostavno riješiti. Samo trebate koristiti formulu:

b = log a a b

Ova formula je jedno od ključnih svojstava logaritma, a kada se zameni u naš originalni izraz, dobijamo sledeće:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Ovo je poznata formula iz školskih udžbenika. Mnogi studenti će vjerovatno imati pitanje: budući da je u originalnom izrazu funkcija f (x) ispod log znaka, na nju su nametnuta sljedeća ograničenja:

f (x)> 0

Ovo ograničenje je na snazi ​​jer logaritam negativnih brojeva ne postoji. Dakle, možda bi zbog ovog ograničenja trebalo uvesti provjeru odgovora? Možda ih treba zamijeniti u izvoru?

Ne, u najjednostavnijim logaritamskim jednadžbama dodatna provjera nije potrebna. I zato. Pogledajte našu konačnu formulu:

f (x) = a b

Činjenica je da je broj a u svakom slučaju veći od 0 - ovaj zahtjev također nameće logaritam. Broj a je baza. U ovom slučaju, nema ograničenja na broj b. Ali to nije važno, jer bez obzira na koji stepen podignemo pozitivan broj, na izlazu ćemo i dalje dobiti pozitivan broj. Dakle, zahtjev f (x)> 0 se ispunjava automatski.

Ono što zaista vrijedi provjeriti je opseg funkcije ispod znaka dnevnika. Mogu postojati prilično komplicirane strukture, a u procesu njihovog rješavanja svakako ih morate slijediti. Hajde da pogledamo.

Prvi zadatak:

Prvi korak: transformirajte razlomak na desnoj strani. Dobijamo:

Riješimo se predznaka logaritma i dobivamo uobičajenu iracionalnu jednačinu:

Od dobijenih korijena odgovara nam samo prvi, jer je drugi korijen manji od nule. Jedini odgovor će biti broj 9. To je to, problem je riješen. Nisu potrebne nikakve dodatne provjere da li je izraz pod znakom logaritma veći od 0, jer nije samo veći od 0, već je po uvjetu jednačine jednak 2. Dakle, zahtjev „veći od nule " je automatski zadovoljeno.

Pređimo na drugi zadatak:

Ovdje je sve isto. Prepisujemo konstrukciju, zamjenjujući tri:

Riješimo se predznaka logaritma i dobivamo iracionalnu jednačinu:

Kvadratiziramo obje strane, uzimajući u obzir ograničenja, i dobivamo:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |: 2

x 2 + 7x + 6 = 0

Rezultirajuću jednačinu rješavamo preko diskriminanta:

D = 49 - 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Ali x = −6 nam ne odgovara, jer ako ovaj broj zamenimo u našu nejednakost, dobićemo:

−6 + 4 = −2 < 0

U našem slučaju potrebno je da bude veći od 0 ili, u ekstremnim slučajevima, jednak. Ali nam odgovara x = −1:

−1 + 4 = 3 > 0

Jedini odgovor u našem slučaju je x = −1. To je cijelo rješenje. Vratimo se na sam početak naših proračuna.

Glavni zaključak iz ove lekcije je da ne morate provjeravati ograničenja za funkciju u najjednostavnijim logaritamskim jednačinama. Jer u procesu rješavanja sva ograničenja se ispunjavaju automatski.

Međutim, to ni na koji način ne znači da možete potpuno zaboraviti na provjeru. U procesu rada na logaritamskoj jednačini, ona se može pretvoriti u iracionalnu, koja će imati svoja ograničenja i zahtjeve za desnu stranu, kao što smo danas vidjeli na dva različita primjera.

Slobodno rješavajte takve probleme i budite posebno oprezni ako postoji korijen u svađi.

Logaritamske jednadžbe sa različitim bazama

Nastavljamo proučavati logaritamske jednadžbe i analizirati još dva prilično zanimljiva trika s kojima je moderno rješavati više složene strukture... Ali prvo, sjetimo se kako se rješavaju najjednostavniji zadaci:

log a f (x) = b

U ovoj notaciji, a i b su upravo brojevi, a u funkciji f (x) mora biti prisutna varijabla x, i samo tamo, to jest, x mora biti samo u argumentu. Takve logaritamske jednadžbe ćemo transformirati koristeći kanonski oblik. Da biste to učinili, zabilježite to

b = log a a b

Štaviše, a b je upravo argument. Prepišimo ovaj izraz na sljedeći način:

log a f (x) = log a a b

Upravo to pokušavamo postići, tako da i lijevo i desno budu logaritam na osnovu a. U ovom slučaju možemo, slikovito rečeno, izbrisati znakove balvana, a sa stanovišta matematike možemo reći da jednostavno izjednačavamo argumente:

f (x) = a b

Kao rezultat, dobićemo novi izraz koji će biti mnogo lakši za rešavanje. Primijenimo ovo pravilo na naše današnje zadatke.

Dakle, prva konstrukcija:

Prije svega, napominjem da je na desnoj strani razlomak sa log u nazivniku. Kada vidite takav izraz, neće biti suvišno prisjetiti se divnog svojstva logaritama:

Prevedeno na ruski, to znači da se bilo koji logaritam može predstaviti kao kvocijent dva logaritma sa bilo kojom osnovom s. Naravno, 0< с ≠ 1.

Dakle: ova formula ima jedan divan poseban slučaj kada je varijabla c jednaka varijabli b. U ovom slučaju dobijamo konstrukciju forme:

Upravo ovu konstrukciju promatramo od znaka desno u našoj jednadžbi. Zamenimo ovu konstrukciju sa log a b, dobićemo:

Drugim riječima, u poređenju sa originalnim problemom, zamijenili smo argument i bazu logaritma. Umjesto toga, morali smo preokrenuti razlomak.

Podsjećamo da se bilo koji stepen može izvesti iz baze prema sljedećem pravilu:

Drugim riječima, koeficijent k, koji je stepen baze, uzima se kao obrnuti razlomak. Hajde da to prikažemo kao obrnuti razlomak:

Faktor razlomka se ne može ostaviti ispred, jer u ovom slučaju nećemo moći da predstavimo ovaj unos kao kanonski oblik (na kraju krajeva, u kanonskom obliku nema dodatnog faktora ispred drugog logaritma). Stoga, stavimo razlomak 1/4 u argument kao stepen:

Sada izjednačavamo argumente čije su baze iste (a naše baze su zaista iste) i pišemo:

x + 5 = 1

x = −4

To je sve. Dobili smo odgovor na prvu logaritamsku jednačinu. Imajte na umu: u originalnom problemu, varijabla x se pojavljuje samo u jednom dnevniku, i nalazi se u njegovom argumentu. Dakle, nema potrebe provjeravati domen, a naš broj x = −4 je zaista odgovor.

Sada pređimo na drugi izraz:

lg 56 = lg 2 log 2 7 - 3lg (x + 4)

Ovdje ćemo, pored uobičajenih logaritama, morati raditi i sa lg f (x). Kako riješiti takvu jednačinu? Neuvježbanom studentu može se činiti da je to neka vrsta tvrdoće, ali zapravo se sve rješava na elementaran način.

Pažljivo pogledajte pojam lg 2 log 2 7. Šta možemo reći o tome? Razlozi i argumenti za log i lg su isti, a to bi trebalo biti sugestivno. Prisjetimo se ponovo kako se stupnjevi vade ispod znaka logaritma:

log a b n = nlog a b

Drugim riječima, ono što je bila snaga broja b u argumentu postaje faktor ispred samog log. Koristimo ovu formulu da izrazimo lg 2 log 2 7. Nemojte se plašiti lg 2 - ovo je najčešći izraz. Možete ga prepisati ovako:

Za njega su tačna sva pravila koja važe za bilo koji drugi logaritam. Konkretno, faktor ispred se može dodati snazi ​​argumenta. napišimo:

Vrlo često učenici ovu radnju ne vide prazna, jer nije dobro unositi jedan dnevnik pod znakom drugog. U stvari, u tome nema ničeg kriminalnog. Štaviše, dobijamo formulu koja se lako može izračunati ako se sjetite važnog pravila:

Ova formula se može posmatrati i kao definicija i kao jedno od njenih svojstava. U svakom slučaju, ako transformišete logaritamsku jednadžbu, ovu formulu biste trebali znati na isti način kao log reprezentaciju bilo kojeg broja.

Vraćamo se našem zadatku. Prepisujemo ga uzimajući u obzir činjenicu da će prvi član desno od znaka jednakosti jednostavno biti jednak lg 7. Imamo:

lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)

Pomjerimo LG 7 ulijevo, dobićemo:

lg 56 - lg 7 = −3lg (x + 4)

Oduzmite izraze na lijevoj strani jer imaju istu osnovu:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Sada pogledajmo pobliže jednačinu koju smo dobili. To je praktično kanonski oblik, ali na desnoj strani je faktor −3. Stavimo to u pravi lg argument:

log 8 = log (x + 4) −3

Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe, pa precrtavamo predznake lg i izjednačavamo argumente:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

To je sve! Riješili smo drugu logaritamsku jednačinu. U ovom slučaju nisu potrebne dodatne provjere, jer je u originalnom problemu x bio prisutan samo u jednom argumentu.

Dozvolite mi da ponovim ključne tačke ovog uputstva.

Glavna formula koja se proučava u svim lekcijama na ovoj stranici posvećenim rješavanju logaritamskih jednačina je kanonski oblik. I neka vas ne plaši činjenica da vas većina školskih udžbenika uči rješavanju takvih problema na drugačiji način. Ovaj alat radi vrlo efikasno i omogućava vam da riješite mnogo širu klasu problema od onih najjednostavnijih koje smo proučavali na samom početku naše lekcije.

Osim toga, bit će korisno poznavati osnovna svojstva za rješavanje logaritamskih jednadžbi. naime:

1. Formula za prelazak na jednu bazu i poseban slučaj kada okrećemo dnevnik (ovo nam je bilo vrlo korisno u prvom zadatku);
2. Formula za sabiranje i uklanjanje stupnjeva iz predznaka logaritma. Ovdje se mnogi studenti zamrznu i ne vide izbliza da sam eksponencijalni i umetnuti stepen može sadržavati log f (x). Ništa loše u tome. Možemo uvesti jedan log pod predznak drugog i ujedno značajno pojednostaviti rješenje problema, što uočavamo u drugom slučaju.

U zaključku bih dodao da nije potrebno provjeravati opseg u svakom od ovih slučajeva, jer je svuda varijabla x prisutna samo u jednom znaku log, a istovremeno je i u svom argumentu. Kao posljedica toga, svi zahtjevi opsega se automatski ispunjavaju.

Problemi s varijabilnim radiksom

Danas ćemo se osvrnuti na logaritamske jednačine, koje se mnogim učenicima čine nestandardnim, ako ne i potpuno nerješivim. Govorimo o izrazima zasnovanim ne na brojevima, već na varijablama, pa čak i funkcijama. Takve konstrukcije ćemo rješavati našom standardnom tehnikom, odnosno kroz kanonsku formu.

Za početak, prisjetimo se kako se rješavaju najjednostavniji problemi koji se temelje na običnim brojevima. Dakle, najjednostavnija je konstrukcija forme

log a f (x) = b

Za rješavanje takvih problema možemo koristiti sljedeću formulu:

b = log a a b

Prepisujemo naš originalni izraz i dobijamo:

log a f (x) = log a a b

Zatim izjednačavamo argumente, odnosno pišemo:

f (x) = a b

Tako se oslobađamo znaka dnevnika i rješavamo već uobičajeni problem. U ovom slučaju, korijeni dobiveni tijekom rješenja bit će korijeni originalne logaritamske jednadžbe. Osim toga, zapis, kada i lijevo i desno stoje na istom logaritmu sa istom bazom, naziva se kanonski oblik. Na takav rekord ćemo pokušati svesti današnje gradnje. Pa idemo.

Prvi zadatak:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Zamijenite 1 sa log x - 2 (x - 2) 1. Stepen koji opažamo u argumentu je, u stvari, broj b koji je stajao desno od znaka jednakosti. Tako ćemo prepisati naš izraz. Dobijamo:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

šta vidimo? Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe, tako da možemo sigurno izjednačiti argumente. Dobijamo:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

Ali rješenje se tu ne završava, jer ova jednačina nije ekvivalentna originalnoj. Na kraju krajeva, rezultirajuća konstrukcija se sastoji od funkcija koje su definirane na cijeloj brojevnoj pravoj, a naši početni logaritmi nisu definirani svugdje i ne uvijek.

Stoga moramo posebno zapisati opseg. Nemojmo biti pametni i prvo napiši sve zahtjeve:

Prvo, argument svakog od logaritama mora biti veći od 0:

2x 2 - 13x + 18> 0

x - 2> 0

Drugo, baza ne samo da mora biti veća od 0, već i različita od 1:

x - 2 ≠ 1

Kao rezultat, dobijamo sistem:

Ali nemojte biti uznemireni: prilikom obrade logaritamskih jednadžbi, takav sistem se može značajno pojednostaviti.

Procijenite sami: s jedne strane, od nas se traži da kvadratna funkcija bude veća od nule, a s druge strane, ova kvadratna funkcija je izjednačena sa određenim linearnim izrazom, koji također mora biti veći od nule.

U ovom slučaju, ako tražimo da je x - 2> 0, tada će automatski biti zadovoljen zahtjev 2x 2 - 13x + 18> 0. Stoga možemo bezbedno precrtati nejednačinu koja sadrži kvadratnu funkciju. Tako će se broj izraza sadržanih u našem sistemu smanjiti na tri.

Naravno, mogli bismo isto tako precrtati linearnu nejednačinu, odnosno precrtati x - 2> 0 i zahtijevati da je 2x 2 - 13x + 18> 0. Ali morate priznati da je rješavanje najjednostavnije linearne nejednakosti mnogo brže i lakše nego kvadratno, čak i pod uslovom da kao rezultat rješavanja cijelog ovog sistema dobijemo iste korijene.

Općenito, pokušajte optimizirati svoje proračune kad god je to moguće. A u slučaju logaritamskih jednačina precrtajte najteže nejednačine.

Prepišimo naš sistem:

Evo takvog sistema od tri izraza, od kojih smo dva, zapravo, već shvatili. Zapišimo kvadratnu jednačinu odvojeno i riješimo je:

2x 2 - 14x + 20 = 0

x 2 - 7x + 10 = 0

Pred nama je dati kvadratni trinom i stoga možemo koristiti Vietine formule. Dobijamo:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

A sada se vraćamo na naš sistem i nalazimo da nam x = 2 ne odgovara, jer se od nas traži da x bude striktno veći od 2.

Ali x = 5 nam savršeno odgovara: broj 5 je veći od 2, a istovremeno 5 nije jednako 3. Stoga će jedino rješenje za ovaj sistem biti x = 5.

To je to, problem je riješen, uključujući i ODZ. Pređimo na drugu jednačinu. Ovdje ćemo pronaći zanimljivije i informativnije izračune:

Prvi korak: kao i prošli put, dovodimo cijelu stvar u kanonski oblik. Za to možemo napisati broj 9 na sljedeći način:

Ne morate dodirivati ​​korijen s korijenom, ali je bolje transformirati argument. Idemo od korijena do racionalnog eksponenta. Hajde da zapišemo:

Dozvolite mi da ne prepisujem cijelu našu veliku logaritamsku jednačinu, već da odmah izjednačim argumente:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Pred nama je novodati kvadratni trinom, koristimo Vietine formule i pišemo:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Dakle, dobili smo korijene, ali nam niko nije garantirao da će odgovarati originalnoj logaritamskoj jednadžbi. Uostalom, znakovi dnevnika nameću dodatna ograničenja (ovdje smo trebali napisati sistem, ali zbog glomaznosti cijele strukture odlučio sam da izračunam domen zasebno).

Prije svega, zapamtite da argumenti moraju biti veći od 0, naime:

Ovo su zahtjevi koje nameće domen definicije.

Odmah napominjemo da pošto prva dva izraza sistema izjednačimo jedan s drugim, onda možemo izbrisati bilo koji od njih. Izbrišimo prvi jer izgleda opasnije od drugog.

Osim toga, napominjemo da će rješenje druge i treće nejednačine biti isti skupovi (kocka nekog broja je veća od nule, ako je sam ovaj broj veći od nule; slično s korijenom trećeg stepena - ove nejednačine potpuno su analogne, pa jedan od njih možemo precrtati).

Ali ovo neće funkcionirati s trećom nejednakošću. Riješimo se radikalnog znaka na lijevoj strani, za koji ćemo oba dijela sagraditi u kocku. Dobijamo:

Dakle, dobijamo sledeće zahteve:

- 2 ≠ x> −3

Koji od naših korijena: x 1 = −3 ili x 2 = −1 ispunjava ove zahtjeve? Očigledno, samo x = −1, jer x = −3 ne zadovoljava prvu nejednakost (pošto je naša nejednakost stroga). Dakle, vraćajući se na naš problem, dobijamo jedan korijen: x = −1. To je sve, problem je rešen.

Još jednom, ključne tačke ovog zadatka:

1. Slobodno primijenite i riješite logaritamske jednadžbe koristeći kanonski oblik. Učenici koji naprave takav zapis, a ne prelaze direktno sa originalnog problema na konstrukciju kao što je log a f (x) = b, prave mnogo manje grešaka od onih koji negdje žure, preskačući međukorake proračuna;
2. Čim se u logaritmu pojavi promjenljiva baza, problem prestaje biti najjednostavniji. Stoga je pri rješavanju potrebno voditi računa o domenu definicije: argumenti moraju biti veći od nule, a baze ne samo da moraju biti veće od 0, već ne smiju biti ni jednake 1.

Postoje različiti načini da se nametnu konačni zahtjevi konačnim odgovorima. Na primjer, možete riješiti cijeli sistem koji sadrži sve zahtjeve za domen. S druge strane, možete prvo riješiti sam problem, a zatim se sjetiti domena definicije, razraditi ga odvojeno u obliku sistema i superponirati na rezultirajuće korijene.

Na vama je koji način da odaberete prilikom rješavanja određene logaritamske jednadžbe. U svakom slučaju, odgovor će biti isti.

Kao što znate, kada se množe izrazi sa potencijama, njihovi eksponenti se uvijek sabiraju (a b * a c = a b + c). Ovaj matematički zakon je izveo Arhimed, a kasnije, u 8. veku, matematičar Virasen je napravio tabelu celih indikatora. Upravo su oni poslužili za dalje otkrivanje logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo svugdje gdje trebate pojednostaviti glomazno množenje jednostavnim sabiranjem. Ako odvojite 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam šta su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavan i pristupačan jezik.

Definicija u matematici

Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log ab = c, to jest, logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (tj. bilo kojeg pozitivnog) "b" na osnovu njegove baze "a" smatra se stepenom " c", na koju se mora podići osnova "a", da bi se na kraju dobila vrijednost "b". Analizirajmo logaritam koristeći primjere, na primjer, postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, potrebno je pronaći takav stepen tako da od 2 do željenog stepena dobijete 8. Nakon nekoliko proračuna u svom umu, dobili smo broj 3! I tačno, jer 2 na stepen od 3 daje broj 8 u odgovoru.

Vrste logaritama

Za mnoge učenike i studente ova se tema čini komplikovanom i nerazumljivom, ali u stvari, logaritmi nisu toliko strašni, najvažnije je razumjeti njihovo općenito značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Postoje tri različite vrste logaritamskih izraza:

1. Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Ojlerov broj (e = 2,7).
2. Decimala a, osnova 10.
3. Logaritam bilo kojeg broja b prema osnovici a> 1.

Svaki od njih se rješava na standardni način, uključujući pojednostavljenje, redukciju i naknadno svođenje na jedan logaritam korištenjem logaritamskih teorema. Da biste dobili ispravne vrijednosti logaritama, trebali biste zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji prilikom njihovog rješavanja.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja su prihvaćena kao aksiom, odnosno o njima se ne može pregovarati i istinita su. Na primjer, ne možete dijeliti brojeve sa nulom, i još uvijek ne možete izdvojiti paran korijen negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, slijedeći koja možete lako naučiti raditi čak i sa dugim i prostranim logaritamskim izrazima:

• osnova "a" uvijek mora biti veća od nule, a u isto vrijeme ne mora biti jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su "1" i "0" u bilo kojem stepenu uvijek jednaki njihovim vrijednostima;
• ako je a> 0, onda a b> 0, ispada da "c" takođe mora biti veći od nule.

Kako rješavate logaritme?

Na primjer, dali smo zadatak da nađemo odgovor na jednadžbu 10 x = 100. Vrlo je lako, potrebno je odabrati takvu potenciju, podižući broj deset na koji dobijamo 100. Ovo je, naravno, 10 2 = 100 .

Sada predstavimo ovaj izraz kao logaritamski. Dobijamo log 10 100 = 2. Prilikom rješavanja logaritma, sve radnje se gotovo konvergiraju da bi se pronašla potencija na koju je potrebno uvesti bazu logaritma da bi se dobio dati broj.

Da biste precizno odredili vrijednost nepoznatog stepena, potrebno je naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. izgleda ovako:

Kao što vidite, neki eksponenti se mogu pogoditi intuitivno ako imate tehnički način razmišljanja i poznavanje tablice množenja. Međutim, veće vrijednosti će zahtijevati tablicu snage. Mogu ga koristiti čak i oni koji ne znaju ništa o složenim matematičkim temama. Lijeva kolona sadrži brojeve (osnova a), gornji red brojeva je stepen c na koji se podiže broj a. Na sjecištu u ćelijama definiraju se vrijednosti brojeva, koji su odgovor (a c = b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju sa brojem 10 i kvadriramo je, dobićemo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najpravi humanista razumjeti!

Jednačine i nejednačine

Ispada da je pod određenim uslovima eksponent logaritam. Stoga se svaki matematički numerički izraz može zapisati kao logaritamska jednakost. Na primjer, 3 4 = 81 može se napisati kao logaritam od 81 prema bazi 3, jednako četiri (log 3 81 = 4). Za negativne potencije pravila su ista: 2 -5 = 1/32, zapišemo to kao logaritam, dobijemo log 2 (1/32) = -5. Jedna od najfascinantnijih oblasti matematike je tema "logaritma". Razmotrit ćemo primjere i rješenja jednadžbi malo ispod, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Pogledajmo sada kako izgledaju nejednakosti i kako ih razlikovati od jednačina.

Dat je izraz sljedećeg oblika: log 2 (x-1)> 3 - to je logaritamska nejednakost, pošto je nepoznata vrijednost "x" pod znakom logaritma. I također se u izrazu uspoređuju dvije vrijednosti: logaritam traženog broja na osnovu dva je veći od broja tri.

Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednačina je ta što jednadžbe s logaritmima (na primjer, logaritam 2 x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih brojčanih vrijednosti u odgovoru, dok rješavanje nejednakosti određuje i raspon dopuštenih vrijednosti. i tačke koje narušavaju ovu funkciju. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup odvojenih brojeva kao u odgovoru na jednadžbu, već kontinuirani niz ili skup brojeva.

Osnovne teoreme o logaritmima

Prilikom rješavanja primitivnih zadataka za pronalaženje vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednačine ili nejednačine, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i primijeniti u praksi sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo se upoznati s primjerima jednačina, hajde da prvo analiziramo svako svojstvo detaljnije.

1. Glavni identitet izgleda ovako: a logaB = B. Primjenjuje se samo ako je a veće od 0, nije jednako jedan, a B veće od nule.
2. Logaritam proizvoda se može predstaviti sljedećom formulom: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. U ovom slučaju, preduslov je: d, s 1 i s 2> 0; a ≠ 1. Možete dati dokaz za ovu formulu logaritama, sa primjerima i rješenjem. Neka je log kao 1 = f 1 i log kao 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dobijamo da je s 1 * s 2 = a f1 * a f2 = a f1 + f2 (osobine powers ), i dalje po definiciji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log kao 2, što je i trebalo dokazati.
3. Logaritam količnika izgleda ovako: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema u obliku formule ima sljedeći oblik: log a q b n = n / q log a b.

Ova formula se naziva "svojstvo stepena logaritma". Podsjeća na svojstva običnih stupnjeva, i to nije iznenađujuće, jer sva matematika počiva na prirodnim postulatima. Hajde da pogledamo dokaz.

Neka log a b = t, ispada da je a t = b. Ako oba dijela podignemo na stepen m: a tn = b n;

ali pošto je a tn = (a q) nt / q = b n, dakle log a q b n = (n * t) / t, onda log a q b n = n / q log a b. Teorema je dokazana.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi logaritamskih problema su primjeri jednadžbi i nejednačina. Nalaze se u gotovo svim problemskim knjigama, a uključeni su i u obavezni dio ispita iz matematike. Za upis na fakultet ili dostavu prijemni ispiti u matematici, morate znati kako pravilno rješavati takve zadatke.

Nažalost, ne postoji jedinstveni plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritma, međutim, određena pravila se mogu primijeniti na svaku matematičku nejednačinu ili logaritamsku jednačinu. Prije svega, potrebno je utvrditi da li se izraz može pojednostaviti ili dovesti u opći oblik. Pojednostavite dugo logaritamski izrazi možete, ako pravilno koristite njihova svojstva. Upoznajmo ih uskoro.

Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi potrebno je odrediti kakav je logaritam pred nama: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo rješenje se svodi na činjenicu da morate odrediti stupanj do kojeg će baza 10 biti jednaka 100 i 1026, respektivno. Za rješenja prirodnih logaritama potrebno je primijeniti logaritamske identitete ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema različitih tipova.

Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima

Dakle, pogledajmo primjere korištenja glavnih teorema o logaritmima.

1. Svojstvo logaritma proizvoda može se koristiti u zadacima gdje je potrebno proširiti veliki značaj b na jednostavnije faktore. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4 * 128) = log 2 512. Odgovor je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, primjenom četvrtog svojstva stepena logaritma, bilo je moguće riješiti naizgled složen i nerješiv izraz. Vi samo trebate faktorisati bazu, a zatim uzeti vrijednosti snage iz predznaka logaritma.

Zadaci sa ispita

Na prijemnim ispitima se često nalaze logaritmi, posebno puno logaritamskih problema na ispitu (državni ispit za sve maturante). Obično su ovi zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši dio ispita), već i u dijelu C (najteži i najobimniji zadaci). Ispit podrazumijeva tačno i savršeno poznavanje teme "Prirodni logaritmi".

Primjeri i rješenja problema preuzeti su od službenika opcije za ispit... Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Dat log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, pojednostavljujući ga malo log 2 (2x-1) = 2 2, po definiciji logaritma dobijamo da je 2x-1 = 2 4, dakle 2x = 17; x = 8,5.

• Najbolje je sve logaritme pretvoriti u jednu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i ​​zbunjujuće.
• Svi izrazi pod znakom logaritma su označeni kao pozitivni, dakle, kada se eksponent eksponenta izuzme faktorom koji je pod znakom logaritma i kao njegova baza, izraz koji ostaje pod logaritmom mora biti pozitivan .

Priprema za završni ispit iz matematike uključuje važan dio - "Logaritmi". Zadaci iz ove teme su obavezno sadržani u ispitu. Iskustvo proteklih godina pokazuje da su logaritamske jednadžbe izazvale poteškoće mnogim školarcima. Stoga bi učenici sa različitim nivoima obuke trebali razumjeti kako pronaći tačan odgovor i brzo se nositi s njima.

Uspješno položite sertifikacijski test koristeći obrazovni portal "Shkolkovo"!

U pripremi za singl državni ispit maturantima je potreban pouzdan izvor koji pruža najpotpunije i najtačnije informacije za uspješno rješavanje testnih zadataka. Međutim, udžbenik nije uvijek pri ruci, a pronalaženje potrebnih pravila i formula na internetu često oduzima vrijeme.

Obrazovni portal "Shkolkovo" omogućava vam da se pripremite za Jedinstveni državni ispit bilo gdje u bilo koje vrijeme. Naša stranica nudi najpogodniji pristup ponavljanju i asimilaciji velike količine informacija o logaritmima, kao io jednoj i nekoliko nepoznatih. Počnite s jednostavnim jednadžbama. Ako ste se lako nosili s njima, prijeđite na složenije. Ako imate problema s rješavanjem određene nejednakosti, možete je dodati u svoje favorite kako biste joj se kasnije mogli vratiti.

Možete pronaći potrebne formule za dovršenje zadatka, ponavljanje posebnih slučajeva i metode za izračunavanje korijena standardne logaritamske jednadžbe gledajući u odjeljak "Teorijska referenca". Učitelji u Školkovu su prikupili, sistematizovali i predstavili sve materijale neophodne za uspešno izvođenje nastave u najjednostavnijem i razumljivom obliku.

Kako biste se lakše nosili sa zadacima bilo koje složenosti, na našem portalu možete se upoznati s rješenjem nekih tipičnih logaritamskih jednadžbi. Da biste to učinili, idite na odjeljak "Direktoriji". Predstavili smo veliki broj primjera, među kojima i jednačine profilnog nivoa ispita iz matematike.

Učenici iz škola širom Rusije mogu koristiti naš portal. Za početak, samo se registrirajte u sistemu i počnite rješavati jednačine. Da biste konsolidirali rezultate, savjetujemo vam da se svaki dan vraćate na web stranicu Školkova.

Prije rješavanja logaritamskih jednadžbi, ponovimo još jednom definiciju logaritma i osnovne formule.

Logaritam pozitivan broj b razumom a je pokazatelj stepena do kojeg je potrebno izgraditi a, Za dobijanje b.

Štaviše, class = "tex" alt = "(! LANG: b> 0, \; a> 0, \; a \ neq 1">.!}

Obratimo pažnju na raspon prihvatljivih vrijednosti logaritma:

class = "tex" alt = "(! LANG: b> 0, \; a> 0, \; a \ neq 1">. !}

Osnovni logaritamski identitet:

Osnovne formule za logaritme:

(Logaritam proizvoda jednak je zbroju logaritama)

(Logaritam količnika jednak je razlici između logaritama)
(Formula za logaritam stepena)

Formula za prelazak na novu bazu:

Znamo kako izgleda graf logaritamske funkcije. Ova funkcija je monotona. Ako je baza logaritma veća od jedan, logaritamska funkcija raste monotono. Ako je baza veća od nule i manja od jedan, logaritamska funkcija se monotono smanjuje. I u svakom slučaju, svaku svoju vrijednost uzima samo jednom. To znači da ako su logaritmi dva broja u bilo kojoj bazi jednaki, onda su i sami brojevi jednaki.

Sve će nam to biti od koristi u rješavanju logaritamskih jednadžbi.

Najjednostavnije logaritamske jednadžbe

1.Riješi jednačinu:

Osnove logaritama su jednake, jednaki su i sami logaritmi, što znači da su jednaki i brojevi iz kojih su uzeti.
Obično učenici pamte ovo pravilo u kratkoj žargonskoj formulaciji: "Ispusti logaritme!" Naravno, ne "odbacujemo" ih tek tako, već koristeći svojstvo monotonosti logaritamske funkcije.

Dobijamo:

Kada rješavate logaritamske jednadžbe, ne zaboravite na raspon važećih vrijednosti logaritam. Zapamtite da je izraz definiran sa class = "tex" alt = "(! LANG: b> 0, \; a> 0, \; a \ neq 1">.!}

Vrlo je dobro ako, nakon što pronađete korijen jednačine, samo ga uključite u jednačinu. Ako nakon takve zamjene lijeva ili desna strana jednačine nema smisla, onda pronađeni broj nije korijen jednačine i ne može biti odgovor na problem. Ovo je dobar način za testiranje za ispit.

2. Riješite jednačinu:

Na lijevoj strani jednačine - logaritam, na desnoj - broj 7. Primjenjujući osnovni logaritamski identitet, broj 7 predstavljamo kao. Onda je sve jednostavno.

Odgovor: -124

3. Riješite jednačinu:

Vidite broj 2 ispred logaritma na desnoj strani jednačine? Sada vas sprečava da "izbacujete logaritme". Šta učiniti s njim tako da lijeva i desna strana budu samo logaritma od 5 osnova? Naravno, formula za logaritam stepena će pomoći.

4. Riješite jednačinu:

Važeći raspon: class = "tex" alt = "(! LANG: 4-x> 0."> Значит, class="tex" alt="x> -4.">!}

Predstavimo 2 na desnoj strani jednačine kao - tako da su lijevo i desno u jednačini logaritmi bazi 5.

Funkcija se monotono povećava i uzima svoju vrijednost tačno jednom. Logaritmi su jednaki, njihove baze su jednake. Hajde da "odbacimo" logaritme! Naravno, class = "tex" alt = "(! LANG: x> -4">.!}

5. Riješite jednačinu:

Zapišimo rješenje kao lanac ekvivalentnih prijelaza. Zapisujemo ODZ i "uklanjamo" logaritme:

Klasa = "tex" alt = "(! LANG: \ log _ (8) \ lijevo (x ^ (2) + x \ desno) = \ log _ (8) \ lijevo (x ^ (2) -4 \ desno ) \ Strelica ulijevo \ lijevo \ (\ početak (matrica) x ^ (2) + x> 0 \\ x ^ (2) -4> 0 \\ x ^ (2) + x = x ^ (2) -4 \ kraj (matrica) \ desno \ Lijevodesnostrelica \ lijevo \ (\ početak (matrica) x ^ (2) + x> 0 \\ x ^ (2) -4> 0 \\ x = -4 \ kraj (matrica) \ desno \ Strelica lijevo desno x = -4">!}
Odgovor: –4.

Imajte na umu da se rješenja logaritamskih jednačina najbolje pišu kao lanac ekvivalentnih prijelaza. To će nam pomoći da ne zaboravimo na raspon važećih vrijednosti.

6. Riješite jednačinu:.

Pređimo sa baze logaritma 4 (u eksponentu) na bazu logaritma 2. To radimo koristeći formulu za prelazak na drugu bazu:

Zapišimo rješenje kao lanac ekvivalentnih prijelaza.

Klasa = "tex" alt = "(! LANG: 2 ^ (\ log _ (4) \ lijevo (4x + 5 \ desno)) = 9 \ Strelica lijevo \ lijevo \ (\ početak (matrica) 2 ^ \ frac (( \ log _ (2) \ lijevo (4x + 5 \ desno))) (2) = 9 \\ 4x + 5> 0 \ kraj (matrica) \ desno \ Strelica lijevo desno \ lijevo \ (\ početak (matrica) \ lijevo (2 ^ (\ log _ (2) \ lijevo (4x + 5 \ desno)) \ desno) ^ (\ frac (1) (2)) = 9 \\ x> -1 \ frac (1) (4) \ kraj (matrica) \ desno \ lijevo udesno \ lijevo \ (\ početak (matrica) \ lijevo (4x + 5 \ desno) ^ (\ frac (1) (2)) = 9 \\ x> -1 \ frac ( 1) (4) \ kraj (matrica) \ desno \ Strelica lijevo desno \ lijevo \ (\ početak (matrica) \ sqrt (4x + 5) = 9 \\ x> -1 \ frac (1) (4) \ kraj ( matrica) \ desno \ Strelica lijevo \ lijevo \ (\ početak (matrica) 4x + 5 = 81 \\ x> -1 \ frac (1) (4) \ kraj (matrica) \ desno \ strelica lijevo \ lijevo \ (\ početak (matrica) x = 19 \\ x> -1 \ frac (1) (4) \ kraj (matrica) \ desno.">!}

7. Riješite jednačinu:.

Napomena: varijabla X i ispod logaritma, i na bazi logaritma. Sjećamo se da osnova logaritma mora biti pozitivna, a ne jednaka 1.

ODZ:
class = "tex" alt = "(! LANG: \ lijevo \ (\ početak (matrica) 12-x> 0 \\ x> 0 \\ x \ neq 1 \ kraj (matrica) \ desno.">!}

Sada možete "ukloniti" logaritme.

Strani korijen jer class = "tex" alt = "(! LANG: x> 0">.!}

8. Riješite jednačinu.

ODZ jednadžbe: class = "tex" alt = "(! LANG: x> 0">!}

Hajde da napravimo zamenu. Kao i kod algebarskih jednadžbi, pravimo promjenjive promjene kad god je to moguće.

Vratimo se na varijablu X:

9. Riješite jednačinu:

Izraz pod logaritmom je uvijek pozitivan - pošto nenegativnoj vrijednosti dodajemo 25. Pozitivan je i izraz ispod korijena desno. znači, X može biti bilo koji realan broj.

Predstavimo zbir logaritama na lijevoj strani kao logaritam proizvoda. Na desnoj strani - idemo na bazu logaritma 3. I koristite formulu za logaritam stepena.

"Odbacujemo" logaritme.

Takva se jednačina naziva bikvadratna. Uključuje izraze i. Hajde da napravimo zamenu

Vratimo se na varijablu X... Dobijamo:

Pronašli smo sve korijene originalne jednadžbe.

Logaritamske jednačine se mogu susresti u zadatku broj 5 Profila USE iz matematike, te u zadatku broj 13. A ako u zadatku broj 5 trebate riješiti najjednostavniju jednadžbu, onda se u zadatku 13 rješenje sastoji od dvije točke. Druga tačka je odabir korijena u datom segmentu ili intervalu.