zanati

Koji je pravi naziv za množenje? Množenje i njegova svojstva. Množenje višecifrenog broja višecifrenim brojem

Rečnik objašnjenja ruskog jezika. D.N. Ushakov

množenje

množenja, m.s. ne, up.

radnja na glagolu. pomnožiti - pomnožiti i navesti po vb. umnožiti - umnožiti. Množenje tri sa dva. Multiplikacija prihoda.

Aritmetička operacija, ponavljanje određenog broja kao pojma onoliko puta koliko ima jedinica u drugom datom broju (mat.). Tablica množenja. Množenje cijelih brojeva.

Rečnik objašnjenja ruskog jezika. S.I.Ozhegov, N.Yu.Shvedova.

množenje

Matematička operacija pomoću koje se od dva broja (ili veličina) dobija novi broj (ili količina), koji (za cele brojeve) sadrži prvi broj kao sabir onoliko puta koliko ima jedinica u drugom. Tablica množenja. Zadatak na

Novi objašnjavajući i derivacioni rečnik ruskog jezika, T. F. Efremova.

Enciklopedijski rječnik, 1998

množenje

aritmetička operacija. Označeno tačkom "." ili znak "?" (bukvalno, znaci množenja su izostavljeni). Množenje pozitivnih cijelih brojeva (prirodni brojevi) je radnja koja omogućava da dva broja a (množitelj) i b (množitelj) pronađu treći broj ab (proizvod) jednak zbiru b članova, od kojih je svaki jednak a; a i b se takođe nazivaju faktori. Množenje razlomaka brojeva a / b i c / d određuje se jednakošću Množenjem dva racionalna broja dobija se broj, aps. čija je vrijednost jednaka umnošku apsolutnih vrijednosti faktora i koja ima predznak plus (+) ako oba faktora imaju iste predznake, odnosno minus (-) ako imaju različite predznake. Množenje iracionalnih brojeva određuje se korištenjem njihovih racionalnih aproksimacija. Množenje kompleksni brojevi, podaci u obrascu? = a + bi i? \u003d c + di, određuje se jednakošću ?? = ac - bd + (a + bc)i.

Množenje

operacija formiranja, od dva data objekta a i b, koja se nazivaju faktori, trećeg objekta c, koji se zove proizvod. W. je označen znakom X (koji je uveo engleski matematičar W. Outred 163.

ili ∙ (uveo njemački naučnik G. Leibniz 1698.); u slovnoj oznaci ovi znakovi su izostavljeni i umjesto a ` b ili a ∙ b pisati ab. U. ima različito specifično značenje i, shodno tome, različite specifične definicije, u zavisnosti od specifične vrste faktora i proizvoda. Konstanta pozitivnih cijelih brojeva je, po definiciji, radnja koja se odnosi na brojeve a i ba treći broj c, jednak zbiru b članova, od kojih je svaki jednak a, tako da je ab = a + a + .. + a (b pojmovi). Broj a naziva se množitelj, b je množitelj. Razlomci ═ i ═ definisani su jednakošću ═ (vidi Razlomak). Jednačina racionalnih brojeva daje broj čija je apsolutna vrijednost jednaka umnošku apsolutnih vrijednosti faktora, koji ima predznak plus (+) ako oba faktora imaju isti predznak, i znak minus (√) ako imaju različite znakove. Koeficijent iracionalnih brojeva određuje se pomoću koeficijenta njihovih racionalnih aproksimacija. Jednačina za kompleksne brojeve date u obliku a = a + bi i b = c + di je definisana jednakošću ab = ac √ bd + (ad + bc) i. Kada su U. kompleksni brojevi napisani u trigonometrijskom obliku:

a = r1 (cosj1 + isinj1),

b = r2 (cosj2 + isin j

njihovi moduli se množe i njihovi argumenti se dodaju:

ab = r1r2(cos (j1 + j2) + i sin ((j1 + j2)).

U. brojevi su jedinstveni i ima sljedeća svojstva:

1) ab = ba (komutativnost, komutativni zakon);

2) a (bc) = (ab) c (asocijativnost, asocijativni zakon);

a (b + c) = ab + ac (distributivnost, distributivni zakon). U ovom slučaju, uvijek a ×0 = 0; a×1 = a. Ova svojstva leže u osnovi uobičajene tehnike viševrijednih brojeva.

Dalja generalizacija koncepta vektora povezana je sa mogućnošću razmatranja brojeva kao operatora na skupu vektora na ravni. Na primjer, kompleksni broj r (cosj + i sin j) odgovara operatoru rastezanja svih vektora za r puta i njihovog rotiranja za ugao j oko ishodišta. U ovom slučaju jednačina kompleksnih brojeva odgovara jednačini odgovarajućih operatora, odnosno rezultat jednačine će biti operator dobijen uzastopnom primjenom ova dva operatora. Ova definicija U. operatora se također može prenijeti na druge tipove operatora koji se više ne mogu izraziti pomoću brojeva (na primjer, linearne transformacije). Ovo dovodi do operacija U. matrica, kvaterniona, koji se smatraju operatorima rotacije i širenja u trodimenzionalnom prostoru, jezgri integralnih operatora, itd. Sa takvim generalizacijama, neka od navedenih svojstava U. možda neće biti zadovoljena, najčešće svojstvo komutativnosti (nekomutativna algebra). Proučavanje opštih svojstava operacije U. uključeno je u probleme opšte algebre, posebno teorije grupa i prstenova.

Wikipedia

Množenje

Množenje- jedna od osnovnih binarnih matematičkih operacija (aritmetičkih operacija) sa dva argumenta. Na primjer, za prirodne brojeve: $c=a \cdot b = \underbrace( a+a+\cdots+a )_(b)= a_1 + a_2 + \ldots + a_b = (\displaystyle\sum_(i=1) ^b a_i)$

Uopšteno govoreći, možemo napisati: Π( a, b) = c. Odnosno, svaki par elemenata ( a, b) je povezan sa elementom c = a ⋅ b, nazvan proizvod a I b.

U pisanom obliku, obično se označava jednim od „znakova množenja” - „ ⋅ , × , * ”, na primjer: a ⋅ b = c. Množenje se također može definirati za racionalne, realne, kompleksne brojeve i druge matematičke, fizičke i apstraktne veličine.

Množenje ima nekoliko važnih svojstava:

komutativnost: a ⋅ b = b ⋅ a; Asocijativnost: ( a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c); distributivnost: x ⋅ (a + b) = (x ⋅ a) + (x ⋅ b), ∀a, b ∈ A; Množenjem sa nulom (nulti element) dobija se broj jednak nuli: x⋅ 0 = 0; Množenjem s jednim (neutralni element) dobiva se broj jednak originalu: x ⋅ 1 = x.

Na slici je prikazan primjer brojanja jabuka množenjem, 3 grupe po 5 jabuka, što rezultira 15 jabuka: 5 ⋅ 3 = 15.

Na skupu realnih brojeva, opseg funkcije množenja grafički izgleda kao površina koja prolazi kroz ishodište i zakrivljena je s obje strane u obliku parabole.

Primjeri upotrebe riječi množenje u literaturi.

On poredi njihov rad i sa fermentacijom, sa setvom semena i sa množenje sjemenke gorušice.

Zatim je bilo onih koji se uopšte nisu usuđivali da intervenišu, jer je njihova svest istraživala događaje sekundarnog i tercijarnog dejstva dok su množenje i zaplitanja u svim pravcima kroz sistem.

množenje grijeha i snižavanja grešnog praga kao posljedica antihrista koji se uvukao u umove ljudi u vidu materijalističko-ateističke doktrine i lažnog proroka u liku Komunističke partije Marksa-Lenjina.

Tokom proteklog vijeka, postojao je još jedan množenje grijeha i snižavanja grešnog praga kao rezultat antihrista koji se uvukao u umove ljudi u vidu materijalističko-ateističke doktrine i lažnog proroka u liku Komunističke partije Marksa-Lenjina.

Ovo je kritika doktrine merkantilizma, koja je identificirana množenje količina novca u zemlji sa rastom blagostanja stanovništva.

Prije nego što opišem akcije trupa, kroz neočekivano množenje koji je došao iz, da tako kažemo, razbojničke družine u jahaču, ne bi bilo suvišno upoznati čitaoca sa njegovim privatnim šefovima.

Jednom na ulici čuo sam zamršenu pjesmu koja se rimuje na početku stola množenje: Jednom sam - stigao je gospodin.

Njegovi postupci i ludorije su besmisleni, svjedoče o razdvojenosti Čičikova, njegovog množenje u zrcalnoj igri imitacija, u kojoj više nema originala, već samo klauna kopija.

Najmanje tri puta kasnije to je ispričao, ostavljajući budućem naratoru slobodu da uređuje detalje: -- Hajzenbergovo pravilo množenje Nisam izlazio iz glave, a nakon intenzivnog razmišljanja jednog jutra doživio sam prozrenje: sjetio sam se algebarske teorije koju sam studirao kao student.

Njene studije pokazuju da je Zemlja postajala sve heterogena kao množenje slojeva koji formiraju njegovu koru, nadalje, da je postajao sve heterogeniji u odnosu na sastav ovih slojeva, od kojih su potonji, nastali od fragmenata starih slojeva, postali izuzetno složeni miješanjem materijala sadržanih u njima i , konačno, da je ova heterogenost značajno pojačana djelovanjem mirovanja iz vrućeg jezgra Zemlje na njenu površinu, zbog čega se nije pojavila samo ogromna raznolikost plutonskih planina, već i nagib taloženih slojeva pod različitim uglovima, formiranje pukotina, metalnih žila i beskrajnih nepravilnosti i devijacija.Geolozi takođe kažu da su se promenile veličine uzvišenja na površini Zemlje, da su planinski sistemi najmanje visoki, a da su Andi i Himalaji najnovija uzvišenja, međutim, u najvjerovatnije su se odgovarajuće promjene dogodile na dnu okeana.

Ako je to teško uraditi množenje sa napetošću uz podizanje klavira, kako je onda moguće ovladati najsuptilnijim unutrašnjim osećanjima u kompleksnoj ulozi sa suptilnom Otelovom psihologijom!

Specijalisti smo za istraživanje, analizu i mjerenje, mi smo čuvari i stalni provjerivači svih abeceda, tablica množenje i metode, mi smo brenderi duhovnih mjera i utega.

Nije čitao knjige, naš kapetan Trota, i potajno mu je bilo žao svog odrastajućeg sina, koji je uskoro trebao biti suočen sa škriljevcem, tablom i sunđerom, papirom, lenjirom i stolom. množenje a koje su neizbežne antologije već čekale.

Novi menadžer - snažan, slan čovjek - brzo je doveo Uzhika u čistu vodu, otkrivši da nije ni savladao stolove množenje, i sa grmljavinom ga otjerao iz škole.

Ove operacije mogu uključivati sabiranje, oduzimanje i množenje funkcije, poređenje funkcija, slične operacije nad funkcijom i brojem, pronalaženje maksimuma funkcija, izračunavanje neodređenog integrala, izračunavanje određenog integrala izvoda dvije funkcije, pomicanje funkcije duž apscise itd.

Množenje je aritmetička operacija u kojoj se prvi broj ponavlja kao pojam onoliko puta koliko označava drugi broj.

Poziva se broj koji se ponavlja kao sabir multipliable(množi se), naziva se broj koji pokazuje koliko puta treba ponoviti izraz multiplikator. Poziva se broj koji nastaje množenjem rad.

Na primjer, pomnožiti prirodni broj 2 prirodnim brojem 5 znači pronaći zbir pet članova, od kojih je svaki jednak 2:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

U ovom primjeru zbroj nalazimo jednostavnim sabiranjem. Ali kada je broj identičnih pojmova velik, pronalaženje zbira zbrajanjem svih članova postaje previše zamorno.

Za pisanje množenja koristite znak × (kosi krst) ili · (tačka). Postavlja se između množitelja i množitelja, pri čemu je množenik napisan lijevo od znaka množenja, a množitelj desno. Na primjer, unos 2 5 znači da se broj 2 množi brojem 5. Desno od unosa množenja stavite znak = (jednako), nakon čega se upisuje rezultat množenja. Dakle, potpuna notacija množenja izgleda ovako:

Ovaj unos glasi kako slijedi: proizvod dva i pet je jednak deset, ili dva puta pet je jednako deset.

Dakle, vidimo da je množenje samo skraćenica za sabiranje sličnih pojmova.

Provjera množenja

Da biste provjerili množenje, proizvod možete podijeliti s faktorom. Ako je rezultat dijeljenja broj jednak množenju, tada je množenje ispravno.

Razmotrimo izraz:

gdje je 4 množitelj, 3 je množitelj, a 12 je proizvod. Sada provjerimo množenje dijeljenjem proizvoda sa faktorom.

Prilikom množenja i dijeljenja cijelih brojeva primjenjuje se nekoliko pravila. U ovoj lekciji ćemo pogledati svaki od njih.

Prilikom množenja i dijeljenja cijelih brojeva obratite pažnju na predznake brojeva. Od njih će zavisiti koje će pravilo primijeniti. Takođe, potrebno je proučiti nekoliko zakona množenja i dijeljenja. Učenje ovih pravila pomoći će vam da izbjegnete neke neugodne greške u budućnosti.

Sadržaj lekcije

Zakoni množenja

U lekciji smo razmatrali neke od zakona matematike. Ali nismo uzeli u obzir sve zakone. Postoji mnogo zakona u matematici i bilo bi mudrije proučavati ih uzastopno po potrebi.

Prvo, prisjetimo se od čega se sastoji množenje. Množenje se sastoji od tri parametra: množenje, multiplikator I radi. Na primjer, u izrazu 3 × 2 = 6, broj 3 je množenik, broj 2 je množitelj, a broj 6 je proizvod.

Množenjak pokazuje šta tačno povećavamo. U našem primjeru povećavamo broj 3.

Faktor Pokazuje koliko puta trebate povećati množenik. U našem primjeru, množitelj je broj 2. Ovaj množitelj pokazuje koliko puta trebate povećati množitelj 3. To jest, tokom operacije množenja, broj 3 će se udvostručiti.

Posao ovo je zapravo rezultat operacije množenja. U našem primjeru proizvod je broj 6. Ovaj proizvod je rezultat množenja 3 sa 2.

Izraz 3 × 2 također se može shvatiti kao zbir dvije trojke. Množilac 2 u ovom slučaju će pokazati koliko puta trebate ponoviti broj 3:

Dakle, ako se broj 3 ponovi dva puta zaredom, dobiće se broj 6.

Komutativni zakon množenja

Množilac i množilac se nazivaju jednom zajedničkom riječi - faktori. Komutativni zakon množenja izgleda ovako:

Od permutacije mjesta faktora, proizvod se ne mijenja.

Hajde da proverimo da li je to slučaj. Pomnožite, na primjer, 3 sa 5. Ovdje su 3 i 5 faktori.

3 x 5 = 15

Sada zamijenimo faktore:

5 x 3 = 15

U oba slučaja dobijamo odgovor 15, što znači da možemo staviti znak jednakosti između izraza 3 × 5 i 5 × 3, jer su jednaki istoj vrijednosti:

3 x 5 = 5 x 3

15 = 15

A uz pomoć varijabli, komutativni zakon množenja može se napisati na sljedeći način:

a × b = b × a

gdje a I b— faktori

Asocijativni zakon množenja

Ovaj zakon kaže da ako se izraz sastoji od nekoliko faktora, onda proizvod neće zavisiti od redosleda operacija.

Na primjer, izraz 3 × 2 × 4 sastoji se od nekoliko faktora. Da biste ga izračunali, možete pomnožiti 3 i 2, a zatim pomnožiti rezultirajući proizvod s preostalim brojem 4. Izgledat će ovako:

3 x 2 x 4 = (3 x 2) x 4 = 6 x 4 = 24

Ovo je bilo prvo rješenje. Druga opcija je da pomnožite 2 i 4, a zatim pomnožite rezultirajući proizvod s preostalim brojem 3. To će izgledati ovako:

3 x 2 x 4 = 3 x (2 x 4) = 3 x 8 = 24

U oba slučaja dobijamo odgovor 24. Dakle, između izraza (3 × 2) × 4 i 3 × (2 × 4) možemo staviti znak jednakosti, jer su jednaki istoj vrijednosti:

(3 x 2) x 4 = 3 x (2 x 4)

a uz pomoć varijabli, asocijativni zakon množenja može se napisati na sljedeći način:

a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)

gdje umjesto a, b,c može biti bilo koji broj.

Distributivni zakon množenja

Distributivni zakon množenja vam omogućava da pomnožite zbir brojem. Da biste to učinili, svaki član ovog zbroja pomnoži se sa ovim brojem, a zatim se dodaju rezultati.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza (2 + 3) × 5

Izraz u zagradama je zbir. Ovaj iznos se mora pomnožiti brojem 5. Da biste to učinili, svaki član ove sume, odnosno brojevi 2 i 3, morate pomnožiti sa brojem 5, a zatim dodati rezultate:

(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25

Dakle, vrijednost izraza (2 + 3) × 5 je 25 .

Uz pomoć varijabli, distributivni zakon množenja zapisuje se na sljedeći način:

(a + b) × c = a × c + b × c

gdje umjesto a, b, c može biti bilo koji broj.

Zakon množenja sa nulom

Ovaj zakon kaže da ako u bilo kojem množenju postoji barem jedna nula, onda će odgovor biti nula.

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli.

Na primjer, izraz 0 × 2 je nula

U ovom slučaju, broj 2 je množitelj i pokazuje koliko puta trebate povećati množenik. Odnosno, koliko puta povećati nulu. Doslovno, ovaj izraz glasi ovako: "udvostručavanje nule" . Ali kako možete udvostručiti nulu ako je nula? Odgovor je ne.

Drugim riječima, ako se “ništa” udvostruči, ili čak milion puta, i dalje će biti “ništa”.

A ako u izrazu 0 × 2 zamijenimo faktore, opet ćemo dobiti nulu. Ovo znamo iz prethodnog zakona o raseljenju:

Primjeri primjene zakona množenja sa nulom:

5 x 5 x 5 x 0 = 0

2 x 5 x 0 x 9 x 1 = 0

U posljednja dva primjera postoji nekoliko faktora. Vidjevši nulu u njima, odmah stavljamo nulu u odgovor, primjenjujući zakon množenja nulom.

Razmotrili smo osnovne zakone množenja. Zatim razmotrite množenje cijelih brojeva.

Cjelobrojno množenje

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza −5 × 2

Ovo je množenje brojeva sa različitim predznacima. −5 je negativno, a 2 pozitivno. U takvim slučajevima treba primijeniti sljedeće pravilo:

Da biste pomnožili brojeve sa različitim predznacima, morate pomnožiti njihove module i staviti minus ispred primljenog odgovora.

−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10

Obično se piše kraće: −5 × 2 = −10

Svako množenje se može predstaviti kao zbir brojeva. Na primjer, razmotrite izraz 2 × 3. To je jednako 6.

Množilac u ovom izrazu je broj 3. Ovaj množitelj pokazuje koliko puta trebate povećati dva. Ali izraz 2 × 3 može se shvatiti i kao zbir tri dvojke:

Ista stvar se dešava sa izrazom −5 × 2. Ovaj izraz se može predstaviti kao zbir

A izraz (−5) + (−5) je jednak −10. Ovo znamo iz . Ovo je zbrajanje negativnih brojeva. Podsjetimo da je rezultat zbrajanja negativnih brojeva negativan broj.

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza 12 × (−5)

Ovo je množenje brojeva sa različitim predznacima. 12 je pozitivan broj, (−5) je negativan. Ponovo primjenjujemo prethodno pravilo. Množimo module brojeva i stavljamo minus ispred primljenog odgovora:

12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60

Obično je rješenje napisano kraće:

12 × (−5) = −60

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza 10 × (−4) × 2

Ovaj izraz se sastoji od nekoliko faktora. Prvo pomnožite 10 i (−4), a zatim pomnožite rezultirajući broj sa 2. Usput, primijenite prethodno proučena pravila:

Prva akcija:

10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40

Druga radnja:

−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80

Dakle, vrijednost izraza 10 × (−4) × 2 je −80

Napišimo rješenje ukratko:

10 × (−4) × 2 = -40 × 2 = -80

Primjer 4 Pronađite vrijednost izraza (−4) × (−2)

Ovo je množenje negativnih brojeva. U takvim slučajevima treba primijeniti sljedeće pravilo:

Da biste pomnožili negativne brojeve, potrebno je pomnožiti njihove module i staviti plus ispred primljenog odgovora.

(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8

Osim toga, po tradiciji ne zapisujemo, pa samo zapisujemo odgovor 8.

Zapišimo rješenje kraće (−4) × (−2) = 8

Postavlja se pitanje zašto pri množenju negativnih brojeva odjednom ispadne pozitivan broj. Pokušajmo dokazati da je (−4) × (−2) jednako 8 i ništa drugo.

Prvo pišemo sljedeći izraz:

Stavimo to u zagrade:

(4×(−2) )

Dodajmo ovom izrazu naš izraz (−4) × (−2). Stavimo i to u zagrade:

(4 × (−2) ) + ((−4) × (−2) )

Sve ovo izjednačavamo sa nulom:

(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0

Sad počinje zabava. Suština je da moramo izračunati lijevu stranu ovog izraza i kao rezultat dobiti 0.

Dakle, prvi proizvod (4 × (−2)) je −8. Zapišimo broj −8 u naš izraz umjesto proizvoda (4 × (−2))

−8 + ((−4) × (−2)) = 0

Sada, umjesto drugog proizvoda, privremeno stavljamo trotoku

Pogledajmo sada izbliza izraz -8 + ... = 0. Kojim brojem treba zamijeniti elipsu da bi se ispoštovala jednakost? Odgovor se nameće sam od sebe. Umjesto trotočke treba biti pozitivan broj 8 i nijedan drugi. Samo na taj način će se održati ravnopravnost. Zato što je −8 + 8 jednako 0.

Vraćamo se na izraz −8 + ((−4) × (−2)) = 0 i umjesto proizvoda ((−4) × (−2)) upisujemo broj 8

Primjer 5 Pronađite vrijednost izraza −2 × (6 + 4)

Primjenjujemo distributivni zakon množenja, odnosno množimo broj −2 sa svakim članom sume (6 + 4)

−2 × (6 + 4) = −2 × 6 + (−2) × 4

Sada uradimo množenje i zbrojimo rezultate. Usput primijenite prethodno naučena pravila. Unos sa modulima može se izostaviti da ne bi zatrpao izraz

Prva akcija:

−2 × 6 = −12

Druga radnja:

−2 × 4 = −8

Treća akcija:

−12 + (−8) = −20

Dakle, vrijednost izraza −2 × (6 + 4) je −20

Napišimo rješenje ukratko:

−2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20

Primjer 6 Pronađite vrijednost izraza (−2) × (−3) × (−4)

Izraz se sastoji od nekoliko faktora. Prvo množimo brojeve -2 i -3, a rezultirajući proizvod množimo preostalim brojem -4. Preskačemo unos sa modulima kako ne bismo zatrpali izraz

Prva akcija:

(−2) × (−3) = 6

Druga radnja:

6 × (−4) = −(6 × 4) = −24

Dakle, vrijednost izraza (−2) × (−3) × (−4) je −24

Napišimo rješenje ukratko:

(−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24

Divizijski zakoni

Prije dijeljenja cijelih brojeva, potrebno je proučiti dva zakona dijeljenja.

Prije svega, sjetimo se od čega se sastoji podjela. Podjela se sastoji od tri parametra: djeljiv, razdjelnik I privatni. Na primjer, u izrazu 8: 2 = 4, 8 je dividenda, 2 je djelitelj, 4 je količnik.

Dividenda pokazuje šta tačno delimo. U našem primjeru dijelimo broj 8.

Razdjelnik Pokazuje na koliko dijelova treba podijeliti dividendu. U našem primjeru, djelitelj je broj 2. Ovaj djelitelj pokazuje na koliko dijelova treba podijeliti dividendu 8. To jest, tokom operacije dijeljenja, broj 8 će biti podijeljen na dva dijela.

Privatno je stvarni rezultat operacije podjele. U našem primjeru, količnik je 4. Ovaj količnik je rezultat dijeljenja 8 sa 2.

Ne može se podijeliti sa nulom

Nijedan broj se ne može podijeliti sa nulom.

To je zato što je dijeljenje obrnuto od množenja. Ova fraza se može shvatiti doslovno. Na primjer, ako je 2 × 5 = 10, onda je 10:5 = 2.

Može se vidjeti da je drugi izraz napisan obrnutim redoslijedom. Ako, na primjer, imamo dvije jabuke i želimo ih povećati pet puta, onda pišemo 2 × 5 = 10. Dobijamo deset jabuka. Zatim, ako želimo tih deset jabuka svesti na dvije, pišemo 10: 5 = 2

Isto možete učiniti i sa drugim izrazima. Ako je, na primjer, 2 × 6 = 12, onda se možemo vratiti na prvobitni broj 2. Da bismo to učinili, dovoljno je napisati izraz 2 × 6 = 12 obrnutim redoslijedom, dijeleći 12 sa 6

Sada razmotrite izraz 5 × 0. Iz zakona množenja znamo da je proizvod jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Dakle, izraz 5 × 0 je takođe nula

Ako ovaj izraz zapišemo obrnutim redoslijedom, dobićemo:

Odgovor odmah upada u oči je 5, što je rezultat dijeljenja nule sa nulom. To je nemoguće.

Drugi sličan izraz može se napisati obrnutim redoslijedom, na primjer 2 × 0 = 0

U prvom slučaju, dijeljenjem nule sa nulom, dobili smo 5, au drugom slučaju 2. To jest, svaki put kada dijelimo nulu sa nulom, možemo dobiti različite vrijednosti, a to je neprihvatljivo.

Drugo objašnjenje je da dijeljenje djelitelja znači pronalaženje broja koji će, kada se pomnoži s djeliteljem, dati dividendu.

Na primjer, izraz 8:2 znači pronaći broj koji će, kada se pomnoži sa 2, dati 8

Ovdje, umjesto trotočke, treba da stoji broj koji će, kada se pomnoži sa 2, dati odgovor 8. Da biste pronašli ovaj broj, dovoljno je napisati ovaj izraz obrnutim redoslijedom:

Dobili smo broj 4. Napišimo ga umjesto tri tačke:

Sada zamislite da trebate pronaći vrijednost izraza 5: 0. U ovom slučaju, 5 je dividenda, 0 je djelitelj. Podijeliti 5 sa 0 znači pronaći broj koji će, kada se pomnoži sa 0, dati 5

Ovdje bi umjesto trotočke trebao postojati broj koji će, kada se pomnoži sa 0, dati odgovor 5. Ali nema broja koji, kada se pomnoži sa nulom, daje 5.

Izraz … × 0 = 5 je u suprotnosti sa zakonom množenja nulom, koji kaže da je proizvod jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli.

Dakle, nema smisla pisati izraz … × 0 = 5 obrnutim redoslijedom, dijeleći 5 sa 0. Zato kažu da se ne može dijeliti sa nulom.

Uz pomoć varijabli, ovaj zakon se piše na sljedeći način:

At b ≠ 0

Broj a može se podijeliti brojem b, pod uslovom da b nije jednako nuli.

privatni posjed

Ovaj zakon kaže da ako se dividenda i djelitelj pomnože ili podijele istim brojem, tada se količnik neće promijeniti.

Na primjer, razmotrite izraz 12: 4. Vrijednost ovog izraza je 3

Pokušajmo pomnožiti dividendu i djelitelj istim brojem, na primjer, brojem 4. Ako vjerujemo svojstvu količnika, u odgovoru bi opet trebali dobiti broj 3

(12×4) : (4×4)

(12 × 4) : (4 × 4) = 48: 16 = 3

Dobio odgovor 3.

Sada pokušajmo da ne množimo, već podijelimo dividendu i djelitelj brojem 4

(12: 4 ) : (4: 4 )

(12: 4 ) : (4: 4 ) = 3: 1 = 3

Dobio odgovor 3.

Vidimo da ako se dividenda i djelitelj pomnože ili podijele istim brojem, tada se količnik ne mijenja.

Dijeljenje cijelih brojeva

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza 12: (−2)

Ovo je podjela brojeva s različitim predznacima. 12 je pozitivan broj, (−2) je negativan. Da biste riješili ovaj primjer, trebate podijelite modul dividende sa modulom djelitelja, a ispred primljenog odgovora stavite minus.

12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6

Obično se piše kraće:

12: (−2) = −6

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza −24: 6

Ovo je podjela brojeva s različitim predznacima. −24 je negativno, 6 je pozitivno. Još jednom podijelimo modul dividende sa modulom djelitelja, a ispred primljenog odgovora stavimo minus.

−24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4

Napišimo rješenje ukratko:

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza −45: (−5)

Ovo je podjela negativnih brojeva. Da biste riješili ovaj primjer, trebate podijeliti modul dividende sa modulom djelitelja, a ispred primljenog odgovora staviti znak plus.

−45: (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9

Napišimo rješenje ukratko:

−45: (−5) = 9

Primjer 4 Pronađite vrijednost izraza −36: (−4) : (−3)

Prema tome, ako izraz sadrži samo množenje ili dijeljenje, tada se sve radnje moraju izvoditi s lijeva na desno u redoslijedu kojim se pojavljuju.

Podijelite −36 sa (−4), a rezultujući broj podijelite sa −3

Prva akcija:

−36: (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9

Druga radnja:

9: (−3) = −(|9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3

Napišimo rješenje ukratko:

−36: (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3

Da li vam se dopala lekcija?
Pridružite se našoj novoj Vkontakte grupi i počnite primati obavijesti o novim lekcijama

MULTIPLY vrijednost

T.F. Efremova Novi rječnik Ruski jezik. Eksplanatorno-derivacioni

množenje

Značenje:

umnožiti e nie

cf.

1) Proces djelovanja po vrijednosti. glagol: umnožiti (1), umnožiti.

Značenje:

aritmetička operacija. Označeno tačkom "." ili znak "?" (bukvalno, znaci množenja su izostavljeni). Množenje pozitivnih cijelih brojeva (prirodni brojevi) je radnja koja omogućava da dva broja a (množitelj) i b (množitelj) pronađu treći broj ab (proizvod) jednak zbiru b članova, od kojih je svaki jednak a; a i b se takođe nazivaju faktori. Množenje razlomaka brojeva a / b i c / d određuje se jednakošću Množenjem dva racionalna broja dobija se broj, aps. čija je vrijednost jednaka umnošku apsolutnih vrijednosti faktora i koja ima predznak plus (+) ako oba faktora imaju iste predznake, odnosno minus (-) ako imaju različite predznake. Množenje iracionalnih brojeva određuje se korištenjem njihovih racionalnih aproksimacija. Množenje kompleksnih brojeva datih u obrascu? = a + bi i? \u003d c + di, određuje se jednakošću ?? = ac - bd + (a + bc)i.

Mali akademski rečnik ruskog jezika

množenje

Značenje:

ja, cf.

Radnja na glagolu. množi - množi (u 2 vrijednosti); radnja i stanje po vrijednosti. vb. umnožiti - umnožiti.

Kako se porodica množila, nadzor je postajao sve teži. Pomyalovsky, Danilushka.

- Potrebno nam je umnožavanje ljudskih zadovoljstava i ublažavanje ljudske patnje. Ned. Ivanov, Plavi pijesci.

Inverz dijeljenja je matematička operacija kojom se od dva broja (ili količine) dobiva novi broj (ili količina), koji (za cijele brojeve) sadrži zbroj prvog broja onoliko puta koliko ima jedinica u drugom.

Tablica množenja.

Pomnožiti jedan cijeli broj drugim znači ponoviti jedan broj onoliko puta koliko drugi sadrži jedinice. Ponoviti broj znači uzeti njegov sabir nekoliko puta i odrediti zbir.

Definicija množenja

Množenje cijelih brojeva je takva operacija u kojoj morate uzeti jedan broj kao pojmove onoliko puta koliko drugi sadrži jedinice i pronaći zbir ovih članova.

Množenje 7 sa 3 znači uzeti sabir broja 7 tri puta i pronaći zbir. Željeni iznos je 21.

Množenje je sabiranje jednakih članova.

Podatak u množenju se zove množilac i množilac, a željeni - rad.

U predloženom primjeru podaci će biti množitelj 7, množitelj 3 i željeni proizvod 21.

Množenjak. Množenik je broj koji se množi ili ponavlja sabirkom. Multiplikator izražava veličinu jednakih članova.

Faktor. Množilac pokazuje koliko puta se množenik ponavlja članom. Množilac pokazuje broj jednakih članova.

Posao. Proizvod je broj koji je rezultat množenja. To je zbir jednakih članova.

Množitelj i množilac zajedno se pozivaju proizvođači.

Prilikom množenja cijelih brojeva, jedan broj se povećava onoliko puta koliko drugi sadrži jedinice.

znak množenja. Operacija množenja označava se znakom × (indirektni križ) ili. (tačka). Znak množenja se postavlja između množitelja i množitelja.

Ponovite broj 7 tri puta kao sabir i pronađite zbir znači 7 puta 3. Umjesto pisanja

napiši koristeći znak množenja ukratko:

7 × 3 ili 7 3

Množenje je skraćeno sabiranje jednakih članova.

znak ( × ) uveo je Oughtred (1631.), a znak. Christian Wolff (1752).

Odnos između podatka i željenog broja izražava se množenjem

pismeno:

7 × 3 = 21 ili 7 3 = 21

verbalno:

sedam puta tri je 21.

Da biste napravili proizvod od 21, trebate ponoviti 7 tri puta

Da biste napravili faktor 3, morate ponoviti jedinicu tri puta

Dakle, imamo druga definicija množenja: Množenje je operacija u kojoj je proizvod sastavljen od množenika na potpuno isti način kao što je množitelj sastavljen od jedinice.

Glavno svojstvo rada

Proizvod se ne mijenja od promjene narudžbe proizvođača.

Dokaz. Množenje 7 sa 3 znači ponavljanje 7 tri puta. Zamijenimo 7 zbirom 7 jedinica i ugnijezdimo ih okomito, imamo:

Dakle, kada množimo dva broja, možemo uzeti u obzir bilo koji od dva proizvođača kao množitelj. Na osnovu toga se pozivaju proizvođači faktori ili jednostavno množitelji.

Najčešća tehnika množenja je sabiranje jednakih članova; ali ako su proizvođači veliki, ovaj trik dovodi do dugih proračuna, pa je sama kalkulacija drugačije uređena.

Množenje jednocifrenih brojeva. Pitagorina tablica

Da biste pomnožili dva jednocifrena broja, morate ponoviti jedan broj sa pojmovima onoliko puta koliko drugi sadrži jedinice i pronaći njihov zbir. Pošto se množenje cijelih brojeva svodi na množenje jednocifrenih brojeva, oni čine tablicu proizvoda svih jednocifrenih brojeva u parovima. Takva tabela svih proizvoda jednocifrenih brojeva u parovima naziva se tablica množenja.

Njegov izum se pripisuje grčkom filozofu Pitagori, po kome je i nazvan. Pitagorina tablica. (Pitagora je rođen oko 569. godine p.n.e.).

Da biste sastavili ovu tabelu, morate napisati prvih 9 brojeva u horizontalnom redu:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Zatim pod ovim redom treba da potpišete niz brojeva koji izražavaju proizvod ovih brojeva sa 2. Ova serija brojeva će se dobiti kada svaki broj dodamo sebi u prvi red. Iz drugog reda brojeva uzastopno idemo na 3, 4, itd. Svaki sljedeći red dobija se iz prethodnog tako što mu se dodaju brojevi iz prvog reda.

Nastavljajući ovo do reda 9, dobićemo Pitagorinu tabelu u sledećem obliku

Da biste pronašli umnožak dva jednocifrena broja iz ove tabele, potrebno je pronaći jednog proizvođača u prvom horizontalnom redu, a drugog u prvoj vertikalnoj koloni; tada će željeni proizvod biti na sjecištu odgovarajuće kolone i reda. Dakle, proizvod 6 × 7 = 42 nalazi se na sjecištu 6. reda i 7. stupca. Proizvod nula puta broj i broj puta nula uvijek daje nulu.

Budući da umnožak broja sa 1 daje sam broj, a obrnuti redoslijed faktora ne mijenja proizvod, onda su svi različiti umnožaci dva jednocifrena broja na koje treba obratiti pažnju nalaze u sljedećoj tabeli:

Proizvodi jednocifrenih brojeva koji nisu sadržani u ovoj tabeli dobijaju se iz podataka, ako se u njima promeni samo redosled množitelja; dakle 9 x 4 = 4 x 9 = 36.

Množenje višecifrenog broja jednocifrenim brojem

Množenje broja 8094 sa 3 označava se potpisivanjem množitelja ispod množenika, stavljanjem znaka množenja s lijeve strane i povlačenjem linije kako bi se proizvod odvojio.

Množenje višecifrenog broja 8094 sa 3 znači pronalaženje zbira tri jednaka člana

dakle, za množenje morate sve redove višecifrenog broja ponoviti tri puta, odnosno pomnožiti sa 3 jedinice, desetice, stotine itd. Sabiranje počinje od jedan, dakle, množenje također mora početi od jedan, a zatim go from desna ruka lijevo prema jedinicama višeg reda.

U ovom slučaju, tok proračuna se izražava usmeno:

Počinjemo množenje s jedinicama: 3 × 4 je 12, potpisujemo pod jedinicama 2, a jedinicu (1 desetica) primjenjujemo na proizvod sljedećeg reda po faktoru (ili ga zapamtite u umu).

Množenje desetica: 3 × 9 je 27, da 1 u umu je 28; potpisujemo se pod deseticama 8 i 2 na umu.

Množenje stotina: Nula pomnožena sa 3 daje nulu, da 2 u mislima će biti 2, potpisujemo se pod stotinama 2.

Množenje hiljada: 3 × 8 = 24, potpisujemo potpuno 24, jer nemamo sljedeće naredbe.

Ova akcija će biti izražena u pisanoj formi:

Iz prethodnog primjera izvodimo sljedeće pravilo. Da biste pomnožili višecifreni broj jednocifrenim brojem, potrebno vam je:

Potpišite množenik ispod jedinica množenika, stavite znak množenja lijevo i povucite liniju.

Množenje počinje jednostavnim jedinicama, zatim, krećući se s desne strane na lijevu, sukcesivno množe desetice, stotine, hiljade itd.

Ako se prilikom množenja proizvod izrazi kao jednocifreni broj, onda se potpisuje pod pomnoženom cifrom množenika.

Ako je proizvod izražen kao dvocifreni broj, onda se cifra jedinice potpisuje pod istom kolonom, a cifra desetice se dodaje proizvodu sljedećeg reda faktorom.

Množenje se nastavlja sve dok se ne dobije puni proizvod.

Množenje brojeva sa 10, 100, 1000...

Množenje brojeva sa 10 znači pretvaranje jednostavnih jedinica u desetice, desetice u stotine itd., odnosno povećanje reda svih cifara za jedan. Ovo se postiže dodavanjem jedne nule desno. Pomnožiti sa 100 znači povećati sve redove množitelja za dvije jedinice, odnosno pretvoriti jedinice u stotine, desetice u hiljade itd.

Ovo se postiže pripisivanjem dvije nule broju.

Stoga zaključujemo:

Da biste pomnožili cijeli broj sa 10, 100, 1000 i općenito sa 1 sa nulama, trebate dodijeliti onoliko nula na desnoj strani koliko ih ima u množitelju.

Množenje broja 6035 sa 1000 biće izraženo u pisanom obliku:

Kada je množilac broj koji završava nulama, pod množenikom se potpisuju samo značajne cifre, a nule množitelja se pripisuju desno.

Da pomnožite 2039 sa 300, potrebno je da broj 2029 uzmete 300 puta. Uzeti 300 pojmova je isto kao uzeti tri puta 100 pojmova ili 100 puta tri člana. Da bismo to učinili, množimo broj sa 3, a zatim sa 100, ili prvo pomnožimo sa 3, a zatim pripisujemo dvije nule desno.

Tok obračuna će biti izražen u pisanoj formi:

pravilo. Da pomnožite jedan broj drugim, predstavljen cifrom sa nulama, prvo morate pomnožiti množenik brojem izraženim značajnom cifrom, a zatim dodeliti onoliko nula koliko ima faktora.

Množenje višecifrenog broja višecifrenim brojem

Da biste pomnožili višecifreni broj 3029 sa višecifrenim brojem 429, ili pronašli proizvod 3029 * 429, morate ponoviti 3029 pojmova 429 puta i pronaći zbir. Ponoviti 3029 pojmova 429 puta znači ponoviti njegove pojmove prvo 9, zatim 20 i na kraju 400 puta. Dakle, da biste 3029 pomnožili sa 429, morate prvo pomnožiti 3029 sa 9, zatim sa 20 i na kraju sa 400 i pronaći zbir ova tri proizvoda.

Tri rada

pozvao privatni radovi.

Puni proizvod 3029 × 429 jednak je zbroju tri količnika:

3029 x 429 = 3029 x 9 + 3029 x 20 + 3029 x 400.

Nađimo vrijednosti ova tri parcijalna proizvoda.

Množenjem 3029 sa 9, nalazimo:

3029 ×9 27261 prvi privatni rad

Množenjem 3029 sa 20, nalazimo:

3029 × 20 60580 drugi privatni posao

Množenjem 3026 sa 400, nalazimo:

3029 ×400 1211600 treći privatni rad

Zbrajanjem ovih parcijalnih proizvoda dobijamo proizvod 3029 × 429:

Nije teško uočiti da su svi ovi parcijalni proizvodi umnožak broja 3029 i jednocifrenih brojeva 9, 2, 4, a drugom umnošku se pripisuje jedna nula, koja nastaje množenjem deseticama, a dvije nule treći.

Nule pripisane parcijalnim proizvodima se izostavljaju tokom množenja, a proces izračunavanja se izražava u pisanom obliku:

U ovom slučaju, kada se množe sa 2 (cifra desetica množitelja), oni potpisuju 8 ispod desetica, ili se povlače ulijevo za jednu cifru; kada se pomnoži sa cifrom stotine 4, potpiše 6 u trećoj koloni ili se povuče lijevo za 2 znamenke. Općenito, svaki privatni rad počinje se potpisivati s desne strane na lijevo prema redoslijedu kojem pripada cifra množitelja.

U potrazi za proizvodom 3247 od 209, imamo:

Ovdje počinjemo potpisivati drugi djelomični proizvod pod trećom kolonom, jer izražava proizvod 3247 sa 2, trećom cifrom množitelja.

Ovdje smo izostavili samo dvije nule koje su se trebale pojaviti u drugom parcijalnom proizvodu, jer on izražava proizvod broja sa 2 stotine ili sa 200.

Iz onoga što je rečeno izvodimo pravilo. Da pomnožite višecifreni broj sa višecifrenim,

potrebno je da potpišete množilac ispod množitelja tako da brojevi istog reda budu u istoj vertikalnoj koloni, stavite znak množenja lijevo i povucite liniju.

Množenje počinje jednostavnim jedinicama, zatim se kreću iz desne ruke ulijevo, množe serijski množilac sa cifrom desetice, stotine itd. i čine onoliko parcijalnih proizvoda koliko ima značajnih cifara u množitelju.

Jedinice svakog privatnog proizvoda su potpisane ispod kolone kojoj pripada brojka množitelja.

Svi privatni radovi pronađeni na ovaj način se zbrajaju i dobivaju proizvod u cjelini.

Da pomnožite višecifreni broj sa faktorom koji završava nulama, morate odbaciti nule u faktoru, pomnožiti sa preostalim brojem, a zatim dodati onoliko nula u proizvod koliko ih ima u faktoru.

Primjer. Pronađite proizvod 342 sa 2700.

Ako množitelj i množilac završavaju nulama, oni se odbacuju tokom množenja, a zatim se proizvodu dodaje onoliko nula koliko ih ima u oba proizvođača.

Primjer. Računajući proizvod 2700 sa 35000, množimo 27 sa 35

Dodjeljujući pet nula 945, dobijamo željeni proizvod:

2700 × 35000 = 94500000.

Broj cifara proizvoda. Broj znamenki proizvoda 3728 × 496 može se odrediti na sljedeći način. Ovaj proizvod je veći od 3728 × 100 i manji od 3728 × 1000. Broj cifara prvog proizvoda 6 jednak je broju cifara u množitelju 3728 i u množitelju 496 bez jedinice. Broj cifara drugog proizvoda 7 jednak je broju cifara u množenju i u množenju. Dati proizvod od 3728 × 496 ne može imati manje od 6 cifara (broj cifara proizvoda je 3728 × 100, a više od 7 (broj cifara proizvoda je 3728 × 1000).

Gdje zaključujemo: broj znamenki bilo kojeg proizvoda je ili jednak broju cifara u množeniku i faktoru, ili jednak ovom broju bez jedinice.

Naš proizvod može sadržavati 7 ili 6 cifara.