Portalda reklam

Müxtəlif güclərə malik ədədlərin hasili. Dərəcə və onun xüsusiyyətləri. Hərtərəfli bələdçi (2020). İrrasional göstəricilərlə dərəcələrin əsas xassələri

Əvvəlki məqalədə monomialların nə olduğu haqqında danışdıq. Bu materialda istifadə olunduğu nümunələri və problemləri necə həll edəcəyimizi təhlil edəcəyik. Burada monohəmlərin çıxma, toplama, vurma, bölmə və təbii göstərici ilə qüvvəyə yüksəldilməsi kimi hərəkətləri nəzərdən keçirəcəyik. Bu cür əməliyyatların necə müəyyən edildiyini göstərəcəyik, onların həyata keçirilməsi üçün əsas qaydaları və nəticənin nə olacağını göstərəcəyik. Bütün nəzəri müddəalar, həmişə olduğu kimi, həll yollarının təsviri ilə problemlərin nümunələri ilə təsvir ediləcəkdir.

Monomialların standart notasiyası ilə işləmək ən rahatdır, ona görə də məqalədə istifadə olunacaq bütün ifadələri standart formada təqdim edirik. Başlanğıcda fərqli olaraq təyin olunarsa, əvvəlcə onları ümumi qəbul edilmiş formaya gətirmək tövsiyə olunur.

Monoforalların toplanması və çıxılması qaydaları

Monomiallarla yerinə yetirilə bilən ən sadə əməliyyatlar çıxma və toplamadır. Ümumi halda, bu hərəkətlərin nəticəsi çoxhədli olacaqdır (bəzi xüsusi hallarda monomial mümkündür).

Monomialları toplayan və ya çıxdıqda, ilk növbədə, ümumi qəbul edilmiş formada müvafiq cəmi və fərqi qeyd edirik, sonra nəticədə ifadəni sadələşdiririk. Əgər oxşar terminlər varsa, onlar verilməlidir, mötərizələr açılmalıdır. Bir misalla izah edək.

Misal 1

Vəziyyət: monomialları əlavə edin - 3 · x və 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .

Həll

Orijinal ifadələrin cəmini yazaq. Mötərizələr əlavə edin və onların arasına əlavə işarəsi qoyun. Aşağıdakıları alacağıq:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Mötərizələri genişləndirəndə alırıq - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Bu, standart formada yazılmış çoxhədlidir və bu monohəminlərin əlavə edilməsinin nəticəsi olacaq.

Cavab:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

Verilmiş üç, dörd və ya daha çox terminimiz varsa, bu hərəkəti eyni şəkildə yerinə yetiririk.

Misal 2

Vəziyyət:çoxhədlilərlə verilmiş əməliyyatları düzgün ardıcıllıqla yerinə yetirin

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Həll

Mötərizələri açmaqla başlayaq.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Görürük ki, ortaya çıxan ifadə oxşar şərtləri azaltmaqla sadələşdirilə bilər:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 ac + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 ac + 4 9

Bu hərəkətin nəticəsi olacaq bir polinomumuz var.

Cavab: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Prinsipcə, bəzi məhdudiyyətlərlə iki monomialın toplanması və çıxılmasını həyata keçirə bilərik ki, monomial ilə nəticələnək. Bunun üçün terminlər və çıxılan monomiallarla bağlı bəzi şərtlərə riayət etmək lazımdır. Bunun necə edildiyini ayrı bir məqalədə təsvir edəcəyik.

Monomialların çoxaldılması qaydaları

Vurma hərəkəti çarpanlara heç bir məhdudiyyət qoymur. Nəticənin monomial olması üçün çarpılacaq monomlar heç bir əlavə şərtə cavab verməməlidir.

Monomialların çoxaldılmasını həyata keçirmək üçün aşağıdakı addımları yerinə yetirməlisiniz:

  1. Parçanı düzgün qeyd edin.
  2. Yaranan ifadədə mötərizələri genişləndirin.
  3. Mümkünsə, eyni dəyişənlərə malik olan amilləri və ədədi amilləri ayrıca qruplaşdırın.
  4. Rəqəmlərlə lazımi hərəkətləri yerinə yetirin və qalan amillərə eyni əsaslarla güclərin çarpma xüsusiyyətini tətbiq edin.

Bunun praktikada necə edildiyini görək.

Misal 3

Vəziyyət: monomialları 2 · x 4 · y · z və - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 çarpın.

Həll

Əsərin kompozisiyasından başlayaq.

İçindəki mötərizələri açaraq aşağıdakıları alırıq:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Etməli olduğumuz tək şey birinci mötərizədə olan rəqəmləri çoxaltmaq və ikinci mötərizədə güc xassəsini tətbiq etməkdir. Nəticədə aşağıdakıları alırıq:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Cavab: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Şərtdə üç və ya daha çox polinom varsa, onları eyni alqoritmdən istifadə edərək çoxaldırıq. Ayrı bir materialda monomialların vurulması məsələsini daha ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.

Monomialın gücə yüksəldilməsi qaydaları

Bilirik ki, müəyyən sayda eyni amillərin hasili təbii göstəricili dərəcə adlanır. Onların sayı indeksdəki nömrə ilə göstərilir. Bu tərifə görə, monomialın gücə yüksəldilməsi göstərilən eyni monomialların sayını çoxaltmağa bərabərdir. Bunun necə edildiyini görək.

Misal 4

Vəziyyət: monomial − 2 · a · b 4-ü 3-ün gücünə qaldırın.

Həll

Biz eksponentasiyanı 3 monohəmin − 2 · a · b 4 vurması ilə əvəz edə bilərik. Gəlin yazın və istədiyiniz cavabı alaq:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (aaa) (b 4 b 4) b 4) = − 8 a 3 b 12

Cavab:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

Bəs dərəcə böyük eksponent olduqda necə? Çoxlu sayda çarpanların qeyd edilməsi əlverişsizdir. Sonra belə bir problemi həll etmək üçün dərəcənin xüsusiyyətlərini, yəni məhsulun dərəcəsinin xassəsini və dərəcənin xüsusiyyətini dərəcəyə tətbiq etməliyik.

Yuxarıda qeyd etdiyimiz problemi göstərilən şəkildə həll edək.

Misal 5

Vəziyyət:− 2 · a · b 4-ü üçüncü gücə qaldırın.

Həll

Dərəcədəki dərəcənin xüsusiyyətini bilməklə, aşağıdakı formanın ifadəsinə keçə bilərik:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

Bundan sonra güc - 2-yə qaldırırıq və eksponent xassəsini tətbiq edirik:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

Cavab:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

Biz də monomialın gücə yüksəlməsinə ayrıca məqalə həsr etdik.

Monomialların bölünməsi qaydaları

Bu materialda təhlil edəcəyimiz monomiallarla son hərəkət monomialın monomial ilə bölünməsidir. Nəticədə rasional (cəbri) kəsr almalıyıq (bəzi hallarda monomial almaq mümkündür). Dərhal aydınlaşdıraq ki, 0-a bölmə müəyyən edilmədiyi üçün sıfır monohəmə bölünmə müəyyən edilməyib.

Bölməni yerinə yetirmək üçün göstərilən monomialları kəsr şəklində yazmaq və mümkünsə azaltmaq lazımdır.

Misal 6

Vəziyyət: monomial − 9 x 4 y 3 z 7-ni − 6 p 3 t 5 x 2 y 2-yə bölün.

Həll

Başlayaq monomialları kəsr şəklində yazaq.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Bu fraksiya azaldıla bilər. Bunu etdikdən sonra alırıq:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Cavab:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Monofillərin bölünməsi nəticəsində monomial aldığımız şərtlər ayrıca məqalədə verilmişdir.

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Güc düsturları mürəkkəb ifadələrin azaldılması və sadələşdirilməsi prosesində, tənliklərin və bərabərsizliklərin həllində istifadə olunur.

Nömrə c birdir n- ədədin gücü a nə vaxt:

Dərəcələrlə əməliyyatlar.

1. Dərəcələri eyni baza ilə vurmaqla onların göstəriciləri toplanır:

a ma n = a m + n .

2. Eyni əsaslı dərəcələrin bölünməsində onların göstəriciləri çıxılır:

3. 2 və ya daha çox amilin hasilinin dərəcəsi bu amillərin dərəcələrinin hasilinə bərabərdir:

(abc…) n = a n b n c n…

4. Kəsirin dərəcəsi divident və bölən dərəcələrinin nisbətinə bərabərdir:

(a/b) n = a n / b n .

5. Gücü bir gücə yüksəltməklə, eksponentlər vurulur:

(am) n = a m n .

Yuxarıdakı hər bir düstur soldan sağa və əksinə doğrudur.

Misal üçün. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Köklərlə əməliyyatlar.

1. Bir neçə amillərin hasilinin kökü bu amillərin köklərinin hasilinə bərabərdir:

2. Nisbətin kökü divident və köklərin bölən nisbətinə bərabərdir:

3. Kökü bir gücə qaldırarkən, kök sayını bu gücə qaldırmaq kifayətdir:

4. Kökün dərəcəsini artırsaq n bir dəfə və eyni zamanda yüksəltmək n inci güc kök rəqəmdir, onda kökün dəyəri dəyişməyəcək:

5. Kökün dərəcəsini azaldsaq n eyni zamanda kök n radikal ədəddən ci dərəcə, onda kökün dəyəri dəyişməyəcək:

Mənfi eksponentli dərəcə. Müsbət olmayan (tam) eksponentli müəyyən bir ədədin dərəcəsi, qeyri-müsbət eksponentin mütləq qiymətinə bərabər olan göstəricisi olan eyni ədədin dərəcəsinə bölünməsi kimi müəyyən edilir:

Düstur a m:a n = a m - nüçün istifadə oluna bilməz m> n, həm də m< n.

Misal üçün. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Formula üçün a m:a n = a m - n da ədalətli oldu m=n, sıfır dərəcə varlığına ehtiyacınız var.

Sıfır eksponentli dərəcə. Sıfır göstəricisi olan sıfırdan fərqli hər hansı bir ədədin gücü birə bərabərdir.

Misal üçün. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kəsr göstəricisi olan dərəcə. Həqiqi rəqəmi artırmaq üçün Amma dərəcədə m/n, kökü çıxarmaq lazımdır n ci dərəcə m bu ədədin gücü Amma.

Riyaziyyat üzrə dərəcə anlayışı hələ 7-ci sinifdə cəbr dərsində təqdim olunur. Gələcəkdə, riyaziyyatın öyrənilməsi zamanı bu anlayış müxtəlif formalarda fəal şəkildə istifadə olunur. Dərəcələr, dəyərləri yadda saxlamağı və düzgün və tez saymaq bacarığını tələb edən olduqca çətin bir mövzudur. Riyaziyyat dərəcələri ilə daha sürətli və daha yaxşı işləmək üçün onlar dərəcənin xüsusiyyətləri ilə tanış oldular. Onlar böyük hesablamaları azaltmağa, nəhəng nümunəni müəyyən dərəcədə vahid rəqəmə çevirməyə kömək edir. Xüsusiyyətlər o qədər də çox deyil və hamısını yadda saxlamaq və praktikada tətbiq etmək asandır. Buna görə də, məqalədə dərəcənin əsas xüsusiyyətləri, eləcə də onların harada tətbiq olunduğu müzakirə olunur.

dərəcə xassələri

Eyni bazaya malik güclərin xassələri də daxil olmaqla dərəcənin 12 xassəsini nəzərdən keçirəcəyik və hər bir xassə üçün nümunə verəcəyik. Bu xassələrin hər biri sizə dərəcələrlə bağlı problemləri daha tez həll etməyə kömək edəcək, həmçinin sizi çoxsaylı hesablama xətalarından xilas edəcək.

1-ci mülk.

Bir çox insanlar çox vaxt bu xassəni unudurlar, səhvlər edirlər, sıfır dərəcəyə qədər bir nömrəni sıfır kimi təmsil edirlər.

2-ci mülk.

3-cü mülk.

Yadda saxlamaq lazımdır ki, bu xassə yalnız ədədləri vurarkən istifadə edilə bilər, cəmi ilə işləmir! Və unutmaq lazım deyil ki, bu və aşağıdakı xüsusiyyətlər yalnız eyni bazaya malik güclərə aiddir.

4-cü mülk.

Məxrəcdəki ədəd mənfi gücə qaldırılırsa, onda çıxılarkən, sonrakı hesablamalarda işarəni düzgün əvəz etmək üçün məxrəcin dərəcəsi mötərizədə götürülür.

Mülk yalnız bölərkən işləyir, çıxdıqda deyil!

5-ci mülk.

6-cı mülk.

Bu xassə tərsinə də tətbiq oluna bilər. Müəyyən dərəcədə ədədə bölünən vahid, bu ədədin mənfi gücə çevrilməsidir.

7-ci mülk.

Bu əmlak cəmi və fərqə tətbiq edilə bilməz! Cəmi və ya fərqi qüvvəyə qaldırarkən gücün xüsusiyyətlərindən deyil, qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə olunur.

8-ci mülk.

9-cu mülk.

Bu xassə birə bərabər payla istənilən kəsr dərəcə üçün işləyir, düstur eyni olacaq, dərəcənin məxrəcindən asılı olaraq yalnız kökün dərəcəsi dəyişəcək.

Həmçinin, bu əmlak tez-tez tərs qaydada istifadə olunur. Ədədin istənilən gücünün kökü, həmin ədədin kökün gücünə bölünən birinin gücünə bərabər göstərilə bilər. Bu xüsusiyyət ədədin kökünün çıxarılmadığı hallarda çox faydalıdır.

10-cu mülk.

Bu xüsusiyyət yalnız kvadrat kök və ikinci dərəcə ilə işləmir. Kökün dərəcəsi ilə bu kökün yüksəldilmə dərəcəsi eynidirsə, cavab radikal ifadə olacaq.

11-ci mülk.

Özünüzü böyük hesablamalardan xilas etmək üçün bu əmlakı həll edərkən onu vaxtında görə bilməlisiniz.

12-ci mülk.

Bu xassələrin hər biri tapşırıqlarda bir dəfədən çox sizinlə görüşəcək, o, saf formada verilə bilər və ya bəzi çevrilmələr və digər düsturların istifadəsini tələb edə bilər. Buna görə düzgün həll üçün yalnız xassələri bilmək kifayət deyil, riyazi biliklərin qalan hissəsini məşq etmək və əlaqələndirmək lazımdır.

Dərəcələrin tətbiqi və onların xassələri

Onlar cəbr və həndəsədə fəal şəkildə istifadə olunur. Riyaziyyatda dərəcələrin ayrıca, mühüm yeri var. Onların köməyi ilə eksponensial tənliklər və bərabərsizliklər həll edilir, həmçinin səlahiyyətlər çox vaxt riyaziyyatın digər bölmələri ilə əlaqəli tənlikləri və nümunələri çətinləşdirir. Göstəricilər böyük və uzun hesablamalardan qaçmağa kömək edir, eksponentləri azaltmaq və hesablamaq daha asandır. Ancaq böyük güclərlə və ya çox sayda səlahiyyətlərlə işləmək üçün yalnız dərəcənin xüsusiyyətlərini bilməli, həm də əsaslarla bacarıqla işləməli, tapşırığınızı asanlaşdırmaq üçün onları parçalamağı bacarmalısınız. Rahatlıq üçün bir gücə qaldırılan rəqəmlərin mənasını da bilməlisiniz. Bu, uzun hesablamalara ehtiyacı aradan qaldıraraq, həll etmək üçün vaxtınızı azaldacaq.

Loqarifmlərdə dərəcə anlayışı xüsusi rol oynayır. Loqarifm mahiyyət etibarilə ədədin gücüdür.

Qısaldılmış vurma düsturları səlahiyyətlərdən istifadənin başqa bir nümunəsidir. Onlar dərəcələrin xüsusiyyətlərindən istifadə edə bilməzlər, onlar xüsusi qaydalara uyğun olaraq parçalanırlar, lakin hər bir qısaldılmış vurma düsturunda dəyişməz olaraq dərəcələr var.

Dərəcələr fizika və kompüter elmlərində də fəal şəkildə istifadə olunur. SI sisteminə bütün tərcümələr dərəcələrdən istifadə etməklə aparılır və gələcəkdə məsələlərin həlli zamanı dərəcənin xüsusiyyətləri tətbiq edilir. Kompüter elmində saymağın rahatlığı və rəqəmlərin qavranılmasını sadələşdirmək üçün ikinin səlahiyyətləri fəal şəkildə istifadə olunur. Ölçü vahidlərinin çevrilməsi və ya problemlərin hesablanması üzrə sonrakı hesablamalar, fizikada olduğu kimi, dərəcənin xüsusiyyətlərindən istifadə etməklə baş verir.

Dərəcələr astronomiyada da çox faydalıdır, burada dərəcənin xassələrinin istifadəsini nadir hallarda tapa bilərsiniz, lakin dərəcələrin özləri müxtəlif kəmiyyətlərin və məsafələrin qeydini qısaltmaq üçün fəal şəkildə istifadə olunur.

Gündəlik həyatda sahələr, həcmlər, məsafələr hesablanarkən dərəcələrdən də istifadə olunur.

Dərəcələrin köməyi ilə hər hansı bir elm sahəsində çox böyük və çox kiçik dəyərlər yazılır.

eksponensial tənliklər və bərabərsizliklər

Dərəcə xassələri eksponensial tənliklərdə və bərabərsizliklərdə xüsusi yer tutur. Bu tapşırıqlar həm məktəb kursunda, həm də imtahanlarda çox yaygındır. Onların hamısı dərəcənin xüsusiyyətlərini tətbiq etməklə həll edilir. Naməlum həmişə dərəcənin özündədir, buna görə də bütün xassələri bilməklə belə bir tənliyi və ya bərabərsizliyi həll etmək çətin olmayacaq.

Səkkizinci dərəcəyə fikir verməsək, burada nə görürük? Gəlin 7-ci sinif proqramına nəzər salaq. Yadınızdadır? Bu, qısaldılmış vurma düsturudur, yəni kvadratlar fərqidir! Biz əldə edirik:

Məxrəcə diqqətlə baxırıq. Bu, say faktorlarından birinə çox bənzəyir, amma nə səhvdir? Şərtlərin səhv sırası. Əgər onlar dəyişdirilsəydi, qayda tətbiq oluna bilər.

Amma bunu necə etmək olar? Belə çıxır ki, bu, çox asandır: məxrəcin bərabər dərəcəsi burada bizə kömək edir.

Şərtlər sehrli şəkildə yerlərini dəyişdi. Bu "fenomen" bərabər dərəcədə istənilən ifadəyə aiddir: biz mötərizədə olan işarələri sərbəst şəkildə dəyişə bilərik.

Ancaq yadda saxlamaq vacibdir: bütün əlamətlər eyni anda dəyişir!

Nümunəyə qayıdaq:

Və yenə formula:

bütöv natural ədədləri, onların əkslərini (yəni "" işarəsi ilə götürülmüş) və ədədi adlandırırıq.

müsbət tam ədəd, və təbiidən heç bir fərqi yoxdur, onda hər şey əvvəlki hissədə olduğu kimi görünür.

İndi gəlin yeni hallara baxaq. bərabər göstərici ilə başlayaq.

Sıfır gücünə qədər hər hansı bir ədəd birə bərabərdir:

Həmişə olduğu kimi, özümüzə sual veririk: niyə belədir?

Baza ilə bir az güc düşünün. Məsələn, götürün və çarpın:

Beləliklə, rəqəmi vurduq və olduğu kimi aldıq. Heç bir şey dəyişməməsi üçün hansı rəqəmi vurmaq lazımdır? Düzdü, davam. deməkdir.

Eyni şeyi ixtiyari bir nömrə ilə edə bilərik:

Qaydanı təkrarlayaq:

Sıfır gücünə qədər hər hansı bir ədəd birə bərabərdir.

Ancaq bir çox qaydaların istisnaları var. Və burada da var - bu rəqəmdir (əsas kimi).

Bir tərəfdən istənilən dərəcəyə bərabər olmalıdır - sıfırı özünə nə qədər vursan da, yenə də sıfır alacaqsan, bu aydındır. Ancaq digər tərəfdən, sıfır dərəcəyə qədər hər hansı bir ədəd kimi, bərabər olmalıdır. Bəs bunun həqiqəti nədir? Riyaziyyatçılar işə qarışmamağa qərar verdilər və sıfırı sıfıra yüksəltməkdən imtina etdilər. Yəni, indi nəinki sıfıra bölmək, hətta onu sıfır gücünə qaldıra bilərik.

Gəlin daha da irəli gedək. Natural ədədlər və ədədlərlə yanaşı, tam ədədlərə mənfi ədədlər də daxildir. Mənfi dərəcənin nə olduğunu başa düşmək üçün keçən dəfə olduğu kimi edək: bəzi normal ədədi mənfi dərəcədə eyni ilə vururuq:

Buradan istədiyinizi ifadə etmək artıq asandır:

İndi ortaya çıxan qaydanı ixtiyari dərəcədə genişləndiririk:

Beləliklə, qaydanı formalaşdıraq:

Ədədin mənfi qüvvəyə çevrilməsi eyni ədədin müsbət qüvvəyə əksidir. Amma eyni zamanda baza null ola bilməz:(çünki bölmək mümkün deyil).

Ümumiləşdirək:

I. İfadə halda müəyyən edilmir. Əgər, onda.

II. Sıfır gücünə qədər istənilən ədəd birə bərabərdir: .

III. Mənfi qüvvəyə sıfıra bərabər olmayan ədəd eyni ədədin müsbət dərəcəsinə tərsidir: .

Müstəqil həll üçün tapşırıqlar:

Yaxşı, həmişə olduğu kimi, müstəqil həll üçün nümunələr:

Müstəqil həll üçün tapşırıqların təhlili:

Bilirəm, bilirəm, rəqəmlər qorxuludur, amma imtahanda hər şeyə hazır olmalısan! Bu misalları həll edin və ya həll edə bilmədiyiniz halda onların həllini təhlil edin və imtahanda onların öhdəsindən necə asanlıqla gələcəyinizi öyrənəcəksiniz!

Gəlin eksponent kimi "uyğun" ədədlərin diapazonunu genişləndirməyə davam edək.

İndi düşünün rasional ədədlər. Hansı ədədlərə rasional deyilir?

Cavab: kəsr kimi göstərilə bilən hər şey, burada və tam ədədlərdir.

Nə olduğunu anlamaq üçün "kəsir dərəcə" Bir kəsiri nəzərdən keçirək:

Tənliyin hər iki tərəfini gücə qaldıraq:

İndi qaydanı xatırlayın "dərəcədən dərəcəyə":

Bir güc əldə etmək üçün hansı rəqəmi artırmaq lazımdır?

Bu düstur ci dərəcəli kökün tərifidir.

Nəzərinizə çatdırım: ədədin () ci gücünün kökü bir qüvvəyə qaldırıldıqda bərabər olan ədəddir.

Yəni, ci dərəcənin kökü eksponentasiyanın tərs əməlidir: .

Belə çıxır ki. Aydındır ki, bu xüsusi hal uzadıla bilər: .

İndi ədədi əlavə edin: bu nədir? Cavab gücdən gücə qayda ilə asanlıqla əldə edilir:

Amma əsas hər hansı bir rəqəm ola bilərmi? Axı, kök bütün nömrələrdən çıxarıla bilməz.

Heç biri!

Qaydanı xatırlayın: cüt gücə qaldırılan hər hansı bir rəqəm müsbət rəqəmdir. Yəni mənfi ədədlərdən cüt dərəcəli kök çıxarmaq mümkün deyil!

Və bu o deməkdir ki, belə ədədlər cüt məxrəclə kəsr gücünə qaldırıla bilməz, yəni ifadənin mənası yoxdur.

Bəs ifadə haqqında?

Ancaq burada bir problem yaranır.

Nömrə digər, azaldılmış fraksiyalar kimi göstərilə bilər, məsələn, və ya.

Və məlum olur ki, o, mövcuddur, lakin yoxdur və bunlar eyni sayda iki fərqli qeyddir.

Və ya başqa bir misal: bir dəfə, sonra yaza bilərsiniz. Amma indikatoru başqa cür yazan kimi yenə problemlə üzləşirik: (yəni tamam başqa nəticə əldə etdik!).

Bu cür paradoksların qarşısını almaq üçün düşünün yalnız kəsr göstəricisi olan müsbət əsas göstərici.

Beləliklə əgər:

  • - natural ədəd;
  • tam ədəddir;

Nümunələr:

Rasional eksponentli səlahiyyətlər kökləri olan ifadələri çevirmək üçün çox faydalıdır, məsələn:

5 təcrübə nümunəsi

Təlim üçün 5 nümunənin təhlili

1. Dərəcələrin adi xüsusiyyətlərini unutma:

2.. Burada dərəcələr cədvəlini öyrənməyi unutduğumuzu xatırlayırıq:

axırda - bu və ya. Həll avtomatik olaraq tapılır: .

Yaxşı, indi - ən çətin. İndi təhlil edəcəyik irrasional göstərici ilə dərəcə.

Burada dərəcələrin bütün qaydaları və xassələri, istisna olmaqla, rasional göstəricisi olan dərəcələrlə tamamilə eynidir.

Həqiqətən, tərifinə görə, irrasional ədədlər kəsr kimi təqdim edilə bilməyən ədədlərdir, burada və tam ədədlərdir (yəni irrasional ədədlər rasional olanlardan başqa bütün həqiqi ədədlərdir).

Təbii, tam və rasional göstərici ilə dərəcələri öyrənərkən hər dəfə müəyyən bir “şəkil”, “analogiya” və ya daha tanış terminlərlə təsvir yaradırıq.

Məsələn, təbii göstərici özünə bir neçə dəfə vurulan ədəddir;

...sıfır güc- bu, sanki bir dəfə özünə vurulan bir ədəddir, yəni hələ vurulmağa başlamamışdır, yəni rəqəmin özü belə hələ görünməmişdir - buna görə də nəticə yalnız müəyyən bir "hazırlıqdır" nömrə”, yəni nömrə;

...mənfi tam eksponent- sanki müəyyən bir “əks proses” baş verib, yəni ədəd öz-özünə vurulmayıb, bölünüb.

Yeri gəlmişkən, elm çox vaxt mürəkkəb göstəricili dərəcədən istifadə edir, yəni göstərici hətta həqiqi ədəd deyil.

Ancaq məktəbdə belə çətinliklər haqqında düşünmürük, institutda bu yeni anlayışları dərk etmək imkanınız olacaq.

GEDƏCƏYİNİZƏ ƏMİN OLDUĞUZ HARƏ! (belə nümunələri necə həll edəcəyinizi öyrənsəniz :))

Misal üçün:

Özünüz üçün qərar verin:

Həlllərin təhlili:

1. Dərəcəni dərəcəyə qaldırmaq üçün artıq adi qayda ilə başlayaq:

İndi hesaba baxın. O sizə nəyisə xatırladırmı? Kvadratların fərqinin qısaldılmış çarpma formulunu xatırlayırıq:

Bu halda,

Belə çıxır ki:

Cavab: .

2. Göstəricilərdə kəsrləri eyni formaya gətiririk: ya onluq, ya da hər ikisi adi. Məsələn, alırıq:

Cavab: 16

3. Xüsusi bir şey yoxdur, biz dərəcələrin adi xüsusiyyətlərini tətbiq edirik:

ƏTRAFLI SƏVİYYƏ

Dərəcənin tərifi

Dərəcə formasının ifadəsidir: , burada:

  • — dərəcə bazası;
  • - eksponent.

Təbii eksponentli dərəcə (n = 1, 2, 3,...)

Ədədin n təbii qüvvəsinə yüksəldilməsi ədədi özünə dəfələrlə vurmaq deməkdir:

Tam eksponentli güc (0, ±1, ±2,...)

Göstərici olarsa müsbət tam ədəd nömrə:

ereksiya sıfır gücə:

İfadə qeyri-müəyyəndir, çünki bir tərəfdən istənilən dərəcədə bu, digər tərəfdən isə ci dərəcəyə qədər istənilən ədəd budur.

Göstərici olarsa tam mənfi nömrə:

(çünki bölmək mümkün deyil).

Nulllar haqqında daha bir dəfə: halda ifadə müəyyən edilməyib. Əgər, onda.

Nümunələr:

Rasional göstərici ilə dərəcə

  • - natural ədəd;
  • tam ədəddir;

Nümunələr:

Dərəcə xüsusiyyətləri

Problemləri həll etməyi asanlaşdırmaq üçün başa düşməyə çalışaq: bu xüsusiyyətlər haradan gəldi? Gəlin onları sübut edək.

Baxaq: nədir və nədir?

Tərifinə görə:

Beləliklə, bu ifadənin sağ tərəfində aşağıdakı məhsul əldə edilir:

Ancaq tərifə görə, bu eksponentli bir ədədin gücüdür, yəni:

Q.E.D.

Misal : İfadəni sadələşdirin.

Həll : .

Misal : İfadəni sadələşdirin.

Həll : Bizim qaydada qeyd etmək vacibdir mütləq eyni əsasa malik olmalıdır. Buna görə dərəcələri baza ilə birləşdiririk, lakin ayrı bir amil olaraq qalırıq:

Başqa bir vacib qeyd: bu qayda - yalnız səlahiyyətlərin məhsulları üçün!

Heç bir halda bunu yazmamalıyam.

Əvvəlki xüsusiyyətdə olduğu kimi, dərəcənin tərifinə keçək:

Gəlin onu bu şəkildə yenidən təşkil edək:

Belə çıxır ki, ifadə özünə bir dəfə vurulur, yəni tərifə görə bu ədədin --ci dərəcəsidir:

Əslində bunu "indikatorun mötərizəsi" adlandırmaq olar. Ancaq bunu heç vaxt bütövlükdə edə bilməzsiniz:!

Qısaldılmış vurma üçün düsturları xatırlayaq: neçə dəfə yazmaq istədik? Amma bu, həqiqətən də doğru deyil.

Mənfi baza ilə güc.

Bu vaxta qədər biz yalnız nəyin olması lazım olduğunu müzakirə etdik göstərici dərəcə. Bəs əsas nə olmalıdır? dərəcə ilə təbii göstərici əsas ola bilər istənilən nömrə .

Həqiqətən də, müsbət, mənfi və ya hətta istənilən ədədi bir-birimizə vura bilərik. Gəlin düşünək, hansı işarələrin ("" və ya "") müsbət və mənfi ədədlərin dərəcələri olacaq?

Məsələn, rəqəm müsbət və ya mənfi olacaq? AMMA? ?

Birincisi ilə hər şey aydındır: bir-birimizə nə qədər müsbət rəqəmlər vursaq da, nəticə müsbət olacaq.

Ancaq mənfi olanlar bir az daha maraqlıdır. Axı, biz 6-cı sinifdən sadə bir qaydanı xatırlayırıq: "mənfi dəfə minus bir artı verir." Yəni, ya. Ancaq () ilə vursaq - alarıq.

Və s. ad infinitum: hər sonrakı vurma ilə işarə dəyişəcək. Bu sadə qaydaları tərtib edə bilərsiniz:

  1. hətta dərəcə, - nömrə müsbət.
  2. Mənfi rəqəm yüksəldi qəribə dərəcə, - nömrə mənfi.
  3. İstənilən gücə müsbət ədəd müsbət ədəddir.
  4. Sıfırdan istənilən güc sıfıra bərabərdir.

Aşağıdakı ifadələrin hansı işarəyə malik olacağını özünüz müəyyənləşdirin:

1. 2. 3.
4. 5. 6.

idarə etdin? Cavabları təqdim edirik:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

İlk dörd nümunədə ümid edirəm ki, hər şey aydındır? Biz sadəcə bazaya və eksponentə baxırıq və müvafiq qayda tətbiq edirik.

5-ci misalda), hər şey göründüyü qədər qorxulu deyil: bazanın nəyə bərabər olmasının əhəmiyyəti yoxdur - dərəcə bərabərdir, yəni nəticə həmişə müsbət olacaqdır. Yaxşı, baza sıfır olduqda istisna olmaqla. Baza eyni deyil, elə deyilmi? Aydındır ki, yox, çünki (çünki).

Misal 6) artıq o qədər də sadə deyil. Burada hansının daha az olduğunu tapmaq lazımdır: yoxsa? Əgər bunu xatırlayırsınızsa, aydın olur ki, bu da bazanın sıfırdan az olması deməkdir. Yəni 2-ci qaydanı tətbiq edirik: nəticə mənfi olacaq.

Və yenə dərəcə tərifindən istifadə edirik:

Hər şey həmişəki kimidir - dərəcələrin tərifini yazırıq və onları bir-birinə bölürük, cütlərə bölürük və alırıq:

Sonuncu qaydanı təhlil etməzdən əvvəl bir neçə nümunəni həll edək.

İfadələrin dəyərlərini hesablayın:

Həll yolları :

Səkkizinci dərəcəyə fikir verməsək, burada nə görürük? Gəlin 7-ci sinif proqramına nəzər salaq. Yadınızdadır? Bu, qısaldılmış vurma düsturudur, yəni kvadratlar fərqidir!

Biz əldə edirik:

Məxrəcə diqqətlə baxırıq. Bu, say faktorlarından birinə çox bənzəyir, amma nə səhvdir? Şərtlərin səhv sırası. Əgər onlar dəyişdirilsəydi, 3-cü qayda tətbiq oluna bilərdi.Bəs bunu necə etmək olar? Belə çıxır ki, bu, çox asandır: məxrəcin bərabər dərəcəsi burada bizə kömək edir.

Onu çoxalsan, heç nə dəyişmir, elə deyilmi? Ancaq indi belə görünür:

Şərtlər sehrli şəkildə yerlərini dəyişdi. Bu "fenomen" bərabər dərəcədə istənilən ifadəyə aiddir: biz mötərizədə olan işarələri sərbəst şəkildə dəyişə bilərik. Ancaq yadda saxlamaq vacibdir: bütün əlamətlər eyni anda dəyişir! Bizə yalnız bir mənfi mənfi cəhəti dəyişdirməklə onu əvəz etmək olmaz!

Nümunəyə qayıdaq:

Və yenə formula:

Beləliklə, indi son qayda:

Bunu necə sübut edəcəyik? Əlbəttə ki, həmişəki kimi: dərəcə anlayışını genişləndirək və sadələşdirək:

Yaxşı, indi mötərizələri açaq. Neçə hərf olacaq? çarpanlarla dəfə - bu nə kimi görünür? Bu, əməliyyatın tərifindən başqa bir şey deyil vurma: cəmi çarpanların olduğu ortaya çıxdı. Yəni, tərifinə görə, göstəricisi olan ədədin gücüdür:

Misal:

İrrasional göstərici ilə dərəcə

Orta səviyyə üçün dərəcələr haqqında məlumatlara əlavə olaraq, dərəcəni irrasional göstərici ilə təhlil edəcəyik. Burada dərəcələrin bütün qaydaları və xassələri, istisna olmaqla, rasional eksponentli dərəcə ilə tamamilə eynidır - axırda, tərifinə görə, irrasional ədədlər kəsr kimi göstərilə bilməyən ədədlərdir, burada və tam ədədlərdir (yəni , irrasional ədədlər rasionallardan başqa bütün həqiqi ədədlərdir).

Təbii, tam və rasional göstərici ilə dərəcələri öyrənərkən hər dəfə müəyyən bir “şəkil”, “analogiya” və ya daha tanış terminlərlə təsvir yaradırıq. Məsələn, təbii göstərici özünə bir neçə dəfə vurulan ədəddir; sıfır dərəcəsinə qədər olan ədəd, sanki, bir dəfə özünə vurulmuş ədəddir, yəni o, hələ vurulmağa başlamamışdır, bu o deməkdir ki, ədədin özü belə hələ meydana çıxmayıb - buna görə də nəticə yalnız bir müəyyən “nömrənin hazırlanması”, yəni nömrə; mənfi tam ədədi olan dərəcə - sanki müəyyən bir "əks proses" baş verdi, yəni nömrə öz-özünə vurulmadı, ancaq bölündü.

İrrasional göstərici ilə dərəcəni təsəvvür etmək son dərəcə çətindir (4 ölçülü fəzanı təsəvvür etmək çətin olduğu kimi). Daha doğrusu, riyaziyyatçıların dərəcə anlayışını bütün ədədlər fəzasına genişləndirmək üçün yaratdıqları sırf riyazi obyektdir.

Yeri gəlmişkən, elm çox vaxt mürəkkəb göstəricili dərəcədən istifadə edir, yəni göstərici hətta həqiqi ədəd deyil. Ancaq məktəbdə belə çətinliklər haqqında düşünmürük, institutda bu yeni anlayışları dərk etmək imkanınız olacaq.

Əgər irrasional eksponent görsək nə edəcəyik? Bundan xilas olmaq üçün əlimizdən gələni edirik! :)

Misal üçün:

Özünüz üçün qərar verin:

1) 2) 3)

Cavablar:

  1. Kvadratlar düsturunun fərqini xatırlayın. Cavab: .
  2. Kəsrləri eyni formaya gətiririk: ya hər iki onluq, ya da hər ikisi adi. Məsələn, alırıq: .
  3. Xüsusi bir şey yoxdur, biz dərəcələrin adi xüsusiyyətlərini tətbiq edirik:

BÖLMƏNİN XÜLASƏSİ VƏ ƏSAS FORMULA

Dərəcə formasının ifadəsi adlanır: , burada:

Tam eksponentli dərəcə

dərəcə, eksponenti natural ədəddir (yəni tam və müsbət).

Rasional göstərici ilə dərəcə

dərəcə, göstəricisi mənfi və kəsr ədədlərdir.

İrrasional göstərici ilə dərəcə

eksponenti sonsuz onluq kəsr və ya kök olan eksponent.

Dərəcə xüsusiyyətləri

Dərəcələrin xüsusiyyətləri.

  • Mənfi rəqəm yüksəldi hətta dərəcə, - nömrə müsbət.
  • Mənfi rəqəm yüksəldi qəribə dərəcə, - nömrə mənfi.
  • İstənilən gücə müsbət ədəd müsbət ədəddir.
  • Sıfır istənilən gücə bərabərdir.
  • Sıfır gücünə qədər istənilən ədəd bərabərdir.

İNDİ SÖZÜNÜZ VAR...

Məqaləni necə bəyənirsiniz? Bəyəndiyiniz və ya bəyənmədiyinizi aşağıdakı şərhlərdə mənə bildirin.

Güc xüsusiyyətləri ilə bağlı təcrübəniz haqqında bizə məlumat verin.

Bəlkə suallarınız var. Və ya təkliflər.

Şərhlərdə yazın.

Və imtahanlarınızda uğurlar!

Dərsin məzmunu

dərəcə nədir?

Dərəcə bir neçə eyni amillərin məhsulu adlanır. Misal üçün:

2×2×2

Bu ifadənin qiyməti 8-dir

2 x 2 x 2 = 8

Bu tənliyin sol tərəfini qısaltmaq olar - əvvəlcə təkrarlanan amili yazın və onun üzərində neçə dəfə təkrarlandığını göstərin. Bu vəziyyətdə təkrarlanan çarpan 2-dir. Üç dəfə təkrarlanır. Buna görə də, ikilik üzərində üçlü yazırıq:

2 3 = 8

Bu ifadə belə oxunur: iki üçüncü dərəcə səkkizə bərabərdir və ya " 2-nin üçüncü dərəcəsi 8-dir.

Eyni amillərin vurulmasının qısa yazı formasından daha çox istifadə olunur. Buna görə də yadda saxlamalıyıq ki, əgər hansısa nömrənin üzərinə başqa bir rəqəm yazılıbsa, bu, bir neçə eyni faktorun çoxalmasıdır.

Məsələn, 5 3 ifadəsi verilirsə, o zaman nəzərə almaq lazımdır ki, bu ifadə 5 × 5 × 5 yazmağa bərabərdir.

Təkrarlanan nömrə çağırılır dərəcə bazası. 5 3 ifadəsində dərəcənin əsası 5 rəqəmidir.

Və 5 rəqəminin üstündə yazılmış nömrə çağırılır eksponent. 5 3 ifadəsində göstərici 3 rəqəmidir. Göstərici dərəcə əsasının neçə dəfə təkrarlandığını göstərir. Bizim vəziyyətimizdə 5-ci baza üç dəfə təkrarlanır.

Eyni amilləri vurma əməliyyatı adlanır eksponentasiya.

Məsələn, hər biri 2-yə bərabər olan dörd eyni amilin hasilini tapmaq lazımdırsa, deyirlər ki, 2 rəqəmi dördüncü gücə yüksəldi:

Dördüncü dərəcəyə qədər 2 rəqəminin 16 rəqəmi olduğunu görürük.

Qeyd edək ki, bu dərsdə baxırıq təbii göstərici ilə dərəcələr. Bu bir növ dərəcədir, onun eksponenti natural ədəddir. Xatırladaq ki, natural ədədlər sıfırdan böyük olan tam ədədlərdir. Məsələn, 1, 2, 3 və s.

Ümumiyyətlə, təbii göstərici ilə dərəcənin tərifi aşağıdakı kimidir:

dərəcəsi a təbii göstərici ilə n formasının ifadəsidir a n, məhsula bərabərdir nçarpanları, hər biri bərabərdir a

Nümunələr:

Nömrəni gücə qaldırarkən diqqətli olun. Çox vaxt insan diqqətsizlik nəticəsində dərəcənin əsasını eksponentlə çarpar.

Məsələn, ikinci dərəcəyə 5 rəqəmi hər biri 5-ə bərabər olan iki amilin hasilidir. Bu hasil 25-ə bərabərdir.

İndi təsəvvür edin ki, biz təsadüfən 5 bazasını 2-ci eksponentə vurduq

Səhv oldu, çünki ikinci dərəcəli 5 rəqəmi 10-a bərabər deyil.

Əlavə olaraq qeyd etmək lazımdır ki, göstəricisi 1 olan ədədin gücü ədədin özüdür:

Məsələn, birinci dərəcəli 5 rəqəmi 5 rəqəminin özüdür.

Müvafiq olaraq, əgər nömrənin göstəricisi yoxdursa, onda göstəricinin birə bərabər olduğunu düşünməliyik.

Məsələn, 1, 2, 3 rəqəmləri göstəricisiz verilir, buna görə də onların göstəriciləri birə bərabər olacaqdır. Bu ədədlərin hər biri 1 göstəricisi ilə yazıla bilər

Və hər hansı bir gücə 0 qaldırsanız, 0 alırsınız. Doğrudan da, heç nə öz-özünə neçə dəfə vurulsa da, heç nə alınmayacaq. Nümunələr:

Və 0 0 ifadəsinin heç bir mənası yoxdur. Lakin riyaziyyatın bəzi sahələrində, xüsusən də analiz və çoxluqlar nəzəriyyəsində 0 0 ifadəsi məna verə bilər.

Təlim üçün rəqəmləri gücə çatdırmağın bir neçə nümunəsini həll edəcəyik.

Misal 1 3 rəqəmini ikinci gücə qaldırın.

İkinci dərəcəyə 3 rəqəmi hər biri 3-ə bərabər olan iki amilin məhsuludur

3 2 = 3 × 3 = 9

Misal 2 2 rəqəmini dördüncü gücə qaldırın.

2-dən dördüncü dərəcəyə qədər hər biri 2-yə bərabər olan dörd amilin məhsuludur

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Misal 3 2 rəqəmini üçüncü gücə qaldırın.

Üçüncü dərəcəyə 2 rəqəmi hər biri 2-yə bərabər olan üç amilin məhsuludur

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

10 ədədinin eksponentasiyası

10 rəqəmini bir gücə yüksəltmək üçün vahiddən sonra eksponentə bərabər olan sıfırların sayını əlavə etmək kifayətdir.

Məsələn, 10 rəqəmini ikinci dərəcəyə qaldıraq. Əvvəlcə 10 rəqəminin özünü yazırıq və 2 rəqəmini göstərici kimi göstəririk

10 2

İndi bərabər işarə qoyuruq, birini yazırıq və bundan sonra iki sıfır yazırıq, çünki sıfırların sayı eksponentə bərabər olmalıdır.

10 2 = 100

Beləliklə, ikinci dərəcəyə görə 10 rəqəmi 100 rəqəmidir. Bu, ikinci dərəcəyə verilən 10 rəqəminin hər biri 10-a bərabər olan iki amilin məhsulu olması ilə əlaqədardır.

10 2 = 10 × 10 = 100

Misal 2. 10 rəqəmini üçüncü dərəcəyə qaldıraq.

Bu vəziyyətdə birdən sonra üç sıfır olacaq:

10 3 = 1000

Misal 3. 10 rəqəmini dördüncü dərəcəyə qaldıraq.

Bu halda, birdən sonra dörd sıfır olacaq:

10 4 = 10000

Misal 4. 10 rəqəmini birinci dərəcəyə qaldıraq.

Bu vəziyyətdə birdən sonra bir sıfır olacaq:

10 1 = 10

10, 100, 1000 rəqəmlərini 10 bazası ilə bir güc kimi təmsil etmək

10, 100, 1000 və 10000 ədədlərini 10-cu baza ilə dərəcə kimi göstərmək üçün 10-cu əsası yazmalı və eksponent olaraq orijinal ədəddəki sıfırların sayına bərabər ədəd göstərməlisiniz.

10 rəqəmini 10 bazası olan bir qüvvə kimi təqdim edək. Onun bir sıfır olduğunu görürük. Beləliklə, 10 əsası olan bir güc olaraq 10 rəqəmi 10 1 olaraq təmsil olunacaq

10 = 10 1

Misal 2. 100 rəqəmini 10-un əsası ilə qüvvə kimi təqdim edək. 100 ədədinin iki sıfır olduğunu görürük. Beləliklə, 10 əsası olan 100 rəqəmi 10 2 ilə təmsil olunacaq

100 = 10 2

Misal 3. 1000 rəqəmini 10 əsası ilə bir güc kimi təqdim edək.

1 000 = 10 3

Misal 4. 10.000 rəqəmini 10-un əsası ilə qüvvə kimi təqdim edək.

10 000 = 10 4

Mənfi ədədin eksponentasiyası

Mənfi ədədi gücə qaldırarkən, mötərizə içərisində olmalıdır.

Məsələn, mənfi −2 ədədini ikinci dərəcəyə qaldıraq. İkinci dərəcəyə −2 ədədi hər biri (−2)-ə bərabər olan iki amilin məhsuludur.

(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4

Əgər -2 rəqəmini mötərizə etməsəydik, onda belə çıxacaqdı ki, -2 2 ifadəsini hesablayırıq. bərabər deyil 4 . -2² ifadəsi -4-ə bərabər olacaq. Səbəbini anlamaq üçün bəzi məqamlara toxunaq.

Müsbət ədədin qarşısına mənfi işarə qoysaq, bununla da çıxış edirik əks dəyərin alınması əməliyyatı.

Tutaq ki, 2 rəqəmi verilmişdir və onun əksini tapmaq lazımdır. 2-nin əksinin −2 olduğunu bilirik. Yəni 2-nin əksini tapmaq üçün bu ədədin qarşısına mənfi işarə qoymaq kifayətdir. Rəqəmin qarşısına minus qoymaq artıq riyaziyyatda tam hüquqlu əməliyyat hesab olunur. Bu əməliyyat, yuxarıda qeyd edildiyi kimi, əks qiymət alma əməliyyatı adlanır.

-2 2 ifadəsi halında iki əməliyyat baş verir: əks qiymət alma əməliyyatı və eksponentasiya. Gücü yüksəltmək, əks qiymət almaqdan daha yüksək prioritet əməliyyatdır.

Buna görə də −2 2 ifadəsi iki addımda hesablanır. Əvvəlcə eksponentasiya əməliyyatı yerinə yetirilir. Bu vəziyyətdə müsbət 2 rəqəmi ikinci gücə qaldırıldı.

Sonra əks qiymət alındı. Bu əks qiymət 4 üçün tapıldı. 4 üçün isə əks qiymət −4-dür

−2 2 = −4

Mötərizələr ən yüksək icra üstünlüyünə malikdir. Buna görə də (−2) 2 ifadəsinin hesablanması zamanı əvvəlcə əks qiymət alınır, sonra isə mənfi ədəd −2 ikinci dərəcəyə qaldırılır. Mənfi ədədlərin hasili müsbət ədəd olduğu üçün nəticə müsbət 4 cavabıdır.

Misal 2. −2 sayını üçüncü dərəcəyə qaldırın.

Üçüncü dərəcəyə −2 ədədi hər biri (−2)-ə bərabər olan üç amilin hasilidir.

(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8

Misal 3. -2 sayını dördüncü dərəcəyə qaldırın.

−2-dən dördüncü dərəcəyə qədər hər biri (−2)-ə bərabər olan dörd amilin hasilidir.

(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

Mənfi ədədi gücə qaldırarkən ya müsbət, ya da mənfi cavabın alına biləcəyini görmək asandır. Cavabın işarəsi ilkin dərəcənin eksponentindən asılıdır.

Göstərici cütdürsə, cavab bəlidir. Göstərici təkdirsə, cavab mənfidir. Bunu −3 rəqəminin nümunəsində göstərək

Birinci və üçüncü hallarda göstərici olmuşdur qəribə sayı, beləliklə cavab oldu mənfi.

İkinci və dördüncü hallarda göstərici idi hətta sayı, beləliklə cavab oldu müsbət.

Misal 7-5 rəqəmini üçüncü gücə qaldırın.

Üçüncü dərəcəyə -5 rəqəmi hər biri -5-ə bərabər olan üç amilin hasilidir. Göstərici 3 tək ədəddir, ona görə də cavabın mənfi olacağını əvvəlcədən deyə bilərik:

(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125

Misal 8-4 sayını dördüncü gücə qaldırın.

-4-dən dördüncü dərəcəyə qədər hər biri -4-ə bərabər olan dörd amilin hasilidir. Bu halda 4-cü göstərici bərabərdir, ona görə də cavabın müsbət olacağını əvvəlcədən deyə bilərik:

(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256

İfadə Dəyərlərinin Tapılması

Mötərizədə olmayan ifadələrin qiymətlərini taparkən, əvvəlcə eksponentasiya, sonra onların ardıcıllığı ilə vurma və bölmə, sonra isə öz ardıcıllığı ilə toplama və çıxma yerinə yetiriləcəkdir.

Misal 1. 2 + 5 2 ifadəsinin qiymətini tapın

Əvvəlcə eksponentasiya aparılır. Bu vəziyyətdə 5 rəqəmi ikinci gücə qaldırılır - 25 çıxır. Sonra bu nəticə 2 rəqəminə əlavə olunur.

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

Misal 10. −6 2 × (−12) ifadəsinin qiymətini tapın.

Əvvəlcə eksponentasiya aparılır. Qeyd edək ki, −6 rəqəmi mötərizədə deyil, buna görə də 6 rəqəmi ikinci dərəcəyə qaldırılacaq, sonra nəticənin qarşısında bir mənfi qoyulacaq:

−6 2 × (−12) = −36 × (−12)

Məsələni −36-nı (−12) vurmaqla tamamlayırıq.

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

Misal 11. −3 × 2 2 ifadəsinin qiymətini tapın

Əvvəlcə eksponentasiya aparılır. Sonra nəticə −3 ədədi ilə vurulur

−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12

Əgər ifadədə mötərizədə mötərizələr varsa, o zaman əvvəlcə bu mötərizədə əməliyyatlar yerinə yetirməli, sonra eksponentasiya, sonra vurma və bölmə, sonra isə toplama və çıxma əməllərini yerinə yetirmək lazımdır.

Misal 12. (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5 ifadəsinin qiymətini tapın

Əvvəlcə mötərizələri yerinə yetirək. Mötərizədə əvvəllər öyrənilmiş qaydaları tətbiq edirik, yəni əvvəlcə 3 rəqəmini ikinci gücə qaldırırıq, sonra 1 × 3 vurma yerinə yetiririk, sonra 3 rəqəmini gücə yüksəltmək və 1 × 3-ə vurmaq nəticələrini əlavə edirik. Sonra çıxma və toplama göründükləri ardıcıllıqla yerinə yetirilir. Orijinal ifadə üzərində hərəkətin yerinə yetirilməsi üçün aşağıdakı ardıcıllığı təşkil edək:

(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2

Misal 13. 2 × 5 3 + 5 × 2 3 ifadəsinin qiymətini tapın

Əvvəlcə rəqəmləri bir gücə qaldırırıq, sonra vurma aparırıq və nəticələri əlavə edirik:

2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290

Güclərin şəxsiyyət transformasiyaları

Güclər üzərində müxtəlif eyni transformasiyalar edilə bilər və bununla da onları sadələşdirir.

Tutaq ki, (2 3) 2 ifadəsini hesablamaq tələb olundu. Bu misalda iki üçüncü güc ikinci gücə qaldırılır. Başqa sözlə, bir dərəcə başqa dərəcəyə qaldırılır.

(2 3) 2, hər biri 2 3-ə bərabər olan iki gücün hasilidir

Üstəlik, bu səlahiyyətlərin hər biri hər biri 2-yə bərabər olan üç amilin məhsuludur

64-ə bərabər olan 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 hasilini əldə etdik. Beləliklə, ifadənin qiyməti (2 3) 2 və ya 64-ə bərabərdir.

Bu nümunəni çox sadələşdirmək olar. Bunun üçün (2 3) 2 ifadəsinin göstəriciləri çoxaldıla bilər və bu hasil 2 əsasının üzərinə yazıla bilər.

26 aldım. İkidən altıncı dərəcə hər biri 2-yə bərabər olan altı amilin hasilidir. Bu hasil 64-ə bərabərdir.

Bu xüsusiyyət işləyir, çünki 2 3 2 × 2 × 2 məhsuludur və bu da öz növbəsində iki dəfə təkrarlanır. Sonra məlum olur ki, 2-ci baza altı dəfə təkrarlanır. Buradan yaza bilərik ki, 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 6-dır.

Ümumiyyətlə, hər hansı bir səbəbdən a göstəriciləri ilə m Və n, aşağıdakı bərabərlik təmin edilir:

(a n)m = a n × m

Bu eyni çevrilmə adlanır eksponentasiya. Bunu belə oxumaq olar: “Bir gücə yüksəldərkən əsas dəyişməz qalır və eksponentlər çoxalır” .

Göstəriciləri çoxaltdıqdan sonra başqa bir dərəcə alırsınız, onun dəyərini tapmaq olar.

Misal 2. (3 2) 2 ifadəsinin qiymətini tapın

Bu misalda əsas 3-dür, 2 və 2 rəqəmləri isə göstəricidir. Gəlin eksponentasiya qaydasından istifadə edək. Baza dəyişmədən buraxırıq və göstəriciləri çoxaldırıq:

34 aldım. Və dördüncü dərəcəyə qədər 3 rəqəmi 81-dir

Qalan çevrilmələrə baxaq.

Gücün çoxaldılması

Dərəcələri çoxaltmaq üçün hər dərəcəni ayrıca hesablamaq və nəticələri çoxaltmaq lazımdır.

Məsələn, 2 2-ni 3 3-ə vuraq.

2 2 4 rəqəmi, 3 3 isə 27 rəqəmidir. 4 və 27 rəqəmlərini çoxaldırıq, 108 alırıq

2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108

Bu nümunədə səlahiyyətlərin əsasları fərqli idi. Əgər əsaslar eynidirsə, onda bir əsas yazıla bilər və göstərici kimi ilkin dərəcələrin göstəricilərinin cəmini yazın.

Məsələn, 2 2-ni 2 3-ə vurun

Bu nümunədə eksponentlər eyni bazaya malikdir. Bu halda, bir əsas 2 yaza və göstərici olaraq 2 2 və 2 3 eksponentlərinin cəmini yaza bilərsiniz. Başqa sözlə, əsası dəyişmədən buraxın və orijinal dərəcələrin eksponentlərini əlavə edin. Bu belə görünəcək:

25 aldım. 2-dən beşinci dərəcəyə qədər rəqəm 32-dir

Bu xüsusiyyət işləyir, çünki 2 2 2 × 2 və 2 3 2 × 2 × 2 məhsuludur. Sonra hər biri 2-yə bərabər olan beş eyni amilin hasili alınır. Bu məhsul 2 5 kimi göstərilə bilər

Ümumiyyətlə, hər hansı bir üçün a və göstəricilər m Və n aşağıdakı bərabərlik təmin edilir:

Bu eyni çevrilmə adlanır dərəcənin əsas xassəsidir. Bunu belə oxumaq olar: PGücləri eyni əsasla vurarkən əsas dəyişməz qalır və eksponentlər əlavə olunur. .

Qeyd edək ki, bu çevrilmə istənilən sayda dərəcəyə tətbiq oluna bilər. Əsas odur ki, baza eyni olsun.

Məsələn, 2 1 × 2 2 × 2 3 ifadəsinin qiymətini tapaq. Vəqf 2

Bəzi məsələlərdə son dərəcəni hesablamadan müvafiq çevrilməni yerinə yetirmək kifayət ola bilər. Bu, əlbəttə ki, çox rahatdır, çünki böyük gücləri hesablamaq o qədər də asan deyil.

Misal 1. 5 8 × 25 ifadəsini güc kimi ifadə edin

Bu məsələdə elə etmək lazımdır ki, 5 8 × 25 ifadəsinin əvəzinə bir dərəcə alınsın.

25 rəqəmi 5 2 kimi göstərilə bilər. Sonra aşağıdakı ifadəni alırıq:

Bu ifadədə siz dərəcənin əsas xassəsini tətbiq edə bilərsiniz - baza 5-i dəyişməz buraxın və 8 və 2 göstəricilərini əlavə edin:

Həllini qısaca yazaq:

Misal 2. 2 9 × 32 ifadəsini qüvvə ilə ifadə edin

32 rəqəmi 2 5 kimi göstərilə bilər. Sonra 2 9 × 2 5 ifadəsini alırıq. Sonra, dərəcənin əsas xüsusiyyətini tətbiq edə bilərsiniz - baza 2-ni dəyişməz olaraq buraxın və 9 və 5 göstəricilərini əlavə edin. Bu, aşağıdakı həll ilə nəticələnəcək:

Misal 3. Əsas güc xüsusiyyətindən istifadə edərək 3 × 3 məhsulunu hesablayın.

Hər kəs yaxşı bilir ki, üç dəfə üç doqquza bərabərdir, lakin tapşırıq həll zamanı dərəcənin əsas xüsusiyyətindən istifadə etməyi tələb edir. Bunu necə etmək olar?

Xatırlayırıq ki, əgər rəqəm göstəricisiz verilirsə, onda göstərici birə bərabər hesab edilməlidir. Beləliklə, 3 və 3 amilləri 3 1 və 3 1 kimi yazıla bilər

3 1 × 3 1

İndi dərəcənin əsas xüsusiyyətindən istifadə edirik. Baza 3-ü dəyişməz qoyuruq və 1 və 1 göstəricilərini əlavə edirik:

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

Misal 4. Əsas güc xassəsindən istifadə edərək 2 × 2 × 3 2 × 3 3 məhsulunu hesablayın.

2 × 2 məhsulunu 2 1 × 2 1, sonra 2 1 + 1, sonra isə 2 2 ilə əvəz edirik. 3 2 × 3 3 məhsulu 3 2 + 3 və sonra 3 5 ilə əvəz olunur

Misal 5. Çoxalmanı həyata keçirin x × x

Bunlar 1 göstəriciləri olan iki eyni əlifba faktorudur. Aydınlıq üçün bu göstəriciləri yazırıq. Əlavə baza x onu dəyişməz qoyun və göstəriciləri əlavə edin:

Lövhədə oturaraq, eyni əsaslarla güclərin vurulmasını burada olduğu kimi təfərrüatı ilə yazmaq olmaz. Belə hesablamalar ağılda aparılmalıdır. Ətraflı bir giriş çox güman ki, müəllimi qıcıqlandıracaq və bunun üçün qiyməti aşağı salacaq. Burada materialın başa düşülməsi üçün mümkün qədər əlçatan olması üçün ətraflı qeyd verilir.

Bu nümunənin həlli belə yazılmalıdır:

Misal 6. Çoxalmanı həyata keçirin x 2 × x

İkinci amilin indeksi birə bərabərdir. Aydınlıq üçün onu yazaq. Sonra, bazanı dəyişməz qoyuruq və göstəriciləri əlavə edirik:

Misal 7. Çoxalmanı həyata keçirin y 3 y 2 y

Üçüncü amilin indeksi birə bərabərdir. Aydınlıq üçün onu yazaq. Sonra, bazanı dəyişməz qoyuruq və göstəriciləri əlavə edirik:

Misal 8. Çoxalmanı həyata keçirin aa 3 a 2 a 5

Birinci amilin indeksi birə bərabərdir. Aydınlıq üçün onu yazaq. Sonra, bazanı dəyişməz qoyuruq və göstəriciləri əlavə edirik:

Misal 9. 3 8-in gücünü eyni əsasla güclərin hasili kimi ifadə edin.

Bu məsələdə əsasları 3-ə, eksponentlərinin cəmi 8-ə bərabər olacaq dərəcələrin hasilini çıxarmaq lazımdır. İstənilən göstəricilərdən istifadə edə bilərsiniz. 3 8 dərəcəsini 3 5 və 3 3 güclərinin hasili kimi təqdim edirik

Bu misalda biz yenə də dərəcənin əsas xüsusiyyətinə istinad etdik. Axı, 3 5 × 3 3 ifadəsini 3 5 + 3 kimi yazmaq olar, buradan 3 8 .

Təbii ki, 3 8 qüdrətini başqa güclərin məhsulu kimi təmsil etmək mümkün idi. Məsələn, 3 7 × 3 1 şəklində, çünki bu məhsul da 3 8-dir

Bir dərəcəni eyni əsasla səlahiyyətlərin məhsulu kimi təmsil etmək, əsasən yaradıcı işdir. Buna görə sınaqdan qorxmayın.

Misal 10. Dərəcəni təqdim edin x 12 əsaslarla güclərin müxtəlif məhsulları kimi x .

Gəlin dərəcənin əsas xüsusiyyətindən istifadə edək. Təsəvvür edin x 12 əsaslı məhsullar kimi x, və eksponentlərinin cəmi 12-yə bərabər olan

Aydınlıq üçün göstəricilərin cəmi ilə konstruksiyalar qeydə alınmışdır. Çox vaxt onları atlaya bilərsiniz. Sonra kompakt bir həll əldə edirik:

Məhsulun eksponentasiyası

Bir məhsulu bir gücə yüksəltmək üçün bu məhsulun hər bir faktorunu müəyyən edilmiş gücə qaldırmaq və nəticələri çoxaltmaq lazımdır.

Məsələn, hasilini 2 × 3 ikinci gücə qaldıraq. Bu məhsulu mötərizədə götürürük və göstərici olaraq 2-ni göstəririk

İndi 2 × 3 məhsulun hər bir amilini ikinci dərəcəyə qaldıraq və nəticələri çoxaldaq:

Bu qaydanın işləmə prinsipi ən əvvəldə verilmiş dərəcənin tərifinə əsaslanır.

2 × 3 məhsulunu ikinci gücə qaldırmaq bu məhsulun iki dəfə təkrarlanması deməkdir. Və bunu iki dəfə təkrarlasanız, aşağıdakıları əldə edə bilərsiniz:

2×3×2×3

Faktorların yerlərinin dəyişdirilməsindən məhsul dəyişmir. Bu, eyni çarpanları qruplaşdırmağa imkan verir:

2×2×3×3

Təkrarlanan çarpanları qısa qeydlərlə əvəz etmək olar - eksponentlərlə əsaslar. 2 × 2 məhsulu 2 2 ilə, 3 × 3 məhsulu isə 3 2 ilə əvəz edilə bilər. Sonra 2 × 2 × 3 × 3 ifadəsi 2 2 × 3 2 ifadəsinə çevrilir.

Qoy olsun ab orijinal iş. Bu məhsulu gücə yüksəltmək üçün n, amilləri ayrıca qaldırmaq lazımdır a Və b müəyyən dərəcədə n

Bu xüsusiyyət istənilən sayda amillər üçün etibarlıdır. Aşağıdakı ifadələr də etibarlıdır:

Misal 2. (2 × 3 × 4) 2 ifadəsinin qiymətini tapın

Bu nümunədə məhsulu 2 × 3 × 4 ikinci gücə yüksəltməlisiniz. Bunu etmək üçün bu məhsulun hər bir amilini ikinci gücə yüksəltməlisiniz və nəticələri çoxaltmalısınız:

Misal 3. Məhsulu üçüncü gücə qaldırın a×b×c

Bu məhsulu mötərizələrə daxil edirik və göstərici kimi 3 rəqəmini göstəririk

Misal 4. Məhsulu üçüncü gücə qaldırın 3 xyz

Bu məhsulu mötərizələrə əlavə edirik və göstərici kimi 3-ü göstəririk

(3xyz) 3

Bu məhsulun hər bir faktorunu üçüncü gücə qaldıraq:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3

Üçüncü dərəcəyə 3 rəqəmi 27 rəqəminə bərabərdir. Qalanını dəyişməz qoyuruq:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3 = 27x 3 y 3 z 3

Bəzi nümunələrdə eyni eksponentli dərəcələrin vurulması eyni eksponentli əsasların hasili ilə əvəz edilə bilər.

Məsələn, 5 2 × 3 2 ifadəsinin qiymətini hesablayaq. Hər nömrəni ikinci gücə qaldırın və nəticələri çoxaldın:

5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225

Ancaq hər dərəcəni ayrıca hesablaya bilməzsiniz. Bunun əvəzinə, bu güc məhsulu bir eksponent (5 × 3) 2 olan məhsulla əvəz edilə bilər. Sonra, mötərizədə dəyəri hesablayın və nəticəni ikinci gücə qaldırın:

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

Bu zaman hasilin eksponentasiya qaydasından yenidən istifadə edilmişdir. Axı, əgər (a x b)n = a n × b n , sonra a n × b n = (a × b) n. Yəni tənliyin sol və sağ tərəfləri tərsinə çevrilir.

Eksponentasiya

Biz dərəcələrin eyni çevrilmələrinin mahiyyətini anlamağa çalışarkən bu çevrilməni nümunə kimi qəbul etdik.

Gücü bir gücə qaldırarkən, əsas dəyişməz qalır və eksponentlər vurulur:

(a n)m = a n × m

Məsələn, (2 3) 2 ifadəsi gücü bir gücə yüksəldir - iki üçüncü güc ikinci gücə qaldırılır. Bu ifadənin qiymətini tapmaq üçün əsas dəyişməz qala bilər və eksponentləri çoxaltmaq olar:

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

Bu qayda əvvəlki qaydalara əsaslanır: məhsulun eksponentasiyası və dərəcənin əsas xüsusiyyəti.

(2 3) 2 ifadəsinə qayıdaq. Mötərizədə 2 3 ifadəsi hər biri 2-yə bərabər olan üç eyni amilin hasilidir. Onda (2 3) 2 ifadəsində mötərizələrin daxilindəki güc 2 × 2 × 2 hasilatı ilə əvəz edilə bilər.

(2×2×2) 2

Və bu, əvvəllər öyrəndiyimiz məhsulun eksponentasiyasıdır. Xatırladaq ki, bir məhsulu bir gücə yüksəltmək üçün bu məhsulun hər bir amilini müəyyən edilmiş gücə qaldırmaq və nəticələri çoxaltmaq lazımdır:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2

İndi biz dərəcənin əsas xüsusiyyəti ilə məşğul oluruq. Baza dəyişməz qalır və göstəriciləri əlavə edirik:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

Əvvəlki kimi 2 6 aldıq. Bu dərəcənin dəyəri 64-dür

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

Faktorları da güc olan məhsul da gücə yüksəldilə bilər.

Məsələn, (2 2 × 3 2) 3 ifadəsinin qiymətini tapaq. Burada hər bir çarpanın göstəriciləri ümumi göstərici 3-ə vurulmalıdır. Sonra, hər dərəcənin dəyərini tapın və məhsulu hesablayın:

(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656

Məhsulun gücünü artırarkən təxminən eyni şey olur. Dedik ki, bir məhsulu gücə qaldırarkən, bu məhsulun hər bir faktoru göstərilən gücə qaldırılır.

Məsələn, 2 × 4 məhsulunu üçüncü dərəcəyə qaldırmaq üçün aşağıdakı ifadəni yazmalısınız:

Amma əvvəllər deyilirdi ki, əgər rəqəm göstəricisiz verilirsə, o zaman göstərici birə bərabər hesab edilməlidir. Məlum oldu ki, 2 × 4 məhsulunun amilləri əvvəlcə 1-ə bərabər eksponentlərə malikdir. Bu o deməkdir ki, 2 1 × 4 1 ​​ifadəsi üçüncü dərəcəyə qaldırıldı. Bu da dərəcənin gücə yüksəlməsidir.

Göstərici qaydasından istifadə edərək həlli yenidən yazaq. Eyni nəticəni almalıyıq:

Misal 2. (3 3) 2 ifadəsinin qiymətini tapın

Baza dəyişmədən buraxırıq və göstəriciləri çoxaldırıq:

36 aldım. 3-dən altıncı dərəcəyə qədər rəqəm 729-dur

Misal 3xy)³

Misal 4. İfadədə eksponentasiyanı yerinə yetirin ( abc)⁵

Məhsulun hər bir faktorunu beşinci dərəcəyə qaldıraq:

Misal 5balta) 3

Məhsulun hər bir amilini üçüncü dərəcəyə qaldıraq:

Mənfi rəqəm −2 üçüncü dərəcəyə qaldırıldığı üçün mötərizədə götürüldü.

Misal 6. İfadədə eksponentasiyanı yerinə yetirin (10 xy) 2

Misal 7. İfadədə eksponentasiyanı yerinə yetirin (−5 x) 3

Misal 8. İfadədə eksponentasiyanı yerinə yetirin (−3 y) 4

Misal 9. İfadədə eksponentasiyanı yerinə yetirin (−2 abx)⁴

Misal 10. İfadəni sadələşdirin x 5×( x 2) 3

Dərəcə x 5 hələlik dəyişməz qalacaq və ifadədə ( x 2) 3 gücə eksponentasiya edin:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6

İndi vurma yerinə yetirək x 5 × x 6. Bunun üçün biz dərəcənin əsas xassəsindən - bazadan istifadə edirik x onu dəyişməz qoyun və göstəriciləri əlavə edin:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = x 5 + 6 = x 11

Misal 9. Dərəcənin əsas xassəsindən istifadə edərək 4 3 × 2 2 ifadəsinin qiymətini tapın.

İlkin dərəcələrin əsasları eyni olduqda dərəcənin əsas xassəsindən istifadə etmək olar. Bu nümunədə əsaslar fərqlidir, buna görə də başlanğıc üçün orijinal ifadəni bir az dəyişdirmək lazımdır, yəni dərəcələrin əsaslarını eyni hala gətirmək üçün.

Gəlin 4 3-ün gücünə yaxından baxaq. Bu dərəcənin əsası 2 2 kimi təqdim oluna bilən 4 rəqəmidir. Sonra orijinal ifadə (2 2) 3 × 2 2 formasını alacaq. (2 2) 3 ifadəsindəki gücə eksponentləşdirərək 2 6 alırıq. Sonra orijinal ifadə 2 6 × 2 2 formasını alacaq ki, bu da dərəcənin əsas xüsusiyyətindən istifadə etməklə hesablana bilər.

Bu misalın həllini yazaq:

Dərəcələrin bölünməsi

Güc bölgüsünü yerinə yetirmək üçün hər bir gücün dəyərini tapmaq, sonra adi ədədlərin bölünməsini yerinə yetirmək lazımdır.

Məsələn, 4 3-ü 2 2-yə bölək.

4 3 hesablayın, 64 alırıq. 2 2 hesablayırıq, 4 alırıq. İndi 64-ü 4-ə bölürük, 16 alırıq.

Bazanın dərəcələrini bölərkən onlar eyni olarsa, əsas dəyişməz qala bilər və bölücünün eksponenti dividend göstəricisindən çıxarıla bilər.

Məsələn, 2 3: 2 2 ifadəsinin qiymətini tapaq

Baza 2-ni dəyişməz qoyuruq və bölücünün eksponentini dividend göstəricisindən çıxarırıq:

Beləliklə, 2 3: 2 2 ifadəsinin qiyməti 2-dir.

Bu xassə eyni əsaslara malik olan qüdrətlərin çoxalmasına və ya əvvəllər dediyimiz kimi dərəcənin əsas xassəsinə əsaslanır.

Əvvəlki nümunəyə qayıdaq 2 3: 2 2 . Burada dividend 2 3, bölən isə 2 2-dir.

Bir ədədi digərinə bölmək, bölücü ilə vurulduqda nəticədə dividend verəcək ədədi tapmaq deməkdir.

Bizim vəziyyətimizdə 2 3-ü 2 2-yə bölmək, bölən 2 2 ilə vurulduqda 2 3 ilə nəticələnəcək gücü tapmaq deməkdir. 2 3 almaq üçün hansı gücü 2 2-yə vurmaq olar? Aydındır ki, yalnız 2 1 dərəcə. Dərəcənin əsas xüsusiyyətindən əldə edirik:

2 3: 2 2 ifadəsini birbaşa qiymətləndirərək 2 3: 2 2 ifadəsinin dəyərinin 2 1 olduğunu yoxlaya bilərsiniz. Bunun üçün əvvəlcə dərəcənin qiymətini tapırıq 2 3 , 8 alırıq. Sonra 2 2 dərəcəsinin qiymətini tapırıq, 4 alırıq. 8-i 4-ə bölün, 2 və ya 2 1 alırıq, çünki 2 = 2 1 .

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

Beləliklə, səlahiyyətləri eyni əsasla bölərkən aşağıdakı bərabərlik yerinə yetirilir:

Elə də ola bilər ki, təkcə əsaslar deyil, həm də göstəricilər eyni ola bilər. Bu vəziyyətdə cavab bir olacaq.

Məsələn, 2 2: 2 2 ifadəsinin qiymətini tapaq. Hər dərəcənin dəyərini hesablayaq və nəticədə çıxan ədədlərin bölünməsini həyata keçirək:

2 2: 2 2 nümunəsini həll edərkən, eyni əsaslarla dərəcələri bölmək qaydasını da tətbiq edə bilərsiniz. 2 2 və 2 2 eksponentləri arasındakı fərq sıfır olduğu üçün nəticə sıfır gücünə bir ədəddir:

Niyə sıfır dərəcəyə qədər 2 rəqəmi birə bərabərdir, yuxarıda öyrəndik. 2 2: 2 2-ni adi şəkildə, dərəcələri bölmək qaydasından istifadə etmədən hesablasanız, bir alırsınız.

Misal 2. 4 12: 4 10 ifadəsinin qiymətini tapın

Dəyişməmiş 4-ü qoyuruq və bölücünün eksponentini dividend göstəricisindən çıxarırıq:

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

Misal 3. Şəxsi təqdim edin x 3: x baza ilə dərəcə kimi x

Gəlin dərəcələrin bölünməsi qaydasından istifadə edək. Baza x onu dəyişməz qoyuruq və bölücünün göstəricisini dividend göstəricisindən çıxarırıq. Bölücü göstərici birə bərabərdir. Aydınlıq üçün onu yazaq:

Misal 4. Şəxsi təqdim edin x 3: x 2 baza ilə güc kimi x

Gəlin dərəcələrin bölünməsi qaydasından istifadə edək. Baza x

Dərəcələrin bölünməsi kəsr kimi yazıla bilər. Beləliklə, əvvəlki nümunəni aşağıdakı kimi yazmaq olar:

Kəsirin payı və məxrəci genişlənmiş formada, yəni eyni amillərin hasilləri şəklində yazıla bilər. Dərəcə x 3 kimi yazıla bilər x × x × x, və dərəcə x 2 kimi x × x. Sonra tikinti x 3 − 2 atlana bilər və kəsrin azaldılmasından istifadə edə bilərsiniz. Hissədə və məxrəcdə hər birində iki amili azaltmaq mümkün olacaq x. Nəticə bir çarpan olacaq x

Və ya daha qısa:

Həmçinin, səlahiyyətlərdən ibarət fraksiyaları tez azaltmaq faydalıdır. Məsələn, bir kəsir kiçilə bilər x 2. Bir kəsiri azaltmaq üçün x 2, kəsrin payını və məxrəcini bölmək lazımdır x 2

Dərəcələrin bölünməsini ətraflı təsvir etmək mümkün deyil. Yuxarıdakı abreviatura daha qısa ola bilər:

Və ya daha qısa:

Misal 5. Bölməni icra edin x 12 : x 3

Gəlin dərəcələrin bölünməsi qaydasından istifadə edək. Baza x onu dəyişməz qoyun və dividend göstəricisindən bölənin göstəricisini çıxarın:

Kəsirin azaldılmasından istifadə edərək həlli yazırıq. Dərəcələrin bölünməsi x 12 : x 3 kimi yazılacaq. Sonra bu kəsiri azaltırıq x 3 .

Misal 6. İfadənin qiymətini tapın

Numeratorda eyni əsaslarla güclərin vurulmasını həyata keçiririk:

İndi eyni əsaslarla səlahiyyətlərin bölünməsi qaydasını tətbiq edirik. 7 əsasını dəyişməz qoyuruq və bölücünün eksponentini dividend göstəricisindən çıxarırıq:

7 2 gücünü hesablayaraq nümunəni tamamlayırıq

Misal 7. İfadənin qiymətini tapın

Numeratorda eksponentasiyanı yerinə yetirək. Bunu (2 3) 4 ifadəsi ilə etməlisiniz

İndi paylayıcıda eyni əsaslara malik qüvvələrin vurulmasını yerinə yetirək.