Natural ədədlər sisteminin qurulmasına aksiomatik yanaşma. Riyaziyyatda aksiomatik üsullar. Əsas anlayışlar və təriflər
Çox mənalılıq
Çoxmənalılıq və ya sözlərin qeyri-müəyyənliyi ondan irəli gəlir ki, dilin sonsuz müxtəlifliyi ilə müqayisədə məhdud olan sistemdir, belə ki, akademik Vinoqradovun təbirincə desək, “Dil saysız-hesabsız çoxluqlar toplusunu yaymağa məcburdur. əsas anlayışların bu və ya digər başlığı altındakı mənalar”. (Vinoqradov "Rus dili" 1947). Sözlərin bir leksiko-semantik variantda müxtəlif işlənməsi ilə sözün faktiki fərqini ayırd etmək lazımdır. Beləliklə, məsələn, (das)Ol sözü inəkdən başqa bir sıra müxtəlif yağları ifadə edə bilər (bunun üçün Kərə yağı sözü var). Lakin buradan belə bir nəticə çıxmır ki, müxtəlif yağları bildirən Ol sözü hər dəfə fərqli məna kəsb edəcək: bütün hallarda onun mənası eyni olacaq, yəni yağ (inəkdən başqa hər şey). Eləcə də, məsələn, Tisch cədvəli sözünün mənası, sözün bu konkret halda hansı cədvəli ifadə etməsindən asılı olmayaraq. Ol sözünün neft mənasını verəndə vəziyyət başqadır. Burada artıq yağın sürtgü xətti boyunca müxtəlif dərəcəli yağlarla oxşarlığı deyil, yağın xüsusi keyfiyyəti - yanma qabiliyyəti ön plana çıxır. Eyni zamanda, müxtəlif yanacaq növlərini ifadə edən sözlər artıq Ol sözü ilə əlaqələndiriləcəkdir: Kohl, Holz və s. Bu bizə Ol sözündən iki məna (yaxud başqa sözlə desək, iki leksik-semantik variantı) ayırmaq imkanı verir: 1) yağ (heyvan deyil) 2) yağ.
Adətən mövcud sözlərdən birinin yeni obyektə və ya hadisəyə köçürülməsi ilə yeni mənalar yaranır. Transfer dəyərləri belə formalaşır. Onlar ya obyektlərin oxşarlığına, ya da bir obyektin digəri ilə əlaqəsinə əsaslanır. Ad köçürmələrinin bir neçə növü məlumdur. Onlardan ən mühümü metafora və ya metonimiyadır.
Metaforada köçürmə əşyaların rəng, forma, hərəkət və s. oxşarlığına əsaslanır. Bütün metaforik dəyişikliklərlə, orijinal konsepsiyanın bəzi əlaməti qalır
omonimiya
Sözün çoxmənalılığı o qədər böyük və çoxşaxəli problemdir ki, leksikologiyanın ən müxtəlif problemləri bir növ onunla bağlıdır. Xüsusilə, omonimiya problemi də bəzi cəhətləri ilə bu problemlə təmasda olur.
Omonimlər eyni səslənən, lakin fərqli mənaları olan sözlərdir. Omonimlər bəzi hallarda onların məhv edilmə prosesinə məruz qalmış çoxmənalılığından yaranır. Lakin omonimlər təsadüfi səs təsadüfləri nəticəsində də yarana bilər. Qapını açan açar, açar isə - yay və ya dərən - saç düzümü və dəyirman - kənd təsərrüfatı aləti - bu sözlər müxtəlif mənalar və müxtəlif mənşəli, lakin təsadüfən səsləri ilə üst-üstə düşür.
Omonimlər leksik (nitqin bir hissəsinə, məsələn, açar - qıfılı açmaq üçün açar və bulaq. mənbə) morfoloji (müxtəlif nitq hissələrinə, məsələn, üç - rəqəm, üç - fel) fərqləndirir. əmr əhval-ruhiyyəsində), verilən söz başqa nitq hissəsinə keçdikdə çevrilmə nəticəsində yaranan leksiko-qrammatik. məsələn eng. baxmaq-baxmaq və baxmaq. İngilis dilində xüsusilə çoxlu leksik və qrammatik omonimlər var.
Omofon və omoqrafları omonimlərdən ayırmaq lazımdır. Müxtəlif sözlərə homofonlar deyilir, onlar yazılışları ilə fərqlənərək tələffüzdə üst-üstə düşürlər, məsələn: yay - çəmən, Seite - səhifə və Saite - sim.
Homoqraflar o qədər fərqli sözlərdir ki, orfoqrafiyada üst-üstə düşürlər, baxmayaraq ki, onlar fərqli tələffüz olunur (həm səs tərkibinə, həm də sözdəki vurğu yeri baxımından), məsələn, Qala - qala.
Sinonimiya
Sinonimlər mənaca oxşar, lakin eyni anlayışın çalarlarını ifadə edən müxtəlif səslənən sözlərdir.
Sinonimlərin üç növü var:
1. Konseptual və ya ideoqrafik. Onlar leksik mənada bir-birindən fərqlənirlər. Bu fərq təyin olunmuş işarənin müxtəlif dərəcələrində (şaxta - soyuq, güclü, güclü, qüdrətli), təyinat xarakterində (yorğanlı gödəkçə - yorğan gödəkçə - yorğan gödəkçə), ifadə olunan anlayışın həcmində (banner -) özünü göstərir. bayraq, həyasız - qalın), leksik dəyərlərin bağlılıq dərəcəsində (qəhvəyi - qəhvəyi, qara - qara).
2. Sinonimlər üslubi və ya funksionaldır. Onlar bir-birindən istifadə sahəsinə görə fərqlənirlər, məsələn, gözlər - gözlər, üz - üz, alın - alın. Sinonimlər emosional - qiymətləndirici. Bu sinonimlər danışanın təyin olunmuş şəxsə, obyektə və ya hadisəyə münasibətini açıq şəkildə ifadə edir. Məsələn, uşağı təntənəli şəkildə uşaq adlandırmaq olar, mehribanlıqla oğlan və balaca oğlan, nifrətlə oğlan və əmici, eyni zamanda qəti şəkildə - nifrətlə küçük, əmici, qaxac.
3. Antonimlər - leksik mənasına görə əks olan sözlərin birləşmələri, məsələn: yuxarı - aşağı, ağ - qara, danış - sus, ucadan - sakit.
Antonimiya
Üç növ antonim var:
1. Tədrici və əlaqələndirilmiş əksliklərin antonimləri, məsələn, ağ - qara, sakit - yüksək, yaxın - uzaq, xeyirxah - şər və s. Bu antonimlərin ümumi mənası var ki, bu da onların ziddiyyətinə imkan verir. Beləliklə, qara və ağ anlayışları əks rəng anlayışlarını ifadə edir.
2. Tamamlayıcı və konvertiv əksliklərin antonimləri: müharibə - sülh, ər - arvad, evli - subay, can - bilməz, yaxın - açıq.
3. Anlayışların ikitərəfli bölünməsinin antonimləri. Onlar çox vaxt eyni kök sözlərdir: xalq - anti-xalq, qanuni - qeyri-qanuni, humanist - qeyri-insani.
Faiz də sözdə deyil. sözdaxili antonimiya, eyni maddi qabığa malik olan sözlərin mənaları ziddiyyət təşkil etdikdə. Məsələn, rus dilində kiməsə borc vermək feli “borc vermək” mənasındadır, kimdənsə borc almaq artıq kimdənsə borc almaq mənasındadır. Mənaların sözdaxili ziddiyyətinə enantiosemiya deyilir.
6. Natural ədədlər sisteminin aksiomatik qurulması. Riyazi nəzəriyyənin qurulması üçün aksiomatik üsul. Aksiomlar sisteminə tələblər: ardıcıllıq, müstəqillik, tamlıq. Peano aksiomatikası. Aksiomatik mövqelərdən natural ədəd anlayışı. Peano aksiomları sisteminin modelləri. Natural ədədlərin aksiomatik mövqelərdən toplanması və vurulması. Natural ədədlər çoxluğunun sıralanması. Natural ədədlər çoxluğunun xassələri. Natural ədədlər çoxluğunun aksiomatik mövqelərdən çıxılması və bölünməsi. Riyazi induksiya üsulu. Sıfırın tətbiqi və qeyri-mənfi tam ədədlər çoxluğunun qurulması. Qalanla bölmə teoremi.
Əsas anlayışlar və təriflər
Nömrə - müəyyən kəmiyyətin ifadəsidir.
Natural ədəd qeyri-müəyyən davam edən ardıcıllığın elementi.
Natural ədədlər (natural ədədlər) - saymada təbii olaraq yaranan ədədlər (həm sayma mənasında, həm də hesablama mənasında).
Natural ədədlərin tərifinə iki yanaşma var - istifadə olunan ədədlər:
maddələrin sadalanması (nömrələnməsi) (birinci, ikinci, üçüncü, ...);
əşyaların sayının təyin edilməsi (heç bir əşya, bir maddə, iki maddə, ...).
aksioma - bunlar konkret nəzəriyyənin əsas başlanğıc nöqtələridir (özünü aydınlaşdıran prinsiplər), ondan deduksiya ilə, yəni sırf məntiqi vasitələrlə bu nəzəriyyənin bütün qalan məzmunu çıxarılır.
Yalnız iki bölən (ədədin özü və bir) olan ədədə deyilir - sadə rəqəm.
Kompozit nömrə iki böləndən çox olan ədəddir.
§2. Natural ədədin aksiomatikası
Natural ədədlər cisimləri saymaqla və kəmiyyətləri ölçməklə əldə edilir. Ancaq ölçmə zamanı təbii olanlardan başqa rəqəmlər görünsə, hesablama yalnız natural ədədlərə gətirib çıxarır. Hesabı saxlamaq üçün sizə bir ilə başlayan və bir nömrədən digərinə və lazım olduğu qədər çox dəfə keçməyə imkan verən nömrələr ardıcıllığı lazımdır. Başqa sözlə desək, təbii seriyanın bir seqmentinə ehtiyacımız var. Ona görə də natural ədədlər sisteminin əsaslandırılması məsələsini həll edərkən ilk növbədə natural sıra elementi kimi ədədin nə olması sualına cavab vermək lazım idi. Bunun cavabı iki riyaziyyatçının əsərlərində verilmişdir - Alman Grassmann və İtalyan Peano. Onlar bir aksiomatik təklif etdilər natural ədəd qeyri-müəyyən davam edən ardıcıllığın elementi kimi əsaslandırıldı.
Natural ədədlər sisteminin aksiomatik qurulması tərtib edilmiş qaydalara uyğun olaraq həyata keçirilir.
Beş aksioma əsas anlayışların aksiomatik tərifi kimi görünə bilər:
1 natural ədəddir;
Növbəti natural ədəd natural ədəddir;
1 heç bir natural ədədə əməl etmir;
Natural ədəddirsə A natural ədədi izləyir b və natural ədəd üçün ilə, Bu b Və ilə eyni;
Əgər hər hansı müddəa 1 üçün isbat edilərsə və natural ədəd üçün doğru olması fərziyyəsindən irəli gələrsə n, bundan aşağıdakılar üçün doğru olduğu belə çıxır n natural ədəd, onda bu müddəa bütün natural ədədlər üçün doğrudur.
Vahid təbii seriyanın ilk nömrəsidir , eləcə də onluq say sistemindəki rəqəmlərdən biri.
Eyni işarə ilə hər hansı bir kateqoriya vahidinin təyin edilməsinin (müasirəyə olduqca yaxın) ilk dəfə Qədim Babildə təxminən eramızdan əvvəl 2 min il əvvəl ortaya çıxdığı güman edilir. e.
Yalnız natural ədədləri ədəd hesab edən qədim yunanlar onların hər birini vahidlər toplusu hesab edirdilər. Vahidin özünə xüsusi yer verilir: o, nömrə hesab edilmirdi.
İ.Nyuton yazırdı: “... say dedikdə biz vahidlər toplusunu deyil, şərti olaraq vahid kimi qəbul etdiyimiz bir kəmiyyətin digər kəmiyyətə mücərrəd nisbətini nəzərdə tuturuq”. Beləliklə, bölmə artıq digər nömrələr arasında öz layiqli yerini tutub.
Ədədlər üzərində arifmetik əməliyyatlar müxtəlif xüsusiyyətlərə malikdir. Onları sözlə təsvir etmək olar, məsələn: “Tərminlərin yerlərinin dəyişməsindən cəmi dəyişmir”. Hərflərlə yazıla bilər: a+b = b+a. Xüsusi şərtlərlə ifadə edilə bilər.
Arifmetikanın əsas qanunlarını çox vaxt vərdişdən kənar tətbiq edirik:
1) kommutativ qanun (kommutativlik), - eyniliklərlə ifadə olunan ədədlərin toplanması və vurulması xüsusiyyəti:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) assosiativ qanun (assosiativlik), - eyniliklərlə ifadə edilən ədədlərin toplanması və vurulması xassəsidir:
(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);
3) paylanma qanunu (paylanma), - ədədlərin toplanması və vurulmasını birləşdirən və eyniliklərlə ifadə olunan xüsusiyyət:
a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.
Vurmanın hərəkətinin kommutativ, assosiativ və paylayıcı (toplama ilə bağlı) qanunlarını sübut etdikdən sonra natural ədədlər üzərində hesab əməlləri nəzəriyyəsinin sonrakı qurulması heç bir fundamental çətinlik yaratmır.
Hazırda biz ağılda və ya kağız üzərində yalnız ən sadə hesablamalar aparırıq, getdikcə daha mürəkkəb hesablama işlərini kalkulyatorlara, kompüterlərə həvalə edirik. Bununla belə, bütün kompüterlərin - sadə və mürəkkəb - işləməsi ən sadə əməliyyata - natural ədədlərin toplanmasına əsaslanır. Belə çıxır ki, ən mürəkkəb hesablamalar əlavəyə endirilə bilər, yalnız bu əməliyyat milyonlarla dəfə edilməlidir.
Riyaziyyatda aksiomatik üsullar
Riyazi məntiqin inkişafının əsas səbəblərindən biri də geniş yayılmasıdır aksiomatik üsul müxtəlif riyazi nəzəriyyələrin qurulmasında ilk növbədə həndəsə, sonra isə arifmetika, qruplar nəzəriyyəsi və s. Aksiomatik üsuləvvəlcədən seçilmiş qeyri-müəyyən anlayışlar və onlar arasındakı əlaqələr sistemi üzərində qurulan bir nəzəriyyə kimi müəyyən edilə bilər.
Riyazi nəzəriyyənin aksiomatik qurulmasında ilkin olaraq müəyyən edilməmiş anlayışlar və onlar arasındakı münasibətlər sistemi seçilir. Bu anlayışlar və əlaqələr əsas adlanır. Sonrakı təqdim olunur aksiomalar olanlar. baxılan nəzəriyyənin əsas müddəaları sübut edilmədən qəbul edilir. Nəzəriyyənin bütün sonrakı məzmunu məntiqi olaraq aksiomalardan əldə edilir. İlk dəfə olaraq, riyazi nəzəriyyənin aksiomatik qurulmasını həndəsənin qurulmasında Evklid öz üzərinə götürdü.
Riyaziyyatda aksiomatik metod.
Təbii sıraların aksiomatik nəzəriyyəsinin əsas anlayışları və əlaqələri. Natural ədədin tərifi.
Natural ədədlərin toplanması.
Natural ədədlərin vurulması.
Natural ədədlər çoxluğunun xassələri
Natural ədədlərin çıxılması və bölünməsi.
Riyaziyyatda aksiomatik metod
İstənilən riyazi nəzəriyyənin aksiomatik qurulmasında müəyyən qaydalar:
1. Nəzəriyyənin bəzi anlayışları olaraq seçilir mayor və tərifsiz qəbul edilir.
2. Formullaşdırılmışdır aksiomalar, bu nəzəriyyədə sübut olmadan qəbul edilənlər əsas anlayışların xassələrini açır.
3. Nəzəriyyənin əsaslar siyahısında olmayan hər bir konsepsiyası verilmişdir tərifi, onun mənasını əsas və bu anlayışdan əvvəlki anlayışın köməyi ilə izah edir.
4. Nəzəriyyənin aksiomlar siyahısında olmayan hər bir cümləsi sübut edilməlidir. Belə təkliflər deyilir teoremlər və onları nəzərdən keçiriləndən əvvəlki aksioma və teoremlər əsasında sübut edin.
Aksiomlar sistemi belə olmalıdır:
a) ardıcıl: biz əmin olmalıyıq ki, verilmiş aksiomalar sistemindən hər cür nəticələr çıxararaq, heç vaxt ziddiyyətə gəlməyəcəyik;
b) müstəqil: heç bir aksiom bu sistemin digər aksiomlarının nəticəsi olmamalıdır.
V) tam, əgər onun çərçivəsində ya verilmiş müddəanı, ya da onun inkarını sübut etmək həmişə mümkündürsə.
Evklidin “Elementlər” əsərində (e.ə. III əsr) həndəsənin təqdimatı nəzəriyyənin aksiomatik qurulmasının ilk təcrübəsi sayıla bilər. Həndəsə və cəbrin qurulması üçün aksiomatik metodun inkişafına mühüm töhfə N.I. Lobaçevski və E. Qalua. 19-cu əsrin sonlarında İtalyan riyaziyyatçısı Peano hesab üçün aksiomlar sistemi işləyib hazırladı.
Natural ədədlərin aksiomatik nəzəriyyəsinin əsas anlayışları və əlaqələri. Natural ədədin tərifi.
Müəyyən bir çoxluqda əsas (müəyyən edilməmiş) anlayış kimi N seçilir münasibət , həmçinin çoxluq-nəzəri anlayışlar, eləcə də məntiq qaydaları.
Elementdən dərhal sonra gələn element A, təyin A".
"Dərhal izləmə" əlaqəsi aşağıdakı aksiomaları təmin edir:
Peanonun aksiomaları:
Aksioma 1. çoxluqda N birbaşa element var sonrakı deyil bu setin hər hansı elementi üçün. Gəlin ona zəng edək vahid və simvollaşdırır 1 .
Aksioma 2. Hər bir element üçün A -dən N yalnız bir element var A" dərhal izləyir A .
Aksioma 3. Hər bir element üçün A -dən N dərhal sonra ən çox bir element var A .
Aksioma 4.İstənilən alt çoxluq M dəstləri N ilə üst-üstə düşür N , xüsusiyyətlərə malikdirsə: 1) 1 tərkibində yer alır M ; 2) nədən A tərkibində yer alır M , bundan irəli gəlir və A" tərkibində yer alır M.
Tərif 1. Bir dəstə N , kimin elementləri üçün əlaqə qurulur "birbaşa izləyin» 1-4 aksiomlarını ödəyən adlanır natural ədədlər toplusu, və onun elementləri var natural ədədlər.
Bu tərif çoxluğun elementlərinin təbiəti haqqında heç nə demir N . Beləliklə, o, hər şey ola bilər. Dəst kimi seçim N 1-4-cü aksiomları təmin edən xüsusi "birbaşa təqib" əlaqəsinin verildiyi bəzi xüsusi dəstlər əldə edirik. bu sistemin modeli aksiomalar.
Peano aksiomları sisteminin standart modeli cəmiyyətin tarixi inkişafı prosesində yaranmış ədədlər silsiləsi: 1,2,3,4, ... Natural sıra 1 rəqəmi ilə başlayır (aksiom 1); hər bir natural ədəddən dərhal sonra tək natural ədəd gəlir (aksiom 2); hər natural ədəd dərhal ən çox bir natural ədədin ardınca gəlir (aksiom 3); 1 rəqəmindən başlayaraq bir-birini dərhal izləyən natural ədədlərə doğru hərəkət edərək bu ədədlərin bütün çoxluğunu əldə edirik (aksiom 4).
Beləliklə, biz əsas seçimi ilə natural ədədlər sisteminin aksiomatik qurulmasına başladıq "birbaşa təqib" əlaqəsi və onun xassələrini təsvir edən aksiomalar. Nəzəriyyənin sonrakı qurulması natural ədədlərin məlum xassələrinin və onlar üzərində əməliyyatların nəzərdən keçirilməsini nəzərdə tutur. Onlar təriflərdə və teoremlərdə açıqlanmalıdır, yəni. sırf məntiqi şəkildə “dərhal izlə” münasibətindən və 1-4-cü aksiomlardan əldə edilmişdir.
Natural ədədin tərifindən sonra təqdim etdiyimiz ilk anlayışdır münasibət "dərhal qabaqlayır" , təbii sıraların xassələri nəzərə alınarkən tez-tez istifadə olunur.
Tərif 2. Natural ədəddirsə b birbaşa izləyir natural ədəd A, o nömrə A çağırdı dərhal əvvəl(və ya əvvəlki) sayı b .
"əvvəl" münasibəti var əmlakın yaxınlığında.
Teorem 1. Birinin əvvəlki natural ədədi yoxdur.
Teorem 2. Hər bir natural ədəd A, 1-dən başqa, tək əvvəlki nömrə var b, belə b"= A.
Natural ədədlər nəzəriyyəsinin aksiomatik qurulması nə ibtidai, nə də orta məktəbdə nəzərə alınmır. Lakin Peanonun aksiomlarında əks olunan “birbaşa təqib” münasibətinin həmin xassələri riyaziyyatın ilkin kursunun öyrənilməsi mövzusudur. Artıq birinci sinifdə ilk onluğun rəqəmlərini nəzərdən keçirərkən, hər bir nömrəni necə əldə etmək olar. “İzlə” və “əvvəl” ifadələrindən istifadə olunur. Hər bir yeni ədəd təbii ədədlər seriyasının öyrənilən seqmentinin davamı kimi çıxış edir. Şagirdlər əmin olurlar ki, hər bir ədədin ardınca növbəti və üstəlik, yalnız bir ədəd gəlir, ədədlərin natural seriyası sonsuzdur.
Natural ədədlərin toplanması
Aksiomatik nəzəriyyənin qurulması qaydalarına əsasən, natural ədədlərin toplanmasının tərifi yalnız əlaqədən istifadə edilməklə təqdim edilməlidir. "birbaşa izləmək", və anlayışlar "təbii ədəd" Və "əvvəlki nömrə".
Əlavənin tərifini aşağıdakı mülahizələrlə müqəddimə edək. Əgər hər hansı natural ədəd üçün A 1 əlavə edin, nömrəni alırıq A", dərhal izləyir A, yəni. A+ 1= a" və buna görə də istənilən natural ədədə 1 əlavə etmək qaydasını alırıq. Ancaq nömrəyə necə əlavə etmək olar A natural ədəd b, 1-dən fərqlidir? Gəlin aşağıdakı faktdan istifadə edək: 2 + 3 = 5 olduğu məlumdursa, o zaman 5 rəqəmindən dərhal sonra gələn 2 + 4 = 6 cəmidir. Bu, 2 + 4 cəmində ikinci hədmin dərhal rəqəm olduğu üçün baş verir. 3 rəqəmindən sonra. Beləliklə 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". Ümumiyyətlə, bizdə var , .
Bu faktlar aksiomatik nəzəriyyədə natural ədədlərin toplanmasının tərifinin əsasını təşkil edir.
Tərif 3. Natural ədədlərin toplanması aşağıdakı xüsusiyyətlərə malik olan cəbri əməliyyatdır:
Nömrə a + b çağırdı ədədlərin cəmi A Və b , və nömrələrin özləri A Və b - şərtlər.
üçün əsas konsepsiya kimi
arifmetikanın aksiomatik qurulması
natural ədədlərin nisbəti
"dərhal izləyin" haqqında verilmişdir
boş olmayan çoxluq N.
Element dərhal izləyir
a elementi, a" işarəsi verin.
element dərhal izlənmir
bu setin hansı elementi üçün. Biz edəcəyik
vahid adlandırın.
Aksiom 2. N-nin hər bir a elementi üçün
yalnız bir element var a
dərhal sonra a. Aksioma 3. N-nin hər bir a elementi üçün
ən çox bir element var
dərhal sonra a.
Aksioma 4. M-in hər hansı alt çoxluğu
N dəsti aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:
1) vahid M çoxluğuna aiddir;
2) a-nın M-də olmasından belə çıxır ki
ki, a" M-də var, onda M ilə üst-üstə düşür
bir çox N.
Natural ədədin tərifi
Elementləri üçün əlaqə qurulan N çoxluğu"dərhal əməl et" 1-4 aksiomalarını təmin edir,
natural ədədlər çoxluğu adlanır və onun elementləri natural ədədlərdir.
Əlavə
Tərif. Natural ədədlərin toplanması deyilirxüsusiyyətləri ilə cəbri əməliyyat:
1) (Ɐa ∈ N) a + 1 = a",
2) (Ɐa, b ∈ N) a + b"=(a+b)".
a + b ədədi a və b ədədlərinin, a və b ədədlərinin cəmi adlanır
şərtlər.
Gəlin aşağıdakı qeydlərlə razılaşaq:
1" = 2; 2" = 3; 3" = 4; 4" = 5 və s.
Əlavə xüsusiyyətləri
Teorem 3. Natural ədədlərin toplanması mövcuddur və oyalnız
Teorem 4. (Ɐ a, b, c ∈ N)(a + b) + c = a + (b + c)
Teorem 5. (Ɐ a, b ∈ N) a+b = b+a
Vurma
Natural ədədlərin vurulmasına cəbri deyiliraşağıdakı xüsusiyyətlərə malik əməliyyat:
1)(Ɐ a ∈ N) a 1 =a;
2)(Ɐ a, b ∈ N) a b" = a b + a.
a b ədədinə a və b ədədlərinin, a və b ədədlərinin hasili deyilir
b - çarpanlar
Vurma xassələri
Teorem 7. Natural ədədlərin vurulması mövcuddur və oyalnız.
Teorem 8. (Ɐ a, b, c ∈ N)(a + b) c = ac + b c - paylanma
əlavə ilə bağlı sağa.
Teorem 9. (Ɐ a, b, c ∈ N) a (b + c) = + a c - sol paylanma
əlavə ilə bağlı.
Teorem 10. (Ɐ a, b, c ∈ N) (a b) c = a (b c) - assosiativlik
vurma.
Teorem 11. (Ɐ a, b ∈ N) a b = a b - vurmanın kommutativliyi
Özünü yoxlamaq üçün suallar
1. 3-cü aksioma aşağıdakı kimi tərtib oluna bilərmi: “Hər bir element üçünvə N-dən unikal element var, ondan dərhal sonra
olmalıdır?
2. Natural ədədin tərifini davam etdirin: “Natural ədəd
çoxluğun elementi adlanır ...."
3. Hər natural ədədin əvvəlkindən alındığı doğrudurmu
birini əlavə edirsən?
4. Vurmanın hansı xassələrindən istifadə etməklə tapmaq olar
ifadə dəyərləri:
a) 5 (10 + 4); b) 125 15 6; c) (8 379) 125?
Ədəbiyyat
Stoilova L.P.Riyaziyyat: Tələbələr üçün dərslik. daha yüksək ped. dərs kitabı müəssisələr.
M.: "Akademiya" Nəşriyyat Mərkəzi. 2002. - 424 s.
GOUVPO
Tula Dövlət Pedaqoji Universiteti
Lev Tolstoyun adını daşıyır
SAYI SİSTEMLERİ
Tula 2008
Rəqəmsal sistemlər
Dərs vəsaiti pedaqoji universitetin riyaziyyat ixtisaslarının tələbələri üçün nəzərdə tutulmuşdur və “Ədədi sistemlər” kursu üzrə dövlət standartına uyğun olaraq hazırlanmışdır. Nəzəri material təqdim olunur. Tipik tapşırıqların həlli yolları təhlil edilir. Praktik məşğələlərdə həlli üçün tapşırıqlar verilir.
Tərtib edən -
fizika-riyaziyyat elmləri namizədi, Avicenna TSPU Cəbr və həndəsə kafedrasının dosenti L. N. Tolstoy Yu. A. İqnatov
Rəyçi -
adına TSPU-nun riyazi analiz kafedrasının professoru, fizika-riyaziyyat elmləri namizədi L. N. Tolstoy I. V. Denisov
Təhsil nəşri
Rəqəmsal sistemlər
Kompilyator
İQNATOV Yuri Aleksandroviç
© Yu. İqnatov, 2008
SAYI SİSTEMLERİ
Bu kurs riyaziyyatın əsaslarından bəhs edir. O, əsas say sistemlərinin ciddi aksiomatik quruluşunu verir: natural, tam, rasional, real, kompleks, həmçinin dördüncülüklər. O, riyazi məntiq kursunda nəzərdən keçirilən formal aksiomatik sistemlər nəzəriyyəsinə əsaslanır.
Hər yarımbölmədə teoremlər əvvəlcə nömrələnir. Başqa bir nöqtədən teoremə istinad etmək lazım gələrsə, pilləli nömrələmədən istifadə olunur: nöqtənin nömrəsi teorem nömrəsindən əvvəl qoyulur. Məsələn, 1.2.3-cü teorem 1.2-ci bölmədəki 3-cü teoremdir.
Tam ədədlər
Natural ədədlərin aksiomatik nəzəriyyəsi
Aksiomatik nəzəriyyə aşağıdakı elementlərlə müəyyən edilir:
Sabitlər dəsti;
Əməliyyatları ifadə etmək üçün funksiya simvolları toplusu;
Əlaqələri ifadə etmək üçün predikat simvollar toplusu;
Yuxarıdakı elementlərlə əlaqəli aksiomların siyahısı.
Formal aksiomatik nəzəriyyə üçün nəticə çıxarma qaydaları da göstərilir, onların köməyi ilə teoremlər sübut olunur. Bu zaman bütün ifadələr mənası əhəmiyyət kəsb etməyən düsturlar şəklində yazılır və bu düsturlar verilmiş qaydalara uyğun olaraq çevrilir. Mənalı aksiomatik nəzəriyyədə nəticə çıxarma qaydaları müəyyən edilmir. Sübutlar sübut olunan ifadələrin mənası nəzərə alınmaqla adi məntiqi konstruksiyalar əsasında həyata keçirilir.
Bu kursda əsas say sistemlərinin mənalı nəzəriyyələri qurulur.
Aksiomatik nəzəriyyə üçün ən mühüm tələb onun ardıcıllığıdır. Ardıcıllığın sübutu başqa bir nəzəriyyədə nəzəriyyənin modelini qurmaqla həyata keçirilir. Sonra nəzərdən keçirilən nəzəriyyənin ardıcıllığı modelin qurulduğu nəzəriyyənin ardıcıllığına endirilir.
Tam ədədlər sistemi üçün model natural ədədlər sistemi çərçivəsində, rasional olanlar üçün - tam ədədlər sistemində və s. Hər bir nəzəriyyənin bir əvvəlkinə əsaslandığı aksiomatik nəzəriyyələr zənciri ortaya çıxır. Lakin bu zəncirdəki ilk nəzəriyyə, yəni natural ədədlər nəzəriyyəsi üçün model qurmaq üçün heç bir yer yoxdur. Buna görə də, natural ədədlər sistemi üçün modelin varlığına şübhə yeri olmayan bir nəzəriyyə qurmaq lazımdır, baxmayaraq ki, bunu ciddi şəkildə sübut etmək mümkün deyil.
Nəzəriyyə çox sadə olmalıdır. Bu məqsədlə biz natural ədədlər sistemini yalnız cisimləri saymaq üçün alət hesab edirik. Göstərilən formada nəzəriyyə qurulduqdan sonra toplama, vurma əməliyyatları və sıra əlaqəsi müəyyən edilməlidir.
Saymanın ehtiyacları üçün natural ədədlər sistemi birinci elementin (bir) və hər bir element üçün müəyyən edildikdən sonra növbəti elementin müəyyən edildiyi ardıcıllıq olmalıdır. Buna görə aşağıdakı nəzəriyyəni əldə edirik.
Sabit: 1 (bir).
funksiya simvolu: "¢". Unar əməliyyatı "izlə" ifadə edir, yəni. A¢ aşağıdakı rəqəmdir A. Eyni zamanda, nömrə Açağırdı əvvəlkiüçün A¢.
Xüsusi predikat simvolları yoxdur. Adi bərabərlik münasibəti və çoxluq nəzəri münasibətlərindən istifadə olunur. Onlar üçün aksiomalar göstərilməyəcək.
Nəzəriyyənin qurulduğu çoxluq işarələnir N.
Aksiomalar:
(N1)(" a) a¢ ¹ 1 (biri heç bir rəqəmə əməl etmir).
(N2)(" a)("b) (a¢ = b¢ ® a = b) (hər nömrənin ən çoxu bir əvvəlki rəqəmi var).
(N3) M Í N, 1О M, ("a)(aÎ M ® a¢Î M) Þ M = N(riyazi induksiyanın aksioması).
Yuxarıdakı aksiomatika (kiçik dəyişikliklərlə) 19-cu əsrin sonunda italyan riyaziyyatçısı Peano tərəfindən təklif edilmişdir.
Aksiomlardan bəzi teoremləri çıxarmaq asandır.
Teorem 1. (Riyazi induksiya üsulu). Qoy R(n) çoxluqda müəyyən edilmiş predikatdır N. Qoy həqiqət olsun R(1) və (" n)(P(n)® P(n¢)). Sonra R(n) üzərində eyni dərəcədə doğru predikatdır N.
Sübut. Qoy M- natural ədədlər çoxluğu n, hansı üçün R(n) doğrudur. Sonra 1О M teoremə görə. Sonrakı, əgər nÎ M, Bu P(n) tərifinə görə doğrudur M, P(n¢) teoreminin fərziyyəsi ilə doğrudur və n¢Î M a-prior M. İnduksiya aksiomunun bütün müddəaları təmin edilir, buna görə də, M = N. Tərifinə görə M, o deməkdir ki R(n) bütün rəqəmlər üçün doğrudur N. Teorem sübut edilmişdir.
Teorem 2.İstənilən nömrə A¹ 1-in bir antesedenti var və yalnız bir.
Sübut. Qoy M 1-dən ibarət natural ədədlər və özündən əvvəl olan bütün ədədlər toplusudur. Sonra 1О M. Əgər aÎ M, Bu a¢Î M, çünki a¢ əvvəlki var (şərt burada hətta istifadə edilmir aÎ M). Beləliklə, induksiya aksiomuna görə M = N. Teorem sübut edilmişdir.
Teorem 3.İstənilən nömrə növbəti rəqəmdən fərqlidir.
Məşq edin. 1¢ = 2, 2¢ = 3, 3¢ = 4, 4¢ = 5, 5¢ = 6 natural ədədlərini təyin edərək, 2 ¹ 6 olduğunu sübut edin.
Natural ədədlərin toplanması
Natural ədədlərin toplanması üçün aşağıdakı rekursiv tərif verilir.
Tərif. Natural ədədlərin toplanması ikili əməliyyatdır ki A Və b sayına uyğun gəlir a+b xüsusiyyətlərə malikdir:
(S1) A + 1 = A¢ hər hansı bir üçün A;
(S2) a+b¢ = ( a+b)¢ istənilən üçün A Və b.
Bu tərifin düzgün olduğunu, yəni verilmiş xassələri təmin edən əməliyyatın mövcud olduğunu sübut etmək tələb olunur. Bu tapşırıq çox sadə görünür: induksiyanı həyata keçirmək kifayətdir b saymaq A sabit. Bunun üçün bir sıra tələb olunur M dəyərlər b, bunun üçün əməliyyat a+b müəyyən edilir və (S1) və (S2) şərtlərini ödəyir. İnduktiv keçidi həyata keçirərək, bunun üçün olduğunu güman etməliyik bəməliyyat həyata keçirilir və bunun üçün edildiyini sübut edir b¢. Lakin mülkiyyətdə (S2) bu doğru olmalıdır b, artıq bir keçid var a+b¢. Beləliklə, bu xassə avtomatik olaraq əməliyyatın mövcudluğunu qəbul edir a+b¢ və deməli, sonrakı rəqəmlər üçün də: axır ki, üçün a+b¢ əmlak (S2) də sahib olmalıdır. Düşünmək olar ki, bu, yalnız induktiv addımı əhəmiyyətsiz etməklə işi asanlaşdırır: sübut edilən iddia sadəcə olaraq induktiv fərziyyəni təkrarlayır. Ancaq burada çətinlik induksiyanın əsasını sübut etməkdədir. Dəyər üçün b= 1, xassələri (S1) və (S2) də saxlamalıdır. Lakin xassə (S2), göstərildiyi kimi, 1-dən sonrakı bütün dəyərlər üçün əməliyyatın mövcudluğunu nəzərdə tutur. Deməli, induksiyanın əsasının yoxlanılması birlik üçün deyil, bütün ədədlər üçün sübutu nəzərdə tutur və induksiya öz dəyərini itirir. məna: induksiyanın əsası sübut edilən müddəa ilə üst-üstə düşür.
Yuxarıdakı əsaslandırma rekursiv təriflərin səhv olduğunu və ya hər dəfə diqqətli əsaslandırma tələb etdiyini ifadə etmir. Onları əsaslandırmaq üçün yalnız bu mərhələdə qurulan natural ədədlərin xassələrindən istifadə etmək lazımdır. Bunlar müəyyən edildikdən sonra rekursiv təriflərin etibarlılığı sübuta yetirilə bilər. Bu arada on induksiya ilə toplamanın varlığını sübut edirik A: (S1) və (S2) düsturlarında üçün əlavəsi arasında heç bir əlaqə yoxdur A Və A¢.
Teorem 1. Natural ədədlərin əlavə edilməsi həmişə mümkün və unikaldır.
Sübut. a) Əvvəlcə unikallığı sübut edirik. düzəldək A. Sonra əməliyyatın nəticəsi a+b-dən bir funksiya var b. Tutaq ki, iki belə funksiya var f(b) Və g(b) xassələri ilə (S1) və (S2). Onların bərabər olduğunu sübut edək.
Qoy M- dəyərlər toplusu b, hansı üçün f(b) = g(b). Mülkiyyət üzrə (S1)
f(1) = A + 1 = A¢ və g(1) = A + 1 = A¢ deməkdir f(1) = g(1) və 1О M.
Qoy indi bÎ M, yəni f(b) = g(b). Mülkiyyət üzrə (S2)
f(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= f(b)¢, g(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= g(b)¢ = f(b¢),
O deməkdir ki, b¢Î M. İnduksiya aksiomu ilə M = N. Unikallığı sübut edilmişdir.
b) İndi induksiya ilə Aəməliyyatın mövcudluğunu sübut etmək a+b. Qoy M həmin dəyərlər toplusudur A, bunun üçün əməliyyat a+b xüsusiyyətləri ilə (S1) və (S2) hamı üçün müəyyən edilir b.
Qoy A= 1. Belə bir əməliyyata misal verək. Tərifə görə, biz 1 + təyin edirik b== b¢. Göstərək ki, xassələr (S1) və (S2) bu əməliyyat üçün uyğundur. (S1) tərifə uyğun gələn 1 + 1 = 1¢ formasına malikdir. Yoxlayın (S2): 1 +b¢ =( b¢)¢ =
= (1+b)¢, və (S2) razıdır. Beləliklə, 1О M.
Qoy indi AÎ M. Gəlin bunu sübut edək A¢Î M. Tərifinə görə güman edirik
a¢ +b = (a + b)¢. Sonra
a¢ + 1 = (a+ 1)¢ = ( A¢)¢,
a¢ +b¢ = ( a + b¢)¢ = (( a + b)¢)¢ = ( a¢ +b)¢,
və xassələri (S1) və (S2) saxlayır.
Beləliklə, M = N, və toplama bütün natural ədədlər üçün müəyyən edilir. Teorem sübut edilmişdir.
Teorem 2. Natural ədədlərin toplanması assosiativdir, yəni
(a+b) + c = a + (b+c).
Sübut. düzəldək A Və b və induksiyanı həyata keçirin ilə. Qoy M- həmin nömrələrin çoxluğu ilə, bunun üçün bərabərlik doğrudur. (S1) və (S2) xassələrimiz var:
(a+b) + 1 = (a+b)¢ = ( a+b¢) = a +(b+ 1) Þ 1О M.
Qoy indi iləÎ M. Sonra
(a+b) + c¢ = (( a+b) + c)¢ = ( a +(b + c))¢ = a +(b + c)¢ = a +(b + c¢),
Və c¢Î M. Aksioma görə (N3) M = N. Teorem sübut edilmişdir.
Teorem 3. Natural ədədlərin toplanması kommutativdir, yəni,
a + b = b + a. (1)
Sübut. düzəldək A və induksiyanı həyata keçirin b.
Qoy b= 1, yəni bərabərliyi sübut etmək tələb olunur
A + 1 = 1 + A. (2)
Bu bərabərliyi induksiya ilə sübut edirik A.
At A= 1 bərabərlik əhəmiyyətsizdir. üçün edilsin A, bunun üçün sübut edəcəyik A¢. Bizdə var
A¢ + 1 = ( A + 1) + 1 = (1 + A) + 1 = (1 + A)¢ = 1 + A¢.
İnduktiv keçid tamamlandı. Riyazi induksiya prinsipi ilə bərabərlik (2) hamı üçün doğrudur A. Bu induksiya əsasının təsdiqini sübut edir b.
İndi düstur (1) təmin edilsin b. Bunun üçün sübut edək b¢. Bizdə var
a +b¢ = ( a +b)¢ = ( b + a)¢ = b + a¢ = b + (a + 1) = b + (1 + a) = (b + 1) + a = b¢ + a.
Riyazi induksiya prinsipi ilə teorem isbat edilir.
Teorem 4.a + b ¹ b.
Sübut məşq kimidir.
Teorem 5.İstənilən nömrələr üçün A Və b aşağıdakılardan biri və yalnız biri baş verir:
1) a = b.
2) Bir nömrə var k belə a = b + k.
3) Bir nömrə var l belə b = a + l.
Sübut. 4-cü teoremdən belə nəticə çıxır ki, bu hallardan çoxu biri baş verir, çünki açıq-aydın 1) və 2), eləcə də 1) və 3) halları eyni vaxtda baş verə bilməz. Əgər 2) və 3) hallar eyni vaxtda baş veribsə, onda a = b + k=
= (A + l) + k = A+ (l + k),
bu da 4-cü teoremlə ziddiyyət təşkil edir. Gəlin sübut edək ki, bu hallardan heç olmasa biri həmişə baş verir.
Bir nömrə seçilsin A Və M - bunların çoxu b, hər biri üçün verilmişdir a hal 1), 2) və ya 3) baş verir.
Qoy b= 1. Əgər a= 1, onda 1-ci halımız var). Əgər A¹ 1, onda 1.1.2 teoreminə görə biz var
a = k" = k + 1 = 1 + k,
yəni 2) üçün halımız var b= 1. Deməli, 1-ə aiddir M.
Qoy b məxsusdur M. Sonra aşağıdakı hallar mümkündür:
- A = b, O deməkdir ki, b" = b + 1 = A+ 1, yəni 3) üçün halımız var b";
- A = b+k, və əgər k= 1, onda A = b+ 1 = b", yəni hal 1) üçün b";
əgər k¹ 1, onda k = t" Və
a \u003d b + t" \u003d b + (t + 1)= b + (1+ m) = (b+ 1)+ m = b¢ +m,
yəni 2) üçün hal var b";
- b = a + l, və b" =(a + l)¢ = A + l¢, yəni 3) üçün halımız var b".
Bütün hallarda b" məxsusdur M. Teorem sübut edilmişdir.
Məşq edin. Cəmin tərifindən sübut edin ki, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 3 + 3 = 6.
Natural ədədlərin vurulması
Tərif. Natural ədədlərin vurulmasına natural ədədlərin ikili əməliyyatı deyilir A Və b sayına uyğun gəlir ab(və ya a×b) aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:
(P1) A×1 = A hər kəs üçün A;
(P2) ab" = ab + a hər hansı üçün A Və b.
Vurmanın tərifinə gəldikdə, əvvəlki paraqrafda toplamanın tərifi ilə bağlı deyilən bütün qeydlər qüvvədə qalır. Xüsusilə, əmlak tərifindəki məlumatlarla uyğunluğun olması hələ aydın deyil. Buna görə də 1.2.1 teoreminin analoqu olan aşağıdakı teorem böyük fundamental əhəmiyyət kəsb edir.
Teorem 1. Natural ədədlərin yalnız bir çarpımı var. Başqa sözlə, vurma həmişə mümkün və unikaldır.
Sübut Teorem 1.2.1-in sübutuna tamamilə bənzəyir və məşq kimi təklif olunur.
Aşağıdakı teoremlərdə ifadə olunan vurmanın xassələrini sübut etmək asandır. Hər bir teoremin sübutu əvvəlkilərə əsaslanır.
Teorem 2.(Sağ paylama qanunu): ( a+b)c = ac + bc.
Teorem 3. Vurma kommutativdir: ab=ba.
Teorem 4.(Sol paylanma qanunu): c(a+b)= ca + cb.
Teorem 5.Çoxalma assosiativdir: a(e.ə) = (ab)c.
Tərif. Yarım halqa sistemdir, burada + və × aksiomları təmin edən ikili toplama və vurma əməliyyatlarıdır:
(1) kommutativ yarımqrupdur, yəni toplama kommutativ və assosiativdir;
(2) yarımqrupdur, yəni vurma assosiativdir;
(3) sağ və sol paylama qabiliyyəti.
Cəbri nöqteyi-nəzərdən əlavə və vurma ilə bağlı natural ədədlər sistemi yarım halqa əmələ gətirir.
Məşq edin. Məhsulun tərifinə əsaslanaraq bunu sübut edin
2x2 = 4, 2x3 = 6.
Məşqlər
Şəxsiyyətləri sübut edin:
1.
1 2 + 2 2 + ... + n 2 = 
.
2. 1 3 + 2 3 + ... + n 3 = .
Məbləği tapın:
3.
.
4.
.
5.
.
6. 1×1! + 2×2! + ... + n×n!.
Bərabərsizlikləri sübut edin:
7. n 2 < 2n для n > 4.
8. 2n < n! üçün n³ 4.
9. (1 + x)n³ 1+ nx, Harada x > –1.
10. saat n > 1.
11.
saat n > 1.
12.
.
13.
Bütün ədədlərin bərabər olduğunu induksiya ilə sübutda səhvi tapın. Ekvivalent bir təsdiqi sübut edirik: hər hansı bir çoxluqda nədədlər, bütün ədədlər bərabərdir. At n= 1 ifadə doğrudur. üçün doğru olsun n = k, bunun üçün sübut edəcəyik n = k+ 1. Özbaşına bir sıra götürün
(k+ 1) nömrələr. Ondan bir ədədi çıxaraq A. Sol kədədlər, induktiv fərziyyə ilə bərabərdirlər. Xüsusilə, iki ədəd bərabərdir b Və ilə. İndi dəstdən bir nömrə çıxaraq ilə və yandırın A. Nəticədə yaranan dəstdə, əvvəlki kimi, kədədlərdir, ona görə də onlar da bir-birinə bərabərdirlər. Xüsusilə, a = b. O deməkdir ki, a=b=c, və hamısı ( k+ 1) ədədlər bərabərdir. İnduktiv addım tamamlanır və təsdiq sübut olunur.
14. Riyazi induksiyanın güclü prinsipini sübut edin:
Qoy A(n) natural ədədlər çoxluğundakı predikatdır. Qoy A(1) doğru və həqiqətdən A(k) bütün nömrələr üçün k < m həqiqəti izləyir A(m). Sonra A(n) hamı üçün doğrudur n.
Sifarişli komplektlər
Sifariş əlaqəsi ilə bağlı əsas tərifləri xatırlayırıq.
Tərif. Dəstə f ("daha yüksək") əlaqəsi Mçağırdı sifariş əlaqəsi, və ya sadəcə qaydasında bu əlaqə keçidli və antisimmetrik olarsa. Sistem a M, fñ adlanır sifarişli komplekt.
Tərif. ciddi nizam, antirefleksivdirsə və boş sifariş, əgər reflekslə.
Tərif. f sırasının münasibətinə münasibət deyilir xətti nizam, əgər bağlıdırsa, yəni a ¹ bÞ a f bÚ b f a. Xətti olmayan sifariş deyilir qismən.
Tərif. Qoy a M A- alt çoxluq M. Element T dəstləri Açağırdı ən azıçoxluğun bütün digər elementlərindən az olarsa A, yəni
("XÎ A)(X ¹ T® X f T).
Tərif. Qoy a M, fñ sifarişli çoxluqdur, A- alt çoxluq M. Element T dəstləri Açağırdı minimal, əgər dəstdə A daha kiçik element yoxdur, yəni (" XÎ A)(X ¹ T® Ø T f X).
Maksimum və maksimum elementlər eyni şəkildə müəyyən edilir.
Məşqlər
1. Keçidli və antirefleksiv əlaqənin nizamlı əlaqə olduğunu sübut edin.
2. M-in çoxluqda bölünmə münasibətinin olduğunu sübut edin N qismən nizam əlaqəsidir.
3. Çoxluğun ən çox bir ən böyük və ən çox bir ən kiçik elementi ola biləcəyini sübut edin.
4. Bölünmə nisbəti üçün çoxluqdakı bütün minimum, maksimum, ən böyük və ən kiçik elementləri (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) tapın.
5. Sübut edin ki, çoxluğun ən kiçik elementi varsa, o, yeganə minimal elementdir.
6. Üç elementdən ibarət çoxluqda xətti nizam neçə yolla müəyyən edilə bilər? xətti və sərt? xətti və qeyri-ciddi?
7. Qoy a M, fñ xətti düzülmüş çoxluqdur. > münasibətinin şərtlə təyin olunduğunu sübut edin
a > b Û a f b & a¹ b
ciddi xətti nizamlı əlaqədir.
8. Qoy a M, fñ xətti düzülmüş çoxluqdur. ³ münasibətinin şərtlə təyin olunduğunu sübut edin
a ³ b Û a f b Ú a= b,
qeyri-ciddi xətti nizamlı münasibətdir.
Tərif. Xətti sıralı dəst á M Hər bir boş olmayan alt çoxluğun ən kiçik elementi olduğu , fñ adlanır olduqca nizamlı. Bu halda f münasibəti əlaqə adlanır tam sifariş.
1.4.6 teoreminə əsasən natural ədədlər sistemi düz düzülmüş çoxluqdur.
Tərif. Qoy a M a elementi ilə ayrılan interval, çoxluq adlanır R a Aşağıdakı bütün elementlər A və fərqlidir A, yəni
R a = {x Î Mï a f x, x¹ a}.
Xüsusilə, əgər A minimum elementdir, onda R a = Æ.
Teorem 1.(Transfinit induksiya prinsipi). Qoy a M, fñ yaxşı nizamlanmış dəstdir və A Í M. Hər bir element üçün icazə verin A-dən M aid olmaqdan A intervalın bütün elementləri R a bunu izləyir AÎ A. Sonra A = M.
Sübut.
Qoy A" = M\Açoxluqların çoxluq-nəzəri fərqidir M Və A.Əgər A"= Æ, onda A = M, və teoremin təsdiqi təmin edilir. Əgər A"¹ Æ , sonra, çünki M yaxşı sifarişli dəstdir, sonra dəst A"ən kiçik elementi ehtiva edir T. Bu vəziyyətdə, əvvəlki bütün elementlər T və fərqlidir T, aid deyil A" və buna görə də aiddir A. Beləliklə, R m Í A. Buna görə də teoremin fərziyyəsi ilə T Î A, və buna görə də T Ï A", fərziyyənin əksinə.
Qoy a A; fñ sifarişli çoxluqdur. Biz bunu güman edəcəyik A sonlu çoxluqdur. Hər bir elementi ilə A dəstləri A istənilən nöqtəni müqayisə edin T (A) verilmiş müstəvi ki, əgər element A dərhal elementi izləyir b, sonra işarə edin T (a) nöqtədən yuxarıda yerləşəcək T(b) və onları bir xətt ilə birləşdirin. Nəticədə verilmiş sifarişli çoxluğa uyğun olan qrafiki alırıq.
Məşqlər
9. Qoy a M, fñ yaxşı nizamlanmış dəstdir, b Î XanımÎ M. Bunu sübut et və ya Pb = R s, və ya Pb Ì R s, və ya R s Ì Pb.
10.
Qoy a M, f 1 с və а L, f 2 с elə düzülmüş çoxluqlardır ki
M Ç L=Æ .
çoxluqda M È L f binar münasibətini aşağıdakı şərtlərlə təyin edirik:
1) əgər a, bÎ M, Ki, a f b Û a f1 b;
2) əgər a, bÎ L Ki, a f b Û a f2 b;
3) əgər AÎ M, bÎ L Ki, a f b.
Bu sistemi sübut edin á MÈ L, fñ yaxşı nizamlanmış dəstdir.
Sifarişli yarımqruplar
Tərif.yarımqrup cəbr á adlanır A, *ñ, burada * assosiativ ikili əməliyyatdır.
Tərif. Yarımqrup á A, *ñ xassələri təmin edərsə ləğv yarımqrupu adlanır
a*c = b*c Þ a = b;c*a = c*b Þ a = b.
Tərif.sifarişli yarımqrup sistem á adlanır A, +, fñ, burada:
1) sistem á A, +ñ yarımqrupdur;
2) sistem á A, fñ sifarişli çoxluqdur;
3) f münasibəti yarımqrup əməliyyatına görə monotondur, yəni.
a f b Þ a+c f b+c, c+a f c+b.
Sifarişli yarımqrup á A, +, fñ adlanır sifarişli qrup, əgər sistem á A, +ñ qrupdur.
Sifariş münasibətlərinin növlərinə uyğun olaraq, xətti düzülmüş yarımqrup, xətti düzülmüş qrup, qismən düzülmüş yarımqrup, ciddi nizamlanmış yarımqrup və s.
Teorem 1. Sifarişli yarımqrupda á A, +, fñ bərabərsizlikləri əlavə edilə bilər, yəni, a f b, c f d Þ a+c f b+d.
Sübut. Bizdə var
a f b Þ a+c f b + c, c f d Þ b+c f b + d
buradan tranzitivliklə a+c f b+d. Teorem sübut edilmişdir.
Məşq 1. Natural ədədlər sisteminin vurma və bölünmə qabiliyyətinə görə qismən düzülmüş yarımqrup olduğunu sübut edin.
Sistemin á olduğunu görmək asandır N, +, >ñ güclü nizamlı yarımqrupdur, á N, +, ³ñ qeyri-ciddi sifarişli yarımqrupdur. á yarımqrupunun belə sıralanmasına misal göstərmək olar N, +ñ, hansı qaydada nə sərt, nə də qeyri-sərtdir.
Məşq 2. Natural ədədlər sistemində f sırasını aşağıdakı kimi təyin edirik: a f b Û a ³ b & a¹ 1. Bunu sübut edin á N, +, fñ nizamlı yarımqrupdur, burada nizam nə ciddi, nə də qeyri-sərtdir.
Misal 1 Qoy A- birə bərabər olmayan natural ədədlər çoxluğu. f-də əlaqəni təyin edək A aşağıdakı şəkildə:
a f b Û ($ kÎ N)(a = b+k) & b¹ 3.
Bu sistemi sübut edin á A, +, fñ qismən və ciddi şəkildə nizamlanmış yarımqrupdur.
Sübut. Keçid qabiliyyətini yoxlayaq:
a f b, b f c Þ a = b + k, b¹ 3, b = c + l, c¹ 3 a = c +(k+l), c¹ 3 a f c.
Çünki a f b Þ a > b, sonra antirefleksivlik saxlanılır. 2.1.1-ci işdən belə çıxır ki, f ciddi nizam əlaqəsidir. 3 və 4-cü elementlərin heç bir əlaqəsi olmadığı üçün sifariş qisməndir.
Əlavəyə münasibətdə f münasibətinin monotonluğu təmin edilir. Düzdür, şərt a f b Þ a+c f b+c yalnız o zaman qırıla bilərdi
b+c= 3. Lakin cəmi 3-ə bərabər ola bilər, çünki A vahid yoxdur.
İki elementdən ibarət qrup xətti və ciddi şəkildə sıralana bilməz. Həqiqətən, 0 və 1 onun elementləri olsun (0 qrupun sıfırıdır). Tutaq ki, 1 > 0. Onda 0 = 1 + 1 > 0 + 1 = 1 alırıq.
Teorem 2.İstənilən xətti sifarişli ləğv yarımqrupu xətti və ciddi şəkildə sifariş edilə bilər.
Sübut. Qoy a A, +, fñ sıralı yarımqrupdur. Ciddi sıra əlaqəsi > İş 2.1.5-də olduğu kimi müəyyən edilmişdir: a > b Û a f b & a¹ b. Göstərək ki, nizamlı yarımqrupun tərifindən 3) şərti ödənilir.
a > b Þ a f b, a¹ bÞ a+c f b+c.
Əgər a+c = b+c sonra azaltmaqla, alırıq a = b, bu şərtə ziddir
A > b. O deməkdir ki, a+c ¹ b+c, Və a+c > b+c. 3) şərtinin ikinci hissəsi də eyni şəkildə yoxlanılır ki, bu da teoremi sübut edir.
Teorem 3.Əgər a A, +, fñ xətti və ciddi nizamlı yarımqrupdur, onda:
1) A + ilə = b + c Û a = b Û c + a = ilə + b;
2) A + ilə f b + c Û A f b Û ilə + a f ilə + b.
Sübut. Qoy A + ilə = b + c. Əgər a ¹ b, sonra əlaqə səbəbiylə A f b və ya
b f a. Ancaq sonra müvafiq olaraq A + ilə f b+c və ya b + ilə f a+ c, bu şərtə ziddir A + ilə = b + c. Digər işlərə də oxşar şəkildə baxılır.
Beləliklə, hər bir xətti və ciddi şəkildə nizamlanmış yarımqrup ləğvedici yarımqrupdur.
Tərif. Qoy a A, +, fñ sıralı yarımqrupdur. Element A dəstləri Aəgər müsbət (mənfi) adlanır a + a¹ A Və a + a f A(müvafiq olaraq A f a + a).
Misal 2 Müsbət elementdən böyük olan sifarişli kommutativ ləğv yarımqrupunun elementinin mütləq müsbət olmadığını sübut edin.
Həll. Nümunə 1-dən istifadə edək. Bizdə 2 + 2 f 2 var, ona görə də 2 müsbət elementdir. 3 = 2 + 1, belə ki, 3 f 2. Eyni zamanda, 3 + 3 f 3 münasibəti keçmir, ona görə də 3 müsbət element deyil.
Teorem 4. Ləğv edilən kommutativ yarımqrupun müsbət elementlərinin cəmi müsbətdir.
Sübut. Əgər a + a f A Və b+b f b, sonra Teorem 1 ilə
a + a+ b+b f a + b Þ ( a + b)+ (a+b)f a + b.
Bunu yoxlamaq qalır ( a + b)+ (a+b)¹ a + b. Bizdə:
b+b f b Þ a+b+b f a+b(1)
elə tutaq ki ( a + b)+ (a+b)=a + b.(1)-i əvəz edərək əldə edirik
a+b+b f a+b+a+b Þ a f a + a.
Antisimmetriyaya görə a = a + a. Bu ünsürün olması ilə ziddiyyət təşkil edir A müsbət.
Teorem 5.Əgər A xətti və ciddi nizamlı yarımqrupun müsbət elementidir, onda hər hansı üçün b bizdə var a+b f b, b+a f b.
Sübut. Bizdə var a + a f A Þ a+ a+ b f a + b. Əgər bu doğru deyilsə a + b f b, sonra xəttiliyə görə, a+b=b və ya b f a + b. Solda əlavə A, biz müvafiq olaraq əldə edirik a+ a+ b= a + b və ya a + b f a + a + b. Bu şərtlər nizam əlaqəsinin antisimmetriyasına və sərtliyinə ziddir.
Teorem 6. Qoy a A, +, fñ xətti və ciddi nizamlı yarımqrupdur, AÎ A Və A+ A¹ a. Sonra elementlər:
A, 2*A, 3*A, ...
hər kəs fərqlidir. Əgər əlavə olaraq sistem á A, +, fñ qrupdur, onda bütün elementlər fərqlidir:
0, A,–A, 2*A, - 2*a, 3*a, –3*A, ...
(altında k*a, kÎ N , aÎ A, cəmi deməkdir a+ …+ a ehtiva edir kşərtlər)
Sübut. Əgər a + A f A, Bu a + A + A f a + a və s. Nəticədə, bir zəncir alırıq ... f ka f… f 4 A f3 A f2 A f A. Keçidlilik və antisimmetriya sayəsində onun bütün elementləri fərqlənir. Bir qrupda zəncir element əlavə etməklə digər istiqamətdə davam etdirilə bilər - A.
Nəticə. Sonlu ləğvedici yarımqrup, əgər onun elementlərinin sayı ən azı 2-dirsə, xətti qaydada sıralana bilməz.
Teorem 7. Qoy a A, +, fñ xətti düzülmüş qrupdur. Sonra
a f a Û b f b.
Sübut məşq kimidir.
Beləliklə, hər bir xətti sıralanmış qrup ya güclüdür, ya da ciddi qaydada deyil. Bu sıraları işarələmək üçün müvafiq olaraq > və ³ işarələrindən istifadə edəcəyik.
Məşqlər
3. Xətti və güclü nizamlı yarımqrupun müsbət elementlərinin cəminin müsbət olduğunu sübut edin.
4. Müsbət elementdən böyük olan xətti və ciddi nizamlı yarımqrupun hər bir elementinin özünün müsbət olduğunu sübut edin.
5. Sübut edin ki, nizamlanmış yarımqrup yalnız və yalnız onun elementlərinin hər hansı sonlu çoxluğunda və yalnız bir ən böyük elementə malik olduqda xətti sıralanır.
6. Xətti düzülmüş qrupun müsbət elementləri çoxluğunun boş olmadığını sübut edin.
7. Qoy a A, +, fñ xətti və ciddi nizamlı qrupdur. Element olduğunu sübut edin A sistemləri A yalnız və yalnız o halda müsbətdir A > 0.
8. Təbii ədədlərin əlavə yarımqrupunda müsbət elementlər çoxluğunun boş olmadığı yalnız bir xətti və ciddi qayda olduğunu sübut edin.
9. Tam ədədlərin multiplikativ yarımqrupunun xətti sıralana bilməyəcəyini sübut edin.
Sifarişlə üzüklər
Tərif. Sistem a A, +, ×, fñ adlanır sifariş verdi, Əgər
1) sistem á A, +, ×ñ yarım halqadır;
2) sistem á A, +, fñ boş olmayan çoxluğu olan sifarişli yarımqrupdur A+ müsbət elementlər;
3) monotonluq müsbət elementlərlə çoxalma ilə təmin edilir, yəni əgər iləÎ A+ və A f b, Bu ac f e.ə, təxminən f cb.
müsbət element sifariş verdi A sifarişli yarımqrupun hər hansı müsbət elementidir á A, +, fñ.
Sifarişli yarımring á A, +, ×, fñ adlanır üzük sifariş etdi (sahə) əgər yarım halqa á A, +, ×ñ üzükdür (müvafiq olaraq sahə).
Tərif. Qoy a A, +, ×, fñ sıralı yarım halqadır. Sistemin f sırası Açağırdı Arximed, və sistem A - Arximed əmr etdi,əgər müsbət elementlər nə olursa olsun A Və b sistemləri A, belə natural ədədi təyin edə bilərsiniz P, Nə na f b.
Misal 1> (böyük) nisbəti olan natural ədədlərin yarım halqası xətti, ciddi və Arximed sifarişli yarım halqadır.
Xətti sifarişli üzük üçün á A, +, ×, 0, fñ sistemi á A, +, 0, fñ xətti düzülmüş qrupdur. Bu, 2.2.7 teoreminə əsasən, f-nin sırasının ya sərt, ya da qeyri-sərt olduğunu nəzərdə tutur. çoxluqda A(2.1.5 və 2.1.6-cı tapşırıqlar) f-nin sırası qeyri-ciddi olduqda sərt, f-nin sırası ciddi olarsa, qeyri-ciddi olacaq yeni xətti qayda tətbiq etmək olar. Bu qeydlə əlaqədar olaraq, xətti düzülmüş halqada A adətən iki binar nizam münasibətlərini nəzərdən keçirin, onlardan biri, ciddi, işarə ilə işarələnir >, ikinci, qeyri-ciddi, ³ işarəsi.
Aşağıdakılar üçün elementin xətti düzülmüş halqada olduğunu xatırlamaq faydalıdır A yalnız və yalnız o halda müsbətdir A> 0 (məşq 2.2.7).
Teorem 1. Sistem á olsun A, +, ×, 0, >ñ xətti düzülmüş halqadır. Sonra hər hansı bir element üçün A-dən A və ya A = 0, və ya A> 0 və ya - A > 0.
Sübut. Elementlər arasındakı xətti və sərtliyə görə
a + a Və Aəlaqələrdən biri və yalnız biri var a + a>a, a+ a = a, a+ a < a. Birinci halda A müsbət elementdir. İkincidə, hər iki hissəyə əlavə edirik - A və alırıq A= 0. Üçüncü halda, hər iki hissəyə əlavə edirik - a - a - a və alırıq -a < -a-a, harada -a müsbət elementdir.
Teorem 2. Xətti düzülmüş halqanın müsbət elementlərinin cəmi və hasili müsbətdir.
Sübut məşq kimidir.
Teorem 3. Xətti düzülmüş halqada istənilən sıfırdan fərqli elementin kvadratı müsbətdir.
Sübut məşq kimidir.
Teorem 4. Xətti düzülən sahədə, əgər a> 0, onda a –1 > 0.
Sübut məşq kimidir.
Teorem 5. ( Sifariş meyarı) . Üzük a A, +, ×, 0ñ yalnız və yalnız o zaman xətti və ciddi şəkildə sıralana bilər (yəni xətti və ciddi qayda tətbiq olunarsa), əgər çoxluq A alt çoxluğu var A+ , şərtlərə cavab verən:
1) AÎ A + Þ A¹ 0 & – AÏ A + ;
A¹ 0 Þ AÎ A + Ú – AÎ A + ;
2)a, bÎ A + Þ a + bÎ A + & abÎ A + .
Sübut. Əvvəlcə á A, +, ×, 0, >ñ xətti düzülmüş halqadır. İstədiyiniz alt çoxluq kimi A+ bu halda 1 və 2-ci teoremlərə əsasən sistemin müsbət elementləri çoxluğu ola bilər. A.
Qoy indi A+ á halqasının alt çoxluğudur A, +, ×, 0ñ teoremin şərtlərini ödəyir. Gəlin á halqasında xətti nizam > təqdim etməyə çalışaq A, +, ×, 0ñ. Bu əlaqəni belə təyin edək:
A > b Û a - b Î A + .
Bizim təqdim etdiyimiz əlaqənin hər hansı bir elementlə birləşmə və vurma ilə bağlı, antirefleksiv, antisimmetrik, keçidli, monoton olduğunu yoxlamaq asandır. A + .
Bir dəstə A+ 4-cü teorem şərtində qeyd olunan xassələri ilə adlanır halqanın müsbət hissəsi á A, +, ×, 0ñ. Gələcəkdə hansısa halqada nizam-intizam tətbiq edərkən, onda "müsbət hissə" axtaracağıq. Əgər üzükdə belə bir hissə varsa, o zaman üzük sifariş edilə bilər, yoxsa, qeyri-mümkündür, bir neçə belə üst-üstə düşməyən müsbət hissələr varsa, bir neçə yolla sifariş edilə bilər.
Deyilənlərdən belə çıxır ki, xətti düzülmüş halqa əsas münasibət kimi təyin edilərkən ikili münasibət > əvəzinə unar münasibət “müsbət hissə” götürülə bilər.
Teorem 6. ( Xətti nizamın unikallığının meyarı) . Qoy A+ və A++ halqanın müsbət hissələridir á A, +, ×, 0ñ. Sonra
A + = A ++ Û A + Í A ++ .
Aksiomlar sisteminə tələblər, Peano aksiomaları. İstənilən riyazi nəzəriyyənin aksiomatik qurulmasında müəyyən qaydalara əməl olunur: 1) nəzəriyyənin bəzi anlayışları əsas kimi seçilir və tərifsiz qəbul edilir; 2) nəzəriyyənin əsaslar siyahısında olmayan hər bir anlayışına tərif verilir. Onun mənasını əsas və əvvəlki anlayışların köməyi ilə izah edir. 3) aksiomalar tərtib edilir, yəni bu nəzəriyyədə sübut olmadan qəbul edilən cümlələr. Əsas anlayışların xassələri aksiomalarda aşkarlanır. 4) nəzəriyyənin aksiomlar siyahısında olmayan hər bir cümləsi sübut edilməlidir. Belə müddəalara teoremlər deyilir. Onlar bundan əvvəlki aksioma və teoremlər əsasında sübut edilir.
BU. riyazi nəzəriyyənin qurulmasının aksiomatik üsulu bir neçə mərhələdən keçir: 1) müəyyən edilməmiş əsas anlayışların (məsələn: çoxluq nəzəriyyəsində çoxluq, çoxluğun elementi) tətbiqi. 2) əsas münasibətlərin tətbiqi (məsələn: çoxluq nəzəriyyəsində üzvlük münasibəti). 3) əsas anlayışların və əsas münasibətlərin göstərilməsi yolu ilə digər anlayış və münasibətlərin tərifi təqdim olunur (məsələn: çoxluqlar nəzəriyyəsində birləşmə, kəsişmə, fərq, tamamlama anlayışları).
Nəzəriyyənin aksiomatik qurulmasında bütün müddəalar aksiomalardan sübut edilməklə əldə edilir. Belə nəzəriyyənin əsasını aksiomlar sistemi təşkil edir və aksiomlar sisteminə xüsusi tələblər qoyulur: 1) aksiomlar sistemi ardıcıl olmalıdır. Aksiomalar sistemi, məntiqi olaraq ondan bir-birini istisna edən iki müddəa çıxarmaq mümkün olmadıqda ardıcıl sistem adlanır. Başqa sözlə desək, bir müddəa ilə verilmiş müddəanın inkarını çıxarmaq mümkün deyil ki, onların hər ikisi eyni zamanda doğru olsun. Aksiomlar sisteminin ardıcıl olmasına əmin olmaq üçün bu sistemin modelini qurmaq kifayətdir. 2) aksiomlar sistemi müstəqil olmalıdır. Bu sistemin aksiomlarından heç biri digər aksiomların nəticəsi deyilsə, aksiomlar sistemi müstəqil adlanır. Başqa sözlə, bu sistemin hər bir aksiomunu qalan aksiomlardan çıxarmaq olmaz. Aksiomlar sisteminin müstəqilliyini sübut etmək üçün bu sistemin modelini qurmaq kifayətdir. 3) aksiomlar sistemi tam olmalıdır, yəni. verilmiş nəzəriyyədə seçilmiş aksiomların sayı yeni anlayışlar, əlaqələr təqdim etmək, teoremləri sübut etmək, bütün nəzəriyyəni qurmaq üçün kifayət qədər olmalıdır.
Eyni nəzəriyyənin aksiomatik qurulmasında müxtəlif aksioma sistemlərindən istifadə oluna bilər, lakin onlar ekvivalent olmalıdırlar. Natural ədədlər sisteminin aksiomatik qurulmasında əsas anlayış kimi “birbaşa izləmə” münasibəti götürülür. “Çoxluq”, “çoxluq elementi”, məntiq qaydası anlayışları da məlum hesab olunur. Bir elementdən dərhal sonra gələn element əsas ilə işarələnir.
“Birbaşa təqib” əlaqəsinin mahiyyəti aşağıdakı aksiomlarda açılır: 1) natural ədədlər çoxluğunda bu çoxluğun heç bir elementini dərhal izləməyən element var, bu element 1 (bir)-dir. 2) natural ədədlər çoxluğundan (N) hər bir a elementi üçün unikal a elementi var? , dərhal sonra a. 3) N-nin hər a elementi üçün ən çoxu bir elementdən dərhal sonra a işarəsi var. 4) N çoxluğunun hər hansı M alt çoxluğu aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir: 1 M və a-nın M-də olmasından a nə edir? M-də yerləşir, N çoxluğu ilə üst-üstə düşür.
Sadalanan aksiom sistemlərinə Peano aksiomları deyilir. BU. Peano aksiomlarını ödəyən birbaşa aşağıdakı əlaqənin qurulduğu ədədlər çoxluğuna natural ədədlər çoxluğu, onun elementi isə natural ədəd adlanır. Dördüncü aksiom təbii ədədlər seriyasının sonsuzluğunu təsvir edir və induksiya aksiomu adlanır. Onun əsasında müxtəlif müddəalar riyazi induksiya üsulu ilə sübut olunur ki, bu da aşağıdakılardan ibarətdir: verilmiş müddəanın hər hansı natural ədəd üçün doğru olduğunu sübut etmək üçün: 1) bu müddəanın doğru olduğunu sübut etmək lazımdır. birlik üçün, 2) ixtiyari k ədədi üçün müddəanın doğru olması müddəasından onun növbəti k ədədi üçün doğru olduğunu sübut edin?.
N çoxluğunun tərifi bu çoxluğun təbiəti haqqında heç nə demir, yəni o, hər şey ola bilər. Birbaşa təqib əlaqəsinin verildiyi və Peanonun aksiomlarını ödəyən istənilən çoxluğu N çoxluğu kimi seçərək, bu aksiomlar sisteminin modelini əldə edirik. Bütün bu cür modellər arasında təkbətək yazışmalar yaradıla bilər. Bu modellər yalnız elementlərin təbiəti, adı və təyinatı ilə fərqlənəcəkdir. No.: 1, 2, 3, 4, 5… 0,00,000,0000,00000, … S, 1/3, ј, 1/5,
