Portalda reklama

Turli kuchlarga ega bo'lgan raqamlarning mahsuloti. Daraja va uning xususiyatlari. To'liq qo'llanma (2020). Irratsional darajali darajalarning asosiy xossalari

Oldingi maqolada biz monomiallar nima haqida gapirgan edik. Ushbu materialda biz misollar va ular ishlatiladigan muammolarni qanday hal qilishni tahlil qilamiz. Bu erda ayirish, qo'shish, ko'paytirish, monomlarni bo'lish va ularni natural darajali darajaga ko'tarish kabi amallarni ko'rib chiqamiz. Biz bunday operatsiyalar qanday aniqlanganligini ko'rsatamiz, ularni amalga oshirishning asosiy qoidalarini va natija qanday bo'lishi kerakligini ko'rsatamiz. Barcha nazariy qoidalar, odatdagidek, echimlar tavsifi bilan muammolar misollari bilan tasvirlanadi.

Monomiallarning standart yozuvlari bilan ishlash eng qulaydir, shuning uchun biz maqolada ishlatiladigan barcha iboralarni standart shaklda taqdim etamiz. Agar ular dastlab boshqacha o'rnatilgan bo'lsa, birinchi navbatda ularni umumiy qabul qilingan shaklga keltirish tavsiya etiladi.

Monomiallarni qo‘shish va ayirish qoidalari

Monomiallar bilan bajarilishi mumkin bo'lgan eng oddiy amallar ayirish va qo'shishdir. Umumiy holda, bu harakatlarning natijasi ko'phad bo'ladi (ba'zi bir maxsus holatlarda monomial mumkin).

Monomiallarni qo‘shganda yoki ayirganda, avvalo, tegishli yig‘indi va ayirmani umumiy qabul qilingan shaklda yozamiz, shundan so‘ng hosil bo‘lgan ifodani soddalashtiramiz. Agar shunga o'xshash shartlar mavjud bo'lsa, ular berilishi kerak, qavslar ochilishi kerak. Keling, misol bilan tushuntiramiz.

1-misol

Holati:- 3 · x va 2, 72 · x 3 · y 5 · z monomlarini qo'shing.

Yechim

Keling, asl iboralar yig'indisini yozamiz. Qavslar qo'shing va ular orasiga ortiqcha belgisi qo'ying. Biz quyidagilarni olamiz:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Qavslarni kengaytirsak, biz - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z ni olamiz. Bu standart shaklda yozilgan polinom bo'lib, bu monomlarni qo'shish natijasi bo'ladi.

Javob:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

Agar bizda uchta, to'rt yoki undan ko'p atamalar berilgan bo'lsa, biz bu harakatni xuddi shu tarzda bajaramiz.

2-misol

Holati: ko'phadlar bilan berilgan amallarni to'g'ri tartibda bajaring

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Yechim

Qavslarni ochishdan boshlaylik.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Natijadagi ifodani shunga o'xshash atamalarni qisqartirish orqali soddalashtirish mumkinligini ko'ramiz:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 ac + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 ac + 4 9

Bizda polinom bor, bu harakatning natijasi bo'ladi.

Javob: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Aslida, biz ikkita monomialni qo'shish va ayirishni ba'zi cheklovlar bilan bajarishimiz mumkin, shuning uchun biz monomial bilan yakunlaymiz. Buning uchun atamalar va ayirma monomiallarga oid ba'zi shartlarga rioya qilish kerak. Bu qanday amalga oshirilganligini alohida maqolada tasvirlab beramiz.

Monomiylarni ko'paytirish qoidalari

Ko'paytirish harakati ko'paytiruvchilarga hech qanday cheklovlar qo'ymaydi. Natija monomial bo'lishi uchun ko'paytiriladigan monomlar hech qanday qo'shimcha shartlarga javob bermasligi kerak.

Monomiallarni ko'paytirish uchun siz quyidagi amallarni bajarishingiz kerak:

  1. Parchani to'g'ri yozib oling.
  2. Olingan ifodadagi qavslarni kengaytiring.
  3. Iloji bo'lsa, bir xil o'zgaruvchan va raqamli omillarga ega bo'lgan omillarni alohida guruhlang.
  4. Raqamlar bilan kerakli harakatlarni bajaring va qolgan omillarga bir xil asoslar bilan kuchlarni ko'paytirish xususiyatini qo'llang.

Keling, bu amalda qanday amalga oshirilganini ko'rib chiqaylik.

3-misol

Holati: 2 · x 4 · y · z va - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 monomlarni ko'paytiring.

Yechim

Keling, asarning kompozitsiyasidan boshlaylik.

Undagi qavslarni ochib, biz quyidagilarni olamiz:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa birinchi qavslardagi raqamlarni ko'paytirish va ikkinchisiga quvvat xususiyatini qo'llashdir. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Javob: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14.

Agar bizda uch yoki undan ortiq ko'phad mavjud bo'lsa, biz ularni aynan bir xil algoritm yordamida ko'paytiramiz. Biz monomiallarni ko'paytirish masalasini alohida materialda batafsil ko'rib chiqamiz.

Monomialni kuchga ko'tarish qoidalari

Bizga ma'lumki, bir xil sonli omillarning ko'paytmasi tabiiy ko'rsatkichli daraja deb ataladi. Ularning soni indeksdagi raqam bilan ko'rsatiladi. Ushbu ta'rifga ko'ra, monomialni bir kuchga ko'tarish ko'rsatilgan bir xil monomiallarning ko'rsatilgan sonini ko'paytirishga teng. Keling, bu qanday amalga oshirilganini ko'rib chiqaylik.

4-misol

Holati: monomial - 2 · a · b 4 ni 3 ning kuchiga ko'taring.

Yechim

Ko'rsatkichni 3 ta monomni - 2 · a · b 4 ni ko'paytirish bilan almashtirishimiz mumkin. Keling, yozamiz va kerakli javobni olamiz:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (aaa) (b 4 b 4) b 4) = − 8 a 3 b 12

Javob:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

Ammo daraja katta ko'rsatkichga ega bo'lsa-chi? Ko'p sonli ko'paytirgichlarni yozib olish noqulay. Keyin, bunday masalani hal qilish uchun biz darajaning xossalarini, ya'ni mahsulot darajasining xususiyatini va darajadagi darajaning xususiyatini qo'llashimiz kerak.

Keling, yuqorida keltirilgan muammoni ko'rsatilgan tarzda hal qilaylik.

5-misol

Holati:- 2 · a · b 4 ni uchinchi darajaga ko'taring.

Yechim

Darajada darajaning xususiyatini bilib, biz quyidagi shaklning ifodasiga o'tishimiz mumkin:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

Shundan so'ng, biz kuchga - 2 ga ko'taramiz va eksponent xususiyatini qo'llaymiz:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

Javob:− 2 · a · b 4 = - 8 · a 3 · b 12.

Biz monomialni kuchga ko'tarishga alohida maqola bag'ishladik.

Monomiallarni bo'lish qoidalari

Ushbu materialda biz tahlil qiladigan monomiallar bilan oxirgi harakat monomialni monomialga bo'lishdir. Natijada, biz ratsional (algebraik) kasrni olishimiz kerak (ba'zi hollarda monomial olish mumkin). Darhol aniqlik kiritaylikki, nolga bo'linish aniqlanmagan, chunki 0 ga bo'linish aniqlanmagan.

Bo'linishni amalga oshirish uchun ko'rsatilgan monomlarni kasr shaklida yozishimiz va iloji bo'lsa, uni kamaytirishimiz kerak.

6-misol

Holati: monomialni - 9 x 4 y 3 z 7 ga - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 ga bo'ling.

Yechim

Keling, monomlarni kasr shaklida yozishdan boshlaylik.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Bu fraktsiyani kamaytirish mumkin. Buni qilgandan so'ng, biz quyidagilarni olamiz:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Javob:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5.

Monomiylarni bo'lish natijasida monomialni olish shartlari alohida maqolada keltirilgan.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Quvvat formulalari murakkab ifodalarni qisqartirish va soddalashtirish jarayonida, tenglama va tengsizliklarni yechishda foydalaniladi.

Raqam c hisoblanadi n-sonning darajasi a qachon:

Darajalar bilan operatsiyalar.

1. Darajalar bir xil asosga ko'paytirilsa, ularning ko'rsatkichlari yig'iladi:

a ma n = a m + n.

2. Bir xil asosli darajalarni bo'lishda ularning ko'rsatkichlari ayiriladi:

3. 2 yoki undan ortiq omillarning ko'paytmasi darajasi ushbu omillarning darajalari ko'paytmasiga teng:

(abc…) n = a n b n c n…

4. Kasr darajasi dividend va bo'luvchi darajalarining nisbatiga teng:

(a/b) n = a n/b n.

5. Bir darajani bir darajaga ko'tarib, ko'rsatkichlar ko'paytiriladi:

(am) n = a m n.

Yuqoridagi har bir formula chapdan o'ngga va aksincha yo'nalishda to'g'ri.

Misol uchun. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Ildizlar bilan operatsiyalar.

1. Bir necha omillar hosilasining ildizi ushbu omillarning ildizlari mahsulotiga teng:

2. Nisbatning ildizi dividend va ildizlarning bo'luvchi nisbatiga teng:

3. Ildizni bir darajaga ko'tarishda ildiz raqamini shu darajaga ko'tarish kifoya:

4. In ildizining darajasini oshirsak n bir marta va bir vaqtning o'zida ko'taring n th quvvat ildiz raqami bo'lsa, u holda ildizning qiymati o'zgarmaydi:

5. In ildizining darajasini kamaytirsak n bir vaqtning o'zida ildiz n radikal sondan th daraja, keyin ildizning qiymati o'zgarmaydi:

Salbiy ko'rsatkichli daraja. Ijobiy bo'lmagan (butun) ko'rsatkichga ega bo'lgan ma'lum sonning darajasi musbat bo'lmagan ko'rsatkichning mutlaq qiymatiga teng bo'lgan ko'rsatkichli bir xil sonning darajasiga bo'linish sifatida aniqlanadi:

Formula a m:a n = a m - n uchungina qo‘llanilmaydi m> n, lekin ayni paytda m< n.

Misol uchun. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Formulaga a m:a n = a m - n da adolatli bo'ldi m=n, sizga nol daraja mavjudligi kerak.

Nol ko'rsatkichli daraja. Nol ko'rsatkichli har qanday nolga teng bo'lmagan sonning kuchi birga teng.

Misol uchun. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kasr ko'rsatkichli daraja. Haqiqiy raqamni oshirish uchun lekin darajaga qadar m/n, siz ildizni chiqarib olishingiz kerak n ning darajasi m bu raqamning kuchi lekin.

Matematika fanidan daraja tushunchasi 7-sinfdayoq algebra darsida kiritiladi. Kelajakda matematikani o'rganish davomida bu tushuncha turli xil ko'rinishlarda faol qo'llaniladi. Darajalar - bu juda qiyin mavzu bo'lib, u qadriyatlarni yodlashni va to'g'ri va tez hisoblash qobiliyatini talab qiladi. Matematik darajalar bilan tezroq va yaxshiroq ishlash uchun ular darajaning xususiyatlarini o'ylab topdilar. Ular katta hisob-kitoblarni qisqartirishga, ulkan misolni ma'lum darajada yagona raqamga aylantirishga yordam beradi. Xususiyatlari unchalik ko'p emas va ularning barchasini eslab qolish va amalda qo'llash oson. Shuning uchun maqolada darajaning asosiy xususiyatlari, shuningdek, ular qayerda qo'llanilishi muhokama qilinadi.

daraja xususiyatlari

Biz darajaning 12 ta xususiyatini, shu jumladan bir xil asosga ega bo'lgan kuchlarning xususiyatlarini ko'rib chiqamiz va har bir xususiyatga misol keltiramiz. Ushbu xususiyatlarning har biri darajalar bilan bog'liq muammolarni tezroq hal qilishga yordam beradi, shuningdek sizni ko'plab hisoblash xatolaridan qutqaradi.

1- mulk.

Ko'p odamlar ko'pincha bu xususiyatni unutishadi, xato qilishadi, nol darajagacha raqamni nolga tenglashtiradilar.

2-chi mulk.

3-chi mulk.

Shuni esda tutish kerakki, bu xususiyat faqat raqamlarni ko'paytirishda ishlatilishi mumkin, u yig'indi bilan ishlamaydi! Va shuni unutmasligimiz kerakki, bu va quyidagi xususiyatlar faqat bir xil asosga ega kuchlarga tegishli.

4-chi mulk.

Agar maxrajdagi raqam manfiy darajaga ko'tarilsa, ayirishda keyingi hisob-kitoblarda belgini to'g'ri almashtirish uchun maxrajning darajasi qavs ichida olinadi.

Mulk faqat bo'lishda ishlaydi, ayirishda emas!

5-chi mulk.

6-chi mulk.

Bu xususiyat teskari tarzda ham qo'llanilishi mumkin. Raqamga ma'lum darajada bo'lingan birlik, bu raqam manfiy darajadir.

7-chi mulk.

Bu xususiyatni yig'indi va farqga qo'llash mumkin emas! Yig'indi yoki farqni darajaga ko'tarishda kuchning xususiyatlari emas, balki qisqartirilgan ko'paytirish formulalari qo'llaniladi.

8-chi mulk.

9-chi mulk.

Bu xususiyat birga teng bo'lgan har qanday kasr daraja uchun ishlaydi, formula bir xil bo'ladi, faqat darajaning maxrajiga qarab ildiz darajasi o'zgaradi.

Bundan tashqari, bu xususiyat ko'pincha teskari tartibda ishlatiladi. Raqamning har qanday darajasining ildizi bu raqamning ildizning kuchiga bo'lingan birining kuchiga ko'rinishida ifodalanishi mumkin. Bu xususiyat sonning ildizi chiqarilmagan hollarda juda foydali.

10-chi mulk.

Bu xususiyat nafaqat kvadrat ildiz va ikkinchi daraja bilan ishlaydi. Agar ildizning darajasi va bu ildizning ko'tarilish darajasi bir xil bo'lsa, javob radikal ifoda bo'ladi.

11- mulk.

O'zingizni katta hisob-kitoblardan qutqarish uchun uni hal qilishda siz ushbu xususiyatni o'z vaqtida ko'rishingiz kerak.

12- mulk.

Ushbu xususiyatlarning har biri sizni vazifalarda bir necha marta uchratadi, u sof shaklda berilishi mumkin yoki ba'zi o'zgarishlarni va boshqa formulalardan foydalanishni talab qilishi mumkin. Shuning uchun, to'g'ri hal qilish uchun faqat xususiyatlarni bilish etarli emas, siz matematik bilimlarning qolgan qismini mashq qilishingiz va bog'lashingiz kerak.

Darajalar va ularning xossalarini qo'llash

Ular algebra va geometriyada faol qo'llaniladi. Matematika bo'yicha darajalar alohida, muhim o'rin tutadi. Ularning yordami bilan eksponensial tenglamalar va tengsizliklar echiladi, shuningdek, kuchlar ko'pincha matematikaning boshqa bo'limlari bilan bog'liq tenglamalar va misollarni murakkablashtiradi. Ko'rsatkichlar katta va uzoq hisoblardan qochishga yordam beradi, ko'rsatkichlarni kamaytirish va hisoblash osonroq. Ammo katta kuchlar yoki katta sonli kuchlar bilan ishlash uchun siz nafaqat darajaning xususiyatlarini bilishingiz, balki bazalar bilan malakali ishlashingiz, vazifangizni osonlashtirish uchun ularni parchalay olishingiz kerak. Qulaylik uchun siz kuchga ko'tarilgan raqamlarning ma'nosini ham bilishingiz kerak. Bu uzoq hisob-kitoblarga bo'lgan ehtiyojni yo'qotib, hal qilish uchun vaqtingizni qisqartiradi.

Logarifmlarda daraja tushunchasi alohida o‘rin tutadi. Chunki logarifm, mohiyatan, sonning kuchidir.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari kuchlardan foydalanishning yana bir misolidir. Ular darajalarning xususiyatlaridan foydalana olmaydilar, ular maxsus qoidalarga muvofiq parchalanadi, lekin har bir qisqartirilgan ko'paytirish formulasida har doim darajalar mavjud.

Darslar fizika va informatika fanlarida ham faol qo'llaniladi. SI tizimidagi barcha tarjimalar darajalar yordamida amalga oshiriladi va kelajakda muammolarni hal qilishda darajaning xususiyatlari qo'llaniladi. Informatika fanida raqamlarni hisoblash va idrok etishni soddalashtirish uchun ikkita kuch faol qo'llaniladi. O'lchov birliklarini konvertatsiya qilish yoki muammolarni hisoblash uchun keyingi hisoblar, xuddi fizikada bo'lgani kabi, daraja xususiyatlaridan foydalangan holda amalga oshiriladi.

Darajalar astronomiyada ham juda foydali bo'lib, u erda siz kamdan-kam hollarda darajaning xususiyatlaridan foydalanishni topishingiz mumkin, ammo darajalarning o'zi turli miqdorlar va masofalarni yozishni qisqartirish uchun faol ishlatiladi.

Darajalar kundalik hayotda maydonlarni, hajmlarni, masofalarni hisoblashda ham qo'llaniladi.

Darajalar yordamida har qanday fan sohasida juda katta va juda kichik qiymatlar yoziladi.

ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklar

Daraja xossalari aniq ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklarda alohida o'rin tutadi. Bu vazifalar maktab kursida ham, imtihonlarda ham juda keng tarqalgan. Ularning barchasi daraja xususiyatlarini qo'llash orqali hal qilinadi. Noma'lum har doim darajaning o'zida bo'ladi, shuning uchun barcha xususiyatlarni bilgan holda, bunday tenglama yoki tengsizlikni echish qiyin bo'lmaydi.

Sakkizinchi darajaga e'tibor bermasak, bu erda nimani ko'ramiz? Keling, 7-sinf dasturini ko'rib chiqaylik. Xo'sh, esingizdami? Bu qisqartirilgan ko'paytirish formulasi, ya'ni kvadratlar farqi! Biz olamiz:

Biz maxrajga diqqat bilan qaraymiz. Bu numerator omillardan biriga o'xshaydi, lekin nima noto'g'ri? Shartlarning noto'g'ri tartibi. Agar ular almashtirilgan bo'lsa, qoida amal qilishi mumkin edi.

Lekin buni qanday qilish kerak? Ma'lum bo'lishicha, bu juda oson: maxrajning teng darajasi bu erda bizga yordam beradi.

Atamalar sehrli tarzda joylarni o'zgartirdi. Ushbu "hodisa" har qanday iboraga teng darajada qo'llaniladi: biz qavs ichidagi belgilarni erkin o'zgartirishimiz mumkin.

Ammo eslash muhim: barcha belgilar bir vaqtning o'zida o'zgaradi!

Keling, misolga qaytaylik:

Va yana formula:

butun natural sonlarni, ularning qarama-qarshi tomonlarini (ya'ni "" belgisi bilan olingan) va sonni nomlaymiz.

musbat butun son, va u tabiiydan farq qilmaydi, keyin hamma narsa avvalgi qismdagi kabi ko'rinadi.

Endi yangi holatlarga qaraylik. ga teng ko'rsatkichdan boshlaylik.

Nolga teng bo'lgan har qanday raqam bittaga teng:

Har doimgidek, biz o'zimizga savol beramiz: nega bu shunday?

Baza bilan bir oz kuchni ko'rib chiqing. Masalan, oling va ko'paytiring:

Shunday qilib, biz raqamni ko'paytirdik va xuddi shunday bo'ldi -. Hech narsa o'zgarmasligi uchun qanday raqamni ko'paytirish kerak? To'g'ri, davom eting. anglatadi.

Biz ixtiyoriy raqam bilan ham shunday qilishimiz mumkin:

Keling, qoidani takrorlaymiz:

Nolga teng bo'lgan har qanday raqam bittaga teng.

Ammo ko'plab qoidalardan istisnolar mavjud. Va bu erda ham bor - bu raqam (asosiy sifatida).

Bir tomondan, u har qanday darajaga teng bo'lishi kerak - siz nolni o'z-o'zidan qancha ko'paytirsangiz ham, siz nolga erishasiz, bu aniq. Ammo boshqa tomondan, nol darajagacha bo'lgan har qanday raqam kabi, u teng bo'lishi kerak. Xo'sh, buning haqiqati nimada? Matematiklar aralashmaslikka qaror qilishdi va nolni nolga oshirishdan bosh tortishdi. Ya'ni, endi biz nafaqat nolga bo'linibgina qolmay, balki uni nol darajaga ko'tarishimiz mumkin.

Keling, oldinga boraylik. Butun sonlarga natural sonlar va raqamlardan tashqari manfiy sonlar ham kiradi. Salbiy daraja nima ekanligini tushunish uchun, keling, oxirgi marta xuddi shunday qilaylik: ba'zi bir normal sonni salbiy darajada bir xilga ko'paytiramiz:

Bu erdan kerakli narsani ifodalash allaqachon oson:

Endi biz olingan qoidani o'zboshimchalik darajasiga kengaytiramiz:

Shunday qilib, qoidani shakllantiramiz:

Raqamning manfiy darajaga tengligi bir xil sonning musbat darajaga teskarisidir. Lekin ayni paytda baza null bo'lishi mumkin emas:(chunki ajratish mumkin emas).

Keling, xulosa qilaylik:

I. Ifoda holda aniqlanmaydi. Agar, keyin.

II. Nolga teng bo'lgan har qanday raqam bittaga teng: .

III. Manfiy darajaga nolga teng bo'lmagan son bir xil sonning musbat darajaga teskari soni hisoblanadi:.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Odatdagidek, mustaqil yechim uchun misollar:

Mustaqil hal qilish uchun vazifalarni tahlil qilish:

Bilaman, bilaman, raqamlar qo'rqinchli, lekin imtihonda siz hamma narsaga tayyor bo'lishingiz kerak! Ushbu misollarni yeching yoki yechimini tahlil qiling, agar hal qila olmasangiz, imtihonda ular bilan qanday qilib osonlikcha shug'ullanishni o'rganasiz!

Keling, ko'rsatkich sifatida "mos" sonlar diapazonini kengaytirishni davom ettiraylik.

Endi o'ylab ko'ring ratsional sonlar. Qanday raqamlar ratsional deb ataladi?

Javob: kasr sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan hamma narsa, bu erda va butun sonlar.

Nima ekanligini tushunish uchun "kasr daraja" Keling, kasrni ko'rib chiqaylik:

Keling, tenglamaning ikkala tomonini bir darajaga ko'taramiz:

Endi qoidani eslang "darajali daraja":

Quvvat olish uchun qanday raqamni ko'tarish kerak?

Ushbu formula th daraja ildizining ta'rifidir.

Sizga eslatib o'taman: sonning () darajasining ildizi darajaga ko'tarilganda teng bo'lgan sondir.

Ya'ni, darajaning ildizi darajaga ko'tarishning teskari amalidir: .

Bu chiqadi. Shubhasiz, bu maxsus holat uzaytirilishi mumkin: .

Endi hisoblagichni qo'shing: bu nima? Javobni kuch-quvvat qoidasi bilan olish oson:

Lekin asos har qanday raqam bo'lishi mumkinmi? Axir, ildizni barcha raqamlardan chiqarib bo'lmaydi.

Yo'q!

Qoidani eslang: juft darajaga ko'tarilgan har qanday raqam ijobiy raqamdir. Ya'ni, manfiy sonlardan juft darajali ildizlarni ajratib bo'lmaydi!

Va bu shuni anglatadiki, bunday raqamlarni teng maxrajli kasr darajasiga ko'tarib bo'lmaydi, ya'ni ifoda mantiqiy emas.

Ifoda haqida nima deyish mumkin?

Ammo bu erda muammo paydo bo'ladi.

Raqam boshqa, qisqartirilgan kasrlar sifatida ifodalanishi mumkin, masalan, yoki.

Va ma'lum bo'lishicha, u mavjud, lekin yo'q va bu bir xil raqamning ikki xil yozuvi.

Yoki boshqa misol: bir marta, keyin uni yozib olishingiz mumkin. Ammo indikatorni boshqacha yozishimiz bilan biz yana muammoga duch kelamiz: (ya'ni biz butunlay boshqacha natijaga erishdik!).

Bunday paradokslardan qochish uchun o'ylab ko'ring faqat kasr ko'rsatkichli musbat asos ko'rsatkichi.

Shunday qilib, agar:

  • - natural son;
  • butun sondir;

Misollar:

Ratsional ko'rsatkichli kuchlar ildizli ifodalarni o'zgartirish uchun juda foydali, masalan:

5 ta amaliyotga misollar

Trening uchun 5 ta misol tahlili

1. Darajaning odatiy xususiyatlari haqida unutmang:

2. Bu erda biz darajalar jadvalini o'rganishni unutganimizni eslaymiz:

Axir - bu yoki. Yechim avtomatik ravishda topiladi: .

Xo'sh, endi - eng qiyin. Endi biz tahlil qilamiz irratsional darajali daraja.

Bu erda darajalarning barcha qoidalari va xususiyatlari ratsional ko'rsatkichli darajalar bilan bir xil, bundan mustasno.

Darhaqiqat, ta'rifga ko'ra, irratsional sonlar kasr sifatida ifodalanmaydigan sonlar bo'lib, bu erda va butun sonlardir (ya'ni, irratsional sonlar ratsional raqamlardan tashqari barcha haqiqiy sonlardir).

Darajalarni tabiiy, butun va ratsional ko'rsatkich bilan o'rganayotganda, biz har safar ma'lum bir "tasvir", "analogiya" yoki tanishroq so'zlarda tavsifni yaratamiz.

Masalan, natural ko‘rsatkich o‘ziga bir necha marta ko‘paytiriladigan sondir;

...nol quvvat- bu go'yo bir marta o'z-o'zidan ko'paytirilgan raqam, ya'ni u hali ko'paytirilmagan, bu raqamning o'zi hali paydo bo'lmaganligini anglatadi - shuning uchun natija faqat ma'lum bir "tayyorlash" dir. raqam”, ya’ni raqam;

...manfiy butun son ko‘rsatkichi- go'yo ma'lum bir "teskari jarayon" sodir bo'lgan, ya'ni raqam o'z-o'zidan ko'paytirilmagan, balki bo'lingan.

Aytgancha, fan ko'pincha murakkab ko'rsatkichli darajadan foydalanadi, ya'ni ko'rsatkich hatto haqiqiy son ham emas.

Ammo maktabda biz bunday qiyinchiliklar haqida o'ylamaymiz, siz institutda ushbu yangi tushunchalarni tushunish imkoniyatiga ega bo'lasiz.

QAYERGA BORISHINGIZGA ISHLAB CHIQAMIZ! (agar siz bunday misollarni qanday hal qilishni o'rgansangiz :))

Misol uchun:

O'zingiz qaror qiling:

Yechimlarni tahlil qilish:

1. Darajani darajaga oshirishning odatiy qoidasidan boshlaylik:

Endi hisobni ko'ring. U sizga biror narsani eslatadimi? Biz kvadratlar farqini qisqartirilgan ko'paytirish formulasini eslaymiz:

Ushbu holatda,

Ma'lum bo'lishicha:

Javob: .

2. Ko‘rsatkichli kasrlarni bir xil ko‘rinishga keltiramiz: ikkala o‘nli yoki ikkalasi ham oddiy. Biz, masalan, olamiz:

Javob: 16

3. Hech qanday maxsus narsa yo'q, biz darajalarning odatiy xususiyatlarini qo'llaymiz:

ILG'IY DARAJA

Darajaning ta'rifi

Daraja quyidagi shaklning ifodasidir: , bu yerda:

  • — ilmiy daraja bazasi;
  • - ko'rsatkich.

Tabiiy ko'rsatkichli daraja (n = 1, 2, 3,...)

Raqamni n natural darajasiga ko'tarish sonni o'z-o'zidan marta ko'paytirishni anglatadi:

Butun koʻrsatkichli quvvat (0, ±1, ±2,...)

Agar ko'rsatkich bo'lsa musbat butun son raqam:

erektsiya nol quvvatga:

Ifoda noaniqdir, chunki, bir tomondan, istalgan darajada bu, ikkinchi tomondan, th darajali istalgan son bu.

Agar ko'rsatkich bo'lsa manfiy butun son raqam:

(chunki ajratish mumkin emas).

Nulllar haqida yana bir bor: ifoda holatda aniqlanmagan. Agar, keyin.

Misollar:

Ratsional darajali daraja

  • - natural son;
  • butun sondir;

Misollar:

Darajaning xususiyatlari

Muammolarni hal qilishni osonlashtirish uchun, keling, tushunishga harakat qilaylik: bu xususiyatlar qaerdan paydo bo'lgan? Keling, ularni isbotlaylik.

Keling, ko'rib chiqaylik: nima va?

Ta'rifi bo'yicha:

Shunday qilib, ushbu ifodaning o'ng tomonida quyidagi mahsulot olinadi:

Ammo ta'rifga ko'ra, bu ko'rsatkichli sonning kuchi, ya'ni:

Q.E.D.

Misol : Ifodani soddalashtiring.

Yechim : .

Misol : Ifodani soddalashtiring.

Yechim : Bizning qoidamizda shuni ta'kidlash muhimdir albatta bir xil asosga ega bo'lishi kerak. Shuning uchun biz darajalarni baza bilan birlashtiramiz, lekin alohida omil bo'lib qolamiz:

Yana bir muhim eslatma: bu qoida - faqat kuchlar mahsulotlari uchun!

Hech qanday holatda buni yozmasligim kerak.

Oldingi xususiyatda bo'lgani kabi, daraja ta'rifiga murojaat qilaylik:

Keling, uni shunday tartibga keltiramiz:

Ma'lum bo'lishicha, ifoda o'z-o'zidan bir marta ko'paytiriladi, ya'ni ta'rifga ko'ra, bu sonning --chi darajasi:

Aslida, buni "indikatorni qavslash" deb atash mumkin. Lekin siz buni hech qachon umuman qila olmaysiz :!

Qisqartirilgan ko'paytirish uchun formulalarni eslaylik: biz necha marta yozmoqchi edik? Lekin bu haqiqat emas.

Salbiy asosga ega quvvat.

Shu paytgacha biz faqat nima bo'lishi kerakligini muhokama qildik ko'rsatkich daraja. Lekin asos nima bo'lishi kerak? dan darajalarda tabiiy ko'rsatkich asos bo'lishi mumkin har qanday raqam .

Darhaqiqat, biz har qanday raqamni bir-biriga ko'paytirishimiz mumkin, ular ijobiy, salbiy yoki hatto. Keling, qanday belgilar ("" yoki "") ijobiy va salbiy sonlarning darajalariga ega bo'lishini o'ylab ko'raylik?

Masalan, raqam ijobiy yoki salbiy bo'ladimi? LEKIN? ?

Birinchisi bilan hamma narsa aniq: biz bir-birimiz bilan qancha ijobiy sonlarni ko'paytirsak ham, natija ijobiy bo'ladi.

Ammo salbiy tomonlari biroz qiziqroq. Axir, biz 6-sinfdan oddiy qoidani eslaymiz: "minus marta minus ortiqcha beradi". Ya'ni, yoki. Ammo () ga ko'paytirsak - hosil bo'ladi.

Va shunga o'xshash ad infinitum: har bir keyingi ko'paytirish bilan belgi o'zgaradi. Siz oddiy qoidalarni shakllantirishingiz mumkin:

  1. hatto daraja, - raqam ijobiy.
  2. Manfiy raqam ko'tarildi g'alati daraja, - raqam salbiy.
  3. Har qanday quvvatga ijobiy raqam ijobiy sondir.
  4. Noldan har qanday quvvat nolga teng.

Quyidagi iboralar qanday belgiga ega bo'lishini o'zingiz aniqlang:

1. 2. 3.
4. 5. 6.

Siz boshqardingizmi? Mana javoblar:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Birinchi to'rtta misolda, umid qilamanki, hamma narsa aniqmi? Biz shunchaki asos va ko'rsatkichga qaraymiz va tegishli qoidani qo'llaymiz.

5-misolda), hamma narsa ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas: baza nimaga teng bo'lishi muhim emas - daraja teng, ya'ni natija har doim ijobiy bo'ladi. Xo'sh, baza nolga teng bo'lgan hollar bundan mustasno. Baza bir xil emas, shunday emasmi? Shubhasiz, yo'q, chunki (chunki).

6-misol) endi unchalik oddiy emas. Bu erda qaysi biri kamroq ekanligini bilib olishingiz kerak: yoki? Agar buni eslasangiz, bu aniq bo'ladi, ya'ni baza noldan kichikdir. Ya'ni, biz 2-qoidani qo'llaymiz: natija salbiy bo'ladi.

Va yana biz daraja ta'rifidan foydalanamiz:

Hammasi odatdagidek - biz darajalarning ta'rifini yozamiz va ularni bir-biriga ajratamiz, ularni juftlarga ajratamiz va olamiz:

Oxirgi qoidani tahlil qilishdan oldin, keling, bir nechta misollarni hal qilaylik.

Ifodalar qiymatlarini hisoblang:

Yechimlar :

Sakkizinchi darajaga e'tibor bermasak, bu erda nimani ko'ramiz? Keling, 7-sinf dasturini ko'rib chiqaylik. Xo'sh, esingizdami? Bu qisqartirilgan ko'paytirish formulasi, ya'ni kvadratlar farqi!

Biz olamiz:

Biz maxrajga diqqat bilan qaraymiz. Bu numerator omillardan biriga o'xshaydi, lekin nima noto'g'ri? Shartlarning noto'g'ri tartibi. Agar ular o'zgartirilsa, 3-qoida qo'llanilishi mumkin, ammo buni qanday qilish kerak? Ma'lum bo'lishicha, bu juda oson: maxrajning teng darajasi bu erda bizga yordam beradi.

Agar siz uni ko'paytirsangiz, hech narsa o'zgarmaydi, to'g'rimi? Ammo endi bu shunday ko'rinadi:

Atamalar sehrli tarzda joylarni o'zgartirdi. Ushbu "hodisa" har qanday iboraga teng darajada qo'llaniladi: biz qavs ichidagi belgilarni erkin o'zgartirishimiz mumkin. Ammo eslash muhim: barcha belgilar bir vaqtning o'zida o'zgaradi! Uni faqat bitta nomaqbul minusni o'zgartirish bilan almashtirib bo'lmaydi!

Keling, misolga qaytaylik:

Va yana formula:

Endi oxirgi qoida:

Biz buni qanday isbotlaymiz? Albatta, odatdagidek: keling, daraja tushunchasini kengaytiramiz va soddalashtiramiz:

Xo'sh, endi qavslarni ochamiz. Qancha harf bo'ladi? marta multiplikatorlar bo'yicha - bu nimaga o'xshaydi? Bu operatsiya ta'rifidan boshqa narsa emas ko'paytirish: jami ko'paytiruvchilar bo'lib chiqdi. Ya'ni, ta'rifga ko'ra, ko'rsatkichli sonning kuchi:

Misol:

Irratsional ko'rsatkichli daraja

O'rtacha daraja uchun darajalar haqidagi ma'lumotlarga qo'shimcha ravishda, biz darajani irratsional ko'rsatkich bilan tahlil qilamiz. Bu erda darajalarning barcha qoidalari va xususiyatlari ratsional ko'rsatkichli daraja bilan bir xil, bundan mustasno - axir, ta'rifga ko'ra, irratsional sonlar kasr sifatida ifodalanmaydigan sonlar bo'lib, bu erda va butun sonlar (ya'ni). , irratsional sonlar ratsional sonlardan tashqari barcha haqiqiy sonlardir).

Darajalarni tabiiy, butun va ratsional ko'rsatkich bilan o'rganayotganda, biz har safar ma'lum bir "tasvir", "analogiya" yoki tanishroq so'zlarda tavsifni yaratamiz. Masalan, natural ko‘rsatkich o‘ziga bir necha marta ko‘paytiriladigan sondir; nol darajagacha bo'lgan raqam, go'yo bir marta o'z-o'zidan ko'paytiriladigan son, ya'ni u hali ko'paytirilmagan, bu raqamning o'zi hali paydo bo'lmaganligini anglatadi - shuning uchun natija faqat ma'lum bir "raqamni tayyorlash", ya'ni raqam; manfiy butun sonli daraja - go'yo ma'lum bir "teskari jarayon" sodir bo'lgan, ya'ni raqam o'z-o'zidan ko'paytirilmagan, balki bo'lingan.

Irratsional ko'rsatkichli darajani tasavvur qilish juda qiyin (xuddi 4 o'lchovli fazoni tasavvur qilish qiyin). To'g'rirog'i, bu matematiklar daraja tushunchasini butun sonlar fazosiga kengaytirish uchun yaratgan sof matematik ob'ektdir.

Aytgancha, fan ko'pincha murakkab ko'rsatkichli darajadan foydalanadi, ya'ni ko'rsatkich hatto haqiqiy son ham emas. Ammo maktabda biz bunday qiyinchiliklar haqida o'ylamaymiz, siz institutda ushbu yangi tushunchalarni tushunish imkoniyatiga ega bo'lasiz.

Agar irratsional ko'rsatkichni ko'rsak, nima qilamiz? Biz undan xalos bo'lishga harakat qilamiz! :)

Misol uchun:

O'zingiz qaror qiling:

1) 2) 3)

Javoblar:

  1. Kvadratlar formulasining farqini eslang. Javob: .
  2. Biz kasrlarni bir xil shaklga keltiramiz: ikkala o'nli kasr yoki ikkala oddiy. Biz, masalan: .
  3. Hech qanday maxsus narsa yo'q, biz darajalarning odatiy xususiyatlarini qo'llaymiz:

BO'LIM XULOSASI VA ASOSIY FORMULA

Daraja shaklning ifodasi deyiladi: , bu yerda:

Butun sonli daraja

daraja, ko'rsatkichi natural son (ya'ni butun va musbat).

Ratsional darajali daraja

daraja, uning ko'rsatkichi manfiy va kasr sonlardir.

Irratsional ko'rsatkichli daraja

ko'rsatkichi cheksiz o'nli kasr yoki ildiz bo'lgan daraja.

Darajaning xususiyatlari

Darajaning xususiyatlari.

  • Manfiy raqam ko'tarildi hatto daraja, - raqam ijobiy.
  • Manfiy raqam ko'tarildi g'alati daraja, - raqam salbiy.
  • Har qanday quvvatga ijobiy raqam ijobiy sondir.
  • Nol har qanday quvvatga teng.
  • Nolga teng bo'lgan har qanday raqam tengdir.

ENDI SIZDA SO'Z BOR...

Sizga maqola qanday yoqadi? Sizga yoqdimi yoki yo'qmi, quyidagi izohlarda menga xabar bering.

Quvvat xususiyatlari bilan tajribangiz haqida bizga xabar bering.

Balki savollaringiz bordir. Yoki takliflar.

Izohlarda yozing.

Va imtihonlaringizga omad!

Dars mazmuni

Diplom nima?

Daraja bir nechta bir xil omillarning mahsuloti deb ataladi. Misol uchun:

2×2×2

Bu ifodaning qiymati 8 ga teng

2 x 2 x 2 = 8

Ushbu tenglamaning chap tomonini qisqartirish mumkin - avval takrorlanuvchi omilni yozing va uning ustiga necha marta takrorlanishini ko'rsating. Bu holda takrorlanuvchi ko'paytma 2. U uch marta takrorlanadi. Shuning uchun, ikkilik ustiga biz uchlikni yozamiz:

2 3 = 8

Ushbu ibora quyidagicha o'qiydi: ikkidan uchinchi daraja sakkizga teng yoki " 2 ning uchinchi darajasi 8 ga teng.

Bir xil omillarni ko'paytirishni yozishning qisqa shakli ko'proq qo'llaniladi. Shuning uchun, agar biron bir raqamning ustiga boshqa raqam yozilgan bo'lsa, bu bir nechta bir xil omillarning ko'payishi ekanligini yodda tutishimiz kerak.

Misol uchun, agar 5 3 ifodasi berilgan bo'lsa, unda bu ifoda 5 × 5 × 5 yozishga teng ekanligini yodda tutish kerak.

Qayta takrorlanadigan raqam chaqiriladi daraja asosi. 5 3 ifodasida darajaning asosi 5 raqamidir.

Va 5 raqamining ustiga yozilgan raqam chaqiriladi ko'rsatkich. 5 3 ifodasida ko'rsatkich 3 raqamidir. Ko'rsatkich daraja asosining necha marta takrorlanishini ko'rsatadi. Bizning holatda, 5-bazasi uch marta takrorlanadi.

Bir xil omillarni ko'paytirish operatsiyasi deyiladi eksponentsiya.

Misol uchun, agar siz har biri 2 ga teng bo'lgan to'rtta bir xil omilning mahsulotini topishingiz kerak bo'lsa, ular 2 raqamini aytishadi. to'rtinchi kuchga ko'tarildi:

Biz 2 raqamidan to'rtinchi darajaga qadar 16 raqami ekanligini ko'ramiz.

E'tibor bering, ushbu darsda biz ko'rib chiqamiz tabiiy ko'rsatkich bilan darajalar. Bu darajaning bir turi bo'lib, uning ko'rsatkichi natural sondir. Eslatib o'tamiz, natural sonlar noldan katta bo'lgan butun sonlardir. Masalan, 1, 2, 3 va boshqalar.

Umuman olganda, tabiiy ko'rsatkichli darajaning ta'rifi quyidagicha:

Darajasi a tabiiy ko'rsatkich bilan n shaklning ifodasidir a n, bu mahsulotga teng n ko'paytirgichlar, ularning har biri teng a

Misollar:

Raqamni bir darajaga ko'tarishda ehtiyot bo'ling. Ko'pincha, e'tiborsizlik tufayli odam daraja asosini eksponentga ko'paytiradi.

Masalan, ikkinchi darajali 5 soni har biri 5 ga teng bo'lgan ikkita omilning mahsulotidir. Bu ko'paytma 25 ga teng.

Endi tasavvur qiling-a, biz beixtiyor 5 asosni 2 ko‘rsatkichga ko‘paytirdik

Xatolik yuz berdi, chunki ikkinchi darajali 5 soni 10 ga teng emas.

Bundan tashqari, shuni ta'kidlash kerakki, ko'rsatkichi 1 bo'lgan raqamning kuchi bu raqamning o'zi:

Masalan, birinchi darajali 5 raqami 5 raqamining o'zi.

Shunga ko'ra, agar raqam ko'rsatkichga ega bo'lmasa, unda biz ko'rsatkichni birga teng deb hisoblashimiz kerak.

Masalan, 1, 2, 3 sonlar darajasiz berilgan, shuning uchun ularning darajalari bittaga teng bo'ladi. Bu raqamlarning har biri 1 ko'rsatkichi bilan yozilishi mumkin

Va agar siz 0 ni istalgan darajaga ko'tarsangiz, siz 0 ni olasiz. Darhaqiqat, hech narsa o'z-o'zidan necha marta ko'paytirilmasin, hech narsa chiqmaydi. Misollar:

Va 0 0 ifodasi hech qanday ma'noga ega emas. Ammo matematikaning ba'zi sohalarida, xususan, tahlil va to'plamlar nazariyasida 0 0 ifodasi mantiqiy bo'lishi mumkin.

Trening uchun biz raqamlarni kuchga ko'tarishning bir nechta misollarini hal qilamiz.

1-misol 3 raqamini ikkinchi darajaga ko'taring.

Ikkinchi darajali 3 soni har biri 3 ga teng bo'lgan ikkita omilning mahsulotidir

3 2 = 3 × 3 = 9

2-misol 2 raqamini to'rtinchi darajaga ko'taring.

2 dan to'rtinchi darajagacha har biri 2 ga teng bo'lgan to'rtta omilning mahsulotidir

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

3-misol 2 raqamini uchinchi darajaga ko'taring.

Uchinchi darajali 2 soni uchta omilning mahsulotidir, ularning har biri 2 ga teng

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

10 sonining ko'rsatkichi

10 raqamini bir darajaga ko'tarish uchun birlikdan keyin ko'rsatkichga teng nol sonini qo'shish kifoya.

Masalan, 10 raqamini ikkinchi darajaga ko'taramiz. Birinchidan, biz 10 raqamining o'zini yozamiz va ko'rsatkich sifatida 2 raqamini ko'rsatamiz

10 2

Endi biz teng belgi qo'yamiz, bittasini yozamiz va undan keyin ikkita nol yozamiz, chunki nollar soni ko'rsatkichga teng bo'lishi kerak.

10 2 = 100

Demak, ikkinchi darajali 10 soni 100 raqamidir. Bu ikkinchi darajali 10 sonining har biri 10 ga teng bo'lgan ikkita omil ko'paytmasi ekanligi bilan bog'liq.

10 2 = 10 × 10 = 100

2-misol. Keling, 10 raqamini uchinchi darajaga ko'taraylik.

Bunday holda, bittadan keyin uchta nol bo'ladi:

10 3 = 1000

3-misol. Keling, 10 raqamini to'rtinchi darajaga ko'taraylik.

Bunday holda, bittadan keyin to'rtta nol bo'ladi:

10 4 = 10000

4-misol. Keling, 10 raqamini birinchi darajaga ko'taraylik.

Bunday holda, birdan keyin bitta nol bo'ladi:

10 1 = 10

10, 100, 1000 raqamlarini 10 asosli daraja sifatida ifodalash

10, 100, 1000 va 10000 sonlarini daraja sifatida 10 asos bilan ifodalash uchun 10 asosini yozish va ko‘rsatkich sifatida asl sondagi nollar soniga teng sonni ko‘rsatish kerak.

Keling, 10 raqamini 10 asosli daraja sifatida ko'rsatamiz. Biz uning bitta nolga ega ekanligini ko'ramiz. Shunday qilib, 10 soni 10 asosli kuch sifatida 10 1 sifatida ifodalanadi

10 = 10 1

2-misol. Keling, 100 raqamini 10 asosli daraja sifatida ko'rsatamiz. 100 soni ikkita noldan iborat ekanligini ko'ramiz. Shunday qilib, 10 ta asosi bo'lgan 100 soni 10 2 sifatida ifodalanadi

100 = 10 2

3-misol. Keling, 1000 raqamini 10 asosli daraja sifatida ko'rsatamiz.

1 000 = 10 3

4-misol. Keling, 10 000 sonini 10 asosli daraja sifatida ko'rsatamiz.

10 000 = 10 4

Salbiy sonning darajaga ko'tarilishi

Salbiy sonni darajaga ko'targanda, u qavs ichiga olinishi kerak.

Misol uchun, −2 manfiy sonini ikkinchi darajaga ko'taraylik. Ikkinchi darajaga -2 soni har biri (-2) ga teng bo'lgan ikkita omilning mahsulotidir.

(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4

Agar biz -2 raqamini qavs ichmagan bo'lsak, unda -2 2 ifodasini hisoblaganimiz ma'lum bo'ladi. teng emas 4 . -2² ifodasi -4 ga teng bo'ladi. Buning sababini tushunish uchun ba'zi fikrlarga to'xtalib o'tamiz.

Ijobiy raqam oldiga minus qo'yganimizda, biz shunday qilamiz qarama-qarshi qiymatni olish operatsiyasi.

Aytaylik, 2 raqami berilgan va siz uning qarama-qarshi sonini topishingiz kerak. Biz bilamizki, 2 ning teskarisi -2. Boshqacha aytganda, 2 ga qarama-qarshi sonni topish uchun bu raqam oldiga minus qo'yish kifoya. Raqam oldiga minus qo'yish allaqachon matematikada to'liq huquqli operatsiya hisoblanadi. Bu operatsiya, yuqorida aytib o'tilganidek, qarama-qarshi qiymatni olish operatsiyasi deb ataladi.

-2 2 ifodasi holatida ikkita amal sodir bo'ladi: qarama-qarshi qiymatni olish va darajaga ko'tarish amali. Quvvatni oshirish qarama-qarshi qiymatni olishdan ko'ra yuqoriroq ustuvor operatsiya hisoblanadi.

Shuning uchun −2 2 ifoda ikki bosqichda hisoblanadi. Birinchidan, eksponentatsiya operatsiyasi bajariladi. Bunday holda, ijobiy raqam 2 ikkinchi darajaga ko'tarildi.

Keyin qarama-qarshi qiymat qabul qilindi. Bu qarama-qarshi qiymat 4 qiymati uchun topildi. 4 uchun esa qarama-qarshi qiymat -4

−2 2 = −4

Qavslar eng yuqori bajarilish ustunligiga ega. Shuning uchun (−2) 2 ifodasini hisoblashda avvaliga qarama-qarshi qiymat olinadi, so'ngra manfiy raqam -2 ikkinchi darajaga ko'tariladi. Natijada ijobiy javob 4, chunki manfiy sonlarning ko'paytmasi ijobiy sondir.

2-misol. −2 raqamini uchinchi darajaga ko'taring.

Uchinchi darajali −2 soni har biri (−2) ga teng bo'lgan uchta omilning mahsulotidir.

(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8

3-misol. -2 raqamini to'rtinchi darajaga ko'taring.

To'rtinchi darajali −2 soni to'rtta omilning mahsulotidir, ularning har biri (−2) ga teng.

(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

Salbiy raqamni kuchga ko'tarishda ijobiy yoki salbiy javobni olish mumkinligini ko'rish oson. Javobning belgisi boshlang'ich daraja ko'rsatkichiga bog'liq.

Agar ko'rsatkich juft bo'lsa, javob ha bo'ladi. Agar ko'rsatkich toq bo'lsa, javob salbiy bo'ladi. Buni −3 raqami misolida ko'rsatamiz

Birinchi va uchinchi hollarda ko'rsatkich bo'lgan g'alati raqam, shuning uchun javob bo'ldi salbiy.

Ikkinchi va to'rtinchi holatlarda ko'rsatkich bo'lgan hatto raqam, shuning uchun javob bo'ldi ijobiy.

7-misol-5 raqamini uchinchi darajaga ko'taring.

Uchinchi darajaga -5 soni uchta omilning mahsulotidir, ularning har biri -5 ga teng. Ko'rsatkich 3 - toq son, shuning uchun javob salbiy bo'lishini oldindan aytishimiz mumkin:

(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125

8-misol-4 raqamini to'rtinchi darajaga ko'taring.

-4 dan to'rtinchi darajagacha bo'lgan raqam to'rtta omilning mahsulotidir, ularning har biri -4 ga teng. Bunday holda, 4 ko'rsatkichi teng, shuning uchun javob ijobiy bo'lishini oldindan aytishimiz mumkin:

(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256

Ifoda qiymatlarini topish

Qavslar bo'lmagan iboralarning qiymatlarini topishda birinchi navbatda darajaga ko'tarish, keyin ularning tartibida ko'paytirish va bo'lish, keyin esa ularning tartibida qo'shish va ayirish amalga oshiriladi.

1-misol. 2 + 5 2 ifoda qiymatini toping

Birinchidan, eksponentatsiya amalga oshiriladi. Bunday holda, 5 raqami ikkinchi darajaga ko'tariladi - 25 chiqadi. Keyin bu natija 2 raqamiga qo'shiladi.

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

10-misol. −6 2 × (−12) ifoda qiymatini toping.

Birinchidan, eksponentatsiya amalga oshiriladi. E'tibor bering, −6 raqami qavs ichida emas, shuning uchun 6 raqami ikkinchi darajaga ko'tariladi, keyin natija oldiga minus qo'yiladi:

−6 2 × (−12) = −36 × (−12)

Misolni -36 ga (-12) ko'paytirish orqali to'ldiramiz.

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

11-misol. −3 × 2 2 ifoda qiymatini toping

Birinchidan, eksponentatsiya amalga oshiriladi. Keyin natija −3 soniga ko'paytiriladi

−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12

Agar ifoda qavslarni o'z ichiga olgan bo'lsa, unda siz avval ushbu qavs ichida amallarni bajarishingiz kerak, keyin darajaga ko'tarish, keyin ko'paytirish va bo'lish, keyin esa qo'shish va ayirish.

12-misol. (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5 ifoda qiymatini toping

Keling, avval qavslarni bajaramiz. Qavslar ichida biz ilgari o'rganilgan qoidalarni qo'llaymiz, ya'ni birinchi navbatda 3 raqamini ikkinchi darajaga ko'taramiz, keyin 1 × 3 ko'paytirishni bajaramiz, so'ngra 3 raqamini kuchga ko'tarish va 1 × 3 ni ko'paytirish natijalarini qo'shamiz. Keyin ayirish va qo'shish ular paydo bo'lgan tartibda amalga oshiriladi. Keling, asl ifodada amalni bajarishning quyidagi tartibini tuzamiz:

(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2

13-misol. 2 × 5 3 + 5 × 2 3 ifodaning qiymatini toping

Birinchidan, biz raqamlarni bir darajaga ko'taramiz, keyin ko'paytirishni bajaramiz va natijalarni qo'shamiz:

2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290

Hokimiyatning o'ziga xos o'zgarishlari

Quvvatlarda turli xil o'zgarishlar amalga oshirilishi mumkin, bu ularni soddalashtiradi.

Faraz qilaylik, (2 3) 2 ifodasini hisoblash kerak edi. Ushbu misolda ikkitadan uchinchi darajaga ikkinchi darajaga ko'tariladi. Boshqacha qilib aytganda, daraja boshqa darajaga ko'tariladi.

(2 3) 2 - har biri 2 3 ga teng bo'lgan ikkita darajaning ko'paytmasi

Bundan tashqari, bu kuchlarning har biri uchta omilning mahsulotidir, ularning har biri 2 ga teng

Biz 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 mahsulotini oldik, bu 64 ga teng. Demak, (2 3) 2 ifoda qiymati yoki 64 ga teng.

Ushbu misolni juda soddalashtirish mumkin. Buning uchun (2 3) 2 ifodaning ko'rsatkichlarini ko'paytirish va bu ko'paytmani 2 asosiga yozish mumkin.

26 ball oldim. Ikkidan oltinchi darajaga har biri 2 ga teng bo'lgan olti omilning ko'paytmasi. Bu ko'paytma 64 ga teng.

Bu xususiyat ishlaydi, chunki 2 3 2 × 2 × 2 ko'paytmasi bo'lib, u o'z navbatida ikki marta takrorlanadi. Keyin 2 ta asos olti marta takrorlanganligi ma'lum bo'ldi. Bu yerdan biz 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 6 ekanligini yozishimiz mumkin.

Umuman olganda, har qanday sababga ko'ra a ko'rsatkichlar bilan m Va n, quyidagi tenglik amal qiladi:

(a n)m = a n × m

Bu bir xil transformatsiya deyiladi eksponentatsiya. Buni shunday o'qish mumkin: "Kuchni kuchga ko'tarishda asos o'zgarishsiz qoladi va ko'rsatkichlar ko'paytiriladi" .

Ko'rsatkichlarni ko'paytirgandan so'ng, siz yana bir daraja olasiz, uning qiymatini topish mumkin.

2-misol. (3 2) 2 ifodaning qiymatini toping

Ushbu misolda asos 3 ga teng, 2 va 2 raqamlari esa ko'rsatkichdir. Keling, darajani ko'tarish qoidasidan foydalanamiz. Biz bazani o'zgarishsiz qoldiramiz va ko'rsatkichlarni ko'paytiramiz:

3 4 oldim. To'rtinchi darajaga qadar 3 raqami esa 81 ga teng

Keling, qolgan o'zgarishlarni ko'rib chiqaylik.

Quvvatni ko'paytirish

Darajalarni ko'paytirish uchun siz har bir darajani alohida hisoblashingiz va natijalarni ko'paytirishingiz kerak.

Masalan, 2 2 ni 3 3 ga ko'paytiramiz.

2 2 - 4 raqami va 3 3 - 27 raqami. Biz 4 va 27 raqamlarini ko'paytiramiz, biz 108 ni olamiz

2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108

Ushbu misolda vakolatlarning asoslari boshqacha edi. Agar asoslar bir xil bo'lsa, unda bitta asos yozish mumkin va ko'rsatkich sifatida boshlang'ich darajalar ko'rsatkichlari yig'indisini yozing.

Masalan, 2 2 ni 2 3 ga ko'paytiring

Ushbu misolda ko'rsatkichlar bir xil asosga ega. Bunda bitta asos 2 ni yozish va ko'rsatkich sifatida 2 2 va 2 3 ko'rsatkichlari yig'indisini yozish mumkin. Boshqacha qilib aytganda, asosni o'zgarishsiz qoldiring va asl darajalarning ko'rsatkichlarini qo'shing. Bu shunday ko'rinadi:

25 ball oldim. 2 dan beshinchi darajagacha bo'lgan raqam 32 ga teng

Bu xususiyat ishlaydi, chunki 2 2 2 × 2 ko'paytmasi va 2 3 2 × 2 × 2 ko'paytmasi. Keyin har biri 2 ga teng bo'lgan beshta bir xil omillarning mahsuloti olinadi. Ushbu mahsulotni 2 5 sifatida ifodalash mumkin

Umuman olganda, har qanday uchun a va ko'rsatkichlar m Va n quyidagi tenglik amal qiladi:

Bu bir xil transformatsiya deyiladi darajaning asosiy xususiyati. Buni shunday o'qish mumkin: PBir xil asosga ega bo'lgan darajalarni ko'paytirishda asos o'zgarishsiz qoladi va darajalar qo'shiladi. .

Shuni esda tutingki, bu transformatsiya har qanday darajaga qo'llanilishi mumkin. Asosiysi, asos bir xil.

Masalan, 2 1 × 2 2 × 2 3 ifodaning qiymatini topamiz. Fond 2

Ba'zi masalalarda yakuniy darajani hisoblamasdan, tegishli o'zgartirishni amalga oshirish etarli bo'lishi mumkin. Bu, albatta, juda qulay, chunki katta quvvatlarni hisoblash unchalik oson emas.

1-misol. 5 8 × 25 ifodani kuch sifatida ifodalang

Ushbu muammoda siz 5 8 × 25 ifodasi o'rniga bitta daraja olinadigan qilib qilishingiz kerak.

25 raqamini 5 2 sifatida ifodalash mumkin. Keyin quyidagi ifodani olamiz:

Ushbu ifodada siz darajaning asosiy xususiyatini qo'llashingiz mumkin - baza 5 ni o'zgarishsiz qoldiring va 8 va 2 ko'rsatkichlarni qo'shing:

Keling, yechimni qisqacha yozamiz:

2-misol. 2 9 × 32 ifodani kuch sifatida ifodalang

32 raqamini 2 5 sifatida ifodalash mumkin. Keyin 2 9 × 2 5 ifodasini olamiz. Keyinchalik, darajaning asosiy xususiyatini qo'llashingiz mumkin - 2-bazani o'zgarishsiz qoldiring va 9 va 5 ko'rsatkichlarini qo'shing. Bu quyidagi yechimga olib keladi:

3-misol. Asosiy quvvat xususiyatidan foydalanib, 3 × 3 mahsulotni hisoblang.

Har bir inson uch karra uch to'qqizga teng ekanligini yaxshi biladi, ammo vazifa hal qilish jarayonida darajaning asosiy xususiyatidan foydalanishni talab qiladi. Buni qanday qilish kerak?

Eslatib o'tamiz, agar raqam indikatorsiz berilgan bo'lsa, unda ko'rsatkich birga teng deb hisoblanishi kerak. Demak, 3 va 3 omillarni 3 1 va 3 1 deb yozish mumkin

3 1 × 3 1

Endi biz darajaning asosiy xususiyatidan foydalanamiz. Biz 3-bazani o'zgarishsiz qoldiramiz va 1 va 1 ko'rsatkichlarni qo'shamiz:

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

4-misol. Asosiy quvvat xususiyatidan foydalanib, 2 × 2 × 3 2 × 3 3 mahsulotini hisoblang.

Biz 2 × 2 mahsulotini 2 1 × 2 1, keyin 2 1 + 1, keyin esa 2 2 bilan almashtiramiz. 3 2 × 3 3 ko'paytmasi 3 2 + 3 ga, keyin esa 3 5 ga almashtiriladi

5-misol. Ko'paytirishni bajaring x × x

Bu ko'rsatkichlar bilan ikkita bir xil alifbo omili 1. Aniqlik uchun biz ushbu ko'rsatkichlarni yozamiz. Qo'shimcha asos x uni o'zgarishsiz qoldiring va ko'rsatkichlarni qo'shing:

Doskada turib, bir xil asoslarga ega bo'lgan kuchlarning ko'payishini bu erda bajarilgandek batafsil yozmaslik kerak. Bunday hisob-kitoblar ongda amalga oshirilishi kerak. Batafsil yozuv, ehtimol, o'qituvchini bezovta qiladi va u buning uchun bahoni pasaytiradi. Bu erda materialni tushunish uchun imkon qadar qulay bo'lishi uchun batafsil yozuv berilgan.

Ushbu misolning yechimi quyidagicha yozilishi kerak:

6-misol. Ko'paytirishni bajaring x 2 × x

Ikkinchi omil indeksi birga teng. Keling, aniqlik uchun yozaylik. Keyinchalik, bazani o'zgarishsiz qoldiramiz va ko'rsatkichlarni qo'shamiz:

7-misol. Ko'paytirishni bajaring y 3 y 2 y

Uchinchi omil indeksi birga teng. Keling, aniqlik uchun yozaylik. Keyinchalik, bazani o'zgarishsiz qoldiramiz va ko'rsatkichlarni qo'shamiz:

8-misol. Ko'paytirishni bajaring aa 3 a 2 a 5

Birinchi omil indeksi birga teng. Keling, aniqlik uchun yozaylik. Keyinchalik, bazani o'zgarishsiz qoldiramiz va ko'rsatkichlarni qo'shamiz:

9-misol. 3 8 ning kuchini bir xil asosga ega bo'lgan kuchlarning ko'paytmasi sifatida ifodalang.

Bu masalada asoslari 3 ga, ko‘rsatkichlari yig‘indisi 8 ga teng bo‘lgan darajalar ko‘paytmasini yasash kerak. Siz har qanday ko'rsatkichlardan foydalanishingiz mumkin. Biz 3 8 darajani 3 5 va 3 3 kuchlarining mahsuloti sifatida ifodalaymiz

Ushbu misolda biz yana darajaning asosiy xususiyatiga tayandik. Axir 3 5 × 3 3 ifodasini 3 5 + 3 sifatida yozish mumkin, bu erdan 3 8 .

Albatta, 3 8 kuchini boshqa kuchlar mahsuloti sifatida ifodalash mumkin edi. Masalan, 3 7 × 3 1 shaklida, chunki bu mahsulot ham 3 8 ga teng

Darajani bir xil asosga ega kuchlar mahsuli sifatida ifodalash asosan ijodiy ishdir. Shuning uchun tajriba qilishdan qo'rqmang.

10-misol. Darajani topshirish x 12 tayanchlar bilan quvvatlarning har xil mahsuloti sifatida x .

Keling, darajaning asosiy xususiyatidan foydalanamiz. Tasavvur qiling x 12 asosli mahsulotlar sifatida x, va ko'rsatkichlari yig'indisi 12 ga teng

Aniqlik uchun ko'rsatkichlar yig'indisi bilan tuzilmalar qayd etildi. Ko'pincha ular o'tkazib yuborilishi mumkin. Keyin biz ixcham yechimga ega bo'lamiz:

Mahsulotning eksponentatsiyasi

Mahsulotni quvvatga ko'tarish uchun ushbu mahsulotning har bir omilini belgilangan quvvatga ko'tarish va natijalarni ko'paytirish kerak.

Misol uchun, mahsulot 2 × 3 ni ikkinchi darajaga ko'taramiz. Biz ushbu mahsulotni qavs ichida olamiz va indikator sifatida 2 ni ko'rsatamiz

Endi 2 × 3 mahsulotning har bir omilini ikkinchi darajaga ko'taramiz va natijalarni ko'paytiramiz:

Ushbu qoidaning ishlash printsipi eng boshida berilgan daraja ta'rifiga asoslanadi.

2 × 3 mahsulotini ikkinchi quvvatga ko'tarish bu mahsulotni ikki marta takrorlashni anglatadi. Va agar siz buni ikki marta takrorlasangiz, quyidagilarni olishingiz mumkin:

2×3×2×3

Omillar joylarini almashtirishdan mahsulot o'zgarmaydi. Bu sizga bir xil ko'paytiruvchilarni guruhlash imkonini beradi:

2×2×3×3

Takrorlanuvchi ko'paytirgichlar qisqa yozuvlar bilan almashtirilishi mumkin - ko'rsatkichli asoslar. 2 × 2 mahsulot 2 2 ga, 3 × 3 mahsulot esa 3 2 ga almashtirilishi mumkin. Keyin 2 × 2 × 3 × 3 ifodasi 2 2 × 3 2 ifodasiga aylanadi.

Bo'lsin ab original ish. Ushbu mahsulotni kuchga ko'tarish uchun n, omillarni alohida ko'tarish kerak a Va b belgilangan darajada n

Bu xususiyat har qanday omillar uchun amal qiladi. Quyidagi iboralar ham amal qiladi:

2-misol. (2 × 3 × 4) 2 ifoda qiymatini toping

Ushbu misolda siz 2 × 3 × 4 mahsulotni ikkinchi quvvatga ko'tarishingiz kerak. Buning uchun siz ushbu mahsulotning har bir omilini ikkinchi darajaga ko'tarishingiz va natijalarni ko'paytirishingiz kerak:

3-misol. Mahsulotni uchinchi kuchga ko'taring a×b×c

Biz ushbu mahsulotni qavs ichiga olamiz va ko'rsatkich sifatida 3 raqamini ko'rsatamiz

4-misol. Mahsulotni uchinchi darajaga ko'taring 3 xyz

Biz ushbu mahsulotni qavs ichiga olamiz va indikator sifatida 3 ni ko'rsatamiz

(3xyz) 3

Keling, ushbu mahsulotning har bir omilini uchinchi darajaga ko'taramiz:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3

Uchinchi darajali 3 soni 27 raqamiga teng. Qolganlarini o'zgarishsiz qoldiramiz:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3 = 27x 3 y 3 z 3

Ba'zi misollarda darajalari bir xil bo'lgan darajalarni ko'paytirishni bir xil darajali asoslar ko'paytmasi bilan almashtirish mumkin.

Masalan, 5 2 × 3 2 ifodaning qiymatini hisoblaymiz. Har bir raqamni ikkinchi darajaga ko'taring va natijalarni ko'paytiring:

5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225

Ammo har bir darajani alohida hisoblab bo'lmaydi. Buning o'rniga, bu kuchlar mahsulotini bitta ko'rsatkichli (5 × 3) 2 mahsulot bilan almashtirish mumkin. Keyin, qavs ichidagi qiymatni hisoblang va natijani ikkinchi darajaga ko'taring:

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

Bunday holda, mahsulotning darajaga ko'tarilish qoidasi yana qo'llanildi. Axir, agar (a x b)n = a n × b n , keyin a n × b n = (a × b) n. Ya'ni, tenglamaning chap va o'ng tomonlari teskari.

Koʻrsatkich koʻtarish

Biz darajalarning bir xil o'zgarishlarining mohiyatini tushunishga harakat qilganimizda, biz ushbu transformatsiyani misol sifatida ko'rib chiqdik.

Quvvatni bir darajaga ko'tarishda asos o'zgarishsiz qoladi va ko'rsatkichlar ko'paytiriladi:

(a n)m = a n × m

Masalan, (2 3) 2 iborasi kuchni bir darajaga ko'taradi - ikkitadan uchinchi darajaga ikkinchi darajaga ko'tariladi. Ushbu ifodaning qiymatini topish uchun asosni o'zgarishsiz qoldirish va ko'rsatkichlarni ko'paytirish mumkin:

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

Ushbu qoida oldingi qoidalarga asoslanadi: mahsulotning eksponentatsiyasi va darajaning asosiy xususiyati.

(2 3) 2 ifodasiga qaytaylik. Qavs ichidagi 2 3 ifoda har biri 2 ga teng bo'lgan uchta bir xil ko'rsatkichlarning mahsulotidir. Keyin (2 3) 2 ifodasida qavs ichidagi quvvatni 2 × 2 × 2 ko'paytmasi bilan almashtirish mumkin.

(2×2×2) 2

Va bu biz ilgari o'rgangan mahsulotning eksponentatsiyasi. Eslatib o'tamiz, mahsulotni quvvatga ko'tarish uchun siz ushbu mahsulotning har bir omilini belgilangan quvvatga oshirishingiz va natijalarni ko'paytirishingiz kerak:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2

Endi biz darajaning asosiy mulki bilan shug'ullanamiz. Biz bazani o'zgarishsiz qoldiramiz va ko'rsatkichlarni qo'shamiz:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

Avvalgidek, biz 26 ball oldik. Ushbu darajaning qiymati 64 ga teng

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

Faktorlari ham kuch bo'lgan mahsulot ham kuchga ko'tarilishi mumkin.

Masalan, (2 2 × 3 2) 3 ifoda qiymatini topamiz. Bu erda har bir multiplikatorning ko'rsatkichlari umumiy ko'rsatkich 3 ga ko'paytirilishi kerak. Keyin, har bir daraja qiymatini toping va mahsulotni hisoblang:

(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656

Taxminan xuddi shunday narsa mahsulotning kuchini oshirishda sodir bo'ladi. Biz mahsulotni quvvatga ko'tarishda ushbu mahsulotning har bir omili ko'rsatilgan quvvatga ko'tarilishini aytdik.

Masalan, 2 × 4 ko'paytmasini uchinchi darajaga ko'tarish uchun siz quyidagi ifodani yozishingiz kerak:

Ammo avvalroq, agar raqam indikatorsiz berilgan bo'lsa, unda ko'rsatkichni birga teng deb hisoblash kerakligi aytilgan edi. Ma'lum bo'lishicha, 2 × 4 mahsulotining omillari dastlab 1 ga teng ko'rsatkichlarga ega. Bu 2 1 × 4 1 ​​ifodasi uchinchi darajaga ko'tarilganligini anglatadi. Va bu darajani kuchga ko'tarishdir.

Ko‘rsatkichlar qoidasidan foydalanib yechimni qayta yozamiz. Biz bir xil natijani olishimiz kerak:

2-misol. (3 3) 2 ifodaning qiymatini toping

Biz bazani o'zgarishsiz qoldiramiz va ko'rsatkichlarni ko'paytiramiz:

36 ball oldim. Oltinchi darajaga qadar 3 raqami 729 raqamidir

3-misolxy)³

4-misol. Ifodada darajani ko'rsatish ( abc)⁵

Keling, mahsulotning har bir omilini beshinchi darajaga ko'taramiz:

5-misolbolta) 3

Keling, mahsulotning har bir omilini uchinchi darajaga ko'taramiz:

Salbiy raqam -2 uchinchi darajaga ko'tarilganligi sababli, u qavs ichida olingan.

6-misol. Ifodada ko'rsatkichni bajaring (10 xy) 2

7-misol. (−5.) ifodadagi darajani bajaring x) 3

8-misol. (-3.) ifodada darajani bajaring y) 4

9-misol. (−2.) ifodadagi darajani bajaring abx)⁴

10-misol. Ifodani soddalashtiring x 5×( x 2) 3

Daraja x 5 hozircha o'zgarishsiz qoladi va ifodada ( x 2) 3 kuchga ko'rsatkichni bajaring:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6

Endi ko'paytirishni bajaramiz x 5 × x 6. Buning uchun biz darajaning asosiy xususiyati - tayanchdan foydalanamiz x uni o'zgarishsiz qoldiring va ko'rsatkichlarni qo'shing:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = x 5 + 6 = x 11

9-misol. Darajaning asosiy xossasidan foydalanib 4 3 × 2 2 ifoda qiymatini toping.

Darajaning asosiy xususiyati, agar boshlang'ich darajalarning asoslari bir xil bo'lsa, ishlatilishi mumkin. Ushbu misolda asoslar boshqacha, shuning uchun boshlang'ich ifodani biroz o'zgartirish kerak, ya'ni darajalar asoslarini bir xil qilish uchun.

Keling, 4 3 ning kuchini diqqat bilan ko'rib chiqaylik. Bu darajaning asosi 2 2 sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan 4 raqamidir. Keyin asl ifoda (2 2) 3 × 2 2 ko'rinishini oladi. (2 2) 3 ifodadagi darajani darajaga ko‘tarib, 2 6 ni olamiz. Keyin asl ifoda 2 6 × 2 2 ko'rinishini oladi, uni darajaning asosiy xususiyatidan foydalanib hisoblash mumkin.

Keling, ushbu misolning yechimini yozamiz:

Vakolatlarni taqsimlash

Quvvat bo'linishini amalga oshirish uchun har bir quvvatning qiymatini topishingiz kerak, keyin oddiy raqamlarning bo'linishini bajarishingiz kerak.

Masalan, 4 3 ni 2 2 ga ajratamiz.

4 3 ni hisoblang, biz 64 ni olamiz. Biz 2 2 ni hisoblaymiz, biz 4 ni olamiz. Endi biz 64 ni 4 ga bo'lamiz, biz 16 ni olamiz

Agar asosning darajalarini bo'lishda ular bir xil bo'lib chiqsa, unda asos o'zgarishsiz qoldirilishi mumkin va bo'linuvchining ko'rsatkichini dividend darajasidan ayirish mumkin.

Masalan, 2 3: 2 2 ifoda qiymatini topamiz

Biz 2-bazani o'zgarishsiz qoldiramiz va dividend ko'rsatkichidan bo'luvchining ko'rsatkichini ayiramiz:

Demak, 2 3: 2 2 ifodaning qiymati 2 ga teng.

Bu xususiyat bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarni ko'paytirishga yoki biz aytganimizdek, darajaning asosiy xususiyatiga asoslangan.

Oldingi misolga qaytaylik 2 3: 2 2 . Bu erda dividend 2 3 va bo'luvchi 2 2 ga teng.

Bitta raqamni boshqasiga bo'lish deganda, bo'luvchiga ko'paytirilganda dividend beradigan sonni topish kerak.

Bizning holatda, 2 3 ni 2 2 ga bo'lish, bo'luvchi 2 2 ga ko'paytirilsa, 2 3 ga olib keladigan darajani topishni anglatadi. 2 3 ni olish uchun qanday quvvatni 2 2 ga ko'paytirish mumkin? Shubhasiz, faqat 2 1 daraja. Darajaning asosiy xususiyatidan biz quyidagilarga egamiz:

2 3: 2 2 ifoda qiymatini bevosita 2 3: 2 2 ifodasini baholash orqali 2 1 ekanligini tekshirishingiz mumkin. Buning uchun avvalo 2 3 daraja qiymatini topamiz, 8 ni olamiz. Keyin 2 2 daraja qiymatini topamiz, biz 4 ni olamiz. 8 ni 4 ga bo'ling, biz 2 yoki 2 1 ni olamiz, chunki 2 = 2 1 .

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

Shunday qilib, vakolatlarni bir xil asosga bo'lishda quyidagi tenglik amal qiladi:

Bundan tashqari, nafaqat asoslar, balki ko'rsatkichlar ham bir xil bo'lishi mumkin. Bunday holda, javob bitta bo'ladi.

Masalan, 2 2: 2 2 ifoda qiymatini topamiz. Keling, har bir darajaning qiymatini hisoblab chiqamiz va natijada olingan raqamlarning bo'linishini bajaramiz:

2 2: 2 2 misolini yechishda siz bir xil asoslar bilan darajalarni bo'lish qoidasini ham qo'llashingiz mumkin. Natijada 2 2 va 2 2 ko'rsatkichlari o'rtasidagi farq nolga teng bo'lgani uchun nol darajaga teng sondir:

Nima uchun 2 raqami nol darajaga teng, biz yuqorida bilib oldik. Agar siz 2 2: 2 2 ni odatdagi tarzda, darajalarni bo'lish qoidasidan foydalanmasdan hisoblasangiz, siz bitta olasiz.

2-misol. 4 12: 4 10 ifoda qiymatini toping

Biz 4 ni o'zgarishsiz qoldiramiz va dividend ko'rsatkichidan bo'luvchining ko'rsatkichini ayiramiz:

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

3-misol. Shaxsiy yuboring x 3: x bazaga ega daraja sifatida x

Keling, darajalarni bo'lish qoidasidan foydalanamiz. Baza x uni o'zgarishsiz qoldiring va dividend darajasidan bo'luvchining ko'rsatkichini ayiring. Bo'luvchi ko'rsatkich birga teng. Aniqlik uchun uni yozamiz:

4-misol. Shaxsiy yuboring x 3: x 2 tayanch bilan quvvat sifatida x

Keling, darajalarni bo'lish qoidasidan foydalanamiz. Baza x

Darajalar bo'linishi kasr sifatida yozilishi mumkin. Shunday qilib, oldingi misolni quyidagicha yozish mumkin:

Kasrning soni va maxraji kengaytirilgan shaklda, ya'ni bir xil ko'paytmalar ko'paytmasi shaklida yozilishi mumkin. Daraja x 3 kabi yozilishi mumkin x × x × x, va daraja x 2 kabi x × x. Keyin qurilish x 3 − 2 ni o‘tkazib yuborish va kasrni kamaytirishdan foydalanish mumkin. Numerator va maxrajda har birida ikkita omilni kamaytirish mumkin bo'ladi x. Natijada bitta multiplikator bo'ladi x

Yoki undan ham qisqaroq:

Bundan tashqari, vakolatlardan tashkil topgan kasrlarni tezda qisqartirish foydalidir. Masalan, kasrni ga qisqartirish mumkin x 2. Kasrni kamaytirish uchun x 2 ga kasrning pay va maxrajini bo'lish kerak x 2

Darajalar bo'linishini batafsil tasvirlab bo'lmaydi. Yuqoridagi qisqartmani qisqartirish mumkin:

Yoki undan ham qisqaroq:

5-misol. Bo'linishni amalga oshirish x 12 : x 3

Keling, darajalarni bo'lish qoidasidan foydalanamiz. Baza x uni o'zgarishsiz qoldiring va dividend darajasidan bo'luvchining ko'rsatkichini ayiring:

Yechimni kasrni qisqartirish yordamida yozamiz. Vakolatlarni taqsimlash x 12 : x 3 kabi yoziladi. Keyinchalik, bu kasrni ga kamaytiramiz x 3 .

6-misol. Ifodaning qiymatini toping

Numeratorda biz bir xil asoslar bilan kuchlarni ko'paytirishni bajaramiz:

Endi biz bir xil asoslar bilan kuchlarni bo'lish qoidasini qo'llaymiz. Biz 7 asosni o'zgarishsiz qoldiramiz va dividend ko'rsatkichidan bo'luvchining ko'rsatkichini ayiramiz:

Biz 7 2 kuchini hisoblash orqali misolni yakunlaymiz

7-misol. Ifodaning qiymatini toping

Numeratorda darajani ko'rsatamiz. Buni (2 3) 4 ifodasi bilan bajarishingiz kerak

Endi hisoblagichda bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarni ko'paytirishni bajaramiz.