Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Agar kerak bo'lsa - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va/yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining ommaviy so'rovlari yoki so'rovlari asosida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

Ushbu maqolada siz uchburchakning bissektrisa va medianasining xususiyatlarini topasiz, ular muammolarni hal qilishda foydali bo'lishi mumkin.

Bissektrisalar.

1. Uchburchakning bissektrisalarining kesishish nuqtasi uchburchakning chizilgan doirasining markazidir.

Isbot.

Haqiqatan ham, burchakning bissektrisasida yotgan nuqtalar burchakning yon tomonlaridan teng masofada joylashgan. Binobarin, bissektrisalarning kesishish nuqtasi uchburchakning hamma tomondan teng masofada joylashgan, ya'ni u chizilgan aylananing markazidir.

2. Uchburchakning bissektrisasi qarama-qarshi tomonini qo‘shni tomonlariga proporsional bo‘laklarga ajratadi:

Isbot.

Keling, qo'shimcha konstruktsiyalar qilaylik. Nuqtaga parallel chiziq chizamiz

To'g'ri chiziq va to'g'ri chiziqning kesishish nuqtasi:

∠1=∠2, chunki - bissektrisa ∠

∠2=∠3 konstruksiyaga koʻra koʻndalang yotadi.

Demak, ∠1=∠3 va uchburchak teng yon tomonli va .

shuning uchun,

3. Bissektrisa uzunligi quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:

Ikkinchi formulani isbotlaylik.

Keling, quyidagi belgini kiritamiz:

Keling, uchburchakning maydoni uchun ifodalarni tenglashtiramiz:

4. O doiraning markazi va uchburchak burchagining bissektrisasi bo'lsin:

Keyin munosabat shunday bo'ladi:

Isbot:

Uchburchakni ko'rib chiqing:

Demak, burchak bissektrisasi uchburchakning bissektrisasining xossasi bilan

Shunday bo'lsin

Keling, ifoda qilaylik. Uchburchakning bissektrisasining xususiyatiga ko'ra:

Bu yerdan

Ba'zi masalalarda uchburchakning bissektrisasini aylana bilan kesishgan joyga cho'zish qulay.

Trefoil haqida Lemma.

Uchburchak berilgan. Nuqta - burchak bissektrisasining uchburchakning aylanasi bilan kesishish nuqtasi. Uchburchak ichiga chizilgan aylananing markazi bo'lsin. Keyin

Isbot.

Teng yoylarni bo'ysundiruvchi chizilgan burchaklar tengdir. Teng chizilgan burchaklarga e'tibor bering:

Bu yerdan.

Demak, aylana markazi burchakning bissektrisasidir.

Uchburchakdan

Keyin uchburchakdan

Tushundim.

Ya'ni, uchburchak teng yon tomonli.

Bu yerdan.

Buni isbotladi

3-banddan (1) formulani isbotlaymiz:

Isbot:

Bissektrisani aylana bilan kesishguncha davom ettiramiz. Uchburchaklarni ko'rib chiqing va . Teng burchaklarni belgilaymiz:

Uchburchak ikki burchak ostidagi uchburchakka o'xshaydi. Bu yerdan:

Kesishuvchi akkordlar segmentlari xususiyatiga ko'ra

(3) ni (2) ga almashtiramiz va (4) dan foydalanamiz:

Bissektrisa uchburchak tomonini ajratadigan segmentlarning uzunliklarini uchburchak tomonlarining uzunliklari bilan ifodalaymiz. Keling, quyidagi belgini kiritamiz:

Biz tizimni olamiz:

Medianlar.

1. Uchburchakning medianalari kesishish nuqtasiga 2:1 nisbatda bo'linadi, cho'qqidan boshlab:

2. Uchburchak ichida shunday nuqta bo'lsinki, quyidagi munosabat bajariladi: , u holda uchburchak medianalarining kesishish nuqtasi.

Isbot.

Yordamchi teoremani isbotlaylik.

Lemma.

Uchburchak ichidagi ixtiyoriy nuqta uchun quyidagi munosabat bajariladi:

Keling, nuqtalardan va perpendikulyarlardan tushamiz :

Uchburchaklarning o'xshashligidan biz quyidagilarni olamiz:

Agar umumiy asosli uchburchaklarni ko'rib chiqsak , keyin biz munosabatni olamiz:

Xuddi shunday, biz ham olamiz

Ushbu tengliklarni qo'shib, biz quyidagilarni olamiz:

Biz ushbu lemmadan 2-bandni isbotlash uchun foydalanamiz.

Agar tenglik saqlanib qolsa (1) , keyin tenglik (2) va lemmadan kelib chiqadiki, (2) tenglikda har bir kasr ga teng.

Keling, bu holda segmentlar ekanligini isbotlaylik medianlardir.

Agar , keyin olamiz . Nuqtaga parallel va nuqta orqali toʻgʻri chiziqlar oʻtkazamiz va oʻxshash ikki juft uchburchakni koʻrib chiqamiz: va :

Bu erdan olamiz

Uchburchaklarning o'xshashligidan biz olamiz, ya'ni nuqta segmentning o'rtasidir. Bu yerdan.

Shunday qilib, uchburchakning medianasi.

3. Kesishgan uchburchakning medianalari uni 6 ta teng uchburchakka ajratadi.

Isbot.

Keling, buni isbotlaylik

chunki,

chunki,

Demak,

Balandliklar.

1. Uchburchakning balandliklarini o'z ichiga olgan chiziqlar bir nuqtada kesishadi. O'tkir uchburchakda balandliklarning o'zi bir nuqtada kesishadi.

2. Uchburchak balandliklarining kesishish nuqtasi quyidagi xususiyatga ega: uchburchakning uchi va qarama-qarshi tomoni kvadratidan masofa kvadratining yig'indisi har qanday cho'qqi uchun bir xil bo'ladi:

Isbot.

Tenglikning birinchi qismini isbotlaymiz:

Keling, uni quyidagi shaklda qayta yozamiz:

Pifagor teoremasiga ko'ra: (uchburchaklardan va)

(uchburchakdan)

(uchburchakdan)

Ushbu iboralarni (1) ga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Qavslarni ochamiz va olamiz:

Biz shaxsni oldik. Tenglikning ikkinchi qismi ham xuddi shunday tarzda isbotlangan.

3. Agar uchburchak atrofida aylana tasvirlab, uchburchakning balandliklarini shu doira bilan kesishguncha kengaytirsak,

u holda uchburchakning istalgan balandligi uchun balandlikning poydevoridan aylana bilan balandlikning davomi kesishish nuqtasigacha bo'lgan masofa balandlikning poydevoridan balandliklarning kesishish nuqtasigacha bo'lgan masofaga teng bo'ladi:

Yoki shunday: Uchburchakning yon tomonlariga nisbatan balandliklarining kesishish nuqtasiga simmetrik nuqtalar uchburchakning aylanasida yotadi.

Isbot.

Keling, buni isbotlaylik.

Buning uchun va uchburchaklarni ko'rib chiqing va buni isbotlang :

Keling, uchburchaklar bir tomon va ikkita qo'shni burchak bo'ylab teng bo'lgan belgidan foydalanamiz. - umumiy tomon. Ikki burchakning tengligini isbotlaylik.

∠ ∠ ekanligini isbotlaylik

∠ bo'lsin, keyin uchburchakdan biz buni olamiz

∠. Shunday qilib, uchburchakdan biz buni olamiz

Lekin ∠ va ∠ bir yoy ustida joylashgan, shuning uchun ∠ ∠ ∠

Xuddi shunday, biz ∠ ∠ ni topamiz

4. Uchburchakda va nuqtalari va nuqtalaridan chizilgan balandliklarning asoslari hisoblanadi. Uchburchak uchburchakka o'xshashligini va o'xshashlik koeffitsienti ga teng ekanligini isbotlang.

Isbot:

To'g'ri burchakli uchburchakning aylanasining markazi gipotenuzaning o'rtasida joylashgan . Gap shu doirada yotadi, chunki - to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi:

Bir yoyga asoslangan chizilgan burchaklar kabi.

uchburchakdan:

Bu yerdan. Burchak uchburchaklarning umumiy burchagi va. Shuning uchun uchburchak uchburchakka o'xshaydi. O'xshashlik koeffitsienti o'xshash tomonlarning nisbatiga teng, ya'ni teng burchaklarga qarama-qarshi yotgan tomonlar:

Ceva teoremasi

Uchburchak shaklida bo'lsin

Segmentlar bir nuqtada kesishadi, agar va faqat

Isbot.

Agar segmentlar bir nuqtada kesishsa, (1) munosabat qanoatlantirilishini isbotlaylik.

Agar , keyin ushlab turishini tekshirish oson

Keling, proporsiyaning ushbu xususiyatini qo'llaymiz:

Xuddi shunday:

Ceva teoremasini quyidagicha yozish mumkin:

Agar segmentlar bir nuqtada kesishsa, u holda quyidagi munosabat bajariladi:

Isbotlash uchun Ceva teoremasi sinuslar shaklida, tenglikning ikkinchi qismida (2) har bir uchburchakning maydoni uchun uchburchaklar maydoni o'rniga formulani qo'yish kifoya. .

Nazar Xangeldyevich Agaxanov va Vladimir Viktorovich Trushkovning ma'ruzalaridan, KPK MIPT.

Uchburchak - uch tomoni bo'lgan ko'pburchak yoki uchta bo'g'inli yopiq siniq chiziq yoki bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqtani bog'laydigan uchta segmentdan hosil bo'lgan shakl (1-rasmga qarang).

abc uchburchakning asosiy elementlari

Cho'qqilar - A, B va C nuqtalari;

Partiyalar – cho‘qqilarni bog‘lovchi a = BC, b = AC va c = AB segmentlari;

Burchaklar – a, b, g uch juft tomon hosil qilgan. Burchaklar ko'pincha cho'qqilar bilan bir xil tarzda, A, B va C harflari bilan belgilanadi.

Uchburchakning yon tomonlari hosil qilgan va uning ichki sohasida yotgan burchak ichki burchak, unga tutashgan burchak esa uchburchakning yondosh burchagi deyiladi (2, 534-bet).

Uchburchakning balandliklari, medianalari, bissektrisalari va oʻrta chiziqlari

Uchburchakdagi asosiy elementlardan tashqari, qiziqarli xususiyatlarga ega bo'lgan boshqa segmentlar ham hisobga olinadi: balandliklar, medianalar, bissektrisalar va o'rta chiziqlar.

Balandligi

Uchburchak balandliklari- bular uchburchakning uchlaridan qarama-qarshi tomonlarga tushirilgan perpendikulyarlar.

Balandlikni chizish uchun siz quyidagi amallarni bajarishingiz kerak:

1) uchburchakning bir tomonini o'z ichiga olgan to'g'ri chiziq chizish (agar balandlik o'tkir burchakning cho'qqisidan o'tkir uchburchakda chizilgan bo'lsa);

2) chizilgan chiziqqa qarama-qarshi yotgan cho'qqidan nuqtadan shu chiziqqa bo'lgan segmentni chizib, u bilan 90 graduslik burchak hosil qiling.

Balandlik uchburchak tomoni bilan kesishgan nuqta deyiladi balandligi poydevori (2-rasmga qarang).

Uchburchak balandliklarining xossalari

To'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchakning tepasidan chizilgan balandlik uni dastlabki uchburchakka o'xshash ikkita uchburchakka bo'ladi.

O'tkir uchburchakda uning ikkita balandligi undan o'xshash uchburchaklarni kesib tashlaydi.

Agar uchburchak o'tkir bo'lsa, u holda balandliklarning barcha asoslari uchburchakning tomonlariga tegishli bo'lib, o'tmas uchburchakda tomonlarning davomiga ikkita balandlik tushadi.

O'tkir uchburchakda uchta balandlik bir nuqtada kesishadi va bu nuqta deyiladi ortomarkaz uchburchak.

Median

Medianlar(Lotin mediana - "o'rta" dan) - bu uchburchakning uchlarini qarama-qarshi tomonlarning o'rta nuqtalari bilan bog'laydigan segmentlar (3-rasmga qarang).

Medianani qurish uchun siz quyidagi amallarni bajarishingiz kerak:

1) tomonning o'rtasini toping;

2) qarama-qarshi cho'qqi bilan uchburchak tomonining o'rtasi bo'lgan nuqtani segment bilan bog'lang.

Uchburchak medianalarining xossalari

Mediana uchburchakni teng maydonli ikkita uchburchakka ajratadi.

Uchburchakning medianalari bir nuqtada kesishadi, bu nuqta ularning har birini 2:1 nisbatda, cho'qqidan sanab o'tadi. Bu nuqta deyiladi og'irlik markazi uchburchak.

Butun uchburchak medianalari bo'yicha oltita teng uchburchakka bo'linadi.

Bissektrisa

Bissektrisalar(lotin tilidan bis - ikki marta va seko - kesilgan) - burchaklarini ikkiga bo'lgan uchburchak ichiga o'ralgan to'g'ri chiziq segmentlari (4-rasmga qarang).

Bissektrisa qurish uchun siz quyidagi amallarni bajarishingiz kerak:

1) burchak tepasidan chiquvchi va uni ikkita teng qismga (burchak bissektrisasiga) bo'ladigan nurni qurish;

2) uchburchak burchagi bissektrisasining qarama-qarshi tomoni bilan kesishish nuqtasini toping;

3) uchburchakning cho'qqisini qarama-qarshi tomondagi kesishish nuqtasi bilan bog'laydigan segmentni tanlang.

Uchburchak bissektrisalarining xossalari

Uchburchak burchagining bissektrisasi qarama-qarshi tomonni qo'shni ikki tomonning nisbatiga teng nisbatda ajratadi.

Uchburchakning ichki burchaklarining bissektrisalari bir nuqtada kesishadi. Bu nuqta chizilgan doiraning markazi deb ataladi.

Ichki va tashqi burchaklarning bissektrisalari perpendikulyar.

Agar uchburchakning tashqi burchagining bissektrisasi qarama-qarshi tomonining kengaytmasini kesib o'tsa, u holda ADBD=ACBC bo'ladi.

Uchburchakning bir ichki va ikkita tashqi burchaklarining bissektrisalari bir nuqtada kesishadi. Bu nuqta bu uchburchakning uchta aylanasidan birining markazidir.

Uchburchakning ikkita ichki va bitta tashqi burchaklarining bissektrisasi asoslari bir xil to‘g‘ri chiziqda yotadi, agar tashqi burchakning bissektrisasi uchburchakning qarama-qarshi tomoniga parallel bo‘lmasa.

Agar uchburchakning tashqi burchaklarining bissektrisalari qarama-qarshi tomonlarga parallel bo'lmasa, ularning asoslari bir xil to'g'ri chiziqda yotadi.

Maktab kursida biron bir mavzuni o'rganayotganda, siz ma'lum bir minimal muammolarni tanlashingiz mumkin va ularni hal qilish usullarini o'zlashtirgandan so'ng, talabalar o'rganilayotgan mavzu bo'yicha dastur talablari darajasida har qanday muammoni hal qilishlari mumkin. Men maktab matematika kursida alohida mavzularning o'zaro bog'liqligini ko'rish imkonini beradigan muammolarni ko'rib chiqishni taklif qilaman. Shuning uchun tuzilgan vazifalar tizimi talabalarni imtihonga tayyorlash jarayonida o'quv materialini takrorlash, umumlashtirish va tizimlashtirishning samarali vositasidir.

Imtihondan o'tish uchun uchburchakning ba'zi elementlari haqida qo'shimcha ma'lumotga ega bo'lish foydali bo'ladi. Uchburchak medianasining xossalarini va bu xossalardan foydalanish mumkin bo‘lgan masalalarni yechishda ko‘rib chiqamiz. Taklif etilayotgan vazifalar darajani farqlash tamoyilini amalga oshiradi. Barcha vazifalar shartli ravishda darajalarga bo'linadi (har bir topshiriqdan keyin daraja qavs ichida ko'rsatilgan).

Keling, uchburchak medianasining ba'zi xususiyatlarini eslaylik

Mulk 1. Uchburchakning medianasi ekanligini isbotlang ABC, tepadan chizilgan A, tomonlar yig'indisining yarmidan kam AB Va A.C..

Isbot

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Mulk 2. Mediana uchburchakni ikkita teng maydonga kesib tashlaydi.

Isbot

ABC uchburchakning B cho'qqisidan BD medianasini va BE balandligini chizamiz..gif" alt="Area." width="82" height="46">!}

BD segmenti mediana bo'lganligi sababli

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Mulk 4. Uchburchakning medianalari uchburchakni 6 ta teng uchburchakka ajratadi.

Isbot

ABC uchburchagining medianlari bo'linadigan oltita uchburchakning har birining maydoni ABC uchburchagining maydoniga teng ekanligini isbotlaylik. Buning uchun, masalan, AOF uchburchagini ko'rib chiqing va A cho'qqisidan BF chizig'iga perpendikulyar AK tushiring.

2-mulk tufayli,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Mulk 6. To'g'ri burchakning tepasidan chizilgan to'g'ri burchakli uchburchakdagi mediana gipotenuzaning yarmiga teng.

Isbot

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Oqibatlari:1. To'g'ri burchakli uchburchak atrofida aylana markazi gipotenuzaning o'rtasida joylashgan.

2. Agar uchburchakda mediananing uzunligi chizilgan tomon uzunligining yarmiga teng bo'lsa, bu uchburchak to'g'ri burchakli bo'ladi.

VAZIFALAR

Har bir keyingi muammoni hal qilishda tasdiqlangan xususiyatlar qo'llaniladi.

№1 Mavzular: Medianni ikki barobarga oshirish. Qiyinchilik: 2+

Parallelogrammaning belgilari va xossalari Baholar: 8,9

Vaziyat

Medianning davomi haqida A.M. uchburchak ABC nuqta uchun M segment qoldirildi M.D., teng A.M.. To'rtburchak ekanligini isbotlang ABDC- parallelogramm.

Yechim

Keling, parallelogramm belgilaridan birini ishlataylik. To'rtburchakning diagonallari ABDC bir nuqtada kesishadi M va uni yarmiga bo'ling, shuning uchun to'rtburchak ABDC- parallelogramm.

Shunday teorema bor Uchburchakning medianalari bir nuqtada kesishadi va bu nuqta har bir medianani 2:1 nisbatda ajratadi., bu erda 2 mediana chizilgan cho'qqidan medianalarning kesishish nuqtasigacha bo'lgan segmentga mos keladi va 1 medianalarning kesishgan nuqtasidan mediana chizilgan tomonning o'rtasigacha bo'lgan segmentga mos keladi.

Bu teoremani isbotlash uchun medianalari AE, BF, CD bo'lgan ABC uchburchagini ko'rib chiqing. Ya'ni D, E, F nuqtalari mos ravishda AB, BC, CA tomonlarini ikkiga bo'ladi.
Biz barcha medianlar bir nuqtada kesishadimi yoki yo'qligini bilmaymiz (buni hali isbotlash kerak). Biroq, har qanday ikkita mediana bir nuqtada kesishadi, chunki ular parallel bo'lolmaydi. AE va BF medianalari O nuqtada kesishsin.

Median BF median AEni ikkita AO va EO segmentlariga ajratadi. E nuqtasi orqali BF ga parallel chiziq o'tkazamiz. Bu chiziq AC tomonini ma'lum L nuqtada kesib o'tadi. Shuningdek, AB segmentining o'rtasidan (D nuqta) BF ga parallel bo'lgan yana bir chiziq o'tkazamiz. U AC ni K nuqtada kesishadi.

Thales teoremasiga ko'ra, agar burchakning bir tomonida uning cho'qqisidan ketma-ket teng segmentlarni yotqizsak va bu segmentlarning burchakning boshqa tomonini kesib o'tadigan uchlari orqali parallel chiziqlar o'tkazsak, u holda bu parallel chiziqlar ham teng segmentlarni kesib tashlaydi. burchakning ikkinchi tomonida.

Keling, bu uchburchakning BCA burchagini ko'rib chiqaylik. BE va EC segmentlari bir-biriga teng, BF va EL chiziqlari bir-biriga parallel. Keyin, Thales teoremasiga ko'ra, CL = LF.
Agar biz BAC burchagiga qarasak, chunki AD = BD va DK || BF, keyin AK = KF.

AF va CF segmentlari bir-biriga teng (ular mediana orqali hosil bo'lganligi sababli) va ularning har biri ikkita teng segmentga bo'linganligi sababli, AC tomonining to'rtta segmenti ham bir-biriga teng bo'ladi: AK = KF = FL. = LC.

EAC burchagini ko'rib chiqing. AC tomonining uchta teng segmentining uchlari orqali parallel chiziqlar o'tkaziladi. Shunday qilib, ular AE tomonida teng segmentlarni kesib tashladilar. AO segmentida ikkita shunday segment mavjud va EO faqat bitta. Shunday qilib, biz uchburchakning kamida bitta medianasi boshqa mediana bilan kesishgan nuqtada uzunliklari 2: 1 bo'lgan ikkita segmentga bo'linganligini isbotladik.

Endi mediana AE ning CD medianasi bilan kesishishini ko'rib chiqing. Ular P nuqtada kesishsin.

Avvalgisiga o'xshab, FM, CD, EN parallel chiziqlari AB tomonini teng bo'laklarga ajratishi isbotlangan. O'z navbatida, ular AE ni uchta teng segmentga bo'lishadi. Bundan tashqari, A cho'qqisidan medianalar kesishmasigacha ikkita bunday segment mavjud va undan keyin bitta.

Bitta va bir xil segmentni uchta teng qismga bo'linib bo'lmaydi, shunda bitta bo'linish varianti bilan ular bir xil o'lchamda, boshqasi bilan esa boshqacha bo'ladi. Shuning uchun O va P nuqtalari mos kelishi kerak. Bu shuni anglatadiki, uchburchaklarning uchta medianasi bir nuqtada kesishadi.

Qolgan ikkita mediana kesishish nuqtasiga 2: 1 nisbatda bo'linganligini isbotlash uchun siz avvalgisiga o'xshab AB va BC tomonlariga parallel chiziqlar chizishingiz mumkin.