Hunarmandchilik

Differensial tenglamalar sistemasini operativ usul yordamida qanday yechish mumkin? Chiziqli differentsial tenglamalar va ularning tizimlarini echishning operativ usuli Differensial tenglamalar tizimini Laplas usulida yechish

Differensial tenglamalarni echishning operativ usulini uchinchi tartibli tenglama misolida ko‘rib chiqamiz.

Faraz qilaylik, doimiy koeffitsientli uchinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaning ma'lum bir yechimini topishimiz kerak.

Dastlabki shartlarni qondirish:

c 0, c 1, c 2 - berilgan raqamlar.

Asl nusxani farqlash xususiyatidan foydalanib, biz yozamiz:

(6.4.1) tenglamada asl nusxadan tasvirga o'tamiz

Olingan tenglama deyiladi operator yoki tasvirlardagi tenglama. Uni Y ga nisbatan hal qiling.

O'zgaruvchidagi algebraik ko'phadlar R.

Tenglik differensial tenglamaning operator yechimi deb ataladi (6.4.1).

Asl nusxani topish y(t), topilgan tasvirga mos keladigan, biz differentsial tenglamaning ma'lum bir yechimini olamiz.

Misol: Operatsion hisoblash usulidan foydalanib, berilgan boshlang'ich shartlarni qanoatlantiradigan differensial tenglamaning muayyan yechimini toping.

Keling, asl nusxadan tasvirga o'tamiz

Keling, asl tenglamani tasvirlarga yozamiz va uni yechamiz Y

Olingan tasvirning asl nusxasini topish uchun kasrning maxrajini koeffitsientlarga ajratamiz va hosil bo'lgan kasrni oddiy kasrlar yig'indisi sifatida yozamiz.

Keling, koeffitsientlarni topamiz A, B, Va BILAN.

Jadvaldan foydalanib, biz olingan tasvirning asl nusxasini yozamiz

Asl tenglamaning xususiy yechimi.

Operatsion usul xuddi shunday o'zgarmas koeffitsientli chiziqli differensial tenglamalar tizimini echishda qo'llaniladi

Noma'lum funktsiyalar.

Keling, rasmlarga o'tamiz

Tenglamalarni ifodalash tizimini olamiz

Tizimni Kramer usuli yordamida yechamiz. Biz aniqlovchilarni topamiz:

Tasvirlash tizimiga yechim topish X(p), Y(p) , Z(p).

Biz tizimning kerakli yechimini oldik

Operatsion hisobdan foydalanib, siz o'zgaruvchan koeffitsientli chiziqli differensial tenglamalar va qisman differensial tenglamalar yechimlarini topishingiz mumkin; integrallarni hisoblash. Shu bilan birga, muammolarni hal qilish juda soddalashtirilgan. Matematik fizika tenglamalari masalalarini yechishda foydalaniladi.

O'z-o'zini nazorat qilish uchun savollar.

1. Qaysi funksiya original deb ataladi?

2. Asl nusxaning tasviri deb qanday funktsiyaga aytiladi?

3. Heaviside funktsiyasi va uning tasviri.

4. Rasm ta'rifidan foydalanib, asl nusxalarning funktsiyalari uchun tasvirni oling: f(t) =t , .

5. Laplas konvertatsiyalarining xossalaridan foydalanib funksiyalar uchun tasvirlarni oling.

6. Rasmlar jadvalidan foydalanib, asl nusxalarning vazifalarini toping: ;

7. Operatsion hisoblash usullaridan foydalanib, chiziqli differensial tenglamaning muayyan yechimini toping.

Adabiyot: 411-439-betlar, 572-594-betlar.

Misollar: 305-316-betlar.

ADABIYOT

1. Danko P.E. Mashqlar va masalalarda oliy matematika. 2 qismda I qism: Darslik. kollejlar uchun qo'llanma / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova - M.: Oliy. maktab, 1997.– 304 b.

2. Danko P.E. Mashqlar va masalalarda oliy matematika. 2 qismda II qism: Darslik. kollejlar uchun qo'llanma / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova - M.: Oliy. maktab, 1997.– 416 b.

3. Kaplan I.A. Oliy matematikadan amaliy mashg'ulotlar. 4-qism./ I.A. Kaplan - Xarkov davlat universiteti nashriyoti, 1966, 236 p.

4. Piskunov N.S. Differensial va integral hisoblar. 2 jildda, 1-jild: darslik. kollejlar uchun qo'llanma./ N.S. Piskunov - M.: tahrir. “Fan”, 1972. – 456 b.

5. Piskunov N.S. Kollejlar uchun differentsial va integral hisoblar. 2 jildda, 2-jild: darslik. Kollejlar uchun qo'llanma../ N.S. Piskunov – M.: tahrir. “Fan”, 1972. – 456 b.

6. Yozma D.T. Oliy matematika boʻyicha maʼruza matnlari: toʻliq kurs.–4-nashr/ D.T. Yozilgan – M.: Iris-press, 2006.–608 b. - (Oliy ma'lumot).

7. Slobodskaya V.A. Oliy matematika qisqa kursi. Ed. 2, qayta ishlangan va qo'shimcha Darslik kollejlar uchun qo'llanma./ V.A. Slobodskaya - M.: Oliy. maktab, 1969.– 544 b.

Ma'ruza matni Oliy matematika

6.070104 “Dengiz va daryo transporti” yo‘nalishi talabalari uchun

ixtisosligi "Kema elektr stansiyalarini ekspluatatsiya qilish"

kunduzgi va sirtqi kurslar 2-kurs

Murojaat______ nusxa Nashr uchun imzolangan ______________

Buyurtma raqami __________. Hajmi__2.78__p.l.

"Kerch davlat dengiz texnologik universiteti" nashriyoti

98309 Kerch, Orjonikidze, 82

Tashqarida issiq vaqt, terak paxmoqlari uchmoqda, bu ob-havo dam olish uchun qulay. O'quv yili davomida har bir kishi charchoqni to'pladi, ammo yozgi ta'til / ta'tilni kutish ularni imtihon va testlarni muvaffaqiyatli topshirishga ilhomlantirishi kerak. Darvoqe, o'qituvchilar ham mavsumda zerikarli, shuning uchun tez orada men ham miyamni tushirishga vaqt ajrataman. Endi esa qahva, tizim blokining ritmik gumburlashi, derazada bir nechta o‘lik chivinlar va to‘liq ish holati... ...oh, la’nati... lanat shoir.

Nuqtaga. Kimga g'amxo'rlik qiladi, lekin bugun men uchun 1-iyun va biz murakkab tahlilning yana bir tipik muammosini ko'rib chiqamiz - operatsion hisoblash usuli yordamida differensial tenglamalar sistemasining muayyan yechimini topish. Buni qanday hal qilishni o'rganish uchun nimani bilishingiz va nima qila olishingiz kerak? Eng avvalo, juda tavsiya eting darsga murojaat qiling. Iltimos, kirish qismini o'qing, mavzuning umumiy bayonini, atamalarni, yozuvlarni va kamida ikki yoki uchta misolni tushuning. Haqiqat shundaki, diffuzor tizimlar bilan hamma narsa deyarli bir xil va hatto oddiyroq bo'ladi!

Albatta, bu nima ekanligini tushunishingiz kerak differensial tenglamalar tizimi, bu tizimning umumiy yechimini va tizimning muayyan yechimini topishni anglatadi.

Differensial tenglamalar tizimini "an'anaviy" usulda yechish mumkinligini eslatib o'taman: bartaraf etish orqali yoki xarakteristik tenglamadan foydalanish. Ko'rib chiqiladigan operatsion hisoblash usuli, agar vazifa quyidagicha tuzilgan bo'lsa, masofadan boshqarish tizimiga qo'llaniladi:

Bir jinsli differensial tenglamalar sistemasining muayyan yechimini toping , dastlabki shartlarga mos keladi .

Shu bilan bir qatorda, tizim heterojen bo'lishi mumkin - "qo'shimcha og'irliklar" funktsiyalar shaklida va o'ng tomonlarda:

Ammo, har ikkala holatda ham, shartning ikkita asosiy nuqtasiga e'tibor berishingiz kerak:

1) Bu haqida faqat shaxsiy yechim haqida.
2) Dastlabki shartlar qavs ichida bor qat'iy nol, va boshqa hech narsa.

Umumiy kurs va algoritm juda o'xshash bo'ladi operatsion usul yordamida differentsial tenglamani yechish. Malumot materiallaridan sizga xuddi shunday kerak bo'ladi asl nusxalar va rasmlar jadvali.

1-misol

, ,

Yechim: Boshlanishi ahamiyatsiz: foydalanish Laplas o'zgartirish jadvallari Keling, asl nusxalardan mos keladigan tasvirlarga o'tamiz. Masofadan boshqarish tizimlari bilan bog'liq muammolarda bu o'tish odatda oddiy:

Dastlabki shartni hisobga olgan holda № 1, 2 jadval formulalaridan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

"O'yinlar" bilan nima qilish kerak? Jadvaldagi "X" ni "men" ga aqliy ravishda o'zgartiring. Xuddi shu № 1, 2 o'zgarishlardan foydalanib, boshlang'ich shartni hisobga olgan holda, biz quyidagilarni topamiz:

Topilgan tasvirlarni asl tenglamaga almashtiramiz :

Hozir chap qismlarda tenglamalarni yig'ish kerak Hammasi qaysi yoki mavjud bo'lgan shartlar. To'g'ri qismlarga tenglamalarni "rasmiylashtirish" kerak boshqa shartlar:

Keyinchalik, har bir tenglamaning chap tomonida biz qavslashni amalga oshiramiz:

Bunday holda, birinchi o'rinlarda va ikkinchi pozitsiyalarda quyidagilar joylashtirilishi kerak:

Ikki noma’lumli tenglamalar sistemasi odatda yechiladi Kramer formulalariga muvofiq. Keling, tizimning asosiy determinantini hisoblaylik:

Determinantni hisoblash natijasida polinom olindi.

Muhim texnika! Bu polinom yaxshiroq birdaniga faktor qilishga harakat qiling. Ushbu maqsadlar uchun kvadrat tenglamani echishga harakat qilish kerak , lekin ikkinchi yillik ko'zi o'qitilgan ko'plab o'quvchilar buni sezishadi .

Shunday qilib, tizimning asosiy belgilovchisi:

Tizimni keyingi qismlarga ajratish, Kramerga rahmat, standart hisoblanadi:

Natijada biz olamiz tizimning operator yechimi:

Ko'rib chiqilayotgan vazifaning afzalligi shundaki, kasrlar odatda oddiy bo'lib chiqadi va ular bilan ishlash muammolardagi kasrlarga qaraganda ancha oson. operatsion usuldan foydalangan holda DE uchun ma'lum bir yechim topish. Sizning oldindan sezishingiz sizni aldamadi - yaxshi qari noaniq koeffitsientlar usuli, uning yordamida biz har bir kasrni elementar kasrlarga ajratamiz:

1) Birinchi kasr bilan ishlaymiz:

Shunday qilib:

2) Biz ikkinchi kasrni shunga o'xshash sxema bo'yicha ajratamiz, lekin boshqa konstantalarni (aniqlanmagan koeffitsientlar) ishlatish to'g'riroq:

Shunday qilib:

Men dummilarga parchalangan operator yechimini quyidagi shaklda yozishni maslahat beraman:
- bu yakuniy bosqichni aniqroq qiladi - teskari Laplas konvertatsiyasi.

Jadvalning o'ng ustunidan foydalanib, rasmlardan mos keladigan asl nusxalarga o'tamiz:

Yaxshi matematik odob qoidalariga ko'ra, biz natijani biroz tartibga solamiz:

Javob:

Javob standart sxema bo'yicha tekshiriladi, bu darsda batafsil muhokama qilinadi. Differensial tenglamalar tizimini qanday yechish mumkin? Vazifaga katta ortiqcha qo'shish uchun har doim uni bajarishga harakat qiling.

2-misol

Operatsion hisobdan foydalanib, berilgan boshlang'ich shartlarga mos keladigan differensial tenglamalar tizimining ma'lum bir yechimini toping.
, ,

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Masalaning yakuniy shaklining taxminiy namunasi va dars oxiridagi javob.

Bir hil bo'lmagan differentsial tenglamalar tizimini echish algoritmik jihatdan farq qilmaydi, faqat texnik jihatdan bu biroz murakkabroq bo'ladi:

3-misol

Operatsion hisobdan foydalanib, berilgan boshlang'ich shartlarga mos keladigan differensial tenglamalar tizimining ma'lum bir yechimini toping.
, ,

Yechim: Dastlabki shartlarni hisobga olgan holda Laplas o'zgartirish jadvalidan foydalanish , keling, asl nusxalardan mos keladigan rasmlarga o'tamiz:

Ammo bu hammasi emas, tenglamalarning o'ng tomonida yolg'iz doimiylar mavjud. Konstanta o'z-o'zidan butunlay yolg'iz bo'lgan hollarda nima qilish kerak? Bu allaqachon sinfda muhokama qilingan. Operatsion usul yordamida DEni qanday hal qilish kerak. Takrorlaymiz: bitta konstantani aqliy ravishda bittaga ko'paytirish kerak va birliklarga quyidagi Laplas konvertatsiyasi qo'llanilishi kerak:

Keling, topilgan tasvirlarni asl tizimga almashtiramiz:

O'z ichiga olgan atamalarni chapga siljitamiz va qolgan shartlarni o'ng tomonlarga joylashtiramiz:

Chap tomonlarda biz qavsni amalga oshiramiz, qo'shimcha ravishda ikkinchi tenglamaning o'ng tomonini umumiy maxrajga keltiramiz:

Keling, tizimning asosiy determinantini hisoblaylik, natijani darhol faktorizatsiya qilishga harakat qilish tavsiya etiladi:
, ya'ni tizim noyob yechimga ega.

Keling, davom etaylik:

Shunday qilib, tizimning operator yechimi:

Ba'zan bitta yoki hatto har ikkala kasr kamaytirilishi mumkin va ba'zida shu qadar muvaffaqiyatli bo'lishi mumkinki, siz hatto hech narsani kengaytirishingiz shart emas! Va ba'zi hollarda, siz darhol bepul sovg'a olasiz, aytmoqchi, darsning quyidagi misoli ko'rsatkichli misol bo'ladi.

Noaniq koeffitsientlar usulidan foydalanib, elementar kasrlar yig'indisini olamiz.

Keling, birinchi kasrni ajratamiz:

Va biz ikkinchisiga erishamiz:

Natijada, operator yechimi bizga kerak bo'lgan shaklni oladi:

O'ng ustundan foydalanish asl nusxalar va rasmlar jadvallari Biz teskari Laplas konvertatsiyasini bajaramiz:

Olingan tasvirlarni tizimning operator yechimiga almashtiramiz:

Javob: shaxsiy yechim:

Ko'rib turganingizdek, geterogen tizimda bir jinsli tizimga nisbatan ko'proq mehnat talab qiladigan hisob-kitoblarni amalga oshirish kerak. Keling, sinuslar va kosinuslar bilan yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik va bu etarli, chunki muammoning deyarli barcha turlari va yechimning ko'pgina nuanslari ko'rib chiqiladi.

4-misol

Operatsion hisoblash usulidan foydalanib, berilgan boshlang'ich shartli differensial tenglamalar tizimining ma'lum bir yechimini toping,

Yechim: Men bu misolni o'zim ham tahlil qilaman, ammo sharhlar faqat maxsus daqiqalarga tegishli bo'ladi. O'ylaymanki, siz allaqachon yechim algoritmini yaxshi bilasiz.

Keling, asl nusxalardan mos keladigan rasmlarga o'tamiz:

Keling, topilgan tasvirlarni asl masofadan boshqarish tizimiga almashtiramiz:

Keling, tizimni Kramer formulalari yordamida hal qilaylik:
, ya'ni tizim noyob yechimga ega.

Olingan ko'phadni faktorlarga ajratib bo'lmaydi. Bunday hollarda nima qilish kerak? Mutlaqo hech narsa. Bu ham qiladi.

Natijada, tizimning operator yechimi:

Mana omadli chipta! Noaniq koeffitsientlar usulini umuman qo'llashning hojati yo'q! Bitta narsa shundaki, jadval o'zgarishlarini qo'llash uchun biz yechimni quyidagi shaklda qayta yozamiz:

Keling, rasmlardan mos keladigan asl nusxalarga o'tamiz:

Olingan tasvirlarni tizimning operator yechimiga almashtiramiz:

Og'ir tomonni kengaytirish formulasi

Funksiyaning tasviri kasrli ratsional funktsiya bo'lsin.

Teorema. Keling, qaerda va differensiallanuvchi funktsiyalar. Funktsiyaning ikkala qutbini ham kiritamiz, ya'ni. uning maxrajining ildizlari (nollari). Keyin, agar biz Heaviside formulasini olsak:

Biz darajalar ko'phadlari va bo'lgan holatlarni isbotlaymiz T Va P mos ravishda, while T P. Keyin u to'g'ri ratsional kasr bo'ladi. Keling, uni oddiy kasrlar yig'indisi sifatida taqdim qilaylik:

Bu erdan biz koeffitsientlarni identifikatsiyadan (17.2) topamiz, uni shaklda qayta yozamiz

Keling, oxirgi tenglikning ikkala tomonini ko'paytiramiz va chegaraga o'tamiz. Buni hisobga olgan holda va, biz olamiz

bundan kelib chiqadi (17.1). Teorema isbotlangan.

Eslatma 1. Agar ko'phadning koeffitsientlari haqiqiy bo'lsa, u holda ko'phadning kompleks ildizlari juft konjugatdir. Binobarin, (17.1) formulada kompleks konjugat kattaliklar polinomning kompleks konjugat ildizlariga mos keladigan hadlar bo'ladi va Heaviside formulasi shaklni oladi.

bu erda birinchi yig'indi ko'phadning barcha haqiqiy ildizlariga, ikkinchisi - ijobiy xayoliy qismlarga ega bo'lgan barcha murakkab ildizlariga uzatiladi.

Eslatma 2.(17.1) formulaning har bir atamasi murakkab shaklda yozilgan tebranishni ifodalaydi, bu erda. Shunday qilib, haqiqiy ildizlar () aperiodik tebranishlarga, manfiy haqiqiy qismlarga ega bo'lgan murakkab ildizlar sönümli tebranishlarga, sof xayoliy ildizlar esa so'nmagan garmonik tebranishlarga mos keladi.

Agar maxrajda ijobiy haqiqiy qismlarga ega bo'lgan ildizlar bo'lmasa, unda etarlicha katta qiymatlar uchun biz barqaror holatga ega bo'lamiz:

Musbat xayoliy qismlarga ega bo‘lgan ko‘phadning sof xayoliy ildizlari.

Haqiqiy manfiy qismlari bo'lgan ildizlarga mos keladigan tebranishlar eksponent ravishda parchalanadi va shuning uchun barqaror holatga kirmaydi.

1-misol. Asl rasmni toping

Yechim. Bizda ... bor. Ko'phadning ildizlarini yozamiz: .

Formula bo'yicha (17.1)

Bu erda raqamlar tenglamaning ildizlari bo'lgani uchun. Demak,

2-misol. Asl rasmni toping

Qayerda A 0; .

Yechim. Bu erda funktsiya aniq ildizdan tashqari cheksiz ko'p ildizlarga ega bo'lib, ular funktsiyaning nolga teng. Tenglamani yechish, biz qaerga erishamiz

Shunday qilib, maxrajning ildizlari shaklga ega va, qaerda

(17.3) formuladan foydalanib, biz asl nusxani topamiz

Differensial tenglamalarni echishning operator usuli

Differensial tenglamalar. Chiziqli differentsial tenglama uchun Koshi masalasini ko'rib chiqing

(bu erda) dastlabki shartlar bilan

(18.1) dagi tasvirlarga o'tsak, Laplas konvertatsiyasining chiziqliligi tufayli biz ega bo'lamiz

16-§ 3-teorema va boshlang'ich shartlardan (18.2) foydalanib, hosilalarning tasvirlarini shaklda yozamiz.

(18.4) ni (18.3) ga almashtirib, oddiy o'zgartirishlardan so'ng operator tenglamasini olamiz.

qayerda (xarakteristik polinom); .

(18.5) tenglamadan operator yechimini topamiz

Koshi muammosining yechimi (18.1), (18.2) dastlabki operator yechimi (18.6):

Koshi muammosi uchun qabul qilingan yozuvda biz yozishimiz mumkin

Operator tenglamasi shaklga ega

Operator yechimini oddiy kasrlarga ajratamiz:

§ 15da olingan formulalardan foydalanib, biz asl nusxalarni olamiz:

Shunday qilib, Koshi muammosining yechimi shaklga ega bo'ladi

1-misol. Dastlabki shartli differensial tenglama uchun Koshi masalasini yeching, bu yerda.

Yechim.

Uning yechimi shaklga ega

§ 16 ning 2-teoremasidan foydalanib, biz doimo topamiz:

2-misol. Dastlabki sharti nolga teng bo‘lgan differensial tenglama uchun Koshi masalasini yeching, bu yerda qadam impuls funksiyasi.

Yechim. Operator tenglamasini yozamiz

va uning qarori

16-§ning 2-teoremasidan kelib chiqadi

kechikish teoremasiga muvofiq (§ 15)

Nihoyat,

3-misol. Har bir nuqta massasi T, buloqqa qattiqlik bilan biriktirilgan Bilan va silliq gorizontal tekislikda joylashgan bo'lib, vaqti-vaqti bilan o'zgaruvchan kuch ta'sir qiladi. Ayni paytda nuqta impuls olib keladigan zarbaga duchor bo'ldi. Qarshilikni e'tiborsiz qoldirib, nuqtaning harakat qonunini toping, agar u vaqtning boshlang'ich momentida boshlang'ichda tinch holatda bo'lsa.

Yechim. Harakat tenglamasini shaklda yozamiz

elastik kuch qayerda; - Dirac funktsiyasi. Operator tenglamasini yechamiz

Agar (rezonans holati), keyin

Kechikish teoremasi bo'yicha

Nihoyat,

Dyuhamel integrali (formula). Dastlabki sharoitda (18.1) tenglama uchun Koshi masalasini ko'rib chiqamiz. Bu holda operator yechimi shaklga ega

Og'irlik funksiyasi original bo'lsin. keyin 16-§ning 1-teoremasi bo'yicha biz olamiz

Munosabat (18.7) Dyuhamel integrali (formulasi) deb ataladi.

Izoh. Nolga teng bo'lmagan boshlang'ich shartlar uchun Duhamel formulasi to'g'ridan-to'g'ri qo'llanilmaydi. Bunday holda, birinchi navbatda, dastlabki masalani bir hil (nol) boshlang'ich shartli masalaga aylantirish kerak. Buning uchun biz faraz qilib, yangi funktsiyani kiritamiz

kerakli yechimning boshlang'ich qiymatlari qayerda.

Ko'rish qanchalik oson va shuning uchun .

Shunday qilib, funktsiya (18.1) tenglamaning o'ng tomoni bilan (18.8) ni (18.1) o'rniga qo'yish orqali olingan, dastlabki ma'lumotlar nolga teng.

(18.7) dan foydalanib, va topamiz.

4-misol. Dyuamel integralidan foydalanib, Koshi muammosining yechimini toping

dastlabki shartlar bilan.

Yechim. Dastlabki ma'lumotlar nolga teng emas. (18.8) ga muvofiq, deb faraz qilamiz. Keyin, ta'rif uchun biz bir hil boshlang'ich shartlarga ega bo'lgan tenglamani olamiz.

Ko'rib chiqilayotgan masala uchun xarakterli ko'phad, vazn funksiyasi. Duhamel formulasiga ko'ra

Nihoyat,

Doimiy koeffitsientli chiziqli differensial tenglamalar tizimlari. Matritsa yozuvidagi chiziqli differensial tenglamalar tizimi uchun Koshi muammosi ko'rinishga ega

kerakli funksiyalarning vektori qayerda; - o'ng tomonlar vektori; - koeffitsient matritsasi; - dastlabki ma'lumotlar vektori.

Albatta, bu nima ekanligini tushunishingiz kerak differensial tenglamalar tizimi, bu tizimning umumiy yechimini va tizimning muayyan yechimini topishni anglatadi.

Bir jinsli differensial tenglamalar sistemasining muayyan yechimini toping , dastlabki shartlarga mos keladi .

Shu bilan bir qatorda, tizim heterojen bo'lishi mumkin - "qo'shimcha og'irliklar" funktsiyalar shaklida va o'ng tomonlarda:

Ammo, har ikkala holatda ham, shartning ikkita asosiy nuqtasiga e'tibor berishingiz kerak:

1) Bu haqida faqat shaxsiy yechim haqida.
2) Dastlabki shartlar qavs ichida bor qat'iy nol, va boshqa hech narsa.

1-misol

, ,

Dastlabki shartni hisobga olgan holda № 1, 2 jadval formulalaridan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Topilgan tasvirlarni asl tenglamaga almashtiramiz :

Hozir chap qismlarda tenglamalarni yig'ish kerak Hammasi qaysi yoki mavjud bo'lgan shartlar. To'g'ri qismlarga tenglamalarni "rasmiylashtirish" kerak boshqa shartlar:

Keyinchalik, har bir tenglamaning chap tomonida biz qavslashni amalga oshiramiz:

Bunday holda, birinchi o'rinlarda va ikkinchi pozitsiyalarda quyidagilar joylashtirilishi kerak:

Ikki noma’lumli tenglamalar sistemasi odatda yechiladi Kramer formulalariga muvofiq. Keling, tizimning asosiy determinantini hisoblaylik:

Determinantni hisoblash natijasida polinom olindi.

Shunday qilib, tizimning asosiy belgilovchisi:

Tizimni keyingi qismlarga ajratish, Kramerga rahmat, standart hisoblanadi:

Natijada biz olamiz tizimning operator yechimi:

1) Birinchi kasr bilan ishlaymiz:

Shunday qilib:

2) Biz ikkinchi kasrni shunga o'xshash sxema bo'yicha ajratamiz, lekin boshqa konstantalarni (aniqlanmagan koeffitsientlar) ishlatish to'g'riroq:

Shunday qilib:

Men dummilarga parchalangan operator yechimini quyidagi shaklda yozishni maslahat beraman:
- bu yakuniy bosqichni aniqroq qiladi - teskari Laplas konvertatsiyasi.

Jadvalning o'ng ustunidan foydalanib, rasmlardan mos keladigan asl nusxalarga o'tamiz:

Yaxshi matematik odob qoidalariga ko'ra, biz natijani biroz tartibga solamiz:

Javob:

2-misol

Operatsion hisobdan foydalanib, berilgan boshlang'ich shartlarga mos keladigan differensial tenglamalar tizimining ma'lum bir yechimini toping.
, ,

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Masalaning yakuniy shaklining taxminiy namunasi va dars oxiridagi javob.

Bir hil bo'lmagan differentsial tenglamalar tizimini echish algoritmik jihatdan farq qilmaydi, faqat texnik jihatdan bu biroz murakkabroq bo'ladi:

3-misol

Operatsion hisobdan foydalanib, berilgan boshlang'ich shartlarga mos keladigan differensial tenglamalar tizimining ma'lum bir yechimini toping.
, ,

Yechim: Dastlabki shartlarni hisobga olgan holda Laplas o'zgartirish jadvalidan foydalanish , keling, asl nusxalardan mos keladigan rasmlarga o'tamiz:

Keling, topilgan tasvirlarni asl tizimga almashtiramiz:

O'z ichiga olgan atamalarni chapga siljitamiz va qolgan shartlarni o'ng tomonlarga joylashtiramiz:

Chap tomonlarda biz qavsni amalga oshiramiz, qo'shimcha ravishda ikkinchi tenglamaning o'ng tomonini umumiy maxrajga keltiramiz:

Keling, tizimning asosiy determinantini hisoblaylik, natijani darhol faktorizatsiya qilishga harakat qilish tavsiya etiladi:
, ya'ni tizim noyob yechimga ega.

Keling, davom etaylik:

Shunday qilib, tizimning operator yechimi:

Noaniq koeffitsientlar usulidan foydalanib, elementar kasrlar yig'indisini olamiz.

Keling, birinchi kasrni ajratamiz:

Va biz ikkinchisiga erishamiz:

Natijada, operator yechimi bizga kerak bo'lgan shaklni oladi:

O'ng ustundan foydalanish asl nusxalar va rasmlar jadvallari Biz teskari Laplas konvertatsiyasini bajaramiz:

Olingan tasvirlarni tizimning operator yechimiga almashtiramiz:

Javob: shaxsiy yechim:

4-misol

Operatsion hisoblash usulidan foydalanib, berilgan boshlang'ich shartli differensial tenglamalar tizimining ma'lum bir yechimini toping,

Yechim: Men bu misolni o'zim ham tahlil qilaman, ammo sharhlar faqat maxsus daqiqalarga tegishli bo'ladi. O'ylaymanki, siz allaqachon yechim algoritmini yaxshi bilasiz.

Keling, asl nusxalardan mos keladigan rasmlarga o'tamiz:

Keling, topilgan tasvirlarni asl masofadan boshqarish tizimiga almashtiramiz:

Keling, tizimni Kramer formulalari yordamida hal qilaylik:
, ya'ni tizim noyob yechimga ega.

Olingan ko'phadni faktorlarga ajratib bo'lmaydi. Bunday hollarda nima qilish kerak? Mutlaqo hech narsa. Bu ham qiladi.

Natijada, tizimning operator yechimi:

Mana omadli chipta! Noaniq koeffitsientlar usulini umuman qo'llashning hojati yo'q! Bitta narsa shundaki, jadval o'zgarishlarini qo'llash uchun biz yechimni quyidagi shaklda qayta yozamiz:

Keling, rasmlardan mos keladigan asl nusxalarga o'tamiz:

Olingan tasvirlarni tizimning operator yechimiga almashtiramiz:

Differensial tenglamani yechish usullari
operatsion hisoblash usuli?

Ushbu darsda biz kompleks tahlilning tipik va keng tarqalgan vazifasini batafsil ko'rib chiqamiz - operativ hisoblash usuli yordamida doimiy koeffitsientli 2-tartibli DE ning muayyan yechimini topish. Vaqti-vaqti bilan men sizni materialning tasavvur qilib bo'lmaydigan darajada murakkab va kirish imkoni yo'qligi haqidagi tasavvurdan xalos qilaman. Bu kulgili, lekin misollarni o'zlashtirish uchun siz farqlay olmaysiz, birlashtira olmasligingiz va hatto nima ekanligini bilmasligingiz mumkin. murakkab sonlar. Qo'llash qobiliyati talab qilinadi noaniq koeffitsientlar usuli, bu maqolada batafsil muhokama qilinadi Kasr-ratsional funksiyalarning integrasiyasi. Darhaqiqat, topshiriqning asosi oddiy algebraik amallardir va ishonchim komilki, material hatto o'rta maktab o'quvchisi uchun ham mavjud.

Birinchidan, matematik tahlilning ko'rib chiqilayotgan bo'limi haqida qisqacha nazariy ma'lumotlar. Asosiy nuqta operatsion hisob quyidagicha: funktsiya yaroqli deb atalmish yordamida o'zgaruvchi Laplas o'zgarishi da ko'rsatilgan funktsiyasi keng qamrovli o'zgaruvchan :

Terminologiya va belgilar:
funksiya chaqiriladi original;
funksiya chaqiriladi tasvir;
bosh harfni bildiradi Laplas o'zgarishi.

Oddiy qilib aytganda, ma'lum qoidalarga muvofiq haqiqiy funktsiya (asl) murakkab funktsiyaga (tasvirga) aylantirilishi kerak. Ok bu o'zgarishni aniq ko'rsatadi. Va "ma'lum qoidalar" o'zlari Laplas o'zgarishi, biz buni faqat rasmiy ravishda ko'rib chiqamiz, bu muammolarni hal qilish uchun etarli bo'ladi.

Laplasning teskari o'zgarishi tasvirni asl nusxaga o'zgartirganda ham amalga oshirilishi mumkin:

Bularning barchasi nima uchun kerak? Bir qator oliy matematika muammolarida asl nusxadan tasvirga o'tish juda foydali bo'lishi mumkin, chunki bu holda muammoni hal qilish sezilarli darajada soddalashtirilgan (shunchaki hazil). Va biz ushbu muammolardan faqat bittasini ko'rib chiqamiz. Agar siz operatsion hisob-kitoblarni ko'rish uchun yashagan bo'lsangiz, unda formula sizga juda tanish bo'lishi kerak:

Berilgan boshlang‘ich shartlar uchun o‘zgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli bir jinsli bo‘lmagan tenglamaning muayyan yechimini toping.

Eslatma: Ba'zida differentsial tenglama bir hil bo'lishi mumkin: , buning uchun yuqoridagi formulada operatsion hisoblash usuli ham qo'llaniladi. Biroq, amaliy misollarda 2-tartibdagi bir hil DE juda kam uchraydi va bundan keyin bir hil bo'lmagan tenglamalar haqida gapiramiz.

Va endi uchinchi usul muhokama qilinadi - operatsion hisob yordamida differentsial tenglamalarni echish. Yana bir bor shuni ta'kidlayman muayyan yechim topish haqida gapiramiz, Bundan tashqari, boshlang'ich shartlar qat'iy shaklga ega("X" nolga teng).

Aytgancha, "X" haqida. Tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin:
, bu yerda “x” mustaqil o‘zgaruvchi, “y” esa funksiya. Men bu haqda gapirayotganim bejiz emas, chunki ko'rib chiqilayotgan muammoda boshqa harflar ko'pincha ishlatiladi:

Ya’ni mustaqil o‘zgaruvchi rolini “te” (“x” o‘rniga) o‘zgaruvchisi, funksiya rolini esa “x” (“y” o‘rniga) o‘zgaruvchisi bajaradi.

Men tushunaman, albatta, bu noqulay, lekin ko'pgina muammoli kitoblar va o'quv qo'llanmalarida mavjud bo'lgan belgilarga rioya qilish yaxshiroqdir.

Shunday qilib, boshqa harflar bilan bog'liq muammomiz quyidagicha yoziladi:

Berilgan boshlang‘ich shartlar uchun o‘zgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli bir jinsli bo‘lmagan tenglamaning muayyan yechimini toping .

Vazifaning ma'nosi umuman o'zgarmagan, faqat harflar o'zgargan.

Operatsion hisoblash usuli yordamida bu muammoni qanday hal qilish mumkin?

Avvalo, sizga kerak bo'ladi asl nusxalar va rasmlar jadvali. Bu asosiy yechim vositasidir va siz usiz qilolmaysiz. Shuning uchun, iloji bo'lsa, taqdim etilgan ma'lumotnomani chop etishga harakat qiling. "Pe" harfi nimani anglatishini darhol tushuntirib beraman: murakkab o'zgaruvchi (odatdagi "z" o'rniga). Garchi bu haqiqat muammolarni hal qilish uchun ayniqsa muhim bo'lmasa-da, "pe" - "pe".

Jadvaldan foydalanib, asl nusxalarni ba'zi tasvirlarga aylantirish kerak. Keyinchalik tipik harakatlar ketma-ketligi va teskari Laplas konvertatsiyasi qo'llaniladi (jadvalda ham). Shunday qilib, kerakli maxsus yechim topiladi.

Yaxshi bo'lgan barcha muammolar juda qat'iy algoritmga muvofiq hal qilinadi.

1-misol

, ,

Yechim: Birinchi bosqichda biz asl nusxalardan mos keladigan tasvirlarga o'tamiz. Biz chap tomonni ishlatamiz.

Birinchidan, asl tenglamaning chap tomonini ko'rib chiqaylik. Laplas transformatsiyasi uchun bizda mavjud chiziqlilik qoidalari, shuning uchun biz barcha konstantalarni e'tiborsiz qoldiramiz va funksiya va uning hosilalari bilan alohida ishlaymiz.

№1 jadval formulasidan foydalanib, funktsiyani o'zgartiramiz:

No 2 formula bo'yicha , boshlang'ich shartni hisobga olgan holda, hosilani o'zgartiramiz:

№3 formuladan foydalanib, dastlabki shartlarni hisobga olgan holda, biz ikkinchi hosilani o'zgartiramiz:

Belgilar bilan adashmang!

Qabul qilaman, "formulalar" emas, balki "o'zgartirishlar" deyish to'g'riroq, lekin soddalik uchun vaqti-vaqti bilan jadval tarkibini formulalar deb nomlayman.

Endi polinomni o'z ichiga olgan o'ng tomonni ko'rib chiqaylik. Xuddi shu tufayli chiziqlilik qoidalari Laplas transformatsiyasi, biz har bir atama bilan alohida ishlaymiz.

Birinchi hadni ko'rib chiqaylik: - bu "te" mustaqil o'zgaruvchisi doimiyga ko'paytiriladi. Biz doimiyni e'tiborsiz qoldiramiz va jadvalning 4-bandidan foydalanib, o'zgartirishni amalga oshiramiz:

Ikkinchi shartni ko'rib chiqamiz: –5. Qachonki o'zgarmas miqdor topilsa, uni endi o'tkazib yuborib bo'lmaydi. Bitta konstanta bilan ular buni amalga oshiradilar: aniqlik uchun uni mahsulot sifatida ko'rsatish mumkin: , va transformatsiya birlikka qo'llanilishi mumkin:

Shunday qilib, differentsial tenglamaning barcha elementlari (asl nusxalari) uchun jadval yordamida tegishli tasvirlar topildi:

Keling, topilgan tasvirlarni asl tenglamaga almashtiramiz:

Keyingi vazifa - ifoda etish operator yechimi hamma narsa orqali, ya'ni bir kasr orqali. Bunday holda, quyidagi tartiblarga rioya qilish tavsiya etiladi:

Birinchidan, chap tomondagi qavslarni oching:

Biz chap tomonda shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz (agar ular mavjud bo'lsa). Bunday holda, biz -2 va -3 raqamlarini qo'shamiz. Men choynaklar ushbu bosqichni o'tkazib yubormaslikni qat'iy tavsiya qilaman:

Chapda biz o'z ichiga olgan shartlarni qoldiramiz va qolgan shartlarni belgini o'zgartirish bilan o'ngga siljitamiz:

Chap tomonda operator yechimini qavs ichidan chiqaramiz, o'ng tomonda ifodani umumiy maxrajga qisqartiramiz:

Chapdagi polinom faktorlarga ajratilishi kerak (agar iloji bo'lsa). Kvadrat tenglamani yechish:

Shunday qilib:

Biz o'ng tomonning maxrajiga qaytamiz:

Maqsadga erishildi - operator yechimi bir kasr bilan ifodalanadi.

Ikkinchi harakat. Foydalanish noaniq koeffitsientlar usuli, tenglamaning operator yechimi elementar kasrlar yig'indisiga kengaytirilishi kerak:

Keling, koeffitsientlarni mos darajalarda tenglashtiramiz va tizimni hal qilamiz:

Agar sizda biron bir muammo bo'lsa iltimos maqolalar bilan tanishing Kasr-ratsional funktsiyani integrallash Va Tenglamalar tizimini qanday yechish mumkin? Bu juda muhim, chunki kasrlar muammoning eng muhim qismidir.

Shunday qilib, koeffitsientlar topiladi: , va operator yechimi demontaj qilingan holda oldimizda paydo bo'ladi:

Esda tutingki, konstantalar kasr sanoqlarida yozilmaydi. Ro'yxatga olishning ushbu shakli ko'ra foydaliroqdir . Va bu foydaliroq, chunki yakuniy harakat chalkashliklarsiz va xatolarsiz amalga oshiriladi:

Muammoning yakuniy bosqichi tasvirlardan mos keladigan asl nusxalarga o'tish uchun teskari Laplas konvertatsiyasidan foydalanishdir. O'ng ustundan foydalanish asl nusxalar va rasmlar jadvallari.

Ehtimol, hamma ham konvertatsiya qilishni tushunmaydi. Bu erda jadvalning 5-bandining formulasi qo'llaniladi: . Batafsilroq: . Aslida, shunga o'xshash holatlar uchun formulani o'zgartirish mumkin: . Va 5-bandning barcha jadvalli formulalarini shunga o'xshash tarzda qayta yozish juda oson.

Teskari o'tishdan so'ng, DE ning kerakli qisman eritmasi kumush laganda olinadi:

edi:

Bo'ldi:

Javob: shaxsiy yechim:

Vaqtingiz bo'lsa, har doim tekshirishni amalga oshirish tavsiya etiladi. Sinov allaqachon sinfda muhokama qilingan standart sxema bo'yicha amalga oshiriladi. 2-tartibli bir jinsli differensial tenglamalar. Keling, takrorlaymiz:

Dastlabki shartning bajarilishini tekshiramiz:
- bajarildi.

Birinchi hosilani topamiz:

Ikkinchi dastlabki shartning bajarilishini tekshiramiz:
- bajarildi.

Ikkinchi hosilani topamiz:

Keling, almashtiramiz , va asl tenglamaning chap tomonida:

Dastlabki tenglamaning o'ng tomoni olinadi.

Xulosa: topshiriq to'g'ri bajarildi.

O'zingizning yechimingiz uchun kichik bir misol:

2-misol

Operatsion hisobdan foydalanib, berilgan boshlang'ich sharoitda differensial tenglamaning muayyan yechimini toping.

Dars oxiridagi yakuniy topshiriqning taxminiy namunasi.

Differensial tenglamalardagi eng keng tarqalgan mehmon, ko'pchilik uzoq vaqtdan beri payqagandek, eksponentlardir, shuning uchun ular bilan, ularning qarindoshlari bilan bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:

3-misol

, ,

Yechim: Laplas o'zgartirish jadvali (jadvalning chap tomoni) yordamida biz asl nusxalardan mos keladigan tasvirlarga o'tamiz.

Avval tenglamaning chap tomonini ko'rib chiqamiz. U erda birinchi hosila yo'q. Xo'sh? Ajoyib. Kamroq ish. Dastlabki shartlarni hisobga olgan holda, № 1, 3 jadval formulalaridan foydalanib, biz tasvirlarni topamiz:

Endi o'ng tomonga qarang: – ikkita funktsiyaning mahsuloti. Foyda olish uchun chiziqlilik xususiyatlari Laplas konvertatsiyasi, siz qavslarni ochishingiz kerak: . Konstantalar mahsulotlarda bo'lgani uchun biz ularni unutamiz va jadval formulalarining 5-guruhidan foydalanib, biz tasvirlarni topamiz:

Keling, topilgan tasvirlarni asl tenglamaga almashtiramiz:

Sizga shuni eslatib o'tamanki, keyingi vazifa operator yechimini bitta kasr shaklida ifodalashdir.

Chap tomonda biz o'z ichiga olgan shartlarni qoldiramiz va qolgan shartlarni o'ng tomonga o'tkazamiz. Shu bilan birga, o'ng tomonda biz asta-sekin kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirishni boshlaymiz:

Chapda biz uni qavs ichidan chiqaramiz, o'ngda biz ifodani umumiy maxrajga keltiramiz:

Chap tomonda biz faktorlarga ajratib bo'lmaydigan polinomni olamiz. Agar polinomni faktorlarga ajratish mumkin bo'lmasa, unda kambag'alni darhol o'ng tomonning pastki qismiga tashlash kerak, oyoqlari havzada betonlanadi. Va hisoblagichda biz qavslarni ochamiz va shunga o'xshash shartlarni keltiramiz:

Eng mashaqqatli bosqich keldi: aniqlanmagan koeffitsientlar usuli Tenglamaning operator yechimini elementar kasrlar yig‘indisiga kengaytiramiz:

Shunday qilib:

Kasr qanday parchalanishiga e'tibor bering: , Nega bunday bo'lganini tez orada tushuntiraman.

Tugatish: keling, rasmlardan mos keladigan asl nusxalarga o'tamiz, jadvalning o'ng ustunidan foydalaning:

Ikki pastki transformatsiyada jadvalning 6 va 7-sonli formulalari qo'llanilgan va kasr faqat jadval o'zgarishlariga "moslash" uchun oldindan kengaytirilgan.

Natijada, ma'lum bir yechim:

Javob: kerakli maxsus yechim:

O'z-o'zidan hal qilish uchun shunga o'xshash misol:

4-misol

Operatsion hisoblash usuli yordamida differensial tenglamaning muayyan yechimini toping.

Dars oxirida qisqacha yechim va javob.

4-misolda dastlabki shartlardan biri nolga teng. Bu, albatta, yechimni soddalashtiradi va har ikkala boshlang'ich shart ham nolga teng bo'lsa, eng ideal variant: . Bunday holda, lotinlar quyruqsiz tasvirlarga aylantiriladi:

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, muammoning eng qiyin texnik jihati - bu fraksiyaning kengayishi aniqlanmagan koeffitsientlar usuli, va menda juda ko'p mehnat talab qiladigan misollar bor. Biroq, men hech kimni yirtqich hayvonlar bilan qo'rqitmayman;

5-misol

Operatsion hisoblash usulidan foydalanib, berilgan boshlang'ich shartlarni qanoatlantiradigan differensial tenglamaning muayyan yechimini toping.
, ,

Yechim: Laplas o'zgartirish jadvalidan foydalanib, biz asl nusxalardan mos keladigan tasvirlarga o'tamiz. Dastlabki shartlarni hisobga olgan holda :

O'ng tomonda ham muammolar yo'q:

(Ko'paytiruvchi konstantalar e'tiborga olinmasligini unutmang)

Olingan tasvirlarni asl tenglamaga almashtiramiz va standart harakatlarni bajaramiz, umid qilamanki, siz allaqachon yaxshi ishlagansiz:

Biz maxrajdagi doimiyni kasrdan tashqarida olamiz, asosiysi bu haqda keyinroq unutmaslikdir:

Men hisoblagichdan qo'shimcha ikkitasini olib tashlash haqida o'yladim, ammo hisob-kitob qilgandan so'ng, bu qadam keyingi qarorni deyarli soddalashtirmaydi degan xulosaga keldim.

Vazifaning o'ziga xosligi - natijada olingan fraktsiya. Ko'rinishidan, uning parchalanishi uzoq va qiyin bo'ladi, ammo tashqi ko'rinish aldamchi. Tabiiyki, qiyin narsalar bor, lekin har holda - oldinga, qo'rquv va shubhasiz:

Ba'zi koeffitsientlarning kasr bo'lib chiqishi bu holatni chalkashtirib yubormasligi kerak; Faqat hisoblash texnologiyasi muvaffaqiyatsiz bo'lmasa. Bundan tashqari, har doim javobni tekshirish imkoniyati mavjud.

Natijada, operator yechimi: