Twisters Gjuha

614 diagonale të një trapezi drejtkëndor. Diagonalet e trapezit. Karakteristikat e një linje paralele me bazat e një trapezoidi

Përsëri trekëndëshi Pitagorian :))) Nëse një pjesë e diagonës së madhe nga baza e madhe në pikën e kryqëzimit përcaktohet x, atëherë nga ngjashmëria e dukshme e trekëndëshave me kënd të drejtë me të njëjtat kënd vijon që x / 64 = 36 / x, pra x = 48; 48/64 = 3/4, prandaj të gjithë trekëndëshat me kënd të drejtë të formuar nga baza, diagonale dhe një anë pingul me bazën janë të ngjashme me një trekëndësh me brinjë 3,4,5. Përjashtimi i vetëm është trekëndëshi i formuar nga pjesë të diagonaleve dhe një anë e zhdrejtë, por ne nuk jemi të interesuar për të :). (Për ta bërë të qartë, ngjashmëria në fjalë është vetëm një funksion tjetër trigonometrik i këndeve :) ne tashmë e dimë tangjentën e këndit midis diagonës së madhe dhe bazës së madhe, është 3/4, që do të thotë se sinusi është 3/5 , dhe kosinusi është 4/5 :)) Mund të shkruani menjëherë

Përgjigjet. Baza e poshtme 80 do të jetë 60, dhe pjesa e sipërme do të jetë 45. (36 * 5/4 = 45, 64 * 5/4 = 80, 100 * 3/5 = 60)

Detyra të ngjashme:

1. Baza e prizmit është një trekëndësh, njëra anë e të cilit është 2 cm, dhe dy të tjerat janë 3 cm. Ana anësore është 4 cm dhe bën një kënd prej 45 me rrafshin bazë. Gjeni skajin e një të barabartë -kub i madhësisë.

2. Baza e prizmit të prirur është një trekëndësh barabrinjës me brinjën a; njëra nga faqet anësore është pingul me rrafshin e bazës dhe është një romb me diagonalen më të vogël të barabartë me c. Gjeni vëllimin e prizmit.

3. Në një prizëm të prirur, baza është një trekëndësh me kënd të drejtë, hipotenuza e të cilit është e barabartë me c, një kënd akut është 30, buza anësore është e barabartë me k dhe bën një kënd prej 60 me rrafshin bazë. Gjeni vëllimi i prizmit.

1. Gjeni anën e katrorit nëse diagonali i tij është 10 cm

2. Në një trapez isosceles, këndi i mpirë është 135 gradë më i vogël se baza është 4 cm, dhe lartësia është 2 cm, gjeni zonën e trapezoidit?

3. Lartësia e trapezit është 3 herë lartësia e njërës prej bazave, por gjysma e madhësisë së tjetrës. Gjeni bazën e trapezoidit dhe lartësinë nëse zona e trapezoidit është 168 cm në katror?

4. Në trekëndëshin ABC, këndi A = B këndi = 75 gradë. Gjeni BC nëse zona e trekëndëshit është 36 cm në katror.

1. Në trapezoidin ABCD me brinjët AB dhe CD, diagonalet ndërpriten në pikën O

a) Krahasoni sipërfaqet e trekëndëshave ABD dhe ACD

b) Krahasoni sipërfaqet e trekëndëshave ABO dhe CDO

c) Vërtetoni se OA * OB = OC * OD

2. Baza e një trekëndëshi isosceles i referohet anës anësore si 4: 3, dhe lartësia e tërhequr në bazë është 30 cm. Gjeni segmentet në të cilat kjo lartësi ndahet nga përgjysmuesi i këndit në bazë.

3. Linja AM -tangente në një rreth, korda AB e këtij rrethi. Vërtetoni se këndi MAB matet me gjysmën e harkut AB të vendosur brenda këndit MAB.

Segmenti që lidh pikat e mesme të diagonaleve të trapezit është i barabartë me gjysmën e diferencës bazë
Trekëndëshat e formuar nga bazat e trapezoidit dhe segmentet e diagonaleve deri në pikën e kryqëzimit të tyre janë të ngjashme
Trekëndëshat e formuar nga segmentet e diagonaleve të një trapezi, anët e të cilave shtrihen në anët anësore të trapezoidit - të barabarta (kanë të njëjtën zonë)
Nëse shtrini anët anësore të trapezoidit drejt bazës më të vogël, atëherë ato kryqëzohen në një pikë me vijën e drejtë që lidh pikat e mesit të bazave
Segmenti që lidh bazat e trapezoidit dhe kalon nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve të trapezoidit ndahet me këtë pikë në një proporcion të barabartë me raportin e gjatësisë së bazave të trapezoidit
Një segment paralel me bazat e trapezoidit dhe i tërhequr përmes pikës së kryqëzimit të diagonaleve ndahet me këtë pikë në gjysmë, dhe gjatësia e tij është e barabartë me 2ab / (a+ b), ku a dhe b janë bazat të trapezit

Karakteristikat e segmentit të linjës që lidhin pikat e mesme të diagonaleve të trapezit

Ne lidhim pikat e mesme të diagonaleve të trapezoidit ABCD, si rezultat i së cilës kemi një segment LM.
Segmenti që lidh pikat e mesme të diagonaleve trapezoidale, shtrihet në vijën e mesme të trapezit.

Ky segment paralel me bazat e trapezit.

Gjatësia e segmentit që lidh pikat e mesme të diagonaleve të trapezit është e barabartë me gjysmën e diferencës së bazave të tij.

LM = (pas Krishtit - para Krishtit) / 2
ose
LM = (a-b) / 2

Vetitë e trekëndëshave të formuar nga diagonalet e një trapezoidi

Trekëndëshat që formohen nga bazat e trapezoidit dhe pika e kryqëzimit të diagonaleve të trapezoidit - janë të ngjashme.
Trekëndëshat BOC dhe AOD janë të ngjashëm. Meqenëse këndet BOC dhe AOD janë vertikale, ato janë të barabarta.
Këndet OCB dhe OAD janë të kryqëzuara të brendshme me linja paralele AD dhe BC (bazat e trapezoidit janë paralele me njëra -tjetrën) dhe vija sekondare AC, prandaj, ato janë të barabarta.
Këndet OBC dhe ODA janë të barabarta për të njëjtën arsye (kryqëzimi i brendshëm).

Meqenëse të tre këndet e një trekëndëshi janë të barabartë me këndet përkatës të trekëndëshit tjetër, këto trekëndësha janë të ngjashëm.

Çfarë rrjedh nga kjo?

Për të zgjidhur problemet në gjeometri, ngjashmëria e trekëndëshave përdoret si më poshtë. Nëse i dimë vlerat e gjatësisë së dy elementeve përkatës të trekëndëshave të ngjashëm, atëherë gjejmë koeficientin e ngjashmërisë (e ndajmë njërën me tjetrën). Nga ku gjatësitë e të gjithë elementëve të tjerë lidhen me njëri -tjetrin me saktësisht të njëjtën vlerë.

Karakteristikat e trekëndëshave të shtrirë në anën dhe diagonalet e një trapezoidi

Konsideroni dy trekëndësha të shtrirë në anët anësore të trapezoidit AB dhe CD. Këto janë trekëndëshat AOB dhe COD. Përkundër faktit se madhësitë e anëve individuale të këtyre trekëndëshave mund të jenë krejtësisht të ndryshme, por zonat e trekëndëshave të formuar nga anët dhe pika e kryqëzimit të diagonaleve të trapezit janë, domethënë, trekëndëshat janë të barabartë në madhësi.

Nëse shtrini anët e trapezoidit drejt bazës më të vogël, atëherë pika e kryqëzimit të anëve do të jetë rreshtohen me një vijë të drejtë që kalon nëpër pikat e mesme të bazave.

Kështu, çdo trapezoid mund të shtrihet në një trekëndësh. Ku:

Trekëndëshat e formuar nga bazat e një trapezoidi me një kulm të përbashkët në kryqëzimin e anëve të zgjatura anësore janë të ngjashme
Linja e drejtë që lidh pikat e mesme të bazave të trapezit është, në të njëjtën kohë, mesatarja e trekëndëshit të ndërtuar

Karakteristikat e linjës që lidh bazat trapezoidale

Nëse vizatoni një segment, skajet e të cilit shtrihen në bazat e trapezoidit, i cili shtrihet në pikën e kryqëzimit të diagonaleve të trapezoidit (KN), atëherë raporti i segmenteve përbërës të tij nga ana e bazës në pika e kryqëzimit të diagonaleve (KO / ON) do të jetë e barabartë me raportin e bazave të trapezit(Para Krishtit / pas Krishtit).

KO / ON = BC / AD

Kjo pronë rrjedh nga ngjashmëria e trekëndëshave përkatës (shih më lart).

Karakteristikat e një linje paralele me bazat e një trapezoidi

Nëse vizatoni një segment paralel me bazat e trapezoidit dhe kaloni nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve të trapezoidit, atëherë ai do të ketë vetitë e mëposhtme:

Distanca e paracaktuar (KM) ndan pikën e kryqëzimit të diagonaleve trapezoidale në gjysmë
Gjatësia e segmentit kalimi përmes pikës së kryqëzimit të diagonaleve të trapezit dhe paralel me bazat është e barabartë me KM = 2ab / (a+ b)

Formulat për gjetjen e diagonaleve të një trapezoidi

a, b- baza e trapezit

c, d- anët anësore të trapezit

d1 d2- diagonale trapezoidale

α β - këndet me një bazë më të madhe të trapezit

Formulat për gjetjen e diagonaleve të një trapezoidi përmes bazave, anëve dhe këndeve në bazë

Grupi i parë i formulave (1-3) pasqyron një nga vetitë kryesore të diagonaleve trapezoidale:

1. Shuma e katrorëve të diagonaleve të një trapezi është e barabartë me shumën e katrorëve të anëve plus dyfishin e produktit të bazave të tij. Kjo veti e diagonaleve të një trapezoidi mund të vërtetohet si një teoremë e veçantë

2 ... Kjo formulë fitohet duke konvertuar formulën e mëparshme. Sheshi i diagonës së dytë hidhet përmes shenjës së barabartë, pas së cilës rrënja katrore nxirret nga ana e majtë dhe e djathtë e shprehjes.

3 ... Kjo formulë për gjetjen e gjatësisë së një diagonaleje trapezoidale është e ngjashme me atë të mëparshme, me ndryshimin që një diagonale tjetër lihet në anën e majtë të shprehjes

Grupi tjetër i formulave (4-5) është i ngjashëm në kuptim dhe shpreh një raport të ngjashëm.

Grupi i formulave (6-7) ju lejon të gjeni diagonalen e një trapezoidi nëse dihet baza më e madhe e trapezoidit, njëra anë dhe këndi në bazë.

Formulat për gjetjen e diagonaleve të një trapezoidi për nga lartësia

shënim... Ky mësim jep një zgjidhje për problemet në gjeometri në lidhje me trapezoidet. Nëse nuk keni gjetur një zgjidhje për një problem gjeometrik të llojit që ju intereson - bëni një pyetje në forum.

Detyrë.
Diagonalet e trapezoidit ABCD (AD | | BC) kryqëzohen në pikën O. Gjeni gjatësinë e bazës BC të trapezit nëse baza është AD = 24 cm, gjatësia AO = 9cm, gjatësia OC = 6 cm.

Zgjidhja.
Zgjidhja e këtij problemi në aspektin ideologjik është absolutisht identike me problemet e mëparshme.

Trekëndëshat AOD dhe BOC janë të ngjashëm në tre qoshe - AOD dhe BOC janë vertikale, dhe këndet e tjera janë të barabarta në çifte, pasi ato formohen nga kryqëzimi i një linje të drejtë dhe dy linjave paralele.

Meqenëse trekëndëshat janë të ngjashëm, të gjitha dimensionet e tyre gjeometrike lidhen me njëra -tjetrën, si dimensione gjeometrike të segmenteve AO dhe OC të njohura për ne nga deklarata e problemit. Kjo eshte

AO / OC = AD / BC
9/6 = 24 / pes
BC = 24 * 6/9 = 16

Pergjigju: 16 cm

Detyrë.
Në trapezoidin ABCD, dihet se AD = 24, BC = 8, AC = 13, BD = 5√17. Gjeni zonën e trapezit.

Zgjidhja.
Për të gjetur lartësinë e trapezoidit nga kulmet e bazës më të vogël B dhe C, ulim dy lartësi në bazën më të madhe. Meqenëse trapezoidi është i pabarabartë, ne shënojmë gjatësinë AM = a, gjatësinë KD = b ( të mos ngatërrohet me shënimin në formulë gjetja e sipërfaqes së trapezit). Meqenëse bazat e trapezoidit janë paralele, dhe ne kemi lënë dy lartësi pingul me bazën më të madhe, atëherë MBCK është një drejtkëndësh.

Do të thotë
AD = AM + BC + KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Trekëndëshat DBM dhe ACK janë drejtkëndëshe, kështu që këndet e tyre të drejta formohen nga lartësitë e trapezoidit. Le të shënojmë lartësinë e trapezit me h. Pastaj nga teorema e Pitagorës

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
dhe
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Ne marrim parasysh që a = 16 - b, pastaj në ekuacionin e parë
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Le të zëvendësojmë vlerën e katrorit të lartësisë në ekuacionin e dytë të marrë nga Teorema e Pitagorës. Marrim:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
- (64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Pra KD = 12
Ku
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Gjeni zonën e trapezoidit përmes lartësisë së tij dhe gjysmës së shumës së bazave
, ku a b është baza e trapezoidit, h është lartësia e trapezoidit
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 cm 2

Pergjigju: zona e trapezoidit është 80 cm 2.

Nëse diagonalet në një trapez isosceles janë pingul, materiali teorik i mëposhtëm do të jetë i dobishëm në zgjidhjen e problemit.

1. Nëse në një trapez isosceles diagonalet janë pingul, lartësia e trapezoidit është e barabartë me gjysmën e shumës së bazave.

Vizatoni vijën CF, paralele me BD, përmes pikës C, dhe shtrini vijën AD në kryqëzimin me CF.

BCFD katërkëndësh - paralelogram (BC∥ DF si bazë e trapezoidit, BD∥ CF sipas konstruksionit). Prandaj, CF = BD, DF = BC dhe AF = AD + BC.

Trekëndëshi ACF është drejtkëndëshe (nëse një drejtëz është pingul me njërën nga dy drejtëzat paralele, atëherë është pingul edhe me drejtëzën tjetër). Meqenëse diagonalet në një trapez isosceles janë të barabarta, dhe CF = BD, atëherë CF = AC, domethënë trekëndëshi ACF është isosceles me AF bazë. Prandaj, lartësia e saj CN është gjithashtu mesatarja. Dhe meqenëse mesatarja e një trekëndëshi me kënd të drejtë tërhequr në hipotenuzë është e barabartë me gjysmën e tij, atëherë

e cila në përgjithësi mund të shkruhet si

ku h është lartësia e trapezoidit, a dhe b janë baza e tij.

2. Nëse në një trapez isosceles diagonalet janë pingul, atëherë lartësia e tij është e barabartë me vijën e mesit.

Meqenëse vija e mesme e trapezit m është e barabartë me gjysmën e shumës së bazave, atëherë

3. Nëse në një trapez isosceles diagonalet janë pingul, atëherë zona e trapezoidit është e barabartë me katrorin e lartësisë së trapezoidit (ose katrorin e gjysmës së shumës së bazave, ose katrorin e vijës së mesme )

Meqenëse zona e trapezoidit gjendet me formulën

dhe lartësia, gjysma e shumës së bazave dhe vijës së mesme të një trapezi isosceles me diagonale pingul janë të barabarta me njëri-tjetrin:

4. Nëse në një trapez isosceles diagonalet janë pingul, atëherë katrori i diagonës së tij është i barabartë me gjysmën e katrorit të shumës së bazave, si dhe dyfishin e katrorit të lartësisë dhe dyfishin e katrorit të vijës së mesme.

Meqenëse zona e një katërkëndëshi konveks mund të gjendet përmes diagonaleve të tij dhe këndit midis tyre sipas formulës