Vepra artizanale

Formula aritmetike e progresionit an. Përparimi aritmetik: çfarë është? Kushtet dhe emërtimet

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë ..."
Dhe për ata që janë "shumë të barabartë ...")

Një progresion aritmetik është një seri numrash në të cilët secili numër është më i madh (ose më pak) se ai i mëparshmi me të njëjtën sasi.

Kjo temë është shpesh e vështirë dhe e pakuptueshme. Treguesit për shkronjat, termi i n -të i përparimit, ndryshimi në progresion - e gjithë kjo është disi e turpshme, po ... Le të kuptojmë kuptimin e përparimit aritmetik dhe gjithçka do të funksionojë menjëherë.)

Koncepti i përparimit aritmetik.

Përparimi aritmetik është një koncept shumë i thjeshtë dhe i qartë. Dyshim? Më kot.) Shihni vetë.

Unë do të shkruaj një seri numrash të papërfunduar:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Mund ta zgjasni këtë rresht? Cilët numra do të shkojnë më pas, pas pesë? Të gjithë ... uh-uh ..., me pak fjalë, të gjithë do ta kuptojnë se numrat 6, 7, 8, 9, etj. Do të shkojnë më tej.

Le ta ndërlikojmë detyrën. Unë jap një seri numrash të papërfunduar:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Ju do të jeni në gjendje të kapni modelin, të zgjeroni serinë dhe emrin i shtati numri i rreshtit?

Nëse e keni kuptuar se ky numër është 20 - ju përgëzoj! Jo vetëm që u ndjetë pikat kryesore të përparimit aritmetik, por edhe i ka përdorur me sukses në biznes! Nëse nuk e keni kuptuar, lexoni.

Tani le të përkthejmë pikat kryesore nga ndjesia në matematikë.)

Pika e parë kryesore.

Progresioni aritmetik merret me serinë e numrave. Kjo është konfuze në fillim. Ne jemi mësuar të zgjidhim ekuacionet, të vizatojmë grafikë dhe gjithçka tjetër ... Dhe pastaj të zgjasim serinë, të gjejmë numrin e serive ...

Është në rregull. Vetëm përparimet janë njohja e parë me një degë të re të matematikës. Seksioni quhet "Rreshta" dhe punon me seri numrash dhe shprehjesh. Mësohuni me të.)

Pika e dytë kryesore.

Në një progresion aritmetik, çdo numër është i ndryshëm nga ai i mëparshmi me të njëjtën sasi.

Në shembullin e parë, ky ndryshim është një. Çfarëdo numri që të merrni, është më i madh se ai i mëparshmi një nga një. Në të dytën - tre. Çdo numër më i madh se ai i mëparshmi me tre. Në fakt, është ky momenti që na jep mundësinë për të kapur modelin dhe për të llogaritur numrat pasues.

Pika e tretë kryesore.

Ky moment nuk është goditës, po ... Por është shumë, shumë i rëndësishëm. Ja ku eshte: secili numër në progresion qëndron në vendin e vet. Aty është numri i parë, është i shtati, ka dyzet e pesta, etj. Nëse ngatërrohen rastësisht, modeli do të zhduket. Përparimi aritmetik gjithashtu do të zhduket. Do të ketë vetëm një rresht numrash.

Kjo është e gjithë çështja.

Sigurisht, terma dhe përcaktime të reja shfaqen në temën e re. Ju duhet t'i njihni ata. Përndryshe, ju nuk do ta kuptoni detyrën. Për shembull, ju duhet të vendosni diçka si:

Shkruani gjashtë termat e parë të përparimit aritmetik (a n), nëse a 2 = 5, d = -2.5.

A frymëzon?) Letra, disa indekse ... Dhe detyra, nga rruga - nuk mund të jetë më e lehtë. Thjesht duhet të kuptoni kuptimin e termave dhe përcaktimeve. Tani ne do ta zotërojmë këtë biznes dhe do t'i kthehemi detyrës.

Kushtet dhe emërtimet.

Përparimi aritmetikështë një seri numrash në të cilët secili numër është i ndryshëm nga ai i mëparshmi me të njëjtën sasi.

Kjo sasi quhet ... Le të merremi me këtë koncept në më shumë detaje.

Dallimi i përparimit aritmetik.

Dallimi i përparimit aritmetikështë shuma me të cilën çdo numër i progresionit me shume ai i mëparshmi.

Një pikë e rëndësishme. Ju lutemi kushtojini vëmendje fjalës "me shume". Matematikisht, kjo do të thotë që çdo numër në progresion është marrë duke shtuar diferenca e përparimit aritmetik me numrin e mëparshëm.

Për llogaritjen, le të themi e dyta numrin e serive, është e nevojshme që e para Numri shto pikërisht ky ndryshim i progresionit aritmetik. Për llogaritjen e pesta- ndryshimi është i nevojshëm shto Te e katërt, mirë, etj.

Dallimi i përparimit aritmetik ndoshta pozitive, atëherë secili numër i rreshtit do të dalë me të vërtetë më shumë se ai i mëparshmi. Ky përparim quhet duke u rritur. Për shembull:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Këtu merret çdo numër duke shtuar numër pozitiv, +5 në atë të mëparshëm.

Dallimi mund të jetë negativ, atëherë secili numër në rresht do të dalë më pak se ai i mëparshmi. Një progres i tillë quhet (nuk do ta besoni!) në rënie.

Për shembull:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Këtu merret edhe çdo numër duke shtuar ndaj numrit të mëparshëm, por tashmë negativ, -5.

Nga rruga, kur punoni me një përparim, është shumë e dobishme të përcaktoni menjëherë natyrën e tij - nëse po rritet ose zvogëlohet. Ndihmon shumë për të lundruar në zgjidhje, për të zbuluar gabimet tuaja dhe për t'i rregulluar ato para se të jetë vonë.

Dallimi i përparimit aritmetik shënohet, si rregull, me shkronjë d

Si të gjeni d? Shume e thjeshte. Shtë e nevojshme të zbritet nga çdo numër i serive e mëparshme numri. Zbres Nga rruga, rezultati i zbritjes quhet "ndryshimi".)

Le të përcaktojmë, për shembull, d për rritjen e përparimit aritmetik:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Ne marrim çdo numër të rreshtit që duam, për shembull, 11. Zbritim prej tij numri i mëparshëm, ato tetë:

Kjo është përgjigja e saktë. Për këtë përparim aritmetik, ndryshimi është tre.

Ju mund të merrni saktësisht çdo numër përparimi, qysh prej për një progres specifik d -gjithmonë e njëjta. Të paktën diku në fillim të rreshtit, të paktën në mes, të paktën kudo. Ju nuk mund të merrni vetëm numrin e parë. Vetëm sepse në numrin e parë nuk ka një të mëparshme.)

Nga rruga, duke e ditur atë d = 3, është shumë e lehtë të gjesh numrin e shtatë të këtij progresioni. Shtoni 3 në numrin e pestë - marrim të gjashtin, do të jetë 17. Shtoni tre në numrin e gjashtë, marrim numrin e shtatë - njëzet.

Ne përcaktojmë d për një progresion aritmetik në rënie:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Unë ju kujtoj se, pavarësisht nga shenjat, për të përcaktuar dështë e nevojshme nga çdo numër hiqni atë të mëparshëm. Ne zgjedhim çdo numër të përparimit, për shembull -7. E mëparshmja është -2. Pastaj:

d = -7 -(-2) = -7 + 2 = -5

Dallimi i përparimit aritmetik mund të jetë çdo numër: i plotë, i pjesshëm, iracional, çfarëdo.

Terma dhe emërtime të tjera.

Çdo numër në seri quhet një anëtar i një progresioni aritmetik.

Secili anëtar i progresionit ka numrin e vet. Numrat janë në rregull, pa asnjë truk. E para, e dyta, e treta, e katërta, etj. Për shembull, në përparimin 2, 5, 8, 11, 14, ... dy është termi i parë, pesë është i dyti, njëmbëdhjetë është i katërti, mirë, ju e kuptoni ...) Ju lutemi kuptoni qartë - vetë numrat mund të jetë absolutisht çdo, e tërë, e pjesshme, negative, çfarëdo, por numërimi i numrave- rreptësisht në rregull!

Si të regjistroni një përparim të përgjithshëm? Nuk ka problem! Çdo numër në rresht shkruhet si një shkronjë. Si rregull, shkronja përdoret për të treguar një përparim aritmetik a... Numri i anëtarëve tregohet me një indeks në të djathtën e poshtme. Ne shkruajmë anëtarë të ndarë me presje (ose pikëpresje), si kjo:

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1është numri i parë, një 3- e treta, etj. Asgjë e ndërlikuar. Ju mund ta shkruani shkurtimisht këtë seri si kjo: (a n).

Përparimet janë e fundme dhe e pafundme.

I fundit progresi ka një numër të kufizuar anëtarësh. Pesë, tridhjetë e tetë, çfarëdo. Por - një numër i kufizuar.

Pafund progresion - ka një numër të pafund anëtarësh, siç mund ta merrni me mend.)

Ju mund të shkruani përparimin përfundimtar përmes një serie si kjo, të gjithë anëtarëve dhe një pikë në fund:

1, 2, 3, 4, 5.

Ose kështu, nëse ka shumë anëtarë:

një 1, një 2, ... një 14, një 15.

Në një hyrje të shkurtër, do të duhet të tregoni shtesë numrin e anëtarëve. Për shembull (për njëzet anëtarë), si kjo:

(a n), n = 20

Një përparim i pafund mund të njihet nga elipsi në fund të rreshtit, si në shembujt në këtë mësim.

Tani mund të zgjidhni detyrat. Detyrat janë të thjeshta, thjesht për të kuptuar kuptimin e përparimit aritmetik.

Shembuj të detyrave mbi përparimin aritmetik.

Le të hedhim një vështrim më të afërt në detyrën, e cila është dhënë më lart:

1. Shkruani gjashtë termat e parë të përparimit aritmetik (a n), nëse a 2 = 5, d = -2.5.

Ne e përkthejmë detyrën në një gjuhë të kuptueshme. Jepet një përparim aritmetik i pafund. Numri i dytë i këtij progresi është i njohur: a 2 = 5. Diferenca në progresion dihet: d = -2.5. Isshtë e nevojshme të gjesh anëtarët e parë, të tretë, të katërt, të pestë dhe të gjashtë të këtij progresi.

Për qartësi, unë do të shkruaj një seri sipas gjendjes së problemit. Gjashtë termat e parë, ku termi i dytë është pesë:

1, 5, 3, 4, 5, 6, ....

një 3 = a 2 + d

Zëvendëso në shprehje a 2 = 5 dhe d = -2.5... Mos harroni për minus!

një 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Mandati i tretë është më i vogël se i dyti. Gjithçka është logjike. Nëse numri është më i madh se ai i mëparshmi me negativ vlerë, atëherë vetë numri do të dalë të jetë më i vogël se ai i mëparshmi. Përparimi është në rënie. Mirë, le ta marrim parasysh.) Ne e konsiderojmë anëtarin e katërt të serisë sonë:

një 4 = një 3 + d

një 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

një 5 = një 4 + d

një 5=0+(-2,5)= - 2,5

një 6 = një 5 + d

një 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Pra, kushtet nga e treta në të gjashtën llogariten. Rezultati është një seri e tillë:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Mbetet për të gjetur termin e parë a 1 sipas të dytës së njohur. Ky është një hap në drejtimin tjetër, në të majtë.) Prandaj, ndryshimi i përparimit aritmetik d nuk ka nevojë të shtohet në a 2, a heq:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Kjo është gjithçka që ka për të. Përgjigja e detyrës:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Gjatë rrugës, do të vërej se e zgjidhëm këtë detyrë të përsëritura mënyrë. Kjo fjalë e frikshme nënkupton vetëm kërkimin e një anëtari të përparimit. nga numri i mëparshëm (ngjitur). Ne do të shqyrtojmë mënyra të tjera të punës me progresion më vonë.

Një përfundim i rëndësishëm mund të nxirret nga kjo detyrë e thjeshtë.

Mbani mend:

Nëse njohim të paktën një term dhe ndryshimin e një progresioni aritmetik, mund të gjejmë ndonjë anëtar të këtij progresioni.

Te kujtohet? Ky përfundim i thjeshtë ju lejon të zgjidhni shumicën e detyrave të kursit shkollor në këtë temë. Të gjitha detyrat sillen rreth tre parametrave kryesorë: anëtar i progresionit aritmetik, diferenca e progresionit, numri i anëtarit të progresionit. Gjithçka.

Sigurisht, e gjithë algjebra e mëparshme nuk anulohet.) Pabarazitë, ekuacionet dhe gjëra të tjera i bashkëngjiten progresionit. Por nga vetë përparimi- gjithçka sillet rreth tre parametrave.

Le të hedhim një vështrim në disa nga detyrat e njohura në këtë temë si shembull.

2. Shkruani progresionin aritmetik përfundimtar si seri nëse n = 5, d = 0.4 dhe a 1 = 3.6.

Gjithçka është e thjeshtë këtu. Gjithçka tashmë është dhënë. Ju duhet të mbani mend se si numërohen anëtarët e një progresioni aritmetik, numëroni dhe shkruani ato. Këshillohet që të mos humbisni fjalët në kushtet e detyrës: "përfundimtare" dhe " n = 5". Të mos llogaritet derisa të jetë plotësisht blu në fytyrë.) Ka vetëm 5 (pesë) anëtarë në këtë progres:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

një 4 = një 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

një 5 = një 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

Mbetet për të shkruar përgjigjen:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Një detyrë tjetër:

3. Përcaktoni nëse numri 7 është anëtar i progresionit aritmetik (a n), nëse a 1 = 4.1; d = 1.2.

Hmm ... Kush e di? Si të përcaktoni diçka?

Si, si ... Po, shkruani progresin në formën e një serie dhe shihni nëse do të ketë një shtatë atje apo jo! Ne konsiderojmë:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

një 4 = një 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Tani shihet qartë se ne jemi vetëm një shtatë rrëshqiti përmes midis 6.5 dhe 7.7! Të shtatë nuk u futën në serinë tonë të numrave dhe, prandaj, të shtatë nuk do të jenë anëtarë të progresit të dhënë.

Përgjigja është jo.

Dhe këtu është një detyrë e bazuar në një version të vërtetë të GIA:

4. Janë shkruar disa anëtarë të njëpasnjëshëm të progresionit aritmetik:

...; 15; NS; nëntë; 6; ...

Këtu shkruhet një rresht pa fund dhe fillim. Asnjë numër anëtarësh, asnjë ndryshim d... Është në rregull. Për të zgjidhur problemin, mjafton të kuptosh kuptimin e përparimit aritmetik. Ne shikojmë dhe mendojmë për atë që është e mundur të dish nga kjo seri? Cilët janë tre parametrat kryesorë?

Numrat e anëtarëve? Këtu nuk ka asnjë numër të vetëm.

Por ka tre numra dhe - vëmendje! - fjala "rresht" në gjendje. Kjo do të thotë që numrat janë rreptësisht të rregullt, pa boshllëqe. A ka dy në këtë rresht fqinje numrat e njohur? Po eshte! Këto janë 9 dhe 6. Kështu që ne mund të llogarisim ndryshimin e progresionit aritmetik! Ne zbresim nga gjashtë e mëparshme numri, d.m.th. nëntë:

Kanë mbetur vetëm gjëra të vogla. Cili është numri i mëparshëm për X? Pesëmbëdhjetë. Kjo do të thotë që x mund të gjendet lehtësisht me një shtesë të thjeshtë. Shtoni ndryshimin e përparimit aritmetik në 15:

Kjo eshte e gjitha. Pergjigje: x = 12

Ne zgjidhim problemet e mëposhtme vetë. Shënim: këto probleme nuk kanë të bëjnë me formula. Thjesht për të kuptuar kuptimin e një përparimi aritmetik.) Ne thjesht shkruajmë një seri numrash-shkronja, shikojmë dhe mendojmë.

5. Gjeni termin e parë pozitiv të progresionit aritmetik nëse a 5 = -3; d = 1.1.

6. Dihet se numri 5.5 është anëtar i progresionit aritmetik (a n), ku a 1 = 1.6; d = 1.3. Përcaktoni numrin n të këtij anëtari.

7. Dihet se në progresionin aritmetik a 2 = 4; a 5 = 15.1. Gjeni një 3.

8. Shkruani disa anëtarë të njëpasnjëshëm të progresionit aritmetik:

...; 15.6; NS; 3.4; ...

Gjeni termin në progresionin e treguar me shkronjën x.

9. Treni filloi të lëvizte nga stacioni, duke rritur në mënyrë të qëndrueshme shpejtësinë e tij me 30 metra në minutë. Sa do të jetë shpejtësia e trenit në pesë minuta? Jepni përgjigjen tuaj në km / orë.

10. Dihet se në progresionin aritmetik a 2 = 5; a 6 = -5. Gjeni një 1.

Përgjigjet (në rrëmujë): 7.7; 7.5; 9.5; nëntë; 0.3; 4

Gjithçka funksionoi? E mrekullueshme! Ju mund të zotëroni përparimin aritmetik në një nivel më të lartë në mësimet e mëposhtme.

Jo gjithçka funksionoi? Nuk ka problem. Në Seksionin Special 555, të gjitha këto detyra ndahen në copa.) Dhe, natyrisht, përshkruhet një teknikë e thjeshtë praktike që menjëherë nxjerr në pah zgjidhjen e detyrave të tilla qartë, qartë, sikur në pëllëmbën e dorës!

Nga rruga, në enigmën për trenin ka dy probleme me të cilat njerëzit shpesh pengohen. Njëra është thjesht në progres, dhe e dyta është e zakonshme për çdo problem në matematikë, dhe fizikë gjithashtu. Ky është një përkthim i dimensioneve nga njëri në tjetrin. Në të tregohet se si duhet të zgjidhen këto probleme.

Në këtë mësim, ne shqyrtuam kuptimin elementar të përparimit aritmetik dhe parametrat kryesorë të tij. Kjo është e mjaftueshme për të zgjidhur pothuajse të gjitha problemet në këtë temë. Shto d te numrat, shkruaj një seri, gjithçka do të vendoset.

Zgjidhja e gishtit funksionon mirë për pjesë shumë të shkurtra të një rreshti, si në shembujt në këtë mësim. Nëse rreshti është më i gjatë, llogaritjet bëhen më të ndërlikuara. Për shembull, nëse jeni në problemin 9 në pyetje, zëvendësojeni "Pesë minuta" më "Tridhjetë e pesë minuta" problemi do të bëhet shumë më i zemëruar.)

Dhe ka edhe detyra që janë të thjeshta në thelb, por të pabesueshme për sa i përket llogaritjeve, për shembull:

Ju jepet një përparim aritmetik (a n). Gjeni një 121 nëse a 1 = 3 dhe d = 1/6.

Dhe çfarë, ne do të shtojmë shumë, shumë herë me 1/6?! Mund të vrasësh veten!?

Ju mundeni.) Nëse nuk dini një formulë të thjeshtë, sipas së cilës detyra të tilla mund të zgjidhen në një minutë. Kjo formulë do të jetë në mësimin tjetër. Dhe ky problem zgjidhet atje. Ne nje minut.)

Nëse ju pëlqen kjo faqe ...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi i çertifikimit të menjëhershëm. Mësoni - me interes!)

mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Matematika ka bukurinë e vet, ashtu si piktura dhe poezia.

Shkencëtari, mekaniku rus N.E. Zhukovsky

Problemet që lidhen me konceptin e përparimit aritmetik janë probleme shumë të zakonshme në provimet pranuese në matematikë. Për të zgjidhur me sukses probleme të tilla, është e nevojshme të njihni mirë vetitë e përparimit aritmetik dhe të keni aftësi të caktuara në zbatimin e tyre.

Së pari kujtojmë vetitë kryesore të përparimit aritmetik dhe paraqesim formulat më të rëndësishme, lidhur me këtë koncept.

Përkufizimi Sekuenca e numrave, në të cilën çdo term pasues ndryshon nga ai i mëparshmi me të njëjtin numër, quhet progresion aritmetik. Për më tepër, numriquhet ndryshimi në progresion.

Për një përparim aritmetik, formulat e mëposhtme janë të vlefshme

, (1)

ku Formula (1) quhet formula për termin e përgjithshëm të një progresioni aritmetik, dhe formula (2) është vetia kryesore e një progresioni aritmetik: secili term i progresionit përkon me mesataren aritmetike të termave të tij fqinjë dhe.

Vini re se është pikërisht për shkak të kësaj vetie që përparimi i konsideruar quhet "aritmetikë".

Formulat e mësipërme (1) dhe (2) përgjithësohen si më poshtë:

(3)

Për të llogaritur shumën e para anëtarët e progresionit aritmetikzakonisht zbatohet formula

(5) ku dhe.

Duke marrë parasysh formulën (1), atëherë formula (5) nënkupton

Nëse shënojmë, atëherë

ku Meqenëse, atëherë formula (7) dhe (8) janë një përgjithësim i formulave përkatëse (5) dhe (6).

Veçanërisht , formula (5) nënkupton, çfarë

Vetia e përparimit aritmetik, e formuluar me anë të teoremës së mëposhtme, është ndër më pak të njohurit për shumicën e studentëve.

Teorema. Nese atehere

Vërtetim. Nese atehere

Teorema është vërtetuar.

Për shembull , duke përdorur teoremën, mund të tregohet se

Le të kalojmë në shqyrtimin e shembujve tipikë të zgjidhjes së problemeve në temën "Përparimi aritmetik".

Shembulli 1 Le dhe. Gjej .

Zgjidhja. Duke aplikuar formulën (6), marrim. Që nga, atëherë ose.

Shembulli 2 Le të jetë tre herë më shumë, dhe kur pjesëtohemi në herës, marrim 2 dhe pjesën e mbetur 8. Përcaktoni dhe.

Zgjidhja. Gjendja e shembullit nënkupton sistemin e ekuacioneve

Meqenëse ,, dhe, atëherë nga sistemi i ekuacioneve (10) marrim

Zgjidhja për këtë sistem ekuacionesh është dhe.

Shembulli 3 Gjeni nëse dhe.

Zgjidhja. Sipas formulës (5), kemi ose. Sidoqoftë, duke përdorur pronën (9), marrim.

Që dhe, atëherë nga barazia vijon ekuacioni ose

Shembulli 4 Gjeni nëse.

Zgjidhja.Me formulën (5), ne kemi

Sidoqoftë, duke përdorur teoremën, mund të shkruani

Nga kjo dhe formula (11) marrim.

Shembulli 5. Duke pasur parasysh :. Gjej .

Zgjidhja. Që atëherë, atëherë. Megjithatë, prandaj.

Shembulli 6 Lëreni, dhe. Gjej .

Zgjidhja. Duke përdorur formulën (9), marrim. Prandaj, nëse, atëherë ose.

Që dhe, atëherë këtu kemi sistemin e ekuacioneve

Duke zgjidhur atë, ne marrim dhe.

Rrënja natyrore e ekuacionit eshte nje .

Shembulli 7 Gjeni nëse dhe.

Zgjidhja. Meqenëse me formulën (3) e kemi atë, atëherë deklarata e problemit nënkupton sistemin e ekuacioneve

Nëse zëvendësoni shprehjennë ekuacionin e dytë të sistemit, atëherë marrim ose.

Rrënjët e ekuacionit kuadratik janë dhe

Le të shqyrtojmë dy raste.

1. Lëreni, atëherë. Që atëherë, atëherë.

Në këtë rast, sipas formulës (6), kemi

2. Nëse, atëherë, dhe

Përgjigje: dhe.

Shembulli 8 Dihet se dhe. Gjej .

Zgjidhja. Duke marrë parasysh formulën (5) dhe gjendjen e shembullit, ne shënojmë dhe.

Prandaj ndjek sistemin e ekuacioneve

Nëse shumëzojmë ekuacionin e parë të sistemit me 2, dhe pastaj e shtojmë në ekuacionin e dytë, marrim

Sipas formulës (9), ne kemi... Në lidhje me këtë, nga (12) vijon ose

Që atëherë, atëherë.

Përgjigje:.

Shembulli 9 Gjeni nëse dhe.

Zgjidhja. Meqenëse, dhe me kusht, atëherë ose.

Nga formula (5) dihet, çfarë . Që atëherë, atëherë.

Prandaj , këtu kemi një sistem ekuacionesh lineare

Prandaj marrim dhe. Duke marrë parasysh formulën (8), ne shkruajmë.

Shembulli 10 Zgjidh ekuacionin.

Zgjidhja. Nga ekuacioni i dhënë rrjedh se. Supozoni se ,, dhe. Në këtë rast .

Sipas formulës (1), mund të shkruani ose.

Meqenëse, atëherë ekuacioni (13) ka një rrënjë të vetme të përshtatshme.

Shembulli 11 Gjeni vlerën maksimale me kusht që dhe.

Zgjidhja. Meqenëse, përparimi i konsideruar aritmetik po zvogëlohet. Në këtë drejtim, shprehja merr vlerën maksimale kur është numri i termit minimal pozitiv të progresionit.

Ne përdorim formulën (1) dhe faktin, si Atëherë marrim atë ose.

Që, atëherë as ... Sidoqoftë, në këtë pabarazinumri më i madh natyror, prandaj.

Nëse vlerat, dhe zëvendësohen në formulën (6), atëherë marrim.

Përgjigje:.

Shembulli 12 Përcaktoni shumën e të gjithë numrave natyrorë dyshifrorë që, kur ndahen me 6, japin pjesën e mbetur prej 5.

Zgjidhja. Le të shënojmë me bashkësinë e të gjithë numrave natyrorë dyshifrorë, d.m.th. ... Tjetra, ne ndërtojmë një nëngrup të përbërë nga ata elementë (numra) të bashkësisë që, kur ndahen me 6, japin pjesën e mbetur 5.

Nuk është e vështirë të vendoset, çfarë . Padyshim, se elementet e bashkësisëformojnë një progresion aritmetik, në të cilën dhe.

Për të vendosur kardinalitetin (numrin e elementeve) të një grupi, supozojmë se. Që nga, atëherë nga formula (1) vijon ose. Duke marrë parasysh formulën (5), marrim.

Shembujt e mësipërm të zgjidhjes së problemeve nuk mund të pretendojnë në asnjë mënyrë se janë shterues. Ky artikull është shkruar në bazë të një analize të metodave moderne për zgjidhjen e problemeve tipike në një temë të caktuar. Për një studim më të thellë të metodave për zgjidhjen e problemeve që lidhen me përparimin aritmetik, këshillohet që t'i referoheni listës së literaturës së rekomanduar.

1. Mbledhja e problemeve në matematikë për aplikantët në kolegjet teknike / Ed. M.I. Skanavi. - M.: Paqja dhe Edukimi, 2013 .-- 608 f.

2. Suprun V.P. Matematika për nxënësit e shkollave të mesme: seksione shtesë të kurrikulës shkollore. - M.: Lenand / URSS, 2014 .-- 216 f.

3. Medynsky M.M. Kurs i plotë i matematikës elementare në probleme dhe ushtrime. Libri 2: Renditjet dhe përparimet e numrave. - M.: Edithus, 2015 .-- 208 f.

Ende keni pyetje?

Për të marrë ndihmë nga një mësues - regjistrohuni.

faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

Dikush është i kujdesshëm ndaj fjalës "progresion", si një term shumë kompleks nga degët e matematikës së lartë. Ndërkohë, përparimi më i thjeshtë aritmetik është puna e njehsorit të taksisë (aty ku ato ende mbeten). Dhe të kuptosh thelbin (dhe në matematikë nuk ka asgjë më të rëndësishme sesa "të kuptosh thelbin") të sekuencës aritmetike nuk është aq e vështirë, pasi të kesh analizuar disa koncepte elementare.

Sekuenca e numrave matematikor

Isshtë e zakonshme të emërtoni një seri numrash me një sekuencë numerike, secila prej të cilave ka numrin e vet.

a 1 - anëtari i parë i sekuencës;

dhe 2 është anëtari i dytë i sekuencës;

dhe 7 është anëtari i shtatë i sekuencës;

dhe n është anëtari i nëntë i sekuencës;

Sidoqoftë, ne nuk jemi të interesuar për asnjë grup arbitrar numrash dhe numrash. Ne do të përqendrojmë vëmendjen tonë në sekuencën numerike, në të cilën vlera e termit të nëntë shoqërohet me numrin rendor të tij nga një varësi që mund të formulohet qartë matematikisht. Me fjalë të tjera: vlera numerike e numrit n është një funksion i n.

a - vlera e një anëtari të një sekuence numerike;

n është numri serik i tij;

f (n) është një funksion ku rendi në sekuencën numerike n është një argument.

Përkufizimi

Isshtë e zakonshme që një progresion aritmetik të quhet një sekuencë numerike në të cilën çdo term pasues është më i madh (më pak) se ai i mëparshmi me të njëjtin numër. Formula për anëtarin e nëntë të një sekuence aritmetike është si më poshtë:

a n - vlera e anëtarit aktual të progresionit aritmetik;

a n + 1 - formula për numrin tjetër;

d - ndryshimi (një numër i caktuar).

Easyshtë e lehtë të përcaktohet se nëse diferenca është pozitive (d> 0), atëherë çdo term i mëvonshëm i serisë në shqyrtim do të jetë më i madh se ai i mëparshmi, dhe një përparim i tillë aritmetik do të jetë në rritje.

Në grafikun e mëposhtëm, është e lehtë të shihet pse sekuenca e numrave quhet "në rritje".

Në rastet kur diferenca është negative (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Vlera e anëtarit të specifikuar

Ndonjëherë është e nevojshme të përcaktohet vlera e çdo anëtari arbitrar a n të një progresioni aritmetik. Ju mund ta bëni këtë duke llogaritur në mënyrë sekuenciale vlerat e të gjithë anëtarëve të progresionit aritmetik, duke filluar nga i pari në atë të dëshiruar. Sidoqoftë, kjo rrugë nuk është gjithmonë e pranueshme nëse, për shembull, është e nevojshme të gjesh kuptimin e anëtarit të pesë mijëtë ose tetë miliontë. Llogaritja tradicionale do të marrë një kohë të gjatë. Sidoqoftë, një përparim aritmetik specifik mund të hetohet duke përdorur formula specifike. Ekziston gjithashtu një formulë për termin e nëntë: vlera e çdo anëtari të një progresioni aritmetik mund të përcaktohet si shuma e termit të parë të progresionit me ndryshimin e përparimit, shumëzuar me numrin e termit të dëshiruar, ulur me nje

Formula është universale si për rritjen ashtu edhe për zvogëlimin e progresit.

Një shembull i llogaritjes së vlerës së një anëtari të caktuar

Le të zgjidhim problemin e mëposhtëm për të gjetur vlerën e termit të nëntë të një progresioni aritmetik.

Gjendja: ekziston një përparim aritmetik me parametra:

Termi i parë në sekuencë është 3;

Dallimi në serinë e numrave është 1.2.

Detyrë: ju duhet të gjeni vlerën e 214 anëtarëve

Zgjidhja: për të përcaktuar vlerën e një termi të caktuar, ne përdorim formulën:

a (n) = a1 + d (n-1)

Duke zëvendësuar të dhënat nga deklarata e problemit në shprehjen, ne kemi:

a (214) = a1 + d (n-1)

a (214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Përgjigje: Termi 214 në sekuencë është 258.6.

Përparësitë e kësaj metode të llogaritjes janë të dukshme - e gjithë zgjidhja nuk merr më shumë se 2 rreshta.

Shuma e një numri të caktuar anëtarësh

Shumë shpesh, në një seri aritmetike të caktuar, kërkohet të përcaktohet shuma e vlerave të një segmenti të caktuar të tij. Kjo gjithashtu nuk kërkon llogaritjen e vlerave të secilit term dhe më pas përmbledhjen. Kjo metodë është e zbatueshme nëse numri i termave që duhen gjetur është i vogël. Në raste të tjera, është më e përshtatshme të përdorni formulën e mëposhtme.

Shuma e anëtarëve të përparimit aritmetik nga 1 në n është e barabartë me shumën e anëtarëve të parë dhe n, shumëzuar me numrin e anëtarit n dhe pjesëtuar me dy. Nëse në formulë vlera e termit të nëntë zëvendësohet me shprehjen nga paragrafi i mëparshëm i artikullit, marrim:

Shembull i llogaritjes

Për shembull, le të zgjidhim një problem me kushtet e mëposhtme:

Termi i parë në sekuencë është zero;

Diferenca është 0.5.

Në problem, ju duhet të përcaktoni shumën e anëtarëve të serisë nga 56 në 101.

Zgjidhja. Le të përdorim formulën për përcaktimin e shumës së përparimit:

s (n) = (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2

Së pari, ne përcaktojmë shumën e vlerave të 101 anëtarëve të progresit, duke zëvendësuar të dhënat e kushteve të tyre të problemit tonë në formulën:

s 101 = (2 ∙ 0 + 0.5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 = 2 525

Natyrisht, për të gjetur shumën e anëtarëve të përparimit nga 56 në 101, është e nevojshme të zbritet S 55 nga S 101.

s 55 = (2 ∙ 0 + 0.5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 = 742.5

Kështu, shuma e përparimit aritmetik për këtë shembull:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

Një shembull i zbatimit praktik të progresionit aritmetik

Në fund të artikullit, le të kthehemi në shembullin e sekuencës aritmetike të dhënë në paragrafin e parë - një taksimetër (njehsor i makinave taksi). Le të shqyrtojmë një shembull.

Hipja në një taksi (e cila përfshin 3 km vrapim) kushton 50 rubla. Çdo kilometër pasues paguhet në masën 22 rubla / km. Distanca e udhëtimit 30 km. Llogaritni koston e udhëtimit.

1. Le të hedhim 3 km e para, çmimi i të cilave përfshihet në çmimin e uljes.

30 - 3 = 27 km.

2. Llogaritja e mëtejshme nuk është asgjë më shumë se një analizë e një serie numrash aritmetike.

Numri i anëtarit - numri i kilometrave të udhëtuar (pa tre të parët).

Vlera e anëtarit është shuma.

Termi i parë në këtë problem do të jetë i barabartë me 1 = 50 p.

Diferenca në progresion d = 22 f.

numri për të cilin jemi të interesuar është vlera e termit (27 + 1) -th të progresionit aritmetik - leximi i numëruesit në fund të kilometrit të 27 -të është 27.999… = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Llogaritjet e të dhënave të kalendarit për një periudhë arbitrare të gjatë bazohen në formula që përshkruajnë sekuenca të caktuara numerike. Në astronomi, gjatësia e orbitës është gjeometrikisht e varur nga distanca e trupit qiellor në ndriçuesin. Përveç kësaj, seri të ndryshme numerike përdoren me sukses në statistika dhe degë të tjera të aplikuara të matematikës.

Një lloj tjetër i sekuencës së numrave është gjeometrik

Përparimi gjeometrik karakterizohet nga norma të mëdha ndryshimi, në krahasim me aritmetikën. Nuk është rastësi që në politikë, sociologji, mjekësi, ata shpesh thonë se procesi zhvillohet në mënyrë eksponenciale për të treguar shkallën e lartë të përhapjes së një fenomeni, për shembull, një sëmundje gjatë një epidemie.

Termi i nëntë i serisë numerike gjeometrike ndryshon nga ai i mëparshmi në atë që shumëzohet me një numër konstant - emëruesi, për shembull, termi i parë është 1, emëruesi është 2, respektivisht, atëherë:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - vlera e anëtarit aktual të progresionit gjeometrik;

b n + 1 - formula e termit tjetër të progresionit gjeometrik;

q është emëruesi i një progresioni gjeometrik (numër konstant).

Nëse grafiku i përparimit aritmetik është një vijë e drejtë, atëherë ai gjeometrik jep një pamje paksa të ndryshme:

Ashtu si në rastin e aritmetikës, një progresion gjeometrik ka një formulë për vlerën e një termi arbitrar. Çdo term i n-të i përparimit gjeometrik është i barabartë me produktin e termit të parë me emëruesin e përparimit në fuqinë e n, të zvogëluar me një:

Shembull. Kemi një progresion gjeometrik me termin e parë të barabartë me 3 dhe emëruesin e përparimit të barabartë me 1.5. Gjeni termin e 5 -të të përparimit

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

Shuma e një numri të caktuar anëtarësh llogaritet në të njëjtën mënyrë duke përdorur një formulë të veçantë. Shuma e termave të parë n të një progresioni gjeometrik është e barabartë me ndryshimin midis produktit të termit të nëntë të progresionit dhe emëruesit të tij dhe termit të parë të përparimit, të ndarë me emëruesin të zvogëluar me një:

Nëse b n zëvendësohet duke përdorur formulën e konsideruar më sipër, vlera e shumës së termave të parë n të serisë numerike të konsideruar do të marrë formën:

Shembull. Progresioni gjeometrik fillon me termin e parë të barabartë me 1. Emëruesi është i barabartë me 3. Gjeni shumën e tetë termave të parë.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Pra, le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:
Ju mund të shkruani çdo numër, dhe mund të ketë sa të doni (në rastin tonë, ata). Pavarësisht se sa numra shkruajmë, gjithmonë mund të themi se cili prej tyre është i pari, cili është i dyti, dhe kështu me radhë deri në të fundit, domethënë, mund t'i numërojmë. Ky është një shembull i një sekuence numrash:

Sekuenca e numrave
Për shembull, për sekuencën tonë:

Numri i caktuar është specifik për vetëm një numër në sekuencë. Me fjalë të tjera, nuk ka tre numra të dytë në sekuencë. Numri i dytë (si numri -th) është gjithmonë një.
Numri me numrin quhet anëtori i th i sekuencës.

Ne zakonisht e quajmë të gjithë rendin disa shkronja (për shembull,), dhe secili anëtar i kësaj sekuence është e njëjta shkronjë me një indeks të barabartë me numrin e këtij anëtari :.

Në rastin tonë:

Le të themi se kemi një sekuencë numerike në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë.
Për shembull:

etj
Kjo rend numrash quhet progresion aritmetik.
Termi "përparim" u prezantua nga autori romak Boethius në shekullin e 6 -të dhe u kuptua në një kuptim më të gjerë si një sekuencë numrash të pafund. Emri "aritmetikë" u bart nga teoria e përmasave të vazhdueshme, e cila u pushtua nga grekët e lashtë.

Kjo është një sekuencë numerike, secili anëtar i së cilës është i barabartë me atë të mëparshëm, shtuar në të njëjtin numër. Ky numër quhet diferenca e përparimit aritmetik dhe shënohet me.

Mundohuni të përcaktoni se cilat sekuenca numrash janë progresion aritmetik dhe cilat nuk janë:

a)
b)
c)
d)

Kuptohet? Le të krahasojmë përgjigjet tona:
Eshte nje progresioni aritmetik - b, c.
Nuk eshte progresioni aritmetik - a, d.

Le të kthehemi në përparimin e dhënë () dhe të përpiqemi të gjejmë vlerën e anëtarit të tij të th. Ekziston dy mënyra për ta gjetur.

1. Metoda

Ne mund t'i shtojmë vlerës së mëparshme numrin e progresionit derisa të arrijmë në termin e th të progresionit. Goodshtë mirë që nuk kemi shumë për të përmbledhur - vetëm tre vlera:

Pra, anëtari i th i progresionit aritmetik të përshkruar është i barabartë me.

2. Metoda

Po sikur të kishim nevojë të gjenim vlerën e termit të th në progresion? Përmbledhja do të na marrë më shumë se një orë, dhe nuk është fakt që nuk do të gabonim kur shtojmë numra.
Sigurisht, matematikanët kanë dalë me një mënyrë në të cilën ju nuk keni nevojë të shtoni ndryshimin e përparimit aritmetik në vlerën e mëparshme. Hidhini një vështrim më të afërt fotografisë së vizatuar ... Me siguri ju tashmë keni vënë re një model të caktuar, domethënë:

Për shembull, le të shohim se si shtohet vlera e anëtarit të th të këtij progresioni aritmetik:

Me fjale te tjera:

Mundohuni të gjeni vetë në këtë mënyrë vlerën e një anëtari të një progresioni të caktuar aritmetik.

Llogaritur? Krahasoni shënimet tuaja me përgjigjen:

Ju lutemi vini re se keni marrë saktësisht të njëjtin numër si në metodën e mëparshme, kur i shtuam me radhë anëtarët e përparimit aritmetik në vlerën e mëparshme.
Le të përpiqemi ta "depersonalizojmë" këtë formulë - ne do ta sjellim atë në formë të përgjithshme dhe do të marrim:

Ekuacioni progresiv aritmetik.

Përparimet aritmetike janë në rritje dhe nganjëherë në rënie.

Duke u ngjitur- progreset në të cilat çdo vlerë e mëvonshme e anëtarëve është më e madhe se ajo e mëparshmja.
Për shembull:

Në rënie- progreset në të cilat çdo vlerë e mëvonshme e anëtarëve është më e vogël se ajo e mëparshmja.
Për shembull:

Formula e nxjerrë përdoret në llogaritjen e termave si në terma në rritje ashtu edhe në rënie të një progresioni aritmetik.
Le ta kontrollojmë atë në praktikë.
Na jepet një progresion aritmetik i përbërë nga numrat e mëposhtëm: Le të kontrollojmë se cili numër i th i këtij progresioni aritmetik do të dalë nëse përdorim formulën tonë për ta llogaritur atë:

Që atëherë, atëherë:

Kështu, ne u siguruam që formula funksionon si në uljen ashtu edhe në rritjen e progresionit aritmetik.
Mundohuni të gjeni vetë kushtet e th dhe të këtij progresioni aritmetik.

Le të krahasojmë rezultatet e marra:

Vetia progresive aritmetike

Le ta ndërlikojmë detyrën - ne do të nxjerrim vetinë e përparimit aritmetik.
Le të themi se na është dhënë kushti i mëposhtëm:
- progresioni aritmetik, gjeni vlerën.
Lehtë, ju thoni dhe filloni të numëroni sipas formulës që tashmë e dini:

Le, a, atëherë:

Absolutisht e drejtë. Rezulton se ne së pari e gjejmë, pastaj e shtojmë në numrin e parë dhe marrim atë që po kërkojmë. Nëse përparimi përfaqësohet nga vlera të vogla, atëherë nuk ka asgjë të komplikuar në të, por nëse na jepen numra në gjendje? Pranojeni, ka një shans për të bërë një gabim në llogaritjet.
Tani mendoni, a është e mundur të zgjidhet ky problem në një veprim duke përdorur ndonjë formulë? Sigurisht, po, dhe është ajo që ne do të përpiqemi të tërhiqemi tani.

Le të shënojmë termin e kërkuar të përparimit aritmetik si, ne e dimë formulën për gjetjen e tij - kjo është e njëjta formulë që kemi nxjerrë në fillim:
, pastaj:

anëtari i mëparshëm i përparimit është:
anëtari tjetër i përparimit është:

Le të përmbledhim anëtarët e mëparshëm dhe të mëvonshëm të progresit:

Rezulton se shuma e anëtarëve të mëparshëm dhe të mëvonshëm të progresionit është vlera e dyfishuar e anëtarit të progresionit të vendosur midis tyre. Me fjalë të tjera, për të gjetur vlerën e një anëtari të përparimit me vlera të njohura të mëparshme dhe të njëpasnjëshme, është e nevojshme t'i shtoni ato dhe të ndani me.

That'sshtë e drejtë, kemi të njëjtin numër. Le të rregullojmë materialin. Llogaritni vlerën për progresin vetë, sepse nuk është aspak e vështirë.

Te lumte! Ju dini pothuajse gjithçka për përparimin! Mbetet vetëm një formulë për të mësuar, e cila, sipas legjendës, u konkludua lehtësisht për veten e tij nga një nga matematikanët më të mëdhenj të të gjitha kohërave, "mbreti i matematikanëve" - Karl Gauss ...

Kur Karl Gauss ishte 9 vjeç, një mësues i angazhuar në kontrollimin e punës së nxënësve në klasat e tjera bëri problemin e mëposhtëm në mësim: "Llogarit shumën e të gjithë numrave natyrorë nga deri në (sipas burimeve të tjera deri në) përfshirëse." Imagjinoni surprizën e mësuesit kur një nga studentët e tij (ishte Karl Gausi) i dha përgjigjen e saktë problemit në një minutë, ndërsa shumica e shokëve të klasës së guximtarit, pas llogaritjeve të gjata, morën rezultatin e gabuar ...

I riu Karl Gauss vuri re një model të caktuar që ju lehtë mund ta vini re.
Le të themi se kemi një progresion aritmetik të përbërë nga anëtarë -të: Duhet të gjejmë shumën e anëtarëve të dhënë të progresionit aritmetik. Sigurisht, ne mund të përmbledhim manualisht të gjitha vlerat, por çfarë nëse në detyrë është e nevojshme të gjesh shumën e anëtarëve të saj, siç kërkonte Gausi?

Le të përshkruajmë përparimin e dhënë. Shikoni nga afër numrat e theksuar dhe përpiquni të kryeni veprime të ndryshme matematikore me ta.

A e keni provuar? Çfarë keni vënë re? E drejtë! Shumat e tyre janë të barabarta

Tani më thuaj, sa çifte të tillë ka në progresionin e dhënë? Sigurisht, saktësisht gjysma e të gjithë numrave, domethënë.
Bazuar në faktin se shuma e dy anëtarëve të një progresioni aritmetik është e barabartë, dhe çifte të ngjashme të barabarta, marrim që shuma totale është:
.
Kështu, formula për shumën e termave të parë të çdo progresioni aritmetik do të jetë si më poshtë:

Në disa probleme, ne nuk e dimë termin th, por e dimë ndryshimin në progresion. Mundohuni të zëvendësoni në formulë shumën, formulën e termit të th.
Cfare bere?

Te lumte! Tani le t'i kthehemi problemit që iu dha Karl Gausit: llogaritni vetë sa është shuma e numrave që fillojnë nga -th, dhe shuma e numrave duke filluar nga -th.

Sa keni marrë?
Gauss zbuloi se shuma e anëtarëve është e barabartë, dhe shuma e anëtarëve. Kështu vendosët?

Në fakt, formula për shumën e anëtarëve të një progresi aritmetik u vërtetua nga shkencëtari i lashtë grek Diophantus në shekullin e 3 -të, dhe gjatë gjithë kësaj kohe, njerëzit e zgjuar po përdornin në maksimum vetitë e një përparimi aritmetik.
Për shembull, imagjinoni Egjiptin e Lashtë dhe kantierin më ambicioz të ndërtimit të asaj kohe - ndërtimin e piramidës ... Figura tregon njërën anë të saj.

Ku është përparimi këtu ju thoni? Shikoni nga afër dhe gjeni një model në numrin e blloqeve të rërës në secilën rresht të murit të piramidës.

A nuk është një përparim aritmetik? Llogaritni sa blloqe nevojiten për të ndërtuar një mur nëse tullat e bllokut vendosen në bazë. Shpresoj se nuk do të llogaritni duke kaluar gishtin nëpër monitor, a ju kujtohet formula e fundit dhe gjithçka që thamë në lidhje me përparimin aritmetik?

Në këtë rast, përparimi duket kështu :.
Dallimi i përparimit aritmetik.
Numri i anëtarëve të progresionit aritmetik.
Le t'i zëvendësojmë të dhënat tona në formulat e fundit (ne do të numërojmë numrin e blloqeve në 2 mënyra).

Metoda 1

Metoda 2

Dhe tani mund të llogaritni në monitor: krahasoni vlerat e marra me numrin e blloqeve që janë në piramidën tonë. A u bashkua? Bravo, ju keni zotëruar shumën e kushteve të përparimit aritmetik.
Sigurisht, ju nuk mund të ndërtoni një piramidë nga blloqet në bazë, por nga? Mundohuni të llogaritni sa tulla rëre nevojiten për të ndërtuar një mur me këtë gjendje.
Ia dolët?
Përgjigja e saktë është blloqet:

Stërvitje

Detyrat:

Masha po merr formë deri në verë. Çdo ditë ajo rrit numrin e mbledhjeve me. Sa herë do të bjerë Masha në javë, nëse në stërvitjen e parë ajo bëri mbledhje.
Sa është shuma e të gjithë numrave tek që përmbahen.
Kur ruani shkrimet, druvarët i grumbullojnë ato në mënyrë të tillë që secila shtresë e sipërme të përmbajë një regjistër më pak se ajo e mëparshmja. Sa shkrime janë në një muraturë, nëse shkrimet shërbejnë si bazë e muraturës.

Përgjigjet:

Le të përcaktojmë parametrat e përparimit aritmetik. Në këtë rast
(javë = ditë).
Pergjigje: Pas dy javësh, Masha duhet të mblidhet një herë në ditë.
Numri i parë tek, numri i fundit.
Dallimi i përparimit aritmetik.
Numri i numrave tek në është gjysma, megjithatë, ne do ta kontrollojmë këtë fakt duke përdorur formulën për gjetjen e termit -th të një progresioni aritmetik:
Numrat përmbajnë numra tek.
Zëvendësoni të dhënat e disponueshme në formulën:
Pergjigje: Shuma e të gjithë numrave tek që përmban është e barabartë me.
Le të kujtojmë problemin e piramidës. Për rastin tonë, a, meqenëse çdo shtresë e sipërme zvogëlohet me një regjistër, atëherë vetëm në një tufë shtresash, domethënë.
Le t'i zëvendësojmë të dhënat në formulën:
Pergjigje: Ka shkrime në muraturë.

Le të përmbledhim

- një sekuencë numerike në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë. Mund të jetë në rritje dhe në rënie.
Gjetja e formulës-anëtari i përparimit aritmetik shkruhet me formulën -, ku është numri i numrave në progresion.
Vetia e anëtarëve të një progresioni aritmetik- - ku është numri i numrave në progresion.
Shuma e anëtarëve të një progresioni aritmetik mund të gjendet në dy mënyra:

, ku është numri i vlerave.

PROGRESI ARITMETIK. NIVELI MESATAR

Sekuenca e numrave

Le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:

Mund të shkruani çdo numër, dhe mund të ketë sa të doni. Por gjithmonë mund të thuash cili është i pari, cili është i dyti, dhe kështu me radhë, domethënë, ne mund t'i numërojmë ato. Ky është një shembull i një sekuence numrash.

Sekuenca e numraveështë një grup numrash, secilit prej të cilëve mund t'i caktohet një numër unik.

Me fjalë të tjera, secili numër mund të shoqërohet me një numër të caktuar natyror, dhe të vetmin. Dhe ne nuk do t'ia caktojmë këtë numër asnjë numri tjetër nga ky grup.

Numri me numrin quhet anëtori i th i sekuencës.

Ne zakonisht e quajmë të gjithë rendin disa shkronja (për shembull,), dhe secili anëtar i kësaj sekuence është e njëjta shkronjë me një indeks të barabartë me numrin e këtij anëtari :.

Veryshtë shumë i përshtatshëm nëse termi i th i sekuencës mund të specifikohet me ndonjë formulë. Për shembull, formula

specifikon sekuencën:

Dhe formula është sekuenca e mëposhtme:

Për shembull, një progresion aritmetik është një sekuencë (termi i parë këtu është i barabartë, dhe ndryshimi). Ose (, ndryshimi).

Formula e termit të nëntë

Ne e quajmë një formulë të përsëritur në të cilën për të gjetur anëtarin e th, duhet të njihni atë të mëparshëm ose disa të mëparshëm:

Për të gjetur, për shembull, termin e th të progresionit duke përdorur një formulë të tillë, do të na duhet të llogarisim nëntën e mëparshme. Për shembull, le. Pastaj:

Epo, cila është formula tani?

Në secilën rresht që shtojmë, shumëzuar me ndonjë numër. Per cfare? Shumë e thjeshtë: ky është numri i anëtarit aktual minus:

Shumë më i përshtatshëm tani, apo jo? Ne kontrollojmë:

Vendosni për veten tuaj:

Në një progresion aritmetik, gjeni formulën për termin e nëntë dhe gjeni termin e qindtë.

Zgjidhja:

Termi i parë është i barabartë. Qfare eshte dallimi? Dhe ja çfarë:

(kjo ndodh sepse quhet diferenca, e cila është e barabartë me ndryshimin e anëtarëve të njëpasnjëshëm të progresionit).

Pra formula është:

Pastaj termi i njëqind është:

Sa është shuma e të gjithë numrave natyrorë nga në?

Sipas legjendës, matematikani i madh Karl Gauss, duke qenë një djalë 9-vjeçar, e llogariti këtë shumë në pak minuta. Ai vuri re se shuma e numrave të parë dhe të fundit është e barabartë, shuma e të dytit dhe e fundit por një është e njëjtë, shuma e të tretit dhe e treta nga fundi është e njëjtë, e kështu me radhë. Sa palë të tilla do të ketë? Kjo është e drejtë, saktësisht gjysma e numrit të të gjithë numrave, domethënë. Kështu që,

Formula e përgjithshme për shumën e termave të parë të çdo progresioni aritmetik do të ishte:

Shembull:
Gjeni shumën e të gjithë shumëfishave dyshifrorë.

Zgjidhja:

Numri i parë i tillë është. Çdo tjetër fitohet duke shtuar numrin e mëparshëm. Kështu, numrat që na interesojnë formojnë një progresion aritmetik me termin e parë dhe ndryshimin.

Formula e termit të dytë për këtë progres është:

Sa anëtarë janë në progres nëse të gjithë duhet të jenë dyshifrorë?

Shumë e lehtë: .

Termi i fundit në progresion do të jetë i barabartë. Pastaj shuma:

Përgjigje:.

Tani vendosni për veten tuaj:

Çdo ditë, atleti vrapon më shumë se një ditë më parë. Sa kilometra do të vrapojë në javë nëse vrapoi km m ditën e parë?
Një çiklist vozit më shumë kilometra çdo ditë sesa ai i mëparshmi. Ditën e parë, ai kaloi km. Sa ditë i duhen për të udhëtuar për të kaluar km? Sa kilometra do të udhëtojë ai në ditën e fundit të udhëtimit?
Çmimi i frigoriferit në një dyqan zvogëlohet me të njëjtën sasi çdo vit. Përcaktoni sa u ul çmimi i frigoriferit çdo vit, nëse, i nxjerrë në shitje për rubla, gjashtë vjet më vonë u shit për rubla.

Përgjigjet:

Gjëja më e rëndësishme këtu është të njohësh përparimin aritmetik dhe të përcaktosh parametrat e tij. Në këtë rast, (javë = ditë). Ju duhet të përcaktoni shumën e anëtarëve të parë të këtij përparimi:
.
Pergjigje:
Isshtë dhënë këtu :, është e nevojshme të gjendet.
Natyrisht, ju duhet të përdorni të njëjtën formulë shumash si në problemin e mëparshëm:
.
Zëvendësoni vlerat:
Rrënja padyshim që nuk përshtatet, kështu që përgjigjja është.
Le të llogarisim distancën e përshkuar për ditën e fundit duke përdorur formulën e termit th:
(km).
Pergjigje:
Duke pasur parasysh :. Gjej: .
Nuk mund të jetë më e lehtë:
(fshij)
Pergjigje:

PROGRESI ARITMETIK. SHKURTR PR KRYESIN

Kjo është një sekuencë numerike në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë.

Përparimi aritmetik mund të jetë në rritje () dhe në rënie ().

Për shembull:

Formula për gjetjen e termit n-të të një progresioni aritmetik

shkruar nga formula, ku është numri i numrave në progresion.

Vetia e anëtarëve të një progresioni aritmetik

Kjo ju lejon të gjeni lehtësisht një anëtar të progresionit nëse anëtarët e tij fqinjë janë të njohur - ku është numri i numrave në progresion.

Shuma e anëtarëve të një progresioni aritmetik

Ka dy mënyra për të gjetur shumën:

Ku është numri i vlerave.

2/3 ARTIKUJT E MBAJTS JAN AV TA DISPOZITUAR VETLM P STR NXUDNSIT E JUCLEVER!

Bëhuni një student i YouClever,

Përgatituni për PERDORIM ose PERDORIM në matematikë me çmimin e "një filxhan kafe në muaj",

Dhe gjithashtu merrni qasje të pakufizuar në librin shkollor "YouClever", programin e trajnimit "100gia" (reshebnik), një përdorim të pakufizuar USE dhe OGE, 6000 probleme me analizën e zgjidhjeve dhe shërbimeve të tjera YouClever dhe 100gia.

Shuma e një progresioni aritmetik.

Shuma e një përparimi aritmetik është një gjë e thjeshtë. Si në kuptim ashtu edhe në formulë. Por ka të gjitha llojet e detyrave në këtë temë. Nga elementare në mjaft solide.

Së pari, le të kuptojmë kuptimin dhe formulën për shumën. Dhe pastaj do ta rregullojmë. Për kënaqësinë tuaj.) Kuptimi i shumës është i thjeshtë, si një gumëzhitje. Për të gjetur shumën e një progresioni aritmetik, thjesht duhet të shtoni me kujdes të gjithë anëtarët e tij. Nëse këto kushte janë të pakta, mund të shtoni pa asnjë formulë. Por nëse ka shumë, ose shumë ... shtimi është i bezdisshëm.) Në këtë rast, formula kursen.

Formula e shumës duket e thjeshtë:

Le të kuptojmë se cilat shkronja përfshihen në formulë. Kjo do të sqarojë shumë.

S n - shuma e progresionit aritmetik. Rezultati i shtimit nga te gjitha anëtarët me e para më e funditËshtë e rëndësishme. Shtoni saktësisht te gjitha anëtarët në një rresht, pa boshllëqe dhe kërcime. Dhe, domethënë, duke filluar me e para. Në detyra të tilla si gjetja e shumës së termave të tretë dhe të tetë, ose shumës së termave të pestë deri në të njëzetë, zbatimi i drejtpërdrejtë i formulës do të jetë zhgënjyes.)

a 1 - e para anëtar i progresionit. Gjithçka është e qartë këtu, është e thjeshtë e para numri i rreshtit.

a n- e fundit anëtar i progresionit. Numri i fundit i rreshtit. Jo një emër shumë i njohur, por, kur aplikohet në sasi, madje është shumë i përshtatshëm. Atëherë do ta shihni vetë.

n - numri i anëtarit të fundit. Importantshtë e rëndësishme të kuptohet se në formulë ky numër përkon me numrin e anëtarëve të shtuar.

Le të përcaktojmë konceptin e fundit anëtar a n... Pyetja e plotësimit: cili anëtar do të jetë e fundit nëse jepet pafund progresion aritmetik?)

Për një përgjigje të sigurt, duhet të kuptoni kuptimin elementar të përparimit aritmetik dhe ... lexoni me kujdes detyrën!)

Në detyrën për të gjetur shumën e një përparimi aritmetik, termi i fundit shfaqet gjithmonë (drejtpërdrejt ose indirekt), të cilat duhet të kufizohen. Përndryshe, shuma përfundimtare, specifike thjesht nuk ekziston. Për zgjidhjen, nuk është e rëndësishme se cili progres është vendosur: i fundëm apo i pafund. Nuk ka rëndësi se si është vendosur: nga një numër numrash, ose nga formula e termit n-të.

Gjëja më e rëndësishme është të kuptoni se formula funksionon nga afati i parë i përparimit në numrin c. n Në fakt, emri i plotë i formulës duket kështu: shuma e termave të parë n të një progresioni aritmetik. Numri i këtyre anëtarëve të parë, d.m.th. n, përcaktohet ekskluzivisht nga detyra. Në detyrë, i gjithë ky informacion i vlefshëm shpesh është i koduar, po ... Por asgjë, në shembujt më poshtë do t'i zbulojmë këto sekrete.)

Shembuj të detyrave për shumën e një progresioni aritmetik.

Para së gjithash, disa informacione të dobishme:

Vështirësia kryesore në detyrat për shumën e një përparimi aritmetik qëndron në përcaktimin e saktë të elementeve të formulës.

Autorët e detyrave i kodojnë këto elemente me imagjinatë të pakufishme.) Gjëja kryesore këtu nuk është të kesh frikë. Duke kuptuar thelbin e elementeve, mjafton thjesht t'i deshifroni ato. Le të hedhim një vështrim më të afërt në disa shembuj. Le të fillojmë me një detyrë të bazuar në një GIA të vërtetë.

1. Një progresion aritmetik përcaktohet nga kushti: a n = 2n-3.5. Gjeni shumën e 10 anëtarëve të parë të tij.

Detyrë e mirë. Lehtë.) Çfarë duhet të dimë për të përcaktuar sasinë sipas formulës? Termi i parë a 1, termi i fundit a n, po numri i anëtarit të fundit n

Ku të merrni numrin e anëtarit të fundit n? Po atje, në gjendje! Aty thuhet: gjeni shumën 10 anëtarët e parë. Epo, cili numër do të jetë e fundit, anëtari i dhjetë?) Nuk do të besoni, numri i tij është i dhjeti!) Pra, në vend të a n në formulën që do të zëvendësojmë një 10 dhe në vend të n- dhjetë. Përsëri, numri i anëtarit të fundit është i njëjtë me numrin e anëtarëve.

Mbetet për të përcaktuar a 1 dhe një 10... Kjo llogaritet lehtë me formulën e termit të nëntë, e cila jepet në deklaratën e problemit. Nuk jeni të sigurt se si ta bëni këtë? Vizitoni mësimin e mëparshëm, pa të - asgjë.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

një 10= 210 - 3.5 = 16.5

S n = S 10.

Ne zbuluam kuptimin e të gjithë elementëve të formulës për shumën e një progresioni aritmetik. Mbetet për t'i zëvendësuar ato dhe numëruar:

Kjo është gjithçka që ka për të. Përgjigje: 75.

Një detyrë tjetër e bazuar në GIA. Pak më e komplikuar:

2. Ju jepet një progresion aritmetik (a n), ndryshimi i të cilit është 3.7; a 1 = 2.3. Gjeni shumën e 15 anëtarëve të parë të tij.

Ne menjëherë shkruajmë formulën për shumën:

Kjo formulë na lejon të gjejmë vlerën e çdo anëtari sipas numrit të tij. Ne po kërkojmë një zëvendësim të thjeshtë:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

Mbetet për të zëvendësuar të gjithë elementët në formulë për shumën e përparimit aritmetik dhe për të llogaritur përgjigjen:

Përgjigje: 423.

Nga rruga, nëse në formulë shuma në vend të a n thjesht zëvendësoni formulën për termin e nëntë, marrim:

Ne japim të ngjashme, marrim një formulë të re për shumën e anëtarëve të një progresioni aritmetik:

Siç mund ta shihni, termi i nëntë nuk kërkohet këtu. a n... Në disa detyra, kjo formulë ndihmon shumë, po ... Ju mund ta mbani mend këtë formulë. Ose thjesht mund ta shfaqni në kohën e duhur, si këtu. Në fund të fundit, formula për shumën dhe formulën për termin e nëntë duhet të mbahen mend në çdo mënyrë.)

Tani detyra është në formën e një kriptimi të shkurtër):

3. Gjeni shumën e të gjithë numrave dyshifrorë pozitivë që janë shumëfishë të treve.

Si! As anëtari i parë, as i fundit, as progresi fare ... Si të jetosh!?

Ju duhet të mendoni me kokën tuaj dhe të tërhiqni të gjithë elementët e shumës së përparimit aritmetik nga gjendja. Ne e dimë se çfarë janë numrat dyshifrorë. Ato përbëhen nga dy shifra.) Cili numër dyshifror do të jetë e para? 10, mendoj.) gjëja e fundit numër dyshifror? 99, natyrisht! Tre-shifrorët do ta ndjekin atë ...

Shumëfishat e tre ... Hm ... Këta janë numra që pjesëtohen me tre krejt, këtu! Dhjetë nuk ndahet me tre, 11 nuk ndahet ... 12 ... është i ndashëm! Pra, diçka afrohet. Tashmë është e mundur të shkruani një seri sipas gjendjes së problemit:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

A do të jetë kjo seri një përparim aritmetik? Sigurisht! Secili anëtar ndryshon rreptësisht nga ai i mëparshmi me tre. Nëse i shtojmë 2 ose 4 termit, të themi, rezultati, d.m.th. numri i ri nuk do të ndahet më plotësisht me 3. Në grumbull, mund të përcaktoni menjëherë ndryshimin e përparimit aritmetik: d = 3. Do të jetë e dobishme!)

Pra, mund të shkruani me siguri disa parametra të përparimit:

Dhe cili do të jetë numri n anetari i fundit? Çdokush që mendon se 99 gabon fatalisht ... Numrat - ata gjithmonë shkojnë me radhë, dhe anëtarët tanë hidhen mbi tre të parët. Ato nuk përputhen.

Ka dy mënyra për ta zgjidhur atë. Një mënyrë është për super punëtorët. Ju mund të pikturoni përparimin, të gjithë serinë e numrave dhe të numëroni numrin e anëtarëve me gishtin tuaj.) Mënyra e dytë është për ata që mendojnë. Ne duhet të kujtojmë formulën për termin e nëntë. Nëse zbatojmë formulën në problemin tonë, marrim që 99 është afati i tridhjetë i progresionit. Ato n = 30.

Ne shikojmë formulën për shumën e një progresioni aritmetik:

Ne shikojmë dhe jemi të lumtur.) Ne nxorëm gjithçka të nevojshme për të llogaritur shumën nga deklarata e problemit:

a 1= 12.

një 30= 99.

S n = S 30.

Mbetjet aritmetike elementare. Ne zëvendësojmë numrat në formulë dhe numërojmë:

Përgjigje: 1665

Një lloj tjetër i enigmave të njohura:

4. Jepet një progresion aritmetik:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Gjeni shumën e anëtarëve nga njëzet në tridhjetë e katërt.

Ne shikojmë formulën për shumën dhe ... shqetësohemi.) Formula, më lejoni t'ju kujtoj, llogarit shumën nga e para anëtar. Dhe në problem ju duhet të llogaritni shumën nga e njëzeta ... Formula nuk do të funksionojë.

Ju, natyrisht, mund të pikturoni të gjithë përparimin me radhë dhe të shtoni anëtarë nga 20 në 34. Por ... është disi budalla dhe kërkon shumë kohë, apo jo?)

Ekziston një zgjidhje më elegante. Le ta ndajmë rreshtin tonë në dy pjesë. Pjesa e parë do të jetë nga anëtari i parë deri në nëntëmbëdhjetë. Pjesa e dytë - nga njëzet në tridhjetë e katërt. Shtë e qartë se nëse llogarisim shumën e anëtarëve të pjesës së parë S 1-19, po shtojmë me shumën e kushteve të pjesës së dytë S 20-34, marrim shumën e përparimit nga termi i parë në tridhjetë e katërt S 1-34... Si kjo:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Kjo tregon se për të gjetur shumën S 20-34 mund të jetë zbritje e thjeshtë

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Të dy shumat në anën e djathtë merren parasysh nga e para anëtar, d.m.th. formula e shumës standarde është mjaft e zbatueshme për ta. Fillimi?

Ne nxjerrim parametrat e përparimit nga deklarata e problemit:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

Për të llogaritur shumat e 19 anëtarëve të parë dhe 34 anëtarëve të parë, do të na duhen anëtarët e 19 -të dhe të 34 -të. Ne i numërojmë ato sipas formulës së termit të nëntë, si në problemin 2:

një 19= -21.5 + (19-1) 1.5 = 5.5

një 34= -21.5 + (34-1) 1.5 = 28

Nuk ka mbetur asgjë. Zbrit 19 anëtarë nga gjithsej 34 anëtarë:

S 20-34 = S 1-34-S 1-19 = 110.5-(-152) = 262.5

Përgjigje: 262.5

Një shënim i rëndësishëm! Ekziston një truk shumë i dobishëm në zgjidhjen e këtij problemi. Në vend të zgjidhjes direkte atë që ju nevojitet (S 20-34), ne numëruam ajo që, me sa duket, nuk është e nevojshme - S 1-19. Dhe pastaj ata vendosën dhe S 20-34, duke hedhur poshtë të panevojshmen nga rezultati i plotë. Ky "truk me veshë" shpesh kursen në detyrat e liga.)

Në këtë mësim, ne shqyrtuam problemet, për zgjidhjen e të cilave mjafton të kuptojmë kuptimin e shumës së një progresioni aritmetik. Epo, duhet të njihni disa formula.)

Këshilla praktike:

Kur zgjidh ndonjë problem për shumën e një përparimi aritmetik, unë rekomandoj të shkruani menjëherë dy formula kryesore nga kjo temë.

Formula e termit të nëntë:

Këto formula do t'ju tregojnë menjëherë se çfarë të kërkoni, në cilin drejtim të mendoni për të zgjidhur problemin. Te ndihmon.

Dhe tani detyrat për një zgjidhje të pavarur.

5. Gjeni shumën e të gjithë numrave dyshifrorë që nuk ndahen me tre.

Ftohtë?) Këshilla fshihet në shënimin e detyrës 4. Epo, detyra 3 do të ndihmojë.

6. Përparimi aritmetik specifikohet me kushtin: a 1 = -5.5; a n + 1 = a n +0.5. Gjeni shumën e 24 anëtarëve të parë.

E pazakontë?) Kjo është një formulë e përsëritur. Ju mund të lexoni në lidhje me të në mësimin e mëparshëm. Mos e injoroni lidhjen, detyra të tilla shpesh gjenden në GIA.

7. Vasya ka kursyer para për Festën. Deri në 4550 rubla! Dhe vendosa t'i jap personit tim më të dashur (vetes) disa ditë lumturi). Të jetosh bukur, pa i mohuar vetes asgjë. Shpenzoni 500 rubla ditën e parë dhe shpenzoni 50 rubla më shumë çdo ditë pasuese sesa ditën e mëparshme! Derisa të mbarojë furnizimi me para. Sa ditë lumturi mori Vasya?

Vështirë?) Një formulë shtesë nga problemi 2 do të ndihmojë.

Përgjigjet (në rrëmujë): 7, 3240, 6.