Zgjidhja gojore e ekuacioneve kuadratike dhe teorema e Vietës. Teorema e Vietës për ekuacionet kuadratike dhe ekuacione të tjera Zbatimi i teoremës së Vietës

Në këtë leksion do të njihemi me marrëdhëniet kurioze midis rrënjëve të një ekuacioni kuadratik dhe koeficientëve të tij. Këto marrëdhënie u zbuluan për herë të parë nga matematikani francez Francois Viet (1540-1603).

Për shembull, për ekuacionin Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0, pa gjetur rrënjët e tij, mundeni, duke përdorur teoremën Vieta, të thoni menjëherë se shuma e rrënjëve është , dhe produkti i rrënjëve është
dmth - 2. Dhe për ekuacionin x 2 - 6x + 8 \u003d 0 konkludojmë: shuma e rrënjëve është 6, produkti i rrënjëve është 8; meqë ra fjala, nuk është e vështirë të merret me mend se me çfarë rrënjët janë të barabarta: 4 dhe 2.
Vërtetimi i teoremës së Vietës. Rrënjët x 1 dhe x 2 të ekuacionit kuadratik ax 2 + bx + c \u003d 0 gjenden me formula

Ku D \u003d b 2 - 4ac është diskriminuesi i ekuacionit. Duke hedhur këto rrënjë
marrim

Tani llogarisim prodhimin e rrënjëve x 1 dhe x 2 Ne kemi

Lidhja e dytë vërtetohet:
Koment. Teorema e Vieta vlen edhe në rastin kur ekuacioni kuadratik ka një rrënjë (d.m.th., kur D \u003d 0), thjesht në këtë rast konsiderohet se ekuacioni ka dy rrënjë identike, për të cilat zbatohen marrëdhëniet e mësipërme.
Marrëdhëniet e vërtetuara për ekuacionin kuadratik të reduktuar x 2 + px + q \u003d 0 marrin një formë veçanërisht të thjeshtë. Në këtë rast, marrim:

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
ato. shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të dhënë është e barabartë me koeficientin e dytë, marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë.
Duke përdorur teoremën Vieta, mund të merren edhe marrëdhënie të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve të një ekuacioni kuadratik. Le të jenë, për shembull, x 1 dhe x 2 rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 + px + q = 0. Pastaj

Megjithatë, qëllimi kryesor i teoremës së Vietës nuk është se ajo shpreh marrëdhënie të caktuara midis rrënjëve dhe koeficientëve të një ekuacioni kuadratik. Shumë më i rëndësishëm është fakti se me ndihmën e teoremës së Vietës, nxirret një formulë për faktorizimin e një trinomi katror, ​​pa të cilën nuk do të bëjmë në të ardhmen.

Dëshmi. Ne kemi

Shembulli 1. Faktorizoni trinomin katror 3x 2 - 10x + 3.
Zgjidhje. Pasi kemi zgjidhur ekuacionin Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0, gjejmë rrënjët e trinomit katror Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Duke përdorur teoremën 2, marrim

Në vend të kësaj ka kuptim të shkruhet Zx - 1. Më në fund marrim Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Vini re se trinomi katror i dhënë mund të faktorizohet pa përdorur Teoremën 2, duke përdorur metodën e grupimit:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).

Por, siç e shihni, me këtë metodë suksesi varet nëse mund të gjejmë një grupim të suksesshëm apo jo, ndërsa me metodën e parë suksesi është i garantuar.
Shembulli 1. Zvogëloni fraksionin

Zgjidhje. Nga ekuacioni 2x 2 + 5x + 2 = 0 gjejmë x 1 = - 2,

Nga ekuacioni x2 - 4x - 12 = 0 gjejmë x 1 = 6, x 2 = -2. Kjo është arsyeja pse
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Tani le të zvogëlojmë thyesën e dhënë:

Shembulli 3. Faktorizoni shprehjet:
a) x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Zgjidhje a) Prezantojmë një ndryshore të re y = x 2 . Kjo do të na lejojë të rishkruajmë shprehjen e dhënë në formën e një trinomi katror në lidhje me ndryshoren y, përkatësisht, në formën y 2 + bу + 6.
Pasi kemi zgjidhur ekuacionin y 2 + me + 6 \u003d 0, gjejmë rrënjët e trinomit katror y 2 + 5y + 6: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Tani ne përdorim Teoremën 2; marrim

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Mbetet të kujtojmë se y \u003d x 2, d.m.th., kthehu te shprehja e dhënë. Kështu që,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Le të prezantojmë një ndryshore të re y = . Kjo do t'ju lejojë të rishkruani shprehjen e dhënë në formën e një trinomi katror në lidhje me ndryshoren y, përkatësisht, në formën 2y 2 + y - 3. Pasi të keni zgjidhur ekuacionin
2y 2 + y - 3 \u003d 0, gjejmë rrënjët e trinomit katror 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Më tej, duke përdorur teoremën 2, marrim:

Mbetet të kujtojmë se y \u003d, d.m.th., kthehu te shprehja e dhënë. Kështu që,

Seksioni përfundon me disa konsiderata, të lidhura përsëri me teoremën Vieta, ose më mirë, me pohimin e kundërt:
nëse numrat x 1, x 2 janë të tillë që x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, atëherë këta numra janë rrënjët e ekuacionit
Duke përdorur këtë deklaratë, ju mund të zgjidhni gojarisht shumë ekuacione kuadratike, pa përdorur formula të rënda rrënjësore, dhe gjithashtu të hartoni ekuacione kuadratike me rrënjë të dhëna. Le të japim shembuj.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Këtu x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Është e lehtë të merret me mend se x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Këtu x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Është e lehtë të merret me mend se x 1 = -5, x 2 = -6.
Ju lutemi vini re: nëse termi i lirë i ekuacionit është një numër pozitiv, atëherë të dy rrënjët janë ose pozitive ose negative; Kjo është e rëndësishme të merret parasysh kur zgjidhni rrënjët.

3) x 2 + x - 12 = 0. Këtu x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Është e lehtë të merret me mend se x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4.
Ju lutemi vini re: nëse termi i lirë i ekuacionit është një numër negativ, atëherë rrënjët janë të ndryshme në shenjë; Kjo është e rëndësishme të merret parasysh kur zgjidhni rrënjët.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Është e lehtë të shihet se x = 1 plotëson ekuacionin, d.m.th. x 1 \u003d 1 - rrënja e ekuacionit. Meqenëse x 1 x 2 \u003d -, dhe x 1 \u003d 1, marrim se x 2 \u003d -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Këtu x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Nëse i kushtoni vëmendje faktit që 2830 = 283. 10, dhe 293 \u003d 283 + 10, atëherë bëhet e qartë se x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (tani imagjinoni se çfarë llogaritje do të duhej të kryheshin për të zgjidhur këtë ekuacion kuadratik duke përdorur formula standarde).

6) Le të hartojmë një ekuacion kuadratik në mënyrë që si rrënjë të shërbejnë numrat x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4. Zakonisht në raste të tilla ata përbëjnë ekuacionin kuadratik të reduktuar x 2 + px + q \u003d 0.
Ne kemi x 1 + x 2 \u003d -p, prandaj 8 - 4 \u003d -p, domethënë p \u003d -4. Më tej, x 1 x 2 = q, d.m.th. 8"(-4) = q, prej nga marrim q = -32. Pra, p \u003d -4, q \u003d -32, që do të thotë se ekuacioni i dëshiruar kuadratik ka formën x 2 -4x-32 \u003d 0.

Çdo ekuacion i plotë kuadratik ax2 + bx + c = 0 mund të sillen në mendje x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, nëse fillimisht pjesëtojmë çdo term me koeficientin a përpara x2. Dhe nëse prezantojmë shënimin e ri (b/a) = p dhe (c/a) = q, atëherë do të kemi ekuacionin x 2 + px + q = 0, që në matematikë quhet ekuacioni kuadratik i reduktuar.

Rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar dhe koeficientët fq dhe q të ndërlidhura. Është konfirmuar Teorema e Vietës, i quajtur sipas matematikanit francez Francois Vieta, i cili jetoi në fund të shekullit të 16-të.

Teorema. Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 + px + q = 0 e barabartë me koeficientin e dytë fq, marrë me shenjën e kundërt, dhe produkti i rrënjëve - në termin e lirë q.

Ne i shkruajmë këto raporte në formën e mëposhtme:

Le x 1 dhe x2 rrënjë të ndryshme të ekuacionit të reduktuar x 2 + px + q = 0. Sipas teoremës së Vietës x1 + x2 = -p dhe x 1 x 2 = q.

Për ta vërtetuar këtë, le të zëvendësojmë secilën prej rrënjëve x 1 dhe x 2 në ekuacion. Ne marrim dy barazi të vërteta:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Zbrisni të dytën nga barazia e parë. Ne marrim:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Dy termat e parë i zgjerojmë sipas formulës së ndryshimit të katrorëve:

(x 1 - x 2) (x 1 - x 2) + p (x 1 - x 2) = 0

Sipas kushteve, rrënjët x 1 dhe x 2 janë të ndryshme. Prandaj, mund ta zvogëlojmë barazinë me (x 1 - x 2) ≠ 0 dhe të shprehim p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Barazia e parë vërtetohet.

Për të vërtetuar barazinë e dytë, ne e zëvendësojmë me ekuacionin e parë

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 në vend të koeficientit p, numri i tij i barabartë është (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

Duke transformuar anën e majtë të ekuacionit, marrim:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, që duhej vërtetuar.

Teorema e Vieta është e mirë sepse, edhe pa i ditur rrënjët e ekuacionit kuadratik, ne mund të llogarisim shumën dhe prodhimin e tyre .

Teorema e Vietës ndihmon në përcaktimin e rrënjëve të numrave të plotë të ekuacionit të dhënë kuadratik. Por për shumë studentë, kjo shkakton vështirësi për faktin se ata nuk njohin një algoritëm të qartë veprimi, veçanërisht nëse rrënjët e ekuacionit kanë shenja të ndryshme.

Pra, ekuacioni i dhënë kuadratik ka formën x 2 + px + q \u003d 0, ku x 1 dhe x 2 janë rrënjët e tij. Sipas teoremës Vieta x 1 + x 2 = -p dhe x 1 x 2 = q.

Mund të nxjerrim përfundimin e mëposhtëm.

Nëse në ekuacion termit të fundit i paraprin një shenjë minus, atëherë rrënjët x 1 dhe x 2 kanë shenja të ndryshme. Përveç kësaj, shenja e rrënjës më të vogël është e njëjtë me shenjën e koeficientit të dytë në ekuacion.

Bazuar në faktin se kur mblidhni numra me shenja të ndryshme, modulet e tyre zbriten dhe shenja e numrit më të madh në modul vendoset para rezultatit, duhet të veproni si më poshtë:

1. të përcaktojë faktorë të tillë të numrit q në mënyrë që diferenca e tyre të jetë e barabartë me numrin p;
2. vendos shenjën e koeficientit të dytë të ekuacionit përpara më të voglit nga numrat e fituar; rrënja e dytë do të ketë shenjën e kundërt.

Le të shohim disa shembuj.

Shembulli 1.

Zgjidheni ekuacionin x 2 - 2x - 15 = 0.

Zgjidhje.

Le të përpiqemi ta zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur rregullat e propozuara më sipër. Atëherë mund të themi me siguri se ky ekuacion do të ketë dy rrënjë të ndryshme, sepse D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

Tani, nga të gjithë faktorët e numrit 15 (1 dhe 15, 3 dhe 5), zgjedhim ata, ndryshimi i të cilëve është i barabartë me 2. Këta do të jenë numrat 3 dhe 5. Vendosim një shenjë minus përpara numrit më të vogël. , d.m.th. shenja e koeficientit të dytë të ekuacionit. Kështu, marrim rrënjët e ekuacionit x 1 \u003d -3 dhe x 2 \u003d 5.

Përgjigju. x 1 = -3 dhe x 2 = 5.

Shembulli 2.

Zgjidheni ekuacionin x 2 + 5x - 6 = 0.

Zgjidhje.

Le të kontrollojmë nëse ky ekuacion ka rrënjë. Për ta bërë këtë, gjejmë diskriminuesin:

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme.

Faktorët e mundshëm të numrit 6 janë 2 dhe 3, 6 dhe 1. Ndryshimi është 5 për një çift 6 dhe 1. Në këtë shembull, koeficienti i termit të dytë ka një shenjë plus, kështu që numri më i vogël do të ketë e njëjta shenjë. Por para numrit të dytë do të ketë një shenjë minus.

Përgjigje: x 1 = -6 dhe x 2 = 1.

Teorema e Vietës mund të shkruhet edhe për një ekuacion të plotë kuadratik. Pra, nëse ekuacioni kuadratik ax2 + bx + c = 0 ka rrënjë x 1 dhe x 2 , atëherë ato plotësojnë barazitë

x 1 + x 2 = -(b/a) dhe x 1 x 2 = (c/a). Megjithatë, zbatimi i kësaj teoreme në ekuacionin e plotë kuadratik është mjaft problematik, pasi nëse ka rrënjë, të paktën njëra prej tyre është numër thyesor. Dhe puna me përzgjedhjen e fraksioneve është mjaft e vështirë. Por ende ka një rrugëdalje.

Shqyrtoni ekuacionin e plotë kuadratik ax 2 + bx + c = 0. Shumëzoni anën e majtë dhe të djathtë të tij me koeficientin a. Ekuacioni do të marrë formën (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Tani le të prezantojmë një ndryshore të re, për shembull t = ax.

Në këtë rast, ekuacioni që rezulton do të kthehet në një ekuacion kuadratik të reduktuar të formës t 2 + bt + ac = 0, rrënjët e të cilit t 1 dhe t 2 (nëse ka) mund të përcaktohen nga teorema Vieta.

Në këtë rast, rrënjët e ekuacionit kuadratik origjinal do të jenë

x 1 = (t 1 / a) dhe x 2 = (t 2 / a).

Shembulli 3.

Zgjidheni ekuacionin 15x 2 - 11x + 2 = 0.

Zgjidhje.

Ne bëjmë një ekuacion ndihmës. Le të shumëzojmë çdo term të ekuacionit me 15:

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.

Bëjmë ndryshimin t = 15x. Ne kemi:

t 2 - 11t + 30 = 0.

Sipas teoremës Vieta, rrënjët e këtij ekuacioni do të jenë t 1 = 5 dhe t 2 = 6.

Ne kthehemi në zëvendësimin t = 15x:

5 = 15x ose 6 = 15x. Kështu x 1 = 5/15 dhe x 2 = 6/15. Zvogëlojmë dhe marrim përgjigjen përfundimtare: x 1 = 1/3 dhe x 2 = 2/5.

Përgjigju. x 1 = 1/3 dhe x 2 = 2/5.

Për të zotëruar zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike duke përdorur teoremën Vieta, nxënësit duhet të praktikojnë sa më shumë që të jetë e mundur. Ky është pikërisht sekreti i suksesit.

faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

Ndërmjet rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacionit kuadratik, përveç formulave të rrënjës, ekzistojnë edhe marrëdhënie të tjera të dobishme që jepen nga Teorema e Vietës. Në këtë artikull, ne do të japim një formulim dhe vërtetim të teoremës së Vietës për një ekuacion kuadratik. Më pas, ne konsiderojmë një teoremë të kundërt me teoremën e Vieta-s. Pas kësaj do të analizojmë zgjidhjet e shembujve më karakteristikë. Së fundi, ne shkruajmë formulat Vieta që përcaktojnë lidhjen midis rrënjëve reale ekuacioni algjebrik shkalla n dhe koeficientët e saj.

Navigimi i faqes.

Teorema e Vietës, formulimi, prova

Nga formulat e rrënjëve të ekuacionit kuadratik a x 2 +b x+c=0 të formës , ku D=b 2 −4 a c , marrëdhëniet x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Këto rezultate janë konfirmuar Teorema e Vietës:

Teorema.

Nese nje x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik a x 2 +b x+c=0, atëherë shuma e rrënjëve është e barabartë me raportin e koeficientëve b dhe a, të marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjët janë të barabarta me raportin e koeficientëve c dhe a, pra .

Dëshmi.

Teoremën e Vieta-s do ta vërtetojmë sipas skemës së mëposhtme: do të përpilojmë shumën dhe produktin e rrënjëve të ekuacionit kuadratik duke përdorur formulat e njohura të rrënjës, pastaj do të transformojmë shprehjet që rezultojnë dhe do të sigurohemi që ato të jenë të barabarta me -b /a dhe c/a, përkatësisht.

Le të fillojmë me shumën e rrënjëve, ta kompozojmë atë. Tani i sjellim thyesat në një emërues të përbashkët, kemi. Në numëruesin e thyesës që rezulton , pas së cilës : . Më në fund, pas 2, marrim . Kjo vërteton lidhjen e parë të teoremës së Vietës për shumën e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik. Le të kalojmë tek e dyta.

Përbëjmë prodhimin e rrënjëve të ekuacionit kuadratik:. Sipas rregullit të shumëzimit të thyesave, prodhimi i fundit mund të shkruhet si. Tani ne e shumëzojmë kllapin me kllapin në numërues, por është më e shpejtë të shembet ky produkt me formula e dallimit të katrorëve, Kështu që . Pastaj, duke kujtuar , ne kryejmë tranzicionin tjetër. Dhe meqenëse formula D=b 2 −4 a·c korrespondon me diskriminuesin e ekuacionit kuadratik, atëherë b 2 −4·a·c mund të zëvendësohet në thyesën e fundit në vend të D, marrim . Pas hapjes së kllapave dhe zvogëlimit të termave të ngjashëm, arrijmë në thyesën , dhe reduktimi i saj me 4·a jep . Kjo dëshmon lidhjen e dytë të teoremës së Vietës për prodhimin e rrënjëve.

Nëse i lëmë shpjegimet, atëherë vërtetimi i teoremës Vieta do të marrë një formë koncize:
,
.

Mbetet vetëm të theksohet se kur diskriminuesi është i barabartë me zero, ekuacioni kuadratik ka një rrënjë. Megjithatë, nëse supozojmë se ekuacioni në këtë rast ka dy rrënjë identike, atëherë barazimet nga teorema e Vietas gjithashtu vlejnë. Në të vërtetë, për D=0 rrënja e ekuacionit kuadratik është , atëherë dhe , dhe meqë D=0 , pra, b 2 −4·a·c=0 , prej nga b 2 =4·a·c , atëherë .

Në praktikë, teorema e Vietës përdoret më shpesh në lidhje me ekuacionin kuadratik të reduktuar (me koeficientin më të lartë a të barabartë me 1 ) të formës x 2 +p·x+q=0 . Ndonjëherë formulohet vetëm për ekuacione kuadratike të këtij lloji, gjë që nuk e kufizon përgjithësinë, pasi çdo ekuacion kuadratik mund të zëvendësohet nga një ekuacion ekuivalent duke i ndarë të dy pjesët e tij me një numër jo zero a. Këtu është formulimi përkatës i teoremës së Vieta:

Teorema.

Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 + p x + q \u003d 0 është e barabartë me koeficientin në x, të marrë me shenjën e kundërt, dhe produkti i rrënjëve është termi i lirë, domethënë x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Teorema e kundërt me teoremën e Vietës

Formulimi i dytë i teoremës Vieta, i dhënë në paragrafin e mëparshëm, tregon se nëse x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 +p x+q=0, atëherë marrëdhëniet x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2=q. Nga ana tjetër, nga relacionet e shkruara x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, del se x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik x 2 +p x+q=0. Me fjalë të tjera, pohimi i kundërt me teoremën e Vietës është i vërtetë. Ne e formulojmë atë në formën e një teoreme dhe e vërtetojmë atë.

Teorema.

Nëse numrat x 1 dhe x 2 janë të tillë që x 1 +x 2 =−p dhe x 1 x 2 =q, atëherë x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 +p x+q=0 .

Dëshmi.

Pas zëvendësimit të koeficientëve p dhe q në ekuacionin x 2 +p x+q=0 të shprehjes së tyre përmes x 1 dhe x 2, ai shndërrohet në një ekuacion ekuivalent.

Ne e zëvendësojmë numrin x 1 në vend të x në ekuacionin që rezulton, kemi barazinë x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, që për çdo x 1 dhe x 2 është barazia numerike e saktë 0=0, pasi x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Prandaj, x 1 është rrënja e ekuacionit x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, që do të thotë se x 1 është rrënja e ekuacionit ekuivalent x 2 +p x+q=0 .

Nëse në ekuacion x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 zëvendësojmë numrin x 2 në vend të x, atëherë marrim barazinë x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Ky është ekuacioni i saktë sepse x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Prandaj, x 2 është gjithashtu rrënja e ekuacionit x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, dhe si rrjedhim ekuacionet x 2 +p x+q=0 .

Kjo plotëson vërtetimin e teoremës së kundërt me teoremën e Vietës.

Shembuj të përdorimit të teoremës së Vietës

Është koha të flasim për zbatimin praktik të teoremës së Vietës dhe teoremës së saj të kundërt. Në këtë nënseksion, ne do të analizojmë zgjidhjet e disa prej shembujve më tipikë.

Fillojmë duke aplikuar një teoremë të kundërt me teoremën e Vietës. Është e përshtatshme për ta përdorur atë për të kontrolluar nëse dy numrat e dhënë janë rrënjët e një ekuacioni të caktuar kuadratik. Në këtë rast, llogaritet shuma dhe diferenca e tyre, pas së cilës kontrollohet vlefshmëria e marrëdhënieve. Nëse të dyja këto marrëdhënie janë të kënaqura, atëherë, në bazë të teoremës së kundërt me teoremën e Vietës, arrihet në përfundimin se këta numra janë rrënjët e ekuacionit. Nëse të paktën një nga relacionet nuk është e kënaqur, atëherë këta numra nuk janë rrënjët e ekuacionit kuadratik. Kjo qasje mund të përdoret kur zgjidhen ekuacionet kuadratike për të kontrolluar rrënjët e gjetura.

Shembull.

Cili nga çiftet e numrave 1) x 1 =−5, x 2 =3, ose 2), ose 3) është një çift rrënjësh i ekuacionit kuadratik 4 x 2 −16 x+9=0?

Zgjidhje.

Koeficientët e ekuacionit kuadratik të dhënë 4 x 2 −16 x+9=0 janë a=4 , b=−16 , c=9 . Sipas teoremës së Vietës, shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik duhet të jetë e barabartë me −b/a, pra 16/4=4, dhe prodhimi i rrënjëve duhet të jetë i barabartë me c/a, pra 9. /4.

Tani le të llogarisim shumën dhe produktin e numrave në secilën nga tre çiftet e dhëna dhe t'i krahasojmë ato me vlerat e marra sapo.

Në rastin e parë kemi x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Vlera që rezulton është e ndryshme nga 4, prandaj, verifikimi i mëtejshëm nuk mund të kryhet, por nga teorema, anasjellta e teoremës së Vieta, mund të konkludojmë menjëherë se çifti i parë i numrave nuk është një palë rrënjë të një ekuacioni kuadratik të caktuar. .

Le të kalojmë në rastin e dytë. Këtu, pra, plotësohet kushti i parë. Ne kontrollojmë kushtin e dytë: , vlera që rezulton është e ndryshme nga 9/4. Prandaj, çifti i dytë i numrave nuk është një çift i rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.

Rasti i fundit ka mbetur. Këtu dhe. Të dy kushtet janë plotësuar, kështu që këta numra x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit të dhënë kuadratik.

Përgjigje:

Teorema, e kundërta e teoremës së Vietës, mund të përdoret në praktikë për të zgjedhur rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Zakonisht, zgjidhen rrënjët e plota të ekuacioneve kuadratike të dhëna me koeficientë të plotë, pasi në raste të tjera kjo është mjaft e vështirë për t'u bërë. Në të njëjtën kohë, ata përdorin faktin se nëse shuma e dy numrave është e barabartë me koeficientin e dytë të ekuacionit kuadratik, marrë me shenjën minus, dhe produkti i këtyre numrave është i barabartë me termin e lirë, atëherë këta numra janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik. Le ta trajtojmë këtë me një shembull.

Marrim ekuacionin kuadratik x 2 −5 x+6=0 . Që numrat x 1 dhe x 2 të jenë rrënjët e këtij ekuacioni, duhet të plotësohen dy barazi x 1 +x 2 \u003d 5 dhe x 1 x 2 \u003d 6. Mbetet për të zgjedhur numra të tillë. Në këtë rast, kjo është mjaft e thjeshtë për t'u bërë: numra të tillë janë 2 dhe 3, pasi 2+3=5 dhe 2 3=6 . Kështu, 2 dhe 3 janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik.

Teorema e kundërt me teoremën e Vietës është veçanërisht e përshtatshme për gjetjen e rrënjës së dytë të ekuacionit kuadratik të reduktuar kur njëra prej rrënjëve është tashmë e njohur ose e dukshme. Në këtë rast, rrënja e dytë gjendet nga ndonjë prej marrëdhënieve.

Për shembull, le të marrim ekuacionin kuadratik 512 x 2 −509 x−3=0 . Këtu është e lehtë të shihet se njësia është rrënja e ekuacionit, pasi shuma e koeficientëve të këtij ekuacioni kuadratik është zero. Pra x 1 = 1 . Rrënja e dytë x 2 mund të gjendet, për shembull, nga relacioni x 1 x 2 =c/a. Kemi 1 x 2 =−3/512, prej nga x 2 =−3/512. Pra, ne kemi përcaktuar të dy rrënjët e ekuacionit kuadratik: 1 dhe −3/512.

Është e qartë se zgjedhja e rrënjëve është e përshtatshme vetëm në rastet më të thjeshta. Në raste të tjera, për të gjetur rrënjët, mund të aplikoni formulat e rrënjëve të ekuacionit kuadratik përmes diskriminuesit.

Një aplikim tjetër praktik i teoremës, anasjellta e teoremës së Vietës, është përpilimi i ekuacioneve kuadratike për rrënjët e dhëna x 1 dhe x 2. Për ta bërë këtë, mjafton të llogaritet shuma e rrënjëve, e cila jep koeficientin e x me shenjën e kundërt të ekuacionit të dhënë kuadratik, dhe produktin e rrënjëve, që jep termin e lirë.

Shembull.

Shkruani një ekuacion kuadratik, rrënjët e të cilit janë numrat −11 dhe 23.

Zgjidhje.

Shënoni x 1 =−11 dhe x 2 =23 . Ne llogarisim shumën dhe produktin e këtyre numrave: x 1 + x 2 \u003d 12 dhe x 1 x 2 \u003d −253. Prandaj, këta numra janë rrënjët e ekuacionit të dhënë kuadratik me koeficientin e dytë -12 dhe termin e lirë -253. Domethënë, x 2 −12·x−253=0 është ekuacioni i dëshiruar.

Përgjigje:

x 2 −12 x−253=0 .

Teorema e Vietës përdoret shumë shpesh në zgjidhjen e detyrave që lidhen me shenjat e rrënjëve të ekuacioneve kuadratike. Si lidhet teorema e Vietës me shenjat e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 +p x+q=0 ? Këtu janë dy deklarata përkatëse:

• Nëse prerja q është një numër pozitiv dhe nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë reale, atëherë ose janë të dyja pozitive ose të dyja negative.
• Nëse termi i lirë q është numër negativ dhe nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë reale, atëherë shenjat e tyre janë të ndryshme, me fjalë të tjera, njëra rrënjë është pozitive dhe tjetra negative.

Këto pohime rrjedhin nga formula x 1 x 2 =q, si dhe nga rregullat për shumëzimin e numrave pozitivë, negativë dhe numrave me shenja të ndryshme. Konsideroni shembuj të aplikimit të tyre.

Shembull.

R është pozitiv. Sipas formulës diskriminuese gjejmë D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , vlerën e shprehjes r 2 +8 është pozitive për çdo r real, pra D>0 për çdo r real. Prandaj, ekuacioni kuadratik origjinal ka dy rrënjë për çdo vlerë reale të parametrit r.

Tani le të zbulojmë se kur rrënjët kanë shenja të ndryshme. Nëse shenjat e rrënjëve janë të ndryshme, atëherë produkti i tyre është negativ, dhe nga teorema e Vietas, prodhimi i rrënjëve të ekuacionit të dhënë kuadratik është i barabartë me termin e lirë. Prandaj, ne jemi të interesuar për ato vlera të r për të cilat termi i lirë r−1 është negativ. Kështu, për të gjetur vlerat e r-së që janë me interes për ne, duhet zgjidhni një pabarazi lineare r−1<0 , откуда находим r<1 .

Përgjigje:

në r<1 .

Formulat Vieta

Më sipër, folëm për teoremën e Vietës për një ekuacion kuadratik dhe analizuam marrëdhëniet që ajo pohon. Por ka formula që lidhin rrënjët reale dhe koeficientët jo vetëm të ekuacioneve kuadratike, por edhe të ekuacioneve kubike, ekuacioneve të katërfishta dhe në përgjithësi, ekuacionet algjebrike shkallë n. Ata quhen Formulat Vieta.

Ne shkruajmë formulat Vieta për një ekuacion algjebrik të shkallës n të formës, ndërsa supozojmë se ka n rrënjë reale x 1, x 2, ..., x n (midis tyre mund të ketë të njëjtat):

Merrni formulat Vieta lejon teorema e faktorizimit polinom, si dhe përcaktimi i polinomeve të barabarta nëpërmjet barazimit të të gjithë koeficientëve të tyre përkatës. Pra, polinomi dhe zgjerimi i tij në faktorë linearë të formës janë të barabartë. Duke hapur kllapat në produktin e fundit dhe duke barazuar koeficientët përkatës, marrim formulat Vieta.

Në veçanti, për n=2 kemi tashmë formula të njohura Vieta për ekuacionin kuadratik.

Për një ekuacion kub, formulat Vieta kanë formën

Mbetet vetëm të theksohet se në anën e majtë të formulave Vieta ka të ashtuquajturat elementare polinomet simetrike.

Bibliografi.

• Algjebra: teksti shkollor për 8 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M. : Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algjebër. klasa e 8-të. Në orën 14:00 Pjesa 1. Një libër shkollor për studentët e institucioneve arsimore / A. G. Mordkovich. - Botimi i 11-të, i fshirë. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 f.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algjebër dhe fillimi i analizës matematikore. Klasa 10: tekst shkollor. për arsimin e përgjithshëm institucionet: bazë dhe profili. nivelet / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - botimi i 3-të. - M.: Iluminizmi, 2010.- 368 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Një nga metodat për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik është aplikimi Formulat VIETA, i cili u emërua pas FRANCOIS VIETE.

Ai ishte një avokat i famshëm dhe shërbeu në shekullin e 16-të me mbretin francez. Në kohën e lirë studionte astronomi dhe matematikë. Ai vendosi një lidhje midis rrënjëve dhe koeficientëve të një ekuacioni kuadratik.

Përparësitë e formulës:

1 . Duke aplikuar formulën, mund ta gjeni shpejt zgjidhjen. Sepse nuk keni nevojë të futni koeficientin e dytë në katror, ​​pastaj zbritni 4ac prej tij, gjeni diskriminuesin, zëvendësoni vlerën e tij në formulën për gjetjen e rrënjëve.

2 . Pa një zgjidhje, ju mund të përcaktoni shenjat e rrënjëve, të zgjidhni vlerat e rrënjëve.

3 . Pasi të keni zgjidhur sistemin e dy regjistrimeve, nuk është e vështirë të gjesh vetë rrënjët. Në ekuacionin kuadratik të mësipërm, shuma e rrënjëve është e barabartë me vlerën e koeficientit të dytë me shenjën minus. Prodhimi i rrënjëve në ekuacionin kuadratik të mësipërm është i barabartë me vlerën e koeficientit të tretë.

4 . Sipas rrënjëve të dhëna, shkruani një ekuacion kuadratik, pra zgjidhni problemin e anasjelltë. Për shembull, kjo metodë përdoret në zgjidhjen e problemeve në mekanikën teorike.

5 . Është i përshtatshëm për të aplikuar formulën kur koeficienti kryesor është i barabartë me një.

Të metat:

1 . Formula nuk është universale.

Teorema e Vietës Klasa 8

Formula
Nëse x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit të dhënë kuadratik x 2 + px + q \u003d 0, atëherë:

Shembuj
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - rrënjët e ekuacionit x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Teorema e anasjelltë

Formula
Nëse numrat x 1 , x 2 , p, q lidhen me kushtet:

Atëherë x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit x 2 + px + q = 0.

Shembull
Le të bëjmë një ekuacion kuadratik me rrënjët e tij:

X 1 \u003d 2 -? 3 dhe x 2 \u003d 2 +? 3 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Ekuacioni i dëshiruar ka formën: x 2 - 4x + 1 = 0.

2.5 Formula Vieta për polinomet (ekuacionet) e shkallëve më të larta

Formulat e nxjerra nga Vieta për ekuacionet kuadratike janë gjithashtu të vërteta për polinomet e shkallëve më të larta.

Le të polinomin

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Ka n rrënjë të dallueshme x 1, x 2 …, x n.

Në këtë rast, ai ka një faktorizim të formës:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Le t'i ndajmë të dyja pjesët e kësaj barazie me një 0 ≠ 0 dhe të zgjerojmë kllapat në pjesën e parë. Ne marrim barazinë:

x n + () x n -1 + ... + () = x n - (x 1 + x 2 + ... + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Por dy polinome janë identikisht të barabartë nëse dhe vetëm nëse koeficientët me të njëjtat fuqi janë të barabartë. Nga kjo rezulton se barazia

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Për shembull, për polinomet e shkallës së tretë

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Ne kemi identitete

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Sa i përket ekuacioneve kuadratike, kjo formulë quhet formula e Vieta. Pjesët e majta të këtyre formulave janë polinome simetrike nga rrënjët x 1 , x 2 ..., x n të ekuacionit të dhënë, dhe pjesët e djathta shprehen me koeficientin e polinomit.

2.6 Ekuacione të reduktueshme në katrorë (bikuadratike)

Ekuacionet e shkallës së katërt reduktohen në ekuacione kuadratike:

sëpatë 4 + bx 2 + c = 0,

quajtur bikuadratike, për më tepër, a ≠ 0.

Mjafton të vendosni x 2 \u003d y në këtë ekuacion, prandaj,

ay² + nga + c = 0

gjeni rrënjët e ekuacionit kuadratik që rezulton

y 1,2 =

Për të gjetur menjëherë rrënjët x 1, x 2, x 3, x 4, zëvendësoni y me x dhe merrni

x2 =

x 1,2,3,4 = .

Nëse ekuacioni i shkallës së katërt ka x 1, atëherë ai gjithashtu ka një rrënjë x 2 \u003d -x 1,

Nëse ka x 3, atëherë x 4 \u003d - x 3. Shuma e rrënjëve të një ekuacioni të tillë është zero.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Ne e zëvendësojmë ekuacionin në formulën për rrënjët e ekuacioneve bikuadratike:

x 1,2,3,4 = ,

duke ditur se x 1 \u003d -x 2, dhe x 3 \u003d -x 4, atëherë:

x 3,4 =

Përgjigje: x 1.2 \u003d ± 2; x 1,2 =

2.7 Studimi i ekuacioneve bikuadratike

Le të marrim ekuacionin bikuadratik

sëpatë 4 + bx 2 + c = 0,

ku a, b, c janë numra realë dhe a > 0. Duke futur një të panjohur ndihmëse y = x², ne shqyrtojmë rrënjët e këtij ekuacioni dhe i futim rezultatet në një tabelë (shih Shtojcën Nr. 1)

2.8 Formula Cardano

Nëse përdorim simbolikën moderne, atëherë derivimi i formulës Cardano mund të duket kështu:

x =

Kjo formulë përcakton rrënjët e ekuacionit të përgjithshëm të shkallës së tretë:

sëpatë 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Kjo formulë është shumë e rëndë dhe komplekse (ajo përmban disa radikale komplekse). Nuk vlen gjithmonë, sepse. shumë e vështirë për t'u përfunduar.

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Rendisni ose zgjidhni nga 2-3 tekste vendet më interesante. Kështu, kemi marrë parasysh dispozitat e përgjithshme për krijimin dhe zhvillimin e lëndëve me zgjedhje, të cilat do të merren parasysh gjatë zhvillimit të lëndës me zgjedhje në algjebër për klasën e 9-të “Ekuacionet katërkëndore dhe pabarazitë me një parametër”. Kapitulli II. Metodologjia e zhvillimit të lëndës me zgjedhje “Ekuacionet kuadratike dhe inekuacionet me parametër” 1.1. Gjenerali...

Zgjidhje nga metodat e llogaritjes numerike. Për të përcaktuar rrënjët e ekuacionit nuk kërkohet njohja e teorive të grupeve Abel, Galois, Lie etj dhe përdorimi i terminologjisë së veçantë matematikore: unaza, fusha, ideale, izomorfizma etj. Për të zgjidhur një ekuacion algjebrik të shkallës së n-të, ju duhet vetëm aftësia për të zgjidhur ekuacionet kuadratike dhe për të nxjerrë rrënjë nga një numër kompleks. Rrënjët mund të përcaktohen me...

Me njësi matëse të madhësive fizike në sistemin MathCAD? 11. Përshkruani me detaje tekstin, blloqet grafike dhe matematikore. Leksioni numër 2. Problemet e algjebrës lineare dhe zgjidhja e ekuacioneve diferenciale në mjedisin MathCAD Në problemet e algjebrës lineare pothuajse gjithmonë bëhet e nevojshme të kryhen veprime të ndryshme me matrica. Paneli i operatorit të matricës ndodhet në panelin Math. ...