Dilni me dy ngjarje të mundshme të rastësishme dhe të pamundura. Dilni me dy ngjarje të besueshme, të rastësishme dhe të pamundura. Mësimi i materialit të ri
Tema e mësimit: "Ngjarje të rastësishme, të besueshme dhe të pamundura"
Vendi i mësimit në kurrikul: "Kombinatorika. Ngjarjet e rastësishme” mësimi 5/8
Lloji i mësimit: Mësimi në formimin e njohurive të reja
Objektivat e mësimit:
Edukative:
o prezantoni një përkufizim të një ngjarjeje të rastësishme, të sigurt dhe të pamundur;
o të mësojë në procesin e një situate reale të përcaktojë termat e teorisë së probabilitetit: ngjarje të besueshme, të pamundura, të barabarta;
Zhvillimi:
o nxit zhvillimin e të menduarit logjik,
o interesi kognitiv i studentëve,
o aftësia për të krahasuar dhe analizuar,
Edukative:
o nxitja e interesit për studimin e matematikës,
o zhvillimi i botëkuptimit të nxënësve.
o zotërimi i aftësive intelektuale dhe operacioneve mendore;
Metodat e mësimdhënies: diktim shpjegues-ilustrues, riprodhues, matematikor.
UMC: Matematika: Libër mësuesi për 6 qeliza. nën redaksinë etj., shtëpia botuese “Iluminizmi”, 2008, Matematika, 5-6: libër. për mësuesin / [, [ , ]. - M.: Arsimi, 2006.
Materiali didaktik: postera të bordit.
Literatura:
1. Matematika: tekst shkollor. për 6 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet/, etj.]; ed. , ; Ros. akad. Shkenca, Ros. akad. arsimi, shtëpia botuese “Iluminizmi”. - botimi i 10-të. - M.: Iluminizmi, 2008.-302 f.: ill. - (Libër shkollor shkollor).
2. Matematikë, 5-b: libër. për mësuesin / [, ]. - M. : Arsimi, 2006. - 191 f. : i sëmurë.
4. Zgjidhja e problemeve në statistikë, kombinatorikë dhe teori probabiliteti. Klasat 7-9. / auth.- komp. . Ed. 2, rev. - Volgograd: Mësues, 2006. -428 f.
5. Mësime matematike duke përdorur teknologjinë e informacionit. Klasat 5-10. Metodike - një manual me një aplikacion elektronik / dhe të tjera. Ed. 2, stereotip. - M.: Shtëpia Botuese Globus, 2010. - 266 f. (Shkolla moderne).
6. Mësimdhënia e matematikës në një shkollë moderne. Udhëzimet. Vladivostok: Shtëpia Botuese PIPPCRO, 2003.
PLANI MËSIMOR
I. Momenti organizativ.
II. punë gojore.
III. Mësimi i materialit të ri.
IV. Formimi i aftësive dhe aftësive.
V. Rezultatet e mësimit.
V. Detyrë shtëpie.
GJATË KLASËVE
1. Momenti organizues
2. Përditësimi i njohurive
15*(-100) |
Puna gojore:
3. Shpjegimi i materialit të ri
Mësuesja: Jeta jonë përbëhet kryesisht nga aksidente. Ekziston një shkencë e tillë "Teoria e probabilitetit". Duke përdorur gjuhën e tij, është e mundur të përshkruhen shumë fenomene dhe situata.
Komandantë të tillë të lashtë si Aleksandri i Madh ose Dmitry Donskoy, duke u përgatitur për betejë, u mbështetën jo vetëm në guximin dhe aftësinë e luftëtarëve, por edhe në rastësi.
Shumë njerëz e duan matematikën të vërtetat e përjetshme dy herë dy është gjithmonë katër, shuma e numrave çift është çift, sipërfaqja e një drejtkëndëshi është prodhimi i anëve të tij ngjitur, e kështu me radhë. Në çdo problem që zgjidhni, të gjithë marrin të njëjtën përgjigje - thjesht nuk duhet të bëni gabimet në zgjidhje.
Jeta reale nuk është aq e thjeshtë dhe e paqartë. Rezultatet e shumë ngjarjeve nuk mund të parashikohen paraprakisht. Është e pamundur, për shembull, të thuhet me siguri se në cilën anë do të bjerë një monedhë e hedhur, kur do të bjerë bora e parë vitin e ardhshëm ose sa njerëz në qytet do të duan të bëjnë një telefonatë brenda orës së ardhshme. Ngjarje të tilla të paparashikueshme quhen e rastit .
Megjithatë, rasti ka edhe ligjet e veta, të cilat fillojnë të manifestohen me përsëritjen e përsëritur të dukurive të rastësishme. Nëse hedh një monedhë 1000 herë, atëherë "shqiponja" do të bjerë rreth gjysmës së kohës, gjë që nuk mund të thuhet për dy apo edhe dhjetë hedhje. "Përafërsisht" nuk do të thotë gjysma. Kjo, si rregull, mund të jetë ose jo. Ligji në përgjithësi nuk thotë asgjë me siguri, por jep një shkallë të caktuar sigurie se do të ndodhë ndonjë ngjarje e rastësishme.
Rregullsi të tilla studiohen nga një degë e veçantë e matematikës - Teoria e probabilitetit . Me të, ju mund të parashikoni më me siguri (por ende jo me siguri) datën e reshjeve të para të borës dhe numrin e telefonatave.
Teoria e probabilitetit është e lidhur pazgjidhshmërisht me tonën jeta e përditshme. Kjo na jep një mundësi të mrekullueshme për të vendosur shumë ligje probabiliste në mënyrë empirike duke përsëritur eksperimente të rastësishme shumë herë. Materialet për këto eksperimente më së shpeshti do të jenë një monedhë e zakonshme, një zare, një grup domino, tavëll, ruletë apo edhe një kuvertë letrash. Secili prej këtyre artikujve, në një mënyrë ose në një tjetër, është i lidhur me lojëra. Fakti është se rasti këtu shfaqet në formën më të shpeshtë. Dhe detyrat e para probabilistike u shoqëruan me vlerësimin e mundësive të lojtarëve për të fituar.
Teoria moderne e probabilitetit është larguar nga kumari, por mbështetësit e tyre janë ende burimi më i thjeshtë dhe më i besueshëm i fatit. Duke ushtruar me një rrotë ruletë dhe një biçikletë, do të mësoni se si të llogaritni probabilitetin e ngjarjeve të rastësishme në situata të jetës reale, të cilat do t'ju lejojnë të vlerësoni shanset tuaja për sukses, të testoni hipotezat dhe të merrni vendime optimale jo vetëm në lojëra dhe llotari. .
Kur zgjidhni probleme probabiliste, jini shumë të kujdesshëm, përpiquni të justifikoni çdo hap, sepse asnjë fushë tjetër e matematikës nuk përmban një numër të tillë paradoksesh. Ashtu si teoria e probabilitetit. Dhe, ndoshta, shpjegimi kryesor për këtë është lidhja e tij me botën reale në të cilën jetojmë.
Në shumë lojëra, përdoret një biellë, e cila ka një numër të ndryshëm pikësh nga 1 në 6 në secilën anë. Lojtari e rrotullon bidonin, shikon sa pikë kanë rënë (në anën që ndodhet sipër) dhe bën numri i duhur i lëvizjeve: 1,2,3 ,4,5, ose 6. Hedhja e një trupi mund të konsiderohet një përvojë, një eksperiment, një provë dhe rezultati i marrë mund të konsiderohet një ngjarje. Njerëzit zakonisht janë shumë të interesuar të hamendësojnë fillimin e një ngjarjeje, duke parashikuar rezultatin e saj. Çfarë parashikimesh mund të bëjnë kur hidhet një za?
Parashikimi i parë: do të bjerë një nga numrat 1,2,3,4,5 ose 6. Mendoni se do të vijë ngjarja e parashikuar apo jo? Sigurisht që do të vijë patjetër.
Një ngjarje që është e sigurt se do të ndodhë në një përvojë të caktuar quhet autentike ngjarje.
Parashikimi i dytë : do të bjerë numri 7. Mendoni se do të vijë ngjarja e parashikuar apo jo? Sigurisht që nuk do, është thjesht e pamundur.
Një ngjarje që nuk mund të ndodhë në një eksperiment të caktuar quhet e pamundur ngjarje.
Parashikimi i tretë : do të bjerë numri 1. Mendoni se do të vijë ngjarja e parashikuar apo jo? Ne nuk jemi në gjendje t'i përgjigjemi kësaj pyetjeje me siguri të plotë, pasi ngjarja e parashikuar mund të ndodhë ose jo.
Ngjarjet që mund të ndodhin ose jo në të njëjtat kushte quhen e rastit.
Shembull. Kutia përmban 5 çokollata në një mbështjellës blu dhe një në të bardhë. Pa shikuar në kuti, ata nxjerrin rastësisht një karamele. A është e mundur të thuhet paraprakisht se çfarë ngjyre do të jetë?
Detyrë : përshkruani ngjarjet që diskutohen në detyrat e mëposhtme. Si e sigurt, e pamundur apo e rastësishme.
1. Kthejeni një monedhë. U shfaq stema. (të rastësishme)
2. Gjuetari qëlloi mbi ujkun dhe goditi. (të rastësishme)
3. Një nxënës shkon për shëtitje çdo mbrëmje. Gjatë një shëtitjeje, të hënën, ai ka takuar tre të njohur. (të rastësishme)
4. Le të kryejmë mendërisht eksperimentin e mëposhtëm: kthejmë një gotë me ujë përmbys. Nëse ky eksperiment nuk kryhet në hapësirë, por në shtëpi ose në një klasë, atëherë uji do të derdhet. (autentike)
5. Tre të shtëna në objektiv.” Ka pasur pesë goditje”. (e pamundur)
6. Hidhe gurin lart. Guri mbetet i varur në ajër. (e pamundur)
Shembull Petya u ngjiz numri natyror. Ngjarja është si më poshtë:
a) konceptohet një numër çift; (të rastësishme)
b) konceptohet një numër tek; (të rastësishme)
c) konceptohet një numër që nuk është as çift dhe as tek; (e pamundur)
d) konceptohet një numër çift ose tek. (autentike)
Quhen ngjarje që në kushte të caktuara kanë shanse të barabarta ekuiprobabile.
Ngjarjet e rastësishme që kanë shanse të barabarta quhen po aq e mundur ose ekuiprobabile .
Vendosni posterin në tabelë.
Në provimin me gojë, studenti merr një nga biletat e vendosura përpara. Shanset për të marrë ndonjë nga biletat e provimit janë të barabarta. Po aq e mundshme është humbja e çdo numri pikësh nga 1 në 6 gjatë hedhjes së një zari, si dhe e kokave ose bishtave kur hedh një monedhë.
Por jo të gjitha ngjarjet janë po aq e mundur. Ora e ziles mund të mos bjerë, llamba të digjet, autobusi prishet, por në kushte normale, ngjarje të tilla nuk ka gjasa. Ka më shumë gjasa që ora e ziles të bjerë, drita të ndizet, autobusi të shkojë.
Disa ngjarje shanset ndodhin më shumë, që do të thotë se ato janë më të mundshme - më afër të besueshmes. Dhe të tjerët kanë më pak shanse, ato janë më pak të mundshme - më afër të pamundurës.
Ngjarjet e pamundura nuk kanë shanse të ndodhin, dhe ngjarje të caktuara kanë çdo mundësi të ndodhin, në kushte të caktuara ato patjetër do të ndodhin.
Shembull Petya dhe Kolya krahasojnë ditëlindjet e tyre. Ngjarja është si më poshtë:
a) ditëlindjet e tyre nuk përputhen; (të rastësishme)
b) ditëlindjet e tyre janë të njëjta; (të rastësishme)
d) të dy ditëlindjet bien në festa - Viti i Ri(1 janar) dhe Dita e Pavarësisë Ruse (12 qershor). (të rastësishme)
3. Formimi i aftësive dhe aftësive
Detyrë nga teksti shkollor Nr. 000. Cilat nga ngjarjet e mëposhtme të rastit janë të besueshme, të mundshme:
a) breshka do të mësojë të flasë;
b) uji në kazan në sobë vlon;
d) ju fitoni duke marrë pjesë në short;
e) nuk do të fitoni duke marrë pjesë në një short fitues;
f) do të humbisni një lojë shahu;
g) nesër do të takoni një alien;
h) moti do të përkeqësohet javën e ardhshme; i) ke shtypur zilen, por ajo nuk ka rënë; j) sot - e enjte;
k) pas të enjtes do të jetë e premte; m) do të ketë të enjte pas të premte?
Kutitë përmbajnë 2 topa të kuq, 1 të verdhë dhe 4 të gjelbër. Tre topa nxirren në mënyrë të rastësishme nga kutia. Cilat nga ngjarjet e mëposhtme janë të pamundura, të rastësishme, të sigurta:
Përgjigje: Do të vizatohen tre topa të gjelbër;
B: Do të tërhiqen tre topa të kuq;
C: do të vizatohen topa me dy ngjyra;
D: do të vizatohen topa me të njëjtën ngjyrë;
E: midis topave të vizatuar ka një blu;
F: ndër ato të vizatuara ka topa tre ngjyrash;
G: A ka dy topa të verdhë midis topave të tërhequr?
Provoni veten. (diktim i matematikës)
1) Tregoni cilat nga ngjarjet e mëposhtme janë të pamundura, cilat janë të sigurta, cilat janë të rastësishme:
Ndeshja futbollistike “Spartak” – “Dynamo” do të përfundojë me barazim (të rastësishme)
Ju do të fitoni duke marrë pjesë në lotarinë fitimprurëse ( autentike)
Në mesnatë do të bjerë borë dhe pas 24 orësh dielli do të shkëlqejë (e pamundur)
· Nesër do të jetë testi i matematikës. (të rastësishme)
· Ju do të zgjidheni President i Shteteve të Bashkuara. (e pamundur)
· Ju do të zgjidheni president i Rusisë. (të rastësishme)
2) Keni blerë një televizor në një dyqan, për të cilin prodhuesi jep një garanci dyvjeçare. Cilat nga ngjarjet e mëposhtme janë të pamundura, cilat janë të rastësishme, cilat janë të sigurta:
· Televizori nuk do të prishet brenda një viti. (të rastësishme)
Televizori nuk do të prishet brenda dy viteve . (të rastësishme)
· Brenda dy viteve nuk do të duhet të paguani për riparimin e televizorit. (autentike)
Televizori do të prishet në vitin e tretë. (të rastësishme)
3) Një autobus që transporton 15 pasagjerë ka 10 ndalesa për të bërë. Cilat nga ngjarjet e mëposhtme janë të pamundura, cilat janë të rastësishme, cilat janë të sigurta:
· Të gjithë pasagjerët do të zbresin nga autobusi në stacione të ndryshme. (e pamundur)
Të gjithë pasagjerët do të zbresin në të njëjtën ndalesë. (të rastësishme)
Në çdo ndalesë, të paktën dikush do të zbresë. (të rastësishme)
Do të ketë një ndalesë në të cilën askush nuk do të zbresë. (të rastësishme)
Një numër çift pasagjerësh do të zbresin në të gjitha ndalesat. (e pamundur)
Një numër tek pasagjerët do të zbresin në të gjitha ndalesat. (e pamundur)
Përmbledhja e mësimit
Pyetje për studentët:
Cilat ngjarje quhen të rastësishme?
Cilat ngjarje quhen të barabarta?
Cilat ngjarje konsiderohen të besueshme? e pamundur?
Cilat ngjarje konsiderohen më të mundshme? më pak gjasa?
Detyre shtepie : pika 9.3
Nr. 000. Mendoni për tre shembuj secila prej ngjarjeve të caktuara, të pamundura, si dhe ngjarje që nuk mund të thuhet se ndodhin domosdoshmërisht.
902. Ka 10 stilolapsa të kuq, 1 jeshil dhe 2 blu në një kuti. Dy stilolapsa nxirren rastësisht nga kutia. Cila nga ngjarjet e mëposhtme është e pamundur, e sigurt:
Përgjigje: Dy doreza të kuqe do të hiqen; B: Dy doreza jeshile do të tërhiqen; C: do të tërhiqen dy doreza blu; D: Do të hiqen dy doreza me ngjyra të ndryshme;
E: A do të hiqen dy lapsa? 03. Egor dhe Danila ranë dakord: nëse shigjeta e rrotullës (Fig. 205) ndalet në një fushë të bardhë, atëherë Egor do të pikturojë gardhin, dhe nëse në një fushë blu, Danila. Cili djalë ka më shumë gjasa të lyejë gardhin?
Qëllimi i mësimit:
- Prezantoni konceptin e ngjarjeve të caktuara, të pamundura dhe të rastësishme.
- Të formojë njohuri dhe aftësi për të përcaktuar llojin e ngjarjeve.
- Zhvilloni: aftësi llogaritëse; Vëmendje; aftësia për të analizuar, arsyetuar, nxjerrë përfundime; aftësitë e punës në grup.
Gjatë orëve të mësimit
1) Momenti organizativ.
Ushtrim ndërveprues: fëmijët duhet të zgjidhin shembuj dhe të deshifrojnë fjalët, sipas rezultateve ndahen në grupe (të besueshme, të pamundura dhe të rastësishme) dhe të përcaktojnë temën e mësimit.
1 kartë.
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 kartë
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 kartë
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) Aktualizimi i njohurive të studiuara.
Loja "Duartrokitje": një numër çift - duartrokas, një numër tek - ngrihu.
Detyrë: nga një seri e caktuar numrash 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... caktoni çift dhe tek.
3) Mësimi i një teme të re.
Ju keni kube në tavolina. Le t'i hedhim një vështrim më të afërt në to. Cfare shikon?
Ku përdoren zaret? Si?
Punë në grup.
Kryerja e një eksperimenti.
Çfarë parashikimesh mund të bëni kur hidhni një zar?
Parashikimi i parë: një nga numrat 1,2,3,4,5 ose 6 do të bjerë jashtë.
Një ngjarje që është e sigurt se do të ndodhë në një përvojë të caktuar quhet autentike.
Parashikimi i dytë: do të dalë numri 7.
Mendoni se ngjarja e parashikuar do të ndodhë apo jo?
Eshte e pamundur!
Një ngjarje që nuk mund të ndodhë në një eksperiment të caktuar quhet e pamundur.
Parashikimi i tretë: do të dalë numri 1.
A do të ndodhë kjo ngjarje?
Një ngjarje që mund ose nuk mund të ndodhë në një përvojë të caktuar quhet e rastit.
4) Konsolidimi i materialit të studiuar.
I. Përcaktoni llojin e ngjarjes
-Nesër do të bjerë borë e kuqe.
Nesër do të bjerë borë e madhe.
Nesër edhe pse është korrik do të bjerë borë.
Nesër edhe pse është korrik, nuk do të ketë borë.
Nesër do të bjerë borë dhe stuhi.
II. Shto një fjalë në këtë fjali në atë mënyrë që ngjarja të bëhet e pamundur.
Kolya mori një A në histori.
Sasha nuk përfundoi asnjë detyrë të vetme në provë.
Oksana Mikhailovna (mësuese e historisë) do të shpjegojë temën e re.
III. Jepni shembuj të ngjarjeve të pamundura, të rastësishme dhe të caktuara.
IV. Punë sipas tekstit (në grupe).
Përshkruani ngjarjet e diskutuara në detyrat e mëposhtme si të sigurta, të pamundura ose të rastësishme.
Nr. 959. Petya konceptoi një numër natyror. Ngjarja është si më poshtë:
a) konceptohet një numër çift;
b) konceptohet një numër tek;
c) konceptohet një numër që nuk është as çift dhe as tek;
d) konceptohet një numër çift ose tek.
Nr. 960. Ju hapët këtë libër shkollor në çdo faqe dhe zgjodhët emrin e parë që ju takoi. Ngjarja është si më poshtë:
a) ka një zanore në drejtshkrimin e fjalës së zgjedhur;
b) në drejtshkrimin e fjalës së zgjedhur ka shkronjën “o”;
c) nuk ka zanore në drejtshkrimin e fjalës së zgjedhur;
d) ka një shenjë të butë në drejtshkrimin e fjalës së zgjedhur.
Zgjidh #961, #964.
Diskutimi i detyrave të zgjidhura.
5) Reflektimi.
1. Çfarë ngjarjesh keni takuar në mësim?
2. Tregoni se cila nga ngjarjet e mëposhtme është e sigurt, cila është e pamundur dhe cila është e rastësishme:
a) nuk do të ketë pushime verore;
b) sanduiçi do të bjerë me gjalpë poshtë;
c) viti shkollor do të përfundojë një ditë.
6) Detyrë shtëpie:
Dilni me dy ngjarje të besueshme, të rastësishme dhe të pamundura.
Vizatoni njërën prej tyre.
Teoria e probabilitetit, si çdo degë e matematikës, funksionon me një gamë të caktuar konceptesh. Shumica e koncepteve të teorisë së probabilitetit janë të përcaktuara, por disa merren si parësore, jo të përcaktuara, si në gjeometri një pikë, një vijë, një plan. Koncepti kryesor i teorisë së probabilitetit është një ngjarje. Një ngjarje është diçka për të cilën, pas një kohe të caktuar, mund të thuhet një dhe vetëm një nga të dyja:
- · Po, ndodhi.
- · Jo, nuk ndodhi.
Për shembull, unë kam një biletë lotarie. Pas publikimit të rezultateve të shortit, ngjarja që më intereson - fitimi i një mijë rubla ose ndodh ose nuk ndodh. Çdo ngjarje ndodh si rezultat i një testi (ose përvoje). Nën testin (ose përvojën) kuptoni ato kushte si rezultat i të cilave ndodh një ngjarje. Për shembull, hedhja e një monedhe është një provë, dhe shfaqja e një "steme" në të është një ngjarje. Ngjarja zakonisht shënohet me shkronja të mëdha latine: A, B, C, .... Ngjarjet në botën materiale mund të ndahen në tre kategori - të caktuara, të pamundura dhe të rastësishme.
Një ngjarje e caktuar është ajo që dihet paraprakisht se ka ndodhur. Ai shënohet me shkronjën W. Kështu, jo më shumë se gjashtë pika janë të besueshme kur hedhim një za të zakonshëm, pamja e një topi të bardhë kur nxirret nga një urnë që përmban vetëm topa të bardhë etj.
Një ngjarje e pamundur është një ngjarje që dihet paraprakisht se nuk do të ndodhë. Ai shënohet me shkronjën E. Shembuj të ngjarjeve të pamundura janë tërheqja e më shumë se katër aceve nga një kuvertë e zakonshme letrash, shfaqja e një topi të kuq nga një urnë që përmban vetëm topa të bardhë dhe të zinj, etj.
Një ngjarje e rastësishme është një ngjarje që mund ose nuk mund të ndodhë si rezultat i një testi. Ngjarjet A dhe B quhen të papajtueshme nëse ndodhja e njërës prej tyre përjashton mundësinë e shfaqjes së tjetrës. Pra, shfaqja e çdo numri të mundshëm pikësh gjatë hedhjes së një zari (ngjarja A) nuk është në përputhje me paraqitjen e një numri tjetër (ngjarja B). Rrotullimi i një numri çift pikësh është i papajtueshëm me rrotullimin e një numri tek. Anasjelltas, një numër çift pikash (ngjarja A) dhe një numër pikash të pjesëtueshme me tre (ngjarja B) nuk do të jenë të papajtueshme, sepse humbja e gjashtë pikëve nënkupton ndodhjen e të dy ngjarjeve A dhe ngjarjes B, pra ndodhja e një prej tyre nuk e përjashton ndodhjen e tjetrës. Operacionet mund të kryhen në ngjarje. Bashkimi i dy ngjarjeve C=AUB është një ngjarje C që ndodh nëse dhe vetëm nëse ndodh të paktën një nga këto ngjarje A dhe B. Prerja e dy ngjarjeve D=A?? B është një ngjarje që ndodh nëse dhe vetëm nëse ndodhin të dyja ngjarjet A dhe B.
Ngjarjet (dukuritë) e vëzhguara nga ne mund të ndahen në tre llojet e mëposhtme: të besueshme, të pamundura dhe të rastësishme.
e besueshme quaj një ngjarje që do të ndodhë patjetër nëse zbatohet një grup i caktuar kushtesh S. Për shembull, nëse një enë përmban ujë në presion normal atmosferik dhe një temperaturë prej 20 °, atëherë ngjarja "uji në enë është në gjendje të lëngshme ” është e sigurt. Në këtë shembull, presioni i specifikuar atmosferik dhe temperatura e ujit përbëjnë grupin e kushteve S.
E pamundur quaj një ngjarje që sigurisht nuk do të ndodhë nëse zbatohet grupi i kushteve S. Për shembull, ngjarja “uji në enë është në gjendje të ngurtë” sigurisht që nuk do të ndodhë nëse grupi i kushteve të shembullit të mëparshëm zbatohet.
E rastësishme Një ngjarje quhet një ngjarje që, nën zbatimin e një grupi kushtesh S, mund të ndodhë ose të mos ndodhë. Për shembull, nëse një monedhë hidhet, atëherë ajo mund të bjerë në mënyrë që ose një stemë ose një mbishkrim të jetë sipër. Prandaj, ngjarja "kur hidhet një monedhë, ka rënë një "stemë" është e rastësishme. Çdo ngjarje e rastësishme, në veçanti rënia e "stemës", është rezultat i veprimit të shumë shkaqeve të rastësishme (në shembullin tonë: forca me të cilën hidhet monedha, forma e monedhës dhe shumë të tjera ). Është e pamundur të merret parasysh ndikimi i të gjitha këtyre shkaqeve në rezultat, pasi numri i tyre është shumë i madh dhe ligjet e veprimit të tyre nuk dihen. Prandaj, teoria e probabilitetit nuk i vendos vetes detyrën për të parashikuar nëse një ngjarje e vetme do të ndodhë apo jo - ajo thjesht nuk mund ta bëjë atë.
Situata është e ndryshme nëse marrim parasysh ngjarje të rastësishme që mund të vëzhgohen në mënyrë të përsëritur në të njëjtat kushte S, d.m.th., nëse flasim për ngjarje masive homogjene të rastit. Rezulton se një numër mjaft i madh i ngjarjeve të rastësishme homogjene, pavarësisht nga natyra e tyre specifike, u binden ligjeve të caktuara, përkatësisht ligjeve probabiliste. Është teoria e probabilitetit që merret me vendosjen e këtyre rregullsive.
Pra, tema e teorisë së probabilitetit është studimi i rregullsive probabilistike të ngjarjeve masive homogjene të rastit.
Metodat e teorisë së probabilitetit përdoren gjerësisht në degë të ndryshme të shkencës dhe teknologjisë natyrore. Teoria e probabilitetit shërben edhe për të vërtetuar statistikat matematikore dhe të aplikuara.
Llojet e ngjarjeve të rastësishme. Ngjarjet quhen të papajtueshme nëse ndodhja e njërës prej tyre përjashton ndodhjen e ngjarjeve të tjera në të njëjtin gjykim.
Shembull. Një monedhë është hedhur. Pamja e "stemës" përjashton pamjen e mbishkrimit. Ngjarjet "u shfaq një stemë" dhe "u shfaq një mbishkrim" janë të papajtueshme.
Formohen disa ngjarje grupi i plotë, nëse të paktën një prej tyre shfaqet si rezultat i testit. Në veçanti, nëse ngjarjet që formojnë një grup të plotë janë të papajtueshme në çift, atëherë një dhe vetëm një nga këto ngjarje do të shfaqet si rezultat i testit. Ky rast i veçantë është me interes më të madh për ne, pasi do të përdoret më poshtë.
Shembulli 2. Janë blerë dy bileta për shortin e parave të gatshme dhe veshjeve. Një dhe vetëm një nga ngjarjet e mëposhtme do të ndodhë domosdoshmërisht: "fitimet ranë në biletën e parë dhe nuk ranë në të dytën", "fitimet nuk ranë në biletën e parë dhe ranë në të dytën", "fitimet ranë në të dyja biletat", "fitimet nuk fituan në të dyja biletat". ra jashtë." Këto ngjarje formojnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme në çift.
Shembulli 3. Qitësi qëlloi në objektiv. Një nga dy ngjarjet e mëposhtme duhet të ndodhë: goditni, humbisni. Këto dy ngjarje të ndara formojnë një grup të plotë.
Ngjarjet quhen po aq e mundur nëse ka arsye për të besuar se asnjëra nuk është më e mundshme se tjetra.
Shembulli 4. Shfaqja e një "steme" dhe shfaqja e një mbishkrimi kur hidhet një monedhë janë ngjarje po aq të mundshme. Në të vërtetë, supozohet se monedha është bërë nga një material homogjen, ka një formë cilindrike të rregullt dhe prania e një prerjeje nuk ndikon në humbjen e njërës ose të një ane të monedhës.
Vetë-përcaktimi me shkronja të mëdha të alfabetit latin: A, B, C, .. A 1, A 2 ..
Të kundërtat quhen 2 unike të mundshme so-I, duke formuar një grup të plotë. Nëse një nga dy të kundërta ngjarjet shënohen me A, pastaj emërtimet e tjera janë A`.
Shembulli 5. Goditni dhe humbisni kur gjuani në një objektiv - seksit të kundërt. vet.
1.1. Disa informacione nga kombinatorika
1.1.1. Akomodimet
Konsideroni konceptet më të thjeshta që lidhen me zgjedhjen dhe vendndodhjen e një grupi të caktuar objektesh.
Numërimi i numrit të mënyrave në të cilat këto veprime mund të kryhen shpesh bëhet kur zgjidhen probleme probabilistike.
Përkufizimi. Akomodimi nga n elementet nga k (k ≤n) është çdo nënbashkësi e renditur e k elementet e një grupi të përbërë nga n elemente të ndryshme.
Shembull. Sekuencat e mëposhtme të numrave janë rregullime të 2 elementeve nga 3 elementë të grupit (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Vini re se vendosjet ndryshojnë në rendin e elementeve të tyre përbërës dhe përbërjes së tyre. Vendosjet 12 dhe 21 përmbajnë të njëjtat numra, por renditja e tyre është e ndryshme. Prandaj, këto vendosje konsiderohen të ndryshme.
Numri i vendosjeve të ndryshme nga n elementet nga k shënohet dhe llogaritet me formulën:
,
ku n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(lexo" n faktorial).
Numri numra dyshifrorë, i cili mund të përbëhet nga numrat 1, 2, 3, me kusht që të mos përsëritet asnjë shifër e barabartë me: .
1.1.2. Permutacionet
Përkufizimi. Permutacionet nga n elementet quhen vendosje të tilla nga n elemente që ndryshojnë vetëm në renditjen e elementeve.
Numri i permutacioneve nga n elementet P n llogaritur me formulën: P n=n!
Shembull. Në sa mënyra mund të rreshtohen 5 persona? Numri i mënyrave është i barabartë me numrin e permutacioneve të 5 elementeve, d.m.th.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Përkufizimi. Nëse ndër n elementet k identike, pastaj ndërrimi i këtyre n elementet quhet një ndërrim me përsëritje.
Shembull. Supozoni se midis 6 librave 2 janë të njëjtë. Çdo rregullim i të gjithë librave në raft është një ndërrim me përsëritje.
Numri i permutacioneve të ndryshme me përsëritje (jashtë n elemente, ndër të cilat k identike) llogaritet me formulën: .
Në shembullin tonë, numri i mënyrave në të cilat librat mund të vendosen në një raft është: .
1.1.3. Kombinimet
Përkufizimi. Kombinimet nga n elementet nga k vendosjet e tilla quhen n elementet nga k, të cilat ndryshojnë nga njëra-tjetra për të paktën një element.
Numri i kombinimeve të ndryshme të n elementet nga k shënohet dhe llogaritet me formulën: .
Sipas përkufizimit, 0!=1.
Kombinimet kanë vetitë e mëposhtme:
1.
2.
3.
4.
Shembull. Ka 5 lule me ngjyra të ndryshme. Për një buqetë, zgjidhen 3 lule. Numri i buqetave të ndryshme me 3 lule nga 5 është: .
1.2. ngjarje të rastësishme
1.2.1. Zhvillimet
Njohja e realitetit në shkencat natyrore ndodh si rezultat i testeve (eksperiment, vëzhgim, përvojë).
provë
ose përvoja është zbatimi i disa kushteve specifike që mund të riprodhohen në mënyrë arbitrare një numër të madh herë.
E rastësishme
quhet një ngjarje që mund të ndodhë ose jo si rezultat i ndonjë prove (përvoje).
Kështu, ngjarja konsiderohet si rezultat i një testi.
Shembull. Hedhja e një monedhe është një provë. Shfaqja e një shqiponje kur hidhet është një ngjarje.
Ngjarjet që vëzhgojmë ndryshojnë në shkallën e mundësisë së ndodhjes së tyre dhe në natyrën e marrëdhënies së tyre.
Ngjarja quhet autentike
nëse është e sigurt se do të ndodhë si rezultat i testit.
Shembull. Një student që merr një notë pozitive ose negative në një provim është një ngjarje e caktuar nëse provimi zhvillohet sipas rregullave të zakonshme.
Ngjarja quhet e pamundur
nëse nuk mund të ndodhë si rezultat i këtij testi.
Shembull. Nxjerrja e një topi të bardhë nga një urnë që përmban vetëm topa me ngjyrë (jo të bardhë) është një ngjarje e pamundur. Vini re se në kushte të tjera të eksperimentit, shfaqja e një topi të bardhë nuk përjashtohet; pra, kjo ngjarje është e pamundur vetëm në kushtet e përvojës sonë.
Më tej, ngjarjet e rastësishme do të shënohen me latinisht të madh shkronjat A,B,C... Një ngjarje e sigurt do të shënohet me shkronjën Ω, një ngjarje e pamundur me Ø.
Quhen dy ose më shumë ngjarje po aq e mundur
në një test të caktuar, nëse ka arsye për të besuar se asnjë nga këto ngjarje nuk ka më shumë ose më pak të mundshme se të tjerat.
Shembull. Me një hedhje të zarit, shfaqja e 1, 2, 3, 4, 5 dhe 6 pikëve janë të gjitha ngjarje po aq të mundshme. Supozohet, natyrisht, se kërpudha është bërë nga një material homogjen dhe ka një formë të rregullt.
Të dy ngjarjet quhen të papajtueshme
në një gjykim të caktuar, nëse ndodhja e njërës prej tyre përjashton ndodhjen e tjetrës, dhe të përbashkët
ndryshe.
Shembull. Kutia përmban pjesë standarde dhe jo standarde. Le të marrim një detaj. Pamja e një pjese standarde përjashton pamjen e një pjese jo standarde. Këto ngjarje janë të papajtueshme.
Formohen disa ngjarje grupi i plotë i ngjarjeve
në këtë test, nëse si rezultat i këtij testi ndodh domosdoshmërisht të paktën një prej tyre.
Shembull. Ngjarjet nga shembulli formojnë një grup të plotë ngjarjesh po aq të mundshme dhe të papajtueshme në çift.
Quhen dy ngjarje të ndara që formojnë një grup të plotë ngjarjesh në një provë të caktuar ngjarje të kundërta.
Nëse njëra prej tyre shënohet me A, atëherë tjetra zakonisht shënohet përmes (lexohet "jo A»).
Shembull. Goditja dhe humbja me një të shtënë në objektiv janë ngjarje të kundërta.
1.2.2. Përkufizimi klasik i probabilitetit
Probabiliteti i ngjarjes
është një masë numerike e mundësisë së ndodhjes së tij.
Ngjarja POR thirrur i favorshëm
ngjarje NË nëse sa herë që ndodh një ngjarje POR, ndodh ngjarja NË.
Zhvillimet POR 1 , POR 2 , ..., PORn formë grafiku i rastit
, nëse ata:
1) janë po aq të mundshme;
2) janë të papajtueshme në çift;
3) formoni një grup të plotë.
Në skemën e rasteve (dhe vetëm në këtë skemë) bëhet përkufizimi klasik i probabilitetit P(A) zhvillimet POR. Këtu, secila prej ngjarjeve që i përkasin grupit të plotë të përzgjedhur të ngjarjeve po aq të mundshme dhe të papajtueshme në çift quhet rast.
Nëse nështë numri i të gjitha rasteve në skemë, dhe m- numri i rasteve të favorshme për ngjarjen POR, pastaj probabiliteti i ngjarjes
POR përcaktohet nga barazia:
Karakteristikat e mëposhtme rrjedhin nga përkufizimi i probabilitetit:
1. Probabiliteti ngjarje e sigurtështë e barabartë me një.
Në të vërtetë, nëse një ngjarje është e sigurt, atëherë çdo dukuri në skemën e dukurive e favorizon ngjarjen. Në këtë rast m = n dhe si rrjedhim 
2. Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero.
Në të vërtetë, nëse ngjarja është e pamundur, atëherë asnjë nga rastet nga skema e çështjeve nuk e favorizon ngjarjen. Kjo është arsyeja pse m=0 dhe, për rrjedhojë, 
Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme është një numër pozitiv midis zeros dhe një.
Në të vërtetë, një ngjarje e rastësishme favorizohet vetëm nga një pjesë e numrit të përgjithshëm të rasteve në skemën e rasteve. Prandaj 0<m<n, që do të thotë 0<m/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Pra, probabiliteti i ndonjë ngjarjeje i plotëson pabarazitë
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Aktualisht, vetitë e probabilitetit përcaktohen në formën e aksiomave të formuluara nga A.N. Kolmogorov.
Një nga avantazhet kryesore të përkufizimit klasik të probabilitetit është aftësia për të llogaritur probabilitetin e një ngjarjeje drejtpërdrejt, d.m.th. pa iu drejtuar eksperimenteve, të cilat zëvendësohen nga arsyetimi logjik.
Probleme të llogaritjes së drejtpërdrejtë të probabiliteteve
Detyra 1.1. Sa është probabiliteti për të marrë një numër çift pikësh (ngjarja A) në një rrotullim të një koke?
Zgjidhje. Merrni parasysh ngjarjet PORi- braktisur i pikë, i= 1, 2, ..., 6. Natyrisht, këto ngjarje formojnë një model rastesh. Pastaj numri i të gjitha rasteve n= 6. Një numër çift pikësh favorizohet nga rastet POR 2 , POR 4 , POR 6, d.m.th. m= 3. Pastaj 
.
Detyra 1.2. Një urnë përmban 5 topa të bardhë dhe 10 të zinj. Topthat përzihen mirë dhe më pas nxirret 1 top rastësisht. Sa është probabiliteti që topi i tërhequr të jetë i bardhë?
Zgjidhje. Janë gjithsej 15 raste, të cilat formojnë modelin e rasteve. Dhe ngjarja e pritur POR- Paraqitja e topit të bardhë favorizohet nga 5 prej tyre, pra 
.
Detyra 1.3. Fëmija luan me gjashtë shkronjat e alfabetit: A, A, E, K, P, T. Gjeni probabilitetin që ai të mund të shtojë rastësisht fjalën KARRI (ngjarje A).
Zgjidhje. Vendimi është i ndërlikuar nga fakti se midis shkronjave ka të njëjtat - dy shkronja "A". Prandaj, numri i të gjitha rasteve të mundshme në këtë gjykim është i barabartë me numrin e permutacioneve me përsëritje prej 6 shkronjash:
.
Këto raste janë po aq të mundshme, të papajtueshme në çift dhe formojnë një grup të plotë ngjarjesh, d.m.th. formojnë një diagram rasti. Vetëm një shans favorizon ngjarjen POR. Kjo është arsyeja pse
.
Detyra 1.4. Tanya dhe Vanya ranë dakord të festonin Vitin e Ri në një shoqëri prej 10 personash. Ata të dy donin shumë të uleshin pranë njëri-tjetrit. Sa është probabiliteti që dëshira e tyre të realizohet nëse është zakon që vendet të shpërndahen midis miqve me short?
Zgjidhje. Shënoni me POR ngjarja "përmbushja e dëshirës së Tanya dhe Vanya". 10 persona mund të ulen në një tavolinë me 10! menyra te ndryshme. Sa nga këto n= 10! a janë po aq mënyra të mundshme të favorshme për Tanya dhe Vanya? Tanya dhe Vanya, të ulur krah për krah, mund të marrin 20 pozicione të ndryshme. Në të njëjtën kohë, tetë nga miqtë e tyre mund të ulen në tryezën 8! mënyra të ndryshme, pra m= 20∙8!. Rrjedhimisht, 
.
Detyra 1.5. Një grup prej 5 femrash dhe 20 meshkujsh zgjedh tre delegatë. Duke supozuar se secili prej të pranishmëve ka mundësi të barabarta për t'u zgjedhur, gjeni probabilitetin që të zgjidhen dy gra dhe një burrë.
Zgjidhje. Numri i përgjithshëm i rezultateve po aq të mundshme të testit është i barabartë me numrin e mënyrave në të cilat mund të zgjidhen tre delegatë nga 25 persona, d.m.th. . Le të llogarisim tani numrin e rasteve të favorshme, d.m.th. sa herë ndodh ngjarja me interes. Delegati mashkull mund të zgjidhet në njëzet mënyra. Në të njëjtën kohë, dy delegatët e mbetur duhet të jenë gra, dhe ju mund të zgjidhni dy gra nga pesë. Rrjedhimisht,. Kjo është arsyeja pse
.
Problemi 1.6. Katër topa shpërndahen rastësisht në katër vrima, secili top bie në një ose në një vrimë me të njëjtën probabilitet dhe në mënyrë të pavarur nga të tjerët (nuk ka pengesa për të futur disa topa në të njëjtën vrimë). Gjeni probabilitetin që do të ketë tre topa në njërën nga vrimat, njëra - në tjetrën dhe asnjë top në dy vrimat e tjera.
Zgjidhje. Numri total i rasteve n=4 4 . Numri i mënyrave në të cilat mund të zgjidhet një vrimë, ku do të ketë tre topa, . Numri i mënyrave në të cilat mund të zgjidhni vrimën ku do të ketë një top, . Numri i mënyrave në të cilat mund të zgjidhni tre topa nga katër topa për t'i vendosur në vrimën e parë, . Numri i përgjithshëm i rasteve të favorshme. Probabiliteti i ngjarjes: 
Problemi 1.7. Ka 10 topa identikë në kuti, të shënuara me numrat 1, 2, ..., 10. Gjashtë topa janë tërhequr për fat. Gjeni probabilitetin që midis topave të nxjerrë të ketë: a) topin nr.1; b) topat #1 dhe #2.
Zgjidhje. a) Numri i përgjithshëm i rezultateve të mundshme elementare të testit është i barabartë me numrin e mënyrave në të cilat mund të nxirren gjashtë topa nga dhjetë, d.m.th.
Le të gjejmë numrin e rezultateve që favorizojnë ngjarjen që na intereson: ndër gjashtë topat e përzgjedhur është topi nr. 1 dhe, për rrjedhojë, pesë topat e mbetur kanë numra të ndryshëm. Numri i rezultateve të tilla është padyshim i barabartë me numrin e mënyrave në të cilat pesë topa mund të zgjidhen nga nëntë të tjerat, d.m.th.
Probabiliteti i dëshiruar është i barabartë me raportin e numrit të rezultateve që favorizojnë ngjarjen në shqyrtim me numrin total të rezultateve të mundshme elementare:
b) Numri i rezultateve që favorizojnë ngjarjen me interes për ne (midis topave të përzgjedhur ka topa nr. 1 dhe nr. 2, pra, katër topa kanë numra të ndryshëm) është i barabartë me numrin e mënyrave në të cilat mund të bëhen katër topa nxjerrë nga tetë të tjerat, dmth Probabiliteti i dëshiruar 
1.2.3. Probabiliteti Statistikor
Përkufizimi statistikor i probabilitetit përdoret kur rezultatet e një eksperimenti nuk janë njësoj të mundshme.
Frekuenca relative e ngjarjeve
POR përcaktohet nga barazia:
,
ku mështë numri i sprovave në të cilat ngjarja POR ka ardhur nështë numri i përgjithshëm i testeve të kryera.
J. Bernoulli vërtetoi se me një rritje të pakufizuar të numrit të eksperimenteve, frekuenca relative e ndodhjes së një ngjarje praktikisht do të ndryshojë në mënyrë arbitrare nga një numër konstant. Doli se ky numër konstant është probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje. Prandaj, natyrshëm, frekuenca relative e ndodhjes së një ngjarjeje me një numër mjaft të madh provash quhet probabilitet statistikor, në ndryshim nga probabiliteti i paraqitur më parë.
Shembulli 1.8. Si mund ta përafroni numrin e peshqve në një liqen?
Lëreni në liqen X peshku. Ne hedhim rrjetin dhe, le të themi, gjejmë në të n peshku. Ne e shënojmë secilën prej tyre dhe e lëshojmë përsëri. Disa ditë më vonë, në të njëjtin mot dhe në të njëjtin vend, hodhëm të njëjtën rrjetë. Supozojmë se në të gjejmë m peshk, ndër të cilët k etiketuar. Lëreni ngjarjen POR- "Peshku i kapur është i etiketuar". Pastaj sipas përcaktimit të frekuencës relative.
Por nëse në liqen X peshku dhe e lëshuam n etiketuar, pastaj .
Sepse R * (POR) » R(POR), pastaj.
1.2.4. Operacionet në ngjarje. Teorema e mbledhjes
shuma, ose një bashkim i disa ngjarjeve është një ngjarje që konsiston në ndodhjen e të paktën një prej këtyre ngjarjeve (në të njëjtin test).
Shuma POR 1 + POR 2 + … + PORn shënohet kështu: 
ose 
.
Shembull. Hidhen dy zare. Lëreni ngjarjen POR përbëhet nga rrotullimi i 4 pikëve në 1 bie, dhe ngjarja NË- në një rrotull prej 5 pikësh në një tjetër bie. Zhvillimet POR Dhe NË të përbashkët. Prandaj ngjarja POR +NË konsiston në rrotullimin e 4 pikave në mbulesën e parë, ose 5 pikave në të dytin, ose 4 pikëve në të parën dhe 5 pikëve në të dytin në të njëjtën kohë.
Shembull. Ngjarja POR– fitim me 1 hua, event NË- fitoni 2 kredi. Pastaj ngjarja A+B- duke fituar të paktën një kredi (mundësisht dy në të njëjtën kohë).
puna ose kryqëzimi i disa ngjarjeve është një ngjarje që konsiston në ndodhjen e përbashkët të të gjitha këtyre ngjarjeve (në të njëjtin test).
Puna NË ngjarjet POR 1 , POR 2 , …, PORn shënohet kështu:
.
Shembull. Zhvillimet POR Dhe NË konsistojnë në kalimin me sukses të raundeve I dhe II, përkatësisht, pas pranimit në institut. Pastaj ngjarja POR×B konsiston në përfundimin me sukses të të dy raundeve.
Konceptet e shumës dhe prodhimit të ngjarjeve kanë një interpretim të qartë gjeometrik. Lëreni ngjarjen POR ka një goditje të një pike në zonë POR, dhe ngjarjen NË- goditja e një pike në zonë NË. Pastaj ngjarja A+B ka një goditje të një pike në bashkimin e këtyre zonave (Fig. 2.1), dhe ngjarja PORNË ka një goditje të një pike në kryqëzimin e këtyre zonave (Fig. 2.2).
Oriz. 2.1 Fig. 2.2
Teorema. Nëse ngjarjet Ai(i = 1, 2, …, n) janë të papajtueshme në çift, atëherë probabiliteti i shumës së ngjarjeve është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve: 
.
Le te jete POR Dhe Ā
– ngjarje të kundërta, d.m.th. A + a= Ω, ku Ω është një ngjarje e caktuar. Nga teorema e mbledhjes del se
P(Ω) = R(POR) + R(Ā
) = 1, pra
R(Ā
) = 1 – R(POR).
Nëse ngjarjet POR 1 dhe POR 2 janë të përbashkëta, atëherë probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve të përbashkëta është i barabartë me:
R(POR 1 + POR 2) = R(POR 1) + R(POR 2) – P( POR 1× POR 2).
Teoremat e shtimit të probabilitetit bëjnë të mundur kalimin nga një llogaritje e drejtpërdrejtë e probabiliteteve në përcaktimin e probabiliteteve të ndodhjes së ngjarjeve komplekse.
Detyra 1.8. Qitësi lëshon një të shtënë në objektiv. Probabiliteti për të eliminuar 10 pikë (ngjarje POR), 9 pikë (ngjarje NË) dhe 8 pikë (ngjarje NGA) janë të barabartë me 0,11, përkatësisht; 0,23; 0.17. Gjeni probabilitetin që me një gjuajtje gjuajtësi të shënojë më pak se 8 pikë (ngjarja D).
Zgjidhje. Le të kalojmë në ngjarjen e kundërt - me një gjuajtje, gjuajtësi do të eliminojë të paktën 8 pikë. Ngjarja ndodh nëse POR ose NË, ose NGA, d.m.th. . Që nga ngjarjet A, B, NGA janë jokonsistente në çift, atëherë nga teorema e mbledhjes,
, ku.
Detyra 1.9. Nga ekipi i brigadës, i cili përbëhet nga 6 burra dhe 4 gra, janë përzgjedhur dy persona për konferencën sindikale. Sa është probabiliteti që të paktën një grua në mesin e të zgjedhurve (ngjarja POR).
Zgjidhje. Nëse ndodh një ngjarje POR, atëherë do të ndodhë domosdoshmërisht një nga ngjarjet e mëposhtme të papajtueshme: NË- "zgjidhen një burrë dhe një grua"; NGA"Janë zgjedhur dy gra." Prandaj, mund të shkruajmë: A=B+C. Gjeni probabilitetin e ngjarjeve NË Dhe NGA. Dy persona nga 10 mund të zgjidhen në mënyra. Dy femra nga 4 mund të zgjidhen në mënyra. Mashkulli dhe femra mund të zgjidhen në mënyra 6×4. Pastaj . Që nga ngjarjet NË Dhe NGA janë jokonsistente, pra, nga teorema e mbledhjes,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Problemi 1.10. Në bibliotekë ka 15 tekste të renditura rastësisht në një raft, pesë prej të cilëve janë të lidhur. Bibliotekari merr tre tekste shkollore rastësisht. Gjeni probabilitetin që të paktën një nga tekstet e marra të jetë i lidhur (ngjarje POR).
Zgjidhje. Mënyra e parë. Kërkesa - të paktën një nga tre librat shkollorë të lidhur - do të përmbushet nëse ndodh ndonjë nga tre ngjarjet e mëposhtme të papajtueshme: NË- 1 tekst i lidhur NGA- dy tekste të lidhura D- Tre tekste të lidhura.
Ngjarja për të cilën jemi të interesuar POR mund të përfaqësohet si një shumë e ngjarjeve: A=B+C+D. Nga teorema e mbledhjes,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Gjeni probabilitetin e ngjarjeve B, C Dhe D(shih skemat kombinuese): 
Duke i përfaqësuar këto probabilitete në barazi (2.1), më në fund marrim
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Mënyra e dytë. Ngjarja POR(të paktën një nga tre tekstet e marra ka një lidhje lidhëse) dhe Ā
(asnjë nga tekstet e marra nuk ka lidhje) janë të kundërta, pra P(A) + P(Ā) = 1 (shuma e probabiliteteve të dy ngjarjeve të kundërta është e barabartë me 1). Nga këtu P(A) = 1 – P(a). Probabiliteti për të ndodhur një ngjarje Ā
(asnjë nga tekstet e marra nuk është i lidhur)
Probabiliteti i dëshiruar
P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.
1.2.5. Probabiliteti i kushtëzuar. Teorema e shumëzimit të probabilitetit
Probabiliteti i kushtëzuar P(B/POR) është probabiliteti i ngjarjes B, i llogaritur me supozimin se ngjarja A ka ndodhur tashmë.
Teorema. Probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të dy ngjarjeve është i barabartë me produktin e probabiliteteve të njërës prej tyre me probabilitetin e kushtëzuar të tjetrës, e llogaritur me supozimin se ngjarja e parë ka ndodhur tashmë:
P(A∙B) = P(A)∙P( NË/POR). (2.2)
Dy ngjarje quhen të pavarura nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk e ndryshon probabilitetin e ndodhjes së tjetrës, d.m.th.
P(A) = P(A/B) ose P(B) = P(B/POR). (2.3)
Nëse ngjarjet POR Dhe NË janë të pavarura, atëherë formulat (2.2) dhe (2.3) nënkuptojnë
P(A∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
Është e vërtetë edhe pohimi i kundërt, d.m.th. nëse barazia (2.4) vlen për dy ngjarje, atëherë këto ngjarje janë të pavarura. Në të vërtetë, formulat (2.4) dhe (2.2) nënkuptojnë
P(A∙B) = P(A)∙P(B) = P(A) × P(B/POR), ku P(A) = P(B/POR).
Formula (2.2) mund të përgjithësohet në rastin e një numri të kufizuar ngjarjesh POR 1 , POR 2 ,…,Një n:
P(A 1 ∙POR 2 ∙…∙Një n)=P(A 1)∙P(A 2 /POR 1)∙P(A 3 /POR 1 POR 2)∙…∙P(A n/POR 1 POR 2 …Një n -1).
Detyra 1.11. Nga një urnë që përmban 5 topa të bardhë dhe 10 të zinj, vizatohen dy topa me radhë. Gjeni probabilitetin që të dy topat të jenë të bardhë (ngjarje POR).
Zgjidhje. Merrni parasysh ngjarjet: NË- topi i parë i tërhequr është i bardhë; NGA– topi i dytë i tërhequr është i bardhë. Pastaj A = para Krishtit.
Përvoja mund të bëhet në dy mënyra:
1) me kthim: pas fiksimit të ngjyrës, topi i tërhequr kthehet në urnë. Në këtë rast, ngjarjet NË Dhe NGA i pavarur:
P(A) = P(B)∙P(C) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) pa zëvendësim: topi i tërhequr lihet mënjanë. Në këtë rast, ngjarjet NË Dhe NGA i varur:
P(A) = P(B)∙P(C/NË).
Për një ngjarje NË kushtet janë të njëjta, dhe për NGA situata ka ndryshuar. Ndodhi NË, pra në urnë kanë mbetur 14 topa, 4 prej të cilëve janë të bardhë.
Kështu që, .
Detyra 1.12. Ndër 50 llambat, 3 janë jo standarde. Gjeni probabilitetin që dy llamba të marra në të njëjtën kohë të jenë jo standarde.
Zgjidhje. Merrni parasysh ngjarjet: POR- llamba e parë është jo standarde, NË- llamba e dytë është jo standarde, NGA- të dy llambat janë jo standarde. Është e qartë se C = A∙NË. ngjarje POR favorizojnë 3 raste nga 50 të mundshme, d.m.th. P(A) = 3/50. Nëse ngjarja POR tashmë ka ndodhur, ngjarja NË favorizojnë dy raste nga 49 të mundshme, d.m.th. P(B/POR) = 2/49. Rrjedhimisht,
.
Detyra 1.13. Dy atletë qëllojnë në mënyrë të pavarur në të njëjtin objektiv. Probabiliteti për të goditur objektivin e atletit të parë është 0.7, dhe i dyti është 0.8. Sa është probabiliteti që objektivi të goditet?
Zgjidhje. Objektivi do të goditet nëse e godasin ose gjuajtësi i parë, ose i dyti, ose të dy, d.m.th. do të ndodhë një ngjarje A+B, ku ndodhi ngjarja POR konsiston në goditjen e objektivit nga atleti i parë, dhe ngjarja NË- e dyta. Pastaj
P(A+NË)=P(A)+P(B)–P(A∙NË)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Problemi 1.14. Në sallën e leximit ka gjashtë tekste për teorinë e probabilitetit, tre prej të cilëve janë të lidhur. Bibliotekarja mori rastësisht dy tekste shkollore. Gjeni probabilitetin që dy tekste shkollore të jenë të lidhura.
Zgjidhje. Le të prezantojmë shënimin e ngjarjeve : A– teksti i parë i marrë ka një lidhje, NË- Teksti i dytë shkollor është i lidhur. Probabiliteti që teksti i parë të ketë një lidhje,
P(A) = 3/6 = 1/2.
Probabiliteti që teksti i dytë të jetë i lidhur, duke qenë se libri i parë i marrë ka qenë i lidhur, d.m.th. probabiliteti i kushtëzuar i një ngjarjeje NË, është kjo: P(B/POR) = 2/5.
Probabiliteti i dëshiruar që të dy tekstet të kenë një lidhje, sipas teoremës së shumëzimit për probabilitetet e ngjarjeve, është i barabartë me
P(AB) = P(A) ∙ P(B/POR)= 1/2 ∙ 2/5 = 0,2.
Problemi 1.15. Dyqani ka të punësuar 7 meshkuj dhe 3 femra. Tre persona janë përzgjedhur në mënyrë të rastësishme sipas numrit të personelit. Gjeni probabilitetin që të gjithë personat e përzgjedhur të jenë burra.
Zgjidhje. Le të prezantojmë shënimin e ngjarjeve: A- mashkull i zgjedhur i pari NË- njeriu i dytë i përzgjedhur, NGA - njeriu i tretë i përzgjedhur. Probabiliteti që një mashkull të zgjidhet i pari P(A) = 7/10.
Probabiliteti që një burrë të zgjidhet i dyti, me kusht që një burrë të jetë zgjedhur i pari, d.m.th. probabiliteti i kushtëzuar i një ngjarjeje NË tjetër : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Probabiliteti që një burrë të zgjidhet i treti, me kusht që të jenë zgjedhur tashmë dy burra, d.m.th. probabiliteti i kushtëzuar i një ngjarjeje NGAështë: P(C/AB) = 5/8.
Probabiliteti i dëshiruar që të tre personat e përzgjedhur të jenë burra, P(ABC) = P(A) P(B/POR) P(C/AB) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24.
1.2.6. Formula e probabilitetit total dhe formula e Bayes
Le te jete B 1 , B 2 ,…, B n janë ngjarje të papajtueshme në çift (hipoteza) dhe POR- një ngjarje që mund të ndodhë vetëm në lidhje me njërën prej tyre.
Na tregoni gjithashtu Р(B i) Dhe P(A/B i) (i = 1, 2, …, n).
Në këto kushte, formulat janë të vlefshme: 
(2.5)
(2.6)
Formula (2.5) quhet formula e probabilitetit total
. Ai llogarit probabilitetin e një ngjarjeje POR(probabilitet i plotë).
Formula (2.6) quhet Formula e Bayes
. Kjo ju lejon të rillogaritni probabilitetet e hipotezave nëse ndodh ngjarja POR ndodhi.
Gjatë përpilimit të shembujve, është e përshtatshme të merret parasysh se hipotezat formojnë një grup të plotë.
Detyra 1.16. Shporta përmban mollë nga katër pemë të së njëjtës varietet. Nga e para - 15% e të gjitha mollëve, nga e dyta - 35%, nga e treta - 20%, nga e katërta - 30%. Mollët e pjekura janë përkatësisht 99%, 97%, 98%, 95%.
a) Sa është probabiliteti që një mollë e zgjedhur rastësisht të jetë e pjekur? POR).
b) Me kusht që një mollë e marrë rastësisht të dalë e pjekur, llogarisni probabilitetin që të jetë nga pema e parë.
Zgjidhje. a) Kemi 4 hipoteza:
B 1 - një mollë e marrë rastësisht merret nga pema e parë;
B 2 - një mollë e marrë rastësisht merret nga pema e dytë;
B 3 - një mollë e marrë rastësisht merret nga pema e 3-të;
B 4 - një mollë e marrë rastësisht merret nga pema e 4-të.
Probabilitetet e tyre sipas kushtit: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Probabilitetet e ngjarjeve të kushtëzuara POR:
P(A/B 1) = 0,99; P(A/B 2) = 0,97; P(A/B 3) = 0,98; P(A/B 4) = 0,95.
Probabiliteti që një mollë e zgjedhur rastësisht të jetë e pjekur gjendet me formulën e probabilitetit total:
P(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)+P(B 4)∙P(A/B 4)=0,969.
b) Formula e Bayes për rastin tonë ka formën: 
.
Problemi 1.17. Një top i bardhë hidhet në një urnë që përmban dy topa, pas së cilës një top tërhiqet rastësisht. Gjeni probabilitetin që topi i tërhequr të jetë i bardhë nëse të gjitha supozimet e mundshme për përbërjen fillestare të topave (sipas ngjyrës) janë po aq të mundshme.
Zgjidhje. Shënoni me POR ngjarje - vizatohet një top i bardhë. Supozimet (hipotezat) e mëposhtme në lidhje me përbërjen fillestare të topave janë të mundshme: B1 pa topa të bardhë NË 2- një top të bardhë NË 3- dy topa të bardhë.
Meqenëse janë tre hipoteza gjithsej, dhe shuma e probabiliteteve të hipotezave është e barabartë me 1 (pasi ato formojnë një grup të plotë ngjarjesh), atëherë probabiliteti i secilës prej hipotezave është i barabartë me 1/3, d.m.th.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Probabiliteti i kushtëzuar që të vizatohet një top i bardhë, duke pasur parasysh që fillimisht nuk kishte topa të bardhë në urnë, P(A/B 1)=1/3. Probabiliteti i kushtëzuar që të vizatohet një top i bardhë, duke pasur parasysh se urna fillimisht përmbante një top të bardhë, P(A/B 2)=2/3. Probabiliteti i kushtëzuar që të vizatohet një top i bardhë, duke pasur parasysh se urna fillimisht përmbante dy topa të bardhë. P(A/B 3)=3/ 3=1.
Probabiliteti i dëshiruar që të vizatohet një top i bardhë gjendet me formulën e probabilitetit total:
R(POR)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Detyra 1.18. Dy makina prodhojnë të njëjtat pjesë që futen në një transportues të përbashkët. Performanca e makinës së parë është dy herë më e madhe se e dyta. Makina e parë prodhon mesatarisht 60% të pjesëve me cilësi të shkëlqyeshme, dhe e dyta - 84%. Pjesa e marrë rastësisht nga linja e montimit doli të ishte e cilësisë së shkëlqyer. Gjeni probabilitetin që ky artikull të jetë prodhuar nga makina e parë.
Zgjidhje. Shënoni me POR ngjarja është një artikull me cilësi të shkëlqyer. Mund të bëhen dy supozime: B1- pjesa prodhohet nga makina e parë, dhe (pasi makina e parë prodhon dy herë më shumë pjesë se e dyta) P(A/B 1) = 2/3; B 2 - pjesa është prodhuar nga makina e dytë, dhe P(B 2) = 1/3.
Probabiliteti i kushtëzuar që pjesa të jetë e cilësisë së shkëlqyer nëse prodhohet nga makina e parë, P(A/B 1)=0,6.
Probabiliteti i kushtëzuar që pjesa të jetë e cilësisë së shkëlqyer nëse prodhohet nga makina e dytë, P(A/B 1)=0,84.
Probabiliteti që një pjesë e zgjedhur rastësisht të jetë e një cilësie të shkëlqyer, sipas formulës së probabilitetit total, është e barabartë me
P(A)=P(B 1) ∙P(A/B 1)+P(B 2) ∙P(A/B 2)=2/3 0,6+1/3 0,84 = 0,68.
Probabiliteti i dëshiruar që pjesa e shkëlqyer e marrë të prodhohet nga automati i parë, sipas formulës Bayes, është e barabartë me
Detyra 1.19. Janë tre grupe pjesësh me nga 20 pjesë secila. Numri i pjesëve standarde në grupin e parë, të dytë dhe të tretë është përkatësisht 20, 15, 10. Një pjesë që rezultoi standarde u nxor në mënyrë të rastësishme nga grupi i përzgjedhur. Pjesët kthehen në grup dhe një pjesë hiqet rastësisht nga e njëjta grumbull për herë të dytë, e cila gjithashtu rezulton të jetë standarde. Gjeni probabilitetin që pjesët janë marrë nga grupi i tretë.
Zgjidhje. Shënoni me POR ngjarje - në secilin nga dy testet (me kthim), u mor një pjesë standarde. Mund të bëhen tre hipoteza: B 1 - pjesët hiqen nga grupi i parë, NË 2
- pjesët merren nga grupi i dytë, NË 3 - pjesët hiqen nga grupi i tretë.
Detajet janë marrë në mënyrë të rastësishme nga grupi i marrë, kështu që probabilitetet e hipotezave janë të njëjta: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Gjeni probabilitetin e kushtëzuar P(A/B 1), d.m.th. probabiliteti që dy pjesë standarde të nxirren radhazi nga grupi i parë. Kjo ngjarje është e besueshme, sepse. në grupin e parë, të gjitha pjesët janë standarde, kështu që P(A/B 1) = 1.
Gjeni probabilitetin e kushtëzuar P(A/B 2), d.m.th. probabiliteti që dy pjesë standarde do të nxirren në mënyrë sekuenciale (me kthim) nga grupi i dytë: P(A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Gjeni probabilitetin e kushtëzuar P(A/B 3), d.m.th. probabiliteti që dy pjesë standarde të hiqen në mënyrë të njëpasnjëshme (me kthim) nga grupi i tretë: P(A/B 3) = 10/20 10/20 = 1/4.
Probabiliteti i dëshiruar që të dyja pjesët standarde të nxjerra të merren nga grupi i tretë, sipas formulës Bayes, është i barabartë me 
1.2.7. Riteston
Nëse kryhen disa teste, dhe probabiliteti i një ngjarjeje POR në çdo gjykim nuk varet nga rezultatet e gjykimeve të tjera, atëherë quhen gjykime të tilla i pavarur në lidhje me ngjarjen A. Në gjyqe të ndryshme të pavarura, ngjarja POR mund të ketë ose probabilitete të ndryshme ose të njëjtën probabilitet. Ne do të shqyrtojmë më tej vetëm gjykime të tilla të pavarura në të cilat ngjarja POR ka të njëjtin probabilitet.
Le të prodhohet P gjykime të pavarura, në secilën prej të cilave një ngjarje POR mund të shfaqet ose jo. Le të supozojmë se probabiliteti i një ngjarjeje POR në çdo test është i njëjtë, domethënë i barabartë me R. Prandaj probabiliteti i mosndodhjes së ngjarjes POR në çdo test është gjithashtu konstante dhe e barabartë me 1- R. Një skemë e tillë probabiliste quhet Skema Bernoulli. Le t'i vendosim vetes detyrën për të llogaritur probabilitetin që P Provat e ngjarjeve të Bernoulli POR do të realizohet saktësisht k nje here ( k- numri i sukseseve) dhe, për rrjedhojë, nuk do të realizohet P- një herë. Është e rëndësishme të theksohet se nuk kërkohet që ngjarja POR përsëritur saktësisht k herë në një sekuencë të caktuar. Tregoni probabilitetin e dëshiruar R p (k).
Për shembull, simboli R 5 (3) nënkupton probabilitetin që në pesë prova ngjarja të shfaqet saktësisht 3 herë dhe, për rrjedhojë, nuk do të ndodhë 2 herë.
Problemi mund të zgjidhet duke përdorur të ashtuquajturat formulat e Bernoulli, që duket si: 
.
Problemi 1.20. Probabiliteti që konsumi i energjisë elektrike gjatë një dite të mos kalojë normën e vendosur është e barabartë me R=0,75. Gjeni probabilitetin që në 6 ditët e ardhshme konsumi i energjisë elektrike për 4 ditë të mos kalojë normën.
Zgjidhje. Probabiliteti i konsumit normal të energjisë elektrike gjatë secilës prej 6 ditëve është konstant dhe i barabartë me R=0,75. Prandaj, probabiliteti i mbishpenzimit të energjisë elektrike çdo ditë është gjithashtu konstant dhe i barabartë me q= 1–R=1–0,75=0,25.
Probabiliteti i dëshiruar sipas formulës së Bernulit është i barabartë me
.
Detyra 1.21. Dy shahistë të barabartë luajnë shah. Cila ka më shumë gjasa: të fitosh dy ndeshje nga katër ose tre ndeshje nga gjashtë (barazimet nuk merren parasysh)?
Zgjidhje. Lojtarët e barabartë të shahut janë duke luajtur, kështu që probabiliteti për të fituar R= 1/2, pra probabiliteti i humbjes qështë gjithashtu e barabartë me 1/2. Sepse në të gjitha lojërat probabiliteti për të fituar është konstant dhe nuk ka rëndësi se në çfarë sekuence fitohen lojërat, atëherë formula e Bernoulli është e zbatueshme.
Gjeni probabilitetin që dy ndeshje nga katër do të fitohen:
Gjeni probabilitetin që tre nga gjashtë ndeshje të fitohen:
Sepse P 4 (2) > P 6 (3), ka më shumë gjasa për të fituar dy ndeshje nga katër sesa tre nga gjashtë.
Megjithatë, mund të shihet se përdorimi i formulës Bernoulli për vlera të mëdha nështë mjaft e vështirë, pasi formula kërkon kryerjen e operacioneve në numra të mëdhenj dhe për këtë arsye grumbullohen gabime në procesin e llogaritjeve; si rezultat, rezultati përfundimtar mund të ndryshojë ndjeshëm nga ai i vërtetë.
Për të zgjidhur këtë problem, ekzistojnë disa teorema kufitare që përdoren për rastin e një numri të madh provash.
1. Teorema e Puasonit
Kur kryeni një numër të madh testesh sipas skemës Bernoulli (me n=> ∞) dhe me një numër të vogël rezultatesh të favorshme k(duke supozuar se probabiliteti i suksesit fq i vogël), formula e Bernulit i afrohet formulës Poisson 
.
Shembulli 1.22. Probabiliteti i martesës në prodhimin e një njësie prodhimi nga ndërmarrja është i barabartë me fq=0.001. Sa është probabiliteti që në prodhimin e 5000 njësive të produkteve të ketë më pak se 4 të dëmtuara (ngjarje POR Zgjidhje. Sepse nështë e madhe, ne përdorim teoremën lokale të Laplace: 
Llogaritni x:
Funksioni 
është çift, prandaj φ(–1.67) = φ(1.67).
Sipas tabelës së shtojcës A.1, gjejmë φ(1.67) = 0.0989.
Probabiliteti i dëshiruar P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Teorema integrale e Laplasit
Nëse probabiliteti R ndodhja e një ngjarjeje A në çdo provë sipas skemës së Bernulit është konstante dhe e ndryshme nga zero dhe një, pastaj me një numër të madh provash n, probabilitet R p (k 1 , k 2) ngjarja A në këto prova k 1 deri në k 2 herë afërsisht e barabartë
R fq(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ ( x"), ku 
është funksioni Laplace,
Integrali i caktuar në funksionin Laplace nuk llogaritet në klasën e funksioneve analitike, kështu që Tabela 1 përdoret për ta llogaritur atë. Klauzola 2, dhënë në shtojcë.
Shembulli 1.24. Probabiliteti që një ngjarje të ndodhë në secilën nga njëqind provat e pavarura është konstante dhe e barabartë me fq= 0.8. Gjeni probabilitetin që ngjarja të ndodhë: a) të paktën 75 herë dhe maksimumi 90 herë; b) të paktën 75 herë; c) jo më shumë se 74 herë.
Zgjidhje. Le të përdorim teoremën integrale të Laplace:
R fq(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ( x"), ku Ф( x) është funksioni Laplace,
a) Sipas kushtit n = 100, fq = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Llogarit x"" Dhe x" :
Duke marrë parasysh se funksioni Laplace është tek, d.m.th. F(- x) = – F( x), marrim
P 100 (75; 90) \u003d F (2,5) - F (-1,25) \u003d F (2,5) + F (1,25).
Sipas tabelës P.2. gjeni aplikacione:
F(2.5) = 0.4938; Ф(1,25) = 0,3944.
Probabiliteti i dëshiruar
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) Kërkesa që ngjarja të ndodhë të paktën 75 herë do të thotë që numri i ndodhive të ngjarjes mund të jetë i barabartë me 75, ose 76, ..., ose 100. Kështu, në rastin në shqyrtim, duhet marrë k 1 = 75, k 2 = 100. Pastaj 
.
Sipas tabelës P.2. aplikacionet, gjejmë Ф (1.25) = 0.3944; Ф(5) = 0,5.
Probabiliteti i dëshiruar
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Ngjarja - " POR u shfaq të paktën 75 herë" dhe " POR u shfaq jo më shumë se 74 herë” janë të kundërta, pra shuma e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve është 1. Prandaj, probabiliteti i dëshiruar
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.
