Shembuj të ngjarjeve të besueshme dhe të pamundura. Dilni vetë me dy ngjarje të besueshme, të rastësishme dhe të pamundura. Disa informacione nga kombinatorika
Një ngjarje është rezultat i një testi. Çfarë është një ngjarje? Një top merret rastësisht nga urna. Heqja e topit nga urna është një provë. Shfaqja e një topi të një ngjyre të caktuar është një ngjarje. Në teorinë e probabilitetit, një ngjarje kuptohet si diçka për të cilën, pas një momenti të caktuar kohor, mund të thuhet një dhe vetëm një nga dy gjërat. Po, ndodhi. Jo, nuk ndodhi. Rezultati i mundshëm i një eksperimenti quhet një ngjarje elementare, dhe shumë rezultate të tilla quhen thjesht një ngjarje.
Ngjarjet e paparashikueshme quhen ngjarje të rastësishme. Një ngjarje quhet e rastësishme nëse, në të njëjtat kushte, mund të ndodhë ose jo. Kur të mbështillet koka, një gjashtë do të hidhet. Unë kam një biletë lotarie. Pasi të publikohen rezultatet e shortit të shortit, ngjarja me interes për mua - fitimi i një mijë rubla, ose ndodh ose nuk ndodh. Shembull.
Dy ngjarje që mund të ndodhin njëkohësisht në këto kushte quhen të përbashkëta, dhe ato që nuk mund të ndodhin njëkohësisht quhen të papajtueshme. Një monedhë është hedhur. Pamja e "stemës" përjashton pamjen e mbishkrimit. Ngjarjet "u shfaq një stemë" dhe "u shfaq një mbishkrim" janë të papajtueshme. Shembull.
Një ngjarje që ndodh gjithmonë quhet e besueshme. Një ngjarje që nuk mund të ndodhë quhet e pamundur. Për shembull, le të nxirret një top nga një urnë që përmban vetëm topa të zinj. Atëherë shfaqja e topit të zi është një ngjarje e caktuar; shfaqja e një topi të bardhë është një ngjarje e pamundur. Shembuj. Bora nuk do të bjerë vitin e ardhshëm. Kur mbështillet koka, një shtatë do të hidhet. Këto janë ngjarje të pamundura. Bora do të bjerë vitin e ardhshëm. Në rrotullën e peshores, do të rrotullohet një numër më i vogël se shtatë. Lindja e diellit çdo ditë. Këto janë ngjarje të besueshme.
Zgjidhja e problemit Për secilën nga ngjarjet e përshkruara, përcaktoni se çfarë është: e pamundur, e sigurt apo e rastësishme. 1. Nga 25 nxënës në klasë, dy festojnë ditëlindjen a) 30 janar; b) 30 shkurt. 2. Një tekst mësimor për letërsinë hapet rastësisht dhe fjala e dytë gjendet në faqen e majtë. Kjo fjalë fillon: a) me shkronjën "K"; b) me shkronjën “b”.
3. Sot në Soçi barometri tregon presion normal atmosferik. Në këtë rast: a) uji në tenxhere të zier në temperaturën 80°C; b) kur temperatura ra në -5 ° C, uji në pellg ngriu. 4. Hidhni dy zare: a) zari i parë ka 3 pikë, kurse i dyti - 5 pikë; b) shuma e pikëve të hedhura në dy zare është e barabartë me 1; c) shuma e pikëve të hedhura në dy zare është 13; d) 3 pikë janë shënuar në të dyja kockat; e) shuma e pikëve në dy zare është më e vogël se 15. Zgjidhja e problemave
5. Keni hapur një libër në çdo faqe dhe keni lexuar emrin e parë që ju del. Doli se: a) ka një zanore në drejtshkrimin e fjalës së zgjedhur; b) drejtshkrimi i fjalës së zgjedhur përmban shkronjën "O"; c) nuk ka zanore në drejtshkrimin e fjalës së zgjedhur; d) ka një shenjë të butë në drejtshkrimin e fjalës së zgjedhur. Zgjidhja e problemeve
Teoria e probabilitetit, si çdo degë e matematikës, funksionon me një gamë të caktuar konceptesh. Shumica e koncepteve të teorisë së probabilitetit u jepet një përkufizim, por disa merren si parësore, jo të përcaktuara, si në gjeometri një pikë, një vijë e drejtë, një plan. Koncepti parësor i teorisë së probabilitetit është një ngjarje. Një ngjarje kuptohet si diçka për të cilën, pas një momenti të caktuar kohor, mund të thuhet një dhe vetëm një nga dy gjërat:
- · Po, ndodhi.
- · Jo, nuk ndodhi.
Për shembull, unë kam një biletë lotarie. Pas publikimit të rezultateve të shortit, ngjarja që më intereson është se fitimi i një mijë rubla ose ndodh ose nuk ndodh. Çdo ngjarje ndodh si rezultat i një testi (ose përvoje). Testi (ose përvoja) i referohet kushteve që rezultojnë në një ngjarje. Për shembull, hedhja e një monedhe është një provë, dhe shfaqja e një "steme" në të është një ngjarje. Ngjarja zakonisht përcaktohet me shkronja të mëdha latine: A, B, C,…. Ngjarjet në botën materiale mund të ndahen në tre kategori - të besueshme, të pamundura dhe aksidentale.
Një ngjarje e besueshme është një ngjarje që dihet paraprakisht se ka ndodhur. Ai shënohet me shkronjën W. Pra, është e besueshme të marrësh jo më shumë se gjashtë pikë kur hedh një za të zakonshëm, shfaqjen e një topi të bardhë kur hiqet nga një urnë që përmban vetëm topa të bardhë, etj.
Një ngjarje e pamundur është një ngjarje që dihet paraprakisht se nuk do të ndodhë. Ai shënohet me shkronjën E. Shembuj të ngjarjeve të pamundura janë heqja e më shumë se katër aceve nga një kuvertë e rregullt letrash, shfaqja e një topi të kuq nga një urnë që përmban vetëm topa të bardhë dhe të zinj, etj.
Një ngjarje e rastësishme është një ngjarje që mund ose nuk mund të ndodhë si rezultat i një testi. Ngjarjet A dhe B quhen të papajtueshme nëse fillimi i njërës prej tyre përjashton mundësinë e shfaqjes së tjetrës. Pra, shfaqja e çdo numri të mundshëm pikësh gjatë hedhjes së zarit (ngjarja A) është e papajtueshme me paraqitjen e një numri të ndryshëm (ngjarja B). Një numër çift pikësh nuk është në përputhje me një numër tek. Përkundrazi, humbja e pikëve çift (ngjarja A) dhe numri i pikëve që është shumëfish i tre (ngjarja B) nuk do të jenë të papajtueshme, sepse humbja e gjashtë pikëve nënkupton ndodhjen e ngjarjeve A dhe B. në mënyrë që ndodhja e njërës prej tyre të mos e përjashtojë ndodhjen e tjetrës. Mund të kryeni veprime me ngjarje. Bashkimi i dy ngjarjeve C = AUB është një ngjarje C që ndodh nëse dhe vetëm nëse ndodh të paktën një nga këto ngjarje A dhe B. Prerja e dy ngjarjeve D = A ?? B quhet një ngjarje që ndodh nëse dhe vetëm kur ngjarjet e A dhe B.
Ngjarjet (dukuritë) që vëzhgojmë mund të ndahen në tre llojet e mëposhtme: të besueshme, të pamundura dhe të rastësishme.
E besueshme quhet një ngjarje që do të ndodhë domosdoshmërisht nëse zbatohet një grup i caktuar kushtesh S. Për shembull, nëse një enë përmban ujë në presion normal atmosferik dhe një temperaturë prej 20 °, atëherë ngjarja "uji në enë është në gjendje të lëngshme ” është i besueshëm. Në këtë shembull, presioni i caktuar atmosferik dhe temperatura e ujit janë grupi i kushteve S.
E pamundur quhet ngjarje që nuk do të ndodhë nëse plotësohet bashkësia e kushteve S. Për shembull, ngjarja “uji në enë është në gjendje të ngurtë” sigurisht që nuk do të ndodhë nëse plotësohet bashkësia e kushteve të shembullit të mëparshëm.
E rastësishmeështë një ngjarje që, kur plotësohet një grup kushtesh S, mund të ndodhë ose jo. Për shembull, nëse një monedhë hidhet, atëherë ajo mund të bjerë në mënyrë që të ketë ose një stemë ose një mbishkrim sipër. Prandaj, ngjarja "kur u hodh monedha," stema "ka rënë - e rastësishme. Çdo ngjarje e rastësishme, në veçanti rënia e "stemës", është pasojë e veprimit të shumë shkaqeve të rastësishme (në shembullin tonë: forca me të cilën hidhet monedha, forma e monedhës dhe shumë të tjera ). Është e pamundur të merret parasysh ndikimi në rezultatin e të gjitha këtyre arsyeve, pasi numri i tyre është shumë i madh dhe ligjet e veprimit të tyre nuk dihen. Prandaj, teoria e probabilitetit nuk i vendos vetes detyrën për të parashikuar nëse një ngjarje e vetme do të ndodhë apo jo - ajo thjesht nuk mund ta bëjë atë.
Situata është e ndryshme nëse konsiderohen ngjarje të rastësishme që mund të vëzhgohen shumë herë në të njëjtat kushte S, domethënë nëse flasim për ngjarje të rastësishme homogjene masive. Rezulton se një numër mjaft i madh i ngjarjeve të rastësishme homogjene, pavarësisht nga natyra e tyre specifike, u binden ligjeve të caktuara, përkatësisht ligjeve probabiliste. Vendosja e këtyre rregullsive trajtohet nga teoria e probabilitetit.
Kështu, lënda e teorisë së probabilitetit është studimi i ligjeve probabiliste të ngjarjeve të rastësishme homogjene masive.
Metodat e teorisë së probabilitetit përdoren gjerësisht në degë të ndryshme të shkencës dhe teknologjisë natyrore. Teoria e probabilitetit shërben gjithashtu për të vërtetuar statistikat matematikore dhe të aplikuara.
Llojet e ngjarjeve të rastësishme... Ngjarjet quhen jokonsistente nëse ndodhja e njërës prej tyre përjashton ndodhjen e ngjarjeve të tjera në të njëjtin gjykim.
Shembull. Një monedhë është hedhur. Pamja e "stemës" përjashton pamjen e mbishkrimit. Ngjarjet "u shfaq një stemë" dhe "u shfaq një mbishkrim" janë të papajtueshme.
Formohen disa ngjarje grupi i plotë nëse të paktën njëri prej tyre shfaqet si rezultat i testit. Në veçanti, nëse ngjarjet që formojnë një grup të plotë janë jokonsistente në çift, atëherë një dhe vetëm një nga këto ngjarje do të shfaqet si rezultat i testit. Ky rast i veçantë është me interesin më të madh për ne, pasi përdoret më poshtë.
Shembulli 2. Blehen dy bileta lotarie me para në dorë. Një dhe vetëm një nga ngjarjet e mëposhtme do të ndodhë me siguri: "fitimet ranë në biletën e parë dhe nuk ranë në të dytën", "fitimet nuk ranë në biletën e parë dhe ranë në të dytën", "fitimet ranë në të dyja biletat", "në të dyja biletat, fitimet nuk ranë". Këto ngjarje formojnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme në çift.
Shembulli 3. Qitësi ka gjuajtur në objektiv. Një nga dy ngjarjet e mëposhtme do të ndodhë me siguri: goditni, humbisni. Këto dy ngjarje të papajtueshme formojnë një grup të plotë.
Ngjarjet quhen po aq e mundur nëse ka arsye për të besuar se asnjëra prej tyre nuk është më e mundshme se tjetra.
Shembulli 4. Shfaqja e "stemës" dhe shfaqja e një mbishkrimi kur hidhet një monedhë janë ngjarje po aq të mundshme. Në të vërtetë, supozohet se monedha është bërë nga një material homogjen, ka një formë cilindrike të rregullt dhe prania e prerjes nuk ndikon në rënien e njërës anë të monedhës ose tjetrës.
Vetja shënohet me shkronja të mëdha të alfabetit latin: A, B, C, .. A 1, A 2 ..
Të vetmet dy entitete të mundshme që formojnë një grup të plotë quhen të kundërta. Nëse njëra nga dy të kundërtat. ngjarjet shënohen me A, pastaj të tjerat shënohen me A '.
Shembulli 5. Goditja dhe humbja kur gjuan në shënjestër - fushë e kundërt. kështu unë.
Qëllimi i mësimit:
- Prezantoni konceptin e ngjarjeve të besueshme, të pamundura dhe të rastësishme.
- Të formojë njohuri dhe aftësi për të përcaktuar llojin e ngjarjeve.
- Zhvilloni: aftësinë llogaritëse; Vëmendje; aftësia për të analizuar, arsyetuar, nxjerrë përfundime; aftësitë e punës në grup.
Gjatë orëve të mësimit
1) Momenti organizativ.
Ushtrim ndërveprues: fëmijët duhet të zgjidhin shembuj dhe të deshifrojnë fjalët, sipas rezultateve ndahen në grupe (të besueshme, të pamundura dhe të rastësishme) dhe të përcaktojnë temën e mësimit.
1 kartë.
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 kartë
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 kartë
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) Përditësimi i njohurive të mësuara.
Lojë me duartrokitje: numër çift - duartrokas, tek - ngrihu.
Detyrë: nga një seri e caktuar numrash 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... caktoni çift dhe tek.
3) Mësimi i një teme të re.
Ju keni kube në tavolinat tuaja. Le t'i hedhim një vështrim më të afërt në to. Cfare shikon?
Ku përdoren zaret? Si?
Punë në grup.
Kryerja e një eksperimenti.
Çfarë parashikimesh mund të bëni kur hidhni zarin?
Parashikimi i parë: do të hiqet një nga numrat 1,2,3,4,5 ose 6.
Një ngjarje që do të ndodhë domosdoshmërisht në këtë përvojë quhet të besueshme.
Parashikimi i dytë: numri 7 do të hiqet.
Mendoni se do të vijë ngjarja e parashikuar apo jo?
Eshte e pamundur!
Një ngjarje që nuk mund të ndodhë në një përvojë të caktuar quhet e pamundur.
Parashikimi i tretë: numri 1 do të hiqet.
A do të vijë kjo ngjarje?
Një ngjarje që në një përvojë të caktuar mund ose nuk mund të ndodhë quhet e rastit.
4) Konsolidimi i materialit të studiuar.
I. Përcaktoni llojin e ngjarjes
-Nesër do të bjerë borë e kuqe.
Dëborë e madhe nesër.
Nesër edhe pse është korrik do të bjerë borë.
Nesër edhe pse është korrik, nuk do të ketë borë.
Nesër do të bjerë borë dhe stuhi.
II. Shto një fjalë në këtë fjali në mënyrë që ngjarja të bëhet e pamundur.
Kolya mori një A në histori.
Sasha nuk përfundoi asnjë detyrë të vetme në provë.
Oksana Mikhailovna (mësuese e historisë) do të shpjegojë temën e re.
III. Jepni shembuj të ngjarjeve të pamundura, aksidentale dhe të besueshme.
IV. Punë sipas tekstit (në grupe).
Përshkruani ngjarjet e përmendura në detyrat e mëposhtme si të besueshme, të pamundura ose të rastësishme.
Nr. 959. Petya konceptoi një numër natyror. Ngjarja është si më poshtë:
a) konceptohet një numër çift;
b) konceptohet një numër tek;
c) konceptohet një numër që nuk është as çift dhe as tek;
d) konceptohet një numër tek ose çift.
Nr. 960. Ju hapët këtë tutorial në çdo faqe dhe zgjodhët emrin e parë që u ndesh. Ngjarja është si më poshtë:
a) ka një zanore në drejtshkrimin e fjalës së zgjedhur;
b) ka shkronjën “o” në drejtshkrimin e fjalës së zgjedhur;
c) nuk ka zanore në drejtshkrimin e fjalës së zgjedhur;
d) ka një shenjë të butë në drejtshkrimin e fjalës së zgjedhur.
Zgjidhje nr 961, nr 964.
Diskutimi i detyrave të zgjidhura.
5) Reflektimi.
1. Çfarë ngjarjesh keni takuar në mësim?
2. Tregoni se cila nga ngjarjet e mëposhtme është e besueshme, cila është e pamundur dhe cila është e rastësishme:
a) nuk do të ketë pushime verore;
b) sanduiçi do të bjerë gjalpë poshtë;
c) viti shkollor do të përfundojë një ditë.
6) Detyrë shtëpie:
Dilni me dy ngjarje të besueshme, të rastësishme dhe të pamundura.
Vizatoni një vizatim në njërën prej tyre.
Klasa 5. Hyrje në Probabilitet (4 orë)
(zhvillimi i 4 mësimeve për këtë temë)
Objektivat e mësimit : - të prezantojë përkufizimin e një ngjarjeje të rastësishme, të besueshme dhe të pamundur;
Drejtoni idetë e para për zgjidhjen e problemeve kombinuese: duke përdorur një pemë opsionesh dhe duke përdorur rregullin e shumëzimit.
Qëllimi arsimor: zhvillimi i botëkuptimit të studentëve.
Objektivi në zhvillim : zhvillimi i imagjinatës hapësinore, përmirësimi i aftësisë së punës me një vizore.
Ngjarje të besueshme, të pamundura dhe të rastësishme (2 orë.)
Detyra kombinuese (2 orë)
Ngjarje të besueshme, të pamundura dhe të rastësishme.
Mesimi i pare
Pajisjet e mësimit: zare, monedhë, tavëll.
Jeta jonë përbëhet kryesisht nga aksidente. Ekziston një shkencë e tillë "Teoria e probabiliteteve". Duke përdorur gjuhën e saj, ju mund të përshkruani shumë fenomene dhe situata.
Edhe udhëheqësi primitiv e kuptoi se një duzinë gjuetarësh kanë një "probabilitet" për të goditur një bizon me një shtizë më shumë se një. Prandaj, ata gjuanin kolektivisht atëherë.
Gjeneralë të tillë të lashtë si Aleksandri i Madh ose Dmitry Donskoy, duke u përgatitur për betejë, u mbështetën jo vetëm në guximin dhe aftësinë e luftëtarëve, por edhe në rastësi.
Shumë njerëz e duan matematikën për të vërtetat e përjetshme dy herë dy janë gjithmonë katër, shuma e numrave çift është çift, sipërfaqja e një drejtkëndëshi është e barabartë me produktin e brinjëve të tij ngjitur, etj. Në çdo problem që zgjidhni, të gjithë marrin e njëjta përgjigje - thjesht nuk duhet të bëni gabime në zgjidhje.
Jeta reale nuk është aq e thjeshtë dhe e drejtpërdrejtë. Rezultatet e shumë fenomeneve nuk mund të parashikohen paraprakisht. Është e pamundur, për shembull, të thuhet me siguri se në cilën anë do të bjerë monedha e hedhur, kur të bjerë bora e parë vitin e ardhshëm, ose sa njerëz në qytet do të duan të telefonojnë në orën tjetër. Dukuritë e tilla të paparashikueshme quhen e rastit .
Megjithatë, rasti ka edhe ligjet e veta, të cilat fillojnë të manifestohen me përsëritjen e përsëritur të dukurive të rastësishme. Nëse rrokullisni një monedhë 1000 herë, atëherë "kokat" do të bien rreth gjysmës së kohës, gjë që nuk mund të thuhet për dy apo edhe dhjetë hedhje. "Përafërsisht" nuk do të thotë gjysma. Kjo, si rregull, mund të jetë ose jo. Ligji nuk thotë asgjë të sigurt fare, por jep një shkallë të caktuar sigurie se do të ndodhë ndonjë ngjarje e rastësishme. Modele të tilla studiohen nga një seksion i veçantë i matematikës - Teoria e probabilitetit . Me ndihmën e tij, është e mundur me një shkallë më të madhe besimi (por ende jo e sigurt) të parashikohet data e rënies së parë të borës dhe numri i telefonatave.
Teoria e probabilitetit është e lidhur pazgjidhshmërisht me jetën tonë të përditshme. Kjo na jep një mundësi të mrekullueshme për të vendosur shumë ligje probabiliste në mënyrë empirike, duke përsëritur eksperimente të rastësishme shumë herë. Materialet për këto eksperimente më së shpeshti do të jenë një monedhë e zakonshme, një zare, një grup domino, tavëll, ruletë apo edhe një kuvertë letrash. Secili prej këtyre artikujve është disi i lidhur me lojërat. Fakti është se rasti këtu shfaqet në formën më të shpeshtë. Dhe problemet e para probabilistike u shoqëruan me vlerësimin e mundësive të lojtarëve për të fituar.
Teoria moderne e probabilitetit është larguar nga kumari, por mbështetësit e saj janë ende burimi më i thjeshtë dhe më i besueshëm i fatit. Pasi të keni praktikuar me rrotën e ruletës dhe zarin, do të mësoni se si të llogaritni probabilitetin e ngjarjeve të rastësishme në situata të jetës reale, të cilat do t'ju lejojnë të vlerësoni shanset tuaja për sukses, të testoni hipotezat dhe të merrni vendime optimale jo vetëm në lojëra dhe llotari. .
Kur zgjidhni probleme probabiliste, jini shumë të kujdesshëm, përpiquni të justifikoni çdo hap që hidhni, sepse asnjë fushë tjetër e matematikës nuk përmban kaq shumë paradokse. Ashtu si teoria e probabilitetit. Dhe ndoshta shpjegimi kryesor për këtë është lidhja e saj me botën reale në të cilën jetojmë.
Shumë lojëra përdorin një za me një numër të ndryshëm pikash në secilën fytyrë nga 1 në 6. Lojtari hedh një zar, shikon sa pika kanë rënë (në fytyrën që është sipër) dhe bën numrin përkatës të lëvizjeve : 1,2,3 , 4,5, ose 6. Hedhja e një trupi mund të konsiderohet një përvojë, eksperiment, provë dhe rezultati i marrë është një ngjarje. Njerëzit zakonisht janë shumë të interesuar të hamendësojnë fillimin e një ngjarjeje, duke parashikuar rezultatin e saj. Çfarë parashikimesh mund të bëjnë kur hedhin zarin? Parashikimi i parë: do të bjerë një nga numrat 1, 2, 3, 4, 5, apo 6. Mendoni se do të vijë ngjarja e parashikuar apo jo? Sigurisht, do të vijë patjetër. Një ngjarje që do të ndodhë domosdoshmërisht në këtë përvojë quhet ngjarje e besueshme.
Parashikimi i dytë : do të bjerë numri 7. Mendoni se do të vijë ngjarja e parashikuar apo jo? Sigurisht që nuk do, është thjesht e pamundur. Një ngjarje që nuk mund të ndodhë në një përvojë të caktuar quhet ngjarje e pamundur.
Parashikimi i tretë : do të bjerë numri 1. Si mendoni, ngjarja e parashikuar do të vijë apo jo? Ne nuk jemi në gjendje t'i përgjigjemi kësaj pyetjeje me besim të plotë, pasi ngjarja e parashikuar mund të ndodhë ose jo. Një ngjarje që në një përvojë të caktuar mund ose nuk mund të ndodhë quhet një ngjarje e rastësishme.
Ushtrimi : Përshkruani ngjarjet e përmendura në detyrat e mëposhtme. Sa e besueshme, e pamundur apo aksidentale.
Ne hedhim një monedhë. U shfaq stema. (të rastësishme)
Gjuetari qëlloi ujkun dhe e goditi. (të rastësishme)
Djaloshi i shkollës shkon për shëtitje çdo mbrëmje. Gjatë shëtitjes të hënën, ai takoi tre të njohur. (të rastësishme)
Le të kryejmë mendërisht eksperimentin e mëposhtëm: ta kthejmë gotën me ujë me kokë poshtë. Nëse ky eksperiment nuk kryhet në hapësirë, por në shtëpi ose në klasë, atëherë uji do të derdhet. (i besueshëm)
Tre të shtëna u qëlluan në objektiv”. Kishte pesë goditje "(E pamundur)
E hedhim gurin lart. Guri mbetet i pezulluar në ajër. (e pamundur)
Ne i riorganizojmë shkronjat e fjalës "antagonizëm" në mënyrë të rastësishme. Fjala "anakroizëm" do të dalë. (e pamundur)
№959. Petya konceptoi një numër natyror. Ngjarja është si më poshtë:
a) konceptohet një numër çift; (i rastësishëm) b) konceptohet një numër tek; (të rastësishme)
c) konceptohet një numër që nuk është as çift dhe as tek; (e pamundur)
d) konceptohet një numër tek ose çift. (i besueshëm)
№ 961. Petya dhe Tolya krahasojnë ditëlindjet e tyre. Ngjarja është si më poshtë:
a) ditëlindjet e tyre nuk përputhen; (të rastësishme) b) ditëlindjet e tyre janë të njëjta; (të rastësishme)
d) ditëlindjet e të dyve bien në festa - Viti i Ri (1 janar) dhe Dita e Pavarësisë së Rusisë (12 qershor). (të rastësishme)
№ 962. Kur luani tavëll, përdoren dy zare. Numri i lëvizjeve që bën një pjesëmarrës në lojë përcaktohet duke shtuar numrat në dy skajet e hedhura të zarit dhe nëse bie një "dyfish" (1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6), atëherë numri i lëvizjeve dyfishohet. Ju hidhni zarin dhe kuptoni se sa lëvizje duhet të bëni. Ngjarja është si më poshtë:
a) duhet të bëni një lëvizje; b) duhet të bëni 7 lëvizje;
c) duhet të bëni 24 lëvizje; d) duhet të bëni 13 lëvizje.
a) - e pamundur (1 lëvizje mund të bëhet nëse kombinimi 1 + 0 bie, por nuk ka numrin 0 në zare).
b) - e rastësishme (nëse bie 1 + 6 ose 2 + 5).
c) - e rastësishme (nëse kombinimi është 6 +6).
d) - e pamundura (nuk ka kombinime të numrave nga 1 në 6, shuma e të cilëve është 13; ky numër nuk mund të merret edhe kur shfaqet "dyfishi", pasi është tek).
Kontrolloni veten. (diktim i matematikës)
1) Tregoni cilat nga ngjarjet e mëposhtme janë të pamundura, cilat janë të besueshme, cilat janë të rastësishme:
Ndeshja futbollistike “Spartak” – “Dynamo” do të përfundojë me barazim. (të rastësishme)
Ju do të fitoni duke marrë pjesë në lotarinë fitimprurëse (verifikuar)
Bora do të bjerë në mesnatë dhe dielli do të shkëlqejë në 24 orë. (e pamundur)
Nesër do të mbahet testi i matematikës. (të rastësishme)
Ju do të zgjidheni President i Shteteve të Bashkuara. (e pamundur)
Ju do të zgjidheni President i Rusisë. (të rastësishme)
2) Keni blerë një televizor në një dyqan, për të cilin prodhuesi jep një garanci dyvjeçare. Cilat nga ngjarjet e mëposhtme janë të pamundura, cilat janë të rastësishme, cilat janë të besueshme:
Televizori nuk do të prishet për një vit. (të rastësishme)
Televizori nuk do të prishet për dy vjet. (të rastësishme)
Brenda dy viteve, nuk do të duhet të paguani për të riparuar televizorin tuaj. (i besueshëm)
Televizori do të prishet në vitin e tretë. (të rastësishme)
3) Autobusi, i cili transporton 15 pasagjerë, do të duhet të bëjë 10 ndalesa. Cilat nga ngjarjet e mëposhtme janë të pamundura, cilat janë të rastësishme, cilat janë të besueshme:
Të gjithë pasagjerët do të zbresin nga autobusi në stacione të ndryshme. (e pamundur)
Të gjithë pasagjerët do të zbresin në një ndalesë. (të rastësishme)
Në çdo ndalesë, të paktën dikush do të dalë. (të rastësishme)
Do të ketë një ndalesë ku askush nuk zbret. (të rastësishme)
Një numër çift pasagjerësh do të largohen në të gjitha ndalesat. (e pamundur)
Një numër tek pasagjerët do të largohen në të gjitha ndalesat. (e pamundur)
Detyre shtepie : f. 53 №960, 963, 965 (mendoni vetë dy ngjarje të besueshme, të rastësishme dhe të pamundura).
Mësimi i dytë.
Kontrolli i detyrave të shtëpisë. (me gojë)
a) Shpjegoni se çfarë është një ngjarje e sigurt, e rastësishme dhe e pamundur.
b) Tregoni se cila nga ngjarjet e mëposhtme është e besueshme, cila është e pamundur, e cila është e rastësishme:
Nuk do të ketë pushime verore. (e pamundur)
Sanduiçi do të bjerë gjalpë poshtë. (të rastësishme)
Viti shkollor do të përfundojë një ditë. (i besueshëm)
Do të më pyesin nesër në klasë. (të rastësishme)
Sot do të takoj një mace të zezë. (të rastësishme)
№ 960. Ju keni hapur këtë tutorial në çdo faqe dhe keni zgjedhur emrin e parë që shfaqet. Ngjarja është si më poshtë:
a) ka një zanore në drejtshkrimin e fjalës së zgjedhur. ((i besueshëm)
b) ka shkronjën "o" në drejtshkrimin e fjalës së zgjedhur. (të rastësishme)
c) nuk ka zanore në drejtshkrimin e fjalës së zgjedhur. (e pamundur)
d) ka një shenjë të butë në drejtshkrimin e fjalës së zgjedhur. (të rastësishme)
№ 963. Ju po luani përsëri tavëll. Përshkruani ngjarjen e mëposhtme:
a) lojtari duhet të bëjë jo më shumë se dy lëvizje. (e pamundur - me kombinimin e numrave më të vegjël 1 + 1, lojtari bën 4 lëvizje; kombinimi 1 + 2 jep 3 lëvizje; të gjitha kombinimet e tjera japin më shumë se 3 lëvizje)
b) lojtari duhet të bëjë më shumë se dy lëvizje. (i besueshëm - çdo kombinim jep 3 ose më shumë lëvizje)
c) lojtari duhet të bëjë jo më shumë se 24 lëvizje. (i besueshëm - kombinimi i numrave më të lartë 6 + 6 jep 24 lëvizje, dhe të gjitha të tjerat - më pak se 24 lëvizje)
d) lojtari duhet të bëjë një numër dyshifror lëvizjesh. (të rastësishme - për shembull, kombinimi 2 + 3 jep një numër njëshifror lëvizjesh: 5, dhe rënia e dy katërsheve - një numër dyshifror lëvizjesh)
2. Zgjidhja e problemeve.
№ 964. Çanta përmban 10 topa: 3 blu, 3 të bardhë dhe 4 të kuq. Përshkruani ngjarjen e mëposhtme:
a) Nga çanta u nxorrën 4 topa dhe të gjithë janë blu; (e pamundur)
b) Nga çanta janë nxjerrë 4 topa dhe janë të gjithë të kuq; (të rastësishme)
c) Nga çanta u nxorrën 4 topa dhe rezultuan të gjithë të një ngjyre tjetër; (e pamundur)
d) Nga çanta u nxorrën 4 topa dhe mes tyre nuk kishte asnjë top të zi. (i besueshëm)
Objektivi 1. Kutia përmban 10 stilolapsa të kuq, 1 jeshil dhe 2 lapsa blu. Dy artikuj nxirren nga kutia në mënyrë të rastësishme. Cilat nga ngjarjet e mëposhtme janë të pamundura, cilat janë të rastësishme, cilat janë të besueshme:
a) janë hequr dy doreza të kuqe (të rastësishme)
b) nxirren dy doreza jeshile; (e pamundur)
c) nxirren dy doreza blu; (të rastësishme)
d) nxirren doreza me dy ngjyra të ndryshme; (të rastësishme)
e) hiqen dy doreza; (i besueshëm)
f) nxirren dy lapsa. (e pamundur)
Objektivi 2. Winnie the Pooh, Piglet dhe të gjithë - të gjithë - ulen të gjithë në tryezën e rrumbullakët për të festuar ditëlindjen e tyre. Sa nga të gjitha - nga të gjitha - nga të gjitha ngjarja "Winnie Pooh dhe Piglet do të ulen pranë njëri-tjetrit" është e besueshme dhe sa është e rastësishme?
(nëse të gjitha - të gjitha - të gjitha janë vetëm 1, atëherë ngjarja është e besueshme, nëse më shumë se 1, atëherë është e rastësishme).
Objektivi 3. Ndër 100 biletat e lotarisë për bamirësi, 20 po fitojnë Sa bileta duhet të blini për ta bërë të pamundur eventin "nuk fitoni asgjë"?
Detyra 4. Në klasë janë 10 djem dhe 20 vajza. Cilat nga ngjarjet e mëposhtme janë të pamundura për një klasë të tillë, cilat janë aksidentale, cilat janë të besueshme
Në klasë janë dy persona që kanë lindur në muaj të ndryshëm. (të rastësishme)
Në klasë janë dy persona që kanë lindur në të njëjtin muaj. (i besueshëm)
Në klasë janë dy djem që kanë lindur në të njëjtin muaj. (të rastësishme)
Në klasë janë dy vajza që kanë lindur në të njëjtin muaj. (i besueshëm)
Të gjithë djemtë kanë lindur në muaj të ndryshëm. (i besueshëm)
Të gjitha vajzat kanë lindur në muaj të ndryshëm. (të rastësishme)
Ka një djalë dhe një vajzë të lindur në të njëjtin muaj. (të rastësishme)
Ka një djalë dhe një vajzë që kanë lindur në muaj të ndryshëm. (të rastësishme)
Detyra 5. Kutia përmban 3 topa të kuq, 3 të verdhë, 3 të gjelbër. Nxjerrim 4 topa në mënyrë të rastësishme. Konsideroni ngjarjen "Midis topave të nxjerra do të ketë topa me ngjyra saktësisht M". Për çdo M nga 1 në 4, përcaktoni se cila ngjarje është e pamundur, e besueshme apo aksidentale dhe plotësoni tabelën:
Punë e pavarur.
Unëopsion
a) numri i ditëlindjes së mikut tuaj është më i vogël se 32;
c) nesër do të bëhet testi në matematikë;
d) Vitin e ardhshëm, bora e parë në Moskë do të bjerë të dielën.
Hidhe zarin. Përshkruani ngjarjen:
a) kubi, pasi ka rënë, do të qëndrojë në buzë;
b) do të hiqet një nga numrat: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
c) numri 6 do të hiqet;
d) një shumëfish i 7 do të hiqet.
Kutia përmban 3 topa të kuq, 3 të verdhë dhe 3 të gjelbër. Përshkruani ngjarjen:
a) të gjithë topat e hequr të së njëjtës ngjyrë;
b) të gjithë topat e hequr me ngjyra të ndryshme;
c) midis topave të nxjerra ka topa me ngjyra të ndryshme;
c) midis topave të nxjerra ka një top të kuq, të verdhë dhe jeshil.
IIopsion
Përshkruani ngjarjen në fjalë si të sigurt, të pamundur ose aksidentale:
a) një sanduiç që ka rënë nga tavolina do të bjerë gjalpë në dysheme;
b) në Moskë në mesnatë do të bjerë borë, dhe në 24 orë dielli do të shkëlqejë;
c) fitoni duke marrë pjesë në shortin fitues;
d) vitin e ardhshëm, në maj, do të dëgjohet bubullima e parë pranverore.
Të gjithë numrat dyshifrorë janë të shkruar në karta. Një kartë zgjidhet rastësisht. Përshkruani ngjarjen:
a) kishte zero në kartë;
b) karta ka një numër që është shumëfish i 5;
c) karta ka një numër që është shumëfish i 100;
d) karta ka një numër më të madh se 9 dhe më të vogël se 100.
Kutia përmban 10 stilolapsa të kuq, 1 jeshil dhe 2 lapsa blu. Dy artikuj nxirren nga kutia në mënyrë të rastësishme. Përshkruani ngjarjen:
a) nxirren dy doreza blu;
b) janë nxjerrë dy doreza të kuqe;
c) nxirren dy doreza jeshile;
d) janë hequr dorezat jeshile dhe të zeza.
Detyre shtepie: 1). Dilni me dy ngjarje të besueshme, të rastësishme dhe të pamundura.
2). Detyrë . Kutia përmban 3 topa të kuq, 3 të verdhë, 3 të gjelbër. Nxirrni N topa në mënyrë të rastësishme. Konsideroni ngjarjen "midis topave të nxjerra do të ketë topa me saktësisht tre ngjyra". Për çdo N nga 1 deri në 9, përcaktoni se cila ngjarje është e pamundur, e sigurt apo aksidentale dhe plotësoni tabelën:
Probleme të kombinuara.
Mesimi i pare
Kontrolli i detyrave të shtëpisë. (me gojë)
a) kontrollojmë problemet që kanë dalë nga nxënësit.
b) një detyrë shtesë.
Po lexoj një fragment nga libri i V. Levshinit “Tri ditë në xhuxh”.
"Në fillim, nën tingujt e një valsi të qetë, numrat formuan një grup: 1+ 3 + 4 + 2 = 10. Pastaj patinatorët e rinj filluan të ndërrojnë vendet, duke formuar gjithnjë e më shumë grupe të reja: 2 + 3 + 4 + 1 = 10
3 + 1 + 2 + 4 = 10
4 + 1 + 3 + 2 = 10
1 + 4 + 2 + 3 = 10, etj.
Kjo vazhdoi derisa patinatorët u kthyen në pozicionin e tyre origjinal."
Sa herë i kanë ndërruar vendet?
Sot në mësim do të mësojmë se si të zgjidhim probleme të tilla. Ata janë quajtur kombinuese.
3. Mësimi i materialit të ri.
Objektivi 1. Sa numra dyshifrorë mund të bëhen nga shifrat 1, 2, 3?
Zgjidhja: 11, 12, 13
31, 32, 33. Janë 9 numra gjithsej.
Gjatë zgjidhjes së këtij problemi, ne kryem një numërim të të gjitha opsioneve të mundshme, ose, siç thonë zakonisht në këto raste. Të gjitha kombinimet e mundshme. Prandaj, detyra të tilla quhen kombinuese. Ju duhet të llogaritni opsionet e mundshme (ose të pamundura) në jetë mjaft shpesh, kështu që është e dobishme të njiheni me problemet e kombinuara.
№ 967. Disa vende vendosën të përdorin simbole për flamurin e tyre kombëtar në formën e tre vijave horizontale me të njëjtën gjerësi në ngjyra të ndryshme - të bardhë, blu, të kuqe. Sa vende mund të përdorin simbole të tilla, me kusht që secili vend të ketë flamurin e tij?
Zgjidhje. Le të supozojmë se shiriti i parë është i bardhë. Pastaj shiriti i dytë mund të jetë blu ose i kuq, dhe shiriti i tretë, përkatësisht, i kuq ose blu. Doli dy opsione: e bardhë, blu, e kuqe ose e bardhë, e kuqe, blu.
Tani le të jetë shiriti i parë blu, pastaj përsëri marrim dy opsione: të bardhë, të kuqe, blu ose blu, të kuqe, të bardhë.
Lëreni shiritin e parë të jetë i kuq, atëherë ka dy opsione të tjera: e kuqe, e bardhë, blu ose e kuqe, blu, e bardhë.
Gjithsej janë 6 opsione të mundshme. Ky flamur mund të përdoret nga 6 vende.
Pra, në zgjidhjen e këtij problemi, ne po kërkonim një mënyrë për të numëruar opsionet e mundshme. Në shumë raste, rezulton të jetë e dobishme një teknikë për ndërtimin e një fotografie - një skemë numërimi. Kjo është, së pari, qartë, dhe së dyti, na lejon të marrim parasysh gjithçka, të mos humbasim asgjë.
Kjo skemë quhet edhe pema e opsioneve të mundshme.
Faqja e parë
Korsia e dytë
Korsia e tretë
Kombinimi që rezulton
№ 968. Sa numra dyshifrorë mund të bëhen nga shifrat 1, 2, 4, 6, 8?
Zgjidhje. Për numrat dyshifrorë që na interesojnë, ndonjë nga shifrat e dhëna mund të jetë në vend të parë, përveç 0. Nëse në vend të parë vendosim numrin 2, atëherë në vendin e dytë mund të jetë ndonjë nga shifrat e dhëna. Do të ketë pesë numra dyshifrorë: 2., 22, 24, 26, 28. Në mënyrë të ngjashme, do të ketë pesë numra dyshifrorë me shifrën e parë 4, pesë numra dyshifrorë me shifrën e parë 6 dhe pesë dyshifrorë. -numrat shifrorë me shifrën e parë 8.
Përgjigje: do të jenë gjithsej 20 numra.
Le të ndërtojmë një pemë të opsioneve të mundshme për zgjidhjen e këtij problemi.
Shifra të dyfishta
Shifra e parë
Shifra e dytë
Numrat e marrë
20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,
40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.
Duke ndërtuar një pemë opsionesh, zgjidhni problemet e mëposhtme.
№ 971. Udhëheqja e një vendi vendosi ta bënte kështu flamurin e tij shtetëror: një rreth me ngjyrë të ndryshme vendoset në një sfond drejtkëndor me një ngjyrë në një nga qoshet. U vendos të zgjidhni nga tre ngjyra: e kuqe, e verdhë, jeshile. Sa variante të një flamuri të tillë
ekziston? Figura tregon disa nga opsionet e mundshme.
Përgjigje: 24 opsione.
№ 973. a) Sa numra treshifrorë mund të bëhen nga shifrat 1,3, 5,? (27 numra)
b) Sa numra treshifrorë mund të bëhen nga shifrat 1,3, 5, me kusht që numrat të mos përsëriten? (6 numra)
№ 979. Pentatletët modernë marrin pjesë për dy ditë në garat në pesë sporte: kërcim me shfaqje, skermë, not, qitje dhe vrapim.
a) Sa opsione ka për renditjen e llojeve të konkursit? (120 opsione)
b) Sa opsione ka për radhitjen e kalimit të llojeve të konkursit, nëse dihet që duhet të jetë i llojit të fundit? (24 opsione)
c) Sa opsione ka për renditjen e kalimit të llojeve të garave, nëse dihet që lloji i fundit duhet të jetë vrapimi, dhe i pari - kërcimi me shfaqje? (6 opsione)
№ 981. Dy urna përmbajnë pesë topa secila në pesë ngjyra të ndryshme: e bardhë, blu, e kuqe, e verdhë, jeshile. Nga secila urnë hiqet një top në të njëjtën kohë.
a) sa kombinime të ndryshme topash të nxjerra ka (kombinimet si "e bardhë - e kuqe" dhe "e kuqe - e bardhë" konsiderohen të njëjta)?
(15 kombinime)
b) Sa kombinime ka në të cilat topat e hequr janë të së njëjtës ngjyrë?
(5 kombinime)
c) sa kombinime ka në të cilat topat e hequr janë me ngjyra të ndryshme?
(15 - 5 = 10 kombinime)
Detyre shtepie: f.54, nr.969, 972, për të dalë vetë me një problem kombinator.
№ 969. Disa vende vendosën të përdorin simbole për flamurin e tyre kombëtar në formën e tre vijave vertikale me të njëjtën gjerësi në ngjyra të ndryshme: jeshile, e zezë, e verdhë. Sa vende mund të përdorin simbole të tilla, me kusht që secili vend të ketë flamurin e tij?
№ 972. a) Sa numra dyshifrorë mund të bëhen nga numrat 1, 3, 5, 7, 9?
b) Sa numra dyshifrorë mund të bëhen nga numrat 1, 3, 5, 7, 9, me kusht që numrat të mos përsëriten?
Mësimi i dytë
Kontrolli i detyrave të shtëpisë. a) Nr. 969 dhe nr. 972a) dhe nr. 972b) - ndërtoni një pemë të opsioneve të mundshme në tabelë.
b) kontrolloni me gojë detyrat e përpiluara.
Zgjidhja e problemeve.
Pra, para kësaj, ju dhe unë mësuam se si të zgjidhim problemet e kombinuara duke përdorur një pemë opsionesh. A është kjo një mënyrë e mirë? Ndoshta po, por shumë e rëndë. Le të përpiqemi ta zgjidhim problemin e shtëpisë nr.972 në një mënyrë tjetër. Kush mund ta marrë me mend se si mund të bëhet kjo?
Përgjigje: për secilën nga pesë ngjyrat e bluzave janë 4 ngjyra të brekëve. Gjithsej: 4 * 5 = 20 opsione.
№ 980. Urnat kanë pesë topa secila në pesë ngjyra të ndryshme: e bardhë, blu, e kuqe, e verdhë, jeshile. Një top hiqet nga çdo urnë në të njëjtën kohë. Përshkruani ngjarjen e mëposhtme si të sigurt, aksidentale ose të pamundur:
a) hoqi topa me ngjyra të ndryshme; (të rastësishme)
b) nxirren topa të së njëjtës ngjyrë; (të rastësishme)
c) nxirren topa bardh e zi; (e pamundur)
d) u hoqën dy topa, të dy të lyer në njërën nga ngjyrat e mëposhtme: e bardhë, blu, e kuqe, e verdhë, jeshile. (i besueshëm)
№ 982. Një grup turistësh po planifikon të kryejë një shëtitje përgjatë rrugës Antonovo - Borisovo - Vllasovë - Gribovo. Nga Antonovo në Borisovo ju mund të bëni trap poshtë lumit ose të ecni. Nga Borisova në Vllasovë mund të ecësh ose të ngasësh biçikleta. Nga Vllasova në Gribovë mund të notosh përgjatë lumit, të ngasësh biçikleta ose të ecësh. Sa opsione për ecje mund të zgjedhin turistët? Sa mundësi për ecje mund të zgjedhin turistët, me kusht që të përdorin biçikleta në të paktën një nga seksionet e itinerarit?
(12 opsione rruge, 8 prej tyre duke përdorur biçikleta)
Punë e pavarur.
opsioni 1
a) Sa numra treshifrorë mund të bëhen nga shifrat: 0, 1, 3, 5, 7?
b) Sa numra treshifrorë mund të bëhen nga shifrat: 0, 1, 3, 5, 7, me kusht që numrat të mos përsëriten?
Athos, Porthos dhe Aramis kanë vetëm një shpatë, një kamë dhe një pistoletë.
a) Sa mënyra mund të armatosen musketierët?
b) Sa opsione armësh ka nëse Aramis duhet të përdorë një shpatë?
c) Sa opsione ka për armët, nëse Aramis duhet të zotërojë një shpatë dhe Porthos duhet të zotërojë një pistoletë?
Zorrës diku Zoti i dërgoi një copë djathë, si dhe djathë feta, sallam, bukë të bardhë dhe të zezë. Një sorrë e ulur mbi një bredh, u bë gati për të ngrënë mëngjes, por pyeti veten: sa mënyra mund të bëni sanduiçe nga këto produkte?
Opsioni 2
a) Sa numra treshifrorë mund të bëhen nga shifrat: 0, 2, 4, 6, 8?
b) Sa numra treshifrorë mund të bëhen nga shifrat: 0, 2, 4, 6, 8, me kusht që shifrat të mos përsëriten?
Konti Monte Cristo vendosi t'i dhuronte Princeshës Gaide një palë vathë, një gjerdan dhe një byzylyk. Çdo bizhuteri duhet të përmbajë një lloj guri të çmuar: diamante, rubin ose granata.
a) Sa opsione ka për të kombinuar bizhuteritë me gurë të çmuar?
b) Sa opsione bizhuterish ka nëse vathët supozohet të jenë diamanti?
c) Sa opsione bizhuterish ka, nëse vathët duhet të jenë diamanti dhe byzylyku është granatë?
Për mëngjes, mund të zgjidhni një simite, sanduiç ose kek me xhenxhefil me kafe ose kefir. Sa opsione për mëngjes mund të kompozoni?
Detyre shtepie : Nr. 974, 975. (duke përpiluar një pemë variantesh dhe duke përdorur rregullin e shumëzimit)
№ 974 . a) Sa numra treshifrorë mund të bëhen nga shifrat 0, 2, 4?
b) Sa numra treshifrorë mund të bëhen nga shifrat 0, 2, 4, me kusht që numrat të mos përsëriten?
№ 975 . a) Sa numra treshifrorë mund të bëhen nga shifrat 1.3, 5.7?
b) Sa numra treshifrorë mund të bëhen nga shifrat 1.3, 5.7 të dhëna. A nuk duhet të përsëriten numrat?
Numrat e problemit janë marrë nga tutoriali
"Matematika-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich, 2004.
