Një b në Kubë. Ndërtimi i kubit. Ku vijnë formulat e shumëzimit të shkurtuar
Ushtrimi është një operacion, i lidhur ngushtë me shumëzimin, ky operacion është rezultat i një shumëzimi të shumëfishtë të ndonjë numri në vetvete. Unë do të përshkruaj formulën: A1 * A2 * ... * an \u003d një.
Për shembull, a \u003d 2, n \u003d 3: 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8.
Në përgjithësi, ekspozita përdoret shpesh në formula të ndryshme në matematikë dhe fizikë. Kjo veçori ka një destinacion më shkencor se katër kryesore: shtim, zbritje, shumëzim, ndarje.
Mbledhje
Ngritja e numrit nuk është e komplikuar. Ajo është e lidhur me shumëzim të ngjashëm me shumëzimin dhe shtimin. Regjistrimi i një është një përmbledhje e n-th, numri i numrave "A" shumëzuar me njëri-tjetrin.
Konsideroni ushtrimin në masën në shembujt më të lehtë, duke lëvizur në kompleks.
Për shembull, 42. 42 \u003d 4 * 4 \u003d 16. Katër katrorë (shkalla e dytë) është gjashtëmbëdhjetë vjeç. Nëse nuk e kuptoni shumëzimin e 4 * 4, atëherë lexoni për t'u bërë për shumëzimin.
Konsideroni një shembull tjetër: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pesë në Kubë (në shkallën e tretë) është e barabartë me njëqind e njëzet e pesë.
Një tjetër shembull: 9 ^ 3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Nëntë në Kubë është e barabartë me shtatë qindra e nëntë.
Formulat
Për të ngrënë në mënyrë kompetente deri në masën, ju duhet të mbani mend dhe të dini formulat e renditura më poshtë. Nuk ka asgjë mbi natyrore, gjëja kryesore është të kuptojmë thelbin dhe pastaj ata jo vetëm që do të kujtohen, por ata do të duken të lehta.
Ngrit
Çfarë përfaqëson veten vetëm? Ky është një produkt i numrave dhe variablave në çdo sasi. Për shembull, dy - unrochene. Dhe kjo është ngritja e këtyre universioneve të këtij neni.
Duke përfituar nga formulat për ushtrimin për të llogaritur ndërtimin e universal në shkallë nuk do të jetë e vështirë.
Për shembull, (3x ^ 2y ^ 3) ^ 2 \u003d 3 ^ 2 * x ^ 2 * 2 * y ^ (3 * 2) \u003d 9x ^ 4y ^ 6; Nëse është e pabanuar deri në shkallën, atëherë çdo përbërës është i pashprehur në shkallë.
Lehtë në ndryshore të shkallës që tashmë ka një diplomë, shkalla shumëzohet. Për shembull, (x ^ 2) ^ 3 \u003d x ^ (2 * 3) \u003d x ^ 6;
Negativ
Shkalla negative - numri i kundërt. Cila është numri i kundërt? Çdo numër X i kundërt do të jetë 1 / x. Kjo është, x-1 \u003d 1 / x. Ky është thelbi i një shkalle negative.
Konsideroni një shembull (3y) ^ - 3:
(3y) ^ - 3 \u003d 1 / (27y ^ 3).
Pse eshte ajo? Meqenëse ka një minus në shkallë, atëherë kjo shprehje transferohet thjesht në emërues, dhe pastaj ngriti në shkallën e tretë. Vetëm e drejtë?
Shkallë kryqëzore
Le të fillojmë ta konsiderojmë çështjen në një shembull të caktuar. 43/2. Çfarë ka diplomë 3/2? 3 - Numeratori, nënkupton ngritjen e numrit (në këtë rast 4) në kub. Numri 2 është emëruesi, është nxjerrja e rrënjës së shkallës së dytë nga (në këtë rast 4).
Pastaj ne marrim një rrënjë katrore prej 43 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8. Përgjigje: 8.
Pra, emëruesi i shkallës së pjesshme mund të jetë, 3 dhe 4 dhe në pafundësi me ndonjë numër dhe ky numër përcakton shkallën e rrënjës katrore të nxjerrë nga numri i caktuar. Natyrisht, emëruesi nuk mund të jetë zero.
Rrënjë e shpejtë
Nëse rrënja është ngritur në një shkallë të barabartë me shkallën e vetë rrënjëve, atëherë përgjigja do të jetë një shprehje e ushqyer. Për shembull, (√H) 2 \u003d x. Dhe kështu në çdo rast barazia e shkallës së rrënjës dhe shkalla e ndërtimit të rrënjës.
Nëse (√x) ^ 4. Kjo (√x) ^ 4 \u003d x ^ 2. Për të kontrolluar vendimin, transferoni shprehjen e shprehjes me një shkallë të pjesshme. Meqenëse rrënja është katrore, emëruesi është 2. dhe nëse rrënja është ngritur në shkallën e katërt, atëherë numeratori 4. Ne marrim 4/2 \u003d 2. Përgjigje: x \u003d 2.
Sidoqoftë, opsioni më i mirë është transferuar thjesht në shprehjen me një shkallë të pjesshme. Nëse fraksioni nuk tkurret, atëherë kjo përgjigje do dhe do të jetë, me kusht që rrënja e numrit të caktuar të mos ndahet.
Consturbim në shkallën e numrit të integruar
Cili është një numër gjithëpërfshirës? Një numër kompleks është një shprehje që ka formulën A + B * i; A, B - numra të vlefshëm. Unë - numri që numri -1 jep në shesh.
Konsideroni një shembull. (2 + 3) ^ 2.
(2 + 3i) ^ 2 \u003d 22 +2 * 2 * 3i + (3i) ^ 2 \u003d 4 + 12i ^ -9 \u003d -5 + 12i.
Regjistrohu për kursin "Përshpejtoni llogarinë orale, jo aritmetikë mendore" për të mësuar se si të shpejt dhe të saktë të dele, të zbresë, të shumëfishohen, ndahen, të ngritur numrat në një shesh dhe madje nxjerrin rrënjët. Për 30 ditë, do të mësoni se si të përdorni teknika të lehta për të lehtësuar operacionet aritmetike. Në çdo mësim, teknika të reja, shembuj të kuptueshëm dhe detyra të dobishme.
Në internet
Me ndihmën e kalkulatorit tonë, ju mund të llogarisni ngritjen e numrit në shkallë:
Klasa 7
Ushtrimi po fillon të kalojë nxënësit vetëm në klasën e shtatë.
Ushtrimi është një operacion, i lidhur ngushtë me shumëzimin, ky operacion është rezultat i një shumëzimi të shumëfishtë të ndonjë numri në vetvete. Unë do të përshkruaj formulën: A1 * A2 * ... * an \u003d një.
Për shembull, a \u003d 2, n \u003d 3: 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8.
Shembuj për zgjidhjen:
Paraqitje
Prezantimi në ushtrimin në masën e llogaritur në klasën e shtatë. Prezantimi mund të sqarojë disa momente të pakuptueshme, por ndoshta nuk do të ketë momente të tilla falë artikullit tonë.
Rezultat
Ne kemi rishikuar vetëm pjesën e sipërme të ajsbergut për të kuptuar matematikën më të mirë - të regjistroheni për kursin tonë: përshpejtoni llogarinë orale nuk është një aritmetikë mendore.
Nga kursi ju nuk do të njihni vetëm dhjetëra teknika për shumëzimin e thjeshtuar dhe të shpejtë, shtimin, shumëzimin, ndarjet, llogaritjen e interesit, por gjithashtu i punoni ato në detyra të veçanta dhe lojëra edukative! Llogaria gojore gjithashtu kërkon shumë vëmendje dhe përqendrime që janë të trajnuar në mënyrë aktive në zgjidhjen e detyrave interesante.
Shprehjet matematikore (formula) shkurtim i shkurtuar (Shumat dhe dallimet katrore, shumat e kubit dhe dallimet, ndryshimi i shesheve, shuma dhe dallimi i kubëve) janë jashtëzakonisht të zëvendësuara në shumë fusha të shkencave të sakta. Këto 7 regjistrime të karaktereve nuk zëvendësohen duke thjeshtuar shprehjet, zgjidhjen e ekuacioneve, me shumëzimin e polinomeve, duke reduktuar fraksionet, zgjidhjen e integraleve dhe shumë gjëra të tjera. Pra, do të jetë shumë e dobishme të kuptoj se si janë marrë, për të cilën ata janë të nevojshëm, dhe më e rëndësishmja, si t'i kujtojmë ato dhe pastaj të aplikoni. Pastaj aplikoni formulat e shumëzimit të shkurtuar Në praktikë, më e vështira do të shohë se çfarë është H.dhe çfarë është y. Natyrisht, nuk ka kufizime për a. dhe b.jo, që do të thotë se mund të jetë çdo shprehje numerike ose letre.
Dhe kështu këtu ata:
I parë x 2 - u 2. \u003d (x - y) (x + y) . Për të llogaritur dallimet katrore Dy shprehje duhet të shumohen dallimin midis këtyre shprehjeve në shumat e tyre.
I dyti (x + y) 2 \u003d X 2. + 2h + në 2 . Per te gjetur shuma katrore Dy shprehje duhet të shtohen në sheshin e shprehjes së parë për të shtuar një produkt të dyfishtë të shprehjes së parë në të dytën plus sheshin e shprehjes së dytë.
I treti (x - y) 2 \u003d X 2. - 2h + në 2. Për të llogaritur ndryshim katrordy shprehje janë të nevojshme nga sheshi i shprehjes së parë për të hequr një produkt të dyfishtë të shprehjes së parë në të dytën plus sheshin e shprehjes së dytë.
I katërt (x + y) 3 \u003d x 3. + 3x 2 y + 3h 2 + 3. Për të llogaritur shuma e kubitdy shprehje duhet të shtohen në Kubën e shprehjes së parë për të shtuar një punë të trefishuar të sheshit të shprehjes së parë në të dytën plus produktin e trefishuar të shprehjes së parë në sheshin plus kub të shprehjes së dytë.
I pestë (x - y) 3 \u003d x 3. - 3x 2 y + 3h 2 - 3.. Për të llogaritur dallimi i kubitdy shprehje janë të nevojshme nga kubeja e parë e shprehjes për të marrë punën e trefishuar të sheshit të shprehjes së parë në të dytën plus produktin e trefishuar të shprehjes së parë në kubin e dytë minus të shprehjes së dytë.
Gjashtë x 3 + 3. \u003d (x + y) (x 2 - Hu + u 2) Për të llogaritur sasia e kubëvedy shprehje duhet të shumohen shumat e shprehjes së parë dhe të dytë në një shesh jo të plotë të ndryshimit të këtyre shprehjeve.
I shtatë x 3 - 3. \u003d (x - y) (x 2 + Hu + u 2) Për të bërë llogaritjen dallimet kubdy shprehje duhet të shumohen dallimin në mes të shprehjes së parë dhe të dytë në sheshin jo të plotë të shumës së këtyre shprehjeve.
Nuk është e vështirë të mbani mend se të gjitha formulat aplikohen në punën e llogaritjeve dhe në drejtimin e kundërt (djathtas në të majtë).
Rreth 4 mijë vjet më parë në ekzistencën e këtyre modeleve. Ata u përdorën gjerësisht nga banorët e Babilonisë së lashtë dhe Egjiptit. Por në ato epokë, ata shprehën gojarisht ose gjeometrik dhe gjatë llogaritjes nuk i përdorin letrat.
Ne do të kuptojmë dëshmi e Summa Square(A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2.
Së pari kjo model matematik Provoi një shkencëtar të lashtë grek Euclid, i cili ka punuar në Aleksandri në shekullin e III para Krishtit, ai përdorte një mënyrë gjeometrike për të evof formulën, pasi shkencëtarët e Ellalës së lashtë nuk i përdorën letrat për të caktuar numra. Ata u përdorën universalisht jo "A 2", por "katror në segment", jo "AB", por "drejtkëndësh, përfundoi midis segmenteve A dhe B".
Në mësimin e mëparshëm, ne kemi trajtuar dekompozimin e shumëzuesve. Dy mënyra u mbajtën: duke bërë një faktor të përbashkët për kllapa dhe grupim. Në këtë mësim - mënyra tjetër e fuqishme: formulat e shumëzimit të shkurtuar. Në një rekord të shkurtër - FSU.
Formulat e shumëzimit të shkurtuar (sheshi i shumës dhe ndryshimit, kubit të sasisë dhe ndryshimit, ndryshimi i shesheve, shuma dhe ndryshimi i kubeve) janë jashtëzakonisht të nevojshme në të gjitha pjesët e matematikës. Ato përdoren në thjeshtimin e shprehjeve, zgjidhjen e ekuacioneve, shumëzimin e polinomeve, reduktimin e fraksioneve, zgjidhjen e integraleve etj. etj. Shkurtimisht, ka çdo arsye për t'u marrë me ta. Për të kuptuar se si janë marrë, pse ata janë të nevojshëm, si t'i kujtojmë ato dhe si të aplikoni.
Ne e kuptojme?)
Ku vijnë formulat e shkurtuar të shumëzimit?
Barazia 6 dhe 7 nuk janë shkruar shumë të njohur. Si në të kundërtën. Kjo është posaçërisht.) Çdo barazinë punon si nga e majta në të djathtë dhe në të majtë. Në një rekord të tillë, është e qartë se ku vjen FSU.
Ato merren nga shumëzimi.) Për shembull:
(A + B) 2 \u003d (A + B) (A + B) \u003d A 2 + AB + BA + B 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2
Kjo është e gjitha, nuk ka truket shkencore. Vetëm të ndryshoni kllapa dhe t'i jepni këto. Kështu që del të gjitha formulat e shumëzimit të shkurtuar. Shkurtuar Shumëzimi është për shkak se në formulat vetë nuk ka shumëzim të kllapave dhe sjelljen e ngjashme. Reduktuar.) Menjëherë duke pasur parasysh rezultatin.
FSU duhet të dijë nga zemra. Pa tre të parat, ju nuk mund të ëndërroni për trojkën, pa pjesën tjetër - rreth të katërtit me pesë.)
Pse duhet formulat e shumëzimit të shkurtuar?
Ka dy arsye, mësojnë, madje edhe për të marrë këto formula. E para - përgjigja e përfunduar në makinë zvogëlon ndjeshëm numrin e gabimeve. Por kjo nuk është arsyeja kryesore. Por e dyta ...
Nëse ju pëlqen kjo faqe ...
Nga rruga, unë kam një çift të vendeve interesante për ju.)
Mund të arrihet në zgjidhjen e shembujve dhe të gjeni nivelin tuaj. Testimi me kontroll të menjëhershëm. Mësoni - me interes!)
Ju mund të njiheni me karakteristikat dhe derivatet.
Formulat ose rregullat e shkurtimit të shumëfishimit përdoren në aritmetikë, ose më mirë - në algjebër, për një proces më të shpejtë të llogaritjes së shprehjeve të mëdha algjebrike. Formulat vetë merren nga rregullat që ekzistojnë në algjebër për të shumëfishuar disa polinomi.
Përdorimi i këtyre formulave siguron një zgjidhje mjaft operacionale të detyrave të ndryshme matematikore, dhe gjithashtu ndihmon për të thjeshtuar shprehjet. Rregullat e transformimeve algjebrike ju lejojnë të kryeni disa manipulime me shprehje, pas të cilave është e mundur të merrni një shprehje në anën e djathtë në pjesën e majtë të barazisë ose të konvertojë pjesën e djathtë të barazisë (për të marrë një shprehje që qëndron në anën e majtë pas shenjës së barazisë).
Është e përshtatshme të dimë formulat e përdorura për shumëzimin e shkurtuar, si dhe ato shpesh përdoren në zgjidhjen e problemeve dhe ekuacioneve. Më poshtë janë formulat bazë të përfshira në këtë listë, dhe emri i tyre.
Shuma katrore
Për të llogaritur sheshin e shumës, është e nevojshme për të gjetur shumën e përbërë nga sheshi i mandatit të parë, dyfishuar produktin e mandatit të parë në të dytën dhe katrorin e dytë. Në formën e shprehjes, ky rregull është shkruar si më poshtë: (A + C) ² \u003d A² + 2AS + c².
Ndryshim katror
Për të llogaritur sheshin e ndryshimit, është e nevojshme për të llogaritur shumën e përbërë nga sheshi i numrit të parë dy herë numrin e parë në të dytën (marrë me shenjën e kundërt) dhe sheshin e numrit të dytë. Në formën e shprehjes, ky rregull është si vijon: (a - c) ² \u003d A² - 2AS + c².
Ndryshim katror
Formula për ndryshimin e dy numrave të ngritur në shesh është e barabartë me shumën e shumës së këtyre numrave për dallimin e tyre. Në formën e shprehjes, ky rregull është si vijon: A² - CA² \u003d (A + C) · (A - C).
Shuma e kubit
Për të llogaritur kubin e shumave të dy komponentëve, është e nevojshme për të llogaritur shumën e përbërë nga kubike e mandatit të parë, punën e trefishuar të sheshit të mandatit të parë dhe të dytë, të trefishuar të mandatit dhe e dyta në shesh, si dhe kubike e mandatit të dytë. Në formën e shprehjes, ky rregull është si vijon: (A + C) ³ \u003d A³ + 3A² + 3AS² + C³.
Sasia e kubëve
Sipas formulës, është e barabartë me shumën e shumës së kushteve të komponentëve në sheshin e tyre të paplotësuar të ndryshimit. Në formën e shprehjes, ky rregull është si vijon: A³ + C³ \u003d (A + C) · (A² - AC + C²).
Shembull. Është e nevojshme për të llogaritur volumin e formës, e cila është formuar nga shtimi i dy kube. Gjithashtu i njohur vetëm vlerat e partive të tyre.
Nëse vlerat e palëve janë të vogla, atëherë kryejnë llogaritjet thjesht.
Nëse gjatësia e palëve shprehet në numra të rëndë, atëherë në këtë rast është më e lehtë të aplikoni formulën "shuma e kubëve", e cila do të thjeshtojë ndjeshëm llogaritjet.
Dallimi i kubit
Shprehja për ndryshimin kub tingëllon si kjo: si shuma e shkallës së tretë të mandatit të parë, puna e trefishuar negative e sheshit të anëtarit të parë në punën e dytë, të trefishuar të anëtarit të parë në sheshin e dytë dhe negativ kub të mandatit të dytë. Në formën e një shprehjeje matematikore, një ndryshim i kubit duket kështu: (a - c) ³ \u003d A³ - 3A² + 3AS² - C³.
Dallimet kub
Formula e ndryshimit të kubit ndryshon nga sasia e kubëve vetëm një shenjë. Kështu, ndryshimi i kubëve është një formulë e barabartë me produktin e diferencës së të dhënave midis shumës së tyre të paplotësuar. Dallimi i kubëve është si më poshtë: një 3 - nga 3 \u003d (a - c) (dhe 2 + ac + c 2).
Shembull. Është e nevojshme për të llogaritur volumin e figurës që do të mbetet pas zbritjes nga vëllimi i kubit blu të një figurë të verdhë të verdhë, e cila është gjithashtu një kub. Dihet vetëm madhësia e anës së një kubike të vogël dhe të madhe është e njohur.
Nëse vlerat e palëve janë të vogla, atëherë llogaritjet janë mjaft të thjeshta. Dhe nëse gjatësitë e palëve janë shprehur në numër të konsiderueshëm, është e nevojshme të aplikoni formulën e titulluar "Dallimet e kubëve" (ose "kub të ndryshëm"), i cili do të thjeshtojë ndjeshëm llogaritjet.
Tre gabime, secila prej të cilave është e barabartë x. (\\ DisplayStyle X.) Ky operacion aritmetik quhet "ngritja në kub", rezultati i saj tregohet X 3 (\\ DisplayStyle X ^ (3)):
x 3 \u003d x ⋅ x ⋅ x (\\ displaystyle x ^ (3) \u003d x \\ cdot x \\ cdot x)Për ndërtimin e operacionit të kundërt të kubit është nxjerrja e rrënjës kub. Emri gjeometrik i shkallës së tretë " kub"Është për shkak të faktit se matematikanët antik i konsideronin cubes si numrat kub, lloj i veçantë i numrave të figuruar (shih më poshtë), që nga lista e numrave X (\\ DisplayStyle X) e barabartë me volumin e kubit me gjatësinë e brinjëve të barabarta X (\\ DisplayStyle X).
Sekuencë kubike
, , , , , 125, 216, 343, 512, 729, , 1331, , 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…Sasia e kubëve të parë N (\\ displaystyle n) Numrat pozitivë natyrorë llogariten nga formula:
Σ i \u003d 1 ni 3 \u003d 1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 \u003d (n (n + 1) 2) 2 (\\ displaystyle \\ shuma _ (i \u003d 1) ^ (n) i ^ (3) \u003d 1 ^ (3) + 2 ^ (3) + 3 ^ (3) + \\ ldots + n ^ (3) \u003d \\ majtas (((\\ frac (n (n + 1)) (2)) \\ DREJTA) ^ (2))Tërheqja e formulës
Shuma e kubëve mund të shfaqet duke përdorur tabelën e shumëzimit dhe shumën e shumës së progresit aritmetik. Duke pasur parasysh si një ilustrim të metodës, dy tabelat e shumëzimit 5 × 5, kryejnë arsyetime për tabelat e n × n.
|
|
Shuma e numrave në K-OH (k \u003d 1,2, ...) Zona e zgjedhur e tabelës së parë:
k 2 + 2 k σ l \u003d 1 k - 1 l \u003d k 2 + 2 kk (k - 1) 2 \u003d k 3 (\\ displaystyle k ^ (2) + 2k \\ shuma _ (l \u003d 1) ^ (k- 1) l \u003d k ^ (2) + 2k (\\ frac (k (k (k (k (k (k (k (k (k (k (1)) (2)) \u003d k ^ (3))Dhe shuma e numrave në K-OH (k \u003d 1,2, ...) Zona e zgjedhur e tabelës së dytë, e cila është një progresion aritmetik:
k σ l \u003d 1 n l \u003d k n (n + 1) 2 (\\ displaystyle k \\ shuma _ (l \u003d 1) ^ (n) l \u003d k (\\ frac (n (n + 1)) (2)))Duke përmbledhur nëpër të gjitha fushat e zgjedhura të tabelës së parë, marrim të njëjtin numër si përmbledhje mbi të gjitha fushat e zgjedhura të tabelës së dytë:
Σ k \u003d 1 nk 3 \u003d σ k \u003d 1 nkn (n + 1) 2 \u003d n (n + 1) 2 σ k \u003d 1 nk \u003d (n (n + 1) 2) 2 (\\ displaystyle \\ shuma _ (k \u003d 1) ^ (n) k ^ (3) \u003d \\ shuma _ (k \u003d 1) ^ (n) k (\\ frac (n (n + 1)) (2)) \u003d (\\ frac (n + 1)) (2)) \\ shuma _ (k \u003d 1) ^ (n) k \u003d \\ majtas ((\\ frac (n (n + 1)) (2)) \\ drejtë) ^ (2))Disa prona
- Në të dhënat dhjetore, kubike mund të përfundojë në ndonjë shifër (ndryshe nga sheshi)
- Në të dhënat dhjetore, dy kube të fundit mund të jenë 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 19, 21, 23, 29, 29, 21, 23, 29, 31 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 52, 53, 51, 52, 59, 61, 51, 52, 53, 61, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Varësia e shifrës së parafundit të kubit nga ky i fundit mund të përfaqësohet si tabela e mëposhtme:
Kubë si numra kaçurrelë
"Numri kub" Q n \u003d n 3 (\\ displaystyle q_ (n) \u003d n ^ (3)) Historikisht, ajo u konsiderua një shumëllojshmëri e numrave të figurave hapësinore. Mund të përfaqësohet si një ndryshim i shesheve të numrave të njëpasnjëshëm trekëndësh. T n (\\ displaystyle t_ (n)):
Q n \u003d (t n) 2 - (t n - 1) 2, n ⩾ 2 (\\ displaystyle q_ (n) \u003d (t_ (n)) ^ (2) - (t_ (n - 1)) ^ (2), n \\ gekslant 2) Q 1 + Q 2 + Q 3 + ⋯ + q n \u003d (t n) 2 (\\ displaystyle q_ (1) + q_ (2) + q_ (3) + \\ dots + q_ (n) \u003d (t_ (n)) ^ (2))Dallimi midis dy numrave të afërt kub është një numër gjashtëkëndor i përqendruar.
Shprehja e një numri kub përmes tetrahedral Π n (3) (\\ displaystyle \\ pi _ (n) ^ ((3))).
